Suites de matricesQuelques usages récurrents

Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012

Académie de Créteil

Extraits du nouveau programme : Introduction de « Matrices et suites »« Il s’agit d’étudier des exemples de

processus discrets, déterministes ou stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel ».

Perspective de la présentationUne entrée spécifique par la

résolution de problèmes : les matrices comme outil, une liste d’exemples phares.

Phénomènes stochastiques : des ressorts communs et des variantes.

Phénomènes discrets : l’outil matriciel dans des situations diverses.

Phénomènes stochastiquesPhénomènes se ramenant à des

Marches aléatoires sur un graphe probabiliste

Un exemple contextualiséUne petite station de ski dispose de 3

remontées mécaniques (1), (2) et (3).Pour un skieur adoptant un comportement

aléatoire, on note Xn la variable aléatoire donnant le numéro de la remontée utilisée après n descentes.

On note Ln la matrice ligne représentant la loi de Xn : Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3))

Ln est appelé l’état probabiliste à l’instant n.

Données numériquesOn suppose que la station est configurée de

telle sorte qu’arrivé au sommet de la remontée (1), le skieur se rende ensuite au départ de la remontée (2) avec une probabilité = (Xn+1 = 2) = 0,3

Plus généralement, on donne = (Xn+1 = j)

Arbre de probabilités conditionnelles

Graphe probabilisteLa transition de n à n+1 (indépendante de n)

peut se visualiser sur un graphe probabiliste.La somme des poids des arrêtes orientées

issues de chaque sommet est égale à 1.

Matrice de transitionA partir de l’arbre :- On note x1, x2, x3 les probabilités respectives que le

skieur vienne d’emprunter respectivement la remontée (1), (2), (3) à la descente n.

- On note y1, y2 et y3 les probabilités pour qu’il enchaîne sur la remontée (1) , (2), (3) à la descente n+1.

- On a alors : y1 = 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.5 x3

- Et les deux autres relations analogues.

Matrice de transitionCes relations se traduisent matriciellement

par :

Ln+1 = Ln . T

où T est la matrice : T =

lisible directement sur le tableau :

Etat probabiliste après n descentesIl est alors facile de montrer par

récurrence que :

Ln = L0 . Tn

Calculs de Tn sur logicielSur tableur : Ski T puissance n.xlsxAvec Xcas, en mode calcul approché, on

observe une stabilisation à partir de n=15 sur la matrice :

Convergence de Tn Une condition suffisante pour que Tn

converge : On peut démontrer que dans le cas des matrices stochastiques,

si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (Tn) converge vers une matrice stochastique [dont toutes les lignes sont égales entre elles et égales à un état stable de T (état alors unique)].

Convergence de Ln Par passage à la limite dans Ln = L0 . Tn , (Ln)

converge vers Linf .Par passage à la limite Ln+1 = Ln . T , Linf est

stable pour T (autrement dit, Linf est un vecteur propre associé à la valeur propre 1).

Valeur exacte de l’état stable, et donc de l’état probabiliste limite : ……………………………………….

L’essence de la démarcheSuite de VA Xn dont la relation de récurrence peut-

être visualisée sur :- Un arbre de probabilités conditionnelles tel que :(Xn+1 = j) est indépendante de n.- Graphe probabiliste exprimant la transition entre

les différents états probabilistes :Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), ….. , P(Xn = N)) (taille N+1) - Matrice de transition T stochastique indépendante

de n- Ln+1 = Ln . T ; Par récurrence : Ln = L0 . Tn

Puis on peut procéder à une étude asymptotique :

Etude asymptotiqueCas où Tn converge : - Une condition suffisante : pas de zéro (exige

en particulier que la probabilité de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle).

- Condition suffisante moins restrictive : matrice « régulière » : il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls.

- Etat stable en cas de convergence : cas général

Cas où Tn ne converge pasExistence d’un état stable : convergence

possible de LnCas des suites extraites convergentes

Champs d’application de la démarcheMarche aléatoire sur un graphe probabiliste déclinée dans une multitude de contextes :Marche aléatoire dans labyrinthe

Champs d’application de la démarcheSurf aléatoire sur un mini-réseau intranet :- Sans saut- Avec saut Un+1 = A Un + B

Champs d’application de la démarcheEhrenfest

Phénomènes déterministes