Geostatistical Modeling of the Spaces of Local, Spatial, and
Response Uncertainty for Continuous Petrophysical Properties
Geostatistical Modeling of the Spaces of Local, Spatial, and
Response Uncertainty for Continuous Petrophysical Properties
Latar Belakang
Dalam manajemen reservoir minyak bumi biasanya membutuhkan model
detail 3-D dari lithofacies, porositas, dan permeabilitas. Karena
heterogenitas spasial dari properti petrofisika biasanya rumit dan
informasi yang tersedia terbatas, tidak mungkin (atau lebih
tepatnya tidak realistis) untuk membangun sebuah model
deterministik rinci yang mewakili heterogenitas sebenarnya dari
reservoir. Oleh karena itu perlu untuk menerjemahkan pengetahuan
sifat reservoir yang tidak sempurna dalam kerangka
probabilistik.
Dalam karakterisasi reservoir minyak bumi, tiga jenis
ketidakpastian yang biasanya muncul, yakni :
1. ketidakpastian lokal : ketidakpastian tentang nilai atribut
petrofisika di lokasi unsampled
2. ketidakpastian spasial : ketidakpastian bersama tentang nilai
atribut petrofisika di beberapa lokasi secara bersama-sama
3. ketidakpastian respon : ketidakpastian tentang prakiraan
produksi, seperti waktu untuk memulihkan proporsi yang diberikan
minyak.
Ketidakpastian Pemodelan Lokal
Landasan dari setiap penilaian ketidakpastian spasial adalah
pemodelan ketidakpastian yang berlaku di setiap lokasi tunggal u,
dimana u menunjukkan vektor dari koordinat dalam ruang 3-D. Cara
probabilistik untuk model ketidakpastian tentang atribut kontinyu z
di u terdiri dari :
1. melihat nilai yang tidak diketahui z (u) sebagai realisasi
dari variabel random Z (u)
2. menurunkan fungsi distribusi kumulatif bersyarat (CCDF) dari
Z (u)
, dimana : conditioning untuk informasi lokal; n(u) : nilai
permeabilitas tetangga dari
Model CCDF sepenuhnya uncertainty di u karena memberikan
probabilitas yang tidak diketahui dan tidak lebih besar daripada
ambang z yang diberikan. Bagian ini memperkenalkan dua kelas utama
algoritma (Parametrik dan nonparametrik) yang tersedia untuk
menentukan CCDFs, penjelasannya sebagai berikut :
Multi Gaussian (Parametrik) : Pada setiap lokasi, mean dan
varians dari CCDF dalam ruang normal yang diidentifikasi dengan
estimasi dan varians simple kriging, dan kemudian sumbu horisontal
itu rescaled melalui nilai normal backtransform. Karena histogram
dari banyak atribut petrofisika umumnya asimetris dengan beberapa
nilai yang sangat besar (kemiringan positif), Transformasi sebelum
pengamatan biasanya diperlukan, dan hasil pendekatan multi-Gaussian
sebagai berikut :
a.
data z asli yang pertama ditransformasi menjadi nilai y dengan
histogram normal standar. Demikian transformasi disebut sebagai
transformasi nilai normal, dan nilai y dari ] disebut nilai normal.
Tranformasi nilai normal dapat dilihat sebagai tabel korespondensi
sama antara p-quantiles dan dari cumulative distribution function z
(CDF), F (z), dan Gaussian CDF standar, G (y). Dengan kata lain,
dan sesuai dengan kumulatif yang sama probabilitas p :
b. semivariogram dari nilai normal kemudian diestimasi dan
dimodelkan, dan estimasi dan varians simple kriging (SK) dihitung
dan dikombinasikan untuk membangun CCDF sebagai :
c. CCDF dari variabel asli diambil sebagai :
dengan ketentuan bahwa transformasi fungsi meningkat secara
monoton.
