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STUDIO DI FUNZIONI pag. 1
1 Dominio e ricerca asintoti
REGOLA GENERALE
1. Individuare il dominio della funzione, cioè l’insieme dei valori reali x per cui ( )xf è ancora un valore reale.2. Studiare i limiti della funzione assegnata per 0xx → con 0x estremo di ( )xfdom e per ±∞→x individuando, ove pre-
senti, i seguenti casi:a. 0x estremo di ( )xfdom
se ( ) ±∞=−→
xfxx 0
lim , si ha in 0xx = un asintoto verticale da sinistra;
se ( ) ±∞=+→
xfxx 0
lim , si ha in 0xx = un asintoto verticale da destra.
b. ( ) R∈=±∞→
kkxfx
lim
In questo caso y = k rappresenta un asintoto orizzontale di ( )xf per ±∞→x
c. ( ) ( )[ ] { }0 0lim \R∈=+−±∞→
mqmxxfx
In questo caso la retta qmxy += è un asintoto obliquo di ( )xf ; per individuare m coefficiente angolare e q inter-cetta sull’asse delle ordinate procedere come segue:
( )x
xfm
x ±∞→= lim ( )[ ]mxxfq
x−=
±∞→lim
È importante sottolineare che se e solo se entrambi questi due limiti esistono finiti ( )xf ammette per ±∞→xasintoto obliquo qmxy += .
STUDIO DI FUNZIONI pag. 2
ESEMPI
1. ( )52 −
=x
xxf
( )
=
25
dom \Rxf
( ) −∞=−
=−−
→
→ 52
limlim
2
5
2
5 x
xxf
xx
, ( ) +∞=−
=++
→
→ 52
limlim
2
5
2
5 x
xxf
xx
; dunque25=x è un asintoto verticale per
( )xf .
( )21
52limlim =
−=
+∞→+∞→ x
xxf
xx; ( )
21
52limlim =
−=
−∞→−∞→ x
xxf
xx; la retta
21=y è un asintoto orizzontale per ±∞→x .
2. ( )1e1e
+−=
x
x
xf
( ) R=xfdom
( ) 1ee
lim1e1e
limlim ==+−=
+∞→+∞→+∞→ x
x
xx
x
xxxf (applicando la regola di de L’Hopital) e quindi 1=y asintoto orizzontale per
+∞→x ;
( ) 111
lim1e1e
limlim −=+−=
+−=
+∞→−∞→−∞→ xx
x
xxxf e quindi 1−=y asintoto orizzontale per −∞→x .
3. ( ) xxxf e5
2+−=
( ) R=xfdom
( ) +∞=
+−=
+∞→+∞→
x
xx
xxf e5
2limlim ; ( ) −∞=
+−=
−∞→−∞→
x
xx
xxf e5
2limlim .
Come si può facilmente notare per −∞→x la funzione decresce con ordine di infinito 1:
( )m
xxx
x
x
xf x
x
x
xx==
+−=
+−=
−∞→−∞→−∞→ 21e5
21
lime5
2limlim
STUDIO DI FUNZIONI pag. 3m rappresenterebbe il coefficiente angolare della retta a cui la funzione tende per −∞→x ; l’intercetta si può ricavarecalcolando il seguente limite:
( )[ ] 521e5
21
lim2
e52
limlim −=
−+−⋅=
−+−=−
−∞→−∞→−∞→ xxx
xxmxxf
x
x
x
xx.
Risultando definiti e finiti entrambi i limiti, si può affermare che 52
−= xy è un asintoto obliquo di ( )xf per −∞→x ;
per +∞→x non ci sono invece asintoti in quanto
( ) +∞=+−
=+∞→+∞→ x
x
x
xfx
xx
e52limlim .
