24
Comprehensive Summaries of Uppsala Dissertations from the Faculty of Science and Technology 828 Summation-by-Parts Operators for High Order Finite Difference Methods BY KEN MATTSSON ACTA UNIVERSITATIS UPSALIENSIS UPPSALA 2003

Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

  • Upload
    others

  • View
    10

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

Comprehensive Summaries of Uppsala Dissertationsfrom the Faculty of Science and Technology 828

Summation-by-Parts Operators forHigh Order Finite Difference

Methods

BY

KEN MATTSSON

ACTA UNIVERSITATIS UPSALIENSISUPPSALA 2003

Page 2: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

��������������� �������� ��� ���� �����

������ ��������� ������

������

��� ��������

� �����������

�� ���� ������ ��� ������� � ������� ��� ��� ���� �������� ������� ��� ������ ��� � �� ��� ����������� ��������� �� ���� ���� ��� ���� �������������������� ������� ������������ ��� ������� �� ��������������� ���� ������������ �� �� �������� ������ �� ������� ��� �������� ��������� ��!��������� ��������� �" �� #��������� �� �$���� ������ ��� ��� ��� ��� ����������� ���%���� ����������� ��� #�����& �����������

'�� ���� ����������� ��������( ��� ������������ ����� �� ���� ������������ ���� ��� �����������( ����� ���� ���� ����� ���� �� ������ ���� �������� ���� ���� ������ � � �����( ���� �� �� ������� ���� ������������� �( �� ���� �� ���� �� �� ��������� ������� ������� ��� ����� )� �� ������ ��!��� ���� �� �������� ��������( %���� �������� �� %���� �$������ ������ ��( ������ � ����� ����� ����� ������ *�� �������( ������� ���� ��� +�,�*������ -./ ������������ �� ��� ��� ������� �� �� � ��( ��� �&����� � ������������ ������ �� ���� -0/( �� ��������� ���� ��1��� �� �� �������� ��������� �� ����� ������� ����� � ��� ����� � ������ �� ���� ���� �� ��� ����� �� �� ��� �$�������� �!������ *�� ������� ��� ����� �������� ��� ����� �������

�� ���� ������ �� ��� ��������� �� �2����� ����� � ���� � ������ ����������� ���������1� ������ �� ������� ��� �� 3��� �� �� %���� �$������ ����� ��34'56� �%�� ����� ��!��������� ��� �2������ � ���� �� �� �&������ �������� %���� �$������ ����� �( ���� ������ �� ������� �$�������� �!������(��� ���������� ����� � �� ,����� �� 4����� -07/� ���� �������� ��� ������ � ������ ��� ���������� ��� � �� ������ � ������� ����� ����� �� ���� �������� �����&�������� � � ���������� �� �� ������� ���� ����� �� ��� ������ ������� ���������� ���� � 8�� �� �� ������� ����� ( ���� � ��� �������� ���� � ��� ������� ���������( ����� �� � ����� ����� ������������ �� ��������� �� ���� ����� ���� � 9� �� �� ������� ����� ��!��� �����&������� ��

��� ������ �� ���� � ��� ������� ��������� �� ����� �� ��� ���� ����� ���������� �����1��� 34'56( ��� ���� �2���� �� �� ���� ���� ��� �����&����

���� �� ������� ��� ��������� ������ �� ��� ��� ��� ����� �� 34'56 ������

0

Page 3: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

� ��� ��������

�� ����� �� � � ����� � � ���� � �� � � ��� � ������ �� � ��� � � �� ��������� ������ !� ��� ��� "�� � � ���� � ��������� �# ��$ � �� �����%�������� �#��� ������ ����� �� ����� ���� ��� � %������ ��$ � �� �� ������ �����#���� ���������� �� ����� &"��' ��� �

(� ���� ��) ���� �� ���� �� ��� ��� � � �� � ��� ����� ��� ���� ��� �������� *��� ��$ � �� ��� � � #�� ��� ������ ��� ���� #�� ��������� ������+� ����� % ������� ��� � ��� �� ������ ���� ��� � � �� �� �� ,

�� -������ "�� �� �������

�� "���� �������� ���� ��� ��

� ./�� �� ����*���� ������������

0� 1���� ����� �������� �

(� � �� �# �� �� ��� ���� ���� � �� #������� �� " ����� ��� � ������� ��� ���� ��� ��� � *�������� �� � ����� ��� �� "�� ���� ��� � �� ������� �� ��� ����� �� � ������� �������� ���� ��� �� �� � ����� ��0 �� �� �# ����*��������������� �� ������� �� �� � ����� ��2 � ������� ��$ � �� � ��������� � #��������� ����� �� �� 3� ��3 � �� ��� �� �� � ������ ���� ���� �� � ��0 ��� ��2 � �������4 ��� � ��� ���� ����� ��� ��� �� � �� ���� ���

��� ������� �� ���� � ��

� #�� � ����� � �������� �� ��������� ���� ��� �� ��� � *������� �� � � ��5 � �� ��� � ������� #�� � �� ���� � #�������� �� � � ����� �� � � *� � ��

��� �� �� ��� � �� ��� �� ���� �������� ���� ���� � ��� ��� (� ������

&� � � � �' �� ����� ��4 � ����� � 6��������� ���� �������

�� � �� �� � �� � � � �� �� � � ��� �

� � �

(� ��� ����� �����%������� �� ���� ����� �� �� � ��� � �� � ��� �� ����� � �������� � ���� �� � ���� ��� � � � � �� �� 7 � *� �� ��� � ������� ��� ���� #������� � � �� ���� � � ����8#�������� �� � � �� ��

��� ��� � �� � � � ����� � �� � � � &�'

�� � � � �� ��

9����� � �� �����

�� � �� � � ��� �� � � � � �� � � ������ �� � �������� �� � ���� �

&�'

Page 4: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� �

����� � �� ��� ��������� ����� �� � ��� � ����� ����� �� � ��� � ��������� � � ��� ������ ���� �� � ��� � ����� ����� ��� ������������ ���� ������� � ��� �� �� ������ �� � ������ � ������ ��������� ������ �

�� ��� � ���� � � ����� � �

���

����� � �� ��� ������ ���������� ��� ������� ������������ � ������� ���� ����� � ���� � �� � �� � � !��� � ����� �

"� ��� �� ���� � ��� ���� #$%� �� � � � � � ������ ����� � � � � ����� ������ �������� � ��� � ��

�� � ��������� �&�

������ " �&�� �� �� � � � ����� �� "� ��� �� � �������� ������ ����������� ������ � ���� � � ����� ��� �������� ����� �������� � ��� � ��

