Sugli autoomeomorfismi del cerchio dotati di un punto unito unico e interno al cerchio

Sugli autoomeomorflsmi del cerchio dotati di un punto unito

unico e interno al cerchio

(ad :ERICH K~TJER per il suo 60 ~ compleanno)

1Kemoria di GIus~PP~. SCORZA DRAGONI, a Roma

In questa ~emoria, redatta nell 'ambito dell 'attivita dell 'Istituto Nazionale di Alta Matematica, mi propongo di trasportare, a quegli autoomeomorfismi del cerchio che ammettono un punto unito solo, il punto unito riuscendo per di pi5 interno al cerchio, un reeente risultato relativo a quegli autoomeomorfismi della corona circolare che applicano le due circonfcrenze estreme della corona ciascuna su se stessa e che non ammettono punti uniti.

~ o n sara male osservare subito, che quel punto unito interno al cerchio si pub sempre identificare col centro del cerchio, senza intro- durre restrizioni essenziali; e per chiarir poi meglio d i c h e si tratta, sara bene ricordare qualche definizione e qualehe enunciato.

Veramente, per quello che ha trat to alle definizioni, bastera ricordare che una curva contenuta nel cerchio, o nella corona, ~ libera, rispetto ad un autoomeomorfismo del cerehio, o della corona, se non incontra la propria immagine, nell'autoomeomorfismo.

E passiamo agli enuneiati, dopo di aver scelta, nel piano reale euclideo ambiente, l'unit~ di misura per i segmenti, nonch~ quella per gli angoli.

l~el caso della corona, ed a proposito degli autoomeomorfismi appli- canti le circonferenze estreme ciascuna su se stessa e privi di punti uniti, ho dimostrato che in ogni tal autoomeomorfismo ~ sempre presente almeno una curva semplice ed aperta, che unisca le due circonferenze estreme della corona e che sia libera, oppure almeno una curva semplice e chiusa, che aggiri il centro della corona e che si possa spezzare in due sottoarchi siffatti, che uno di essi sia libero, abbia un diametro minore del numero reale positivo e, prefissato a piacere, e sia visto dal centro della corona sotto un angolo minore di 8 nella misura, e che l'altro sia libero anch'esso, libera potendo eventualmente essere tu t ta la curva semplice e chiusa istessa, che allora si potrebbe scegliere indipen-

1 8723 Hbg. Math. Abh., Bd. X X X I

2 Giuseppe Scorza Dragoni

dentemente dal numero reale e positivo el). Ed ho precisato questo teorema, facendo vedere ulteriormente che in ogni tal autoomeomorfismo

sempre presente almeno una curva semplice ed aperta, che unisea le due circonferenze estreme della corona e che sia libera, oppure almeno una eurva semplice e chiusa, che aggiri il centro della corona e che si possa spezzare in due sottoarchi siffatti, che uno di essi sia libero, abbia un diametro minore del numero reale positivo e, prefissato a piacere, e sia visto dal centro della corona sotto un angolo minore d i e nella misura, e che l 'altro non incontri la propria immagine nell'autoomeomorfismo, e non incontri nemmeno l'immagine, nell'autoomeomorfismo o nell' autoomeomorfismo reciproco, di tu t ta la curva semplice e ehiusa, la quale potrebbe essere addirittura libera essa stessa, e non dipendere allora dal numero reale positivo 8~). Che se poi l 'autoomeomorfismo e l 'autoomeomorfismo reeiproco soddisfarmo, in una certa metrica, ad una condizione lipschitziana opportuna, e non ammettono punti uniti nemmeno se vengono elevati al quadrato, allora alla curva semplice e chiusa che aggira il centro della corona si pub imporre appunto di essere libera anch'essa3).

I1 primo di questi risultati ~ stato gis trasportato a quegli autoomeomorfismi del cerehio, che (applicano fl cerchio su se stesso e che) ammettono un punto unito solo, il eentro del cerchio4). In questa Memoria mi propongo di far vedere the un simile trasporto ~ possibile anehe per il secondo. ~ o n intendo occuparmi del terzo. Piut tosto voglio stare at tento a trasportare le dimostrazioni relative al secondo in guisa, da stabilire esplicitamente una eircostanza ulteriore, ovvia nel caso della corona circolare: preeisamente la eircostanza che anche alle immagini di quel primo sottoarco di quella eurva semplice e chiusa nelle prime r potenze dell'autoomeomorfismG e dell 'autoomeomorfismo reciproco, r essendo un

x) G. ScoRzA DRACO~, Sugli autoomeomorfismi di una corona circolare privi di punt i unit i (Rendiconti del Seminario ma%erna%ico deU'Universita di Padova, vol. 33 [1963] pagg. 1--32). La differenza frai l teorema della lYfemoria cita%a e queUo del %esto ~ soltanto apparente, perch8 le condizioni impos%e nel %esto a quel primo sottoarco non sono completamente indipendenti fra di loro (nel caso at%uale, quello della corona!).

3) G. ScoRzx DRAOO~rI, I1 teorema di ro%ocon%razione per una classe di autoomeomorfismi della corona circolare (Annali di matematica pura ed applicata, serie 8, vol. 68 [1965], pagg. 267--340), n o 27. Nel seguito questa Memoria sara indicata con la lettera F~. E mi sia consentito avvertire che al nono rigo del n o 44 r bisogna leggere 3 h invece di 2 h.

3) Si vegga il n o 31 di 2 . a) G. ScoRzA DRAGOl~I, A proposito degli autoomeomorfismi del cerchio dotati

di un punto unito solo (Rendiconti del Seminario rnatema%ico dell 'Universita di Padova, vol. 33 [1963] pagg. 332--406). Nel seguito questa l~emoria sara indicata con la lettera 3 .

Sugli autoomeomorfismi del cerchio etc.

numero naturale I)refissato a piacere, si pub imporre di essere viste dal eentro del cerchio sotto angoli minori di e nella misura (e di avere diametri minori di e). Questa circostanza ulteriore sara sfrut tata nell'ultimo paragrafo della 5femoria. Le dimostrazioni saranno esi)oste in tut t i i I)artieolari ogni volta ehe I)resenteranno varianti risi)etto a quelle elaborate nei lavori citati; altrimenti saranno riassunte sehemati- eamente, o ricordate soltanto.

w 1. Posizione del Problema. Considerazioni Preliminari

1. - - ~e l seguito l 'ambiente sara fornito semi)re dal I)iano reale euclideo, nel quale supi)orremo fissata l 'unita di misura per le lunghezze, quella per gli angoli essendo data dall'angolo giro.

Considereremo quelle trasformazioni topologiehe di un cerchio ~ su se stesso, che ammettono un solo I)unto unito, il I)unto unito risultando interno al eerehio. E dovremo far vedere che:

�9 In una simile tras]ormazione, o ~ presente (almeno) una curva semplice ed aperta, la quale unisca, nel eerchio, il punto unito al contorno, ed abbia in comune con la propria immagine soltanto il punto unito ; o ~ presente (almeno) una curva sempliee e ehiusa, la quale aggiri, nel cerehio, il punto unito e si possa spezzare in due sottoarchi si~atti, che uno di essi sia libero, abbia un diametro minore deI numero reale positivo ~, e sia visto dal punto unito sotto un angolo minore di 8 nella misura, cireostanze analoghe a queste ultime presentandosi anche per le sue immagini helle prime, nelle seconde, . . . , nelle r-esime potenze dell'autoomeomorfismo e dell'autoomeorfismo reciproco, e che l'altro non incontri la propria immagine nella tras]ormazione, e non incontri nemmeno l'immagine, nella tras/ormzione o nella tras- /ormazione inversa, di tutta la eurva semplice e ehiusa, ehe potrebbe essere addirittura libera nella tras/ormazione, e non dipendere allora dal numero reale positivo ~, che si intende prefissato a piacere al pari del numero naturale r.

~el corso delia dimostrazione, non sara restrittivo sui)i)orre che il punto unito cada I)roi)rio nel centro del cerchio. I1 trasi)orto delle deduzioni dal caso I)artieolare al caso generale non I)resenta ostaeoli degni di rilievo.

2. - - ~[ediante una trasformazione per raggi vettori recii)roci , l 'autoomeomorfismo di ~ da luogo ad un autoomeomorfismo, t, dell'insieme

formato dai I)unti esterni a ~ e dai I)unti della frontiera, dieiamola r di ~ (e di ~). L'autoomeomorfismo t ai)i)liea @ su se stesso, ed ~ I)rivo di I)unti uniti.

