Sujets d Examens de Thermodynamique Avec Solutions

Dpartement de Physique

FILIRE : SMP2 - SMC2 SM2MODULE : PHYSIQUE 2

ELEMENT DE MODULE : THERMODYNAMIQUE

SUJETS DEXAMENSDE THERMODYNAMIQUE

AVEC SOLUTIONS

Pr. : K. MAHDOUK

2SOMMAIRE

LES EPREUVESContrle N1. Anne 2003 - 2004 3

Examen de la Session Normale. Anne 2003 - 2004 4

Examen de la Session de Rattrapage. Anne 2003 - 2004 5





LES SOLUTIONSExamen de la Session de Rattrapage. Anne 2003 - 2004 14




3PREUVE DE THERMODYNAMIQUECONTROLE N1. ANNEE : 2003 2004

Problme I :Une mole dun gaz parfait subit un cycle, de transformations, rversible compos de :

- Une compression isochore AB, amenant le systme de ltat A (PA,VA,TA) ltat B(PB,VA=VB,TB) ;

- Une dtente isotherme BC, amenant le systme de ltat B ltat C (PC,VC = 2VA,TC = TB) ;- Une transformation isobare CA, amenant le systme de ltat C son tat initial A.1) Reprsenter ce cycle de transformations dans un diagramme de Clapeyron (P,V).2) Calculer en fonction de PA et VA ; la pression PB et la temprature TB.3) Pour chaque transformation du cycle, calculer en fonction de PA, VA, Cp et Cv les travaux

(WAB, WBC et WCA).4) En dduire le travail total WT chang au cours du cycle. Prciser son signe et conclure.

Problme II :On comprime de manire rversible une mole dun gaz parfait diatomique dont ltat initial est

caractris par une temprature Ti et une pression Pi. Legaz se retrouve un tat final o la temprature est Tf =Ti et la pression Pf > Pi .Cette compression peut se produire de deux faonsdiffrentes dcrites dans le diagramme de Clapeyron ci-contre :

- la premire suivant le chemin 1 : AiAf- la deuxime suivant le chemin 2 : AiBAf

1) Dcrire la nature des transformations subies par le gazle long de chaque chemin.2) a) Exprimer, en fonction de Ti, Pi, Pf et R, le travail

chang par le systme au cours des transformations :- AiAf suivant le chemin 1,- AiB,- BAf

3) sachant que lnergie interne et les capacits calorifiques de ce gaz sont respectivement gales :

nRTU25

, nRCv 25

et nRC p 27

.

- donner la signification du coefficient25 figurant dans lexpression de lnergie interne.

- Dduire la variation de lnergie interne du gaz, entre ltat initial et ltat final, le long desdeux chemins. Conclure.

4) Calculer les quantits de chaleur changes par le systme au cours des trois transformations dela question 2).

5) En appliquant le premier principe de la thermodynamique, calculer la variation de lnergieinterne le long du chemin 2. Conclure

6) Considrons maintenant que la transformation AiAf le long du chemin 1 est irrversible.Calculer le travail irrA fAiW chang par le systme au cours de cette transformation.b) Comparer irrA fAiW au travail rev AA fiW calcul le long du mme chemin dans la question 2)a).

Ai

Af BP

VO

12

4PREUVE DE THERMODYNAMIQUESESSION NORMALE. ANEE : 2003 - 2004

I - Questions de cours :Une mole dun fluide considr comme un gaz parfait, parcourt un cycle ditherme rversible. Cefluide change les quantits de chaleur Q1 et Q2 respectivement avec une source chaude detemprature T1 et une source froide de temprature T2 et un travail W avec le milieu extrieur.

1) Prciser les signes de Q1, Q2 et W dans le cas o le cycle est celui :a) dune machine frigorifique ;b) dune pompe chaleur ;c) dun moteur thermique.

2) Faire un schma expliquant le principe de fonctionnement dans chaque cas.3) Ecrire, en fonction de Q1 et Q2 puis de T1 et T2, les expressions de lefficacit e dune machine

frigorifique et de la performance p (ou efficacit) dune pompe chaleur, ainsi que lerendement r dun moteur thermique.

4) Montrer que la performance dune pompe chaleur irrversible pirr est infrieure celle dunepompe chaleur rversible fonctionnant entre les deux mmes sources.

