GS. TSKHKT- PHAN KÌ PHÙNG

Ths. THÁI HOÀNG PHONG

GIÁO TRÌNH

SỨC BỀN VẬT LIỆU

TẬP I

ĐÀ NẴNG 2005

6

MỤC LỤC Trang số Lời nói đầu 4 Mục lục 6 Chương mở đầu : NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 9 0.1. Khái quát 9 0.2. Các nguyên nhân ngoài tác dụng lên vật thể 11 0.3. Các giả thuyết cơ bản 12 0.4. Lịch sử phát triển môn học 13 Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC 16 1.1. Nội lực - phương pháp mặt cắt 16 1.2. Các thành phần nội lực 17 1.3. Bài tóan phẳng, biểu đồ nội lực 18 1.4. Liên hệ giữa tải trọng phân bố với lực cắt và mô men uốn trong thanh thẳng 27 1.5. Liên hệ giữa tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt, biểu đồ mô men uốn trong thanh thẳng 27 1.6. Áp dụng 28 Chương 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 33 2.1. Khái niệm 33 2.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 33 2.3. Biến dạng, hệ số poisson 35 2.4. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 38 2.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu 39 2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn - Ba bài toán cơ bản 42 2.7. Bài toán siêu tĩnh 45 2.8. Thế năng biến dạng đàn hồi 47 Chương 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 49 3.1. Khái niệm 49 3.2. Trạng thái ứng suất phẳng 50 3.3. Trạng thái trượt thuần túy 58 3.4. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke tổng quát 59 3.5. Các thuyết bền 64 Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 70 4.1. Khái niệm chung 70 4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính 70 4.3. Mô men quán tính của một số hình đơn giản 74 4.4. Công thức chuyển trục của mô men quán tính 75 4.5. Hệ trục quán tính chính - công thức xoay trục của mô men quán tính 77 4.6. Vòng tròn Mohr quán tính 78 4.7. Bán kính quán tính 79 Chương 5: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG 84 5.1. Khái niệm 84 A. Dầm chịu uốn thuần túy phẳng 85 5.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 85 5.3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp lớn nhất 89 5.4. Điều kiện bền của uốn thuần túy phẳng 91 5.5. Khái niệm về hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang 93

7

B. Dầm uốn ngang phẳng 94 5.6. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của dầm uốn ngang phẳng 94 5.7. Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng 95 5.8. Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng 98 5.9. Các dạng bài toán cơ bản 101 5.10. Khái niệm về dầm chống uốn đều 104 5.11. Quỹ đạo ứng suất chính khi uốn 105 5.12. Thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng 106 C. Chuyển vị của dầm chịu uốn 108 5.13. Khái niệm đường đàn hồi 108 5.14. Phương trình vi phân của đường đàn hồi 109 5.15. Thiết lập phương trình đàn hồi bằngt tích phân bất định 110 5.16. Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tải trọng giả tạo 110 5.17. Phương pháp thông số ban đầu 116 Chương 6: XOẮN NHỮNG THANH THẲNG CÓ MẶT CẮT NGANG TRÒN 6.1. Khái niệm chung 122 6.2. Mô men xoắn và biểu đồ mô men xoắn 122 6.3. Liên hệ giữa mô men xoắn ngoại lực với công suất và số vòng quay của trục truyền 123 6.4. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn 125 6.5. Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang 127 6.6. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn 128 6.7. Tính thanh tròn chịu xoắn 130 6.8. Xoắn thuần túy thanh có mặt cắt ngang không tròn 131 6.9. Nguyên tắc chung để giải bài toán siêu tĩnh 132 6.10. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ có bước ngắn 132 6.11. Sự phá hủy của thanh tròn chịu xoắn 136 Chương 7: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 138 A. Thanh chịu uốn xiên 138 7.1. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 138 7.2. Điều kiện bền của dầm chịu uốn xiên 142 7.3. Độ võng của dầm chịu uốn xiên 145 B. Thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm 147 7.4. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 148 7.5. Thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm 149 7.6. Khái niệm về lõi của mặt cắt ngang 151 C. Thanh chịu uốn đồng thời với xoắn 155 7.7. Thanh có mặt cắt ngang tròn 155 7.8. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật 155 D. Thanh chịu lực tổng quát 160 7.9. Thanh có mặt cắt ngang tròn 160 7.10. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật 161 Chương 8 : KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TỪ BIẾN 164 8.1. Mở đầu 164 8.2. Những đường cong từ biến 165 8.3. Phân tích quá trình từ biến của vật liệu 166 8.4. Phương pháp mô hình hoá trong từ biến 171

8

8.5. Những mô hình cơ bản 172 Chương 9: NHỮNG LÍ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TỪ BIẾN 176 9.1. Khái niệm chung 176 9.2. Lí thuyết hoá già 176 9.3. Lí thuyết chảy dẻo 179 9.4 Lí thuyết củng cố 180 9.5. Lí thuyết di truyền 181 9.6. Sự dão ứng suất trong các bu lông,(kéo- nén đúng tâm). 182 9.7. Xoắn thanh tròn 183 9.8. Bài toán uốn 184 9.9. Từ biến của cánh tuốc bin 187 Phụ lục 189 Tham khảo 205

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Bùi Trọng Lực, Nguyên Y Tô... Sức bền Vật liệu (T.1, 2). Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1964. 2) Nguyễn Y Tô (Chủ biên) .... Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Đại học và TNCN, Hà Nội 1973. 3) Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng Sức bền Vật liệu (T.1, 2, 3) Nhà xuất bản Đại học và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội 1989. 4) Nguyễn Y Tô Sức bền Vật liệu Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1966 5) Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng Sức bền Vật liệu (T.1)

9

Nhà xuất bản Giáo dục 1997 6) Lê Ngọc Hồng Sức bền Vật liệu Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật ,Hà Nội 2000 7) Phan Kỳ Phùng, Đặng Việt Cương Lý thuyết dẻo và Từ biến Nhà xuất bản Giáo dục, 1997

10

4

LỜI NÓI ĐẦU

Sức bền vật liệu là một môn học cơ sở, nó là gạch nối giữa các môn học cơ bản đến các môn học kỹ thuật cho các ngành cơ khí, động lực, cầu đường, xây dựng, thủy lợi, giao thông... Để học tốt các môn chuyên môn ở các ngành học nói trên thì cần phải nắm được các kiến thức các môn học cơ sở trong đó có môn học Sức bền vật liệu.

Giáo trình Sức bền vật liệu (Tập I) nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về phương pháp tính toán độ bền, độ cứng vững đối với những bài toán thường gặp như bài toán kéo (nén), uốn, xoắn và tổ hợp các bài toán đó. Phần này cũng giới thiệu cách xác định và xây dựng biểu đồ nội lực đối với các dạng bài tập. Nhờ có nó ta mới biết ở nơi nào là chịu lực nguy hiểm nhất. Vì vậy phần này sẽ được sử dụng suốt trong giáo trình Sức bền vật liệu và ứng dụng trong các giáo trình chuyên môn khác.

Tập 1 Sức bền vật liệu này còn trình bày cách nghiên cứu trạng thái ứng suất trong vật thể khi chịu tác dụng ngoại lực, nó trang bị kiến thức để học môn Sức bền vật liệu và các môn cơ học khác như lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, vật lý chất rắn.

Trong xu thế chung của giáo dục đại học, chúng tôi mong muốn sinh viên có thể tự nghiên cứu, tự học môn Sức bền vật liệu, nên trong giáo trình này sau khi trình bày Lý thuyết chúng tôi đã dẫn ra nhiều ví dụ để sinh viên dễ học tập.

Tác giả cũng rất cảm ơn giảng viên cao cấp Phạm Văn Song của Đại học Đà nẵng, đã giúp tác giả sửa chữa, chỉnh lí, vi tnh vă đóng góp nhiều ý kiến để giáo trình này hoàn chỉnh hơn.

Chắc rằng trong quá trình biên tập không khỏi còn nhiều thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của sinh viên và các độc giả để giáo trình ngày càng được hoàn chỉnh và đáp ứng được yêu cầu học tập của sinh viên và các bạn.

Trân trọng cám ơn !

Tác giả GS.TSKH. Phan Kỳ Phùng

5

9

Chương mở đầu

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 0.1.KHÁI QUÁT. 0.1.1. Nhiệm vụ của môn học.

Môn học sức bền vật liệu có nhiệm vụ cung cấp những kiến thức cơ bản về phương pháp tính toán độ bền (nghĩa là các kết cấu, chi tiết máy không bị phá hủy dưới tác dụng của tải trọng). Xác định độ cứng vững (nghĩa là sự thay đổi kích thước hình học của các kết cấu, chi tiết không được vượt quá một giới hạn cho phép). Tính toán về độ ổn định (nghĩa là tính toán sao cho các kết cấu, chi tiết có khả năng bảo toàn trạng thái cân bằng ban đầu), điều này chúng ta sẽ rõ khi gặp bài tóan ổn định.

Môn học này cũng đề cập đến một số kiến thức để tính toán cho hệ thanh, cho các tấm, các vỏ, thanh thành mỏng... Môn học này còn đề cập đến các bài toán về ứng suất tiếp xúc, về các ống v.v... Điều đó cũng có nghĩa là giáo trình này bao gồm những kiến thức cơ bản của các môn học có liên quan "sức bền vật liệu", "cơ học kết cấu" và "lý thuyết đàn hồi".

Ngày nay, khi mà khoa học đã phát triển thì các môn học được đan xen nhau, không còn ranh giới rõ rệt nữa. Các môn học cơ học cũng vậy, nên những vấn đề được trình bày dưới đây chúng tôi cũng theo xu hướng đó, nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản về cơ học có liên quan đến tính độ bền, độ cứng vững và độ ổn định đã nói ở trên, nhưng lại phải tiết kiệm nhất, có lợi nhất. Nói một cách khác là phải giải quyết vấn đề tối ưu nhất trong sản xuất là phải chọn kết cấu, chọn phương pháp tính, phải chọn vật liệu sao cho có lợi nhất. Trong bản chất bài toán này, rõ ràng có mâu thuẫn ví như một chi tiết càng có kích thước lớn thì có thể rất bền, rất cứng vững và rất ổn định nhưng lại không kinh tế và cũng sẽ không thỏa mãn những yêu cầu khác. Chính vì những mâu thuẫn đó chắc chắn nó sẽ là yếu tố thúc đẩy sự phát triển kỹ thuật tính toán, chế tạo của các vật liệu mới... Môn sức bền vật liệu cũng phải phát triển để đưa ra các mô hình tính toán, các phương pháp tính toán hợp lý, để thỏa mãn các điều kiện trên. 0.1.2. Đối tượng nghiên cứu của môn học.

Môn sức bền vật liệu là một môn học nằm trong ngành Cơ học vật rắn biến dạng. Khác với Cơ lý thuyết, nhằm khảo sát sự cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối, môn Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức là vật rắn có biến dạng.

+ Hình dạng vật thể nghiên cứu trong Sức bên vật liệu: Vật thể thực có kích thước theo ba phương và được phân làm ba loại: - Khối: Kích thước theo ba phương không hơn kém nhau nhiều (hình 0.1a). - Tấm, vỏ: Kích thước theo hai phương lớn hơn kich thước theo phương còn lại

rất nhiều (hình 0.1b, 0.1c). - Thanh: Kích thước theo một phương lớn hơn kích thước theo hai phương kia

rất nhiều. Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh. + Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động sao cho trọng tâm O

trượt trên một đường cong (C) và thẳng góc (C), thì F sẽ quét trong không gian một hình khối gọi là thanh có diện tích mặt cắt ngang là F.

Trong đó: (C)- Trục thanh; F- Diện tích mặt cắt ngang.

10

+ Các loại thanh: Thanh nếu có trục thanh (C) là thẳng thì ta gọi là thanh thẳng, khi trục thanh (C) là cong thì ta gọi là thanh cong. Mặt cắt thanh có thể là không đổi suốt chiều dài thanh, nhưng mặt cắt thanh cũng có thể thay đổi.

+ Khung: Hệ gồm nhiều thanh ghép lại, có hai loại: khung phẳng và khung

không gian. Trong tính toán thường biểu diễn thanh bằng trục của nó (hình 0.1d', hình 0.1e'). Từ nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu nói trên ta thấy trong sức bền vật liệu có các

bài toán sau: a) Kiểm tra các điều kiện về độ bền, độ cứng vững, độ ổn định. b) Xác định kích thước mặt cắt ngang, hình dáng hợp lý của công trình hay chi

tiết. c) Xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên vật thể.

Hình 0.1:i tng nghiên cu ca Sc bn vt liu a-Khi; b, c-Tm và v;d- d′ ,e- e′ -Thanh và cách biu din thanh trong tính tóan; f,h,i,g- Khung; j,k-Gi di ng;m,n-Khp c nh;o-Ngàm

a) b) c)

d) d′ ) e) )e′

m) n) o)

VA

HA

R VA

HA

MA

g) k) j)

VA VA

f) h) i)

11

0.1.3. Đặc điểm - Môn Sức bền vật liệu khảo sát nội lực và biến dạng của vật thực, nhưng vẫn áp

dụng các kết quả của Cơ học lý thuyết (sử dụng các phương trình cân bằng). - Môn Sức bền vật liệu là một môn khoa học thực nghiệm với phương pháp nghiên

cứu như sau: + Quan sát thực tế. + Đề ra các giả thuyết và tính toán. + Thí nghiệm kiểm tra.

0.2. Các nguyên nhân bên ngoài tác dụng lên vật thể. 0.2.1. Ngoại lực.

Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác dụng của môi trường bên ngoài hay của các vật thể khác lên vật thể đang xét.

* Phân loại ngoại lực. Ngoại lực gồm: - Tải trọng: Trị số, vị trí và tính chất của lực đã biết trước. - Phản lực: Lực phát sinh nơi tiếp xúc giữa vật thể đang xét với vật thể khác tùy

thuộc vào tải trọng. Tải trọng bao gồm lực phân bố tác dụng liên tục trên thể tích hay bề mặt (có cường độ bằng giá trị lực/đơn vị thể tích hay diện tích, thứ nguyên là [lực/(chiều dài)3], [lực/(chiều dài)2] hoặc là lực phân bố theo chiều dài [lực/chiều dài]. Ngoài ra còn có lực tập trung, mô men tập trung, mô men phân bố.

* Tính chất tải trọng. - Tải trọng tĩnh: Giá trị của lực tăng từ từ xem như không gây ra lực quán tính. - Tải trọng động: Giá trị của lực tăng đột ngột (va chạm) hay kể đến lực quán

tính (dao động, chuyển động có gia tốc). 0.2.2. Các nguyên nhân khác.

Bao gồm sự gia tăng của nhiệt độ, sự chế tạo không chính xác các chi tiết máy hay sự lún của các gối tựa trong công trình. 0.2.3. Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết .

a) Gối di động (khớp di động, con lăn): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm và chuyển động tịnh tiến theo một phương nào đó. Liên kết hạn chế sự di chuyển của thanh theo phương vuông góc với phương chuyển động tịnh tiến, nên theo phương này liên kết sẽ phát sinh một phản lực VA: (hình 0.1j) hay (hình 0.1k).

b) Gối cố định (khớp, bản lề): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm và hạn chế mọi chuyển động tịnh tiến trong mặt phẳng. Liên kết này phát sinh phản lực theo một phương bất kỳ trong mặt phẳng. Trong tính toán ta thường phân lực này ra hai thành phần vuông góc nhau HA và VA (xem hình 0.1m và 01 n).

c) Ngàm: Liên kết hạn chế mọi chuyển động trong mặt phẳng. Tại ngàm phát sinh một mô men phản lực và một phản lực theo phương bất kỳ, phản lực này thường được phân ra hai thành phần vuông góc nhau (xem hình 0.1o). Để xác định các phản lực, ta xem thanh như vật rắn tuyệt đối và xét sự cân bằng của vật rắn đó dưới tác động của phản lực và tải trọng. 0.3. Các giả thuyết cơ bản.

Vì đối tượng khảo sát là vật thực, cho nên nếu xét đến mọi tính chất thực thì bài toán sẽ rất phức tạp. Do vậy để quá trình suy luận hay tính toán được đơn giản mà vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết, ta cần phải lược bỏ những tính chất không cơ bản và chỉ giữ lại tính chất cơ bản quyết định đến phẩm chất công trình hay chi tiết. Tức là ta đưa ra các giả thuyết. Môn Sức bền vật liệu sử dụng ba giả thuyết cơ bản sau:

12

* Giả thuyết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng. - Vật liệu liên tục nghĩa là vật liệu chiếm đầy không gian vật thể. - Vật liệu đồng nhất khi tính chất cơ học và vật lý tại mọi điểm của nó giống

nhau. - Vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ lý xung quanh một điểm bất kỳ và

theo hướng bất kỳ như nhau. * Giả thuyết II: Vật liệu đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke. Dưới tác

dụng của nguyên nhân bên ngoài, vật thể bị thay đổi hình dạng, kích thước ban đầu. Tuy nhiên khi bỏ các nguyên nhân này đi thì vật thể có khuynh hướng trở về hình dạng và kích thước ban đầu. Đó là tính đàn hồi của vật liệu và vật thể tương ứng và được gọi là vật thể đàn hồi. Nếu vật thể có khả năng trở về nguyên hình dạng và kích thước ban đầu ta gọi là vật thể đàn hồi tuyệt đối. Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke khi tương quan giữa lực và biến dạng là tương quan bậc I.

Vật liệu thỏa mãn giả thuyết II gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính. Đối với các loại vật liệu như thép, gang... nếu lực tác dụng nhỏ hơn một trị số giới

hạn xác định nào đó, có thể xem như thỏa mãn giả thuyết này. * Giả thuyết III: Biến dạng của vật thể là bé. Hệ quả của các giả thuyết: Trong quá trình tính toán ta có thể: - Sử dụng phép tính vi phân, tích phân, tức là có thể nghiên cứu một phân tố bé

để suy rộng ra cho cả vật thể lớn. - Sử dụng sơ đồ không biến dạng, tức là xem điểm đặt của ngoại lực không đổi

trong khi vật thể bị biến dạng. - Áp dụng được nguyên lý độc lập tác dụng (hay còn gọi là nguyên lý cộng tác

dụng): "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố bằng tổng tác dụng do từng yếu tố riêng rẽ gây ra". 0.4. Lịch sử và sự phát triển của môn học.

Sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, được xây dựng trên một số kết quả và giả thuyết rút ra từ những thí nghiệm tương ứng với các bài toán cụ thể, sự lập luận trên cơ sở thực nghiệm vừa mang tính khoa học vừa giúp cho việc thiết lập các công thức tính toán ít phức tạp hơn về mặt toán học.

Vào thế kỷ 17 Nhà bác học Galiles đã làm thí nghiệm về sự chịu lực của một dầm Côngxon để làm cơ sở cho các thiết kế và đóng các tàu biển phục vụ cho sự phát triển hàng hải. Nhưng trên thực tế trong thế kỷ 17 chưa có các công trình tầm cỡ. Sự phát triển môn học Sức bền và các môn học của cơ học thực sự phát triển từ thế kỷ 18 đến nay. Năm 1729 Buynphighe đã đưa ra lý thuyết về quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng. Sau đó năm 1768 Hooke cho rằng ở một giai đoạn nào đó thì quan hệ ứng suất và biến dạng là quan hệ tỷ lệ thuận. Và trong các bài toán của Sức bền vật liệu chủ yếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke này.

Các nhà bác học như Poisson, Euler, Lomorovsov, Ortrografski... đã có nhiều đóng góp cho sự phát triển của cơ học nói chung và cho môn học Sức bền vật liệu nói riêng. Nhà bác học Người Pháp Navie đã cho ra đời giáo trình Sức bền vật liệu đầu tiên vào cuối thế kỷ 18.

Sự phát triển môn học Sức bền vật liệu gắn liền với sự phát triển của lý thuyết đàn hồi tuyến tính và đàn hồi phi tuyến. Một số bài toán không thể chứng minh qua con đường lập luận từ khoa học thực nghiệm mà cần phải giải bằng Lý thuyết đàn hồi. Vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, Ngành cơ học biến dạng đã phát triển hết sức rộng lớn,

13

cùng với sự ra đời và phát triển của công nghệ thông tin, những thành tựu về Toán học và Vật liệu đã yêu cầu và tạo điều kiện cho ngành cơ học vật rắn biến dạng phát triển. Người ta ứng dụng các phương pháp sai phân, biến phân, phần tử hữu hạn... trong việc giải các bài toán mà trước đây chưa giải được hoặc giải rất khó khăn. Cũng từ đó nhiều lý thuyết về các vật liệu dị hướng, vật liệu có độ bền lớn, vật liệu làm việc trong điều kiện nhiệt độ cao và trong các môi trường ăn mòn khác nhau phát triển. Trong thế kỷ 20 còn xuất hiện lý thuyết dẻo, đàn nhớt, đàn dẻo, lý thuyết từ biến, lưu biến, lý thuyết phá hủy... đã giúp chúng ta nghiên cứu sâu hơn và toàn diện hơn sự làm việc, đồ bền, độ cứng vững, độ ổn định... của các bài toàn thực tế, do sự phát triển khoa học kỹ thuật ngày nay đòi hỏi.

Cơ học là một lĩnh vực rộng lớn, có thể là môi trường liên tục, môi trường rời rạc, môi trường thủy, khí, môi trường nhiệt...Vì vậy những phương trình cân bằng về cơ bản giống nhau, tùy theo môi trường cụ thể mà thay đổi một số thông số và hệ số, nhưng những phương trình này vẫn là những phương trình vi phân đạo hàm riêng.

Có thể nói điều quan tâm trước tiên của cơ học vật rắn biến dạng là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng xuất hiện trong vật liệu trong quá trình tác động của tải trọng. Về mặt toán học ứng suất là một hàm số của biến dạng:

σ = f(ε) (0-1) Trong đó:σ-Ứng suất; ε-Biến dạng. - Nếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke thì phương trình trên tuyến tính

hay còn gọi là đàn hồi tuyến tính. - Nếu quan hệ đó không phải là tuyến tính

bậc nhất nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện quá trình đặt tải và cất tải là thuận nghịch. Nghĩa là khi đặt tải, quan hệ giữa ứng suất σ và biến dạng ε là đường cong OAB, thì khi cất tải tương quan đó cũng giảm theo đường BAO (đường không liên tục BAO thực tế trùng với đường liên tục BAO-trên hình BAO được vẽ tách ra để dễ nhìn) và biến dạng mất đi hoàn toàn khi không còn tải (xem hình 0.2).

Ta xem bài toán này là đàn hồi nhưng không phải tuyến tính mà là đàn hồi phi tuyến và biểu thức (0.1) vẫn phù hợp.

Chúng ta hãy xét thí nghiệm kéo một mẫu thép (đại diện cho vật liệu dẻo), thì quan hệ giưã ứng suất và biến dạng được trình bày trên hình 0.3.

Rõ ràng giai đoạn đầu OA là đàn hồi tuyến tính vận liệu làm việc tuân theo định luật Hooke, tức là ứng suất và biến dạng là quan hệ bậc nhất. Đến điểm B nào đó, nếu ta cất tải thì nó không theo đường cũ mà nó đi theo đường song song với OA . Khi tải trọng

Hình 0.2: Quan hệ giữa ứng suất và

biến dạng

ε

A

B

O

σ

ε

σ

A

B

C O

P

∆l

Hình 0.3: Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng khi kéo

thép

Hình 0.5: Hiện tượng

nới

Hình 0.4: Hiện tượng sau tác dụng (dão)

14

không còn nữa, vật thể còn có một lượng biến dạng thể hiện bằng đoạn OC. Biến dạng này được gọi là biến dạng dẻo (hay biến dạng dư). Lý thuyết nghiên cứu quy luật hình thành biến dạng dẻo và trạng thái ứng suất tương ứng được gọi là lý thuyết dẻo. Chúng ta hãy lưu ý các tính chất sau đây của vật liệu:

Một thanh thép treo chịu tác dụng lực kéo (hình 0.4), khi đặt tải P gây nên một độ giãn dài ∆l nào đó. Nếu để lực P không đổi này tồn tại lâu dài thì độ giãn tiếp tục tăng lên mặc dù sự tăng này rất chậm, hiện tượng này càng rõ rệt khi vật liệu làm việc ở môi trường nhiệt độ cao. Hiện tượng đó được gọi là hiện tượng sau tác dụng hay hiện tượng dão.

Một ví dụ khác: ta siết chặt êcu để ghép 2 tấm thép với nhau (hình 0.5) bằng một lực nào đó, nghĩa là đã tạo cho bulông một giá trị ứng suất nhất định. Nhưng đến một thời gian đủ dài nào đó ta nhận thấy êcu lỏng ra, nghĩa là ứng suất trong bulông giảm đi. Hiện tượng đó gọi là hiện tượng nới.

Hiện tượng sau tác dụng và hiện tượng nới đều thể hiện một bản chất của vật liệu đó là biến dạng tiếp tục thay đổi khi ứng suất do P sinh ra không đổi hay ứng suất giảm (mối nối lỏng ra), khi biến dạng không thay đổi (khoảng cách ban đầu của 2 tấm thép đã xác định) được gọi chung là hiện tượng từ biến.

Hiện tượng từ biến xuất hiện cả trong giai đoạn đàn hồi và giai đoạn chảy dẻo. Vì vậy lý thuyết từ biến được ứng dụng trong lý thuyết đàn hồi và cả lý thuyết dẻo.

Gần đây đã phát sinh một ngành mới là lý thuyết cảm biến. Nó nghiên cứu những quy luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật liệu do những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau. Lý thuyết cảm biến giúp cho ta xác định được biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kỳ trong vật thể ở một thời điểm nào đó khi biết các thông số của các yếu tố tác động bên ngoài và quá trình biến đổi các thông số đó.

CÂU HỎI TỰ HỌC : 0.1. Những nhiệm vụ chính của môn sức bền vật liệu ? 0.2. Những nhân tố nào thúc đẩy sự phát triển của môn học ? 0.3. Đối tượng nghiên cứu của môn học? 0.4. Các giả thuyết cơ bản, giải thích các giả thuyết đó. 0.5. Những nét chính của các môn học khác liên quan đến môn Sức bền vật liệu.

- - ♣♣♣♣♣- -

15

Chương 1 LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC

1.1. NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT (PPMC). 1.1.1. Định nghĩa nội lực.

Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có một hình dáng nhất định. Khi có ngoại lực tác dụng, vật thể bị biến dạng, lực liên kết thay đổi để chống lại biến dạng do ngoại lực gây ra. Lượng thay đổi của lực liên kết gọi là nội lực. 1.1.2 Phương pháp mặt cắt (ppmc). Để xác định nội lực trên mặt cắt ngang chứa điểm K của vật thể chịu lực như hình1.1, ta dùng ppmc như sau: Tưởng tượng dùng mặt phẳng (π) qua điểm K và thẳng góc với trục thanh, cắt vật thể ra hai phần (A) và (B), (hình1.2). Xét sự cân bằng của một phần, ví dụ phần (A), (hình 1.3). Phần (A) được cân bằng nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên phần (A). Nội lực này phân bố trên diện tích mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân bằng với các ngoại lực thuộc phần đang xét (A). Ngược lại nếu ta xét sự cân bằng của phần B, thì phần A cũng tác dụng lên B các nội lực tương tự nhưng có chiều ngược lại. 1.1.3. Khái niệm về ứng suất.

Chung quanh điểm K (trên mặt cắt thuộc phần A), ta lấy một phân tố điện tích vô cùng bé ∆F, hợp lực của nội lực tác dụng lên ∆F là P∆ , (hình 1.4; 1.5).

Ta có : P//FP

∆∆∆

Ta gọi FPptb ∆

∆= là ứng suất trung bình

tại K.

FPlimplimp

0Ftb0F ∆∆

==→∆→∆

: ứng suất toàn phần hay là ứng suất thực (gọi tắt là ứng

suất) tại K.

Thứ nguyên của ứng suất là ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2)daìichiãöu(

læûc , đơn vị thường dùng KN/cm2, MN/m2

Thường người ta phân ứng suất ra hai thành phầ: - Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, ký hiệu σ . - Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu τ . Như vậy 22P τ+σ= , P: Độ lớn của ứng suất tại K.

P3

P1

P2

P5

P4

P6

Hình 1.1:Một vật thể chịu lực

Hình 1.3: Sự cân bằng lực phần A

A

P1

P2

P3

K

P5

P3

P1

P2

P4

P6

π

K A B

Hình1.2: Phương pháp mặt cắt

K

16

Trong nhiều trường hợp thành phần ứng suất tiếp trên mặt cắt còn được phân thành hai thành phần theo hai phương vuông góc nào đó.

- Ứng suất pháp được coi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngoài n của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén), (xem hình 1.6a).

- Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài n của mặt cắt quay một góc 900 cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng ( n ,τ ) thì chiều của pháp tuyến đó trùng với chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được coi là âm, (xem hình 1.6 b). 1.2. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC. Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt ngang. Sự thu gọn đó cho ta một lực R và một mô men M. Nói chung R và M có phương, chiều bất kỳ trong không gian. Để tính toán, ta phân R ra thành ba thành phần (ta thường chọn Oxyz sao cho Ox, Oz nằm trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống, Oz trùng trục thanh), hình 1.7:

- Thành phần nằm trên trục z gọi là lực dọc và kí hiệu Nz.

- Thành phần nằm trên trục x, y gọi là các lực cắt và kí hiệu Qx, Qy.

Ta cũng phân M ra ba thành phần: - Các thành phần quay quanh

trục x và y gọi là các mô men uốn và kí hiệu Mx, My. - Thành phần quay quanh trục z gọi là mô men xoắn và kí hiệu Mz.

Nz, Qx, Qy, Mx, My, Mz là 6 thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng được xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét:

0PNn

1iizz =+∑

=

Hình 1.6: Ứng suất, a- Ứng suất chiều dương; b-Ứng suất chiều âm

τ > 0 τ < 0

σ > 0 σ < 0

n n a) b)

Hình 1. 4:Hợp lực của nội lực

P3

P2

P1

P∆

∆F

Hình 1.5: Ứng suất

P1

P2

P3

Pr

σr τ

K

K

(A) (A)

Hình 1.7: Các thành phần của nội lực

yx

P1

P2

P3

(A) Nz

Qx Qy

My

Mx

Mz O

z

17

0PQn

1iixx =+∑

=

0PQn

1iiyy =+∑

=

Trong đó: ∑ izp , ∑ ixp , ∑ iyp là tổng hình chiếu của tất cả các ngoại lực thuộc

phần đang xét lên các trục z, x, y. 0)P(mMn

1iixx =+∑

=

0)P(mMn

1iiyy =+∑

=

0)P(mMn

1iizz =+∑

=

Trong đó:∑ )P(m ix ,∑ )P(m iy ,∑ )P(m iz là tổng mô men của tất cả các ngoại lực thuộc phần đang xét quay quanh các trục x, y, z.

* Liên hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần nội lực. Các thành phần nội lực tác dụng trên diện tích vô cùng bé (VCB) dF lần lượt là

σzdF, τzxdF, τzydF. Lấy tổng nội lực vi phân này trên toàn diện tích mặt cắt ngang phải chính là các thành phần nội lực.

Do đó : ∫=F

zz dFN σ ; ∫=F

zxx dFQ τ ; ∫=F

zyy dFQ τ

∫=F

zx ydFM σ ; ∫=F

zy xdFM σ ; ∫ −=F

zyzxz dF)xy(M ττ

1.3. BÀI TOÁN PHẲNG - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC. Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh (xem hình 1.8), ở

hình này các lực tác dụng trong mặt phẳng (yoz), thì hợp lực của nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó, ta có bài toán phẳng. * Các thành phần nội lực: Chỉ có ba thành phần Nz, Mx, Qy nằm trong mặt phẳng yoz.

Qui ước dấu: Qui ước dương của nội lực trong bài toán phẳng như trên hình 1.9 và hình 1.10.

Nz > 0 khi có chiều hướng ra mặt cắt.

Qy > 0 khi có khuynh hướng quay mặt cắt đang xét theo chiều kim đồng hồ (hoặc dấu của Qy giống dấu của τ).

P2

P1

P3

n

m

P5

P4

P6

Hình 1.8: Một vật thể chịu lực

z

y

18

Mx > 0 khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới).Ngược lại các nội lực âm.

* Ví dụ 1: Cho một thanh chịu lực như hình 1.11a. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu

đồ nội lực

Ta sử dụng phương pháp mặt cắt: Tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với trục thanh và cách đầu tự do một đoạn là z. Ta xét sự cân bằng phần trái (hình 1.11b), để đoạn thanh đang xét được cân bằng thì tại mặt cắt [11] xuất hiện nội lực là Qy và mô men xoay quanh trục x là Mx. Ban đầu chúng ta giả định Qy và Mx tác dụng ở mặt cắt [11] là dương theo quy định. Nếu kết quả tính tóan mà Qy, Mx có dấu + thì coi như giả định ban đầu của ta là đúng và Qy, Mx đúng là dương theo quy định. Nếu kết qủa tính toán mà Qy, Mx mang dấu -, thì ta phải đổi chiều Qy và Mx trở lại, cũng có nghĩa là nội lực âm theo quy định ở trên.

Bây giờ ta sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường trong cơ lý thuyết hay các phương trình đã trình bày ở trên để xác định Qy và Mx.

Chú ý: - Khi chiếu lên một trục nào đó thì các mô men là ngẫu lực không có trong phương trình.

a) b)

c)(Qy)

P z

l

1

1

O

x

z

y

1

1

Qy

Mx

z

P

Hình 1.11. Vẽ biểu đồ nội lực: a- Một dầm chịu lực; b-Xét sự cân bằng lực của phần dầm, c- Biểu

đồ lực cắt Qy; d- Biểu đồ mô men My

d) (Mx)

P2

P1

P3

Hình1.9:Các thành phần nội lực và

chiều dương ở phần bên trái của mặt

y

n

m

Qy>0

MX>0

Nz>0

P5 P4

y

x

MX>0

Qy>0

Nz> 0

n

m

Hình 1.10: Các thành phần nội lực và chiều dương ở phần bên phải

của mặt cắt m-n

19

- Khi lấy mô men đối với một điểm nào đó thì lực qua điểm đó có mô men bằng 0.

(1) Phương trình 1: 0PQn

1iiyy =+∑

=

Suy ra Qy - P = 0, vậy Qy = +P Như vậy lực cắt Qy = +P, dấu ta giả định ban đầu là đúng và không phụ thuộc z.

(2) Phương trình 2: 0)P(mMn

1iixx =⋅+∑

=

Tức là Mx - Px⋅z = 0 Suy ra Mx = +P⋅z Như vậy Mx = +Px⋅z , dấu mô men giả định ban đầu là căng phía dưới (phía dương

của trục y) là đúng và Mx là hàm bậc nhất phụ thuộc vào tọa độ z. Cuối cùng ta vẽ biểu đồ Qy và Mx như ở hình 1.11c, 1.11d. * Ví dụ 2: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ 1.12a. Hãy xác định lực cắt Qy, mô

men uốn Mx và vẽ biểu đồ của chúng.

Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh, ví dụ mặt phẳng

(yoz) thì hợp lực của nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó, ta có bài toán phẳng. Cũng tương tự như trên, chúng ta cắt thanh bởi mặt cắt [11] vuông góc với trục

thanh cách đầu tự do 1 đoạn z và xét sự cân bằng của phần bên trái, ta vẽ lớn ra ở hình 1.12b. Đoạn thanh này cũng phải cân bằng do các lực q, Qy và Mx tác dụng. Chúng ta cũng vẽ Qy, Mx theo chiều dương như đã quy định. Để xác định chúng ta lại sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học, có thể viết ở dạng sau:

(1) Phương trình hình chiếu các lực lên trục y: ΣP(y) = Qy + q⋅z = 0 Suy ra Qy = -q⋅z Vậy Qy là hàm bậc nhất theo z (khác với trường hợp ở ví dụ 1 - Dầm chịu lực tập

trung P thì Qy là hằng số). Kết quả dấu - chứng tỏ ta giả sử Qy là dương như hình vẽ 1.12b là không đúng ta

phải đổi dấu Qy, tức là vẽ lại Qy hướng từ dưới lên trên, vì vậy là Qy âm theo quy định ở trên. (2) Phương trình lấy mô men đối với điểm O1 trọng tâm của mặt cắt [11]:

1

Hình 1.12: Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực

x y

O z

1 1

1

l

z z

qq

ql

2

2ql

(Qy)

(Mx)

Qy

a) b)

c)

d)

O1 Mx

20

ΣM(O1)= Mx + q⋅z2z = 0

Suy ra: Mx = − 2zq 2⋅

Kết quả Mx mang dấu - chứng tỏ chiều Mx ta chọn ban đầu là sai, ta phải cho Mx quay ngược lại, tức là nó làm căng phía âm của trục y hay căng các thớ trên của dầm nên mang dấu - trong biểu đồ. Đồng thời mô men Mx nội lực là một hàm số bậc 2 so với z.

Cuối cùng ta xây dựng được các biểu đồ Qy và Mx (trên hình vẽ 1.12c, d). Chú ý bề lõm của đường bậc 2 hứng lấy các mũi tên do q tác dụng. * Ví dụ 3: Cho một dầm chịu lực như hình 1.13a. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu

đồ của chúng. Bài toán này có khác trước là việc đầu tiên ta phải xác định cho được phản lực ở

các gối tựa A và B. Tại A là gối kép, đáng lẽ phản lực tại đó có hai thành phần phản lực theo phương y và phương z, nhưng do lực chỉ có theo phương y thẳng đứng, nên tại A chỉ có thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là YA và ở gối tựa B dĩ nhiên chỉ có một thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là YB. Để xác định YA và YB, ta phải xét sự cân bằng của toàn dầm do các lực P và hai phản lực YA và YB tác dụng.

Chúng ta cũng dùng các phương trình cân bằng thông thường là chiếu tất cả các lực lên trục y và lấy mô men đối với một điểm nào đó (điểm A chẳng hạn).

Giải: a) Xác định các phản lực YA và YB.

Chiếu các tất cả các lực lên trục y: ( ) 0YYPP BAy =−−=∑ (1)

( ) 02lPlYM BA =⋅−⋅=∑ (2)

Giải 2 phương trình (1) và (2), ta được YA = YB = +2P và kết quả có dấu + chứng

tỏ chiều phản lực YA và YB đã chọn hướng lên là đúng và giá trị bằng một nửa lực P. Các phản lực YA, YB còn có thể được suy luận ra như sau: Do tính chất đối xứng YA phải bằng YB và đây là hệ lực song song, nên YA + YB = P, vậy:

YA = YB = 2P

21

b) Tính toán nội lực trong dầm. Sau khi đã xác định được YA và YB, ta xem như dầm chịu các lực YA, YB và P tác

dụng. Đến đây chúng ta thấy bài toán này khác trước ở chỗ tải trọng tác dụng lên dầm không phải không đổi suốt dầm (như ví dụ 1) hay tải trọng phân bổ liên tục suốt dầm (như ví dụ 2), mà để có thể xét nội lực ta phải chia dầm ra một số đoạn sao cho trong mỗi đoạn tải trọng là hằng số hoặc một hàm số liên tục và xét nội lực cho từng đoạn đó rồi nối lại.

Với nguyên tắc này ta phải chia dầm ra làm hai đoạn:

(1) Đoạn 1 là từ A - C tức là: 0 ≤ z ≤ 2l .

Ta tiến hành xét nội lực trong đoạn này như ví dụ 1 và ví dụ 2. Trước hết ta lại tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với trục thanh và cách đầu A là z (tất nhiên mặt cắt này trong giới hạn A-C). Giữ lại phần trái chẳng hạn (xem hình 1.13b). Ta xét sự cân bằng của nó khi đã giả định chiều của Qy và Mx ở mặt cắt [11].

- Tính lực cắt Qy. Chiếu tất cả các lực lên trục y, ta có:

ΣP(y) = Qy - YA = 0 Suy ra Qy = + YA , kết quả mang dấu +, chứng tỏ chiều của Qy ta vẽ ban đầu là

đúng và theo quy định Qy này là dương. Qy trong đoạn AC là hằng số không phụ thuộc vào z.

- Tính mô men Mx . Lấy mô men đối với trọng tâm O1 của mặt cắt [11] ,ta có: ( )∑ 1oM = Mx - YA⋅z = 0

Hình 1.13: Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực cho một dầm chịu lực như hình a

(Mx)

(Qy)

Mx

Qy

2

2

YB

YA l-z

2p

−2p

4Pl

YA YB

l/2 l/2 1

1 2

2 C

A B

x y

O z

z

Mx

Qy

a)

d)

e)

b)

c)

P

A

O1

O2

22

Suy ra Mx = +YA⋅z, kết quả dấu +, chứng tỏ ta chọn chiều của mô men Mx như hình 1.13b là đúng và mô men này dương vì nó làm căng phía dưới hay phần dương của trục y. Mô men Mx là hàm số bậc nhất của tọa độ z. Như vậy nội lực trong đoạn AC đã được xác định, ta hoàn toàn có thể vẽ biểu đồ Qy, Mx trong đoạn này.

(2) Đoạn CB : lz2l

≤≤

Với cách làm tương tự như trên, ta tưởng tượng có mặt cắt [22] cách đầu A một đoạn là z hay cách đầu B một đoạn là (l-z). Mặt cắt này chia thanh ra làm 2 phần. Nếu xét phần bên trái thì tại mặt cắt này nội lực sinh ra do YA, P gây ra và cách xác định hoàn toàn như vừa rồi. Nhưng ta cũng có thể giữ lại và xét sự cân bằng phần bên phải (như hình 1.13c), xét phần phải này đơn giản hơn vì ngoài nội lực chỉ có thêm YB tham gia vào các phương trình cân bằng thôi. Kết qủa tính được cũng giống nhau về trị số và dấu như khi xét sự cân bằng phần trái.

- Tính lực Qy. Chiếu các lực lên trục y (xem hình 1.13c). ΣP(y) = - Qy -YB =0 Suy ra Qy = -YB , kết quả mang dấu (-) ; chứng tỏ chiều Qy ta chọn dương như hình vẽ

là không đúng và Qy phải được đổi chiều lại là âm theo quy định. Qy không phụ thuộc tọa độ z.

-Tính mô men Mx. Lấy mô men đối với trọng tâm O2 của mặt cắt [22], (xem hình 1.13c). ( )∑ 2oM = YB (l-z) - Mx = 0 Vậy : Mx = +YB (l-z) Kết quả dấu +, chứng tỏ là ta chọn dấu của Mx ban đầu là đúng và nó làm căng các

thớ dưới hay căng phía dương của trục y là dương; Mx là hàm số bậc nhất của z. Tóm lại, chúng ta đã xác định được lực cắt Qy ở đoạn AC là dương có trị số 2P

và đoạn CB có lực cắt Qy là âm và giá trị là 2P . Mô men nội lực ở 2 đoạn đều dương. Ta có thể vẽ lần lượt biểu đồ nội lực của hai đoạn AC và CB như ở các hình 1.13d và 1.13e.

* Ví dụ 4: Cho một dầm chịu lực như hình 1.14. Xác định trị số các nội lực tại mặt cắt 1-1 cách gối tựa trái 14m.

z HA

Hình 1.14: Xác định nội lực tại mặt cắt 1 1 của dầm

M=44kN.m P=20kN q=1kN/m

A D B C O

y

14m

10m 8m 6m

1

1

VA VB

23

Giải: Tính phản lực liên kết: Giải phóng các liên kết tại A và B và thay bằng các phản lực liên kết HA, VA, VB. Xét sự cân bằng của hệ cô lập ABC chịu tác dụng của ngoại lực bao gồm tải trọng và các phản lực liên kết.

Ta có: Σz= 0 => HA = 0 (1) Σy = 0 => VA +VB - p - q⋅10 = 0 (2) ΣmA = 0 => 1⋅10⋅5-M-VB ⋅18 + P⋅24 = 0 (3) => VB = 27 kN Thế VB vào (1) => VA = 3kN Tính nội lực tại mặt cắt 1-1 (xem hình 1.15). Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần trái: Σy = 0 => -VA +q⋅10+Qy = 0

=> Qy = -7kN Σm0 = 0 =>-VA⋅14+q⋅10⋅9+M+Mx= 0 =>Mx =-92 kNm .

Biểu đồ nội lực: Là đường biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc trục thanh. Hoành độ trọng tâm mặt cắt ngang lấy trên trục song song với trục thanh, tung độ là các giá trị của nội lực tại các mặt cắt ngang tương ứng.

Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta có thể xác định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá trị nội lực lớn nhất.

* Chú ý khi vẽ biểu đồ nội lực: - Với biểu đồ lực cắt (Qy), (Nz), tung độ dương của biểu đồ được biểu diễn về

phía trên của trục hoành và có ghi dấu trên biểu đồ. - Với biểu đồ (Mx): Tung độ dương (Mx > 0) được đặt về phía y > 0. Ngược lại, tung độ âm (Mx < 0) đặt phía y < 0. Như vậy nhìn vào biểu đồ mô men uốn (Mx), ta biết ngay các thớ dọc thanh chịu

căng ở phía có đặt tung độ Mx. * Ví dụ 5: Một dầm chịu lực như hình vẽ 1.16. Hãy vẽ biểu đồ nội lực (Qy), (Mx) .

Hình 1.15: Tính nội lực của mặt cắt 1 1

VA

14m

10m

y

Qy

NZ

z

Mx

M=44kNm

HA

q=1kN/m

A D

O 1

2

Hình 1.16: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình vẽ

HA

M=ql2

q p=ql

O z

y

l l l

A C B D

VA VB

24

Giải: a) Tính phản lực . Hệ phương trình xác định phản lực : Σz = 0 => HA = 0 (1) ΣmA = 0 => VB = 2ql (2) Σy = 0 => VA = ql (3) Kiểm tra có: ΣMC = 0 b) Tính nội lực. Dùng phương pháp mặt cắt: Trên AC, tưởng tượng mặt cắt ngang 1-1 (có trọng tâm O với hoành độ z: 0≤z≤1, gốc A), chia dầm ra hai phần, xét cân bằng AO (hình 1.17). Từ các phương trình: Σz = 0 => Nz = 0 Σy = 0 => Qy = VA - qz

Σmo = 0 => Mx = VA z - 2qz21

tại gốc A(z = 0) : Qy = VA = ql và Mx = 0

tại C(z=1): Qy = 0 và Mx = 2lqql

21ql

222 =−

Trên đoạn CB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 2-2 (có trọng tâm O với hoành độ z: l≤ z ≤2l, gốc A) chia dầm ra hai phần, xét cân bằng phần ACO (xem hình 1.8). 0N0z 2 =⇒=Σ qzVQ0y AY −=⇒=Σ

M2zqzVM0m

2

Axx −−⋅=⇒=Σ

Tại C(z = l): QY = 0, Mx = 2ql

21

+

Tại B(z = 2l): QY = -ql, Mx = -ql2

Trên đoạn DB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 3-3 (có trọng tâm O với hoành độ z: 0 ≤ z ≤ l, gốc D), chia đầm ra hai phần, xét cân bằng phần DO, (xem hình 1.19).

Σz = 0 ⇒ N2 = 0 Σy = 0 ⇒ QY = P = ql Σmx = 0 ⇒ MX = - P⋅z = -ql⋅z

Tại D(z=0): Mx= 0 Tại B(z=l): Mx= 0

Nhận xét: a) Trên những đoạn thanh: q = 0 ⇒ biểu đồ QY là đường thẳng song song với trục hoành, biểu đồ Mx là đường bậc 1; q = const ⇒ Qy bậc 1, và Mx bậc 2. b) Mx đạt cực trị tại những điểm mà QY = 0. c) Bề lõm của MX hứng mũi tên lực phân bố q.

Hình 1.19: Dùng phương pháp mặt

cắt

z Mx

Qy

y

z

p=qlD O

3

3 Nz

Hình 1.17: Dùng phương pháp mặt

cắt

HA Mx

Qy

y

z 1

1

Nz z A O

q

VA

Hình 1.18:Dùng phương pháp mặt

cắt

HA

q Mx

M=ql2

Qy

y z

l

2

2

Nz z A C O

VA

25

d) Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mô men tập trung), thì tại những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc MX) có bước nhảy và độ lớn bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mô men tập trung) tại các điểm ấy. Ví dụ tại các điểm A, B, C, D (trên hình 1.20). Biểu đồ như hình 1.20

1.4. Liên hệ vi phân giữa tải trọng phân bố với lực cắt và mô men uốn trong thanh thẳng. * Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu tải trọng phân bố bất kì q(z) và các thành phần nội lực trên hai mặt cắt như hình 1.21.

