Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Suncica Salatovic

Monotone funkcije i nejednakosti

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Suncica Salatovic

Monotone funkcije i nejednakosti

Diplomski rad

Mentorica: doc.dr.sc. Mihaela Ribicic Penava

Osijek, 2011.

1

Sadrzaj

Uvod 2

1. Monotone funkcije 3

2. Cebisevljeva nejednakost 6

2.1. Pafnutij Ljvovic Cebisev (1821-1894) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Cebisevljeva nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Primjena Cebisevljeve nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Grussova nejednakost 13

3.1. Grussova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Steffensenova nejednakost 18

4.1. Johan Frederik Steffensen (1873-1961) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2. Steffensenova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Youngova nejednakost 21

5.1. William Henry Young (1863-1942) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2. Youngova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6. Jensenova nejednakost 25

6.1. Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859-1925) . . . . . . . . . . 25

6.2. Konveksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.3. Jensenova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.4. Primjena Jensenove nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Literatura 34

Sazetak 36

Summary 37

Zivotopis 38

2

Uvod

Osnovni cilj ovoga rada je dati pregled monotonih funkcija i njihovih nejednakosti. Ne-

jednakosti predstavljene u radu su nastale krajem 19. i pocetkom 20. stoljeca u Rusiji,

Danskoj i Velikoj Britaniji. Vaznost ovih nejednakosti je u tome sto su one polazista

za izvodenje mnogih drugih nejednakosti iz razlicitih podrucja matematike.

Rad je podijeljen na sest poglavlja. U prvom poglavlju razmatraju se monotone

funkcije. Definira se pojam monotone funkcije preko definicija (strogo) rastuce funkcije

odnosno (strogo) padajuce funkcije. Definicije su potkrijepljene odgovarajucim slikama

monotonih funkcija. Na kraju poglavlja navode se osnovna svojstva ovih funkcija.

Drugo poglavlje je posveceno Cebisevljevoj nejednakosti. Prvo se navodi Cebisevlje-

va biografija kao uvod u njegov znacajan matematicki rad. Zatim je dana Cebisevljeva

nejednakost i njena primjena na nekoliko jednostavnih zadataka.

Trece poglavlje se bazira na Grussovoj nejednakosti. Posebno je izdvojen teorem

kojim je izostrena Grussova nejednakost.

U cetvrtom poglavlju obraduje se jos jedna monotona nejednakost. Prije svega

je dana Steffensenova biografija, a u nastavku dolaze iskaz i dokaz Steffensenove ne-

jednakosti.

U petom poglavlju se govori o Youngovoj nejednakosti. Ona je iskazana, dokazana

i geometrijski interpretirana u ovom poglavlju.

Zadnje poglavlju donosi Jensenovu nejednakost. Kratak osvrt na Jensenov zivot

dovodi do zakljucka da je bio zaljubljenik u matematiku. Ovdje se definiraju kon-

veksne i J-konveksne funkcije, te je dana Jensenova nejednakost. Upotreba navedene

nejednakosti je prikazana kroz tri primjera na kraju rada.

3

1. Monotone funkcije

Jedan od vaznijih pojmova u matematici je monotonost.

Definicija 1.1 Funkcija f : (a, b)→ R, (a, b) ⊆ R se naziva rastuca funkcija na (a, b)

ako

(x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2)⇒ f(x1) ≤ f(x2),

a strogo rastuca na (a, b) ako

(x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2)⇒ f(x1) < f(x2).

Graficki prikaz rastuce i strogo rastuce funkcije se nalazi na Slikama 1.1 i 1.2.

Slika 1.1 Rastuca funkcija Slika 1.2 Strogo rastuca funkcija

Teorem 1.1 Neka je f : (a, b) → R, (a, b) ⊆ R derivabilna na (a, b). Funkcija f je

rastuca na (a, b) onda i samo onda ako je

f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b),

a strogo rastuca na (a, b) onda i samo onda ako je

f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b).

Slicno prethodnoj definiciji rastuce funkcije moze se izreci sljedeca definicija padajuce

funkcije.

4

Definicija 1.2 Funkcija f : (a, b) → R, (a, b) ⊆ R se naziva padajuca funkcija na

(a, b) ako

(x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2)⇒ f(x1) ≥ f(x2),

a strogo padajuca na (a, b) ako

(x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2)⇒ f(x1) > f(x2).

Padajucu i strogo padajucu funkciju graficki predstavljaju Slike 1.3 i 1.4.

Slika 1.3 Padajuca funkcija Slika 1.4 Strogo padajuca funkcija

Teorem 1.2 Neka je f : (a, b) → R, (a, b) ⊆ R derivabilna na (a, b). Funkcija f je

padajuca na (a, b) onda i samo onda ako je

f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b),

a strogo padajuca na (a, b) onda i samo onda ako je

f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b).

Definicija 1.3 Funkcija f : (a, b)→ R, (a, b) ⊆ R se naziva monotonom funkcijom na

(a, b) ako je rastuca ili padajuca na (a, b), a strogo monotonom funkcijom na (a, b) ako

je strogo rastuca ili strogo padajuca na (a, b).

5

Svojstva rastuce funkcije, vidi [17, str. 1]:

1. Ako su f i g rastuce funkcije na (a, b) tada je i f + g rastuca funkcija na (a, b).

2. Ako je f rastuca funkcija na (a, b) i ako je λ nenegativan realan broj, tada je λf

rastuca funkcija na (a, b).

3. Ako su f i g nenegativne i rastuce funkcije na (a, b) tada je i fg rastuca funkcija

na (a, b).

4. Ako su f i g monotone funkcije na (a, b) ne moze se zakljuciti da je f+g monotona

funkcija na (a, b).

5. Ako je f pozitivna i rastuca funkcija na (a, b), tada je 1/f padajuca funkcija na

(a, b).

Ova svojstva se mogu primijeniti i na druge monotone funkcije jer ako je f rastuca

funkcija onda je −f padajuca funkcija odnosno ako je f strogo rastuca funkcija onda

je −f strogo padajuca funkcija.

Definicija 1.4 Ako su dvije funkcije obje rastuce ili obje strogo rastuce, ili obje padajuce

ili pak obje strogo padajuce, kazemo da su monotone u istom smislu.

6

2. Cebisevljeva nejednakost

2.1. Pafnutij Ljvovic Cebisev (1821-1894)

Slika 2.1 Cebisevljevportret

Pafnutij Ljvovic Cebisev je bio ruski matematicar. Roden je1821. godine u Okatovu, Kaluzanskoj pokrajini. Skolovao sekod kuce sve dok 1837. godine nije postao matematicki stu-dent na Moskovskom Sveucilistu, gdje je slusao predavanjaiz teorijske i primijenjene matematike i astronomije, kao iiz fizike. Naglasavao je jedinstvo teorije i prakse (vidi [11,str. 125]), govoreci:

Matematicka znanost je privukla posebnu po-zornost na sebe od antike i jos uvijek privlaci zbogsvog utjecaja na industriju i umjetnost. Jedin-stvo teorije i prakse donosi najbolje rezultatejer znanost napreduje pod utjecajem i jednog idrugog, te se tako otkrivaju novi predmeti zaproucavanje i novi aspekti koji se mogu iskoristitiza vec poznate predmete.

Tijekom svog studiranja, odnosno 1841. godine nagraden je srebrnom medaljom za svoj

rad ”izracunavanje korijena jednadzbi”. 1849. godine obranio je doktorsku disertaciju

pod nazivom ”teorija kongruencije” koja je objavljena kao zasebna knjiga iste godine.