II Problme :On considre maintenant un cycle 1234 (cycle dEricsson) compos des transformationsrversibles suivantes :

1-2 : compression isotherme telle que T1 = T22-3 : dtente isobare telle que P2 = P33-4 : dtente isotherme telle que T3 = T4 (T3 > T1)4-1 : compression isobare telle que P4 = P1 (P1 < P2)

Ce cycle a t appliqu des moteurs, destins la propulsion navale, dans lesquels de lairconsidr comme un gaz parfait parcourt le cycle dans le sens moteur.

1) Reprsenter dans le diagramme (P, V) ce cycle de transformations.

2) Exprimer, en fonction de n, R, , T1, T3, P1 et P2, le travail et la chaleur reus par le fluide aucours des quatre tapes suivantes :

a) W1-2 et Q1-2 pour la transformation 1 2 ;b) W2-3 et Q2-3 pour la transformation 2 3 ;c) W3-4 et Q3-4 pour la transformation 3 4 ;d) W4-1 et Q4-1 pour la transformation 4 1.

3) En dduire, en fonction de n, R, , T1, T3, P1 et P2, lexpression :a) de la quantit de chaleur Qr reue par le systme au cours du cycle ;b) de la quantit de chaleur Qc cde par le systme au cours du cycle ;c) du travail total W chang avec le milieu extrieur. Prciser son signe.c) du rendement r de ce cycle moteur.

4) Calculer, en fonction de n, R, , T1, T3, P1 et P2, la variation dentropie S qui accompagnechaque transformation de ce cycle.

5) En dduire la variation dentropie Scycle relative ce cycle.

5PREUVE DE THERMODYNAMIQUESESSION DE RATTRAPAGE. ANNEE : 2003 - 2004

Exercice I :Un cylindre horizontal est ferm lune de ses extrmits par une paroi fixe F0 et lautre

l'extrmit par un piston qui peut coulisser sans frottement le long du cylindre. Le cylindre estspar en deux compartiments A et B par une paroi fixe F.Sur la face extrieure du piston sexerce la pressionatmosphrique 0P quon suppose uniforme et constante.1) Dans la situation initiale le compartiment A de volume

0AV V contient un gaz parfait diatomique la temprature

0T , le compartiment B de volume BV est vide.Calculer le nombre n de moles dans le cylindre en fonctionde 0P , 0V et 0T

2) Les parois du cylindre et le piston sont impermables la chaleur et de capacitscalorifiques ngligeables.

On perce un trou dans la paroi fixe F. Le volume BV est suffisamment grand pour que lapression finale du gaz soit infrieure 0P .

a) Expliquer pourquoi, dans ltat final, le volume du compartiment A sera nul ( 0AV ).b) Calculer le travail 1W chang avec lextrieur par le gaz en fonction de 0P et 0V puis en

fonction de n ; R,V

p

CC

, 1T et 0T .

c) En dduire lexpression de :- la temprature finale 1T en fonction de et 0T ,- la pression finale 1P du gaz

Exercice II :

Deux systmes isols nots 1 et 2, initialement temprature 1T et 2T , de capacitscalorifiques pression constante 1PC et 2PC sont mis en contact thermique, la pression restantconstante au cours de lvolution. Au bout dun temps suffisamment long, il stablit un tatdquilibre o les deux systmes ont mme temprature fT .

1) La transformation est-elle rversible ? Justifier votre rponse.2) a) Calculer les quantits de chaleur 1Q et 2Q changes par chacun des systmes

b) en dduire que la temprature finale21

2211

PP

PPf CC

TCTCT

.

3) Dterminer les expressions des variations dentropie 1S et 2S de chacun des deuxsystmes et S de lensemble des deux systmes.

4) a) On se place dans le cas 21 TT , quels sont les signes de 1S et 2S et de S ?.b) Dterminer lexpression de S dans le cas PPP CCC 21 , en fonction de Cp, T1, T2.

5) On tudie le cas o le systme 2 a une capacit calorifique " infinie " (atmosphre, eaudun lac, ...).a) quelles sont les nouvelles expressions de fT , 1Q et 2Q

A

F

B

P0 F0

Piston

6Exercice III :Soit une machine utilisant comme fluide lair assimil un gaz parfait diatomique. Cette

machine fonctionne rversiblement selon le cycle de Stirling reprsent sur la figure ci-aprs.Il est compos de deux isothermes 34 et 12 et de deux isochores 2 3 et 41 (voir figure)

A ltat 1, la pression est 251 .10

mNP et la tempratureest KTT 3001 .A ltat 3, la pression est 253 .104

mNP et la temprature

est KTT 6003 .1) Dterminer les expressions des quantits de chaleur 12Q , 23Q ,

34Q et 41Q changes par une mole de gaz au cours dun cycle.2) dterminer les expressions des travaux 12W et 34W changs parune mole de gaz au cours du cycle ainsi que le travail W total.

