Universidad Pontificia Bolivariana. Guette Yuneired, Guerra Wenceslao, Bolaños Karol, Rojas Juan PabloEcuación de Trasmisión de calor en aletas.

Ecuación diferencial de transmisión de calor en una aleta circular delgada.

Bolaños Karol Tatiana, Guerra Wenceslao, Guette Yuneired, Rojas Juan PabloFacultad de Ingeniería

Curso de Ecuaciones DiferencialesUniversidad Pontifica Bolivariana.

Abstract— this paper presents the solution of the differential equation for heat transfer in a thin circular fin inside of a tube as an example of what happens in a heat exchanger. The solution of this equation is

performed By Bessel's Special Functions Within this solution; we apply the Newton’s law of cooling, and the Fourier equation. Also mention some of the engineering applications and their importance within the

engineering industry.

Resumen—Este documento presenta la solución de la ecuación diferencial de transmisión de calor en una aleta circular que se encuentra dentro de un tubo como ejemplo de lo que sucede en un intercambiador de calor. La solución de esta ecuación se realiza mediante las funciones especiales de Bessel. Dentro de dicha solución, se aplica la ley de enfriamiento de Newton, y la ecuación de Fourier. Adicionalmente se nombran algunas de las aplicaciones a nivel ingenieril y su importancia dentro de la industria. Finalmente se muestra un análisis detallado de resultados a través del uso de gráficas, y tablas.

Palabras claves— Transferencia de calor, aleta circular, Balance de energía, funciones especiales de Bessel.

I. INTRODUCCIÓN

A causa de la necesidad a la cual se enfrenta el ingeniero de dar respuesta a problemas térmicos, basándose en el uso de las leyes físicas para buscar la optimización de procesos y diseño de

productos más eficientes, se ha apropiado de la termodinámica y sus principios como herramientas indispensables para el desarrollo de su labor.

Tal es el caso del uso de superficies extendidas, comúnmente llamadas aletas, con el fin de aumentar la transferencia de calor entre un objeto y su entorno. Debido al alto porcentaje de incremento de la transferencia de calor y al poco costo de su producción, su uso industrialmente hablando es amplio, sobre todo en intercambiadores de calor. Una superficie extendida (también conocida como aleta), es un sistema que combina 2 métodos de transferencia de calor la conducción y la convección. Estas superficies son normalmente utilizadas para mejorar la transferencia de calor al incrementar el área de convección (y radiación).

A menudo las superficies extendidas circulares delgadas son encontradas en tubos con el objetivo de aumentar la transferencia de calor de estos.

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Debido a que la resistencia térmica es convectiva, por medio de la adición de aletas se intenta disminuir la resistencia al flujo de calor por aumento de área de superficie. La temperatura en el área de superficie adicional no es igual a la temperatura presente en el tubo sin aleta, debido a la disminución de temperatura en esta que se da por conducción, radialmente a lo largo de la superficie extendida.

El uso de aletas en la ingeniería es muy importante; entre sus aplicaciones en problemas de transmisión de calor se puede encontrar desde radiadores de automóviles o equipos de aire acondicionado, hasta los elementos de combustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de absorción y disipación de energía en vehículos espaciales, asimismo se pueden encontrar presentes en equipos de refrigeración y calentamiento en la industria química, etc.

En este trabajo se presenta un análisis detallado de la solución de la ecuación diferencial de transmisión de calor en una aleta circular delgada. Adicionalmente se describe la obtención de la ecuación y su análisis con sus posibles métodos de solución, por otro lado se justifica el método de solución analítico implementado para su solución y finalmente se muestran los resultados con su respectivo análisis.

II. MARCO TEÓRICO

El término de superficie extendida se usa normalmente con referencia a un sólido que experimenta transferencia de calor por conducción dentro de sus límites, así como transferencia de calor por convección y/o radiación entre sus límites y alrededores

Existen varios tipos de aletas, los cuales dependen en gran medida de la forma del sólido al que son adicionados y de la aplicación concreta. Comercialmente son de alta demanda las aletas de sección transversal y longitudinal.