Indikator (Non-Parametrik) : nilai fungsi ditentukan untuk
serangkaian nilai K ambang batas diskretisasi berbagai variasi
z:
Estimasi geostatistik nonparametrik dari Nilai CCDF (Journel,
1983) didasarkan pada interpretasi probabilitas bersyarat (lihat
persamaan 1) sebagai ekspektasi bersyarat dari indikator variabel
random yang diberikan informasi (n) :
Gambar 1. Referensi Peta permeabilitas dengan pola injeksi dan
produksi yang digunakan untuk simulasi aliran (produser dan
injector berada dalam sudut yang berlawanan). Informasi yang
tersedia terdiri dari 50 nilai secara acak dan sampel histogram
Pada gambar 1 (kiri atas) merupakan peta dari nilai
permeabilitas (deep-water turbidit) dalam dua dimensi (2-D) yang
berasal dari reservoir, yang menjadi peta referensi untuk melakukan
pemodelan. Kemudian 50 lokasi diambil secara acak untuk menghitung
eksperimental semivariograms dan merekonstruksi ulang referensi
image (gambar 1, kiri bawah).
(Multi-Gaussian) (Indikator)
Gambar 2. Peta lokasi 50 nilai permeabilitas dan model CCDF yang
disediakan oleh parametrik (multi-Gaussian) dan nonparametrik
(indikator) algoritma di dua grid nodes yang digambarkan dengan
open circles. Panah menggambarkan nilai permeabilitas true di dua
lokasi tersebut.
Perbandingan CCDFs pada Gambar 2. menunjukkan bahwa kedua
pendekatan parametrik dan nonparametrik menghasilkan model serupa
di u1 (lingkaran kecil). Sedangkan di u2, model dari pendekatan
parametrik dan nonparametrik berbeda. Berdasarkan hal tersebut,
dapat disimpulkan bahwa ketidakpastian di lokasi u1 lebih kecil
daripada di u2. Grafik curam dari CCDF berarti bahwa nilai
permeabilitas yang tidak diketahui lebih mungkin lebih kecil dari
1000 md.
Kualitas Ketidakpastian Pemodelan Lokal
Kedekatan dari estimasi dan pecahan secara teoritis dapat
dinilai dengan menggunakan goodness statistik (Deutsch, 1997)
didefinisikan sebagai :
, dimana fungsi indikator yang didefinisikan sebagai:
Sebelum membuat keputusan apapun atas dasar model uncertainty,
sangat penting untuk mengevaluasi seberapa baik CCDFs menangkap
ketidakpastian tentang nilai- nilai yang tidak diketahui. Adapun
interpolasi spasial, Pendekatan wajar untuk membandingkan prediksi
geostatistik dengan cross-validation dan (jackknife).
Gambar 3. Plot proporsi nilai yang benar berada dalam interval
probabilitas (plot akurasi) dan lebar interval ini vs probabilitas
p. Parametrik (multi-Gaussian) dan nonparametrik (indikator)
algoritma yang digunakan untuk memperoleh model CCDF di lokasi data
(cross-validation) atau unsampled grid nodes (jackknife)
Hasil pembacaan grafik dari Gambar 3 :
Pada Gambar 3 (kolom kiri) menunjukkan perhitungan plot akurasi,
baik untuk parametrik dan nonparametrik CCDFs. Sebagian besar titik
jatuh di bawah garis 450 (yaitu, untuk p terbesar), yang
menunjukkan bahwa model probabilistik tidak akurat.
Model parametrik menunjukkan lebih baik untuk nilai p yang besar
(p yang diperkirakan lebih besar dari p yang diharapkan, dengan
nilai p besar), sedangkan model nonparametrik menunjukkan lebih
baik untuk nilai p yang kecil (p yang diperkirakan lebih besar dari
p yang diharapkan, dengan nilai p kecil). Semakin mendekati garis
45o, maka nilai ketidakpastian akan semakin kecil.