3) a) Dduire de ces rsultats le rendement thermodynamique du cycle de Stirling.b) Comparer ce rendement celui que lon obtiendrait si la machine fonctionnait selon le cycle

de Carnot entre les mmes sources aux tempratures T et T.c) Expliquer la diffrence.

1

4

3

2

P3

P1

V1 V2

P

V

7PREUVE DE THERMODYNAMIQUESESSION NORMALE. ANNEE : 2004 - 2005

Questions de cours :1) donner la dfinition :

a) dun un tat dquilibre.b) dune transformation quasi-statiquec) dune transformation rversible

2) a) rappeler la dfinition de lnergie interne U.b) quoi correspond cette nergie dans le cas dun gaz parfait.c) donner lexpression de lnergie interne dun gaz parfait diatomique.

3) a) crire lnonc du premier principeb) rappeler son expression diffrentielle.

Exercice I:On considre un gaz, de capacits calorifiques Cv et Cp respectivement volume et

pression constantes, subissant une transformation rversible. On suppose quau cours dunetransformation infinitsimale, ce gaz change avec le milieu extrieur une quantit de chaleurlmentaire Q et un travail lmentaire W .

1) On suppose que la transformation est adiabatique rversible

a) dtermineradiab

PV

en fonction des coefficients calorimtriques et

b) tablir la relation entreT

PV

etadiab

PV

On rappelle que les expressions des coefficients calorimtriques et scrivent :

PP

TCV

et VV

TCP

Et que de manire gnrale : 1 : 1z x zz

z

y x y zet quex y z xx

y

c) Dans le cas ou le gaz est parfait, crire lexpressions de Q lorsque les variables :- V et T sont indpendantes.- T et P sont indpendantes.- P et V sont indpendantes.

2) dterminerT

PV

lorsque la transformation est rversible isotherme

3) En utilisant lquation 1) b), dduire lquation dtat du gaz pour une transformationadiabatique rversible

4) Supposons maintenant que le gaz parfait subit une dtente rversible lamenant dun tatinitial A1 (P1,V1) vers un tat final ayant un volume V2.

a) Sur un mme diagramme de Clapeyron, reprsenter lallure de cette transformationlorsquelle est :

i) adiabatique ;ii) isotherme.

b) i) Reprsenter graphiquement les travaux WT et Wadia correspondants.ii) comparer WT et Wadia.

8Exercice II:On considre un gaz parfait, de capacits calorifiques Cv et Cp respectivement volume et

pression constantes, subissant une dtente adiabatique rversible lamenant dun tat. A1 (T1,V1)vers un tat final A2 (T2,V2).

1) a) tablir lexpression du travail, Wadia, chang par le systme, en fonction de Cv, T1 et T2b) Que devient cette expression lorsque la dtente adiabatique est irrversible ?

2) a) En utilisant la relation de Mayer entre Cp et Cv, crire lexpression du travail Wadia enfonction de n, R, , T1 et T2.

b) En utilisant lquation dtat, dterminer lexpression du travail Wadia en fonction de n, R,

, T2, et 21

VV

.

3) Supposons maintenant que le gaz parfait subit une dtente isotherme rversible latemprature T,

a) tablir lexpression du travail WT chang par le systme, en fonction de n, R, T, et 21

VV

.

b) En dduire lexpression de la quantit de chaleur QT change en fonction de n, R, T, et2

1

VV

.

4) Supposons maintenant que la dtente effectue par le gaz parfait est isobare et irrversible,a) Donner lexpression de la variation de lnergie interne U du gaz au cours de cette

transformation.b) crire lexpression de la quantit de chaleur irrPQ change par le gaz.c) En dduire lexpression du travail irrPW chang par le systme, en fonction de n, R, T1, et

T2.

9PREUVE DE THERMODYNAMIQUESESSION DE RATTRAPAGE. ANNEE : 2004-2005

Questions de cours :I) Un gaz parfait parcourt un cycle ditherme rversible au cours duquel il change un travail W,avec le milieu extrieur, une quantit de chaleur Q1 avec la source chaude ( la temprature T1) etune quantit de chaleur Q2 avec la source froide ( la temprature T2).Prciser les signes de Q1 et Q2 et W dans le cas ou le cycle est celui :

a) dune pompe chaleur.b) dune machine frigorifique.c) dun moteur thermique.