Za njega bi se moglo reci da je provodio istrazivanja na tri polja: jedan je bio teorija bro-

jeva, drugi teorija vjerojatnosti, a treci teorija mehanizama. Cebisev je na Sveucilistu u

Sankt Petersburgu predavao diferencijalni racun, integralni racun, visu algebru, teoriju

brojeva, teoriju vjerojatnosti, analiticku geometriju, sfernu trigonometriju, prakticnu

mehaniku itd. Sabrana dijela Cebiseva izdala je Akademija znanosti u Sankt Peters-

burgu, u vremenu od 1899. do 1907., dok je Akademija znanosti Sovjetskog Saveza

objavila njegova dijela u pet tomova: Teorija brojeva (prvi tom); Analiza (drugi i treci

tom); Teorija mehanizma (cetvrti tom); Drugi radovi i materijali povijesnog i biograf-

skog karaktera (peti tom). Njegova su istrazivanja jako znacajna za razvoj suvremene

matematike. U njegovu cast krater na Mjesecu i asteroid nose njegovo ime. Umro je u

Sankt Petersburgu 1894. godine. Cebisevljeve biografije se mogu naci u knjigama [5],

[11] i [12].

2.2. Cebisevljeva nejednakost

Teorem 2.1 (vidi [18, str. 239])

Neka su f, g : [a, b]→ R i p : [a, b]→ R+0 integrabilne funkcije na [a, b] ⊆ R.

i) Ako su f i g obje rastuce ili obje padajuce, tada vrijedi

7

∫ b

a

p(x) dx

∫ b

a

p(x)f(x)g(x) dx ≥∫ b

a

p(x)f(x) dx

∫ b

a

p(x)g(x) dx. (2.1)

ii) Ako je jedna od funkcija f ili g rastuca, a druga padajuca, tada je

∫ b

a

p(x) dx

∫ b

a

p(x)f(x)g(x) dx ≤∫ b

a

p(x)f(x) dx

∫ b

a

p(x)g(x) dx. (2.2)

Ove nejednakosti su poznate pod nazivom Cebisevljeve nejednakosti.

U nastavku su dani specijalni slucajevi nejednakosti (2.1) za p(x) = 1, vidi [18, str. 239]:∫ b

a

f(x)g(x) dx ≥ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx

∫ b

a

g(x) dx, (2.3)

odnosno za [a, b] = [0, 1] vrijedi∫ 1

0

f(x)g(x) dx ≥∫ 1

0

f(x) dx

∫ 1

0

g(x) dx. (2.4)

Nejednakosti (2.3) i (2.4) se takoder nazivaju Cebisevljevim nejednakostima.

Za svaku od nejednakosti (2.1)-(2.3) postoje odgovarajuci diskretni analogoni koji su

dani u nastavku.

Teorem 2.2 (vidi [18, str. 240])

Neka su a = (a1, . . . , an) i b = (b1, . . . , bn) dvije n-torke realnih brojeva i neka je

p = (p1, . . . , pn) nenegativna n-torka.

i) Ako je ili a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an i b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn ili a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an i

b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn, onda vrijedi nejednakost

n∑i=1

pi

n∑i=1

piaibi ≥n∑i=1

piai

n∑i=1

pibi. (2.5)

ii) Ako je ili a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an i b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn ili a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an i

b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn, onda vrijedi nejednakost

n∑i=1

pi

n∑i=1

piaibi ≤n∑i=1

piai

n∑i=1

pibi. (2.6)

Jednakost u (2.5) vrijedi ako i samo ako je barem jedan od nizova a ili b konstantan

(a1 = a2 = · · · = an ili b1 = b2 = · · · = bn).

8

Dokaz.

i) Vrijedi:

n∑k=1

n∑l=1

pkpl (akbk − akbl) =n∑k=1

(pkakbk

n∑l=1

pl − pkakn∑l=1

plbl

)

=n∑k=1

pkakbk

n∑l=1

pl −n∑k=1

pkak

n∑l=1

plbl. (2.7)

Ako se u prvoj od tih dvostrukih suma zamijene indeksi k i l te se promijeni

redoslijed sumacija dobije se

n∑k=1

n∑l=1

plpk(albl − albk) =n∑k=1

pkakbk

n∑l=1

pl −n∑k=1

pkak

n∑l=1

plbl. (2.8)

Zbroje li se jednakosti (2.7) i (2.8), te podijele s 2, dobije se

n∑k=1

pkakbk

n∑l=1

pl −n∑k=1

pkak

n∑l=1

plbl =1

2

n∑k=1

n∑l=1

pkpl (akbk − akbl + albl − albk)

=1

2

n∑k=1

n∑l=1

pkpl(ak − al)(bk − bl)

≥ 0, (2.9)

zbog toga sto je

(ak − al)(bk − bl) ≥ 0, k, l = 1, 2, . . . , n.

Vrijedi

n∑k=1

pkakbk

n∑l=1

pl ≥n∑k=1

pkak

n∑l=1

plbl

sto odgovara nejednakosti (2.5).

9

ii) Suprotna nejednakost se dokazuje analogno kao (2.5), uzevsi u obzir da je u ovom

slucaju

(ak − al)(bk − bl) ≤ 0, k, l = 1, 2, . . . , n.

Ako je a1 = a2 = · · · = an ili b1 = b2 = · · · = bn, tada vrijedi jednakost u

(2.5). Obratno, ako u (2.5) vrijedi jednakost, tada jednakost vrijedi i u (2.9), pa

je (ak − al)(bk − bl) = 0 za sve k, l = 1, 2, . . . , n. Posebno je (a1 − an)(b1 − bn) = 0,

odakle slijedi a1 = an ili b1 = bn. Ako je a1 = an, tada zbog uvjeta koji zadovoljava

n-torka (a1, a2, . . . , an) vrijedi a1 = a2 = · · · = an, a ako je b1 = bn, tada zbog uvjeta

koji zadovoljava n-torka (b1, b2, . . . , bn) vrijedi b1 = b2 = · · · = bn.

2

Korolar 2.1 Neka su a = (a1, . . . , an) i b = (b1, . . . , bn) dvije n-torke realnih brojeva.

i) Ako su a i b dva rastuca ili dva padajuca niza, tada vrijedi

n∑i=1

aibi ≥1

n

n∑i=1

ai

n∑i=1

bi.

ii) Ako je a rastuci i b padajuci niz ili a padajuci i b rastuci niz, tada vrijedi

n∑i=1

aibi ≤1

n

n∑i=1

ai

n∑i=1

bi.

Dokaz. Specijalni slucaj Teorema 2.2, za p1 = p2 = · · · = pn = 1.

2

Nakon iskaza i dokaza Cebisevljeve nejednakosti slijedi njezina primjena na nekoliko

zadataka.

2.3. Primjena Cebisevljeve nejednakosti

Sljedeci primjeri se mogu naci u [9].

Primjer 2.1 Neka su a, b, c duljine stranica, a α, β, γ mjere njima nasuprotnih kutova

(u radijanima) trokuta 4ABC. Dokazite da vrijedi

αa+ βb+ γc

a+ b+ c≥ π

3. (2.10)

10

Rjesenje: Moze se pretpostaviti da je a ≤ b ≤ c, tada je α ≤ β ≤ γ. Prema

Cebisevljevoj nejednakosti je

(a+ b+ c)(α + β + γ) ≤ 3(αa+ βb+ γc),

dalje se primjeni (α + β + γ) = 180◦ = π

(a+ b+ c)π ≤ 3(αa+ βb+ γc),

zatim se mnozenjem sa1

3(a+ b+ c), te zamjenom strana dobije upravo pocetna

nejednakost (2.10).

