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S u p e rfi c i e s Mi n i m a le s
Pascual Lucas
Conferencia impartida el 18/02/99 en el curso
“La Historia de las Matem á t i c a s
y s u a p l i c a c i ó n a l a d o c e n c i a e n En s
e ˜ n a n z a S e c u n d a ri a”
Índice G eneral
1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 3
2 L A ET APA DE DE SA RROL LO DE LA S SU PE RFIC IES
MINI MA LE S . . . . . . . 6
2.1 L OS EXPERIMENTOS F ́ISICOS DE PLATEAU
. . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 EL PRINCIPIO F ́ISICO QUE HAY DETR ́ AS DE LA
S PE L ́ICULAS DE JABÓN 8
2.3 PROPIEDADES EXTREMALES DE LAS PEL ́ICULAS DE JABÓN
. . . . . 10
2.4 L A SU PERFICI E DE SE PARA CIÓN . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 PEL ́ICULAS DE JABÓN DE CURVATURA CONSTANTE . .
. . . . . . . . 14
3 PROPIEDADES F ́ISICAS Y TOPOL ÓGICAS DE LAS
SUPERFICIES MINIMALES 16
3.1 SUPERFICIES ESTABLES E INESTABLES . . . . . . . . . .
. . . . . . 16
3.2 L OS EXPERIMENTOS DE PLATEAU CON COLUMNAS DE
L ́IQUIDOS . . 17
4 A LGUNAS SUPERFICIES MINIMALES . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 22
4.1 EL CATENOIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 22
4.2 EL HELICOIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 23
4.3 R ELACIÓN ENTRE EL CATENOIDE Y EL HELICOIDE .
. . . . . . . . . 23
1
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4.4 L A SU PERFICI E DE ENNEPER .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 L A SU PERFICI E DE C AT AL AN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6 EL ONDULOIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 26
5 R EALIZACIONES F ́ISICAS DE SUPERFICIES MINIMALES
. . . . . . . . . . . 28
5.1 L A RE ALIZ AC IÓN F ́ISICA DE UN
HELICOIDE . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 L A RE ALIZ AC IÓN F ́ISICA DE UN
CATENOIDE . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 L AS SU PE RFIC IES MINI MA LE S EN LA NA TU RA
LE ZA . . . . . . . . . . 33
2
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1. INTRODUCCIÓN
Vamos a introducirnos en la atmósfera de una de las ramas
más importantes
de las matemáticas modernas, el cálculo de variaciones
multidimensional. La
teoŕıa de superficies minimales, que tuvo su origen en las
investigaciones de
matemáticos e ingenieros mecánicos de los siglos XVIII
y XIX , se desarrolla ac-
tualmente bajo el paraguas del cálculo de variaciones. El
desarrollo original
de esta teorı́a está indisolublemente ligado a la personalidad
de los especialis-
tas que se vieron involucrados en esta investigación, ası́ como
a las demandas
históricas que condujeron al rápido crecimiento de la teorı́a,
con sus especı́ficas
aplicaciones a problemas de la mecánica y la fı́sica.
E n el cálculo variacional moderno es usual distinguir entre el
caso uni-
dimensional y el caso multidimensional. El caso unidimensional
está reservado
al estudio de funcionales definidos, por ejemplo, sobre curvas
diferenciables t
en una variedad riemanniana. Los clásicos ejemplos de estos
funcionales son el
funcional longitu d L y en er
gı́a E , que están definidos por las siguientes
fórmulas:
L =
Z
j
0
t j d t E =
Z
j
0
t j
2
d t
Los puntos extremos de estos funcionales son ciertas curvas
definidas en la
variedad. Por ejemplo, los puntos extremos del
funcionalL
son las curvas
geodésicas parametrizadas por cualquier parámetro, mientras
que los puntosextremos del funcional energı́a son las geodésicas
parametrizadas por su parámetro
natural, es decir, el parámetro longitud de arco, medido a
partir de un cierto
punto fijo de la curva.
En muchos problemas de la fı́sica y la mecánica surgen
importantes funcio-
nales que están definidos sobre superficies y otros objetos
multidimensionales,
por ejemplo, el espacio de las superficies con frontera
prefijada. Un ejemplo
importante es el funcional área que asocia a cada una de estas
superficies su
área. Otro ejemplo muy relacionado con el anterior es el
funcional de Dirichlet,
cuya definición se proporcionará más adelante. La relación
entre el funcional
área y el funcional de Dirichlet es muy similar a la conocida
relación entre los
funcionales longitud y energı́a. En este sentido, los funcional
área y de Dirichlet
se pueden denominar funcionales 2-dimensionales.
El estudio sistemático de los funcionales unidimensionales
está ligado al gran
matemático Le o n h a r d E u le r (1 7 0 7
– 1 7 8 3
). Los intereses de Euler fueron muy
variados, y su herencia matemática es enorme. Escribió
más de 850 libros
y artı́culos de investigación, y un inmenso número de
cartas, muchas de las
cuales pueden ser consideradas verdaderos trabajos de
investigación.
3
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En la historia de la geometrı́a diferencial se asume que en 1 7
6 0 Euler des-
cubrió una nueva rama de las matemáticas, al combinar la
geometrı́a pura y
los métodos variacionales diferenciales. Particularmente
interesante es su obra
Methodus inveniendi l ineas curvas maximi minimive proprietate
gaudentes ( 1 7 4 4 ),
en la cual proporciona métodos para encontrar la solución a
problemas isope-rimétricos, e investiga las propiedades
geométricas de ciertas curvas notables,
en particular, la catenaria. Esta obra es la primera dedicada al
cálculo de va-
riaciones y en ella Euler descubre que el catenoide (la
superficie de revolución
obtenida al girar una catenaria) es una superficie minimal. En 1
7 6 0 publicó, en
la revista Histoire de l’Académie des Sciences, el artı́culo
Recherches sur la co-
urbu re des surfaces (Invest igaciones sobre la curvatur a de
las superficies) , y casi
inmediatamente después, J.L. Lagrange (1 7 3 6
– 1 8 1 3
), todavı́a un joven profesor
en la Universidad de Turı́n, publica en 1 7 6 2 su
conocida obra sobre el “método
de variación”, pero que Euler denominará “cálculo de
variaciones”.
Habitualmente se reconoce que la teoŕıa de superficies
minimales comenzó
con el célebre artı́culo de Lagrange titulado
Essai d ’une nouvel le m ´ ethode pour
d ´ e te r mi n er l es ma xi ma et l e s m i n i ma d e s
f o r mu l e s i n t ́ egrales ind ´ efinies
(Ensayo
de u n n uevo m ́ etodo para determinar los m ´ a xi
m os y los m ı́n im os d e l a s f ́ o r mu l a s
d a d a s p or i n t eg r a l es i n d e fin i d a s, 1 7 6 2
) . Como un ejemplo de sus técnicas, La-
grange proponı́a el problema de encontrar la superficie de menor
área, en la
forma z = f x ; y
, que está limitada por una curva dada. Encontró que
una
condición necesaria para que la funciónf
fuese un mı́nimo del funcional área
consistı́a en quef
debı́a satisfacer la siguiente ecuación diferencial en
derivadas
parciales:
1 + f
2
y
f
x x
+ 2 f
x
f
y
f
x y
+ 1 + f
2
x
f
y y
= 0 ;
donde, como es habitual, los subı́ndices indican derivadas
parciales. Lagrange
señala que el plano es una solución trivial y que debe haber
una solución no
trivial de la ecuación. La ecuación anterior se suele
denominar ecuaci ´ o n d e L a -
grange o ecuaci ´ on d e
Euler-Lagrange , y sus soluciones se conocen con el nombre
de superficies minimales .
