bb b

b

bb

b

b

b1 / 31

Sterowanie z wykorzystaniem logiki rozmytej

Paweł Szołtysek

26 Stycznia 2008

b

b

bAgenda

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

2 / 31

AgendaWstępRegulator rozmytyFuzyfikacjaWnioskowanieDefuzyfikacjaPrzykładZastosowania

b

b

b

b

b

Podstawy logiki rozmytej

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

3 / 31

✔ Logika rozmyta jako uogólnienie logiki dwuwartościowej.

✔ Podstawowe pojęcie: funkcja przynależności.

b

b

b

b

b

Podstawy logiki rozmytej

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

3 / 31

✔ Logika rozmyta jako uogólnienie logiki dwuwartościowej.

✔ Podstawowe pojęcie: funkcja przynależności.

b

bb

b

bUkład regulacji

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

4 / 31

Mając dany obiekt sterowania, na podstawie r chcemy wyznaczyću które pozwoli nam osiągnąć możliwie najbliższe wyjście y.

b

bb

b

bUkład regulacji

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

4 / 31

Mając dany obiekt sterowania, na podstawie r chcemy wyznaczyću które pozwoli nam osiągnąć możliwie najbliższe wyjście y.

Eliminacja błędów sterowania poprzez dodanie sprzężeniazwrotnego.

Do regulatora trafia różnica wyjścia obiektu i wartości r.

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

Regulator PID

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

5 / 31

Przykładem konwencjonalnego regulatora jest trójczłonowyregulator PID, który występuje w różnych postaciach.

✔ regulator proporcjonalny P

✔ regulator proporcjonalno-całkujący PI

✔ regulator proporcjonalno-różniczkujący PD

✔ regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący PID

Model regulatora PID można zapisać w następujący sposób:

u(t) = K[e(t) +1

T

∫ t0

e(t)dτ + TDde(t)

dt]

b

b

b

b

b

b

bRegulator PID

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

6 / 31

Do regulatora PID należy dobrać odpowiednie parametry.Aby tego dokonać, potrzebna jest dokładna znajomośćmatematycznego opisu obiektu sterowanego wraz z jego stałymiczasowymi.Czasem zbudowanie takiego opisu jest trudne lub nawetniemożliwe - wtedy korzystamy ze sterowania rozmytego.

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

Regulator rozmyty

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

7 / 31

Chcemy połączyć dwa pomysły:

✔ Układ regulacji

✔ Logikę rozmytą

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

Regulator rozmyty

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

7 / 31

Chcemy połączyć dwa pomysły:

✔ Układ regulacji

✔ Logikę rozmytą

b

b

b

b

b

bBudowa regulatorów rozmytych

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

8 / 31

Regulator rozmyty można podzielić na trzy człony.

b

b

bb

b

bb

b

b

Zastosowanie regulatorów rozmytych

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

9 / 31

Regulator rozmyty znajduje swoje zastosowanie w sterowaniutakimi obiektami, w przypadku których metody analityczne niedają dobrych rezultatów, a człowiek potrafi w zadowalającymstopniu sterować obiektem.

b

bb

b

b

Etap fuzyfikacji

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

10 / 31

Polega na transformowaniu danych wejściowych na formę rozmytąw oparciu o funkcję przynależności µ.Wyjście bloku zdefiniowane jest przez wartości uzyskane z tejfunkcji.Ilość uzyskanych wartości nie przekroczy sumy ilości możliwychstanów w każdym z wejść.

b

b

b

Etap wnioskowania

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

11 / 31

Na tym etapie, korzystając z bazy reguł, wyznaczamy (jeszcze wformie rozmytej) sterowanie, które zostanie przekazane do obiektu.Najpierw wyznaczamy wartości wynikające z reguł, a następniedokonujemy ich unifikacji.

b

b

bb

bb

Etap wnioskowania: Baza reguł rozmytych

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

12 / 31

Baza reguł rozmytych stanowi podstawę etapu wnioskowania icałego sterownika. Jest zbudowana z instrukcji warunkowych, którepowstają na podstawie realnej wiedzy eksperta.

