sujet_et8_2001

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Électrotechnique et Électronique de Puissance

AGREGATION INTERNE DE GENIE ELECTRIQUE

OPTION B

ELECTROTECHNIQUE ET ELECTRONIQUE DE PUISSANCE

Étude d’un système industriel (durée 8 heures)

ENERGIE EOLIENNE ET PRODUCTION D'ELECTRICITE

RECOMMANDATIONS AUX CANDIDATS :

Les candidats sont invités à numéroter chaque page de leur copie et à indiquerclairement le numéro de la question traitée.

Les candidats sont priés de rédiger les différentes parties du problème sur desfeuilles séparées et clairement repérées. Il leur est rappelé qu'ils doivent utiliser lesnotations propres au sujet, présenter clairement les calculs et dégager où encadrertous les résultats.

Tout résultat incorrectement exprimé ne sera pas pris en compte. En outre, lescorrecteurs leur sauront gré d'écrire lisiblement et de soigner la qualité de leur copie.

ORGANISATION DU SUJET :

SUJET : Parties 1 à 4 (18 pages).

NOTE AUX CANDIDATS :

Les parties 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes.

PRESENTATION DES APPLICATIONS NUMERIQUES :

Lors du passage d'une forme littérale à son application numérique il est demandéaux candidats de procéder comme suit :

Après avoir rappelé la relation littérale, chaque grandeur est remplacée par savaleur numérique en respectant la position qu'elle avait dans la relation puis le résultatnumérique est donné sans calculs intermédiaires et sans omettre son unité.

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ENERGIE EOLIENNE ET PRODUCTION D'ELECTRICITE

Face aux problèmes liés à l'environnement, on assiste depuis quelques années dansle domaine de la production d'électricité à un fort développement de l'énergieéolienne.Le programme de développement de l'éolien Éole 2005 devrait porter le parc éolienfrançais à un niveau d'environ 500 MW à l'horizon 2005 alors que seuls 10 MWétaient installés en 1998.

Ce sujet se compose de quatre parties indépendantes. A l'intérieur de chaque partie,certaines sous - parties sont elles mêmes indépendantes.

Les quatre parties sont :

1) Étude de la mécanique du moteur éolien et de ses performances (pages 3 à 5).2) Étude de la conversion de l'énergie à vitesse fixe (pages 6 à 9).3) Étude de la conversion d'énergie à vitesse variable (pages 10 à 17).4) Travail pédagogique : conversion d'énergie à vitesse variable (page 18).

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PREMIÈRE PARTIE

ETUDE DU MOTEUR EOLIEN

Cette première partie permet d'étudier la puissance mécanique que peut fournir uneéolienne en fonction de différents paramètres.

1.1) ENERGIE MECANIQUE EOLIENNE :

On cherche à déterminer la puissance disponible due à un vent de vitesse V à traversune surface S perpendiculaire à sa direction.

1.1.1) Énergie cinétique d'une colonne d'air :On considère une colonne d'air de longueur dl de section S de masse volumique ρanimée d'une vitesse V conformément à la figure 1.

S

dl

V Masse volumique ρ

Figure 1

1.1.1.1) Quelle est l'énergie cinétique de cette colonne ?1.1.1.2) En supposant que cette colonne représente la quantité d'air traversant la

surface S pendant le temps dt, exprimer l'énergie cinétique de cette colonne enfonction de V, S, ρ et dt.

1.1.2) Puissance théoriquement disponible :1.1.2.1) Déduire de l'expression précédente la puissance disponible.1.1.2.2) Application numérique :

Calculer la puissance disponible par m2 pour une vitesse de vent de 36 km / h,sachant que la masse volumique de l'air dans des conditions normales detempérature et de pression est : ρ = 1,25 kg / m3.

1.1.2.3) Quelle condition sur la vitesse du vent en sortie de l'éolienne faudrait-iladmettre pour pouvoir récupérer intégralement cette énergie ?