Es importante señalar que Lagrange nunca tuvo una actitud
benevolente ha-
cia la geometrı́a diferencial. En una carta a d’Alembert en1 7 7
2
, le comenta:
¿No le pa rece qu e la Ge om et rı́a Su blim e t ien d e a
ser u n poco d eca d en te?
Parece bastante probable que Lagrange trataba los problemas
geométricos única-
mente como ejemplos e ilustraciones sobre las aplicaciones que
podı́an tener los
métodos analı́ticos que habı́a descubierto.
La siguiente etapa importante en el desarrollo de la teorı́a de
las superficies
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minimales se debe a Gaspard Monge (1 7 4 6
– 1 8 1 8 ), que dedicó muchas de
sus
enerǵıas al estudio de problemas relativos al cálculo de
variaciones. El trabajo
básico de Monge en geometrı́a diferencial, que
generalizaba tanto sus propios
trabajos como los de otros matemáticos de finales del siglo
XVIII, es Appl ica-
t i on d ’ a n a l y s e ` a l a g ´ eometrie
(Aplicaciones d el an ´ a l is is a la geom et r ı́a ,1 8 0 9
) , queestá dedicado parcialmente al cálculo de
variaciones y a la teorı́a de superficies
minimales.
Al comienzo de su libro, Monge desarrolla la teorı́a
general de curvas y super-
ficies. En particular, analiza las propiedades de las dos
curvaturas principales
en un punto arbitrario de la superficie. Trabajando con las
radios de curvatura
demuestra que son iguales y opuestos en signo. Por tanto, la
curvatura media de
la superficie es cero y la superficie es minimal. En particular,
Monge señala la
siguiente propiedad: si está acotada por una curva cerrada,
entonces cualquier otra superficie acotada por la misma curva
tiene mayor área. Monge no pare-
ció interesado en el problema de encontrar ejemplos concretos
de superficies
minimales, aparte de los ya conocidos (catenoide y
helicoide).
Algunos tópicos de la teoŕıa de superficies minimales
fueron desarrollados
por J . B . Me u s n i e r, que fue discı́pulo de
Monge. Tenı́a sólo 22 años cuando pre-
senta, ante la Academia, su obra M ´ emoire sur
la courbe des surfaces (Memoria
sobre la curvatu ra de las superficies, 1 7 7 6
) , donde presta bastante atención a las
superficies minimales. En ella M e u s n i e r
encuentra numerosas propiedades de
los primeros ejemplos no triviales de superficies minimales
(catenoide y helicoi-
de). Meusnier también prueba, pero mediante procedimientos
geométricos y no
analı́ticos, que la ecuación de Lagrange es equivalente al
hecho que la curvatura
media H = 1 = 2 1
+
2
es idénticamente cero, donde 1
y 2
son las curvaturas
principales de la superficie.
Otro de los discı́pulos de Monge que también aportarı́a su
grano de arena a la
teorı́a de superficies minimales serı́a S . P o i s
s o n ( 1 7 8 1 – 1 8 4 0 ).
Como su maestro,
Poisson estuvo interesado en las aplicaciones delas matemáticas
a la mecánica y
la fı́sica. En particular, sus investigaciones en la teorı́a de
lı́quidos y efectos ca-pilares fue un ı́mpetu para el desarrollo de
la teorı́a matemática de la superficie
de separación entre dos medios. Sus contribuciones a la teorı́a
de las superfi-
cies minimales tampoco son desdeñables, y quizás habrá tiempo
de comentar
algunos resultados notables.
5
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2. L A ET AP A DE DE SA RR OL LO DE LAS SU PE RFI CIE
S MIN IM A -
LES
2.1. L OS EXPERIMENTOS F ́ISICOS DE
PLATEAU
Antes de poner algunos ejemplos matemáticos de
superficies minimales, vamos
a exponer algunos ejemplos y propiedades que pueden ser
demostrados en el
lenguaje de la geometrı́a visual. Cuando el profesor
belga J o s e p h P l at e a u ( 1 8 0 1
–
1 8 8 3 ) comenzó sus experimentos acerca del estudio de
la configuración de las
pelı́culas de jabón, difı́cilmente podı́a imaginar que sus
trabajos servirı́an para
desarrollar y potenciar una nueva rama de las matemáticas, y de
las ciencias
en general, que ha crecido sin parar hasta el presente, y que
conocemos, en su
honor, como el “problema de Plateau”.
El problema de encontrar una superficie de menor área con
frontera prefijada
fue denominada, parece ser, el “problema de Plateau” por el gran
matemático Le -
b e s g u e en su conocido trabajo In t ́
egrale, longueur, aire (Intregral, longitud, ´ area,
1 9 0 2 ) . Algunos de los experimentos
fı́sicos atribuidos a Plateau son extremada-
mente sencillos y, seguramente, serán conocidos por todos, pues
es dif́ıcil de
creer que haya alguien que en su niñez (o quizás en su
juventud, e incluso des-
pués) no haya nunca jugado a construir pompas de jabón. Es
bien conocido que
si introducimos un aro metálico en agua jabonosa y lo removemos
con cuidado,entonces se forma una pelı́cula de jabón cuyo contorno
es, precisamente, el aro.
El tamaño de la pelı́cula de jabón puede ser grande, pero
sabemos por propia
experiencia que cuanto mayor sea su tamaño más fácil es que,
por la acción de
la gravedad, se rompa. Por el contrario, si su tamaño es muy
pequeño, enton-
ces las fuerzas gravitatorias pueden omitirse a la hora de
realizar un estudio
detallado de estas superficies de jabón.
Las superficies minimales son objetos matemáticos que pueden
modelarse
bastante satisfactoriamente utilizando pompas de jabón.
Recı́procamente, mu-
chas propiedades profundas de las superficies minimales se nos
muestran de
forma visual en simples experimentos fı́sicos con las pelı́culas
de jabón.
En esta sección vamos a ilustrar, como ejemplos muy sencillos,
algunas no-
ciones, técnicas y resultados básicos relativos al problema de
Plateau. A pesar
de que podemos correr el riesgo de hacer una exposición poco
exacta o rigurosa,
vamos a omitir todo el aparato matemático necesario, y
nos vamos a centrar en
construcciones visuales.
En el siglo XVIII, Euler y
Lagrange ya dedicaron muchos esfuerzos al estu-
6
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dio de estas superficies. Posteriormente, Mon ge ,
Legendre , Am pé re , Bj örling,
R i e m a n n , Schwarz y Wei erst rass
encontrarı́an soluciones exactas para ciertos
contornos. La teoŕıa de las superficies minimales surgió del
estudio de dos clases
de pelı́culas de jabón: las pompas de jabón y las pelı́culas
de jabón propiamen-
te dichas. Las pompas de jabón se caracterizan porque han sido
construidas y mantenidas en equilibrio por la presión interna
del gas (aire) atrapado en su
interior. La forma esférica de la pompa se justifica
fácilmente por el hecho de
que esta forma garantiza la menor área de la superficie para un
volumen fijo, el
encerrado por la pompa.
