ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Burak ULAġ

Anabilim Dalı : Makina Mühendisliği

Programı : Sistem Dinamiği ve Kontrol

HAZĠRAN 2009

STEWART PLATFORMU TASARIMI

HAZĠRAN 2009

ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Burak ULAġ

(503061602)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 04 Mayıs 2009

Tezin Savunulduğu Tarih : 08 Haziran 2009

Tez DanıĢmanı : Yrd.Doç.Dr. Zeki Yağız BAYRAKTAROĞLU

Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Ata MUĞAN (ĠTÜ)

Prof. Dr. Ġbrahim ÖZKOL (ĠTÜ)

STEWART PLATFORMU TASARIMI

iii

ÖNSÖZ

Öncelikle bu tez çalışması ile ilk defa adım attığım robotik konusunda yol

gösteren danışmanım Yrd.Doç.Dr. Zeki Yağız Bayraktaroğlu‟na sabrı ve

hoşgörüsü için teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca tez çalışmam konusunda bana fikir veren Yük.Müh. Murat Karadeniz‟e

ve kullanmış olduğum eyleyicinin teminini sağlayan Bias Mühendislik A.Ş.‟ye

teşekkürü bir borç bilirim.

Mayıs 2009 Burak ULAŞ

iv

v

ĠÇĠNDEKĠLER

Sayfa

ÇĠZELGE LĠSTESĠ .................................................................................................... vii ġEKĠL LĠSTESĠ ........................................................................................................... ix SEMBOL LĠSTESĠ ...................................................................................................... xi 1. GĠRĠġ ..................................................................................................................... 1

1.1 Temel Kavramlar ................................................................................................ 1 1.2 Seri Manipülatörler ............................................................................................. 1 1.3 Paralel Manipülatörler ........................................................................................ 2 1.4 Paralel ve Seri Manipülatörlerin Özellikleri......................................................... 5

2. KĠNEMATĠK ........................................................................................................ 6 2.1 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematiği .................................................... 6

2.1.1 Stewart Platform Mekanizmasının Ters Kinematiği .................................. 6

2.1.2 Stewart Platform Mekanizmasının İleri Kinematiği .................................. 9

2.1.2.1 Analitik Yöntem.............................................................................9

2.1.2.2 Tekrarlamalı Sayısal Yöntem ......................................................10

2.2 Stewart Platform Mekanizmasına ait Euler ve Kinematik Jakobiyenin Hesaplanması.................................................................................................... 11

2.3 Plücker Vektörlerinin Jakobiyen ile Bağıntısı .................................................... 16 2.4 Tekillik ............................................................................................................. 18

2.4.1 Tekillik Endeksi ..................................................................................... 19 2.5 Statik Analizde Temel Bağıntılar ...................................................................... 20 2.6 Statik Analizin Kullanım Alanları ..................................................................... 20

3. DĠNAMĠK ............................................................................................................ 22 3.1 Dinamik Modeller............................................................................................. 22

3.2 İleri ve Ters Dinamik Denklemlerin Elde Edilmesi............................................ 22 3.3 Tasarım Hedefleri ............................................................................................. 27

4. ÇALIġMA UZAYI .............................................................................................. 29 4.1 Parametre Uzayı Yaklaşımı ............................................................................... 29 4.2 SPM‟ye Uyarlanması ........................................................................................ 30 4.3 Parametre Aralıklarının Tanımlanması .............................................................. 31 4.4 Çalışma Uzayı Sınır Noktalarının Belirlenmesi ................................................. 33 4.5 Hesaplama Sonuçları ........................................................................................ 34

4.6 Eyleyicinin Belirlenmesi ................................................................................... 35 4.7 Ayrıklaştırma Yöntemi ile Çalışma Uzayının Doğrulanması .............................. 36

5. BENZETĠMLER ................................................................................................. 38 5.1 Mekanik Sistemin Modellenmesi ...................................................................... 38 5.2 Kontrol Sisteminin Modellenmesi ..................................................................... 40

5.2.1 Ters Kinematik ...................................................................................... 40 5.2.2 Kontrolör ............................................................................................... 40

5.2.3 İleri Kinematik ....................................................................................... 41 5.2.4 Jakobiyen ve Tekillik Endeksinin Hesaplanması ..................................... 42

vi

5.2.5 İleri Dinamik ...............................................................................................42 5.3 Çalışma Uzayı ve Dinamik Davranış Benzetimleri .................................................42

5.3.1 Koordinat Sistemi .......................................................................................43 5.3.2 X-Ekseninde Doğrusal Hareket (Surge) .......................................................43 5.3.3 Y-Ekseninde Doğrusal Hareket (Heave) ......................................................47

5.3.4 Z-Ekseninde Doğrusal Hareket (Sway) ........................................................51 5.3.5 X-Ekseninde Açısal Hareket (Roll)..............................................................54 5.3.6 Y-Ekseninde Açısal Hareket (Yaw) .............................................................57 5.3.7 Z-Ekseninde Açısal Hareket (Pitch) .............................................................61 5.3.8 Yörünge Takibi Hareketi .............................................................................65

5.4 Sistemin Sınırlarının Belirlenmesi ..........................................................................69 5.4.1 Yük Sınırının Belirlenmesi ..........................................................................69

5.4.2 Hareket Frekans Sınırının Belirlenmesi .......................................................69 6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER..................................................................................71 KAYNAKLAR .................................................................................................................73 EK A.1 ..............................................................................................................................75 EK A.2 ..............................................................................................................................85 ÖZGEÇMĠġ .....................................................................................................................87

vii

ÇĠZELGE LĠSTESĠ

Sayfa

Çizelge 3.1 : Moog Series 6DOF2000E Modeline ilişkin performans çizelgesi .. 28

Çizelge 4.1 : Parametre Uzayı yaklaşımı ile sistemin sağlaması gereken

konumlar............................................................................................ 34

Çizelge 4.2 : Parametre Uzayı Analizi sonuçları .................................................... 35

Çizelge 4.3 : Eksenler üzerindeki çalışma uzayı uç noktaları ................................ 37

Çizelge 5.1 : Yörüngeyi oluşturan farklı eksenlerdeki salınımlar ......................... 65

Çizelge 5.2 : Farklı eksenlerdeki hareketler için en yüksek frekans değerleri...... 70

viii

ix

ġEKĠL LĠSTESĠ

Sayfa

ġekil 1.1 : KUKA endüstriyel seri manipülatör ............................................................. 1

ġekil 1.2 : D. Stewart‟ın uçuş simülatörü olarak önerdiği sistem................................. 3

ġekil 1.3 : Eric Gough‟nun lastik test makinası (solda) ve aynı sistemin

modern versiyonu ......................................................................................... 3

ġekil 1.4 : Stewart platformu mekanizması ................................................................... 4

ġekil 1.5 : Farklı eyleyiciler içeren paralel mekanizmalar ............................................ 5

ġekil 2.1 : Stewart Platformunun ters kinematik analizinde kullanılan vektörler ....... 7

ġekil 2.2 : Döndürülen noktaya ait koordinatların hesaplanması ................................. 8

ġekil 3.1 : Dinamik denklemlerde kullanılan kuvvet ve momentler .......................... 23

ġekil 3.2 : Moog Series 6DOF2000E modeli............................................................... 27

ġekil 4.1 : Parametre prizmasında b değişkeni için bölme (bisection) işleminin

uygulanması ................................................................................................ 30

ġekil 4.2 : SPM geometrisi için karakteristik parametreler ........................................ 31

ġekil 4.3 : Hareketli platform yarıçapının belirlenmesi .............................................. 32

ġekil 4.4 : Eyleyici boylarının hesaplanmasında strok boyunun kullanılması .......... 32

ġekil 4.5 : Çalışma uzayından seçilen altı sınır noktası .............................................. 33

ġekil 4.6 : İstenen çalışma uzayını sağlayan parametre kümeleri .............................. 35

ġekil 4.7 : Moog firmasına ait hareket platformlarında kullanılan eyleyiciler .......... 36

ġekil 4.8 : Nokta bulutu olarak gösterilen çalışma uzayı ............................................ 37

ġekil 5.1 : ADAMS‟da kurulan mekanik sistem modeli ............................................. 39

ġekil 5.2 : Dinamik benzetimlerde yapılan işlemler .................................................... 40

ġekil 5.3 : Matlab/Simulink‟de kurulan kontrol sistemi modeli ................................. 41

ġekil 5.4 : ADAMS‟da ve benzetimlerde kullanılan koordinat sistemi ..................... 43

ġekil 5.5 : Surge hareketi .............................................................................................. 44

ġekil 5.6 : X ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları .......................... 44

ġekil 5.7 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ......................... 45

ġekil 5.8 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ..................... 45

ġekil 5.9 : X ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi ................ 46

ġekil 5.10 : X ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ....... 46

ġekil 5.11 : X ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi............. 47

ġekil 5.12 : Heave hareketi .......................................................................................... 47

ġekil 5.13 : Y ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ........................ 48

ġekil 5.14 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ....................... 48

ġekil 5.15 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ................... 49

ġekil 5.16 : Y ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi .............. 49

ġekil 5.17 : Y ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ....... 50

ġekil 5.18 : Y ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi............. 50

ġekil 5.19 : Sway hareketi ............................................................................................. 51

x

ġekil 5.20 : Z ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları ........................ 51

ġekil 5.21 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar ....................... 52

ġekil 5.22 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler .................... 52

ġekil 5.23 : Z ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi .............. 53

ġekil 5.24 : Z ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi........ 53

ġekil 5.25 : Z ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi ............. 54

ġekil 5.26 : Roll hareketi ............................................................................................... 54

ġekil 5.27 : X ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları............................. 55

ġekil 5.28 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar............................ 55

ġekil 5.29 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ........................ 56

ġekil 5.30 : X ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi................... 56

ġekil 5.31 : X ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ............ 57

ġekil 5.32 : X ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ................. 57

ġekil 5.33 : Yaw hareketi .............................................................................................. 58

ġekil 5.34 : Y ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları............................. 58

ġekil 5.35 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar .......................... 59

ġekil 5.36 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ........................ 59

ġekil 5.37 : Y ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi................... 60

ġekil 5.38 : Y ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ............ 60

ġekil 5.39 : Y ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi ................. 61

ġekil 5.40 : Pitch hareketi.............................................................................................. 61

ġekil 5.41 : Z ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları ............................. 62

ġekil 5.42 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar ............................ 62

ġekil 5.43 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler ......................... 63

ġekil 5.44 : Z ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi ................... 63

ġekil 5.45 : Z ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ............ 64

ġekil 5.46 : Z ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi .................. 64

ġekil 5.47 : Yörünge takip hareketi .............................................................................. 65

ġekil 5.48 : Yörünge takibi hareketi için uç eleman konumları.................................. 66

ġekil 5.49 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş hızlar ................................ 66

ġekil 5.50 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş ivmeler ............................. 67

ġekil 5.51 : Yörünge takibi hareketi için bacak uzunlukları değişimi........................ 67

ġekil 5.52 : Yörünge takibi hareketi için eyleyici kuvvetlerinin değişimi ................. 68

ġekil 5.53 : Yörünge takibi hareketi için tekillik endeksinin değişimi ...................... 68

ġekil 5.54 : 2000 kg yük için Roll hareketinde eyleyici kuvvetleri............................ 69

ġekil A.1 : Ultramotion firmasına ait doğrusal eyleyici .............................................. 85

ġekil A.2 : ULN5804B devresinin kurulum şeması .................................................... 86

xi

SEMBOL LĠSTESĠ

li : i. bacağın uzunluğu

R : Global dönüşüm matrisi

pti : Hareketli platform referans noktasından i. bacağın üst bağlantı

noktasına uzanan vektör

pbi : Sabit platform merkezinden i. bacağın alt bağlantı noktasına uzanan

vektör

x : Uç elemanının uzaydaki konumunu ifade eden vektör

x, y, z : Uç elemanının uzaydaki doğrusal koordinatları

α, β, θ : Uç elemanının Euler açı teoremine göre uzaydaki açısal koordinatları

(X-Y-Z dönme sırasına göre)

lm : SPM‟nin algılayıcılar ile ölçülen bacak uzunluğu vektörü

e : Sayısal yöntem ile ileri kinematik denklemin çözümünde bacak

boyları için iterasyon hata vektörü

ε : Sayısal yöntem ile ileri kinematik analizde iterasyonlar için hata

toleransı

Je : Bacak uzunluklarındaki değişim vektörünü Euler açıları ile ifade

edilen konum vektörünün değişimlerine bağlayan Euler açıları

Jakobiyen matrisi

J, Jk : Bacak uzunluklarındaki değişim vektörünü genelleştirilmiş hız

vektörüne bağlayan kinematik Jakobiyen matrisi, J ile de ifade

edilmektedir.

P : Plücker vektörü

Pn : Normalize edilmiş Plücker vektörü

W : Genelleştirilmiş koordinatlarda hız vektörü

ni : i. bacağın birim vektörü

V : Genelleştirilmiş koordinatlarda doğrusal hız vektörü

Ω : Genelleştirilmiş koordinatlarda açısal hız vektörü

τ : Eyleyici kuvvetleri vektörü

f : Genelleştirilmiş kuvvet/moment vektörü

γ : Doğrusal ivme vektörü

g : Yerçekimi ivmesi vektörü

m : Hareketli platform kütlesi vektörü

I : Hareketli platformun ağırlık merkezine göre eylemsizlik matrisi

I3 : 3x3‟lük birim matris

Rt : Üst platformdaki bacak bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı

Rb : Alt tabladaki bacak bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı

S : Eyleyici strok uzunluğu

xii

xiii

STEWART PLATFORMU TASARIMI

ÖZET

Sanayide ve çeşitli sektörlerde seri manipülatörlere göre daha az kullanım alanı

bulan paralel manipülatörler yer aldıkları uygulamalarda kesin bir üstünlüğe

sahiptirler. Bu üstünlük paralel mekanizmaların seri manipülatörlere göre daha

yüksek rijitliğe, yük/ağırlık oranına ve konumlandırma hassasiyetine bağlı

olarak ortaya çıkmaktadır.

Yüksek rijitliği ve dolayısı ile yüksek doğal frekansı sebebi ile titreşim

simülatörü olarak tercih edilmektedirler. Yük/ağırlık oranının seri

manipülatörlere göre yüksek olmasından dolayı büyük kütlelerin yüksek

ivmeler ile hareket ettirilmesine olanak sağlamaktadırlar. Bu yüzden taşıt veya

uçak simülatörlerinde hareket platformu görevini üstlenirler. Kapalı birer

kinematik zincir olmalarından dolayı birbirinden bağımsız olan uzuvların

hataları uç elemanına doğru kümülatif olmayan bir şekilde aktarılır. Seri

manipülatörlerde ise uzuvların hataları uç elemanına doğru toplanarak etki

etmektedir. Bu özelliği paralel robotların hassas malzeme işleme veya montaj

işlerinde yer almasını sağlamaktadır.

Bu çalışmada paralel manipülatörlerin belirlenen tasarım kriterlerini

karşılayacak şekilde tasarlanması amacıyla kullanılabilecek yöntemler

araştırılmıştır. Bu yöntemlerin çalışma uzayı, geometrik boyutlar ve uç

elemanının taşıyabileceği yüke bağlı eyleyici kuvvetlerinin belirlenmesi

amacıyla kullanılabilmesi için takip edilebilecek bir prosedür geliştirilmiştir.

Çoklu gövde dinamik benzetimlerine alternatif olacak bir matematiksel model

oluşturularak, iki sistemin davranışları çıkışlar üzerinden karşılaştırılmıştır.

Çıkışların birbiri ile uyumlu olduğu gözlenmiş ve son olarak sistemin yük ve

ivme sınırları tespit edilmiştir.

xiv

xv

DESIGN OF THE STEWART PLATFORM

SUMMARY

Parallel manipulators which are less commonly used than serial counterparts in

several industries, show definitely better performance in their application areas.

This advantage rises from the rigidity, load/weight ratio and sensitivity of

positioning of the parallel manipulators.

They are utilized in vibration simulators due to their high natural frequency

which is caused by the rigidity. Because of their higher load/weight ratio, they

are also used in vibrating huge masses with increased accelerations. Thus they

are suitable as a motion platform for vehicle and aeroplane simulator

applications. Since the parallel manipulators consist of a closed loop kinematic

chain, the independent errors of each link affect the end effector in a non-

cumulative way. However, these errors are accumulated in serial manipulators.