En este artículo se analizara el funcionamiento de una aleta circular de espesor constante

principalmente analizando su funcionalidad en intercambiadores de calor. La expresión que

modela dicho fenómeno esta dada por la ecuación 0.

d2tdr 2 +

1r

dtdr

−2 hkδ

t=2hkδ

t∞(0)

Este problema es considerado un problema de valor en la frontera basado en una aleta de espesor uniforme (δ) con radio interior (ri) y

radio exterior (r0) como se muestra en la

Figura1.0. La temperatura en la raíz de la aleta (t i

) y la temperatura ambiente (T ∞). Donde se desprecia la pérdida de calor del final al radio exterior (r0). Se considera el calor en estado estacionario del proceso de transferencia, como se observa en la Figura 1.0.

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A continuación se mostrará la deducción de la ecuación 0, a partir de los enunciados de la ley de enfriamiento de Newton y la ley de Fourier.

- Ley De Fourier (Conducción de calor): La conducción térmica está determinada por esta ley, la cual establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada, es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección.

d QX

dt=−kA

dTdx

- Ley de enfriamiento de Newton: Esta ley establece que cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección o radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

dTdt

=−k (T−T ∞)

- ECUACIÓN GENERAL

Dada la relación que expresa el intercambio de calor por convección de un sólido a un fluido:

Q=hA ∆ T 1.0

Sea una superficie extendida, de geometría cualquiera, tal y como la presentada en la Figura 1.0: en la que se cumplen las siguientes condiciones iniciales:

-Conductividad térmica constante K.

-Generación interna de calor nula (g=0)

-Coeficiente de película h uniforme en toda la superficie de la aleta.

Adicionalmente consideremos el calor en estado estacionario, proceso de transferencia en una aleta circular como se muestra en la figura 1.0. La condición de estado estacionario sin variación en la temperatura axial de la aleta, permite realizar un sencillo balance de energía en la región sombreada de la aleta. De lo cual se obtiene:

qr−qr+∆r−qc=0 1.1

Calor que entra y sale por conducción: qr, qr + ∆r.

La ecuación anterior establece que la diferencia entre el calor que entra y sale de la aleta por conducción debe coincidir con el calor disipado por convección hacia el fluido circundante. Lo cual expresa un equilibrio entra la energía que se libera por conducción y por convección respectivamente.

La ley de Fourier establece el término de la conducción, de igual forma la ley de enfriamiento de Newton explica el componente de convección. De la siguiente manera:

−k A rdTdr [+k A r

dTdr ]−h Ac (T−T ∞ )=0 1.2

Donde se define el área de transferencia de calor por conducción y el área de trasferencia de calor por convección como Ar y Ac, respectivamente están dadas por:

Ar=2πrδ Y Ac=2 π [ [(r+∆ r )]2−r2 ] 1.3

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Luego se sustituye la expresión anterior (1.3) en la ecuación 1.2 y se divide por ∆r, obteniendo:

k 2πrδdTdr [−k 2 πrδ

dTdr ]−2 π [2 r+∆ r ] h (T−T ∞ )=0

∆r

Tomando el limite ∆r 0

ddr [k 2πrδ

dTdr ]−4 πrh (T−T ∞ )=0 2.0

Para obtener la forma final, se deben resolver las operaciones expresadas en la ecuación 2.0, tomando k y δ como constantes.

rddr

dTdr

+ dTdr

−2 hkδ

r (T−T ∞ )=0 2.1

Al dividir 2.1 por r obtenemos,

d2Tdr2 + 1

rdtdr

−2hkδ

(T−T ∞ )=02.2

Esta ecuación representa el equilibrio de energía en el estado estacionario para el sistema descrito en la figura 1.1. Esta ecuación rige el proceso de transferencia de calor en la aleta y es una ecuación diferencial de segundo orden, con coeficientes variables. El método a resolver la ecuación anterior, es utilizando las funciones modificadas de Bessel.