1.2) THEORIE DE BETZ :

La production d'énergie se fait par prélèvement d'énergie cinétique à la traversée del'aéromoteur.Sur une veine de vent, on notera :

V : vitesse du vent au niveau de l'éolienneV1 : vitesse du vent avant l'éolienneV2 : vitesse du vent après prélèvement de l'énergie par l'éolienne

S1 S2SV1 V V2

Figure 2 : Veine de vent à la traversée de l'aéromoteur

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On supposera l'air incompressible, ce qui permettra d'écrire la conservation du débitVolumique : S1.V1 = S2.V2 = S.VLe théorème d'Euler (variation de la quantité de mouvement de la veine de vent entrel'amont et l'aval de l'hélice.) permet d'écrire que la force F s'exerçant sur les pales del'aéromoteur est donnée par l'expression : F = ρ S. V.(V1-V2)On en déduit que la puissance mécanique fournie à l'aéromoteur s'écrit :

PB = ρ . S . V2.(V1-V2)

1.2.1) Puissance récupérable :1.2.1.1) Exprimer la masse d'air élémentaire dm traversant l'éolienne pendant le temps

dt en fonction de S, V et ρ.1.2.1.2) Quelle est la variation d'énergie cinétique de cette masse dm lorsque la vitesse

passe de la valeur V1 à la valeur V2 ?1.2.1.3) En déduire une autre expression de la puissance PC en fonction de S, V, V1, V2

et ρ.1.2.1.4) Quelle relation existe t'il entre les trois vitesses V1, V2 et V ?1.2.1.5) En déduire une expression de la puissance P en fonction de S, V1, V2 et ρ.

1.2.2) Limite de BETZ :1.2.2.1) Déterminer la relation devant exister entre V1 et V2 pour que la puissance P

passe par un maximum.1.2.2.2) Montrer en précisant la valeur du coefficient A que la puissance maximum peut

s'écrire : P A S Vmax .( . . . )=1

2 13ρ

1.2.2.3) Application numérique :Calculer la surface nécessaire balayée par les pales ainsi que le diamètre decelles-ci pour fournir sous forme électrique 100 kW dans les conditionssuivantes :

Rendement de l'aérogénérateur : 60%.Vitesse du vent : V = 36 km / h.Masse volumique de l'air dans des conditions normales : ρ = 1,25 kg / m3.

1.3) INTÉRÊT DE LA VITESSE VARIABLE :

Pour simplifier cette étude, on se limitera aux éoliennes à axe vertical dont un schémade principe est donné sur la figure suivante :

Ω

V1

r

V1

Figure 3

On admettra que le moment du coupleaérodynamique qui s'exerce sur l'arbreest de la forme : pour Ω.r < V1

T S r C V rF= −1

2 12. . . . ( . )ρ Ω

Ou CF est un coefficient constantdépendant de la forme des aubes.Dans le cas de demi-sphère, lecoefficient CF est égal à 1,33.

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1.3.1) Déterminer l'expression de la puissance développée sur l'arbre.1.3.2) Pour une vitesse de vent V1 donnée, quelle est la vitesse de rotation

angulaire qui permet de travailler à la puissance maximum ?

1.3.3) En déduire l'expression de la puissance maximum en fonction de ρ, S, CF

et V1.

1.3.4) Pour CF = 1,33, comparer cette puissance maximum à celle donnée par lathéorie de Betz.

1.3.5) Tracer dans le domaine 0 < Ω.r < V1P

S Cf r

F12 . . .

( . )ρ

= Ω

pour V1 = 36 km/h et V1 = 18 km/h.

1.3.6) Conclure sur l'intérêt de la vitesse variable.

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DEUXIEME PARTIE

PRODUCTION D'ENERGIE A VITESSE CONSTANTE

Cette deuxième partie étudie un aérogénérateur d'une ferme éolienne de puissancetotale de 7,5 MW.Les aérogénérateurs sont constitués d'hélices à pas variable entraînant une machineasynchrone directement reliée sur le réseau et fonctionnant en génératrice.

Caractéristiques d'une éolienne :

Diamètre del'hélice

Nombre depales

Surfacebalayée

Vitessenominale

Hauteur dumat

Vitesse duvent

nominale43,4 m 2 1480 m2 32,8 tr / mn 45 m 15 m / s

Caractéristiques nominales de la génératrice asynchrone :

Tensionentre

phases

Couplage Fréquence Courant Puissance cos (ϕ) Vitesse

660 V étoile 50 Hz 760 A 790 kW 0,91 1509 tr/mn

2.1) DETERMINATION DES ELEMENTS DU SCHEMA EQUIVALENT :

A la réception de la machine, les essais suivants ont été effectués :Essai en moteur à vide : sous tension variable à f = 50 Hz et n ≈ 1500 tr/mnTension (en V) 660,3 528,3 396,2 264Courant absorbé (en A) 209,4 157,3 116 77,6Puissance absorbée (enkW)

11,17 9,21 7,65 6,4

On admettra que cet essai a été effectué à la température de 20,5°C

Essai à rotor bloqué : à f = 50 HzTension (en V) 120,1Courant absorbé (en A) 980Puissance absorbée (en kW) 25,6On admettra que cet essai a été effectué à la température de 20,5°C.

