- 1 -

خبابه عبداهللا:إعـداد الدكتور

محاضرات محاضرات محاضرات محاضرات

اإلحصاء الوصفياإلحصاء الوصفياإلحصاء الوصفياإلحصاء الوصفي

- 2 -

ةمـقــدمـال

- 3 -

الحمد هللا وبه نستعـين بسم اهللا الرحمـــن الرحيم

مقدمــــــــــــــــــــة

،وشق طريقه بسرعة فائقة إلى مختلف أثبت الواقع أن علم اإلحصاء أداة للبحث ، فقد شاع استعماله

ففي أيامنا هذه نجد جميع شرائح المجتمع من رجل التربية .على حد سواء )الطبيعية واإلنسانية (العلوم

إلى االقتصادي إلى االجتماعي إلى السياسي يستخدم المبادئ اإلحصائية ،ويتعامل بلغة األعداد بطريقة

طلق كان البد من دراسة اإلحصاء بأسلوب مبسط ،واإللمام بمبادئه من هذا المن.مباشرة او غير مباشرة

واكتساب القدرة على معالجة أسسه وقواعده ،من قبل الذين يكثرون من استعماله ،ومن هنا يتوجب على

ولما كان اإلحصاء يسير وفق منهجية محكمة ،فإن .االقتصاديين واالجتماعيين اإللمام بمفاهيمه المختلفة

علوم (والمسيلة )علم اإلجتماع(رات التي ألقيتها على طلبة السنة األولى في جامعتي سطيف هذه المحاض

).علوم التسيير(والمركز الجامعي بالبرج )تجارية وعلوم التسيير

أى من المبادئ األولية إلى (تدرجت في إلقاءها وفق منهج تربوي محكم إنطالقا من الجزء إلى الكل

لى عدة فصول وكل فصل متبوع إذ أنني قسمت المقرر إ).جصاء الوصفي اإللمام بجميع مواضيع اإل

. أدرجتها في النهاية من التمارينلسلةبس

مقدمة في علم اإلحصاء: الفصل األول

تعريف علم اإلحصاء-

مال اإلحصاء مجاالت إستع-

أنواع اإلحصاء -

شرح بعض المصطلحات اإلحصائية -

الطريقة اإلحصائية :الفصل الثاني

جمع المعلومات

عرض البيانات

تحليل البيانات

.التفسير

).ل تكراريخطوات بناء جدو(العرض الجدولى

- 4 -

أنواع الجداول التكرارية

التمثيل البياني للتوزيعات التكراري

.الصاعد والنازل التكرارين المتجمعين

المقاييس اإلحصائية:الثالث الفصل

:مقاييس النزعة المركزية-1

المنوال –المتوسط التربيعي –المتوسط التوافقي – المتوسط الهندسي – المتوسط الحسابي

.الربيعيان -الوسيط–

:مقاييس التشتت-2

اإلنحراف -اإلنحراف المتوسط–اإلنحراف – المدى: مقاييس التشتت المطلق-أ

. اإلنحراف المعياري-التباين-الوسيطي

الوحدة -معامل االختالف–معامل المدى الربيعي النسبي -:مقاييس التشتت النسبي- ب

. معامل التغيرالتربيعي–المعيارية

-: مقاييس الشكل -:الفصل الرابع

- مقاييس اإللتواء

. العزوم

- مقاييس التفلطح

:اإلرتباط واإلنحدار:الفصل الخامس

معامل اإلرتباط الخطي–معامل اإلرتباط -مفهوم اإلرتباط:اإلرتباط -1

معامل اإلرتباط الجزئي –

دارالخطي بطريقة المربعات الصغرى تقدير معادلتي اإلنح- مفهوم اإلنحدار:اإلنحدار-2

العالقة بين معامل اإلرتباط ومعامل اإلنحدار -

اإلنحدار المتعدد-

على أساس خطوط اإلنحدارالخطأ المعياري للتقدير -3

- 5 -

:تحليل السالسل الزمنية:الفصل السادس

.تحليل اإلتجاه العام-أهداف تحليل السالسل الزمنية–مكونات الزمنية –مفهوم السلسلة الزمنية -

قياسيةاألرقام ال:الفصل السابع

باش –السبير (أسلوب األرقام القياسية المرجحة -تركيب األرقام القياسية– مفهوم الرقم القياسي

إختبار -اختباراإلنعكاس المعاملي(إختبار دقة األرقام القياسية -) ادجورث-فيشر-مارشال–

).اإلنعكاس الزمني

سالسل تطبيقية

- 6 -

الفصل األول

دراسة بعض المفاهيم

- 7 -

مقدمة حول علم اإلحصاء

اإلحصاء علم له قواعده وأصوله ،وهو يخدم العلوم األخرى ويساعدها على التطور الواسع في : تمهيد

سخدم األخصائيون إلبالولقد ظهرت منذ نهاية القرن التاسع عشر ،عندما است.البحث الدقيق السليم

وقوانين االحتماالت ،والتطور إلى التحليل اإلحصائي فيوغيرهم..…مانري،قوس،فيشر، فيرسون ،سب

ا إلحصاء نحو األبحاث منذ هذا التاريخ توسع علم. الدراسة للعالقات بين الظواهـر المختلفة

لتعليم ،تسيير مثل االقتصاد، الطـب،التربية ،وا المتنوعةوالتخصصات المتشعبة

.وأصبح علما تجريديا بذاته يشمل جميع المجاالت الحياتية.الخ.…المؤسسات،

قبل الشروع في بحث علم اإلحصاء يكون من األحسن أن نقف قليال لنتعرف :تعريف علم اإلحصاء

.على معنى كلمتي علم وإحصاء

حقيقته أو بعبارة أخرى مجموعة المبادئ ن كلمة العلم لغة تعنى إدراك الشيء بإ: مفهوم كلمة علمـ1

والبعض اآلخر يعرفه ذلك الفرع من .والقواعد التي تشرح بعض الظواهر والعالقات القائمة بينها

الدراسة آلتي تتعـلق بجسد مترابط من الحقائق الثابتةالمصنفة وآلتي تحكمها قوانين عامة ،وتحتوى على

هذه الطرق تعرف بمنهجية البحث العلمي .لحقائق الجديدة ابها للوصول إلى طرق ومناهج موثوق