This feature makes parallel robots ideal for low tolerance machining and

assembly processes.

In this thesis, the methods which can be applied to the design of parallel

manipulators according to the design criteria are investigated. A design

procedure is developed in order to use these proper design methods such that

defininig the workspace, geometric dimensions, and actuator forces which

depends on the load supported by the end effector.

Multi body dynamics simulation outputs are compared to the outputs which are

obtained from a mathematical model proposed in this thesis. Comparison

results show satisfactory correlation. In addition, the acceleration and weight

limits of the system are also determined.

xvi

1

1. GĠRĠġ

1.1 Temel Kavramlar

Robotikte manipülasyon terimi nesnelerin bir amaç doğrultusunda yerinden alınması,

taşınması, montajı, yerleştirilmesi ve çeşitli takımlar ile işlenmesini ifade etmektedir.

Bu işlemleri gerçekleştirebilen mekanizmalar ise manipülatör olarak adlandırılır [1].

Bir manipülatörün her bir uzvuna, bir mafsal ile bağlı olan rijit gövde sayısı bağlantı

derecesi‟ni ifade etmektedir. Bu durumda, herbir uzvu 2 veya daha az bağlantı

derecesine sahip olan sistemler, basit kinematik zincir olarak adlandırılırlar. Eğer

uzuvlardan en az biri, taban olmamak koşuluyla 3 veya daha yüksek bir bağlantı

derecesine sahip ise bu sistem bir kapalı-çevrim kinematik zincir adını alır (C.

Gosselin, 1988).

1.2 Seri Manipülatörler

Manipülatörler iki ana sınıfa ayrılmaktadır ve bunlardan ilki olan seri manipülatörler

birer basit kinematik zincirdir çünkü sadece taban ve uç uzuvlarında 1 olmak üzere,

diğer uzuvlarında 2 bağlantı derecesine sahiptirler. Bu tip zincirler aynı zamanda

açık-çevrim kinematik zincir olarak da anılmaktadır. Şekil 1.1‟de endüstride

kullanılan bir seri robot gösterilmektedir.

ġekil 1.1 : KUKA endüstriyel seri manipülatör

2

1.3 Paralel Manipülatörler

Manipülatörlerin ayrıldığı ikinci sınıf ise paralel manipülatörlerdir. Bu sistemler birer

kapalı-çevrim kinematik zincirdir.

Paralel manipülatörlerin genel tanımı daha geniştir ve uç elemanının kontrol edilen

serbestlik derecesinden daha fazla sayıda eyleyici içeren mekanizmaları da kapsar.

Ele alacağımız mekanizmalar aşağıda anlatılan karakteristik özelliklere sahiptir.

1) En az iki kinematik zincir uç elemanına bağlanır. Bu zincirlerden en az biri

bir eyleyici içerir.

2) Eyleyici sayısı uç elemanının serbestlik derecesine eşittir.

Bu tip mekanizmalar aşağıdaki özelliklere sahiptirler.

1. En az iki zincir mevcut olması, zincirdeki yüklerin dağıtılmasına olanak

sağlar.

2. Eyleyici sayısı ihtiyacı minimumdur.

3. Mekanizmanın kapalı çevrim kontrolü için gerekli sensör adedi minimumdur.

Bu tanımlara göre bir paralel robot n serbestlik derecesine ve bir sabit tabana sahip,

en az iki bağımsız kinematik zincir ile birbirine bağlıdır. İçerdiği eyleyici adedi n‟dir.

Zincir sayısı tam olarak end-effector‟ın serbestlik derecesine eşit olan paralel

robotlar; “tam paralel manipülatör” (fully parallel manipulator) olarak adlandırılır

[2].

Paralel manipülatörlerin en bilinen tipi Stewart Platformudur. 1965 yılında D.

Stewart tarafından bir uçuş simülatörü olarak (Şekil 1.2) önerilen sistem altı doğrusal

eyleyiciden oluşmaktaydı [3].

3

ġekil 1.2 : D. Stewart‟ın uçuş simülatörü olarak önerdiği sistem

Daha öncesinde Eric Gough, Stewart‟ın modeline benzer bir modeli bir lastik test

makinesi olarak önermiştir. Onun sisteminde, tam paralel hareketlendirilmiş

mekanizma oluşturacak şekilde altı adet eyleyici kullanılmıştı [4]. Lastik üreticisi

Dunlop firması tarafından kullanılan bu test sistemi ve güncel versiyonu Şekil 1.3‟de

gösterilmiştir.

ġekil 1.3 : Eric Gough‟nun lastik test makinası (solda) ve aynı sistemin

modern versiyonu

Günümüzde Stewart Platformu olarak anılan paralel mekanizma, bir taban ve bir

hareketli tabla ve bunları birbirine bağlayan 6 hareketli uzuvdan oluşmaktadır. En

genel halinde bu uzuvların her biri tabana universal mafsal ile, hareketli tablaya ise

küresel mafsallar ile bağlanmaktadır. Aynı zamanda eyleyici görevi gören uzuvlar ise

4

kendi içerisinde birer prizmatik mafsala sahip olup, bu mafsalın tahriki ile doğrusal

hareketleri gerçekleştirmektedirler. Uzuvların bağlantı şekilleri değişebilmektedir.

Örneğin tüm bacakların (uzuvların) tabanda ve tablada birbirinden farklı noktalara

bağlandığı sistemler 6-6‟lık Stewart Platformu olarak anılır (Şekil 1.4). Eğer bacaklar

tabanda ayrı noktalara, üst tablada ise ikişerli olarak 3 ayrı noktaya bağlanıyorsa bu

sistem 6-3‟lük Stewart Platformudur. Eğer bacaklar alt tabanda da ikişerli olarak 3

ayrı noktadan bağlı ise 3-3‟lük Stewart Platformu ortaya çıkar.

ġekil 1.4 : Stewart platformu mekanizması

Görüldüğü gibi ifade edilen Stewart Platformu mekanizması Şekil 1.2‟de D.

Stewart‟ın önerdiği sistemden çok Şekil 1.3‟de E. Gough tarafından tasarlanan

sisteme benzemektedir. Buna karşın bu tip mekanizmalar, günümüzde sıkça Stewart

Platformu veya Stewart-Gough Platformu olarak anılmaktadır.

Paralel manipülatörlerde prizmatik (doğrusal) eyleyiciler dışında pek çok farklı

eyleyici tipi kullanılabilmektedir. Şekil 1.5‟deki ABB firmasının dönel eyleyicilere

sahip FlexPicker robotu ve Rotobot isimli tabana bağlı eyleyicilerin taban çevresi

üzerinde ötelenmesi ile hareket eden sistemler bunlara örnek gösterilebilir.

5

ġekil 1.5 : Farklı eyleyiciler içeren paralel mekanizmalar

1.4 Paralel ve Seri Manipülatörlerin Özellikleri

Paralel ve seri manipülatörlerin kullanım alanları sundukları fiziksel özelliklerine

bağlı olarak ayrılmaktadır. Paralel manipülatörler, taşıdıkları yükü birden fazla

eyleyiciye dağıttıkları için daha yüksek yararlı-yük/ağırlık oranı ve rijitliğe

sahiptirler. Aynı zamanda seri manipülatörlere göre daha küçük çalışma hacmine

sahip olduklarından, robot boyutlarının sınırlı olması gereken durumlarda, büyük

yüklerin, dar bir hacimde hareket ettirileceği işlerde tercih edilirler. Bunlara en iyi

örnek taşıt simülatörleri veya sarsıcı sistemleridir.

Paralel robotlar, seri robotlardan farklı olan kinematik zincir yapısından dolayı,

kümülatif olmayan eklem hatalarına sahiptir [5]. Bu durum çalışma hassasiyetinin

artmasını sağlamaktadır. Eyleyicileri tahrik eden motorların tabana yakın

konumlandırılması, sistemin hareket eden parçalarının ataletini düşük tutmakta ve

performansı arttırmaktadır. Bu sebeple yüksek hızda, düşük toleranslı işlemlerde seri

robotlara göre üstündürler.

Seri robotlarda hesaplanması kolay olan sistemin ileri kinematiği, paralel robotlarda

analitik olarak basit değildir. İteratif yöntemler kullanılarak gerçek-zamanlı

çözülebilen ileri kinematik denklemlerinin çözümünde genetik algoritmaların da

kullanılması yönünde çalışmalar mevcuttur. Buna karşılık sistemin

konumlandırılmasında öncelikli olarak kullanılan ters kinematik denklemlerin

çözümü son derece kolay olup, gerçek-zamanlı kontrol için analitik çözüm

kullanılabilmektedir.

6

2. KĠNEMATĠK

2.1 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematiği

Bu çalışmada bir Stewart Platform Mekanizması (SPM) üzerinde çalışılacağı için bu

sistemlerin ters ve ileri kinematiği üzerinde durulacaktır.

Genel amaçlı manipülatör olarak tasarlanan SPM‟lerde yapılan başlıca hesap, üst

platform merkezinin istenen doğrusal ve açısal konuma gelmesi için bacakların

ulaşması gereken uzunluklardır. Bu veriler, platformun ters kinematik denklemleri

çözülerek elde edilir. Uç elemanının doğrusal konumu x, y, ve z koordinatları ile

açısal konumu ise Euler açılarına veya global koordinatlardaki açılara dayanan α, β

ve θ olmak üzere ve bacak boyları birinciden altıncıya kadar bir dizi ile ifade edilirse;

SPM‟nin uç elemanının bir yüzeye dokunması gerektiği durumlarda, yüzeye çarpma

anında temas noktasının koordinatlarının hesaplanması veya platformun başlı başına

bir joystick vazifesi gördüğü durumlarda; bacak boyu ölçümlerinden uç noktanın

konumunu verecek bir algoritma gerekmektedir [2]. Bu algoritma ise platformun ileri

kinematiği‟nin çözümüdür.

2.1.1 Stewart Platform Mekanizmasının Ters Kinematiği

Ters kinematik problemin çözümünde verilen uç elemanı koordinatları kullanılarak

bu konumu sağlayacak bacak boylarının hesaplanması gerekmektedir. Giriş

koordinatları mekanizmanın 6 serbestlik derecesi sebebiyle 6 parametre içerir. İlk

üçü doğrusal ve son üçü ise açısal konumlar olmalıdır.

7

ġekil 2.1 : Stewart Platformunun ters kinematik analizinde kullanılan

vektörler

Şekil 2.1‟da gösterilen mekanizma konumu için, uzaydaki konumu bilinen uç

elemanı üzerindeki C noktasını sağlayacak, her bir bacağın alması gereken uzunluk,

(BP vektörünün büyüklüğü), aşağıdaki denklemden (2.1) hesaplanabilir. Düz

kinematikten farklı olarak Stewart Platformu‟nda her bir uç elemanı koordinatına

karşılık tek bir bacak boyu vektörü elde edilebilir. Bu durum analitik çözümü

güvenilir ve hızlı yapmaktadır.

(i=1, 2, 3, ..., 6) (2.1)

Denklem 1.1‟de verilen p vektörü, uzaydaki yeri sabit olan herhangi bir noktadaki

global koordinat eksen takımına göre hareketli platformdaki referans noktasının

konum vektörüdür. Bu vektörün, zamana göre değerinin değişiminin bilindiği kabul

edilecektir. i. bacağa ait pt vektörü ise global koordinat eksenleri yerine başlangıçta

global eksenler ile yönelmeleri aynı olan ve daima C noktasında yer alan bir yerel

koordinat eksen takımına göre, C noktasından bacağın hareketli plakaya bağlandığı

Pi noktasına uzanan vektördür. Global koordinatlarda orijin O noktasından i. bacağın

tabana bağlandığı Bi noktasına uzanan pbi vektörü ise mekanizma tasarımında

belirlenen ve değişmeyen bir parametredir. Bu durumda herhangi bir bacağa ait

uzunluk değerinin hesaplanması için gerekli tek işlem pti vektörünün hareketli

8

platform koordinat sisteminden, global koordinat sistemine dönüştürülmesidir.

Denklem 2.1‟de bu işlemi R matrisi (global dönüşüm matrisi) gerçekleştirmektedir.

Global dönüşüm matrisi, hareketli platformun açısal konumuna bağlı olarak

hesaplanır. Hareketli platformun uzaydaki yönelmesi Euler açıları kullanılarak ifade

edilebilir. Euler açıları hareketli platformun yönelmesini, sırası ile C noktasındaki

koordinat eksen takımına ait Z, X ve tekrar Z eksenleri etrafında yapılan dönmeler ile

ifade etmektedir. Eksenler ve bunların sırası istenildiği gibi değiştirilebilir.

ġekil 2.2 : Döndürülen noktaya ait koordinatların hesaplanması

Şekil 2.2‟de gösterildiği gibi Euler açı teoreminde üç boyutlu bir XYZ koordinat

sisteminde {x,b,c} koordinatlarında yer alan bir noktanın, X ekseni etrafında yaptığı

belirli bir açıdaki dönme sonucu, başlangıç koordinat sistemine göre alacağı yeni

konum {x,q,r}; 3x3‟lük bir dönüşüm matrisi ve döndürülmüş koordinat sistemine

göre noktanın koordinatlarının {x,b,c} çarpımına eşittir.

Herbir eksendeki dönme için o eksendeki açının fonksiyonu olan ayrı bir 3x3‟lük

dönüşüm matrisi yazılabilir. Örneğin Şekil 2.2‟de verilen eksen takımında X ekseni

etrafında α açısı kadar yapılan bir dönme sonucu noktanın alacağı yeni konum, (2.2)

matrisi ile elde edilir.

(2.2)

9

En az iki farklı toplam üç eksende yapılan dönme işlemlerine ait dönüşüm matrisleri

çarpılarak üç boyutlu uzayda mümkün olan tüm yönelmelerin elde edilebileceği bir

global dönüşüm matrisi oluşturulur. Global dönüşüm matrisi oluşturulurken diğer

dönüşüm matrislerinin çarpım sırası önemlidir ve dönüşüm tipini belirler.

Örnek olarak XYZ eksenlerinde sırasıyla yapılacak dönme işleminin global dönüşüm

matrisini ele alalım. Bunlara ait Rx, Ry ve Rz dönüşüm matrislerinin önçarpımı ile

(Rz*Ry*Rx) global dönüşüm matrisi elde edilirse, bu matris “mutlak dönüşüm”

yapar yani tüm dönmeler uzayda yeri ve doğrultusu sabit bir koordinat sisteminin

eksenlerine göre yapılır. Bu durumda referans alınan koordinat sisteminin doğrultusu

yapılan dönmelerden etkilenmez. Eğer dönüşüm matrisleri sırası ile art arda

çarpılırsa (Rx*Ry*Rz) bu durumda, global dönüşüm matrisi “bağıl dönüşüm” yapar

ve buna göre herbir eksen etrafındaki dönme sonrası koordinat sistemi de yeni bir

yönelmeye ulaşır. Bir sonraki döndürme işlemi bu yeni yönelmeye sahip koordinat

sisteminin ilgili ekseni etrafında gerçekleştirilir [1].

2.1.2 Stewart Platform Mekanizmasının Ġleri Kinematiği

Stewart Platformları ve genel olarak tüm paralel manipülatörlerin ileri kinematiğinin

hesaplanmasında iki tip çözüm metodu mevcuttur: analitik çözüm ve sayısal

(tekrarlamalı) çözüm [6].

2.1.2.1 Analitik Yöntem

Genel olarak analitik yöntemler fazla tercih edilmez çünkü analitik çözüm, “Polinom

metodu” adı verilen uzun ve karmaşık bir algoritma ile gerçekleştirilmekte ve

gerçek-zamanlı kontrol için çok ağır kalmaktadır. Bunun yanısıra analitik çözüm,

ters kinematik analizdeki gibi tek sonuç vermemektedir. Herhangi bir tasarımda, aynı

bacak boyları ile sağlanabilecek 8 olası hareketli platform konumu mevcuttur.

Dolayısıyla ileri kinematiğin bir yörüngenin takibi için çözülmesi durumunda, elde

edilen olası konumların doğru konuma ulaşmak için elenmesi gerekmektedir. Bu ise

işlemi daha da karmaşık hale getirmektedir.

10

2.1.2.2 Tekrarlamalı Sayısal Yöntem

Tekrarlamalı yöntem, temelde ters kinematik denklemlerinin çözümünden yola

çıkmaktadır. Denklem 2.3‟de verilen x vektörü, hareketli platformun hesaplanmak

istenen doğrusal ve açısal pozisyonlarını temsil etsin.