Essai en courant continu :A la température de 20,5°C, la résistance mesurée entre phases est de 0,00563 Ω.

En régime permanent, le schéma d'une phase est donné par la figure 4.

Vs

IsRs

Rpf Lm

Ir

VeRrg

lL

NFigure 4

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2.1.1) Séparation des pertes :

2.1.1.1) Dans le cas de l'essai à vide, écrire le bilan de puissance et en déduire lavaleur de la somme des pertes ferromagnétiques et des pertes mécaniques pour lesdifférentes valeurs de la tension.

2.1.1.2) Montrer que cette série d'essais à tension variable, à vitesse constante et àfréquence fixe permet de séparer les pertes ferromagnétiques des pertesmécaniques.Donner la valeur des pertes mécaniques et des pertes ferromagnétiques soustension nominale.

2.1.1.3) Déterminer sous tension nominale la valeur de l'inductance de magnétisationLm et la valeur de la résistance symbolisant les pertes ferromagnétiques Rpf.

2.1.2) Exploitation de l'essai à rotor bloqué :

2.1.2.1) En supposant que l'hypothèse de Kapp soit vérifiée et que le rotor de lamachine asynchrone soit à simple cage, déterminer la résistance rotorique ramenéeau stator Rr et l'inductance de fuite totalisée ramenée au stator l.

2.1.2.2) Critiquer les différentes hypothèses de la question précédente.On répondra entre autre aux questions suivantes :

• Peut-on utiliser les éléments déterminés à partir de l'essai à vide pourprendre en compte un courant magnétisant dans l'essai à rotor bloqué ?

• Pourrait-on utiliser au point de fonctionnement nominal les élémentsmesurés dans un essai à rotor bloqué dans le cas d'une machine àencoches profondes ? Justifier.

2.2) POINT DE FONCTIONNEMENT NOMINAL :

On désire vérifier les caractéristiques de la machine au point de fonctionnementnominal.Des essais réalisés à des vitesses proches du synchronisme ont montrés que lesvaleurs à prendre en compte pour le point de fonctionnement nominal différaient decelles calculés à partir de l'essai à rotor bloqué.Dans la suite du problème, on utilisera les valeurs numériques suivantes données à latempérature nominale de fonctionnement de la machine :

Rs Rr Lm l Rpf Pertesmécaniques

0,00374 Ω 0,00324 Ω 5,8 mH 0,23 mH 83,85 Ω 5,6 kW

La tension nominale entre phases est : Un = 660 V.

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2.2.1) Température nominale de fonctionnement :

Déterminer la température nominale de fonctionnement de la machine sachant que lecoefficient de température du cuivre est de 4.10-3 deg-1.

2.2.2) Caractéristique de couple en régime permanent de la machine soustension nominale Vs = Vn :

2.2.2.1) En négligeant la chute de tension dans Rs devant la tension d'alimentation,exprimer littéralement le couple électromagnétique Te en fonction des éléments duschéma équivalent et de la tension Vn .Indiquer clairement les conventions utiliséeset préciser les différents modes de fonctionnement de la machine.

2.2.2.2) En remarquant que le glissement nominal est inférieur en valeur absolue à1%, déterminer une expression approchée du couple électromagnétique autour dece point.

2.2.3) Détermination du point de fonctionnement :

La figure 5 donne la caractéristique de la puissance fournie par l'éolienne pour unevitesse de vent de 15 m/s en fonction de la vitesse de rotation de l'hélice.

Pm = 845 kW

Ωéol ≈ 3,4 rad / s

Puissance fournie = f (Ωéol) V = 15 m/s

Figure 5

Le point de fonctionnement nominal est choisi telle que la puissance fournie parl'éolienne soit maximum.

2.2.3.1) Déterminer le couple électromagnétique sur l'arbre de la machineasynchrone sachant que le multiplicateur utilisé à un rapport de 46,48 et unrendement de 96%.