Σy = 0 ⇒ Qy + q(z)dz -(Qy+dQy) = 0

Hình 1.20: Biểu đồ biểu thị các điểm chịu lực đặc biệt

M

Q (ql)

0 0,5

-1,0 0,5

1,0 1,5

-1,5

0,5 1,0 1,5

-1,5

-1,0

-0,5

0 1

55 109

163

217

271

325

379

433

A C B D

1 44

87 173

259

345

130 216

302

388

431

l l l

Hình 1.21: Sơ đồ biểu diễn sự liên quan giữa tải trọng phân

bố với lực cắt và mô men

(A)

dz

Mx

Mx+ dMx Qy

Qy+dQy dz

(A)

q(z) q(z)

1

1 2

2

y

x O1

O2

1

1 2

2

26

⇒ )z(qdz

dQy = (1)

∑ 2oM = 0 ⇒ (Mx + dMx) -Mx - Qy dz + q(z) 2dzdz = 0

Bỏ qua lượng VCB bậc 2 ⇒ yx Q

dzdM

= (2)

Từ (1) và (2) ⇒ )z(qdzMd

2x =

2

(3)

Kết luận: Đạo hàm của lực cắt tại một điểm bằng cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài tại điểm đó. Đạo hàm của mô men uốn tại một điểm bằng lực cắt tại điểm đó, còn đạo hàm bậc hai của mô men uốn bằng cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài. 1. Về mặt hình học, lực cắt tại một tiết diện chính bằng độ dốc của tiếp tuyến với biểu đồ mô men uốn tại đó và cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài là độ dốc của tiếp tuyến biểu đồ lực cắt. 2. Nếu hàm số q(z) là một hàm số đại số thì bậc của hàm số lực cắt sẽ cao hơn bậc của q(z) một bậc và bậc của hàm số mô men uốn sẽ cao hơn bậc của hàm lực cắt một bậc. 1.5. Liên hệ giữa tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt. Biểu đồ mô men uốn trong thanh thẳng.

* Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu P0 và M0, các thành phần nội lực trên hai mặt cắt như hình 1.22.

Σy = 0 ⇒ QY + P0 - (QY + ∆QY) = 0 ⇒ ∆QY = P0 (4)

∑ 4om = 0 ⇒ Mx + Qy dz + P02dz + M0 - (Mx + ∆Mx) = 0

Bỏ qua các lượng VCB Qy dz ⇒ ∆MX = M0 (5) Ta đã chứng minh được nhận xét d ở mục 1.3.

1.6. Áp dụng. Ta có thể sử dụng các liên hệ vi phân (1), (2), (3) và tính chất (4), (5) hoặc nhận xét (c) để:

Hình 1.22: Xét sự liên hệgiữa taỉ trọng tập trung và độ lớn bước nhảy

trên biểu đồ lực cắt

dz

(B)

Qy

Qy+ ∆Qy

Mx Mx+∆Mx

P0 M0

3 4

4 3

y

z O3 O4

dz

M0

P0

(B)

3

3 4

4

27

- Vẽ biểu đồ nội lực nhanh chóng. - Kiểm tra các biểu đồ nội lực. Ví dụ 6: Vẽ đồ thị nội lực M, Q của dầm chịu lực như hình 1.23.

* Đoạn AB: có q = const ⇒ QY bậc 1; Mx bậc 2. Điểm A: Qy = 0; Mx = 0 và đạt cực trị

Điểm B: Qy = - qa; Mx = - 2qa21

* Đoạn BC: Không có q ⇒ QY hằng số; còn MX bậc1.

Điểm B: QY = - 2qa; MX = 2

qa2

−

Điểm C : QY = - 2qa; Mx = - 2qa23

* Đoạn CD: Không có q ⇒ QY hằng số : Qy = -2qa, còn MX bậc 1.

Điểm C: Mx = 2qa21

Điểm D: Mx = - 2222 qa23qaqaqa

23

−=+− .

Biểu đồ lực cắt và mô men được biểu diễn trên hình 1.24. Kiểm tra: + Tại A, QY = 0 ⇒ tiếp tuyến với biểu đồ Mx tại đây nằm ngang. Ngoài ra vì

đạo hàm bậc hai của Mx (tức là q) âm nên bề lõm của biểu đồ Mx < 0 (hướng lên trên). + Tại B có lực tập trung P = qa nên biểu đồ lực cắt tại B có bước nhảy và độ lớn

bằng qa. + Tại C có mô men tập trung qa2 quay theo chiều kim đồng hồ nên biểu đồ mô

men uốn Mx tại đó có bước chảy từ trái sang phải bằng chính qa2.

Hình 1.23: Một dầm chịu lực

A B C D

q p=qa M0=qa2

a a21

a21

(Qy)

qa2qa 2qa

Hình 1.24: Biểu đồ nội lực Qyvà M

(Mx)

1,5qa2

0,5qa2

1,5qa20,5qa

2

28

Ví dụ 7: Vẽ biểu đồ nội lực M, N, Q của khung thẳng, (hình 1.25). Giải: Đoạn DC (hình 1.26): q = const ⇒ Q bậc một, M bậc hai. Điểm D: QD = 0; MD= 0 và đạt cực trị, ND = 0. Điểm C: QC = + qa,

MC= 2qa21 (căng thớ ngoài) ; NC = 0.

Đoạn CB: Không có q nên Q là hằng số , M bậc 1. Điểm C:

qaNBCC −=

2BCC

BCC qa

21M;0Q −==

(căng thớ trên ) Điểm B: Xét cân bằng đoạn BC (hình 1.27) 0QQ;qaNN BC

CBCB

BCC

BCB ====

2BC

cBCB qa

21MM −== (căng thớ trên)

Đoạn BA: Trên đoạn BA không có q: ⇒

⎩⎨⎧

nháúbáûcMsäúhàòngQ

Điểm B: 0NABB = ; qaQAB

B −= .

222ABB qa

23qaqa

21M −=−−= , (căng thớ phía trái).

Điểm A: Xét cân bằng đoạn BA (xem hình 1.28).

Hình 1.25: Một khung chịu lực

a

A

B C

Da

qa2

q

NBBC

B NCBC

MBBC MC

BC

QBBC QC

BC

C C

zMC

BC

NCBC

QCBC

DHình 1.27: Tính nội lực của đoạn DC và CB

Hình 1.28:Tính nội lực đoạn BA

NBAB

NAAB

MBAB

MAAB

QBAB

QAAB

qa2

QBAB

NBAB q

MBAB

Mc

C

Nc

Qc

q

Hình 1.26

29

0NN ABB

ABA == ; qaQQ AB

BABA −==

aQMM ABB

ABB

ABA ⋅−= = a)qa(qa

23 2 −−−

2ABA qa

21M = (Căng thớ phía trái).

Cuối cùng vẽ được biểu đồ M, N, Q (xem hình 1.29a, b, c) Có thể kiểm tra các biểu đồ thông qua việc xét sự cân bằng các nút. Sự cân bằng nút B (hình 1.29d):

Σx = qa - qa = 0; ΣmC = 0qa21qa

21 22 =−

Sự cân bằng nút C (hình 1.29e):

Σx = qa - qa = 0;ΣmB = qa2 + 0qa23qa

21 22 =−

Vậy nút B cân bằng. . .

Ví dụ 8: Vẽ biểu đồ nội lực của thanh cong chịu lực như hình vẽ 1.30.

a) (Q) (N)

(M)

b)

c)

qa qaqa qa

0,5qa2 0,5qa2

1,5qa2

0,5qa2

0,5qa2

Hình 1.29: Biểu đồ nội lực Q(a); N(b); M(c) và kiểm tra biểu đồ (d)

qa

d) e)

qa2

1,5qa2 0,5qa2

0,5qa2

qa

qa

B Cqa

qa

0,5qa2

Hình 1.30: Sơ đồ nội lực của thanh cong

P

2Pϕ 2604 2604

2604

R1

1

a) c) d)

b) e)

P 2P

2P

P

(Nz) (Qy)

(Mx)

PR

0,236PR P

2PϕNz z

y

1

1Qy

Mx

0,236P

30

Xét mặt cắt 1-1 và sự cân bằng của phần đầu tự do với qui ước dương của nội lực như hình vẽ. Đối với thanh cong, dấu của Qy và Nz được quy định hoàn toàn giống thanh thẳng. Riêng MX được gọi là dương khi mô men đó làm cho thanh cong hơn.

Σz = 0 ⇒ NZ = Psinϕ + 2Pcosϕ (1) Σy = 0 ⇒ QY = Pcosϕ - 2Psinϕ, (2) Σmo = 0 ⇒ Mx = -PRsinϕ + 2PR(1-cosϕ). (3)

Trong đó: O-Trọng tâm mặt cắt; z-Pháp tuyến ngoài; y- thẳng góc z (hướng tâm). Bảng biến thiên: ϕ 0 300 450 600 900

NZ 2P 2,232P 2,121P 1,866P P Qy P -0,134P -0,707P -1,23P -2P Mx 0 -0,232PR -0,121PR 0,134PR PR

Ta có nhận xét sau: Khi ϕ biến thiên từ 00 đến 300, lực cắt Qy đổi dấu từ dương sang âm, nên ∃ ϕ ∋ (0, 300) có Qy = 0.

Từ hình 1.30a, ta có: Pcos ϕ - 2Psinϕ = 0 , suy ra tgϕ = 21 ⇒ ϕ = 26040'.

Ta nhận thấy tại mặt cắt này Mx & Nz đạt cực trị, vì:

yx

yz RQ

ddM

;Qd

dN−==

ϕϕ

Thế ϕ = 26040' vào (1) và (3), ta tính được Nzmax và Mxmin : Nzmax = 2,236P; Mxmin = - 0,236PR.

Cuối cùng biểu đồ nội lực được biểu diễn trên hình 1.30c, d, e. CÂU HỎI TỰ HỌC

1.1. Thế nào là nội lực? Phương pháp mặt cắt để xác định nội lực ?. Những thành phần của nội lực. 1.2. Ngoài lực là gì ? Các dạng của ngoại lực, thứ nguyên và đợn vị của nó. 1.3.Vẽ các liên kết và biểu diễn các thành phần phản lực tại các liên kết đó. 1.4. Quy ước dấu của các thành phần nội lực? Hãy biểu diễn nó thông qua một đoạn thanh. 1.5. Quan hệ giữa lực phân bố q và lực cắt Qy, Mx. Các bước nhảy ở biểu đồ nội lực Qy và Mx xuất hiện ở đâu, dấu của bước nhảy đó. Khi nào thì trên biểu đồ Mx có cực trị, cách xác định nó. 1.6. Hãy tự vẽ biểu đồ Qy và Mx bằng phương pháp nhanh dựa vào các liên hệ vi phân giữa ngoại lực và nội lực và những nhận xét đã học. 1.7. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực đối với dầm chịu lực như trên hình 1.31 Hướng dẫn: Tách khớp D ta sẽ được hai dầm đơn giản và xét nội lực như bình thường

- - - %%%%%-- -

Hình 1.31: Sơ đồ chịu lực

2a a P

2aP

M0=2qa2

P P=4qa P

qP

AP B

PC P

D P

EP

31

Chương 2 KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM

2.1.KHÁI NIỆM Trong sức bền vật liệu, bài toán kéo đúng tâm là bài toán đơn giản nhất và cơ bản

nhất vì vậy trước tiên chúng ta nghiên cứu nó. 2.1.1. Định nghĩa: Thanh chịu kéo (hoặc nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là lực dọc Nz.

Nếu NZ > 0: ta nói rằng thanh chịu kéo đúng tâm. Nếu NZ < 0: ta nói rằng thanh chịu nén đúng tâm.

Hình 2.1a: Thanh chịu nén đúng tâm. Hình 2.1b: Thanh chịu kéo đúng tâm.

Người ta dùng phương pháp mặt cắt để xét sự cân bằng phần bên trái, chẳng hạn hình 2.1c.Từ điều kiện cân bằng, ta có phương trình:

Σz = 0; Nz - P = 0 => Nz = P > 0. 2.1.2. Ví dụ:Trong thực tế chúng ta thường gặp các cấu kiện chịu nén, kéo đúng tâm (hình 2.1):

- Dây cáp nâng vật của cần cẩu (hình 2.1d). - Ống khói (hình 2.1e). - Các thanh trong giàn (hình 2.1f). v.v...

2.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG 2.2.1. Quan sát biến dạng.

Như đã biết, môn học sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, nó vừa dựa vào các công cụ toán học, vừa dựa vào những kết quả rút ra từ những thí nghiệm để xây dựng các công thức tính ứng suất, biến dạng... Việc xem xét thực nghiệm là hết sức cần thiết, nó giúp cho ta bỏ qua một số đại lượng không cần thiết trong quá trình xét ứng suất và biến dạng. Như vậy bài toán trở nên đơn giản hơn, nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác

P P

P P

P NZ

1

1

a)

b)

c)

Hình 2.1: Ví dụ các thanh chịu kéo, nén đúng tâm

d) e) f)

32

cần thiết và hợp lý của các công thức được thiết lập. Vì vậy đối với các bài toán cơ bản bao giờ cũng bắt đầu từ quan sát thí nghiệm và xây dựng các giả thuyết để làm nền tảng cho việc thiết lập các công thức ứng suất và biến dạng sau này.

Ta kẻ trên bề mặt thanh các đường song song với trục thanh (tượng trưng cho các thớ dọc) và các đường vuông góc với trục thanh (tượng trưng cho các mặt cắt ngang) chúng tạo thành lưới ô vuông (hình 2.2a). Sau khi chịu lực, thanh bị biến dạng và lưới ô vuông trở thành lưới ô chữ nhật (hình 2.2b). 2.2.2. Các giả thuyết.

Căn cứ vào sự quan sát biến dạng ở trên, ngoài các giả thuyết ở chương mở đầu, trong chương này người ta đưa ra hai giả thuyết nữa.

* Giả thuyết I về mặt cắt ngang: Trong quá trình biến dạng các mặt cắt ngang luôn luôn phẳng và vuông góc với trục thanh.

* Giả thuyết II về các thớ dọc: Trong qúa trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau. 2.2.3. Công thức tính ứng suất. Xét mặt cắt ngang bất kỳ, chọn hệ trục Oxyz (hình 2.2c), O là trọng tâm mặt cắt ngang. Nội lực chỉ có NZ. Tách tại điểm A bất kỳ thuộc mặt cắt ngang một phân tố hình hình hộp bé (hình 2.2d).

* Dựa vào giả thuyết I, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp σz mà không có ứng suất tiếp. Thật vậy nếu có ứng suất tiếp thì mặt cắt ngang sẽ bị vênh không còn phẳng và vuông góc với trục thanh nữa (với giả thiết I).

* Dựa vào giả thuyết II, trên mặt cắt dọc không có ứng suất nào cả. Vậy trong trường hợp kéo, nén đúng tâm, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp

σz thôi. Nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF bao quanh A là σz dF. Tổng nội lực này trên toàn diện tích F của mặt cắt ngang là: Nz = ∫ σF zdF (a)

Ô vuông a)

Ô ch nht b)

c)

x

y

zNZ

O

A

dF

1 2 2’

1 2’ 2’

δ(dz) dz

NZ NZ O1 O2

A σZσZ

d) e)

Hình 2.2: Quan sát biến dạng: a- Đường kẻ ô vuông trước khi chịu lực

b- ng k ô vuông sau khi chu lc; c d e- Ni lc

NZ

P P

33

* Ta xét thêm điều kiện biến dạng: Xét phân tố chiều dài dz (hình 2.2e). Giả sử cố định mặt cắt 1-1, khi có Nz tác dụng, mặt cắt 2-2 di chuyển đến 2'-2'. Do giả thuyết I nên mọi điểm thuộc mặt cắt 2'-2' thẳng góc trục thanh, nên mọi thớ dọc đều giãn dài như nhau và bằng δ (dz).

Gọi εz là biến dạng dọc tỷ đối, ta có: constdz

)dz(z =

δ=ε (b)

* Theo định luật Hooke: E

zz

σ=ε (c)

Với E: hằng số tỉ lệ, gọi là mođuyn đàn hồi, nó phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ ...và có thứ nguyên [lực/(chiều dài)2]. Đơn vị thường dùng KN/cm2, MN/m2,.E xác định được bằng thí nghiệm (bảng 2.1).

Từ (b) và (c) => σz = E εz = const đối với mọi điểm trên cùng một mặt cắt ngang

và từ (a) => Nz = σz ∫FdF = σzF => σz = F

Nz (2-1)

Trong đó F: Diện tích mặt cắt ngang, dấu của σz giống như dấu của Nz đã qui ước ở mục 1.3 chương 1. Bảng 2.1: Giá trị E của một số vật liệu

Vật liệu E (N/m2) Thép (0,15 ÷0,20%) C 20.1010

Thép lò xo 22.1010

Thép Niken 19.1010 Gang xám 11,5.1010

Đồng 12.1010

Đồng thau (10 ÷12).1010 Nhôm (7 ÷8).1010 Gỗ thớ dọc (0,8÷1,2).1010

Như vậy trong kéo (nén) đúng tâm, trên mặt cắt ngang, ứng suất pháp phân bố đều. 2.3. BIẾN DẠNG - HỆ SỐ POISSON (POÁT XÔNG) µ. 2.3.1. Biến dạng dọc.

Ta đã có biến dạng của dz là δ(dz) = εzdz. Vậy độ biến dạng dài tuyệt đối của đoạn l là ∆l = ∫ ∫ ε=δ

l lzdz)dz(

Hay ∫∫ =σ

=∆l

z

l

z dzEFNdz

El (2-2)

- Nếu trên suốt l: E = const, F = const, Nz = const, thì ∆l = EF

lNz (2-3)

- Trường hợp thanh có thể chia làm n đoạn sao cho tích số ii

i

FEN là hằng số

trong

từng đoạn, thì ∆l sẽ là: ∑=

⋅=∆

n

1i ii

izi

FElN

l (2-4)

Tích số EF: Gọi là độ cứng của thanh khi kéo hay nén đúng tâm.

34

- Trường hợp thanh có các đoạn li, mà trong mỗi đoạn ii

zi

FEN là một hàm số liên

tục, thì biến dạng dài của đoạn thanh được tính:

∑∫=

⋅=∆

n

1i

l

0 ii

zii

FEdzN

l

2.3.2. Biến dạng ngang. Ta nhận thấy rằng khi thanh chịu kéo, chiều dài của nó giãn ra, còn bề ngang thì co

lại, trái lại khi thanh chịu nén thì chiều dài của nó co lại, chiều ngang phình ra. Như vậy khi kéo, nén thì phương ngang cũng bị biến dạng. Giữa biến dạng ngang

tỷ đối εng và biến dạng dọc tỷ đối εd có mối liên hệ: dng ε⋅µ−=ε

Trong đó: µ - hệ số Poisson, nó được xác định được bằng thí nghiệm . Hệ số µ phụ thuộc vào từng loại vật liệu, trị số µ = 0 ÷0,5.

Dấu − chứng tỏ εng luôn luôn ngược dấu với εd. Thép: µ = 0,25 ÷ 0,33; Gang: µ = 0,23 ÷ 0,27; Nhôm: µ = 0,32÷ 0,36; Bê tông: µ

= 0,08 ÷ 0,18; Cao su : µ = 0,47 Ví dụ1:Vẽ biểu đồ lực dọc Nz và tính ứng suất, biến dạng toàn phần của thanh. Vẽ biểu đồ biến dạng (chuyển vị) của thanh chịu lực như hình 2.3a, biết E = 2.104

KN/cm2. Mặt cắt ngang có diện tích F = 1cm2. a) Vẽ NZ: Dùng phương pháp mặt cắt: 1-1, 2-2, 3-3 và xét cân bằng phần trên

có N1, N2, N3. Phản lực tại ngàm : Σ z = 0 => VA (hướng lên). Trên AB: Dùng mặt cắt 1-1 và xét cân bằng phần trên :Σz = 0 => N1 = VA = 10KN Tương tự trên BC: N2 = -10 KN, N3 = 30KN. b) Tính ứng suất:

Đoạn 1: σ1 = 21 cm/KN101

10F

N==

Đoạn 2: σ2 = 22 cm/KN10110

FN

−=−

=

Đoạn 3: σ3 = 23 cm/KN301

30F

N==

Biểu đồ biến dạng diễn tả sự biến dạng của mặt cắt ngang theo vị trí của chúng đối với một gốc cố định nào đấy. Ở đây gốc là đầu ngàm và tính từ ngàm ra với công thức:

∑∫=∆z

0

1

EFdzN

l

Đoạn 1: 0 ≤ z ≤ 20 (cm):

2z

0411 10

110.22010dzN

EF1l −+=

××

==∆ ∫

35

c) Vẽ biểu đồ biến dạng (Chuyển vị):

Đoạn 2: 20 (cm) ≤ z ≤ 60 (cm) :

cm101102

401010100dzNdzNEF1l 2

44

20

0

z

20212

−− −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×⋅×

+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=∆ ∫ ∫

Đoạn 3: 60 (cm) ≤ z ≤ 100 (cm) :

cm105dzNdzNdzNEF1l 2

20

0

60

20

100

603213

−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=∆ ∫ ∫ ∫

d) Biến dạng toàn phần:

∆l = 110.2

4030110.2

4010110.2

2010EF

lN44

3

1i4

ii

××

+×

×−

××

=∑=

= 500 × 10-4 cm

Biểu đồ (Nz) ,(∆l) như trên hình 2.3b,c. 2.4. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG

Trên đây chúng ta đã tìm được quy luật phân bố và công thức để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang khi thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm. Bây giờ chúng ta hãy nghiên cứu quy luật và giá trị của ứng suất trên một mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến làm với trục thanh một góc α.

Để làm được điều đó, ta tưởng tượng tách ra khỏi thanh một phân tố bằng các mặt cắt 1-1, 2-2 và 3-3 như trên hình 2.4a.

Phân tố đó chịu tác dụng của các ứng suất được biểu diễn trên hình 2.4b.

Nếu gọi diện tích AB là dF, ứng suất ở mặt cắt vuông góc với trục thanh này là σz, thì diện tích ở mặt cắt nghiêng

a) b) c) Hình 2.3: Vẽ biểu đồ nội lực và biến dạng toàn phần

VA=10KN A

B

C

D

1

2

3 3

2

1

200

400

400

1010

10 30

30

10- 2

10- 2

5.10- 4

20KN

40KN

30KN

z

NZ(KN) ∆l(cm)

Hình 2.4: Tính ứng suất trên ặt ắt hiê

P P

1

1

2 2

3

3

σz

σU

τUV

A

B

C V

u

αα

a)

b)

36

BC sẽ là αcos

dF và trên mặt cắt nghiêng này sẽ có ứng suất pháp σu hay σα và ứng suất

tiếp τuv hay τα tác dụng. Chúng ta xem σα, τα cũng phân bố đều trên mặt nghiêng BC. Để xác định σu, τuv ta xét sự cân bằng của phân tố đó. Để có giá trị σu, ta chiếu tất

cả các lực lên trục u: ( ) 0cosdFcos

dFuP zu =⋅⋅−=∑ ασα

σ (1)

Ta tiếp tục chiếu các lực lên trục V để xác định τuv.

( ) 0sindFcos

dFvP zuv =⋅⋅−=∑ ασα

τ (2)

Từ (1) và (2) ta có: σu = σz .cos2α = σz ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+

22cos1

τuv = σz .sinα. cosα = ασ 2sin2

z

Từ công thức (2-6) ta thấy ứng suất pháp σu đạt giá trị lớn nhất khi cos2α = 1 tức là α = 0 hoặc α = 1800, có nghĩa là mặt cắt nghiêng này trở thành mặt cắt ngang và nó có giá trị nhỏ nhất khi cos2α = -1 hay α = 900, tức là mặt cắt nghiêng trở thành mặt cắt dọc. Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất là: max σα = σ z =Nz/F ; min σα = 0 .

Ứng suất tiếp τα sẽ đạt giá trị lớn nhất khi sin2α = 1 hay α = 450, tức là khi mặt

cắt nghiêng có pháp tuyến ngoài u hợp với trục thanh một góc 450: max τα = 2

zσ .

Chúng ta hãy thử tìm các ứng suất ở mặt cắt vuông góc với mặt cắt nghiêng vừa rồi, để xem ứng suất ở 2 mặt vuông góc với nhau có mối liên hệ nào không ?

Có thể tiến hành theo các bước vừa rồi, bằng cách thay mặt cắt [3-3] thành mặt cắt vuông góc với nó, sau đó chúng ta cũng sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường như đã làm ở trên, cuối cùng ta cũng có được biểu thức các giá trị ứng suất ở mặt cắt vuông góc với mặt nghiêng vừa rồi. Thế nhưng cũng có cách làm đơn giản hơn

là chúng ta thay góc α bằng góc β = α + 2π vào công thức (2-6). Ta sẽ có kết quả :

σβ = ( )ασπασ

2cos12

)2

cos(12

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++ ZZ

τβ = ασ−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ασ 2sin

222sin

2zZ

Qua các công thức (2-6), (2-7), chúng ta rút ra các kết luận sau: 1- Mặt cắt có giá trị ứng suất lớn nhất khi kéo, nén đúng tâm là mặt cắt ngang

và cũng chính là mặt cắt nguy hiểm nhất : σz = F

NZ .

2- Tổng của 2 giá trị ứng suất pháp ở 2 mặt cắt nghiêng vuông góc đó:

σα + σβ = ZZZ )2cos1(

2)2cos1(

2σ=α−

σ+α+

σ = const (2-8)

Như vậy tổng giá trị ứng suất pháp ở 2 mặt cắt vuông góc với nhau là một hằng số, không phụ thuộc vào các giá trị α và β. Tổng số này được gọi là lượng bất biến bậc nhất, nó có ý nghĩa đối với các bài toán cơ học sau này. Đồng thời nó giúp ta tìm giá trị

(2-7)

(2-6)

37

của ứng suất trên mặt cắt nghiêng nào đó nếu biết được giá trị ứng suất trên mặt cắt ngang và một mặt vuông góc với nó.

3- Giá trị ứng suất tiếp trên hai mặt vuông góc với nhau :

τα = - τβ = ασ 2sin2

Z .

Nghĩa là ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc với nhau có giá trị bằng nhau và ngược dấu nhau. Theo quy ước dấu đối với ứng suất tiếp đã biết, thì 2 ứng suất tiếp chỉ có thể cùng hướng vào giao tuyến chung hoặc cùng xuất phát từ giao tuyến chung (xem hình 2.5). Điều này được gọi là luật đối ứng của ứng suất tiếp. 2.5. ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU

Muốn hiểu rõ tính chất cơ học của vật liệu ta cần thí nghiệm kéo, nén để quan sát tính chất chịu lực và quá trình biến dạng từ lúc bắt đầu chịu lực đến khi phá hỏng.

Phân loại vật liệu: Căn cứ vào biến dạng và sự phá hỏng, khả năng chịu kéo, nén khác nhau, người ta phân loại vật liệu thành hai loại cơ bản:

+ Vật liệu dẻo: bị phá hủy khi biến dạng khá lớn (thép, đồng, nhôm...). + Vật liệu giòn: bị phá hủy khi biến dạng còn khá bé (gang, đá, bê tông...).

2.5.1. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo (thép). a) Mẫu thí nghiệm: Theo TCVN 197-66 (hình 2.6a). Có đường kính: d0 = 3 ÷25 mm. Có chiều dài: l0 = (5÷10) d0 . b) Tăng lực từ 0 đến khi mẫu

đứt. c) Phân tích kết quả .

Khi thí nghiệm, trên bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận được đồ thị quan hệ giữa lực P và biến dạng dài ∆l của mẫu (hình 2.6). Ngoài ra sau khi mẫu đứt, ta chắp mẫu lại để biết chiều dài khi đứt và diện tích ở chổ bị đứt. * Đặc trưng tính bền: Đồ thị P-∆l chia thành ba giai đoạn rõ rệt:

+ OA- Giai đoạn đàn hồi, P-∆l quan hệ bậc nhất.

Giới hạn tỉ lệ : 0

tltl F

P=σ

F0- Diện tích mặt cắt ngang ban đầu.

+ BC- Giai đoạn chảy: Lực không tăng, biến dạng tăng, giá trị lực là Pch (lực chảy). Đoạn BC gọi là diện chảy,

a)

τ > 0 τ < 0 τ < 0 τ > 0

b) Hình 2.5: Chiều ứng suất trên hai mặt cắt vuông góc

với nhau

d 0

a)

b)

c)

d 1

F0 l0

l1

F1

Hình 2.6: Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo

a- Mu thí nghim; b- Tng lc; c- Quan h gia bin dng và lc kéo

PPb

Pch

Ptl

O

A

C

B

E

∆l

D

38

vật liệu càng dẻo thì diện chảy càng lớn.

Giới hạn chảy: 0

chch F

P=σ

+ CDE - Giai đoạn củng cố (tái bền): Lực lớn nhất là lực bền pb .

Giới hạn bền: 0

bb F

P=σ

- Ba đại lượng σtl, σch, σb là ba đặc trưng về tính bền của vật liệu . Chú ý: Giai đoạn AB xảy ra rất ngắn, nên ta không để ý đến. * Đặc trưng tính dẻo của vật liệu:

+ Độ biến dạng dài tỷ đối tính theo phần trăm: %100l

ll

0

01 ×−

=δ

+ Độ thắt tỷ đối tính theo phần trăm: %100F

FF

0

10 ×−

=ψ

Với l1 - Chiều dài mẫu sau khi đứt; F1- Diện tích mặt cắt ngang mẫu, chỗ đứt. d) Biểu đồ σ - ε (biểu đồ qui ước) .

Biểu đồ P - ∆l (không chỉ rõ các đặc trưng tính bền của vật liệu), nên người ta lập biểu đồ qui

ước σ - ε với σ= 00 ll,

FP ∆

=ε gọi là biểu đồ quy ước,

vì khi tác dụng lực thì diện tích mặt cắt thay đổi, nhưng ta không thể đo được ở từng thời điểm nên trong công thức tính σ và ε ta vẫn lấy diện tích ban đầu F0 và chiều dài ban đầu l0.

Biểu đồ (σ - ε) cho thấy rõ các giới hạn σ tl,

σ ch, σ b và cả mođuyn đàn hồi : α=εσ

= tgE

2.5.2. Thí nghiệm nén vật liệu dẻo. a) Mẫu hình trụ tròn hay lập phương (h≤ 2d),(hình 2.8b, 2.8c). b) Thí nghiệm tăng lực từ 0 đến P và nhận được biểu đồ P-∆l. c) Kết quả ta cũng nhận được ba giai đoạn được biểu diễn trên hình 2.8a.

+ Giới hạn tỷ lệ: o

tltl F

P=σ

Hình 2.8: Thí nghiệm nén vật liệu dẻo

P Pch

Plt

∆l

a) b) c)

d

h

σb

O

ε

σch

σtl

σ

α

tgα= E

Hình 2.7: Biểu đồ quy ước σ-ε

39

+ Chảy với lực chảy Pch và giới hạn chảy: 0

chch F

P=σ

+ Củng cố, nhưng không xác định được lực bền vì lúc này mẫu phình ra dạng trống, diện tích mặt cắt ngang tăng và sức chịu đựng tăng lên. 2.5.3. Thí nghiệm kéo vật liệu giòn (gang).

a) Mẫu: Giống mẫu vật liệu dẻo trong thí nghiệm kéo, (xem hình 2.6a). b) Thí nghiệm tăng lực từ 0 đến khi mẫu đứt. Thực chất đối với vật liệu giòn do tính đồng nhất, liên tục kém nên quan hệ giữa

lực và biến dạng không tuân theo đinh luật Hooke, có nghĩa là đường OA là đường cong và biến dạng tương ứng với lực bền là rất bé. Tuy nhiên một cách gần đúng có thể chấp nhận được, người ta có thể xem vật liệu vẫn tuân theo định luật Hooke, có nghĩa là xem đường OA gần như đường thẳng. Các tính toán sau này vẫn sử dụng được định luật Hooke.

c) Kết quả: Đồ thị P-∆l là một đường cong và vật liệu chỉ có giới hạn

0

bb F

P=σ . Giới hạn bền này thấp so với vật liệu dẻo (hình 2.9). Mẫu bị đứt khi biến dạng

còn bé.

2.5.4. Nén vật liệu giòn. a) Mẫu giống vật liệu dẻo trong thí nghiệm nén b) Thí nghiệm: Tăng lực từ 0 đến lúc mẫu vỡ c) Kết quả: ta nhận thấy đồ thị P- ∆l giống như khi kéo và cũng có giới hạn

bền: 0

bnb F

P=σ

Giới hạn này khá lớn so với giới hạn bền khi kéo vật liệu giòn (xem hình 2.10). Ví dụ: Gang xám có: ≈σk

b 250 MN/m2 nhưng ≈σnb 1000 MN/m2.

Như vậy giới hạn bền của vật liệu giòn khi chịu nén lớn hơn nhiều so với độ bền khi kéo. Đây là một tính chất quan trọng, đối với những kết cấu chủ yếu chịu nén thì việc sử dụng vật liệu giòn là tốt, nhưng đối với những kết cấu chủ yếu chịu kéo thì khi sử dụng vật liệu giòn phải có tính toán khá cụ thể. 2.6. ỨNG SUẤT CHO PHÉP - HỆ SỐ AN TOÀN - BA BÀI TOÁN CƠ BẢN.

Pb A

∆l ∆lO

Hình 2.9:Quan hệ iữ P ∆l

Pb A

∆l ∆l O

Hình 2.10: Quan hệ giữa P-∆l khi kéo vật

liệu giòn

P P

40

Khi tính độ bền của công trình hay chi tiết máy, cần phải đảm bảo chúng không phát sinh vết nứt hay gãy đứt tức là ứng suất trong hệ phải nhỏ hơn một giới hạn nguy hiểm σ0 qui định cho từng loại vật liệu : max ⎢σz⎢≤ σ0 2.6.1. Ứng suất cho phép - hệ số an toàn.

- Đối với vật liệu dẻo, có giai đoạn chảy tức là giai đoạn lực không tăng mà biến dạng vẫn tăng sẽ nguy hiểm đến sự làm việc của hệ, cho nên người ta chọn:

σ0 = σkch = σn

ch= σch - Trái lại đối với vật liệu giòn thì vì các cấu kiện bị phá hoại khi biến dạng còn bé,

nên người ta chọn : σ0 = ⎪⎩

⎪⎨⎧

σ

σnb

kb với k

bσ khi kéo, nbσ khi nén.

- Trong tính toán, để an toàn người ta không dùng trực tiếp σ0 mà dùng một đại lượng khác bé hơn gọi là ứng suất cho phép, kí hiệu [σ] và ta có:

max ⎢σz ⎢ ≤ [σ]

Trong đó: [σ] = n

0σ với n > 1 gọi là hệ số an toàn.

và ta có: Với vật liệu giòn: n

][;n

][nb

n

kb

kσ

=σσ

=σ

vật liệu dẻo: n

][][][ chnk

σ=σ=σ=σ

- Hệ số an toàn n>1 được chọn phụ thuộc vào: + Tiêu chuẩn của vật liệu. + Điều kiện làm việc của công trình, chi tiết máy, nguyên nhân ngoài chưa xác

định được chính xác. + Tầm quan trọng của công trình, tính lâu dài của công trình. + Phương pháp và công cụ tính toán. + Trình độ của người thiết kế, thi công. Như vậy để đảm bảo điều kiện bền ta cần có:

max ⎢σz ⎢ = ][F

Nmax z σ≤

2.6.2. Từ bất phương trình trên ta có ba bài toán cơ bản. a) Kiểm tra bền: Biết [σ], F, Nz ta cần kiểm tra:

max ⎢σz ⎢ = ][F

Nmax z σ≤ (±5%)

(1) b) Chọn kích thước mặt cắt ngang: Biết [σ], P, xác định [F]. Ta xác định [F] khi biết [σ], tải trọng :

F ≥ = [ ]σzNmax

(2)

c) Xác định tải trọng cho phép: Biết [σ], F, xác định [P]. Ta xác định [P] từ max |Nz| ≤ [σ] F (3) Ta có thể chọn F nhỏ hơn một ít để có kích thước theo tiêu chuẩn hoặc để dễ chế tạo

(không thỏa mãn bất phương trình (2) hoặc P lớn hơn một ít (không thỏa mãn (3)). Thế nhưng lúc đó phải kiểm tra lại xem (1) có thỏa mãn không với sự chênh lệch không quá 5%.

41

Ví dụ 2 : Cho một hệ chịu lực như trên hình 2.11. a) Kiểm tra bền thanh AB. b) Định số hiệu thép dùng cho BC ? Cho biết [σ] = 14KN/cm2; d = 2,2cm, P = 20KN.

Giải :

a) Tách nút B: kN52N020135N0y ABAB =⇒=−⇒=∑ .

kN48N0N1312N0x BCBCAB −=⇒=+⇒=∑ .

b) Tính ứng suất:

[ ]σ<===σ 22

ABAB cm/kN8,13

)1,1.(14,352

FN ,Thanh AB đủ bền.

c/ Xác định diện tích FBc: [ ]2BC

BC cm43,31448N

F ==σ

≥

Tra bảng thép L chọn hai thanh L25 × 25 ×4 có F = 2 × 1,86 = 3,72 cm2. Không thể chọn thép L 25×25×3 được vì lúc đó diện tích ghép sẽ là 1,43×2 = 2,86 cm2 nhỏ quá nhiều so với kết quả tính toán (F = 3,43cm2), nên phải chọn số hiệu lớn hơn tiếp theo đó là L 25×25×4 như đã làm.

Ví dụ 3: Một trục bậc chịu lực như hình vẽ 2.12. Hãy tiến hành tính toán theo ba trường hợp :

a) Trục làm bằng gang (vật liệu giòn) có [σ]k = 9 KN/cm2, [σ]n= 15 KN/cm2, P=30 kN, F1=10 cm2, F2 = 4 cm2.

Dựa vào phương pháp mặt cắt, ta xác định và vẽ biểu đồ lực dọc trên hình 2.12b. N1= 4P = 120 KN σ1 = 12 KN/cm2

N2= -2P = -60 KN => σ2 = -15 KN/cm2

N3= P = 30 KN σ3 = 7,5kKN/cm2 |σ2| ≤ [σ]n = 15KN/cm2

σ3 < [σ]k

σ1 > [σ]k: Đoạn I không bền. Vậy trục không bền.

b) Trục làm bằng vật liệu dẻo có [σ] = 16KN/cm2, P = 30KN, hãy chọn kích thước mặt cắt ngang F1, F2 = ?.

a)

A

C B

PP

5 cm

d=2,2 cm

NBC

NAB

B

P b)

Hình 2.11: Kiểm tra bền và xác định kích thước

12cm

y

x

42

Theo công thức xác dịnh diện tích mặt cắt ngang :

211 cm5,7

16120

][NF ==σ

≥ (1)

222 cm75,3

1660

][N

F ==≥σ

(2)

233 cm85,1

1630

][N

F ==σ

≥ (3)

Từ (1), (2), (3) chọn [F1] = 7,5cm2, [F2] = 3,75 cm2. c) Trục làm bằng vật liệu dẻo có [σ] = 16KN/cm2, F1=10cm2, F2 = 4cm2 Xác định tải trọng cho phép [P] Từ điều kiện bền ta có: N1 = [σ] F1= 16.10 = 160KN => 4P ≤ 160 => P ≤ 40KN (4) |N2| = 2P ≤ [σ] F2 = 16.4 = 64KN => P ≤ 32KN (5) N3 = P ≤ [σ] F2 = 16.4 = 64KN => P ≤ 64KN (6) Từ (4), (5), (6) chọn [P] =32kN (Giá trị nhỏ nhất).

2.7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH . 2.7.1. Bài toán tĩnh định: Để tìm các ẩn như phản lực, nội lực trên mặt cắt ngang... Nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập thôi, thì ta gọi đó là bài toán tĩnh định.

Số phương trình cần bằng tĩnh học độc lập = số ẩn số (các đại lượng cần xác định). 2.7.2. Bài tóan siêu tĩnh:

Là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập thì sẽ không giải được tất cả các phản lực, nội lực trên mặt cắt ngang (số ẩn số lớn hơn số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập).

Bậc siêu tĩnh n = số ẩn số - số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập. 2.7.3. Cách giải bài toán siêu tĩnh bậc n.

Ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập, ta phải lập thêm n phương trình

a)

P3=P

P1= 6P

P2= 3P

F1 (1)

(2)

(3) F2

4P

4P 2P

2P P

P

b)

Hình 2.12: Tính độ bền của trục a cho các trường hợp vật liệu khác

nhau

(Nz)

43

biến dạng nữa. Ví dụ 4: Xác định phản lực tại A, B (xem hình 2.13) . Thay ngàm A, B bằng các phản lực, ta có phương trình:

VA + VB-P = 0 (1) Để hệ cũ tương đương như hệ mới, ta phải có biến dạng ∆l=0.

Và từ đó ⇔ 0lEF

b)VP(EF

a.V AA =∆=⋅−

−+ (2)

Giải (1) và (2), ta được: VB = baaP

+⋅ và từ (1) ta có VA =

babP

+⋅

Khi đã có VA, VB thì việc vẽ biểu đồ lực dọc là đơn giản (xem hình 2.13c). * Ví dụ 5: Tìm ứng suất trong thanh một và hai (2 thanh cùng vật liệu và có

F1=F2= 12cm2). Giả sử AD tuyệt đối cứng (xem hình 2.14) Cắt thanh 1 và 2 xem hình 2.14b, xét cân bằng phần dưới ta có: ΣmA

= 0 => P.3a - N1.a - N2.2a = 0. Vậy N1 + 2N2 = 3P (1) Chú ý: Ngoài phương trình mô men lấy với điểm A, ta không thể tìm một phương

trình cân bằng độc lập nào nữa cả, nên phải xét thêm điều kiện biến dạng của hệ:

21

a2a

2

1 ==∆∆ , với ∆1; ∆2 lần lượt là biến dạng dài của thanh 1 và thanh 2 như

trên hình 2.14a.Ta có: ∆2 = 2∆1 => EF

lN2EF

lN 1122 = (2)

mà l1 = l2 , suy ra: N2 = 2N1 (3) Thế (3) vào (1) => N1 = 96 (KN) (3) => N2 = 192 (KN)

Hình 2.13: Phương pháp giải bài toán siêu tĩnh

a)

b)

c)

a b

PA B

VA P VB

P-VB P-VB

VB VB

44

Từ giá trị N1, N2 , ta dễ dàng tính được ứng suất trong 2 thanh 1 và 2. 2.8.THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI.

Thế năng biến dạng đàn hồi là một vấn đề lớn của cơ học vật rắn biến dạng, nó giúp ta giải quyết một số vấn đề cơ học quan trọng. Trong mục này ta trình bày vấn đề xác định thế năng biến dạng đàn hồi của một thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm. Từ kết quả này chúng ta sẽ suy luận tương tự cho các dạng chịu lực khác.

Chúng ta xét một thanh chịu kéo như trên hình 2.15a. Lực P tăng từ 0 đến một giá trị P nào đó, trong quá trình này điểm đặt lực P di chuyển xuống dưới và lực sẽ sinh ra một công A, đó là công của ngoại lực. Công này gây nên biến dạng của thanh và cũng có nghĩa là tạo nên cho thanh một thế năng gọi là thế năng biến dạng đàn hồi. Ta tăng lực P thêm một lượng P+dP thì biến dạng của nó cũng tăng một lượng d∆l (hình 2.5b).

Vậy lượng công tăng lên là dA sinh ra do lực P+dP được tính:

dA = (P+dP) d∆l =Pd∆l + dPd∆l. Bỏ qua vô cùng bé bậc cao dPd∆l, ta có: dA =Pd∆l Công này được biểu diễn bằng phần có gạch chéo trên hình 2.15b. Với lý luận này

công của thế năng biến dạng đàn hồi của thanh khi lực kéo tăng từ 0 đến giá trị P nào đó

sẽ là : A= ∫∫ ∆⋅=P

0

P

0ldPdA

Như ta đã biết ∆l = EFPl , nên d∆l = dP

EFl .

Thay giá trị này vào A ta sẽ có:

Hình 2.14: Tính ứng suất trong thanh 1 à 2 ủ dầ

a a a1 2

P

∆1

∆2A D

D’

P

A

b)a) N1 N2

Hình 2.15: Tính thế năng biến dạng đàn hồi của một thanh chịu kéo hoặc

nén đúng tâm

∆l d∆l

∆l

P

d∆l ∆l

l

a) b)

P

P+dP

P

A

C O

45

A = 2

lPEFl

2PdP

EFlP

P

0

2 ∆=⋅=⋅∫ .

Biểu thức này chính bằng diện tích tam giác OAC ở hình 2.15b. Nếu bỏ qua sự mất mát năng lượng thì công đó như đã nói là thế năng biến dạng đàn hồi U của thanh :

A = U = EF2

lP2

(2-11)

CÂU HỎI TỰ HỌC:

2.1. Cho một số ví dụ về các thanh chịu kéo và nén đúng tâm. 2.2. Cách thiết lập công thức tính ứng suất pháp ở mặt cắt ngang và mặt cắt xiên ? 2.3. Công thức tính biến dạng, các trường hợp trong thực tế có thể gặp ? 2.4. Tóm tắt quá trình xác định các đại lượng đặc trưng cơ học của vật liệu ? 2.5. Thế nào là ứng suất nguy hiểm, σ0, ứng suất cho phép ? 3.6. Điều kiện bền và 3 dạng bài toán cơ bản khi kéo nén đúng tâm ? 2.7. Bài toán siêu tĩnh, cách giải các bài toán siêu tĩnh ?

--- ---

49

Chương 3

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.1. KHÁI NIỆM. 3.1.1. Khái niệm.

Như trong bài toán kéo nén đúng tâm, ta đã thiết lập công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ:

⎪⎩

⎪⎨⎧

ασ=τ

ασ=σ

α

α

)b(2sin21

)a(cos2

Trong đó α là góc giữa pháp tuyến của mặt cắt và trục thanh. Rõ ràng khi α thay đổi, các ứng suất pháp σα, ứng suất tiếp τα đều thay đổi theo qui luật (a) và (b). Nhưng trong những thanh chịu lực phức tạp hơn (thanh bị uốn, xoắn v.v...) thì vấn đề xác định qui luật biến thiên của ứng suất theo góc nghiêng α của mặt cắt cũng phức tạp hơn.

Trong chương này, chúng ta sẽ xác định qui luật biến thiên đó. Vì thế nếu biết được qui luật biến thiên ứng suất tại một điểm thì ta có thể xác định được tại điểm đó mặt cắt nào có ứng suất lớn nhất.

Định nghĩa trạng thái ứng suất: Trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái chịu lực của điểm đang xét, được đặc trưng bởi tập hợp các giá trị ứng suất pháp và ứng

suất tiếp trên những mặt cắt vô cùng bé (VCB) khác nhau đi qua điểm đó. Để xác định ứng suất tại một điểm trong vật thể đàn hồi, ta tách riêng ra một hình hộp có kích thước vô cùng bé VCB (gọi là phân tố) bao quanh điểm đó. Chú ý rằng các cạnh của phân tố là VCB, nên ta có thể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các mặt của phân tố được xem như ứng suất trên các mặt đi qua điểm đó. Trong lý thuyết đàn hồi, người ta đã chứng minh được rằng: "Tại một điểm bất kỳ thuộc vật thể đàn hội chịu lực, ta luôn luôn có thể tách ra được một phân tố sao cho trên các mặt của nó

chỉ có các ứng suất pháp mà không có ứng suất tiếp, τ = 0". Phân tố đó được coi là phân tố chính, các mặt của phân tố gọi là mặt chính, các ứng suất pháp trên các mặt gọi là các ứng suất chính, phương pháp tuyến của các mặt gọi là phương chính.

Một phân tố hình hộp có sáu mặt, như vậy nói chung có sáu thành phần ứng suất chính. Nhưng do điều kiện cân bằng, các mặt đối diện có các thành phần ứng suất chính bằng nhau về trị số và ngược chiều nhau, do đó chỉ có ba ứng suất chính. Ta ký hiệu các ứng suất chính σ1, σ2, σ3 với thứ tự qui ước σ1 >σ2 >σ3 (so sánh như số thực).

