Storia Calcolo Radici Quadrate e Cubiche

5/20/2018 Storia Calcolo Radici Quadrate e Cubiche

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Arch. Hist. Exact Sci. 52 (1998) 161193. c Springer-Verlag 1998

Il Calcolo delle Radici Quadrate e Cubiche in Italia

da Fibonacci a Bombelli

M.T. RIVOLOe A. SIMI

Communicated byM. FOLKERTS

Introduzione

I documenti storici attestanti che il calcolo delle radici quadrate veniva affrontato

e risolto gia dai Babilonesi, gli Indiani, i Cinesi, i Greci e gli Arabi sono assai numerosi.

Sfortunatamente, nella maggioranza dei casi, tali testimonianze scritte fornisconoi valori

delle radici considerate, senza pero illustrare i metodi ed i calcoli effettuati per ottenerli.Tuttavia, anche le fonti di tal genere danno spesso informazioni assai utili ed interes-

santi. E il caso della piccola tavoletta, oggi conservata nella Collezione Babilonese

dellUniversita di Yale, la quale ci obbliga a riconoscere lesistenza di un interesse

per problemi di approssimazione gia in epoca cos antica come il periodo paleoba-

bilonese (18001600 a.C.). In essa, infatti, per

2, viene dato un valore sessagesimale

che, tradotto in frazioni decimali, lapprossima esattamente fino alla quinta cifra.

Lillustrazione di una regola per estrarre la radice quadrata, per la prima volta,

si trova apertamente nel quarto deiNove Capitoli sullArte Matematica(Chiu Chang

Suan Shu) (206 a.C.221 d.C.); con essa le cifre della radice vengono determinate

luna dopo laltra, con lo stesso metodo che sinsegna attualmente a scuola, basato sulla

relazione (a+b)2 =a 2+2ab+b2 dimostrata geometricamenteda Euclide nellaII prop.del IV libro degli Elementi, ma certamente nota gia da lungo tempo ([30], pp. 3646).

Teone dAlessandria (390 d.C.) illustra il calcolo della radice quadrata di frazioni

sessagesimali per lesempio particolare relativo al numero 4500, per il quale viene dato

come risultato approssimato 67 4 55. Il metodo di Teone puo essere tradotto neiseguenti termini che risultano del tutto moderni:

Per estrarre la radice quadrata di un qualunque numero dato N, si deve cercare

il lato del massimo quadrato contenuto nel primo termine di N; quindi si faccia la

differenza tra questo e quel quadrato. Si divida il resto, trasformato in secondi, per il

doppio della radice trovata; il quoziente, aggiunto al lato del quadrato massimo, venga

elevato al quadrato e, cio che risulta, si tolga dal numero dato e cos via ([17], libro V,

pp. 4142).

Per quanto concerne il calcolo della radice cubica, dobbiamo sottolineare la totale

assenza di scritti greci in cui venga descritta tale operazione ([15], pp. 6364). Ormai,e tuttavia stato accertato che i Greci dovevano avere un loro metodo, giacch e, nella

Metrica, Erone (intorno al 62 d.C) da il valore 4 914

quale approssimazione di 3

100. Sul


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procedimento che condusse Erone a trovare tale valore e stata fatta da G. Wertheim e

A. Kerber lipotesi che esso sia una speciale applicazione del metodo di falsa posizione([17], libro V, pp. 4244). Unaltra ipotesi, dovuta a O. Becker,e di carattere geometrico

ede basata sullidentita:(u + v)3 =u3 + 3uv(u+ v) + v3 ([29], vol. I, p. 268). AnchePappo (320 d.C.), benche del tutto inconsapevolmente, nella I parte del III libro della

Collezione, nelloccuparsi dellinserzione di due medie proporzionali tra due rette date,

espose le prime fasi di un metodo per calcolare valori di qualunque radice cubica semprepiu approssimati e tutti espressi razionalmente ([17], libro IV, pp. 1718).

Lalgoritmo per il calcolo della radice cubica e descritto invece esplicitamente da

Aryabhata (510 d.C.). Basato sullidentita (a+ b)3 = a3 +3a2b+3ab2 +b3, essocoincide nella sostanza con quello attualmente in uso.

Nelcorsodei secoli, poi, seda unapartee stato messo a punto lo schemadellalgoritmo

atto a trovare la radice esatta di un numero o, nel caso in cui il numero non fosse un

quadrato od un cubo perfetto, la sua parte intera, dallaltra e stata data origine ad una

grande varieta di metodi di approssimazione per la determinazione della parte frazionaria

di radici irrazionali.

Il presente articolo illustra i vari tipi di schemi a galera per gli algoritmi della radice

quadrata e cubica usati dalla maggior parte degli autori italiani dei secoli XIIIXVI,

fino ad arrivare agli schemi a danda (che sono quelli attualmente in uso) introdotti daPietro Cataneo e Raffaele Bombelli; inoltre fornisce una visione dinsieme delle regole

di approssimazione assai varie ed originali usate dai medesimi autori.

Il lavoro, organizzato secondo una struttura che sembrasse la pi u logica possibile

da un punto di vista matematico, e suddiviso in quattro paragrafi: il primo contiene

una descrizione sommaria delle fonti originali (manoscritte ed a stampa) dalle quali gli

autori hanno attinto, oltre a numerosi riferimenti bibliografici ad esse relativi; il secondo

paragrafoe dedicato alla presentazione degli schemi dellalgoritmo per il calcolo della

parte intera, prima, della radice quadrata, poi, cubica; il terzo descrive vari metodi di

approssimazione per la determinazione sia di radici quadrate che cubiche non esatte; il

quarto ed ultimo illustra i principali metodi geometrici usati da alcuni autori.

1. Contributi italiani al calcolo delle radici quadrate e cubiche nei secoli

XIIIXVI

Il numero di trattati dabaco che illustrano il problema del calcolo delle radici

quadrate e cubiche e abbastanza ridotto. Tuttavia, giacche la risoluzione di equazioni

algebriche di 2 e 3 grado comporta lestrazione di radici rispettivamente quadrate ecubiche, il problema in questione, nei trattati che dedicano una loro sezione allalgebra,

e ovviamente sempre affrontato. Ove e presente, il calcolo delle radici quadrate e cu-

biche, generalmente, viene collocato dagli autori nella parte immediatamente successiva

a quella che illustra i metodi per eseguire le divisioni; solo eccezionalmentee posto al

termine del capitolo sullalgebra.

Nel seguito esamineremo i contributi degli autori delle seguenti opere:

1)Liber Abaci(d. 1202) e Practica Geometriae(c. 1220) di L. Pisano;


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2) Il trattato dabaco di M Gilio di Cecco da Montepulciano (Siena)1, contenutonel Codice L. IX. 28 della Biblioteca Comunale di Siena (d. 1384);

3) Loperacontenuta nel Ms. ChigiM. VIII. 170 dellaBiblioteca ApostolicaVaticana,

di autore anonimo (c. 1395);

4)Praticha dArismetricha di autore anonimo, contenuta nel Codice Palat. 573 della

Biblioteca Nazionale di Firenze (c. 1450)2;

5) Trattati di geometria di autore anonimo, contenuti nel Codice Palat. 575 della

Biblioteca Nazionale di Firenze (c. 1460);

6)Trattato di Aritmeticadi M Benedetto da Firenze3, contenuto nel Codice L. IV.21 della Biblioteca Comunale di Siena (d. 1463);

7) Il trattato dabaco di autore anonimo senese, contenuto nel Ms. Plimpton 194 della

Biblioteca della Columbia University di New York (d. 1473);

8)Della radice de numeri e metodo di trovarla. Trattatello di algebra e di geometria

di autore anonimo, contenuto nel Codice Italicus DLXXVIII della Biblioteca Estense di

Modena (c. 1485);

9) Ragionamenti dalgebra di R. Canacci4, contenuti nel Codice Palat. 567 della

Biblioteca Nazionale di Firenze (c. 1495);

10)Tractato de le algeble amugabele di autore anonimo, contenuto nel Ms. 94 della

Biblioteca Trivulziana di Milano (c. 1480);

11)Summa de Arithmetica et Geometria di L. Pacioli (d. 1494);

1 Come risulta da alcunidocumenti conservati presso lArchivio di Stato di Lucca, un certo M

Gilio da Siena,nel 1381, fu maestrodabaco nelle scuoledi questacitta. Inoltre, conlo stessonome,

troviamo un maestro dabaco stipendiato dal Comune di Siena, dallottobre 1374 allottobre 1375

e dal settembre 1405 al settembre 1407. Con ogni probabilita i due maestri dabaco ora ricordati

e lautore del Ms. L. IX. 28 della Biblioteca Comunale di Siena sono la stessa persona.2 Tale datazione, suggerita da G. Arrighi nel lavoro di cui al [5], e anteriore di un decennio

rispetto a quella riportata da W. Van Egmond nel catalogo [31].3 Le uniche notizie certe sulla vita di questo importante maestro dabaco sono quelle che egli

stesso riferisce nei suoi scritti. Sappiamo che nacque e fu allevato in Firenze e che suo maestro

nellapprendimento dellabaco fu Chalandro di Piero Chalandri (padre di quel Filippo autore del

De Arimethrica, che e uno dei primi trattati dabaco comparsi a stampa in Italia). La sua data

di nascita, notizia di fonte incerta, viene fatta risalire dallo studioso I. Hart allanno 1432. Assai

interessanti sono le notizie storiche relative a numerosi maestri dabaco anteriori a M Benedetto(Gratia de Castellani, Giovanni di Bartolo, Luca di Matteo ecc.) che egli riporta nellintroduzione

al XV libro del codice L. IV. 21: Inchomincia el quindecimo libro di questo trattato nel quale si

chontenghono [ ] chasi dalquanti maestri antichi e, prima, la divisione del detto libro . [ms. L.IV.

