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sumatoria
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1 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Sector: Matemática. Nivel: NM – 4 Prof.: Ximena Gallegos H.
Prueba coef. 1: Funciones y Procesos Infinitos 2015
Nombre: _____________________________________ Fecha: _____ Puntaje ideal: 100 puntos Puntaje Logrado: ________ Nota: ________ Contenido: Sumatorias Aprendizaje Esperado: Resolver problemas de diversa índole
utilizando propiedades de las sumatorias.
I) Deducir una fórmula para calcular la siguiente sumatoria: 5% c / u→ 55%( ) 1) “La suma de los n primeros números naturales pares” .
2) Deduce una fórmula para −1( )k
⋅kk=1
n
∑
II) Demostrar por inducción matemática:
3) 13 + 23 +33 + 43 + ................. =
n n +1( )2
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
2
4) −1( )k+1
⋅k2
k=1
n
∑ =−1( )n+1
⋅n n +1( )2
5)
k! ⋅ k2 +1( )k=1
n
∑ = n +1( )! ⋅n
6)
log k +1k
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
k
k=1
n
∑ = logn +1( )n
n!
7) 6n+1 + 4 es divisible por 5.
8) n2 + 2 ; es divisible por 2, cuando n es par.
III) Resolver usando propiedad telescópica.
9) Demostrar que
kk +1( )!k=1
n
∑ = 1− 1n +1( )!
10) Conociendo las fórmulas de las sumatorias de la forma
i k
k=0
n
∑ ; k≤ 2 , , demuestra que
( ) 2
3
1
12
n
i
n ni
=
⎡ ⎤+= ⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
Optativo: Deducir una fórmula para:
2 i ⋅ i+1( )3i=0
n
∏
2
Parte -2. Nombre: __________________________________
IV) Expresa como sumatoria las siguientes sumas. 3% c / u→12%( ) 11) 1⋅3 + 2 ⋅4 +3 ⋅5 + .......= 12) 3−9 + 27−81+ 243 + ...... = 13)
0 1 2 3 41 2 6 24 120
.......+ + + + + =
14) 2 +8 + 24 + 64 +160 + .......+10.240 =
V) Desarrolla usando propiedades conocidas. 4% c / u→ 20%( )
15)
k5
=k=20
50
∑
16)
2k−1( )2=
k=1
20
∑
3
17)
k k +1( ) k−1( ) =k=1
100
∑
18)
i2j=1
10
∑i=1
20
∑ j3 =
19)
1k +1+ kk=1
99
∑ =
20) Desarrollar usando propiedad telescópica.
2 j−2 j−1( )j=8
10
∑
4
VI) Si x1 = 1 ; x2 =−1 ; x3 = 3 ; x4 = 5 y x =
xii=1
4
∑4
; (Promedio)
Determina: 4% c / u→ 8%( )
21)
xi − x( )2
i=1
4
∑ =
22)
xi +1( )i=1
4
∑ ! =
VII) Calcular: 4% c / u→ 20%( )
23) Calcular el valor numérico de
2kk=1
n
∑ , si se sabe que
n ⋅kk=1
20
∑ = 2100
5
24) Determina el valor de n, para que se cumpla la igualdad
2k−n2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
k=1
n
∑ = 8
25) Desarrollar
i− j( )k−1
2
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥k=1
2
∏j=1
3
∑i=1
4
∑ =
6
26) Se define
an =
log2
n +1n
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ ; si 1≤n<16
2 n−5( ) ; si 16≤n< 30
4 ⋅2 3n−2
8 n−1; si 30≤n≤50
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
; n natural
Determinar
ann=1
50
∑ =