Primjer 2.2 Neka su xi, i = 1, 2, . . . , n, pozitivni realni brojevi. Dokazite da vrijedi

(x1x2 . . . xn)1n

(x1+x2+···+xn) ≤ xx11 x

x22 . . . xxn

n .

Rjesenje: Bez smanjenja opcenitosti moze se pretpostaviti da je x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn,

tada je i lnx1 ≤ lnx2 ≤ · · · ≤ lnxn. Prema Cebisevljevoj nejednakosti je

(x1 + x2 + · · ·+ xn) (lnx1 + lnx2 + · · ·+ lnxn) ≤ n (x1 lnx1 + x2 lnx2 + · · ·+ xn lnxn),

zatim se primjeni formula za logaritam produkta

(x1 + x2 + · · ·+ xn) ln (x1x2 . . . xn) ≤ n (x1 lnx1 + x2 lnx2 + · · ·+ xn lnxn),

u nastavku je gornja nejednakost podijeljena sa (x1 + x2 + · · ·+ xn), te je primijenjena

formula za logaritam potencije

ln (x1x2 . . . xn) ≤ n (lnxx11 + lnxx2

2 + · · ·+ lnxxnn )

(x1 + x2 + · · ·+ xn).

Po drugi put se primjeni formula za logaritam produkta

ln (x1x2 . . . xn) ≤ n ln (xx11 x

x22 . . . , xxn

n )

(x1 + x2 + · · ·+ xn),

pa se mnozenjem gornje nejednakosti sax1x2 . . . xn

ndobije

11

x1 + x2 + · · ·+ xnn

ln (x1x2 . . . xn) ≤ ln (xx11 x

x22 . . . xxn

n ).

Po drugi put se primjeni i formula za logaritam potencije

ln(

(x1x2 . . . xn)x1+x2+···+xn

n

)≤ ln (xx1

1 xx22 . . . xxn

n ),

te na kraju vrijedi

(x1x2 . . . xn)x1+x2+···+xn

n ≤ xx11 x

x22 . . . xxn

n .

Primjer 2.3 Neka su a, b, c duljine stranica, a α, β, γ mjere njima nasuprotnih ku-

tova u radijanima. Dokazite da vrijedi nejednakost

b+ c

α+c+ a

β+a+ b

γ≥ 12s

π

gdje je s poluopseg trokuta.

Rjesenje: Bez smanjenja opcenitosti moze se pretpostaviti da je a ≤ b ≤ c. Tada je i

α ≤ β ≤ γ,

a+ b ≤ a+ c ≤ b+ c,

1

γ≤ 1

β≤ 1

α.

Primijeni li se Cebisevljeva nejednakost na trojke

(a+ b, a+ c, b+ c) i

(1

γ,

1

β,

1

α

)

dobije se

((a+ b) + (a+ c) + (b+ c)

) (1

γ+

1

β+

1

α

)≤ 3

(a+ b

γ+a+ c

β+b+ c

α

), (2.11)

te se zbrajanjem lijeve strane nejednakosti (2.11) dobije

12

2 (a+ b+ c)

(1

γ+

1

β+

1

α

)≤ 3

(a+ b

γ+a+ c

β+b+ c

α

),

zatim se primjeni formula za poluopseg trokuta s =a+ b+ c

2

4s

(1

γ+

1

β+

1

α

)≤ 3

(a+ b

γ+a+ c

β+b+ c

α

).

Zamijene li se strane gornje nejednakosti, te se ista podijeli s 3, dobije se

b+ c

α+a+ c

β+a+ b

γ≥ 4

3s

(1

γ+

1

β+

1

α

).

Kako je prema nejednakosti izmedu aritmeticke i harmonijske sredine

1

α+

1

β+

1

γ≥ 3 · 3

α + β + γ=

9

π,

onda vrijedi

b+ c

α+a+ c

β+a+ b

γ≥ 4

3s · 9

π

=12s

π.

Jednakost vrijedi ako i samo ako je a = b = c, tj. za jednakostranican trokut.

Ovaj primjer se moze pogledati i u knjizi [1, str. 58].

13

3. Grussova nejednakost

3.1. Grussova nejednakost

U ovom poglavlju dana je nejednakost koju je dokazao G. Gruss 1935. godine. u clanku

[8]. Nejednakost je navedena u sljedecem teoremu.

Teorem 3.1 (vidi [2, str. 117])

Neka su f, g : [a, b]→ R dvije integrabilne funkcije na [a, b] ⊆ R, te neka je

ϕ ≤ f(x) ≤ Φ, γ ≤ g(x) ≤ Γ,

za svaki x ∈ [a, b], gdje su ϕ,Φ, γ,Γ cetiri fiksne realne konstante. Tada vrijedi

Grussova nejednakost

∣∣∣∣ 1

b− a

∫ b

a

f(x)g(x) dx− 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx · 1

b− a

∫ b

a

g(x) dx

∣∣∣∣≤ 1

4(Φ− ϕ)(Γ− γ). (3.12)

Dokaz [18, str. 295]:

Grussova nejednakost (3.12) se moze zapisati u skracenom obliku kao

|T (f, g)| ≤ 1

4(Φ− ϕ)(Γ− γ), (3.13)

gdje su f, g : [a, b]→ R dvije integrabilne funkcije na [a, b] ⊆ R i

A(f) =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx,

T (f, g) = A(fg)− A(f)A(g).

Vrijedi

T (f, g) =1

2(b− a)−2

∫ b

a

∫ b

a

(f(x)− f(y)

)(g(x)− g(y)

)dxdy

i primjenom Cauchy-Schwarz-Buniakowsky integralne nejednakosti dobije se

T 2(f, g) ≤ T (f, f) · T (g, g). (3.14)

Na osnovu nejednakosti izmedu aritmeticke i kvadratne integralne sredine imamo

T (f, f) = A(f 2)− A2(f) ≥ 0.

14

S druge strane je

T (f, f) =(Φ− A(f)

)(A(f)− ϕ

)− (b− a)−1

∫ b

a

(Φ− f(x)

)(f(x)− ϕ

)dx,

iz cega slijedi

T (f, f) ≤(Φ− A(f)

)(A(f)− ϕ

). (3.15)

Neka je F = A(f), G = A(g), onda je na osnovu formula (3.14) i (3.15)

T (f, g)2 ≤ (Φ− F )(F − ϕ)(Γ−G)(G− γ). (3.16)

Kako je

4(Φ− F )(F − ϕ) ≤ (Φ− ϕ)2,

4(Γ−G)(G− γ) ≤ (Γ− γ)2,

moze se zakljuciti da (3.16) implicira Grussovu nejednakost (3.13) odnosno (3.12).

Stavljajuci f(x) = g(x) = sgn

(x− a+ b

2

), vidi se da je konstanta

1

4u Grussovoj

nejednakosti (3.12) najbolja moguca.

2

Korolar 3.1 (vidi [17, str. 75])

Neka su a = (a1, . . . , an) i b = (b1, . . . , bn) dvije n-torke realnih brojeva, te neka je

r ≤ ai ≤ R i s ≤ bi ≤ S, i = 1, . . . , n, tada vrijedi nejednakost

∣∣∣∣∣ 1nn∑i=1

aibi −1

n

n∑i=1

ai ·1

n

n∑i=1

bi

∣∣∣∣∣ ≤ 1

n

[n2

](1− 1

n

[n2

])(R− r)(S − s).