Figure 1
Un método sencillo de construir pompas de jabón es el
siguiente. Se toma
un aro metálico, se sumerge en agua jabonosa hasta que se forme
una pelı́cula
de jabón. Entonces se saca del agua y se desplaza rápidamente
en el espacio,
siguiendo una dirección perpendicular al plano del aro. La
pelı́cula de jabón se
deforma por el efecto de la presión del aire, y varias pompas
de jabón pueden
formarse. Lógicamente, el mismo efecto se consigue si soplamos
la pelı́cula de
jabón que se ha formado en el aro (ası́ nos evitamos
tener que correr).
Figure 2
7
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Otra forma de obtener pelı́culas de jabón consiste en construir
contornos ce-
rrados de alambre (no necesariamente planos ni circulares),
sumergirlos en agua
jabonosa y extraerlos. Entonces se forma una pelı́cula de
jabón estable, que nor-
malmente no posee pompas de jabón en su estructura (las cuales
se forman por
la diferencia de presión). Esta superficie estable tiene el
alambre original comosu contorno o frontera. Este tipo de
pelı́culas de jabón son las más interesantes
matemáticamente, debido a que en numerosos problemas aplicados,
la superfi-
cie minimal está asociada a alguna frontera fija, como ocurre
por ejemplo en la
teorı́a de membranas.
2.2. EL PRINCIPIO F ́ISICO QUE HAY DETR ́ AS DE
LAS PEL ́ICULAS DE JABÓN
El principio fı́sico que hay detrás de la formación de las
pelı́culas de jabón, y que regulan su comportamiento y sus
propiedades tanto locales como globales,
es extremadamente simple: un sistema fı́sico conserva su
configuración si no
puede fácilmente alterarla para ocupar otra posición con menos
energı́a, es de-
cir, el p r in ci pio d e m ı́n im a en er gı́a . En
nuestro caso, la enerǵıa de la superficie
determinada por la pelı́cula de jabón, a veces descrita en
términos de la tensión
superficial del lı́quido, se origina por la existencia de
fuerzas atractoras entre
las moléculas y el desajuste o desequilibrio de estas fuerzas
sobre la frontera de
la superficie. La existencia de estas fuerzas desequilibradas
origina un curioso
efecto: la pelı́cula de jabón se transforma en una superficie
elástica que trata de minimizar su área y, por tanto,
minimizar la energı́a-tensión por unidad de
área. En este razonamiento despreciamos el efecto de la fuerza
de la gravedad
(en el caso de pompas y pelı́culas con frontera) y de la
presión del aire (en el caso
de pelı́culas sin frontera).
Consideremos con detalle las propiedades de la superficie del
lı́quido jabo-
noso, cuando añadimos jabón al agua. En la siguiente figura
representamos
esquemáticamente la superficie de separación entre dos medios
(materiales), el
agua y el aire.
8
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Figure 4
Las moléculas de agua se representan por pequeños cı́rculos
negros (algunas
de ellas estarán en el aire por efecto de la evaporación, pero
las despreciamos),
y las fechas dobles denotan las fuerzas mutuas de
atracción actuando sobre
moléculas polares de agua. Es claro que estas fuerzas son las
causantes de la
existencia de la tensión superficial en la superficie de
separación entre ambos
medios. Las propiedades de la superficie del lı́quido se forman
exactamente de
esta manera.
Figure 5
En contraste con las moléculas de agua, las moléculas de
jabón están cons-
tituidas por largas y estrechas cadenas de carbono con un grupo
final rico en
oxı́geno. Cuando estas moléculas son añadidas al agua, se
desplazan a la su-
perficie y se distribuyen homogéneamente. Mientras tanto, cada
molécula de
jabón de la superficie se orienta con su final no polar
hacia fuera. Al remover las
moléculas de agua en el lı́quido, las moléculas de jabón
disminuyen la tensión
superficial de la superficie de separación. Esta circunstancia
proporciona más
elasticidad a la superficie, que se manifiesta por ejemplo
cuando introducimos
9
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el aro de alambre en el lı́quido jabonoso, lo removemos y lo
sacamos inmediata-
mente. Se forma una pelı́cula de jabón cuyo contorno es el
alambre. La fuerza
gravitatoria limita el tamaño de la superficie minimal, y
cuando algunas par-
tes de la pelı́cula de jabón están muy distanciadas del
alambre, la pelı́cula de
jabón se destruye, ya que las fuerzas de tensión
superficial son insuficientespara mantener la pelı́cula en
equilibrio.
2.3. PROPIEDADES EXTREMALES DE LAS PEL ́ICULAS DE
JABÓN
Debido al proceso descrito anteriormente, un modelo matemático
que describa
una pelı́cula de jabón puede denominarse “superficie minimal”,
en el sentido
que es una superficie que tiene la menor área posible
(localmente) entre todas
las superficies con la misma frontera. Está bastante claro que
la forma de una superficie y sus propiedades están, en gran
medida, determinadas por la confi-
guración de su frontera.
El concepto de mı́nima área fue introducido, parece ser, por
Arquı́medes,
que no sólo observó que las lı́neas rectas minimizaban la
longitud entre dos
puntos, sino que los planos podı́an caracterizarse en términos
de minimizar la
superficie. Estas ideas aparecen de forma natural en nuestra
vida cotidiana,
por ejemplo cuando intentamos construir un tambor estirando la
piel. Esto
permite relacionar la tensión superficial con las propiedades
de las superficiesque localmente minimizan el área.
El siguiente éxito en el desarrollo de estas ideas (después de
un largo parón)
se debió a Boyle, que en 1 6 7 6 se mostró
interesado en la forma que adquiŕıan
las gotas de un lı́quido. Se fijó en que las gotas de lluvia
eran aproximadamente
esféricas y esto le dio una idea para imaginar un experimento
curioso. Para
estudiar el comportamiento de las gotas de agua durante un largo
tiempo y
evitar su destrucción, Boyle mezcló dos lı́quidos en un
recipiente: una solución
deK
2
C O
3
(un lı́quido denso y pesado, una solución concentrada de
carbonato
potásico) y alcohol (un lı́quido ligero). Cuando los lı́quidos
se dejan reposar, se
forma nı́tidamente una superficie de separación entre ambos
lı́quidos.
10
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Figure 7
Entonces una gota de un tercer lı́quido de densidad intermedia
entre los dos
lı́quidos anteriores e inmiscible con los otros dos lı́quidos se
introduce en el
recipiente y se coloca en la superficie de separación. La gota
se mantiene en
equilibrio, sumergiéndose en el alcohol y siendo tangente en un
punto a la su-
perficie deK
2
C O
3
. Este ĺıquido (por ejemplo, aceite) se ha escogido para
no
perturbar o modificar la superficie de separación y para que no
se deforme a lo
largo de la superficie de separación, como se indica en la
siguiente figura.