Pada Gambar 3 (kolom kanan) menunjukkan bahwa antara parametrik
dan non-parametrik tidak dapat dipisahkan secara jelas. Sehingga
perlu dilakukan setting ulang untuk interval batasnya (interval
probabilitas median centered dapat digantikan oleh interval
probabilitas tak terbatas, menjadi :
,
,
Gambar 4. Plot dari proporsi nilai-nilai yang benar yang berada
dalam interval probabilitas didefinisikan sebagai
[(1-p)-kuantil,zmax], dan lebar interval vs probabilitas p.
Parametrik (multi-Gaussian) dan nonparametrik (indikator) algoritma
yang digunakan untuk menurunkan model CCDF di unsampled grid nodes
(jackknife)
Hasil pembacaan grafik dari Gambar 4 :
Kedua model parametrik dan nonparametrik menghasilkan fraksi
yang sama yang sedikit lebih tinggi dari yang diharapkan untuk
probabilitas p kecil yang sesuai terhadap nilai-nilai permeabilitas
yang tinggi, p-quantiles, sedangkan proporsi nilai-nilai true yang
melebihi ambang permeabilitas rendah (nilai p tinggi) lebih kecil
dari yang diharapkan.
Perbedaan antara pendekatan indikator dan multi-Gaussian jauh
lebih jelas untuk interval probabilitas, yang sesuai dengan
perbedaan antara nilai maksimum z (2100 md) dan p-kuantil dari CCDF
tersebut. Perbedaan ini pada dasarnya mencerminkan perbedaan dalam
pemodelan CCDF upper tails.
Interval probabilitas yang sempit menunjukkan bahwa model
multi-Gaussian memungkinkan deteksi yang lebih baik dari
nilai-nilai yang tinggi, sedangkan algoritma indikator memungkinkan
deteksi yang lebih baik dari nilai-nilai yang rendah.
Ketidakpastian Pemodelan Spasial
Dalam aplikasi minyak bumi, fokusnya adalah pada geologi dan
proses fisik, seperti aliran dan transport polutan, yang terutama
dikendalikan oleh nilai, variabilitas, dan distribusi spasial
petrofisika atribut. CCDF dengan pengukuran ketidakpastian lokal
(single-point) perlu dilengkapi dengan pengukuran ketidakpastian
spasial (multiple point). Secara matematis :
Di antara algoritma yang paling umum digunakan saat ini untuk
mensimulasikan distribusi spasial porositas atau permeabilitas di
petroleum reservoirs, yakni sebagai berikut :
Simulasi sequential sebesar pemodelan CCDF, dan kemudian
sampling secara acak di masing-masing grid nodes N yang dikunjungi
sepanjang urutan acak. Untuk memastikan reproduksi model
semivariogram z, setiap CCDF dibuat bersyarat tidak hanya untuk
data asli n, tetapi juga untuk semua nilai simulasi di lokasi yang
dikunjungi sebelumnya.
Simulasi p-field juga memerlukan sampling N CCDFs secara
berturut-turut, tapi tidak seperti pendekatan sequential, semua
CCDFs dikondisikan hanya dengan data aslinya n.
Simulated annealing (SA) merupakan penciptaan dari image
stokastik sebagai masalah optimasi tanpa mengacu pada model fungsi
acak.
Gambar 5. Referensi peta permeabilitas dan realisasi pertama
dihasilkan menggunakan empat algoritma: Sequential Gaussian
Simulation (SGS), Simulated Annealing (SA), Sequential Indicator
Simulation (SIS), dan p-field simulation. 2 peta bawah menunjukkan
SIS dan realisasi p-bidang setelah post-processing menggunakan
rank-preserving algorithm untuk mereproduksi sampel histogram.