Hình 3.1:Phân tố vô ù bé σ1=2 KN/cm2

Hình 3.2: Phân tố chinh

σ1

σ3 σ3= -10KN/cm2

σ2= 3 KN/cm2

σ2

50

Ví dụ: σ1 = 2KN/cm2; σ2 = 3KN/cm2; σ3=-10KN/cm2

3.1.2. Phân loại trạng thái ứng suất. Căn cứ vào các ứng suất chính trên một phân tố chính, ta phân ba loại trạng thái

ứng suất: a) Trạng thái ứng suất đơn: Trên phân tố chính chỉ có một ứng suất chính khác

không và hai ứng suất chính khác bằng không. Đó là trường hợp thanh chịu kéo (hay nén) đúng tâm, (xem hình 3.3a).

b) Trạng thái ứng suất phẳng: Trên phân tố chính chỉ có hai ứng suất chính khác không và một ứng suất chính bằng 0, (xem hình 3.3b)

c) Trạng thái ứng suất khối: Trên phân tố chính có đủ ba ứng suất chính khác không, (xem hình 3.3c).

Trong giáo trình sức bền vật liệu, chúng ta chủ yếu chỉ quan tâm đến trạng thái ứng suất phẳng. Từ đó có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn. Còn trạng thái ứng suất khối được nghiên cứu kỹ trong giáo trình lý thuyết đàn hồi. 3.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG. 3.2.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng .

Giả sử tại K, ta tách ra khỏi vật thể đàn hồi chịu lực một phân tố có các mặt song song với mặt phẳng của hệ tọa độ, trong đó mặt vuông góc với trục Oz là một mặt chính không có ứng suất pháp tác dụng (hình 3.4), còn các mặt kia là bất kỳ nên có đủ các thành phần ứng suất. Ta ký hiệu các ứng suất đó như sau:

- Ứng suất pháp σ có kèm theo một chỉ số, chỉ số này biểu diễn phương của pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tác dụng (σx - Ứng suất pháp theo phương x).

- Ứng suất tiếp có hai chỉ số: Chỉ số thứ 1 chỉ phương của pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tiếp tác dụng, chỉ số thứ 2 biểu diễn phương song song với ứng suất tiếp (τxy là ứng suất tiếp trên mặt phẳng có pháp tuyến ngoài là x và ứng suất này nằm theo phương y).

c)

σ2

σ2

σ3 σ3

σ1

b)

σ1

σ1

σ3 σ3

a)

σ1 σ1

σ1

Hình 3.3.Các trạng thái ứng suất:a- Trạng thái ứng suất đơn; b-Trạng thái ứng suất phẳng; c- Trạng thái ứng suất khối.

51

Giả sử đã biết σx, σy và τxy, bây giờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp và tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ song song với Oz.

Tưởng tượng cắt phân tố bởi một mặt cắt (R) có pháp tuyến u làm với trục x một góc α. Mặt (R) // Oz, mặt này cắt phân tố ra hai phần (A) và (B), xem hình 3.5.

Giả sử xét cân bằng phần (A). Gọi σu, τuv tác dụng trên mặt cắt nghiêng (α). Ta xét các lực tác dụng trên các mặt của phần (A), (xem hình 3.6, 3.7). Gọi các cạnh lần lượt là dx, dy, dz, ds.

Trên diện tích dy.dz có các hợp lực σxdydz và τxydydz. Trên diện tích dx.dz có các hợp lực σydzdx và τyxdzdx. Trên diện tích dz.ds có các hợp lực σudzds và τuvdzds.

Dễ dàng xác định ds = α

=α sin

dxcosdy

- Viết phương trình mô men với điểm O':

02

dy.dzdx2

dx.dydz0m yxxy'o =τ−τ⇒=∑

yxxyyxxy τ−=τ⇒τ=τ⇒ (3-1)

Kết quả này được gọi là định luật đối ứng của ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc nhau.

τyxdxdz

σydxdz

τxydydz

σxdydzσudzds

τudzds

α

u

v

y

z

x

u

v

O’

α

τuv

τy

x

τx

y

σx

σy

Hình 3.6: Các lực tác dụng lên phần A

của phân tố

Hình 3 .7: Các lực tác dụng lên phần A

của phân tố

O’

Hình 3.4:Phân tố có một mặt chính không có ứng suất pháp

σy

σy σy

σy

σx

σx

σx

σx

y y

x x

z z

τxy

τxy τxy

τyx

τyx τyx

τyxA

B

Hình 3.5: Thiết lập ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kì song song

τxy

(R)

52

- Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục u ta có:

∑ ατ−ασ−σ

+σ+σ

=σ⇒= 2sin2cos22

0U xyyxyx

u (3-2)

- Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục V ta có:

∑ ατ+ασ−σ

=τ⇒= 2cos2sin2

0V xyyx

uv (3-3)

Biểu thức (3-2) và (3-3) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt nghiêng (α) song song với một phương chính (mặt cắt này vuông góc với mặt cắt đang xét) không có ứng suất.

Bây giờ ta xét ứng suất trên mặt cắt nghiêng (β), với β = 2π

+α .

βτ−βσ−σ

+σ+σ

=σ⇒ 2sin2cos22 xy

yxyxv

ατ+ασ−σ

−σ+σ

=σ 2sin2cos22 xy

yxyxv (3-4)

Thực hiện phép cộng các phương trình (3-2) và (3-4) theo vế có: σU + σv = σx + σy = const (3-5) Biểu thức (3-5) được gọi là định luật bất biến bậc nhất của ứng suất pháp trên hai

mặt cắt vuông góc nhau. 3.2.2. Phương chính và ứng suất chính.

Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp).

Mặt cắt nghiêng (α) là mặt chính khi τuv = 0. (3-6) Gọi α0 là góc nghiêng của phương chính với trục x, từ (3-6) và (3-3), ta có:

02cos2sin2 0xy0

yxuv =ατ+α

σ−σ=τ (3-7)

yx

xy0

22tg

σ−σ

τ−=α=>

Đặt zk,2

k2

2tg 0

yx

xy ∈π

+β

=α⇒σ−σ

τ−=β

Hay

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

π+

β=α

β=α

22

2

02

01

Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của α0 là α01 và α02 chênh lệch nhau

53

2π . Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau. Lần lượt thay α01, α02 vào (3-2) ta sẽ được các ứng suất chính cần tìm. Những ứng suất chính còn là những ứng suất cực trị, nghĩa là ứng suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị. Rõ ràng đạo hàm bậc nhất của giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp ở mặt đó triệt tiêu.

Thực vậy uvxyyxu 22cos22sin

22

dd

τ−=ατ−ασ−σ

−=ασ

τuv = 0 , cũng có nghĩa là 0dd u =ασ

Như vậy, khi thay ,2cos 1cα 2c2cos α , 1c2sin α và 2c2sin α , suy từ (3-7) với sự

biến đổi α+

α±=α

2tg12tg2cos

2 và

α+±=α

2tg112sin

2, ta có được hai giá trị ứng suất

chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng thái ứng suất phẳng, ta ký hiệu các ứng suất chính là σmax, σmin.

Ta có : 2xy

2yx

yxminmax/ 4)(

21

2τ+σ−σ±

σ+σ=σ (3-8)

dấu + ứng với σmax, dấu − ứng với σmin. 3.2.3. Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr)

Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng: σu và τuv đều là hàm của góc nghiêng α. Do đó giữa chúng chắc sẽ có một mối liên hệ nào đó.

Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được:

ατ−ασ−σ

=σ+σ

−σ 2sin2cos22 xy

yxyxu

ατ+ασ−σ

=τ 2cos2sin2 xy

yxuv

Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các vế lại ta sẽ được:

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ατ−α

σ−σ=τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+σ−σ

2

xyyx2

uv

2yx

u 2sin2co22

2

xyyx 2cos2sin

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ατ+α

σ−σ+

Sau khi thu gọn ta được:

2xy

2yx2

uv

2yx

u 22τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ=τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+σ−σ (3-9)

Trong hình học giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của đường tròn bán kính R: (x-a)2 + (y-b)2 = R2; (a,b) tọa độ tâm vòng tròn đó.

Nếu lập hệ trục mà trục hoành là σu và trục tung τuv thì (3-9) chính là phương trình của một vòng tròn trong đó: σu, τuv - Tọa độ của những điểm trên vòng tròn.

54

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+σ0,

2yx - Tọa độ của tâm vòng tròn.

2xy

2yx

2τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ - Bán kính của vòng tròn.

Ta có thể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là vòng tròn ứng suất (hay vòng Mohr).

Cách dựng vòng Mohr như sau: Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương Oz là một phương

chính không có ứng suất, còn hai phương Ox, Oy là bất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất σx, σy, τxy = -τyx , với giả thiết σx > σy > 0; τxy> 0.

Ta lập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng với 1KN/cm2). * Trục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp. * Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp.

Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn xy OB;OA σ=σ= . Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì:

22OBOAOC xy σ+σ

=+

=

* Tìm bán kính vòng Mohr: Ứng với điểm A ta lấy D có tung độ xyAD τ= nằm về phía dương của trục tung

(vì giả thuyết τxy> 0). CD chính là bán kính của vòng Mohr, vì:

222 ADACCD += = 2xy

2yx

2τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ

Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr. D (σy, τxy ): Gọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C và bán kính CD.Ta hoàn

toàn có thể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất (hình 3.9).

y

Hình 3.8:Phân tố ứng suất phẳng

x

σxσx

σy

σy

τxy

τxy

τyx

τyx

τuv

σu

τxy

O A C B

D

σy

2yx σσ +

σx

Hình 3.9: Vẽ vòng tròn Mohr

55

Chúng ta chú ý đến điểm Mo (σx, τxy), hình 3.11, tức là tọa độ của nó thể hiện ứng xuất pháp σx, ứng suất tiếp τxy trên mặt chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm Mo gọi là điểm gốc của vòng tròn ứng suất, MO cũng là bán kính của vòng Mohr.

Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất sau: - Nếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa các bán kính CM và

CMo là 2α, thì tọa độ điểm M đó sẽ là σu, τuv trên mặt cắt có pháp tuyến u xiên góc α với trục x (xem hình 3.11).

Theo hình ta tính được: )2cos(CMOCCTOCOT α+γ+=+=

= αγ−αγ+ 2sin.sinCM2cos.cosCMOC

Vì 2

CBcosCMcosCM yx0

σ−σ==γ=γ

Và xy00 BMsinCMsinCM τ==γ=γ

ατ−ασ−σ

+σ+σ

= 2sin2cos22

OT xyyxyx

So sánh với (3-2) => uOT σ=

Tương tự uvTM τ=

Nối DM => 0MDM = α => DM // u

* Chú ý: a) Khi biểu diễn các giá trị σx, σy, τxy trong hệ trục (σ, τ) cần lưu ý dấu. b) α > o, khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x. Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng một góc α = 300 so với

trục x. * Tính theo phương pháp đồ thị: Lập hệ trục σ // x; τ // y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm2.

y

Hình 3.10: Ứng suất trên mặt cắt

xiên

xτyx

τyx

τxy

τxy

σy

σy

σx

σx

σu

τuv

α

O

u

τuv

α2α

γ

O A C T B σu

σx

τxy τxy

D

M

MO

Hình 3.11: Cách dựng vòng tròn ứng suất

σy

56

Trên trục σ lấy 8OB;4OA xy =σ==σ= .

Trung điểm C của AB là tâm vòng Mohr. Cực D (4,2), CD là bán kính vòng Mohr ứng với phân tố đã cho. Từ D kẻ đường thẳng song song với u cắt vòng Mohr tại M. Đo tọa độ , ta nhận được:

σu = x(M) = 5,3 k/cm2; τuv - y(M)== 2,7k/cm2

* Tính theo phương pháp giải tích: 200

u cmKN268,560sin260cos2

482

48=−

−+

+=σ

200uv cmkN732,260s0c260sin

248

=+−

=τ

* Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương chính và ứng suất chính. Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp. Do đó để xác định phương chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ bằng không. Đó là hai điểm M1, M2, các phương này hợp với phương ngang những góc α1 và α2. Ở đây ta qui ước chiều dương của các góc α là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Giá trị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (σ, τ). Đó là các đoạn 1OM và 2OM ; max1OM σ= ; min2OM σ= , (xem hình 3.15)

Nhờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính:

2xy

2yxyx

2min 22CMOC τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ−

σ+σ=−=σ

2xy

2yxyx

1max 22CMOC τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ+

σ+σ=+=σ

τ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2cmKN

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2cmkNσ4

5,3

8

2,7 2

M2 C B M1

M

D 300

Hình 3.13: Cách tìm ứng suất trên mặt xiên bằng

vòng Mohr

O

Hình 3.12: Xác định ứng suất tại mặt xiên

y

300

4

2

8 τuv

u

x O

A

57

Viết gộp: 2xy

2yxyx

minmax/ 22τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ±

σ+σ=σ (3-10)

dấu + ứng với σma x, dấu −ứng với σmin.

Theo hình trên thì ta sắp xếp các ứng suất chính theo thứ tự : σ1 = σmax, σ2 = σmin, σ3 = 0 Gọi: α1- Góc giữa phương chính có σmax với phương ngang. α2- Góc giữa phương chính có σmin với phương ngang.

thì từ vòng Mohr ta rút ra: maxy

xy

ymax

xy

11 AM

ADtgσ−σ

τ=

σ−σ

τ−=−=α

miny

xy

22 AM

ADtgσ−σ

τ=−=α

Viết gộp: tg α1/2min/maxy

xy

σ−σ

τ= (3-11)

Trên vòng tròn Mohr còn có hai điểm đặc biệt M3 và M4 là hai điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất. Dựa vào vòng Mohr, ta có:

2xy

2yx

3max 2CM τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ==τ

2xy

2yx

4min 2CM τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ−==τ

y

Hình 3.14:Phân tố ứng suất

phẳng

x

σy

σy

σx

σx

τx

y τx

y

τy

x

τy

x

τ σ2

σ2

σ1

σ1

σα1

α2τx

y

O

M2

A C B

M1

D

σ2

2yx σσ +

σx σ1

Hình 3.15: Xác định ứng suất chính bằng

vòng Mohr

58

Viết gộp: 2xy

2yx

minmax/ 2τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ±=τ (3-12)

3.3. TRẠNG THÁI TRƯỢT THUẦN TÚY. Trạng thái trượt thuần túy tại một điểm trong vật thể đàn hồi. Nếu tại một điểm nào đó ta tách ra được một phân tố mà trên các mặt của nó chỉ có

ứng suất tiếp (không có ứng suất pháp, tức σ = 0) xem hình 3.16, trong trường hợp này, vòng tròn Mohr có tâm C ở gốc O, (vì σx = σy = 0).

Cực D (0, τ) ∈ trục tung. Dựa vào vòng Mohr, ta có: σ1 = σmax = τxy; σ2 = 0; σ3 = σmin = -τxy Như vậy trạng thái trượt thuần túy có đặc điểm là hai ứng suất chính σ1 và σ3 bằng

nhau nhưng ngược chiều (kéo, nén). Phương chính xiên góc 450 so với phương của ứng suất tiếp (hình 3.16; 3.17). 3.4. LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG - ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT.

Trong trường hợp tổng quát, trên các mặt của phân tố có các ứng suất pháp và ứng suất tiếp. 3.4.1. Biến dạng dài theo một cạnh của phân tố.

Đó là biến dạng do tác dụng của cả ba ứng suất pháp theo ba phương x, y, z gây ra. Để tính biến dạng này ta dùng nguyên lý độc lập tác dụng: "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố thì bằng tổng những tác dụng do các yếu tố riêng rẽ gây ra".

Nguyên lý đó thể hiện bằng biểu thức toán học sau:

εx= )(z

)(y

x)(x

)(x

)(x

zyzyx

Eσσσσσ µε−µε−

σ=ε+ε+ε

εx= [ ])(E1

EEE zyxzyx σ+σµ−σ=

σµ−

σµ−

σ (3-13)

Ta suy ra cho biến dạng các phương khác:

Hình 3.16: Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý

y

x

τ

τσ1=τσ3=τ

σ1=τ σ3=τ -τ τ

σ

τ

O C

M3 M1

D

Hình 3.17: Vòng Mohr để xác định ứng suất chính

y

Hình 3.18: Xác định biế d tỉ đối ε

x

z σy

σy

σZ

σZ

σx

σx O

dy

dxdz

59

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

σ+σµ−σ=ε

σ+σµ−σ=ε

σ+σµ−σ=ε

)]([E1

)]([E1

)]([E1

yxzz

xzyy

zyxx

(3-14)

Biểu thức (3-14) được gọi là định Hooke tổng quát. Nếu các mặt của phân tố là mặt chính, thì định luật Hooke tổng quát có dạng:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

σ+σµ−σ=ε

σ+σµ−σ=ε

σ+σµ−σ=ε

)]([E1

)]([E1

)]([E1

2133

1322

3211

(3-15)

3.4.2. Định luật Hooke về biến dạng thể tích: Đặt vấn đề: Tính độ biến đổi thể tích của một phân tố chính hình hộp có các cạnh

dài dx, dy, dz. Gọi thể tích ban đầu: V0 = dxdydz Thể tích sau biến dạng: V1 = (dx + ∆dx) (dy+∆dy) (dz+∆dz) Bỏ qua các vô cùng bé bậc cao:

=> V1= dxdydz (1+ )dzdz

dydy

dxdx ∆

+∆

+∆

V1= V0 (1+ εx+ εy + εz) Gọi θ là biến dạng thể tích tương đối, thì:

θ = ∑µ−=ε+ε+ε=

−E21

VVV

zyx0

01 (3-16)

Với ∑ = σx + σy+σz

3.4.3. Định luật Hooke đối với biến dạng trượt:Theo định luật Hooke, biến dạng

trượt tỷ lệ với ứng suất tiếp: γxy = Gxyτ

; γyz = Gyzτ

; γzx = Gzxτ (3-17)

Trong đó: xy, yz, zx- Các chỉ số của γ, dùng để chỉ biến dạng trượt trong các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ xOz, yOz, yOx; G- Hệ số tỷ lệ, được gọi là moduyn đàn hồi trượt, đơn vị MN/m2, KN/cm2...

Moduyn G phụ thuộc từng loại vật liệu và liên hệ với E, µ theo biểu thức sau:

G = )1(2

Eµ+

(3-18)

3.4.4. Trạng thái ứng suất khối. Định nghĩa: Trạng thái ứng suất khối là trạng thái ứng suất mà trên 3 mặt chính

của nó đều có các ứng suất chính khác không.

60

Đây là một bài toán không gian, lý thuyết đàn hồi sẽ nghiên cứu đầy đủ hơn về nó. Ở đây chúng ta chỉ xét một vài trường hợp đặc biệt.

a) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ. Giả sử tại một điểm M nào đó của vật thể đàn hồi ta rút ra một phân tố chính (các

mặt đều là mặt chính, hình 3.19). Nếu đã biết các ứng suất chính σ1, σ2, σ3, ta có thể hoàn toàn xác định được các ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ nào đi qua điểm M.

Thật vậy, tưởng tượng cắt phân tố bởi mặt cắt abc, có pháp tuyến u. Gọi l, m, n là các cosin chỉ phương của pháp tuyến u:

l = cos α, m = cos β, n = cos γ Trong đó: α, β, γ - Góc giữa pháp tuyến u với các trục x, y, z.

Bây giờ hãy khảo sát sự cân bằng của phân tố bốn mặt Mabc (hình 3.19b). Vì abc là một mặt bất kỳ, nên trên đó có cả ứng suất pháp σu và ứng suất tiếp τu. Gọi pu là ứng suất toàn phần trên mặt này và pu = 2

u2u τ+σ , ta có thể xác định ứng suất toàn phần pu

dựa vào các ứng suất chính σ1, σ2, σ3 và các cosin chỉ phương l, m, n. Nếu gọi Xu, Yu, Zu là các hình chiếu của Pu xuống các trục x, y, z thì: 2

u2u

2u

2u ZYXP ++= (a)

Vậy muốn xác định Pu ta chỉ cần xác định các hình chiếu của nó lên các trục là Xu, Yu, Zu. Nếu ta gọi dF là diện tích của mặt xiên abc thì:

- Diện tích mặt Mbc sẽ là dF⋅l. - Diện tích mặt Mca sẽ là dF⋅m. - Diện tích mặt Mab sẽ là dF⋅r . Thiết lập các phương trình cân bằng cho phân tố Mabc ta có: ΣX = XudF - σ1dF⋅l = 0 => Xu = σ1l ΣY = YudF - σ2dF⋅m = 0 => Yu = σ2m (b) ΣZ = ZudF - σ3dF⋅n = 0 => Zu = σ3n Đưa (b) vào (a) ta được: P 22

322

222

12u nml σ+σ+σ= (3-19)

Muốn có thành phần ứng suất pháp σu thì ta chiếu giá trị ứng suất pháp toàn phần Pu xuống trục u: σu = Xu.l + Yu⋅m + Zu.n hay σu = σ1l2 + σ2m2 + σ3n2 (3-20)

Hình 3.19: Trạng thái ứng suất khối

z

y

x

z

x

y

a b

c

M σ1

σ2

σ3

σ1

σ2

σ3

σu

Pu

τu

ba

c

M

Zu

Xu Yu

u

a) b)

61

Và ta có giá trị ứng suất tiếp τu là: τu = 2u

2up σ− (3-21)

b) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với một ứng suất chính: * Trên mặt cắt song song với σ3: Pháp tuyến u của mặt cắt này sẽ vuông góc với

phương x (phương tác dụng của ứng suất chính σ3), lúc đó n = 0 và công thức (3-19), (3-20), (3-21) sẽ là: P 22

222

12u ml σ+σ=

σu = σ1l2 + σ2m2

m.l)()ml(mlP 2122

22

122

222

12u

2uu σ−σ=σ+σ−σ+σ=σ−=τ

Ta nhận thấy rằng: Ứng suất trên mặt cắt nghiêng này chỉ phụ thuộc vào σ1 và σ2, do đó dựa vào σ1, σ2 ta có thể vẽ được vòng Mohr ứng suất, mà tâm vòng tròn này

có tọa độ C3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+σ 0,

221 , bán kính r3 = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ−σ

221 , (hình 3.20b).

Tương tự như trên tọa độ của một điểm nào đó trên vòng Mohr này sẽ là giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng song song với σ3 .

* Trên mặt cắt song song với σ2: Cũng tương tự như vậy, nếu mặt cắt song song

với σ2 thì pháp tuyến sẽ vuông góc với σ2 (tức là với trục y), khi đó m = 0. Các ứng suất trên mặt chỉ phụ thuôc vào σ1 và σ3 cho nên ta cũng sẽ có: P 22

322

12u nl σ+σ=

σu = σ1l2 + σ3n2 τu = (σ1- σ3)l.n Dựa vào σ1 và σ3 ta cũng xây dựng được vòng tròn Mohr ứng suất có tâm

C2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+σ 0,

231 , bán kính r2 = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ−σ

231 . Tọa độ của một điểm trên vòng tròn này cũng

τ

σσ1 σ2

O

b)

Hình 3.20: Xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với σ

C3

z

x

y

σ1

σ3

σ2

a)

t

σσ1 σ3 C2O

Hình 3.21 Xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với σ

y

x

z σ3

σ2

σ1

a) b)

62

là giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt có pháp tuyến u song song với σ2 (trục y), hình 3.21.

* Mặt cắt song song với σ1, l=0 do đó ứng suất trên mặt cắt chỉ phụ thuộc vào σ2 và σ3. P 22

322

22u nm σ+σ=

σu = σ2m2 + σ3n2 τu = (σ2- σ3)m.n

Cũng tương tự như trên, dựa vào σ2, σ3 ta có thể lập vòng Mohr ứng suất với tâm

C1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+σ

0,2

32 , bán kính r1 = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ−σ

232 , ( hình 3.22).

Tọa độ của ,một điểm trên vòng tròn là giá trị ứng suất pháp và tiếp của mặt cắt nghiêng có pháp tuyến u song song với σ1 (với trục x)

Tóm lại: Ứng suất trên mặt cắt nào đó mà song song với một ứng suất chính xác định, thì có thể vừa xác định bằng công thức giải tích vừa có thể biểu diễn bằng đồ thị là vòng tròn ứng suất tạo với 2 ứng suất chính không song song với mặt cắt nói trên. Cũng có thể nói về mặt đồ thị thì đối với một phân tố trạng thái ứng suất khối ta có thể vẽ 3 vòng tròn ứng suất tạo nên bởi 3 ứng suất chính. Mỗi vòng tròn ứng suất tương ứng với một tập hợp các mặt cắt song song với một ứng suất chính nào đó . Đối với một mặt cắt nghiêng bất kỳ, không song song với một ứng suất chính nào cả, thì ta có thể sử dụng kết quả trong lý thuyết đàn hồi để xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng đó được biểu diễn tọa độ của một điểm nằm trong vùng gạch giới hạn của 3 vòng tròn C1, C2 và C3, (hình 3.23). * Nhận xét chung:

1- Tổng ứng suất pháp trên 3 mặt vuông góc với nhau đi qua một điểm là hằng số: σ 1 + σ2 + σ3 = σx + σy + σz (3-21)

τ

Hình 3.23: Vòng Mohr của trạng thái ứng suất khối

σσ1σ3 σ2C1 C2 C3

M

O

O C1 σσ1σ3

τ

O

z

x

y

σ1

σ3

σ2

a) b)

Hình 3.22 Xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với σ1

63

Ta gặp lại luật bất biến bậc nhất đối với trạng thái ứng suất khối tương tự như đã gặp ở trạng thái ứng suất phẳng ở trên.

2- Những ứng suất tiếp lớn nhất sẽ là:

τ1.2 = 2

21 σσ − - Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với phương của σ3 và

xiên một góc 450 so với các phương của σ1, σ2.

τ2.3 = 2

32 σσ − - Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với σ1 và xiên một góc

450 so với các phương của σ2, σ3.

τ3.1 = 2

31 σσ − - Ứng suất tiếp trên mặt cắt song song với σ2 và xiên góc 450

với các phương σ1 và σ3. Trong 3 ứng suất tiếp lớn nhất này, thì ứng suất tiếp τ3.1 là lớn nhất:

τmax= τ3.1 = 2

31 σσ −

Điều này rất quan trọng nó có ý nghĩa đối với nhiều vấn đề trong cơ học, ví như xây dựng các thuyết bền chẳng hạn. 3.5. CÁC THUYẾT BỀN. Đối với trạng thái ứng suất đơn (kéo, nén đúng tâm) hay trạng thái trượt thuần túy (cắt, xoắn), ta xác định dễ dàng các ứng suất giới hạn bằng thí nghiệm, như ở phần đặc trưng cơ học của vật liệu. Đó là các giới hạn chảy σch (hay τch) đối với vật liệu dẻo và giới hạn bền σb (hay τb) đối với vật liệu giòn, từ đó chúng ta dễ dàng có điều kiện kiểm tra bền như sau:

σmax ≤ [σ]k ; ⎢σmin⎢ ≤ [σ]n ; τmax ≤ [τ] Trong đó [σ]k, [σ]n, [τ] là các ứng suất cho phép, ý nghĩa, giá trị đã từng gặp ở

chương kéo (nén) đúng tâm. Thế nhưng đối với trạng thái ứng suất phức tạp, vấn đề xác định các trạng thái giới

hạn bằng thí nghiệm rất khó khăn và phức tạp, trên thực tế không tìm được bởi hai lý do sau :

- Thí nghiệm kéo, nén theo 3 chiều đòi hỏi những thiết bị phức tạp, không được dùng rộng rãi như các thiết bị thực hiện các thí nghiệm kéo, nén đúng tâm và xoắn.

- Trong lúc thí nghiệm cần phải tạo tỷ số các lực tác dụng như bài toán thực và tỷ số này thay đổi theo từng trường hợp cụ thể nên số thí nghiệm sẽ rất lớn và không có khả năng tiến hành được. Do vậy người ta có xu hướng đưa trạng thái ứng suất phức tạp đang xét về trạng thái ứng suất đơn tương đương, tức là trạng thái giới hạn của trạng thái ứng suất phức tạp cũng chính là trạng thái giới hạn của trạng thái ứng suất đơn tương đương. Điều đó có nghĩa là độ bền của trạng thái ứng suất phức tạp đang xét cũng bằng độ bền của trạng thái ứng suất đơn tương đương nó.

Ứng suất chính của trạng thái ứng suất tương đương được gọi là ứng suất tương đương, được ký hiệu là σtd, lúc này điều kiện bền sẽ được viết như trong chương kéo, nén đúng tâm: σtd ≤ [σ] (3-22)

64

Như vậy vấn đề phải giải quyết các bài toán độ bền cho các trạng thái ứng suất phức tạp là dự đoán về mối liên hệ của các ứng suất chính σ1, σ2, σ3 với giá trị σtd (của trường hợp trạng thái ứng suất đơn tương đương). Những giả thuyết cho phép ta thiết lập sự liên hệ giữa các ứng suất chính của trạng thái ứng suất phức tạp đã cho với ứng suất tương đương σtd được gọi là thuyết bền. Rõ ràng đã có nhiều thuyết bền ra đời và không thể khẳng định giả thuyết nào là chính xác. Vì tính chất không hoàn chỉnh của các thuyết bền nên ta đừng ngạc nhiên khi kết quả tính tóan theo thuyết bền này có khác một ít so với kết quả tính toán của thuyết bền kia.

Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu những thuyết bền cơ bản nhất và phổ biến nhất. Xét hai phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp và đơn: 1) Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (thuyết bền I) Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nếu ứng suất

pháp lớn nhất của chúng bằng nhau. - Vật liệu dẻo: σtd = max (|σ1|, |σ3|) (3-23) => điều kiện bền σtd ≤ [σ]

- Vật liệu giòn: σ1td = σ1 ≤ [σ]k

σ IItd = |σ3| ≤ [σ]n (3-24)

2) Thuyết bền biến dạng tỷ đối lớn nhất (thuyết bền II).

Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nếu biến dạng dài tỷ đối lớn nhất của chúng bằng nhau:

( )[ ]

td1td

td

3211

E

E1

ε=ε→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

σ=ε

σ+σµ−σ=ε

Suy ra ( ) [ ]σ≤σ+σµ−σ=σ 321td Ngày nay người ta không dùng thuyết bền I và II nữa (vì không phù hợp), chỉ còn

giá trị lịch sử. 3) Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền III). Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nếu ứng suất

tiếp lớn nhất của chúng bằng nhau. Trong trạng thái ứng suất khối (phức tạp), người ta đã chứng minh được:

Hình 3.24: Trạng thái ứng suất phức

tạp

σ1

σ3σ3

σ2

σ2

σtd

σ1 σtd

Hình 3.24: Trạng thái ứng suất đơn

tương đương

65

τmax = 2

31 σσ −

Ở trạng thái ứng suất đơn: τmax = 2tdσ

=> σtd = σ1 - σ3 (3-25)

và điều kiện bền σtd ≤ [σ]. Đối với trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt (xem hình 3.26) là trạng thái ứng suất

thường gặp ở các bài toán của sức bền vật liệu như uốn, sức chịu phức tạp..., mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau:

max2

2

1 42στσσσ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

σ2 = 0

min2

2

3 42στσσσ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

cho nên : σtd = σ1 - σ3 = ][4 22 στσ ≤+ (3-26) 4) Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (thuyết bền IV). Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nếu như thế

năng riêng biến đổi hình dạng của chúng bằng nhau. Điều kiện bền σtd = K133221

23

22

21 ][σ≤σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ (3-28)

Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt : σ td = [ ]σ≤τ+σ 22 3 (3-29) 5) Thuyết bền Mohr (thuyết bền V). Điều kiện bền : σtd = σ1 - ασ3 ≤ [σ] (3-30)

với α = n0

k0

σσ

* Vật liệu dẻo: α = 1 trở về thuyết bền III. * Vật liêụ giòn: α < 1. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:

σtd = ][42

12

1 22 σ≤τ+σα+

+σα− (3-31)

Kết luận: a) Dùng thuyết bền I trong trường hợp trạng thái ứng suất đơn hoặc rất gần với

trạng thái ứng suất đơn. b) Dùng thuyết bền III hay thuyết bền IV đối với vật liệu dẻo (vì 2 thuyết bền này rất phù hợp đối với vật liệu dẻo).

c) Dùng thuyết bền V đối với vật liệu giòn. Ví dụ 2: Một lỗ có kích thước 10×10×10

(mm2) của một khối thép lớn, chúng ta đặt vào đó một khối có kích thước10×10×10 (mm2) vừa khít vào lỗ đó và ép nó bởi một lực nén P = 15 KN (hình 3.27).

* Xác định áp suất tác động lên thành lỗ ?

Hình 3.27:Tính kích thước theo thuyết bền

z

x

y

P=5 kN

τ

Hình 3.26: Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

σ

66

* Biến dạng thể tích của khối đó ? * Kiểm tra bền bằng thuyết bền III ?

Cho biết : µ = 0,3; [σ] = 16 KN/cm2 ; E = 2.104KN/cm3. Bài giải:

1/ Xác định áp suất lên thành lỗ.

σz= 2cm/KN151,1

15FP

−=−=− , do đối xứng σx = σy.

εx = εy = 41010

10001,10 −=− theo định luật Hooke:

εx = [ ])(Ei

zyx σ+σµ−σ

=> σx = σy = -3,57 KN/cm2

2/ Tính biến dạng thể tích : θ = ∑µ−=

∆E21

VV

=> 34 mm443,0101010)15257,3(

10.23,021V

E21V −=⋅⋅⋅−⋅−

⋅−=

µ−=∆ ∑ .

Như vậy là thể tích bị giảm. 3/ Kiểm tra theo thuyết bền III:

σtd = σ1 - σ3 = -3,57 - (-15) = 11,43 KN/cm2 < [σ]. Vậy khối thép đủ bền.

Ví dụ 3: Trên hai mặt tạo với nhau một góc 600 và đi qua một điểm ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất σy=3KN/cm2,

2yx cmKN5−=τ , 2

uv cmKN6=τ , hình 3.28. Tính các ứng suất tại điểm đó. Bài giải: Từ công thức:

ατ+ασ−σ

=τ 2cos2sin2 xy

yxuv

⇒( )

yxyuv

x 2sin2cos2

σ+α

α⋅τ−τ=ε

Với: 0;cmKN3;cmKN6 x

2y

2uv ≠σ=σ=τ

0002yxxy 306090;cmKN5 =−=α=τ−=τ

nên: ( ) 2x cmKN08.113

2321562

=+⋅−

=σ

Các ứng suất chính tại điểm đó tính theo công thức:

2xy

2yx

yxminmax/ 4)(

21

2τ+σ−σ±

σ+σ=σ

( ) 22 54308,1121

2308,11

⋅+−±+

=

Hình 3.28: Tính ng sut

σy

τyx

600

σuv

τuv

67

2

min

2max

cmKN61,0

cmKN47,13

=σ

=σ

Ví dụ 4: Tìm ứng suất chính và phương chính của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng vẽ trên hình 3.29 bằng phương pháp giải tích và phương pháp đồ thị.

Bài giải: 1- Phương pháp giải tích:

2x cmKN3=σ ; 2

y cmKN5=σ ;2

xy cmKN2−=τ Ứng suất chính:

2xy

2yx

yxminmax/ 4)(

21

2τ+σ−σ±

σ+σ=σ

( ) ( )22 245321

253

−⋅+−±+

= 2

1max cmKN624,6=σ=σ ; 2

2min cmKN67,1=σ=σ Phương chính theo công thức:

( ) 253

2222tg

yx

xy −=−−⋅−

=σ−σ

τ−=α

⇔ 03632 0 ′−=α ⇔ 51580

1 ′=α ; 5431021 ′−=α

2- Phương pháp đồ thị:

21max cmKN24,6=σ=σ

22min cmKN76,1=σ=σ

Ví dụ 5: Một khối hình trụ tròn A được đặt khít vào lỗ khoét của một vật tuyệt đối cứng B và chịu lực nén P=50KN. Xác định áp lực tác dụng vào vách lỗ khoét, các biến dạng ∆h và ∆V của khối đồng. Cho d= 4cm; h=10cm; µ=0,31 ; 24 cmKN101,1E ⋅= .

Bài giải: Gọi z là phương tác dụng của P. x, y tạo với z hệ trục vuông góc. Tách ra một phân tố hình hộp có mặt song song hệ trục trên. Do tính đối xứng trục của bài toán suy ra:σx= σy.

Điều kiện biến dạng trụ A:

[ ] 0)(E1

zyxx =σ+σµ−σ=σ

Trong đó σx, σy cũng là cường độ áp lực của vật B tác dụng lên trụ A: 0x =ε ⇒ Với

5KN/cm2

Hình 3.29: Phân tố trạng thái ứng

ất hẳ

3KN/cm2

2KN/cm2

τ

Hình 3.30: Phương pháp đồ thị

σ1=6,24

σ2=1,76

σ

σ1σ2

1 2 4 5

6

7 0

P

3 α1

α2

Hình 3.31: Tính áp lực

P

d

h A B

68

22z cmKN98.3

44

50FP

−=⋅π

−=−=σ

( ) 2yx cmKN79,198,3

31,0131,0

−=−−

=σ=σ⇒

Biến dạng ∆h của trụ A: ( )[ ]yxzz Ehhh σ+σµ−σ=σ⋅=∆

( )[ ] cm1061,279,179,131,098,3101,1

10 34

−⋅−=−−−−⋅

=

Biến dạng thể tích ∆V của trụ A: ∑µ−

=θ=∆E21VVV 00

4

414,31061,22

3 ⋅×⋅−= − =-0,032789cm3

CÂU HỎI TỰ HỌC : 3.1. Thế nào là trạng thái ứng suất tại một điểm ? 3.2. Hai điểm được coi là có trạng thái chịu lực như nhau thì phải căn cứ vào phân tố gì

và trị số phải như thế nào ? 3.3. Thế nào là mặt chính, phương chính, ứng suất chính? Có bao nhiêu mặt chính, ứng

suất chính cũng như phương chính ? 3.4. Phân biệt các trạng thái ứng suất đơn, trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng

suất khối ? 3.5. Khi sử dụng các công thức tính ứng suất trên mặt cắt xiên thì dấu các đại lượng đó

phụ thuộc vào yếu tố nào ? 3.6. Chứng minh rằng: Trên các mặt chính thì ứng suất của nó là giá trị cực trị. 3.7. Tự xây dụng vòng Mohr ứng suất đối với trạng thái ứng suất phẳng và cho biết các

phương chính, mặt chính và giá trị ứng suất chính. 3.8. Trình bày các thuyết bền thường dùng hiện nay và cách sử dụng nó. * * * * *

70

Chương 4

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG

4.1. KHÁI NIỆM CHUNG Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn. Nhưng khi tính những thanh chịu xoắn, uốn... thì khả năng của chúng không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang. Ví dụ: Xét một dầm tiết diện chữ nhật b × h với h > b trong hai trường hợp: Tiết diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu lực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b.

Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp (b). Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì mặt cắt ngang vành khăn chịu xoắn tốt hơn. Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh. 4.2. MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F. Xác định trong mặt phẳng của mặt cắt một hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa độ của điểm A nào đấy thuộc F. Lấy chung quanh A một phân tố diện tích dF. 4.2.1. Mô men tĩnh. Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục y là các biểu thức tích phân sau: ;ydFS

Fx ∫= ∫= Fy xdFS , đơn vị m3, cm3 ...

Trong đó: Sx, Sy có thể âm, dương, hay bằng không.

d= 0,

7071

D

D

d= 0,

7071

D

M

Hình 4.2: Dầm có tiết diện hình trụ(a) và hình vành khăn (b)

P

a)

b

h

Hình 4.1: Dầm có tiết diện đứng (a) và nằm

ngang (b)

P

b)

b

h

a)

b)

71

* Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một trục nào bằng không thì trục đó gọi là trục trung tâm. * Giao điểm của hai trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt ngang.

Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể thiết lập công thức tính tọa độ trọng tâm của diện tích F đối với hệ trục Oxy. Giả sử có hai trục trung tâm Cxo , Cy0 cắt nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và song song với Ox, Oy, hình 4.4. Theo định nghĩa ta có: Sxo = Syo = 0 (a) Gọi (xC,yC) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và (xo,yo) là tọa độ của A trong hệ

trục Cxoyo thì: ⎩⎨⎧

+=+=

oc

oc

yyyxxx

Từ định nghĩa có: ∫∫∫∫ +=+==

Fo

Fc

Foc

Fx dFydFydF)yy(ydFS

Sx = ycF + Sxo = ycF [Sxo = 0 theo (a)] Tương tự: Sy = xcF

Vậy, ta có:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

==

FS

x

FSy

FxSFyS

yc

xc

cy

cx (4-1)

Tính chất cơ bản: Mọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều là

trục trung tâm (hình 4.5). Thực vậy, nếu trục y là trục đối xứng của mặt cắt ngang thì: ∫∫∫ −==

2F2FF

xdFdF|x|xdF1

Trong đó F1, F2 diện tích của hai nửa. 0xdFxdFxdFxdFS

2121 FFFFFy =−=== ∫∫∫∫

+

Sy = 0 Vậy y là trục trung tâm. * Ví dụ 1: a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang chữ nhật đối với các trục đi qua các cạnh (hình 4.6).

y

Hình 4.5: Trục đối xứng của mặt cắt ngang

là trục trung tâm

-x x x

B A

dF dF

F1 F2

y

Hình 4.3 Xác định mô men tĩnh

x

A y

x O

dF

F: Diện tích của bề mặt cắt ngang

Hình 4.4: Xác định toạ độ trọng tâm của mặt

cắt ngang

y yo

xo

x

xC x0

x

y

y c

y o

O

C

A

F

72

Trên hình chữ nhật ta lấy dải phân tố diện tích dF = bdy, ta có:

2

bhdyybydFS2h

0F

x === ∫∫ (4-2)

Tương tự :

Sy = 2

hb2

(4-3)

Tọa độ trọng tâm :

2hy;

2b

bh2bh

FS

x c

2y

c ====

b) Tính

mô men tĩnh Sx và tung độ trọng tâm yc của hình tam giác đối với trục x ≡ cạnh đáy (hình 4.7). Theo hình 4.7, ta có:

dF = b(y)dy , mà h

yhb

)y(b −=

=> dF = dyh

)yh(b −

∫∫ =−==h

0

2

Fx 6

bhydy)yh(hbydFS (4-4)

3h

2/bh6/bh

FSy

2x

c ===

c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa hình tròn đối với trục x đi qua đáy (hình 4.8). Từ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy nhưng y = Rsin ϕ=> dy= Rcosϕdϕ b(y) = 2Rcos ϕ => dF = 2R2cos2ϕ×dϕ

=>Sx = ∫π

ϕϕϕ2/

0

22 dcosR2.sinR

=> Sx = 3R32

(4-5)

R34

FSy x

c π==

y

Hình 4.7: Tính mô men tĩnh và tung độ trọng tâm mặt cắt

y dy

h

b O

x

b(y)

dF

Hình 4.6: Tính mô men tĩnh và toạ độ trọng tâm mặt cắt ngang chữ nhật

h

h/2 y

dy

dF

y

x b/2

b

C

O

Hình 4.8 Tính mô men tĩnh và tung độ trọng tâm mặt cắt ngang dạng

R R x

y

y dy

b(y)

dF

A

α O

73

d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang như hình vẽ 4.9 đối với trục x đi qua đáy. Từ hình 4.9, ta có:

∫∫∫∫∫ −++==4321 FFFFF

x ydFydFydFydFydFS

222

x )a3(a32

6)a6(a32

2)a6(a4S −⋅+=

Sx = 90a3 xC = 0

π−=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−==

984a180

a2

942

a90F

Sy2

3x

c

4.2.2. Mô men quán tính đối với một

trục (gọi tắt mô men quán tính). Ta gọi mô men quán tính của diện tích F đối với trục x hay trục y là biểu thức tích phân sau: ∫=

F

2x dFyJ

hay ∫=F

2y dFxJ đơn vị m4, cm4 ...

Jx, Jy luôn luôn dương. 4.2.3. Mô men quán tính độc cực (đối với một điểm). Ta gọi mô men quán tính độc cực của diện tích F đối với gốc tọa độ O là biểu thức tích phân: ∫=

F

2P dFJ ρ , đơn vị m4, cm4 ...

Trong đó: ρ = OA vì ρ2 = x2 + y2 => ∫ +=

F

22P dF)yx(J

Jp = Jx + Jy cũng như mô men quán tính, mô men quán tính độc cực bao giờ cũng dương. 4.2.4. Mô men quán tính ly tâm. Ta gọi mô men quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trục Oxy là biểu thức tích phân:

∫= xydFJ xy đơn vị m4, cm4 ...

x, y có thể có dấu ngược nhau => Jxy có thể âm, dương, hay bằng không.

Hình 4.9 Tính mô men tĩnh và tung độ trọng tâm mặt cắt ngang hình thang

y

x

2a 2a

3a 3a 5a 5a

6a

1

2 3 4

Hình 4.11: Xác định mô men quán tính li

tâm

-x x x

y

B A

dF dF

F1 F2

O

y

Hình 4.10: Xác định mô men quán

tính

x

A y

x O

dF

ρ

Diện tích mặt cắt

74

Khi Jxy = 0, thì Oxoyo gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt hệ trục chính). * Nếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt ngang thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. * Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính (có thể chứng minh tương tự như ở hình 4.5). 4.3. MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN.

Ví dụ 2: 1) Hình chữ nhật b×h: dF = bdy

∫ ∫ ===−F

32/h

2/h

22x 12

bhbdyydFyJ

12hbJ

12bhJ

3

y

3

x

=

= (4-6)

2) Hình tam giác đáy b, cao h:

)yh(hb)y(b

hyh

b)y(b

−==>−

=

∫ ∫ −==F

h

0

22x dy)yh(

hbydFyJ

12bhJ

3

x = (4-7)

Nếu trục x qua trọng tâm hình tam giác thì cũng thực hiện tương tự ta có:

36bhJ

3

x =

3) Hình tròn. Đối với hình tròn, hình vành khăn do đối xứng, ta có: Jx = Jy => Jp = Jx+ Jy = 2Jx= 2Jy nên ta có thể tính Jp trước rồi suy ra Jx, Jy Dùng tọa độ độc cực: dF = ρdϕdρ

∫ ∫∫π π

=ρϕρρ=ρ=2

0

R

0

42

F

2P 2

RdddFJ

R là bán kính đường tròn.

y

Hình 4.13: Xác định mô men quá tính của hình tam giác

y dy

h

b O

x

b(y)

dF

Hình 4.12: Xác định mô men quá tính của hình chữ nhật

h

h/2

−y

dy

dF

y

b/2

b

C

O

x

75

4RJJ

2RJJJ

4

yx

4

Pyxπ

===>π

==+ (4-8)

hay 44

P D1,032DJ ≈=π

Jx=Jy ≈ 0,05D4

D- Đường kính đường tròn 4) Hình vành khăn: Tương tự, nhưng với r ≤ρ ≤R

)1(D1,0)1(32DJ 444

4

P ηηπ−≈−=

)1(D05,0)1(64DJJ 444

4

yx ηηπ−≈−==

Trong đó: Dd

=η

4.4. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH Giả sử ta biết mô men quán tính của mặt cắt ngang có diện tích F đối với trục x, y.Tính mô men quán tính của mặt cắt ngang đó đối với các trục X, Y song song với các trục x, y.Ta có:

⎩⎨⎧

+=+=

bYyaXx

Theo định nghĩa: ∫ ∫ +==

F F

22x dF)bY(dFyJ

= JX + b2F + 2bSX

Tương tự: Jy = JY + a2F + 2aSY Jxy = JXY + abF + aSX + bSY Nếu X, Y là các trục trung tâm: SX = SY = 0 ; a = xC ; b = yC

y

Hình 4.14: Xác định mô men quá

tính của hình tròn

D=2R

ρ ρ+dρ

x ϕ

dϕ dF

O

y

x

Hình 4.15: Xác định mô men quán tính của

hình vành khănd=

2r

D=2R

O

y Y

Hình 4.16: Sơ đồ chuyển trục song song của mô men quán tính

X

x C

O

A dF

b=y C

Y

y

x

a=xC X

76

Ta được: Ví dụ 3: Xác định mô men quán tính đối với trục trung tâm X của mặt cắt ngang hình 4.17. Trước hết ta phải xác đinh trọng tâm của mặt cắt ngang. Chia mặt cắt ngang thành 2 hình đơn giản (1) là hình chữ nhật chưa bị khoét và (2) là diện tích hình tam giác bị khoét. Chọn hệ trục ban đầu (x1, y) đi qua trọng tâm của hình (1). Vì y trục đối xứng , nên C ∈ trục y: XC = 0

21

)2(1x

)1(1xxl

C FFSS

FSY

−−

== a43,0a6a48a6a30

22

2

=−⋅−

=

Như vậy trọng tâm C của hình sẽ nằm trên trục x, cách trục x1 về phía dưới một đoạn bằng Yc= 0,43a. Bây giờ ta tính mô men quán tính đối với trục chính trung tâm x vừa mới xác dịnh.Ta có: )2(

X)1(

XX JJJ −= mà ( )

12c

)1(X

1x FyJJ

11⋅+=

223

a48)a43,0(12

)a8(a6⋅+=

4a875,264=

22c

)2(X

)2(X FyJJ

22+=

223

a6)a43,3(36

)a3(a4⋅+=

4a59,73= Vậy JX = 264,875a4 - 73,59a4 = 191,285a4 4.5. HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH. 4.5.1. Hệ trục quán tính chính. Đối với một hình phẳng có một trục đối xứng thì khi đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán tính chính trung tâm (hệ trục này có gốc ở trọng tâm, một trục là trục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm). Và việc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản. Thế nhưng đối với một hình không có trục đối xứng nào thì khi đã biết trọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và cũng chưa thể xác định được các mô men quán tính chính đó được. Dưới đây ta hãy nghiên cứu vấn đề này, trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa: Định nghĩa: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác định một hệ trục vuông góc Oxy sao cho Jxy=0 và Sx=Sy=0, thì ta gọi hệ trục đó là hệ trục quán tính chính trung tâm.