Figure 8
Sobre la superficie de separación se colocan gotas de distintos
tamaños, y
vamos observando que la forma de las gotas va cambiando
conforme vamos
aumentando el tamaño de las mismas. Van dejando de ser
esféricas y se van
achatando cada vez más debido a la fuerza de la gravedad;
ciertamente, como
hoy sabemos, la deformación de las gotas se produce siempre,
incluso cuando
el tamaño de las gotas es muy pequeño. Lo que ocurre es que
puede ser im-
perceptible al ojo humano. Sin embargo, para darnos cuenta de
esto es preciso
disponer de instrumentos de gran precisión, que
desafortunadamente no poseı́a
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Boyle. Por otra parte debemos recordar que las ideas acerca de
la necesidad de
que la forma de las gotas debı́a corresponder con superficies de
mı́nima energı́a
estaban en su niñez en el siglo XVII. Además, la forma
de una gota de agua real-
mente minimiza la energı́a superficial bajo la acción de la
fuerza de la gravedad,
la cual complica enormemente el tratamiento matemático.
En1 7 5 1
S e g n e r llegó a una planteamiento claro de
este hecho fı́sico y com-
prendió que, para un estudio riguroso de la tensión
superficial, era necesario
eliminar la influencia de la fuerza gravitatoria. Estudió las
gotas en caı́da libre y
las gotas situadas en un lı́quido de la misma densidad. Las
gotas y el lı́quido se
escogı́an para ser inmiscibles. Demostró que la esfera tenı́a
la menor área entre
todas las superficies cerradas acotando un volumen fijo. Parece
ser que Segner
fue el primero que comprendió el verdadero papel de la tensión
superficial en
todos estos procesos.
2.4. L A SUPE RFI CI E DE SEPARA CIÓN
Un paso importante para comprender la geometrı́a interior de las
superficies de
separación entre dos lı́quidos fue dado por Poisson en1 8 2 8
, cuando probó que
la superficie de separación (despreciando los efectos
producidos por la fuerza de
gravedad) tenı́a curvatura media constante.
Consideremos un puntoP
en la superficie y consideremos coordenadas car-
tesianasx
,y
en el plano tangente a la superficie enP
, y escojamos la coordenada
z en la dirección del normal de la superficie en dicho
punto. Entonces la super-
ficie puede ser localmente parametrizada por r
x ; y = x ; y ; f x ; y
, donde f x ; y
es una función diferenciable cuyo grafo es, precisamente, la
superficie.
Figure 9
12
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Entonces puede probarse que la curvatura media en P
viene dada por
H P =
@
2
f
@ x
2
+
@
2
f
@ y
2
= f
Para relacionar la curvatura media con la tensión superficial
es conveniente que
recordemos otra interpretación del operador laplaciano.
Sif x
1
; : : : ; x
n
una función diferenciable, definimos la r
-media def
como
sigue:
F
r
f x =
1
v o l S
r
Z
S
r
f
dondeS
r
es la esfera n , 1
-dimensional de radior
con centro el puntox
. En
otras palabras, hacemos la media de la función f a
lo largo de la esfera S r
.
Definimos ahora la desviación de f respecto de su
r -media:
r
f x = f x
, F
r
f x
y consideramos la función
g x = l i m
r ! 0
r
f x
Se demuestra que dicha función coincide, salvo un múltiplo,
con la laplaciano
de f , f x
.
Volvamos a analizar la curvatura media. EntoncesH
P = f
x x
+ f
y y
= f
puede interpretarse como la desviación del radio vector de la
superficie de su
media local en la dirección del normal. Supongamos que la
superficie es la frontera de separación entre dos medios y
que las fuerzas de atracción actúan
sobre puntos cercanos, como en el ejemplo de las moléculas de
agua que hemos
comentado anteriormente (podemos imaginar, para mayor claridad,
que estamos
trabajando con pelı́culas de jabón). Entonces la siguiente
cadena de igualdades
puede escribirse: la presión sobre la superficie en el punto
P coincide con la
proyección sobre la recta normal a la superficie enP
de la resultante de las
fuerzas atractivas locales entre los puntos cercanos
a P
, que a su vez coincide
(salvo un factor) con la desviación del radio vector de su
media local (desviación
en la dirección del normal). Por tanto, la presión en el
puntoP
coincide conuna cierta constante multiplicada por la
curvatura media de la superficie en ese
punto. Podemos escribir la igualdad
H = p
1
, p
2
;
donde p 1
y p 2
indican las presiones de los medios separados por la
superficie
entre ellos, y 1 = es la tensión
superficial. Por tanto, el resultado que anun-
ciábamos anteriormente se satisface: si una superficie es un
pompa de jabón, o
un sistema de pompas de jabón, o la frontera de separación
entre dos lı́quidos
de la misma densidad, etc., entonces suponiendo que la
superficie está en equi-
librio la presión en ambos lados de la superficie es una
función constante, es
13
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decir, no depende del punto. Por tanto, la curvatura media de la
superficie es
constante.
2.5. PEL ́ICULAS DE JABÓN DE CURVATURA CONSTANTE
Habiendo descubierto que las pelı́culas de jabón o “superficies
lı́quidas” son
superficies de curvatura constante, P o i s s o n se
planteó el problema de encontrar
una descripción completa de este tipo de superficies. Como el
problema de las
formas posibles de las gotas de un lı́quido, o pequeñas pompas,
no ha sido
todavı́a completamente resuelto, los investigadores se centraron
en el caso de las
superficies de curvatura media positiva. Es obvio que la esfera
euclı́dea estándar
pertenece a esa familia y que las pompas o gotas de lı́quidos
adaptan esta forma.
Sin embargo, permanecı́a sin resolver el problema de saber si
exist́ıan otrassuperficies cerradas de curvatura media
positiva.
Aunque nos puede parecer que los numerosos experimentos
fı́sicos con pom-
pas justifican que la esfera es la única superficie de
curvatura constante positiva
dentro de la familia de las superficies diferenciables cerradas,
una demostración
matemática de este hecho requiere algo más de esfuerzo.
Poisson demostró que en la familia de los ovaloides que se
aproximan a una
esfera y son superficies de revolución, la esfera es la única
superficie de curva-
tura media constante. Esta fue la única información
hasta 1 8 5 3
, cuando J e l le t
probó que entre las superficies estrelladas cerradas, la esfera
era la única que
poseı́a curvatura media constante positiva. Ya en nuestro siglo,
se ha demostra-
do que una superficie compacta, sin autointersecciones, con
curvatura media
constante, es una esfera usual.
Recordemos ahora los dos hechos que hemos obtenido: si una
pelı́cula de
jabón encierra un volumen cuya presión interior excede
la presión exterior,
entonces la superficie tienen curvatura media positiva; si, por
el contrario, la
pelı́cula de jabón no encierra un volumen, entonces no existen
diferencias de
presión a ambos lados de la pelı́cula, por lo que la curvatura
media es cero. Los
primeros experimentos fundamentales de Pl a t e a u
iban destinados a estudiar
las propiedades de las superficies de separación entre dos
lı́quidos. Los expe-
rimentos fueron realizados con dos lı́quidos de la misma
densidad; al sumergir
uno en el otro se producı́an gotas acotadas por superficies de
curvatura cons-
tante positiva. También fue posible construir pelı́culas de
jabón con frontera o
contorno. Estas pelı́culas podı́an ser descritas mediante las
siguientes propie-
dades equivalentes: (1) superficies de curvatura media cero; (2)
superficies que
minimizaban el área, es decir, superficies minimales, (3)
superficies cuyas cur-
14
-
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15/35
vaturas principales eran, en todo punto, iguales en valor
absoluto y opuestas en
signo.