21. c. 408v.]4 Questo matematicoe ricordato da Guglielmo Libri ([16], pp. 207 - 208): ... Un matematico,

meno celebre inverodel Dagomari (Paolo dellAbaco,detto anchedei Dagomari, celebre abachista,

vissuto in Firenze nel sec. XIV) ma i cui scritti offrono ancora un interesse, fu RAFFAELLO

CANACCI, di Firenze, che nel sec. XIV scrisse in italiano un trattato di algebra, dove si trovano

delle notizie assai curiose sulla storia della matematica, e dove sono risolute questioni assai

difficili. .... Del resto, Canacci non e affatto uscito dalla scuola del Fibonacci (il celebre LeonardoPisano); sembrache egli si sia appoggiato sopra tutto sugli scritti di un antico geometra, chiamato

Guglielmo de Lunis.


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12)Practica Arithmeticae di G. Cardano (d. 1539)5;

13) Libro dAlbaco di D. Gori 6, contenuto nel Codice L. IV. 22 della Biblioteca

Comunale di Siena (d. 1544);

14)La pratica delle due prime matematiche di P. Cataneo7 (d. 1546);

15)General Trattato di numeri et misure di N. Tartaglia (15561560);

16)LAlgebradi R. Bombelli (1572).

Delle opere sopra elencate forniremo una breve descrizione limitata alla parte rela-

tiva allestrazione di radici e daremo inoltre alcuni riferimenti bibliografici. Per quanto

riguarda le opere a stampa, precisata ledizione considerata, specificheremo solo quali

sono i capitoli od i paragrafi dedicati allargomento in questione.

NelLiber Abaci il calcolo delle radici quadrate e quello delle radici cubiche sono col-

locati rispettivamente nella prima e quinta parte del capitolo XIV, mentre nellaPractica

Geometriaesono descritti rispettivamente nella seconda e quinta distinzione ([20]).

Nellopera di Gilio da Siena (dicui al 2)), i capitoli dedicati specificamente allalgebra

sono El trattato de le radici e Le regole della cosa. Il primo di essi si apre con la

definizione di radice quadrata di un numero e con lesposizione di un metodo per calco-

lare valori approssimati di radici sorde, cioe di radici di numeri che non sono quadrati

perfetti8. La trattazione prosegue con lillustrazione di regole di calcolo per radicali sola-

mente quadratici, cubici e biquadratici, probabilmente poiche lautore nel capitolo suc-cessivo considera equazioni al piu di 4grado. Infine, come gia preannunciato alliniziodeltrattato, lautore esponeun metodogeometrico perdeterminarela radicedi un numero

qualunque ([14] e [23]).

5 Per tale opera gli autori hanno fatto riferimento al testo [9]. E tuttavia opportuno ricordare

qui ledizione originale: Hieronymi Cardani Opera Omnia. 10 vol., Ludguni, 1553.6 Dionigi Gori (15101586 ca.) fu maestro dabaco a Siena per circa sessanta anni. Dal 1531

al 1552 fu sovrintendente alle condutture dellacqua ed alla manutenzione delle strade della stessa

citta. Oltre che delLibro dAlbaco,egli fu anche autore di unLibro di Aritmetica(1571; ms. L.IV.

23 della Biblioteca Comunale di Siena) e di unLibro di ragioni e misure (non datato, ms. L. IX. 30

della Biblioteca Comunale di Siena).7

Pietro Cataneo o de Catani, nacque a Siena, verso il 1510 in una famiglia non priva ditradizioni culturali. Il padre,Jacopo, di professione libraio, ebbe, oltre a Pietro, altri trefigli,due dei

quali (Antonio e Bernardino) ricoprirono uffici pubblici in Siena. E probabile che la formazione

culturale e scientifica del Cataneo sia completamente legata alle strutture scolastiche senesi e che

la scelta dellarchitettura sia dovuta allinfluenza sulla cultura cittadina del tempo dellopera di

insigni architetti senesi, quali Francesco di Giorgio Martini (14391502) e Baldassarre Peruzzi

(14811536).Nel 1539 il Cataneo ricopriva il pubblico ufficio di Architetto e Maestro di scrittura a

Siena; nel 1542 sposa M.Prudentia, figlia di MLuca Cinaiolo, dalla quale ebbe sei figli; nel 1547fu commissario delle fortificazioni di Grosseto e lanno successivo direttore delle opere militari

di Talamone; nel 1549 fu eletto commissario sopra la muraglia di Orbetello; nel 1552 fu eletto a

trattare con Monsignor di Termes, generale di Francia, delle fortificazioni di Capalbio e sostitu

MGori nella sovrintendenza alle condutture dellacqua e alle strade; nel 1554 fu data alle stampela prima parte dei Primi quattro libri di Architettura; la data di morte, incerta, si fa risalire al 1572.

8 Lorigine degli attributisordaomutacon i quali la maggior parte degli autori del Medioevo

e del Rinascimento appellano una radice irrazionale puo verosimilmente essere la seguente. Nellalinguagreca i dueattributi senzarapporto (quindi irrazionale) e senzaparola (ossia muto) vengono

tradotti rispettivamente con i due terminialogos(oo) e alalos(o).


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Il Ms. Chigi M. VIII. 170 (di cui al 3)) contiene una copia della tanto famosa quanto

importante Algebra di M Dardi di Pisa ed uninteressante appendice riguardante leestrazioni di radice quadrata e cubica. Mentre tutta la prima parte del codice e compilata

in volgare veneto lappendice in questione e scritta in volgare toscano ed e posta in

chiusura di esso ([24]).

SullaPraticha di Arismeticha(di cui al 4)), gia ampliamente illustrata da G. Arrighi

([6]), ci limitiamo ad una precisazione riguardo allautore. Abbiamo ormai appuratoche questultimo, riconosciuto da G. Arrighi in un allievo del fiorentino Domenico

dAgostino vaiaio9, e anche il compilatore della Praticha di geometria contenuta nel

CodicePalat. 577dellaBiblioteca Nazionaledi Firenze (c.1460)([25]). Nella Pratichadi

Arismetrichalestrazione delleradici quadrate e collocata nelsecondo capitolo dellottava

parte (c. 318 v.322 v.), mentre il calcolo delle radici cubiche nel settimo capitolo della

stessa parte (c. 366 v.370 v.).

Il cartone esterno che riveste il manoscritto 5), coperto con tela marrone, porta il

titolo:Trattati / di Geometria. In realta il codice contiene un trattato dabaco diviso in

due parti: a)Regole prime(c. 1r.113r.); b)Regole di geometria e della cosa(c. 120r.

179r.). Esso e pertanto dedicato solo in parte ad argomenti geometrici, mentre lascia

ampio spazio allalgebra ed allaritmetica. Gli argomenti di aritmetica e di algebra sono

contenuti nelle seguenti parti: c. 134v.137r.; c. 146r.166v.; c. 178r.179v. ([2]). Allecarte 164v.166v. della seconda parte,e posta la cos dettaRegola delle 8 spetie, relativa

allestrazione della radice quadrata di numeri che non sono quadrati perfetti. La terza ed

ultima parte riferisce una regola pratica per il calcolo delle radici quadrate ed una per il

calcolo delle radici cubiche di numeri interi di molte cifre ( gran some).

Per quanto riguarda limponenteTrattato di Aritmeticadi MBenedetto da Firenze(di cui al 6)), gia ampiamente descritto da G. Arrighi ([5]), specifichiamo solamente che

la sezione dedicata al calcolo delle radici quadrate e da ricercarsi nel primo capitolo del

dodicesimo libro (c. 310v.312r.), mentre nel sesto capitolo si trova quella delle radici

cubiche (c. 356v.367v.).