Asumsikan menjadi satu set realisasi L yang dihasilkan oleh
algoritma tertentu, dan asumsikan adalah himpunan nilai
permeabilitas true yang diketahui pada hanya sejumlah terbatas
lokasi sampel (kesalahan pengukuran diasumsikan diabaikan). Dua
masalah umum adalah
bagaimana kualitas (goodness, realisme) dari masing-masing
realisasi individu dapat didefinisikan dan diukur
informasi apa yang dapat diambil dari satu set realisasi L dan
bagaimana goodness seperti model ketidakpastian dapat dinilai
Distribusi Spasial dari Nilai Permeabilitas
Untuk saat ini karakteristik aliran dari peta permeabilitas,
kualitas realisasi bisa didefinisikan sebagai kemampuan untuk
menyesuaikan pengetahuan tentang distribusi spasial nilai
permeabilitas sebelumnya.
Reproduksi dari sasaran histogram dan semivariogram adalah cara
yang umum untuk menilai kualitas peta simulasi (Chile`s dan
Delfiner, 1999). Beberapa isu yang harus diingat.
1. Pertama : Besarnya perbedaan antara realisasi statistik dan
parameter model, yang disebut fluktuasi sebagai ergodic, tergantung
pada ini dan faktor-faktor lainnya:
Pemilihan algoritma simulasi (Tabel 1)
Statistik Realisasi : Statistik Realisasi menjadi semakin mirip
dan lebih dekat ke nilai target, jika ini dimodelkan dari data yang
sama
parameter semivariogram dan ukuran grid simulasi.
2. Kedua : Pilihan nilai target umumnya tidak sembarangan,
terutama ketika data langka atau non-representative daerah
penelitian.
Saat menghasilkan nilai permeabilitas pada target, perlu
diperhatikan bahwa proses ini sangat bergantung pada:
1. Kehandalan informasi yang tersedia mengenai histogram dan
pola spasial dari nilai atribut.
2. Tujuan simulasi.
Pola konektivitas dari permeabilitas. Peta permeabilitas yang
memiliki histogram dan variogram yang mirip dapat memperlihatkan
pola aliran yang sangat berbeda karena pola konektivitas yang
secara implisit dihasilkan oleh algoritma geostatistik yang
digunakan.
Distribusi Spasial dari Nilai Permeabilitas
Tidak ada peningkatan yang signifikan saat memodelkan
ketidakpastian lokal dengan menggunakan Multi Gaussian Kriging dan
Simulasi stochastic.
Simulasi stochastic lebih terlihat keunggulannya dari Multi
Gaussian Kriging jika diaplikasikan pada ketidakpastian spasial
karena fungsi rata-ratanya dapat langsung diaplikasikan pada
titik-titik yang disimulasikan di dalam blok. Sementara Multi
Gaussian Kriging lebih cocok diaplikasikan pada atribut yang
rata-rata nilainya linear.
Namun, tingkat akurasi dan kualitas dari model simulasi
stochastic tidak dapat dievaluasi hanya dari informasi sample saja.
Sementara perbandingan antara nilai aktual sampel dan model dapat
diperiksa dari formulasi Goodness (G) dan Width (W).
Gambar 6. plot Q-Q distribusi 10.404 referensi data
permeabilitas vs bahwa dari data 50 sampel Gambar 1. Grafik sebelah
kanan menunjukkan sampel semivariogram (lingkaran terbuka) dihitung
dari transformasi logaritmik dari 50 data dengan model dipasang;
perhatikan perbedaan dengan arah semivariograms dihitung dari
gambar referensi (titik hitam).