Napomena 3.1 Gruss je u clanku [8] dokazao sljedece nejednakosti za dvije apsolutno

monotone funkcije f, g : [0, 1]→ R∣∣∣∣∫ 1

0

(f(x)

)2dx−

∫ 1

0

f(x) dx ·∫ 1

0

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ 4

45(Φ− ϕ)2, (3.17)

∣∣∣∣∫ 1

0

f(x)g(x) dx−∫ 1

0

f(x) dx ·∫ 1

0

g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ 4

45(Φ− ϕ)(Γ− γ). (3.18)

15

Konstanta 4/45 u nejednakostima (3.17) i (3.18) je najbolja moguca, sto se moze

provjerit ako se stavi f(x) = x2.

Iz [15] se vidi da je formula (3.12) invarijantna pod afinom transformacijom od f i g

(f → Af +B, g → Cg +D)

pa se moze, bez smanjenja opcenitosti izjednaciti Φ = Γ = 1 i ϕ = γ = 0. Ako se u

formuli (3.12) zamijeni f(x) sa Φ + ϕ− f(x) dobije se

1

b− a

∫ b

a

f(x)g(x) dx− 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx · 1

b− a

∫ b

a

g(x) dx ≥ −1

4(Φ− ϕ)(Γ− γ),

tako da je nevazno stoji li apsolutna vrijednost na lijevoj strani Grussove nejednakosti

ili ne. Konacno, nema gubitka ako se umjesto osnovnog intervala [a, b] uzme interval

[0, 1]. Nejednakost tada ima oblik:

∫ 1

0

f(x)g(x) dx−∫ 1

0

f(x) dx

∫ 1

0

g(x) dx ≤ 1

4, (3.19)

sa 0 ≤ f(x), g(x) ≤ 1 je potpuno ekvivalentna nejednakosti (3.12).

Grussova nejednakost (3.19) moze se izostriti.

Teorem 3.2 (vidi [15, str. 2])

Neka su F i G skupovi takvi da je

F ={x : f(x) ≥ g(x)

}, G =

{x : f(x) < g(x)

},

onda vrijedi

∫ 1

0

f(x)g(x) dx −∫ 1

0

f(x) dx

∫ 1

0

g(x) dx

+

∫F

|f(x)− g(x)| dx∫G

|f(x)− g(x)| dx ≤ 1

4. (3.20)

Dokaz, vidi [15, str. 3]:

Neka je u(x) = max[f(x), g(x)] i w(x) = min[f(x), g(x)]. Onda f(x)g(x) = u(x)w(x),

tako da

16

∫ 1

0

f(x)g(x) dx =

∫ 1

0

u(x)v(x) dx. (3.21)

Zatim

∫ 1

0

f(x) dx

∫ 1

0

g(x) dx−∫ 1

0

u(x) dx

∫ 1

0

w(x) dx

=

[∫F

f(x) dx+

∫G

f(x) dx

] [∫F

g(x) dx+

∫G

g(x) dx

]−

[∫F

f(x) dx+

∫G

g(x) dx

] [∫F

g(x) dx+

∫G

f(x) dx

].(3.22)

Desna strana formule (3.22) se smanji na

[∫F

f(x) dx−∫F

g(x) dx

] [∫G

g(x) dx−∫G

f(x) dx

]sto odgovara ∫

F

|f(x)− g(x)| dx∫G

|f(x)− g(x)| dx

tako da je

∫ 1

0

f(x) dx

∫ 1

0

g(x) dx −∫ 1

0

u(x) dx

∫ 1

0

w(x) dx

=

∫F

|f(x)− g(x)| dx∫G

|f(x)− g(x)| dx. (3.23)

Iz formula (3.21) i (3.23) dobije se

∫ 1

0

f(x)g(x) dx−∫ 1

0

f(x) dx

∫ 1

0

g(x) dx+

∫F

|f(x)− g(x)| dx∫G

|f(x)− g(x)| dx

=

∫ 1

0

u(x)w(x) dx−∫ 1

0

u(x) dx

∫ 1

0

w(x) dx. (3.24)

Buduci da je 0 < f(x), g(x) < 1, onda je 0 < w(x) ≤ u(x) < 1 pa je stoga desna strana

formule (3.24) majorizirana sa∫ 1

0

w(x) dx−(∫ 1

0

w(x) dx

)2

≤ 1

4,

17

dok je

0 ≤∫ 1

0

w(x) dx ≤ 1.

Iz formule (3.24) dobije se

∫ 1

0

f(x)g(x) dx −∫ 1

0

f(x) dx

∫ 1

0

g(x) dx

+

∫F

|f(x)− g(x)| dx∫G

|f(x)− g(x)| dx ≤ 1

4.

Sto je upravo nejednakost (3.20).

2

Zanimljivo je napomenuti da su obje nejednakosti (3.19) i (3.20) najbolje moguce u

smislu da postoje funkcije koje daju ravnopravnost svakoj. Te funkcije su:

f(x) = g(x) = 1 ako je 0 < x <1

2,

f(x) = g(x) = 0 ako je1

2≤ x < 1.

S druge strane, Grussova nejednakost (3.19) nije najbolja moguca u konvencionalnom

smislu. Jer, ako se uzme

f(x) =

{1 , ako je 0 ≤ x ≤ 1

2

0 , inace

g(x) =1

2ako je 0 ≤ x ≤ 1

dobije se da je lijeva strana Grussove nejednakosti (3.19) nula, dok je vrijednost lijeve

strane nove nejednakosti (3.20) 1/16.

18

4. Steffensenova nejednakost

4.1. Johan Frederik Steffensen (1873-1961)

Steffensenov zivot nije previse poznat, te se sljedeci podatci mogu pronaci u knjizi [3,

str. 16]. Johan je roden u Kopenhagenu 1873. godine. Posto je njegov je otac bio

vrhovni sudac danske vojske, on je diplomirao pravo na Sveucilistu u Kopenhagenu.

Poslije kratkog perioda koji je proveo u Frederici u istocnom dijelu poluotoka Jutlanda

u Danskoj, vraca se u Kopenhagen te zapocinje karijeru u osiguravajucem drustvu. On

je bio samouk matematicar, sve dok 1912. godine nije dobio titulu doktora znanosti

za svoja istrazivanja u podrucju teorije brojeva. Poslije tri godine kao direktor uza-

jamnog zivotnog osiguravajuceg drustva okrece se poducavanju matematike osiguranja

na Sveucilistu u Kopenhagenu, prvo kao predavac, a od 1923. do 1943. godine kao

Profesor. U isto vrijeme je bio zainteresiran za svijet poslova sto se moglo vidjeti iz

toga sto je bio aktivni clan, pa cak i predsjednik nekoliko drustava.

Objavio je oko stotinu znanstvenih radovaiz razlicitih podrucja matematike, te se nje-gova knjiga iz 1927. godine (J. F. Steffensen,Interpolation, Williams and Wilkins, Bal-timore, 1927., Reprinted by Chelsea, NewYork, 1950.) moze smatrati jednom od prvihknjiga iz podrucja numericke analize, jerpokriva interpolaciju jedne i vise varijabli,numericku derivaciju, rjesenja diferencijalnihjednadzbi. Steffensen je umro u prosincu1961. godine.

Slika 4.1 25. nordijski i prvi britan-sko - nordijski kongres matematicara

4.2. Steffensenova nejednakost

Ovo poglavlje odnosi se na opcu nejednakost koju je dokazao J. F. Steffensen 1918.

godine 1. Nejednakost je navedena u sljedecem teoremu.