(2.3)

Bu durumda Denklem 2.4‟de x‟in fonksiyonu olarak verilen l vektörü, ters kinematik

çözüme ait ve herbiri ayrı bir bacağın uzunluğunu veren 6 denklemi temsil

etmektedir. lm vektörü ise 6 bileşenli ve algılayıcılar vasıtasıyla fiziksel sistemden

ölçülen bacak uzunluklarını içeren bir vektördür. Böylece l denklemleri, doğru

konum vektörüne (x) göre çözüldüğünde Denklem 2.4 sıfıra eşitlenecektir. Bu

sebeple, bu eşitliğin sol tarafı, ileri kinematiğin çözümü için bir hedef fonksiyonu

olarak belirlenebilir.

(2.4)

Hedef fonksiyonunu iterasyondaki mevcut bacak boyu hatasını temsil eden bir e

vektörü ile gösterirsek, e(x) vektörünün x‟e göre alınan gradyen matrisinin tersi,

“Euler açıları Jakobiyen matrisi, Je”dir ve bacak boyu hatalarını platform konumu

değişimlerine bağlar. Bu durumda ölçülen bacak boyu vektörü lm ve herhangi bir

tutarlı başlangıç konumu x için denklem 2.5, sürekli olarak doğru x konumuna

yakınsayacaktır.

(2.5)

İterasyonlar, bağıl hata denetlenerek durdurulabilir. e vektörünün bileşenlerinin

ölçülen boya (lm) göre oranlarının bulunması ve bu oranların en yüksek olanının

belirlenen bir hata değerinin altında kalması durumunda (Denklem 2.6) son bulunan

iterasyon sonucu doğru olarak kabul edilir ve bir sonraki zaman adımına geçilir.

(2.6)

Kontrol amacı ile sayısal yöntemlerin kullanılması oldukça yaygındır çünkü çok

basit ve hızlı bir algoritma ile birkaç iterasyonda doğru sonuca

11

yakınsayabilmektedirler. Tek koşul, algoritmaya verilen hareketli platforma ait

başlangıç konumunun gerçek konuma yeteri kadar yakın olmasıdır. Aksi halde

çözümler, başlangıç konumundan daha yakın olan başka bir olası platform konumuna

yakınsayabilmektedir. Platform sisteminin her zaman kullanıcı tarafından bilinen bir

konumdan başlatılması ve her iteasyonda ulaşılan doğru pozisyonun bir sonrakinde

başlangıç değeri olarak kullanılması durumunda, algoritmanın sorunsuz çalıştığı

görülmüştür.

Literatürde bu yöntemin tek dezavantajı olarak Jakobiyen matrisinin her iterasyon

adımında tekrar hesaplanması ve bunun sonucunda çözümün yavaşlaması

gösterilmiştir. Buna çözüm olarak kullanılan Jakobiyen matrisinin bir veya birkaç

iterasyon adımında daha kullanılması tavsiye edilmiş ve bu yönteme “değiştirilmiş

Newton-Raphson yöntemi” adı verilmiştir [6].

Paralel manipülatörlerin kinematik hesaplarında kullanılan Jakobiyen matrisleri,

sistemdeki eyleyici konumlarındaki küçük değişimleri uç elemanının konum

parametrelerinin değişimine bağlamaktadır. İleri kinematik denklemlerinin sayısal

çözümünde önemli rol oynamalarının yanısıra paralel robotların konum kontrolünde

dikkat edilmesi gereken tekil konfigürasyonların analizinde de bu yöntem

kullanılmaktadır. Statik ve dinamik analizlerde eyleyici kuvvetlerini, platformun

eksenlerde uygulayabildiği kuvvet ve momentlere bağlayan denklemler de bu

matrisleri içermektedir.

Bu sebeple bu bölümde Jakobiyen matrislerinin hesaplanması ve bunların tekil

konfigürasyonlar ile ilişkisine değinilecektir.

2.2 Stewart Platform Mekanizmasına ait Euler ve Kinematik Jakobiyenin

Hesaplanması

i. bacak vektörü‟nün (li) genel formülü; pt, hareketli platform eksen takımına göre

hareketli platformun merkezinin bacakların bu platformdaki bağlantı noktalarına olan

uzaklığı; pb, referans koordinat eksen takımına göre bacakların taban bağlantı

noktalarının koordinatları ve p, hareketli platform merkezinin referans koordinat

takımına göre konum vektörü olmak üzere aşağıdaki şekilde verilebilir;

12

(2.7)

Global Dönüşüm Matrisi‟nin (R) hesaplaması Euler XYZ koordinat eksenleri için

aşağıdaki gibidir.

(2.8)

Denklem 2.7‟de verilen ifade aşağıdaki şekilde açılabilir;

(2.9)

Uç eleman konum koordinatlarının değişimi ile bacak uzunluklarının değişimleri

arasındaki bağıntı Euler Jakobiyen (Je) matrisinin tersi ile belirlenir (Merlet, 1993);

(2.10)

Ters kinematik Jakobiyen matrisi, bacak vektörlerinin (li), uç eleman konum vektörü

(x=[x, y, z, α, β, θ]‟) bileşenlerine göre kısmi türevlerinin alınması ile hesaplanır;

(2.11)

Oluşturulan matrisin tersi ise bacak uzunluğu değişimlerini, konum değişimlerine

ilişkilendiren bağıntıyı yani Euler Jakobiyen matrisini (Je) ortaya çıkarmaktadır.

(2.12)

Denklem 2.13‟de bu matrisin elemanlarının hesaplanması için kullanılan denklemler

verilmiştir;

13

14

(2.13)

Denklem 2.13‟deki bazı çarpanlar aşağıdaki gibi değiştirilebilir;

(2.14)

Denklem 2.14‟de lij, i‟nci bacağa ait vektörün j‟nci bileşenini temsil etmektedir.

Buradan Denklem 2.13‟ye ait ilk üç eşitlik aşağıdaki gibi değiştirilebilir:

(2.15)

Kalan üç eşitlikte ise bir takım düzenlemelere gidilir ise skaler nokta çarpım

operatörünü (.) kullanarak daha basit gösterimler elde edilebilir.

15

(2.16)

Tüm matris elemanlarının ifadelerinde birim bacak vektörleri bulunmaktadır. Her bir

bacağın alt bağlantı noktalasından üst bağlantı noktasına yaptığı yönelmeyi belirten

bu birim vektörler

(2.17)

ile temsil edilirse ters kinematik Euler Jakobiyen matrisinin her biri bir bacağa ait

olan satırlarını aşağıdaki bileşenler oluşturur:

(2.18)

Euler ters Jakobiyeni bacak uzunlukları değişimini genelleştirilmiş koordinatların

değişimi ile ilişkilendirir.

Denklem 2.18‟deki ifade bacak boylarının değişimini, hareketli platformun

yönelmesinde kullanılan koordinat sisteminin parametre değişimlerine bağlı olarak

vermektedir. Buna karşın uç elemanının yönelme değişimi referans koordinat eksen

takımının herbir ekseni etrafında yaptığı 3 açısal hız değişkeni cinsinden ifade

edilebilir. Bunun için Denklem 2.7‟teki ifadenin zamana göre türevi alınırsa;

(2.19)

p vektörünün referans koordinat merkezinden hareketli platform merkezine uzanan

vektör olduğu göz önünde bulundurularak, bu vektörün zamana göre türevinin uç

elemanının öteleme hız vektörü (V=[νx, νy, νz]‟) olduğu kabul edilebilir. Buna göre

ifadede bir takım düzeltmeler yapılırsa;

(2.20)

16

Açısal hız vektörü Ω=[ωx, ωy, ωz]‟ olarak tanımlanırsa hareketli platform

merkezinden i. üst bağlantı noktasına uzanan vektörün zamanla değişimi;

(2.21)

Tüm bu eşitlikler Denklem 2.20‟de yerine konur ve Denklem 2.17‟den yararlanılarak

vektörel formda gösterilirse

(2.22)

şeklini alır. Eşitliğin sağ tarafındaki ikinci terimde skaler çarpımın özelliklerinden

yararlanılarak açısal hız vektörü nokta çarpanı ile ifade edilir.

(2.23)

Denklemdeki doğrusal V ve açısal Ω hız vektörleri birlikte W=[V, Ω]‟ vektörünü

oluştururlar. Bu vektör uç elemanının referans koordinatlardaki hızlarını ifade eder

ve bu sebeple uç elemanının genelleştirilmiş koordinatlardaki hız vektörü olarak

adlandırılır.

(2.24)

Görüldüğü gibi son bulunan eşitlik uç elemanı doğrusal ve açısal hızlarını bacak

boyu değişimlerinin bir fonksiyonu olarak vermektedir. Dolayısıyla eşitliğin sağ

tarafındaki diğer çarpan bir başka Jakobiyen ifadesidir. Literatürde bu matris

kinematik Jakobiyen (J)‟in tersi olarak adlandırılır ve bu jakobiyen daha çok tekillik

analizlerinde kullanılmaktadır.

(2.25)

2.3 Plücker Vektörlerinin Jakobiyen ile Bağıntısı

Uzaydaki bir doğruyu tanımlamakta kullanılan Plücker vektörleri 6 bileşenden

oluşurlar. Doğrunun genel analitik tanım denklemine göre fazladan 2 parametre daha

içeren bu P vektörü Şekil 2.3‟de gösterilen O merkezli koordinat sisteminde M1 ve

17

M2 noktalarından geçen bir doğru için Denklem 2.26‟da gösterildiği şekilde

hesaplanabilir.

ġekil 2.3 : Plücker vektörü ile ifade edilen bir doğru

(2.26)

Herhangi sıfırdan farklı bir skaler değer ile çarpılmış p vektörü, her zaman bir

doğruyu temsil edecektir. 6 boyutlu bir Plücker vektörü sadece q sıfırdan farklı bir

vektör olmak üzere p.q=0 koşulu sağlandığında bir doğru tanımlar [7]. Plücker

vektörleri M1M2 uzunluğuna göre normalize edilirse denklem 2.27‟e dönüşür.

(2.27)

Bir paralel robot için M1 ve M2 noktaları bacaklardan birinin üst ve alt platforma

bağlantı noktalarını temsil etsin. Bu durumda, normalize edilmiş Plücker vektörünün

pn kısmı, birim bacak boyu vektörü ni„ye eşit olacaktır.

Burada Plücker vektörlerinin bir diğer önemli özelliği de ele alınmalıdır. u ve v,

sıfırdan farklı iki keyfi vektör olarak tanımlansın. Bu durumda [p1, u × p1] olarak

tanımlanan bir Plücker vektörü ile [p1, v × p1] olarak tanımlanan bir başka Plücker

vektörü aynı doğruyu temsil ederler.

Plücker vektörlerinin açıklanan özelliklerinden yola çıkarak denklem 2.24 ile ifade

edilen ters kinematik Jakobiyen matrisinin satırlarının bacakların bağlantı noktaları

18

arasında uzanan doğruları temsil eden Plücker vektörlerinden meydana geldiği

görülecektir. Bu durum tekillik analizlerinde önemli bir rol oynamaktadır.

SPM için ortaya konulan bu tanımlama paralel manipülatörler için genel bir teorem

olarak ifade edilebilir. Buna göre; uzuvları uç elemanına bir küresel mafsal ile bağlı

olan bir paralel manipülatöre ait ters Jakobiyen matrisi uzuvlarını uç elemanına

bağlayan doğruya ait Plücker vektörlerinden oluşmaktadır [2].

2.4 Tekillik

Kinematik tekillik; uç elemanı konumunu ve mafsal parametreleri arasındaki ilişkiyi

ifade eden denklemlerden bir veya daha fazlasının lineer bağımlı hâle gelmesi ile

ortaya çıkan durumdur. Bu durum tekil konfigürasyon adı verilen konumlarda

görülmektedir.

Matematiksel olarak tekil konfigürasyonlarda ters jakobiyen matrisinin rankı

düşmekte ve tekil bir matrise dönüşmektedir. Mekanizmanın rijitliğini kaybetmesine

yol açan bu konumlar, sistemin kontrol edilemez duruma gelmesine ve eyleyici

kuvvetlerinin yetersiz kalmasına sebep olmaktadır. Bu kuvvetler kapalı zincir

mekanizmadaki bileşenlere zarar verebilecek seviyelere ulaşabilmektedir. Buradan

tekillik analizinin tasarım aşamasında neden büyük önem taşıdığı anlaşılabilir.

Θa aktif mafsal değişkenlerini (açısal veya doğrusal konum), X uç elemanının

konumunu ve W ise uç elemanının açısal ve doğrusal hızlarını ifade eden vektörler

olsun. Θa‟nın zamanla değişimi ile W arasındaki bağıntı A ve B gibi iki katsayı

matrisi ile birlikte ifade edilirse;

(2.28)

Eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten tekillik durumu için üç farklı sınıflandırma

yapılabilir.

1-Tipi tekillik (seri tekillik); A‟nın tekil olması durumunda platformun hareket

etmediği durumlar için (W=0) sıfırdan farklı bir mafsal hız vektörü (dθa) elde edilir.

Bu tip tekil konfigürasyonlara yaklaştıkça mekanizma nispeten büyük mafsal hızları

için küçük uç elemanı hızları yaratmaktadır. Böyle bir durum; hareket kontrolünü

kötü etkilemesine rağmen bir avantaj da getirir. Sistem bu konumlara yaklaştıkça

19

hareket hassassiyetini arttırır. Dolayısı ile özel bir tasarım yapılarak bu tip

durumların sağladığı yüksek hassasiyetten yararlanılabilir.

2-Tipi tekillik (paralel tekillik); B‟nin tersinin alınamadığı durumlardır. Mafsal

hızlarının sıfır olması halinde bile platformun hareket serbestisine sahip olmasına yol

açan konfigürasyonlardır. Bu tip konumların getirdiği iki risk vardır. Birincisi sistem

artık kontrol edilemez duruma gelir. İkincisi ise ortaya çıkan büyük kuvvetler

arızalara sebep olabilir.

3-Tipi tekillik; hem A hem de B‟nin tekil olduğu durumdur. Aktif mafsalların

kilitlendiği durumlarda bile uç eleman hareket edebilir veya uç eleman sabit olsa bile

mafsalların hareket etmesi mümkün olabilir.

Paralel tekillik; mekanizmaya hasar verme kapasitesine sahip ve çalışma uzayında,

bu duruma ait tekil konfigürasyonların büyük yer kaplaması sebebiyle diğer tip

tekilliklerden daha fazla önem taşımaktadır [2].

2.4.1 Tekillik Endeksi

Manipülatörlerde güvenilir bir sistem ortaya çıkarmak amacıyla tekil

konfigürasyonların da göz önünde bulundurulması gerekmektedir. Tekil

konfigürasyonlardan kaçınmak için iki tasarım yöntemi mevcuttur. Birincisi tekil

konumların manipülatörün çalışma uzayı dışında tutulması ikincisi ise tekil

konumlara olan yakınlığın hareket esnasında denetlenmesi ve sistemin yörüngesinin

böyle bir konumun yakınından geçmesi durumunda kontrol sisteminin bu yörüngeyi

değiştirmesi veya sistemi tamamen durdurmasıdır.

Uç eleman yörüngesinin değiştirilmesinin her uygulamada mümkün olmaması ve

özellikle gerçek zamanlı kontrol edilen sistemlerde yeni bir yörünge tanımlaması

konusunda kullanışlı yöntemler geliştirilememesi sebebiyle günümüzde en çok tercih

edilen tasarım yöntemi bu konfigürasyonların çalışma uzayından çıkarılmasıdır.

Mekanizmanın tekil bir konfigürasyona olan yakınlığı sistem Jakobiyen matrisin

özdeğerleri incelenerek hesaplanabilir. Özdeğerlerinin herhangi birinin sıfıra

yakınsaması durumunda sistemin tekil bir konfigürasyona yaklaştığı anlaşılır.

Literatürde tekillik endeksi olarak adlandırılan bir değer bu tip kritik konumları

belirlemede kullanılmaktadır. Tekillik endeksi Jakobiyen matrisinin determinantıdır

ve böylece özdeğerlerin sıfıra yaklaşması durumunda sıfıra doğru yakınsar.