Gambar 7. Fungsi Konektivitas menampilkan frekuensi J (1-20)
piksel berturut-turut (string timur-barat) yang dinilai kurang dari
0,05 atau 0,1 kuantil dari histogram dari nilai-nilai simulasi
(konektivitas nilai rendah) atau melebihi 0,9 atau 0,95 kuantil
(konektivitas nilai tinggi). Garis putus-putus tebal menggambarkan
kurva yang diperoleh dari referensi image pada Gambar 1. Semua
kurva mewakili rata-rata lebih dari 100 realisasi dan telah
distandarkan untuk unit konektivitas untuk jarak nol-lag
Gambar 8. Distribusi kumulatif dari 100 nilai permeabilitas
(titik hitam) yang dihasilkan dengan menggunakan SGS pada dua grid
nodes yang digambarkan dalam Gambar 2. Dalam setiap kasus, garis
putus-putus merupakan model CCDF yang disediakan oleh kriging
multi-Gaussian, sedangkan panah menggambarkan nilai permeabilitas
true. Hubungan antara dua set nilai 100 simulasi ditampilkan dalam
scattergram (kanan grafik)
Pemodelan Ketidakpastian pada Kinerja Reservoir
Representasi distribusi spasial dari nilai atribut petrofisik
biasanya digunakan sebagai input untuk sistem yang memiliki
kompleksitas yang beragam.
Ketidakpastian dari nilai input atribut ini akan disebarkan
melalui fungsi transfer, yang akan menghasilkan respon nilai yang
tidak pasti, seperti permeabilitas efektif atau waktu untuk
mencapai titik water cut.
Distribusi Ketidakpastian
Beragam pendekatan dapat digunakan untuk mengevaluasi respon
ketidakpastian berdasarkan sifat dari fungsi transfer.
Dalam industri minyak bumi, fungsi transfer biasanya bersifat
global karena melibatkan banyak nilai atribut secara simultan atau
secara berurutan.
Satu-satunya pendekatannya adalah dengan memberikan realisasi
distribusi spasial dari atribut petrofisik sebanyak-banyaknya yang
nantinya akan dijadikan input ke fungsi transfer untuk menghasilkan
distribusi nilai respon.
Contoh kasus : 2 fungsi transfer diaplikasikan ke peta
permeabilitas yang dihasilkan dengan algoritma simulasi (1)
pressure solver flowsim (Deutsch and Journel, 1992) dan (2) a
waterflood simulator (Eclipse, 1991)
PCA (Principal Component Analysis) menghasilkan
variabel-variabel orthogonal baru sebagai kombinasi linear dari
variabel-variabel yang original
PCA digunakan untuk menggambarkan ruang multivarian
ketidakpastian. Beberapa komponen utama hasil dari PCA biasanya
sangat informatif karena biasanya berkorelasi dengan
variabel-variabel originalnya.
Gambar 9. Histogram dari permeabilitas efektif timur-barat yang
dinilai dari 100 realisasi dihasilkan oleh masing-masing simulasi
algoritma. Titik hitam dalam plot kotak di bawah setiap histogram
adalah nilai sebenarnya yang diperoleh dari referensi image pada
Gambar 1. Lima garis vertikal adalah 0,025 kuantil, kuartil bawah,
median, kuartil atas, dan 0.975 kuantil dari distribusi
Kualitas Model Ketidakpastian
Bagus tidaknya model dilihat dari tingkat akurasi dan presisi
distribusi nilai respon (histogram nilai respon meliputi nilai
sebenarnya dan distribusi histogramnya diusahakan sesempit mungkin
untuk mengurangi ketidakpastian dari nilai respon)
Tingkat akurasi model tidak bisa dicek karena minimnya data flow
rate history dan nilai permeabilitas efektif dari well test.
Tingkat presisi model dapat dilihat secara langsung dari distribusi
nilai respon yang berbeda tiap algoritma (algoritma SA paling
presisi).
Pemilihan distribusi nilai respon berdasarkan penyebarannya
tidak dianjurkan karena minimnya informasi tentang tingkat
akurasinya.
Berdasarkan tujuan dan jumlah realisasi yang dapat dihasilkan
dan diproses, distribusi yang lebar dapat dipilih untuk
mengidentifikasi skenario optimis dan pesimis (fokus berada pada
tepi dari ruang ketidakpastian) atau distribusi yang sempit jika
nilai responnya perlu disimpulkan dari jumlah realisasi yang
sedikit. Konsekuensinya, sebuah algoritma simulasi tidak bisa
digunakan untuk semua tujuan.