✔ IF (x1 = A1) THEN (y = C1)

✔ IF (x1 = A1) AND (x2 = B1) THEN (y = C1)

✔ IF (x1 = A1) OR (x2 = B1) THEN (y = C1)

gdzie Ai są zmiennymi pierwszej zmiennej wejściowej, Bj sązmiennymi drugiej zmiennej wejściowej, a Ck są zmiennymi danejwyjściowej.

b

b

b

b

b

b

bEtap defuzyfikacji

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

13 / 31

Zadanie wyostrzenia: przetworzenie wartości rozmytej nakonkretną wartość liczbową, przekazywaną obiektowi na wejście.Istnieje kilka różnych metod defuzyfikacji.

b

b

bb

b

b

Metoda maksimum

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

14 / 31

Metoda maksimum stanowi jedną z najprostszych metod służącychdo defuzyfikacji.Polega na wyborze (zależnie od wersji) pierwszej, ostatniej lubśrodkowej zmiennej najbardziej zaktywowanego zbioru rozmytego.Jest stosowana w tanich i wolnych mikroprocesorach.

b

b

bb

Metoda środka ciężkości

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

15 / 31

To skomplikowana metoda, w której wynik wyznacza się zapomocą funkcji

y∗ =

∫y × µwyn(y)dy∫µwyn(y)dy

Uwzględnia ona wszystkie aktywowane zbiory (sterowanie obiektujest bardziej płynne), jednak jest rzadziej stosowana, gdyż wymagawiększej mocy obliczeniowej.

b

bb

bb

b

b

b

b

b

Metoda wysokości

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

16 / 31

Uwzględnia wszelkie aktywne przesłanki.Jest zdecydowanie prostsza w obliczaniu od metody środkaciężkości (suma zamiast całki), jednocześnie zapewniając płynnesterowanie obiektem.

y =

∑i(µi × yi)∑i µi

(1)

gdzie i to ilość wyjściowych zbiorów rozmytych, µi to wyznaczonystopień aktywacji, a yi to reprezentatywne wartości wyniku dlakażdego z przedziałów.

bb

b

b

b

bb

Przykład: Budowa systemu opartego o rozmyty

sterownik

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

17 / 31

Zbudujemy model rozmyty, z dwoma wejściami oraz jednymwyjściem. Naszym zadaniem będzie:

✔ budowa funkcji przynależności dla zmiennych wejściowych iwyjściowych;

✔ budowa reguł - z wykorzystaniem mechanizmówwnioskowania;

✔ zdefiniowanie tablicy współczynników.

b

bb

b

b

b

b

bPrzykład: zdefiniowanie problemu

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

18 / 31

Zajmiemy się tematem podatków.Wejście sterownika:

✔ kwota przychodu, reprezentowana przez 2 zbiory rozmyte (S,L);

✔ kwota inwestycji, także reprezentowana przez 2 zbioryrozmyte (S, L).

Wyjście sterownika:

✔ wielkość podatku do zapłaty, reprezentowana przez 3 zbioryrozmyte (S, M , L).

b

bbb

b

bPrzykład: określenie funkcji przynależności

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

19 / 31

Dla tego zadania wybieramy proste funkcje przynależności typu Loraz Γ dla odpowiednich zbiorów.

Do wyostrzania będziemy wykorzystywali metodę wysokości.

bb b

b

b

b

b

b

b

Przykład: Określenie reguł rozmytych oraz tablicy

współczynników

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

20 / 31

✔ IF Przychód = S AND Inwestycja = S THEN Podatek = S

✔ IF Przychód = S AND Inwestycja = L THEN Podatek = S

✔ IF Przychód = L AND Inwestycja = S THEN Podatek = L

✔ IF Przychód = L AND Inwestycja = L THEN Podatek = M

Nazwa Small Medium Large

Przychód 0 100

Inwestycja 0 100

Podatek 33 66 100

b

b

b

bb

bb

b

b

b

Przykład: Dane wejściowe

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

21 / 31

Nazwa Wartość

Przychód 78

Inwestycja 36

b

b bb

b

b

b

b

b

Przykład: Etap pierwszy: fuzyfikacja

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

22 / 31

Wartości wejściowe są poddawane fuzyfikacji. W tym celu, systemporównuje je do założonych wartości krańców przedziałów i liczystopnie przynależności.

Nazwa Small Large

Przychód 0, 22 0, 78

Inwestycja 0, 64 0, 36

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

Przykład: Etap drugi: wnioskowanie

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

23 / 31

Następnie wykorzystywane są reguły rozmyte (pochodzące z bazywiedzy) do określenia wartości maksymalnych iloczynów.