1"


I1 nostro teorema si m u t a in guisa ovvia in una proposizione analoga, re la t iva ad 5 e t. In questa proposizione, al posto della eurva che unisce il centro di c con la circonferenza r comparirk una semilinea sempliee aperta e propria (cio~ un ' immagine topologica e pr iva di punt i d 'aecumu- lazione estranei a se stessa di una semiret ta reale euclidea) con l 'origine su r E la proposizione affermer~ precisamente ehe:

I n un tal autoomeomorfismo t, o ~ presente (almeno) una semilinea semplice aperta propria, che appartenga ad 5, ezca da un punto di r e sia priva di punti in comune con la rispettiva immagine; o ~ presente (almeno) una curva semplice e chiwsa, che appartenga ad 5, aggiri il centro di e, e si possa spezzare in due archi si#atti, the uno sia privo di punti in comune con la propria immagine e sia visto dal centro di r sotto un angolo minore dd numero reale positivo e, la circostanza presentandosi anche per le sue immagini in t • t • t • e che l'altro non incontri la propria immagine nell'autoomeomorfismo e non inc~ntri nemmeno l'immagine, nell' autoomeomorf~mo o nell'autoomeomorfismo inverso, di tutta la curva semplice e chiusa, la quale potrebbe essere priva essa stessa di punti in comune con la rispettiva immagine e non dipendere allora dal numero reale positivo ~, che si intende prefissato a piacere al pari del numero naturale r.

Si noti che quella tal semilinea, se ~ presente, unisce, in un senso ovvio, la circonferenza e con l 'infinito.

3. - - I~el seguito, indicheremo con @ la lunghezza del raggio di r Le notazioni che incontreremo riusciranno cosl in maggiore armonia con quelle usate in ~J~. ~ a t u r a l m e n t e non sarebbe restr i t t ivo supporre @ ~ 1, come in ~ .

4. - - ~e l piano reale euclideo ambiente introdueiamo un sistema di coordinate polariS).

Le uni t~ di misura essendo na tu ra lmente quelle fissate, il polo del sistema cada nel centro di e, l 'asse polare potendo invece essere scelto ad arbitrio.

Per quello che ha t r a t t o al verso positivo delle rotazioni, sia ~ fl pun to in cui fl semiasse polare positivo incontra r cio~ il punto col modulo uguale a @ e con le determinazioni degli argomenti da te dai humeri interi relativi. Ebbene, s e t (~) ~ diverso da t -1 (~), si seelga come positivo quel verso in cui ~ , t(~)) e t - l ( ~ ) si suecendono nell 'ordine scritto su r

5) Per maggiori chiarimenti circa le circos~anze the saranno poste in luce nei prossimi numeri di questo paragrafo, si possono vedere i n i 28 e 33---42 di ~)~, nonch@ i ni 55--65 di ~. Si tengano presenti, e sia detto una volta per tutte, le differenze nel simbolismo (minori con la ~ , che con la ~).

Sugli au$oomeomorfismi del cerchio etc.

Nel caso contrario, il verso positivo si pub scegliere ad arbitrio, ma si deve intendere fissato.

Se si scambiano gli uffici di i e i-1, si dovranno scambiare gli uffici dei due versi delle rotazioni anche quando t (~ ) e ~-1(~) coincidono.

5. - - E nel piano ambiente fissiamo anche un sistema di coordinate cartesiane ortogonali. Gli assi del sistema cartesiano si possono prendere ad arbitrio. L'unitk di misura per i segmenti sara naturalmente quella gi~ scelta.

6. - - Se ~ ~ uno degli argomenti, ed ~l il modulo di un punto ~ , inter- pretiamo rispettivamente ~ ed ~ anehe come ascissa, x, e come ordinata, y, di un altro punto, P, associato a ~.

A1 variare di ~ nel piano ambiente, il punto P descrive il semipiano T dei punti con l 'ordinata positiva o nulla. A1 variare di ~ in ~, il punto P descrive il semipiano T o (C T) dei punti con l 'ordinata maggiore di Q od uguale a Q e).

7. - - Se ~ fornisce di nuovo uno degli argomenti di un punto ~ di ~, mentre ~/porge di nuovo il modulo di ~ , indichiamo con ~ (~, 7) uno degli argomenti del punto t ( ~ ) di ~ e con Z(~, ~) il modulo di t (~) .

E se x ed y son di nuovo l'ascissa e rordinata del punto P di To associato al punto ~ di ~, indichiamo con ](x, y) la funzione univoca determinata in To dalle condizioni di esser continua, di esser sempre uguale, nel punto corrente (x, y) di To, ad uno dei valori ivi rispettivamente assunti da ~ (x, y) e, finalmente, di esser positiva e minore di 1 nel punto, diciamolo 0, con l'ascissa nulla e l 'ordinata uguale a ~. E indichiamo con g (x, y) la funzione univoca e continua determinata in To dalla condizione di esser sempre uguale, nel punto corrente (x, y) di To, al valore ivi rispettivamente assunto da X(x, y).

8. - - A1 punto corrente (x, y) di To associamo rispettivamente il punto con l'ascissa data da /(x, y) e l 'ordinata da g(x, y). Otteniamo una trasformazione topologica t, che applica il semipiano To su se stesso e che traduce, diciamo, l 'autoomeomorfismo ~ di ~.

L'autoomeomorfismo t applica l'orizzontale dei punti con l 'ordinata uguale a Q su se stessa, circostanza che si traduce nell'identit~

g(x , e) = Q,

e soddisfa identicamente alle

](x --k 1, y) -~ /(x, y) -k 1, g(x -k 1, y) = g(x, y) ( y ~ ) ,

6) In ~ , invece di T e T o si scriveva S, S e, con la S in grassetto. Analogamente per la To, the inconCreremo in seguito.

6 Giuseppe ScorzaDragoni

cio~ ~ periodico nella x con periodo unitario, o, se si preferisce, ~ permu- tabile con quell 'autoomeomorfismo, #, di To, ehe m u t a il punto corrente (x, y) di To r ispet t ivamente nel punto (x A- 1, y).

hTel seguito, l 'orizzontale fornita dai punt i con l 'ordinata uguale a sart~ indicata con v0; e quella fornita dal sostegno dell 'asse x con v.

9. - - Aeeanto alle t rasformazioni t e # ei converr~ considerate spesso anehe il prodot to #t -1 ( = t - l#) ; e porremo appunto

w = # t -1 ( = t -1#),

di guisa c h e w -1 sart~ dato da t# -~ ( = #-it) .

10. - - Se si scambiano gli uffiei di t e t -~, si seambiano anehe quelli di t e t -1. Ed ogni eventuale scambio di uffici fra t e t -1 sart~ aeeompagnato da quello degli uffici di # e vq-i. Quest 'ul t imo seambio sart~ poi effet tuato cambiando fl verso positivo dell'asse delle aseisse e eonservando formal- mente inal terata la definizione di #. Nel qual easo, al posto di # t -~, ciob di w, si dovrt~ considerate il prodot to #t, ma con una tal # , c h e a eonti fa t t i l 'uffieio di w sartr assunto precisamente da w -~.

11. - - Xel seguito sart~ eonveniente avere prolungato t, w e # in al- t r e t t an t i autoomeomorfismi dell 'ambiente.

Per ottenere questi prolungament i basta supporre che nel semipiano dei punt i con l 'ordinata minore d i e od uguale a Q, le t rasformazioni prolungate non alterino le ordinate dei punt i t rasformandi e portino le semirette verticali in semirette verticali.

Iqel seguito t, w e 0 rappresenteranno ormai sempre gli autoomeomorfismi prolungati .

Anehe dopo i prolungamenti t e v ~ sono permutabil i (epper5 sono permutabil i anche le potenze di t con quelle di v~); e t, w e v ~ sono legate sempre dalla

w = t~t -1 ( = t - l#) ,

vera per definizione nel semipiano To dei punt i con l 'ordinata che non scende al disotto di ~.

12. - - I1 semipiano dei punt i con l 'ordinata minore di ~ od uguale a sar/~ indieato con T'o, e quello dei punt i con l 'ordinata negat iva o nulla

con T' (C T~). DaUe definizioni e dalle ipotesi, segue che t eonserva l 'ordinata di ogni

punto P di T~, e ne aumen ta l 'ascissa di una quantit/~ variabile sl da punto a punto, ma sempre positiva e sempre minore dell'unit~7), cio~, che per ogni tal P, i punt i ~ - x ( t ( P ) ) e t -~(P) sono interni &l segmento

~) Si veggano anche il n o 42 di ~ ed f l n o 61 di ~.

Sugli autoomeomorfismi del cerchio etc.

orizzontale v ~-1 (P)P ed i punti t(P) e # (t-~(P))al segmento orizzontale pv~(p) S);e segue the t- ' (0)6 (diverso da 0 ed 6,) contenuto nel segmento individuato da #-i(t(O)) ed 0 sulla re t ta vo, mentre t(O) 6 (diverso da 0 ed 6) cont~nuto in quello individuato da 0 e 0 (t -1 (0))9).

w 2. Incomincia la dimostrazione del teorema

13. - - Gli autoomeomorfismi t e w del piano reale euclideo ambiente sono privi di punti uniti e conservano il senso delle rotazioni; valc a dire, sono delle traslazioni plane generalizzate. E la t rasformazione v~ 6 una traslazione piana generalizzata anch'essa, in quanto 6 una traslazione piana ordinaria diversa dall'identit/~.