15
-
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16/35
3. PROPIEDADES F ́ISIC AS Y TOPOL ́OGIC AS DE LAS S
UPERFI-
CIES MINIMALES
3.1. SUPERFICIES ESTABLES E INESTABLES
Incluso los más simples experimentos prueban que diferentes
superficies de
separación entre dos medios reaccionan de forma distinta frente
a la más le-
ve modificación o alteración. Algunas de ellas se oponen
a la destrucción y
se demuestran estables, otras por el contrario muestran
tendencias “suicidas”,
convirtiéndose en inestables. De la comparación y estudio de
ambas situaciones
se puede deducir un efecto importante, que puede ser visualmente
ilustrado a
través de una función escalar.
El estudio del comportamiento local de una función
diferenciable está fuer-
temente ligado al análisis de sus puntos crı́ticos, es decir,
aquellos puntos que
son ceros del vector gradiente. Estos puntos pueden ser de
varios tipos. Ima-
ginemos que tenemos una función f x ; y
de dos variables, entonces los puntos
crı́ticos pueden extremos, es decir, máximos o mı́nimos. Pero
existe un tercer
tipo de punto más interesante, son los llamados puntos de
silla, como el que se
muestra en la siguiente figura.
Punto de Silla
Este tipo de puntos está caracterizado por tener dos clases
especiales de di-
recciones: a lo largo de la dirección a , la
función es estrictamente creciente,
mientras que a lo largo de la dirección b , la
función es estrictamente decrecien-
te.
Una situación totalmente análoga sucede cuando consideramos
funcionales
definidos sobre un espacio de dimensión infinita. Tal espacio
(sin las formula-
16
-
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17/35
ciones precisas que son necesarias para definirlo con rigor) es
el conjunto de
todas las superficies en el espacio eucĺıdeo tridimensional.
Entonces el funcio-
n a l ´ area asocia a cada superficie su
área. Si la superficie (pelı́cula de jabón)
está en equilibrio, esto significa que, considerada la
superficie como un punto
del anterior espacio, entonces es un punto crı́tico del
funcional área. Igual queocurrı́a antes, el punto crı́tico puede
ser máximo, mı́nimo o un punto de silla.
Durante la realización de los experimentos con pelı́culas de
jabón descubri-
mos que los mı́nimos locales son puntos estables, es decir, se
oponen a las
pequeñas perturbaciones, regresando a la posición de
equilibrio original. En
el caso de los puntos de silla, las pelı́culas de jabón son
inestables y existen
perturbaciones, arbitrariamente pequeñas, que minimizan el
área y conducen a
una deformación espontánea de la superficie, que adquiere una
nueva configu-
ración correspondiente a una energı́a menor. Además, la nueva
configuraciónpuede ser distinta de la original, incluso desde el
punto de vista topológico. Co-
mo el espacio es de dimensión infinita, debemos entender que
existen infinitas
maneras, o infinitas direcciones, de perturbar nuestra
superficie.
3.2. L OS EXPERIMENTOS DE PLATEAU CON COLUMNAS DE
L ́IQUIDOS
Comentemos a continuación algunos de los experimentos que
realizó Plateau.
Entre dos discos metálicos del mismo radio, cuyos centros se
encuentran sobrela recta perpendicular a los discos, Plateau
obtenı́a una columna de lı́quido que
adquirı́a la forma de un cilindro circular recto.
Figure 11
Como la frontera de un cilindro es una superficie de curvatura
media cons-
tante, entonces teóricamente dicha columna de lı́quido es un
punto crı́tico en
el espacio de “todas las superficies”. En este caso, no estamos
considerando
17
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superficies cerradas, compactas y diferenciables de curvatura
media constan-
te positiva, pues entonces el único punto crı́tico serı́a la
esfera. Sabemos que
un cilindro no es una superficie compacta (ya que puede ser
extendida indefi-
nidamente en ambas direcciones). Sin embargo, si consideramos un
trozo de
cilindro, acotado por dos discos, entonces se convierte en una
superficie dife-renciable cerrada con frontera.
Las propiedades de una columna cilı́ndrica de lı́quido dependen,
esencial-
mente, de su altura. En experimentos fı́sicos reales, es fácil
formar una columna
de lı́quido que no sea muy alta. Sin embargo, si vamos separando
los discos,
entonces la columna acaba por romperse. Analicemos detenidamente
el proceso
que ocurre cuando la columna se destruye al separar los discos.
La columna
cilı́ndrica es estable si la altura no supera tres veces el
diámetro del disco. Sin
embargo, cuando la altura se aproxima a dicho valor por valores
superiores (por ejemplo,
3
0
1
veces el diámetro) entonces la columna comienza a
destruirse. Si
la altura de la columna va creciendo lenta y cuidadosamente,
entonces el com-
portamiento de la columna alrededor del punto crı́tico puede ser
visualmente
observado. El proceso de reestructuración de la columna se
representa en la
siguiente figura.
Figure 12
Por tanto, los cilindros bajos son estables y los cilindros
altos son inestables,
siendo la altura crı́tica tres veces, aproximadamente, el
diámetro de los discos
frontera. Obviamente, para poder realizar estos experimentos
satisfactoriamen-
te, el diámetro de los discos tiene que ser muy pequeño, para
minimizar el efecto
de la fuerza de la gravedad, para que ésta pueda ser compensada
por las fuerzas
de tensión superficial.
El proceso de descomposición de una columna inestable, es
decir, su rees-
tructuración cualitativa, puede ser también visualizado
mediante el siguiente
18
-
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19/35
experimento, que ya se realizaba en el siglo XVII.
Consideremos un aro, es decir,
un alambre con forma de circunferencia plana, lo sumergimos en
agua jabonosa
y construimos un disco de jabón. Entonces movemos el
disco ortogonalmente a
su plano, como se indica en la siguiente figura.
Figure 13
Bajo el efecto de suministrar aire a la pelı́cula de jabón, el
disco se deforma y
tiende a transformarse en un cilindro circular, al menos en los
puntos cercanos
al aro). Sin embargo, la forma cilı́ndrica desaparece
rápidamente, se estrecha
y comienzan a aparecer pompas (esféricas) de jabón. Como
ya hemos indicado
anteriormente, el mismo efecto se consigue si fijamos el aro y
comenzamos a soplar perpendicularmente al disco jabonoso.
Una columna lı́quida de forma cilı́ndrica fue el primer ejemplo
de superficie
crı́tica estable que encontró Plateau. Entonces B e e r
conjeturó que todas las su-
perficies de curvatura media constante eran puntos crı́ticos
(mı́nimos locales,
concretamente) del funcional área. Sin embargo, el propio
Plateau demostró que
dicha conjetura era incorrecta. Consideró un cilindro de altura
mayor que el
crı́tico. Desde un punto de vista matemático, tal cilindro
sigue siendo un punto
crı́tico (superficie) para el funcional área, dentro del
conjunto de todas las su-
perficies. Plateau demostró, analı́ticamente, que tal cilindro
tiene la menor área
posible dentro de todas las deformaciones del cilindro que
mantienen constante
el área de las secciones horizontales, es decir, estas
perturbaciones son aquellas
en las que el lı́quido no se desplaza verticalmente. Sólo se
permiten los desplaza-
mientos horizontales del lı́quido que dejan inalteradas las
áreas de las secciones
horizontales.