2.2.3.2) Vérifier à partir de la caractéristique Te = f(g), déterminée à la question2.2.1.2), la valeur du glissement et de la vitesse au point de fonctionnementnominal.

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2.2.4) Dipôle équivalent au point de fonctionnement nominal :

2.2.4.1) Pour le glissement nominal (n=1509 tr/mn), déterminer l'impédancecomplexe équivalente à une phase de la machine à la température nominale defonctionnement.

2.2.4.2) En indiquant les conventions utilisées, calculer le courant absorbé soustension nominale et représenter dans le plan complexe la tension aux bornes d'unenroulement et le courant qui le traverse.

2.2.4.3) Déterminer les puissances active et réactive échangées avec le réseau.Indiquer le sens de transfert.

2.3) COMPENSATION DE LA PUISSANCE REACTIVE :Pour compenser en moyenne la puissance réactive consommée prenant en compte lesirrégularités temporelles du vent, il a été installé une batterie de condensateursfournissant : 125 kVar ± 1% sous une tension nominale de 660 V.

2.3.1) Les blocs de condensateurs de puissance triphasés utilisés ont unetension nominale d'emploi de 690V et fournissent 12,5 kVar. Déterminer lenombre de blocs à utiliser.

2.3.2) Déterminer la valeur du condensateur équivalent à placer en parallèle surune phase de la machine.

2.3.3) En cas de perte du réseau, écrire les conditions d'auto - amorçage.

2.4) COUPLAGE SUR LE RESEAU :

R

C1

C2

Stator Réseau

Figure 6

Lorsque la vitesse dépasse la vitesse de synchronisme, le couplage s'effectue autravers de résistances statoriques de valeur R = 0,2 Ω court-circuitée au bout de 2secondes.

2.4.1) Justifier l'insertion de résistance sur la phase de couplage.

2.4.2) Proposer une autre solution pour assurer ce couplage.

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TROISIEME PARTIE

PRODUCTION D'ENERGIE A VITESSE VARIABLE

De façon à optimiser le transfert d'énergie dans une large plage de vitesse du vent, onutilise un générateur à fréquence fixe et vitesse variable.Deux techniques sont aujourd'hui utilisées :• On intercale un convertisseur statique de fréquence entre la machine (machine

synchrone ou asynchrone) et le réseau (Support de l'exploitation pédagogique).

MS ouMAS

Ω

Multiplicateur

Réseau

Convertisseur statique de fréquence

Figure 7

• La deuxième solution qui fait l'objet de cette partie consiste à utiliser unegénératrice synchrone constituée d'une machine asynchrone à rotor bobiné.

MASà rotor bobiné

Ω

Multiplicateur

Réseau

Convertisseur statique de fréquence

Figure 8

Cet aérogénérateur équipe une centrale éolienne dont les caractéristiques sont lessuivantes :Caractéristiques de l'éolienne :

Diamètre del'hélice

Nombre depales

Surfacebalayée

Vitesse Vitesse duvent

nominale

Multiplicateur

65 m 3 3318 m2 14...24 tr / mn 13 m / s 78 / 1

Caractéristiques nominales de la machine :

Tensionentre

phasesstator

Couplage Tensionrotor

Courantstator

Puissance Nombrede pôles

Vitessede

synchronisme

500 V étoile 1500 V 1733 A 1500 kW 4 1500 tr/mn

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Deux modes de fonctionnement sont possibles :! Dans le cas d'un réseau ilôté, la machine est régulée de façon à délivrer unetension de valeur efficace fixe et de fréquence fixe sur une plage de vitesse donnée." Dans le cas d'un réseau puissant, la machine est régulée en tension et fréquenceavant d'être couplée sur le réseau. Elle est, par la suite, régulée en puissance activeet réactive.

On étudiera successivement :• Le convertisseur d'énergie mécanique - électrique dans un fonctionnement

iloté.• Le convertisseur statique de fréquence.

3.1) ETUDE DE LA CONVERSION D'ENERGIE :

3.1.1) Modèle de la machine vue du stator :

Hypothèses :On supposera :

le circuit magnétique non saturé,l'entrefer constant (on négligera donc les phénomènes d'encoches),les f.m.m. à répartition spatiale sinusoïdale.

Représentation de la machine - Conventions :La représentation schématique de la MAS dans l'espace électrique est donnée sur lafigure 9.