.)القانون(،المرتكزة على أربعة خطوات هي المالحظة،الفرضية، التجربة،النتيجة

تستخدم كلمة إحصاء للتعبير عن األرقام العديدة المرتبة في شكل جداول : ـ معنى كلمة إحصاء2

تخرج عن كونها الوهى بهذا المعنى.الخ.……الوفيات،كتلك آلتي تتعلق بالسكان والدخل والمواليد و

كما يراد بها أيضاتعداد األشياء أو تصنيفها فمثال عدد المدارس .بيانات ،فنقول إحصاء المواليد والوفيات

االبتدائية في الجزائر،نسبة النجاح في البكالوريا ،أو أن هذا الجدول يضم أرقاما تدل على كمية اإلنتاج

.الخ.…2001 إلى1990وب وتطور اإلنتاج الصناعي منالوطني من الحب

عندما نتكلم عن اإلحصاء ال نعني بذلك البيانات اإلحصائية و إنما نقصد : ـ مفهوم علم اإلحصاء 3

حينئذ الطريقة اإلحصائية و هي الطريقة التي تمكننا من جمع الحقائق عن الظواهر المختلفة في صورة

وصنعها في جداول تلخيصية بطريقة تسهل تحليلها بهدف معرفة اتجاهات قياسية رقمية و عرضها بيانيا

اإلحصاء فرع من فروع الرياضيات (و يعرفه البعض .هذه الظواهر و عالقات بعضها ببعض

م بتجميع و تنظيم و تحليل و تفسير ظاهرة معينة لمجتمع ما ،و استخالص نتائج مقبولة يهتالتطبيقية

).. .بدراستهاالظاهرة التي قام ة واضحة و معقولة عن تلكالعتمادها أساسا لفكر

- 8 -

:مجاالت استعمال اإلحصاء

: يستعمل اإلحصاء في كافـة مجاالت الحياة

. االستهالك و كيفية تنظيمها،من خالل إظهار جداول اإلنتاج ، التوزيع :االقتصاد

أو إنتخابات . آرائهم حول مشروع ما من خالل أخذ مجموعة من األفراد وإبداء : السياسة

.وغيرها……

. إجراء دراسات إحصائية حول سلوكات معينة :علم اإلجتماع

.عن طريق تشخيص األمراض ، وإعطاء األدوية الالزمة والتلقيحات المختلفة : علم الطب

.إعداد جداول تقويمية للطلبة : التربية والتعليم

.إلخ..…شخاص وسلوكاتهم وتصرفاتهمألمعرفة ا: فس علم الن

.وغيرها……اتخاذ القرارات : تسييرالمؤسسات

:ينقسم اإلحصاء إلى قسمين : أنـــواع اإلحصاء

يشمل جمع وتبويب البيانات اإلحصائية، مع دراسة الظواهر اإلحصائية وعالقتها :اإلحصاء الوصفى-1

.ييس اإلحصائية ،اإلرتباط ، اإلنحدار وغيرهادراسة المقا:بالظواهر األخرىمثل

وهوالعلم الذى يتألف من اإلستنتاجات التى يتوصل إليها الباحث عن طريق تحليل :اإلحصاء اإلستداللى-2

البيانات ، وهي غالبا ماتكون فى شكل تقديرات أو تنبؤات ، أوتعميمات لقرارات،رفض أوقبول للفرضيات ،

.نات ،اإلختبارات ييعات اإلحتمالية ، التقديرات ، المعااإلحتماالت ،التوز: مثل

شرح بعض المصطلحات اإلحصائية

العنصر األولى للظاهرة اإلحصائية والذى يمكن بواسطته تحقيق تحديد :الوحدة اإلحصائية -1

:تتمع الوحدة بخاصيتين.نوعىلهذه الظاهرة

لمجتمع المدروس مع تحديد جوهر مرتبطة بشكل وثيق بنوعية الظاهرة أو ا: خاصية أساسية

.ومضمون الظاهرة

غير مرتبطة بنوعية الظاهرة أوالمجتمع المدروس،فهى تعبر عن الشكل الظاهري :خاصية ثانوية

للمجتمع المدروس فمثال المؤسسةالصناعية وحدة من القطاع الصناعي فخاصيتها األساسية حجم

الخواص الثانوية فهم إسم المؤسسة والقسم أو الفرع الذي تتبعه أما .اإلنتاج ،عددالعمال ،التجهيزات

.إلخ..…إداريا أوماليا

كالجنس،الحالة العائلية :كما يجرى التمييزبين الخصائص النوعية والكمية ، فالنوع اليعبر باألرقام

.إلخ ..…

- 9 -

. إلخ…كحجم اإلنتاج ،او مخصصات األجور :أماالكم فيعبر عن الظاهرة رقميا

:تنقسم إلى قسمين :أنواع الوحدات اإلحصائية

تنقسم إلى قسمين : وحدات عد- 1

–بقرة – وجدت في الطبيعة ولم تتدخل يد اإلنسان في تحويلها مثل غزالة :وحدات عد طبيعية - أ

.إلخ.…شجرة

.طاولة –ى صنعها مثل سيارة تدخلت يد اإلنسان ف:وحدات عد مصنوعة-ب

:اليمكن عدها بل تقاس بوحدات وتنقسم إاى قسمين :وحدات قياس -2

.إلخ..…الدوالر–الدينار :وحدات قياس نقدية - أ

.إلح……مثل طن ، قنطار ، غرام ، متر :وحدات قياس مادية -ب

رة ما ،أوبعبارة أخرى مجموعة من العناصر والحقائق المتجانسة عن ظاه:المجتمع اإلحصائي-2

مجتمع السكان ، مجتمع (مجموعة من الوحدات اإلحصائية بينها صفة أوعدة صفات مشتركة فمثال

: تصنيفين ىلويمكن تصنيف المعلومات إ).لمنتجةالمواليد ، مجتمع السلع ا

.الجنس ،النبات :معلومات ثابته-

األوزان: معلومات غيرثابته -

صنف المعلومات اإلحصائية حسب السلسلة التي تكونها كما ت

وهي معلومات ال متناهية في الدقة مثل الطول والوزن سلسلة : سلسلةمستمرة -

.معلومات متناهية متكاملة مثل عدد السيارات في الجزائر ،عدد الطلبة في المدرج: متقطعة