Teorem 4.1 (Steffensenova nejednakost) [17, str. 88]

Neka su a, b ∈ R takvi da je a < b, a f i g dvije integrabilne funkcije na (a, b) takve

da je f padajuca i da za svaki x ∈ (a, b) vrijedi 0 ≤ g(x) ≤ 1. Tada je

1U svojoj knjizi On certain inequalities between mean values, and their application to actuarialproblems, Skand. Aktuarietids. 1918., str. 82-97

19

∫ b

b−λf(x) dx ≤

∫ b

a

f(x)g(x) dx ≤∫ a+λ

a

f(x) dx, (4.25)

gdje je

λ =

∫ b

a

g(x) dx.

Dokaz [17, str. 88]:

Prvo se treba izvesti druga nejednakost u (4.25) jer ona implicira prvu nejednakost u

(4.25). Druga nejednakost u (4.25) se moze izvesti na sljedeci nacin:

∫ a+λ

a

f(x) dx−∫ b

a

f(x)g(x) dx =

∫ a+λ

a

(1− g(x)

)f(x) dx−

∫ b

a+λ

f(x)g(x) dx

≥ f(a+ λ)

∫ a+λ

a

(1− g(x)

)dx−

∫ b

a+λ

f(x)g(x) dx

= f(a+ λ)

(λ−

∫ a+λ

a

g(x) dx

)−∫ b

a+λ

f(x)g(x) dx

= f(a+ λ)

∫ b

a+λ

g(x) dx−∫ b

a+λ

f(x)g(x) dx

=

∫ b

a+λ

g(x)(f(a+ λ)− f(x)

)dx

≥ 0.

Prva nejednakost u (4.25) moze se izvesti na slican nacin. Neka je

G(x) := 1− g(x) i Λ :=

∫ b

a

G(x) dx.

Iz uvjeta teorema je 0 ≤ g(x) ≤ 1, a tada je i 0 ≤ G(x) ≤ 1 u (a, b). Zatim je

b− a = λ+ Λ. Ako se pretpostavi da vrijedi druga nejednakost u (4.25), tada je∫ b

a

f(x)G(x) dx ≤∫ a+Λ

a

f(x) dx, (4.26)

uvrstili li se u nejednakost (4.26) definicija od G(x) dobije se∫ b

a

f(x)(

1− g(x))dx ≤

∫ b−λ

a

f(x) dx,

raspisivanjem se dobije

20

∫ b

a

f(x) dx−∫ b−λ

a

f(x) dx ≤∫ b

a

f(x)g(x) dx,

odnosno ∫ b

b−λf(x) dx ≤

∫ b

a

f(x)g(x) dx,

a to je prva nejednakost u (4.25).

2

Sljedeci teorem nam daje diskretni analogon Steffensenove nejednakosti (4.25) i moze

se naci u casopisu [7].

Teorem 4.2 Neka je (xi)ni=1 padajuci, konacni niz nenegativnih realnih brojeva i neka

je (yi)ni=1 konacan niz realnih brojeva takav da za svaki i vrijedi 0 ≤ yi ≤ 1. Neka su

k1, k2 ∈ {1, 2, . . . , n} takvi da vrijedi k2 ≤n∑i=1

yi ≤ k1 onda je

n∑i=n−k2+1

xi ≤n∑i=1

xiyi ≤k1∑i=1

xi.

21

5. Youngova nejednakost

5.1. William Henry Young (1863-1942)

Slika 5.1 William HenryYoung

W. H. Young je roden uLondonu, 1863. godine.Williamov ravnatelj jeuvidio njegov potencijal zamatematiku i ohrabrio utom smjeru, pa 1881. godineYoung upisuje dodiplom-ski studij matematike naPeterhouse-u, Cambridge.1896. godine se vjencaoza Grace Emily Chisholmkoju je prije poducavao naPeterhouse-u. Ona ga jezainteresirala za istrazivanja.

Slika 5.2 William HenryYoung

Imali su sestero djece od kojih se dvoje bavilo matematikom. Young je bio ispitivac

za Central Welsh Board, Sveucilista u Londonu i Sveucilista u Wales-u, uz svoju ulogu

ispitivaca na Cambridge-u, ali tek 1913. godine postaje Profesor. Predavao je filozofiju

i povijest matematike na Sveucilistu u Liverpoolu. Studirao je Fourierove redove,

no ipak se njegovim najvaznijim doprinosom smatra racun od nekoliko varijabli, koji

je smjestio u svojoj raspravi ”temeljni teoremi diferencijalnog racuna”(1910)2. Ova

knjiga je jedna od tri koje je Young napisao. Druge dvije je pisao zajedno sa svojom

suprugom: ”Prva knjiga geometrije” (1905)3 i ”teorija skupova tocaka” (1906)4. On je

primio mnoge pocasti za svoja matematicka postignuca. Bio je zarobljen u Lausanne-i

kada je Francuska pala 1940. godine, te je bio prisiljen provesti posljednje dvije godine

svog zivota vrlo nesretan i odvojen od svoje obitelji. Umire u Lausanne-i, u Svicarskoj

1942. godine. Youngova biografija se nalazi u knjizi [4], a jedan manji dio se moze

pronaci i u [22].

5.2. Youngova nejednakost

Youngova nejednakost je najpoznatija u sljedecem obliku.

Teorem 5.1 (Youngova nejednakost) [17, str. 151]

Neka je f : [0, c]→ R neprekidna i strogo rastuca funkcija. Ako je f(0) = 0, a ∈ [0, c]

2W. H. Young , The fundamental theorems of the differential calculus, Cambridge Tracts in Math-ematics, no. 11, 1910.

3W. H. Young with G. C. Young, The first book of geometry, London, Dent, 1905.4W. H. Young with G. C. Young, The theory of sets of points, Cambridge Univ. Press, 1906.

22

i b ∈ [0, f(c)] tada vrijedi ∫ a

0

f(x) dx+

∫ b

0

f−1(x) dx ≥ ab, (5.27)

gdje je f−1 inverzna funkcija od f , a jednakost u (5.27) vrijedi ako i samo ako je

b = f(a).

Dokaz, vidi [23, str. 4]: Buduci da je f strogo rastuca funkcija vrijedi

f(a) < f(f−1(b)

)= b, (5.28)

gdje je a < f−1(b). Suprotna nejednakosti u (5.28) vrijedi ako je a > f−1(b).

Zatim se iskoristi teorem srednje vrijednosti za integral neprekidne funkcije

f(a) <

∫ f−1(b)

0f(x) dx−

∫ a0f(x) dx

f−1(b)− a< b.

Zamijeni li se ∫ f−1(b)

0

f(x) dx sa f−1(b)−∫ b

0

f−1(x) dx

i pojednostavi, dobije se u oba slucaja

ab <

∫ a

0

f(x) dx+

∫ b

0

f−1(x) dx < af(a) + f−1(b)(b− f(a)

).

2

U nastavku je dan specijalan slucaj nejednakosti (5.27) za f(x) = xp−1, f−1(x) = xq−1,

vidi [6, str. 706].

Korolar 5.1 Neka su a i b dva nenegativna realna broja, te neka je 1 < p, q <∞ i

1

p+

1

q= 1,

onda vrijedi:

ab ≤ ap

p+bq

q.

Jednakost vrijedi ako i samo ako je ap = bq.