Pe r t an to a t, w e ,7 possiamo applicare t u t t a la teoria brouweriana delle t raiet torie di una traslazione piana generalizzata, r iassunta concisamente nel primo paragrafo di ~ e un po' pi~ diffusamente nei primi due para- graft di ~ , ai quali r imandiamo sia per chiarimenfi sulla terminologia relat iva agIi archi di traslazione, alle traiettorie ed ai ]oro campi adiacenti, ecc. ecc., sia per indicazioni bibliografiche.

14. - - Ferme na tura lmente le ipotesi e le convenzioni poste, l 'orizzontale % dei punti con l 'ordinata uguale a ~ 6 una t ra iet tor ia sia nella t, sia nella w, sia nella v%

E su questa orizzontale scegliamo il segmento s0, con gli estremi nei punt i Ao e t(Ao),

So = Aot(Ao),

ed il segmento #o, con gli estremi nei punti B0 e w (B0) ,

~o = Bow(Bo),

in tal guisa che il primo sia contenuto nel secondo, il primo riuscendo poi necessariamente di traslazione per t e d il secondo per w.

La legit t imitk di queste posizioni 6 certa: basra identificare Ao e Bo col punto O e tenere eonto dei r isultati finali del n o 12, i quali assicurano per di pi~ che ogni segmento quale ~0 o quale/7o ha una lunghezza minore dell 'unitk.

15. - - L 'orizzontale To sar/~ indicata con ~r0, in quanto t raiet tor ia genera ta da a0 nella t; e con ~0, in quanto t raiet tor ia generata da /~0 I le l la w.

Uno, F/0 , dei campi adiacenti a ~r o 6 costituito dai punti con l 'ordinata maggiore d i e ; l 'altro, Ho, dai punt i con l 'ordinata minore d i e .

8) Si vegga anche il n o 42 di ~0l, seconda proposizione. ') Si veggano anche il n o 39 di 9X ed il n o 62 di 3.


Naturalmente/70 e /70 saranno rispettivamente indicati con Z" o e 270, in quanto campi adiacenti a ~0.

E dovrebbe esser superfluo rilevare le Ho + G0 = 2:0 + a0 = To e le

+ =o = + =

16. - - Anche T ~ una traiettoria sia nella t, sia nella w, sia nella v q. Ed i suoi campi adiacenti sono forniti naturalmente da T - - ~ e T t - - 7 .

17. - - L e trasformazioni t e w sono uniformemente continue in ciascuna delle strisce 6 " rispettivamente individuate daUe disuguaglianze

- - o o < x < o o , @ - - m ~ y ~ - J - m ( m = 1 , 2 , 3 . . . . )

ed ammettono entrambe, in ciascuna tal striscia ~ * , un numero positivo come estremo inferiore delle distanze dei punti della striscia dalle rispet- t i re immagini, il numero positivo dipendendo dalla striscia che si consi- dera. Per vq le circostanze analoghe sono ovvie e sussistono con riferi- mento a tu t to il piano.

In ciascuna tal striscia ~ * sono poi equiuniformemente continui tut t i i prodotti di t e w per le diverse potenze di t% E per ciascuna tal striscia 6 " ~ positivo anche l 'estremo inferiore delle distanze dei punti della striscia dalle rispettive immagini nei prodotti di t e w per tu t te le potenze di v%

Prefissato poi a piacere il numero reale positivo h, si pus determinare il numero reale e positivo e m in tal guisa, che abbiano come diametro un numero minore di h le immagini in t• t+~ . . . . . t• (r+l~ di tu t te quelle porzioni di 6 " che hanno un diametro minore di e~.

18. - - Riserbandoci di indicare in seguito il valore del numero h, mostriamo come si possa costruire una tal suddivisione simplieiale K del piano, che i punti Ao, t(Ao), Bo e w(Bo) compaiano fra i vertici di K; che ogni vertice, ogni lato, ogni faccia di K vada rispettivamente a finite, per effetto di #, in un vertice, in un lato, in una faccia di K e rispettivamente provenga, nella #, da un vertice, da un lato, da una faccia di K (cio~, the K sia applicata su se stessa da d); the ogni lato di K abbia una lunghezza minore dell'unit~; che ogni stella di K sia libera sia nella t, sia nella w, sia nella #, sia in tut t i i prodotti di t e w per le diverse potenze di t~, l'accezione attuale del termine libera essendo naturalmente sempre quella di priva di punti in comune con la rispettiva immagine (nella t, nella w, nella # e nei prodotti di t e w per le diverse potenze di #); e, finalmente, che le stelle di K e le loro rispettive immagini neUe potenze t-~*, t • t• della t abbiano tut te un diametro minore di h.

Sugli a u t o o m e o m o r f i s m i del cerch io etc.

19. - - Allo scopo lO), detta x 0 l'ascissa di B 0, consideriamo il quadrato definito dalle disuguaglianze

X o . ~ X ~ X o + l , ~ ~ y ~ - { - 1;

e proiettiamo dal suo centro i suoi vertici ed i punti Ao, t(Ao) e w(Bo), ottenendo una sua suddivisione simpliciale. Indi eonsideriamo il quadrato definito dalle disuguaglianze

X o ~ X ~ _ X o + l , Q - - l ~ y < ~ ;

e proiettiamo dal suo centro i suoi vertici ed i punti A0, t(A0) e w(Bo), ottenendo una suddivisione simpliciale anche per lui. A conti fatti ci troviamo di fronte ad una suddivisione simpliciale, A1, della loro somma.

E per ogni valore maggiore di 1 del numero naturale m consideriamo il quadrato definito dalle disuguaglianze

X o ~ . X ~ X o ~ l, ~ + m - - l ~ y ~ - { - m ,

e quello definito dalle disuguaglianze

X o ~ X ~ X o + l, Q - - m < y ~ - - m + l;

e suddividiamoli mediante le loro diagonali, ottenendo la suddivisione simpliciale Am della loro somma.

Indi trasformiamo i vertici, i lati e le faece di A1 mediante tu t te le potenze di ~. A conti fatti otteniamo una suddivisione simplieiale, A*, di ~i*. La suddivisione simpliciale A* ~ applicata su se stessa da 0 ed ammette Bo, Ao, t(Ao), w(Bo) e t~(Bo) come vertiei.

Analogamente trasformiamo i vertici, i lati e le facee di As median~e tu t te le potenze di v~, ottenendo, a conti fatti, una suddivisione simpliciale, A*, della somma delle due strisee individuate, una, dalle disuguaglianze

- - c ~ < x < + o r Q + l ~ y ~ + 2 ,

e l 'altra dalle disuguaglianze

--o<~ < x . < + oo, ~ - - 2 < y ~ Q - - 1 ,

la suddivisione simplieiale A* riuscendo anch'essa invariante nella traslazione piana ordinaria v q.

E cosi di seguito, a proposito di A3,A4, . . . , che daranno luogo a A* A . 8 , ~ 4 , e t c .

Consideriamo ora la suddivisione baricentriea di A*; e poi quella della suddivisione baricentrica di A*; e cost via, fino ad ottenere, cosa certa- mente possibile, una suddivisione simpliciale, K1 (anehe K*), di A* (nonch6 di @*), siffatta, ehe i suoi lati abbiano una lunghezza minore dell'units e che le sue stelle siano libere nella t, nella w e nella 0, nonch6

10) P e r le cons ideraz ion i t h e seguono si vegga a n c h e il n o 66 di ~ .


in tu t t i i prodott i di t e di w per le diverse potenze di ~. La suddivisione simpliciale K 1 ~ applicata su se stessa da ~.

Consideriamo ora la suddivisione baricentrica di A*; e poi quella della suddivisione barieentriea di A*; e cosi via, fino ad ottenere, eosa certa- mente possibile, una suddivisione simpliciale, K2, di A*, siffatta, che i suoi lat i abbiano lunghezze minori dell 'unit~, che le sue stelle siano libere nella t, nella w e nella ~, nonch~ in tu t t i i prodott i di t e w per le diverse potenze di v ~, e ehe libere rispetto a t, a w e d a ~, noneh~ rispetto a tu t t i i prodott i di t e w per le diverse potenze di v q, siano anche t u t t e quelle somme di una stella di K I e di una stella di K2, ehe risultino con- nesse. La suddivisione simpliciale K 2 ~ applieata su se stessa da ~. 0 t t e n u t a Ks, se un lato di un triangolo di K 1 risulta suddiviso in Ks, proiet t iamo i vertici di K S interni a quel lato ed i vertici di quel triangolo dal baricentro di quel triangolo 11). Analogamente, se un lato di un triangolo di K S risulta suddiviso in K1. A eonti fat t i o t teniamo una suddivisione simpliciale, K*, di 6 " siffatta, ehe i lati di K* abbiano lunghezze minori dell 'unit~ e che le stelle di K* siano libere nella t, nella w e nella ~, nonch~ in tu t t i i prodot t i di t e w per le diverse potenze di v ~. I tr ian- goli di K]* ( = K1) contenuti nell ' interno di 6 " (epper5 anehe quelli di K* ehe ineontrano ~o) si r i t rovano inalterat i in K*. La suddivisione simplieiale K* di 6 " ~ applicata su se stessa da t~.