20

Jakobiyen determinantının yanı sıra kinetik enerji ve farklı tip normlar kullanarak

tekillik için daha güvenilir ve anlamlı bir endeks türetilmesi konusunda çalışmalar

yapılmaktadır [8].

Yapılan benzetimlerde elde edilen ölçümler ve gözlemler sonucunda tekil

konfigürasyonların tipine göre daha geniş bir bölgede etkili oldukları belirlenmiştir.

Örneğin bir SPM‟nin bilinen tekil konfigürasyonlarından birinin uç elemanının düşey

ekseni etrafında ±90° açılarla yaptığı dönmelerde ortaya çıktığı bilinmektedir ancak

sistem tekilliğe 90 derecelik dönüş tamamlanmadan girmekte ve yaklaşık 60

derecelik bir dönüş sonrasında sistemin geri dönmek için ihtiyaç duyduğu eyleyici

kuvveti aşırı seviyede yükselmektedir. Bu konumdan itibaren platform serbestlik

derecesi kazanarak harekete devam etmekte ve sonucunda tekil konfigürasyona

ulaşıldığında benzetim sayısal çözüme ulaşılamaması sebebi ile durdurulmaktadır.

2.5 Statik Analizde Temel Bağıntılar

Eyleyici kuvvetleri (τ) ve genelleştirilmiş kuvvet vektörü (f) (Jakobiyen ile elde

edilen uç elemanına uygulanan kuvvet ve moment vektörü) arasındaki temel bağıntı,

seri ve paralel manipülatörler için aynı olup Jakobiyen matrisinin (J) transpozesine

bağlı olarak denklem 2.29‟da gösterilmiştir.

(2.29)

Genelleştirilmiş kuvvet vektörünü ifade eden eşitlik denklem 2.30‟da gösterildiği

gibi kinematik Jakobiyenin tersinin transpozesini içermektedir.

(2.30)

Jakobiyen matrisinin hesaplanmasında kullanılan platformun konum vektörüne (x)

ait bileşenler kuvvet ve momentlerin belirli bir çalışma noktası etrafında geçerli

olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla farklı bir konum için yapılan statik analizde

Jakobiyen matrisi tekrar hesaplanmak zorundadır.

2.6 Statik Analizin Kullanım Alanları

Statik analiz bir paralel manipülatörde belirli bir uç eleman konumu için eyleyici

kuvvet ölçülmesi ile genelleştirilmiş kuvvetlerin hesaplanmasında veya

21

genelleştirilmiş kuvvetlerden dengeleyici eyleyici kuvvetlerinin hesaplanmasında

kullanılabilirler.

Paralel manipülatör tasarımında, statik analiz ile uç elemana etki eden

genelleştirilmiş kuvvetlerin yaklaşık sınır değerleri bilindiğinde kullanılacak

eyleyicilerin sahip olması gereken en yüksek kuvvet değerleri belirlenebilir. Aynı

şekilde eyleyicilerin sınırları biliniyorsa uç elemana uygulanabilecek yüklemeler

hesaplanabilir [2].

Literatürde, bir manipülatörün herhangi bir konumu için değişim aralığı belirlenmiş

genelleştirilmiş kuvvetlerden en yüksek eyleyici kuvvetlerini hesaplamayı amaçlayan

çalışmalar mevcuttur. Aynı şekilde sınırlandırılmış eyleyici kuvvetlerinden

genelleştirilmiş kuvvet sınırlarını belirleme çalışmaları da yapılmaktadır. Ayrıca

çalışma uzayı içerisinde bu iki vektörün en yüksek değerlerini arayan algoritmalar da

geliştirilmektedir.

Statik dengedeki eyleyici kuvvetleri ve uç eleman kuvvet/momentleri arasındaki

bağıntılar sayesinde yapılan araştırmalar paralel manipülatörlerin kuvvet sensörü

olarak kullanılabileceğini de ortaya koymaktadır. Böylece bacaklarına birer adet

kuvvet algılayıcısı yerleştirilmiş 6-UPS manipülatör uç elemanına etkiyen

kuvvetlerin algılanması amacıyla kullanılabilmektedir.

22

3. DĠNAMĠK

Bu bölümde 6-6 UPS Stewart Platform Mekanizmaları için ileri ve ters dinamik

denklemleri türetilerek uç organa ait genelleştirilmiş ivme, hız ve koordinatlar ile

eyleyici kuvvetleri arasındaki ilişki kurulmuştur.

3.1 Dinamik Modeller

Paralel robotların kontrolünde aşağıda sınıflandırılan uygulamalar için sistem

dinamiği önemli bir rol oynamaktadır [2]:

1) Hızlı ve/veya ağır yük taşıyan robotlar: uçuş simülatörleri veya birtakım

manipülatörler nispeten daha geniş bir çalışma uzayına ihtiyaç duyarlar ve bu

uzayda uç organın hareketlerinde dinamik etkiler önemli rol oynar.

2) Yüksek bant genişliğine sahip robotlar: daha çok titreşim simülatörü olarak

kullanılan bu tip robotlar dar bir çalışma uzayında yüksek frekansta hareket

ederler.

3) Yapısal olarak hassas robotlar: düşük hızdaki dinamik etkilerin sistem

davranışını değiştirebildiği robotlardır. Kablo uzuvlara sahip veya esnek

uzuvlu robotlar bu sınıftadırlar. Özellikle yüksek hızlı parça işleme

durumlarında dinamik hatalar statik hatalardan daha ciddi etkilere sahiptir.

İki farklı tip dinamik model mevcuttur:

Ters dinamik: uç organa ait verilen yörünge, hız ve ivme bilgileri için gerekli

eyleyici kuvvetlerinin hesaplanmasıdır.

İleri dinamik: eyleyici kuvvetlerinin bilindiği durumlar için uç organdaki anlık

konum, hız ve ivme değerlerinin elde edilmesidir.

3.2 Ġleri ve Ters Dinamik Denklemlerin Elde Edilmesi

Herhangi bir bacağın (i. bacak) üst tablaya bir küresel mafsal ile bağlandığı nokta Bi

olsun. Bu noktadan tablaya etkiyen kuvvet fi iki bileşene ayrılabilir. Birincisi birim

23

bacak vektörü ni doğrultusunda etkiyen ilgili eyleyici kuvvet büyüklüğü τi, diğeri ise

ni‟ye dik olan ve eylemsizlikten kaynaklanan fNi kuvvetidir. (Şekil 3.1) Bu durumda

fi kuvveti denklem 4.1 ile ifade edilir;

(3.1)

FN, tüm bağlantı noktalarından etkiyen fNi kuvvetlerinin toplamı ve MN bu

kuvvetlerin C noktası etrafında meydana getirdiği toplam moment ise F ve M, uç

organ üzerindeki C noktasına etkiyen toplam kuvvet ve moment olmak üzere denge

denklemleri 3.2 ve 3.3‟de verildiği gibi olacaktır.

(3.2)

(3.3)

ġekil 3.1 : Dinamik denklemlerde kullanılan kuvvet ve momentler

σ ve σN, 6 bileşenden oluşan iki vektör olsun;

(3.4)

(3.5)

Denklem 3.2 ve 3.3 tek bir eşitlik ile 3.6‟daki gibi ifade edilebilir.

(3.6)

24

G noktası hareketli platformun ağırlık merkezini temsil etsin. Simülatör veya bir

başka amaç için kullanılan fiziksel hareket platformunun ağırlık merkezi, genellikle

üst tablanın merkezi olarak kabul edilen uç organ referans noktası C ile çakışık

olmayacaktır ve dolayısı ile büyüklüğü sıfırdan farklı olan bir GC uzaklık vektörü

mevcut olacaktır. Ağırlık merkezine göre elde edilen fiziksel parametreler, bu

vektörden de yararlanarak referans C noktasındaki konum, hız ve ivme değerlerinin

hesaplanmasında kullanılacaktır. G noktasına etkiyen moment;

(3.7)

Newton-Euler denklemleri kullanılarak kuvvet ve moment denklemleri elde edilir.

(3.8)

(3.9)

Burada g, yerçekimi ivmesi; γG, G noktasındaki doğrusal ivme vektörü; m, hareketli

platform kütlesi; I, hareketli platformun ağırlık merkezi etrafındaki 3x3‟lük

eylemsizlik matrisi ve Ω, uç organın açısal hız vektörüdür.

C noktasındaki doğrusal ivme γC; G noktasındaki doğrusal ivmeye bağlı olarak γG

hesaplanabilir.

(3.10)

Denklem, 3.8‟de yerine konulursa 3.11 eşitliği elde edilir. Burada üzeri çizili GC

vektörü bu vektörün skew-simetrik matris halini temsil etmektedir. Bu matris sadece

bir başka vektör ile çarpım yapılacağı zaman oluşturulmaktadır.

(3.11)

Bu eşitlikten faydalanarak ve denklem 3.7, 3.9 ve 3.10 kullanılarak;

(3.12)

Hareketli platformun açısal hızı olan ω;

(3.13)

25

3.11 ve 3.12‟de verilen eşitlikler matris şeklinde ifade edilirse;

(3.14)

Burada dW/dt vektörü, uç organın genelleştirilmiş koordinatlardaki hızının zamana

göre türevini ifade etmektedir. Buradaki 6x6‟lık T1 matrisi ve 6 bileşenli T2 vektörü

aşağıda tanımlanmıştır. I3 ifadesi 3x3‟lük birim matrisi göstermektedir.

(3.15)

(3.16)

Burada 3.6 ve 3.14 eşitlikleri kullanılarak;

(3.17)

Elde edilir. Eğer γi, Bi noktasındaki doğrusal ivmeyi temsil ederse;

(3.18)

Bu denklem matris şekline dönüştürülür ise;

(3.19)

Elde edilir ve burada U1i matrisi 3x6‟lıktır, U2i ise 3 bileşenli bir vektördür.

(3.20)

(3.21)

γi vektörünün ni vektörüne dik bir düzleme alınan izdüşüm vektörü γNi olsun. Bu

vektör;

(3.22)

Olarak tanımlanır. Matris şekline dönüştürüldüğünde bu denklemler;

(3.23)

26

Hareket platformunun bacakları doğrultusunda z-ekseninin yerleştirildiği ve orijini,

sabit tablaya bağlantı noktaları Ai‟de olan koordinat eksen takımları ele alınırsa, her

bir bacağın kendi koordinat eksen takımında x ve y-eksenleri etrafında yaptığı atalet

momentleri birbirine eşit ve Ji değerinde kabul edilebilir. Z-ekseni etrafındaki

eylemsizlik gözardı edilebilecek kadar küçük kabul edilirse fNi vektörü;

(3.24)

σN vektörünün bileşenleri olan FN ve MN değerleri;

(3.25)

(3.26)

3.23 ve 3.24 eşitlikleri kullanılarak;

(3.27)

(3.28)

Son iki eşitlik σN‟i bulmak üzere birleştirilirse;

(3.29)

Burada V1 6x6‟lık bir matris, V2 ise 6 bileşenli bir vektördür;

(3.30)

(3.31)

Denklem 3.17 ve 3.29 kullanılarak;

(3.32)

Dolayısıyla 6-UPS tipi paralel mekanizma için ileri dinamik denklemi 3.33 ile

gösterilmiştir.

27

(3.33)

Temel matris işlemleri ile kontrol amaçlı kullanılan ters dinamik denklemi de 3.34 ile

verilmektedir.

(3.34)

3.3 Tasarım Hedefleri

Bir simülatör sistemini hareketlendirme görevini üstlenecek Stewart Platform

mekanizmasının tasarım çalışmaları için referans alınması gereken performans

kriterlerine ihtiyaç duyulacaktır. Bu performans kriterleri sistemin simülatör amaçlı

kullanılması sebebiyle, konumlandırma hassasiyeti gibi kriterlerden çok doğrudan

tek eksen üzerinde veya kombine konumlandırma (yer değiştirme), hız ve ivme

sınırları ile ilgilidir. Ayrıca robotun kaplayacağı hacim ve boyut sınırlamaları da

önceden hesaba katılmalıdır. Bu amaçla tasarım hedeflerine örnek teşkil etmesi

amacıyla Moog Inc. firmasına ait Series 6DOF2000E model paralel konumlandırıcı

mekanizmanın (Şekil 3.2) sahip olduğu özellikler ele alınacaktır.

ġekil 3.2: Moog Series 6DOF2000E modeli

Bu özelliklerden dinamik performans ile ilgili olanları Çizelge 3.1‟de verilmiştir.

Bunların yanısıra sistemin yere sabit taban kısmının yerde kaplayacağı en geniş

alanın 1.84(m)×1.84(m) olacağı belirtilmiş ve üst hareketli platformun bacak bağlantı

28

noktalarından geçen bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğunun 1.5 m olduğu

bilinmektedir. Platformun başlangıç pozisyonundaki yüksekliği 0.71 m‟dir.

Çizelge 3.1 : Moog Series 6DOF2000E Modeline ilişkin performans

çizelgesi

Serbestlik

Derecesi

Birleşik Yer

Değiştirme

Tek Eksende

Yer Değiştirme Hız İvme

Tx -

Surge ± 270 mm ± 250 mm ± 500 mm/s ± 0.6 g

Ty -

Heave ± 180 mm ± 180 mm ± 300 mm/s ± 0.5 g

Tz -

Sway ± 260 mm ± 250 mm ± 500 mm/s ± 0.6 g

Rx - Roll ± 22° ± 21° ± 30°/s ± 500°/s²

Ry - Yaw ± 23° ± 22° ± 40°/s ± 400°/s²

Rz - Pitch + 25° / - 23° ± 22° ± 30°/s ± 500°/s²

Seçilen hareket platformu 1000 kg yük taşıyacak şekilde tasarlanmıştır. Dolayısı ile

tüm performans ölçümleri bu yük altında gerçekleştirilecektir.

Üretici firma kataloglarında 305 mm ile 1575 mm arasında değişen strok boylarına

sahip doğrusal eyleyiciler sunabildiğini belirtmektedir. Bu bilgi de tasarım kriterleri

arasında kullanılacaktır.

29

4. ÇALIġMA UZAYI

4.1 Parametre Uzayı YaklaĢımı

Günümüzde paralel robotların geometrisine bağlı olarak çalışma uzayını ortaya

çıkarmak üzere kullanılabilecek üç tür yöntem mevcuttur. Bunlar; ayrıklaştırma

metodu, geometrik yaklaşımlar ve sayısal yöntemlerdir. Bu yöntemler yerine göre

oldukça kullanışlı olmalarına karşın tasarımı belirleme amacıyla değil ancak tasarımı

doğrulama amacıyla kullanılabilmektedir [2], [9].

Bu bölümde önerilecek yöntem ise bunlardan farklı olarak istenen sayıda ve çalışma

uzayının sınırına yakın seçilmiş noktalarda konumlandırma gerçekleştirebilecek

geometrik tasarım parametreleri için kullanılabilir aralıkları sunmaktadır. Temeli

Parametre-Uzayı Yaklaşımı‟na dayanan bu algoritma içerisinde Aralık Analizi

yöntemi (Interval Analysis) de kullanılarak hesap süresi olabildiğince

kısaltılmaktadır. Parametre-uzayı yaklaşımında incelenebilecek farklı parametre

sayısında bir sınır olmayıp, parametrelerin çoğalması hesap süresini doğrusal

olmayan bir şekilde arttırmaktadır. Aralık analizi yöntemi ise her farklı geometri için

deneme-yanılma işlemini sadece noktaları her köşesi için sağlayabilen prizmaları

parametre uzayı içerisinde aramak amacıyla kullanılmaktadır.

Algoritmanın çalışması şu şekildedir: Öncelikle uzay içerisinde belirlenmiş olan

minimum ve maksimum sınır noktalarının köşelerini oluşturduğu bir prizmanın

uygunluğu her köşesi için bir sağlama yapılarak kontrol edilir. Eğer her köşe için

noktaların tümü sağlanıyorsa prizma kabul edilir ve işlem sona erdirilir. Bu

belirlenen parametre sınırları içerisinde seçilen her parametre kümesinin bu çalışma

uzayını sağlayabileceği anlamına gelir. Eğer bir nokta bile sağlanamıyorsa, bu

sağlamayı engelleyen parametre köşe sıralarına bakılarak bulunur ve bu prizma o

parametrenin maksimum ve minimum değerine ait kenarından ikiye bölünür

(Bisection) (Şekil 4.1). Büyük prizma kabul edilmez ve algoritma aynı şekilde

küçültülen prizmalar üzerinden devam ettirilir. Bölme işlemi prizmanın en büyük

kenar uzunluğunun belirli bir sınırın altına inmesi ile sona erdirilir ve artık o prizma

daha fazla incelenmez. Bu en küçük kenar uzunluğu sınırı, ilgili parametrenin

30

inceleme aralığının belirli bir sayıya bölünmesi ile incelenir. Ardından bir sonraki

prizma ile incelemeye devam edilir. Kabul edilmeyen tüm prizmaların kenar

uzunluklarının sınırın altında kalması veya tüm prizmaların kabul edilmesi ile

algoritma sona erer.