Una parte del codice 7) riguarda lalgebra ed ha molte analogie con i manoscritti

D. 14 della Biblioteca Vallicelliana di Roma ed I. VII. 17 della Biblioteca Comunale

di Siena. La parte sulle radici, preliminare allalgebra, inizia a carta 129r.. Innanzi tutto

vengono definite le radici quadrate e cubiche di un numero che lautore distingue indiscrete ed indiscrete, secondo che siano razionali od irrazionali; questultime sono

anche dettesordeo mute. Sono poi dati numerosi esempi di calcolo di radici quadrate,

mentrecompare un unico esempio di calcolo della radicecubica, effettuata perun numero

di sette cifre; per un numero di otto cifre viene data solo unindicazione del metodo da

seguire. Il calcolo della radice quadrata di un numero n per via geometricae eseguito,

9 Domenico dAgostino, di professione mercante, coltivo la matematica per puro diletto. E

ricordato con lappellativo di vaiaioperche commerciava in pelli pregiate quali erano considerate

al tempo quelle di vaio. Nato a Firenze verso il 1385, Domenico ebbe la sua azienda in Via Vac-

chereccia. Assai ricco, possedeva numerose case in Firenze e fattorie nelle campagne circostanti.

Abito fino al 1440 nel quartiere di Santa Croce e poi in quello di Santa Maria Novella. Sposato due

volte ebbe due figli ed una figlia. La sua morte si fa risalire al 1460. Lautore del codice Palatino

573 ci tramanda che Domenico dAgostino compose unopera divisa in tre parti di cui la prima

parte...e sottoposta a travagliamento delle radicie.


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senza alcuna giustificazione, nel caso n=29 e coincide con uno dei due esempi dati daM Gilio da Siena ([3]).

Il testo 8) si apre con unillustrazione del metodo per calcolare le radici quadrate, cu-

biche e quarte e, nel caso di numeri che non siano quadrati o cubi perfetti, con un metodo

di approssimazione. Segue unampia parte dedicata allalgebra in cui si introducono i

monomi dei primi dieci gradi (da 0 a 9) e si prendono in considerazione equazioni

algebriche razionali ed irrazionali ([1]).Per quanto concerne iRagionamenti dAlgebradi R. Canacci (di cui al 9)), essendo

stati gia ampiamente studiati ([8] e [21]), qui ci limitiamo a precisare che il calcolo delle

radici quadrate e cubiche, in tale testo, e collocato nelle carte c. 7r.12v..

Il testo 10), scritto in un dialetto marcatamente settentrionale, probabilmente un

veneto molto arcaico,e una copia molto fedele di parte della gia ricordataAlgebra di M

Dardi. Va pero notatoche il codicein esame contiene unapartedel tutto originale(c. 22v.

38v.) in cui viene data uninteressante illustrazione teorica sulla determinazione della

radice quadrata e cubica di un qualunque numero. Seguono poi molti esempi numerici

in cui vengono estratte le radici quadrate e cubiche di numeri che sono rispettivamente

quadrati o cubi perfetti. Nel caso in cui si debbano determinare radici quadrate e cu-

biche non esatte, lautore suggerisce un metodo molto originale per calcolarne un valore

approssimato, che esamineremo in dettaglio nel seguito ([24]).Allinterno dellimponente opera di L. Pacioli (di cui al 11), uscita a stampa nel

1494, lestrazione delle radici quadrate e cubiche e posta nella seconda distinzione del

sesto trattato, rispettivamente agli articoli 15 e 67 ([19]).

Saranno oggetto di una nostra approfondita analisi anche i Capitoli XXIIIXXVI

dellaPractica Arithmeticae di G. Cardano (di cui al 12), uscita a stampa per la prima

volta a Milano nel 1539 e contenuta nellOpera Omnia([9]).

Dei 15 capitoli (trattati) in cui il Libro dAlbaco (di cui al 13), risulta suddiviso,

lundicesimo ed il dodicesimo portano rispettivamente i seguenti titoli:Libro e trattato

della praticha dalcibra(c. 67v.105v.) e Partire a galera, trare radice cuba e quadra

(c. 106r.108v.). Si osserva dunque che, in questo caso, lesposizione degli algoritmi

per lestrazione delle radici di indice due e tree posta dopo il trattato dalgebra anziche

prima. Un motivo didatticamente valido che giustifichi questa collocazione del tutto

eccezionale rispetto a quella solitamente data dagli altri autori presi in esame, puo essere

che D. Gori intendesse fissare lattenzione del lettore su tali algoritmi, solo dopo averlo

reso consapevole della loro necessita ([13]).

Ancora piu singolare rispetto a quella di D. Gorie la collocazione che Pietro Cataneo

da alla descrizione dellestrazione della radice quadrata nel suo trattato dabaco (di cui

al 14)) ([10] e [13]). La descrizione dellalgoritmo in questione, inserita allinterno

del breve trattatello di geometria che conclude Le pratiche delle due prime mate-

matiche e fatta precedere dallautore dalla seguente osservazione assai significativa:

Hor desiderando io, piu theoricamente procedere et conoscendo che senza laiuto della

radice quadrata de numeri non si puo pervenire alla perfettione di Geometria, sio non

mostrasse la natura di quelle, mi parrebbe haver mal sodisfatto allo intento mio...([10],

c. 58r.).

Nel libro II della II parte del General Trattato di Numeri et Misure, (di cui al 15),([27]), Tartaglia illustra assai diffusamente ed in modo dettagliato i metodi per estrarre

le radici di qualunque indice. In particolare le questioni relative alle radici quadrate sono


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descritte nei capitoli 1 e 2, mentre quelle riguardanti le radici cubiche nei capitoli 3 e

4. Oltre alla meticolosita e minuziosita con cui lautore sviscera largomento in tutte

le sue parti, di particolare interesse sono anche i riferimenti carichi di una forte vena

polemica, nei confronti di altri autori quali Giovanni di Sacrobosco, Oronzio Fineo 10,

Giorgio Valla Piacentino11, Ludovico Ferrari, Pacioli e Cardano.

Illibro primodeLAlgebradi R. Bombelli, la cui prima edizione si ebbe in Bologna

nel 1572, ([7]) riguarda infine lestrazione di radici quadrate e cubiche esatte ed ap-prossimate. Inoltre, giacche, nelle dispute tra Tartaglia e Ferrari, a questultimo era stato

aspramente contestato di non aver saputo estrarre le radici di indice superiore a tre,

Bombelli, pur ritenendola cosa non necessaria alla buona economia della sua opera,

tuttavia, per non incorrere in critiche analoghe, tratta anche dellestrazione di radici di

indice assai elevato.

2. Gli schemi degli algoritmi per il calcolo delle radici quadrate e cubiche

Negli autori presi in esame,gli algoritmi per il calcolo delle radici quadrate e cubiche,

ovviamente, non possono che coincidere con quelli attualmente in uso e sono facilmente

deducibili da unattenta analisi delle potenze, rispettivamente di grado 2 e 3, del binomio.

Tutti gli autori ne sono consapevoli e maggiormente Tartaglia che afferma quanto segue:

La causa della regola data da nostri antichi per cavar la radice quadra, e similmente

quella da formar il rotto di quello, che sopravanza nelli numeri non quadrati per dar

tai radici propinque al vero, il non si puo negare, che quella non si possa assignare per

la quarta propositione del secondo di Euclide. ([27] libro II, cap. I, c. 29 r.)

In effetti, i principi sui quali si basano le regole pratiche per lestrazione delle radici

sono i seguenti:

i) Il numero totale delle decine della radice quadrata [cubica] e uguale alla parte

intera della radice quadrata [cubica] del numero totale delle centinaia [migliaia] del

radicando;

ii) Se la parte intera della radice quadrata [cubica] di N e n = 10a+b, si avra:(10a+ b)2,3


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Dunque, nel caso di un radicando a 3 o 4 [5 o 6] cifre, trovata la cifra delle decine a,

la cifra delle unitab non potra superare il quoziente intero diN 102a2 [N 103a3]per 2 10 a[3 102 a2]. Inoltre dovra risultare anche:

b (20a+ b)


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pianta e stata produtta e generata, il medesimo per similitudine, ogni numero vien

detto Radice di qual si voglia numero da lui medesimo produtto e generato, essempi

gratia ogni numero dutto in se medesimo vien a esser radice di quel suo produtto12

([27] libro II, cap. I, c. 23 v.).

Seguono poi alcune indicazioni preliminari utili a stabilire immediatamente il nu-

mero di cifre della radice in base a quello delle cifre del radicando. Emblematico per

tuttie il seguente suggerimento dato da L. Pisano:

Si scire desideras quot figure erunt in radice alicuius numeri multarum figurarum,

considera si numerus figurarum ipsius numeri fuerit par, vel impar. Si fuerit par, dimidia

ipsum numerum, et quot unitates sunt in medietate, tot figure erunt in radice ipsius. Si

vero fuerit impar, adde numero ipsorum unum, ut efficiatur numerus figurarum par.