نقوم بدراستها للتعرف على . من المجتمع اإلحصائيمجموعة من الوحدات اإلحصائية مأخوذة:العينة -3

استخدام العينات معروف منذ القدم ،فالكميائي في مخبره .خصائص المجتمع التي سحبت منه هذه العينة

يقوم بدراسة خواص المادة من واقع عينة من هذه المادة ،والطبيب يقوم بتحليل دم المريض من واقع

.إلخ.…اط من دمهعينة صغيرة تتكون من بضعة نق

: اإلعتبارات التي تدعو إلى إستخدام العينات

. توفيرالوقت والجهد والنفقات -1

في بعض الحاالت يكون المجتمع غير محدود ،فإذا أردنا فحص إنتاج آلة معينة ،فالمجتمع هنا -2

ن المستحيل إجراء حصر شامل ، يكون ما أنتجته وماتنتجه وماستنتجده مستقبال،وهذا بطبيعة الحال م

.فنكتفي بدراسة عينة من إنتاج اآللة

- 10 -

قد يؤدي أحيانا فحص المفردات إلى تدميرها ،فإذا أردنا تحليل دم شخص بطريقة الحصر ، فهذا - 3

.معناه سحب الدم كامال للمريض مما يؤدي إلى تدميره فمن األحسن جذب عينة من دمه

:لى قسمين تنقسم إ: أنــواع العينات

سحب مجموعة من الوحدات اإلحصائية من المجتمع اإلحصائي بحيث يكون : العينة المتحيزة-1

تستخدم هذه العينة في الحاالت التي يراد فيها الحصول .اإلحصائي على علم بخصائص هذه الوحدات

ة للتأكد من لتكوين فكرة سريعة عن مشكلة معينة أواإلستمارات اإلحصائيةتقريبيعلى تقديرات

.صالحيتها عن طريق تجريبها عمليا

سحب مجموعة من الوحدات اإلحصائية بحيث اليكون اإلحصائي على علم :العينة العشوائية -2

بخصائص هذه الوحدات ،ويستخدم هذا النوع في الحاالت التي نريد فيها تعميم النتائج التي نحصل عليها

: وتنقسم إلى عدة أنواعمن العينة على المجتمع الذي سحبت منه

وهي العينة التي تختار بحيث تعطىجميع المجتمع المراد بحثه نفس : العينة العشوائية البسيطة- أ

وإتاحة الفرصة . الفرصة في الظهور ،وهذا يعني عدم اإلهتمام ببعض المفردات أكثر من البعض اآلخر

.ند أخذعينة من دم اإلنسان المتكافئة أمام كل مفردة للظهور فى العينة ، فمثالع

إذا كان المجتمع يشتمل على مجموعات من المفردات تتصف بالتجانس داخل كل :العينة الطبقية– ب

فالبد .مجموعة وبالتباين بين المجموعات المختلفة ،ويرادأخذ عينة تكون ممثلة بقدراإلمكان لهذا المجتمع

يم المجتمع إلى طبقات مثال مجتمع الجامعة ،فلألخذعينة من تمثيل هذه المجموعات في العينةوذلك بتقس

تقسيم المجتمع إلى طبقات وهذه تتوقف عاى درجة التجانس بين مفردات المجتمع -:طبقية يجب

تحديد حجم العينة وتوزيعها علىالطبقات المختلفة ،ويتوقف حجم العينة على اإلمكانيات المادية والفنية -

.المطلوبة المتاحة،وكذلك درجةالدقة

نظرا لضيق الوقت وكثرة التكاليف والجهود الالزمة إلختيار عينة عشوائية :العينة المتعددة المراحل-ج

فإذا كان المجتمع يتكون من عدة .بسيطة في معظم األحيان فإنناقد نجري اإلختيارعلىمراحل متعددة

،ثم نختار عينةعشوائية بسيطة من أقسام متجانسة ، نبدأ باختيار بعض األقسام عشوائيا كمرحلة أولى

،وقد يحتاج األمر إلى إختيار عينة عشوائية بسيطة )كمرحلة ثانية (كل قسم من األقسام التي تم إختيارها

العينةالتي تم اختيارها بهذه الطريقة .وهكذا …منكل قسم من األقسام التي تم اختيارها في الرحلة الثانية

حل ،فمثال لدراسة تكاليف المعيشة في إحدى الواليات فإنه أوال يمكن اختيار تعرف بالعينة المتعددة المرا

ثم اختيار بعض القرى من كل مركز من المراكز التي تم )كمرحلةاولى (بعض مراكز الوالية

- 11 -

،ثم اختياربعض األسر من كل قرية ثم اختيارها في المرحلة الثانية ،ثم تجرى )كمرحلة ثانية(اختيارها

).المرحلة الثالثة(مطلوبة على األسرالمختارة فقط في الدراسة ال

وحدات منهذا 10وحدة وأردناإختيارعينة حجمها100إذاكان لدينا مجتمعامكونا من: العينة المنتظمة-د

المجتمع فإ نه يمكن إجراء هذا اإلختيار بطريقة منظمة وسريعة وهي أن نختار أحد االرقام بين

لنحصل على ترتيب المفردة 10لى في العينة ثم نضيف ,ب المفردة األعشوائيا فنحصل علىترتي)10و1(

:مفردات ،فمثال إذا كان الرقم األول 10الثانية وهكذا حتى نحصل على

.نعرف هذه العينة بالعشوائية المنتظمة ).3-13-23-33-43-53-63-73-83-93(

ها نفس لاييس اإلحصائية فيكون وهي التي تتفق مع المجتمع اإلحصائي في المق :العينة المعيارية-ه

ل من يوالوسيط واإلنحراف المعياري، وتكون أكثرصدقا في تمثيل المجتمع أحسن تمثالحسابي وسط متال

الطرق األخرى

: تنظيم الوحدات اإلحصائية بطريقة علمية وينقسم إلى نوعين :التوزيع

. تنظيم البيانات حسب عدد مرات حدوثها:التوزيع التكراري-1

.تنظيم البيانات حسب إحتمال حدوثها أو نسبة حدوثها: التوزيع اإلحتمالى -2

- 12 -

لثاني االفصل

طريقة اإلحصائيةال

- 13 -

الطريقة اإلحصائية

.ها وتفسيرهالتعرف الطريقة اإلحصائية بأنها المنهج والسبيل المتبع في جمع المعلومات وعرضها وتحلي