4. ( ) 4 3 23 −+= xxxf
( ) [ )+∞= ;2dom 3xf
( ) +∞=−+=+∞→+∞→
4 3 23limlim xxxfxx
La funzione ha ordine di infinito pari a 1; infatti:
( )3
213lim
23limlim 4
4
4 3
=
−+=−+=
+∞→+∞→+∞→ xxx
xx
x
xfxxx
La funzione può quindi presentare per +∞→x un asintoto obliquo qmxy += con m = 3; l’intercetta sull’asse delleordinate dovrebbe risultare dal calcolo di questo limite:
( )[ ] [ ] +∞=−=−−+=−+∞→+∞→+∞→
4 34 3 2lim323limlim xxxxmxxfxxx
.
Poiché quest’ultimo limite, pur essendo definito, non assume valore finito si deve concludere che ( )xf per +∞→xnon presenta alcun asintoto.
STUDIO DI FUNZIONI pag. 4
2 Studio di punti di discontinuità
REGOLA GENERALE
a. Se esiste un punto R∈0x per cui
( ) 10
lim lxfxx
=−→
, ( ) 20
lim lxfxx
=+→
con 21 ll ≠
allora si dice che x0 è un punto di discontinuità di prima specie o salto.b. Se esiste un punto R∈0x per cui
( ) lxfxx
=→ 0
lim , con ( )0xfl ≠
allora si dice che x0 è un punto di discontinuità eliminabile o artificiale.c. Se in x0 almeno uno dei limiti laterali o non esiste o è infinito, allora si dice che x0 è un punto di discontinuità di se-
conda specie.
ESEMPI
1. caso a.
( )
<=>
−==
0
0
0
1
0
1
sgn
x
x
x
xxf
si ha( ) 1lim
0=
+→xf
x, ( ) 1lim
0−=
−→xf
x
dunque 00 =x è un punto di discontinuità di prima specie.2. caso b.
( )
=≠
==0
0
0
1sgn
x
xxxf
si ha( ) 1lim
0=
→xf
x, ( ) 00 =f dunque 00 =x è un punto di discontinuità eliminabile.
STUDIO DI FUNZIONI pag. 53. caso c.
( )x
xf1=
si ha( ) +∞=
+→xf
x 0lim , ( ) −∞=
−→xf
x 0lim dunque 00 =x è un punto di discontinuità di seconda specie.
3 Studio di punti critici e intervalli di monotonia
REGOLA GENERALE
Calcolare la derivata prima della funzione assegnata e studiarne il segno e gli zeri sul suo dominio.
ESEMPI
1. ( ) 433 ++−= xxxf , R=fdom
( ) 033' 2 =+−= xxf
( ) 033:0' 2 =+−= xxf se 1 ,1 =−= xx
( ) 033:0' 2 >+−> xxf se 1 1 <<− x
La funzione è monotona decrescente negli intervalli ( )1 ; −∞− e ( )∞+ ;1 , mentre è crescente nell’intervallo ( )1 ;1− ; ilpunto 1−=x è di minimo, il punto 1=x è invece di massimo.
2. ( ) xxxf tg−= ,
∈+= Z\R kkf :
2dom ππ
( )x
xf 2cos1
1' −=
( ) 0cos
11:0' 2
=−=x
xf 0cos
1cos2
2
=−x
x1cos2 =x Z∈= kkx ,π
( ) 0cos
11:0' 2
>−>x
xf 1cos
12
<x
1cos2 >x condizione mai verificata
La funzione è decrescente; gli zeri della derivata prima rappresento flessi a tangente orizzontale; conseguentementenon ci sono massimi o minimi.
STUDIO DI FUNZIONI pag. 63. ( ) xxxf log= , { }0\dom += Rf
( )
+=+= 1
2log1
log2
1'
x
xx
xx
xxf
( ) 012
log1:0' =
+= x
xxf
I fattore: 01 =x
condizione mai verificata
II fattore: 012
log =+x2log −=x 2e−=x
( ) 012
log1:0' >
+> x
xxf
I fattore: 01 >x
condizione sempre verificata
II fattore: 012
log >+x2log −>x 2e−>x
La funzione è monotona decrescente nell’intervallo ( )2e ;0 - e monotona crescente in ( )∞+ ;e 2- ; il punto 2e−=x rappre-senta quindi un minimo assoluto.