II) a) crire, lexpression de la quantit de chaleur lmentaire Q change par un gaz parfaitau cours dune transformation infinitsimale en fonction des variables T et V.b) En dduire lexpression de la variation lmentaire dentropie dS du gaz parfait au coursde cette transformation infinitsimale.c) Rappelez comment calcule t-on la variation dentropie S du gaz parfait au cours dunetransformation relle entre un tat dquilibre initial (Ti, Vi) et un tat dquilibre final (Tf, Vf).

Problme :On considre un gaz parfait qui dcrit un cycle de Carnot ABCDA constitu de :

- une branche AB reprsentant une compression isotherme la temprature T2 amenant lesystme du volume AV au volume BV ( AV > BV ).- une branche BC reprsentant une compression adiabatique amenant le systme du volume

BV au volume CV ( BV > CV ).- une branche CD reprsentant une dtente isotherme la temprature T1 amenant le systmedu volume CV au volume DV .- une branche DA reprsentant une dtente adiabatique ramenant le systme son tat initialA.

1) Construire le cycle dans un diagramme de CLAPEYRON.2) a) tablir les expressions des travaux WAB, WCD, WBC et WDA changs par le systme en

fonction de n, R, CV, 1T , 2T , AV , BV , CV et DV .b) En dduire la quantit de chaleur QAB en fonction de n, R, 2T , AV et BV et la quantit dechaleur QCD en fonction de n, R, 1T , CV et DV . Ces chaleurs sont changes avec les deuxsources de chaleurc) Quels sont les signes de QAB et QCD? Laquelle de ces deux chaleurs est change avec lasource chaude ? (Justifiez votre rponse).

3) a) crire lexpression du rendement r du cycle en fonction de QAB et QCD, puis en fonction de1T , 2T , AV , BV , CV et DV .

b) En utilisant lquation caractristique de la transformation adiabatique rversible dun gaz

parfait (liant la temprature et le volume), montrer que : CBA D

VVV V

.

c) En dduire lexpression du rendement en fonction de 1T et 2T .4) a) tablir les expressions des variations dentropie SAB, SBC, SCD et SDA en fonction de n,

R, AV , BV , CV et DV .b) En dduire la variation de lentropie du gaz parfait, Scycle, au cours de ce cycle.c) Retrouver ce rsultat en utilisant le deuxime principe de la thermodynamique.

5) Donner les paramtres des tats A, B, C et D en fonction de 1T , 2T , AV et BV .

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PREUVE DE THERMODYNAMIQUESESSION NORMALE. ANNEE : 2005-2006

(Les exercices I et II sont indpendants)

Exercice I (dure conseille 30 mn)On considre n moles de gaz parfait de chaleur spcifique molaire volume constant cv et de

constante .

1) Exprimer cv en fonction de et R (R : Constante des gaz parfaits)2) Pour une transformation infinitsimale qui fait passer le gaz de ltat P, V et T ltat

P+dP, V+dV et T+dT, crire lexpression de la quantit de chaleur Q change avec lemilieu extrieur dans le cas ou T et V sont des variables indpendantes.

3) a) Dmontrer que, dans le cas dune transformation adiabatique rversible, ltat du gaz estdcrit, par lquation dtat :

TV-1=Cte.b) En dduire que cette quation peut aussi scrire sous la forme :

PV = Cte ou encore 1

TP = Cte.c) Montrer, par un calcul direct, que le travail W chang par le gaz parfait au cours decette transformation faisant passer le gaz de ltat (P1, V1, T1) ltat (P2, V2, T2) scrit :

11122

VPVPW

d) En dduire W en fonction de n, R, , T1 et T2.e) Quelle est la valeur de la variation dentropie au cours de cette transformation ?

On veut maintenant effectuer une transformation adiabatique irrversible en partant du mmetat initial (P1, V1, T1) .

4) a) Les expressions des questions 3) a) et 3) c) restent-elles valables ? Justifier.b) Quelle est le signe de la variation dentropie ? Justifierc) En dduire que ltat final est diffrent de celui de la transformation rversible ?

