SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

MARTINA NEMET

ULTRALJUBIČASTA KATASTROFA

ZAVRŠNI RAD

OSIJEK, 2015

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

2

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

MARTINA NEMET

ULTRALJUBIČASTA KATASTROFA

ZAVRŠNI RAD

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnice fizike

OSIJEK, 2015

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

3

"Završni rad, Ultraljubičasta katasrtofa, studentice Martine Nemet izrađen je u

Osijeku pod vodstvom prof. dr. sc. Ramira Ristića u sklopu Sveučilišnog

preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera

u Osijeku."

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

4

Sadržaj

1. Sažetak ........................................................................................................................... 5

2. Uvod ............................................................................................................................... 7

3. Teorijski dio ................................................................................................................. 10

3.1 Wienov pokušaj .................................................................................................................. 10

3.2 Rayleigh-Jeansov pokušaj ................................................................................................. 11

4. Problematika i rješavanje ............................................................................................. 12

5. Literatura ...................................................................................................................... 14

6. Životopis ....................................................................................................................... 15

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

5

ULTRALJUBIČASTA KATASTROFA

MARTINA NEMET

1. Sažetak

Ultraljubičasta katastrofa je pogreška koja se javlja pri kratkim valnim duljinama

u Rayleigh-Jeansov zakonu (na grafikonu prikazano kao "klasična teorija") za energiju koje

emitira idealno crno tijelo. Odstupanje koje je izraženo kod kratkih valnih duljina jest razlika

između crne krivlje (kao što klasična fizika predviđa Rayleigh-Jeansovim zakonom) i plave

krivulje (mjerenja koja su pokazala što je predvidio Planckov zakon).

(15 stranica, 3 slike)

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku Ključne riječi: ultraljubičasta katastrofa/ klasična fizika/ valna duljina/ crno tijelo

Mentor: Ramir Ristić, prof. dr. sc.

Ocjenjivači: Ramir Ristić, prof. dr. sc.

Rad prihvaćen:

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

6

ULTRAVIOLET CATASTROPHE

MARTINA NEMET

1. Abstract

Ultraviolet catastrophe is an error that occurs at short wavelengths in Rayleigh Jeansov law (

in the graph shown as " classical theory " ) energy emitted by an ideal black body . The

deviation which is expressed in short wavelength difference between black joke of the bend

(like classical physics predicts Rayleigh - Jeansovim law) and blue curves ( measurements ,

which showed he predicted Planck's law ) .

(15 pages, 3 figures)

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: ultraviolet catastrophe / classical physics / wavelength / black body

Supervisor: Ramir Ristić, PhD, Professor

Reviewers: Ramir Ristić, PhD, Professor

Thesis accepted:

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

7

2. Uvod

Ultraljubičasta katastrofa koju još nazivamo i Rayleigh-Jeansova katastrofom je pojam

iz klasične fizike.

Predviđanja klasične fizike kasnog 19. stoljeća bila su da će idealno crno tijelo pri toplinskoj

ravnoteži emitirati zračenje beskonačne snage. Zatim je izmjeren spektar zračenja crnog tijela

i fizičare je zanimalo mogu li toplinsko zračenje objasniti zakonima klasične fizike, odnosno

valnom teorijom svjetlosti. Pokušali su objasniti oblik krivulja spektra za pojedine

temperature te dobiti kvantitativna ovisnost energije zračenja o valnoj duljini.

Bilo je nekoliko pokušaja, od kojih su najvažniji Wienov i Rayleigh-Jeansov.

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

8

Pokušat ćemo rastumačiti zakon zračenja crnog tijela kako bi mogli objasniti

ultraljubičastu katastrofu počevši od termodinamičkog izvoda Stefan-Boltzmanova zakona:

𝑈 = 𝛼𝑉𝑇4 ... (a)

Kako bi relaciju (a) izveli u okvirima statističke mehanike moramo prije svega znati kako se

energija zračenja raspodjeljuje po frekvencijama te da svaki harmonički oscilator titra s

frekvencijom:

𝜔 = 2𝜋𝑐

𝜆

Iznos valnog vektora definiran je relacijom:

𝑞 =2𝜋

𝜆

Pa izraz za frekvenciju onda možemo zapisati u obliku:

𝜔 = 𝑐𝑞

Ako promatramo elektromagnetsko zračenje u kocki dužine brida L. Ukupna energija polja

jednaka je zbroju energija harmoničkih oscilatora, koji titraju s različitim frekvencijama.

Kako su svakoj frekvenciji pridružene dvije polarizacije vala, to je energija zračenja crnog

tijela:

𝑈 = 2 ∑ �̅�(𝑞)𝑞 (1)

�̅�(𝑞) predočava energiju linearnog harmoničkog oscilatora određene frekvencije i

polarizacije, usrednjenu preko svih mogućih vrijednosti impulsa i koordinata:

�̅�(𝑞) =1

2 [𝑃𝑞2̅̅ ̅ + 𝜔

2(𝑞)𝑄𝑞2̅̅̅̅ ].