Bombelli invece si distingue dagli altri autori, poichee lunico che, allo scopo di indi-

viduare a prima vista i numeri che non sono quadrati perfetti descrive alcune condizioni

necessarie, ma non sufficienti atte a caratterizzare i numeri che lo sono nei seguenti

termini:

...che tutti gli numeri quadrati hanno da finire in uno di questi 1, 4, 5, 6, 9 e finendo

in 2, 3, 7, 8, risolutamente non possono essere quadrati. La seconda [regola] e la prova

del 9, che si pigliera del numero, che deve essere quadrato, la quale non essendo uno

di questi, cioe 1, 4, 7, 0, risolutamente il numero non sara quadrato, e se quel che finira

in 5 non havera a canto il 2 con un altro numero paro, tal numero non sara quadrato

(come 125, 325, 525, 725, e 925)...e quelli che finiranno in 1, e 9 bisogna che habbiano

il numero paro a canto (come 21, 41, 61, 81, 01, e cos 29, 49, 69, 89, 09), quelli che

finiranno in 4, bisogna che habbiano il numero paro a canto, e quelli che finiscono in

6 lhabbiano disparo e tutti quelli che finiscono in 0 bisogna che li 0 siano in numero

paro, e li numeri, che li sono a canto habbiano tutte le conditioni dette di sopra, si che

havendo tutti questi avertimenti rare volte si affatichera in vano.([7], p. 40).

Anche limitando, in un primo momento, la nostra attenzione al solo schema a galera,

sono notevoli e numerose le differenze piu o meno sottili per le quali i vari autori

si distinguono gli uni dagli altri; prima di passare ad analizzarle riteniamo opportuno

esaminare dettagliatamente almeno uno schema a galera fra tutti quelli proposti dai vari

autori considerati, cos da chiarire in quale modo si debbano distribuire le cifre in questotipo di schema. Particolarmente adatti allo scopo, per la loro semplicita ed evidenza, sono

i seguenti schemi parziali proposti da Tartaglia ad illustrazione dellesempio relativo al

numero 1296, la cui radice quadrata e 36 ([27] libro II, cap. I, c. 26 r. e v.):

12 La parola radiceha sicuramente matrice araba. NellAlgebra di al - Khuwarizmi la parola

gizr, che molto probabilmentee la traduzione della parola sanscrita mula, che significa la radice

di un albero o di una pianta, sta manifestamente perradice, in opposizione al quadrato, mal. Gli

autori latini invece, a differenza di quelli arabi, che ritenevano appunto che un numero quadrato

avesse origine da una radice, pensavano al lato di un quadrato geometrico. Quindi, mentre gli

autori arabi estraevano la radice di un numero, quelli latini trovavano il lato di un quadrato.

A questo punto risulta evidente il motivo per cui, nelle opere tradotte dallarabo, si trova come

termine comuneradix, mentre in quelle ereditate dalla civilizzazione romana compare latus. Lanostra aritmetica, largamente basata sulle fonti arabe, usa ancora il termineestrarresebbene luso

piu antico ditrovaresia migliore ([32]).


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La prima fase consiste nel suddividere in coppie le cifre del radicando mediantelapposizione di puntini di separazione superiori, a partire dalla cifra delle unit a. Nella

seconda fase, determinata la radice quadrata intera piu grande possibile che approssimi

per difetto 12 ( chee il numero formato dalle cifre del radicando che precedono lultimo

puntino), cioe 3, la si colloca alla destra del radicando stesso, al di la della linea ab.

Quindi, il residuo 3, che si ottiene sottraendo il quadrato della prima cifra della radice

da 12,e posto al di sopra del 12 stesso. Al di sotto vengono scritti la prima cifra della

radice ed il suo doppio. La terza fase, determinata la seconda cifra della radice, cio e 6

e collocata questa accanto alla prima, sia a fianco che sotto al radicando, consiste nel

sottrarre dal primo residuo R1= 396 la quantita 102ab+b2. La sottrazione vieneeffettuata in due momenti distinti: prima si toglie 2ab=36 da 39e si accoppia il residuo3 con le 6 unita di R1 ottenendo 36; poi, da questultimo, si sottrae b

2 = 36, con unavanzo nullo del calcolo.

Tutti gli autori, poiche lo richiede lalgoritmo stesso, almeno mentalmente, conside-

rano le cifre del radicando suddivise in coppie, a partire dalla cifra delle unita. Tuttavia,

una prima distinzione la si puo fare tra gli autori che, in qualche modo, fanno risultare

dallo schema questa separazione delle cifre e quelli che non la indicano affatto. Gli

autori della prima categoria a loro volta si caratterizzano per i diversi espedienti usati

per descrivere la suddivisione in coppie delle cifre. Taluni dividono le cifre del numero

in coppie semplicemente distanziandole; altri suddividono il radicando in periodi di

due cifre ciascuno, ponendo dei puntini superiormente; altri ancora ponendo dei puntini

inferiormente. In ogni caso, sotto le cifre del radicando contrassegnate dai puntini, siano

essi inferiori o superiori, vengono collocate le cifre che formano la parte intera della

radice. Ne sono un esempio gli schemi seguenti, relativi ai numeri 79345 (Cardano) e

54756 (Gori): le cui radici, indiscretala prima, esatta la seconda, sono rispettivamente

281 e 234.


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Si osserva che Cardano pone bene in evidenza il risultato, mentre nello schema di

Gori la radice trovata si legge estraendo dal numero che si trova sotto al radicando le

cifre corrispondenti ai puntini. In proposito si puo osservare che gli autori piu antichi in

generale tralasciano di indicare con chiarezza il risultato finale nello schema. Canacci e

uno dei primi a porre il risultato in risalto come evidenziato nello schema sotto riportato,

relativo al numero 5632 la cui radicee 75 con lavanzo di 7 ([8], p. 11):

Una divisione assai netta si puo fare poi tra gli autori che propongono solo uno

schema finale del calcolo e coloro che invece chiariscono i vari momenti del calcolo

con schemi parziali successivi. Ad esempio Pacioli, espone lalgoritmo dellestrazione

della radice quadrata in modo assai prolisso e poco agile, proponendo un solo esempio,

relativo al numero 99980001 (la cui radicee 9999) ed illustrandolo solo con lo schema

finale che riportiamo sotto ([19], c. 45 r.):

La trattazione di Cardano invece risulta assai semplice e chiara proprio perche la

distribuzione delle cifre nella costruzione della galera e mostrata passo per passo, con

schemi parziali come quelli sotto indicati, relativi al numero 79345, lultimo dei qualigia proposto in precedenza ([9], Cap. XXIII, p. 30)

Unulteriore fondamentale distinzione la si puo fare tragli autoridei trattati piu teorici

e quelli dei semplici trattati dabaco che, per il loro livello inferiore ed il loro contenuto di


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argomentipratici, erano adatti soprattutto allistruzione dei mercanti. Tra i primi figurano

L. Pisano, gli autori dei manoscritti Palat. 573, L. IV. 21 e Trivulziano n. 94, Canacci,

Pacioli, Cardano e Tartaglia. Tali autori lasciano ampio spazio alle illustrazioni teoriche

ed affrontano il problema spesso analizzando minuziosamente le varie possibilita che

possono verificarsi, ma, a differenza degli altri, sono assai piu sbrigativi e disinvolti nello

spiegare i vari passaggi e soprattutto i calcoli.

Gli schemi dello stesso L. Pisano per lestrazione della radice quadrata sono vera-mente ridotti al minimo ([20] vol. 1, p. 355 e vol. 2, p. 22).

Lo schema i), ripreso dalLiber Abaci,e relativo allestrazione della radice quadrata

di 927435. Il Fibonacci, qui, avendo in precedenza gia illustrato, con un altro esempio

numerico, lestrazione di radice nel caso di numei di 3 e 4 cifre, si limita ad affermareche la parte intera della radice di 9274e 96 e solo da questo punto in avanti spiega i passi

da seguire per portare a termine loperazione. Il risultato finale, 963, compare scritto due

volte sotto il radicando, poiche 96 e 3 (lultima cifra della radice), vengono moltiplicati

in croce e sottratti per due volte dal residuo 583 del radicando. Il resto dellestrazione,

una volta sottratto anche 32 da 75,e 66, ma lautore non lo evidenzia nello schema. Nella

Practica Geometriae, benche gli schemi risultino ulteriormente semplificati, comerisulta

dal ii), relativo allestrazione della radice quadrata di 9876543, la cui parte interae 3142,

i resti, nei casi di radici non esatte, sono indicati chiaramente in alto a destra.

Le strette relazioni tra ilLiber Abacied i trattati contenuti nei manoscritti Palat. 573

e L. IV. 21, per quanto concerne il problema in questione (e non solo) sono chiarite

dalle stesse parole dellautore del codice palatino: E nota che dove, in questo capitolo o

vogliamo dire in questa parte, sara manchamento del nominare auctore, quello dire siadi Lionardo Pisano e, se daltrj sia di bisogno scrivere vi sara nominato quel tale([6],

p. 430).