Exercice II (dure conseille 1 heure)On considre une machine ditherme fonctionnant entre deux sources de chaleur de

tempratures respectives T1 = 300 K et T2 = 280 K. Le fluide de cette machine, assimil un gazparfait de n moles et de constante , dcrit un cycle ditherme compos de transformationsrversibles suivantes :

A B : Compression adiabatique de VA VBBC : Compression isotherme de VB VCC D : Dtente adiabatique de VC VDD A : Dtente isotherme de VD VA (VA> VD)

1)- a) Reprsenter ce cycle dans le diagramme de Clapeyron.b) Quappelle-t-on ce cycle ?c) Que reprsente laire du cycle dans le diagramme (P,V)d) En dduire la nature de ce cycle ditherme.

2)- a) Dterminer les expressions des travaux changs lors de ces transformations en fonctionde T1, T2, VA, VB, VC et VD.

b) En dduire le travail total W chang par le systme lors du cycle. Applicationnumrique.

11

3)- a) Dterminer les quantits de chaleur changes lors de chacune de ces transformations.On notera Q1 et Q2 les quantits de chaleur changes par le systme respectivementavec les sources de tempratures T1 et T2.

b) Retrouver lexpression du travail W de la question 2- b)4)- a) Dterminer la variation dentropie du systme pour chacune des transformations du

cycle.

b) En dduire la variation dentropie S du cycle,

5)- a) Exprimer le rapportDpense

gain de cette machine en fonction de Q1 et Q2 . Etudier les

cas possibles

b) En utilisant la relation de Clausius exprimer ce rapport en fonction de T1 et T2.Application numrique.

6)- a) Dterminer les variations dentropie S1 et S2 des sources de chaleur detempratures respectivement T1 et T2.

b) Calculer la variation dentropie totale ST = Ssystme +S1 + S2. Conclusion7)- On suppose que la transformation BC est irrversible

a) Quelle est lexpression de la variation dentropie SBC ?b) Dterminer alors lexpression de lentropie cre au cours de cette transformation.

On donne : n =1, R = 8,31 J.mol-1.K-1 ; = 1,4

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PREUVE DE THERMODYNAMIQUESESSION DE RATTRAPAGE. ANNEE : 2005-2006

Questions de cours :1) Dfinir et crire lexpression de lnergie interne U dun gaz parfait constitu de N particules.2) On considre un systme, de chaleur massique volume constant Cv et pression constante Cp,qui subit une transformation infinitsimale rversible au cours de laquelle il change une quantit dechaleur Q avec le milieu extrieur.

a) Ecrire lexpression de Q en fonction des couples de variables indpendantes (T, V) et (T, P).b) Que devient cette expression si le gaz considr est un gaz parfait.

3) Ecrire la relation de Mayer dun gaz parfait en fonction de ses chaleurs massiques volumeconstant Cv et pression constante Cp.4) Un gaz parfait dans un tat dquilibre initial A (PA, VA) subit :

- soit une compression isotherme rversible lamenant vers un tat final B (PB, VB)- soit une compression adiabatique rversible lamenant vers un tat final C (PC, VC=VB)a) Reprsentez dans un mme diagramme de Clapeyron (P, V), lallure de ces deux

transformations.b) Reprsentez graphiquement les travaux Wisotherme et Wadiabatique correspondants. Les comparer.

Exercice :Un gaz parfait dont ltat dquilibre initial, I, caractris par les coordonnes thermodynamiques(Ti, Pi, Vi) subit une dtente rversible et se retrouve dans un tat final, F, caractris par lescoordonnes thermodynamiques (Tf, Pf < Pi, Vf).Cette dtente peut seffectuer suivants deux chemins (C1 et C2) diffrents :

- C1: une transformation IF o ltat final est caractris par une temprature Tf = Ti.- C2 : une transformation isobare IA suivie dune transformation isochore AF.

1) Reprsenter sur le mme diagramme de Clapeyron les deux tats extrmes I et F ainsi que lesdeux chemins, dcrits ci-dessus, pour aller de ltat I ltat F.2) a) Exprimer, en fonction de Ti, Pi, Pf et R, le travail chang par le systme au cours des

transformations :- IF suivant le chemin 1 (C1) : WIF- IA : WIA- AF : WAF

b) Comparer WIF et WIA sachant que 1-x > lnx lorsque x > 1.c) Comparer les travaux changs par le gaz le long des chemins C1 et C2. Conclure.

3) Sachant que lnergie interne de ce gaz est gale : nRTU23

.

a) Dduire la variation de lnergie interne du gaz, entre ltat initial et ltat final, le long desdeux chemins. Conclure.b) En dduire en appliquant le premier principe, lexpression de la quantit de chaleur QIFchange par le systme le long du chemin 1 (C1).