Recordemos que si la altura de un cilindro es menor que la
crı́tica, entonces
cualquier perturbación incrementa el área; es decir, en este
caso la superficie
original es un mı́nimo local para el funcional área. Sin
embargo, si la altura
19
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20/35
del cilindro es mayor que el crı́tico, entonces el cilindro es
un punto de silla,
en el espacio de todas las superficies, por lo que podemos
encontrar infinitas
direcciones tales que las perturbaciones del cilindro en esas
direcciones hacen
incrementar el área.
Figure 14
Plateau demostró experimentalmente que una superficie crı́tica
se comporta
como un punto de silla cuando la altura del cilindro es superior
a tres veces
el diámetro de los discos frontera. Plateau construyó una
columna cilı́ndrica
de lı́quido entre dos discos y comenzó a deformar verticalmente
la superficie,
manteniendo la simetrı́a de la superficie. A continuación,
Plateau comenzó a perturbar la columna de lı́quido con una
varita delgada de vidrio, conservando
el área de las secciones horizontales. La columna volvı́a a su
posición original
casi instantáneamente, mientras continuaba deformando el
cilindro en dirección
vertical. Esto demuestra que la superficie es estable para
per mutaciones del tipo
descrito.
Figure 15
20
-
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21/35
Sin embargo, las perturbaciones verticales tienen otras
consecuencias más
relevantes. Es interesante hacer notar que la descomposición de
una larga co-
lumna de lı́quido sucede de manera ondulatoria, como podemos
comprobar se-
guidamente. Tomemos un hilo delgado recubierto por una capa
cilı́ndrica de
lı́quido, de tal forma que el hilo sea el eje del cilindro.
Comenzamos a ondular elcilindro y entonces cada onda se transforma
en una bola de lı́quido sobre el hilo
original. Es claro que este fenómeno es el resultado de las
fuerzas de tensión
superficial y la inestabilidad de largos cilindros de lı́quido.
Es cierto que el razo-
namiento que acabamos de presentar es simplista, quizás en
exceso, ya que las
esferas que aparecen en la última etapa del proceso nunca
surgirán en realidad.
El proceso fue estudiado meticulosamente, debido al interés que
tenı́a en otras
ciencias (como la ingenierı́a eléctrica), y era importante
saber cómo estabilizar
un cable cilı́ndrico muy largo con el alambre situado en su eje
de simetrı́a.
21
-
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4. A LGUNAS SUPERFICIES MINIMALES
4.1. EL CATENOIDE
El catenoide es posiblemente la superficie mejor conocida de
todas las minima-
les. Puede caracterizarse como la única superficie minimal,
aparte del plano,
que es invariante bajo rotaciones alrededor de un eje; en otras
palabras, es la
única superficie minimal de revolución (salvo el plano,
naturalmente). Su curva
modelo es una catenaria, esto es, una curva obtenida al colgar
una cuerda de
dos puntos. Como superficie minimal fue introducida
por M e u s n i e r, aunque
probablemente era conocida anteriormente. En la transparencia se
indican las
lı́neas de curvatura (paralelos y meridianos) y las lı́neas
asintóticas (las curvas
diagonales).
Catenoide
Una representación fı́sica del catenoide puede obtenerse
considerando dos
aros metálicos, situados en planos paralelos, sumergirlos en
agua jabonosa y,
siendo sumamente cuidadoso, ir separándolos poco a poco.
El catenoide puede extenderse para formar una superficie
completa. Como
una superficie completa, su aplicación de Gauss cubre
completamente la esfera
excepto dos puntos antı́podas.
Si observamos cuidadosa y detenidamente la extensión de un
catenoide para
construir una superficie completa, observamos que el catenoide
tiene a aplanar-
se muy rápidamente, de forma que visto de lejos puede dar la
impresión de tener
dos planos paralelos. Es decir, visto en el infinito, casi
podŕıamos decir que un
catenoide es un plano (de multiplicidad dos, si se quiere). Se
ha demostrado
que este comportamiento es bastante general: toda superficie
minimal completa
22
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(con curvatura total finita) es, vista desde el infinito, un
número finito de planos,
cada uno de ellos de multiplicidad finita.
4.2. EL HELICOIDE
Junto con el catenoide, el helicoide fue encontrado como
superficie minimal por
Meusnier. El helicoide se genera mediante una recta que se
desplaza circular-
mente alrededor de un eje; visualmente, podemos pensar que es
una escalera
de caracol sin peldaños y con una anchura infinita.
Matemáticamente, cada
punto de la recta se mueve describiendo una hélice sobre un
cilindro circular
cuyo eje de revolución es el eje dado. En la transparencia
podemos ver el eje,
varias posiciones de la lı́nea recta generatriz y algunas
de las hélices genera-
dos por algunos puntos. Estas son las lı́neas de curvatura del
helicoide. En la transparencia también podemos ver algunas
curvas asintóticas.
Helicoide
En 1 8 4 2 , E. Catalan demostró en
su trabajo S u r l es su r f a ces r ́ egl´ ees
dont
l ’a i re est un m inimu n (Sobre las su perficies regladas que
minimizan el ´ area) que el
helicoide era la única superficie minimal, aparte del plano,
que estaba reglada,
es decir, que por cada uno de sus puntos pasa una lı́nea recta
enteramente
contenida en la superficie.
4.3. R ELACIÓN ENTRE EL CATENOIDE Y EL HELICOIDE
El catenoide y el helicoide son superficies que están
ı́ntimamente relacionadas,
lo cual puede detectarse analizando sus parametrizaciones. Las
ecuaciones pa-
ramétricas de un catenoide (menos un meridiano) son:
x u ; v = a c o s h
v c o s u ; a c o s h
v s e n u ; a v
23
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y las del helicoide son:
y u ; v = a s e n h
v c o s u ; a s e n h
v s e n u ; a u
donde, en ambos casos, 0 u 2
y , 1 v 1 . Debido a las relaciones
que
existen entre las componentes de ambas parametrizaciones, se
dice quex
ey
son sup erficies min imales conjugad as .
Una propiedad muy interesante de las superficies minimales
conjugadas es la
siguiente. Si x e y son dos de tales
superficies, entonces z
= c o s x + s e n y ,
para
todo
, es una superficie minimal isométrica tanto
a x
como a y
. La familia z
se
denomina la fami l ia asociada de
x (o de y ). Por tanto, deducimos que el
helicoide
es la superficie minimal conjugada del catenoide y que existe
una deformación
isométrica, a través de superficies minimales, que transforma
el helicoide en el
catenoide, excepto un meridiano (véase la transparencia).
Fig. 3.32
4.4. L A SUPE RFI CI E DE ENNEPER
Desde un punto de vista, ésta es la superficie minimal más
simple. Su repre-
sentación paramétrica viene dada por:
x u ; v = u ,
u
3
3
+ u v
2
; v ,
v
3
3
+ v u
2
; u
2
, v
2
; u ; v 2 R
2
que proporciona una superficie algebraica (recordemos que el
catenoide y el
helicoide no lo son), definida en todo el plano. Observemos que
realizamos una
rotación de = 2 alrededor del eje z
(un eje vertical) seguido de una reflexión en el
plano x y , la superficie permanece invariante.