Broj valova u volumnom elementu q-prostora dan je sa:

𝑑𝐵 =𝑉

(2𝜋)3𝑑3𝑞 ,

gdje je V volumen kocke:

𝑉 = 𝐿3

Time smo odredili transformaciju sa zbroja na integral po valnom vektoru:

∑ → 𝑉

(2𝜋)3𝑞∫ 𝑑3𝑞 (2)

Primijetimo da do rezultata možemo doći i drugim postupkom. Na temelju relacija

neodređenosti zaključili smo da zborj po energetskim nivoima možemo zamijeniti integralom

po faznom prostoru na slijedeći način:

∑ 𝑔𝑖𝑞 → ∫𝑑Φ

ℎ3 (3)

gdje je 𝑑Φ = dxdydzd𝑝𝑥d𝑝𝑦d𝑝𝑧

Na desnoj strani relacije (3) integral po kooridnatama daje volumen, a u integralu po

impulsima uvažimo de Broglievu relaciju:

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

9

𝑝 =ℎ

𝜆= ћ𝑞

U mnogim slučajevima pogodno je uvesti veličnu reducirane Planckove konstante (ponekad

se naziva Diracova konstanta), koja je definirana kao:

𝑑Φ → 𝑉𝑑3𝑝 = 𝑉 (ℎ

2𝜋)

3

𝑑3𝑞

a ako tu relaciju uvrstimo u (3) ponovno ćemo dobiti istu relaciju kao što je (2)

U integralu po q-prostoru prijeđimo na polarni sustav i izvršimo integraciju po kutovima.

Nadalje, uzimajući u obzir relaciju

𝜔 = 𝑐𝑞

transformacijsko pravilo (2) možemo prepisati u obliku :

∑ → 𝑉

(2𝜋)3𝑞4𝜋

𝑐3∫ 𝜔2𝑑𝜔

∞

0

Stoga je ukupna energija zračenja :

𝑈 = 𝑉

𝜋2𝑐3∫ �̅�(𝑞)

∞

0𝜔2𝑑𝜔

Ona je proporcionalna volumenu crnog tijela. Uvodimo gustoću energije

𝑢 =𝑈

𝑉

Na interval frekvencije 𝑑𝜔 otpada gustoća:

𝑑𝑢 =�̅�(𝑞)𝜔2

𝜋2𝑐3𝑑𝜔 (4)

Prosječna energija linearnog harmoničnog oscilatora ne ovisi o fregvenciji titranja, nego samo

o temperaturi

�̅� = 𝑘𝑇 Time za gustoću energije na jedinični interval frekvencije nalazimo :

𝑢𝜔 = 𝑑𝑢

𝑑𝜔=

𝜔2𝑘𝑇

𝜋2𝑐3

To je Rayleigh-Jeansov zakon prema kojemu frekvencija spektralne raspodjele energije raste s

kvadratom frekvencije.

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

10

3. Teorijski dio

3.1. Wienov pokušaj

Wilhelm Wien je 1896. izveo aproksimaciju koja je bila dobra samo za male valne

duljine. Valna duljina koja odgovara maksimumu izračene energije (λmax) obrnuto je

razmjerna apsolutnoj temperaturi.

gdje je λmax - valna duljina s vršnom vrijednosti intenziteta zračenja, T - termodinamička

temperatura idealnog crnog tijela, i b – Wienova konstanta pomaka i jednaka je

2,897768551 × 10−3 m•K.

Porastom temperature maksimalna valna duljina zračenja pomiče se prema kraćim valnim

duljinama što je prikazano na slici 1.

Slika 1.

Za Sunce je max 510-7m te iz toga možemo odrediti približnu temperaturu površine Sunca:

𝑇 =2,897768551 × 10−3 m • K

5 × 10−7𝑚≅ 5800 𝐾

Spektar sunca sastoji se od:

• Ultraljubičastog zračenja (0,01 m < < 0,4 m)

• Vidljive svjetlosti (0,4 m < < 0,7 m)

• Infracrvenog zračenja (0,7 m < < 1000 m)

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

11

3.2. Rayleigh-Jeansov pokušaj

Jeans i Rayleigh su 1900. izveli matematički izraz za gustoću energije zračenja crnog

tijela. Pri tome su krenuli od osnovna pretpostavke: svjetlost zrače harmonički oscilatori (npr.

elektroni u atomima) koji mogu imati bilo koju vrijednost energije.

Za valnu dužinu λ glasi:

gdje je c brzina svjetlosti, k je Boltzmannova konstanta, a T je temperatura u kelvinima.

Za frekvenciju 𝜈, izraz je

Jeans-Rayleighov i Wienov rezultat nisu u skladu s eksperimentom (za male valne duljine u

ultraljubičestom području), ali ne zato što se u izvodu potkrala neka greška, već zato što

klasična fizika svojim zakonima ne može objasniti sve pojave u prirodi, osobito ne pojave u

mikrosvijetu.