FyxJJFxJJFyJJ

ccXYxy

2cYy

2cXx

+=+=+=

(4-9)

Hình 4.17: Xác định mô men quán tính đối với trục

trung tâm của mặt cắt ngang

x x1

x2

2a 2a

6a

8a

3a

4a 1

2

C

C1

C2

3a

0,43

a

y

77

Lúc đó mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục quán tính chính trung tâm được gọi là “mô men quán tính chính trung tâm”. Khi giải các bài toán sức bền vật liệu, ta thường sử dụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô men quán tính chính trung tâm. Bây giờ còn phải xác định vị trí của hệ trục chính. Muốn vậy, nói chung ta cần xét sự biến thiên của các mô men quán tính khi xoay trục. 4.5.2. Công thức xoay trục của mô men quán tính. Xét một mặt cắt ngang biểu diễn ở hình 4.18. Giả sử biết Jx, Jy, Jxy của mặt cắt ngang. Bây giờ chọn hệ trục toạ độ xoay quanh O một góc α, ta được hệ trục mới Ouv. Tìm sự liên hệ giữa Jx, Jy, Jxy với JU, JV, JUV. Ta có công thức chuyển trục:

⎩⎨⎧

−=+=

αααα

sinxcosyvsinycosxu

Nên: ( ) dFsinxcosyJ2

u ∫ α−α=

α−α+α= 2sinJxy2sinJcosJ 22x

Cuối cùng ta có:

αα 2sinJ2cos2

JJ2

JJJ xy

yxyxu −

−+

+=

Chú ý: Dùng công thức:

2

2cos1cos2 α+=α

va 2

2cos1sin 2 αα −=

Tương tự:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

α+α−

=

α+α−

−+

=

α−α−

++

=

2cosJ2sin2

JJJ

2sinJ2cos2

JJ2

JJJ

2sinJ2cos2

JJ2

JJJ

xyyx

UV

xyyxyx

V

xyyxyx

U

(4-10)

Đó là công thức xoay trục của mô men quán tính. Ta rút ra những nhận xét : * JU + JV = Jx + Jv

* Các công thức trên giống công thức tính σU, σV, τUV * Điều kiện để xác định hệ trục chính là: JUV = 0

Hoàn toàn giống điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái ứng suất τUV = 0. Vì vậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên cứu ở chương trước để xác định hệ trục chính và mô men quán tính chính.

(4-11) 2

xy2

yxyx

minmax/ J4)JJ(21

2JJ

J +−±+

=

Hình 4.18: Sơ đồ xoay trục để tính mô men quán tính

x

u

v

O

u v

x

y

α

A dF

F y

78

minmax/y

xy2/1 JJ

Jtg

−=α (4-12)

4.6. VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH. Để xác định các trục chính, các ứng suất chính của một hình phẳng nào đó ta cũng có thể sử dụng phương pháp hoạ đồ như đối với việc xác định phương chính, ứng suất chính đối với bài toán trạng thái ứng suất. Thật vậy đối chiếu các công thức tính mô men quán tính chính, xác định phương chính bằng giải tích như (4-10), (4-11) và (4-12) với các biểu thức xác định các ứng suất chính và phương chính ở chương 3 vừa rồi ta thấy về mặt toán học tương tự nhau. Từ (4-10) với lập luận và thực hiện các phép biến đổi như đối với việc xây dựng vòng tròn Mohr ứng suất, ta sẽ có vòng tròn Mohr quán tính. Khi biết Jx, Jy và Jxy thì tâm C của vòng

tròn quán tính có toạ đô: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +0,

2JJ

C yx

và bán kính sẽ là: 2xy

22yx J

2)JJ(

R +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= .

Cuối cùng ta có thể dựng vòng tròn quán tính và cách xác định các trục chính và giá trị các mô men quán tính chính như trên hình 4.19. Chú ý :Vòng tròn Mohr ứng suất có thể nằm cả 2 phía trục tung hoặc cắt trục tung, nhưng vòng tròn Mohr quán tính chỉ có thể nằm bên phải của trục trung mà thôi,vì giá trị mô men quán tính luôn luôn dương Từ hình vẽ vòng tròn Mohr quán tính (xem hình 4.19), ta có thể tìm vị trí các trục có mô men quán tính chính theo biểu thức:

maxy

xy

ymax

xy1 JJ

JJJ

J)180(tgtg

−=

−−=β−=α (4-13)

miny

xy2 JJ

Jtg

−=α (4-14)

4.7. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH. Bán kính quán tính cũng là một đại lượng có ý nghĩa và thường được sử dụng trong tính toán kết cấu, cũng như các đại lượng cơ học khác nó được ký hiệu và định

nghĩa theo biểu thức: FJr x

x = và FJ

r yy =

Trong đó: rx , ry là bán kính quán tính theo phương x và phương y. Tương tự đối

với trục chính, ta cũng có: F

JrvaìF

Jr minmin

maxmax == .

Hìmh 4.19: Vòng tròn Mohr quán tinh

α1

O

Jmin Jy

C

Juv

Jx

Ju Jmax β

α2

Phương trục chính có Jmax

Phương trục chính có Jmin

cực D

79

Ví dụ 4: Xác định mô men quán tính chính, trọng tâm của mặt cắt như hình 4.20. Bài giải: Trước tiên ta phân tích mặt cắt thành 3 hình chữ nhật và được đánh dấu I, II, III (xem hình 4.20). Với các trọng tâm từng hình là O1, O2, O3 và kính thước được xác định.

1. Xác định trọng tâm C của toàn hình: Chúng ta biết vì trục y là trục đối xứng nên trọng tâm cả hình chắc phải nằm trên trục y. Vì vậy trước tiên ta chọn trục xo qua trọng tâm của hình III, nó cùng với trục y là hệ trục ban đầu. Gọi yc là tung độ của trọng tâm C trong hệ xoO3 y thì nó được xác định bởi:

F

Sxy o

c =

Trong đó: Sxo- Mô men tĩnh toàn hình lấy đối với trục xo; F- Diện tích toàn hình : F = F1 + F2 + F3 = 2a × a + a × 4a + 6a × a = 12a2 và III

xIIx

Ixx oooo

SSSS ++=

Trong đó: 32311

Ix a10a5a200FS

o=×=×=

3322

IIx a10a5,2a4a00FS

o=××=×=

00aa600FS 333IIIxo

=××=×=

Vậy: oxS = 10a3 + 10a3 + 0 = 20a3

Cuối cùng : a35

a12a20

FS

y 2

3x

co +=+==

Vậy trọng tâm C đã được xác định. Chú ý : Trục xo ban đầu chọn ở đâu cũng được nhưng tất nhiên chọn qua trọng tâm một hình nào đó thì đơn giản hơn. 2. Mô men quán tính chính trung tâm. a) Tính Jy: Vì y là trục qua trọng tâm của mọi hình nên ta sử dụng công thức tính mô men quán tính cho hình chữ nhật.

IIIy

IIy

Iyy JJJJ ++=

mà 43

Iy a

32

12)a2(aJ ==

3a

12a.a4J

43IIy ==

43

IIIy a18

12)a6(aJ ==

y

Hình 4.20: Xác định mô men quán tính chính

2a

6a

a

5a

2,5a

y C 3

/5a

4a

a

a xo

O1

O2

O3

I

II

III

C x

80

Vậy Jy = 19a4 b. Tính Jx: Vì trục x không đi qua trọng tâm của một hình chữ nhật nào nên phải dùng phép chuyển trục song song.

IIIx

IIx

Ixx JJJJ ++=

Mà 18

a403a35a5)aa2(

12aa2J

423Ix =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×+

×=

18

a146a35a5,2)aa4(

12)a4(aJ

423IIx =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×+=

423

IIIx a

18309a

35)aa6(

12a.a6J =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×+=

Vậy 44444

x a3

14318

a85818

a30918

a14618

a403J ==++=

Ví dụ 5: Xác định vị trí hệ trục quán tính chính trung tâm và mô men quán tính chính trung tâm của một mặt cắt ngang ghép bởi các thép định hình chữ số 22a và thép góc đều cạnh 100×100×10 như trên hình 4.21a. Bài giải: Trước hết tra các số liệu cần thiết cho các thép định hình - Đối với thép chữ 22a (đánh dấu là hình I):

h1 = 22cm; 10Z = 2,47cm; F1= 28,6cm2; 4)I(

y4)1(

x cm186J;cm2320J11==

Vì hệ trục trung tâm (x1, y1) của thép chữ có trục đối xứng, nên J 0)1(yx 11=

- Đối với thép góc đều cạnh 100 × 100 × 10 (đánh dấu là hình 2): b2 = 10cm ;

2oZ = 2,83cm ; F2 = 19,20cm2

4)2(y

)2(x cm179JJ

22== ; 4)2(

min4)2( cm1,74J;cm284J max ==

Gọi C2 là trọng tâm của thép góc đều cạnh và hệ trục (x2, y2) là hệ trục trung tâm song song với các cạnh. Hệ trục này không phải là hệ trục chính trung tâm của thép góc đều cạnh nên ta phải tính mô men quán tính ly tâm )2(

yx 22J của nó.

Theo công thức (4-10)(1): ( )max

2y

)2(yx)2(

1 JJJ

tg2

22

−=α

Với vị trí của thép góc đều cạnh như trên hình 4.19, thì 0)2(1 45−=α nên:

284179J

)45(tg)2(yx0 22

−=−

Rút ra: 4)2(yx cm105)284179(1J

22=−×−=

(1) Đặc biệt đối với thép có góc đều cạnh, ta có thể tính

22yxJ một cách đơn giản.Vì 22 yx JJ = , nên theo vòng

Mohr quán tính ta được : 2

1,742842

JJ(max)J minmax

xy−

=−

= ≈ 105cm4

81

Sau khi đã có đủ số liệu, ta sẽ tiến hành tính toán theo trình tự sau: 1. Xác định trọng tâm của mặt cắt ngang ghép (hình 4.18a) cho hệ trục ban đầu là hệ trục trung tâm (x1, y1) của hình 1. Như vậy mô men tĩnh của thép chữ đối với các trục này đều bằng 0: 0S;0S )1(

y)1(

x 11==

Do đó mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với các trục x1 và y1 chính bằng mô men tĩnh của thép góc đều cạnh cũng đối với các trục đó:

32,0

12212

)2(xx cm15783,2

2222,19z

2hF)c(y.FSS

11=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −===

( ) ( ) 32,01,02212

)2(yy cm10283,247,2.2,19zzF)c(x.FSS

11=+=+===

Diện tích của mặt cắt ngang: F = F1 + F2 = 28,6 + 19,2 = 47,8m2 Trọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x1, y1 được tính theo công thức (4-3) :

cm13,28,47

102F

S)c(x 1y

1 === ;

cm28,38,47

157F

S)c(y 1x

1 ===

2. Tính các mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với hệ trục trung tâm (x,y) của nó (hình 4.18a) song song với hệ trục (x1, y1) và (x2, y2).

- Đối với thép chữ : cm13,2x

1c −= ; cm28,3y1c −=

421

2c

)1(x

)1(x cm26286,28.)28,3(2320FyJJ

11=−+=+=

4

1cc)1(yx

)1(xy

421

2c

)1(y

)1(y

cm2006,28).28,3)(13,2(0FyxJJ

cm3166,28.)13,2(186FxJJ

1111

11

=−−+=+=

=−+=+=

max

a) z01

z02 x1(c)

y 1(c

)

Jmax

Jmin

x1

x

x2 C2

C1

C

1 2

α1

α2

y2

y

y1 Juv(cm4)

O 1000 2000 3000

Jmin=550cm2

Jma x=3400 cm4

Ju(cm4) α1=120

α2=780

min

Jy C M1

1000

b)

82

Hình 4.21: Xác định trọng tâm và mô men quán tính chính của hình ghép - Đối với thép góc đều cạnh (hình 4.22)

( )

42cc

)2(yx

)2(xy

422

2c

)2(x

)2(x

)c(1021

c

C10201c

cm5,4022,19)89,4()17,3(105FyxJJ

cm6402,19)89,4(179FyJJ

cm89,428,383,22

22yz2h

y

cm17,313,283,247,2xzzx

2222

222

2

2

=⋅⋅+=+=

=⋅+=+=

=−−=−−=

=−+=−+=

Như vậy mô men quán tính của mặt cắt ngang ghép đối với hệ trục trung tâm (x,y) sẽ là :

4)2(

xy)1(

xyxy

4)2(y

)1(yy

4)2(x

)1(xx

cm5,6025,402200JJJ

cm687371316JJJ

cm32686402628JJJ

=+=+=

=+=+=

=+=+=

3. Xác định vị trí của hệ trục quán tính chính trung tâm:

- Bằng vòng Mohr quán tính, ta đo được (tỷ lệ xích 2cm ứng với 1000cm4):

Jmax = 3.400cm4; Jmin=550cm4; α1 = -120; α2 = 780 - Bằng giải tích: Theo công thức (4-10) và (4-11) Jmax =

422 cm5,3407)5,602(4)6873268(21

26873268

=⋅+−++

Jmin = 422 cm5,547)5,602(4)6873268(21

26873268

=⋅+−−+

tgα1 = 222,05,3407687

5,602JJ

J

mxy

xy −=−

=−

α1 = -12030' ; α2 = 900 - 12030' = 77030' CÂU HỎI TỰ HỌC:

4.1. Các đại lượng nào được gọi là các đặc trưng hình học của diện tích phẳng? 4.2. Cách xác định trọng tâm của một hình ghép từ các hình đơn giản ? 4.3. Trên một hình phẳng, những trục nào có giá trị mômen tĩnh đối với nó bằng không?

Những trục đó gọi là gì và giao điểm của nó ở đâu ? 4.4. Cách xác định các trục quán tính chính trung tâm đối với một hình ghép từ các hình

đơn giản. 4.5. Công thức chuyển trục song song ?

Hình 4.22: Xác định vị trí của hệ trục quán tính chính trung tâm

z02

x2 C

α1(2)=-450

y2

83

4.6. Công thức xoay trục 4.7. Sự giống nhau và khác nhau giữa việc xác định phương chính, ứng suất chính đối

với trạng thái ứng suất và trục quán tính chính cũng như giá trị của mô men quán tính chính đối với hình phẳng ?

- - - - - -

84

Chương 5 UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG

5.1.KHÁI NIỆM. Một thanh chịu uốn là một thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm. Ví dụ: Dầm chính của một cái cầu (hình 5.1), trục bánh xe lửa (hình 5.2), xà nhà...

Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc với trục dầm, hay là những mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm.

Một số định nghĩa : - Nếu ngoại lực cùng tác dụng trong một mặt phẳng chứa trục dầm thì mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng tải trọng.

- Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của dầm gọi là đường tải trọng.

- Mặt phẳng quán tính chính trung tâm là một mặt phẳng tạo bởi một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và trục dầm.

Trên hình 5.3, giả sử y là trục đối xứng của dầm, z là trục dầm, thì mặt phẳng Oyz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

Nếu trục dầm khi bị uốn cong vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó được gọi là uốn phẳng

Trong thực tế, những dầm bị uốn thường là những dầm có mặt cắt ngang là hình đối xứng qua một trục. Vì vậy, trong chương này ta chỉ xét các loại dầm có tính chất đó, nghĩa là các loại dầm có ít nhất một mặt đối xứng đi qua trục của dầm (hình 5.3). Ngoài ra, ta cũng giả thiết thêm rằng, ngoại lực tác dụng trong mặt phẳng chứa trục dầm và trục đối xứng của mặt cắt ngang, tức là ngoại lực tác dụng trong một mặt phẳng đối xứng đi qua trục của dầm. Như vậy, trong trường hợp uốn phẳng đang xét, mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng tải trọng và đồng thời là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Vì tính chất đối xứng, nên trục dầm sau khi bị uốn là một đường cong phẳng nằm trong mặt phẳng đối xứng đó.

Trục đối xứng của mặt cắt là đường tải trọng. Ta chia uốn phẳng làm hai loại: a) Uốn thuần túy phẳng. b) Uốn ngang phẳng.

Hình 5.3:Một dầm chịu uốn phẳng

V

x

y

z

M0

P

q(z)

O

Hình 5.1: Dầm chính ầ

Hình 5.2: Trục á ử

B P q

85

A. DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

Trên hình 5.4, hình 5.5: P, Mo nằm trong mặt phẳng đối xứng.

Rõ ràng tất cả mọi mặt cắt ngang thuộc đoạn AB của hai dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm (mặt phẳng quán tính chính trung tâm).

Do đó, đoạn AB chịu uốn thuần túy. 5.2. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG.

Để tính ứng suất trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng, trước hết ta xét biến dạng của dầm. 5.2.1. Quan sát biến dạng: Quan sát một dầm chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trước khi cho dầm chịu lực, ta kẻ những đường thẳng song song với trục để biểu diễn các thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với trục để biểu diễn các mặt cắt ngang (hình 5.6a).

Khi có mô men uốn tác dụng vào hai đầu dầm, ta nhận thấy rằng những đường thẳng trước kia song song với trục dầm thì bây giờ trở thành những đường cong và vẫn song song với trục dầm

Những đường thẳng trước kia vuông góc với trục dầm, bây giờ vẫn vuông góc với trục dầm. Như vậy, những góc vuông vẽ trước khi biến dạng, thì sau biến dạng vẫn là góc vuông (hình 5.6b). 5.2.2. Giả thuyết.

Từ các nhận xét trên, ta đưa ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính tóan cho một thanh chịu uốn thuần túy:

aa

A

Hình 5.4: Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng

MO MO

(Mx)

MO

B

l

Hình 5.5: Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng

PP

C A B D

P

P

PP

(Qy)

(Mx)

Hình 5.6: Biến dạng của dầm chịu uốn phẳng thuần tuý

a)

b

Mx Mx

a b

c d

86

a) Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng (Bemili): Trước khi biến dạng mặt cắt ngang của dầm là phẳng thì sau biến đạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm.

b) Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau.

Ngoài hai giả thuyết trên, ta còn giả thuyết rằng vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, tức là vật liệu tuân theo định luật Hooke. 5.2.3. Công thức tính ứng suất pháp:

* Quan hệ biến dạng. Khi quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy như trên hình 5.6a, ta nhận thấy: Các thớ dọc phía trên trục dầm bị co lại (thớ ab), các thớ dọc phía dưới trục dầm bị giãn ra (thớ cd). Như vậy, từ thớ bị co sang thớ bị giãn, chắc chắn sẽ có các thớ không bị co cũng không bị giãn, tức là thớ không biến dạng. Các thớ đó gọi là thớ trung hòa (hình 5.7a).

Các thớ trung hòa tạo thành một lớp được gọi là lớp trung hòa.

Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa. Vì các thớ trên bị nén, nên bề rộng của mặt cắt ở phía trên phình ra, còn các thớ phía dưới chịu kéo nên bề rộng của mặt cắt ở phía dưới thu hẹp lại (hình 5.7b). Mặt cắt ngang không còn nguyên dạng hình chữ nhật như trước khi bị biến dạng. Đường trung hòa là một đường cong nhưng vì biến dạng nhỏ, nên có thể coi mặt cắt sau khi biến dạng vẫn không đổi (vẫn hình chữ nhật) và coi đường trung hòa là đường thẳng và biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa. Bây giờ, ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 5.8a).

Sau biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng thì hai mặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn

phẳng và vuông góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau một góc dϕ. Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hòa O1O2 (hình 5.8b). Vì thớ trung hòa không bị biến dạng nên:

Hình 5.7: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý ẳ

Thớ trung hoà

Đường trung h ày

x

Mx Mx Lớp trung hoà

O

a)

b)

Trục đối xứng

Đường trung hoà

a)

Thớ trung h à

y

dz

1 2O2 O1

21m n

Hình 5.8: Xét sự biến dạng của một thớ

ρ

y

dϕ Thớ trung

hoà

m1 2

n

O1 O2

1 2

b)

87

O1O2 ϕρ=== dOOdz 21 Bây giờ, tính biến dạng dài của một thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng cách

y. Chiều dài của thớ này trước khi bị biến dạng: ϕρddzmn == và sau khi biến dạng : mn= (ρ + y) dϕ

Vậy, độ biến dạng dài tỉ đối của thớ mn bằng:

ρ=

ϕρϕρ−ϕ+ρ

=εy

ddd)y(

z

Trong đó, giá trị của y và ρ đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa xác định. * Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn mặt cắt 2-2. Mặt cắt đó được biểu diễn như trên hình 5.9. Trên mặt cắt đó ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox là đường trung hòa, Oy là trục đối xứng của mặt cắt, Oz song song với trục của dầm. Chiều của các trục như hình vẽ (hình 5.9a).

Bây giờ, ta tách ra một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt

tọa độ. Phân tố đó được biểu diễn trên hình 5.9b. Theo giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng và với nhận xét các ô vuông sau khi biến dạng vẫn giữ góc vuông, nghĩa là trên các mặt cắt của phân tố không thể có ứng suất tiếp. Nói cách khác, trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có ứng suất pháp σz..Theo giả thuyết về các thớ dọc thì σx= σy = 0.

Như vậy, trạng thái ứng suất của một phân tố tách ra ở một điểm A nào đó trên mặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn. Định luật Hooke cho phép ta biểu diễn quan hệ

giữa σz và εZ như sau : ρ

εσ yEE zz == (b)

* Quan hệ ứng suất và nội lực: Xét một phân tố diện tích dF bao quanh điểm A. Phân tố nội lực tác dụng lên phân

tố diện tích đó là σzdF. Nếu quy về gốc tọa độ O của hệ trục trên mặt cắt ngang đang xét, thì chúng ta

được các thành phần phân tố nội lực: dNz = σzdF

dMy = (σzdF)⋅x dMx = (σzdF)⋅y

Vì chúng ta nghiên cứu dầm chịu uốn thuần túy phẳng, cho nên trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có mô men uốn Mx; còn My = 0 và Nz = 0. Do đó : Nz = 0dF

F z =∫ σ (c)

y

σzdF

dF

z

x

x

y

O

Mx

F

a)

σz σz

b)

Hình 5.9: Xác định ứng suất của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng

88

My = 0xdFF z =∫ σ (d)

Mx = ∫F z ydFσ (e)

Trong đó các tích phân lấy trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt ngang.

a) Lực trục NZ: Mang (b) vào (c) và chú ý tỉ số ρE là một hằng số ở trên mọi

điểm của mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân :

Nz = ∫ ∫ ==F F

0ydFEydFEρρ

Rút ra Sx = ∫ =F

0ydF

Trong đó, Sx là mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox. Điều đó chứng tỏ đường trung hòa Ox trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang.

b) Mô men uốn My: Mang (b) vào (d) ta có :

My = ∫ ∫ ==F F

0xydFpExydF

pE

Rút ra : Jxy = ∫ =F

0xydF

Trong đó Jxy là mô men quán tính li tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục Oxy. Vậy, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. c) Mô men uốn Mx: Sau khi xác định vị trí đường trung hòa Ox, ta thiết lập

công thức ứng suất pháp. Mang (b) vào (e) ta có:

Mx = ∫ ∫ ρ=

ρ=

ρF F x22 JEdFyEdFyE

Rút ra : x

x

EJM1

=ρ

(5-1)

Trong đó EJx: Độ cứng của dầm khi uốn.

Khi thay (5-1) vào (b) ta được: yJ

M

x

xz =σ (5-2)

Trong đó, Mx: Mô men uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox và được coi là dương nếu làm căng các thớ ở về phía dương của trục y. Jx: Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox . y: Tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox.

Ứng suất pháp tính được mang dấu cộng là ứng suất kéo, mang dấu trừ là ứng suất nén .Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể viết (5-2) dưới dạng công thức kĩ

thuật : |y|JM

x

xz ±=σ (5-3)

Trong đó, ta lấy dấu (+) khi σz là ứng suất kéo và dấu (-) khi σz là ứng suất nén ở điểm chúng ta tính ứng suất. 5.3. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT PHÁP - ỨNG SUẤT PHÁP LỚN NHẤT. 5.3.1. Biểu đồ ứng suất pháp.

89

Theo công thức (5-2), biểu đồ ứng xuất pháp trên mặt cắt ngang là một mặt phẳng (thường gọi là mặt phẳng ứng suất), hình 5.10a.

Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hòa.

Theo công thức (5-2), ta thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hòa (tức có cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số ứng suất pháp.

Do đó, ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất pháp σz theo chiều cao của mặt cắt ngang (hình 5.10b). Như vậy, ứng suất pháp ở những điểm nằm trên đường thẳng AB song song với đường trung hòa được biểu diễn bằng đoạn thẳng ab trên biểu đồ phẳng (hình 5.10a, b). Trên biểu đồ phẳng (hình 5.10b), dấu (+) chỉ ứng suất pháp kéo, dấu (-) chỉ ứng suất pháp nén. 5.3.2. Ứng suất pháp lớn nhất.

Từ biểu đồ ứng suất pháp, ta thấy ở những điểm cách xa đường trung hòa nhất thì ứng suất pháp σz có giá trị lớn nhất.

Kí hiệu: |ykmax| là khoảng cách từ điểm chịu kéo cách xa đường trung hòa nhất,

|ynma x| là khoảng cách từ điểm chịu nén cách xa đường trung hòa nhất.

Thay các trị số này vào (5-3), ta được các ứng suất pháp cực trị như sau:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−=

=+=

nx

xnmax

x

xmin

kx

xkmax

x

xmax

W|M||y|

J|M|

W|M||y|

J|M|

σ

σ (5-4)

Trong đó, ta đặt: |y|

JW;|y|

JW nmax

xnxk

max

xkx ==

Những đại lượng W kx , W n

x được gọi là mô men chống uốn của mặt cắt ngang; thứ nguyên của nó là (chiều dài)3, đơn vị m3, cm3 v.v...

Mô men chống uốn là một đại lượng hình học, ý nghĩa của nó thể hiện trong công thức (5-4); tức Wx càng lớn thì dầm có thể chịu Mx càng lớn. Như vậy, mô men chống uốn đặc trưng cho ảnh hưởng của hình dáng và kích thước của mặt cắt

a) x

z

y

A

B

Mx

OĐường trung hoà

a b

σma x

σmin

y

kma x

y

nma x

b)

Hình 5.10: Biểu đồ ứng suất pháp

y

Hình 5.11: Xác định mô

men chống uốn của hình chữ

h

y

xO

b

90

ngang đối với độ bền của dầm khi ứng suất pháp chưa vượt quá giới hạn tỉ lệ. Dưới đây, ta tính mô men chống uốn của một vài mặt cắt ngang có dạng hình học

đơn giản. - Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.11). Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox:

Jx = 12bh 3

Ở đây |y2h|y|| n

maxkmax ==

Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình chữ nhật là:

6

bhWWW2

xnx

kx === (5-5)

- Mặt cắt ngang hình tròn (hình 5.12). Mô men quán tính của mặt ngang hình tròn đối với đường trung hòa Ox:

Jx = 64D

4R 44 ππ

=

Ở đây |y2DR|y|| n

maxkmax ===

Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn:

W === xnx

kx WW

32D

4R 33 ππ

= (5-6)

hay: W 3x

nx

kx D1,0WW === (5-7)

- Mặt cắt ngang hình vành khăn (hình 5.12b) . Nếu gọi α là tỉ số giữa đường kính trong d và đường kính ngoài D, thì mô men

quán tính của mặt cắt ngang vành khăn là:

)1(64D)1(

4RJ 4

44

4

x απαπ−=−=

với Rr

Dd==α

Ơ đây: 2DR|y|y n

maxkmax ===

Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình vành khăn là: W x

nx

kx WW ==

)1(4R 4

3

α−π

=

)1(32D 4

3

α−π

= (5-8)

hay : W ≈== xnx

kx WW 0,1D3 (1-α4) (5-9)

5.4. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG.

a)

D

R

rR

D d

b)

Hình 5.12: Xác định mô men chống của hình vành khăn

91

Muốn dầm làm việc được bền thì ứng suất lớn nhất khi kéo và nén ở mặt cắt ngang nguy hiểm (nói chung mặt cắt nguy hiểm có max |Mx| không vượt quá ứng suất pháp cho phép của vật liệu), đó là điều kiện bền.

Đối với vật liệu dẻo, ứng suất pháp cho phép khi kéo bằng khi nén, nhưng đối với vật liệu giòn thì ứng suất pháp cho phép khi kéo khác khi nén, nên ta phải viết điều kiện bền cho cả hai trường hợp:

- Dầm bằng vật liệu dẻo. Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén bằng nhau:

[σ]k = [σ]n = [σ] Nên trong hai giá trị σmax, σmin ta sẽ chọn ứng suất pháp có giá trị tuyệt đối lớn

nhất để so sánh với ứng suất pháp cho phép. Điều kiện bền la: max |σ| ≤ [σ] (5-10)

Trong đó [σ] - ứng suất pháp cho phép của vật liệu dẻo. - Dầm bằng vật liệu giòn: Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén khác nhau, nên ta phải có hai điều

kiện bền: σmax ≤ [ σ]k ; |σmin| ≤ [ σ]n (5-11) Trong đó [σ]k và [σ]n - ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén. * Ví dụ 1: Một dầm bằng vật liệu giòn có ứng suất pháp cho phép khi kéo |σ|k =

3,5KN/cm2 và khi nén [σ]n = 11KN/cm2 chịu lực như hình vẽ (hình 5.13). Kiểm tra độ bền của dầm :

Bài giải :Trước hết ta phải tìm trọng tâm và mô men quán tính của mặt cắt ngang (xem chương đặc trưng hình học của mặt cắt ngang phẳng): Jx = 362,6667cm4

Biểu đồ nội lực được biểu diễn trên hình 5.13b. Vì mô men uốn là một hằng nên ở bất kì một mặt cắt ngang: Mx = 4,5 KNm

Qua biểu đồ mô men ta thấy phía trên bị kéo và phía dưới chịu nén. Tức là những điểm phía trên trục x chịu kéo (điểm A chịu kéo lớn nhất), các điểm phía dưới trục x chịu nén (điểm B chịu nén lớn nhất).

Ứng suất pháp kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng:

max σk = σA = 22

kx

x cm/KN31,367,26667,362105,4

WM

≈⋅⋅

=

Ứng suất pháp nén lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng:

Hình 5.13: Kiểm tra độ bền của dầm

Mx

4,5KN

4,5KNm4,5KNm

a)

b)

y

c)

10

140

10

10

02 0 26 7

73 3

xO

3,31KN/cm2

9,1KN/cm2 d)

A

B

92

|max σn | = σB = 22

nx

x cm/KN11,933,76667,362105,4

WM

≈⋅⋅

=

Dầm đủ bền vì max σk < [σ]k và max| σn| < [σ]n * Ví dụ 2: Xác định đường kính đoạn trục bánh xe hỏa nằm giữa hai bánh, chịu

lực như trên hình 5.14a. Cho P = 63KN; a = 22,8 cm. Vật liệu có giới hạn bền bằng 26KN/cm2. Lấy hệ số an toàn n = 6,3.

Bài giải : Mô men uốn ở mặt cắt ngang trong đoạn nằm giữa hai bánh xe bằng: Mx = Pa = 63×22,8 = 1.436 KNcm

Mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn : Wx ≈ 0,1 d3cm3 Vì trục làm bằng vật liệu dẻo,

nên theo điều kiện bền :

[ ]3,6

26d1,0

4,1436WM

3x

x =σ≤=

Rút ra:

cm2,15261,0

3,64,1436d 3 ≅××

≥

5.5. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH DẠNG HỢP LÍ CỦA MẶT CẮT NGANG

Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là hình dạng sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời tốn ít vật liệu nhất.

a) Dầm bằng vật liệu giòn: Mặt cắt của dầm sẽ hợp lí nhất khi ứng suất cực trị thỏa mãn các điều kiện: [ ] [ ]nminkmax ; σ=σσ=σ

Trong đó [σ]k là ứng suất cho phép khi kéo và [σ]n là ứng suất cho phép khi nén. Thay các trị số σmax và σmin được tính theo công thức (5-7) vào các đẳng thức trên,

ta sẽ được: nnmax

x

xk

kmax

x

x ][|y|J

|M|;][|y|J

|M|σ=σ=

Chia các vế của đẳng thức trên cho nhau, ta được: n

knmax

kmax

][][

|y||y|

σσ

= (5-12)

Vì đối với vật liệu giòn [σ]k< [σ]n nên:

|y||y|hay1|y||y| n

maxkmaxn

max

kmax <<

Vậy, đối với dầm bằng vật liệu giòn, hình dạng hợp lí của mặt cắt ngang là dạng mặt cắt không đối xứng qua trục trung hòa Ox và phải

Hình 5.15: Xác định hình á í

yz

x

ykma

x

ynma

x

Mx O

Hình 5.14: Kiểm tra bền

PP

P

a

P

PP

a

(Qy)

(Mx)

b)

a)

93

bố trí sao cho tỉ số giữa |y|vaì|y| nmax

kmax thỏa mãn (5-12).

Ví dụ mặt cắt hình chữ T (hình 5.15). b) Dầm bằng vật liệu dẻo:

Vì với vật liệu dẻo [σ]k = [σ]n nên: |y||y| nmax

kmax =

Tức là mặt cắt ngang có dạng đối xứng qua đường trung hòa Ox, ví dụ như mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, tròn...

Ngoài ra, qua biểu đồ ứng suất pháp như trên (hình 5.10), ta nhận thấy ở những điểm càng gần trục trung hòa thì trị số ứng suất pháp càng nhỏ, nghĩa là những nơi đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa đường trung hòa. Vì vậy, để tận lượng khả năng làm việc của vật liệu, nên người ta có khuynh hướng bố trí vật liệu ra xa trục trung hòa, ví dụ mặt cắt ngang dạng chữ T, I, .

Việc bố trí mặt cắt cũng có một ý nghĩa rất lớn. Đó chính là định hướng của mặt cắt ngang đối với mặt phẳng tải trọng. Ví dụ mặt cắt ngang hình chữ I được bố trí hợp lý nhất là làm sao cho trục trung hòa trùng với trục mà đối với trục đó Jx = Jmax. B. DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn. Các thành phần nội lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm.

Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16). Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực

là lực cắt Qy và mô men uốn Mx. Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm là Oyz (hình 5.17). 5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG .

Công thức tính ứng suất pháp σz (5-2) được suy ra cho trường hợp Mx = const. Nếu mô men uốn Mx là một hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt:

dzdM

Q xy =

x

yz

MxQy

Hình 5.17: Nội lực trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng

Hình 5.16: Dầm chịu lực có mặt cắt ngang

hình chữ nhật

b

dz

y

xP l

11

22

P

Pl

94

Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất pháp do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt Qy gây ra. Đối với trường hợp này, sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang không còn phẳng nữa. Mặt cắt ngang không những bị xoay như trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít do tác dụng của ứng suất tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục 5-2 không còn phù hợp. Nhưng "Lý thuyết đàn hồi" đã chứng minh rằng, công thức (5-2) có thể dùng được trong trường hợp uốn ngang phẳng mà sai số mắc phải không lớn. Vì vậy, chúng ta thừa nhận công thức (5-2) để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng:

σz = yJ

M

x

x (5-13)

5.7. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG.

Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật. Nói chung, ứng suất tiếp τz ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang có thể không cùng phương với lực cắt Qy.

Phân tích ứng suất tiếp τz ra thành hai thành phần τzy và τzx (hình 5.18): τz = 2

zx2zy ττ +

Trong đó:τzy là thành phần ứng suất tiếp song song với lực cắt Qy (tức là song song với Oy); τzx là thành phần ứng suất tiếp vuông góc với lực cắt Qy (tức là song song với Ox).

Cách xác định ứng suất tiếp τz ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang là vấn khó khăn. Vả lại nếu mặt cắt có dạng hình chữ nhật hẹp thì thành phần ứng suất tiếp τzx rất bé so với τzy. Nên trong thực tế, người ta thường chỉ xác định thành phần ứng suất tiếp song song với lực cắt τzy.

Để lập công thức tính thành phần ứng suất tiếp song song với lực cắt, ta thừa nhận giả thuyết sau:

Thành phần ứng suất tiếp song song và cùng chiều với lực cắt ở một điểm bất kì K trên mặt cắt ngang là phân tố đều theo đoạn thẳng đi qua điểm K và vuông góc với lực cắt.

Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một đoạn vô cùng bé dz bằng hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (xem hình 5.19 và hình 5.20).

Sau đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang xét K và vuông góc với lực cắt Qy. Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm hai phần, ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH (hình 5.20).

Viết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương trình hình chiếu của các lực lên phương của trục dầm (trục Oz).

- Trên mặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là σz(1) (hình 5.20), ta có:

Hình 5.18: Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu ố

Qy O τ τxy

τzx

95

σz(1) = yJM

x

x

Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương Oz bằng:

N1= cx

x

x

FcFc x

x)1(z S

JMydF

JMdF == ∫∫σ (a)

Trong đó: Fc - Diện tích của mặt ABCD mà ta gọi là diện tích cắt; S cx - Mô men

tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hòa Ox

- Trên mặt EFGH: Ứng suất pháp trên mặt 2-2 này là σz(2):

σz(2) = yJ

dMM

x

xx +

Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt AFGH lên phương OZ bằng:

N2 = ∫+

=Fc x

xx)2(z J

dMMdFσ ∫+

=Fc

cx

x

xx SJ

dMMydF (b)

- Trên mặt ABEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc, trên mặt này chỉ có ứng suất tiếp. Dựa vào định luật đối ứng, thành phần ứng suất tiếp τyz song song với trục OZ bằng:

τyz = τzy Vì chúng ta đã thừa nhận ứng suất tiếp τzy phân bố đều trên đoạn AB (hình 5.20)

nên thành phần ứng suất tiếp τyz cũng phân bố trên toàn mặt ABEF. Do đó, hình chiếu của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên phương OZ bằng: T = τyz × diện tích (ABEF) = τzybcdz

Trong đó bc là bề rộng của mặt cắt (tức chiều dài đoạn AB) đi qua điểm đang xét K và vuông góc với lực cắt Qy.

Vậy, điều kiện cân bằng dưới dạng phương trình tổng quát hình chiếu của các lực tác dụng lên phân tố ABCDEFGH lên phương OZ: Σz = 0; N1 - N2 + T = 0

hay 0dzbSJ

dMMS

JM c

zycx

x

xxcx

x

x =++

− τ

Hình 5.19: Phân tố VCB y

x

z

σz(2)

σz(1)

A B

FE

D C

GH

O

bc

dz

Mx+dMxMx

Qy

Qy

dz

1

1 2

2

Hình 5.20: Xác định ứng suất tiếp

96

rút ra: τzy = cx

cxx

bJS

dzdM

Vì yx Q

dzdM

=

nên τzy = cx

cxy

bJS.Q

(5-14)

Trong đó: S cx - Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt đối với trục trung hòa; bc -

Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm đang xét và vuông góc với lực cắt. Công thức (5-14) được gọi là công thức Durápski.

Dưới đây, ta lần lượt tính ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt ngang đơn giản. a) Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.21). Để xác định sự phân bố của thành phần ứng suất tiếp τzy trên toàn bộ mặt cắt,

trước hết ta tính thành phần ứng suất tiếp τzy ở điểm K (hình 5.21). Bề rộng mặt cắt đi qua điểm K bằng : bc = b. Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt (phần dưới) đối với trục trung hòa Ox bằng:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 2

22cx h

y418

bh21y

2hy

chbS

Mô men quán tính của mặt cắt đối với

trục trung hòa Ox: Jx = 12bh3

Khi thay các giá trị trên vào (5-14) ta được:

τzy = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2y

hy41

bhQ

23

Như vậy, quy luật phân bố của τzy là một đường Parabol bậc hai. Những điểm ở trên trục trung hòa Ox là những điểm có ứng suất tiếp τzy lớn nhất (y=0):

τmax = bhQ

23 y (5-15)

b) Mặt cắt ngang hình chữ I (hình 5.22). Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp τzy trong lòng chữ I Tính ứng suất tiếp τzy ở điểm K nằm trong lòng chữ I. Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng:

bc = d ;

S2ydS

2y)yd(S

2

xxcx −=−=

Thay chúng vào (5-14), ta được:

Hình 5.2: Xác định ứng suất tiếp

y

xy K

O

b

Qy τmax

h

b

y

x

h

y

Qy

K dO

τmax

Hình 5 22: Xác định ứng

97

τzy = dJ

2ydSQ

x

2

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Vậy, luật phân bố của τzy dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang chữ I là một đường Parabol bậc hai.

Ứng suất tiếp τzy đạt tới giá trị lớn nhất ở trên trục trung hòa (y=0) : τmax =

dJS.Q

x

xy

Trong đó Sx là mô men tĩnh của nửa hình chữ I lấy đối với trục trung hoà Ox, đại lượng này được cho trong các sổ tay kĩ thuật.

c) Mặt cắt ngang hình tròn (hình 5.23)

Đối với trường hợp này : bc = 2 22 yR − ; Jx = 4R4π

( ) ( ) ∫∫ −=⋅⋅−=⋅⋅=R

y23

222R

y

cx )yR(

32dyR2dbS ξξξξξ

Thay chúng vào (5-14) và chú ý diện tích mặt cắt hình tròn F là π.R2 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅= 2

2y

zy Ry1

FQ

34τ

Công thức này chứng tỏ τzy biến thiên dọc theo đường kính của

mặt cắt ngang hình tròn là đường cong bậc hai. Ứng suất tiếp τzy đạt tới giá trị lớn nhất ở những điểm nằm trên đường trung hòa (y=0):

F

Q34 y

max ⋅=τ (5-17)

5.8. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng suất pháp σz do mô men uốn Mx gây ra, còn có ứng suất tiếp τzy do lực cắt Qy gây ra. Trên hình 5.24 biểu diễn biểu đồ ứng suất pháp σz và ứng suất tiếp τzy dọc theo

x Mx

b

C

O

B

A Qy

τma x

σmin A

O

C

D

a

Hình 5.23: Xác định ứng suất tiếp

Qy O K

x

bcb(ξ) d

(ξ

)

y

R τmax ξ

98

chiều cao mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng. Dựa vào biểu đồ này, chúng ta thấy rằng trạng thái ứng suất của các phân tố trên

mặt cắt ngang sẽ khác nhau. Nói chung, chúng ta có ba trường hợp sau : a) Trạng thái ứng suất đơn:Vì ứng suất tiếp ở những điểm mép trên cùng và

dưới cùng bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn (tại điểm Avà D trên hình 5.24). Điều kiện bền của các phân tố : - Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max|σ| ≤ |σ| (5-18) - Đối với dầm bằng vật liệu giòn: σmax ≤[σ]k ; σmin ≤ [σ]n (5-19) b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những điểm trên trục trung hòa bằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái trượt thuần túy, ví dụ ở điểm O trên hình 5.24. Ứng suất chính của phân tố có trị số: σ1= -σ3= τmax ; σ2 = 0 (xem ở chương 3: Trạng thái ứng suất trượt). - Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện bền của phân tố:

τmax ≤ 2

][σ (5-20)

- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: τmax ≤ 3][σ (5-21)

Nếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra. c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt :

Vì ứng suất pháp và ứng suất tiếp nằm trong khoảng giữa trục trung hòa và mép trên cùng hay mép dưới cùng đều khác không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. Ví dụ ở điểm B, C trên hình 5.24.

Ứng suất chính của phân tố này là (xem chương 3: Trạng thái ứng suất):

22

1 22τσσσ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

22

3 22τσσσ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ; σ2 = 0

Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của phân tố trên là : - Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

][4 22 σ≤τ+σ - Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:

][3 22 σ≤τ+σ - Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền Mohr để kiểm tra bền.

* Chú ý: Không phải kiểm tra bền cho cả ba loại phân tố ở trên cùng một mặt cắt ngang. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, ta phải chọn mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất. Đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải chọn mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, phải chọn mặt cắt có mô men uốn và lực cắt cùng lớn (thường chỉ kiểm tra ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của mặt cắt ngang hình chữ I) , cũng có khí ba mặt cắt đó trùng nhau trở thành 2 hay 1 vị trí.

* Ví dụ 3: Kiểm tra bền dầm có mặt cắt ngang hình chữ I số hiệu 36 chịu lực như hình vẽ (hình 5.25a). Chiều dài của dầm là l=2m, cường độ tải trọng phân bố đều là

99

q=104N/m , lực tập trung P=20⋅104N, đặt cách gối tựa một khoảng cách a= 0,2m. Ứng suất cho phép là [σ]=150MN/m2.

Bài giải :Biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx được biểu diễn trên hình 5.25b, c. Chúng ta nhận thấy: - Mặt cắt ngang ở giữa dầm có mô men uốn lớn nhất: Mmax = 4,5.104Nm - Mặt cắt ngang ở A và B có lực cắt lớn nhất: Qmax = 21.104N - Mặt cắt ngang ở C, D có mô men uốn Mx và lực cắt Qy đều lớn:

Qy = 20,8.104N; Mx = 4,2.104Nm Số liệu và kích thước của mặt cắt ngang chữ I số 36 (cho theo bảng) như sau:

Jx = 13380cm4; Wx = 743cm3; Sx = 423cm3, d = 0,75cm; h = 36cm a) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:

Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất và ở biên trên hay biên dưới của mặt cắt ngang này. Ứng suất pháp lớn nhất bằng:

σmax = ][m/MN150m/MN57,6010.74310.5,4

WM 22

6

4

y

max σ=<== −

So sánh với ứng suất cho phép, ta thấy nhỏ hơn. Vậy điều kiện bền đối với phân tố này được thỏa mãn. b) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần túy:

Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có lực cắt lớn nhất và ở ngay trên trục trung hòa của mặt cắt ngang này. Ứng suất tiếp lớn nhất bằng:

τmax = 228

64

x

xmax m/MN5,8810.75,0.10.13380

10.423.10.21dJS.Q

== −−

−

Trị số ứng suất tiếp cho phép có thể tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình

dạng : [τ] = 2m/MN6,86732,1

1503][

≈=σ

So sánh τmax với [τ], ta thấy τmax lớn hơn một ít khoảng 2%. Điều đó có thể cho phép.

a)

b)

c)

d)

aa P Pq

l21.104N

21.104N

20,8.104N

4,18.104 4,5.104

h xd

b

t

4db−

A C D B

Hình 5.25: Kiểm tra bền

100

c) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: Phân tố này được chọn ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của chữ I trên mặt cắt

ngang có mômen uốn và lực cắt cùng lớn sát mép trái C hay sát mép phải D. Gọi K là điểm tiếp giữa lòng và đế của chữ I.

σk = 28

4

kx

x m/MN6,52)0123,018,0(10.13380

10.2,4yJM

=−=−

τk = 228

64

x

cxy m/MN8,65

10.75,010.1338010.5,31710.8,20

dJSQ

=⋅

⋅= −−

−

Trong đó: S 3kxx

cx cm5,317

277,1675,077,16423

2y

dyS =⋅⋅−=−=

Sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất, ta xác đinh ứng suất tương đương là: σtd = ][m/MN150m/MN125)8,65(36,523 22222

k2k σ=<=+=τ+σ

Ứng suất nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy dầm đủ bền . 5.9. CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN.

Phần trên ta đã trình bày bài toán kiểm tra bền. Ta sẽ trình bày tiếp các dạng bài toán cơ bản khác trong uốn ngang phẳng: - Chọn kích thước của mặt cắt. - Xác định tải trọng cho phép.