23

Geometrijska interpretacija Youngove nejednakosti (5.27):

Na Slikama 5.3 i 5.4 vidi se da povrsina pravokutnika (P = ab) ne moze biti veca od

zbroja povrsine ispod funkcije f (ljubicasto) i f−1 (zuto).

Slika 5.3 Geometrijska interpretacijaYoungove nejednakosti kad je a >f−1(b)

Slika 5.4 Geometrijska interpretacijaYoungove nejednakosti kad je a <f−1(b)

Takoder se na Slici 5.5 vidi da jednakost u (5.27) vrijedi ako i samo ako je b = f(a).

Slika 5.5 Geometrijska interpretacija Youngove jednakosti

24

Teorem 5.2 (Suprotna Youngova nejednakost) [23, str. 4]

Neka je f : [0, c]→ R neprekidna i strogo rastuca funkcija. Ako je f(0) = 0, a ∈ [0, c]

i b ∈ [0, f(c)] tada vrijedi

min

{1,

b

f(a)

}∫ a

0

f(x) dx+ min

{1,

a

f−1(b)

}∫ b

0

f−1(x) dx ≤ ab, (5.29)

gdje je f−1 inverzna funkcija od f , a jednakost u (5.29) vrijedi ako i samo ako je

b = f(a).

Dokaz. Funkcija F (x) =

∫ x

0

f(x) dx je strogo konveksna. Ako je a < f−1(b), onda je

F (a) <a

f−1(b)F (f−1(b))

=a

f−1(b)

[bf−1(b)−

∫ b

0

f−1(x) dx

]= ab− a

f−1(b)

∫ b

0

f−1(x) dx,

tako da je ∫ a

0

f(x) dx+a

f−1(b)

∫ b

0

f−1(x) dx < ab.

U drugom slucaju ako je a > f−1(b), primjenjuje se isto obrazlozenje na funkciju

G(x) =

∫ x

0

f−1(x) dx, pri cemu se dobije

b

f(a)

∫ a

0

f(x) dx+

∫ b

0

f−1(x) dx < ab.

2

25

6. Jensenova nejednakost

6.1. Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859-1925)

Slika 6.1 Jensenovportret

Johan Ludwig William Valdemar Jensen je bio danskimatematicar. Roden je 1859. godine u Nakskovu. Jensenje zavrsio skolovanje u Kopenhagenu, te 1876. godine upi-suje studij Tehnologije u Kopenhagenu gdje studira znanost,ukljucujuci fiziku, kemiju i matematiku. Ubrzo gubi interes zasve osim matematike i pocinje sa istrazivanjima na podrucjumatematike. Njegovi prvi radovi su objavljeni jos dok je studi-rao. On se smatra amaterom u matematici jer nikada nijeimao akademski polozaj. No njegova ljubav prema matema-tici ga je potakla da odluci posvetiti svoj neprofesionalni zivotupravo njoj. 1906. godine objavio je clanak u Acta Mathe-matica kojim mu je zagarantirana matematicka besmrtnost.

Radio je kao telefonski inzenjer od 1881. godine, prakticki prije telefona u Danskoj, pa

sve do 1924. godine. Unatoc tome sto je cijeli svoj radni vijek radio za kopenhagensku

telefonsku tvrtku, dosegao je vrlo visoku razinu strucnosti kao matematicar. Umro je

u Kopenhagenu 1925. godine. Ponesto o Jensenovom zivotu se moze naci u knjigama

[19] i [21].

6.2. Konveksne funkcije

Definicija 6.1 Funkcija f : (a, b) → R, (a, b) ⊆ R se naziva konveksna funkcija na

(a, b) ako za svaki x, y ∈ (a, b) i svaki λ ∈ [0, 1] vrijedi

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y), (6.30)

a strogo konveksna na (a, b) ako u nejednakosti (6.30) za svaki x 6= y i svaki λ ∈ (0, 1)

vrijedi stroga nejednakost

f(λx+ (1− λ)y) < λf(x) + (1− λ)f(y).

Definicija 6.2 Funkcija f : (a, b) → R, (a, b) ⊆ R se naziva konkavna funkcija na

(a, b) ako za svaki x, y ∈ (a, b) i svako λ ∈ [0, 1] vrijedi

f(λx+ (1− λ)y) ≥ λf(x) + (1− λ)f(y), (6.31)

a strogo konkavna na (a, b) ako u nejednakosti (6.31) za svaki x 6= y i svaki λ ∈ (0, 1)

vrijedi stroga nejednakost

f(λx+ (1− λ)y) > λf(x) + (1− λ)f(y).

26

Do nejednakosti (6.30) i (6.31) se moze doci ako se prouci njihovo geometrijsko znacenje

[20, str. 49].

Povrsina trokuta s vrhovima O(x1, y1), P (x2, y2) i R(x3, y3) je dana s

P =1

2

[x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)

],

gdje je P ≥ 0 ako su vrhovi O, P i R poredani u smjeru suprotnom gibanju kazaljki

sata (Slika 6.2), a P ≤ 0 ako su vrhovi poredani u smjeru gibanja kazaljki sata (Slika

6.3).

Slika 6.2 Konveksna funkcija Slika 6.3 Konkavna funkcija

Neka je funkcija y = f(x) definirana na (a, b) ⊆ R, te neka su vrhovi trokutaO(x1, f(x1)),

P (x2, f(x2)), R(x3, f(x3)), x1 ≤ x2 ≤ x3 upisani u graf te funkcije. Nejednakost P ≥ 0

sada ima oblik

f(x1)(x3 − x2) + f(x2)(x1 − x3) + f(x3)(x2 − x1) ≥ 0. (6.32)

Ako nejednakost (6.32) vrijedi za bilo koji izbor tocaka O,P i R tada kazemo da je

funkcija konveksna (Slika 6.2), a ako vrijedi suprotna nejednakost onda je funkcija

konkavna (Slika 6.3). Naravno, ako u nejednakosti (6.32) stoji stroga nejednakost

onda je funkcija strogo konveksna, odnosno strogo konkavna u suprotnom. Funkcija f

je konkavna ako je −f konveksna.

Dijeljenjem nejednakosti (6.32) sa (x1 − x3) dobije se

f(x2) ≤ x3 − x2

x3 − x1

f(x1) +x2 − x1

x3 − x1

f(x3), (6.33)

27

gdje je x1 ≤ x2 ≤ x3. Dalje, ako se stavi x1 = x, x3 = y, λ =x3 − x2

x3 − x1

gornja

nejednakost postaje

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y), λ ∈ [0, 1]

sto je upravo nejednakost (6.30) s pocetka.

Nejednakost (6.30) osim sto je ekvivalentna s nejednakostima (6.32) i (6.33) moze se

zapisati i u obliku

f

(px+ qy

p+ q

)≤ pf(x) + qf(y)

p+ q, (6.34)

gdje su x, y ∈ (a, b), p, q ≥ 0, p + q > 0. Nejednakost (6.34) je specijalni slucaj

nejednakosti (6.30) za

λ =p

p+ q.

Jos jedan zapis nejednakosti (6.30) glasi

f(x1)− f(x2)

x1 − x2

≤ f(x3)− f(x2)

x3 − x2

, (6.35)

gdje je (x1 ≤ x2 ≤ x3). Iz nejednakosti (6.35) slijedi da je funkcija f konveksna na

(a, b) ako i samo ako je za svaku tocku c ∈ (a, b) funkcija x 7→ f(x)− f(c)

x− crastuca

na (a, b) (x 6= c).

Da bi se bez crtanja grafa moglo ustanoviti je li neka funkcija konveksna ili ne potrebna

su sljedeca svojstva konveksnih funkcija.