Las funciones especiales de Bessel surgen en muchas aplicaciones de ingeniería, tales como la transferencia de calor, vibraciones, análisis de esfuerzos y la mecánica de fluidos. Consideremos ahora un ejemplo particular en la transferencia de calor que implica el análisis de las aletas circulares que se utilizan comúnmente para enfriar los cilindros de los motores de combustión interna y sistemas de tuberías. Un esquema típico

de una sola aleta circular en un tubo se muestra en la figura 1.0.

III. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

Como se estableció anteriormente la ecuación 2.2 es una ED de Bessel modificada de orden 0. Es importante mencionar que el término “modificada” se utiliza debido a que el tercer término de la ecuación 2.2 es negativo en lugar de positivo. La ecuación 2.2 puede ser simplificada y llevarse a la forma estándar si se realiza un cambio de variables en el problema inicial.

El primero paso a dar es introducir el cambio de temperatura, designado por una nueva variable θ.

θ=T−T ∞ 3.0

Además, denotaremos la expresión 2hkδ

como m2

Realizando los cambios anteriormente descritos con el fin de obtener una ecuación más familiar a las trabajadas en el curso de ecuaciones diferenciales, se obtiene la nueva ecuación de transferencia de calor en aletas circulares delgadas y de espesor constante:

d2θdr2 + 1

rdθdr

−m2θ=02.2 .1

Multiplicando la ecuación 2.2.1 por r2 obtenemos la ecuación paramétrica de Bessel de orden cero; su solución es de la forma:

θ=C1 J 0 (Mr )+C2 Y 0 ( Mr ) 3.1

Siendo J0 ( Mr ), la función de Bessel modificada

de primera clase y de orden cero, y Y 0(Mr) es la

función modificada de segunda clase y de orden cero.

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La ecuación 3.1 es la respuesta al problema de transferencia de calor, planteado inicialmente donde C1 y C2 representan constantes arbitrarias, las cuales se deben determinar con las condiciones de frontera dadas para el posterior análisis.

De las condiciones iniciales se obtiene lo siguiente:

a). Para, {r=r i

t=t i

ydtdr

=0; r=r0

θ=T−T ∞=C1J 0(Mr i)+C2Y 0(Mr i)

b). Para r = r0 la convención es nula ya que se desprecia el calor evacuado por el extremo de la aleta por lo tanto:

( dtdr )=0 ;( dθ

dr )=0

( dθdr )=[ d

dr{J 0(M r )}=¿ M J1(M r )

ddr

{Y 0(M r)}=¿−M Y 1(M r)]¿C1 M Y 1 ( M r0 )−M C2Y 1(M r0)

Las constantes C y C se obtienen del sistema de ecuaciones:

θ=C1 J 0 ( M r i )+C2Y 0 ( M r i )

0=C1 J 1 ( M r0 )+C2Y 1 ( M r0 )

{C1=θ Y 1 ( M r0 )

Y 1 ( M r 0 ) J 0 ( M ri )+Y 0 ( M r i) J1 ( M r 0 )

C2=θ J 1 ( M r0 )

Y 1 ( M r 0 ) J 0 ( M ri )+Y 0 ( M r i) J1 ( M r 0 )

Distribución de temperaturas en la aleta esta dada por:

θθi

=Y 1 ( M r0 ) J0 ( Mr )+Y 0 ( M r0 ) J 1 ( Mr )

Y 1 ( M r0 ) J 0 ( M ri )+Y 0 ( M ri ) J 1 ( M r0 )

IV. RESULTADOS Y ANÁLISIS

La ecuación representa la distribución de temperaturas, a través de la aleta circular, éste análisis se realizo con base en algunas consideraciones para la aleta expuestas anteriormente, como lo son:

- La aleta es suficientemente larga, de tal manera que la temperatura del extremo tienda a ser la del fluido que la rodea, se consideró también a hf, como constante en toda la superficie del tubo aleteado.