Đối với bài toán chọn kích thước của mặt cắt (hay xác định kích thước của mặt cắt) ,vì ảnh hưởng của ứng suất pháp lớn hơn nhiều so với ảnh hưởng của ứng suất tiếp, nên để đơn giản ta giải quyết bài toán như sau: Trước tiên ta bỏ qua lực cắt và sơ bộ chọn kích thước mặt cắt như đã làm đối với dầm chịu uốn thuần túy. Nói một cách khác, ta dựa vào trạng thái ứng suất đơn (phân tố A hoặc D hình 5.24) để sơ bộ chọn kích thước mặt cắt. Sau đó, phải tiến hành kiểm tra bền ở các phân tố khác như đã nói trên. Nếu điều kiện bền đối với các phân tố chịu trạng thái ứng suất khác không thỏa mãn, thì ta phải thay đổi kích thước mặt cắt (thường tăng kích thước lên hoặc chọn số hiệu thép định hình lớn hơn). Đối với bài toán xác định tải trọng cho phép cũng tiến hành tương tự như vậy.

* Ví dụ 4: Dầm có mặt cắt ngang với hình dạng chữ I chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.26a). Lực tác dụng P = 2,6.104N, l = 6m và ứng suất cho phép [σ]=160MN/m2

Xác định số liệu của mặt cắt . Bài giải: Biểu đồ mô men uốn Mx, lực cắt được biểu diễn như trên hình vẽ (hình 5.26b, c). Vì lực cắt ở mọi mặt cắt có trị số tuyệt đối như nhau, nên mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt có mô men uốn lớn nhất. Ta hãy lấy mặt cắt về phía bên trái của lực P. Trên mặt cắt đó ta có:

Qy = N130002P=

Mx = Nm10.9,34Pl 4=

P

l/2

l/2 a)

P/2 b)

P/2

Hình 5 26: Biẻu đồ nội

c)

Pl/4

101

Trị số ứng suất pháp lớn nhất trên mặt cắt : σmax = 26

x

4

x

x m/N10.160W

10.9,3WM

≤=

Trong điều kiện tiết kiệm nhất ta lấy σma x bằng ứng suất cho phép và như vậy ta sơ bộ tính được trị số mô men chống uốn :

Wx = 346

4

m10.44,210.16010.9,3 −≈

Căn cứ vào trị số đó, ta sơ bộ chọn kích thước của mặt cắt. Tra bảng, ta chọn mặt cắt chữ I số hiệu 22a với Wx = 251cm3; Jx = 2760cm4;

Sx = 141cm3; d = 0,53cm; t = 0,88cm; h = 22cm . Ta phải kiểm tra bền cho toàn dầm với giả thiết dầm có mặt cắt ngang với số hiệu

là 22a. - Kiểm tra bền đối với phân tố trượt thuần túy: Trị số ứng suất tiếp trên phân tố:

τmax = 228

6

m/MN5,1210.53,0.10.2760

10.141.13000=

−−

−

- Nếu kiểm tra dầm theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất thì ứng

suất tiếp cho phép là: [τ] = 2m/MN3,92732,1

1603][

≈=σ

So sánh ta thấy τmax < [τ], vậy phân tố trượt thuần túy đó thỏa mãn điều kiện bền. - Kiểm tra bền đối với phân tố tiếp giáp giữa lòng và đế: Ứng suất pháp tại đó là:

σk = 28

24

kx

x m/MN14310.2760

10.12,10.10.9,3yJM

==−

−

Trong đó: yk = cm12,10t2h

=−

Và ứng suất tiếp: τk = 228

6

x

cxy m/MN1,10

10.53,0.10.276010.86,113.1300

dJS.Q

==−−

−

Trong đó: S 3kxx

cx cm83,113

2ydyS =−=

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất, ta có ứng suất tương đương: σtd = 2222

k2k m/MN144)11,10(31433 =+=τ+σ

Ứng suất này nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy điều kiện bền của phân tố được thỏa mãn.

Số hiệu mặt cắt ngang phải chọn là chữ I số hiệu 22a.

Ví dụ 5: Dầm có mặt cắt ngang hình chữ I số hiệu 22a, chịu tải trọng như trên hình vẽ (hình 5.27). Ứng suất cho phép là [σ] = 160MN/m2, nhịp dầm có độ dài l=6m. Xác định giá trị của lực P cho phép đặt lên dầm. Bài giải: Biểu đồ mô men uốn Mx và lực cắt Qy được biểu diễn như trên hình vẽ (hình

A B C

P

l l/3

a)

b)

c)

P

P/3

Pl/3

Hình 5.27:Biểu đồ nội lực

102

5.27). Mặt cắt ngang nguy hiểm nhất là mặt cắt phía bên phải của gối tựa B. Trị số nội lực trên mặt cắt:

Qy = P ; Mx = 3lP1

- Số hiệu kích thước của mặt cắt như đã cho ở ví dụ 4. Điều kiện bền của các điểm ở mép dưới cùng của mặt cắt:

σmax= 26

x

x m/MN16010.251.36.P

WM

≤=−

Từ đó suy ra trị số của lực P cho phép:

[P] = N200806

10.251.3.10.160 66

=−

Kiểm tra các điều kiện khác: - Đối với phân tố trượt thuần tuý (trên trục trung hoà) ở mặt cắt B có Q=P:

228

6

x

xymax mMN35,19

1053,01027601014120080

dJSQ

=⋅⋅⋅

⋅⋅==τ −−

−

Ứng suất này rất nhỏ so với [τ], vì [τ] = 2m/MN3,923

1603][

==σ

- Đối với phân tố tiếp giáp giữa lòng và đế. Phân tố đó cách trục trung hòa một

khoảng cách: yk = cm12,10t2h

=−

Ứng suất tại đó có giá trị:

σk = 228k

x

x m/MN2,14710.12,10.10.2760.3

6.20080yJM

== −−

τk = 228

6

x

cxy m/MN62,15

10.53,0.10.276010.86,113.20080

dJS.Q

==−−

−

Xét điều kiện bền theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất: σtd = 2222

k2k m/MN6,149)62,15(32,1473 =+=τ+σ

Ứng suất này nhỏ hơn ứng suất cho phép. Vậy, lực cho phép trên dầm là [P] = 20080N.

5.10. KHÁI NIỆM VỀ DẦM CHỐNG UỐN ĐỀU.

Ở trên ta mới chỉ xét hinh dạng hợp lí của mặt cắt ngang. Trên thực tế nội lực thường thay đổi theo chiều dài của dầm nên hợp lý nhất là kích thước mặt cắt ngang cũng cần thay đổi theo chiều dài của dầm. Nên ngoài mặt cắt ngang hợp lý ta còn phải xét hình dạng hợp lí của cả dầm. Trong trường hợp dầm có mặt cắt ngang không đổi, ta đã chọn kích thước của dầm theo mặt cắt có mô men uốn lớn nhất. Cách sử dụng vật liệu như vậy chưa hợp lí vì khi ứng suất tại những điểm nguy hiểm trên mặt cắt có mô men uốn lớn nhất đạt tới trị số ứng suất cho phép thì ứng suất tại những điểm nguy hiểm trên các mặt cắt khác còn nhỏ hơn rất nhiều so với ứng suất cho phép.

Như vậy, ta chưa sử dụng hết khả năng chịu lực của vật liệu ở các mặt cắt khác. Để tiết kiệm được vật liệu, ta phải tìm hình dạng hợp lí của dầm sao cho ứng suất tại

103

những điểm nguy hiểm trên mọi mặt cắt ngang đều cùng đạt đến giá trị ứng suất cho phép. Dầm có hình dạng như vậy gọi là dầm chống uốn đều. Ta xét ví dụ cụ thể sau:

Giả sử có một dầm chịu lực như trên hình 5.28. Biểu thức mô men uốn và lực cắt trên mặt cắt 1-1 nào đó là:

Mx = z2P ; Qy =

2P

Ta giả thiết mặt cắt ngang là hình tròn. Như vậy ứng suất pháp lớn nhất trên mặt

cắt được tính với công thức: σma x = 3x

x

d1,02zP

WM

⋅⋅⋅

=

Theo điều kiện ứng suất pháp lớn nhất trên mọi mặt cắt ngang đều đạt đến ứng suất cho phép, ta rút ra:

d = .3][2,0

z.pσ

Như vậy, hình dáng của dầm phải có dạng đường nét đứt như trên hình 5.29, nhưng hai đầu mút của dầm, lực cắt là lớn nhất. Như vậy, kích thước của mặt cắt ngang ở hai đầu mút dầm phải thỏa mãn điều kiện bền về lực cắt, tức là phải xác định đường kính theo điều kiện bền:

τmax = ][dP

38

FQ

34

2y τ≤

π=

Từ đó rút ra:

d1 = ][

P.38

τπ

Đó là hinh dạng hợp lí của dầm, nhưng vì khó gia công nên trong thực tế ngườta chế tạo các trục có mặt cắt ngang thay đổi từng bậc (gọi là trục bậc) gần sát với dạng hợp lí (đường liền trên hình 5.29). Các nhíp xe cũng là những dạng dầm chống uốn đều. 5.11. QUỸ ĐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH KHI UỐN Nói chung một phân tố bất kỳ nào đó trong lòng của thanh chịu uốn ngang phẳng đều ở trạng thái ứng suất phẳng. Ở đây, ta hãy xác định phương các ứng suất chính của các phân tố khác nhau trên một mặt cắt ngang nào đó của dầm chịu uốn ngang phẳng (hình 5.30a).

Hình 5.29: Hình dáng hợp lí ủ

d

Pz

Hình 5.28: Biểu đồ nội lực

l/

P/2

Pl/4

P/2

a)

b)

c)

Qy

Mx

A

YA=P/2 YB=P/2

B

l/

104

Đối với các phân tố ở A và E, vì đó là những phân tố chịu trạng thái ứng suất đơn, nên ta xác định được phương chính của các phân tố đó là các phương song song và vuông góc với trục thanh.

Đối với phân tố C, vì phân tố đó nằm trên đường trung hòa, nên trạng thái ứng suất của phân tố là trạng thái trượt thuần túy. Các phương chính có độ nghiêng với trục thanh 1 góc 450. Đối với các phân tố ở B và D, các phương chính tùy thuộc trị số các ứng suất. Để xác định phương chính của các phân tố đó, ta vẽ các vòng tròn Mohr ứng suất như trên hình vẽ (hình 5.30b). Bằng phương pháp tương tự, ta có thể xác định được phương chính của ứng suất chính ở nhiều điểm trên dầm. Ta vẽ đường cong có tiếp tuyến là phương của ứng suất chính. Các quỹ đạo này họp thành hai họ đường cong vuông góc với nhau, một họ là quỹ đạo ứng suất kéo và một họ là quỹ đạo ứng suất nén. Trên hình (5.31a) biểu diễn các quỹ đạo ứng suất chính của một dầm đặt trên hai gối tựa, chịu tải trọng phân bố đều, quỹ đạo ứng suất kéo là đường nét đứt, quỹ đạo ứng suất nén là đường nét liền.

Người ta thường dùng các phương pháp thực nghiệm để xác định quỹ đạo ứng

suất chính như phương pháp quang đàn hồi, phương pháp dùng sơn giòn. Sở dĩ ta cần biết quỹ đạo ứng suất chính vì nó cho phép ta biết cách sắp xếp vật liệu đúng chỗ, làm tăng khả năng chịu lực của dầm. Ví dụ đối với bêtông là loại vật liệu chịu nén tốt, chịu kéo kém. Để tăng khả năng chịu uốn của dầm làm bằng bêtông thì ta đặt cốt thép vào dầm theo phương quỹ đạo ứng suất chính chịu kéo như trên hình vẽ (hình 5.31b). 5.12. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG THẲNG.

Để tính thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng, ta dùng công thức tính thế năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố trong trạng thái ứng suất phức

tạp : ( )[ ]13322123

22

21 2

E21u σσσσσσµσσσ ++−++=

Hình 5.30: Phân tích trạng thái ứng ất

Mx Mx

Qy

Qy

A

B

C

D

E

b)

a)

P

P

τ

τ

σ

σO

D O

B

Hình 5.31: Quỹ đạo các ứng suất chính

a) b)

105

Trong trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất của phân tố là trạng thái ứng suất phẳng, do đó công thức trên sẽ có dạng:

[ ]3123

21 2

E21u σµσ−σ+σ= (a)

Nhưng: ( ) 223

221 2

2,)2/(

2τ+σ−

σ=στ+σ+

σ=σ (b)

Cho nên E

)1(22E2

u22 µτσ +

+=

Nếu kể đến: G1

E)1(2=

+ µ

Thì: G2E2

u22 τσ

+= (c)

Công thức (c) cho ta thế năng riêng biến dạng đàn hồi trong dầm chịu uốn ngang phẳng.

Thay biểu thức của ứng suất pháp σ và ứng suất tiếp của dầm chịu uốn ngang

phẳng vào đây, ta được: ( )( )222

x

2cx

2y2

2x

22

bJG2

S.Qy

EJ2M

u⋅⋅

+=

Thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn thanh dz:

∫ ⋅=F

dFdzuUd

Thay trị số của u vào và chú ý dz là hằng số đối với biểu thức tích phân, ta có:

( )

dF)b(JQ2

SQy

EJ2M

dzU c2x

2cx

2y2

2x

2x

F⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= ∫

Nếu đặt: ( )( )∫ = ηdFb

SJF

2c

2cx

2x

Và chú ý rằng ∫ =F

x2 JdFy

Thì thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn dz của thanh:

GF2

dzQEJ2

dzMdU2y

x

2x η+=

Vậy, thế năng biến dạng đàn hồi trong cả thanh với chiều dài l:

∫ ∫ η+=1

0

2y1

0x

2x

GF2dzQ

EJ2dzMU

Nếu dầm có độ cứng hay mô men uốn và lực cắt thay đổi trong từng đoạn thì:

∑∫ ∑∫= =

η+=n

1ili

n

11li

2y

x

2x

GF2dzQ

EJ2dzMU

Trong đó li là chiều dài của đoạn thứ i và n là số đoạn. Đối với mỗi dạng mặt cắt ngang, ta có hệ số η khác nhau. Hệ số này được gọi là

hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp. Mặt cắt ngang hình chữ nhật : η = 1,20

106

Mặt cắt ngang hình tròn: η = 1,11

Mặt cắt ngang hình I: η = 1F

F

Trong đó: F - diện tích cũa chữ I ; F1 - diện tích của lòng chữ I. C. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN. 5.13. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG ĐÀN HỒI.

Khi dầm bị uốn, trục của dầm bị uốn cong. Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi, (hình 5.32).

Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi dầm bị biến dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vị trí mới K'.

Khoảng cách KK' được gọi là chuyển vị dài của điểm K. Ta sẽ phân tích chuyển vị này làm hai thành phần: - Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y). - Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z). Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé, ta có thể bỏ qua thành phần chuyển vị u và xem KK' là bằng v, nghĩa là vị trí của K sau biến dạng là nằm trên đường vuông góc với trục thanh (hình 5.32). Chuyển vị v được gọi là độ võng tại K của dầm và nó là hàm số đối với hoành độ z của mặt cắt ngang. Vậy phương trình của đường đàn hồi có thể viết : y(z) = v(z) (a)

Trong kỹ thuật, khi tính dầm chịu uốn, người ta thường khống chế không cho độ võng lớn nhất của dầm vượt quá một giới hạn nhất định, điều kiện đó được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm:

f = vmax (b) Thì điều kiện cứng thường chọn là:

1000

1100

1÷=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

lf (c)

Trong đó: l- là chiều dài của nhịp dầm; tùy loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số lf .

Sau khi trục dầm bị biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc ϕ, ta gọi góc xoay này là chuyển vị góc của mặt cắt ngang ở điểm K (còn gọi là góc xoay). Dễ dàng thấy rằng góc xoay ϕ chính bằng góc giữa đường tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi và trục dầm khi chưa biến dạng (trục z).

Do đó: dzdytg =≈ ϕϕ

Vậy: đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng. 5.14. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI. Trong chương 5 này ta đã thành lập được liên hệ giữa độ cong của trục dầm sau khi biến dạng và mômen uốn như sau [xem công thức (5-1)]:

Hình 5.32:Đường đàn hội của ầ

K

K’ u

v =

y

z

y

z

đường đànhồi

ϕ ϕ

P O

t

107

x

x

EJM1

=ρ

(a)

Mặc khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm số y(z), nên độ cong của đường đàn hồi được tính theo công thức:

( )2

32y1

y1

′+

′′±=

ρ (b)

Từ (a) và (b), ta có được buểu thức (c):

x

x

232 EJ

M

)'y1(

y±=

+

′′ (c)

Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi. Ta phải chọn dấu sao cho hai vế của đẳng thức trên đều thỏa mãn. Các mẫu số EJx và (1 + y'1)3/2 đều là những số dương, nên sự liên hệ về dấu giữa vế phải và vế trái của phương trình (c) phụ thuộc vào sự liên hệ về dấu giữa Mx và y". Để xét sự liên hệ về dấu, ta khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như trên hình 5.33. Từ hình vẽ, ta thấy giữa Mx và y" luôn luôn ngược dấu, cho nên phương trình vi phân của đường đàn hồi sẽ có dạng:

( ) x

x

23

2 EJM

y1

y−=

′+

′′ (d)

Trong thực tế , không cho phép các công trình hay chi tiết máy có chuyển vị lớn, nên góc xoay cũng bé và ta có thể bỏ qua y’2

so với 1. Phương trình vi phân có dạng gần đúng như sau:

x

x

EJMy −=′′ (5-24)

Trong đó, tích EJx là độ cứng của dầm khi uốn. 5.15. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐÀN HỒI BẰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH.

Để có được phương trình của góc xoay và đường đàn hồi ta phải tích phân phương trình vi phân (5.24). Vế phải của phương trình (5.24) chỉ là một hàm số của biến số z, nên phương trình vi phân đó là một phương trình vi phân thường.

Lấy tích phân lần thứ nhất phương trình (5.24) ta được phương trình góc xoay:

∫ +−==ϕ CdzJE

M'yx

x (5-25)

Trong đó C là hằng số tích phân.

Hình 5.33: Xác định dấu của đường dàn hồi

x

y

A

Mx Mx

x

y

A

Mx Mx

Mx>0 y’’< 0

Mx< 0 y’’> 0

b)

a)

108

Lấy tích phân lần thứ hai phương trình (5-25) ta được phương trình của đường

đàn hồi: DdxCdzJE

My

x

x +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫ (5-

26) Trong đó D là hằng số tích phân. Như vậy để có ϕ và y ta phải lập được biểu thức của mô men uốn Mx và của độ

cứng EJx. Các hằng số tích phân C và D được xác định theo các điều kiện biên. Ví dụ 6: Viết phương trình góc xoay và độ võng của một dầm bị ngàm và chịu lực tập trung ở đầu tự do. Dầm có độ cứng không đổi.

Bài giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang có hoành độ z là: Mx = - P (l-z) (a)

Thay biểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình vi phân của đường đàn hồi như sau:

)zl(JEPy

x

−=′′

Vì EJx là hằng, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được phương trình của góc xoay:

ϕ = y′= C2z

JEP

JEPlz 2

xx

+− (b)

Tích phân lần thứ hai ta được phương trình của đường đàn hồi:

y = DCzzEJ6Pz

JE2Pl 3

x

2

x

++⋅−⋅ (c)

Với dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được xác định như sau: Khi z=0, thì độ võng và góc xoay bằng không y =0; y′= 0. Với điều kiện biên đó,

ta tìm được C=0 và D=0. Như vậy phương trình góc xoay và độ võng có dạng:

;EJ2Pz

EJzPly

x

2

x

−×

=′=ϕ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

lz3

EJ6Plzy

2

Nhìn trên hình (hình 5.34), ta thấy ngay độ võng và góc xoay có giá trị lớn nhất là

ở đầu tự do của dầm (tại z=1): x

2

maxx

3

EJ2Pl;

EJ3Plf == ϕ

q

Hình 5.34:Tính độ võng à ó

A B

y

z

l

y

z

l/2

l/2

P

AB

C

r c

Hình 5.35 Tính độ võng và ó

109

Các giá trị này đều dương, điều đó chứng tỏ rằng độ võng hướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới) và mặt cắt ngang tại đó có góc xoay thuận chiều kim đồng hồ.

Ví dụ 7: Một dầm chịu lực như hình 5-35.Biết độ cứng chống uốn EJ không đổi. Tìm độ võng fc tại C và góc xoay θ tại A, B ?.

Giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang có hoành độ z là:

( )2x zlz

2qM −= (a)

Thay biểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình của đường đàn hồi như sau:

( )lzzEJ2qy 2

x

−=′′

Vì EJx là hằng số, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được phương trình của góc

xoay: C2

lz3z

EJ2qy

23

x

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′=ϕ (b)

Tích phân lần thư 2 ta được phương trình của đường đàn hồi:

DCz6

lz12z

EJ2qy

34

x

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (c)

Với dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được xác định như sau: Khi z = 0, y = 0 (*) ; z=l , y = 0 (**)

Thay lần lượt (*) và (**) vào (b) và (c), ta có: D=0 ; x

3

EJ24qlC =

Như vậy, phương trình góc xoay và độ võng có dạng:

ϕ = y' = x

323

x EJ24ql

2lz

3z

EJ2q

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

zEJ24

ql6

lz12z

EJ2qy

x

334

x

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (d)

0EJql

3845yf

x

4

21c >⋅==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ; 0

EJ24ql;0

EJ24ql

x

3

Bx

3

A <=>= θθ

Chú ý: fc >0 chứng tỏ độ võng đi xuống theo chiều dương của y; θA>0 chứng tỏ góc xoay theo chiều thuận kim đồng hồ; θB< 0 chứng tỏ theo chiều ngược kim đông hồ. Sở dỉ như vậy là hệ trục ozy đã chọn khác với hệ trục toạ độ toán học mà ta thường gặp , hình 5.36. 5.16. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN).

Ở trên ta đã thiết lập sự liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lự:

> 0

>0

z z

y

y

O O

Hình 5.36: Thay đổi hệ toạ độ

110

QdzdM;q

dzdQ

==

Rút ra : qdz

Md2

2

= (a)

Còn đối với đường đàn hồi ta có phương trình vi phân:

EJM

dzyd2

2 −= (b)

Đối chiếu hai phương trình (a) và (b), chúng ta thấy có sự tương tự nhau: y M

EJM)'y(

dzd

dzyd

'ydzdy

2

2

−==

=

q)Q(dzd

dzMd

QdzdM

2

2

==

=

Chúng ta nhận thấy muốn tính góc xoay y' và độ võng y thì phải lấy tích phân

liên tiếp 1 lần và 2 lần hàm số EJM , cũng như muốn có lực cắt Q và mô men uốn M thì

phải lấy tích phân liên tiếp 1 lần và 2 lần hàm số tải trọng q (tức là vẽ biểu đồ).

Vậy nếu đặt EJMqgt −= (5-27)

thì chúng ta có sự tương đương :

gt

gt'

gt2

2

My

Qy

qEJM

dzyd

=

=

=−=

Trong đó: qgt - Tải trọng giả tạo. Qgt - Lực cắt giả tạo. Mgt - Mô men uốn giả tạo. Tóm lại, chúng ta thấy rằng muốn tính góc xoay y' và độ võng y thì chỉ cần vẽ

biểu đồ lực cắt giả tạo Qgt và mô men uốn giả tạo Mgt do tải trọng phân bố giả tạo qgt tác dụng trên một dầm giả tạo nào đó gây ra.

Điều kiện: y' = Qgt ; y = Mgt phải được thỏa mãn ở mọi điểm trong cả hai dầm thực đã cho và dầm giả tạo hay nói cách khác, biểu đồ độ võng và góc xoay trong dầm thực phải hoàn toàn trùng với biểu đồ mô men uốn giả tạo và lực cắt giả tạo trong dầm giả tạo. Tức là: - Ở một mặt cắt ngang nào đó trong dầm thực, góc xoay và độ võng (do tác dụng của tải trọng đã cho) phải bằng lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo ở mặt cắt ngang tương ứng của dầm giả tạo (do tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo). Muốn các điều kiện trên được thỏa mãn thì bắt buộc phải có sự tương đương giữa dầm thực và dầm giả tạo về điều kiện biên. Để làm sáng tỏ vấn đề chọn dầm giả tạo, chúng ta xét một ví dụ sau.

111

Trên hình 5.36 biểu diễn một dầm thực AB, đầu mút A được tự do và đầu mút B bị ngàm. Đối với dầm thực này, độ võng và góc xoay ở đầu mút A đều khác không, nhưng ở đầu mút B đều bằng không (vì bị ngàm).

Do đó, mô men uốn giả tạo Mgt và lực cắt giả tạo Qgt ở đầu mút A tương ứng của dầm giả tạo phải khác không và ở đầu mút B phải bằng không. Tức là dầm giả tạo phải là một dầm bị ngàm ở đầu mút A và tự do ở đầu mút B.

Mỗi dầm thực sẽ có một dầm giả tạo tương ứng. Trong bảng 5.1 biểu diễn các dầm thực và dầm giả tạo tương ứng.

* Nhận xét: Theo (5.27) thì qgt luôn luôn ngược dấu với mômen uốn M, như vậy nếu tung độ của biểu đồ mômen uốn nằm ở phía dưới đường chuẩn thì tải trọng phân bố giả tạo qgt phải hướng xuống dưới, và ngược lại. Hay nói cách khác, tải trọng phân bố giả tạo luôn luôn hướng về phía các thớ căng của dầm thực (hay hướng theo tung độ của biểu đồ mômen uốn M). Dầm thực và dầm giả tạo tương ứng Bảng 5.1 Dầm thực Dầm giả tạo

Bảng 5.2 Hình Diện tích Zc

Hình 5.36: Dầm thực và dầm giả tạo

A B

A B

y≠0

y’≠0

y=0

y’=0

dầm thực

Mgt≠0

Qgt≠0

Mgt=0

Qgt=0

a)

P

Đường cong bậc 2

zc l

f

Đường cong C

y≠0 y’≠0

y = 0 y’= 0

Mgt=0 Qgt=0

Mgt≠ 0 Qgt≠0

Mgt≠0 Qgt≠0

Mgt=0 Qgt≠0

Mgt=0 Qgt≠0

Mgt≠ 0 Qgt≠0

Mgt= 0 Qgt≠0

Mgt= 0 Qgt≠ 0

Mgt≠ 0 Qgt≠ 0

y = 0 y’= 0

y = 0 y’= 0

Mgt= 0 Qgt= 0

Mgt= 0 Qgt= 0

y=0y’≠0

y=0 y’≠0

Mgt= 0 Qgt≠ 0

Mgt= 0 Q ≠

y= 0 y’≠0

y= 0 y’≠ 0

y≠ 0 y’≠0

y= 0y’≠0

y= 0 y’≠0

y≠ 0 ’≠0

112

fl32

21

fl32

l83

1n

fl+

2n

1+

Khi xác định lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo, chúng ta cần biết diện tích và trọng tâm của một số biểu đồ dạng đường cong bậc hai và bậc cao.

Trên bảng 5.2 có ghi diện tích và trọng tâm của một số biểu đồ đó. Ví dụ 8: Tính độ võng và góc xoay ở đầu mút tự do của dầm chịu lực như trên hình 5.37. Bài giải: Trên hình 5.37b biểu diễn biểu đồ

mô men uốn M trong dầm thực. Theo (5-27) và bảng 5.1, tải trọng

giả tạo và dầm giả tạo được biểu diễn như trên hình 5.37c.

Để tính góc xoay và độ võng ở đầu mút tự do A của dầm thực, chúng ta sẽ tính lực cắt giả tạo Qgt và mô men uốn giả tạo Mgt ở ngàm A trong dầm giả tạo:

EJ2Pll

EJPl

21Q

2

)A(gtA =⋅⋅==ϕ

EJ3Pll.

32l

EJPl

21My

3

)A(gtA =⋅⋅⋅==

Ví dụ 9: Xác định độ võng và góc xoay ở đầu mút tự do A của một trục chịu lực như hình 5.38.

Bài giải: Biểu đồ mô men uốn M trong dầm thực được biểu diễn trên hình 5.38b. Dựa (5-27) và bảng 5.1 chúng ta sẽ tính tải trọng phân bố giả tạo và chọn dầm giả tạo như hình 5.38c. Để tính lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo ở A, chúng ta sẽ chia dầm giả tạo

thành ba đoạn như trên hình 5.38d. Phản lực ở B và C của dầm giả tạo giữa bằng:

Vgt(B)=Vgt(C)

EJPaa

EJ2Paa

EJ4Pa32

21 2

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅=

PBiểu đồ M

l

A

Pl

PlEJ

a)

b)

c)

Hình 5.37: Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp đồ toán

113

Góc xoay và độ võng ở A trong dầm thực là lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo ở A trên dầm giả tạo:

aEJPa

21VQ )B(gt)A(gtA ⋅⋅−==θ =

EJ2Pa

EJ2Pa

EJPa 222

=−

y(A) = Mgt(A) = -Vgt(B).a + a32.a.

EJpa.

21

EJ3Pa

EJPa 33

+−= =EJ3Pa2 3

−

Kết quả góc xoay mang dấu cộng, nghĩa là mặt cắt ngang ở A xoay thuận theo

chiều kim đồng hồ và độ võng ở A mang dấu trừ, tức là võng lên trên. 5.17. PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU. Phương pháp tích phân không định hạn để tìm độ võng từ phương trình vi phân (5-24) sẽ trở nên cồng kềnh, khó khăn khi phải lập biểu thức mômen uốn cho nhiều đoạn. Bài toán sẽ được giải quyết dễ dàng hơn nếu ta dùng phương pháp thông số ban đầu, một phương pháp được sử dụng rộng rãi trong cơ học công trình.Trong điều kiện xuất hiện các phép tính, thông qua sự phát triển của công nghệ thông tin, thì phương pháp này rất thuận lợi. Xét dầm nằm ngang có n đoạn, gọi tên các đoạn bắt đầu từ 1 theo chiều trục z từ trái sang phải. Xét đoạn thứ nhất có gốc tọa độ nằm ở mút bên trái (hình 5.39). Trong trường hợp tổng quát, ở mút này có:

- Độ võng y0.

Hình 5.38: Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp đồ toán

P PM0=2Pa

EJ43

E EB

A D

C

a a a a a

M0=2Pa

EJPa−

EJPa−

EJpa

2

EJPa

43

EJpa

43

A D

EJPa

VgtB

D C

EJPa

VgtC

Pa

Pa

Pa

Pa

a)

b)

c)

B C

VgtB

VgtC

EJPa

2

EJPa

43

EJPa

43

d)

114

- Góc xoay ϕ0 = y'0 . - Mô men tập trung M0 với chiều dương thuận chiều kim đồng hồ.

- Lực tập trung P0 với chiều dương hướng lên trên. - Lực ngang phân bố cường độ q0 với chiều dương hướng lên trên, các đạo hàm

của cường độ lực phân bố là q0', q0"... Dấu dương của các lực phù hợp với

dấu quy ước dấu trong các quan hệ vi phân và bước nhảy đã biết:

0

0

2

2

PQMM

qdzdQ

dzMd

=∆=∆

==

Khai triển Mác-Laurin đối với hàm độ võng y1 tại z = 0: y1 = y(0) + y'(0)z + y"(0)

...!5

z)0(y!4

z)0(y!3

z)0("'y!2

z 5V

4IV

32

++++

(5-28)

Thay thế : EJ

'qy;EJqy;

EJQ'"y;

EJMy VIV −=−=−=

−=′′

Ta có: ( )EJP

EJ)0(Qy;

EJM

EJ)0(M0y 00 −=−=′′′−=−=′′

( )

EJ'q

EJ)0('q)0(y

EJq

EJ)0(q0y

0V

0IV

−=−=

−=−=

Nếu tải trọng phân bố là hàm bậc nhất thì q"= 0 và ta dừng lại ở số hạng yV(0) vừa viết. Thay các giá trị này vào (5-28) ta có :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++−+= ...z

!5'qz

!4qz

!3Pz

!2M

EJ1zyy 50403020

001 ϕ (5-29)

Biểu thức này cho phép tính độ võng tại tọa độ z của đoạn thứ nhất qua các thông số ban đầu y0, ϕ0, M0, P0. Một phần các thông số này là biết trước và một phần sẽ được xác định theo các điều kiện biên còn lại của dầm.

Sau khi có biểu thức độ võng trong đoạn thứ nhất, ta xét các đoạn tiếp sau. Để lập được các biểu thức tổng quát, ta khảo sát hai đoạn dầm liên tiếp thứ i và thứ i+1 tại tiết diện phân cách ở tọa độ z = a có các ngoại lực Ma, Pa và lực phân bố với các gián đoạn:

(qa)ph - (qa)tr; ∆q'a = (q'a)ph - (q'a)tr (5-30) (qa)ph , (qa)tr, (q'a)ph , (q'a)tr tương ứng là cường độ và đạo hàm cường độ tải trọng ở bên phải và ở bên trái tiết diện z = a. Khi biết tải trọng tác động trên dầm, những đại lượng này là xác định. Dấu dương của các đại lượng này quy ước chỉ định trên hình 5.40.

Hình 5.39: Xác định độ võng và góc xoay bàng phương pháp

thông số ban đầu

q

P0

M0

y

z

yi’

(z)

ϕ0=y’0

115

Kí hiệu yi và yi+1 là biểu thức độ võng của đoạn thứ i và i+1; yi đúng với z ≤ a, và yi+1 đúng với z ≥ a. Nếu kéo dài yi với z ≥a thì sẽ mắc sai số: ∆yi(z) = yi+1(z) - yi(z). Độ võng trong đoạn yi+1 sẽ biết nếu biết độ võng của đoạn bên trái yi và gia số ∆yi: yi+1(z) = yi(z) + ∆yi(z) (5-31) Khai triển Mác-Laurin hàm số ∆yi(z) tại điểm z = a , ta có: ∆yi(z) = ∆yi(a)

+ ∆y'i(a)[z-a] + ∆y"i(a) +−

!2][ 2az

+ ∆y"'i(a) ....,!5

]az[)a(y!4

]az[)a(y!3

]az[ 5Vi

4IVi

3

+−

∆+−

∆+−

Với ý nghĩa : ∆yi(a) = yi+1(a) - yi(a) = ∆ ya . ∆y'i(a) = y'i+1(a) - y'i(a) = ∆ y'a = ∆ϕa .

∆y''i(a) = y''i+1(a) - y''i(a) = EJM

EJM

EJ)a(M

EJ)a(M aai1i −=

∆=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −− + .

∆y'''i(a) = y'''i+1(a) - y'''i(a) = EJP

EJQ

EJ)a(Q

EJ)a(Q aai1i −=

∆=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −− +

∆yIVi(a) = yIV

i+1(a) - yIVi(a) =

EJq

EJ)a(q

EJ)a(q ai1i ∆

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− +

∆yVi(a) = yV

i+1(a) - yVi(a) =

EJ'q

EJ)a('q

EJ)a('q ai1i ∆

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− +

Khi viết các biểu thức trên, ta đã sử dụng liên hệ vi phân và liên hệ bước nhảy giữa ứng lực và các tải trọng ngang trên thanh. Các bước nhảy của độ võng và góc xoay ∆ya, ∆ϕa sẽ bằng không trong trường hợp dầm cấu tạo liên tục và không có những liên kết đặc biệt tại tọa độ z=a. Trong trường hợp dầm có những liên kết đặc biệt thì hai đại lượng này có thể khác không, chẳng hạn tại z=a dầm có khớp nối thì đại lượng ∆y'a≠ 0 (hình 5.41b). M, Pa là tải trọng tập trung tại z=a; ∆qa, ∆q'a là bước nhảy của cường độ và đạo hàm cường độ tải trọng phân bố tại tiết diện z=a.

Thay thế các đại lượng ∆ vào (5-31) ta nhận được:

∆ϕa≠0

Hình 5.41: Các liên kết đặ biệt

∆ya≠0

B a)

b)

Hình 5.40 : Những thông số tại mặt cắt giữa hai đoạn i và i

P0

Ma qi+1(a

)

qi

(a)

yi (a)

yi

+1(a)

∆yi

(a)

ϕi(a)

ϕi+1(a)

a

yi(z)

116

yi+1 = yi + ∆ya + ∆ϕa[z-a]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

∆+−

∆+−

∆+−

∆−= ...]az[

!5'q

]az[!4

q]az[

!3Q

]az[!2

MEJ1 5a4a3a2A

Khi tải trọng phân bố là hàm bậc nhất theo z thì ta dừng biểu thức ở số hạng ∆q'. Khi tải trọng phân bố là hàm bậc cao hơn thì phải lấy thêm các đạo hàm tiếp theo. Các đại lượng còn lại ∆ya, ∆ϕa, ∆Ma = Ma, ∆Qa = Pa hoặc đã biết, hoặc được xác

định theo điều kiện liên kết của dầm. Biết y1(z) theo biểu thức (5-29), ta sẽ xác định được y2(z) và lần lượt xác định

được độ võng của tất cả các đoạn. Khi độ cứng chống uốn của tiết diện EJ không phải là hằng số trong từng đoạn, thì với cách lập luận tương tự, ta cũng có thể lập được biểu thức tính độ võng của dầm cho từng đoạn. Bạn đọc có thể tự tìm hiểu và tự xây dựng như ở trên.

Sử dụng phương pháp thông số ban đầu, ta có thể giải trực tiếp được một số bài tóan siêu tĩnh của dầm chịu uốn. Các ví dụ sau sẽ minh họa cho việc sử dụng phương pháp này. * Ví dụ 10: Tìm độ võng tại khớp B của dầm cho trên hình 5.42 có độ cứng chống uốn EI bằng hằng số. Bài giải: Chọn trục z nằm ngang, hướng sang phải và có gốc ở mút trái A. Dầm được chia thành hai đoạn AB và BC. Điểm phân cách có tọa độ z = l. Biểu thức độ võng sẽ là y1 và y2. Tách dầm AB ra và dễ dàng xác

điịnh 2qlR A = , ta lập bảng thông số ban

đầu, trong đó ghi rõ các giá trị ∆y, ∆ϕ , ∆M, ∆q, ∆q'...tại điểm ranh giới của các đoạn .

Tại z = 0, ta có: ∆y = y0 = 0; ∆ϕ = ϕ0 ≠ 0; ∆ M = 0; ∆Q = R = 2ql

∆q = (-q) - 0= -q; ∆q' = 0 Tại z = 1, ta có: ∆y = y1 = 0; ∆ϕ = ϕ1 ≠ 0; ∆M = ∆Q = ∆q = ∆q' = 0

Kết quả được ghi lại trong bảng 5.3 : Bảng 5.3

z ∆y ∆y' ∆M ∆Q ∆q ∆q' 0 0 ϕ0 0 ql/2 -q 0 1 0 ϕ1 0 0 0 0

Theo phương trình (5-29) ; (5-32) ,ta viết được:

y1 = ϕoz -

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43 z24qz

122ql

EI1 , với (0 ≤ z ≤ l)

y2 = y1 + ∆ϕ1(z-l) , với (l ≤ z ≤ 4l) Các thông số chưa biết ϕ0 và ∆ϕ1 xác định theo điều kiện liên kết:

q

zA B C

RA l 3l

yHình 5.42: Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp ban đầu

117

Tại z = 4l (thuộc y2)

y = 0 ⇒ ϕ0⋅4l - +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − 43 )l4(

24q)l4(

122/ql

EJ1

∆ϕ1.3l = 0

y' = 0 ⇒ ϕ0 - +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − 32 )l4(

6q)l4(

4ql

EJ1

∆ϕ1 = 0

Từ đó giải ra: ϕ0 = EJql

364;

EJql

344 3

1

3

⋅=∆⋅ ϕ

Thay các giá trị tìm được của ϕ0 và ∆ϕ1, biểu thức của độ võng sẽ là:

y = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

434

lz

lz

lz352

EJ24ql ới (0 ≤ z ≤ l)

y = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1

lz512

lz

lz

lz352

EJ24ql 434

với (l ≤ z ≤ 4l)

Độ võng tại khớp B (khi z = l) : yB = EJql

344 4

⋅

* Ví dụ 11: Vẽ biểu đồ mô men uốn trong dầm siêu tĩnh cho trên hình 5.43a . Bài giải: Gọi phản lực gối tựa trái là R. Dầm có một đoạn với các điều kiện tại đầu trái (z=0) : ∆y = y0 = 0 ∆ϕ = ϕ0 ≠ 0 ∆ M = 0 ∆Q = R; ∆q = q0 = 0;

∆q' = q'0= lq

−

y = ϕ0.z - ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − 53 z

!5)l/q(z

!3R

EJ1

với (0 ≤ z ≤ l) Điều kiện biên ở mút phải: z = l: y = y'=0, cho ta hệ phương trình để tìm ϕ0 và R: ϕ0l

- 0l120

)l/q(l6R

EJl 53 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

ϕ0

- 024ql

2Rl

EJl 32

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

Nghiệm của phương trình: ϕ0 = 10qlR;

EJ120ql3

=

Hình 5.43 Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp ban

đầu

q

z

l

10ql

5l

ql52

15

2ql

515

2

maxqlM =

118

Từ đó ta có : y = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

534

lz

lz2

lz

EJ120ql

y' = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

423

lz5

lz61

EJ120ql

M = -EJy" = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

32

lz20

lz12

120ql

Khi z = 0 ; M = 0

Khi z = l; M = 15ql2

−

Khi z = )0Q(5

1= ⇒ M = Mmax =

515ql 2

(cực trị)

Biểu đồ mô men uốn vẽ trên hình 5.43b CÂU HỎI TỰ HỌC 5.1. Thế nào là mặt phẳng tải trọng, đường tải trọng? Định nghĩa uốn phẳng ? 5.2. Nội lực khi uốn thuần túy ? 5.3. Các giả thuyết khi thiết lập công thức tính ứng suất trong uốn thuần túy ? 5.4. Viết và giải thích cách sử dụng của các công thức tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trong uốn ? 5.5. Trình bày các loại trạng thái ứng suất khi thanh chịu uốn ngang phẳng ? 5.6. Cách kiểm tra độ bền trong uốn thuần túy và uốn ngang phẳng ? 5.7. Dạng hợp lý của mặt cắt ngang khi chịu uốn ? 5.8. Cho biết cách xác định phương chính tại một điểm của dầm chịu uốn ngang phẳng. Vẽ dạng quỹ đạo ứng suất chính của dầm chịu uốn ngang phẳng. 5.9. Tính độ võng bằng phương pháp tích phân bất định ?

- - - - - -

122

Chương 6 XOẮN NHỮNG THANH THẲNG CÓ MẶT CẮT NGANG TRÒN 6.1. KHÁI NIỆM CHUNG. Định nghĩa: Một thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mô men xoắn MZ. Ví dụ: Trục của động cơ, máy cắt, lò xo, v.v...

Ngoại lực khiến thanh bị xoắn có thể là những mô men tập trung M1, M2, M3 hoặc những mô men phân bố tác dụng trong những mặt cắt vuông góc trục thanh. Những mô men này gọi là mô men xoắn ngoại lực. Khi tính toán, ta biểu diễn thanh chịu lực bằng sơ đồ như trên hình (6.1b). 6.2. MÔ MEN XOẮN VÀ BIỂU ĐỒ MÔ MEN XOẮN

Muốn xác định mô men xoắn nội lực trên các mặt cắt ngang của thanh ta dùng phương pháp mặt cắt.

Ví dụ để tính Mz tại mặt cắt 1-1 của thanh, ta tưởng tượng dùng mặt phẳng qua 1-1 thẳng góc với trục thanh, cắt thanh ra làm hai phần, xét sự cân bằng của một trong hai phần đó. Ví dụ phần bên trái (xem hình 6.2).Ta có: ∑ =+−−⇒= 0MMMM0m z321z 132z MMMM −+=⇒

Như vậy mô men xoắn nội lực tại một mặt cắt nào đó bằng tổng đại số các mô men xoắn ngoại lực tác dụng lên phần đang xét.

Ta quy ước dấu của Mz như sau: Nếu nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều với chiều kim đồng hồ thì Mz > 0, ngược lại MZ < 0 (xem hình 6.3).

Để biết sự thay đổi của Mz dọc theo trục thanh ta vẽ biểu đồ nội lực Mz dọc theo

thanh. Ví dụ 1:Vẽ biểu đồ nội lực Mz của thanh chịu lực như hình vẽ 6.4a, biết:

m M1 M2 M3

a)

b)

M1 M2 M3m

Hình 6.1: a- Mt thanh chu xon; b- S biu din

z

y x

z

yx

Hình 6.3: Chiu ca mô men xon. a-chiu dng; b- chiu âm

Mz>0 Mz< 0

z

yx

M1 M2 M3 I

I

M4

M1 M2 M3 I

I

MZ

Hình 6.2. Cách tính mô men xon

123

M1 = 500Nm ; M2 = 400Nm ; M3 = 200Nm ; m = 500 mNm

Dùng phương pháp mặt cắt tính Mz trên từng đoạn. Trên AB : Mz1 - mz = 0 0 ≤ z ≤ 0,6m (hình 4.6b) Mz1 = mz = 500z Trên BC : Mz2 = m.0,6 = 500.0,6 = 300 Nm (hình 4.6c) Trên ED : Mz4 = 200 Nm. (hình 4.6d) Trên DC : Mz3 = 200 - 400 = - 200 Nm. (hình 4.6e) Biểu đồ (Mz) như hình vẽ 4.6f. * Chú ý: Khi xét sự cân bằng của một phần náo đó ta nên chọn phần có ít ngoại

lực tác dụng. Nhận xét: Tại mặt cắt mô men xoắn ngoại lực tập trung tác dụng, biểu đồ có bước

nhảy, giá trị bước nhảy này bằng giá trị của mô men tập trung tương ứng. 6.3. LIÊN HỆ GIỮA MÔ MEN XOẮN NGOẠI LỰC VỚI CÔNG SUẤT VÀ SỐ VÒNG QUAY CỦA TRỤC TRUYỀN.

Khi biết công suất của động cơ chuyển đến trục truyền, ta có thể xác định mô men xoắn ngoại lực tác dụng lên trục đó.

Công A do M (hoặc ngẫu lực) thực hiện khi trục quay một góc α trong thời gian t là: A = Mα

Vậy công suất W sẽ là:

ω=α

== Mt

MtAW

Hình 6.5: s tính mô men xon

M

α

H×nh 6.4: Phng pháp v biu mô men xon

m

300Nm200Nm

200Nm

c) f)

Mz2

A B O z

60cm (Mz )

A A B C D E

m Mz1 M1 M2 M3

60cm 50cm 40cm 40cm b) a)z

d) e)E D OO D

Mz3 M2 M3 M3 Mz4

zz 40cm z z

124

ω=⇒

WM (6-1)

Trong đó: M- Mô men xoắn ngoại lực tính ra Nm W- Công suất tính ra W (watt) ω- Vận tốc góc tính ra rad/s

s/rad30

n60

n2 π=

π=ω (6.2)

với n : số vòng/phút Ví dụ 2: Trên trục truyền có ba puli bị động (1, 2, 4) và một puli chủ động (3). Puli (3) truyền cho trục truyền một công suất W3 = 110KW. Puli (1) nhận được một công suất là W1 = 40KW. Puli (2) nhận được một công suất là W2 = 20KW. Puli (4) nhận được một công suất là W4 = 50KW. Các puli này truyền công suất nhận được đến những nguồn tiêu thụ. Trục truyền

quay đều với vận tốc n = 100 vòng/phút. Vẽ biểu đồ mô men xoắn Mz. Bài giải:

Ta có:

s/rad46,1030

100.14,330

n===

πω

Mô men tác động lên các puli:

ωi

iWM =

)KNm(822,346,10

40WM 1

1 ==ω

=

)KNm(911,146,10

20WM 2

2 ==ω

=

)KNm(78,446,10

50WM 44 ==

ω=

)KNm(515,1046,10

110WM 3

3 ==ω

=

Vì trục quay đều nên ta có thể xem trục được cân bằng dưới tác dụng của các mô

men M1, M2, M3, M4. Biểu đồ (Mz) trên hình 6.6. 6.4. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN. 6.4.1. Quan sát biến dạng: Trước khi xoắn ta kẻ lên bề mặt của thanh những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt cắt ngang (hình 6.7a).

Tác dụng mô men xoắn vào đầu thanh, sau khi thanh bị biến dạng ta thấy các đường thẳng song song với trục trở thành những đường xoắn ốc, các đường tròn vẫn tròn và vuông góc trục thanh (hình 6.7b).

Mạng lưới chữ nhật gần như mạng lưới hình bình hành.

Hình 6.6:Tính mô men xon qua công sut

W1 W2 W3 W4

M1 M2 M3 M4

3,822

5,735

4,780

Mz(KNm)

a)

b)

c)

125

6.4.2. Các giả thuyết. Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ sở tính toán

cho một thanh tròn chịu xoắn: a) Giả thuyết 1 (về mặt cắt ngang).