4 Studio di punti di non derivabilità
REGOLA GENERALE
Se esistono dei punti ( )xfx dom0 = per i quali non è possibile applicare le regole di derivazione, studiare la derivata pri-ma della funzione assegnata esaminando in particolare queste possibilità:a. ( ) ( )xfllxf
xxxx'lim'lim
0021 +− →→
=≠= ( ) R∈= 210 , ;dom llxfx
b. ( ) ±∞=−→
xfxx
'lim0
e/o ( ) ±∞=+→
xfxx
'lim0
( )xfx dom0 =
STUDIO DI FUNZIONI pag. 7ESEMPI
1. caso a. ( ) xxxf 93 −= , ( ) R=xfdom
è conveniente affrontare lo studio di funzioni contenenti valori assoluti riscrivendo le funzioni in una forma che nonpresenti tali operatori; ciò può essere fatto spezzando la funzione in blocchi di segno costante:
093 ≥− xx ( ) 092 ≥−xxI fattore: 0≥xII fattore: 092 ≥−x 3−≤x e 3≥x
( ) ( ) 30
3
e
e
3
03
9
99
3
33
+<<+≥
−<≤≤−
−−−
=−=x
x
x
x
xx
xxxxxf
Poiché la funzione è pari, come si verifica facilmente sostituendo xx a − nella espressione originaria, lo studio deipunti di non derivabilità può essere affrontato per le sole 0≥x estendendo poi i risultati ottenuti alle 0<x . Questostudio va condotto analizzando separatamente il comportamento della derivata prima per i punti interni agli intervallidi definizione e per gli estremi di tali intervalli.• ( )3 ,0∈x
In questo intervallo ( ) 39 xxxf −= e dunque ( ) 239' xxf −= ;la derivata prima è definita per ogni punto dell’intervallo.
• ( )∞+∈ ,3x
In questo intervallo ( ) xxxf 93 −= e dunque ( ) 93' 2 −= xxf ;la derivata prima è definita per ogni punto dell’intervallo.
• 3 ,0=xLo studio della derivata prima va ora condotto calcolando separatamente i limiti destro e sinistro:
( ) ( ) 993lim'lim 2
00−=−=
−− →→xxf
xx; ( ) ( ) 939lim'lim 2
00+=−=
++ →→xxf
xx
( ) ( ) 1839lim'lim 2
33−=−=
−− →→xxf
xx( ) ( ) 1893lim'lim 2
33+=−=
++ →→xxf
xx
In entrambi i casi i limiti destro e sinistro sono finiti ma differenti; per 3 ,0=x non è dunque definita la derivata pri-ma di ( )xf e tali punti corrispondono quindi a punti angolosi.
In conclusione si può affermare che ( )xf è ovunque derivabile tranne che nei punti 3 ,0 ,3−=x che sono punti ango-losi.
STUDIO DI FUNZIONI pag. 82. caso b. ( ) 3 xxf = , ( ) R=xfdom
( )3 23
1'
xxf = 0≠x
La derivata prima non è definita per 0=x dove entrambi i limiti destro e sinistro sono infiniti:
( ) +∞===+−± →→→ 3 203 200 3
1lim
3
1lim'lim
xxxf
xxx
In questo caso, essendo i limiti destro e sinistro entrambi infiniti di segno concorde, si ha per 0=x un flesso a tan-gente verticale.
3. caso b. ( ) 3 2xxf = , ( ) R=xfdom
( )33
2'
xxf = 0≠x
Anche in questo caso la derivata prima non è definita per 0=x :
( ) −∞==−− →→ 300 3
2lim'lim
xxf
xx( ) +∞==
++ →→ 300 3
2lim'lim
xxf
xx
Dato che i limiti destro e sinistro sono infiniti ma di segno discorde, il punto 0=x corrisponde a una cuspide.