Figure 9

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NOTATIONS :

• p : nombre de paires de pôles,• js : indice des phases statoriques de la machine js = as ou bs ou cs,• jr : indice des phases rotoriques de la machine jr = ar ou br ou cr,• e : indice des angles dans l'espace électrique,• m : indice des angles dans l'espace mécanique,• θe ou θm : angle permettant de repérer la position du rotor par rapport au stator,

• Ω : vitesse angulaire de rotation du rotor : Ω = =d

dt p

d

dtm eθ θ1

. ,

• Rs : Résistance d'un enroulement statorique,• Rr : Résistance d'un enroulement rotorique,• ψjs : Flux totalisé sur un enroulement statorique,• ψjr : Flux totalisé sur un enroulement rotorique,• Las : Inductance propre d'un enroulement statorique,• Mss : Mutuelle inductance entre deux enroulements statoriques,• Lar : Inductance propre d'un enroulement rotorique,• Mrr : Mutuelle inductance entre deux enroulements rotoriques,• Mrs : Maximum de la mutuelle inductance entre un enroulement rotorique et un

enroulement statorique,• ωr : Pulsation des courants rotoriques en régime permanent,• ωs : Pulsation des courants statoriques en régime permanent,• Tr : Période des courants rotoriques en régime permanent,• Ts : Période des courants statoriques en régime permanent.

Conformément à la figure 10, la machine étant entraînée à vitesse constante, onalimente le rotor de la machine par des courants sinusoïdaux tels que :

i t I tar r r r( ) . .cos( . )= −2 ω ϕ i t i t Tbr ar r( ) ( / )= − 3 i t i t Tcr ar r( ) ( . / )= −2 3

La vitesse angulaire de rotation étant constante, on écrira :Ω Ω= ⇒ = +cste p teθ θ. . 0

MASà rotor bobiné

Ω Chargelinéaire

iar ibr icr

vas

vbs

vcs

ias

ibs

ic s

Figure 10

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3.1.1.1) Exprimer la tension instantanée vas en fonction de Rs, ias et ψas.

3.1.1.2) Exprimer le flux ψas en fonction des différents courants, des différentesinductances et de la position angulaire θe.

On rappelle que l'hypothèse des f.m.m .sinusoïdales a pour conséquences queles inductances mutuelles entre un enroulement statorique et un enroulementrotorique suivent une loi sinusoïdale de la position angulaire θe.

3.1.1.3) En remplaçant les courants rotoriques par leurs expressions, montrer que leflux ψas peut s'écrire :

ψ ϕ ω θas s as r rs r r oL i f I M p t= +. ( , , , , , , ), Ω

• Donner les expressions de Ls et de la fonction f.

3.1.1.4) Montrer que la tension vas peut s'écrire :

v e R i Ldi

dtas as s as sas= − −. .

• Donner l'expression de eas.

3.1.1.5) En déduire un schéma équivalent de la phase "as".

3.1.1.6) Proposer une loi de commande permettant de maintenir la fréquence desgrandeurs statoriques constante lorsque la vitesse est variable (lentement) de partet d'autre de la vitesse de synchronisme.Proposer sous forme de schéma fonctionnel un principe permettant de maintenirl'amplitude des tensions statoriques constante lorsque la vitesse et la charge sontvariables.

3.1.1.7) Dans cette question et la suivante, on supposera que :• toutes les grandeurs sont de même fréquence fs

• la chute de tension dans la résistance Rs est négligeable devant vas

• la force électromotrice eas a pour valeur efficace Eas eff = k.Ir• la charge est équivalente à une résistance R

Représenter dans la plan complexe le diagramme des tensions sur un enroulement.

3.1.1.8) En déduire l'expression permettant de déterminer le courant efficace au rotorIr en fonction de la valeur efficace du courant statorique Is, de la valeur efficace de latension statorique V et des paramètres k, Ls et ωs.

Pour Is variant entre 0 et Isn, tracer l'évolution de Ir en fonction de Is pour :

V = Vn Ls = 0,5 mH k = 2,5 ωs = 100.π rd / s

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3.1.2) Modèle de la machine vue du rotor :3.1.2.1) En appliquant la même démarche que précédemment, déterminer la relation

entre var et iar en convention récepteur. On supposera que les courants statoriquess'écrivent :

i t I tas s s s( ) . .cos( . )= −2 ω ϕ i t i t Tbs as s( ) ( / )= − 3 i t i t Tcr ar s( ) ( . / )= −2 3

3.1.2.2) En déduire un schéma équivalent de la phase "ar".