Gli schemi del manoscritto senese, come si puo constatare da quello sottoriportato,

relativo al numero 927435, si differenziano da quelli di Fibonacci solo per il fatto che

illustrano il procedimento in due passi anziche uno (Codice L. IV. 21, c. 312 r.).


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Nel Ms. Plimpton 194, che rientra nella tipologia dei trattati pratici dabaco, lautore

scompone il procedimento in numerosi passi ed illustra con precisione ciascuno di essi

per mezzo di successivi schemi parziali. Ad esempio, per chiarire il calcolo di radice

quadrata di 1225, propone i seguenti schemi (c. 131 v.):

Inoltre, a differenza della maggior parte degli autori che, dopo aver eseguito il cal-

colo per numeri a due, tre e quattro cifre, rimanda a questi esempi quando considera

lestrazione di radice di numeri composti da cinque o piu cifre, lautore del ms. Plimpton

194, ogni volta, ripercorre il procedimento fin dallinizio per i numerosi esempi proposti.

Limportanza del trattatello di geometria di Cataneo risiede principalmente nel fatto

che contiene una delle prime moderne esposizioni del calcolo per lestrazione di radice

quadrata. Cataneo, infatti esegue il calcolo secondo lo schema a danda, seppur con

qualche lieve differenza rispetto al metodo attualmente in uso, come vedremo in det-

taglio. Prima di illustrare dueesempi numerici, lautore fa alcuneconsiderazioni generali

sul numero di cifre della radice, quindi, per quanto riguarda il modo di procedere nelcalcolo, afferma:...e di bisogno cominciare a pontare dalla prima figura di man destra,

et seguitando verso man sinistra, ad ogni due figure fare un ponto, cioe lassando sempre

infra le due pontate, una senza ponto...et seguendo a guisa di partire a danda, come qui

appresso ti mostro, haverai lintento tuo. ([10], c. 58 r.)

Lo schema del primo esempio riportato nel trattato, relativo al numero 54756, la cui

radice quadratae 234,e il seguente ([10], c. 58 v.):

La differenza piu rilevante rispetto al nostro modo di procederee che in Cataneo,

accanto ai resti parziali, le cifre del radicando, anziche a due a due, sono calate una allavolta. Di conseguenza, per ogni cifra della radice che si trova, dal residuo si devono

effettuare due successive sottrazioni anziche una (2ab e b2). Di scarso rilievoe il


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fatto che Cataneo colloca punti separatori sotto la seconda cifra di ciascuna coppia del

radicando, diversamente da noi che li poniamo tra le coppie stesse .

Anche Bombelli, salvo trascurabili differenze nella disposizione del calcolo, per

lestrazione della radice quadrata aritmetica segue lo schema a danda ancor oggi usato13.

Il procedimentovienechiaritocon dueesempi numerici.Riportiamo lo schemadi calcolo

del primo di essi, relativo al numero 5678 la cui radice e 75, con resto 53, che, come

risulta evidente,e composto di due parti: *) e **) ([7], p. 34).

Dopo aver suddiviso in coppie le cifre del radicando mediante lapposizione di

puntini superiori ed aver tracciato la linea adello schema **) sotto il radicando, ad una

distanza tale che tra questultimo e la linea stessa si possa frapporre un altro ordine di

caratteri, si calano al di sotto della linea a le cifre 5 e 6 del radicando che, a partire da

sinistra, precedono il primo punto. Le cifre della radice, anziche di fianco a destra come

in Cataneo e nel metodo moderno, vengono scritte sotto il radicando, in corrispondenza

delle cifre di questultimo contrassegnate con un punto. Il procedimento di Bombelli

si inserisce perfettamente tra quello di Cataneo e quello moderno. Infatti Bombelli,

dai residui parziali effettua un unica sottrazione e, secondo luso moderno, sottrae:

(2 10 a+ b) b.Dunque, come risulta anche dallo schema, accanto ai resti parziali, le cifre del rad-

icando vengono calate in coppie. Si nota pure che, nello schema, lautore non si limita

a lasciare indicato il resto delloperazione, 53, bens evidenzia con chiarezza la prima

approssimazione del risultato. Nel caso specifico il risultato e 75 53/150: Il numero

frazionario 53/150 ottenuto dividendo il resto delloperazione per il doppio della radice

intera, compare al di sotto della lineacdello schema **). Nello schema *) sono raccolti

i doppi di tutti i numeri che si ottengono componendo insieme le cifre della radice che

di volta in volta vengono trovate. Quindi 150, lultimo numero di tale schema, quello

posto sotto la linea f, rappresenta il doppio della parte intera della radice.

Particolare riguardo merita lo schema proposto dallautore del trattato contenuto nel

codice Palat. 575. La sua originalita, che appare evidente gia da un primo sguardo, non

consente di sottoporlo alla precedente classificazione in schemi a galera da una parte ed

a danda dallaltra.

13 Il programma di matematica delle scuole medie inferiori italiane prevede ancor oggi

linsegnamento dellalgoritmo per lestrazione della radice quadrata secondo lo schema a danda.


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Lautore di tale codice apre la questione con le seguenti parole: Se noi vogliamo

trovare la radice di una gran soma, ponemo che noi volemo trovare la radice di 9364,

si dovemo fare per questo modo che noi dovemo fare per lo modo de lo spregrande.

([2], p. 71)

Il metodo cui si riferisce lautore risulta assai complesso e poco lineare. Anche lo

schema proposto per l estrazione della radice quadrata di 9364, la cui parte intera e 96,

risulta poco chiaro per la sua frammentazione in piu parti.

b) Le radici cubiche

Tutti gli autori di cui abbiamo gia illustrato gli schemi dellalgoritmo per la radice

quadrata, fatta eccezione per Cataneo, dedicano spazio anche al calcolo della radice

cubica di un qualunque numero. La sezione relativa allestrazione della radice cubica,

che sempre segue immediatamente quella relativa allestrazione della radice quadrata,e

generalmente aperta da una parte introduttiva in cui gli autori definiscono in vario modo

i concetti di radice cubica esatta e non e di cubo perfetto e non. In proposito sono assai

originali i termini in cui Canacci esprime la distinzione esistente tra un numero chee un

cubo perfetto ed uno che non loe:

Numero chubo e detto del chubo, coe solido: chos chome lo solido, coe corpo a 3

misure, chos il numero chubo, ovvero solido, a 3 numeri e possono essere eghuali ed

essere diversi, hossia non eghuali; lo numero che perverra della multiplichatione detta,

sara detto solido e non chubo, dunque chubo non sara detto se non quando li detti 3numeri saranno ughuali...manifesta chosa e che ogni numero chubo e solido, ma ogni

solido non e chubo. ([8], p. 14)


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Nella parte introduttiva in questione sono poi contenute numerose altre considera-

zioni preliminari che variano da autore ad autore.

Canacci, ad esempio, secondo quanto gia fatto da L. Pisano, illustra due proprieta

relative alla differenza di cubi, che in simboli possono essere riassunte nei seguenti

termini:

(n

+1)3

n3

=3n(n

+1)

+1(n

+1)3

n3

=3n(n

+1)

+1

m3 n3 =3mn(m n) + (m n)3.Tartaglia invece riporta uno schema da saper a mente per quelli che hanno da maneg-

giare le radici, in cui, a ciascuna delle cifre da 1 a 9, vengono fatti corrispondere i rispettivi

quadrati e cubi.

Bombelli poi, allo scopo di individuare a prima vista i numeri che non sono cubi

perfetti, descrive alcune condizioni necessarie ma non sufficienti, atte a caratterizzare i

numeri che lo sono con le seguenti parole:

Li numeri cubi possono finire in tutti li numeri, ma la lor prova del 9 bisognia che

sia 1, 8, 0, e non altro, e tutti li numeri che finiscono in 2, 4, 8, vogliono havere il numero

pari a canto, o vero il 0. E se il numero finira in un 0, o vero dui, non possono essere

cubi e, se ne haveranno tre, potranno esser cubi, e quelli che finiscono in 5, vogliono 2,

o ver 7 a canto, cioe 25, o ver 75. ([7], p. 46).Infine,anchenel caso dellestrazionedellaradice cubica, la maggior parte degliautori

fa precedere lillustrazione vera e propria dellalgoritmo da considerazioni preliminari

utili a stabilire immediatamente il numero di cifre della radice in base a quello delle cifre

del radicando.

Fra quelli esaminati, gli unici autori che si preoccupino di giustificare esplicitamente

lorigine dellalgoritmo per lestrazione dellaradice cubica di un qualunque numero sono

Pisano e Tartaglia. Questultimo, a causa di tutte le attioni usate...sopra il cavar la radice

cuba di numeri maggiori che riceveno 2 ponti , pone la seguente proposizione:

Se l sara una linea divisa in due parti (come si voglia), il cubo fatto da tutta la

detta linea sempre sara eguale a questi otto produtti, o ver solidi, cioe alli duoi cubi

fatti da quelle due parti, insieme con quelli sei solidi, delli quali tre sono contenuti da

tre superficie quadrate di luno di cubi, e dallaltra parte della linea divisa e tre sonocontenuti da tre superficie quadrate, da laltro cubo e da laltra parte della linea divisa.