: أربع خطوات تنقسم إلى:إلحصائية خطوات الطريقة ا

بعد تحديد المشكلة البد من التأكد من أن البيانات المراد جمعها ضرورية بدرجة :جمع المعلومات -1

وأن هذه البيانات متوفرة وممكن الحصول عليها ،فقد تكون متوفرة .تبررا لتكلفة الالزمة للحصول عليها

ام بالمحاوالت السابقة لدراسة المشاكل المماثلة ،وذلك بهدف ولكنها سرية مثال ،وكذلك البد من اإللم

هناك عدة مصادر للحصول على المعلومات اإلحصائية .تجنب وتذليل العقبات التي تعترض طريقه

:الخاصة بظاهرة معينة

يشمل الوثائق والمطبوعات والنشرات اإلحصائية التي تصدرها الهيئات :المصدر غيرا لمباشر -1

مم المتحدة ومنظماتها المختلفة وكذلك الهيئات الدولية مثل هيئة األ. وين المختلفة والدوا

يمكن الحصول على البيانات عن طريق اإلتصال بمفردات المجتمع المبحوث :المصدر المباشر-2

يقوم الباحث بجمع بياناته في .مباشرة ،وذلك عن طريق توجيه األسئلة أو عن طريق المشاهدة المباشرة

إستمارة إحصائية تصمم خصيصا لهذا الغرض ،وتختلف حسب طبيعة المجتمع اإلحصائي ،والمستوى

.العلمي لألفراد الذين تجمع منهم البيانات

:اإلعتبارات الواجب إتباعها عند تصميم اإلستمارة

.ان تحتوي اإلستمارة على أقل عدد من األسئلة حتى التستغرق وقتا طويال من المبحوثين - أ

يجب أن تكون األسئلة واضحة وسهلة ،والتحتمل أكثر من معنى ، وأن يراعى فيها التسلسل - ب

)..ال(أو) نعم(فتفضل األسئلة التي يمكن اإلجابة عنها ب المنطقي ،

يجب أال تتطلب األسئلة عمليات حسابية معقدة ،أو تستلزم التفكير العميق أو اإلعتماد على الذاكرة - ج

.

.يجب توضيح التعاريف والوحدات المستخدمة في القياس- د

أن نتجنب األسئلة التي توحي بإجابات معينة ،حتى التكون اإلجابات متحيزة - ه

.المحافظة على سرية جميع البيانات ،وأنها لن تستخدم في غير الغرض الذي جمعت من أجله- و

ينبغي تجربة اإلستمارة عن طريق مايعرف بالبحوث التجريبية هذه اإلعتبارات باإلضافة إلى-ز

.للتأكد من صالحياتها،ولتعديلها إذا اقتضى األمر ذلك

:لجمع البيانات من الميدان يمكن إتباع إحدى الطريقتين:أسلوب جمع البيانات

- 14 -

في مفردات المجتمع ،ويستخدم هذا ألسلوب جمع البيانات من جميع :أسلوب الحصر الشامل-1

ومن الواضح أن هذا يكلف الكثير من .إلخ..…التعدادات العامةمثل تعداد السكان ،والتعداد الزراعي

النفقات والوقت ،نظرا لكبر عدد المفردات ولضخامة المجهود الالزم لذلك،ولهذا يلجأ الكثيرمن الباحثين

.إلستخدام العينات

).سبق شرحه:( أسلوب العينات -2

. أسلوب المراسلة-3

: يتم عرض المعلومات بأربعة طرق): تبويبها(عرض البيانات -2

.يكون في شكل مقالة أدبية أو صحفية:العرض الكتابي - أ

بعداإلنتهاء من مراجعة البيانات نجد لدينا مجموعة كبيرة من الحقائق :العرض الجدولي- ب

ي جداول تلخيصية ، إذ يجب غيرالمنظمة في اإلستمارة ،لذلك يجب تنظيم هذه البيانات ووضعها ف

:إتباع جملة من القواعد عند تصميم الجدول

.أن يكون للجدول عنوان واضح ومختصر ،ومحددا لما يحتويه من معلومات -

. أن تكون عناوين األعمدة والصفوف مختصرة وغير غامضة -

.ةأن ترتب البيانات بالجدول وفق تسلسلها الزمنى أوحسب أهميتها من الناحية الوصفي -

.يستحسن ترقيم األعمدة أو الصفوف لتسهيل اإلشارة إلى بيانات الجدول -

توضيح المصدر الذي أستقي منه البيانات من -

إظهار البيانات العددية وتتبع تغيراتها بطريقة تجذب اإلنتباه متسمة بالبساطة : العرض البياني-ح

يرات التي ندرسها ،وتختلف الوسائل التي والسهولة في تذ كرها ،إضافة إلى توضيح العالقات بين المتغ

:نستخدمها تبعا انوع البيان اإلحصائي والحقائق المراد إبرازها وفيما يلي بعض من الطرق الشائعة

) X( يستخدم لتوضيح سير ظاهرة ما خالل فترة من الزمن ،يمثل المحور األفقي :الخط البياني-1

ولتوضيح ذلك إليك المثال .المتغير التابع-قيم الظاهرة) Y(يالمتغير المستقل ،والمحور العمود-الزمن

:إلى

1990 إلى1984الجدول اآلتي يبين اإلستهالك المحلي في الجزائر لمادة التبغ من

90 89 88 87 86 85 84 السنوات

2500 2350 2300 2200 2020 1940 1785 اإلستهالك

- 15 -

الرسم البياني

تخدم هذه الخريطة لرسم ظاهرتين من نفس النوع وبحيث يكون للفرق بين تس:خريطة الشريط -2

القيم المتناظرة معنى ،وبذلك تمثل الخريطة كال من الظاهرتين والفرق بينهما ،فمثال تستخدم في تمثيل

على سبيل المثال نرسم شكال .إلخ…الدخل واإلستهالك ،الدخل واإلستثمار ،معدل المواليد والوفيات