5 Studio di concavità, convessità e flessi
REGOLA GENERALE
Calcolare la derivata seconda della funzione e studiarne in particolare il segno e gli zeri.
ESEMPI
1. ( ) 34 xxxf −= , ( ) R=xfdom
( ) 23 34' xxxf −= ( ) xxxf 612'' 2 −=
STUDIO DI FUNZIONI pag. 9
( ) 0612:0'' 2 =−= xxxf ( ) 0126 =−xx21
,0=x
( ) 0612:0'' 2 >−> xxxf ( ) 0126 >−xxI fattore: x > 0
II fattore: 012 >−x21>x
La derivata seconda è positiva per x < 0 e per 21>x ed in questi intervalli ( )xf è dunque convessa; per
21
0 << x la
funzione è invece concava. Da queste considerazioni si deduce che x = 0 e 21=x rappresentano punti di flesso.
2. ( ) 2
exxf = , ( ) R=xfdom
( ) 2
e2' xxxf = ( ) [ ]221e2e22e2''222
xxxxf xxx +=+=
( ) [ ] 021e2:0'' 22
=+= xxf x condizione mai verificata
( ) [ ] 021e2:0'' 22
>+> xxf x condizione sempre verificataLa derivata seconda è sempre strettamente positiva e quindi la funzione è sempre convessa.
6 Grafici
REGOLA GENERALE
Effettuare lo studio degli elementi (dominio, segno, monotonia, …) discussi nei punti precedenti, dedurre da questil’andamento della funzione e disegnarne il grafico in maniera qualitativa.
ESEMPI
1. ( )x
xxxf
−+=
122
• DominioLa funzione è definita sull’intero asse reale ad eccezione dei punti per i quali si annulla il denominatore:
01 =− x 1=x ( ) {}1dom \R=xf
• Simmetrie e periodicità
STUDIO DI FUNZIONI pag. 10La funzione non presenta né simmetrie né periodicità.
• Segno e zeri
( ) 01
2:0
2
>−+>
x
xxxf
numeratore: 022 >+ xx ( ) 02 >+xx condizione verificata per 2−<x e 0>xdenominatore: 01 >− x 1<x
La funzione è positiva negli intervalli ( )2 , −∞− e ( )1 ,0 .
( ) 02:0 2 =+= xxxf ( ) 02 =+xx 2 ,0 −=xLa funzione si annulla per 0=x e 2−=x .
• Comportamento per ±∞→x(asintoti orizzontali, obliqui o semplice divergenza)
( ) −∞=
+−
+=−+
+∞→+∞→
xx
xx
x
xxxx 1
1
2lim
12
lim2
L’ordine di infinito per +∞→x è 1, infatti:( )
( )( )( ) 11
2lim
12
limlim2
−=−+=
−+=
+∞→+∞→+∞→ xx
xx
xx
xx
x
xfxxx
La funzione potrebbe quindi presentare per +∞→x un asintoto obliquo di cui 1−=m rappresenterebbe il co-efficiente angolare; l’intercetta sull’asse delle ordinate sarebbe:
( )[ ] 311
2lim
12
limlim2
−=
+
−+=
+
−+=−=
+∞→+∞→+∞→ x
xxx
x
xxmxxfq
xxx
Essendo i due limiti definiti e finiti si può concludere che ( )xf ha un asintoto obliquo per +∞→x di equazione3−−= xy .