4) Exprimer, en fonction de Ti, Pi, Pf et R, les quantits de chaleur QIA et QAF changes par lesystme au cours des transformations du chemin 2. Les capacits calorifiques de ce gaz sontrespectivementgales : nRCv 2

3 et nRCp 2

5

5) Considrons maintenant que la transformation IF le long du chemin 1 est irrversible. Calculer letravail irrIFW chang par le systme au cours de cette transformation.

13

SOLUTIONSDES

EPREUVES

14

SOLUTION DE LEPREUVE DELA SESSION DE RATTRAPAGE 2003-2004

EXERCICE I :

1) Nombre de mole : PV=RT ===> 0 00

PVnRT

2) a) la pression P0 est suprieur P, le piston va se dplacer jusqu ce que VA = 0. le piston estaccol avec la paroi F.

b) le travail chang avec lextrieur pour le gaz est :

- daprs extW p dV 0 0extW P dV PV

- daprs dU W Q W (transformation adiabatique)1 0

1 0

( )

( )1

v vdU dW nC dT W nC T TRW n T T

c) 1 0 0 0( )1RW n T T PV

===> 1 0 1 00

1 ( ) 1T T T TT

- 1 1 1 0 0 0;B BPV nRT PV nR T PV

0 01

B

PVPV

Ou toute autre expression quivalentes

- VBmin ne pas traiter

EXERCICE II :1) la transformation est irrversible, on ne peut pas retrouver ltat initial spontanment et suivant lemme chemin2) a) pQ C dT ===> 1 1 1 2 1 2( ) ( )p f p fQ C T T et Q C T T

b) 1 2Q Q ====> 1 1 1 2 1 2( ) ( )p f p fQ C T T Q C T T

===> 1 1 2 21 2

p pf

p p

C T C TT

C C

3) QdST

===> PdTS CT

1 11

ln fPT

S CT

1 22

ln fPT

S CT

1 2 1 21 2

ln lnf fP PT T

S S S C CT T

4) a) 1 2T T 2 1fT T T 1 11

ln 0fPT

S CT

2 12

ln 0fPT

S CT

Transformation irrversible avec un systme isol ===> 0S 1 2T ou T

b)2

1 2 1 2 1 2

ln ln ln ln lnf f f f fP P P PT T T T T

S C C C S CT T T T TT

1 2

2fT TT ====>

21 2

1 2

ln4P

T TS C

TT

15

5) a) 2PC ; 2fT T ; 1 2 2 1( )PQ Q C T T b) A ne pas traiter

EXERCICE III :1) dQ CvdT ldV

12

12

dQ ldV isothermedQ PdV gaz parfait

1 1 112 122 2

2

; lnV V

V V

dV VQ PdV nRT Q nRTV V

On peut retrouver ce rsultat partir de lexpression du travail

23 23 ( )v vdQ C dT isochore dQ C T T

2 2 234 341 1

1

lnV V

V V

dV VQ PdV nRT Q nRTV V

41 41 ( )v vdQ C dT isochore dQ C T T

2) lnergie interne dun gaz parfait ne dpend que de la temprature 0U dans le cas duneisotherme donc Q W

212

1

ln VW nRTV

1

342

ln VW nRTV

1

2

ln ( )VW nR T TV

3)a) le rendement

1

12 2

234

1

ln1 1 1

ln

VnRTQ TV

VQ TnRTV

b) 1 carnotTT

c) Pas de diffrence.

1

4

3

2

P3

P1

V1 V2

P

V

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SOLUTION DE LEPREUVE DELA SESSION NORMALE 2004-2005

Questions de cours :1) a) Un systme se trouve dans un tat dquilibre si les variables dtat qui dfinissent son tatne varient pas au cours du temps,

(quilibre thermique) + (quilibre mcanique)).

b) Une transformation rversible est une transformation qui se fait par une succession dtatsdquilibres infiniment voisins,2) a) L'nergie interne U d'un systme est dfinie comme la somme des nergies cintiques ciEet potentielles piE de toutes les particules formant le systme.