✔ IF Przychód 0, 22 AND Inwestycja 0, 64 THEN Podatek S0, 22× 0, 64 = 0, 1408

✔ IF Przychód 0, 22 AND Inwestycja 0, 36 THEN Podatek S0, 22× 0, 36 = 0, 0792

✔ IF Przychód 0, 78 AND Inwestycja 0, 64 THEN Podatek L0, 78× 0, 64 = 0, 2808

✔ IF Przychód 0, 78 AND Inwestycja 0, 36 THEN Podatek M0, 78× 0, 36 = 0, 4992

bb

b

b

Przykład: Etap drugi: wnioskowanie

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

24 / 31

Wartości maksymalne dla grup to odpowiednio:

Small Medium Large

0,1408 0,2808 0,4992

b

b

bPrzykład: Etap trzeci: defuzyfikacjaAgenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

25 / 31

Ostatni krok to przeprowadzenie defuzyfikacji. Skorzystamy tutaj zmetody wysokości. W naszym przypadku mamy:

y =

∑i(µi × yi)∑i µi

=

=0, 1408 ∗ 33 + 0, 2808 ∗ 66 + 0, 4992 ∗ 100

0, 1408 + 0, 2808 + 0, 4992=

=4, 6464 + 18, 5328 + 49, 92

0, 1408 + 0, 2808 + 0, 4992=

=73, 0992

0, 9208= 79, 39 (2)

b

b

b

b

b

Przykład: Rozmyty regulator P

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

26 / 31

Regulator PID oparty o sterowanie rozmyte można takżezasymulować korzystając z logiki rozmytej. Dla przykładurozmytego regulatora P, reguły wnioskowania będą następujące:

✔ Jeżeli błąd e jest negatywnie duży, to sterowanie unegatywnie duże;

✔ Jeżeli błąd e negatywnie mały, to sterowanie u negatywniemałe;

✔ Jeżeli błąd e = 0, to sterowanie u = 0;

✔ Jeżeli błąd e pozytywnie mały, to sterowanie u pozytywniemałe;

✔ Jeżeli błąd e pozytywnie duży, to sterowanie u pozytywnieduże.

b

bb

b

b

b

b

Przykład: Rozmyty regulator PD

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

27 / 31

✔ IF e(t) = N AND e(t) = N THEN u(t) = N ;

✔ IF e(t) = N AND e(t) = Z THEN u(t) = N ;

✔ IF e(t) = Z AND e(t) = N THEN u(t) = N ;

✔ IF e(t) = N AND e(t) = P THEN u(t) = Z;

✔ IF e(t) = Z AND e(t) = Z THEN u(t) = Z;

✔ IF e(t) = P AND e(t) = N THEN u(t) = Z;

✔ IF e(t) = Z AND e(t) = P THEN u(t) = P ;

✔ IF e(t) = P AND e(t) = Z THEN u(t) = P ;

✔ IF e(t) = P AND e(t) = P THEN u(t) = P .

b

bb

b

b

b

b

bb

b

Przykład: Rozmyty regulator PD

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

28 / 31

Lub przedstawiając w formie tabelki:

sterowanie e(t)u(t) N Z P

N N N Z

e(t) Z N Z P

P Z P P

b

b

bb

Inna metoda wykorzystania regulatora rozmytego

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

29 / 31

Regulator rozmyty może być wykorzystywany także do sterowaniaregulatorem konwencjonalnym.

bb

b b

bZastosowania

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

30 / 31

✔ Aplikacje do konstrukcji regulatorów;

✔ Taksja nieruchomości;

✔ Sterowanie dojeniem krów.

b

b

b

b

b

b

b

b

Bibliografia

Agenda

Wstęp

Regulator rozmyty

Fuzyfikacja

Wnioskowanie

Defuzyfikacja

Przykład

Zastosowania

31 / 31

✔ W. Adamski, Logika rozmyta - pomysł na sterowanie,Automatyka B2B, 09 maj 2007

✔ W. Nalepa, Rozmyty system ekspertowy wspomagajacytaksacje nieruchomosci, Praca magisterska, PolitechnikaWrocławska, Wrocław 2006

✔ W. Grega, Algorytmy Sterowania Cyfrowego. Wykłady,Katedra Automatyki AGH 2001/2002

✔ H. Juszka, M. Tomasik Logika rozmyta w sterowaniupodcisnieniem w automatyzowanym doju krów, Acta Sci.Pol., Technica Agraria 4 2005, str. 67-74

✔ A. Piegat, Modelowanie i sterowanie rozmyte, AkademickaOficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 1999