( ) +∞=
+−
+=−+
−∞→−∞→
xx
xx
x
xxxx 1
1
2lim
12
lim2
Anche in questo caso l’ordine di infinito è 1:
STUDIO DI FUNZIONI pag. 11
( )( )
( )( ) 11
2lim
12
limlim2
−=−+=
−+=
−∞→−∞→−∞→ xx
xx
xx
xx
x
xfxxx
La funzione potrebbe presentare un asintoto obliquo anche per −∞→x ; trovato il coefficiente angolare1−=m , resta da calcolare l’intercetta:
( )[ ] 311
2lim
12
limlim2
−=
+
−+=
+
−+=−=
−∞→−∞→−∞→ x
xxx
x
xxmxxfq
xxx
Anche per −∞→x ( )xf presenta un asintoto obliquo, esso ha equazione 3−−= xy .• Asintoti verticali
+∞=−+
−→ x
xxx 1
2lim
2
1−∞=
−+
+→ x
xxx 1
2lim
2
1
Asintoto verticale 1=x .• Intervalli di monotonia e punti stazionari
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )2
2
2
2
1
22
1
12122'
x
xx
x
xxxxxf
−++−=
−−+−−+=
( ) ( ) 01
22:0' 2
2
>−
++−>x
xxxf
numeratore: 0222 >++− xx 3131 +<<− x
denominatore: ( ) 01 2 >− x condizione sempre verificata
La funzione è crescente negli intervalli ( )1 ,31− e ( )31 ,1 +
( ) ( ) 01
22:0' 2
2
=−
++−=x
xxxf 0222 =++− xx 31 ,31 +=−= xx
La funzione presenta in 31−=x un minimo relativo e in 31+=x un massimo relativo.• Concavità, convessità e flessi
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )34
22
1
6
1
2222122''
xx
xxxxxxf
−=
−+−++−−−+−=
( ) ( ) 01
6:0'' 3 >
−>
xxf
STUDIO DI FUNZIONI pag. 12numeratore: 6 > 0 condizione sempre verificatadenominatore: ( ) 01 3 >− x x < 1
La funzione è convessa per x < 1, concava per x > 1; non ci sono punti di flesso.
• Punti di non derivabilitàLa funzione non presenta punti di non derivabilità.
• Valori della funzione in alcuni punti particolari
( ) 536.03
34631 −≅−=−f
( ) 464.73
34631 −≅
−+=+f
( ) 00 =f
2. ( ) xxxf −= 12 e
• Dominio( ) R=xfdom
• Simmetrie e periodicitàLa funzione non presenta né simmetrie né periodicità.
• Segno e zeri( ) 0e:0 12 >> − xxxf
I fattore: 02 >x condizione verificata per 0≠xII fattore: 0e1 >− x condizione sempre verificata
La funzione è sempre positiva ad eccezione del punto 0=x dove si annulla, infatti:( ) 0e:0 12 == − xxxf 0=x
• Comportamento per ±∞→x(asintoti orizzontali, obliqui o semplice divergenza)
0elim 12 =−
+∞→
x
xx
La funzione ha 0=y come asintoto orizzontale per +∞→x .
STUDIO DI FUNZIONI pag. 13
+∞=−
−∞→
x
xx 12 elim
L’ordine di infinito per −∞→x maggiore di 1 esclude la possibilità di asintoti obliqui.• Asintoti verticali
La funzione non presenta asintoti verticali.• Intervalli di monotonia e punti stazionari
( ) ( ) ( ) xxx xxxxxf −−− −=−+= 12121 e2e1e2'
( ) ( ) 0e2:0' 12 >−> − xxxxf
I fattore: 02 2 >− xx ( ) 02 <−xx 20 << x
II fattore: 0e1 >− x condizione sempre verificataLa funzione è crescente per 20 << x .
( ) ( ) 0e2:0' 12 =−= − xxxxf
I fattore: 02 2 =− xx 2 ,0=x
II fattore: 0e1 =− x condizione mai verificataLa funzione ha in 0=x un punto di minimo assoluto e in 2=x un punto di massimo relativo.
• Concavità, convessità e flessi( ) ( ) ( )( ) ( ) xxx xxxxxxf −−− +−=−−+−= 12121 e24e12e22''
( ) ( ) 0e24:0'' 12 >+−> − xxxxf
I fattore: 0242 >+− xx 22 ,22 +>−< xx
II fattore: 0e1 >− x condizione sempre verificataLa funzione è convessa per 22 −<x e per 22+>x , concava per 2222 +<<− x .
