- 39 - Capitolo III Analisi di Schmidt 3 3.1 Descrizione modello Unodeiprimimodelli,perlostudioelanalisidelleprestazionidellamacchinadi Stirling, stato quello di Schmidt, modello che permette in modo semplice di ottenere delleprimevalutazionisullamacchina.LateoriadiSchmidtnataconuna configurazionedelmotoreditipoAlphamastataapplicataancheadaltre configurazioni,modificandolandamentodeivolumicompresitraiduecilindri.I cinematismi pi diffusi sono riportati in Appendice.Il modello si basa su alcune assunzioni semplificative sono: -Le temperature della zona di espansione e dello scambiatore caldo sono costanti nello spazio e nel tempo (modello isotermo) e sono uguali alla temperatura pi alta del ciclo (TE). -Latemperaturadellazonadicompressioneedelloscambiatorefreddosono costantinellospazioeneltempo(modelloisotermo)esonougualialla temperatura pi bassa del ciclo (TC). -La temperatura media del gas di lavoro nel rigeneratore una media tra le due temperatureestreme,mentrelandamentoditemperaturaipotizzatolineare con temperature estreme quelle del ciclo (rigeneratore perfetto). -IlfluidoungasperfettoeseguelasualeggePV=MRT,eicalorispecifici sono indipendenti dalle temperature. -Si trascurano lenergia cinetica e potenziale del fluido. -Non vi sono fenomeni di dissipazioni dovuti alla viscosit del fluido, inoltre non visonoperditedipressionediognitipo,lapressione,quindi,allinternodel motore uguale in ogni suo componente. -I processi di compressione e di espansione sono isotermi. -Non vi sono perdite per attrito tra gli organi in moto relativo. -Non visono perditedi gasattraversoletenute,quindilamassa delgasrimane costante.

3 Questo capitolo ha come riferimenti bibliografici: (5), (4), (13), (17). Capitolo IIIAnalisi di Schmidt - 40 - -Lavelocitdirotazionedellamanovellacostanteeilfunzionamentodella macchina periodico. LanalisidiSchmidtpuessereeseguitasuvaricinematismilaseguenteanalisitiene conto dei cinematismi Alpha, Beta, Gamma. Le leggi di variazione dei volumi di espansione e di compressione sono i seguenti:(1 cos ( ))21 cos ( ) 1 cos ( )(12 2e se dec se se dcVolumi liberati dal moto del pistoneVolumi liberati dal moto del displacerdi potenza V V V V V V Vb V|| o |k o= + +| |= + ) + |\ ., in cui : / ,sede dcsc seV = volume spazzato dal displacer,V , V = volumi morti della zona di espansione e di compressione, rapporto dei volumi spazzati dai pistoni e displacerV V angolo di sfasamento tra esp. e kko== comp.Vb= volume di sovrapposizione nella configurazione| Il parametroo serve a indicare se si sta considerandouna macchina di Stirling con la configurazione alfa: per la configurazione alfa0 altrimentio1 = , mentre lespressione di Vb 2 2cos(2 4 2se sc sc se se scbV V V V VVV o || |+ += )| |\ . , in cui per la configurazione beta0 altrimenti|1 = Perquantoriguardaladefinizionedeglialtrivolumidelmotorevengonointrodottii seguenti parametri: , , , ,h k de dc rH R K Hc kcse se se se seV V V V VxxxxxV V V V V= = = = =Avendoipotizzatonessunaperditadimassanelmotorelaquantitdifluidorimane costanteeavendoipotizzatogasperfetto,quindi,siottengonoleseguentiespressioni per le masse: Capitolo IIIAnalisi di Schmidt - 41 - 2e h k c rT e h r k ce e r c ce crV V V V V pM M M M M MR T T T T TT TT| |= + + + + = + + + + |\ .+= Riscrivendoedesplicitandoivaritermini,inmodotaledaraccogliereiterminiin comune, si hanno le seguenti espressioni: ( )( ) ( )cos ,22 , 2 ,2 2422(1 ) cos cos( (1 1 22e sedee cse seH kc cse rcc se bdcc c seV VxT TV V Vh Vkx xTe T Tc TV x Vr,Te TV VVx.T T Vt | tttto | k | o t o= + (1+ 2= = | |= |+1\ . ( | |= ) + + ) + (|\ . Dacuiconpassaggialgebricisiarrivaapotercalcolarelapressioneistantanea,il Lavoro netto e il calore assorbito in un ciclo: ( )2 2222 2(1 ) (1 ) ( );1 1 1(1 ) ( ) 1; ;1;1 co1 ;(1 )1s1 1max semax se mean meaa mannxP B VB sin mRPB BP B VB sin P B PsQ =P = m= BB RB B L =s Bt t ut u| u +| |= | |\+ . In cui i vari parametri geometrici sono definiti nel seguente modo: ( ) ( )( )22 2minmax1 2 cos( 1 cos(;2 (212 1 12 (1sin(arctan ;b Rde H dc KsecseBvV xv x x x x;V T ;s Vv cos(To t k t o o t k ot k ottt k ok ouk o t ot + + + ) 2 + )=+ + + 1 ) | |= + + + + |+\ .