.1990-1982عدل الوفيات ومعدل المواليد في الجزائر من يمثل م

1990 1989 1988 1987 1986 1985 1984 1983 1982 السنوات

معدل

المواليد

52.6 50.2 52.9 50.8 50.1 47.8 47.7 51.5 51

معدل

الوفيات

20 20.5 20.3 19.6 18.3 19.7 18.7 17.7 16.8

- 16 -

تغيير الوحدات من األعداد الصحيحة إلى األعداد تقسيم نصف لو غاريتمي هو الخط البياني:مالحظة

.اللوغاريتمية

تستخدم هذه الطريقة في العرض اإلحصائي عندما يراد تمثيل ظاهرة ما خالل :العرض الهندسي -د

عدد قليل من السنوات ،أو عند تمثيل حجم مجموعة ما والمجموعات المكونة لها في وحدة زمنية

.معينة ويتم التمثيل بعدة أشكال

وهى عبارة عن أعمدة رأسية تتناسب إرتفاعاتها مع األعداد التي ):المستطيالت(األعمدة البيانية -1

تمثلها األعمدة وتكون قواعدها متساوية ويؤخذا لمحور األفقي عادة ليمثل الصفة المميزة ،ويؤخذ

.المحور الرأسي ليمثل القيم األخرى

1990-1986للسنوات ) س(لجدول اآلتي يبن اإلنتاج الصناعي للمادةا:مثال

10: الوحدة قنطار 6

1990 1989 1988 1987 1986 السنة

5200 5800 4000 2900 2600 اإلنتاج

ن مجموع عام مقسم إلى أجزاء فرعية فيمكن تمثيل إذا كانت البيانات عبارة ع:الرسوم الدائرية-2

الجملة بالمساحة الكلية للدائرة إلى قطاعات تتالقى في المركز ،بحيث تكون امساحة متناسبة مع

.المقادير الجزئية

X 360القيمة = القوس

المجمـوع

- 17 -

.من الوطنإليك المساهمين في تعاونية من عدة مناطق :مثال

المجموع د ج ب أالمناطـق

12000 9500 900 1300 300 المساهمين

900X360= 27= قوس ج1300X360= 93= قوس ب300X300 = 09=قوس أ

12000 12000

12000

9500X360 =285=قوس د

12000

:ونستطيع اآلن أن نلخص مزايا وعيوب العرض البياني

.البساطة في قراءة البيانات وخاصة إذا المشاهدات كبيرة - :المحاسن -1

طي فكرة أكثر ثباتا من األرقام سهولة تذكر النتائج إذ من المعروف أن الرسوم تع-

.والكلمات

.جذب اإلنتباه–. إمكان توضيح أوتأكيد بيان عن طريق إستخدام األلوان -

التضحية في دقة البيانات إذ أن األشكال توضح فقط التغيرات العامة والتبين -: المساوئ-2

. إرفاق الجدول مع الرسمالتفاصيل الكاملة الدقيقة ولذا يستحسن دائما

أحيانا تكون الرسوم معقدة ،إذا كانت تشتمل على مجموعات من البيانات المختلفة ،أو -

.كثرة التكاليف إذا كانت تحتوي على بيانات تحتاج إلى مقاييس كبيرة

: للتصنيف أربع طرق يستحسن اإللمام بها ومعرفة حقيقتها وهي) :التصنيف(التحليل -3

-أستاذ(من أمثلة هذا النوع تقسيم الطلبة ذكور وإناث ،الوظائف التعليمية :التصنيف النوعي -أ

).أعزب ، متزوج ،مطلق(الحالة الزوجية ).عامل

عند دراسة بعض الظواهر يكون همنا محصورا في إيجاد القيمة العددية لمقدار :التصنيف الكمي-ب

.راد حسب أفرادها ، تقسيم الموظفين حسب دخلهم الشهريتقسيم األف(تمثل هذه الظاهرة في األفراد

دراسة مراحل نمو الطفل (تعتمد علىدراسة ظاهرة خالل فترات زمنية مختلفة : التصنيف الزمني-ج

،تطور اإلنتاج الوطن لعدة سنوات

- 18 -

ن يعتمد على تقسيم األفراد ودراستهم ضمن مواقعهم الجغرافية المعينة وم:الجغرافي التنصنيف-د

.أمثلة ذلك تصنيف الطالب حسب الواليات ،األساتذةحسب الجامعات التي تخرجوا منها

الخطوة األخيرة في الطريقة اإلحصائية وهو تفسير الباحث للمعلومات التي قام بجمعها :التفسير-4

ات وتبويبها وتحليلها ،وأبسط معنى للتفسير هو إستخالص ماتعنيه هذه األرقام ،ومن ثم أخذ القرار

.المترتبة على ذلك مستعبنا بقوانين ونظريات سندرسه في الفصول القادمة

)بناء الجدول التكراري(العرض الجدولي

بعد أن يجمع الباحث البيانات التي يريدها ، يتعذر عليه أن يستوعب هذه البيانات على ماهى عليه

وعلى العموم فالبيانات تنقسم إلى قسمين .طة يسهل دراستها يضعها في صورة مبس. دون تنظيم

.كمية -وصفية:

نحدد الصفات التي تنقسم إليها البيانات ونعد عددالمفردات التي تنتمي إلى :البيانات الوصفية -1

كل صفة من هذه الصفات ، وقد تقسم هذه الصفات إلى أنواع مختلفة والمثال التالي يوضح الطريقة

جيد (:طالبا كاآلتي 20 في عمل الجداول والتي يمكن استخدامها في البيانات الكلية عن اليدوية

،ضعيف،ممتاز ،ضعيف،جيد جدا ،مقبول ،جيد ،جيد،مقبول،جيد، جيد جدا،مقبول،مقبول، ضعيف

).مقبول،مقبول ، جيد جدا،مقبول ، مقبول ، جيد

أعمدة 3 نرسم جدوالمكونا من

Fالتــكرار لخط المائلالتفريغ با التــــــقدير

03 /// ضعيـــف

08 //////// مقبـــول

05 ///// جيـــــد

03 /// جيــــد جدا

01 / ممــــــتاز

20 --------- المــجمــوع

- 19 -

إذا كانت الظاهرة التي ندرسها قابلة للقياس العددي ،فلتبويبها نقوم :البيــانــات الكمية-2