Trước và sau biến dạng các mặc cắt ngang vẫn phẳng, vuông góc với trục thanh và khoảng cách giữa chúng không thay đổi.

b) Giả thuyết 2 (về các bán kính). Trước và sau biến dạng các bán kính vẫn thẳng và có chiều dài không đổi. c) Giả thuyết 3 (về các thớ dọc). Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy nhau. Ngoài các giả thuyết trên ta luôn luôn xem rằng vật liệu tuân theo định luật

HoooKe, nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất. 6.4.3. Thiết lập công thức tính ứng suất. Tưởng tượng tách một phân tố ABCDEFGH trên thanh tròn chịu xoắn thuần tuý giới hạn bởi: * Hai mặt cắt 1-1, 2-2 cách nhau dz. * Hai mặt trụ đồng trục có bán kính ρ và ρ + dρ. * Hai mặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc dα. - Theo giả thuyết a), c) ⇒ σx = σy = σz = 0. - Theo b) ⇒ Không có thành phần ứng suất tiếp dọc theo phương bán kính. - Vậy chỉ có một thành phần ứng suất tiếp theo phương tiếp tuyến τρ.

Nghĩa là phân tố trên ở trạng thái trượt thuần tuý. Sau khi thanh bị biến dạng, mặt cắt ngang 1-1 sẽ bị xoay đi một góc ϕ và mặt cắt

2-2 ở đầu mút phải có hoành độ z+dz sẽ bị xoay đi một góc ϕ+dϕ so với đầu cố định bên trái.Ta có thể giả thuyết 1-1 đứng yên, còn 2-2 xoay một góc dϕ; A, B, C, D lần lượt trượt đến A’, B’, C’, D’ (trên hình 6.8 ). Góc tạo giữa hai mặt phẳng A’D’HE và ADHE là γρ , đó là góc trượt tương đối giữa hai mặt cắt 1-1, 2-2 do τρ gây ra.

Theo hình vẽ có: dzd

EA'AAtg ϕργ ρ ==

Vì biến dạng bé, nên tg γρ ≈ γρ, suy ra dzdϕρ

=γρ (a)

Theo định luật HooKe về trượt: ρρ τγG1

= (b)

Hình 6.7:Bin dng khi xon

x xy y

z z

Mz

a) b)

126

Trong đó: G - mô dun đàn hồi trượt, hằng số đối với từng loại vật liệu; τρ - ứng suất tiếp trên phân tố cách trục thanh một đoạn ρ.

Từ (a) và (b) ,

suy ra ρϕτ ρ dzdG=

Trong đó:dzdϕ - hằng số đối

với từng mặt cắt. Thứ nguyên của G là: lực/ (chiều dài )2. Do đó τρ phân bố bậc nhất

theo ρ. Bây giờ để xác định công

thức tính ứng suất tiếp ta còn phải xem mối quan hệ của nó với mô men xoắn nội lực Mz tại điểm A ta sẽ có τρ tác dụng. τρ phân bố trên diện tích dF quanh điểm A (cách tâm một đoạn ρ) hình 6.9.

Hợp lực τρ và dF, gây ra một mô men xoắn đối với trục z: dMz = ρτρdF

Hợp lực các mô men vi phân dMz, chính là mô men xoắn nội lực Mz.

FddzdG.dFdMM

FFF zZ ρϕ

ρ=ρτ== ∫∫∫ ρ

∫ϕ

=ρϕ

=F P

2 JdzdGdF

dzdG

p

z

JM

dzdG =⇒ϕ

Cuối cùng ta có công thức tính ứng suất tiếp tại một điểm cách ρ bằng:

ρτ ρp

z

JM

=

Trong đó: τρ- Ứng suất tiếp tại điểm đang xét; ρ - Khoảng cách từ điểm tính ứng suất tiếp đến tâm O của mặt cắt ngang; Mz- Mô men xoắn nội lực của mặt cắt ngang đang xét; Jp - Mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang đang xét. Trong công thức trên ρ và Jp đều dương, nên chiều của τρ cùng chiều quay của Mz trên mặt cắt ngang đó. 6.5. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG.

- Qui luật phân bố của ứng suất tiếp đọc theo bán kính của mặt cắt là bật 1. - Những điểm nằm trên cùng một đường tròn thì có cùng ứng suất tiếp. - Khi ρ = 0, tại tâm mặt cắt ngang: τρ = 0.

ρ = ρmax=R ; thì τρ = τmax = RJM

JM

p

zmax

p

z =ρ

Hình 6.8: Bin dng ca phân t

A

B

C G

HF

D

D′

A′

dϕ

dα

dρ

ρ

γρ

dz

C′

B’

E

1

1

2

2

Hình 6.9: Xác nh ng sut tip

ρ A

dF

τρ

Mz

127

Trong đó R: bán kính mặt cắt ngang tròn.

Có thể viết lại: p

z

p

zmax W

M

RJM

==τ (6-4)

Trong đó max

ppp

JRJ

wρ

== gọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang.

Thứ nguyên [WP]=[(chiều dài)3] * Đối với mặt cắt tròn đặc:

33

pp D2,0

16D

2DJ

w ≈π

== (6-5)

Trong đó: D - Đường kính. * Đối với mặt cắt vành khăn.

2D

JJw P

max

pp =

ρ=

( )( )43

43

1D2,0

116D

η−≈

η−π

=

với η=Dd d = 2r: đường kính nhỏ D = 2R: đường kính lớn. Đồ thị phân bố của τρ theo bán kính của mặt cắt ngang được biểu diễn như hình

vẽ 6.10a,b. Ví dụ 3 :Trên mặt cắt ngang của một thanh tròn đặc chịu Mz = 2.104 Nm. Tính ứng suất tiếp τρ tại điểm A ứng với ρ = 0,03m và τmax ? Cho D = 0,1m.

τρ = ρp

z

JM

ma 454p m10D1,0J −==

275

4

m/N10.603,0.10

10.2==⇒ −ρτ

285

4

max m/N1005,0.10

10.2== −τ

6.6.BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU

XOẮN. Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng xoắn của thanh được thể hiện bằng sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục của nó. Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi là góc xoắn của đoạn thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó. Ta hãy thiết lập công thức tính góc xoắn của một đoạn thanh nào đó có chiều dài là l.

O

D=0,1m

Mz

A

Hình 6.11: Tính ng sut tip

Hình 6.10: Biu ng sut tip

τp τma x

ρ

Mz

O O

ρ

Mzτp τmax

a) b)

128

Đã có : dzGJMd

GJM

dzd

p

z

p

z =⇒= ϕϕ

∫=l

0 p

z dzGJM

ϕ (6-6)

- Trên suốt chiều dài l, nếu p

z

p

z

GJlMconst

GJM

=⇒= ϕ (6-7)

- Nếu pi

zi

GJM thay đổi dọc theo chiều dài thanh thì ta chia thanh ra nhiều đoạn li

sao cho: ∑=

=⇒=n

1i pii

izi

pi

zi

JGlMconst

GJM

ϕ (6-8)

-Tổng hợp : ∑∫=

=n

1i

l

0 pii

zii

dzJG

Mϕ (6-9)

(ϕ có đơn vị Radian ).

* Tỷ số dzdϕ gọi là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài và được gọi là góc xoắn

tỉ đối.

Ký hiêụ: θ = p

z

JGM

dzd

=ϕ (6-10)

Đơn vị của θ là: cm1;

m1;

cmRad;

mRad

* Tích số GJp được gọi là độ cứng chống xoắn, ý nghĩa vật lý của nó là: Khi độ cứng GJp tăng thì góc xoắn tỉ đối θ giảm và ngược lại. Ví dụ 4: Một trục bậc chịu tác dụng của mô men phân bố có cường dộ m = 2 KNm/m và mô men tập trung M = 2,5KNm.

Tính :1. Góc xoắn tuyệt đối tại A (ϕAE). 2. Góc xoắn của đoạn BD (ϕBD).

Biết D1 = 2cm, D2 = 3cm, G = 8.103 KN /cm2. Bài giải: Trước hết vẽ biểu đồ Mz (xem hình 6.12). 1) AEA ϕϕ =

∫ ++=ϕ20

0 p1

2z

pl1AE

1

2

JGlM

dzJG

mz

2p2

z

2p2

32z

JGM

JGlM 3++

∫ ⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

=20

0 43

2

43 21,010840104,0

21,010,82 dzz ( )

43

2

43

2

31,010840108,1

31,010820104,0

⋅⋅⋅⋅−

+⋅⋅⋅⋅

+

)Rad(057,0AEA == ϕϕ

Hình 6.12:Biu mô men xon

0,4m 0,4m 0,2m 0,2m

0,4KNm

1,8KNm

AB C DE

D2 D

1

m

129

2) 2

3

1

2

p2

3z

p1

2zBD JG

lMJGlM

+=ϕ

( )Rad137,03.1,0108

20104,021,0108

40104,043

2

43

2

BD =⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅⋅=ϕ

Qua ví dụ trên, ta nhận thấy cần chú ý đến dấu của Mz và J mô men quán tính của mặt cắt ngang trong đoạn cần tính. 6.7. TÍNH THANH CHỊU XOẮN. Một thanh chịu xoắn thường phải bảo đảm hai điều kiện: bền và cứng. 6.7.1. Điều kiện bền.

Muốn bền thì: [ ]ττ ≤=p

zmax W

Mmax (6-11)

Trong đó: [τ] = n0τ

Đối với vật liệu dẻo τ0=τch ; đối với vật liệu giòn τ0=τb. Từ điều kiện bền, ta suy ra 3 bài toán cơ bản: kiểm tra bền, xác định tải trọng cho phép và chọn kích thước mặt cắt ngang. 6.7.2.Điều kiện cứng. Muốn cho một thanh chịu xoắn không bị biến dạng lớn thì:

[ ]θ≤=θp

zmax GJ

Mmax

[θ] được cho trong các sổ tay kỹ thuật [θ] = (0,15 → 2)0/m. Từ điều kiện cứng ta cũng suy ra được ba bài toán cơ bản: Kiểm tra cứng, xác định tải trọng cho phép và xác định kích thước mặt cắt ngang. * Chú ý: Nếu đơn vị của [θ] (0/m) thì khi tính các bài toán theo điều kiện cứng phải đổi ra: rad/m hoặc rad/cm

Ví dụ 5: Chọn kính thước của mặt cắt ngang thanh tròn chịu xoắn như hình vẽ 6.13 trong hai trường hợp: - Khi thanh là tròn đặc .

- Khi thanh là tròn rỗng 7,0Dd==η .

Cho biết :

[ ] [ ]

;Nm256M;m/MN10.8G

;m41;m/N10.5,4

124

027

==

=θ=τ

M2 = 3M1. Bài giải: Biểu đồ Mz như trên hình vẽ

6.13. Những mặt cắt trên BC: max |Mz| = 2M1 = 2⋅256 = 512 (Nm) * Trường hợp thanh tròn đặc.

- Điều kiện bền: τmax = ][GJ

|M|maxp

z τ≤

AB C

M2 M1

Hình 6.13:Biu mô men xon

2M1

M1

(Mz)

130

=> wp ≥ 7maxz

10.5,4512

][|M|

=τ

0,2D3 ≥ 7105,4512⋅

=> D ≥ 3,84 . 10-2 m (a)

- Điều kiện cứng :

θmax = mrad

18041m/

41][];[

GJ|M| 0

p

maxz ⋅π

⋅==θθ≤ .

=> Jp = 0,1D4 ≥ 410

maxz

1,014,31081804512D

][G|M|

⋅⋅⋅⋅⋅

≥=>θ

=> D ≥ 6,189.10-2m (b) Từ (a) và (b) , chọn [D] = 6,2 cm (kích thước lớn hơn để thỏa mãn cả 2 điều kiện). * Trường hợp thanh tròn rỗng: Jp = 0,1D4 (1-η4); Wp = 0,2D3 (1-η4) .

- Từ điều kiện bền: D ≥ )m(1021,4)7,01(105,42,0

512 23

47−⋅≈

−⋅⋅ (c)

- Từ điều kiện cứng: D ≥ )m(1063,6)7,01(14,31081,0

4.150.512 24 49

−⋅≈−⋅⋅⋅

(d)

Từ (c) và (d) chọn: [D] = 6,63cm và [d] = 6,63⋅0,7= 4,64 cm 6.8. XOẮN THUẦN TÚY THANH CÓ MẶT CẮT NGANG KHÔNG TRÒN.

Thí nghiệm xoắn các thanh có mặt cắt ngang không tròn cho thấy giả thuyết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng nữa. Sức bền vật liệu không giải quyết các bài toán này.

Sau đây ta công nhận một số kết quả đã chứng minh trong lý thuyết đàn hồi. * Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật: Trên mặt cắt ngang của thanh bị xoắn thuần túy chỉ có ứng suất tiếp. Hình 6.14 biểu diễn luật phân bố của τ dọc theo các trục đối xứng, các đường chéo và các cạnh của mặt cắt ngang τmax phát sinh tại điểm giữa của các cạnh dài và tính theo công thức:

τ1 = τmax= 2z

abMα

(6-13)

a: Cạnh dài, b: Cạnh ngắn .

α: Hệ số tra bảng phụ thuộc ba

Viết lại τ1 = τmax = WM z , với Wxoắn =

αab2. Ứng suất tiếp tại điểm giữa các cạnh ngắn có giá trị lớn thứ 2 và được tính: τ2= γτ1 (6-14)

Hình 6.14: Lut phân b τ dc theo trc i xng

τ2

τ1=τmax

Mz

a

b

x

y

xon

131

Trong đó: γ - hệ số , tra bảng phụ thuộc ba .

Trong các tính toán sau này của Sức Bền Vật Liệu thường chỉ cần biết τ1, τ2. Góc xoắn tỉ đối θ được tính theo công thức:

θ = 3z

b.a..GMβ

; β: hệ số tra bảng phụ thuộc ba . (6-15)

Viết lại: θ = 3xoàõn

xoàõn

z abJvåïiJ.G

Mβ=

Bảng 6.1: Bảng hệ số α, β, γ a/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ α 0,208 0,239 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 γ 1 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742

Từ bảng trên ta thấy khi ba ≥ 10 (tức hình chữ nhật hẹp), thì ta lấy α = β =

31 .

* Ví dụ 6: Cho một thanh bằng thép dài 1m, mặt cắt ngang là hình chữ nhật có chiều rộng a=0,22m, chiều cao b = 0,1m, mô men xoắn tác dụng lên thanh là M=2,5.106Nm. Xác định ứng suất ở các điểm giữa của các cạnh và góc xoắn ϕ của thanh ; cho biết G = 8.1010N/m2.

Giải : 2,21,022,0

ba

== ; dùng phương pháp nội suy giữa 2ba= và 5,2

ba= .

Trong bảng để tìm giá trị α,β,γ và ứng với 2,2ba= của bài toán:

=> τ1 = τmax= 272

6

2z m/N1053,4

)1,0(22,0251,0105,2

abM

⋅=⋅⋅

=α

τ2= γ τ1 = 0,783⋅4,53⋅107 = 3,55⋅107N/m2

Rad59,0)1,0(22,0237,0108

1105,2baG

lMl 36

6

3z =

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅=β

θϕ

6.9. NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN SIÊU TÍNH

Ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập ta cần phải lập thêm phương trình biến dạng nữa mới giải được. * Ví dụ 7: Hãy vẽ biểu đồ Mz của thanh chịu xoắn như hình ve 6.15. Cho biết a, b, M.

Giải: Bỏ ngàm tại A,B và thay vào đó mô men phản lực MA, MB. Phương trình cân bằng tĩnh học độc lập :Σmz = 0, suy ra

MA + MB = M (1) Để hệ mới tương đương với hệ cũ ta có phương trình biến dạng: ϕAB = 0

Hình 6.15:Gii siêu t h

M

M MA MB

a b

A C B

A C B

a b

M-MB MA

MB

132

cho nên : 0GJ

a)MM(GJ

bM

p

B

p

B =−

+− (2)

Từ (1) và (2) , ta có:

Mba

aM B += M

babM; A +

=

Khi đã có các giá trị phản lực MA, MB và tải trọng M thì ta dễ dàng vẽ biểu đồ mô men xoắn (như ở hình 6.15). Sau đó thì các bài toán về xoắn ta có thể dễ dàng giải quyết như đã làm với các bài toán tĩnh định ở trên. 6.10. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN

Lò xo là một chi tiết thường gặp và được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật như trong các bộ phận giảm chấn động, trong các đệm đỡ ở các toa tàu lửa... Có nhiều dạng lò xo, nhưng ở đây chủ yếu ta nghiên cứu loại lò xo hình trụ có bước ngắn.

Trên hình 6.16 biểu diễn lò xo với các thông số sau: D là đường kính trung bình của lò xo; h là bước của lò xo; α là góc nghiêng của vòng lò xo đối với mặt thẳng góc

với trục lò xo (góc này thường rất bé), vì vậy bước lò xo rất ngắn; n là số vòng lò xo. 6.10.1. Ứng suất trên mặt cắt lò xo:

Ta cắt lò xo bằng mặt cắt chứa trục vuông góc với dây lò xo (vì lò xo bước ngắn) nên mặt cắt đó xem như tròn (hình 6.16b). Chia lò xo ra 2 phần, ta xét sự cân bằng của phần trên chẳng hạn. Để cân bằng với lực kéo P thì trên mặt cắt dây phải có lực cắt Q và

mô men M xoắn. Dễ dàng xác định: Q = P và M = P×2D .

Lực cắt Q sẽ sinh ra một ứng suất tiếp ở trên đường kính xem như hằng số và được xác

định : τ Q = 2DP4

FP

π= (6-16)

Mô men xoắn M sẽ sinh ra ứng suất tiếp và cực đại ở chu vi, được xác định như trong bài toán xoắn thanh tròn:

Hình 6.16: Tính toán lò xo

P

d

MDQ

P

P

α h

a) b)

B

c)

M

A

τM

A B

τQ

133

τM = 33P d.

D.P.8

16d.2

D.PWM

ππ== (6-17)

Nhìn vào mặt cắt ở hình 6.16c trên đường kính AB ta thấy ở mép B, thì ứng suất tiếp do Q và M đều cùng chiều. Vậy tại mép trong của lò xo ứng suất tiếp sẽ là:

τmax = τQ + τM = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

D2d1

dPD8

dPD8

DP4

332 πππ (6-18)

Thường thì tỷ số D2d bé hơn 1 rất nhiều và có thể bỏ qua lượng đó trong công thức

(6-18), cho nên ta có: τmax= 3dPD8π

(6-19)

Như vậy ta bỏ qua ứng suất tiếp do lực cắt Q sinh ra. Để chính xác hơn người ta đưa vào 1 hệ số điều chỉnh K, hệ số này phụ thuộc vào

bước lò xo, giá trị ứng suất tiếp gây ra do lực cắt Q thông qua tỷ số dD . Vậy công thức

thường được sử dụng là:

τma x = K⋅ 3dPD8π

(6-20)

Bảng 6.2: Bảng hệ số điều chỉnh K D/d 3 4 5 6 7 8 9 10 K 1,58 1,40 1,31 1,25 1,23 1,18 1,16 1,14

6.10.2. Độ cứng của lò xo: Dưới tác dụng của lực P, lò xo có thể bị giãn ra một lượng λ (nếu là lực P kéo) và

bị co một lượng là λ (nếu lực p là nén). Lực P đó sẽ sinh ra một công:

A = λ⋅⋅P21

Về trị số, công đó bằng thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo; nếu chỉ để ý đến mô men mà bỏ qua ảnh hưởng lực cắt Q thì:

U = p

2

GJlM

21⋅

Thay M = 32

dJ;2DP 4

p⋅

=⋅ π và nDl ⋅⋅= π

ta sẽ có: U = 4

32

4

2

dGnDP4

32dG2

n.D.2DP

⋅⋅⋅⋅

=π⋅⋅

π⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

Theo định luật bảo tồn năng lượng thì: A = U

Hay 4

32

dGnDP4P

21

⋅⋅⋅⋅

=⋅λ

Suy ra λ = 4

3

dGnDP8

⋅⋅⋅⋅ (6-21)

134

Công thức này có thể viết: λ = CP

nD8Gd

P

3

4 =

Trong đó: C = nD8

dG3

4

⋅⋅ (6-22)

C được gọi là độ cứng của lò xo có thể tính bằng N/cm, MN/m, độ cứng càng lớn thì λ càng nhỏ.

* Ví dụ 8: Cho một lò xo hình trụ có đường kính trung bình là D = 20cm, đường kính dây lò xo d = 2cm, số vòng lò xo là n=18, chịu lực kéo trên trục lò xo là P = 3⋅103N.

Hãy kiểm tra độ bền của lò xo và tính độ dãn λ của nó, cho biết [τ] = 2,5.108N/m2 , G = 8⋅1010N/m2.

Bài giải : Ứng suất tiếp lớn nhất trong lò xo được tính bằng công thức (6-20):

τma x = 3dDP8K

π⋅⋅⋅

Tra bảng 6-2 ta có ứng với 10220

dD

== , thì K = 1,14

Vậy τmax = 1,14 ⋅ 283

3

m/N1018,2)02,0(

2,01038⋅=

⋅⋅⋅π

So sánh với [τ], ta thấy τmax < [τ] Vậy lò xo đủ bền. Độ giãn của lò xo được tính bằng công thức (6-21):

λ = m27,0)02,0(108

18)2,0(1038dG

n.DP8410

33

4

3

=⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

* Ví dụ 9: Tìm độ cứng của hệ gồm 2 lò xo có độ cứng riêng biệt C1, C2 khi nối liên tiếp (mắc nối tiếp) như trên hình 6.17a và khi đặt lồng vào nhau (mắc song song) như trên hình vẽ 6.17b, cùng chịu tác dụng lực P. Bài giải :

1) Mắc nối tiếp. Lực tác dụng lên các lò xo như nhau và bằng P và độ giãn dài của cả 2 lò xo sẽ là tổng độ giãn dài (độ lớn) của 2 lò xo cộng lại, tức là:

λ = λ1 + λ2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

21

21

2121

11CC

CCP

CCP

CP

CP

So sánh với công thức (6-22) là:

λ= 21

21

CCCCCVáûy.

CP

+= và là độ cứng

của toàn hệ. 2- Mắc song song, thì rõ ràng độ lớn của

2 lò xo như nhau và: λ = λ1 = λ2 = 21 C

PCP

=

Nhưng lúc này lực nén P của toàn hệ được phân ra cho lò xo 1 và lò xo 2 như sau:

P = P1 +P2 = λC1 + λC2

Hình 6.17:Tính lún ca lò xo

P

P

C1

C2

a) P

P

C1

C2

b)

135

= λ(C1+ C2)

Suy ra: λ = 21 CC

P+

So sánh với (6-22) thì C = C1 + C2 Độ cứng của hệ bằng tổng độ cứng của các lò xo mắc song song.

6.11. SỰ PHÁ HUỶ CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN.

Để nghiên cứu dạng phá hủy của thanh tròn chịu xoắn chúng ta hãy phân tích trạng thái ứng suất trên bề mặt của thanh. Chúng ta hãy tách quanh điểm K trên bề mặt hình trụ một phân tố giới hạn bởi 2 mặt cắt vuông góc với trục cách nhau một đoạn dz, một mặt chứa trục của thanh và tạo với nhau một góc dα, cùng với mặt trục cách mặt ngoài một lượng dρ, phân tố này được chỉ ở hình 6.18a và phóng đại ở hình 6.18b.

Từ trạng thái ứng suất ở hình 6.18b, ta vẽ vòng Mohr ứng suất như hình 6.18c. Về trị số tuyết đối thì:

|σma x| = |σmin| = |τmax| = p

z

WM

Phương của σmax, σmin tạo với phương trục thanh một góc 450.

Từ đây chúng ta có thể giải thích dạng phá hủy khi xoắn đối với thanh tròn làm bằng vật liệu khác nhau.

1) Đối với vật liệu dẻo: Giới hạn bền cắt thấp hơn giới hạn bền kéo và nén (ví dụ thép CT3 có τb = 24.500N/cm2, σk

b = σnb =42.000N/cm2). Cho nên thanh làm bằng vật

liệu dẻo bị phát hỏng do ứng suất tiếp τmax, nên thanh bị cắt ngang vuông góc trục thanh (xem hình 6.19a)

2) Đối với vật liệu giòn: Có giới hạn bền khi kéo σkb nhỏ hơn nhiều so với giới

Hình 6.19: S phá hu khi xon

a) b)

450

MM M

M

Hình 6.18:Trng thái ng sut khi xon

a) b)

σmax σmin

σmin

σmax

τ

σmax σmin

KK τmin

τmax

c)

136

hạn σnb và giới hạn chịu cắt τb (ví dụ gang xám thì τb =23.350N/cm2, σk

b = 20.050N/cm2 và σn

b =79.000N/cm2), nên thanh bị phá hủy do ứng suất kéo σmax và mặt phá hủy vuông góc với σmax , tức là tạo với trục thanh một góc 450 như trên hình 6.19b.

3) Vật liệu dị hướng (như tre, gỗ...) thì giới hạn dập do τd dọc trục kém hơn giới hạn cắt τc thẳng góc với trục, giới hạn này nó cũng nhỏ hơn giới hạn bền khi kéo σk

b và giới hạn bền khi nén σn

b. Nên thanh sẽ bị phá hủy do ứng suất tiếp τd dọc trục. Thật vậy khi ta xoắn thanh tre chẳng hạn thì tre sẽ dập theo dọc trục.

CÂU HỎI TỰ HỌC:

6.1. Nêu cách xác định mô men xoắn nội lực. Biểu đồ mô men xoắn? 6.2. Giải thích cách sử dụng công thức về sự liên hệ giữa mô men xoắn và công suất của trục truyền. 6.3. Viết công thức tính ứng suất tiếp khi xoắn? Cách xác định các đại lượng trong công thức đó . 6.4. Viết công thức tính độ xoắn tương đôi, tỉ đối khi thanh tròn chịu xoắn. Giải thích các đại lượng trong công thức đó . 6.5. Điều kiện bền và cứng, vì sao phải để ý cả hai điều kiện khi tính xoắn. Các bài toán suy ra từ hai điều kiện đó . 6.6. Ứng suất trong lò xo tròn trụ bước ngắn khi chịu kéo (nén ).Công thức tính độ giãn lò xo. 6.7.Nguyên tắc chung để giải bài toán siêu tĩnh khi xoắn ? --- ---

138

Chương 7

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

Trong các chương trên, chúng ta chỉ mới xét các trường hợp thanh chịu lực đơn

giản như: kéo nén đúng tâm, xoắn thuần túy và uốn phẳng.Trong chương này ta sẽ xét sự chịu lực của thanh mà trên mặt cắt ngang của thanh xuất hiện nhiều thành phần nội lực. Đó là sự kết hợp giữa các trường hợp thanh chịu lực đơn giản. Để giải các bài toàn này ta dùng "nguyên lý độc lập tác dụng".

Phát biểu nguyên lý "độc lập tác dụng": Nếu trên một thanh đồng thời chịu tác dụng của nhiều lực thì ứng suất hay biến dạng bằng tổng ứng suất hay tổng biến dạng do tác dụng của riêng từng lực gây ra trên thanh đó.

Điều kiện áp dụng nguyên lý: - Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi. - Biến dạng bé. Nói chung ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh không đáng kể so với các

nội lực khác, nên trong mọi trường hợp chúng ta đều không xét đến lực cắt. A- THANH CHỊU UỐN XIÊN:

Định nghĩa: Một thanh chịu uốn xiên là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt của nó chỉ có hai thành phần nội lực là mô men uốn Mx, My nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

Ta có thể biểu diễn Mx, My bởi các véctơ yMr

và xMr

. Hợp các vectơ này sẽ được

vectơ tổng hợp uMr

nghĩa là nếu hợp các mô men uốn Mx và My ta sẽ được mô men uốn tổng hợp nằm trên mặt phẳng (v) chứa trục z nhưng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào của mặt cắt ngang. Mặt phẳng (v) được gọi là mặt phẳng tải trọng. Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng.

Từ đó ta có một định nghĩa khác về uốn xiên: Một thanh chịu uốn xiên là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần mô men uốn M nằm trong mặt phẳng chứa trục z nhưng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào của mặt cắt ngang. 7.1. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG: 7.1. Ứng suất pháp :

Gọi α là góc tạo bởi trục x và đường tải trọng. Nếu biểu diễn các mô men uốn bằng các vectơ và như trên hình 7.1, ta có:

⎭⎬⎫

α=α=

cosMMsinMM

y

x (a)

α>0 khi chiều quay từ trục x đến đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ (vì trục y hướng xuống dưới)

Ta có hệ số góc đường tải trọng: y

x

MMtg =α (7-1)

Mx My

139

Dấu của Mx, My được qui ước giống như trong uốn phẳng. Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất tại điểm có tọa độ (x, y) thuộc mặt cắt ngang

sẽ là: xJM

yJM

y

y

x

x +=σ (7-2)

Trong đó số hạng 1 do riêng Mx gây ra, số hạng 2 do riêng My gây ra. Công thức này cần phải để ý đến dấu của Mx, My và dấu của toạ độ x,y của điểm xét ứng suất, tức là có 4 dấu khác nhau.

Để thuận tiện người ta thường dùng các công thức kỹ thuật:

|x|J

|M||y|

J|M|

y

y

x

x ±±=σ (7-3)

Trong đó, dấu + hay - trước mỗi số hạng là tùy thuộc vào Mx, My gây ra ứng suất kéo hay nén trên điểm đang xét. Ví dụ ứng suất tại A của hình 7.1 a:

|x|J

|M||y|

J|M|

Ay

yA

x

x −=σ

7.1.2. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất: Nếu ứng suất tại mỗi điểm được biểu diễn bằng một vectơ, thì (7-2) biểu diễn mặt

phẳng quĩ tích của những đầu mút của các vectơ ứng suất. Mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng ứng suất.

Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất và mặt cắt ngang là qũi tích những điểm có σ = 0. Giao tuyến đó chính là đường trung hòa, phương trình của nó là:

xJJ

MM

y0xJM

yJM

y

x

x

y

y

y

x

x −==>=+

Vậy hệ số góc của đường trung hòa là:

y

x

x

y

JJ

MM

tg −=β (7-4)

a)

b)

c)

y y y

x x x

z z zMx Mx

Mx

MuMy v

Muα

Mặt phẳng tải trọng

Đường tải trọng

Hình 7.1:Tải trọng trong uốn xiên

My MyϕA

140

hay y

x

JJ

tg1tgα

β −= (7-5)

Từ (7-5) có nhận xét: a) tgα và tgβ luôn luôn trái dấu nhau, vì Jx > 0, Jy > 0. Do đó, đường trung hòa và đường tải trọng không bao giờ cùng nằm trong một góc phần tư của hệ trục Oxy (hình7.2b).

b) Từ (7-5) suy ra: y

x

JJtgtg −=αβ

* Nếu 1JJ

y

x ≠ thì đường trung hòa không vuông góc với đường tải trọng. Đó

là trường hợp uốn xiên.

* Nếu 1JJ

y

x = (tức Jx=Jy), thì đường trung hòa vuông góc với đường tải trọng

và đồng thời bất kỳ trục nào đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang cũng là trục quán tính chính trung tâm (đã trình bày ở chương 4).

(Thật vậy 02cosJ2sin2

JJJ xy

yxuv =+

−= αα . Vậy Ouv là hệ trục quán tính

chính trung tâm). Như vậy, mặt phẳng tải trọng cũng là mặt phẳng quán tính trung tâm, sự uốn của

thanh không còn là uốn xiên mà uốn thuần túy phẳng. Đó là trường hợp các mặt cắt ngang của thanh hình tròn, đa giác đều. Với các thanh đó thì không bao giờ chịu uốn xiên.

Qua hình vẽ biểu diễn mặt phẳng ứng suất ta nhận thấy:

y y y

c)

b)

a)

z z

x x x

ba B

A O OO

Đường trung hoà

Đường trung hoà

Đường tải trọng

βββα

Hình 7.2: Xác định đường trung hoà

Đường trung hoà

141

a) Những điểm nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hòa thì có ứng suất pháp như nhau.

b) Trị số σ tại một điểm tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến đường trung hòa. Dựa vào tính chất đó ta biểu diễn sự phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

bằng biểu đồ ứng suất trong mặt phẳng. Biểu đồ được vẽ như trên hình 7.2c Kéo dài đường trung hòa ra khỏi mặt cắt và vẽ đường thẳng góc với đường trung

hòa làm đường chuẩn. Ứng suất pháp tại những điểm ∈AB // đường trung hòa được biểu diễn bằng một đoạn thẳng ab có gốc trên đường chuẩn và phương nằm trên đường thẳng song song đó. Biểu đồ ứng suất là một đường thẳng, miền có ứng suất kéo mang dấu +, miền có ứng suất nén mang dấu -.

* Ví dụ 1: Một dầm bằng gỗ dài l = 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật 13× 20cm. Dầm bị ngàm ở một đầu. Đầu tự do chịu lực tập trung P = 2400N. Lực P đặt thẳng góc trục dầm và hợp với trục y một góc ϕ = 300, hình 7.3. Xác định vị trí đường trung hòa và trị số ứng suất tại các điểm góc A, B, C và D ở mặt cắt ngang nguy hiểm nhất.

Giải: Phân P ra Px , Py: Px = P sin ϕ = 2400⋅ N12021=

Py = P cos ϕ = 2.400⋅ N4,207823=

Mx= -Pyz ; My = Pxz Mặt cắt ngang tại ngàm có các mô men lớn nhất nên tại đó là mặt cắt ngang nguy hiểm nhất. Vị trí đường trung hòa xác định bởi:

tgβ = 366,1JJ

PP

JJ

MM

y

x

y

x

y

x

x

y ==−

=> β = 53048'

Hình 7.3: Xác định ứng suất khi uốn xiên

Px

Py

y y

xx

zϕ

β=53048

A B

C D(Mx)

(My)

-Pyl

Pxl

l=2m

Trục trung hoà

142

σA = |x|J

|M||y|

J|M|

Ay

yA

x

x −+

σA = 2

y

y

x

x m/MN53,0W

|M|W

|M|=−+

Trong đó: Wx = 33322

m10867,0cm86762013

6bh −⋅==

⋅=

Wy = 33322

m10563,0cm56361320

6hb −⋅==

⋅=

Tương tự : σB = 9,05 MN/m2; σC = -0,53 MN/m2; σD = -9,05 MN/m2 Vậy ứng suất nguy hiểm sẽ là tại B và tại D ở 2 góc xa trục trung hòa nhất.

7.2. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN XIÊN.

Để thiết lập điều kiện bền của dầm chịu uốn xiên, trước hết ta phải tìm mặt cắt nguy hiểm, rồi trên mặt cắt ngang nguy hiểm đó ta xác định vị trí các điểm nguy hiểm và tính ứng suất tại các điểm đó. Dựa vào biểu đồ Mx và My chúng ta sẽ tìm được mặt cắt ngang nguy hiểm, đó là mặt cắt có Mx và My cùng lớn nhất. Nếu Mx và My không cùng lớn nhất tại một mặt cắt ngang, trong trường hợp này chúng ta xác định ứng suất cực trị (σmax, σmin) trên mỗi mặt cắt ngang và vẽ biểu đồ ứng suất pháp cực trị đó dọc theo trục dầm. Mặt cắt ngang nguy hiểm chính là mặt cắt ngang có ứng suất pháp cực trị lớn nhất. Những điểm có ứng suất pháp cực trị là những điểm cách xa trục trung hòa nhất.

|x|J

|M||y|

J|M| k

maxy

ykmax

x

xmax +=σ (7-6)

|x|J

|M||y|

J|M| n

maxy

ynmax

x

xmin −

−=σ

Trạng thái ứng suất ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn. * Vật liệu giòn: σmax ≤ [σ]k ; |σmin| ≤ [σ]n * Vật liệu dẻo: max (σmax = |σmin|) ≤ [σ] * Đặc biệt, nếu cả hai trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang đều là

trục đối xứng (hình 7.4a, b, c ), thì có:

nmax

kmax xx =

nmax

kmax yy =

σma x = |σmin| Các điều kiện bền:

a) Vật liệu giòn: ≤+ W

|M|W

|M|

y

y

x

x [σ]k (7-7a)

143

b) Vật liệu dẻo: ≤+ W

|M|W

|M|

y

y

x

x [σ] (7-7b)

Từ điều kiện bền, ta có ba bài toán cơ bản: Kiểm tra bền, xác định tải trọng cho phép, chọn kích thước mặt cắt ngang. Riêng bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang phức tạp hơn vì trong các bất phương trình trên ta gặp hai ẩn là Wx, Wy.

Cách giải bài toán này là theo phương pháp đúng dần. Ta chọn trước một ẩn số, từ đó xác định ẩn số thứ hai, xong kiểm tra lại điều kiện bền, làm như thế cho đến lúc xác định được kích thước hợp lý nhất. Để giải bài toán nhanh chóng ta viết lại điều kiện bền

dưới dạng: ][|M|WW

|M|W1

yy

xx

x

σ≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ (7-8)

Xác định Wx theo y

x

WW rồi chọn tỉ số

y

x

WW . Việc chọn này đơn giản hơn. Đối với

hình chữ nhật, tỉ số bh

WW

y

x = . Đối với mặt cắt , tỉ số đó thường chọn với trị số ban đầu

khoảng từ 5÷7. Mặt cắt chữ I: 8÷10 (dựa vào bảng số liệu về kích thước của các thép định

hình, tỉ số y

x

WW chỉ biến thiên trong khoảng nhất định ).

* Ví dụ 2: Một dầm thép mặt cắt ngang chữ I chịu lực như hình vẽ 7.5a. Chọn số hiệu thép chữ I của mặt cắt ngang, biết: [σ] = 16 kN/cm2, P = 11kN, P nghiêng với trục y một góc ϕ = 200.

Bài giải: Phân P thành hai thành phần Px và Py. Mx và My đều có giá trị lớn nhất tại ngàm, ta có: Mx = - pyl = -11⋅cos 200 ⋅1,2 = -12,4 KNm. My = pxl = 11⋅sin 200⋅ 1,2 = 4,51 KNm.

Trong đó cos 200 = 0,94 và sin 200 = 0,6.

Chọn y

x

WW

= 10, khi đó:

Hình 7.4: Các mặt cắt đối xứng

y y y

xxx

a)

b)

c)

144

Wx = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+ ||

WW ||

][1

y

xyx MM

σ = [ ] 21051,4104,12

161

⋅⋅+

Wx = 360 cm3 Dựa vào kết quả này ta tra bảng chọn thép I số 27: Wx = 371 cm3, Wy = 41,5cm3

Thử lại điều kiện bền: σmax = ][cm/KN2,145,411051,4

371104,12 2

22

σ<=⋅

+⋅

Nhận thấy σmax còn nhỏ hơn nhiều [σ]. Chọn lại thép I số 24a: Wx = 317 cm3, Wy = 41,6 cm3

Khi đó σmax = ][cm/KN7,146,411051,4

317104,12 2

22

σ<=⋅

+⋅

Chọn lại thép I số 24: Wx = 289 cm3, Wy = 34,5 cm3

Khi đó σmax = ][cm/KN36,175,341051,4

289104,12 2

22

σ>=⋅

+⋅

⇒ không bền.

* Kết luận: Vậy thích hợp nhất ta chọn thép I số 24a. 7.3 ĐỘ VÕNG CỦA DẦM CHỊU UỐN XIÊN.

Gọi fx, fy là độ võng theo phương của các trục quán tính chính trung tâm x, y do My và Mx gây ra. Độ võng toàn phần f được tính bằng côg thức:

f = 2y

2x ff +

* Ví dụ 3: Tính độ võng toàn phần ở đầu tự do của dầm chịu lực như hình 7.6a. Độ võng theo phương y ở đầu tự do dầm là do lực Py gây ra. Trị số của độ võng

đo bằng : x

3x

x

3

x

3y

y EJ3lM

EJ3l.cosP

EJ3lP

f ===ϕ (a)

(Giá trị này được xác định trong chương uốn phẳng)

Hình 7.5: Chọn số hiệu thép chữ I

Px

Py

y

x

zϕ

l=2m

Pyb)

xPx

P Py

α=200

O

a)

145

y

3y

y

3x

x EJ3lM

EJ3lPf == (b)

Qua đó, ta chú ý đến một nhận xét quan trọng sau đây: Nếu gọi γ là góc làm bởi phương của f và trục x (hình 7.6), từ (a) và (b), ta có:

x

y

y

x

x

y

JJ

MM

ff

tg ⋅==γ (7-10)

Đem nhân (7-4) và(7-10) vế với vế, ta được: tgγ⋅ tgβ = -1 (7-11) Vậy, phương của độ võng toàn phần luôn luôn vuông góc với đường trung hòa

(xem hình 7.6b). Như vậy, phương của độ võng toàn phần không thể trùng với đường tải trọng. Mặt phẳng chứa phương của độ võng toàn phần được gọi là mặt phẳng uốn.

Biểu thức (7-10) còn có thể viết dưới dạng: tgγ = tgα⋅x

y

JJ

(7-12)

Nếu Jx> Jy thì trị số tuyệt đối của tgγ nhỏ hơn tgα, nói cách khác mặt phẳng uốn gần trục quán tính chính cực đại ox hơn là mặt phẳng tải trọng.

Chỉ cần α tăng lên một lượng bé thì góc γ sẽ giảm đi một lượng lớn, làm cho mặt phẳng uốn càng tiến sát tới trục ox. Điều đó làm cho ứng suất cực đại trong thanh tăng lên và càng nguy hiểm khi Jx càng lớn so với Jy.

* Ví dụ 4: Một dầm bằng thép có mặt cắt ngang hình chữ đặt lên hai vì kèo có nhịp l = 5m chịu tải trọng phân bố đều q= 6000N/m. Mái nghiêng so với mặt nằm ngang một góc ϕ = 300 (hình 7.7a,b). Chọn số hiệu của thép, biết rằng ứng suất cho phép [σ] =160MN/m2 (xem dầm đặt trên các vì kèo như đặt lên các gối tựa).

Hình 7.6: Độ võng trong uốn xiên

Px

Py

y

x

z ϕ

l=2m

y

x 230

Phương độ võng

Đường trung hoà

γ O

a)

b)

13cm

20cm

O

146

Tính độ võng ở giữa nhịp của dầm. Cho E = 2.105MN/m2.

Bài giải: Phân cường độ q của tải trọng phân bố đều làm hai thành phần: qx = qsinϕ = 6000 ⋅ 0,5 =3000 N/m qy = qcosϕ = 6000 ⋅ 0,866 = 5196 N/m Trong trường hợp này ta thấy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt ở giữa nhịp của

dầm. Trị số của các mô men uốn trong các mặt phẳng quán tính chính tại đó là:

Nm162378

5.51968lq

M22

yx ===

Nm93758

530008

lqM22

xy =

⋅=

⋅=

Ta có thể sử dụng công thức kiểm tra bền như sau:

σmax = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡σ≤+ ][|M|

WW|M|

W1

yy

xx

x

Để sơ bộ chọn số hiệu thép ta lấy y

x

WW =5. Với tỉ số đó ta có:

Wx = [ ] 366 m104,3949375516237

10.1601 −⋅=⋅+

Căn cứ vào trị số đó, ta có thể sơ bộ chọn loại thép chữ số hiệu 30. Với loại thép chữ này, bảng số liệu cho ta các trị số như sau: (OCT 8240 - 56):

Wx= 387cm3, Wy = 426 cm3 Ta phải kiểm tra lại điều kiện bền của dầm:

σmax = 26 m/MN2629375

6,4238716237

10.3871

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+−

Trị số đó quá lớn so với ứng suất cho phép, vì vậy ta phải chọn lại. Ta chọn loại thép số hiệu 40, với loại thép này, ta có:

Wx= 761 cm3, Wy = 73,4 cm3 Kiểm tra lại điều kiện bền của dầm, ta có:

a)

l=5m

q=6000N/m

b)

ϕ=300

x

y

q

Hình 7.7: Chọn mắt cắt trong ố iê

147

σmax = 26 m/MN1499375

4,7376116237

10.7611

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+−

So với ứng suất cho phép, ta thấy trị số ứng suất đó nhỏ hơn 6,9%. Nếu ta chọn loại thép số hiệu bé hơn thì không bảo đảm điều kiện bền, nên ta chọn loại thép số hiệu 40.

Độ võng theo phương các trục quán tính chính trung tâm x, y:

4

yx 1

EJsin.q

3845f ⋅⋅=

ϕ

4

xy 1

EJcos.q

3845f ⋅⋅=

ϕ

Độ võng toàn phần ở giữa nhịp của dầm:

f = m10.34J

sinJ

cosE

ql384

5fff 3

2

y

2

x

42y

2x

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=+=

ϕϕ

B. THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI VỚI KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM.

Một thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là: Các mô men uốn Mx, My và lực dọc Nz (không xét đến lực cắt).

Ví như ống khói vừa chịu uốn do tác dụng của gió, vừa chịu nén do trọng lượng bản thân, hoặc cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không thẳng góc trục thanh, thành phần thẳng góc trục thanh gây ra uốn, thành phần theo phương trục thanh gây ra nén... 7.4. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG.

Giả sử trên mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm có các thành phần nội lực: Mx, My và Nz. Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ (x, y) thuộc

mặt cắt ngang là : F

Nx

JM

yJM z

y

y

x

x ++=σ (7-13)

Dấu của Mx, My như qui ước trong uốn xiên. Để tranh nhầm lẫn, ta dùng công thức:

F

|N||x|

J|M|

|y|J

|M| z

y

y

x

x ±±±=σ (7-14)

Việc chọn dấu trước mỗi số hạng tùy theo các thành phần nội lực tương ứng gây nên ứng suất kéo hay nén tại điểm (x, y).

* Ví dụ 5: Tính ứng suất pháp tại các điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực như hình 7.8.

Với Mx = 2,4 kNm, My = 1,5 kNm, Nz = 60 kN. Kích thước mặt cắt ngang hình chữ nhật 12×20 (cm2).

Bài giải:

y

− − B

+ − A

C

+ − D

+ + z

Nz

Mx

My

xO

Hình 7.8: Tính ứng suất

148

Ta có:

3

3

y

33

x

cm288012

)12(20J

cm000.812

2012J

=⋅

=

=⋅

=

(Lực dọc NZ gây ra ứng suất kéo trên toàn mặt cắt)

2012

602880

6105,1108000

104,2 22

A ⋅+

⋅⋅+⋅

⋅−=σ

2cm/KN2625,0=

2012

602880

6105,1108000

104,2 22

B ⋅+

⋅⋅−⋅

⋅−=σ

2cm/KN3625,0−= σC = 0,3 - 0,3125 + 0,25 = 0,2375 KN/cm2 σD = 0,3 + 0,3125 + 0,25 = 0,6825 KN/cm2 Tại điểm D ba thành phần nội lực đều gây ra kéo nên ở đây có giá trị σ lớn nhất.

7.5. THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) LỆCH TÂM . 1.Định nghĩa: Một thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có một thành phần lực song song với trục thanh nhưng điểm đặt lực nằm ngoài trọng tâm của mặt cắt đó.

Ví như trường hợp chịu lực của một cần cẩu cố định. Các lực đặt lên cần cẩu là những lực song song với trục giá cần cẩu, hợp lực của chúng phải là một lực nào đó song song trục giá (hình 7.9a) hoặc là bulông lệch tâm (hình 7.9b). Ta thấy rằng thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là trường hợp đặc biệt của thanh

chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm. Thật vậy ví như trên hình 7.10, tại điểm C lệch tâm có một lực N song song với trục z tác dụng. Nếu chuyển N về trọng tâm O của mặt cắt ngang ta sẽ được:

- Lực dọc đúng tâm NZ = N - Mô men uốn M = Ne

Hình 7.9: Ví dụ về lệch tâm

a)

b)

P

P

e

y

z

xxc

yc

C

N

Hình 7.10:Sơ đồ bài toán lệch

tâm

e

149

Như vậy, chúng ta đã đưa bài toán thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm về bài toán chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm. Mặt phẳng tác dụng của mô men uốn M cắt ngang theo đường OC. Giống như trong uốn xiên OC là đường tải trọng.