ġekil 4.1 : Parametre prizmasında b değişkeni için bölme (bisection)

işleminin uygulanması

4.2 SPM’ye Uyarlanması

Parametre-Uzayı yaklaşımının kullanışlı bir biçimde SPM‟ye adapte edilmesi için

öncelikle mekanizmanın sahip olduğu geometrik parametre sayısının olabildiğince

azaltılması gerekmektedir. Literatürde sıkça kullanılan geometrik gösterimler

genellikle toplam 6 tasarım parametresi içerir. Bunlar; tabana ait dairesel platform

yarıçapı (Rb), hareketli dairesel platform yarıçapı (Rt), tabandaki ve üst platformdaki

ardışık iki mafsalın taban merkezine göre yaptığı açılar (2*α ve 2*β), strok uzunluğu

belirli olan bacakların sahip olduğu minimum veya maksimum toplam uzunluk (Lm)

ve üst ve taban platformların yatay düzleme paralel iken birbirlerine göre olan

montaj açılarıdır (γ). Bu değişkenler Şekil 4.2‟de gösterilmektedir.

31

ġekil 4.2 : SPM geometrisi için karakteristik parametreler

İki platformun bağıl montaj açılarının (γ) tasarımda sıfır kabul edilmesinden dolayı

bu parametre hesaba dahil edilmeyecektir. Kalan 5 parametre arasında en fazla önem

taşıyanlar platform yarıçapları ve bacak uzunluklarının sınırlarıdır. Bacak

uzunlukları, en fazla eyleyicinin strok boyu kadar değişebileceğinden, maksimum ve

minimum uzunluklar aslında aynı parametreye diğer bir deyişle eyleyicinin en kısa

durumundaki (Retracted) boyuna bağlıdırlar.

5 parametrenin tamamının tasarımda önemli bir rol üstlenmesine karşın, parametre

uzayında yapılan taramanın ardından elde edilen kullanılabilir parametre aralıklarına

ilişkin verilerin grafiksel olarak tasarımcıya aktarılması mümkün olamamaktadır. Bu

sonuçların ancak 3 eksenli bir grafik ile tasarımcıya aktarılabileceği düşünülerek 5

parametrenin en az önem arzeden 2 tanesi yani α ve β açıları sabit kabul edilecek ve

kalan üç parametre olan Rt, Rb ve Lm aralıkları belirlenecektir.

4.3 Parametre Aralıklarının Tanımlanması

Sabit tutulacak olan α ve β açılarının değerleri 5° olarak öngörülmüştür. Hareketli

platform yarıçapının, tasarım parametrelerinde verilen eşkenar üçgen kenar uzunluğu

(a = 1.5 m) kullanılarak (Şekil) 800 mm değerinin altında bir değer alması

32

öngörülmüştür. Aynı şekilde tabandaki sabit platform yarıçapı için de, sistemin yer

yüzeyinde kapladığı dörtgen alana (1.84m×1.84m) sığabilecek en büyük dairenin

yarıçap değeri (Rb ≈ 900 mm) referans alınmıştır. Bu verilere göre incelenecek

yarıçap aralıkları yapılan denemeler ışığında üst tabla için [500 mm, 800 mm] ve alt

tabla için [800 mm, 1100 mm] olarak belirlenmiştir.

ġekil 4.3 : Hareketli platform yarıçapının belirlenmesi

Üretici tarafından sunulabilen minimum ve maksimum doğrusal eyleyici strok

uzunlukları 305 mm ve 1575 mm olarak belirtilmiştir. Strok uzunlukları, Şekil 4.4‟de

gösterildiği gibi eyleyici boylarının en uzun ve en kısa boylarının belirlenmesinde

kullanılacaktır.

Burada eyleyici boylarının belirlenmesinde hareketli platform konumları için

bacakların alacağı yaklaşık boylar için bir hesaplama yapılmıştır.

ġekil 4.4 : Eyleyici boylarının hesaplanmasında strok boyunun kullanılması

33

Bu hesaba göre parametre uzayı yaklaşımından daha önce alınan sonuçlardan

faydalanarak Rt=600 mm ve Rb=900 mm parametreleri için seçilecek eyleyicinin

kapalı boyu 830 mm‟den düşük, tam açık boyu ise 1170 mm‟den yüksek olmalıdır.

Buna göre strok boyu en az 340 mm olmalıdır.

4.4 ÇalıĢma Uzayı Sınır Noktalarının Belirlenmesi

ġekil 4.5 : Çalışma uzayından seçilen altı sınır noktası

Bu koşullar ile incelenecek mekanizmaya ait hareketli tabla merkezinin konumunun

referans alınan tasarım hedeflerinde belirtildiği gibi taban merkezinden 710 mm

yükseklikte bir noktada olması planlanmıştır. Dolayısı ile uzaydan seçilecek

noktaların bu başlangıç konumuna bağlı olarak konumlandırılması gerekmektedir.

Şekil 4.5‟de mekanizmanın sahip olması istenen öteleme çalışma uzayı elipsoidinden

seçilen 6 nokta kırmızı renk ile işaretlenmiştir. Algoritmadan beklenen hareketli üst

tabla merkezi olan C noktasının bu 6 noktaya da ulaşmasını sağlayabilecek

geometrik parametreleri elde etmesidir. Bu elipsoidin üzerindeki noktalar tasarım

hedeflerinde belirtilen öteleme koordinatlarından ibarettir ve bu konumlarda

platformun yönelmesi değişmemektedir.

34

Tasarım sırasında sistemin ulaşması gereken uzaysal koordinatlar tek eksendeki yer

değiştirmeler olarak Çizelge 4.1‟de verilmiştir. Bu koordinatlar toplam 12 adet

olmak üzere mekanizmanın sağlaması gereken konumlar kümesini oluşturmaktadır.

Algoritmanın amaç pozisyonları Çizelge 4.1‟deki gibi girilmiştir.

Çizelge 4.1 : Parametre Uzayı yaklaşımı ile sistemin sağlaması gereken

konumlar

Nokta

No.

X

Konum

[mm]

Y

Konum

[mm]

Z

Konum

[mm]

X Açısı

[°]

Y Açısı

[°]

Z Açısı

[°]

1 250 0 0 0 0 0

2 -250 0 0 0 0 0

3 0 180 0 0 0 0

4 0 -180 0 0 0 0

5 0 0 250 0 0 0

6 0 0 -250 0 0 0

7 0 0 0 21 0 0

8 0 0 0 -21 0 0

9 0 0 0 0 22 0

10 0 0 0 0 -22 0

11 0 0 0 0 0 22

12 0 0 0 0 0 -22

4.5 Hesaplama Sonuçları

Yapılan hesaplama sonucunda Şekil 4.6‟da gösterilen parametre kümeleri elde

edilmiştir. Bu kümeleri temsil eden ayrık dörtgenler; köşeleri ve iç hacimlerinin

temsil ettiği parametre değerleri seçildiğinde sistemin belirlenen çalışma uzayı

pozisyonlarını sağlayacağını göstermektedir.

Kullanılan yöntem ile sistemin üst hareketli platformu için yarıçap Rt = 600 mm ve

sabit alt tabla için yarıçap Rb = 900 mm seçilirse, bu sistemde kullanılması gereken

minimum ve maksimum eyleyici strok uzunlukları Çizelge 4.2‟de gösterilmiştir.

35

Aynı çizelgede yarıçaplar aralık olarak verildiğinden, bu strok uzunluklarını sağlayan

eyleyicilerle sistemin sahip olabileceği yarıçap boyut aralıkları da ortaya

çıkarılmıştır.

ġekil 4.6 : İstenen çalışma uzayını sağlayan parametre kümeleri

Çizelge 4.2 : Parametre Uzayı Analizi sonuçları

Üst Hareketli Tabla Çapı

(Rt): Alt Sabit Tabla Çapı (Rb): Eyleyici Strok Sınırları (S):

500 mm ≤ Rt < 800 mm 800 mm ≤ Rb < 950 mm 385.16 mm ≤ Ls < 414.33

mm

500 mm ≤ Rt < 800 mm 875 mm ≤ Rb < 912.5 mm 381.00 mm ≤ Ls < 384.57

mm

Değerlerin elde edildiği en küçük prizma kenarlarının boyutları, uzayda her

parametrenin bölüneceği en küçük parça uzunluğuna bağlıdır ve hesaplamada bu

değer parametrenin en büyük ve en küçük değerini arasındaki farkın 500‟de biri

olarak girilmiştir. Toplam 334 adet prizma hesaplanmıştır.

4.6 Eyleyicinin Belirlenmesi

Kullanılan yöntem ile 600 mm‟lik üst tabla yarıçapı ve 900 mm‟lik alt tabla yarıçapı

değerleri için 380 mm ile 414 mm arasında değişen strok uzunluğuna sahip bir

eyleyicinin seçilebileceği ortaya çıkarılmıştır. Bu eyleyicinin sabit boyu önceden

800

850

900

950

1000

1050

1100

500

550

600

650

700

750

800

320

340

360

380

400

420

440

Alt Yaricap [mm]

Tanimlanmis Calisma Uzayi icin Uygun Parametreler

Ust Yaricap [mm]

Eyle

yic

i S

trok U

zunlu

gu [

mm

]

36

yapılan denemelerde hesaplanan tam kapalı eyleyici boyunun 830 mm‟den düşük

olması ve tam açık boyunun 1170 mm‟den yüksek olması koşulunu sağlamak üzere

burada yapılan parametre uzayı analizi sonuçlarına dayanarak sabit boy [342 mm,

449 mm] aralığında değer alabilir.

ġekil 4.7 : Moog firmasına ait hareket platformlarında kullanılan eyleyiciler

Üretici kataloğundan seçilen ve belirlenen kriterleri karşılayan ürün, Moog firmasına

ait CA22369 model doğrusal eyleyici sistemidir ve bu sistem 645 mm tam kapalı boy

ve 406.4 mm strok boyuna sahiptir. Burada tam kapalı boy 830 mm minimum boyu

karşılamadığından bu sistemin uzunluğuna en fazla 185 mm‟lik bir eklenti

yapılmalıdır. Eyleyicinin strok boyu belirlenen uygun aralığın içerisindedir ve sahip

olduğu maksimum tahrik kuvveti 19127 N‟dur.

4.7 AyrıklaĢtırma Yöntemi ile ÇalıĢma Uzayının Doğrulanması

Boyutları belirlenmiş bir SPM‟nin çalışma uzayı sınırlarının doğrulanması için

ayrıklaştırma yöntemi kullanılabilir. Ayrıklaştırma yöntemi mekanizmanın

yönelmesiz öteleme veya ötelemesiz yönelme konumları için uzayın küçük koordinat

artımları ile ve belirlenen koordinat sınırları arasında taranması esasına dayanır. Bu

tarama sırasında gelinen konumlar için bacak uzunluk sınırları kontrol edilerek

gerçeklenebilecek konumlar toplanır gerçeklenemeyen konumlar elenir. Elde edilen

geçerli konumlar nokta bulutu olarak bir üç boyutlu grafik ile görselleştirilir.

Çalışma uzayı sınırlarının bu nokta bulutunun içerisinde kalması durumunda tasarım

doğrulanmış olur. Kullanılan yöntemde koordinat tarama aralıkları 15 mm olarak

37

belirlenmiş ve yönelmesiz öteleme konumları için çalışma uzayı hesaplanmıştır.

Hesaplanmış çalışma uzayı Şekil 4.8 ile gösterilmektedir.

Nokta bulutunda bulunan en uç noktalara ait koordinatlar Çizelge 4.3 ile verilmiştir.

Çizelge 4.3 : Eksenler üzerindeki çalışma uzayı uç noktaları

Xmin Xmaks Ymin Ymaks Zmin Zmaks

-340 mm 340 mm 520 mm 1060 mm -305 mm 305 mm

ġekil 4.8 : Nokta bulutu olarak gösterilen çalışma uzayı

38

5. BENZETĠMLER

Tasarlanan sistemin dinamik performansını incelemek üzere sanal ortamda

mekanizmanın bir modeli oluşturulmuş ve model üzerinde gerçekleştirilen

benzetimler ile tasarım hedeflerinin doğrulaması yapılmıştır. Modelin ayrıntıları;

yapılan benzetimlerin geçerliliği ve kapsamı açısından önemlidir. Bu sebeple bu

kısımda sistemin modellemesi üzerinde durulacaktır.

Tüm sistem, mekanik yapı ve kontrolör kısmı olmak üzere iki bölüme ayrılmıştır.

Mekanik sistemin modellemesi ADAMS®/View programında gerçekleştirilmiştir.

Mekanik sisteme tahrik eden eyleyicilerin sisteme uyguladığı kuvvetler

Matlab/Simulink programında kurulan kontrol sistemi ile her benzetim adımı için ve

mekanik sistemden elde edilen verilere bağlı olarak hesaplanmaktadır. Hesaplanan

değerler kuvvet olarak ADAMS programına aktarılmakta ve mekanik sistemin

davranışı hesaplanarak bir sonraki benzetim adımına geçilmektedir.

5.1 Mekanik Sistemin Modellenmesi

Sistemin mekanik kısmının modellenmesi ADAMS programında yapılmıştır (Şekil

5.1). Mekanizmadaki bağlantı noktalarının konumları ve eyleyici bileşenlerinin

boyutları ile sistemin başlangıç konumunda tasarım hesaplarına bağlı kalınmıştır.

Sistemin 1000 kg yüklü olduğu durum için modellenmiş ve bu yük 1 m kenar

uzunluğuna sahip bir küp ile temsil edilmiştir.

Bağlantı noktalarının konumları tabanda sabit tabla bağlantılarının geçeceği

çemberin yarıçapı Rb ve bu bağlantı noktalarının ikişerli olarak çember merkezi ile

yaptıkları açının yarısı olan α değerlerine göre belirlenmiştir. Üst platformda ise

benzer şekilde üst bağlantı noktalarının geçtiği çember yarıçapı Rt ve bunlar

arasındaki ikişerli açının yarısı olan β parametreleri kullanılmıştır. Sistemin

başlangıç konumu, tasarım hedeflerinde önceden saptanmıştır ve üst hareketli

tabladaki bağlantı noktalarının uzaydaki düşey konumunu belirlemek üzere

kullanılmaktadır.

39

ġekil 5.1 : ADAMS‟da kurulan mekanik sistem modeli

Eyleyicilerin boyutları ise tasarımda belirlenen çalışma uzayını sağlayacak şekilde ve

üreticinin katalog değerlerine sadık kalınarak belirlenmiştir. Eyleyicilerin

boyutlandırılmasında çalışma uzayının gerektirdiği en düşük ve en yüksek bacak

boyları ele alınarak, kapalı haldeki eyleyici boyu ve sahip olması gereken en düşük

strok boyu göz önünde bulundurulmuştur.

Eyleyicinin strok boyu, çalışma uzayının hacim genişliğinde etkin bir parametre iken

kapalı durumdaki eyleyici boyu, bu çalışma uzayını ötelemeye yarayan bir

parametredir.

Hazırlanan mekanik sistem modeline eyleyicilerin strok sınırlarını da dahil etmek

üzere iki yönlü darbe fonksiyonları içeren kuvvetler her bacak için ayrı olarak

tanımlanmıştır. Bu kuvvetler, eyleyici içerisinde hareket eden milin, alt strok sınırına

veya üst strok sınırına eriştiği durumlarda hareketi durdurucu etki yaratmaktadır.

Böylece bacak boyları hiçbir şekilde sınırların dışına çıkmamaktadır ve sınır

mesafelerde sistemin hareketini engellemektedir.

Mekanik sistemde mevcut üst küresel ve alt üniversal mafsalların sürtünme etkileri

de modele dahil edilmiştir. Sürtünmenin modellenmesinde ADAMS programının

dökümanlarında yağlanmış metal yüzeylerin sürtünmesi için önerilen statik sürtünme

katsayısı için 0.23 ve dinamik sürtünme katsayısı için 0.16 değerleri kullanılmıştır.