متساوية أو متقاربة ،ونضعها في جدول يعرف بالجدول التكراري ،ولبناءه بوضعها فى مجموعات

نتبع الخطوات اآلتية

E=Xn—X0أصغر قيمة -أكبر قيمة: المدى العام -1

N= 1+3.332Logn : عدد الفئات من عالقة سترجس-2

المدى العام = طول الفئة - 3

عدد الفئات

)100العالمة من ( طالب من معهد التجارة في مادة اإلحصاء100إليك عالمات :مثال

70،62،44،63،52،68،31،78،66،78،22،40،63،50،67،30،44،78،86،59،47،61،50،53،

48،64،78،75،52،78،61،47،70،26،65،65،44،23،39،88،92،68،52،98،55،53،69،47،

52،69،27،60،36،49،54،97،65،54،74،84،79،47،54،47،65،37،94،94،74،49،75،79،

55،57،55،74،66،47،38،83،42،79،82،72،49،78،29،74،55،74،62،70،67،23،64،49،

32،76،69،77.27.

؟تبويب البيانات في جدول تكراري :المطلوب

E = Xn - X0 =98 – 22 = 76:المدى العام -1

N=1+3.322Log100=1+3.322x2=7.66=8 :عددالفئات-2

C=E/N=76/7.6=10: طول الفئة-3

التكرار التفريغ بالخطوط المائلة الفــئات

Fالمطلق

: بناء الجدول-4

%Fالتكرار النسبي

%7 7 /////// 32 وأقل من22

32-42 ////// 6 6%

42-52 ///////////////// 17 17%

52-62 ///////////////// 17 17%

- 20 -

62-72 /////////////////////// 23 23%

72-82 /////////////////// 19 19%

82-92 //// 04 04%

92-100 /////// 07 07%

%100 100 --- المجموع

:ع الصاعد والنازل التكرار ين المتجم

C X F F% F.C.C F.C.D F.C.C% F.C.D%

%100 %7 100 7 %7 7 27 32وأقل-22

32-42 37 6 6% 13 93 13% 93%

42-52 47 17 17% 30 87 30% 87%

52-62 57 17 17% 47 70 47% 70%

62-72 67 23 23% 70 53 70% 53%

72-82 77 19 19% 89 30 89% 30%

82-92 87 04 04% 93 11 93% 11%

07% %100 07 100 %07 07 97 100إلى92

: تقسم الجداول التكرارية إلى أربعة جداول :أنواع الجداول التكرارية

وهي عبارة عن جداول متساوية الطول في :الجدول التكراري المتساوي الفئات في األطوال-1

.الفئات وذلك تسهيال للعمليات الحسابية

وهي عبارة عن جداول غير متساوية الفئات سواء :ل التكراري غير المتساوي الفئات الجدو-2

.من حيث العدد أو الطول

.وهي عبارة عن جداول مفتوحة قد تكون في البداية أو في النهاية : الجداول التكرارية المفتوحة -3

طالب 25عالقة ،لنفرض أن لدينا تستعمل في قياس ظاهرتين بينهما :الجدول التكراري المزدوج-4

فيكون وعالماتهم في مقياسي الرياضيات واإلحصاء والمطلوب وضعهما في جدول تكراري مزدوج؟

: الجدول على النحو اآلتي

- 21 -

رياضيات

إحصاء

50-

60

60-

70

المجموع 90-100 80-90 70-80

50-60 01 01

60-70 01 02 03

70-80 01 02 05 02 10

80-90 01 01 02 03 03 10

90-100 01 01

25 05 09 06 03 02 المجمــوع

:ا لتمثيل البياني للتوزيعات التكرارية

:فيما يلي بعضا منها . يمكن تمثيل التوزيعات التكرارية بيانيا بعدة طرق

فالمحور األفقي يمثل الفئات، في هذا الشكل نرسم محورين متعامدين ،:ج التكراريدر الم-1

فنحصل .والعمودي يمثل التكرارات ،نرسم مستطيال على المحور األفقى من أول الفئة إلى آخرها

.على شكل هو عبارة عن مستطيالت متالصقة تسمى بالمدرج التكراري

:يطالبا في مقياس اإلحصاء والمطلوب تمثيل الجدول في شكل مدرج تكرار25إليك عالمات : مثال

الفئات المجموع 90-100 80-90 70-80 60-70 50-60

25 05 09 06 03 02 التكرار

- 22 -

انطالقا من المدرج التكراري نحدد منتصف الفئة ونحددالتكرارالمقابل لها :ضلع التكراري مال-2

.نصل النقاط ببعضها البعض عن طريق خط منكسر لنحصل على مضلع تكراري

الرسم في نفس المعلم مع المدرج (س المثال السابق أرسم المضلع التكراري ؟ نف: مثال

).التكراري

: المنحنى التكراري -3

في حالة المنحنى الصاعد نأخذ الحدود العليا أو مراكز :المنحنى التكراري المتجمع الصاعد )4

نرصد النقاط .ة على المحور العمودي الفئات للفئات على المحور األفقي والتكرات المتمعة الصاعد

.حسب إحداثياتها ونصل بينها بمنحن ممهل فنحصل على منحى متجمع صاعد

) أو مراكز الفئات ( في حالة المتجمع النازل ، نأخذ الحدود الدنيا للفئات:المنحنى المتجمع النازل) 5

نرصد اإلحداثيات ، ..لعموديعلى المحور األفقي ، والتكرارات المتجمعة النازلة على المحور ا

.ونصل بينها بمنحنى ممهد، فنحصل علىمنحنى متجمع نازل

إليك الجدول التكراري:مثال

F.C.D F.C.C F C

25 2 02 50-60

23 5 03 60-70

20 11 06 60-80

14 20 09 80-90

05 25 05 90-100

المجموع 25 ---- ----

- 23 -

ثالثالفصل الـ

يةالمقاييس اإلحصائ

- 24 -

المقاييس اإلحصائية

أحيانا تواجهنا بعض المسائل العملية التي نحتاج إلى مقارنة أكثر من توزيعين تكرارين للظاهرة : تمهيد

فعلى سبيل المثال نحتاج إلى مقارنة ذكاء مجموعتين مختلفتين من الطالب في قسم التجارة في .الواحدة