Chúng ta phân tích M ra 2 thành phần: Mô men uốn quay quanh trục x và quay quanh trục y:

M Mx = M sinα = Ne sinα = Nyc = Mx My = M cosα = Ne cosα = Nyc = My

2.Điều kiện bền: Nói chung, đối với thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm, hay thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm, điều kiện bền là:

* Đối với thanh bằng vật liệu giòn: [ ]Kσσ ≤max ; [ ]nσσ ≤min

* Đối với thanh bằng vật liệu dẻo: [ ]σσ ≤Zmax * Nếu mặt cắt ngang của thanh có dạng đối xứng cả hai trục như mặt cắt chữ nhật,

chữ I hay hai chữ I ghép lại: , I, II, thì:

F

NW

M

WM z

y

y

x

xmax ±+=σ (7-15a)

F

NW

M

WM z

y

y

x

xmin ±−−=σ (7-15b)

Trong đó số hạng thứ ba lấy dấu (+) ,khi NZ là lực kéo và dấu (-) khi, NZ là lực nén.

* Ví dụ 6: Kiểm tra sức chịu lực của đất dưới móng máy, biết rằng áp suất lớn nhất mà đất có thể chịu được là 20 N/cm2. Trọng lượng P của máy = 80kN và được đặt ở điểm C(0.2,0.1) . Trọng lượng riêng của móng máy γ = 25 KN/m3 (xem hình 7.11).

Bài giải: Đối với bài toán này, chúng ta thấy ngoài P còn có R trọng lượng của toàn móng máy, nên ta giải như thanh chịu uốn đồng thời và nén đúng tâm.

Xét mặt cắt ngang ở đáy móng tiếp xúc nền đất. Nội lực trên mặt cắt ngang này là: Nz = -(P+R) = -80-25×2×1,2×2 = -200kN (a)

Lực -P gây ta uốn: Mx = -PyC = -80 ×0,1= -8kNm

(làm căng các thớ về phía âm của trục y, Mx<0) My = P⋅xc= -80 ⋅ 0,2 = -16 kNm làm căng phía âm của trục x, My < 0.

z

Hình 7.11: Ví dụ về nén lệch tâm

P

R

2m

2m

2m

xc

yc OA

B

y

1,2

m

(y=−3)

(x=−4,17)

Đường trung hoà

x

C

150

Khi xác định được Mx, My ,Nz thì căn cứ vào biểu thức xác định đường trung hoà ta có:

xJM

yJM

FN

y

y

x

xz ⋅+⋅+=σ 0x8,0

16y288,08

2,12200

=⋅−⋅−×

−=

Trong đó, ta tính: 43

y4

3

x m8,012

22,1J;m288,012

2,12J =×

==×

=

Tư đây ta xác định được đường trung hoà như trong hình 7.11. Bây giờ ta tính ứng suất tại góc A và B:

222

z

y

y

x

xmaxA m/KN6,46

22,1200

622,1

16

62,12

800F

NW

M

WM

−=⋅

−⋅

+⋅

=−+== σσ

= -4, 66 N/cm2

σB = σmin = - 2z

y

y

x

xminB cm/N12

FN

W

M

WM

−=−−−

== σσ

|σA| < |σB| < 20 N/cm2. Vậy đất dưới đáy móng chịu được áp lực do P và R tác dụng.

7.6. KHÁI NIỆM VỀ LÕI CỦA MẶT CẮT NGANG 7.6.1. Đường trung hòa trong kéo (nén) lệch tâm:

Những điểm trên đường trung hòa dĩ nhiên có giá trị ứng suất bằng không (theo định nghĩa), cho nên từ biểu thức (7-13) chúng ta cho vế phải bằng 0 thì sẽ tìm được

đường trung hòa: 0F

NxJM

yJM z

y

y

x

x =+⋅+⋅ (a)

Trong trường hợp riêng (kéo hoặc nén lệch tâm) thì (a) sẽ là:

0FNx

Jx.N

yJy.N

y

c

x

c =+⋅+⋅ (b)

Chia tất cả cho FN ta được: 0

FJ

xx

FJ

yy1

y

c

x

c =⋅

+⋅

+ (c)

Ta đã biết 2y

y2x

x rFJ

;rFJ

==

Từ (c) => 0r

xxr

yy1 2

y

c2x

c =⋅

+⋅

+ (d)

Nếu đặt c

2x

c

2y

yrb;

xr

a −=−= (7-16)

151

Cuối cùng đường trung hòa có dạng: 1by

ax

=+ (7-17)

Giá trị a và b là hoành độ và tung độ trên trục hoành và trục tung mà đường trung hòa đi qua nó.

Đường trung hòa trong kéo (nén) lệch tâm có những tính chất sau: 1- Đường trung hòa không phụ thuộc vào giá trị của lực, mà chỉ phụ thuộc tọa

độ của điểm đặt lực, đường trung hòa và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong các góc phần tư đối đỉnh qua gốc tọa độ (vì a, b bao giờ cũng ngược dấu với xc và yc , hình 17.12a).

2- Nếu điểm đặt lực nằm trên trục x thì yc=0, do đó b = ∞; có nghĩa là đường trung hòa nằm song song với trục y và ngược lại.

3- Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng không qua gốc tọa độ, thì đường trung hòa sẽ xoay quanh một điểm trên mặt phẳng của mặt cắt ngang.

Điều này được chứng minh trên hình 7.12b, trong đó ta giả sử điểm đặt lực C di chuyển trên đường thẳng ∆ và rõ ràng lực P có thể phân thành hai thành phần theo hệ lực song song P1 và P2 mà các điểm đặt lực của nó nằm trên trục x là C1 và trục y là C2. Đường trung hoà tương ứng với lực P1 sẽ song song với trục y và vị trí đường trung hoà này đã xác địn. Hai đường trung hoà này giao nhau tại điểm K. Chúng ta chú ý một điểm tại điểm K, thì ứng suất do P gây ra cũng bằng không (vì theo nguyên lí cọng tác dụng thì ứng suất tại K do P gây ra cũng là bằng tổng ứng suất gây ra tại đó do P1 và P2 sinh ra bằng 0. Vậy điểm K cũng là điểm đi qua đường trung hoà ứng với lực P tác dụng. Đến đây ta có thể nói các đường trung hoà đều xoay quanh điểm K khi điểm đặt lực chạy trên đường thẳng ∆, xem hình 7.12b.

4-Nếu điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ (hình 7.12c), thì đường trung hoà sẽ dịch chuyển song song với chính nó. Nếu điểm đặt lực C tiến gần về gốc toạ độ O, thì đường trung hoà sẽ lùi ra xa và ngược lại nếu điểm C lùi xa thì đường trung hoà sẽ tiến gần về gốc toạ độ O.Ta chứng minh điều này:

a)

y y

xC

yc

xc

C

x

b

a

Đường trung hoà

Đường trung hoà do P2

Đường trung hoà do P1

C1 C

2

z

P1

P

y

∆

b) c) Hình 7.12: Xác định các tính chất của

ờ à

P2

xK

O O O

152

Điểm đặt lực C di chuyển trên đường thẳng qua gốc toạ độ, thì theo toán học ta có

: constxy

c

c = .Bây giờ chúng ta xét về đường trung hoà.

Căn cứ vào (7-16), ta lập tỉ số: constyx

rr

ab

c

c2y

2x =×= vì const

rr

2y

2x =

Điều này chứng tỏ các đường trung hoà sẽ song song với nhau. Mặt khác cũng từ (7-16) ta thấy rằng: nếu giá trị tuyệt đối xx, yc càng nhỏ (điểm C gần gốc O) thì b và a càng lớn, tức là đường trung hoà xa gốc O và ngược lại. Cũng từ tính chất này ta tìm một vị trí nào đó của điểm đặt lực C* để có đường trung hoà tiếp xúc với chu vi mặt cắt, khi điểm đặt lực nằm trong đoạn OC* thì đường trung hoà sẽ nằm chu vi mặt cắt ngang. Những tính chất trên rất quan trọng trong thực tế như việc xác định lõi của mặt cắt mà ta sẽ trình bày sau. 7.6.2. Lõi của mặt cắt ngang:

* Trong các công trình xây dựng, thủy lợi, cơ khí ... chúng ta thường gặp những vật liệu chủ yếu chỉ chịu được lực nén, chịu kéo rất kém như nền đất ở nơi tiếp giáp giữa móng và nền. Vì vậy trong khi thiết kế các công trình chịu nén lệch tâm, ta phải xác định vị trí của điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt ngang chỉ chịu ứng suất nén, nghĩa là đường trung hòa do tải trọng sinh ra không cắt qua mặt cắt ngang (trên mặt cắt ngang chỉ chịu một loại ứng suất nén). Như phần trên ta đã biết, vị trí của đường trung hòa phụ thuộc vào điểm đặt lực, cho nên để thỏa mãn điều kiện đã nói thì điểm đặt lực C phải ở trong vùng nén đó bao quanh trọng tâm của mặt cắt ngang. Miền diện tích ấy được gọi là lõi của mặt cắt ngang.

* Lõi của mặt cắt ngang được xác định như sau: - Vẽ một số đường trung hòa tiếp xúc với

chu vi mặt cắt ngang. Vị trí các đường trung hòa này được xác định bởi các tọa độ gốc ai, bi tương ứng. Với mỗi một đường, ta xác định được tọa độ điểm đặt lực (xci, yci) tương ứng theo (7-16):

i

xci

i

yci b

ry;ar

x −=−= (7-18)

- Nối các điểm đặt lực Ci ta được chu vi của lõi.

- Chú ý: Đường trung hòa chỉ được tiếp xúc với chu vi chứ không được cắt mặt cắt ngang, cho nên dù mặt cắt ngang có là đa giác lồi hay lõm thì lõi cũng là một đa giác lồi. * Lõi của một số mặt cắt thường gặp:

1- Lõi của hình chữ nhật (hình 7.13)

Cho đường trung hòa tiếp xúc với cạnh AB ta có: a1 = ∞ ; b1 = 2h

−

Đường trung hoàx

y

1

1′ 2

′ 2

b/2

b/2

Hình 7.13: Xác định lõi

A B

h/

2

h/

2

D C

153

Tọa độ của điểm đặt lực C1 (điểm 1) tương ứng là:

xc1 = 0ar

1

2y =− ; yc1 = +=−

1

2y

br

6h

Tương tự ta cho đường trung hòa trùng với AD thì:

a2= ∞=− 2bvaì2b

Vậy tọa độ điểm C2 sẽ là:

6b

2b12

bar

x2

2

2y

2c ==−= ; yc2 = 0br

2

2x =−

Do tính chất đối xứng nên các điểm 1' và 2' dễ dàng xác định. Cuối cùng ta nối 122'1' ta được lõi của nó.

2- Lõi mặt cắt hình vành khăn: Lõi sẽ là hình tròn có bán kính (hình 7.14a):

)1(4Rr 2η+=′ ; Với η =

Rr (r: bán kính trong; R: bán kính ngoài)

Nếu là hình tròn đặc ta cho r= 0, thì rõ ràng lõi cũng là 1 hình tròn có bán kính

r'=4R (xem hình 7.14b).

3- Lõi mặt cắt chữ I, xem hình 7.15.

y y

b)a)

x xRRr

rr

Đường trung hoà

Đường trung hoà

Hình 7.14: Lõi của mặt cắt tròn

154

Cũng tương tự như cách xác định các lõi của những hình trên, ta có các đường trung hòa trùng với AB, BC, CD và DA ta sẽ xác định 4 điểm giới hạn của lõi và nối lại là những đa giác lồi. C- THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI VỚI XOẮN.

Định nghĩa: Một thanh chịu uốn đồng thời với xoắn là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là mô men uốn Mx, My và mô men xoắn Mz.

Ví dụ: Một trục truyền lực không những chỉ chịu tác dụng của mô men xoắn mà còn chịu uốn do trọng lượng bản thân, trọng lượng các puli và do lực căng của các dây đai.

Trong phần này chúng ta chỉ xét các thanh có mặt cắt ngang là hình tròn và hình chữ nhật. 7.7. THANH CÓ MẶT CẮT NGANG TRÒN.

Nếu hợp các Mx, MY ta có mô men uốn toàn phần MU:

2y

2xu MMM +=

Mặt phẳng tác dụng v của nó cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. Như vậy thanh chỉ chịu uốn thuần túy (bỏ qua lực cắt) đồng thời với xoắn.

Đường trung hòa u thẳng góc mặt phẳng tải trọng v. Ứng suất tại những điểm cách xa đường trung hòa nhất (thuộc chu vi vòng ngoài):

u

uminmax W

M== σσ (7-20)

Trong đó Wu là mô men chống uốn của mặt cắt ngang đối với đường trung bình u, vì đối với mặt cắt ngang hình tròn:

Wx = WY = WU = RJ

RJ

RJ uyx ==

a) b)

yy

x x

A B BA

D C CD

Hình 7.15: Lõi của mặt cắt chữ I và

155

x

uminmax W

M==⇒ σσ (7-21)

Những điểm trên chu vi của mặt cắt ngang là những điểm có ứng suất tiếp lớn

nhất do mô men xoắn gây ra: x

z

p

zmax W2

MWM

=== ττ (7-22)

Như vậy ở các điểm A, B, ngoài các ứng suất pháp lớn nhất do uốn gây ra, hai điểm A, B (chính là giao điểm của chu vi mặt cắt ngang và đường tải trọng) là hai điểm nguy hiểm nhất. Trạng thái ứng suất của phân tố ở điểm này là trạng thái ứng suất phẳng, (xem hình 7.17). Điều kiện bền: * Theo thuyết bền III: [ ]σ≤τ+σ=σ 22

td 4 Thế (7 - 21), (7-22) vào biểu diễn σtđ ta có:

[ ]σ≤++=σ 2z

2y

2x

xtd MMM

W1

* Theo thuyết bền IV: [ ]σ≤τ+σ=σ 22

td 3

* Theo thuyết bền (V): [ ]k22td 4

21

21 στσασασ ≤+

++

−=

[ ]K2z

2y

2x

2y

2x

xtd MMM

21MM

21

W1 σαασ ≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

+++

−=⇒

Với n0

k0

σσ

=α

Để cho gọn ta viết lại điều kiện bền:

[ ]σσ ≤++=⇒ 2z

2Y

2x

xtd M75,0MM

W1

a)

y

z

x

Mx

Mz My

Hình 7.17: Uốn cọng xoắn

b)

y x

zv

Đường trung hoà Đường tải

trọng A

B

Mu

156

[ ]σσ ≤=x

tdtd W

M ; Mtđ - Mô men tương đương

Theo thuyết bền III: 2z

2y

2xtd MMMM ++=

Theo thuyết bền IV: 2z

2y

2xtd M75,0MMM ++=

Theo thuyết bền V: 2z

2y

2x

2y

2xtd MMM

21MM

21M ++

+++

−=

αα

Ví dụ: Một trục truyền bằng thép CT4 ([σ] = 12 KN/cm2) chịu lực như hình vẽ 7.18, trọng lượng Puli G = 3kN, công suất và số vòng quay môtơ W = 50KW, n=500 vòng/ phút. Kiểm tra bền theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng.

Bài giải: Ta sơ đồ hóa bài toán như trên hình vẽ 7.19a.

Mô men xoắn tác dụng vào trục: KNm955,04,52

50WM ===ω

Trong đó: s/rad4,5230

50014,330

n=

⋅=

⋅=πω

Lực căng của dây đai xác định theo điều kiện cân bằng mô men xoắn:

2Dt

2Dt

2DTM 111 =−=

=> t1 = kN38,280

5,952DM2

=⋅

=

Với các trị số tải trọng đã biết vẽ được các biểu đồ mô men xoắn Mz, các mô men uốn Mx, My như hình vẽ 7.19b

Theo lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (IV):

( ) ( )222td 5,9575,05,78175M ⋅+⋅+=

σtd = 23

x

tdtd cm/kN74,9

61,054,210

WM

=⋅

==σ

σtd = 9,74KN/cm2 < [σ] = 12kN/cm2

Vậy trục đủ bền.

Hình 7.18: Sơ đồ tính uốn cọng xoắn

T=2t1

t1

D=800

500

500

6 0

A B

157

7.8. THANH CÓ MẶT CẮT NGANG CHỮ NHẬT.

Giả sử trên mặt cắt ngang nguy hiểm của một thanh chịu uốn đồng thời với xoắn có các thành phần nội lực Mx, My, Mz biểu diễn trên hình (7.20). Đối với mặt cắt chữ nhật đường tải trọng không vuông góc với đường trung hòa nên không thể hợp Mx và My như đối với mặt cắt tròn. Đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật, σ có giá trị lớn nhất ở các điểm góc. Trong trường hợp đang xét, các điểm B và D là các điểm có σ cực trị:

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−−

=σ=σ

+=σ=σ

y

y

x

xminD

y

y

x

xmaxB

W|M|

W|M|

W|M|

W|M|

(7-

23) Ngoài ứng suất pháp, trên mặt cắt ngang còn có ứng suất tiếp τ do xoắn gây ra. Từ kết quả xoắn đối với mặt cắt chữ nhật:

Giả sử b < h => τE= τmax = xoan

z

W|M| (7-24)

Với Wxoắn = αhb2 , và tại B có τB = 0 (điểm góc); tại I có τI = γ⋅τ1 Trong ba điểm B, I, E chúng ta chưa biết được điểm nào nguy hiểm nhất. Vậy phải

tính ứng suất tương đương cho cả ba phân tố lấy ở ba điểm này. Sau đó so sánh xem phân tố nào có ứng suất tương đương lớn nhất thì phân tố ở điểm đó sẽ là nguy hiểm nhất.

a) Đối với phân tố ở điểm B (điểm góc). Vì trạng thái ứng suất của phân tố ở điểm B là trạng thái ứng suất đơn, nên:

M=95,5kNcm M

A C B

zy

x GP=t1+T1=7,14kN

50cm

50cm

95,5 kNcm

a)

(Mz)

75 kNcm 178,5

kNcm

b)

(Mx)

Hình 7.19: Biểu đồ nội lực

(My)

Hình 7.20: Uốn cọng xoắn mặt cắt chữ nhật

y

xz

Mx Mz

My

A

B

C

D

b

h

E

I

158

σtd(B) = y

y

x

x

W|M|

W|M|+

b) Đối với phân tố ở điểm E:

- Theo thuyết bền III: σtd(A) = 2

xoàõn

z

2

y

y22

WM4

WM

4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=τ+σ

- Theo thuyết bền IV: σtd(A) = 2

xoàõn

z

2

y

y22

WM3

WM

3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=τ+σ

- Theo thuyết bền V: σtd(A) = 2

xoàõn

z

2

y

y

y

y

WM4

WM

21

W|M|

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

α++

α−

c) Đối với phân tố ở điểm I: - Theo thuyết bền III:

σtd(C) = 2

xoàn

z

2

x

x22

WM4

WM4 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ γ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=τ+σ

- Theo thuyết bền IV:

σtd(C) = 2

xoàn

z

2

x

x22

WM.3

WM3 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ γ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=τ+σ

- Theo thuyết bền V:

σtd(C) = 2

xoàn

z

2

x

x

x

x

WM.4

WM

21

W|M|

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ γ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−+

α−

Trong các điểm B, I, E điểm nào có σtd lớn nhất thì điểm đó nguy hiểm nhất. D. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT.

* Định nghĩa: Một thanh chịu lực tổng quát là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có đầy đủ 6 thành phần nội lực.

Vì ảnh hưởng của các lực cắt bé so với ảnh hưởng của các thành phần nội lực khác, nên ta không xét đến lực cắt. Vậy còn lại bốn thành phần nội lực:

Mx, My : Các mô men uốn Mz : Mô men xoắn Nz : Lực dọc trục

7.9. THANH CÓ MẶT CẮT NGANG TRÒN.

Vì ứng suất pháp do Nz gây ra là đều và σz = F

Nz nên cũng như đối với thanh mặt

cắt ngang tròn chịu uốn đồng thời với xoắn, các điểm nguy hiểm nhất vẫn là A, B (h 7.20)

159

Tại B σma x = F

|NW

|M| z

x

u |± (7-25)

Tại A σmin = -F

|NW

|M| z

x

u |± (7-26)

Tại những điểm thuộc chu vi mặt cắt:

x

z

p

zmax W2

|M|W

|M|==τ (7-27)

Tùy theo thuyết bền sử dụng mà chúng ta viết điều kiện bền cho các phân tố ở

điểm A, B (tương tự như uốn + xoắn và có thêm σ = F

Nz nữa thôi).

Nếu Nz >0 thì điểm B sẽ có:

F

NWM z

u

umax +

+=σ và

P

zmax W

M=τ tác dụng, ở đây BA σσ > nên điểm B nguy hiểm hơn.

Nếu Nz<0 thì AB σ>σ và điểm A nguy hiểm hơn. 7.10. THANH CÓ MẶT CẮT NGANG CHỮ NHẬT. Tương tự như trên các điểm cần xét vẫn là A, B,C, D, hình 7.21. Như trong bài toán uốn đồng thời với xoắn ở trên, nhưng chú ý khi tính ứng suất pháp σ thì phải để ý

đến ứng suất pháp do lực dọc gây ra là F

Nz± (dấu + khi

lực kéo, dấu - khi lực nén). Đồng thời nếu lực dọc kéo thì trong trường hợp này ứng suất pháp tại B sẽ có giá trị tuyệt đối lớn hơn điểm D. Vì 3 nội lực đều tạo ở B các ứng suất kéo. Còn 2 điểm E và I thì ứng suất sẽ là:

σB =F

NWM z

x

x ++ và

σI = F

NW

Mz

y

y++ .

a)

y

z

x

Mx

Mz

My

Hình 7.20: Chịu lực tổng quát của mặt cắt tròn

b)

y xz

v

A

B

MZ

v

Nz

Hình 7.21: Chịu lực tổng quát của mặt cắt chữ nhật

y

xz

Mx Mz

My

A

B

C

D

b

h

E

I

Nz

160

2z

maxE hbMα

ττ == ; 2z

I hbMα

γτ =

Sau đó các bước tính σtd ở D, E, I tương tự như trên, theo từng thuyết bền. * Ví dụ 8: Cho một thanh gãy khúc chịu lực như trên hình vẽ 7.22. Cho biết P =

50KN, a= 50cm, các kích thước mặt cắt ngang biểu diễn như hình vẽ. Hãy xác định ứng suất trong các đoạn

Bài giải: 1) Vẽ biểu đồ nội lực: Đối với không gian thì ta nên gắn cho mỗi đoạn một hệ trục

với quy ước trục song song với thanh là trục z, hai trục còn lại là trục x và y như trình bày ở hình 7.22. Đồng thời khi tính mô men đối với một trục nào đó, thì chú ý là nếu lực song song hoặc cắt trục đó nó sẽ không gây ra mô men với nó, chỉ có những lực có phương chéo nhau với trục mới gây ra mô men cho trục đó. Mặt khác các đường tung độ thể hiện mô men quay quanh trục x thì kẻ // với trục y và ngược lại.

2) Với các chú ý trên ta lần lượt tính nội lực cho từng đoạn. Đối với đoạn AB thì rất dễ, nên chúng tôi chỉ hướng dẫn cách xác định nội lực ở đoạn BC.

Tại điểm B trên cạnh BC thì trục x trùng với cạnh AB và lực P, 2P đều cắt trục x nên Mx= 0. Khi ta dịch chuyển trục x đến cuối đoạn tại C thì trục x lúc này cũng nằm trong một mặt phẳng với 2P và vì vậy nó cắt trục x, chỉ có lực P tạo nên mô men quanh trục x và giá trị là Mx=P×3a, mô men này làm căng phía trên, cuối cùng ta có biểu đồ mô men Mx như trên hình 7-23a. Tương tự ta xét My trong đoạn BC, tại B trục y // P và chỉ 2P sinh ra My= 2P × a. Tại C thì cũng chỉ có lực 2P sinh ra My = 2P × a. My làm căng phía trong của khung (xem hình 7.23b). Trong BC thì lực P sinh ra Mz = P × a và hằng số suốt BC (xem hình 7.23c). Cuối cùng Nz là lực dọc trong đoạn BC cũng là hằng số do lực 2P sinh ra và tạo nên lực kéo trong nó (xem hình 7.23d).

Hình 7.22: Xác định ứng suất khi chịu lực ổ á

d=20cm

8

cm

8

cm

6 cm

3a

x

x

y

y

z

z

P 2P

C

A

B

Hình 7.23: Nội lực của khung

3P

-Pa 2

P

-Pa

2P

M M

M Nz

a)

c)

d)

b)

161

3- Tính ứng suất: a) Trên thanh AB: Mặt cắt ngang là hình chữ nhật (theo đề bài), ở điểm B chịu

tác dụng bởi Mxvà My lớn nhất và tại đó thanh chịu uốn xiên (xem hình vẽ 7.24a).

Điểm I (hình 7.24a): σz = 2

y

y

x

x cm/KN143W

|M|W

|M|=+

Điểm II: (xem hình 7.24a): σz = - 2

y

y

x

x cm/KN143W

|M|W

|M|−=−

Trong đó: Mx = P⋅a = 2500 KN/cm; My = 2⋅P⋅a = 5000 KN/cm

Wx = 32

cm64686

=⋅ ; Wy = 3

2

cm48668

=⋅

b) Trên thanh BC:Thanh này có mặt cắt ngang là tròn và tại C chịu tác dụng Mx = P⋅ 3⋅ a ; My = 2⋅P⋅a ; Mz = P⋅a và Nz = +2⋅P, thanh chịu lực tổng quát. Như trên đã nói thanh tròn này hoàn toàn đối xứng nên cho phép hợp 2 thành phần Mx và My thành Mu (xem hình vẽ 7.24b), v là đường vuông góc với vectơ Mu cũng chính là đường tải trọng và giao tuyến của nó với chu vi hình tròn là các điểm đáng chú ý (điểm I, II).

Do lực dọc là kéo nên tại điểm I có ứng suất dương lớn nhất:

σz = F

NWM z

u

u + và ứng suất tiếp τ = p

z

WM

Trong đó: Wu = 0,1 d3 ; Wp = 0,2 d3

Mu = ( ) ( )222y

2x 5010050350MM ⋅+⋅⋅=+ = 902 KNcm

Vậy: σz = 223 cm/KN54,1

10.2.50

20.1,0902

=π

+

τ = 23 cm/KN25,3

d.2,050.50

=

vậy tại điểm I có: σtd = 2222 25,3.454,14 +=τ+σ = 6,7 KN/cm2

(Tính theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất). CÂU HỎI TỰ HỌC: 7.1. Nêu một số ví dụ về các dạng chịu lực phức tạp

Hình 7.24: Xác định ứng suất

a)

b)

x

yz

x

yz

Mx

My

My

Mx

Mu

Nz

Mz

I

IĐường tải trọng

I

I

162

7.2 .Khi nào thì gọi là uốn xiên, cho ví dụ. Thanh có mặt cắt tròn có bị uốn xiên hay không? Vì sao ? 7.3.Công thức xác định ứng suất khi uốn xiên. Điều kiện bền? 7.4.Công thức tính ứng suất khi thanh chịu uốn, đồng thời với kéo (nén). Điều kiện bền ?

7.5.Những tính chất cơ bản của đường trung hòa khi uốn xiên, uốn đồng thời với kéo (nén) ? 7.6. Khái niệm về lõi của mặt cắt ngang. Cách xác định nó?

7.7. Ứng suất khi thanh chịu uốn đồng thời với xoắn. Điều kiện bền đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật và hình tròn ? 7.8. Ứng suất trong thanh chịu lực tổng quát. Điều kiện bền ? 7.9. Cách vẽ biểu đồ nội lực trong trường hợp chịu lực phức tạp và chịu lực trong không gian?

- - - - - -

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Bùi Trọng Lực, Nguyên Y Tô... Sức bền Vật liệu (T.1, 2). Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1964. 2) Nguyễn Y Tô (Chủ biên) .... Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Đại học và TNCN, Hà Nội 1973. 3) Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng Sức bền Vật liệu (T.1, 2, 3) Nhà xuất bản Đại học và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội 1989. 4) Nguyễn Y Tô Sức bền Vật liệu Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1966 5) Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng Sức bền Vật liệu (T.1) Nhà xuất bản Giáo dục 1997 6) Lê Ngọc Hồng Sức bền Vật liệu Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật ,Hà Nội 2000

163

7) Phan Kỳ Phùng, Đặng Việt Cương Lý thuyết dẻo và Từ biến Nhà xuất bản Giáo dục, 1997

164

MỤC LỤC Trang số

Lời nói đầu............................................................................................................... 1

Chương mở đầu : NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 01. Khái quát ................................................................................................................ 2 02. Các nguyên nhân ngoài tác dụng lên vật thể ........................................................... 4 03. Các giả thuyết cơ bản .............................................................................................. 5 04. Lịch sử phát triển môn học ...................................................................................... 5 Câu hỏi tự học ........................................................................................................ 8 Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC 1.1. Nội lực - phương pháp mặt cắt ................................................................................ 9 1.2. Các thành phần nội lực .......................................................................................... 10 1.3. Bài tóan phẳng, biểu đồ nội lực............................................................................. 11 1.4. Liên hệ vi phân giữa tải trọng phân bố với lực cắt và mômen uốn trong thanh thẳng

............................................................................................................................... 20 1.5. Liên hệ giữa tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt, biểu đồ mômen uốn trong thanh thẳng ..................................................... 21 1.6. Áp dụng ................................................................................................................. 21 Câu hỏi tự học ....................................................................................................... 26 Chương 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 2.1. Khái niệm .............................................................................................................. 27 2.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang.................................................................................. 28 2.3. Biến dạng, hệ số poisson ....................................................................................... 30 2.4. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng............................................................................... 32 2.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu................................................................................ 34 2.6. Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn - Ba bài toán cơ bản....................................... 37 2.7. Bài toán siêu tĩnh ................................................................................................... 40 2.8. Thế năng biến dạng đàn hồi................................................................................... 41 Câu hỏi tự học ....................................................................................................... 42 Chương 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.1. Khái niệm .............................................................................................................. 43 3.2. Trạng thái ứng suất phẳng ..................................................................................... 44 3.3 Trạng thái trượt thuần túy...................................................................................... 51 3.4. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke tổng quát ......................... 52 3.5. Các thuyết bền ....................................................................................................... 57 Câu hỏi tự học ....................................................................................................... 61 Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 4.1. Khái niệm chung.................................................................................................... 65 4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính ................................................................. 65 4.3. Mô men quán tính của một số hình đơn giản ........................................................ 69 4.4. Công thức chuyển trục của mô men quán tính ...................................................... 70 4.5. Hệ trục quán tính chính - công thức xoay trục của mômen quán tính................... 72

165

4.6. Vòng tròn Mohr quán tính..................................................................................... 70 4.7. Bán kính quán tính................................................................................................. 73 Câu hỏi tự học ....................................................................................................... 75 Chương 5: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG 5.1. Khái niệm .............................................................................................................. 79 A. Dầm chịu uốn thuần túy phẳng.............................................................................. 80 5.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ......................................................................... 80 5.3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp lớn nhất .................................................. 81 5.4. Điều kiện bền của uốn thuần túy phẳng ................................................................ 84 5.5. Khái niệm về hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang ............................................... 88 B. Dầm uốn ngang phẳng........................................................................................... 89 5.6. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của dầm uốn ngang phẳng .............................. 90 5.7. Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng ........................ 90 5.8. Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng...................................................... 91 5.9. Các dạng bài toán cơ bản....................................................................................... 94 5.10. Khái niệm về dầm chống uốn đều ......................................................................... 97 5.11. Quỹ đạo ứng suất chính khi uốn............................................................................ 98 5.12. Thế năng biến dạng dàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng................................ 99 C. Chuyển vị của dầm chịu uốn ............................................................................ 101 5.13. Khái niệm đường đàn hồi .................................................................................... 101 5.14. Thiết lập phương trình đàn hồi bằng tích phân bất định...................................... 103 5.15. Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tải trọng giả tạo .................. 105 5.16. Phương pháp thông số ban đầu............................................................................ 109 Câu hỏi tự học ..................................................................................................... 113

Chương 6: XOẮN NHỮNG THANH THẲNG CÓ MẶT CẮT NGANG TRÒN 6.1. Khái niệm chung.................................................................................................. 115 6.2. Mômen xoắn và biểu đồ mômen xoắn ................................................................ 115 6.3. Liên hệ giữa mômen xoắn ngoại lực với công suất và số vòng quay của trục truyền .......................................................................... 116 6.4. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn ....................................... 118 6.5. Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang ............................................................ 120 6.6. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn .................................................................... 121 6.7. Tính thanh tròn chịu xoắn.................................................................................... 123 6.8. Xoắn thuần túy thanh có mặt cắt ngang không tròn............................................ 124 6.9. Nguyên tắc chung để giải bài toán siêu tĩnh........................................................ 126 6.10. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ có bước ngắn........................................................... 126 6.11. Sự phá hủy của thanh tròn chịu xoắn .................................................................. 130 Câu hỏi tự học ..................................................................................................... 134

Chương 7: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP A. Thanh chịu uốn xiên ............................................................................................ 132 7.1. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ....................................................................... 133 7.2. Điều kiện bền của dầm chịu uốn xiên ................................................................. 136 7.3. Độ võng của dầm chịu uốn xiên .......................................................................... 139

166

B. Thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm ...................................... 142 7.4. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ....................................................................... 142 7.5. Thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm ..................................................................... 143 7.6. Khái niệm về lõi của mặt cắt ngang .................................................................... 145 C. Thanh chịu uốn đồng thời với xoắn..................................................................... 148 7.7. Thanh có mặt cắt ngang tròn ............................................................................... 149 7.8. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật ........................................................................ 152 D. Thanh chịu lực tổng quát ..................................................................................... 153 7.9. Thanh có mặt cắt ngang tròn ............................................................................... 154 7.10. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật ........................................................................ 154 Câu hỏi tự học ..................................................................................................... 156 THÉP DÁT ĐỊNH HÌNH..................................................................................................... TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................. 158 MỤC LỤC ..................................................................................................................... 173

164

Chương 8 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TỪ BIẾN

8.1. MỞ ĐẦU. Trong giáo trình sức bền vật liệu, lí thuyết đàn hồi cũng như lí thuyết dẻo khi xác định ứng suất và biến dạng người ta chưa để ý đến yếu tố thời gian. Điều ấy có nghĩa là các biểu thức của ứng suất và biến dạng không chứa thời gian t, như vậy, người ta đã quan niệm rằng nếu tải trọng bên ngoài tác động lên vật thể không thay đổi thì ứng suất và biến dạng trong vật thể đó cũng không thay đổi theo thời gian. Nhưng trong thực tế ứng suất và biến dạng xuất hiện trong vật thể thay đổi theo thời gian ngay cả lúc tải trọng là không đổi và hiện tượng đó người ta gọi là hiện tượng từ biến của vật liệu. Có thể xét hiện tượng đó theo hai khía cạnh khác nhau: 1-Khi ứng suất không đổi nhưng biến dạng thay đổi theo thời gian thì gọi là hiện tượng bò hoặc là sau tác dụng. 2-Khi biến dạng là hằng số nhưng ứng suất thay đổi theo thời gian (thường là giảm theo thời gian) thì gọi là hiện tượng dão ứng suất. Hiện tượng từ biến không những xuất hiện trong vật rắn mà còn xảy ra đối với chất khí và chất lỏng nữa. Hiện tượng từ biến được nghiên cứu trong những điều kiện khác nhau về môi trường làm việc và tải trọng tác dụng lên vật thể. Đối với một số kim loại hiện tượng từ biến xảy ra rõ rệt khi chúng làm việc ở nhiệt độ cao như thép, hợp kim thép...Nhưng cũng có một số kim loại hiện tượng từ biến xuất hiện ngay ở nhiệt độ bình thường như nhôm, chì, ma-nhê...Nhưng cần chú ý rằng trong những điều kiện nhiệt độ đó, hiện tượng từ biến chỉ xảy ra khi ứng suất đạt một giá trị tối thiểu nào đó đối với mỗi vật liệu. Hiện tượng từ biến mới được nghiên cứu chưa lâu, nhưng việc nghiên cứu hiện tượng đó phát triển rất nhanh. Bởi vì ngày nay, trong các máy móc kĩ thuật nói chung đòi hỏi có nhiều chi tiết làm việc với tốc độ lớn nên tự nó sản sinh một lượng nhiệt lớn. Môi trường đó làm cho sự thay đổi của ứng suất và biến dạng theo thời gian là lớn. Đồng thời hiện nay xuất hiện nhiều vật liệu mới như chất dẻo, các chất tổng hợp hữu cơ...là những chất mà hiện tượng từ biến xảy ra ngay ở nhiệt độ bình thường và tốc độ biến dạng của nó khá lớn. Việc tính toán các chi tiết máy có kể đến ảnh hưởng của hiện tượng từ biến, hiện nay nó đóng một vai trò quan trọng trong lĩnh vực tính toán động lực học và độ bền của máy cũng như việc tính toán độ bền của các công trình kĩ thuật khác. Bởi vì hiện tượng từ biến cũng là nguyên nhân gây ra sự phá hỏng và gãy các chi tiết. Vì như sự phát triển của biến dạng theo thời gian quét cánh tuốc bin sẽ ảnh hưởng đến khe hở của chúng với vỏ tuốc bin. Vì vậy sẽ dẫn đến chỗ tuốc bin sẽ không làm việc được bình thường, thậm chí có khi còn gãy cánh tuốc bin. Thí dụ về hiện tượng dão có thể gặp ở một số trường hợp nối bằng bu lông, mới đầu mối nối còn chặt chẽ nhưng sau một thời gian làm việc giá trị ứng suất trong bu lông giảm đi theo thời gian (mặc dù biến dạng dài của bu lông là không đổi, vì khoảng cách từ ê-cu đến đầu bu lông là không đổi) cho nên mối nối bị lỏng ra. Cần nhấn mạnh rằng biến dạng do từ biến có thể là biến dạng đàn hồi hoặc là biến dạng dẻo. 8.2. NHỮNG ĐƯỜNG CONG TỪ BIẾN. Để tính toán về từ biến, người ta sử dụng những kết quả của sự nghiên cứu bằng thực nghiệm của vật liệu ở nhiệt độ cho sẵn nào đó. Dạng thí nghiệm cơ bản trong điều

165

kiện từ biến vẫn là kéo đúng tâm tiến hành ở một nhiệt độ nhất định. Hiện tượng bò được xét khi ứng suất trong mẫu được giữ không đổi trong suốt thời gian bò. Dựa kết quả của thí nghiệm đó chúng ta có thể dựng biểu đồ về quan hệ giữa biến dạng tỉ đối ε và thời gian t trong hệ trục toạ độ Đề cát. Những đường cong này gọi là đường cong từ biến hay gọi là đường cong sau tác dụng. Trên hình 8.1 biểu diễn dạng đường cong sau tác dụng. Gía trị biến dạng ban đầu được biểu diễn bởi đoạn OA. Khi tải trọng tác dụng lên mẫu từ giá trị 0 đến một giá trị nào đó thì giá trị biến dạng trong mẫu cũng sẽ tăng từ 0 đến một giá trị ε0 nhất định. Biến dạng ε0 này có thể là biến dạng đàn hồi hoặc là biến dạng dẻo, giá trị này phụ thuộc vào ứng suất xuất hiện trong mẫu. Sau đó tải trọng không tăng cũng có nghĩa là ứng suất trong thanh không thay đổi, nhưng biến dạng của mẫu vẫn tăng với đường cong ABCD. Đường cong từ biến có thể chia làm 3 giai đoạn: 1. Giai đoạn 1: còn gọi là giai đoạn bò không ổn định. Trong giai đoạn này biến dạng tăng cùng với thời gian nhưng tốc độ biến dạng không đều nhau và xu hướng ngày càng giảm. Vì vậy AB là một đường cong. Tốc độ biến dạng dε/dt là đại lượng được xác định bởi tgα (góc nghiêng làm với tiếp tuyến đường cong với trục hoành). 2. Giai đoạn 2: còn gọi là giai đoạn từ biến ổn định, biểu diễn với đoạn BC. Giai đoạn này dài hơn nhiều so với giai đoạn một. Quan hệ giữa biến dạng và thời gian là hàm số bậc nhất, giai đoạn này tốc độ biến dạng là hằng số và có giá trị nhỏ nhất

dtd

minεε = . Tốc độ biến dạng này cũng phụ thuộc vào giá trị ứng suất ban đầu và nhiệt độ

thí nghiệm. Đối với mỗi vật liệu khi nhiệt độ thí nghiệm đã xác định thì tốc độ biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định này phụ thuộc vào ứng suất. Người ta có thể chọn và biểu diễn quan hệ giữa tốc độ biến dạng trong giai đoạn này như sau: ( ) n

min aQ σσε ==& (8-1)

Hay là: ( )b

expKQminσσε ==& (8-2)

Trong đó: K, n, a và b là những hệ số phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ thí nghiệm. Qua thực nghiệm người ta thấy rằng mối quan hệ hàm số (8-2) tương đôi phù hợp với thí nghiệm nhưng việc tính toán có phần phức tạp nên sau cùng người ta thường dùng biểu thức (8-1) để biểu diễn mối liên hệ giữa tốc độ biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định với giá trị ứng suất không đổi trong thanh. 3. Giai đoạn 3: thời kì này tốc độ biến dạng ngày một tăng lên. Trong giai đoạn này mẫu cũng có thể xuất hiện chổ thắt lại hoặc không có. En-đơ-rây bằng thực nghiệm chỉ rõ rằng: Nếu thí nghiệm kéo dài mà bảo đảm ứng suất trong mẫu là hằng số suốt quá trình thí nghiệm thì giai đoạn 3 này không xảy ra. Điều đó có nghĩa là bằng cách nào đó ta giữ được giá trị ứng suất trong thanh không thay đổi trong thí nghiệm bò thì mẫu thí nghiệm chỉ trải qua hai giai đoạn đầu. Tuy vậy việc tạo ra thí nghiệm để cho ứng suất là hằng số suốt quá trình thí nghiệm là rất khó, thường trong quá trình thí nghiệm ta giữ cho tải trọng tác dụng vào mẫu là hằng số, vì vậy giai đoạn ba này thường có thí nghiệm về từ biến.

O

α

ε0

t

D

C

B

A

ε

Hình 8.1:Đường cong từ biến

166

Như ta đã nói ớ trên hiện tượng từ biến phụ thuộc rất nhiều vào nhiệt độ làm việc của chi tiết máy và giá trị ứng suất trong chi tiết đó. Vì vậy dạng của đường cong từ biến đối với mỗi vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, ứng suất trong mẫu thí nghiệm. Trên hình 8.2 biểu diễn các dạng đường cong từ biến khi giá trị ứng suất trong thanh σ =const nhưng ở các nhiệt độ Tn thí nghiệm khác nhau. Những đường cong đó cho ta hình dung được ảnh hưởng của nhiệt độ, ứng suất đến quá trình từ biến. 8.3. PHÂN TÍCH QUÁ TRÌNH TỪ BIẾN CỦA VÂT LIỆU. Trên cơ sở những số liệu về thí nghiệm, nhiều nhà nghiên cứu về từ biến đã đưa ra những biểu thức toán học để mô tả quá trình từ biến của vật liệu nhưng các biểu thức đã có không hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm. Cho đến nay người ta mới nghiên cứu được hoàn hảo đối với giai đoạn từ biến ổn định (giai đoạn 2). Người ta cho rằng tốc độ

biến dạng từ biến trong giai đoạn hai Pε& dtd Pε= là một hàm số đơn điệu đối với ứng suất

σ: ( )σε fP = Như đã nêu ở trên, người ta thường sử dụng (8-1) vì nó vừa đơn giản vừa khá phù hợp với thực nghiệm n

P aσε = .

Để dễ khảo sát chúng ta biểu diễn phương trình này trên hệ toạ độ logarit: σε lgnalglg P += (8-3) Rõ ràng trong hệ trục logarit thì quan hệ giữa tốc độ biến dạng từ biến và ứng suất là tuyến tính. Điều đó tương đối phù hợp với những số liệu thí nghiệm. Hình 8.4 biểu diễn những đồ thị quan hệ giữa ứng suất và tốc độ biến dạng của từ biến dεP/dt trong hệ toạ độ logarit theo (8-3) và những điểm thu được từ thực nghiệm bởi vì các điểm thí nghiệm không ở cách xa quá so với những đường thẳng theo phương trình (8-3) theo lí thuyết về thực nghiệm của quan hệ tốc độ biến dạng với ứng suất đối với thép Crôm-

Molipden. Rõ ràng là kết quả thí nghiệm (biểu diễn bởi những “*” tương đối phù hợp với đường biểu diễn lí thuyết). Phương trình (8-1) hoặc (8-3) chỉ xác định hoàn toàn khi các hệ số a và n được xác định.

Hình 8.2:Những đường cong từ biến khi ứng suất là hằng số và nhiệt độ T

thay đổi T1>T2>T3>T4

t

T1

T2

T3

T4

ε

t

ε σ1

σ2

σ3

σ4

Hình 8.3:Những đường cong từ biến khi nhiệt độ T

=const σ1>σ2>σ3>σ4

Hình 8.4: Quan hệ từ biến trong hệ toạ độ logarit

5⋅10-8 10-7 5⋅10-7 10-6 5⋅10-6100 250 500 750

1000

lgσ KG/cm2

lgε

167

Dưới đây chúng ta trình bày phương pháp xác định các hệ số đó. Dựa vào một loạt đường cong từ biến ở cùng một nhiệt độ xác định với giá trị ứng suất khác nhau (như kiểu các đường cong biểu diễn như hình (8-3) của một vật liệu). Trên cơ sở những đường cong này chúng ta tìm được những đường cong tốc độ biến dạng cực

tiểu dt

d Pε đối với các giá trị ứng suất tương ứng.

Như vậy ta xác định được những điểm trong hệ toạ độ logarit lgεmin, lgσ (xem hình 8.5). Việc cuối cùng được tiến hành là vẽ một đường thẳng sao cho các điểm thí nghiệm nằm lân cận đường thẳng đó và ít nhất có hai điểm thực nghiệm trên đường thẳng này. Gỉa sử điểm 1 và 2 trên hình 8.5. Cách xác định các hệ số: Với điểm 1 và 2 trong hệ trục logarit chúng ta có các toạ độ của chúng là lgσ1, lgεPmin1 và lgσ2 , lgεpmin2. Như vậy theo công thức (8-3), chúng ta có :

11minP lgnalglg σε +=

22minP lgnalglg σε += Từ hai phương trình này ta có thể xác định hằng số a và n theo các giá trị σ1, σ2, lgεPmin1, lgεPmin2 đã có trong bảng 8.1 giới thiệu giá trị của các hệ số đó đối với một số thép. Trên đây chúng ta căn bản đã trình bày sự phân tích giai đoạn từ biến ổn định. Việc nghiên cứu từ biến ở giai đoạn đầu (từ biến không ổn định) gặp rất nhiều khó khăn vì sự diễn biến khá phức tạp, những số liệu đáng tin cậy xác định giai đoạn này chưa đủ. Một phần vì giai đoạn này thưòng xuyên diễn ra quá ngắn so với giai đoạn 2. Nên trên thực tế có khi được bỏ qua hoặc thay đổi AB (trên hình 8.1) bằng đoạn thẳng kéo dài của đoạn BC cắt trục tung ở E để sử dụng trong việc tính toán sau này (xem hình 8.6). Sau một thời gian làm việc của chi tiết máy thì biến dạng toàn phần của nó là: Bảng 8.1

Loại thép Thành phầm hoá học %

TC Gía trị ứng suất

n a 1

KGCM n2

1

2

lgεP

lgσ

Hình 8.5: Cách xác định các hệ số

giờ

O

α

K

t

Bε

ε

Hình 8.6:Đường cong từ biến

εP

ε0

E

tk

A

168

Thép các bon

Thép Molipden

Thép Crom-Molipden

Thép Crom -Niken

0,43C 0,68Mn 0,20Si 0,13C

0,49Mn 0,25Si

0,52Mo 0,48C

0,49Mn 0,62Si

0,52Mo 1,20Cr 0,06C

0,50Mn 0,61Si

17,75Cr 9,25Ni

427 538

427 538

427 538

538 693

1000-1690 210-630

910-1410 560-1606

1410-2110 320-1000

880-1340 560-1000

6 3,9

5,4 4,6

6,35 3,35

4,4 4,3

0,20⋅10-23

0,14⋅10-15

1,20⋅10-23 0,60⋅10-19

0,145⋅10-28 0,175⋅10-15

0,21⋅10-19 0,17⋅10-18

Pk0 t εεε ⋅+= (8-4) Để mô tả hiện tượng từ biến có tính đến giai đoạn từ biến không ổn định nhiều nhà nghiên cứu về từ biến đã đưa ra những biểu thức giải tích. Dưới đây là một biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa εP,σ, thời gian t và nhiệt độ. QtQ1P += ψε (8-5) Trong đó: Q1 và Q là hàm số ứng suất và nhiệt độ. ψ là hàm số đơn điệu giảm của thời gian. Với thời gian làm việc nhỏ thì thành phần thứ hai có thể bỏ và thành phần thứ nhất còn lại thường ứng với thời kì từ biến không ổn định. Thời gian làm việc khá lớn thì có thể bỏ qua thành phần thứ nhất và quá trình từ biến thể hiện qua thành phần thứ hai. Và ta thấy rằng mối liên hệ giữa biến dạng dẻo và thời gian trong giai đoạn hai là tuyến tính. Hàm số Q chính là tốc độ cực tiểu của biến dạng dẻo trong giai đoạn này. Dạng các hàm số Q, Q1 và ψ được giới thiệu trong công trình của Malinhin. Tuy vậy công thức (8-5) cũng khá phức tạp và cũng không thuận lợi cho việc tính toán. Vì vậy người ta thường sử dụng biểu thức sau đây để tính toán biến dạng từ biến:

( ) ( )tQP Ω⋅= σε Ω(t) là hàm số thời gian và bằng không khi t=0. Như đã nói ở trên, mặt khác của hiện tượng từ biến là hiện tượng dão tức là biến dạng không đổi trong suốt quá trình làm việc của chi tiết, nhưng ứng suất trong chi tiết thì giảm theo thời gian. Dưới tác dụng của lực dọc trong thanh xuất hiện biến dạng đàn hồi dẻo và bằng cách đó ta giữ cho biến dạng không đổi thì ứng suất trong thanh sẽ giảm theo thời gian. Như vậy biến dạng toàn phần là không đổi: ( ) constoPy ==+= εεεε (8-6)

169

Trong đó: εy-Biến dạng đàn hồi;εP-Biến dạng dẻo. Trên hình 8.7 trình bày đường cong thay đổi ứng suất theo thời gian của hiện tượng dão. Đường cong này có tính đặc trưng cho hiện tượng dão nói chung, nhưng tuỳ thí nghiệm cụ thể ta nhận được những đường cong khác nhau cho từng vật liệu. Rất nhiều chi tiết máy quan trọng làm việc trong điều kiện nhiệt độ cao với một giá trị ứng suất tương đối lớn, xuất hiện biến dạng từ biến. Những biến dạng này không được vượt quá một giới hạn xác định đối với mỗi chi tiết. Bởi vì biến dạng lớn sẽ dẫn đến sự phá huỷ chi tiết hoặc ảnh hưởng đến điều kiện kĩ thuật của chi tiết. Cho nên khi tính toán về từ biến của một chi tiết làm việc ở một điều kiện nào đó thì người ta cho biết sau một thời gian nhất định biến dạng của chi tiết không được vượt quá một giới hạn nhất định. Gía trị ứng suất sao cho biến dạng của chi tiết làm việc ở nhiệt độ đã cho không được vượt quá một giới hạn xác định thì gọi là giới hạn từ biến theo biến dạng cho phép. Giới hạn từ biến đối với mỗi vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và đại lượng biến dạng cho phép trong khoảng thời gian làm việc của chi tiết. Trong bảng 8.2 trình bày một vài số liệu về giá trị biến dạng cho phép [ε] đối với một số chi tiết. Bảng 8.2.