3.1.3) Bilan de puissance active :3.1.3.1) Exprimer la puissance électromagnétique instantanée absorbée par le rotor

et la puissance électromagnétique instantanée fournie par le stator en supposantque la relation : ωr = ωs - p.Ω soit satisfaite quelque soit la vitesse.

3.1.3.2) En négligeant les différentes pertes, représenter les échanges de puissancedans les trois cas suivants :

• vitesse de rotation supérieure à la vitesse de synchronisme• vitesse de rotation inférieure à la vitesse de synchronisme• vitesse de rotation égale à la vitesse de synchronisme

Conclure sur la nature des sources de courant.

3.1.3.3) A partir des caractéristiques de vitesse de l'aérogénérateur, déterminerapproximativement la puissance du convertisseur statique et comparer celle-ci à lapuissance du convertisseur qui serait installé entre le stator et le réseau (figure 7).

3.2) ETUDE DU CONVERTISSEUR STATIQUE DE FREQUENCE :Le convertisseur utilisé est un convertisseur indirect constitué de deux cellulesidentiques dont la structure est donnée par la figure 11.On supposera que les chutes de tension dans les résistances du réseau et du rotor dela machine asynchrone sont négligeables devant les autres tensions.

C

Réseau

Rotor MAS

Lr

Lr

Lr

ear

ebr

ecr

L

L

L

ea

eb

ec

Figure 11

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On limitera l'étude à une structure monophasée dont le schéma de principe est donnésur la figure12.

L i

e C v

K1 uc K2

K4 K3

Récepteurpassif Preçue > 0ouactif Preçue < 0

Figure 12Les interrupteurs sont idéaux et leur état est déterminé par les fonctions de connexiondéfinies comme suit :

fci = 0 lorsque Ki est ouvert.fci = 1 lorsque Ki est fermé.

La commande est telle que fc1 = fc3 et fc2 = fc4 .La fonction de connexion fc1 est obtenue par comparaison entre une onde porteusetriangulaire d'amplitude Vmp, de période Tp et d'une onde modulante notée vmod.Le schéma de principe correspondant est donné par la figure 13.

vmod

vp

+-

0

1fc1

vp

t

vmp

-vmp

Tp

Figure 13

3.2.1) Étude de la fonction de modulation :

3.2.1.1) Exprimer la tension v en fonction de uc et des fonctions de connexion fc1 etfc2.

3.2.1.2) Quelle relation imposée par la nature des sources doit on respecter sur lesfonctions de connexion fc1 et fc4 ?

3.2.1.3) En déduire la fonction de modulation fm définie par la relation suivantev = fm. uc en fonction de la fonction de connexion fc1.

3.2.1.4) En supposant l'onde modulante constante sur une période de la porteuse,déterminer l'expression de la valeur moyenne de la fonction de connexion fc1

calculée sur une période Tp en fonction de vmod et Vmp.

3.2.1.5) En déduire dans ces conditions l'expression de la valeur moyenne de lafonction de modulation fm calculée sur une période Tp en fonction de vmod et Vmp.

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3.2.2) Étude du courant :• On suppose que :

la tension réseau s'écrit : e E t E tm s s= =.sin( . ) .sin( . )ω ω2

la tension modulante s'écrit : v V tmm mmod .sin( . )= −ω δ la pulsation de la modulante est identique à la pulsation réseau ωm = ωs

la tension aux bornes du condensateur uc est constante et notée : Uco

• On définit :

m = indice de modulation tel que : mporteuse

ulante

p

m

= =ω

ωωωmod

r = profondeur de modulation tel que : rAmplitude ulante

Amplitude porteuse

V

Vmm

mp

= =_ mod

_

• On démontre que la fonction de modulation peut s'écrire si m >> 1 :

f t r t F k tm m k pk

m k( ) .sin( . ) .sin(( . . ). )= − + ± + +=

∞

∑ω δ ω ω ϕ10

12 Λ

On donne la valeur approchée des amplitudes de la première famille du spectre pour :r = 0,8.

Pulsation ωp-4.ωm ωp-2.ωm ωp ωp+2.ωm ωp+4.ωm

K 2 1 0 1 2Amplitude F12 = 0 F11 = 0,22 F10 = 0.82 F11 = 0,22 F12 = 0

3.2.2.1) Pour le fondamental, représenter l'étage d'entrée du convertisseur par unschéma équivalent en précisant l'expression de la tension fondamentale instantanéevfond(t) en fonction de : r, Uco, ωs, δ et t.