| |= |+ + + )\ .| | )= |) + (1 )\ .T= Daquesterelazionisipuvedereimmediatamentecheilrendimentodellanalisidi Schmidtportasicuramentealrendimentomassimochesipuottenereconquesta Capitolo IIIAnalisi di Schmidt - 42 - macchina,ovveroquellodiCarnot,infattisonostateassunteinquestomodellomolte ipotesi semplificative e ideali: 1naLQq t = = 3.2 Valutazioni sulla macchina attraverso lanalisi di Schmidt LanalisidiSchmidtpuessereutileperunostudioiniziale,percapirelinfluenzadei variparametricaratteristicicomepossonovariareleprestazioni.Ilrisultato,per, moltolontanodallarealt,bisogna,infattitenerpresentesempreleipotesipercapire quanto unanalisi pu essere valida.Iprincipaliparametrisucuisipossonofaredelleinizialiconsiderazionisono:il rapporto tra le temperature estreme del ciclo (); langolo di sfasamento(); il rapporto traivolumispazzatidaldisplaceredalpistonedipotenza;eirapportideivolumi morti.Latemperaturamassimaricopreunruoloimportantenelmotoreinfattioltrea influenzareilrendimentoideale,influenzaillavorostesso,infattialsuodiminuire, aumenta il rendimento e aumenta il lavoro come si pu vedere dalla Figura III.1. Figura III.1 Andamento del Lavoro in funzione della temperatura massima I volumi morti sono necessari per gli scambi di calore nellanalisi di Schmidt gli scambi di calore non sono proprio considerati, ipotizzando uno scambio tra fluido e macchina Capitolo IIIAnalisi di Schmidt - 43 - ideale, ma in realt questa differenza porta a grosse perditenella potenza che possono esserecolmatemigliorandoloscambiodicaloreovverolezonemorte.Dallanalisidi Schmidt, invece, i volumi morti portano solo a una diminuzione del lavoro come si pu vederenellaFiguraIII.2enellaFiguraIII.3,infatti,lezonemorteattenuanola differenza tra Pmax e Pmin, ovvero riducono larea di lavoro. Figura III.2Andamento del Lavoro in funzione del rapporto del volume del rigeneratore Figura III.3 Andamento del Lavoro in funzione dei rapporti dei volumi del Heater e del CoolerCapitolo IIIAnalisi di Schmidt - 44 - Glialtriparametrigiocano,ancheloro,unruoloimportante,infatti,viunagrossa variabilit per il lavoro utile soprattutto data dal rapporto dei volumi di lavoro. Figura III.4 Andamento del Lavoro in funzione dello sfasamento Figura III.5 Andamento del Lavoro in funzione del rapporti dei volumi spazzati nei volumi di lavoroAltriimportantiaspettiutiliperladefinizionedelciclosonosicuramenteil cinematismoelaconfigurazionedelmotore,quelleconsideratafinoadadessosono Alfa,BetaeGamma.LaFiguraIII.6metteaconfrontolevarieconfigurazioniconi Volumimorti,iVolumidiLavoro,lapressionemediaeletemperatureugualitradi Capitolo IIIAnalisi di Schmidt - 45 - loro.ComesipunotareleconfigurazioniBetaeGammaraggiungonopressionipi elevate e lavori piuttosto equivalenti o minori rispetto alla configurazione Alfa. Figura III.6 Diagrammi P-V delle configurazioni Alpha, Beta e Gamma con uguale pressione media e volumi Figura III.7 Diagrammi P-V delle configurazione Alpha, Beta e Gamma con uguale pressione massima e volumi Capitolo IIIAnalisi di Schmidt - 46 - NeldiagrammadiFiguraIII.7,invece,sisonoimpostiugualiiVolumimortiedi Lavoro, la pressione massima e le temperature estreme del ciclo. Il secondo diagramma permetteunavalutazionesuqualeconfigurazioneconvieneutilizzareunavoltachesi sonosceltiilimitideiciclidovutialimititecnologiciequindidopoaversceltole temperature massime, i volumi massimi e la pressione massima. LaFigura III.7 mette inluceinmodochiarochelAlfariesceaottenereunlavoropialtodellealtre configurazioni, ma che comunque lontano dal ciclo ideale dello Stirling ovvero quello ottenibile con un cinematismo discontinuo del displacer.