Dopo di ei5 si passa a A~, e si opera in guisa analoga. Alla fine di quest 'a l t ro passo, si ott iene una suddivisione simplieiale, K3*, di ~ siffatta, che ece., ece. I triangoli di K~ contenuti nell ' interno di ~* (epperb anche quelli di K~' ehe incontrano 6*) si r i t rovano inal terat i in K~. La suddivisione simplieiale K* ~ applicata su se stessa da 0.

Cosl proseguendo si perviene ad una suddivisione simpliciale del piano, diciamola K, applicata su se stessa da t~ e siffatta, che i suoi lati abbiano lunghezze minori dell 'unit~ e che le sue stelle siano libere nella t, nella w e nella ~, nonch~ in tu t t i i prodott i di t e di w per le diverse potenze di ~.

l~elle eonsiderazioni svolte ~ implicito altresi, ehe alla suddivisione K si pub imporre una restrizione ulteriore. Precisamente, si pub richiedere, a quelle stelle di K ehe sono contenute in 6 * , di avere un diametro minore di el; a quelle stelle di K che sono contenute in ~ * , senza essere comple- t amen te contenute in 6 * , di avere un diametro minore di e2; e cosi via.

11) Questa frase ~ stata vittima di un vero sortilegio. Nella pag. 386 eli 3, essa non parla dei vertici interni a quel lato. E neUa pag. 10 della mia l~emoria dedicata ad Una dimostrazione del teorema di Brouwer sulle traslazioni plane generallzzate (Annali di matematica pura ed applicata, serie 4, vol. 39 [1955] pagg. 1--10) e s s a

non parlays dei vertici di quel triangolo. Speriamo the stavolta essa riesca finalmente a dire tutto queUo che deve dire!

Sugli autoorneomorfismi del cerchio etc. 11

In queste condizioni, at teso il significato di el, e2, e 3 , . . . , t u t t e le stelle di K e le loro immagini in t J=l, t +~ . . . . , t• hanno un diametro minore del numero reale positivo h prefissato. E lo seopo desiderato ~ raggiunto.

20. - - La suddivisione simpliciale K avendo tu t t e le stelle libere r ispetto a t e d a w, nonch~ a v~ (ed a tu t t i i prodott i di t e di w per le diverse potenze di @), ~ priviligiata r ispetto a t e d a w, noneh~ a v ~ (ed a tu t t i i prodott i di t e di w per le diverse potenze di v~). Per tanto , a quegli archi di traslazione di t o di w, che si presentano come somme di lati di K, cio~ che sono elementari r ispetto a K (per taeere di quelli elementari r ispetto a K e relativi a #, nonch~ di quelli elementari r ispetto a K e relativi ai prodot t i di t e w per le diverse potenze di #), possiamo applicare la teoria svi luppata nei w167 3, 4 e 5 di ~ e ripresa nei w167 2, 3 e 4 di ~j~.

Ma prima di proeedere oltre, ricorderemo esplieitamente due o tre lemmi, ehe utitizzeremo spesso. Preeisamente ricorderemo che:

Le stelle di K sono libere anche in tutte le potenze non identiche di t, di w e di ~,

atteso ehe esse sono libere nella t, nella w e nella ~, ed at tesa la seconda delle proposizioni r iportate nel n o 4 di ~ . Indi ricorderemo che:

Se una vurva 8emplice ed aperta ~ contenuta nel 8emipiano To, ha un

estremo sulla retta T o ed ~ libera sia rispetto a t, sia rispetto a w, essa libera ant, he rispetto a ~ ;

ed osserveremo c h e l a dimostrazione data , per questo lemma, nei n i 53 54 e 55 di ~t , nonch~ quella da ta nei n I 72 e 74 di ~t, sussiste presso che inal terata anche nelle condizioni at tuali . E dopo di cib rammenteremo che:

Se una semilinea semplice aperta e propria ~ contenuta nel semipiano To, ha l'origine su T o ed ~ libera rispetto a t e d a w, essa ~ libera anvhe rispetto a #;

come si rieonosee applicando il l emma precedente a quelle sottoeurve semplici ed aperte della semilinea, che hanno un estremo nell 'origine della semilinea 12).

w 3. Continua la dimostrazione del teorema

21. - - I1 segmento ~0, di traslazione per t, ~ elementare r ispetto a K. E lo stesso aeeade per il segmento rio, di traslazione per w.

Quelle facce di K, che sono eeeezionali per ~0 e / / 0 , r ispetto a t, sono eecezionali anche per fl0 e 2: 0, r ispetto a w. Pe r t an to il eomplesso K

12) Si vegga il n o 75 di ~, per una deduzione analoga.


ammette catene, che sono eccezionali tanto per ~0 e /-/o, rispetto a t quanto per 8o e 27 o rispetto a w, l'insieme numerico descritto dalle loro lunghezze potendo poi essere illimitato, o w e r o limitato.

22. - - Se l'insieme numerico descritto da queste lunghezze non limitato, il complesso K ammette successioni eccezionali tanto per ~o e/-/o, rispetto a t, quanto per 8o e 270, rispetto a w (la cosa si pub dimostrare ragionando come nel n o 77 di 3) . E se la successione

(1) 01, 0~, 0s, �9 �9

di facce di K, b eccezionale tanto per ao e 17o, rispetto a t, quanto per 8o e 270, rispetto a w, dalla (1) si pub estrarre una tal sottosuccessione

(2) 0ml, 0m~, 0.~ . . . . .

che 0 ~ abbia un lato su ao (e quindi su 8o) e che l'insieme 0~: ~ 0~2 0~ 3 -~ . . . . porga una componente connessa in senso forte dell'insieme

01 ~ 0~ d-0s ~ . . . (la cosa si pub dimostrare ragionando come nel n o 47 di ~t). E dalla (2) si pub estrarre poi una tal sottosuccessione

(3) 0~,, 0~, 0.~ . . . . .

che 0nx abbia un lato su ~0 (e quindi su 80), che 0n~ abbia un lato in comune con 0~, che 0~ abbia un lato in comune con 0nl, e cosl via (la cosa si pub dimostrare ragionando come nella prima parte del n o 51 d i 3 ) .

Uniamo ora, mediante segmenti, il baricentro del lato comune ad ~o e 0~1 col baricentro di 0n~, il baricentro di 0n~ col baricentro del lato comune a 0~x e 0~, fl baricentro del lato comune a 0~ x e 0~ col baricentro di 0n2, e cosi via.

0 t teniamo una semilinea l, con rorigine nel baricentro del lato comune

ad ~o e 0n1. La semflinea 1 ~ semplice ed aperta, perch~ i triangoli (3)sono privi

a due a due di punti interni comuni, in armonia con la cireostanza che la (3) ~ una sottosuccessione della (1) e c h e l a (1) ~ eccezionale per ct o e/-/0, rispetto a t (nonch~ per 80 e 270, rispetto a w).

La semilinea 1 ~ propria, perchb i triangoli (3), in quanto triangoli di una suddivisione simpliciale de] piano, abbandonano definitivamente ogni regione limitata de] piano.

La semilinea l ~ libera sia nella t, sia nella w, perch~ essa ~ contenuta nell'insieme 0n~ ~ 0n~ ~ 0, 3 ~ " ' ' , epperb neU'insieme 01 Jr 02 ~ Os

�9 . . , che ~ libero sia nella t, sia nella w, atteso che l a successione (1) ecceziona]e sia per ~o e /70, rispetto a t, sia per 80 e 270, rispetto a w.

l~Ia l'insieme 01 ~ 0~ ~ 0s ~ ' ' ' appartiene all'insieme /70 ~ ~0 (~, n o 47, prima proposizione), epperb all'insieme 270 �9 ~o, cio~ al semi-

Sugli autoomeomorfismi del cerchio etc. 13

piano To. Inch la semilinea 1 ~ libera anche nella 8, giusta l 'u l t imo lemma del n o 20.