El modelo descrito en la transparencia muestra algunas lı́neas
de curvatura
que forman una red rectangular sobre la superficie, y un número
menor de
lı́neas asintóticas.
24
-
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Superficie Enneper
La superficie tiene dos curvas de autointersección que están
en los planos x z
e y z , donde cada curva está compuesta por los
puntos de autointersección de
una familia de lı́neas de curvatura. La intersección de la
superficie con el plano
x y
es un par de lı́neas rectas que pasan por el origen, las cuales
son lı́neas
asintóticas de la superficie.
La superficie de Enneper fue descubierta en1 8 6 4
. Darboux proporciona la
siguiente descripción. Sean dos parábolas confocales en planos
ortogonales,
y sea un par de puntos, uno en cada parábola, unidos por
un segmento de
lı́nea recta. Por el punto medio del segmento trazamos el plano
perpendicular.
Obtenemos una familia biparamétrica de planos cuya envolvente
es la superficiede Enneper.
Puede probarse que la superficie conjugada de la superficie de
Enneper se
obtiene mediante una rotación de = 4
de la superficie original, de forma que la
familia asociada a la superficie de Enneper se obtiene a partir
de la superficie
original mediante una rotación continua.
4.5. L A SUPE RFI CI E DE C ATAL AN
Esta superficie fue descubierta por Catalan en1 8 5 5
, y tiene la siguiente parame-
trización:
x ' ; v = a s e n 2
' , 2 a ' +
1
2
a v
2
c o s 2 ' ; , a c o s 2 '
,
1
2
a v
2
c o s 2 ' ; 2 a v s e n '
La aplicación x está definida en el plano con
coordenadas polares r ; ' , y
v =
, r + 1 = r
.
Las curvas ' = constante son parábolas que
proporcionan una de las familias
de lı́neas de curvatura, y que aparecen en la transparencia. Los
vértices de
25
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tales parábolas se encuentran sobre un cicloide y el plano de
cada parábola es
perpendicular al plano del cicloide.
Superficie Catalan
Las curvasv
= constante constituyen la otra familia de las lı́neas de
curvatu-
ra, que también aparecen dibujadas en la transparencia.
Para ' = n ( n = 0 ;
1 ; 2 ; : : : ) la parábola
degenera en una lı́nea recta do-
ble. La superficie de Catalan es una superficie periódica
y las distintas partes
congruentes están unidas por las lı́neas anteriores.
Las esquinas del cicloide son puntos singulares de la
superficie, y puede ser fácilmente comprobado que son los
únicos puntos singulares. En consecuencia,
la superficie de Catalan no puede ser extendida a una superficie
completa.
La superficie de Catalan puede ser caracterizada como la
superficie minimal
que contiene un cicloide como lı́nea geodésica, y pertenece a
una familia mayor,
encontrada por Enneper, de superficies minimales que contienen
una familia
uniparamétrica de parábolas.
4.6. EL ONDULOIDE
En comparación con la teorı́a de las superficies minimales, el
estudio de las su-
perficies con curvatura media constante no nula está todavı́a
en su “infancia”.
Una de las razones de este retraso parece ser -en contraste con
el caso mini-
mal donde la aplicación de Gauss es holomorfa- que la
aplicación de Gauss es
armónica, es decir, el laplaciano N
del vector unitario normalN
de la superficie
es paralelo a N
.
Otra razón, quizás muy relacionada con la anterior, es que se
conocen muy
26
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pocos ejemplos de superficies con curvatura media constante no
nula. Entre
ellos, los más importantes son, sin ninguna duda, aquellos que
son invariantes
por rotaciones. Estos ejemplos fueron encontrados
por D e l a n u y en1 8 4 1
, e inclu-
yen el plano, el catenoide (ambos minimales), la esfera,
el cilindro, el onduloide
y el nodoide.
Onduloide
La curva que genera el onduloide puede obtenerse como la
trayectoria de un
foco de una elipse que se enrolla a lo largo del eje de
rotación. De hecho, es-
ta construcción es bastante general, y reemplazando la elipse
por alguna otra
cónica (posiblemente degenerada), podemos obtener todas las
demás curvas mo-delo.
27
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5. R EALIZACIONES F ́ISICAS DE SUPERFICIES
MINIMALES
5.1. L A REALIZ AC IÓN F ́ISICA DE UN
HELICOIDE
En 1 8 4 2 Catalan probó que la única superficie
completa y reglada de curvatura
media cero era, aparte del plano, el helicoide. Un helicoide se
puede obtener
como la composición de dos movimientos de una lı́nea recta: un
movimiento
traslacional con velocidad uniforme y otro rotatorio con
velocidad angular uni-
forme en el plano ortogonal al vector de traslación.
Fig. 17
En otras palabras, se considera una lı́nea recta que intersecta
a otra lı́nea
recta perpendicularmente, y se desplaza uniformemente sobre la
primera con
una velocidad angular constante. Obviamente, esta superficie no
es compacta.
Si nos restringimos solamente a un segmento, en lugar de
considerar toda la
lı́nea, nos aparece la siguiente figura.
Fig. 18
28
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Plateau construyó “una mitad” del helicoide, tomando una
hélice de alambre
alrededor de una lı́nea recta:
Fig. 19,20
Sin embargo, la construcción de un helicoide con una pelı́cula
de jabón encie-
rra numerosas dificultades técnicas. Obviamente, un helicoide
completo puede
obtener pegando dos mitades, dos réplicas, como las que
aparecen en la figura
previa. Lógicamente, estamos suponiendo que los dos ejes de
simetrı́a van a
poder superponerse perfectamente en un único eje, para que el
helicoide esté
perfectamente construido. El eje vertical estabiliza la
pelı́cula de jabón, ya que
si se elimina y sólo nos quedamos con las dos hélices de
contorno, entonces, en
el caso en que los “saltos” de las hélices no sean grandes,
entonces el helicoide
se transforma en otra superficie distinta:
Fig. 21
Es claro que esta superficie no es reglada, es decir, no está
construida me-
diante segmentos de lı́neas rectas. Los intentos de construir un
trozo de un
helicoide recto como una pelı́cula de jabón modelada sobre un
alambre cerrado,
utilizando dos hélices coaxiales con el mismo salto,
fracasan.
29
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La diferencia esencial entre el helicoide recto y las
superficies encontradas
anteriormente se muestra claramente aquı́. El hecho es que el
helicoide es una
superficie no compacta que existe (desde el punto de vista
matemático) con in-
dependencia de cualquier contorno o frontera. Como se comprueba
en experi-
mentos, es inestable para pequeños valor del salto.
Si nos restringimos y pensamos en construir helicoides a partir
de hélices con
un salto suficientemente grande, entonces la construcción de
tal superficie no
es difı́cil. Para conseguirlo, necesitamos un contorno
construido con dos hélices
coaxiales, que con un salto adecuado permiten construir el
helicoide.
Fig. 22
Pero, ¿cómo podemos estar seguros de que esta superficie ası́
construida es
reglada? Podemos realizar la siguiente demostración visual. Es
claro que el
helicoide de la Fig. 22 se ha obtenido a partir de la superficie
minimal de la
Fig. 21 alargando el salto de las hélices involucradas (lo que
conlleva que dichas
hélices se acerquen más al eje). Analicemos detenidamente la
deformaciónh
que
se produce al aumentar el salto de las hélices.