([27] libro II, cap. III, c. 30 v.).

Risulta ovvio che la proposizione sopra riportata non e altro che la trasposizione

nello spazio della proposizione 4 - II degli Elementi([12]) che, in termini algebrici, puo

essere riassunta nel seguente modo:(a+ b)3 =a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3.Cardano, invece, dimostra una minore raffinatezza ed un minor rigore, rispetto a

Tartaglia, quando, relativamente al proprio metodo di calcolo dellaradice cubica, afferma

semplicisticamente:...iste modus est generalis facilis valde demonstrabilis ex quarta

Secundi elementorum. ([9], p. 31).

Procedendo secondo lordine dato al sottoparagrafo precedente, inizialmente ci limi-

teremo a considerare gli autori che estraggono la radice cubica secondo lo schema a

galera.Per prima cosa, riteniamo opportuno esaminare in dettaglio almeno un esempio di

schema a galera, scelto fra tutti quelli considerati, allo scopo di chiarire come vengono


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distribuite le cifre, nelle varie fasi del calcolo. A titolo esemplificativo, riportiamo sotto

e diamo unillustrazione degli schemi parziali (ben sette) proposti da Tartaglia, uno degli

autori piu precisi e chiari, per il calcolo della radice cubica di 79507, il cui risultato e 43

([27] libro II, cap. III, c. 29 v.).

Laprima operatione consiste nel suddividere in terne le cifre del radicando mediante

puntini superiori, a partire dalla cifra delle unita.Con la seconda operatione si determina

la radice cubica intera piu grande possibile la quale approssimi per difetto 79, chee il

numero formato dalle cifre che precedono lultimo puntino di separazione. La radice in

questione, cioe 4, e collocata alla destra del radicando; il suo cubo, 64, e posto sotto

il 79 e da questo sottratto; lavanzo, 15, collocato sopra il 79, va a formare il primo

resto parziale R1=15507. Scopo della terza operatione e determinare la seconda cifradella radice. In proposito lautore afferma: ...per ritrovar laltro secondo digito, o vuoi

laltra seconda figura della nostra radice, si puo procedere per diverse vie le quai tutte

procedano da una causa.... La causa cui Tartaglia si riferisce e il fatto che, come gia

sottolineato, deve risultare: b x2, il valore approssimato di

Ne determinato mediante la proporzione:

x21 x22x1 x2

= x21 N

x1

N(9)

La secondae dovuta a Bombelli ede particolarmente interessante. Posto N= a2+re trovata la prima approssimazione:

N= a+ r1 con r1= r

2a

si determina la seconda approssimazione ponendo:

N= a + r2. Elevando al quadratoe sostituendor 22 conr1r2, si trova:

r2=r

2a+ r2a

.

Il procedimento si puo iterare, ponendo:

N= a+ r3. Elevando al quadrato esostituendor 23 conr2r3, si avra:

r3=r

2a+ r2a+

r

2ae cos via. Bombelli, peraltro, come osservo E. Bortolotti ([7], p. XLVI), non mise

in evidenza la frazione continua. Egli diede infatti questo metodo eseguendo i calcoli

su un esempio numerico ed osservo soltanto che procedendo come si e fatto sopra si

approssimara quanto lhuomo vorra([7], p. 39).

b) Le radici cubiche

Mentre per le radici quadrate la maggioranza degli autori usa lo stesso metodo di

approssimazione, le regole di calcolo per le radici cubiche non esatte sono piu articolate.

Inoltre esse si trovano in poco piu della meta dei testi esaminati.

Il metodo descritto da Leonardo Pisano per trovare le radici cubicheprossimanepuo

essere tradotto come segue. Posto:

N= a3 + r (10)


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ovea e il massimo intero per cui a3 < N, la prima approssimazione di 3

Ne data da:

3

N= a+ r(a+ 1)3 a3

(11)

ove talora la differenza:(a+ 1)3a3 e sostituita da: 3a(a+ 1)+1, che ne consente uncalcolo piu agevole. Si puo ricavare la (11) mediante le seguenti considerazioni. Posto:

3

N= a+ r1 (12)

elevando al cubo si ha:

N= a3 + 3a2r1+ 3ar 21+ r31 (13)

Sostituendor 21 edr31 conr1 e tenendo presente la (10) si ricava:

r1=r

3a2 + 3a+ 1 (14)

che coincide con la parte frazionaria della (11).

Curiosamente, dopo aver dato la regola, Leonardo Pisano non assume per 3

N il

valore dato dalla (11), ma sostituisce la parte frazionaria con una frazione pi u semplice.Ad esempio, avendo trovato

347=3 + 20/37, osserva che 20/37 eplus medietateed

assume per 3

47 il valore 3+1/2; analogamente, avendo trovato 3

900=9+171/271,lapone ugualea 9+2/3, poiche 171/271eparum minus de 2/3 ([20] vol. 1, p. 380381).

Lapprossimazione cos ottenutae, a seconda dei casi, per difetto o per eccesso.

Il metodo di Leonardo Pisano e fedelmente riportato, con il calcolo delle stesse

radici, nei Codici L. IV. 21 della Biblioteca Comunale di Siena e Palatino 575. Lo segue

anche Canacci, citandone quale artefice Leonardo Pisano: e questo voglio che basti ...

benche assai piu copiosamente se ne potessi dire sechondo il modo di Lionardo pisano...

([8], p. 16).

Tartaglia propone, esponendo il metodo in forma generale, di ricavare le radici cu-

bichepropinquemediante la regola:

3N= a+ r3a2 + 3a (15)

essendoNdato dalla (10), che da, a seconda dei casi, unapprossimazione per difetto o

per eccesso. La parte frazionaria della (15) puo essere ricavata dalla (13) trascurandor 31e sostituendor 21 conr1, tenuto conto della (10).

Tartaglia da due regole distinte per ricavare il denominatore della parte frazionaria

di 3

N, cio che puo parere strano al lettore attuale: moltiplicare per 3 la parte intera a

e moltiplicare 3aper a , quindi sommare 3a; oppure moltiplicare per 3 il quadrato dia

e sommare 3a. E dichiara di preferire la prima, anche se piu rustica, alla seconda, che

raccomanda al lettore in quantopiu breve. Dei due modi per trovare il denominatore della

parte frazionaria di 3

Nrivendica anche linvenzione. Del primo, dopo averlo esposto

e corredato di un esempio, dice infatti: e cos questa fu la prima nostra regola trovata;

e soggiunge: Ma poiche sempre le prime invenzioni hanno del rustico, ma col temposi vanno poi polendo, e limando da li altri dilettanti per essere facile lo aggiongere

alle cose trovate, la qual cosa considerando longo tempo dapoi tale inventione, trovai


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unaltra piu breve via, over regola da formar il sopradetto denominatore... ([27] libro II,

cap. III, c. 27 v.28 r.).

Di piu, egli segnala gli errori compiuti da Cardano e da Oronzio Fineo nel dare le

loro regole; ed osservato che Michael Stifel, che pure aveva trattato in modo eccellente il

problema dellestrazione delle radici cubiche esatte, non aveva nemmeno preso in con-

siderazione quelle non esatte, esprime grande soddisfazione per la propria invenzione.

In analogia conquanto aveva fatto perle radiciquadrate, Tartaglia prendepoi in esameil caso in cuiN e il cubo di un intero, diminuito di uno, ad esempio N= 7, 26, 63, . . .per cui, applicando la (15), si ottiene :

3

N= a+1. Per le radici cubiche pero nonpropone correzioni alla regola data, in quanto considera trascurabile lerrore ed inoltre

tal error di .1. non e il massimo che occorrer possa nelle propinque radici cube, come

era nelle propinque radici quadre ([27] libro II, cap. III, c. 28 v.).

Il metodo esposto in forma generale da Cardano puo essere tradotto nella formula:

3

N= a+ r3a2

(16)

ove N e dato dalla (10), ([9], Cap. XXIII, p. 31). La parte frazionaria della (16)

puo essere ricavata dalla (13) trascurando gli ultimi due termini e ricordando la (10).

Lapprossimazione ottenuta applicando la (16)e per eccesso e puo portare effettivamente

ad errori notevoli, come noto Tartaglia.Lunico esempio dato da Cardanoe la determinazione di

3

11, per la quale la (16) da

una buona approssimazione; la stessa regola pero, applicata a 3

24, porta ad un risultato

il cui cubo differisce da 24 di circa 13 unit a.

Anche il metodo dato da Bombelli mediante un esempio numerico discende dalla

formula che da il cubo di un binomio; egli pero, per trovare la parte frazionaria di3

N, risolve unequazione di secondo grado. Con riferimento alla (13), lincognita r1 e

ricavata risolvendo lequazione di secondo grado che si ottiene trascurandor 31 . I calcoli

eseguiti da Bombelli possono infatti tradursi nellespressione:

3

N= a+

3a2

2

2+ 3ar 3a2

2

3a(17)

oveNe dato dalla (10) ([7], p. 45).