De t t a poi ~ la striseia individuata dane disuguaglianze

- - ~ < x < + ~ , Q < y < Q + m (m ~-1 , 2, 3, . . .) ,

basta percorrere l a part ire dana sua origine per abbandonare definitivamente ~,~, comunque sia s ta te prefissato il valore del numero naturale m. )eel fatto, se cosi non fosse, ~ conterrebbe infiniti triangoli (3); epper6 il complesso in ternamente connesso dei triangoli (3) avrebbe dene facce in comune con la propria immagine nella 8 (9~, n o 68). E d l, pas- sando per tu t t i i baricentri dei triangoli (3), non potrebbe essere libera nella ~.

La semilinea l ha soltanto l'origine, C, su ~0; e i punt i t~-l(t(C)) e t -1 (C) sono interni al segmento v ~-1 (C)C, mentre i punt i t (C) e 8 (t -x (C)) sono interni al segmento Cvq(C), giusta le risultanze del n o 12.

Per tan to nelle considerazioni svelte ~ implicito the 1 separa nel semipiano To, le semilinee v ~-x (t(1)) e t- l( l) dane semilinee t(1) e 8 (t-~(l)), lasciando queUe prime, diciamo, a sinistra e queste ul t ime a destra. Indi v~-l(l) separa, nel semipiano To, le semilinee 8 -2 (t (1)) e v q-~ (t -1(1)) dane semilinee 8 -x (t(1)) e t-~(l), lasciando le prime a sinistra e le ul t ime a destra. E v~ (1) separa, nel semipiano To, le semilinee t (1) e v~ (t --~ (l)) dalle semilinee vq (t(1)) e v ~2 (t -1(1)) lasciando le prime a sinistra e le ul t ime a destra. Etc . , etc.

Ma allora b chiaro the 1 ~ libera nella t e nella t -~, nonch~ in tu t t i i prodot t i di t e t -~ per le diverse potenze di v~; e the basra risalire da T o ad ~, per ottenere da 1 una semilinea semplice, aper~a, propria, contenuta in ~, libera nella t e con l'origine, anzi con la sola origine, su e. Deride la conclusione, nel primo case.

w 4. Si eompie la dimostrazione del teorema

23. - - Consideriamo adesso l 'altro case, queno che l 'estremo superiore di quelle lunghezze sia finite, e quindi si possa interpretare anche come un massimo. E la catena A,

(4) A = ( i t1 , . . . , (Sn) ,

di facce di K sia eccezionale t an to per ao e / / o , r ispetto a t, quanto per flo e X o, r ispetto a w, e sia inoltre massima nella sua lunghezza, n.

Fermo ci6, a~ indicher~ quell 'arco di traslazione di t, elementare rispetto a K, che si ott iene aggiungendo 81 ad a o 13); ~1 sar~ la t ra iet tor ia generata da a~ nella t ; / / 1 indicher~ quel campo adiacente a g~, the non

is) Per le posizioni del Sesto si veggano anche il n o 57 di ~ ed il n o 79 di ~.

14 Giuseppe Seorza Dragoni

contiene nessun punto di 51, e / / ~ l 'al tro campo adiacente a ~r 1. Indi ~2 sar~ quell 'arco di traslazione di t, elementare rispetto a K, che si ot t iene aggiungendo 52 ad ~1; ~r2 indicher~ la t raiet tor ia generata da ~2 nella t; //3 sara quel campo adiacente a ~r2, che non contiene nessun punto di ~2, e/ /~ ' l 'al tro campo adiacente a ~r2. E cosl via, fino ad ~n, ~rn, / /n e / / ~ , il cui significato ormai ~ ovvio.

Allo stesso modo, fll indicher~ queU'arco di traslazione di w, elementare rispetto a K, che si ott iene aggiungendo ~1 a rio; ~1 sara la t ra ie t tor ia generata da fll nella w; 2:1 indicher~ quel campo adiacente a ~1, che non contiene nessun punto di ~ , e 2:~ l 'al tro campo adiacente a ~ . Indi f12 sara quell 'arco di traslazione di w, elementare rispetto a K, che si ot t iene aggiungendo ~2 a ill; ~2 indicher~ la t raiet tor ia generata da f12 nella w; 2:2 sara quel campo adiacente a ~2, che non contiene nessun punto di ~2, e 2:~ l 'altro campo adiacente a ~2. E cosi via, fino a fin, ~n, 2:n e X~.

Inol t re %, a l , . . . , an rappresenteranno le suddivisioni simpliciali r ispet t ivamente subordinate da K su ~0, ~ , �9 �9 ~n; e bo, b ~ , . . . , bn queUe r ispet t ivamente subordinate su rio, ~1 . . . . , ~n.

24. - - Le spezzate semplici ed aperte ao, a l , �9 �9 .. an hanno in comune i due estremi, anzi i due lati estremi. Analogamente per le spezzate semplici aperte b0, b l , . . . , bn. Tu t to cib a norma della quinta e della sesta proposizione del no 23 di ~ (o, se si preferisce, della quar ta e della quinta del n ~ 41 di ~) .

Le spezzate %, a ~ , . . . , an (e bo, bl . . . . . b~) sono contenute nel semipiano To; e tu t t i i punt i di a~, a 2 , . . . , an (di b~, b ~ , . . . , bn) si tuati su % appartengono ad ao (a b0). Si t r a t t a di circostanze che si stabiliscono immedia tamente ragionando come nel n o 59 di 9Yr.

25. - - E basra riprendere i ragionamenti dei n I 60 e 61 di ~ , oppure quelli dei n I 80 ed 81 di ~ , per riconoscere altresl che gli archi ~o, ~ . . . . ,~n hanno in comune col segmento eventualmente degenere BoAo sol tanto l 'estremo A o e col segmento eventualmente degenere t(Ao)w(Bo) sol- t an to l 'estremo t (A0); che i lati di %, as, �9 �9 an son r ispet t ivamente lat i anche per bo, bl, �9 �9 bn; che ~0, fl~ . . . . , fin si ot tengono r ispet t ivamente aggregando ad ~0, ~ . . . . . ~n i segmenti eventualmente degeneri BoAo e t(Ao)w(Bo); e, finalmente, che sono rivolte verso Xn, lungo i loro lat i r ispet t ivamente posti su fin, t u t t e quelle facce di K, che sono adiacenti ad ~n lungo lati di an (epperb adiacenti a fin lungo lati di bn) e che sono rivolte verso / /n lungo i loro lati r ispet t ivamente posti su ~n~).

t~) Si r~mmenti cho so una faceia di K h~ due lati su ~ , essa 6 rivolta verso / /~, lungo en~rambi questi lati, owero essa ~ rivolta verso / /~, lungo entrambi quei lati. Analogamente per fl~, 27~, 2:~ e queUe facce di K che hanno due lati

S~. ~n"


26. - - Dalle propriet~ r icordate nel numero precedente si deduce. ragionando come nel n ~ 63 di 9X, oppure come nel n ~ 82 di ~ , ehe i lati di a~, eccezionali in senso s t re t to per c~. e Hn e t, o r isul tano t u t t i di seconda categoria, per fl~. E~ e w, in quan to lati di b~, o r isul tano t u t t i di p r ima categoria.

Nel pr imo sottocaso, su a . , ed a par t i re da A0, sia s' l 'u l t imo lato di pr ima categoria per a . , / / , e t; e sia s" il pr imo lato eccezionale in senso s t re t to , per a . , / / . e t.

2gel secondo sottocaso, su a . , ed a par t i re da t (A0), sia s' l 'u l t imo lato di seconda categoria per ~ . . / /n e t; e sia s" il pr imo lato eccezionale in senso s t re t to per ~ , H . e t.

lqel pr imo sottocaso, il la to s" di b. b di seconda categoria per fl~ e 27., r i spet to a w; nel seeondo, ~ di pr ima categoria.

I1 secondo sottocaso si m u t a nel primo, se si scambiano gli uffici di t e t -1 (e quindi anche quelli di w e w-l).

Sicch~ per esaurire l 'esame del secondo caso baster~ condurre a termine quello del suo pr imo sottocaso.

27. - - P e r t an to 15) noi siamo autor izzat i a supporre che s' sia di pr ima categoria per a . e / / ~ , r i spet to a t; ed a supporre che s" sia eccezionale per ~. e H . , r i spet to a t, e di seconda categoria per ft. e 27., r i spet to a w.

28. - - Fe rmo ci6. sia V l 'es t remo comune ad s' ed s" (cer tamente in terno ad ~ . , epper6 a fl.) ; sia 3' la faccia di K adiacente a d s ' e r ivol ta verso H~ (e 2:~) lungo s'; e 3" quella adiacente ad s" e r ivol ta verso H . (e 2:~) lungo s ' .

Le facee 3' e 3" hanno in comune il vert ice V; epperb appar tengono en t r ambe alla stella W di K col centro nel pun to V. E 3' incontra t -1 (~.),

mcnt re 5" non incontra t - l ( a . ) ; epperb 3' e 3" sono distinte. La poligonale a~ divide W in due poligoni. Uno dei quali, diciamolo

W*. contiene sia 3'. sia 3", come segue dalle circostenze r icordate nel nO14 di ~FJ~.