Tako klasična fizika nije uspjela objasniti objasni spektre toplinskog zračenja. Ovaj neuspjeh

klasične fizike Paul Ehrenfest je 1911. godine nazvao "ultraljubičasta katastrofa", s obzirom

na to da je problem koji je rušio tezu bio u području kratkih valnih duljina, gdje

su ultraljubičaste zrake.

Rješavanje ovog problema bio je jedan od temeljnih aspekata razvitka kvantne

mehanike ranog 20. stoljeća. Put k rješenju dali su Max Planck, koji je 14. prosinca 1900.

postavio zakon zračenja za crno tijelo.

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

12

4. Problematika i rješavanje

Ultraljubičasta katastrofa, dakle, proizlazi iz klasične mehanike, gdje govorimo o

harmoničkim oscilatorima što smo spomenuli i u poglavlju 3.2.

Uzmimo primjer iz Mansonova djela „A History of the Sciences“ gdje prikazuje vibracije, te

kako će niz oscilirati na specifičan način. Bilo koji način osciliranja ima istu energiju, no

energija u prirodnim oscilatorima ima manju valnu duljinu, a veću frekvenciju.

Izračena snaga po jedinici frekvencije bi trebala slijediti zakon o Rayleigh-Jeansu i biti

razmjerna kvadratu frekvencije.

Konkretno, nekoliko godina kasnije javljaju se rješenja ovog problema gdje su Rayleigh i

Jeans pretpostavili da se zračenje unutar šupljine sastoji od stojnih elektromagnetskih valova.

Stefan (eksperimentalno) i Boltzmann (teorijski) došli do istog rezultatat i odredili

izraz za ukupni intenzitet zračenja crnog tijela:

Javljaju se i Wienove te Planckove teorije, gdje Planck pretpostavlja da elektromagnetsko

zračenje može biti emitirano samo ili apsorbirano u diskretnim paketima , pod nazivom

kvantima. Kvant je u načelu najmanja količina “nečega”, npr. novac je kvantiziran, a najmanja količina tj. kvant je jedna lipa.

𝐸𝑘𝑣𝑎𝑛𝑡𝑎 = ℎ𝑐

𝜆

Gdje je ℎ Planckova konstanta koja iznosi ℎ = 6,6260693 ∗ 10−34𝐽𝑠 .

Planckov zakon opisuje intenzitet (specifičnu snagu) nepolariziranog elektromagnetskog

zračenja, kod cijelog raspona valnih duljina, kojeg emitira idealno crno tijelo, ovisno

o termodinačkoj temperaturi T.

𝐼 (𝜈, 𝑇) = 2ℎ𝜈3

𝑐2

1

𝑒ℎ𝜈𝑘𝑇 − 1

Crnim tijelom nazivamo u principu svako tijelo koje emitira neko zračenje. Idealno ili

apsolutno crno tijelo zamišljamo kao šuplju kuglu ili kocku s malim otvorom kroz koji se

emitira zračenje. Specifičnost je crnih tijela da njihovo zračenje neće ovisiti o materijalu od

kojeg su sačinjena i da će pri istoj temperaturi emitirati više energije za pojedinu frekvenciju

nego bilo koje drugo tijelo, što ga čini idealnim emiterom.

Planckov zakon vrijedi ako se zračenje promatra normalno na šupljinu idealnog crnog tijela.

Ako se promatra pod bilo kojim drugim kutem, onda je intenzitet zračenja:

gdje je kut θ između normale i pravca promatranja.

Intenzitet zračenja za određeno područje frekvencija , ], ili za određeno područje valnih

duljina , se može dobiti integriranjem funkcija:

42

8

0 0

4

1067.5

),(

Km

W

Tdd

dIdTfI

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

13

Kako smo već naveli, Max Planck je stvorio ovaj zakon 1900. u pokušaju da

poboljša Wienovu približnu vrijednost iz 1896., koja je dobivena iz pokusa, ali nije

odgovarala za male frekvencije, kao ni Rayleigh-Jeansov zakon za velike

frekvencije. Planckov zakon je vrlo dobro odgovarao sa rezultatima pokusa, ustvari je nastao

kada je on pretpostavio mogući način raspodjele elektromagnetske energije, s različitim

nabijenim oscilatorima u materiji.

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

14

5. Literatura

Supek, I. Teorijska fizika i struktura materije II. Zagreb: Školska knjiga, 1990

https://en.wikipedia.org/wiki/Ultraviolet_catastrophe ( 20.08.2015 )

https://en.wikipedia.org/wiki/Ultraviolet_catastrophe

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

15

6. Životopis

Martina Nemet rođena je 20.07.1992. godine u Našicama. Pohađala je

Osnovnu školu Vladimira Nazora u Feričancima, te nakon toga upisuje Opću

gimnaziju u Srednjoj školi Isidora Kršnjavog u Našicama. Nakon završene gimnazije

upisuje Preddiplomski studij fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja

Strossmayera u Osijeku.