Pengaruh Jumlah Realisasi
Karakterisasi ruang ketidakpastian menjadi sulit dilakukan
karena jumlah realisasi yang dihasilkan biasanya sangat terbatas.
Jumlah realisasi yang terbatas ini bisa menghasilkan hasil yang
berbeda-beda untuk tiap algoritma simulasi.
Cara terbaik untuk memeriksa semua hasil adalah dengan
menggunakan beberapa algoritma simulasi dan menggabungkan
distribusi nilai responnya.
Untuk kasus ini, pengaruh dari jumlah realisasi terhadap tingkat
akurasi dan presisi dapat diperiksa dengan membuat subset yang
ukurannya meningkat melalui random sampling dari set awal 100 nilai
respon Goovaerts (1999).
Gambar 11. Dampak jumlah realisasi yang dihasilkan pada batas
atas dan bawah dari ruang ketidakpastian untuk enam sifat aliran.
Garis putus-putus horisontal menunjukkan nilai sebenarnya yang
berasal dari gambar referensi Gambar 1. Lebih baik jika ruang yang
sempit dan termasuk nilai sebenarnya
Kesimpulan
Model ketidakpastian lokal adalah model yang paling mudah untuk
dibangun dan dievaluasi, tidak membutuhkan waktu lama sekalipun
untuk reservoir yang berukuran besar, dan asumsi bahwa validasi
silang dari pengamatan yang ada berlaku untuk semua posisi yang
belum tersampling di reservoar.
Model ketidakpastian spasial cenderung lebih dibutuhkan dalam
industri migas. Namun, model ini membutuhkan sejumlah realisasi
distribusi spasial dari atribut petrofisik. Evaluasi model ini juga
kadang terhambat dengan kurangnya informasi spasial yang tersedia,
dan biasanya terbatas untuk memeriksa reproduksi dari beberapa
statistik daerah target seperti histogram atau model semivariogram
untuk tiap realisasi.
Pemodelan ketidakpastian spasial biasanya merupakan tahap awal
dalam memodelkan ketidakpastian dari nilai respon seperti
permeabilitas efektif. Penilaian ketidakpastian sangat bergantung
pada pilihan dari algoritma stochastic-simulation karena tidak
mungkin seluruh set yang mungkin dihasilkan dapat disampling oleh
satu kelas algoritma, terlepas dari jumlah realisasi yang
dihasilkan.
14
)
(
a
u
z
[
]
))
(
(
)
(
1
a
a
u
z
F
G
u
y
-
=
p
z
p
y
[
]
[
]
1
,
0
)
(
))
(
(
)
(
1
"
=
=
=
-
p
p
z
F
z
F
G
G
y
G
p
p
p
{
}
)
(
)
(
Pr
)
)
(
;
(
^
n
y
u
Y
ob
n
y
u
G
=
-
=
)
(
)
(
^
^
u
u
y
y
G
SK
SK
s
{
}
)
(
)
(
Pr
))
(
;
(
^
n
z
u
Z
ob
n
z
u
F
=
{
}
)
(
)
(
Pr
n
y
u
Y
ob
=
)
))
(
)
(
;
(
^
n
z
u
G
f
=
[
]
(.)
(.)
1
F
G
-
=
f
))
(
;
(
^
n
z
u
F
k
z
{
}
)
(
)
(
Pr
))
(
;
(
^
n
z
u
Z
ob
n
z
u
F
k
k
=
K
k
,.....,
1
=
)
;
(
k
z
u
I
{
}
)
(
)
;
(
))
(
;
(
^
n
z
u
I
E
n
z
u
F
k
k
=
=
otherwise
z
u
ifZ
z
u
I
k
k
0
)
(
1
)
;
(
[
]
-
-
-
=
-
1
0
)
(
2
)
(
3
1
dp
p
p
p
a
G
x
)
(
p
a
=
-
otherwise
p
p
if
p
a
0
)
(
1
)
(
x
p
p
e
i