���� � ���������� �'�

������ " �'�� � � � ������ ���� ���� ���� � �������� ������ ���� ������ ��� ��� ���� ������ ��� ���� �� ��� �� ��� � ��� �� �� �����

��� ������ ��� ���� �� ��� �� ��������� �� ��� ��� �� ����� ���� � ������������ �� ��� � �� � � ��� � ��� �� �� �������� ���� ��������!����( ����� ���� ��� ��� �������� � ��� � ��� �� �� ���� �� ������ �� ���������� !����� � ��� � ���� � ��� )������ ����� ���� !���� � ��� #$%�*������ � � � � ����� ��� �������� ��� ��!� � #"%� ��� �������� ����������� ��� ����!����� � ��� ������ � � ���� + �� ���� �� �� �� � �������

��� ��������� ������ �������

, -./ ����� � �� ���������� � ������� ������� ������ ���� � �����0�� ����� ��������� ����� ����� ��� ����!� � � ��� � ����� ��� � ��� �� ����� � ���� ������ � ��� ��� �� ���� ��0�� �� �1�� 2 ����� ��� ������� ��� ������ ������ � � � �� + ���� 0��� ���� � �� � �� � � ��������"������� �� ����� ����� � �

����� � � �� � �� � � ���� �3�

����� �� ��� ���� ��� ���� ���� � ��� � �� � ��� � ��� 2 ����� ��������������� ���� ������ � �� � ���� � ��� ������ ��� ������ � , ������� ����� � �� � ���� �� � -./ ����� � �� ���� � �� �����

� � ���� ��� � � � � � �� �4�

���� ���� ����� �

������� � ��������� � ������ ��� � �� ����� �� � �� � ��

�� �$�

Page 5: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

� ��� ��������

�������� � �� � ������� ������ �� ��� ����������� �� ����� ������� �� �� ������������� �����

�� ��� �� ��������� �������� �� ���� ��� �� ��� �������� ��� ��� ����� ��� ��� �� !���� �� ��� ���� ��������" �� � ���� #���������� �� ����� ��� � ��"

������ � ��� ���� � ����� �� � �����

� � ������ � $�

��� � ��" �� ��� �� ��������� �� ��� �������� ��" �����%������� ������"����� ���� ��� ���� $�� #� �� ���� �� �����&� ���� �� �� �� �� ����� ����� �������������� �� ����� �������� �� ��� �� � ������

��� � ��" ����� ��

�� � ���������� �����%������� �� ����" � ����� �� �� �����%������� �� ��� '��� ��� ��� � �������� �� ��� ���� ��� �� �� �� �� �� (�� ��� ������ ����� �� ��� ���� ������� �����%�������" �� � ��� ��� � ��"

������

�� ������� � ����� �� � �������� � �������� � ������

�� )*�

� ������� ������ �� ��� ����������� �� ����� ������� $� �� ��� ���������� �����+��� ��" �� �� ��� ��������� �� ����� ����� ��� ����������� �� ����� ��������

�� �� �� �� ��� �� ������ ��������� !���� �� ��� �,������ �������� ���� ���" �����%������� ���� ��� ��� ������ ����� ��� � ��

������� � ��� ����� � �������� � �� � � � �� � ))�

�� ��� �� ������ �������� �� ��-�� ���� � � � �" �������� ���� ��� ���� �������� ��� ��������� ���������� �

��� ������������ �� ��� ��������� ��� ��� ����� ��� ��� � �� ��� �� �����.#/0" �� ����� ��� �������� ����������� �������� 1�����

��� ������ ��� �� �

�� ����� �� ��� ��������" � ������ ������ �����%������� ��� � !����� ��������� ������� � 2� ���������" ��� ��� �������� ����� ��� ��� ��������� ��������������� ��� �� #�/�" � �����'� ���� ��� ��������� �� ���� ������� � �� ��������� ���� ��� ��� ����� �%��������" ���� �� ������� ��� �,������ �������� �� ������� ��� �������� ���� � �� �'� ��������" ������� ������ ��� ��� ���������#� �������" ���� ��3�� �� ���������� �� ������ �� ������ ��������� ���� ���� �������� ���" ����� ��� �� ��������� ������������" �� ������� �� �� ��� ��4����������� �� ��� ������ �� �� ������� �%��������� ������ �� ��� ���������

��� ����� � �� ����� ��� ������������ 5����%������� ���� �5�� ����� .)0 �� ��� ���4������ ����� .)0".)$0 �� �� ������ ��� ���� ��� ��� ������ �������� ��� ��� �������� �� ������ � �� ���� ���� �� ��� �� ������ ��������� 5���������� ���������� ������� ��� �5� ����� " ��� ���4������ ����� " �� ��� ��4������ ����� ��� '��� ��� �� .6*0" ����� � ���������� ������ ���������� � ���������� ������ ��� ����� ��� �

Page 6: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� �

�� ���� � ����� �� �� ��� ��������� ����������� ��� ��� ����� ������������� ���� �� ����� ��� ����� ��� ���������� ����� ��� �� �� � ������� ������������������ ����� ����� ! � � �� ��� ��� "��������� ����� ! �������� ������ ��� �� �#� �� � $������$ ������� ��� ��������� ����� ��� ��� ����������� ����� ��� ��� ����%��� � �� ����� �� ��� ����� ��� ������ & ' �� ����� ������ ��� ��

�������� ��� ��������� ����� �� ������

�� � �� � �� � � � � �� � � �� ���� �� � ����� � ()*+

����������� �� ����� ���� ���

������ � ��

�� ���� � �� � (),+

'�� �������� ������������ �� ()*+ ���� ��� & ' ����� ��� ��� �� ��������������� ���� ��

�� ����� � ���� ���� � �������� �� ���� � � ()-+

����� �� � ��� �� ���� ��� ��� �� � �������� �� ���� ���� .� �������� � �� ��������� ����� ���� ��

������

�� ��

�� ��

�� ��� � ���

� � ()�+

/� ����� ()�+ �� � �������� ����� �� ��� ����������� �� ����� ��� � (),+ �� ��������� � � ����� ����� ��� ����� ��� ��� � ���

� ������ �� � �� ����������������

��� ������� ����� ����

0�� ����� ��������� �.1"�� ����� ��� ��� ���� ������������� ��� ���������� 2 �+ '�� 3��� ���������� �� ����������� ���� ���� ����� ��� ���� &." ����������� ��� ��+ '�� �� ����� ���������� ��� �������� ���� �����3� �� ����������� ���� ���� �������� ��� &." ��������� ��� �)4�� �)��

� &." �������� �� ��������� � �������� ��������� ����� ���� � �����3��� ����� ��������� 0�� �������� ���������� ������ �� �� �� 5���� ������������ ��������� ������ ��� ��� ��� �������� �� ����3��� ����������� �� ��������� ������ �� ��� �������� ����� '��� �� � �� ���������� �� ����������������� ���������� ������ ���� �� ���� ����� �������� ����������� ��� �)#���� �-��

6������� ��� ����������� ������������

�� � ����� � ���� � � ()7+

Page 7: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

� ��� ��������

�� � ������ ������ ������ ����� ������ �� ��� ����� ���������� ���� �������� �� �� ������ ������� ���� �������� �� ������������ ������ ���������� ��� ����� ����� ����� � �� � �� � ��

�� � � �

������

�� �� �� �

�� ��� ��� �� �� ������� ��������� ������� ���� � ��� ������� ������������ � �� �� � ��� ������� ������� ����� ���� ��� �� ������� ������� ���� ��� � ������� ����������� ��� �� ������� �� �� �������� ������������� ����� ��� �� �� ���� ���� ���� �� ����� �� ��

�� � ������ ��� � ���� � � � �� �

! ��"���� �������� ��� ����� �� �� �� � ������ ��� �� ����� �� ������������������ �������� � ������� �� ���� ��� �� �� ���������� ������� ������ �������� ������ �� ���������� ��#���� ��

� � �� � � � ��$�

%� ���� �� ���� ��� �� �������� ��$� ����� ��� �� � �� ����� ��� �����������& �� ��� � ��� � ���� �� �� ���� �"���� ���������� ��� �������� ��������� � �� ���������� ���� ��������� ������ �� ��������� �� '%%(�

��� ����� ��� �� ��� �

)�������� � ���� ������ � ������* ����������� �� ���� �� ��� ��� ������+��� ����� �� �� ������� ���������� ,�������� �� �� ���� ���� �� ���������� ������ ����� ��������� � ���� ������ ������� ��� ���� ����� �������������� ���������� �� ���� ��������� ������ ������* ������������� ������� ��� ������ �� ��� �� �-./� �� �������� ����������� � �� ����� ������� ������ ��������� ����� ��� � ������ ������ ��� �� ��� ��� ��� ������ ���� ����� ����������� � �������� ���������� �������

0*������ �� ���� ���������� ���������� ��� ���� ������� ���� ��������� ������� ������ ������� �������� ����������� �"����� ������� ���&� ����������� �� �������� ������ �������� !� ��������� � ���� ��+�������� ������ �� �� ������������ ��������� �� ����� �� ����������������� �� ��&�� �� ��� � ����� �� ����� ��� �������� ������ �� � �������& �������� 0��� �������� �� �������1�� ��� � ���� ���������� ��� �����&� ��� ������ ������ � � ����� ������ ����� ������ �������� ���+������� ��� ���� ��"��� ��� ��� �������� �� � ���� �� ���&� �������� � ���� ��� ������� �� �

! ������ �� � ���� � ���� ��� ���� ����� ������� �����*������ ���� ���� ���& ������� �� �� ��������& �� �-./�� �� � �������1� ������������ ����� 234 �������� ��� ��� �� �� ��*������ ������ ������������ �������� ��������� ����� �� 2!� ������ ���������� ���� �����+���� �������� ��� ������ �� '5( ��� '�6( � ������� ���� ��� ����������������� ��� �������� ��������� ��� �� ��/� ������ ���"���� 0���� ���7�����+2�&�� �#������� �� ������� �������� ! ������� �����#�� ��� ����

Page 8: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� �

�� ���� ��� �� � � ���� �� �������� ��� ��� �� ���� � � ������� ���������������� �� ��� ��� ���� �� �!������ � ������ �"���#���������� ������ ��������� �"��������� ���������� ����"���$ ���% ����������

�� ����� ��� �&� �"������� ��"���� � � � ����'� �$ ���� ��� �� ������! ������ ��� �������� ���������$ �"������� ���"������ $�������� � � (�)* +"��� �,"����� � � �"��� ���% ������ -����� ��� ��������� ���#������� ����"������ ��"�� �� ����� ��� ���������� ��� � � '��� ����������-./ ������� ��� � � �� ����'���� ���������� ������� �������� �� ���� ���������� � �����"�� �$ ���� ���"���� "� ��� �� ����� 0 � �������� ��#������ ��� ������� �� � � ��� ��,"� �������� �� �����

� ������� �� � ����� ���

��� ����� �

1� �����2� "� ��� �� ������$ � ������ �"����� �������� � '������3������ ����!������� � � ��������#��3"��� �,"���� (��* ��� � �#������� ������ (��*� 0 � ��� �� ���4 � � ��5����� ��� �� � � -60 ��� ��� � ��5����� ��� � ��� � � ���'�� ��5����� ��� �� 0 �������$��� �"#��������� � � � ��� �� ��� �������� ������ � ���"�� � � ���� � ��$ ��������$������� ��� ��������� � � ��$�����"� ������"� � � � ������������ ����!#�������� 0 � ������������ ����!������� � �� ����� �.&/� ��� �������� ������ ��

�� �

�������

�� � (��5�����*��� (-60*��� (��5�����*��� (���'�� ��5�����*

� (��*

��� ��� �� ��� ��� � � ��3����� �����! �������������� � � ������� ��������2�#��� (����"���$ � � �$���"� �"����� ��������*� 0 � �������� ������"���� � � ��$�����"�� � ��� �� ��� �

0 � -��"�����"� 6���!������ 0��� (-60* ��� � ��� ��� � � ��5�������� � ��7������ ����� � � �"����� �������� �"� � �� � � -./ ������� ����������� ��� �"� � �� � $�� �� ����$� ��������� 8� �� ����� �"����������"��� ������ � � -./ �������� �� �� $������ ���� � �� �� ����$��������� ����� �� �������� �� 9�$"��� � � � �������� ������"� � � � ��!� ���� ���"���� ����!������ � � �������� ������ (��* ��� � ��

����� � �

���� � � � � � � �� � � �

����� � �

���� � � � � � � �� � � �

������� �� � ������� �� � ������� �� � ������� ��

������� �� � ���� � ������� �� � ���� �

(��*

0 � �����""� ������ ��� ������� ����$�� ���� ���

�������� � �������

�� ��

�� ����� � �� � � �����""� ��$�����"�� ��� ������ � � � ���$����� �!���

Page 9: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

� ��� ��������

−0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Injection Method, sixth order, N = 30

real part

imag

inar

y pa

rt

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2SAT Method, sixth order, N = 30

real part

imag

inar

y pa

rt

������ �� ������ ������� ���� ����� ���� � � ���

������ ���� ��� ��������� ������ ���� ������ ����������� ����� ��� ������� ��� ����� � ���������� � ������� ��� ��� ��������� ������� �� ������������������ ���������� � �� ��� ������ ���� ������ ������ ��� ��!����� ��� �������� ����������� ���� ��� ����� �� ������ "� #� � ����� ���� ��� ��� $�� ������ ���������� ���� ��� ��������� ������ ����� �� �� ������� �������

��� ��� � ������� ��� ���� �� ���������� ��� ���������� %��� � � ��� ����� ��������� ������� &���� ��� %��� ���������� ���� � ���� ���������� � ��� '��������� ������ ��� ��� ����� ��� ������ ����� &������� ��� ����������� ��� ������ ���� ��� �� ��� ��������� ������ � ��������� ��(� ��� ������������!��)���� �*������ +���� �� �� ������� ���������,

�� � ��� � ���� � +"�,

��� ��������� ������ ���� ��� ����� �� � ������ ����� � ����������� ������� ������ �� ��� ������� ��� ��� ������� ���� ��� �����������

�� ������� ��� ��� ������� ������ ���� ��� ������� ���� ��� ��� ������� ���� �� ��� ����� �� ��� ��� ��� ��� ������� ���� ��� ������� ����������������� ���� �� ��� ���������� ��� ����� � ��-��� � ��� ��)������ ���������� �������� ��� ��� ���������� �������� ��� �� ����� � � �������� �� ����� ������� �� ������ .� ��� ��� ��� ����� ���� ���� ���������� ������� ����+�� ��������� ����, �� ��� ��/�� ������� � 01 ���� ���� ��� ��� ��� ���������� ��� �������� �� ���� � � ��� ���� ��� ������� $�� ����� 2����!3���� ������� ������ . ��� ���� ��� ����� ���������� � ��� ���������� ������� �� ��� ������� ���� ��� ��������� ������ � ����

Page 10: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� �

0 50 100 150 20010

−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

time

l 2 err

or

SAT Method , N = 60

2:nd−order4:th−order6:th−order

0 50 100 150 200 250 300 350 40010

−10

10−5

100

105

1010

timel 2 e

rror

Injection Method , N = 60

2:nd−order4:th−order6:th−order

������ �� ������ �� � ������ �� � ���� ���� ��� ���� ����� � � ��� �������� ����� �� ��� ����� ��������� ��� ������� � ��� �������� ����� ������������ �� � � � ���� � ��� ��� ����� ��� � ��� ��� ���� �����

0 2 4 6 8 1010

−15

10−10

10−5

100

time

l 2 err

or

INJECTIONSATPROJECTIONMODIFIED P

������ � �� ���� �� � ������ ���� � ��� ���� ����� !����������" # ��������� ����$ �� ��� ��%� ������"�

Page 11: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

�� ��� ��������

��� ����� ��

�� ������ ���� �� ������� �� �� ������� �� �� ������� �� ��������� �� � ������� ������� � � ���� �� ���������� �� ���� � �� ��� �� ����������� ������ �� �� ����� � �� �� ������ �������������� �� �������� � � � ������ ���� ���� ������� �������� ������ ��� ������ � � ��� � �� ���� ���� ������� ������ �� ���� ������� � ��� �������� �� ��������� �� ������� ������� �� �� �������� ��� ���� ����������� �������� � �� ����

��� � � ������ �� !" ������� ������������� ��� � �� � ������ ���������� ��� ������ ���� ������ ���� � � #�$� �%� $�&� '��� � ������������� �� �� � ��� ���� �������� ��� � ������ �� �� ��������� ��� ��������� �������� � �� ���� ��� ��� ���� � ��� �� � �� � ���� ���� �������������������� �� �� �������� ������� '��� � ���� ���� � (�� ���� ������� ���� �� �� ���� ��� � � �� � � �� � � ����) *� � ���� ���� ���� ��������������� ��� �� �� �� ����� � ��� �� � �� ���� ���� ������� ��������������� �� �������� ������� ��� � �� �� �� ���� ���� �� ��� ���� �� ���������� �� ���� �� � ���� ����� �� ����� ��� ���� ������ �������� �� ���� ��� #+&�

�� ���� �� �� �� ������� ������� ��� �� �� ���� ���� �� � ���� ��

��� � � � ���� ���

��

��� � ���� �

��� �� � ��� ��� (�� ���� ��� ���� �, ���� ��� � �� � ������* � ���� � ��� ������������� �� ���� �� ���� ������� ������ ���

� � �� ��� � � �� �� ���� ���� ����� ��� ������ ��� �� ��������� (�-*� �� ���� � ���� ���� �� ��� ����� � ���� �� ���� �� �� �� �������� �� �� �������� ���� ���� ���� �� � � �� � ���� �� �� ����� �� ���� ����� � �� ������������� ����� ��� �������� �� ���� � � �� �� �������� � �� � � � �������������� ���� ���������� � ����� ��������� '������ � �������� � ���� �

�� � �������� �� � �� �� �������� � �� ������ �� � ��� �������� �� � ���� �������� (�� �� ���� ���� �� *� � �.���� �� �������� �� � �� � ��� �������� ���� �� ���� �� � ����� ����� ��������� ���� ����� ���� ���� (������������ �� �������* �� �� � ����� ��� ���� ���� ��� � ���� ��������� �� ������� ��� ���� �������� �� �� ���� �� � ���� � �� �� �������� ��� �� �� ���� ����� ����� ( /���� 0*�

�� #�1& � ������� ��� ������ ������� �� ������� �������� ��� �

� ���

��

��� � �� ���� ��� � � � ����� �� �� � � � � �� �� ��� ��� ������� � ������ ��� � 2�� ���� ������� ����� ��� �� ������� ��� � �� ����- ��� 0�� ���� ������� �� �� �������� � 3����� � ��� ��� ������� � ��������� �� ������� ��� �� -�� ���� �������� ���� �� (����� � �������� ������ 2* ���� ��� � ��� �� �� ���� ������ 4 ����������� ���� ��� �� ������ ����� ����� � �� �������� ��� ���� �� ���� �� �� ����� ����� �� ��� � �������� �� /���� 2� �� ������� ��� ���� ��� ���������� ��

Page 12: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� ��

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2B

x

Transition−points

End points

������ �� �� �� �� �� �� ��� ��� ����� ����� �� ��� ���������� ������� ��������� � ��� ������ �� ��� ����� ������� �� ��� � ��� ����� ��������� ������������ ���� �

� �� ���� ���� ���� ��� ���� ���������� �� ��� �� ��� ���������� ����� ��� �� ��� !��������� "��� �����#�

0 2 4 6 8 1010

−5

10−4

10−3

10−2

t

log|

l 2 err

or|

No dissipation DI

8 DI

e

������ $� %��!��� "&'#� ��(����� �� � �������� �� � ���� ���� ��� �� ����� ������� � ��� )��� �������� �� ��� ���� ���� �� ����� ������

Page 13: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

�� ��� ��������

0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

−5

0

5

10Pressure, 4:th order, t = 14

x

y

0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

−5

0

5

10Pressure, 3:d order upwind, t = 20

x

y

0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

−5

0

5

10Pressure, 6:th order, t = 14

x

y

0 5 10 15 20 25 30 35 40−10

−5

0

5

10Pressure, 5:th order upwind, t = 20

x

y

������ � ������� � �� ��� � ������� ��� ��������� �� ������� � � � ����� � �������� �� ����� ���� ����� ���������� �� ���� �� ������ ���������� ��� � ��� � � ��������� �������� ��

�� ��� ����� ��� ������ ��� ������ ��!� �� � ��� ��� � ������� ��� ��� � ����� �������� � � � ��� "�� � �� ��� ��� � �� ���� ������ �� �� �������� ���� � � ���� �� ���� � �� � � ����#� �����#����� �� ��� ������� ����������

$ ���� ��� �������� � ����� �� �� � � �� ��������� �������� �� � ��� ��� ������������ � ������� � � � ���� �� � #���� �� ��� ��% &���� �'���� ��� $����� �������� � ����� �� ���� � ����� ���� ��� ���� ���#���#� () ����� ��� ����� *� �� +�� � �� �������� ����� �������� ������ � �� � ��� � �������� � � � # ���, � �#���� ��� ��� �� ����� ���� ���� �� ���� �� ���� ��� � � ��������� �������� �� $�� ��������� �� �-�� �� ��� � �� �������������� � �� ��������#� ������� ��� �� ��� � �� �� � ���� ��� �� ��������� � ���� # ���, ����.� �� �� � � ��� �� � � � ������ ������������ $�� ��������� ������� ��� ��������#� ����� ������� �� ������ ��� # ���, ���� �� ��� �� ������#�� ����� �������� ��� �������� � �� ��� �� � � ���

��� ����� ���

/ ��������� ��� � � ��� ������ � ���� � �� ���� � � � ��������� ��� �������� �� ���� ��� � $�� ���� ���#���#� () ����� �� �� ��� ��� ��������� �������� � ����� �� ���#� �� 0112 ���� � ����� � � ������� *� �� +�� ��

Page 14: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� ��

−15 −10 −5 0 5 10 15−15

−10

−5

0

5

10

15GRID around NACA 0012, 12 block.

x

y

3

12

987

46

5

101112

Airfoil

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2GRID around NACA 0012, 12 block.

xy

3

1

2

Airfoil

������ � �� � ������� ��� � ����� ������� ��� �� �� ���� �� ��� ��������� ���� �� �� ����� ���!���� �� � �� �� ��

��� �������� ��"��� �������� "���� "��� ���� � � ����� � ���� �� � � � ���#$���� �� ��������� �� � ������ �% ��� &���� �'���� �� � � ��� ���� � � ������ ��� ������� �� ��� ��� � �� ����� � ��� ���� ������� ������ "��� � (�� ������)������ �� ����!���� ��������� �� ������ �� �� ��� ��� ���� ��"��� ����

����� � �������� ���� � � � ������� ��� � ���#$���� �� ��������� �� ���� ������� ��� � ���� "�� ����� ��� �� �� ��� *��� ������ �+ ����������������% �� ��� ����� �� �� �������� ��� ��������� � ����� �� "��� ������� "��� ���,� ���� � -�./ �� � ������� �� ��� �� �������� ��� ���� �� �� "�� ��������% � ������ �� ���� � ���� ��� ����� � �� ������� �� ���� � � �������� "�� ��� ��� �� ���� �� ������ � �� ���� �� �� ��� � *���+ "� � ��� ��� ��������� ���� �� " �� � ������ � � ������ �� �� 0��� �� �� ��� ���� �� ���� � ��%��� � � ��������� "��� ��� ���� �� ���� �� ��� ��� ��� �� �� ���������� ������������� ���� � � �% ����� ��� �� ���� �����������% ���% � ���������1� ����� �2�����% �� �� ������� ���� ��� ������ � ���� � ���� �� ���� �� �� ������ #������% ��� ���� *� ����� � �� �������+ ��������� ��������� �� "������� ���� � � ��'����� � �����������% !��� ������ *���� ��� ��� � ����� !����� !����+ �� ������ � ���� � ���� � �����������% !��� ������ ��� � ������� ���� ������� �

�������� ��� '�����% � ��� � ���� "� � ������ ��� �����% � ���� � � 3��������� � .� �� ��� � �������� ���� �� � � ������ ����� � ������ "��� ��������� ������� ����� � � �� �������� !���� � ���� � ���� *&45& -�/+ ��������� ������ "���

0� ��� ���������� �� � ������� ��� ��������� � � � � ���# ������� �� ���� ��

Page 15: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

�� ��� ��������

�� ������� ��� � ��� ���� ��������� �� �������� ��� ������ �� ������� ��� �� ��� ���� ������ � ��� ������ �� ��� ������ �� ���� ������������� ��� ������� �� ��������� ���� ��� ��� ������ �� ��� � ���� �������������� �� ����� ���������� ������ ��� ��� ��������� ���������� ���� �� ����� ������ ��������� �!����� �������� ������� �� ��� "� �� #�� ���� ���� ������� �� ��� $�� ���� ���� ���� ���� � ���������� ��������� �� ��� ������������������� ��� ��� ���������� ���� ��� ��������� �� ��� $�� ���������� ����� %�$���

&������ ��� ��������� ������� ��� ���� ��� ����� ����' ��� ��� �(������� �� � �������� ��������� ��� ������������ �� ��� �������������� ������������ ����� ���� ��� ���� ������� �������� �� $�� ����������� ���� ���������� ��� �������� �� ��������� ������� ��� ��������� �� ���������� $�������

��� ����� �

)� *)+, $���� �!������ �������������� �� ����� ����������� ���� ������ ���������� � ����� ���� ��� ����� ��� ��� ���� -�� �� ��� ���� ���� ������ ���� ��� ���� �� ��� ������� ������ � ����� ��� � ������ ������������������ .����� ��� ������ ������� ������ ����� ��������� ������� ������ ���������� �������������� ��� ������� /���� �� *),0 �� 1