Con el fin de evaluar el comportamiento térmico de las aletas, se hace necesario considerar el gradiente de temperatura a lo largo de la aleta. Idealmente entendemos por la teoría que la aleta más eficiente, es aquella, en la cual la distribución de temperatura sea lo más próxima a la temperatura de la superficie. Cabe anotar, que las aletas, aumentan la rapidez de transferencia de calor, debido a que están aumentando la superficie de transferencia de calor, pero a su vez aumentan la resistencia al flujo calorífico, lo que ocasiona que la temperatura a través de la aleta vaya disminuyendo, hasta considerarse igual a la temperatura del fluido que la rodea.

Sin embargo, en la práctica, la aleta es delgada y los cambios de temperatura en la dirección longitudinal son mucho más grandes que los de la dirección transversal. Consideramos condiciones

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de estado estable y también supondremos que la conductividad térmica es una constante, que la radiación desde la superficie es insignificante, que los efectos de la generación de calor están

ausentes y que el coeficiente de transferencia de calor por convección h es uniforme sobre la superficie.

Asumiendo la temperatura del medio T ∞=50, los radios, interior y exterior respectivamente ri=1 , r0=5, y con la ayuda del software MATLAB, obtenemos lo siguiente:

GRÁFICA 1

Donde cabe resaltar que se escogieron 3 valores de M, que representa la constante dada por la

expresión M2=2 h

kδ, de donde se denotan h, k y δ

como: coeficiente de película, constante de

conductividad térmica y espesor de la aleta, respectivamente.

Se puede interpretar de las curvas que a medida que el radio es mayor (por ende, a medida que las áreas de transferencia de calor por conducción y

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por convección son mayores) la temperatura converge a un valor esperado, en este caso, T=60°C

Con valores mayores de M, la temperatura baja mucho más rápido con respecto al radio. Teniendo presente que la curva está modelada con respecto al radio, no al tiempo, por lo que debe entenderse una disminución

mayor a razón de ciertos valores del radio. No significa que la temperatura disminuya más rápido en el tiempo.

Se decidió variar el parámetro M, en vez del coeficiente de película h, puesto que el coeficiente de película, o coeficiente de convección depende de múltiples parámetros relacionados con el flujo del fluido a través del cual se da la convección, entre ellos:

del tipo de convección (forzada o natural) del régimen del fluido (laminar o

turbulento) de la velocidad del flujo de la viscosidad del fluido, de la densidad del fluido, de la conductividad térmica del fluido, del calor específico del fluido. del coeficiente de dilatación del fluido, de la forma de la superficie de

intercambio

de la rugosidad de la superficie de intercambio

de su temperatura, de si el derrame es interior o exterior,...

El coeficiente de película suele estimarse mediante el empleo de correlaciones de números adimensionales, como los números de Nusselt1, (que resultan ser proporcionales al coeficiente de película) y una expresión que involucra al número de Reynolds2 y al número de Prandtl3 en convección forzada, y al de Prandtl y al número de Grashof4 en convección natural. También se puede calcular mediante programas de diferencias finitas, o resolviendo las ecuaciones de Navier-Stokes5, cosa que en la práctica es irrealizable.

Teniendo en cuenta esto, resultaba imprudente darle valores arbitrarios a h sin tener un criterio, a pesar de poder tener valores reales y concretos de δ (ya que se trata de un simple grosor), y de k

1 l Número de Nusselt (Nu) es un número adimensional que mide el aumento de la transmisión de calor desde una superficie por la que un fluido discurre (transferencia de calor por convección) comparada con la transferencia de calor si ésta ocurriera solamente por conducción.2 El número de Reynolds (Re) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883.3 El Número de Prandtl (Pr) es un número adimensional proporcional al cociente entre la difusividad de momento (viscosidad) y la difusividad térmica. Se llama así en honor a Ludwig Prandtl.4 El Número de Grashof (Gr) es un número adimensional en mecánica de fluidos que es proporcional al cociente entre las fuerzas de flotación y las fuerzas viscosas que actúan en un fluido. Se llama así en honor al ingeniero alemán Franz Grashof.5 Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

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(cuyos valores dependen del material y se encuentran en tablas).

