STRUTTURA DISTRUTTURA DI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Prodotto scalare in Prodotto scalare in RRnn

Distanza in RDistanza in Rnn

Topologia di RTopologia di Rnn

Vettori di Vettori di RRnn

Vettore colonnaVettore colonna

X =X =

X1X1

X2X2

X3X3••

••

••

XnXn

Vettore rigaVettore riga

(X1, X2, X3, (X1, X2, X3, •••• •••• •••• XXnn))XXnn))

= X = X ••••

XT =XT =

XTTXTT

Prodotto scalare Prodotto scalare in uno spazio vettoriale in uno spazio vettoriale

V sul corpo RV sul corpo R

Un prodotto scalareUn prodotto scalare

è un’applicazione bilineareè un’applicazione bilineare

simmetricasimmetrica

definita positivadefinita positiva

su V x V a valori in Rsu V x V a valori in R

s: V x Vs: V x V RR

soddisfa le seguenti proprietàsoddisfa le seguenti proprietà

SimmetriaSimmetria

OmogeneitàOmogeneità

AdditivitàAdditività

PositivitàPositività

s: V x Vs: V x V RR

soddisfa le seguenti proprietàsoddisfa le seguenti proprietà

(S1) x, y V s(x, y) = (S1) x, y V s(x, y) = s(y, x)s(y, x)

AA

(S2) x, y V (S2) x, y V

AA

AA

R s(R s(x, y) =x, y) =• • s(x, y)s(x, y)

simmetriasimmetria

omogeneitàomogeneità

s: V x Vs: V x V RR

(S3) x, y, z V s (x + z, y) =(S3) x, y, z V s (x + z, y) =

AA

additivitàadditività

positivitàpositività

s (x, y) + s (z, y)s (x, y) + s (z, y)

s (x,x) > 0 e s (x,x) s (x,x) > 0 e s (x,x) (S4) x(S4) x

AA

VV

⇒

= 0 x = 0= 0 x = 0

Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni

Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni

nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne

delle matrici

nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne

delle matrici

In Rn si ha pure la notazione In Rn si ha pure la notazione

x,yx,y = x y = x = x y = xTT y = y = ii xxiiyyii•• nn

s(x, y) = s(x, y) = x, yx, y = (x, y) = x y = (x, y) = x y••

nn

i = 1i = 1

xi yixi yixTy = (x1 x2 x3 xn)xTy = (x1 x2 x3 xn)•••• • • • • •••• ••••

yy11yy11

yy22yy22

yy33yy33

••••

••••

••••

yynnyynn

==

Disuguaglianza di Buniakovski

CauchySchwarz

Disuguaglianza di Buniakovski

CauchySchwarz

Indicheremo con x o con x

Indicheremo con x o con x

x VV (x (x RRnn))x VV (x (x RRnn))

la norma o modulo del vettore

la norma o modulo del vettore

In particolare, in RnIn particolare, in Rn

|x| = xi 2

_______

CASO DICASO DIR2 o R3R2 o R3

u v < u vu v < u v•••• ••••

uu

vv

u v= u v cos u v= u v cos •••• •••• ••••

Distanza Distanza

in Rin Rnn

Proprietà della distanza

Proprietà della distanza

(D1) (simmetria)(D1) (simmetria)

(D2) (positività)(D2) (positività)

(D3) (disuguaglianza triangolare)

(D3) (disuguaglianza triangolare)

x02x02

x01x01

s x0s x0

x0x0 = (x01, x

02)

T= (x01, x

02)

T

Sfere e intervalli in R2.

In generale, in Rn .Sfere e intervalli in R2.

In generale, in Rn .

b2b2

a2a2

a1a1b1b1

Sfere e intervalli in R2.

In generale, in Rn .Sfere e intervalli in R2.

In generale, in Rn .

Topologia Topologia di Rdi Rnn

Punti distinti di R2 (Rn) hanno intorni disgiuntiPunti distinti di R2 (Rn) hanno intorni disgiunti

.yy

xx

è punto internoè punto interno

è punto esternoè punto esterno

è punto di frontieraè punto di frontiera

per per

internointerno

esternoesterno

di frontieradi frontiera

per è punto per è punto