INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Escuela superior de cómputo

Sumas de Riemann

Materia: Calculo

Profesor: Roberto Jurado Jiménez

Alumno: Franco Carmona Héctor Alonso.

Grupo: 1CV7

El siguiente trabajo de investigación que van a realizar es sobre las

Sumas de Riemann, definición, teoremas, ejemplos de aplicación,

gráficas, etc., mientras más completo esté, mejor.

Historia.

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En la geometría euclidiana, el tipo más simple de región plana es un rectángulo. Aunque la gente a menudo afirma que la forma para el área de un rectángulo es A=bh, esta expresión es la mas apropiada para definir el área de un rectángulo.

De esta definición, se puede deducir formulas para el área de muchas otras regiones planas., por ejemplo, para determinar el área de un triangulo, se puede formar un rectángulo cuya área es dos veces la del rectángulo, una vez que se sabe como encontrar el área de un rectángulo se puede determinar el área de cualquier polígono subdividiéndolo en regiones triangulares.

Hallara las áreas de las superficies a las de los polinomios es mas difícil, los antiguos griegos fueron capaces de determinar formulas para las áreas de lagunas regiones generales (principalmente aquellas delimitadas por cónicas) mediante el método de exhaución . La descripción mas clara de este método la hizo Arquímedes, en esencia el método es un proceso de limite en el que el área se encierra entre dos polígonos (uno inscrito en la región y otro circunscrito alrededor de la región).

Un ejemplo claro es el área de una región circular aproximado mediante polígono de (n) lados y un polígono circunscrito de n lados. Para cada valor de n el área del polígono inscrito es mayor que el área del círculo y el área del polígono circunscrito es mayor que el área del círculo. Además a medida que n aumenta, las áreas de ambos polígonos van siendo cada vez mejores aproximaciones del área del círculo

Arquímedes utilizo un proceso muy similar para determinar el área de una región plana,

Lo perfeccionó y afinó el método consiguiendo calcular áreas de elipses (obtuvo la fórmula para medir el área de esta cónica), sectores parabólicos y sectores de Espiral.

En el la imagen se pude visualizar una aproximación para obtener el área de un círculo. Por supuesto faltan los polígonos circunscritos, puesto que el área final está comprendida entre el área del polígono inscrito y la del polígono circunscrito.

Supongamos que tenemos la función F(x)=-x2+5 Para calcular el área de las regiones.

Por el método del exhaución para calcular el área comprendida entre la gráfica de f(x) y las rectas x=0 y x=5, como se muestra.

La base de cada rectángulo dibujado es 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales).

Los puntos de la derecha en cada intervalo los podemos expresar como 2i/5, siendo i=1,2,3,4,5

Los puntos de la izquierda los podemos expresar como 2 (i-1) /5 siendo i=1,2,3,4,5

El área de cada uno de los rectángulos se obtiene de multiplicar su base= 2/5 por la altura, que será en cada caso el valor de la función en cada punto terminal de la derecha.

Podemos expresarlo como Área del i-ésimo rectángulo= 2/5 . f(2i/5)

Si queremos obtener la suma de los cinco rectángulos podemos hacerlo mediante la notación sigma como se muestra

Como cada uno de los cinco rectángulos se encuentra dentro de la región de la parábola, entonces el área de la región es mayor que 6.48.

El ancho de cada rectángulo es 2/5 y la altura de cada una no se puede obtener evaluando f en el punto izquierdo de cada intervalo, por lo tanto

Dado que la región parabólica se encuentra contenida en la unión de la cinco regiones, se concluye que el área de la región parabólica es menor que 8.08.

De esta manera es posible calcular el rea de una región limitada por una función, este cálculo lo podemos hacer más aproximado al incrementar el número de rectángulos y que estos sean cada vez más pequeños y así se calculara las pequeñas áreas.

Sumas de Riemann.

Se definen como el método que se sigue para calcular el área bajo la curva de una gráfica, que como ya vimos anteriormente se tienen el valor del área aproximada con la ayuda de polígonos adjuntos que recrearan el espacio del área con la suma de cada una de ellas.

La definición de las sumas de Riemann se define como. Sea f definida en el intervalo [a,b] y sea ∆ una partición de [a,b] dada por

Donde ∆xi es el ancho del i-ésimo subintervalo. Si ci es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo entonces la suma queda como:

Denominado suma Riemann

La determinación del área mediante este método es solo una de las muchas aplicaciones que implican el limite de una suma y de la misma forma se puede utilizar para longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes y áreas de superficie.

El ancho de del subintervalo mas grande de la partición ∆ es la norma de la partición

denotada como , si todos los intervalo tienen la misma anchura, la partición es regular y la norma se denota como.

Partición ordinaria

En la partición general, la norma se relaciona con el numero de subintervalos en [a,b].

Partición general

Con esto el número de subintervalos es una partición que tiende a infinito cuando la

norma de la partición tiene de cero, 0, el cual implica que n∞