En la gráfica siguiente se muestra la distribución de temperatura en la aleta Vs. La temperatura de

la aleta, variando los valores de las condiciones iníciales para así poder realizar un análisis que permita identificar la influencia de estas en las

curvas representadas. Wwwwwwwwwwwwww

Para otros valores de M con el mismo radio, y otros radios con las mismas M se obtuvo lo siguiente:

GRÁFICA 2

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Es de señalar que la temperatura de la aleta nunca llega a la temperatura ambiente, se acerca cada vez más pero jamás llega a la temperatura ambiente, convergiendo por supuesto en un valor esperado, el cual, para este caso siempre será 10 veces más que la temperatura ambiente, o sea, T=60 °C, como ya fue mencionado.

V. CONCLUSIONES

Habiendo hecho el análisis de los resultados obtenidos, podremos establecer las siguientes conclusiones:

- Las aletas o superficies extendidas, son elementos de gran capacidad disipante de energía, cuando esta se encuentra en presencia de un fluido en movimiento a una velocidad determinada.

- Desde el punto de vista térmico, únicamente, la aleta óptima es decir más eficiente es aquella que presenta un mayor espesor y es más corta. Mas sin embargo desde el punto de vista económico la aleta ideal es la más corta y de menor espesor.

Así mismo se concluye con este articulo que el aumento de área de transferencia de calor, aletas, constituye un elemento importante para el incremento de la disipación de calor por convección.

A pesar de que en las gráficas y el modelo en general, se buscó variar la constante M, se puede hacer el mismo análisis para el coeficiente de película. Se sabe que el grosor, o espesor de la aleta puede ser un valor fijo que se puede dejar constante. A su vez, la constante de

conductividad térmica resulta ser un valor que depende del material de la aleta; sacando raíz a ambos lados tenemos:

M=√ 2hkδ

Donde sabemos que k y δ son valores previamente determinados. Para esta relación M crece a medida que h crece, por lo que es congruente decir que a medida que el coeficiente de película crece, la temperatura en la aleta decrece más rápido con respecto al radio, teniendo en cuenta por supuesto, que a mayor radio, más rápido converge la temperatura a un valor estable, y, que hay ciertos materiales mucho más conductores que otros, dependiendo de su constante de conductividad térmica.

Finalmente, se logro apreciar el importante papel que las superficies extendidas juegan en el diseño de los sistemas térmicos.

VII. REFERENCIAS

[1] Frank P. Incropera, David P. DeWitt. Fundamentos de transferencia de calor. Vol 4, México : Pearson Education, 1999, Cap.3,pp124-132.

[2] Lien-Tsai Yu, Chao-Kuang Chen. Optimization of circular fins with variable thermal parameters. Journal of the Franklin Institute. Volume 336, Issue 1, 1 January 1999, Pages 77–95.

[3] Arellano Velasco, Investigación Bibliográfica.<http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/leia/maru_j_ms/capitulo1.pdf> [En línea] [Consultada el 24 de abril de 2012.]

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[4]Ingenieria Quimica.[En línea] https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2007/1/ME43B/1/material.../12099 . [Consultada el 25 de abril de 2012]

[4] Harper, D. R. y W. B. Brown, “Mathematical Equations for Heat Conduction in the Fins of Air Cooled Engines”,Reporte NACA núm. 158, 1922.

[5] http://libros.redsauce.net/

[5] http://www.wikipedia.org/ [En Línea][Consultada el 24 de abril de 2012]

VIII. ANEXOS

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