( ) ( ) 0e24:0'' 12 =+−= − xxxxf
I fattore: 0242 =+− xx 22 ,22 +=−= xx
II fattore: 0e1 =− x condizione mai verificataLa funzione presenta in 22−=x e in 22+=xpunti di flesso.
• Punti di non derivabilitàLa funzione non presenta punti di non derivabilità.
• Valori della funzione in alcuni punti particolari
STUDIO DI FUNZIONI pag. 14( ) 00 =f
( ) 472.1e4
2 ≅=f
( ) 519.022 ≅−f
( ) 043.122 ≅+f
3. ( ) xxxf cossin +=• Dominio
( ) R=xfdom
• Simmetrie e periodicitàLa funzione è pari, infatti:
( ) xxxf cossin +=
( ) ( ) ( ) xxxxxxxf cossincossincossin +=+−=−+−=−La funzione è inoltre periodica di periodo 2π :
( ) ( ) ( ) xxxxxf cossin2cos2sin2 +=+++=+ πππ .
Data la parità e la periodicità della funzione, lo studio verrà affrontato per [ ]π ,0∈x estendendo poi i risultatiagli intervalli adiacenti.
• Segno e zeri
( )
<<≤≤
<≥
+−+
=ππ
π2
0
cioè
cioè
0sin
0sin
cossin
cossin
x
x
x
x
xx
xxxf
La funzione può essere ulteriormente riscritta in questa forma:
+=+
4sin2cossin
πxxx
( ) 04
sin2:0 >
+> πxxf
43
0π≤< x
STUDIO DI FUNZIONI pag. 15
( ) 04
sin2:0 =
+= πxxf
43π=x
La funzione è positiva per 4
30
π<≤ x , negativa per ππ ≤< x4
3, nulla per
43π=x .
• Asintoti verticaliLa funzione non presenta asintoti verticali.
• Intervalli di monotonia e punti stazionari
( )
+=
4cos2'
πxxf
( ) 04
cos2:0' >
+> πxxf
40
π<< x
( ) 04
cos2:0' =
+= πxxf
4
π=x
La funzione è crescente per 4
0π<< x , decrescente per ππ << x
4;
4
π=x è punto di massimo.
• Concavità, convessità e flessi
( )
+−=
4sin2''
πxxf
( ) 04
sin2:0'' >
+−> πxxf ππ << x
43
( ) 04
sin2:0'' =
+−= πxxf
43π=x
La funzione è convessa per ππ << x4
3, concava per
43
0π<< x e presenta un flesso in
43π=x .
• Punti di non derivabilitàLa funzione non è derivabile per 0=x e per π=x :
( ) 14
sin2lim'lim00
−=
+−=
−− →→
πxxf
xx( ) 1
4cos2lim'lim
00+=
+=
++ →→
πxxf
xx
STUDIO DI FUNZIONI pag. 16
( ) 14
cos2lim'lim −=
+=
−− →→
πππ
xxfxx
( ) 14
sin2lim'lim +=
+−=
++ →→
πππ
xxfxx
0=x e π=x sono dunque due punti angolosi.• Valori della funzione in alcuni punti particolari
24
=
π
f
( ) 1−=πf
( ) 10 =f
STUDIO DI FUNZIONI pag. 17
7 Schema riassuntivo di studio di funzioni
• Classifichiamo ( )xf come:- pari (se ( ) ( )xfxf −= )- dispari (se ( ) ( )xfxf −−= )- né pari né dispari- periodica (se esiste T tale che ( ) ( )xfTxf =+ )
Nel primo caso, si studia ( )xf solo per 0≥x , e si tiene conto che il grafico di ( )xf è simmetrico rispetto all’asse y.Nel secondo caso, si studia ( )xf solo per 0≥x , e si tiene conto che il grafico di ( )xf è simmetrico rispettoall’origine.Nel quarto caso, si studia ( )xf solo per Txxx +≤≤ 00 (con un opportuno x0) e poi si ripete il grafico in intervalli adia-centi.