Pacioli da soltanto un breve cenno sullapprossimazione delle radici cubiche, dando

la regola senza esempi. Dice infatti, dopo aver illustrato lalgoritmo di calcolo per le

radici esatte: per quelle che non fossero discrete el rimanente si pone sopra una riga

commo in le quadre facesti; e di sotto si mette lordine de li trovati digiti triplati e

cubicati; si commo hai veduto di sopra; e sara circa quello e non di ponto ([19], c. 47

r.). Se ne dedurrebbe lespressione:

3

N= a+ r3a3

(18)

conNdato dalla (10).

Trovata la prima approssimazione, Pacioli e Canacci arrestano il procedimento.

Bombelli, pur osservando che il suo metodo da in generale una buona approssimazione,poiche porta ad un errore minore di 1, eccetto quandoN= n3 1 (nintero), suggeriscetuttavia di migliorare lapprossimazione cambiando metodo, ossia moltiplicandoNper


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una potenza di 1.000 e dividendo la radice cubica del numero cos trovato per lanaloga

potenza di 10 ([7], p. 45).

Leonardo Pisano, Tartaglia, Cardano e lautore del Ms. 94 dellaBiblioteca Trivulziana

procedono nella ricerca delle radici cubiche piu prossimanecon quattro metodi diversi.

Leonardo Pisano, dopo aver trovato la prima radice applicando la (11) e correggendo

la parte frazionaria, determina la successiva approssimazione mediante la regola:

3

N= a1+N a31

3a1(a+ 1)(19)

ovea1 e la prima radice. Anche per la nuova radice egli sostituisce la parte frazionaria

con una frazione piu maneggevole. Ad esempio, assunto per 3

47 il valore a1= 3+1/2, applicando la (19) trova:

3

47 = 3+ 1/2+ 4+1/842

ed assume come seconda

approssimazione: 3

47= 3 + 1/2 + 1/10, essendo 4 + 1/8quasi decima pars di 42.Per trovare lapprossimazione successiva, riapplica la (19) sostituendo a1 con la radice

trovata; e cos via ([20] vol. 1, p. 380).

Tartaglia, trovata la prima radice a1mediante la (15), determina la seconda approssi-

mazionea2 ponendo:

3N= a1+ N a31

3a21+ 3a1(20)

La (20) viene riapplicata per trovare la successiva approssimazione, sostituendo a1cona2;e cos procedendo in infinito.

Anche di tale procedimento Tartaglia tiene a precisare di essere linventore, inti-

tolando il paragrafo relativo: Regola (dal presente auttor ritrovata) di saper sempre

approssimarsi piu nelle radici sorde, ovver propinque([27] libro II, cap. III, c. 28 v.).

Cardano trova la seconda approssimazione di 3

Ncon la seguente regola:

3

N= a1N a31

3a2 (21)

ovea1 e il valore di 3Ndato dalla (16). Lapprossimazione cos ottenuta puo essere

migliorata riapplicando la (21), avendo sostituitoa1 con la radice trovata; e cos via ([

9], Cap. XXIII, p. 31).

Il metodo seguito dallautore del Ms. 94 della Biblioteca Trivulziana e nettamente

diverso dai precedenti ed e analogo a quello gia dato per le radici quadrate. Posto N=a3+r, ove ae il massimo intero tale che a3 < N, egli determina due valori approssimatix1, x2 di

3

Nponendo:

x1=a+r

(a+ 1)3 a3 ed x2=a+r+ 1

(a+ 1)3 a3

e trova 3

Nmediante la proporzione:

x32 x31x2 x1

= N x313

N x1(22)


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4. I metodi geometrici

La trattazione puramente aritmetica e completata dalla maggior parte degli autori

con la costruzione geometrica delle radici quadrata e cubica di un dato numero, che

vengono supposte rappresentabili con segmenti.

Per le radici quadrate, la prerogativa maggiormente apprezzabile di tali costruzioni

geometriche, come appare chiaro dalle stesse parole di Pacioli, sotto riportate,e che essepermettono di rappresentare con ben determinati segmenti anche le radici irrazionali.

Resta ora mostrare commo ditte radici se habino a trovare per via de linea in geo-

metria. Per lo qual modo sempre si possano dare a ponto e precise, s sorde commo

quadre. Ma non se possano nominare per numero, salvo quando sonno discrete ([19],

c. 45 v.).

Le costruzioni geometriche proposte dagli autori esaminati risultano particolarmente

semplici e per lo piu sono basate sul 2teorema di Euclide; solo Bombelli ricorre ancheal 1 teorema di Euclide. Le figure proposte sotto sintetizzano le possibili costruzionigeometriche della radice quadrata di un qualunque numero N, ove u e il segmento

unitario.

Figure 1 Figure 2

In Fig. 1 il numero Ne rappresentato dal segmento AB. Il segmento che rappresenta

laradicedi Nsi costruisce tenendo presente il 1 teoremadiEuclide(AB:BD=BD:BC).Costruita una semicirconferenza di diametro AB, si determina il punto D come in-tersezione di con la perpendicolare per C al segmento AB. In Fig. 2 il numero N e

rappresentato dalsegmento EG ed il segmentoche rappresenta la radicedi Nsi costruisce

ricordando il 2 teorema di Euclide (EG : GH = GH : GF). Costruita una semicircon-ferenzadi diametro EF, ove EF=N+ 1, si trova il punto H come intersezione di con la perpendicolare per G al segmento EF.

Le costruzioni precedenti rappresentano un primo esempio di applicazione del seg-

mento unitario nelle costruzioni geometriche. E tuttavia interessante osservare che la

maggior parte degli autori, nel caso in cui Nsia un numero non primo e tanto grande

da non poter essere rappresentato facilmente, sostituisce al segmento unitario ed al seg-

mento di lunghezza Nsegmenti di lunghezza opportuna. Con riferimento, ad esempio,

alla Fig. 2, se N= mn, ove m ed n sono interi, la costruzione viene fatta ponendoEG=m, GF=n.

In alcuni casi particolari, ad esempio seN= a 2 + 1, cona intero, si trova anche lacostruzione della radice diNmediante il teorema di Pitagora


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Figure 3

La costruzione geometrica della radice cubica di un interoNe presentata da quattro

soltanto tra gli autori esaminati: Pisano, Pacioli, Tartaglia e Bombelli. Gli ultimi dueautori ne danno anche un cenno storico, ricordando che il problema, nel caso particolare

di N= 2, fu molto studiato al tempo di Platone, poiche si narra che loracolo avevasuggerito, come rimedio perfar cessare la peste,di duplicarelaltaredi Apollo. Platone ed

i suoi discepoli risolsero il problema in vari modi, tutti diversi tra loro, ma, come sostiene

Tartaglia, con la medesima caratteristica di non essereda matematico, ma da naturale,

poiche in ciascuno di quelli si procedeva a tastone([27] libro II, cap. III, c. 32 v.).

Giacche, come afferma L. Pisano: Cum inter unitatem, et numerum aliquem duo

numeri in proportione continua ceciderint, primus eorum radix cubica ultimi numeri

esse in geometria monstratur aperte ([20], vol. 2, p. 153), la costruzione geometrica

della radice cubica di un dato numero puo essere ricondotta a quella dellinserzione di

due medi proporzionali fra due segmenti.

I metodi di costruzione fanno uso, oltre che della riga e del compasso, anche distrumenti che permettono di ottenere il risultato con opportune approssimazioni.

L. Pisano da tre costruzioni delle quali riproponiamo qui solo la seconda, a nostro

parere la piu semplice ([20], vol. 2, p. 154).

Dati i due segmenti AB e BG tali che AB


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Figure 4

come lati lintero segmento di secante e la parte di esso esterna alla circonferenza e

equivalente al quadrato avente come lato il segmento di tangente. Dalle (1), (2) e (3) si

ricava luguaglianza (4): ZD ZA= ED EG, che si puo scrivere anche, in termini diproporzioni tra segmenti: (5) DE : DZ= AZ : GE. Dalla similitudine delle coppie ditriangoli EDZ, BAZ ed EGB, BAZ si ottengono inoltre le proporzioni:

(6) DE : DZ= AB : AZ e (7) AB : AZ= GE : GB. In conclusione, dalle (5), (6) e(7) si ottiene la proporzione continua AB : AZ=AZ : GE=GE : GB, ossia AZ e GEsono i due medi proporzionali tra i segmenti AB e BG.

Lautore osserva infine che la radice cubica di un numero Nsi ottiene mediante la

costruzione ora descritta, ponendo AB=1 e BG=N: si avra allora AZ= 3N.La costruzione di Fig. 3 era gia nota in tempi antichi. Essa e stata attribuita da

Eutocio1 a Filone di Bisanzio ([4], pp. 7377).