F, basra ragionare eome nella seconda par te del n ~ 68 di ~ (sosti tuendo la p r ima proposizione del n ~ 59 di ~ con le circostanze poste qui in rilievo nel secondo alinea del n ~ 24), per riconoscere che i punt i interni a W* non appar tengono mai ad a~; e che quelli in terni a W* ed abbas tanza vicini a V sono interni al semipiano T 0.

29. - - I1 tr iangolo 3" non incont ra t -~ (a~), come abbiamo gi~ r icordato, e non incontra nemmeno t ( ~ ) , in quan to eecezionale per a~ e F/~, ri-

spet to a t; esso invece incontra w(fl,,), in quan to di seconda categoria

is) I successivi n i 27, 2 8 , . . . , 52 del testo corrispondono rispettivamente ai ni 67, 68 . . . . . 92 di ~ . Questa circostanza agevola i riferimenti.


per ra e 27n, rispetto a w. E mediante ragionamenti analoghi a quelli esposti nel no 69 di ~J~, si d imostra che tu t t i i punt i comuni a 0" e w(ra) sono interni t an to alia eurvn semplice ed aperta w(~n), quanto nl semipiano T o .

30. - - Sin ndesso Q* un tal punto di ra , e h e l a sua immagine w(Q*), diciamola Q',

Q' = w(Q*),

appar tenga a 0"; ed R* un ta l punto dicca, c h e l a sua immagine t-! (/~*), diciamola R' ,

/~' = t-~(/~*),

appnrtenga a 0'. Allora Q' ~ inferno a w(a~) ed a To, giusta le circostanze rieordate alla fine del numero precedente. Pe r t an to Q* ~ inferno ad ~. ed a T 0. Inol tre ~ ovvio the Q' ed /~ ' sono diversi fra di loro, perch~ Q' nppart iene a 0" ed R' a t-l(a~), mentre 0" non interseca t-l(a~).

31. - - Indiehiamo adesso con c* il sottoarco di c~a individuato dalle condizioni: di contenere Q* ed /~* ; di avere gli estremi su c~0; e di essere minimale di fronte a queste proprietY.

La presenza di c* ~ terra. E d almeno uno degli estremi di c* ~ interno

nd c~ 0 ed a rio, epperb ad c~a ed a r l a .

32. - - La curva c* ~ libern t an to nella t quanto nella w, at tese le ul t ime risultanze del n ~ 31 ed at teso il significato traslazionnle di c~. e rla. Per- t an to essa ~ libera anche nella #, at teso il seeondo lemma del no 20.

Di qui e da una notn proposizione sulle traslazioni piane generalizzate le) segue subito che c* ~ libera in t u t t e le potenze non identiche di t, di w e di va.

33. - - I segmenti Q'V ed R'V non sono degeneri, pereh~ Q' appart iene a w (r-) ed R' a t-* (aa), mentre V ~ interno ad c~a e r a , ehe sono rispettivamente archi di traslazione per t e w. Inol tre essi appartengono rispet t ivamente a 0" e 5', mentre 0" non contiene R ' ; per tanto essi hanno in comune soltanto il punto V.

34. - - ~el le considerazioni del numero precedente ~ implieito che la poligonale semplice ed aper ta Q'V ~ V.R' ~ contenuta nel poligono W*, e quindi nella stella W; epperb ~ implicito (n o 18), che essa ~ libera nella t, nella w e nella # (e quindi in t u t t e le loro potenze non identiche, giusta In prima proposizione del n ~ 4 di 9Y~, o del n o 7 di Yt), noneh~ in t u t t i i prodott i di t e di w nelle diverse potenze di ~; e ehe essa ha come

16) Si vegga ~ , n o 4, pr ima proposizione; nonch~ ~ , n a 7, pr ima proposizione.


diametro un numero minore di h, al pari delle sue immagini nelle potenze t• t+2 . . . . . t• della t.

35. - - l~ell'interno di W* consideriamo adesso un tal punto U, che siano uguali gli angoli U V Q' ed U VR', di guisa che i segmenti Q'U ed R ' U non sono degeneri ed hanno in comune soltanto il punto U. E supponiamo U tanto vicino a V, che U sia interno a To (in armonia con le risultanze finali del n ~ 28) e che la poligonale semplice ed aperta Q' U A- UR' sia contenuta nell'interno di W*, a prescindere, eventualmente, da Q' ed R'.

In queste condizioni anche la poligonale Q'U-4- U R' ~ libera nella t, neUa w e neUa 0, nonch~ in tut te le loro potenze non identiche ed in tut t i i prodotti di t e di w per le diverse potenze di 0; inoltre essa ha come diametro un numero minore di h, al pari delle sue immagini nelle potenze t• t• . . . . , t• della t.

36. - - I punti di Q' U + UR' diversi da R' sono interni al semipiano To. Iqel fatto, Q' ~ interno a T O (no 30); R' appartiene a To, in quanto immagine, nella t -i, di un punto dell'arco c~, che appar~ienne a To (n ~ 24), ed U ~ interno al semipiano To, per costruzione.

37. - - Percorriamo la poligonale Q'U + UR' a partire da Q', ed arrestiamoci appena incontriamo t-~(c*), nel punto R", eventualmente uguale ad R' ; indi ritorniamo indietro, sulla medesima poligonale, ed arrestiamoci appena incontriamo w(c*), ciob 0(t-l(c*)), nel punto Q", eventualmente uguale a Q'.

In quanto rispettivamente punti di vq(t-a(c*)) e di t-l(c*), i punti Q" ed R" sono distinti fra di loro, perch~ c* ~ libera nella v ~ (n ~ 32), che ~ per- mutabfle con t -1.

38. - - Se Q" ed R" appartengono ad un medesimo lato della spezzata Q' U -4- U R', poniamo

,~' = Q"R";

nel caso contrario poniamo

2' = Q"U § UR";

di guisa che anche ~t' si pub interpretare come una spezzata, con uno o con due lati.

l~elle definizioni e nelle eonsiderazioni precedenti ~ implicito che 4' e t -1 (c*) hanno in comune soltanto l'estremo R" di 4', mentre 4' e w(c*) hanno in comune soltanto l'estremo Q" di 2'; che i punti di ~t' diversi da Q" ed R" sono interni al poligono W* (n ~ 35); che 4' ~ libera nella t, nella w, nella 0 ed in tu t te le potenze non identiche di t, di w e di 0,

2 8723 Hbg. Matll. Abh., Bd. XXXI


nonch~ in tu t t i i prodott i di t e di w per le diverse potenze di 9 (n o 35); ehe 2' ha come diametro un numero minore di h, al pari delle sue immagini in t• t+2 . . . . . t• (n ~ 35) ; e f inalmente ehe i punt i di 2' diversi da /~" sono interni al semipiano To (n ~ 36).

Ragionando poi come alla fine del n ~ 78 di 9J~, si rieonosce che 2' ed c~n hanno in comune al massimo l 'estremo R " di 2'.

39. - - Consideriamo adesso la curva semplice ed aperta 2, immagine della poligonale semplice ed aperta 2' nella t,

2 = t (2 ' ) ,

e poniamo altresl

Q = w - l ( Q ") = t (9-1(Q")) , R ---- t (R" ) ,

di guisa the va(Q), cio~ t (Q"), ed R porgono gli estremi di 2, e per tanto sono distinti l 'uno dall 'altro.

I punt i Q e d / ~ appartengono a c*, cio~ ad ~n, eom'~ ovvio (anzi il primo ~ addir i t tura interno a c*, essendo interno al semipiano To, al pari di Q"); e sono diversi l 'uno dall 'altro, pereh~ 2' ~ libera nella va, mentre #-~(Q") appart iene a va-l(2') ed /~" a 2'.

Attese le circostanze poste in luee nel n ~ 38, la eurva 2 ha sol tanto l 'estremo R su c* e soltanto l 'estremo 9 (Q) su v~ (c*) ; ~ libera nella t, nella w, nella v a ed in t u t t e le potenze non identiche di t, di w e di v~, noneh~ in tu t t i i prodot t i di t e di w per le diverse potenze di 9; ha come diametro un numero minore di h, al pari delle sue immagini nelle potenze t• t • . . . , t• di t; ed ~ f inalmente contenuta nell ' interno del semipiano To, a preseindere eventualmente da /L

L'intersezione di 2 e t (~n) contiene al massimo R (no 38); e poieh~ R, appar tenendo a c*, non appart ienne a t(c*), l ' intersezione di 2 e t(c*)

vuota.

40. - - Indichiamo adesso con c il sottoarco non degenere d ic* , epper5 di ~n (e di fin), individuato dalle eondizioni: di eontenere i punt i Q ed R; di avere gli estremi su ~o; e di essere minimale di fronte a queste pro- prierS.