� ��� ���������� ��� ����������� ��� �������� &23 ����������

� ��� ������ ������ ��������� ��� ���������� ��� ��� &�� ������

4��� ���� �������� &23 ��������� ��� ��� $��� ��������� ��� $��� ��������� *� � �", �� ����� �� * 5,� �� ���������� ��� ������������ �� ����� ���������� ������ �������������� �� ���� � ������������������ ��������� ���� ������������ &23 ��������� ���� ��� ��� ����� ��������� ��� ����� �� �������������� �� �� �������� ���� ��� ����� ��������� ������������� �� ���� �� ������� ���� �� ��� &23 �������� ������������� ��� $��� ����������

��� ����� ���� ��� �������� �� ���� ����� ������� ���� ��� ����� ���������� ������������� ���� �� ����� �� ��� ��������� ��� �������������� ������� ���� ��������� ������� �� ��� ����� ���� �� ��� ������� �� ����� ��������� ��� �������� ������� � ��� ����� ���� ��� ��6���� ���� ��� ��������� �������������� ������� �� �� ����� ��������� )� ���� �� ����� ��� ������� ��6����������� �� � ��� �� ����� ��������� �������������� ��� ����� /�� ��� �������� ����0 ��� ���� ���� �� ������� � ��� $��� ������������� �� ����� �� ������������ ��� �������� �� ����� ���� ��������� ������� �� ��� �������� �������� � ��� ����� � �� �� ����� ��� ��� ���� ���� �������� ���������������� ��� ���������� ������� �� ��� �������� ������� �

� ����������� ��� ��� ��� ����������� ������������� �� ��� ����������!����� �6������ / �0 �� ���� ����� � ��� ��� ������ ��� ��� ��� ���� ����/���� ����0 ���� ��� $��� ��������� ������������� �� ������ ��� "� ����

Page 16: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� ��

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Mach number, 2:th order. Fine grid

x

y

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Mach number, 3:d order upwind. Fine grid

x

y

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Mach number, 5:th order upwind. Fine grid

x

y

13 14 15 16 17 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Lift on fine grid

time

Cl

2:nd order3:rd order5:th order

������ � ���� ������� � �������� �� ��� ��������� ��� ��� ��� �����

������ �� � ������ ����� ������� ������ ��� ��������� �� ��� !��"���� #�� ���

��� ��� ��� ����� �������� $�� ����%����� ��&"���� ���� ��� ��#� �� ��'�����

����� #�� ��� ���� ���� �� ��� ����� ��&"������ $�� ����� ���� �� ��� ��� �����

��#������ �������� �� � "��� �����

Page 17: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

�� ��� ��������

� �� � ���

��

�� ����� ������� ����� ���� ����� ������� ��� ��� ����� ������ ����� ���� ���� ������� ���� ���� ���� ����

� �� � ���

��

�� ����� ������ ���� ��� ���� ������ ��� ���� ���� ������� ����� ���� ���� ����� ���� ���� ���� ��

� ��� �� ������ � ������ �� ����������� � �� ��� ��� ��� ����� � ��� � ��� ����� ����� ����� ��� ���� � ���� !�� ��� ����� ��"�� �# ����"��� ��� �!���� ���� ��� ����� ��"�� �# ����"��� $� ��� ���%"� �!��� � ���� � ��� �� �!�!�#����!�!��� �� �!�� ��� �# !�%��%�� ���!�� �� %�� ��# % � ������� &��!�� ������� �� ������������ !� ��� ���� � ����

��"� �� ��"�� �# ����"���� � � �#%�� �� ������ ���!� �!�� %%��'!� �!��� �������� ��� (��� %%��'!� �!�� !� ������ � ��� ��"�� �!�� !�� �����!�� �� ������� ��� ������ �#%� !� ������ � ��� ��"�� �!�� !�� �����!�� ��� ����� ��"� ���)� � �� !���"��� ��� ��� � �� ���� ��� �� �!�!�# ����!�!��� �� �!�� ��� �# �!�%��%�� ���!�� �� %�� ��# % � ������� �!�� �� �� �� � ��� �����# ���!� �� �������� ������ *# �!�� �!�� ��� �� �!�!�# ����!�!��� � ��� !� ��� ����� ��"� �� %%��'!� �!�� !� ��� ������ ���!� �!�� %%��'!� �!�� !� ������ � ��� ��"�� �!�� !�� ��� ����� �����!��� + ����������� ��"�# ��� �#%�����!� %������ ,� � � !�,��-- � ��� %��������� ��� ���"�� ��� ��� !� �������� !�� .�/� �� � !� ������� %������� ��� !����� � ��"� �# �� ��� ������ � �"�� ����� ��� ��"�� �!�� !�� � ���� ��� ����� ���� ��"� �� �����!���

��!� ���!� ��� ��� !�����!� �!�� �� � !����%�����# % � ���!� �#����� !��� ����� �� ��� ���%����!��� & �!���0����� �1" �!���� )� ����!�����

� � � ��� � ,��-

����

����

���

�� �

�� �� ��

�� � �

�� �� �

�� � � �

��� �����# ������ � "��� �� ���!�� �"!� ��� ��"�� �# ����!�!����

��� ����������� ��"�# ��� �� �� � �!2������ %%��'!� �!��� !�� ��"��� �# ����"��� � � ������ ���� ��"� �� ��� ��� %%��'!� �!�� �� ��� ������ ���!� ��!��� �� %�#�!� � ��"�� �# ����!�!�� ��� ����� ���� ��"� ��� ���% ��� ����� !����� � ��"� �#� � !�� !� ��� ���!�� ����� �� ��"� �#� $� ��� �� �!�!�#����!�!�� !� �!�� ���� ��� ���� �� ����������� � �� !� � !� ���"��� �# ��� ������� ��� � ��� ��� ���"�� ��� ��� ��� ����� �"�� ���� � ���

$� ����� �� ���� ��� ������ ���!� �!�� 0*3 �%�� ���� !� ���� �� �!��!� �����!��� � ����!����� ��� �"���!� � ���%"� �!�� �� ��� 4� ��"�� &+5+���� !���!�� �������� �# ��� ��6 & �!���0����� �1" �!���� ���� ��� %"�� ������

Page 18: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� ��

� �� � ���

��

�� ����� �����

�� ����� ���� ����� ���

�� ����� ��� ���� ���

��� ��� ���� ����� ���

��� ���� ���� ���� ���

� �� � ���

��

�� ����� �����

�� ����� ���� ����� ���

�� ����� ��� ���� ����

��� ��� ���� ���� ���

��� ���� ���� ���� ��

� ��� �� ������ � ������ �� ����������� � �� �� ��� ��� ����� � ��� � ��� ��

��� ����� ����� ��� �� � � ���� ��� ����� ��!�� �" ����!��� ��� ����� � ����

��� ����� ��!�� �" ����!��� #� ��� ���$!� ����� � ���� � ��� �� �����" ������

����� �� ���� ��� �" ��$��$�� ������ � $�� ��" $ � ������� %����� ��� ���� �

������������ �� ��� �� � � ����

&��!�� � % �����'����� ���!���� ��!�� %()(���� �� ��� � * �� �!����

��� � �� ������ ���� � �� ��� !���� ��� !$+��� ������� �� ,�"�����

�!���� � ������

Page 19: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

�� ��� ��������

������ �� ����� ������ �������� ������ � ������� ������� �� ���� �������� �� �� ������ ����� �� ������! ����� � "�� �#$��� ������! ��� � %�&����������� �� ������

���������� ����� $��� �##��'������ $��� ��� ��$�& ������� �() �#�������! ���������� ! ���

������� �#! ��������� ����� �������� ���� ����� �� � ����� ���������� ���$������ ������� ����������� ���� ��� ��� ��������& ��������� *� ��� ��������& ������������� ��������! ���� ���� ��� �����& �������� �� ������ �����! ��� ������� ������ ����� ���� �� ������� �& ��� ����� �& ����� � ������ ���������� �##��'�������$��� �$� ����� ��$�� �������& �� ��� ����������! ���#���� �� ��� �������� �� �����& �� ��� ������� +�� ��������� ������� ���� ���$ ���� ��� ��$ ���������������� �() �#������� $��� $��� �� ��������� �##����������

��� ����� �

*� ���� #�#�� �����& ��������& ��� ,-�.� �� ����������� ����� ��� ��� ��#��� �������& ����� ������������ $��� ����������� +� ���������& ���#��� /�� ������������� ���� ��#������ #�������! ���� ����� ������� ��� ��������&! �� ����������� 0***1� ���� #������� ����� ��2���� ���� �����& ����� ��������� �� ������� ������� �� ���� #�#�� $� ��������� ���� ������ ������� �� ��� ���#������� �� �����&����� ��������� �� ���#��' �������� (& ����� �() �#������� �������� $��� �����+ �������& #��������! ������ ������� ��� �������� ��� *(3)� �� ��������������� *� 0��1 �� �� ���$� ���� ��������& �� ������&�� $��� �() �#������ �����

Page 20: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� ��

0 2 4 6 8 10 1210

−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

Convergence history, 5:th order case

time

|pn+

1 − p

n|

block normdiagonal norm

������ ��� ��� ��� ������������ ��������� �� �� ����� ������ ������������� �� �� �� ����� �������� ��� �� �� ����� ����� ���� ���������� �

�� ����� ����� ��� ���� �� ������� ������� �� ����������� ������ �������������� �� ��������� � !" ������� ����� �� �������� ����� ��� ����� #����$�� ����������� ��� �� �������� ���� ������� �� �� ���� � ������� ��� ����������� % ������ ����� �� � �� �� ����� �������� ���� �� ��� ��� ������������ � �� ����������� ����� ������� ������ �� � ������ � ����� � � ��#���� �� ������� ������ �� ���������� ������� ��� ����� �������� �� ����� �&����� �� ��� �������� � ������ ������ ��� �����

#�� '�� ��������� !" �������� ��� �� ��� ���'���� ���������� ��������������� �� ())* ���� �������� � ������� � �� ����� ������� ������ ����������� �� �� �� ����� �������� ����� %� � �� ���� �� ���������� �� ���� ������� ������ � +%,%--�. ��� ��� � . ������� ����� � ���� ��� /���0������ 1/�2 -��3� �������� � �� 4���� �5������� %� � ����������� ����� �� ����� ������� ������ ������ ����� �� �� �� ����� ����� ���� ������������� #�� ����������� ����� �� ��� �������� ��� ����� �� ������ �������� � ��� �� ���� �� ��� �� ������ ����� �������� ���� ��������� #��������� �� ���������� � ���� ������� ���� ��� ���� �� �������� �� ���� ���������

)� (.-* ���� ���� �6��������� �� �� '�� ��������� !" �������� � �� 0 ���� ������ ��� �������� #���� �������� ������ ��� ��������� � �� ���0���� )� (.-* �� ��� ������ � ���� �� ������� ���� � �� ������� ������ ������� � �������� �� ����� � ����� �� ����������� � ���� ��� � ���������� �� �� ������� ������ � �� ��������� ������ �� �������� )� ���0������ ���� �6����� ��� ������� �� ��� ������ )� %������6 % �� (.-* ��

Page 21: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

�� ��� ��������

−0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.10

2

4

6

8

10

12

14

16

Real part

Imag

inar

y pa

rt

Spectrum, minimal bandwidth

−0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Real part

Imag

inar

y pa

rt

Spectrum, minimal spectral radius

������ �� ����� � ���� ���� ��� �� ������� ����� �� �� �������� � � ���������� �� � �� ����� ��������� ����� ��� �� ������ ���� ����� �� �� ��� ���������

������ ��� ��� �� ��� �� ��� �� � � ����� �������� ���� ����� �� �� ��������� � ���������������� �� � �������������� �� � �������������� ��� ��� � ������� ���� �� �� !�� ������ �� ������ ��� �� �� � ����� �� �

������� �� � ������ ��� � ���� ������� ���� ��� ������ �� �� ������ "�� ������� ����� �� ���#�� �� ���� ���� � ���� � �� �� ����� �� � � ����������� ��� �������

"� ������ �� � �� �$������ � ���������� �� ���������� ��� �� %��& ������� �#�� ����� �� ���� ����� ��� �������� ����� �� ���#�� ����� ���� '� �������� �� ������ � ���� ���� ��� ��� �� "�� ���� ��� ����� ��(��� �� � ��� �� ������)��� ��� �� �� ����� �� �� ����� �� � � ������� ���� ��� ������� ��� ��������� �� ������ �������� *�� ��� ��� � ����� �� ������� �)������� ������� ����� � �� ������ � ���� ��� ��������� � ����� %���� �����)��� ��� ���� �� ��&� !� ������� �� ������� ��� �� ����� � �� ����� �� � ��+� � �� ���� �� ���� ��� �� �� ����� ,� � ���� ����� � ���� � ����� ��� ���� ��� �� ������ ��� ��� ��� ������� -��� �� �� ������� ����� � ���� �� ���� �� ������� ��������� �����)��� ��� � ��� �� �� ����� �� ���� ����� �� ���#�� .,/����� ���

