• Stefano CERONI - 753605

• Sara TOIA - 753606

Università degli Studi di MilanoFacoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Dipartimento di Informatica e Comunicazione Corso di Laurea in Tecnologie dell’Informazione e della Comunicazione

e Informatica

SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI

BEZIER

RICHIAMI SUI FLUIDI

FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio.

RICHIAMI SUI FLUIDI

FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio.

Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono:

1.Conservazione della massa2.Leggi di Newton3.Principi della termodinamica

RICHIAMI SUI FLUIDI

FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio.

Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono:

1.Conservazione della massa2.Leggi di Newton3.Principi della termodinamica

N.B.: nel nostro lavoro andremo ad utilizzare le leggi di Newton

DINAMICA DEI FLUIDI

Le grandezze di base sono:

ESTENSIVE (proporzionali alla massa del sistema)

• Massa scalare• Momento lineare vettoriale• Momento angolare vettoriale• Energia scalare

INTENSIVE (indipendenti dalla massa del sistema)

• Pressione scalare• Velocità vettoriale

FISICA: MOTO ONDOSO

Le onde sono provocate dall’attrito del vento con la superficie d’acqua

FISICA: MOTO ONDOSO

Le onde sono provocate dall’attrito del vento con la superficie d’acqua

CARATTERISTICHE DI UN’ONDA

• lunghezza: distanza fra cresta e cresta oppure fra ventre e ventre

• altezza: distanza verticale tra cresta e cavo

• velocità di propagazione: spazio percorso da una cresta nell’unità di tempo

FISICA: MOTO ONDOSO

Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:

FISICA: MOTO ONDOSO

Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:

dove: u,v e w = componenti della velocità rispettivamente lungo le

coordinate spaziali x,y,z p = pressione ν = coefficiente di viscosità del fluido ρ = densità del fluido fx,fy e fz = componenti forze esterne lungo le coordinate x,y,z

FISICA: MOTO ONDOSO

Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:

Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche l’equazione di continuità:

Assicurando cioè che, preso un volume infinitesimale di liquido, la quantità di flusso entrante nella superficie che racchiude il volume, sarà uguale alla quantità di flusso uscente

Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche l’equazione di continuità:

SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER

TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER

acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE

SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER

TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER

riflessione delle onde, movimento delle acque, comportamenti di oggetti

immersi, ecc. …

acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE

SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER

TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER

riflessione delle onde, movimento delle acque, comportamenti di oggetti

immersi, ecc. …

acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE

DISPENDIO COMPUTAZIONALE

SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER

TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER

questo metodo permette la simulazione del movimento ondoso in maniera

• veloce • stabile • facilmente implementabile• senza un eccessivo dispendio computazionale

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.

Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.

Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:

1. il fluido è una superficie con valori di altezza

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.

Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:

1. il fluido è una superficie con valori di altezza

2. la componente verticale della velocità va ignorata

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.

Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:

1. il fluido è una superficie con valori di altezza

2. la componente verticale della velocità va ignorata

3. la componente orizzontale della velocità è costante

NO A ONDE CHE SI INFRANGONO NO A CORRENTI VERTICALI

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.

Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:

1. il fluido è una superficie con valori di altezza

2. la componente verticale della velocità va ignorata

3. la componente orizzontale della velocità è costante

Sapendo che:

b(x) = altezza del suoloh(x) = altezza dell’acqua

La profondità dell’acqua d (x) sarà data da:

d (x) = h(x) – b(x)

Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:

Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:

dove u(x) = velocità orizzontale dell'ondag = accelerazione di gravità

Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:

dove u(x) = velocità orizzontale dell'ondag = accelerazione di gravità

Legge di Newton (F = ma)

Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:

dove u(x) = velocità orizzontale dell'ondag = accelerazione di gravità

Legge di Newton (F = ma)

Legge di Conservazione del volume

Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene:

Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene:

Sostituendo avremo:

che è l'equazione che esprime la legge del moto di un'onda di velocità v = (gd)

Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene:

Sostituendo avremo:

½

Per risolvere l’equazione

è necessario costruire una rappresentazione discreta dell’equazione continua.

Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:

Per risolvere l’equazione

è necessario costruire una rappresentazione discreta dell’equazione continua.

Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:

Il risultato acquisito va integrato.

Ci sono diversi modi per procedere. Kass e Miller suggeriscono di utilizzare un metodo implicito di primo ordine.

Si ottiene:

Si ottiene:

che, con i dovuti ri-arrangiamenti, diventa:

Linearizzando l’ultima equazione si ottiene:

Linearizzando l’ultima equazione si ottiene:

dove A è una matrice quadrata, così composta:

A questo punto è possibile procedere con l’implementazione dell’algoritmo.