La presenza di c ~ certa. Ed almeno uno degli estremi di c ~ interno ad

~o e ad ~ , epperb a flo ed a fin.

41. - - La curva semplice ed aperta c ~ libera in t u t t e le potenze non identiche di t, di w e di v ~, at teso che questa eircostanza si presenta gi~ per la sovraccurva c* (n ~ 32); e contiene il punto Q, interno a To, nel proprio interno, atteso che essa lo contiene ed ha gli estremi su ~0, epperb su %.


La curva c ha in comune con ~-~ (2) sol tanto il pun to Q e con 2 sol- t an to il p u n t o / ~ , men t re non ha punt i comuni con t -~ (2), t u t t o in conse- guenza di r isul tanze del n ~ 39.

42. - - I punt i Q e d / ~ individuano su c u n sot toarco non degenere, u; posto ~' = t-~(~), di guisa che

=

si riconosce subito che ~ e u' sono libere in t u t t e le potenze non ident iche

di t, di w e d i v ~.

43. - - Ragionament i analoghi a quelli svi luppat i nel nO 83 di 9T~ porgono poi che u e 2 hanno in comune sol tanto il comune estremo R, men t r e 2 e v~(u) hanno in comune sol tanto il comune estremo v~(Q), epperb che u' e 2' hanno in comune sol tanto il comune estremo R", ment re ~t' e v~(z') hanno in comune sol tanto il comune es t remo Q"; e porgono che le curve semplici ed aper te u q- 2, 2 q- v~ (z), u' -1- ;t' e 2' q - ~ ( u ' ) sono a l t re t t an t i archi di t raslazione nella v~.

Nella va, le curve ~ + 2 e ;t q- v ~ (z) generano la medesima t ra ie t tor ia , ~o; ana logamente per z' q- ~t' e )t' q- vq(u'), che generano t-1(o9).

44. - - Indichiamo con F e con G gli estremi di c. E scegliamo i nomi degli estremi di c in tal guisa, che R sia esterno al sot toarco, #, individuato da Q e da F su c; e quindi, che Q sia esterno a quello, ~, individuato da /~ e d a G su c.

I punt i Q ed R sono r i spe t t ivamente diversi da G e da F ; il pun to Q diverso da F , in quan to esso ~ in terno a To, ment re F appar t iene a

30; il pun to _~ pub coincidere con G, o, meglio, la sua eventuale coinci- denza con G r imane impregiudicata . I punt i Q ed R sono r i spe t t ivamente fuori di v e di #, e queste curve sono disgiunte.

Le immagini di /z e di v helle diverse potenze non ident iche di t, di w e di v~ sono disgiunte a due a due, quelle di # fra di loro, quelle di # da quelle di v e quelle di v fra di loro (tali sono infatt i , n ~ 41, quelle della curva c, sovrainsieme t an to per la curva non degenere #, quan to per la curva even tua lmen te degenere ~).

45. - - Le curve # e v hanno su r0 sol tanto F e sol tanto G, r ispet t ivamente .

I1 pun to G coincide con R, se, e sol tanto se, R appar t iene ad ao; anzi, se, e sol tanto se, R appar t iene a 30. P e r t an to R ~ diverso da G, se, e sol tanto se, ~ in terno a To; ed ~ interno a c, se, e sol tanto se, ~ in terno a

To. I1 pun to F ~ un ver t ice di K contenuto nel sot toarco essenziale di

~0. I punt i di c diversi da F , ed abbas tanza vicini ad F , sono interni

2"


al semipiano T 0. Circostanze perfettamente analoghe si presentano nei riguard/ d/ G, se R ~ interno a T0, cio~ se R ~ diverso da G.

46. m Considerazioni analoghe a quelle eposte nel n ~ 86 d / ~ porgono che l'unico punto comune a # e ad co ~ fornito dall'estremo Q di ~-I (4), # e ~ .

47. - - F, considerazioni analoghe a quelle del n ~ 87 di ~ porgono che l'unico punto comune a ~ e ad w ~ fornito dall'estremo R d /~ , ~ e 4.

48. - - La traiettoria w ~ contenuta nel semipiano To, come si dimostra subito meal/ante considerazione analoghe a quelle del n ~ 88 d/ ~ . Essa

una linea semplice, aperta, period/ca nella x, con periodo unitario, e propria.

Uno, ~ , dei eampi ad/acenti ad w contiene tut t i i punti con l 'ordinata positiva ed abbastanza grande. L'altro, ~ ' , contiene tut t i queUi con l 'ord/nata minore d/ ~.

I1 campo ~ ~ eontenuto nel campo Ho (---- Z0). I1 campo Q' contiene il eampo H0 ( ~ 2:~). I1 semipiano To contiene l'insieme ~ + w. L'insieme Q' + w contiene il semipiano T~, epperb anche l'orizzontale 70.

49. - - La linea o~ ~ contenuta nell'interno del semipiano T formato dai punt/ con l 'ord/nata positiva o nulla.

Considerati, su ~, i punti F* e G* con le ascisse rispettivamente uguali a quelle d / F e G, si ponga

di guisa che anche ~* ~, al pari di/~*, una curva semplice ed aperta (non degenere).

Le curve #* e r* hanno in comune con la |inea w soltanto i punti Q ed _R, rispettivamente; e con ]a retta T soltanto i punti iv* e G*, sempre rispettivainente. Esse sono contenute tanto nell'insieme ~ ' ~- to, quanto nel semipiano T.

Le imnmagini, poi, di #* e v* nelle diverse potenze identiche e non identiche d / t , d / w e di 0 sono d/sgiunte a due a due: quelle d / # * fra d / loro , quelle d / # * da quelle d /v* , quelle d/ ~* fra d / loro .

50. - - Cib premesso, consideriamo le curve semplici e chiuse e*, i* e j* definite dalle posizioni

e* = #* + ~ + ~* § G 'F* , i* = r* + ~ + ~(#*) + ~(F*)G*,

j* = #* + ~ + t + ,~(#*) + ,~(~*)F*,

ed ind/chiamo con E*, I* e J* le regioni rispettivamente racchiuse da e*, i* e j*. Le curve e*, i* e j* hanno su ~ soltanto i segmenti F'G*,

Sugli au$oomeomorfismi del cerchio etc. 21

G*O(F*) ed F*0(F*), rispettivamente; e su ~o soltanto gli archi x, e ~ A- 2, sempre rispettivamente. Pertanto, gli insiemi E*, I* e J* sono contenuti tanto nel semipiano T, quanto nell'insieme /2' + co; gli insiemi E * - - F ' G * , I*--G*O(F*) e J * - - F * 0 ( F * ) sono contenuti nel- l 'interno del semipiano T e gli insiemi E* - - x, I * - - ;t e J * - - (x -~ 4 )

sono eontenuti nel eampo ~ ' .

51. - - I1 punto G ~ interne al segmento F0(F) , clog il punto G* ~ interne al segmento F*O(F*). Gli insiemi E* ed [* hanno in eomune soltanto l'areo v* del lore contorno e la lore somma ~ uguale a J*. Il segmento GO(F) ha soltanto gli estremi su i*, mentre i suoi punti interni sono interni ad I*. Tutto cib si rieonosee mediante considerazioni analoghe a quelle del n ~ 91 di ~ .

52. - - Considerazioni analoghe a quelle del n ~ 92 di ~ permettono di riconoscere ehe fl punto G appartiene el segmento Ft(Ao) ed ~ diverse da F e ehe t(F) ~ interne al segmento GO(F), epperb all'insieme I*.

Si ritrova implicitamente che G e G* sono rispettivamente interni ad FO(F) ed F*O(F*).

53. - - Risaliamo adesso da To ad @. Le curve ~ e 2 ds luogo a due curve semplici ed aperte ~ ed I, in quanto esse sono libere in tut te le potenze non identiehe di 0; f e d I hanno in comune soltanto gli estremi e f-4-I porge la curva semplice e chiusa, diciamola 8,

~ = ~ + I ,

ehe proviene da ~o e che aggira fl centre d i e . Mostriamo ehe 8, ! ed I soddisfanno alle eondizioni di cui nel teorema. Allo scope, eonsideriamo la curva t(~). Essa parte dal punto t(F),

interne ad I* (n ~ 52). Essa non interseca v, pereh~ v appartiene a c e perch~ c ~ libera nella t (n ~ 41). Essa non interseca 2 (n ~ 41). Essa non interseea nemmeno 0 (/~), perch~ 0 (/~) appartiene a O (c) e pereh~ c libera nella w (n ~ 41). Essa non pub avere punti nell'interno della poliginale sempliee ed aperta GG*-4-G*O(F*) + O(F*F), perch~ appartiene a T o. Dunque essa ~ eontenuta nell'interno eli I*. Pertanto essa non interseca o~ (no 50). E Io stesso accade per le immagini di t(c) nelle diverse potenze di 0. E di qui intanto la mancanza di punti comuni a $ e ~ (~).