Teorem 6.1 (vidi [13, str. 147])

Neka je funkcija f : (a, b)→ R, (a, b) ⊆ R dva puta neprekidno derivabilna na (a, b).

i) Funkcija f je konveksna na (a, b) ako i samo ako je

f ′′(x) ≥ 0, (∀x ∈ (a, b)),

a f je strogo konveksna na (a, b) ako i samo ako je

f ′′(x) > 0, (∀x ∈ (a, b)).

ii) Funkcija f je konkavna na (a, b) ako i samo ako je

f ′′(x) ≤ 0, (∀x ∈ (a, b)),

a f je strogo konkavna na (a, b) ako i samo ako je

f ′′(x) < 0, (∀x ∈ (a, b)).

28

Teorem 6.2 Neka je funkcija f : (a, b)→ R, (a, b) ⊆ R diferencijabilna na (a, b).

i) Funkcija f je (strogo) konveksna na (a, b) ako i samo ako f ′ (strogo) raste na (a, b).

ii) Funkcija f je (strogo) konkavna na (a, b) ako i samo ako f ′ (strogo) pada na (a, b).

Teorem 6.3 (vidi [16, str. 16])

Funkcija f : [a, b]→ R, [a, b] ⊆ R je (strogo) konveksna ako i samo ako postoji (strogo)

rastuca funkcija g : [a, b]→ R i c ∈ (a, b) takav da za svaki x ∈ (a, b) vrijedi

f(x) = f(c) +

∫ x

c

g(t)dt.

6.3. Jensenova nejednakost

Definicija 6.3 [14, str. 149] Funkcija f : (a, b)→ R, (a, b) ⊆ R je J-konveksna (kon-

veksna u Jensenovom smislu) na (a, b) ako je

f

(x1 + x2

2

)≤ f(x1) + f(x2)

2(∀x1, x2 ∈ (a, b)), (6.36)

a strogo J-konveksna ako za x1 6= x2 vrijedi stroga nejednakost

f

(x1 + x2

2

)<f(x1) + f(x2)

2(∀x1, x2 ∈ (a, b)).

Slika 6.4 J-konveksna funkcija

Definicija 6.4 Funkcija f : (a, b)→ R, (a, b) ⊆ R je J-konkavna (konkavna u Jensen-

ovom smislu) na (a, b) ako je

f

(x1 + x2

2

)≥ f(x1) + f(x2)

2(∀x1, x2 ∈ (a, b)), (6.37)

29

a strogo J-konkavna ako za x1 6= x2 vrijedi stroga nejednakost

f

(x1 + x2

2

)>f(x1) + f(x2)

2(∀x1, x2 ∈ (a, b)).

Slika 6.5 J-konkavna funkcija

Iz Slika 6.4 i 6.5 se naocigled vidi da vrijede nejednakosti (6.36) i (6.37).

Razlika izmedu konveksnih i J-konveksnih funkcija je u tome sto konveksne funkcije

moraju bit neprekidne na intervalu (a, b) dok J-konveksne ne moraju. To onda povlaci

da postoje J-konveksne funkcije koje nisu konveksne. Analogno, postoje J-konkavne

funkcije koje nisu konkavne.

Teorem 6.4 (Jensenova nejednakost) (vidi [20, str. 51])

Ako je realna funkcija f konveksna na (a, b) ⊆ R i xi ∈ (a, b), i = 1, . . . , n,

p nenegativna n-torka, tada vrijedi nejednakost

f

(1

Pn

n∑i=1

pixi

)≤ 1

Pn

n∑i=1

pif(xi), (6.38)

gdje je Pn :=n∑i=1

pi.

Ako je f strogo konveksna funkcija, tada je nejednakost (6.38) stroga osim ako je

x1 = · · · = xn.

30

Dokaz se provodi metodom matematicke indukcije.

1. Baza indukcije: Za n = 2, (6.38) se svodi na nejednakost (6.30) ili (6.34).

2. Pretpostavka indukcije: Moze se pretpostavit da nejednakost (6.38) vrijedi za

svaki k, 2 ≤ k ≤ n− 1, tj.

f

(1

Pk

k∑i=1

pixi

)≤ 1

Pk

k∑i=1

pif(xi). (6.39)

gdje je Pk :=k∑i=1

pi.

3. Korak indukcije:

f

(1

Pn

n∑i=1

pixi

)= f

(pnPnxn +

Pn−1

Pn· 1

Pn−1

n−1∑i=1

pixi

)(6.34)≤

pnPnf(xn) +

Pn−1

Pnf

(1

Pn−1

n−1∑i=1

pixi

)(6.39)≤

pnPnf(xn) +

Pn−1

Pn

1

Pn−1

n−1∑i=1

pif(xi)

=n∑i=1

pif(xi).

Dokaz za slucaj stroge nejednakosti je ekvivalentan, samo se nejednakosti zamjene

strogim nejednakostima.

2

Teorem 6.5 (Suprotna Jensenova nejednakost) (vidi [20, str. 52])

Neka je p realna n-torka takva da vrijedi

p1 > 0, pi ≤ 0 (i = 2, 3, . . . , n), Pn > 0.

Neka je (a, b) ⊆ R, xi ∈ (a, b) (i = 1, 2, . . . , n),1

Pn

n∑i=1

pixi ∈ (a, b) i ako je

f : (a, b)→ R konveksna funkcija, tada vrijedi

f

(1

Pn

n∑i=1

pixi

)≥ 1

Pn

n∑i=1

pif(xi).

31

Dokaz. Tvrdnja slijedi iz Jensenove nejednakosti (6.38) ako se koriste zamijene

p1 7→ Pn, x1 7→1

Pn

n∑i=1

pixi, pi 7→ −pi, xi 7→ xi (i = 2, 3, . . . , n)

2

Korolar 6.1 (vidi [10, str. 9])

i) Ako je realna funkcija f konveksna na (a, b) ⊆ R i x1, x2, . . . , xn ∈ (a, b), onda

vrijedi nejednakost

f

(x1 + x2 + · · ·+ xn

n

)≤ f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn)

n. (6.40)

ii) Ako je realna funkcija f konkavna na (a, b) ⊆ R i x1, x2, . . . , xn ∈ (a, b), onda

vrijedi nejednakost

f

(x1 + x2 + · · ·+ xn

n

)≥ f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn)

n.

Dokaz. Specijalni slucaj Teorema 6.4 za p1 = p2 = · · · = pn = 1.

6.4. Primjena Jensenove nejednakosti

Primjer 6.1 Dokazite da za pozitivne brojeve a1, a2, . . . , an vrijedi

a1 + a2 + · · ·+ ann

≥ n√a1a2 . . . an.

5

Rjesenje: Kako je funkcija f(x) = ln x konkavna na intervalu (0,+∞) sto se moze

vidjeti iz Slike 6.6

Slika 6.6 f(x) = lnx

5Nejednakost izmedu aritmeticke i geometrijske sredine.

32

to je prema Jensenovoj nejednakosti (6.40)

lna1 + a2 + · · ·+ an

n≥ ln a1 + ln a2 + · · ·+ ln an

n,

primjenom formule za logaritam produkta dobije se

lna1 + a2 + · · ·+ an

n≥ ln n

√a1a2 . . . an,

odakle se dobije trazena tvrdnja.

Primjer 6.2 Dokazite da za svaki x ∈ [0,+∞) vrijedi nejednakost

x5 + (1− x)5 ≥ 1

16.