40

5.2 Kontrol Sisteminin Modellenmesi

Sistemdeki uç elemanın izleyeceği yörüngenin tanımlanması, bu yörüngeyi

sağlayacak bacak boylarının hesaplanması, bu boyları sağlayacak kontrol

kuvvetlerinin hesaplanması ve mekanik sistemden ölçülen bacak boylarını kullanarak

uç elemanın uzaydaki konumunun hesaplanması işlemleri Matlab® programında

gerçekleştirilmektedir (Şekil 5.2). Bunların yanısıra sistem hakkında çeşitli bilgiler

veren bir algoritma ayrı bir blok altında çalışmaktadır.

ġekil 5.2 : Dinamik benzetimlerde yapılan işlemler

5.2.1 Ters Kinematik

Kullanıcı tarafından benzetim öncesinde tanımlanan sistem yörüngesi, Bölüm 2‟de

açıklanan ters kinematik denklemlerinin çözülmesi ile sistemdeki eyleyicilerin her

adımda alması gereken boylarının hesaplanmasında kullanılmaktadır. Bu algoritma

bacak üst bağlantı noktalarının hareketli tabla koordinat sistemine göre konumlarına

ve alt bacak bağlantı noktalarının sabit eksen takımına göre konumlarına ihtiyaç

duymaktadır.

5.2.2 Kontrolör

Hesaplanan bacak boyları, mekanik sistem modelinden elde edilen bacak boyu

ölçümleri ile karşılaştırılarak bir PID kontrolöre giriş olarak verilmektedir. Oransal

41

ve türevsel terimler eyleyici kuvvetlerini belirlerken, integral terimi sürekli rejim

hatasını sıfırlamayı amaçlar. Katsayılar ilk olarak Ziegler-Nichols yöntemi

kullanılarak tespit edilmiştir. Ardından gerçekleştirilen benzetimler sonucunda daha

uygun olan Kp=1000 , Kd=100 ve Ki=2500 değerleri kullanılmıştır.

Kontrolörden çıkış olarak alınan kontrol sinyali seçilen eyleyicinin azami kuvvet

uygulama kapasitesine göre sınırlandırılmaktadır.

ġekil 5.3 : Matlab/Simulink‟de kurulan kontrol sistemi modeli

5.2.3 Ġleri Kinematik

Bölüm 2‟de anlatılan tekrarlamalı yöntem kullanılarak her benzetim adımında uç

elemanının uzaydaki yeni konumu, ölçülen bacak boyları ve mekanizmanın tasarım

geometrisi kullanılarak birkaç iterasyonda hesaplanabilmektedir. Algoritma her

zaman sistemin başlangıç konumundan itibaren yakınsamaya başladığından, iteratif

yöntemlerin en ciddi sorunu olan yanlış bir konuma yakınsama durumu ile

42

karşılaşılmamaktadır. Yapılan benzetimlerde ileri kinematik çözüm yöntemi oldukça

güvenilir sonuçlar vermiştir. Yapılan her iterasyon için hata toleransı 1.0e-5 olarak

belirlenmiş ve her benzetim adımında sonuca ulaşmak için en fazla 2 iterasyona

ihtiyaç duyulmaktadır.

5.2.4 Jakobiyen ve Tekillik Endeksinin Hesaplanması

Ters Jakobiyenin hesaplanması için sadece uç elemanın uzaydaki konumu ve

sistemin geometrik tasarım parametrelerinin bilinmesi gerekmektedir. Oluşturulan

matrisin tersi alınarak Jakobiyen matrisi elde edilir. Jakobiyen matrisinin

özdeğerlerinden en az birinin sıfır olması durumunda mekanizma tekil bir

konfigürasyona girmiş olur. Bu durumlardan sakınmak için bu matrisin

determinantının sıfıra olan uzaklığına bakılarak böyle bir konfigürasyona olan

yakınlık kontrol edilmelidir.

5.2.5 Ġleri Dinamik

Sistemin ileri dinamiği Bölüm 4‟de anlatılan yöntem ile çözülmüştür. Bu yöntemde

sistemden elde edilen bacak boyları değişim vektörü, ileri kinematik çözüm ile

hesaplanan uç eleman konumu ve eyleyicilerden sisteme uygulanan kuvvet değerleri

kullanılarak, uç elemanın genelleştirilmiş koordinatlarda sahip olacağı anlık ivme

değerlerine ulaşılmaktadır.

Her benzetim sonucunda ADAMS modelinden elde edilen ivme değerleri, ileri

dinamik denklemlerinin çözümü ile elde edilen ivme değerleri ile karşılaştırılarak,

matematiksel model doğrulanmıştır. İki model arasındaki en önemli fark ADAMS

modelinin mafsal sürtünmelerini içermesine karşılık, matematiksel modelde bunun

mevcut olmamasıdır. Çıkışlar arasındaki farklılığın en önemli nedeni sürtünme

etkisinin yer almamasıdır.

5.3 ÇalıĢma Uzayı ve Dinamik DavranıĢ Benzetimleri

Hazırlanan dinamik sistem üzerinde Bölüm 5‟de belirtilmiş olan tasarım hedeflerinin

doğrulaması gerçekleştirilmiştir. Bu doğrulamalarda uç elemana ilgili eksende

yapması planlanan en yüksek genlikli sinüzoidal salınım fonksiyonu yörünge olarak

tanımlanmış ve bu salınımın frekansı ise aynı eksende yapması planlanan en yüksek

ivmeyi sağlayacak şekilde belirlenmiştir. Sinüzoidal titreşim fonksiyonunun ikinci

türevinin maksimum değerinin, amaçlanan maksimum ivme değerine eşit olacak

43

şekilde seçilmesi ile frekans değeri doğrudan belirlenmiş olur. Frekansı veren ifade

aşağıda gösterilen denklem 5.1 ile hesaplanabilir. Burada ω, sinyal frekansı; γmax,

ilgili eksendeki maksimum ivme değeri; A ise salınım genliğidir.

(5.1)

5.3.1 Koordinat Sistemi

Benzetimlerde sisteme yaptırılan hareketler Şekil 5.4 ile gösterilen koordinat

sisteminin eksenlerine göre gerçekleştirilmektedir. Doğrusal hareketler X ekseninde

Surge, Y ekseninde Heave ve Z ekseninde Sway olarak adlandırılmaktadır. Açısal

hareketler ise X, Y ve Z eksenlerinde sırasıyla Roll, Yaw ve Pitch olarak

anılmaktadır.

ġekil 5.4 : ADAMS‟da ve benzetimlerde kullanılan koordinat sistemi

5.3.2 X-Ekseninde Doğrusal Hareket (Surge)

Hareket platformuna X ekseni doğrultusunda yönelmesiz 250 mm genlikli bir

sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.5). Bu salınımın frekansı, 0.6 g

maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 4.85 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.

44

ġekil 5.5 : Surge hareketi

Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.6

ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile

takip etmektedir.

ġekil 5.6 : X ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-400

-200

0

200

400

600

800Dogrusal Koordinatlarda Konum

Zaman [saniye]

Dogru

sal K

onum

[m

m]

X Konumu

Y Konumu

Z Konumu

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Euler Acisal Koordinatlarinda Konum

Zaman [saniye]

Acis

al K

onum

[dere

ce]

X Acisi

Y Acisi

Z Acisi

45

ġekil 5.7 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar

Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak

hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.7 ve Şekil 5.8 ile

gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal X-ekseni hareketi

üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.

Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç

elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.8‟de üst üste çizdirilmiştir.

ġekil 5.8 : X ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar

Zaman [saniye]

Dogru

sal H

iz [

mm

/saniy

e]

Dogrusal X

Dogrusal Y

Dogrusal Z

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar

Zaman [saniye]

Acis

al H

iz [

radyan/s

aniy

e]

Acisal X

Acisal Y

Acisal Z

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

20

40

Dogrusal X Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-7 Acisal X Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-10

0

10

Dogrusal Y Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5

0

5

10x 10

-7 Acisal Y Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-7 Dogrusal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-20

0

20

Acisal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

46

ġekil 5.9 : X ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi

Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.9„da

gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde

kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.10 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi

gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu

maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.

ġekil 5.10 : X ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi

Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda

Şekil 5.11 ile gösterilmektedir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200Bacak Uzunluklari

Zaman [saniye]

Uzunlu

k [

mm

]

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Eyleyici Kuvvetleri

Zaman [saniye]

Kuvvet

[New

ton]

47

ġekil 5.11 : X ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi

5.3.3 Y-Ekseninde Doğrusal Hareket (Heave)

Hareket platformuna Y ekseni doğrultusunda yönelmesiz 180 mm genlikli bir

sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.12). Bu salınımın frekansı, 0.5 g

maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 5.22 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.

ġekil 5.12 : Heave hareketi

Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.13

ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile

takip etmektedir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46Tekillik Endeksi

Zaman [saniye]

Dete

rmin

ant(

iJk)

48

ġekil 5.13 : Y ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları

ġekil 5.14 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar

Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak

hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.14 ve Şekil 5.15 ile

gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal Y-ekseni hareketi

üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.

Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç

elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.15‟de üst üste çizdirilmiştir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-200

0

200

400

600

800

1000Dogrusal Koordinatlarda Konum

Zaman [saniye]

Dogru

sal K

onum

[m

m]

X Konumu

Y Konumu

Z Konumu

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10

-4 Euler Acisal Koordinatlarinda Konum

Zaman [saniye]

Acis

al K

onum

[dere

ce]

X Acisi

Y Acisi

Z Acisi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar

Zaman [saniye]

Dogru

sal H

iz [

mm

/saniy

e]

Dogrusal X

Dogrusal Y

Dogrusal Z

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10

-3 Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar

Zaman [saniye]

Acis

al H

iz [

radyan/s

aniy

e]

Acisal X

Acisal Y

Acisal Z

49

ġekil 5.15 : Y ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler

ġekil 5.16 : Y ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi

Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.16„da

gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde

kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.17 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi

gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu

maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1

0

1

2

3Dogrusal X Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5

0

5

10

15x 10

-8 Acisal X Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10

-5

0

5

10

Dogrusal Y Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5

0

5

10x 10

-7 Acisal Y Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-15

-10

-5

0

5x 10

-8 Dogrusal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1

0

1

2

3

4Acisal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4850

900

950

1000

1050

1100

1150Bacak Uzunluklari

Zaman [saniye]

Uzunlu

k [

mm

]

50

ġekil 5.17 : Y ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi

Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda

Şekil 5.18 ile gösterilmektedir.

ġekil 5.18 : Y ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Eyleyici Kuvvetleri

Zaman [saniye]

Kuvvet

[New

ton]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46Tekillik Endeksi

Zaman [saniye]

Dete

rmin

ant(

iJk)

51

5.3.4 Z-Ekseninde Doğrusal Hareket (Sway)

Hareket platformuna Z ekseni doğrultusunda yönelmesiz 250 mm genlikli bir

sinüzoidal salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.19). Bu salınımın frekansı, 0.6 g

maksimum doğrusal ivmeyi sağlayan 4.85 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.

ġekil 5.19 : Sway hareketi

Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.20

ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile

takip etmektedir.

ġekil 5.20 : Z ekseninde doğrusal hareket için uç eleman konumları

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-400

-200

0

200

400

600

800Dogrusal Koordinatlarda Konum

Zaman [saniye]

Dogru

sal K

onum

[m

m]

X Konumu

Y Konumu

Z Konumu

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Euler Acisal Koordinatlarinda Konum

Zaman [saniye]

Acis

al K

onum

[dere

ce]

X Acisi

Y Acisi

Z Acisi

52

ġekil 5.21 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş hızlar

Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak

hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.21 ve Şekil 5.22 ile

gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, doğrusal Z-ekseni hareketi

üzerinde aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.

Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç

elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.22‟de üst üste çizdirilmiştir.

ġekil 5.22 : Z ekseninde doğrusal hareket için genelleştirilmiş ivmeler

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar

Zaman [saniye]

Dogru

sal H

iz [

mm

/saniy

e]

Dogrusal X

Dogrusal Y

Dogrusal Z

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar

Zaman [saniye]

Acis

al H

iz [

radyan/s

aniy

e]

Acisal X

Acisal Y

Acisal Z

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10

-5

0

5

10

15Dogrusal X Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-150

-100

-50

0

50Acisal X Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10

-5

0

5

10Dogrusal Y Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100

-50

0

50Acisal Y Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-10

0

10

20

30

Dogrusal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10

-5

0

5

10Acisal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

53

ġekil 5.23 : Z ekseninde doğrusal hareket için bacak uzunlukları değişimi

Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.23„de

gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde

kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.24 ile eyleyicilerin kuvvetlerinin zamanla değişimi

gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu

maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.

ġekil 5.24 : Z ekseninde doğrusal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi

Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda

Şekil 5.25 ile gösterilmektedir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200Bacak Uzunluklari

Zaman [saniye]

Uzunlu

k [

mm

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-4000

-2000

0

2000

4000

6000

Eyleyici Kuvvetleri

Zaman [saniye]

Kuvvet

[New

ton]

54

ġekil 5.25 : Z ekseninde doğrusal hareket için tekillik endeksinin değişimi

5.3.5 X-Ekseninde Açısal Hareket (Roll)

Hareket platformuna X ekseni etrafında ötelemesiz 21° genlikli bir sinüzoidal

salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.26). Bu salınımın frekansı, 500°/s² maksimum

açısal ivmeyi sağlayan 4.88 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.

ġekil 5.26 : Roll hareketi

Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.27

ile verilmektedir. Sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip

etmektedir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46Tekillik Endeksi

Zaman [saniye]

Dete

rmin

ant(

iJk)

55

ġekil 5.27 : X ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları

ġekil 5.28 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar

Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak

hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.28 ve Şekil 5.29 ile

gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal X-ekseni hareketi

etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.

Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç

elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.29‟da üst üste çizdirilmiştir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800Dogrusal Koordinatlarda Konum

Zaman [saniye]

Dogru

sal K

onum

[m

m]

X Konumu

Y Konumu

Z Konumu

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Euler Acisal Koordinatlarinda Konum

Zaman [saniye]

Acis

al K

onum

[dere

ce]

X Acisi

Y Acisi

Z Acisi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar

Zaman [saniye]

Dogru

sal H

iz [

mm

/saniy

e]

Dogrusal X

Dogrusal Y

Dogrusal Z

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar

Zaman [saniye]

Acis

al H

iz [

radyan/s

aniy

e]

Acisal X

Acisal Y

Acisal Z

56

ġekil 5.29 : X ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler

ġekil 5.30 : X ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi

Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.30„da

gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde

kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.31 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi

gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu

maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20

-10

0

10

20Dogrusal X Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-40

-20

0

20

40

60

80

Acisal X Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10

-5

0

5

10Dogrusal Y Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20

0

20

40

60

80Acisal Y Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-60

-40

-20

0

20Dogrusal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20

-10

0

10

20Acisal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200Bacak Uzunluklari

Zaman [saniye]

Uzunlu

k [

mm

]

57

ġekil 5.31 : X ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi

Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda

Şekil 5.32 ile gösterilmektedir.

ġekil 5.32 : X ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi

5.3.6 Y-Ekseninde Açısal Hareket (Yaw)

Hareket platformuna Y ekseni etrafında ötelemesiz 22° genlikli bir sinüzoidal

salınım yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.33). Bu salınımın frekansı, 400°/s² maksimum

açısal ivmeyi sağlayan 4.26 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-5000

0

5000

10000

Eyleyici Kuvvetleri

Zaman [saniye]

Kuvvet

[New

ton]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55Tekillik Endeksi

Zaman [saniye]

Dete

rmin

ant(

iJk)

58

ġekil 5.33 : Yaw hareketi

Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.34

ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile

takip etmektedir.

ġekil 5.34 : Y ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları

0 0.5 1 1.5-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800Dogrusal Koordinatlarda Konum

Zaman [saniye]

Dogru

sal K

onum

[m

m]

X Konumu

Y Konumu

Z Konumu

0 0.5 1 1.5-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Euler Acisal Koordinatlarinda Konum

Zaman [saniye]

Acis

al K

onum

[dere

ce]

X Acisi

Y Acisi

Z Acisi

59

ġekil 5.35 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar

Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak

hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.35 ve Şekil 5.36 ile

gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal Y-ekseni hareketi

etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.

Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç

elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.36‟da üst üste çizdirilmiştir.

ġekil 5.36 : Y ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler

0 0.5 1 1.5-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar

Zaman [saniye]

Dogru

sal H

iz [

mm

/saniy

e]

Dogrusal X

Dogrusal Y

Dogrusal Z

0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar

Zaman [saniye]

Acis

al H

iz [

radyan/s

aniy

e]

Acisal X

Acisal Y

Acisal Z

0 0.5 1 1.5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Dogrusal X Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4Acisal X Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5-20

-10

0

10

20Dogrusal Y Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-10

-5

0

5

10

15

Acisal Y Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5-0.1

0

0.1

0.2

0.3Dogrusal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Acisal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

60

ġekil 5.37 : Y ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi

Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.37„de

gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde

kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.38 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi

gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu

maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.

ġekil 5.38 : Y ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi

Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda

Şekil 5.39 ile gösterilmektedir.

0 0.5 1 1.5800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200Bacak Uzunluklari

Zaman [saniye]

Uzunlu

k [

mm

]

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Eyleyici Kuvvetleri

Zaman [saniye]

Kuvvet

[New

ton]

61

ġekil 5.39 : Y ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi

5.3.7 Z-Ekseninde Açısal Hareket (Pitch)

Hareket platformuna Z ekseni etrafında ötelemesiz 22° genlikli bir sinüzoidal salınım

yörüngesi verilmiştir (Şekil 5.40). Bu salınımın frekansı, 500°/s² maksimum açısal

ivmeyi sağlayan 4.77 (radyan/saniye) olarak hesaplanmıştır.

ġekil 5.40 : Pitch hareketi

Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.41

ile verilmektedir. Görüldüğü gibi sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile

takip etmektedir.

0 0.5 1 1.51.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46Tekillik Endeksi

Zaman [saniye]

Dete

rmin

ant(

iJk)

62

ġekil 5.41 : Z ekseninde açısal hareket için uç eleman konumları

ġekil 5.42 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş hızlar

Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak

hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.42 ve Şekil 5.43 ile

gösterilmektedir. Amaçlanan maksimum ivme değeri, açısal Z-ekseni hareketi

etrafında aşılmamak kaydıyla yakalanmaktadır.

Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç

elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.43‟de üst üste çizdirilmiştir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800Dogrusal Koordinatlarda Konum

Zaman [saniye]

Dogru

sal K

onum

[m

m]

X Konumu

Y Konumu

Z Konumu

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Euler Acisal Koordinatlarinda Konum

Zaman [saniye]

Acis

al K

onum

[dere

ce]

X Acisi

Y Acisi

Z Acisi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar

Zaman [saniye]

Dogru

sal H

iz [

mm

/saniy

e]

Dogrusal X

Dogrusal Y

Dogrusal Z

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar

Zaman [saniye]

Acis

al H

iz [

radyan/s

aniy

e]

Acisal X

Acisal Y

Acisal Z

63

ġekil 5.43 : Z ekseninde açısal hareket için genelleştirilmiş ivmeler

ġekil 5.44 : Z ekseninde açısal hareket için bacak uzunlukları değişimi

Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.44„de

gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde

kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.45 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi

gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu

maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-50

0

50

100

150Dogrusal X Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-2

0

2

4x 10

-7 Acisal X Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-20

-10

0

10

20Dogrusal Y Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5

0

5

10x 10

-7 Acisal Y Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-3

-2

-1

0

1x 10

-7 Dogrusal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40

-20

0

20

40

60

Acisal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200Bacak Uzunluklari

Zaman [saniye]

Uzunlu

k [

mm

]

64

ġekil 5.45 : Z ekseninde açısal hareket için eyleyici kuvvetlerinin değişimi

Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda

Şekil 5.46 ile gösterilmektedir.

ġekil 5.46 : Z ekseninde açısal hareket için tekillik endeksinin değişimi

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000Eyleyici Kuvvetleri

Zaman [saniye]

Kuvvet

[New

ton]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.41.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5Tekillik Endeksi

Zaman [saniye]

Dete

rmin

ant(

iJk)

65

5.3.8 Yörünge Takibi Hareketi

Tek eksen üzerinde yapılan hareket benzetimleri ile sistemin verilen dinamik

özellikleri sağlamadaki başarısı incelenmiştir. Bunlara ek olarak platform merkezinin

tüm eksenlerde farklı genlik ve frekanslardaki salınımların Çizelge 5.1‟e göre

kombinasyonundan oluşan hareket yörüngesini takip etmesi istenmiş ve bu

benzetimin sonuçları da incelenmiştir.

Çizelge 5.1 : Yörüngeyi oluşturan farklı eksenlerdeki salınımlar

Hareket Ekseni Salınım Genliği Salınım Frekansı

[Hz]

Surge - X 200 mm 0.2

Heave - Y 50 mm 0.4

Sway - Z 50 mm 0.4

Roll - X 5° 0.4

Yaw - Y 5° 0.2

Pitch - Z 5° 0.4

ġekil 5.47 : Yörünge takip hareketi

Uç elemanın uzaydaki doğrusal ve Euler açılarına bağlı konumları aşağıda Şekil 5.48

ile verilmektedir. Sistem, verilen yörüngeyi küçük konum hataları ile takip

etmektedir.

66

ġekil 5.48 : Yörünge takibi hareketi için uç eleman konumları

ġekil 5.49 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş hızlar

Genelleştirilmiş koordinatlarda Jakobiyen ve bacak boyu hızlarından faydalanarak

hesaplanan uç elemanına ait hız ve ivmeler sırasıyla Şekil 5.49 ve Şekil 5.50 ile

gösterilmektedir.

Matematiksel ileri dinamik modelinden ve ADAMS modelinden elde edilen uç

elemanına ait ivme değerleri Şekil 5.50‟de üst üste çizdirilmiştir.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-200

0

200

400

600

800Dogrusal Koordinatlarda Konum

Zaman [saniye]

Dogru

sal K

onum

[m

m]

X Konumu

Y Konumu

Z Konumu

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-6

-4

-2

0

2

4

6Euler Acisal Koordinatlarinda Konum

Zaman [saniye]

Acis

al K

onum

[dere

ce]

X Acisi

Y Acisi

Z Acisi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Genellestirilmis Koordinatlarda Dogrusal Hizlar

Zaman [saniye]

Dogru

sal H

iz [

mm

/saniy

e]

Dogrusal X

Dogrusal Y

Dogrusal Z

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Genellestirilmis Koordinatlarda Acisal Hizlar

Zaman [saniye]

Acis

al H

iz [

radyan/s

aniy

e]

Acisal X

Acisal Y

Acisal Z

67

ġekil 5.50 : Yörünge takibi hareketi için genelleştirilmiş ivmeler

ġekil 5.51 : Yörünge takibi hareketi için bacak uzunlukları değişimi

Bacakların yörünge takibi sırasında aldığı boyların zamanla değişimi Şekil 5.51„de

gösterilmektedir. Bacak boyları hesaplanan hareket sınırlarının içerisinde

kalmaktadır. Aşağıdaki Şekil 5.52 ile eyleyici kuvvetlerinin zamanla değişimi

gösterilmektedir. Uygulanan kuvvetler seçilen eyleyici modelinin sahip olduğu

maksimum kuvvet kapasitesinin altında değerler almaktadır.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-5

0

5

10

Dogrusal X Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-10

0

10

20

30Acisal X Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Dogrusal Y Ivmesi

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.5

0

0.5

Acisal Y Ivmesi

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

0

10

20

30Dogrusal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Dogru

sal Iv

me [

mm

/saniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-30

-20

-10

0

10

20

Acisal Z Ivmesi

Zaman [saniye]

Acis

al Iv

me [

radyan/s

aniy

e2]

ADAMS Modeli

Matematiksel Model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200Bacak Uzunluklari

Zaman [saniye]

Uzunlu

k [

mm

]

68

ġekil 5.52 : Yörünge takibi hareketi için eyleyici kuvvetlerinin değişimi

Yörünge üzerinde hareket esnasında tekillik endeksinin zamanla değişimi aşağıda

Şekil 5.53 ile gösterilmektedir.

ġekil 5.53 : Yörünge takibi hareketi için tekillik endeksinin değişimi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 104 Eyleyici Kuvvetleri

Zaman [saniye]

Kuvvet

[New

ton]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46Tekillik Endeksi

Zaman [saniye]

Dete

rmin

ant(

iJk)

69

5.4 Sistemin Sınırlarının Belirlenmesi

5.4.1 Yük Sınırının Belirlenmesi

Üretici kataloğundan seçilen eyleyici tipinin uygulayabildiği en yüksek kuvvet değeri

19127 N olmaktadır. Sistemin eyleyicilerinin ihtiyaç duyacağı kuvvetlerin bu

sınırlara yaklaştığı, yük değeri hesaplanmış ve bu değerin 2000 kg olduğu

belirlenmiştir. Sistem kullanılan eyleyiciler ile önerilen kütle değerinin 2 katı yükü

taşıyabilmekte ve aynı performans kriterlerini sağlayabilmektedir. Bu şekilde

yüklenmiş platform mekanizması en fazla eyleyici kuvvetine yüksek moment

değerlerinin ortaya çıktığı Roll hareketini gerçekleştirirken ihtiyaç duymaktadır.

Kuvvet ihtiyacının değişimi Şekil 5.54 ile gösterilmektedir. Kesikli üst ve alt çizgiler

seçilen eyleyici modelinin uygulayabileceği en yüksek kuvvet değerini

göstermektedir.

ġekil 5.54 : 2000 kg yük için Roll hareketinde eyleyici kuvvetleri

5.4.2 Hareket Frekans Sınırının Belirlenmesi

Sistemin yaptığı 6 farklı sinüzoidal hareketin frekansı o hareket esnasında ulaşılan en

yüksek ivme değerlerini belirlemektedir. Bu durumda frekansın artması uç elemanın

ulaşacağı ivme değerlerini yüksektecek ve eyleyici kuvveti ihtiyacını arttıracaktır.

Dolayısı ile hareket frekanslarının genlikleri sabit olmak üzere ulaşabilecekleri sınır

değerler eyleyici kuvvetlerine bakılarak belirlenmiştir. Bu sınır frekansları

hareketlere göre Çizelge 5.1 ile verilmektedir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 104 Eyleyici Kuvvetleri

Zaman [saniye]

Kuvvet

[New

ton]

70

Çizelge 5.2 : Farklı eksenlerdeki hareketler için en yüksek frekans değerleri

Yapılan Hareket En Yüksek Frekans [radyan/sn]

Surge 9.5

Heave 17

Sway 9.5

Roll 8.5

Yaw 24

Pitch 8.5

71

6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER

Yapılan çalışmada paralel manipülatörler ve özellikle Stewart Platform

Mekanizmalarına ait genel bilgiler verilmiş, sistemin ileri ve ters kinematik

denklemlerinin çözümü, tekillik analizleri ele alınarak statik analiz ve ileri ve ters

dinamik modelin oluşturulması ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Belirli tasarım kriterlerini sağlamak üzere bir SPM‟nin boyutlandırılması

amaçlanmıştır. Tasarım kriterlerinin tutarlı ve genel kullanım alanlarındaki

ihtiyaçları karşılayacak seviyede olması amacıyla bu kriterler gerçek bir hareket

platformunun özelliklerinden örnek alınmıştır.

Kriterler sistem boyutları, çalışma uzayı sınırları ve uç elemanın uygulayabileceği en

yüksek ivmeyi içermektedir.

Çalışma uzayı sınırları parametre uzayı yaklaşımı yöntemi ile birlikte kullanılarak üst

tabla, alt tabla ve eyleyici boyutları ile ilgili seçim aralıkları belirlenmiştir. Bu

aralıklardan faydalanarak üretici kataloğundan gereksinimleri karşılayan bir eyleyici

seçilmiş ve eyleyici boyutlarının sağladığı çalışma uzayı ayrıklaştırma yöntemi ile

ortaya çıkarılmıştır. Hedefleri karşılayan eyleyici boyutlarının kullanıldığı model ile

dinamik benzetimler gerçekleştirilerek eyleyici kuvvetlerinin yeterliliği

incelenmiştir. Aynı zamanda sistemin Newton-Euler denklemleri ile kurulan

matematik modelinden elde edilen genelleştirilmiş ivme çıkışları dinamik benzetim

modelinin çıkışları ile karşılaştırılarak matematik modelin doğrulaması

gerçekleştirilmiştir.

Matematik modelin hareket platformunun yere paralel eksenler etrafında yaptığı

açısal hareketlerde ivme çıkışları için ADAMS modelinden farklılık gösterdiği tespit

edilmiştir. Bu farklılığın yer çekiminin platform üzerinde yarattığı moment etkisi

altındaki hareketlerde ortaya çıktığı sonucuna varılmıştır.

72

Tüm tasarım hedeflerini karşıladığı görülen sistemin eyleyicilerin sınır kuvvetlerinde

taşıyabileceği yük ve gerçekleştirebileceği salınımların frekansları ortaya

çıkarılmıştır.

Ultramotion firmasına ait Digit model bir adım motorlu doğrusal eyleyicinin

bilgisayar kontrolü üzerine çalışılmıştır. Bu çalışma Ek-A.2 bölümünde anlatılmıştır.

73

KAYNAKLAR

[1] McKerrow, P. J., 1991: Introduction to Robotics, Addison-Wesley Publishing

Company.

[2] Merlet, J. P., 2006: Parallel Robots (Second Edition), Springer, Dordrecht,

Netherlands.

[3] Stewart, D., 1965: A platform with 6 Degrees of Freedom, Proc. Institute of

Mechanical Engineers, 180 (Part 1,15) 371-386.

[4] Gough, V. E., 1956-1957: Contribution to discussion of papers on research in

automobile stability, control and tyre performance, Proc. Auto Div.

Inst. Mech. Eng.

[5] Anlı, E., Alp, H., Yurt, S. N., Özkol, Ġ., 2005: Paralel Mekanizmaların

Kinematiği, Dinamiği ve Çalışma Uzayı, Havacılık ve Uzay

Teknolojileri Dergisi, Cilt 2, Sayı 1.

[6] Merlet, J. P., 1993, Direct Kinematics of Parallel Manipulators, IEEE

Transactions on Robotics and Automation, Vol. 9, No. 6.

[7] Pottmann, H., Peternell, M. and Ravani, B., 1999: An Introduction to Line

Geometry with Applications, Elsevier Science Ltd.

[8] Voglewede, P. A. and Uphoff, I., E., 2004: Measuring “Closeness” to

Singularities for Parallel Manipulators, IEEE.

[9] Merlet, J. P., 1998: Determination of the Presence of Singularities in 6D

Workspace of a Gough Parallel Manipulator, Advances in Robot

Kinematics: Analysis and Control, J. Lenarcic, M. L. Husty,

Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 1998.

74

[10] Yurt, S. N., Özkol, Ġ., 2002: 6-3 Stewart Platform Mekanizmasının Kinematik,

Dinamik Analizi ve Kontrolü, Doktora Tezi, İTÜ Fen Bilimleri

Enstitüsü, İstanbul.

[11] Alp, H., Özkol, Ġ., 2008: 6 Serbestlik Dereceli 6-3, Özel Yapı 6-3 ve 6-4 Paralel

Mekanizmaların Genişletilmiş Çalışma Uzayı Analizi, Doktora

Tezi, İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.

[12] Pernkopf, F. and Husty, M. L., 2006: Workspace Analysis of Stewart-Gough

Type Parallel Manipulators, Proc. ImechE Vol. 220 Part C: J.

Mechanical Engineering Science.

[13] Gosselin, C. and Angeles, J., 1990: Singularity Analysis of Closed-Loop

Kinematic Chains, IEEE Transactions on Robotics and

Automation, Vol. 6, No. 3, June 1990.

[14] Kim, D. and Chung, W., 1999: Analytic Singularity Equation and Analysis of

Six-DOF Parallel Manipulators Using Local Structurization

Method, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 15,

No. 4, August 1999.

[15] Liu, K., Fitzgerald, J. M. and Lewis, F. L., 1993: Kinematic Analysis of a

Stewart Platform Manipulator, IEEE Transactions on Industrial

Electronics, Vol. 40, No. 2, April 1993.

[16] Ünsal, A., Ömürlü, V. E, 2007: Farklı Yapıdaki Stewart Platform

Mekanizmalarının Düz ve Ters Kinematik Analizi, Yüksek Lisans

Tezi, YTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.