Pacioli e Tartaglia costruiscono le due medie proporzionali da inserire tra il segmento

unitario AB ed il segmento BG di lunghezza N in modo del tutto analogo a quello ora

descritto, il primo per N= 8, il secondo per N= 10 e N= 7. Lunica variante stanel modo da essi adottato per determinare la retta EZ: anziche considerare il fascio di

rette con centro in B, essi, mediante un compasso, determinano tante coppie di punti,

1 Eutocio nacque ad Ascalona intorno al 560. Scrisse alcuni commentari sulle opere di

Archimede, in particolare su La sfera ed il cilindro,La misura del cerchio,Lequilibrio dei piani

ed inoltre sui primi quattro libri delleConiche di Apollonio. Nel commentario su La sfera ed ilcilindro sono esposte dodici costruzioni grafiche di due medi proporzionali tra due segmenti, con

i relativi autori.


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rispettivamente sulle rette ZD e DE, equidistanti dal centro O del rettangolo, fino ad

individuare quella costituita da punti che risultano uniti da una retta passante esattamente

per B. Tale costruzione coincide con quella attribuita da Eutocio ad Apollonio ([4],

pp. 7778).

Bombelli invece propone due costruzioni strumentali dellinserzione di due medi

proporzionali tra due segmenti dati, delle quali la prima coincide esattamente con quella

di Pacioli e Tartaglia, mentre la seconda e quella attribuita da Eutocio a Platone ([4],p. 67). Questultimae esemplificata nel caso particolare

3

8 nel modo seguente (Fig. 4).

Fissato il segmento CD di lunghezza unitaria e considerato il segmento DE di

lunghezza 8, si uniscano per il vertice D tali segmenti, in modo da formare un angolo

retto. Si traccino le rette CD e ED.

Quindi, presi due squadri materiali, si disponga il primo con langolo retto F sulla

retta ED, in modo da toccare lestremo C con uno dei bracci e da tagliare la retta DH in un

punto G. Il secondo sia posto con langolo retto in G ed in modo tale che uno dei bracci

sia tangente al braccio GF del primo. Il secondo braccio del secondo squadro taglier a la

retta DE in un punto al di sopra di E, o al di sotto o esattamente in E. In questultimo

caso DF sara proprio illato cubicodel segmento DE; negli altri casi si dovra procedere

a tentativi, alzando od abbassando il punto F.

BIBLIOGRAFIA

[1] ANONIMO (sec. XV):De Radice. Dal Codice Italicus DLXXVIII della Biblioteca Estense di

Modena. A cura e con introduzione di Francesco Barbieri e Paola Lancellotti. Dipartimento

di Matematica Pura ed Applicata G. Vitali, Universit a di Modena, 1984.

[2] ANONIMO FIORENTINO (sec. XV): Regole di geometria e della cosa. Dal Codice

Palatino 575 della Biblioteca Nazionale di Firenze. A cura e con introduzione di Annalisa

Simi. Quaderno n. 20 del Centro Studi della Matematica Medioevale di Siena, Universit a

di Siena, 1992.

[3] ANONIMO SENESE(sec. XV):Differenzedi geometria e misurea ochio. Dal Ms. Plimpton

194 della Biblioteca della Columbia University di New York. A cura e con introduzione di

Maria Teresa Rivolo. Quaderno n. 13 del Centro Studi della Matematica Medioevale di

Siena, Universita di Siena, 1985.

[4] ARCHIMEDE:Archimedis Opera Omnia cum Commentariis Eutocii. 3 Vols., Heiberg,

Lipsiae, 188081.

[5] ARRIGHI G.: Il Codice L. IV. 21 della Biblioteca deglIntronati di Siena e la Bottega

dellAbaco a Santa Trinita in Firenze. Physis, 7, 1965, pp. 369400.

[6] ARRIGHI G.:Nuovi contributi per la Storia della Matematica in Firenze nelleta di mezzo.

Il Codice Palatino 573 della Biblioteca Nazionale di Firenze. Atti dellIstituto Lombardo

(Rend. Sc.), A. 101, 1967, pp. 395437.

[7] BOMBELLI R.:LAlgebra. Prefazione di Ettore Bortolotti e di Umberto Forti. Feltrinelli,

Milano, 1966.

[8] CANACCI R.:I Ragionamenti dAlgebra. Trascrizione diplomatica e note di Angiolo Pro-

cissi. Bollettino dellUnione Matematica Italiana, Serie III, Anno IX, Num. 3, 1954, pp.

300326.

[9] CARDANO G.:Opera Omnia. Johnson Reprint Corporation, New York - London, 1967.(Ed. originale: Hieronymi Cardani, Opera Omnia, 10 vol., Ludguni, 1553).

[10] CATANEO P.:La pratica delle due prime mathematiche.Venezia, 1546.


33/33


[11] DICTIONARY OF SCIENTIFIC BIOGRAPHY. Charles Coulston Gillispie Editorin Chief.

Published under the auspicies of the American Council of Learned Societies. Charles Scrib-

ners sons, New York, 19701980.[12] EUCLIDE:Gli Elementi. Editi da Federigo Enriques, Alberto Stock Editore, Roma, 1925.

[13] Franci R. - TOTI RIGATELLI L.: La Trattatistica Matematica del Rinascimento senese.

Atti dellAccademia delle Scienze di Siena, Serie 14, Tomo 13, 1981, pp. 171.[14] GILIO DA SIENA:Questioni dAlgebra. Dal Codice L. IX. 28 della Biblioteca Comunale

di Siena. A cura e con introduzione di Raffaella Franci. Quaderno n. 6 del Centro Studidella Matematica Medioevale di Siena, Universita di Siena, 1983.

[15] HEATH T. L.:History of Greek Mathematics. 2 Vols., Oxford, 1965.[16] LIBRI G.:Histoire des sciences mathematiques en Italie. Parigi,1838.

[17] LORIA G.:Le scienze esatte nellantica Grecia. 5 Vols. Antica Tipografia Soliani, Modena,

1895 1902.[18] NEUGEBAUER O.:Le scienze esatte nellAntichita. Feltrinelli, Milano, 1974.

[19] PACIOLI L.:Summa de Arithmetica et Geometria. Venezia, 1494.[20] PISANO L.: Scritti. Pubblicati da Baldassarre Boncompagni, Tipografia delle Scienze

Matematiche e Fisiche, Roma, 1862.

[21] PROCISSI A.:Sui Ragionamenti dAlgebra di Raffaello Canacci. Atti dellAccademia

Ligure di Sc. e Lett., 9 (1952), 5576.[22] RADHA CHARAN GUPTA: On some Ancient and Medieval Methods of approximating

Quadratic Surds. Ganita Bharati, Bull. Indian Society of History of Mathematics, Vol. 7,

14, 1985, pp. 1322.[23] SIMI A.:I problemi di geometria dal Codice L. IX. 28 della Biblioteca Comunale di Siena .

Tesi di Laurea in Matematica, Universita di Siena, Anno Accademico 19871988.[24] SIMI A.:Two 15th century algebra texts derived from the treatise of Master Dardi of Pisa.

PU. M. A. Ser. A, Vol. 2, N. 34, 1991, pp. 291306.

[25] SIMI A. - TOTI RIGATELLI L.:Some 14th and 15th century texts on practical geometry.

Vestigia Mathematica, Studies in medieval and early modern mathematics in honour of

H. L. L. Busard. Edited by M. Folkerts and J. P. Hogendijk. Rodopi, Amsterdam - Atlanta,

GA 1993; pp. 453470.[26] SMITH D. E.:History of Mathematics. 2 Vols., Dover, New York, 1958.

[27] TARTAGLIA N.:General Trattato di Numeri et Misure. Venezia, 1556.[28] TOTI RIGATELLI:Matematici Fiorentini del Tre - Quattrocento. Symposia Mathematica,

Vol. XXVII, pp. 321. Istituto Nazionale di Alta Matematica, 1983.

[29] TROPFKE J.: Geschichte der Elementarmathematik. Walter de Gruyter, Berlino-New York,

1980.[30] VAN DER WAERDEN B. L.:Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Springer -

Verlag, Berlin Heidelberg, 1983.[31] VAN EGMOND W.: Practical Mathematics in the Italian Renaissance: A catalog of Italian

Abbacus Manuscripts and printed books to 1600. Istituto e Museo di Storia della Scienza,

Firenze, 1980.

[32] YOUSCHKEVITCH A. P.: Les mathematiques arabes. Libraire Philosophique J. Vrin,

Paris, 1976.

Dipartimento di Matematica,

Facolta di Ingegneria del Politecnico-Corso Duca degli Abruzzi,

24 - 10129 - Torino z(Italy)

Dipartimento di Matematica,

Universita di Siena - Via del Capitano,

15 - 53100 - Siena (Italy)

(Pervenuto alla redazione il 1 Ottobre 1996)

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