Rjesenje: Za x = 0 dana nejednakost ocigledno vrijedi. Kako je funkcija f(x) = x5

konveksna na intervalu (0,+∞),

Slika 6.7 f(x) = x5

pa je prema Jensenovoj nejednakosti (6.40)

(x+ (1− x)

2

)5

≤ x5 + (1− x)5

2,

odakle slijedi

x5 + (1− x)5 ≥ 1

16,

sto je i trebalo dokazati.

33

Primjer 6.3 Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi takvi da je a+ b+ c = 1. Dokazite

da vrijedi nejednakost(a+

1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

+

(c+

1

c

)2

≥ 100

3.

Rjesenje: Promotrimo funkciju f(x) =

(x+

1

x

)2

. Kako je f ′(x) = 2

(x− 1

x3

), a

f ′′(x) = 2

(1 +

3

x4

)> 0 za svaki x ∈ R\{0}. Dakle, f je konveksna na citavoj domeni

(a ne samo na intervalu (0,+∞)).

Slika 6.8 f(x) =

(x+

1

x

)2

Prema Jensenovoj nejednakosti (6.40) je

(a+

1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

+

(c+

1

c

)2

≥ 3 ·

(a+ b+ c

3+

1a+b+c

3

)2

= 3 ·(

1

3+ 3

)2

= 3 · 100

9

=100

3.

Gornji primjeri su preuzeti iz [10].

34

Literatura

[1] S. Arslanagic, Matematika za nadarene, Bosanska rijec, Sarajevo, 2004.

[2] G. L. Booth, S. S. Dragomir, Gruss-Lupas type inequality and its applications for

the estimation of p-moments of guessing mappings, Mathematical Communica-

tions 5(2000), 117-126.

[3] A. Bultheel, R. Cools, The birth of numerical analysis, World Scientific, Singapore,

2009.

[4] S. D. Chatterji, G. C. Young, W. H. Young, Selected papers, PPUR presses poly-

techniques, Lausanne, 2000.

[5] W. Ernst, A. Y. Nitussov, G. Trogemann, Computing in Russia: the history of

computer devices and information technology revealed, Vieweg +Teubner, Braun-

schweig/Wiesbaden, 2001.

[6] L. C. Evans, Partial differential equations, AMS Bookstore, Providence, 2010.

[7] H. Gauchman, A Steffensen Type Inequality, J. Ineq. Pure and Appl. Math., 1(1)

Art. 3, 2000.

[8] G. Gruss, Uber das Maximum des absoluten Betrages von 1b−a

∫ baf(x)g(x) dx −

1(b−a)2

∫ baf(x) dx

∫ bag(x) dx. Math. Z. 39(1935), 215-226.

[9] I. Ilisevic, Cebisevljeva nejednakost, Osjecki matematicki list 4(2004), 65-75.

[10] I. Ilisevic, Jensenova nejednakost, Osjecki matematicki list 5(2005), 9-19.

[11] H. Kohler, Statistics for business and economics, Scott, Foresman, 1988.

[12] A. N. Kolmogorov, A. P. Yushkevich, Mathematics of the 19th century: mathe-

matical logic, algebra, number theory, probability theory, Birkhauser, Basel-Boston-

Berlin, 2001.

[13] S. Kurepa, Matematicka analiza 1, Skolska knjiga, Zagreb, 1997.

[14] S. Kurepa, Matematicka analiza 2, Skolska knjiga, Zagreb, 1997.

[15] A. M. Mercer, An improvement of the Gruss inequality, J. Inequal. Pure and Appl.

Math., 6(4) Art. 93, 2005.

[16] D. S. Mitrinovic, P. S. Bullen, P. M. Vasic, Sredine i sa njima povezane nejed-

nakosti 1, Beograd, 1977.

35

[17] D. S. Mitrinovic, J. E. Pecaric, Monotone funkcije i njihove nejednakosti, Naucna

knjiga, Beograd, 1990.

[18] D. S. Mitrinovic, J. E. Pecaric, A. M. Fink Classical and New Inequalities in

Analysis, Kluwer Academic Publisher, Dodrecht, 1993.

[19] S. Olson, Count Down: Six Kids Vie for Glory at the World’s Toughest Math

Competition, Houghton Mifflin Harcourt, New York, 2005.

[20] J. E. Pecaric, Nejednakosti, Hrvatsko matematicko drustvo, Zagreb, 1996.

[21] S. L. Savage, The flaw of averages: why we underestimate risk in the face of

uncertainty, John Wiley and Sons, New Jersey, 2009.

[22] L. Tartar, An introduction to Sobolev spaces and interpolation spaces, Springer,

2007.

[23] A. Witkowski, On Young’s Inequality, J. Ineq. Pure and Appl. Math., 7(5) Art.

164, 2006.

36

Sazetak

Matematicari koriste izraz ”nejednakost” ne da ukazu na socijalnu nepravdu, nego

da usporede dva broja. U radu je predstavljeno pet nejednakosti koje se temelje na

monotonosti. To su Cebisevljeva, Grussova, Jensenova, Steffensenova i Youngova ne-

jednakost. Sve su one iskazane i dokazane, a kod Cebisevljeve i Jensenove nejednakosti

primjena je ilustrirana kroz nekoliko razlicitih primjera.

Bitno je napomenuti da su navedene nejednakosti svojevrsna generalizacija nekih,

manje ili vise poznatih nejednakosti. Iz Jensenove nejednakosti proizlaze mnoge po-

znate nejednakosti kao sto su nejednakost izmedu aritmeticke i geometrijske sredine,

Cauchy-Schwarz-Bunjakovski nejednakost, Cebisevljeva nejednakost, te mnoge druge.

Cebisevljeva nejednakost se primjenjuje u matematickoj analizi, teoriji vjerojatnosti i

drugim podrucjima matematike, dok Grussova nejednakost ima statisticku i aktuarsku

primjenu, a Youngova nejednakost se moze koristiti za dokazivanje Holderove nejed-

nakosti. Siroka primjena ovih nejednakosti naglasava njihovu vaznost za matematiku.

37

Summary

Mathematicians use term ”inequality” not to indicate social injustice, but rather to

compare two numbers. This paper presents five inequalities that are based on mono-

tonicity. These are Chebyshev, Gruss, Jensen, Steffensen and Young’s inequality. All

these inequalities were imposed and proved. Application of Chebyshev and Jensen’s

inequality is illustrated through several elementary tasks.

It is important to note that these inequalities are generalization of some more or

less known inequalities. Many well-known inequalities, such as inequality of arithmetic

and geometric means, Cauchy-Schwarz-Bunjakovski inequality, Chebyshev inequality

are obtained from Jensen’s inequality. Chebyshev inequality is used in calculus, proba-

bility theory and other fields of mathematics while Grusse inequality has a statistical

and actuarial applications. Young’s inequality can be used to prove the Holder inequali-

ty. Wide application of these inequalities shows their significance for mathematics.

38

Zivotopis

Rodena sam u Vinkovcima, 05. veljace 1986. godine. Osnovnu skolu Josipa Kozarca

pohadala sam u Vinkovcima od 1992.-2000. godine. Zatim, nakon zavrsene osnovne

skole upisala sam Gimnaziju Matije Antuna Reljkovica, opci smjer takoder u Vinkovcima

i maturirala 2004. godine. Nakon toga upisala sam Preddiplomski studij matematike u

Osijeku na Odjelu za matematiku. 2007. godine upisala sam Diplomski studij matema-

tike, smjer poslovna i financijska matematika na Odjelu za matematiku.