Fig. 23
30
-
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31/35
Esta parte de la pelı́cula de jabón se fija en nuestra retina
como un triángulo
curviĺıneo, que va decreciendo conforme el salto de las
espirales se va haciendo
más grande. En un momento determinado, el triángulo desaparece
y queda
reducido a un punto, y obtenemos la figura 22. Como la
proyección (en nuestra
retina) de la pelı́cula de jabón es como aparece en la figura
23, es claro que entredos puntos opuestos hay una lı́nea recta
enteramente contenida en la superficie,
ya que en los puntos donde visualmente se cortan las
hélices, nuestra retina sólo
capta ese punto.
5.2. L A REALIZ AC IÓN F ́ISICA DE UN
CATENOIDE
Consideremos una catenaria, es decir, la forma que adopta un
cable que cuelga
de dos puntos, y que tiene una longitud mayor que la distancia
entre dichospuntos.
catenaria
Es fácil ver que todas las catenarias y, por tanto, todos los
catenoides, son
equivalentes, en el sentido de que pueden transformarse unos en
otros por un
movimiento del espacio tridimensional y un cambio de escala. En
este sentido,las catenarias nos recuerdan a las parábolas, que
también son equivalentes con
respecto a movimientos en el plano y cambios de escala (en
contraste con las
hipérbolas y elipses, en que no ocurre esto).
Un catenoide se obtiene al rotar la catenaria alrededor de una
lı́nea en su
mismo plano, pero sólo cuando esta lı́nea se encuentra a una
cierta distancia
de la catenaria. Si la lı́nea recta que nos hace el papel de eje
de rotación es otra
distinta, entonces la superficie que obtenemos no es minimal.
Ası́, por ejemplo,
si la catenaria casi toca el eje de revolución (digamos el eje
O X ), entonces el
punto más bajo describe una circunferencia de radio muy
pequeño. Por tanto,
31
-
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32/35
uno de los radios de curvatura es muy pequeño, y el otro es muy
grande, de
modo que la suma de ambos de podrá ser cero.
Consideremos la dependencia de la estructura del catenoide
respecto del ta-
maño de su frontera. Por simplicidad, supongamos que partimos
de dos cir-cunferencias coaxiales del mismo radio r , y
sea h la distancia entre los planos
paralelos que contienen las circunferencias (los aros).
Fig. 25
Como la curvatura media del catenoide es igual a cero, el radio
de curvatura
(es decir, el radio del cı́rculo osculador en el vértice de la
catenaria, que coincide
con el punto más cercano al eje de rotación) coincide con el
radio de la circun-ferencia descrita por el vértice de la
catenaria cuando se rota alrededor del eje,
digamos .
Por tanto, cuanto menor es
, mayor debe ser la curvatura de la catenaria en
el vértice. El parámetro varı́a en un intervalo
0 ; + 1 .
Si r
, entonces no puede construirse obviamente una superficie
mini-
mal. En la figura 26 representamos, con una lı́nea gruesa, la
sección del
catenoide por un plano vertical pasando por el eje de
simetrı́a.
Cuando = r
, entoncesh = 0
, y obtenemos los dos cı́rculos.
Cuando r
, entonces la distancia h
crece, los discos se separan y surge
una superficie minimal. Conforme
ve decreciendo, el valor deh
va cre-
ciendo, hasta llegar a un máximoh
m a x
, a partir del cual vuelve a decrecer.
Conforme tiende a cero, h tiende
también a cero, y la catenaria se va
aproximando al eje. El valor máximo es, aproximadamente 4
= 3 r
.
Cuando la distancia h entre las dos
circunferencia excede el valor h m a x
, entonces
el catenoide desaparece, y la superficie minimal vuelve a
transformarse en los
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dos discos frontera. Esto muestra el paso de una solución de la
ecuación de
las superficies minimales a otra cuando entran en escena cambios
topológicos
esenciales. En la siguiente figura mostramos varias posiciones
consecutivas de
la pelı́cula de jabón.
Fig. 27
Un hecho curioso e importante merece ser destacado: Para cada
valor deh
,
entre cero y h
m a x
, existen dos catenoides posibles: el interior y el el
exterior. Para
valores pequeños, los catenoides son claramente
distinguibles; sin embargo,
conforme h va creciendo, los catenoides tienden a
fundirse. En consecuencia,
para cada valor h
,0 h h
m a x
, existen tres pelı́culas de jabón asociadas a
la misma frontera: dos catenoides y un par de discos.
Plateau conjeturó que el interior era inestable, en contraste
con el exterior y
los dos discos, pero no pudo probarlo. Evidentemente, no es
posible construir
en la práctica el catenoide interior. No obstante, se ha podido
probar, eso sı́,
teóricamente, que Plateau llevaba razón: el catenoide interior
es una superficie
inestable.
5.3. L AS SU PERFI CI ES MINI MA LE S EN LA NATU RA
LE ZA
Ya a principios del siglo XVIII era conocido
que muchos problemas concretos de
fı́sica, quı́mica, biologı́a, etc. se reducı́an al análisis de
superficies minimales.
Veamos un ejemplo extraı́do de la biologı́a.
Las pelı́culas minimales aparecen profusamente en la naturaleza
como las
superficies más económicas que constituyen los esqueletos de
organismos vi-
vos. El ejemplo más efectivo nos lo proporciona los
radiolarian, pequeñı́simos
animales marinos con las más variadas y exóticas formas.
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Aparentemente, D.A.W. Tho m ps on fue el
primero en darse cuenta del hecho
que la tensión superficial jugaba un papel esencial en la
configuración de es-
tos seres vivos, en su libro On Grow th and Form .
Los radiolarian son pequeñas
células de protoplasma con unas formas similares a las pompas
de jabón. Como
estos organismos son muy complejos, las superficies minimales
que modelan suestructura tienen muchos puntos y caras singulares,
en los cuales se concen-
tra la mayorı́a de su masa corporal. Esta concentración en los
puntos y caras
singulares de las pelı́culas de jabón es claramente
observable.
El lı́quido fluye libremente desde la pelı́cula de jabón hasta
las caras y aristas,
donde el lı́quido se ralentiza y concentra, haciendo visible la
superficie minimal.
El mismo proceso ocurre en los radiolarians. La concentración
de lı́quido en las
aristas y caras conduce a la formación de partı́culas sólidas
que van formando
gradualmente el esqueleto del animal. Después de la muerte del
animal, la masa corporal desaparece, se descompone, y un
pequeño pero sólido esqueleto
permanece. En la figura 44 mostramos tres esqueletos de
radiolarians.
Fig. 44
El dibujo está tomado del libro de E. Haeckel
totulado Report on the Scientifi-
cResults of the Voy age of th e H MS Chal lenger du ring th e
Years 1 8 7 3 – 1 8 7 6 .
Se muestran también tres superficies minimales (con las
pelı́culas de jabón)
que están construidas sobre tres poliedros básicos: tetraedro,
un cubo y un
prisma. La similitud entre las formas de los esqueletos de los
radiolarians y
estas pelı́culas jabón es bastante evidente. Hay radiolarins
más complicados,
como los que se muestran en la siguiente figura.
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Fig. 45