• Studio del dominio di ( )xf
• Comportamento di ( )xf agli estremi del dominio (eventuali asintoti orizzontali o verticali)
• Ricerca di eventuali asintoti obliqui destri qmxy += : (vedere se esiste finito e diverso da zero ( )x
xfm
x +∞→= lim e, in ca-
so affermativo, ( )( )mxxfqx
−=+∞→
lim (lo stesso si ripete per −∞→x , per cercare eventuali asintoti sinistri)
• Zeri di ( )xf (eventualmente il segno di ( )xf )• Studio di ( )xf ' :
zeri e segno di ( )xf ' ⇒ monotonia e punti a tangente orizzontale;punti in cui ( )xf ' diventa infinita ⇒ punti a tangente verticale;punti in cui ( )xf ' ha discontinuità di prima specie (cioè ( ) ( )xfxf
xxxx'lim'lim
00−+ →→
≠ ) ⇒ punti angolosi.
• Eventuale studio di ( )xf '' (se richiesto, o se di facile calcolo):zeri, segno ⇒ concavità, eventuali flessi.
• Disegno del grafico
STUDIO DI FUNZIONI pag. 18
ESEMPI
Studiare le seguenti funzioni e tracciarne un grafico qualitativo:1. ( ) xxxf −−+= 1ln1ln2
• Verifichiamo innanzitutto se la funzione è pari o dispari:( ) xxxf −−+= 1ln1ln2 ( ) xxxf +−−=− 1ln1ln2
da cui ( ) ( )xfxf ±≠− : f non è né pari né dispari.Inoltre ( )xf non è periodica (poiché la funzione logaritmo non è periodica in campo reale)
• Dominio di ( )xf : ( ) ( ) ( )∞+∪−∪−∞−= ,11 ,11 ,D
• ( ) ( ) −∞==−+ −→−→
xfxfxx 11limlim
( ) ( ) +∞==−+ →→
xfxfxx 11limlim
( ) ( ) ( ) +∞=++=
++=
±∞→±∞→±∞→ x
x
x
xxf
xxx 11
limln11
lnlimlim22
Dunque 1−=x e 1=x sono asintoti verticali (sinistri e destri)Non ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo eventuali asintoti obliqui:
( )( )
011
ln
limlim
2
=−+
==+∞→+∞→ x
x
x
x
xfm
xx
(poiché l’ordine di infinito del numeratore è inferiore all’ordine di infinito del denominatore essendo di tipo loga-
ritmico; oppure applicando il teorema di de l’Hopital ( )
013
lim1'
lim 2 =−
−==+∞→+∞→ x
xxfm
xx).
(Lo stesso vale per −∞→x )Dunque non ci sono asintoti obliqui.
• ( ) ( ) ( )1
11
011
ln:022
=−+=
−+=
x
x
x
xxf
se x < 1: ( ) 300311 2122 −===+−=+ xxxxxx
STUDIO DI FUNZIONI pag. 19
x3
x4
se x > 1: ( ) ⇒=++⇒−=+ 0211 22 xxxx Nessuna soluzione reale.Dunque ( )xf taglia l’asse delle x solo in 01 =x e in 32 −=x .
• ( ) xxxf −−+= 1ln1ln2
Ricordando che ( ) ( )( ) ( )( )xf
xfxfDxfD
'lnln == , si ha:
( ) ( ) ( )( )( ) 1
31 1
1121
11
2' 2 −
−=−+
++−=−−−
+=
x
x
xx
xx
xxxf
( ) ( ) { }1dom'dom ±== \Rxfxf
( ) 0' =xf per 3=x
Segno di ( )xf ' :
( )xf è decrescente in ( )1 ,∞− e in ( )3 ,1 ed ( )xf è crescente in ( )1 ,1− e in ( )∞+ ,3 ; in 3=x ( )xf ha un minimorelativo a tangente orizzontale con ( ) 28log2log32log4log23 >==−=f
• ( ) ( )22
2
1
16''
−−+−=
x
xxxf
( ) 223223:0'' 43 +=−== xxxf
Segno di ( )xf '' :f è concava verso il basso in ( )1- ,∞− , in ( )3 ,1 x− e in ( )∞+ ,4x ; è con-
vessa ( )1 ,3x e in ( )4 ,1 x ; x3 e x4 sono punti di flesso.