Gli arehi ! ed I sono poi liberi nella t perch~ x e 2 sono liberi nella t e d in tu t t i i prodotti di t per le diverse potenze di 0 (n 1 39 e 42).

I diametri di 4', t• (2'), t• . . . . , t• (4'), epper5 anche quelli di ~, t• . . . . . t+~(2), sono minori di h. Pertanto basta the h sia abbastanza piccolo, perchb gli archi 1, t • ( I ) , . . . , t~:r(I) abbiano diametri minori di


e siano visti dal centro di ~ sotto angoli minori d i e nella misura (quest'ultima condizione anzi ~ soddisfatta per poeo ehe h sia minore die) . Da eui la eonclusione.

54. - - Prima di chiudere questo paragrafo, ancora un'osservazione sulle risultanze del numero precedente.

Nel numero preeedente 8 non incontrava i (t) pereh~ ei trovavamo nel primo sottocaso. Se fossimo stati nel seeondo, la curva 8, o, meglio, la sua analoga, non avrebbe ineontrato la eurva t-l(f), o, meglio, la sua analoga.

~el primo sottoeaso $ sarebbe addirittura libera nella t, se non incon- trasse nemmeno t -1 (~), perch~ la $ ~ t (~) -~ ~ e la ~ N t -1 (~) -~ ~, unite aUa ~ n t ( 1 ) ~ ~, implicherebbero appunto la $ r t ($)~-~ . Analoga- mente nel secondo sottocaso.

w 5. Ultime considerazioni

55. - - I1 risultato raggiunto permette di ritrovare una circostanza nora, relativa a quegli autoomeomorfismi del eerchio, che ammettono soltanto un punto unito, i] punto unito risultando per di pi5 inferno al cerchio, e che sono periodici, eio~ che ammettono infinite potenze uguali all'identitY. I1 risultato raggiunto permette precisamente di ritrovare, che in un tal autoomeomorfismo sono sempre presenti curve sempliei ed aperte ehe uniscano il punt 0 unito con la frontiera del cerehio e che abbiano in comune con le rispettive immagini soltanto il punto unito 1~). Ci oceuperemo della cosa nel prossimo numero.

56. - - Ammettiamo, nel fatto, che l'autoomeomorfismo t del cerchio C ammetta soltanto un punto unito, il eentro di C18); ammettiamo altresi chela potenza r-esima di t sia uguale all'identitY, il numero intero r essendo maggiore di 1; ed ammettiamo, per assurda ipotesi, ehe ogni curva, la quale unisca il centro di C con la frontiera di C, incontri la propria immagine in punti diversi dal centro.

1~) Per una tal circostanza si vegga: B. v. KER~KJ~RT6, ~ber die periodischen Transformationen der Kreisscheibe und der Kugelfl~che (l~athematische Annalen, vol. 80 [1919] pagg. 36--38); L .E . J . BRouw~, ~ber die periodischen Trans- forma$ionen der Kugel (ibidem, pagg. 39--41); S. EILE~rSE~O, Sur les transfor- mations pr de la surface de sphere (Fundamenta mathematicae, vol. 22 [1934] pagg. 28--41); B. v. KER~KJ/~RT6, Erg~ia~zung zu meinem Aufsatz: Topolo- gische Charakterisierung der linearen Abbildungen (Acta litterarum ac scientiarum dell'Universitk di Szeged, vol. 3 [1934--35] pagg. 58---59).

18) I1 ragionamento del testo ~ tolto da R. V~LELL~ BRESSAN, Sugli autoomeomorfismi periodicl della corona circolare (Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, serie 8, vol. 38 [1965], papp. 477--479).

Sugli autoomeomorfmmi del cerchio e$o. 23

I n queste condizioni sono presenti , nel cerchio, due curve semplici ed aperte , u e v, con gli estremi, e gli estremi sol tanto in comune, libere r i spet to a t e siffatte, che la curva semplice e chiusa u + v, diciamola z, aggiri il centro di C e non incontr i t ( v ) , oppure t- l(v),

e che, posto

u , = = o , 1 . . . . . r - 1 ) ,

le curve u0, u l , . . . , ur_~ siano viste dal centro di C sot to angoli minori

di un r-simo dell 'angolo giro. Fe rme queste premesse, poniamo, sempre per p = O, 1 . . . . , r - 1,

di guisa che accanto alla z o = uo-4-v0 sussistono anche le zl = ul + v l , . . . , zr_~ = ~t~_l -4- vr_~, ment re le curve semplici e chiuse zx . . . . , z~_~ aggirano il centro di C al pari di zo.

lqelle condizioni attua,li, i raggi che pro ie t tano dal centro di C l ' insieme uo -4- ul + . . . -4- u~_~ non possono esaurire il piano; pe r t an to l ' insieme u0 + u~ + . . . - 4 - u ~ _ l non pub contenere curve semplici e chiuse the aggirino il centro di C.

L ' ins ieme chiuso zo + z~ + . . . - 4 - z ~ _ ~ b invar ian te nella t. E d invar ian t i nella t sono anche quelle due component i aper te del suo com-

plementare , diciamole r i spe t t ivamente Fo e F ~ , the contengono il centro di C e l 'infinito.

Sia 9'0 la f ront iera di F0 e 9% quella di F ~ . Allora 9'0 b no to r iamente una curva semplice e chiusa, al pari di 9'~. Ino l t re 9'0 e 70o aggirano il centro di C e sono en t r ambe invar iant i nella t.

I1 complementare , D ' , di Fo~ contiene poi le regioni Zo . . . . . Z~_I r i spe t t ivamente contorna te da zo . . . . . z~_l; men t re il complementare ,

P /'~, di / '0 contiene i r ispet t ivi complementar i Z'o , �9 � 9 Z , _ I d i Z o . . . . . Z ~ - l .

Consideriamo adesso il caso che z non incontr i t - i (v), cio~ the vo non incontr i zl. Allora sono possibili due sottocasi: vo ~ con tenu ta nell' in terno di Zx; vo ~ con tenu ta nel l ' interno di Z~. Nel pr imo sottocaso v0

con tenu ta nen ' in te rno d i / ' ~ e nel secondo in quello di F~. Nel pr imo

sot tocaso risulta 9'0~ n vo = 0, e quindi anche 7~ n v 1 . . . . . 7o~ n v~_~ = 0; e nel secondo 9'o n v0 = r e quindi anche 9'0 n v~ . . . . : 9'0 ~ Vr--1 = ~" P e r t a n t o nel pr imo sottocaso 9'~, che appar t iene

all ' insieme z0 -4- z~ + �9 �9 �9 -4- z~-t, ~ con tenu ta nell ' insieme uo -t- ui + �9 �9 �9 + u~_~; men t re nel secondo sot tocaso queste circostanze si presentano per 9'o. E t u t t o questo ~ assurdo.

Res terebbe da esaminare il caso che z non incontr i t ( v ) . Ma questo caso si r iconduce subito al precedente : nel fat to, basra scambiare gli

uffici di t con quelli di t -1 e gli uffici di u o , . . . , u~_~, vo, . . . . v ,_x ,

24 Giuseppe Scorza Dragoni, Sugli autoomeomorfismi del cerchio etc.

z0, �9 � 9 z,_l con quelli di u,_l . . . . . u0, v,_l, �9 � 9 v0, zr-1 . . . . , z 0. Donde la conclusione.

57. - - l~el caso poi ehe il periodo di t sia uguale a 2, si pub procedere pi5 spedi tamente cosi19).

Ammet t i amo , come ~ lecito, che sia vuo ta l ' intersezione di z e t(v).

Allora t (u) non sol tanto non ha punt i in eomune con u, ma non pub averne nemmeno in comune yon v (perch~ t por te rebbe gli eventual i punt i comuni a t (u) e v in punt i di u, cio~ di z, ed in punt i di t(v), cio~ in punt i che non appar te r rebbero a z). E t(z), aggirando anch'essa il centro dell 'origine, separa z da t2(z), che coincide con z. E t u t t o cib ~ di nuovo assurdo.

Si noti che per queste u l t ime deduzioni non c'~ bisogno di saper nulla circa l ' ampiezza degli angoli sot to i quali sono viste dal centro di C le curve u e t (u).

Eingegangen a m 6. 7. 1965

1~) Per il ragionamento che seguir~, si vegga anche G. SCORZA DRAGONI, A proposito di un teorema di rotocontrazione per gli autoomeomorfismi della corona circolare (Rendiconti dell 'Accademia Nazionale dei Lincei, serie 8, vol. 38 [1965] pagg. 142--144), n o 3.

Documents

Sugli autoomeomorfismi del cerchio dotati di un punto unito unico e interno al cerchio