حالة النستطيع إتمام المقارنة عن طريق مقابلة التوزيعات التكرارية زمنين متالحقين ، ففي هذه ال

وإذا أردنا أن .البد لنا من التعبير عن كل واحد من هذه التوزيعات بأقل عدد ممكن من األرقام .المختلفة

تتم المقارنة بشكل معبر وعملي يكون له معنى ، يتوجب إيجاد رقم واحد تتم على أساسه المقارنة ويمثل

.هذا الرقم يعرف بالمقياس اإلحصائي.)التوزيع أحسن تمثيل( الظاهرة

أنواع المقاييس اإلحصائية

:تقسم المقاييس اإلحصائية إلى ثالثة أنواع

.مقاييس النزعة المركزية --1

.مقاييس التشتت--2

. مقاييس الشكل -3

مقاييس النزعة المركزية-1

لتي تتركز حولها التكرارات ، وبعبارة أخرى القيمة التي عبارة عن القيمة النموذجية ا:تعريف

ومن أهم .تتجمع حولها بقية القيم ، أو القيمة التي تنزع وتميل نحوها عناصر الظاهرة اإلحصائية

المتوسط الحسابي ،الوسيط ، المنوال ، المتوسط الهندسي، المتوسط التوافقي، :هذه المقاييس

.المتوسط التربيعي

لمتوسطات ممثلة للظاهرة بشكل جيد ، البد من توافر جملة من الشروط لخصها لكي تكون ا

: بمايلي FOCKاإلحصائي فوك

.يجب أن يكون المتوسط معرفا تعريفا دقيقا -1

.يجب أن يبنى المتوسط على جميع المشاهدات -2

.يجب أن يكون من السهل فهمه وتفسيره -3

.يمكن حسابه بسرعة وسهولة معقولتين -4

.يات الجبرية بسهولةيخضع للعمل -5

.اليتأثر باألخطاء اإلحصائية -6

- 25 -

LA MOYENNE ARITHMETIQUE المتوسط الحسابي-1

.المتوسط الحسابي لقيم الظاهرة هوعبارة عن مجموع قيم الظاهرة مقسوما على عددها: تعريف

). x1.x2……………xn( من المشاهدات Nإذاكانت لدينا ظاهرة عددها

X=Σ(x)/N : هوفإن المتوسط الحسابي

Σ(x)=x1+x2+x3+x4+...+xn-1+...+xn.

:المتوسط الحسابي لسلسلة عددية هو

X= ( X1+Xn) /2

A-للقيم غير المبوبة إيجاد المتوسط الحسابي

teMethodeDirec الطريقة المباشرة-1

X=Σ(x)/N

MethodeIndirecte )المختصرة ( الطريقة غير المباشرة-2

عندما تكون قيم الظاهرة كبيرة نسبيا بحيث نواجه صعوبات بالطريقة السابقة ، ولتخفيف العمليات

:الحسابية نلجأ إلى استخدام طريقة الوسط الفرضي ، وفيما يلي شرح هذه الطريقة

X1.X2 ...Xn-1..Xn:إذاكانت الوحدات هي -

.A:الوسط الفرضي -

E:نحسب اإلنحرافات عن الوسط الفرضي -

E=X-A e1=x1-A e2=x2-A En=Xn-A

E=Σ(e)/N:نحسب المتوسط الحسابي لإلنحرافات

.المتوسط الحسابي لإلنحرافات+المتوسط الحسابي الفرضي=نحسب المتوسط الحسابي الحقيقي

X =A+E

- 26 -

بطريقتين مختلفتين؟3،8، 10،12،5: أحسب المتوسط الحسابي للقيم اآلتية:مثال

X=Σ(x)/N :الطريقة المباشرة -1

38/5=7.6

A=10:الطريقة غير المباشرة-2

E1=10-10=0 E2=12-10=2 E3=5-10=-5 E4=3-10=-7 E5=8-10=-2

E=Σ(e)/N=-14/5=-2.4

X =A + E =10-2.4=7.6

B-إيجاد المتوسط الحسابي للقيم المبوية في جدول توزيع تكراري:

: لحساب المتوسط الحسابي بهذه الطريقة نتبع الخطوات اآلتية:الطريقة المباشرة -1

2)/الحد األعلى + الحداألدنى =(نجدمراكزالفئات -1

)F.X(ارالمقابل لها نضرب مركزالفئة في التكر -2

X=Σ(F·X)/Σ(F):نجد المتوسط الحسابي -3

:نتبع الخطوات اآلتية: الطريقة المختصرة-2

2)/الحد األعلى + الحداألدنى =(نجد مراكزالفئات -1

A:نختار احد مراكزالفئات وسطا فرضيا -2

E=X-A:نحسب اإلنحرافات عن مراكزالفئات -3

)E.F(:نضرب اإلنحرافات في التكرار المقابل لها -4

:نحسب المتوسط الحسابي -5

Σ(F·E)/Σ(F) X=A+E=A+

- 27 -

أحسب المتوسط الحسابي للمجموعة السكانية اآلتية بطريقتين مختلفتين؟ :مثال تطبيقي

A=17.5

E'·F E'=E/C (E·F) E=(X-A) F.X F X C

2 -2 -10 -10 7.5 1 7.5 5-10

-3 -1 -15 -5 37.5 3 12.5 10-15

0 0 0 0 35 2 17.5 15-20

3 1 15 5 67.5 3 22.5 20-25

2 2 10 10 27.5 1 27.5 25-30

6 3 30 15 65 2 32.5 30-35

06 +30 ----- 240 12 ---- Σ

X=Σ(F·X)/Σ(F)=240/12=20 :توسط الحسابي بالطريقة المباشرةالم -1

:المتوسط الحسابي بالطريقة غير المباشرة -2

X=A+E=17.5+30/12=17.5+2.5=20

لحساب المتوسط الحسابي بهذه الطريقة :حساب المتوسط الحسابي بطريقة اإلنحرافات المختصرة -4