−1 1 3
− −+ +
STUDIO DI FUNZIONI pag. 20
2. ( ) 2322
xxx
xf +++=
• ( ) 2322
xxx
xf +−+−=−
Poiché ( ) ( )xfxf ±≠− , ( )xf non è né pari né dispari.Non è periodica perché somma di funzioni non periodiche.
• Dominio di ( )xf : 1 ,2032 2 −≥−≤⇔≥++ xxxx quindi ( ] [ )∞+−∪−∞−= ,12 ,D
• ( ) 12 −=−f , ( )2
11 −=−f
( ) +∞=+∞→
xfxlim
( ) +∞=⋅
−=
++−⋅=
++−=
+++=
−∞→−∞→−∞→−∞→−∞→−∞→x
xxx
xxx
x
xxx
xxf
xxxxxxlim1
2
1231
2
1limlim
231
2lim
231
2limlim
222
Dunque non ci sono asintoti né orizzontali né verticali.• Cerco eventuali asintoti obliqui a destra:
( )2
3
231
2
1
limlim2
=
+++
==+∞→+∞→ x
xxx
x
xfm
xx
( ) ( )2
3
123
1
32
lim23
23lim23lim
2
3lim
2
2
222 =
+++
+
=+++
−++=−++=
−=
+∞→+∞→+∞→+∞→
xxx
xx
xxx
xxxxxxxxfq
xxxx
Si deduce che 2
3
2
3 += xy è asintoto obliquo destro.
Cerchiamo ora eventuali asintoti obliqui a sinistra:
( )2
1
231
2
1
limlim2
−=
++−
==−∞→−∞→ x
xxx
x
xfm
xx
STUDIO DI FUNZIONI pag. 21
( ) ( ) ( )2
3
2311
23
lim23
23lim23lim
2
1lim
2
2
222 −=
+++
−−
=++−++−=+++=
+=
−∞→−∞→−∞→−∞→
xxx
xx
xxx
xxxxxxxxfq
xxxx
Dunque 2
3
2
1 −−= xy è asintoto obliquo sinistro.
• ( )2
320 2 xxxxf −=++⇔=
nota bene: deve essere x < 0
9,03
3261,3
3
32608123
432 21
22
2 −≅+−=−≅−−=⇒=++⇒=++ xxxxx
xx
Poiché le due soluzioni appartengono al dominio e sono negative, sono entrambi valori accettabili.Dunque la funzione taglia l’asse delle x in x1 e x2.
• ( )2
2
2 322
2332
322
23
2
1'
xx
xxx
xx
xxf
++++++=
++++=
Segno di ( )xf ' :
( ) 0' >xf se xxx 2332 2 −−>++ cioè se
++>++
>−−∪
>++
≤−−
xxxx
x
xx
x
124932
023
032
023222
ovvero
−<
∪
∈∀
−≥
verificatamai23
23
x
Dx
x
Dunque se 1−≥x , ( ) 0' >xf , mentre se 2−<x , ( ) 0' <xf .Pertanto in ( )2 , −∞− ( )xf è decrescente, mentre in ( )∞+− ,1 ( )xf è crescente.
( ) ( ) ( )∞+−∪−∞−= ,12 ,'dom xf
( ) ( )xfxfxx
'lim'lim12 −→−→
=∞=
cioè 2−=x e 1−=x sono punti a tangente verticale (punti di non derivabilità)
STUDIO DI FUNZIONI pag. 22• ( )xf '' non è necessario