1

U Ec EpN

ci pii

E E

ciE = nergie cintique (translation rotation) de chaque particule:b) Lnergie interne U dun gaz parfait est la somme de lnergie cintique Eci (translation

rotation) de toutes les particules le constituant :N

cii

U E

c) NkTNkTEEU rotctransc 2

3 ==> NkTU25

==> nRTUkTnU25

25

N

3) a) le 1ier principe scrit : U = W + Qb) lexpression diffrentielle du 1ier principe est : QWdU

Exercice 1 :1) a) pour une transformation adiabatique, on a : Q = dV + dP = 0

Donc :

adiabVP

b)T

T

VP

Vv

Pp

adiab VP

PVT

PVT

PTC

VTC

VP

1

==>Tadiab V

PVP

c)

00

0

v

p

V P

Q C dT PdVQ C dT VdP

V PQ C dP C dVnR nR

2) On a : PV = nRT donc :2V

nRTV

nRTVV

P

T

==>VP

VP

T

17

3)Tadiab V

PVP

Or :VP

VP

T

==>VP

VP

adiab

==>VdV

PdP

==> CteVPCteVP lnlnlnln ==> CtePVCtePV YY ln

4) a) et b)

Ainsi : Wadiab < WT

Exercice 2 :1) a) Q = 0 donc le 1ier principe scrit : Wadiab = U = Cv(T2-T1)

b) )( 12 TTCUW virrvadiab 2) a) la relation de Mayer scrit : Cp Cv = nR Cv(-1) = nR

Ainsi : )(1 12

TTYnRWadiab

b) )1(1 2

12 T

TT

YnRWadiab

or 1221

11

VTVT )1(

1

1

1

22

VV

TYnRWadiab

3) a)1

221

21 V

VnRTLn

VdVnRTPdVW VV

VVT

b) Lnergie interne dun gaz parfait ne dpend que de la tempratureet reste, donc, constante au cours dune transformation isotherme :

U = WT+QT = 0 QT = -WT

soit :1

2VV

nRTLnWQ TT

4) a) )( 12 TTCU v (puisque U est une fonction dtat)b) )( 12 TTCHQ pirrvp

c) )()()( 121212 TTnRTTCTTCQUW pvirrvpirrvp

Wadiab

V1 V2V

P

WT

isotherme

adiabatique

A1

18

SOLUTION DE LEPREUVE DE LA SESSIONDE RATTRAPAGE 2004-2005

Questions de cours :1)a) pompe chaleur : Q1 < 0 Q2 > 0 W > 0.b) dune machine frigorifique : Q1 < 0 Q2 > 0 W > 0.c) dun moteur thermique : Q1 > 0 Q2 < 0 W < 0.2)a) Q = Cv dT + PdV

b)T

QdS

rv

VdVnR

TdTCdS v

c) Pour calculer S dun gaz parfait au cours dune transformation relle entre un tat initial (Ti, Vi)et un tat final (Tf, Vf), il suffit dintgrer dS condition demprunter un chemin rversible (mmeimaginaire) entre ces 2 tats :

Problme :1)

2)

a)

B

AV

VAB V

VLnTnR

VdVnRTW

B

A22

D

CV

VCD V

VLnTnR

VdVnRTW

D

C11

)( 21 TTCUW vBCBC

)( 12 TTCUW vDADA

b)

A

BABAB V

VLnnRTWQ 2

i

f

i

fv V

VnRLn

TT

LnCS 2112 TQ

SSS rv

D

C

B AT2

T1

V

P

VDVB VAVC

19

C

DCDCD V

VLnnRTWQ 1

c) QAB < 0 puisque VB < VA.QCD > 0 puisque VD > VC.

QCD est positive, donc reue par le systme, de la source chaude.

3) a)CD

AB

CD

CDAB

CD QQ

QQQ

QW

dpenseGainr

1

soit :

D

C

A

B

C

D

A

B

VV

LnT

VV

LnT

VV

LnnRT

VV

LnnRTr

1

2

1

211

b)1

2

111

C

BBBCC V

VTTVTVT

1

2

111

D

AAADD V

VTTVTVT

donc :

D

C

A

B

C

B

D

AVV

VV

VV

VV

c) Daprs 3) a) et b) on peut crire :1

21TTr

4) a)

A

BAB V

VnRLnS

0 BCS

C

DCD V

VnRLnS

0 DAS

b) 0 DACDBCABcycle SSSSS car

D

C

A

BVV

VV

c) Pour le cycle rversible ABCDA, le 2nd principe scrit : Scycle = Sr + Sc

o Sc = 0 (cycle rversible) et21 T

QT

QS ABCDr (cycle ditherme)

or, daprs 3)a) et b) on a :1

2TT

QQ

CD

AB cest dire : 0

21

TQ

TQ ABCD

donc : 021

T

QT

QS ABCD

20

SOLUTION DE LEPREUVE DELA SESSION NORMALE 2005-2006

Exercice I

1))1(

;)1(;