CHI TIẾT THỜI GIAN LÀM VIỆC ×1000 GIỜ

[ε]

Cánh tuốc bin Cánh tuốc bin hơi nước

Xi lanh tuốc bin hơi nước

100 100 100

0,0001 0,0003 0,001

Trong trường hợp chi tiết máy làm việc trong trạng thái ứng suất đơn thì phương trình tính toán trong trường hợp này có dạng:

[ ]εεεε ≤+= Pk0 t

Nếu chúng ta xét giai đoạn từ biến không ổn định một cách gần đúng:

Ty

0

Eσεε =≈

ET- Mô đun đàn hồi, εy- Biến dạng đàn hồi được tính bằng biểu thức (8-1) và phương trình trên viết dưới dạng ứng suất cho phép (giới hạn từ biến) ta có dạng phương trình:

[ ] [ ] [ ]εσσ=+ k

n

T

taE

(8-7)

Nếu bỏ qua biến dạng đàn hồi thì công thức tính toán với điều kiện từ biến là:

[ ] [ ] n1

kat ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=≤εσσ (8-8)

Trong trường hợp biến dạng đàn hồi và biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định thì chúng ta có thể tính toán từ biến từ điều kiện tốc độ biến dạng phải không được vượt

Hình 8.7:Đường cong của hiện tượng dão

O t

σ

170

quá một giá trị nào đó. Giá trị ứng suất lớn nhất có thể đạt được trong chi tiết máy để cho biến dạng của chi tiết máy làm việc ở nhiệt độ cho sẵn bằng giá trị tốc độ biến dạng cho phép của từ biến ổn định. Đối với mỗi vật liệu thì giá trị ứng suất đó phụ thuộc vào nhiệt độ và giá trị tốc độ biến dạng cho phép của từ biến ổn định [εP]. Một vài số liệu về giá trị tốc độ biến dạng cho phép từ biến ổn định đối với một số chi tiết được giới thiệu trong bảng 8.3. Bảng 8.3.

CHI TIẾT [ε]/1giờ Các tuốc bin

Các bu lông, xi lanh Tuốc bin hơi nước Các vùng dẫn khí

10-9

10-8 10-6-10-10

Chung quy việc tính toán theo các giới hạn từ biến đều dẫn đến việc tính toán độ bền của vật liệu chịu tải trọng ở một nhiệt độ nhất định phụ thuộc vào thời gian lâu dài mà chi tiết cần làm việc. Để đặc trưng cho nó người ta đưa ra khái niệm độ bền lâu của vật liệu. Giới hạn độ bền lâu của vật liệu là giá trị ứng suất [σ] mà chi tiết bị phá hỏng sau một thời gian làm việc định sẵn có nhiệt độ làm việc tương ứng.

Giới hạn này phụ thuộc vào nhiệt độ và khoảng thời gian cần thiết làm việc của mỗi chi tiết. Nếu thời gian làm việc kéo dài và nhiệt độ tăng lên thì giới hạn bền lâu của chi tiết giảm xuống. Thường quan hệ giữa giới hạn độ bền lâu của chi tiết và thời gian phá huỷ ở nhiệt độ tương ứng được biểu diễn trong hệ toạ độ Logarit: lgσ và lgt. Trên hình 8.8 biểu diễn quan hệ giữa giới hạn độ bền lâu và thời gian. Quan hệ có thể là đường thẳng (đường 1) hoặc đường gãy khúc. Đường biểu diễn 1 hoặc 2 phụ thuộc vào cấu tạo, dạng phá hỏng (giòn, dẻo, hoặc là vừa giòn

vừa dẻo) của vật liệu. Vấn đề này qúa phức tạp ta không xét ở đây. 8.4. PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HOÁ TRONG TỪ BIẾN. Tính chất cơ lí của vật liệu rất phức tạp trong quá trình chịu lực, ở môi trường nhiệt độ lớn cũng như thời gian chịu tải kéo dài. Bởi vì trong những điều kiện đó cần tạo tình thể của vật liệu thay đổi cả về hình dạng và cách sắp xếp. Sự thay đổi đó sẽ dẫn đến sự thay đổi bản chất vật lí và cơ học của vật liệu. Quan hệ giữa ứng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian biến dạng của vật liệu trở nên khá phức tạp. Nói chung là mỗi vật liệu có thể có những tính chất cơ bản là đàn hồi, dẻo và chảy nhớt, những tính chất này phụ thuộc vào tải trọng và nhiệt độ mà chi tiết đang làm việc. Để mô tả tính chất đàn hồi của vật liệu, người ta biểu diễn bằng một lò xo (hình 8.9) gọi là vật thể của Hooke.

lgσ

lgt

1

2

O

Hình 8.8: Giới hạn độ bền lâu

P

P

Hình 8.9: Vật thể Hooke (Vật thể đàn hồi)

171

Nếu xem lò xo có tính đàn hồi tuyệt đối thì tải trọng và độ dịch chuyển của lò xo tỉ lệ với nhau. Khi tải trọng không còn nữa thì độ dịch chuyển cũng hết. Tính chất chảy nhớt của vật liệu được diễn tả bởi vật thể của Newton (hình 8.10). Tốc độ dịch chyển của piston tỉ lệ với lực tác dụng nhưng tỉ lệ nghịch với độ nhớt của nước trong xylanh. Tính chất chảy dẻo của vật liệu được biểu diễn bởi vật thể Xanh -vơ- năng (hình 8.11). Vật thể này được thể hiện bởi một vật rắn trượt trên một mặt phẳng khi lực kéo

thắng được lực ma sát thì vật thể chuyển động và khi bỏ tải thì vật thể không tự chạy về vị trí cũ được, tương tự như khái niệm biến dạng dẻo của vật liệu người ta còn gọi là vật thể ma sát khô. Với những vật thể cơ học này trong phương pháp mô hình hoá người ta có thể tiến hành ghép song song, nối tiếp hoặc hỗn hợp các vật thể này để mô tả tính chất cơ học của vật liệu, biểu diễn quan hệ giữa tải trọng, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian khi chi tiết làm việc ở một nhiệt độ nhất định ứng với các trạng thái ứng suất khác nhau. Dưới đây chúng ta hãy xét một vài mô hình đơn giản nhất hiện nay. 8.5. NHỮNG MÔ HÌNH CƠ BẢN. 8.5.1. Mô hình Mác-Xoăn. Để mô tả tính chất vật liệu và quan hệ giữa các đại lượng biến dạng, ứng suất, tốc độ biến dạng và thời gian trong trạng thái ứng suất đơn, Mác -Xoăn đã đưa ra một mô hình đơn giản bằng cách mắc nối tiếp hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt (hình 8.12).

Như đã nói ở trên vật thể đàn hồi mô tả đại lượng dịch chuyển các điểm đặt lực tỉ lệ với giá trị lực tương ứng: KPy =δ (8-9) Trong đó: δy là độ dịch chuyển vật thể đàn hồi; P là lực tác dụng vào vật thể đàn hồi. Đối với vật thể chảy nhớt thì tốc độ dịch chuyển của điểm đặt lực tỉ lệ với lực đặt và tỉ lệ

nghịch với độ nhớt: η

δ Pdt

d y = (8-10)

dt

d yδ - Tốc độ dịch chuyển của điểm đặt lực tại vật thể

chảy nhớt (Vật thể Newton); P- Lực tác dụng vào vật thể; η- Hệ số nhớt trong xi lanh. Với cách mắc của Mác-Xoăn thì do dịch chuyển khoảng cách các điểm đặt lực, δ sẽ là tổng cộng các dịch

Hình 8.10: Vật thể Newton

P

P Lực ma sát

P

Hình 8.11: Vật thể Xanh -vơ- năng

Hình 8.12: Mô hình Mác-Xoăn

P

P

172

chuyển lò xo và piston trong hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt nói trên. by δδδ += (8-11) Chúng ta tiến hành vi phân phương trình (8-11) theo thời gian t, ta sẽ có:

dt

ddt

ddtd by δδδ

+= (8-12)

Thay (8-9) và (8-10) vào (8-12) chúng ta sẽ có :

η

δ PEdtKdP

dtd

+= (8-13)

Chúng ta chuyển từ chuyển vị sang biến dạng, từ lực sang ứng suất và thay K=1/E (E là mô đun đàn hồi) thì (8-13) có dạng:

ησσε

+=dtd

E1

dtd (8-14)

Biểu thức (8-14) là phương trình trạng thái theo mô hình Mác -Xoăn. Chúng ta hãy xét một vài tính chất của mô hình Mác-Xoăn. Từ phương trình (8-14) chúng ta thấy nếu ứng suất là hằng số thì biến dạng sẽ tăng với tốc độ biến dạng là không đổi và vật liệu sẽ chảy tương tự như chất lỏng nhớt. Thật vậy nếu ứng suất không

đổi thì dσ=0 và từ (8-14) chúng ta có: ησε

=dtd

(8-15) là không đổi cho mỗi vật liệu.

Vậy: constdtd

=ε

Khi giá trị biến dạng là không đổi từ phương trình (8-14), chúng ta có :

0dtdP

E1

=+ησ (8-16)

Nếu ta sử dụng điều kiện ban đầu thì t=0, σ =σ(0), chúng ta có:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

00 t

texpσσ (8-17)

E

t 0η

= (8-18)

t0 chính là giá trị thời gian mà sau thời gian đó ứng suất σ trong chi tiết sẽ giảm đi một lượng e=2,718 lần so với giá trị ứng suất ban đầu. Và giá trị này gọi là thời gian dão ứng suất thay đổi tính bằng biểu thức (8-17) theo thời gian sẽ tiến đến giới hạn số không. 8.5.2. Mô hình Fôi-tơ: Để mô tả tính chất vật liệu và quan hệ giữa các đại lượng biến dạng ứng suất, tốc độ biến dạng với thời gian, Fôi- tơ đã đưa ra một mô hình biến dạng bằng cách nối song song hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt với nhau (hình 8.13). Khác với mô hình của Mác-Xoăn ở chỗ, theo cách này thì dịch chuyển của hai điểm đặt lực không phải bằng tổng chuyển dịch của hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt mà giá trị lực tác dụng vào điểm đặt chính bằng tổng lực tác dụng lên hai vật thể đó: By PPP += Sử dụng các biểu thức (8-9) và (8-11), ta có:

173

dt

dK

P b

1

y δη

δ+= (8-19)

Biểu thức tương tự đối với ứng suất σ và biến dạng tỷ

đối sẽ là: εηεσ ddt

E +⋅= (8-20)

Phương trình này chính là phương trình trạng thái vật liệu theo mô hình Fôi-tơ. Giải phương trình vi phân (8-20) với điều kiện giá trị ứng suất là hằng số và thời điểm ban đầu t0=0 thì biến dạng cũng bằng không, ε=0. Chúng ta có:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−= t

2Eexp1

Eσε (8-21)

Từ biểu thức (8-21) chúng ta thấy biến dạng sẽ tăng theo quy luật hàm số mũ (hình 8.14). Đường cong biểu diễn trên hình (8.14) gọi là đường cong bò (sau tác dụng). Theo

Fôi -tơ đường cong này nhận đường nằm ngang:Eσε = làm đường tiệm cận

Nhìn vào biểu thức (8-21) chúng ta thấy rằng khi biến dạng là hằng số ε=const thì giá trị của ứng suất σ cũng là một hằng số không đổi. Như vậy biểu thức này không mô tả được hiện tượng dão và điều đó có nghĩa là mô hìmh của Fôi -tơ không áp dụng cho hiện tượng dão. Những nhà nghiên cứu về từ biến chỉ rõ rằng: Những mô hình của Mác-Xoăn, Fôi -tơ ít phù hợp với mô hình thí nghiệm. Những mô hình này có tính chất mô tả, tượng trưng cho quá trình cơ học của một loại vật liệu. Vì vậy để mô tả quá trình cơ học của vật liệu hiện nay, người ta có xu hướng ghép nhiều các vật thể với nhau cũng có thể ghép nối tiếp hay song song với mô hình Mác-Xoăn và Fôi -tơ. Xem các hình 8.15 và hình 8.16 Trên cơ sở cấu tạo mô hình và tính chất của các vật thể đơn giản đã biết, chúng ta thiết lập những phương trình ban đầu đối với mỗi mô hình mới thiết lập. Từ đó ta tiến hành giải các phương trình đó để tìm các quy luật cơ học tương ứng. Thế nhưng trên thực tế việc giải các phương trình đó gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Vì vậy đây mới chỉ là phương hướng phát triển của lĩnh vực mô hình hoá nói chung và lĩnh vực từ biến nói riêng. Cần nói thêm rằng mặc dù gặp nhiều khó khăn về mặt toán học, nhưng có những mô hình phức tạp có thể mô tả tính chất vật liệu tương đối đúng nên đây vẫn là phương hướng đang được nghiên cứu ngày càng nhiều cùng với sự phát triển của toán học.

Hình 8.13: Mô hình Fôi -tơ

P

P

Hình 8.14: Đường cong biến dạng theo mô hình Fôi-tơ

Eσ

ε

t

174

CÂU HỎI TỰ HỌC 8.1. Thế nào là hiện tượng từ biến, hiện tượng bò và hiện tượng dão ? 8.2. Nói về quan hệ biến dạng, ứng suất với thời gian trong hiện tượng từ biến. 8.3. Cách xác định các hằng số thực nghiệm ? 8.4. Nói về các phần tử cơ bản của Hooke, Newton và Xanh -vơ -năng. 8.5. Cách mô hình hoá và các phương trình rút ra từ chúng.

--- ---

Chương 9 NHỮNG LÍ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TỪ BIẾN

9.1. KHÁI NIỆM CHUNG.

Hình 8.15: Một loại mô hình tổ hợp

P

P

P P

Hình 8.16: Một loại mô hình tổ hợp

175

Để thiết lập mối quan hệ giữa biến dạng, ứng suất, tốc độ biến dạng và sự thay đổi của chúng theo thời gian trong những trường hợp kéo (nén) đơn người ta đưa ra những lí thuyết nhằm chọn một trong những thông số đó và đưa ra mối quan hệ toán học giữa chúng. Những đề nghị trên được gọi là những lí thuyết về từ biến. Rõ ràng là có thể có nhiều phương án để chọn một số thông số trong các thông số đó và cũng có thể đưa ra nhiều biểu thức giải tích khác nhau để thể hiện mối liên hệ của các thông số đã chọn, cho nên hiện nay tồn tại nhiều lí thuyết từ biến. Cũng có thể nói rằng người ta căn cứ vào những số liệu thí nghiệm về từ biến đối với trạng thái ứng suất đơn (kéo hoặc nén đúng tâm) để đưa ra mối quan hệ giữa các ứng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian. Mối liên hệ đó thường gọi là phương trình trạng thái của vật thể từ biến. Đây là một bài toán khó bởi vì hiện tượng từ biến là phức tạp và chưa được nghiên cứu đầy đủ. Khi thiết lập quan hệ giữa ứng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian vấn đề trước tiên cần được giải quyết là những thông số nào được chọn và chúng có liên hệ như thế nào trong biểu thức giữa chúng. Trong thời đại hiện nay, tồn tại nhiều lí thuyết từ biến, nhưng tiêu chuẩn để đánh giá sự đúng đắn những lí thuyết đó chính là là sự phụ hợp với các số liệu thí nghiệm. Sự kiểm tra thực nghiệm đó có thể tiến hành bằng nhiều phương pháp khác nhau. Hoặc là thí nghiệm về từ biến hay về dão khi ứng suất thay đổi hoặc khi biến dạng thay đổi với những số liệu lí thuyết trên cơ sở những lí thuyết từ biến đã đưa ra. Thế nhưng người ta thấy rằng phương pháp đơn giản và chính xác hơn hết là kiểm tra độ bền bằng cách tiến hành thí nghiệm về dão ứng suất là chuẩn để đánh giá bất kì lí thuyết từ biến nào. Cần nói rằng, cho đến nay chưa có lí thuyết nào hoàn toàn phù hợp với số liệu thực nghiệm. Dưới đây chúng ta đưa ra một số lí thuyết từ biến thường dùng. 9.2. LÍ THUYẾT HOÁ GIÀ. Theo lí thuyết này người ta đề nghị đưa ra mối liên hệ giữa biến dạng, ứng suất và thời gian. Lí thuyết cho rằng ở một nhiệt độ nhất định giữa các đại lượng nói trên trong quá trình từ biến tồn tại một mối quan hệ hàm số nhất định. Theo lí thuyết này biến dạng từ biến có thể biểu diễn bởi biểu thức toán học: ( )t,fP σε = (9-1) Khi kể đến thành phần biến dạng đàn hồi chung ta có:

( )t,fE

σσε += (9-2)

Hiện nay có nhiều biểu thức giải tích biểu diễn mối liên hệ giữa biến dạng dẻo, ứng suất và thời gian. Một trong các biểu thức đó là: ( ) ( )tQP Ω⋅= σε (9-3) Trong đó: ( )σQ - Hàm ứng suất; ( )tΩ - Hàm thời gian. Việc chọn hàm số ( )σQ ở dạng hàm số mũ là được sử dụng rộng rãi hơn cả: ( )tn

P Ω⋅= σε (9-4)

Vậy: ( )tE

n Ω⋅+= σσε (9-5)

Trong thực tế hiện nay còn có nhiều cách biểu diễn hàm số ứng suất. Quan hệ (9-1) còn có thể viết dưới dạng: ( ) ( ) ( )tQtQ1P σσε +Ω= (9-6)

176

Trong đó ( )σ1Q cũng là hàm số ứng suất, nó có dạng giống Q(t) là hàm số thời gian. Một trong những phương án của lí thuyết hoá già do H.M Beleev đề ra. Mối liên hệ đối với biến dạng dẻo khi từ biến do ông đưa ra là: ψσε =P (9-7)

Đối với ψ là hàm số được biểu diễn bằng biểu thức: dtat

0

1n∫ −= σψ (9-8)

Trong đó a, n là những hằng số của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và như vậy:

dtat

0

1nP ∫ −= σσε (9-9)

Với đề nghị σ =const, chúng ta có: ta nP σε = (9-10)

Như vậy trong trường hợp sau tác dụng đơn giản thì biến dạng là quan hệ bậc nhất của yếu tố thời gian và tốc độ biến dạng là hằng số. Trên hình 9.1 biểu diễn quan hệ giữa biến dạng và thời gian trong trường hợp từ biến. Đường 1 là đường cong thực tế khi từ biến và đường 2 biểu diễn lí thuyết theo (9-1). Chúng ta thấy giữa lí thuyết và thực nghiệm sai khác nhau rất nhiều. Để khắc phục một phần sai lệch nói trên, H. H.Malinhine đề nghị thay biểu thức (9-8) đối với

hàm số ψ có dạng: ( ) dttB 1nt

0

⋅= −∫ σσψ (9-11)

Trong đó B(t) là hàm số giảm dần về thời gian. Chúng ta đưa biểu thức (9-11) vào biểu thức (9-7) thì nhận được mối liên hệ giữa biến dạng dẻo phụ thuộc vào ứng suất và thời gian:

( ) dttB 1nt

0P ⋅= −∫ σσε (9-12)

Nếu để ý đến đại lượng biến dạng đàn hồi thì ta phải cộng thêm giá trị biến dạng theo định luật Hooke nữa. Phương trình (9-12) là phương trình tổng quát của phương trình (9-9). Đối với trường hợp sau tác dụng đơn giản (σ =const) thì những đường cong ứng với các giá trị ứng suất khác nhau được xác định bởi phương trình sau: ( )tn

P Ω=σε (9-13)

Trong đó : ( ) ( ) dttBtt

0

⋅=Ω ∫ (9-14)

Những đường cong theo (9-13) là đồng dạng theo lập luận của H.H. Malinhine đã giải một loạt những bài toán từ biến ở dạng mặt cắt ngang có chu vi khép kín. Y.N.Rabotnov đã đưa ra một trong những phương án lí thuyết hoá già. Mối liên hệ giữa ứng suất, biến dạng và thời gian được biểu thị dưới dạng: ( )tf ⋅= εσ (9-15)

Hình 9.1: Quan hệ giữa biến dạng với thời

gian từ biến

1

2 ε

t

177

Cách giải của Y.N.Rabotnov có thể trình bày tóm tắt như sau: Dựa vào những đường cong từ biến khi ứng suất không đổi (xem hình 9.2a) chúng ta xây dựng những đường cong đối với t0, t1, ...tn trong hệ toạ độ σ, ε. Làm như vậy chúng ta sẽ nhận được một loạt đường cong ( )εσσ = được biểu diễn trên hình 9.2b.

Những đường cong này được sử dụng trong việc giải những bài toán về từ biến cũng như những bài toán dẻo. Y.N.Rabotnov cho hay rằng những đường cong trong hệ trục σ, ε cũng như là những đường cong đồng dạng. Vì vậy cần xây dựng một đường và nhân tung độ của nó với giá trị hàm số thời gian, chúng ta sẽ có những đường cong tương ứng. Điều này làm cho khối lượng của việc xây dựng các đường cong giảm đi rất nhiều. Như vậy mỗi liên hệ (9-15) có thể biểu diễn ở dạng tích của hai hàm số biến dạng và thời gian.

( ) ( )tθεϕσ ×= Trong đó: ( )εϕ -là hàm số biến dạng; ( )tθ -là hàm số thời gian. Khi t=0 thì đường cong σ, ε chính là biểu đồ khi kéo hoặc nén đơn giản. Như đã nói ở trên, việc đúng đắn của lí thuyết từ biến được xác định bởi những số liệu thí nghiệm. Một trong những phương pháp đơn giản nhất để kiểm tra là so sánh số liệu thí nghiệm và lí thuyết trong trường hợp dão ứng suất. Theo lí thuyết hoá già, căn cứ vào (9-4) thì những đường cong của sự dão ứng suất được xác định từ phương trình có dạng:

( ) ( )E0

Et n σσσ =+Ω (9-16)

Trong đó: ( ) ( )0E0 εσ

= độ dão ban đầu được xem là cố định trong quá trình dão ứng

suất. Từ biểu thức (9-16), chúng ta có:

( ) ( ) ( )

( )

n1n

0

01

t0E

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=Ω× −

σσ

σσ

σ

Từ đó chúng ta thấy rằng ứng suất σ ngày càng tiến tới 0. Bởi vì Ω là phương trình đồng biến của thời gian. Tương tự như vậy chúng ta có thể nhận được quy luật dão ứng suất bằng cách sử dụng phương trình (9-12).

σ

t

t0=0 t1 t2 t3

Hình 9.2a: Đường cong quan hệ ε và t

ε

t t1 t2 t3

Hình 9.2b: Đường cong quan hệ σ và t

178

Đường cong dão ứng suất có thể có được dễ dàng nếu như đã có những đường cong từ biến ε, t ứng với những giá trị ứng suất khác nhau, lúc đó ta vẽ một đường song song với trục hoành cách một đoạn ε(0). Những giao điểm của đường thẳng với các đường cong đó cho ta toạ độ của các đường cong trong hệ trục ε, t. 9.3. LÍ THUYẾT CHẢY DẺO. Những người xây dựng lí thuyết này đưa ra mối liên hệ giữa tốc độ biến dạng dẻo, ứng suất và thời gian đối với quá trình từ biến ở một nhiệt độ xác định: ( )t,fP σε =& (9-17) Một trong những biểu thức giải tích được sử dụng rộng rãi theo lí thuyết này là dạng hàm số ứng suất: ( ) n

P tB σε =& (9-18) Trong đó n là hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ đối với mỗi loại vật liệu và:

( ) ( )tdtdtB Ω=

Sau giai đoạn đầu của từ biến thì có thể xem tốc độ từ biến có dạng: n

P aσε =& Biểu thức (9-18) được dùng rộng rãi trong các công trình của LM.Katrnov Lí thuyết chảy dẻo theo biểu thức đó còn được gọi là lí thuyết chảy dẻo của L.M.Katranov. Nếu ta có tính đến biến dạng đàn hồi nữa thì tốc độ biến dạng toàn phần sẽ là:

( ) nP tB

dtd

E1 σσε +=& (9-19)

Quy luật về dão ứng suất theo lí thuyết này sẽ là:

0dtd

==εε&

Bởi vì biến dạng toàn phần const=ε (biến dạng không đổi, ứng suất giảm dần),

nên trên cơ sở của (9-19) chúng ta có: ( ) 0tBdtd

E1 n =+ σσ

Sau khi sử dụng lí thuyết này L.M.Katranov phát triển các phương pháp biến phân và các phương pháp gần đúng để giải một loạt các bài toán về từ biến ổn định và không ổn định. 9.4. LÍ THUYẾT CỦNG CỐ. Lí thuyết củng cố lập quan hệ hàm số giữa ứng suất, biến dạng dẻo và tốc độ biến dạng dẻo. Một trong những biểu thức giải tích của lí thuyết củng cố là :

βεσ

α=εP

V

P& (9-20)

Trong đó: α, β, v là những hằng số phụ thuộc vào nhiệt độ đối với mỗi vật liệu. Biểu thức (9-20) là do Devier đưa ra. Cũng có khi các mối quan hệ đó sẽ được đưa

ra dưới dạng: a

lnbcPP εε

σ⋅

=&

(9-21)

179

Trong đó: a, b, c các hệ số này phụ thuộc vào nhiệt độ ứng suất với mỗi vật liệu; σ sẽ bằng 0 khi ac

PP =⋅εε& . Tích phân (9-21) khi σ = const, chúng ta có biểu thức của đường cong từ biến:

dtd bP

cP

σ

ρεε = (9-22) Sau khi tích phân (9-22) với điều kiện σ=0 khi t=0, chúng ta có được:

mbmm

P tma

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

σ

ρε (9-23)

Trong đó: c1

1m+

=

Phương trình (9-23) biểu diễn những đường cong sau biến dạng đơn giản và những đường cong này đồng dạng về hình học. Để có quy luật dão ứng suất chúng ta thay εP từ công thức (9-23):

( )P

0

EEt ε

σσ+=

Và dựa vào công thức (9-22). Sau đó tiến hành tích phân với điều kiện ban đầu ( )0σσ = khi t=0.

Những phương trình của lí thuyết củng cố phức tạp và việc sử dụng nó vào những bài toán từ biến gặp phải những khó khăn lớn về mặt toán học. 9.5. LÍ THUYẾT DI TRUYỀN. Y.N.Rabotrov đưa ra biểu thức liên hệ giữa ứng suất, biến dạng và thời gian có

dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ετστσεϕ dtktt

0∫ −+= (9-24)

Trong đó: ϕ(ε) là hàm số biến dạng đặc trưng bằng biểu đồ kéo đúng tâm vật liệu; σ(t) là hàm số ứng suất phụ thuộc vào thời gian; K(t-τ) là nhân (hoặc lõi) của phương trình tích phân; τ là biến số thời gian thay đổi từ 0 đến t. Đối với σ(t) thì phương trình (9-24) là phương trinhg tích phân VonTer loại hai. Biểu thức liên hệ giữa ứng suất, biến dạng và thời gian trong công thức (9-23) cho phép mô tả hoàn toàn quá trình từ biến. Nếu thời gian t nhỏ thì biến dạng sau tác dụng cũng nhỏ và lúc đó: ( )εϕσ = Phương trình (9-24) diễn tả quá trình sau tác dụng, nó cho ta dạng đường cong tương tự, dạng đương cong ( ) σεϕ = . Viết lại phương trình (9-24) với σ(t):

( ) ( ) ( ) ( ) ττϕτεϕσ dtFtt

0∫ −−= (9-25)

Trong đó F(t-τ) là giải thức của k(t-τ). Nhân k(t-τ) có thể tìm được theo phương trình thực nghiệm của hiện tượng sau tác dụng. Đối với hiện tượng sau tác dụng (σ=const), từ phương trình (9-24) chúng ta có: ( ) ( )[ ]σ+=εϕ tG1 (9-26)

180

Trong đó dùng kí hiệu: ( ) ( ) ττ dtKtGt

0∫ −=

Bằng cách kiểm tra từ thực nghiệm, người ta thấy phương trình thời gian G(t) trong biểu thức (9-26) có dạng dưới đây là phù hợp hơn cả: ( ) β= attG (9-27) Trong đó: a, β là những hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ. Như vậy chúng ta thấy đạo hàm theo thời gian của G(t) thì sẽ bằng K(t): ( ) ( )tKtG = Khi chúng ta thừa nhận dạng của phương trình G(t) theo (9-27) thì nhân (lõi) của phương trình tích phân ở trên K(t-τ) có dạng sau: ( ) ( ) 1tatK −−=− βτβτ (9-28) Trong trường hợp dão đơn giản khi ε=const=ε(0). Từ phương trình (9-25), chúng ta có: ( ) ( )[ ] ( )[ ]0tR1t εϕσ −=

Trong đó dùng kí hiệu : ( ) ( ) ττ dtFtRt

0∫ −=

Nếu ứng suất kéo ban đầu ( ) ( )[ ]00 εϕσ = thì phương trình của đường cong dão ứng

suất có thể viết dưới dạng sau: ( )( ) ( )tRt0t

−=σσ

Lí thuyết của Y.N Rabotnov được dùng rộng rãi hơn cả. Nó thể hiện nhiều mặt của hiện tượng từ biến và tương đối phù hợp với số liệu thí nghiệm. Nhược điểm của lí thuyết này là đòi hỏi kiến thức toán học khá nhiều và việc tính toán khá phức tạp. 9.6. SỰ DÃO ỨNG SUẤT TRONG CÁC BU LÔNG.(kéo- nén đúng tâm) Như ta thường thấy là cần phải siết các bu lông ơ những mối nối trong các nồi hơi để cho hơi khỏi thoát ra và sau một thời gian nhất định, lực kéo đàn hồi lúc ban đầu không giảm xuống qua một thời hạn nào đó cho trước. Chúng ta sử dụng những mặt bích tuyệt đối cứng (xem biến dạng rất nhỏ không đáng kể) lúc đó biến dạng các bu lông do ứng suất ban đầu xuất hiện trong nó gây ra và giá trị biến dạng này là không đổi. Người ta cho rằng biến dạng đàn hồi khi từ biến dần dần chuyển sang dẻo hậu quả của nó là ứng suất trong bu lông sẽ giảm đi. Thật vậy chúng

ta có: ( ) constE0

E PPy ==+=+σεσεε

Lấy vi phân của phương trình này theo thời gian, chúng ta nhận được:

0dt

ddtd

E1 P =+⋅

εσ

Bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định và biểu diễn tốc độ biến dạng từ biến trong giai đoạn hai theo biểu thức (9-1) n

P aσε = , chúng ta tìm thấy:

0adtd

E1 n =+⋅ σσ

Hoặc là: Eadtdn −=

σσ

Sau khi tích phân, chúng ta được:

181

( ) CEat1n1

1n +=⋅− −σ

(9-29)

Hằng số tích phân C được tìm từ điều kiện σ=σ(0) khi t=0.

( ) [ ] 1n01n1C −⋅−

=σ

Thay giá trị C vào biểu thức (9-29) chúng ta tìm được giá trị của σ phụ thuộc vào

thời gian t: ( )

( ) [ ][ ]( )1n1

1n t0Ea1n1

0

−−⋅−+=

σ

σσ (9-30)

Khi biết các đại lượng a, E đối với mỗi vật liệu ở nhiệt độ nhất định, chúng ta có thể sử dụng công thức (9-30). Giá trị ứng suất trong bu lông sau một thời gian nào đó và căn cứ vào sự giảm ứng suất thời gian đó để tiến hành siết chặt thêm bu lông để cho giá trị ứng suất trong bu lông không ít hơn giá trị ứng suất cần thiết phải có. Bởi vì chúng ta quan niệm các mặt bích là không biến đổi và khi tính toán chúng ta đã bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định của bu lông nên lời giải chỉ có tính chất gần đúng. 9.7. XOẮN THANH TRÒN. Trong phần này chúng ta nghiên cứu hiện tượng từ biến ổn định đối với một thanh tròn chịu xoắn bởi một mô men M. Bài toán này được xét trong các công trình của N.M. Beleeb, L.M.Katranov, N.N. Malinhine. Chúng ta cho rằng giả thiết về mặt cắt phẳng trong bài toán xoắn ở miền đàn hồi vẫn còn đúng với bài toán xoắn thanh tròn trong điều kiện từ biến. Trong trường hợp này biến dạng góc γ (xem hình 6.8, chương 6) trên khoảng cách r kể từ tâm sẽ bằng θγ ⋅= r (xem hình 9.3), θ là góc xoay tỉ đối.

Lúc này tốc độ biến dạng góc là: dtdr

dtd θγγ ==&

Bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định chúng ta cho rằng tốc độ biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định sẽ là: n

raτγ =& (9-31) Chú ý những giá trị của các hệ số a, n khác với những giá trị trong các biểu thức

nP aσε = (trong kéo nén đúng tâm).

Từ các biểu thức của γ chúng ta có được: dtdra n θτ =

Vậy : n1

n1

rdtd

a1

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

θγ

Chúng ta kí hiệu: n1

dtd

a1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ θ

⋅=φ& (9-32)

Biểu thức để tính giá tri ứng suất tiếp τ được tính:

Hình 9.3: Xác định γ

x

y

r

τr

R

182

n1

r⋅φ=γ & (9-33) Điều kiện cân bằng nội lực và ngoại lực với bài toán xoắn là:

drr2MR

0

2τπ ∫= (9-34)

Chúng ta đưa giá trị τ theo biểu thức (9-33) vào (9-34), chúng ta có:

drr2MR

0

n12

∫+

πφ= (9-35)

Chúng ta kí hiệu: ( )

nn

1n3R

0

n12

JR1n3

n2drr2 =⋅+π

=πφ+

+

∫

Trên cơ sơ (9-35), chúng ta có: nJ

M=φ (9-36)

Đưa đại lượng φ này vào công thức (9-33), chúng ta có:

n1

n

rJM

⋅=τ (9-37)

Như đã thấy từ công thức (9-37) sự phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt của trục tròn trong điều kiện từ biến là không tuyến tính như trong bài toán đàn hồi. Hậu quả của hiện tượng từ biến là làm cho sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang được đều đặn hơn (hình 9.4). Dựa theo công thức (9-32) và (9-36) có thể xác định tốc độ biến dạng góc xoắn tương đối của trục là:

n

n1

JM

dtd

a1

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ θ

⋅

n

nJMa

dtd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θ=θ&

Sau khi tích phân theo t chúng ta nhận được biểu thức tính toán đối với góc xoắn tương đối:

CtJMa

n

n

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=θ

Hằng số C đươc tìm từ điều kiện: θ=θđàn hồi=PGJ

M , khi t=0

tJMa

GJM

n

nP

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=θ

Như vậy góc xoắn tương đối của trục tăng dần theo thời gian. Để xét hiện tượng từ biến không ổn định của thanh tròn xoắn bởi mô men xoắn không đổi cần phải thay biểu thức (9-31) đối với tốc độ biến dạng bằng biểu thức tương

đương (9-9), lúc đó chúng ta có: ( ) θττ rtBdtd

Q1 n =+⋅

Hình 9.4: Phân bố ứng suất theo bán kính

r

τ

τđàn hồi

τtừ biến

183

Trong đó θ là một hàm số thời gian chưa biết. Bổ sung vào phương trình đó điều kiện (9-34), chúng ta sẽ nhận được những phương trình cần thiết để xác định τ và θ khi từ biến không ổn định. Bài toán này có thể giải bằng số. 9.8. BÀI TOÁN UỐN. Chúng ta hãy xét hiện tượng từ biến ổn định đối với những dầm chịu uốn mà mặt cắt ngang của chúng có hai trục đối xứng. Mô men uốn tác dụng trong mặt phẳng yz (xem hình 9.5). Trong những dầm mà chiều dài của nó lớn hơn các chiều dài khác của mặt cắt ngang rất nhiều thì ứng suất tiếp xuất hiện trong dầm rất nhỏ có thể bỏ qua được so với giá trị ứng suất pháp do mô men uốn gây nên. Điều này cũng giống như trong các bài toán uốn trong lĩnh vực đàn hồi. Khi tính toán giai đoạn từ biến ổn định, người ta thừa nhận rằng qua một giai đoạn nào đó sau khi chịu tải, tốc độ biến dạng và ứng suất không thay đổi. Chúng ta kí hiệu chiều rộng của mặt cắt ngang b(y), chiều cao tối đa là 2h. Chúng ta hãy xét trường hợp uốn thuần tuý. Giả thiết về mặt cắt phẳng vẫn được sử dụng trong bài toán từ biến (Điều này được kiểm nghiệm bởi những số liệu về thực nghiệm). Trên cơ sở của giả thiết này, biến dạng tỉ đối của thớ dọc cách lớp trung hoà một

đoạn là y được tính bởi: ρ

=εy

ρ là bán kính cong của trục dầm. Khi quy luật từ biến trong thời kì ổn định, chúng ta sử dụng dạng sau đây: n

P aσ=ε Bỏ qua phần biến dạng đàn hồi, chúng ta có:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρσ 1

dtdya n

Từ đây: n1

1dtd

a1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

ρσ

Chúng ta kí hiệu: n1

1dtd

a1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

⋅=φ (9-38)

Biểu thức đối với ứng suất σ chúng ta viết dưới dạng:

n1

yφ=σ (9-39) Từ điều kiện cân bằng mô men nội lực và ngoại lực chúng ta có:

dyy)y(b2ydy)y(b2Mh

0

n11h

0∫∫

+φ=σ= (9-40)

Chúng ta kí hiệu: dyy)y(b2J n11h

0n

+

∫=

Hình 9.5: Mặt cắt ngang khi uốn

b(y) 2

h

x

y

z

184

Cuối cùng có: nJ

M=φ (9-41)

Biểu thức (9-39) bây giờ được viết dưới dạng mới nhờ (9-41):

n1

n

yJM

⋅=σ (9-42)

Từ (9-42) chúng ta thấy sự phân bố ứng suất pháp theo chiều cao của mặt cắt theo quy luật phi tuyến (xem hình 9.6). Đối với mặt cắt ngang là hình chữ nhật có bề rộng là b và chiều cao là 2h:

n

1n2h1n2

nb2dyyb2Jh

0

n11

n+

×+

== ∫+

Trên cơ sở (9-42), chúng ta có:

n

1n2

n1

h

ynb2

1n2+⋅

+=σ (9-43)

Ứng suất pháp cực đại khi từ biến đối với trường hợp trục uốn của dầm có mặt cắt hình chữ nhật là:

( )22 h2b

M6n3

1n2bhM

n21n2

⋅+

=⋅+

=σ (9-44)

Bởi vì n>1 nên ứng suất cực đại nhỏ hơn 6M/b(2h)2 là giá trị ứng suất trong trường hợp đàn hồi với các điều kiện tương tự. Bây giờ chúng ta tiến hành xác định độ võng của

dầm. Đối với độ võng của dầm chúng ta sử dụng biểu thức gần đúng: 2

2

dzyd1

=ρ

Lấy vi phân theo thời gian, chúng ta viết:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ dt

dydzd1

dtd

2

2

(9-45)

Từ phương trinh (9-38) và (9-41), chúng ta có:

n

nJMa1

dtd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

Đưa biểu thức này vào (9-45), chúng ta có:

n

n2

2

JMa

dtdy

dzd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ (9-46)

Phương trình (9-46) cho phép xác định tốc độ phát triển độ võng và từ đó có thể tính được độ võng khi từ biến ổn định cũng như giá trị của nó sau khoảng thời gian t nào đó. Để có độ võng toàn bộ cần phải bổ sung vào đó đại lượng võng đàn hồi. Khi uốn thuần tuý thì M=const cho nên tích phân (9-46) theo z chúng ta có:

21

2n

n

CzC2z

JMd

dtdy

++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (9-47)

Hình 9.6: Sự phân bố ứng suất pháp theo

chiều cao của mặt cắt theo quy luật phi tuyến

y

σ

σth

σdh

185

Trong đó C1và C2 là những hằng số tích phân. Những điều kiện biên của chúng là:

0dtdy

= khi z=0

0dtdy

dzd

dtdy

dtd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ khi

2lz =

Trong đó: l-là chiều dài của dầm. C1 và C2 theo những điều kiện trên sẽ có những giá trị sau:

n

n1 J

M2alC ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ; C2=0

Tích phân biểu thức (9-47) và thay các hằng số vào, chúng ta sẽ xác định được độ võng theo thời gian t. Độ võng lớn nhất khi:

3

n

n

2

max CtJMa

8ly +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (9-48)

Hằng số C3 thể hiện giá trị độ võng đàn hồi khi t=0. Do đó độ võng lớn nhất sau

thời gian t sẽ là: tJMa

8l

EJ8Mly

n

n

22

max ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= (9-49)

Đối với những dầm chịu uốn bởi lực thẳng góc với trục thanh thì mô men M là hàm số của l. Đưa giá trị mô men vào phương trình (9-46) tích phân xác định các hằng số tích phân từ những điều kiện biên và lúc đó có thể nhận được các biểu thức tính độ võng của dầm trong những trường hợp khác nhau. Ví như đối với dầm đặt trên hai gối tựa tự do và

chịu tải trọng là lực tập trung P đặt tại giữa dầm ( z2PM = ), thì độ võng cực đại sau thời

gian t là: ( ) tJP

22nal

EJ48Ply n

n

n

)1n(2

2n3

max ⋅+

−−= +

+

Tương tự như vậy chúng ta có thể nhận được những giá trị độ võng đối với các dầm có những liên kết khác nhau và chịu tải khác nhau. 9.9. TỪ BIẾN CỦA CÁNH TUỐC BIN. Chúng ta xét hiện tượng từ biến của cánh tuốc bin có mặt cắt thay đổi chịu lực li tâm (xem hình 9.7). Bài toán này được V.I. Pozenly nghiên cứu. Từ biến cánh tuốc bin có kể đến sự uốn được N.N. Malinhine nghiên cứu. Để đặt trưng cho quy luật từ biến, người ta sử dụng biểu thức (9-18): ( ) ntB σε =& Kí hiệu V là dịch chuyển của một phân tử của cánh tuốc bin theo phương z, lúc đó có thể viết:

( ) nP tB

dzdV σε == & (9-50)

Và từ đó ta có :

( ) ( ) ξσ dztBVz

0

n∫= (9-51)

Ở đây ξ là biến số tích phân. Hình 9.7:Đầu cánh tuốc bin

a

bdz

z

P

Tâm quay

186

Ta tích phân (9-51) theo thời gian, chúng ta có biểu thức đối với độ dịch chuyển là:

( ) ( ) ξσ dztVz

0

n∫Ω= (9-52)

Phương trình cân bằng của phân tử cánh dz có dạng:

( ) ( )dzzag

FPd 2 +−= ωγσ (9-53)

Trong đó: F=F(z) là diện tích của mặt cắt thay đổi; a-là khoảng cách của mép trong cánh tuốc bin đến trục quay (xem hình 9.7); z- là khoảng cách ở mặt đang tính đến mép trong; ω-là tốc độ góc; γ/g- là khối lượng của vật thể. Trên cơ sở công thức (9-53) chúng ta tính ứng suất gần điểm đặt lực ly tâm P:

( )( ) ξξξωγσ daFFgF

P l

o

2

+⋅+= ∫ (9-54)

Thay biểu thức (9-54) vào (9-52) chúng ta có biểu thức đối với chuyển vị. Chuyển

vị của cánh tuốc bin sẽ là: ( ) ( )( )

ξξωγ

dF

Jg

PtlV

n

l

0

2

∫⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +Ω= (9-55)

Trong đó kí hiệu: ( ) ( )( ) ξξξξ daFJl

z

+= ∫

Đối với trường hợp cánh tuốc bin có mặt cắt đối xứng thì công thức (9-55) sẽ rất đơn giản.

CÂU HỎI TỰ HỌC 9.1. Giới thiệu tóm tắt các thuyết cơ bản về từ biến. 9.2. Sự khác nhau của các thuyết từ biến đã biết ? 9.3. Bài toán kéo (nén) đúng tâm. 9.4. Bài toán xoắn. 9.5. Bài toán uốn. 9.6. Bài toán đối với cánh tuốc bin. 9.7. Sự khác nhau về phân bố ứng suất trong đàn hồi và từ biến. Nhận xét ?

--- ---

272

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Y Tô Sức bền vật liệu (tập 1, 2) Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà nội,1964. 2. Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vuợng Sức bền vật liệu (tập 1, 2, 3). Nhà xuất bản Giáo dục, 1997. 3. Lê Ngọc Hồng Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật Hà nội, 2000. 4. Phan kì Phùng, Đặng Việt Cương Lí thuyết dẻo và từ biến. Nhà xuất bản Giáo dục, 1997. 5.L.M KacHarop (Người dịch: Lê Minh Khanh và Ngô Thành Phong) Cơ sở lí thuyết dẻo Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệpHà nội, 1987. 6. Vũ Đình Cự Vật lí chất rắn Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật Hà nội, 1997. 7. Nguyễn Văn Vượng. Lí thuyết đàn hồi ứng dụng. Nhà xuất bản Giáo dục,1999. 8. Nguyễn Xuân Lựu Lí thuyết đàn hồi. Nhà xuất bản giao thông vận tải, 2002. 9. Lê Công Trung Đàn hồi ứng dụng. Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật Hà nội, 1999. 10.X.P.Timosenko, X.Voinopski-Krige. Các Người dịch: Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Nghuyễn Khải, Đoàn Hữu Quang Tấm và vỏ. Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật Hà nội, 1971. 11.N.I. BeĐukhop (Người dịch: Phan Ngọc Châu) Cơ sở lí thuyết đàn hồi Lí thuyết từ biến Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà nội, 1978. 12. Đào Huy Bích Lí thuyết quá trình đàn dẻo. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nộ, 1999. --- ---

273

.