"� �� �� �������� �� ����� �� �� ������� ������� ����� ��������� �������� ���� ��� ��������� �� � ��*����� �� ������������ ���� ������� ��� �� ��+� ������������� ����� � ���� ��� ���� ���� ����� � ��� ����� ��� ��� ������ � �� 0 � ����� ��(������ �� �� ������ ������� ���� "�� ��������� �� �� 1������������� �� ������� ����� ��� ��������� �� "���� 2� "���� 2 ��� �� �� ������ ������� �� �� 3 � ����� ����� 4� ���� �� ����������� �� � �� ���� � �� �� � ������"�� ������ ���� ����������� �� � �� �� �� � ����� �� ��� �� �������� ��� � �

Page 22: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� ��

���� ��� ���

� ������ ������� ������ ������

��� �� ����� ����� ������� ������ ��������� �� � ���� � ������� ������ ������� ��� � ������ �� ��� !��� ��"�� ��� ��#����� ����� ��� ����� �����������

��� �� ��#����� �������� ��� ����� ������� $��� � �������� ��""����� ������������� $��� �� ��%���� �"������� �� %���� ���� �"���� �� ��������� � ��� ���� &����� ����' (� "������ ��"%����� )���� ��#������� �� ��� ���� %������� ��#����� ������ �� ���������*� +������� ����� ��� ������� ���������� �� ����� ����� ������� ����� ���������� ��� ������� �� ��� ���� �� ��)���� �"��� ����� ����� ��� ��� ���� �� ��� ������ ����� ����"�� ��� ������ ��� ����� ������������� %���� ��� �� ��� �� ����)��� �����%����� %��%�������� �� ��� ��""������� �� ��� ,�$ ��������

�""��� �%� ��� ��"����� ������ ���$�� ���� ������ ������� �� �"%�� ���� $��� ��"%����� ������ ����� �������� �� -./0�� ���� �� �� �� �������� .0 ������� ���" ����"��� $���� ������� %����� ����� ��� ������ "����� ����������� +������"���� $� �"%��1�� ��� ��#������ �%������ ���� ���� � ��� ������� ����� ��"� ���% ���� � ����� $���� �� �� ���� ���1������� �� ������������ ��� ��"%�������� ��������� ���� ��� �� ��"����� �����%����� �� $� ���� ���� &����� "�� ������� ��� ���1������� ���� ��� ���� ����� �� ���������

����������

2�3 !��� 4� ���%������ 5�1�� 6������ ��� �� ������� ��� ��������� ��"����� ������� �����"���� ��� ��"%��� ����7����� )����7��#����������"��� �� ������� ���� ���(�*� �889�

2�3 !��� 4� ���%������ :�� �������;"� ��� 5�1�� 6������ � ���� ���������1���1� ��������� �����"��� �� �������� �%���� ��������� �� �������

���� �9�� �888�

2�3 0���� <������� � ��1��� ����� ��1�� ��� ������������ ������ ������)���%��� +=- >7��8�7 <� ��� $����� 5������ >������� ������� ������"������

293 ?� <� <�������� .������� ���������� ��� ����)��� �����%����� �%���������������� >�%��� ++� �� �8�9 ��� ��� ����������� >������� -�������� �� $����� ��������"��� 5�%���"���� ������"� $����� �8�9�

Page 23: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

�� ��� ��������

��� �� ������� � �� �� ������� � �� �� ������ ������ ����� �� �������� �� ��!���� � ��� ��!�� � ��� ��� ��� "��� �������� ����������� �#$%%&'� %&(��

�#� ����� ������� � )�� �� "��*� �� �� ��� ��+�� �� ��!���� � �*� ��� ��!�� � ��� ��� ��� "��� �������� �� �� �������� �����

����� %,$�'-%(&.%&/� %&,%�

�(� ����� ������� � � �� �� ���� �� �� ��� ��� �� ���� � ��� �������� �� �� ��� ��� 0,$�'� %&&,�

�,� ����� ������� � ��� 1��� ������� � 2��� � ���*��� ���� ����������������� ��� ��������� �������� 3����� 4�5 6��7� %&&��

�&� 2� �� ����"� � � ���� � �� ����� ��� �� ��� �������� 4"���.��7�� �8��� �- 99� � ������ ��� � ���� ����� ����� ���������� �� ��� �������� %,-#�,� %&&(�

�%/� 2� �� ����"� � :� ������� � ���� � �� ����� ��� �� ���� �������� 4"���.��7�� �8��� �- 9� � � ��� ��� �� ���� �� �� ��

��� �������� %(-�(&� %&&#�

�%%� :� �� �� ��"� � ���� ������ ��� �� ;���� �8��� �� �� ��� ���� ������ ��"������ ��� ������ �&-%<�,� %&&%�

�%�� ����� ������ � �� �������� =� �� ����� � > �� ��+��� �� ��������� �� ������� ��� ��+��� �� �8��� �� ������������ ������� �� ������ ������� �� ������� !���������� "��������# �������� �����# ���� %&(<�

�%0� ����� ������ � �� �������� � �� �!��� �� �� � ��*� ������ �����+��� �� ��!���� � ��� �� ������� ������� )��� ��� �� ��� :� ��� ���� �>� ?�� �� *� @ �� @ �"������ %&((�

�%<� ��� 1��� ������ � 2��� � ���*��� ?�� ���� �� ����� ������ ����� � �*��� �� �� ������� �8��� �� ������ $$%� 0� %&(��

�%�� 2 4������� � A�7 �� ?� � ��� ��� ��� � � ����� �� ���� ���� ��*� ����� > �� ��+��� �� ������ ���� � �� ;���� � 4"���.��7�� �8��� �� �� ������� ������ %<,� %&&&�

�%#� 2 4������� � A�7 �� ?� � ��� ��*������� > �� ��+��� �� �������� �������� ��� � �� �� ������� � ���"��� �� ������ ��� �� �������� ������ %(0� �//%�

�%(� B���� ����� � ��� �������� ����&��� �� ����� '�(��)���� ������ !��������������� B�: ������ @ �� @ �"������ :� � �� ���� �>� ?�� �� *�@ �� @ �"�� @ ��� �5��� � %&&��

Page 24: Summation-by-Parts Operators for High Order Finite

������� ��

���� ����� ��� ��������� �� ����� ����������� ��� �������� � �����

������ ���� �!� �""!

��"� ����� ��� ��������� �� ����� ����������� ��� �������� �� �����

������ �����#�� �""!

�� � $� ������ ��� ���� �������� ������������ ��� ��������� ����

�������� ����� �������� �%& �%��� '����� '��(������ &�� �) �������*�+�������,� '����� '��( � '������ �-����� �""�

���� .�,�� �(/�� � ���������� ����)�������� )�� ��������0��0���� ��0������ ������� �� ������� ��������� ��� � �