RcRcRcc vvvp

2) ldVdTnCdQ v ; PdVdTnCdQ v 3) a)

CteTVCteVTVdVdT

nRTdVPdVdTRn

PdVdTRndQ

)1()1( ,lnln;)1(

)1(

0)1(

b) CtePVVnRPVTV )1()1(

CteV

nRTPVVVT

PnRTT ()( )1(

c)

11111

11

112211

1112

2211

12

12

1

2

1

2

1

2

1

VPVPVVPVVPVCteVCte

VCtedVVCtedVVCtePdVW

V

V

V

V

V

V

V

V

Remarque : le calcul partir de la variation de lnergie interne nest pas un calcul direct

)(1 12

2

1

TTnRdTncWQWUT

Tv

=1

12

nRTnRT =1

1122

VPVP

d)1

)(11

12121122

TTnRnRTnRTVPVPW

e) La transformation est adiabatique rversible : 00 ST

dQdSrev

4) a)Lexpression TV-1=Cte de la question 3) a) nest plus valable puisque sa

dmonstration a t faite dans le cas dune transformation rversible.Lexpression du travail de la question 3) c) nest pas valable : relation obtenue par

lintgration dune fonction continue.

b ) la transformation est irrversible :la variation dentropie scrit :

changeCrechangeCre SSSnotationlaouSSS

on sait que : )0(0 QpuisqueT

QSS

irrchange

alors : 0 Creirr SS puisque la transformation est irrversible

21

c ) puisque lentropie est une fonction dtat, le systme natteindra pas le mme tat final dela transformation rversible.

Exercice IIa) cycle ci-contreb ) ce cycle est le cycle de Carnotc ) lair du cycle est proportionnelle au travail

chang par le systme au cours du cycle

d ) le cycle est parcouru dans le sens desaiguille dune montre :

le travail est positif

W > 0, Le cycle est rcepteur

2) a) pdVdw AB : Adiabatique : dQ = 0 ;

)( 211

2

TTncdTncWdTncdUdw vT

TvABv

BC : Isotherme :

C

BV

VBC V

VnRTdVV

nRTWpdVdwC

B

ln11

Adiabatique : )( 122

1

TTncdTncWdTncdUdw vT

TvCDv

Isotherme :A

DV

VDA V

VnRTdVV

nRTWpdVdwA

D

ln22

b)A

D

C

B

VVnRT

VVnRTW lnln 21

3) a) 0 CDAB QQ car se sont des transformations adiabatiquesBC : Isotherme : 0 dUdQdw Transformation isotherme dun gaz parfait.

11 ln QVVnRTWQdWdQ

C

BBCBC

De mme : 22 ln QVVnRTWQ

D

ADADA

b) dans le cas du cycle :

A

D

C

B

DABC

VVnRT

VVnRTW

QQQQWU

lnln

)()(0

21

21

4 ) Transformations adiabatiques : 0 CDAB QQ 0 CDAB SSTransformations isothermes : ;0 dWdQdU

BC

DA T2

V

P

T1

22

A

DDA

C

BBC

rev

S

VVnRSDAtiontransforma

VVnRSBCtiontransforma

VnRdV

TpdV

TdQ

TdQdS

ln:

ln:

b) DABCcycle SSS

D

A

C

B

C

B

D

A

DCDDCC

BABBAA

VV

VV

VV

VV

VTVTVTVTVTVTVTVT

21

22

A

DDA

C

BBC V

VnRSVVnRS lnln

reversiblecycliquetiontransformaScycle 0

5 ) le cycle est rcepteur car W > 0 , deux cas se prsentent- pompe chaleur

Dans ce cas

)( 1211

QQQpeperformanc

WQ

Dpensegain

- machine frigorifiqueDans ce cas

)( 1222

QQQeefficacit

WQ

Dpensegain

b ) relation de Clausius : 02

2

1

1

TQ

TQ

2

2

1

1

TQ

TQ

21

1

TTTp

21

2

TTTe

6) au cours de la transformation BC la source 2 a change 02

22 T

QSrev

au cours de la transformation DA la source 1 a change 01

11 T

QSrev

b) ST = Ssystme +S1 + S2 = 0 ,

Conclusion : le systme et les deux sources forment un systme isol, puisque la transformationcyclique est rversible . ST =0

7 ) a transformation BC tait isotherme, la nouvelle transformation est irrversible, puisque Sest une fonction dtat :

SBC =C

BBC V

VnRS ln

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Sujets d Examens de Thermodynamique Avec Solutions