[17] Ulucay, Ö., AkĢit, M., 2006: Design and Control of Stewart Platform, Yüksek

Lisans Tezi, Sabancı Üniversitesi, İstanbul.

[18] De Sapio, V., 1998: Some Approaches for Modeling and Analysis of a Parallel

Mechanism with Stewart Platform Architecture, Sandia Report,

Sandia National Laboratories, USA.

[19] Özdağlar, M., Öztürk T., 2001: Dynamic Modeling and Control of a Stewart

Platform Type Motion Simulator, Yüksek Lisans Tezi, ODTÜ.

75

EK A.1

Matlab programında yazılan kodlar:

1) Parametre Uzayı Yaklaşımı için kullanılan kod (psa_test.m):

% Parameter Space Approach for Optimization of SPM Geometry clc; % Design Parameters are { Rb, Rt, legln }

%--------------{ TRANSFORMATIONS }---------------%

in2mm=25.4; deg2rad=pi/180;

%------------{ CONSTANT PARAMETERS }-------------%

topheight=710; baseheight=0; actlength=(9.38+6.2)*in2mm;

%------------{ PARAMETER INTERVALS }-------------%

Rb_min=800; Rb_max=1100; Rt_min=500; Rt_max=800; % alpha_min=20*deg2rad; alpha_max=30*deg2rad; % beta_min=20*deg2rad; beta_max=30*deg2rad; strk_min=12*in2mm; strk_max=18*in2mm; legln_min=actlength+strk_min; legln_max=actlength+strk_max; Lmin=legln_min; Lmax=legln_max; %strk_max;

%-------------{ SEARCH INTERVALS }---------------%

NoPn=500; IntV=[(Rb_max-Rb_min)/NoPn;... (Rt_max-Rt_min)/NoPn;... (strk_max-strk_min)/NoPn];

%------------{ DEFINED WORKSPACE }---------------%

P=[250,0,0,0,0,0;... -250,0,0,0,0,0;... 0,180,0,0,0,0;... 0,-180,0,0,0,0;... 0,0,250,0,0,0;... 0,0,-250,0,0,0;... 0,0,0,21,0,0;... 0,0,0,-21,0,0;... 0,0,0,0,22,0;... 0,0,0,0,-22,0;...

76

0,0,0,0,0,22;... 0,0,0,0,0,-22];

%--------{ PARAMETER-SPACE ALGORITHM }-----------%

%************************************************% alpha=5*deg2rad; beta=5*deg2rad; %************************************************%

clear AR; i=1; m=1; ari=1; nb=[0,1,2,3,7,6,4,5]; mb=[3,2,3,1,3,2,3]; qtlp=false; D=[Rb_min,Rb_max;Rt_min,Rt_max;strk_min,strk_max]; SR=D;

while i<=m

qtlp=false; G=SR(:,2*i-1:2*i);

for j=1:8;

bb=dec2bin(nb(j),3);

Rb=G(1,1+str2num(bb(1))); Rt=G(2,1+str2num(bb(2)));

strk=G(3,1+str2num(bb(3))); legln=actlength+strk;

pb=[-Rb*sin(pi/6+alpha),-Rb*sin(pi/6-

alpha),Rb*cos(alpha),Rb*cos(alpha),-Rb*sin(pi/6-alpha),-

Rb*sin(pi/6+alpha);...

baseheight,baseheight,baseheight,baseheight,baseheight,baseheight;..

. -Rb*cos(pi/6+alpha),-Rb*cos(pi/6-alpha),-

Rb*sin(alpha),Rb*sin(alpha),Rb*cos(pi/6-alpha),Rb*cos(pi/6+alpha)];

pt=[-Rt*cos(beta),Rt*sin(pi/6-

beta),Rt*sin(pi/6+beta),Rt*sin(pi/6+beta),Rt*sin(pi/6-beta),-

Rt*cos(beta);... 0,0,0,0,0,0;... -Rt*sin(beta),-Rt*cos(pi/6-beta),-

Rt*cos(pi/6+beta),Rt*cos(pi/6+beta),Rt*cos(pi/6-beta),Rt*sin(beta)];

for k=1:size(P,1)

X=P(k,:);

p=[X(1);X(2)+topheight;X(3)];

ca=cos(X(4)*deg2rad); sa=sin(X(4)*deg2rad); cb=cos(X(5)*deg2rad); sb=sin(X(5)*deg2rad); cc=cos(X(6)*deg2rad); sc=sin(X(6)*deg2rad);

% Rotations on X-Y-Z

R1=[1 0 0;0 ca -sa;0 sa ca];

77

R2=[cb 0 sb;0 1 0;-sb 0 cb]; R3=[cc -sc 0;sc cc 0;0 0 1]; R=R1*R2*R3;

for z=1:6 L(z,1)=norm(R*pt(:,z)+p-pb(:,z)); end

if ( min(L)>(legln+strk) || max(L)<legln ) L_P(j,k)=-1; if (j~=1) % BISECT BOX if min(G(:,2)-G(:,1)-2*IntV)>=0; bsD1=G; bsD2=G; bsD1(mb(j-1),1:2)=[G(mb(j-1),1),(G(mb(j-

1),1)+G(mb(j-1),2))/2]; bsD2(mb(j-1),1:2)=[(G(mb(j-1),1)+G(mb(j-

1),2))/2,G(mb(j-1),2)]; SR=[SR bsD1 bsD2]; m=m+2; end i=i+1; qtlp=true; break; end elseif ( min(L)>=legln || max(L)<=(legln+strk) ) L_P(j,k)=1; end

end

if qtlp==true break; end

end

if qtlp==true continue; else AR(:,2*ari-1:2*ari)=G; ari=ari+1; i=i+1; end

end

lblx='Alt Yaricap [mm]'; lbly='Ust Yaricap [mm]'; lblz='Eyleyici Strok Uzunlugu [mm]'; run psa_plot; axis([Rb_min Rb_max Rt_min Rt_max strk_min strk_max]);

%----------------{ END OF CODE }-----------------%

78

2) Parametre Uzayı Analizinin sonuçlarını grafiksel olarak almak için kullanılan

kod (psa_plot.m):

% Results Plotter for Defined Workspace Algorithm n=size(AR,2)/2;

do=[ 1 1 1 1 1 2 ; 1 1 1 2 1 1 ; 1 1 1 1 2 1 ;... 1 1 2 1 2 2 ; 1 1 2 2 1 2 ; 2 1 2 2 1 1 ;... 1 2 2 1 2 1 ; 1 2 1 2 2 1 ; 2 2 1 2 1 1 ;... 2 2 2 2 2 1 ; 2 2 2 1 2 2 ; 2 2 2 2 1 2 ];

for i=1:n

for j=1:12

line([AR(1,2*i+do(j,1)-2),AR(1,2*i+do(j,4)-2)],... [AR(2,2*i+do(j,2)-2),AR(2,2*i+do(j,5)-2)],... [AR(3,2*i+do(j,3)-2),AR(3,2*i+do(j,6)-2)]);

end

end

grid on;

title('Tanimlanmis Calisma Uzayi icin Uygun Parametreler') xlabel(lblx); ylabel(lbly); zlabel(lblz);

79

3) Parametre Uzayı Analizi sonuçlarında belirli bir aralığın sonuçlarını sayısal

olarak veren kod (psa_find.m):

clc; testprm=[900;600;0]; checklist=[0;0;1];

for i=1:n if ((testprm(1)>=AR(1,2*i-1) && testprm(1)<=AR(1,2*i)) ||

checklist(1)) if ((testprm(2)>=AR(2,2*i-1) && testprm(2)<=AR(2,2*i)) ||

checklist(2)) if ((testprm(3)>=AR(3,2*i-1) && testprm(3)<=AR(3,2*i))

|| checklist(3)) [AR(1,2*i-1),AR(1,2*i);AR(2,2*i-

1),AR(2,2*i);AR(3,2*i-1),AR(3,2*i)] end; end; end; end;

80

4) Ayrıklaştırma metodu ile çalışma uzayını hesaplayan kod (workspace.m):

clc;

%Discretization Method

%--------- Parameters ----------

% pt=[-75.06,-40.42,-40.42,-75.06,115.47,115.47;... % Top

attachment points wrt top plate CS % -18.93,-18.92,-18.93,-18.93,-18.93,-18.93;... % -90,-110,110,90,-20,20]; % pb=[-173.21,64.95,64.95,-173.21,108.25,108.25;... % Base

attachment points wrt base plate CS % 0,0,0,0,0,0;... % -25,-162.5,162.5,25,-137.5,137.5];

pt=SPM.PointsTop; pb=SPM.PointsBase; ih=SPM.InitialHeight;

% r=[0;0;0]*(pi/180); % Rotation angles about x,y,z % % ca=cos(r(1)); sa=sin(r(1)); % cb=cos(r(2)); sb=sin(r(2)); % cc=cos(r(3)); sc=sin(r(3)); % R=[cb*cc -cb*sc sb;... % sa*sb*cc+ca*sc -sa*sb*sc+ca*cc -sa*cb;... % -ca*sb*cc+sa*sc ca*sb*sc+sa*cc ca*cb];

R=1;

Lmax=1244.6; Lmin=838.2;

%------ Workspace Definition --------

int=15; % Scan interval for workspace grid k=1; for x=-400:int:400 for y=-400:int:400 for z=-400:int:400 p=[x;y+ih;z]; for i=1:6 L(i,1)=norm(R*pt(:,i)+p-pb(:,i)); end

% Check for Max. and Min. leg lengths

if (max(L)<=Lmax && min(L)>=Lmin) P(:,k)=p; k=k+1; end end end end

%---------- Visualization ----------

81

subplot(2,2,1) plot(P(1,:),P(2,:),'*') xlabel('x-axis') ylabel('y-axis') subplot(2,2,2) plot(P(3,:),P(2,:),'*') xlabel('z-axis') ylabel('y-axis') subplot(2,2,3) plot(P(1,:),P(3,:),'*') xlabel('x-axis') ylabel('z-axis') subplot(2,2,4)

MinMaxXYZ=[-max(abs(P(1,:))) max(abs(P(1,:))) min(abs(P(2,:)))

max(abs(P(2,:))) -max(abs(P(3,:))) max(abs(P(3,:)))]

plot3(P(1,:),P(3,:),P(2,:),'b.') grid on axis([MinMaxXYZ(1,1:2) MinMaxXYZ(1,5:6) MinMaxXYZ(1,3:4)]) title('Workspace Grid') xlabel('x-axis') ylabel('z-axis') zlabel('y-axis')

82

5) İleri dinamik model için Embedded Matlab Editor içerisine yazılan kod:

function [iJk,W,dW] = FwdDyn(Xest,LegVels,Forces) LegVels=1e-3*LegVels; Xest(1:3)=1e-3*Xest(1:3); J=1.378; I=[1.7e2,0,0;0,1.67e2,0;0,0,1.7e2]; m=1003; g=[0;-9.81;0]; Eang=pi/180*Xest(4:6); sa=sin(Eang(1)); sb=sin(Eang(2)); sc=sin(Eang(3)); ca=cos(Eang(1)); cb=cos(Eang(2)); cc=cos(Eang(3)); pt=1e-3*[-597.7168,253.5710,344.1459,344.1459,253.5710,-597.7168;... 0,0,0,0,0,0;... -52.2934,-543.7847,-491.4912,491.4912,543.7847,52.2934]; pb=1e-3*[-516.2188,-380.3564,896.5752,896.5752,-380.3564,-

516.2188;... 30.0000,30.0000,30.0000,30.0000,30.0000,30.0000;... -737.2368,-815.6770,-78.4402,78.4402,815.6770,737.2368]; R=[cb*cc -cb*sc sb;... sa*sb*cc+ca*sc -sc*sa*sb+ca*cc -sa*cb;... -ca*sb*cc+sa*sc sc*sb*ca+sa*cc ca*cb]; LegLengths=zeros(3,6); scalLL=zeros(1,6); normLL=zeros(3,6); iJk=zeros(6,6); for i=1:6 LegLengths(:,i)=R*pt(:,i)+Xest(1:3)-pb(:,i); scalLL(:,i)=norm(LegLengths(:,i)); normLL(:,i)=LegLengths(:,i)/scalLL(i); iJk(i,:)=[normLL(:,i)' cross(R*pt(:,i),normLL(:,i))']; end; Jk=inv(iJk); GC=R*[0;-0.5;0]; GCM=v2m(GC); W=Jk*LegVels; w=cross(cross(W(4:6),GC),W(4:6)); T1=[m*eye(3) m*GCM;-m*GCM I-m*GCM^2]; T2=[m*w-m*g;... cross(W(4:6),(I*W(4:6)))+m*GCM*(w-g)]; sum11=zeros(3,6); sum12=zeros(3,6); sum21=zeros(3,1);

sum22=zeros(3,1); for i=1:6 sum11=sum11 + J/(scalLL(i)^2)*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[eye(3) -

v2m(R*pt(:,i))]; sum12=sum12 +

J/(scalLL(i)^2)*(v2m(R*pt(:,i)))*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[eye(3) -

v2m(R*pt(:,i))]; sum21=sum21 +

J/(scalLL(i)^2)*((v2m(normLL(:,i)))^2)*[cross(W(4:6),cross(W(4:6),R*

pt(:,i)))]; sum22=sum22 +

J/(scalLL(i)^2)*(v2m(R*pt(:,i)))*((v2m(normLL(:,i)))^2)*cross(W(4:6)

,cross(W(4:6),R*pt(:,i))); end; V1=[sum11;sum12]; V2=[sum21;sum22]; dW = inv(T1-V1)*transpose(iJk)*Forces-inv(T1-V1)*(T2-V2);

83

6) Plücker vektörlerini hesaplamak için yazılmış fonksiyon (plucker.m):

function [P,Pn]=plucker(M1,M2)

%PLUCKER Plücker line vector. % % [P,Pn]=PLUCKER(M1,M2) Forms the Plücker % line vector P by the formula; % % P = [ M1M2 , OM1 x M1M2 ] % % and normalized vector Pn by the formula; % % P % Pn = ---------- % || M1M2 || % % from point M1 to point M2. Resulting vectors % are always column vectors.

if nargin<2 error('Need two input arguments.') end

P=M2-M1;

if (size(P,1)==1) P=P'; end

P(4)=M1(2)*(M2(3)-M1(3))-M1(3)*(M2(2)-M1(2)); P(5)=-M1(1)*(M2(3)-M1(3))+M1(3)*(M2(1)-M1(1)); P(6)=M1(1)*(M2(2)-M1(2))-M1(2)*(M2(1)-M1(1));

Pn=P/norm(M2-M1);

84

7) Vektörleri skew-simetrik matrise dönüştüren fonksiyon (v2m.m):

%#eml function M = v2m(A) M=[0 -A(3) A(2);A(3) 0 -A(1);-A(2) A(1) 0];

85

EK A.2

EYLEYİCİ KONTROLÜ

Stewart Platform mekanizmasının bir bacağının kontrol işlemini temsil etmek üzere,

Ultramotion firmasından temin edilen NEMA Adım motoruna sahip bir doğrusal

eyleyici (Şekil A.1) mikrokontrolör ve uygun sürücü devresi ile kontrol edilecektir.

ġekil A.0.1 : Ultramotion firmasına ait doğrusal eyleyici

Kullanılacak sürücü devresi UCN5804B olup altı çıkışa sahip NEMA adım

motorunu unipolar yöntem ile kontrol etmek için uygundur. Bu devrenin kurulumu

Şekil A.2‟de verilmektedir.

Eyleyicinin kontrolü bir bilgisayar seri portu üzerinden yapılacak ve bilgisayar ile

iletişim kuracak olan Microchip firmasına ait PIC16F877A mikrokontrolör

eyleyicinin istenen boya ulaşmasını denetleyecektir.

Bu eyleyici tez çalışmasında incelenen sistem için uygun görülen eyleyicinin muadili

olmayıp bu ürünün kontrolü örnek amaçlı yapılacaktır.

86

ġekil A.2 : ULN5804B devresinin kurulum şeması

87

ÖZGEÇMĠġ

Ad Soyad: Burak ULAŞ

Doğum Yeri ve Tarihi: Çorlu – 18.11.1984

Adres: Ataköy 5. Kısım E2-7D D:64 Bakırköy/İstanbul

Lisans Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi – Makina Mühendisliği