3.2.2.2) En déduire les expressions de la valeur efficace du fondamental du courant

notée Ifond circulant dans l'inductance et du déphasage ϕ défini par la relation :ϕ = arg(E) - arg(Ifond) en fonction de : r, Uco, E, L, ωs et δ.

3.2.2.3) Pour un harmonique de tension vh(t), représenter l'étage d'entrée duconvertisseur par un schéma équivalent et en déduire l'expression de la valeurefficace Ih du courant harmonique circulant dans l'inductance.

3.2.2.4) En ne considérant que seuls sont présents les harmoniques donnés dans letableau précédent, déterminer la valeur de l'inductance de façon à limiter le taux dedistorsion en courant à 10% dans les conditions suivantes :Ifond = 150 A m = 200 Uco = 1500 V r = 0,8 ωs = 100.π rd / s

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3.2.3) Echanges de puissance :

On négligera les effets du découpage sur le courant i, ce qui revient à ne considérerque le fondamental de la tension v.On suppose que :• La tension aux bornes du condensateur uc, supposée constante, est notée : Uco.

• La tension réseau s'écrit : e E t E tm s s= =.sin( . ) .sin( . )ω ω2

• La tension fondamentale à "l'entrée" de l'onduleur s'écrit :

v r U t V tfond co s fond s= − = −. .sin( . ) . .sin( . )ω δ ω δ2 avec 0 ≤ r ≤ 1

• Le courant absorbé sur le réseau s'écrit : i I t I tm s s= − = −.sin( . ) . .sin( . )ω ϕ ω ϕ2

3.2.3.1) Représenter dans le plan complexe le diagramme des tensions traduisant larelation entre E, Vfond et L.ωs.I en indiquant les angles δ et ϕ dans les quatre cassuivants de puissance active et réactive prises au réseau :

• P > 0 et Q > 0• P > 0 et Q < 0• P < 0 et Q > 0• P < 0 et Q < 0

3.2.3.2) Déterminer l'expression de la puissance active P en fonction de E, I et ϕpuis en fonction de E, r, Uco, δ, L et ωs. En déduire l'expression de la puissancemaximum notée Pmax pour E, Uco, L et ωs données.

3.2.3.3) Déterminer l'expression de la puissance réactive Q en fonction de E, I et ϕpuis en fonction de E, r, Uco, δ, L et ωs.

3.2.3.4) Démontrer que l'ensemble des points de fonctionnement se situe sur un

cercle dans le plan Q

Pf

P

Pmax max

( )= lorsque r = constante et que δ varie

entre -π et +π.

3.2.3.5) Comment choisir r et δ pour fonctionner à facteur de puissance unitaire ?

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QUATRIEME PARTIE

TRAVAIL PEDAGOGIQUE

Un schéma de principe de production d'énergie en monophasé à fréquence fixe etvitesse variable est donné par la figure 14.

Machinesynchroneà aimants

Moteurd'entrainement

Ω

L1

C1

C2

L2

vs

Commande MLI

v

vcvp

p paires de pôles

Figure 14Cahier des charges simplifié :Pour une vitesse variable entre Ωmin et Ωmax , on désire obtenir une tension de sortie vs

pratiquement sinusoïdale de fréquence fs et de valeur efficace Vs constantes.

4.1) QUESTIONS PRELIMINAIRES :

4.1.1) Comment évolue la tension aux bornes d'un enroulement lorsque lavitesse varie ?

4.1.2) Représenter l'allure des formes d'ondes vp(t) et vc(t).

4.1.3) Représenter l'allure des formes d'ondes v(t) et vs(t).

4.1.4) Proposer une structure de commande des interrupteurs permettant derépondre au cahier des charges simplifié.

4.2) ELABORATION D'UN EXERCICE D'EVALUATION :

On demande d'utiliser le support précédent pour élaborer un exercice destiné à desétudiants de BTS 2ème année électrotechnique permettant le dimensionnement et lechoix des composants de filtrage (L1, C1 et L2, C2).

Fournir un dossier qui comportera au moins :

• Les objectifs de l'exercice.• Le texte d'évaluation accompagné des réponses attendues.

Documents

sujet_et8_2001