:نتبع الخطوات اآلتية

A، ونختار وسطا فرضياX:نجد مراكز الفئات-1

E=X-A:نجد اإلنحرافات عن المتوسط الحسابي الفرضي-2

E'=E/C:فئةنقسم كل انحراف على طول ال-3

(E'F):نضرب كل انحراف مختصر في التكرار المقابل له-4

E=Σ(E'F)/Σ(F):ثم نجد متوسط اإلنحرافات المختصرة

.(E.C):نضرب متوسط اإلنحرافات المختصرة في طول الفئة-5

X=A+(C.E): نجد المتوسط الحسابي الحقيقي-6

حسابي بطريقة اإلنحرافات الختصرة؟أحسب المتوسط ال: نفس المثال السابق : مثال

E=Σ(E'F)/Σ(F) =06/12=0.5

- 28 -

: ومنه فالمتوسط الحسابي هو

X=A+(C.E)

X=0.5(5)+17.5=17.5+2.5=20

.تستعمل هذه الطريقة في حالة الفئات المتساويةفقط : مالحظة

خواص المتوسط الحسابي

Σ(E)=0:ت عن المتوسط الحسابي تساوي الصفرمجموع اإلنحرافا-1

مجموع مربعات انحرافات القيم عن متوسطها قل مجموع اإلنحرافات عن أية قيمة أخرى-2

)سوف نعود للحديث عن هذه الخاصية عند دراستنا لمقاييس التشتت، نظرا الرتباطها بالموضوع(

التي تصف ظاهرتين ما يساوي مجموع أو المتوسط الحسابي لمجاميع أو فروق من أزواج القيم -3

:يمكن البرهان على هذه الخاصية كمايلي.الفرق بين المتوسطين للظاهرتين

حيث ) Y(والظاهرة الثانية )X(، وأن الظاهرة األولى )Z(لنفرض أن مجموع الظاهرتين

Z=X+Y ومنه z1=x1+y1 إلى zn=xn+yn

Z= X+ Y نجد أنN وبقسمة المعادلة على ΣZ=ΣY+ΣX إذن

.ونفس الشئ في حالة الطرح

المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم مقسمة إلبى مجموعات جزئيةيساوي المتوسط الحسابي المرجح -4

لمجموعات الجزئية هي ، وأن ا)Y(فإذا إفترضنا أن المجموعة األصلية .بتكرارات المتوسطات الجزئية

x1..x2 ..x3 وعدد تكرارات المجموعة األلية )F ( وعددتكرارات المجموعات الجزئية على ،

. فيكون المتوسط الحسابي للمجموعة األصليةF=f1+f2+f3 بحيثf1...f2..f3التوالي

Y=f1.x1+f2.x2+f3.x3

. اليمكن حسابه بالطريقة البيانية -5

.ي الجداول التكرارية المفتوحةاليمكن حسابه ف-6

.يتأثر بالقيم الشاذة وبتالي يعطينا نتائج مضللة-7

.اليمكن حسابه في حالة الظواهر النوعية -8

.وضوح معناه وتعريفه-9

- 29 -

. سهولة حسابه ومعالجته إحصائيا-10

. يتصف بمميزات جبرية اليتصف بها أكثر المتوسطات-11

GéométriqueLa Moyenne :المتوسط الهندسي-2

، هو الجذر النوني لحاصل ضرب القيم في N المتوسط الهندسي لمجموعة من القيم عددها :تعريف

.بعضها البعض

: فإن المتوسط الهندسيX1.X2...Xn-1..Xn:فإذاكانت القيم لظاهرة ما هي

G= N (x1.x2.x3.x4.xn-1.xn)

LogG=(1/N)ΣLogx :غاريتمات النيبرية وباستعمال اللو

أسواق والمطلوب حساب المتوسط الهندسي؟07إليك سعر الكلغ الواحد من البرتقال في : مثال

Logx رقم السوق سعر الكلغ

2.47712 300 1

2.54407 350 2

2.57403 375 3

2.60206 400 4

2.67669 475 5

2.74.36 550 6

2.84510 700 7

18.45943 3150 Σ

LogG=(1/N)Σlogx =2.637061=(18.45943)7/ ومنه فإن المتوسط الهندسي

G=433.57 D.A

يحسب بالعالقة اآلتية:إيجاد المتوسط الهندسي للقيم المبوبة

- 30 -

LogG=Σ(fi .Logx)/Σ(F)

حساب المتوسط الهندسي؟الجدول اآلتي يمثل أعمار طالب السنة األولى تجارة والمطلوب : مثال

FiLogxi Logxi x f c

43.066 1.23045 17 35 16-18

102.300 1.27875 19 80 18-20

108.422 1.32222 20 82 20-22

58.554 1.36173 23 43 22-24

27.959 1.39794 25 20 24-26

21.470 1.43136 27 15 26-28

11.699 1.46240 29 8 28-30

10.440 1.49136 31 7 30-32

9.111 1.51851 33 6 32-34

6.176 1.54401 35 4 34-36

399.197 ------- --- 300 Σ

LogG=Σ(fi .Logx)/Σ(F) 1.33066=(399.197)=:المتوسط الهندسي

.وبالرجوع إلى الجداول اللوغاريتمية نجد أن المتوسط الهندسي ألعمار طلبة السنة أولى تجارة

G=21.41

:صائص المتوسط الهندسيخ

يعتبر المتوسط الهندسي مقياسا محددا رياضيا كالمتوسط الحسابي، فهو يتمتع ببعض الميزات الجبرية -1

)المتوسط الحسابي للوغارتمات القيم=لوغاريتم المتوسط الهندسي(الهامة

Σfi LogG=Σfi Logx

.ل التأثير بالقيم المتطرفة نحو اليمين يأخذ جميع القيم بعين اإلعتبار ، باإلضافة إلى أنه قلي-2

إن قيمة المتوسط الهندسي أكثر تمثيال من بااقي المتوسطات عند التعامل مع توزيعات تكراريةشديدة -3

.االلتواء نحو اليمين

.اليتأثر بأطوال الفئات مثله مثل المتوسط الحسابي-3

- 31 -

.اليمكن حسابه إال إذا كان مجموع القيم موجبة-4

ية تطبيقاته فأكثر استعماالته تنحصر في حساب معدالت النمو واألرقام القياسية ومعدالت محدود-5

.الفائدة

. التعقيدات في حسابه-6

.اليمكن حسابه في الجدول التكراري المفتوح الفئات-7

La Moyenne Harmoniqueالمتوسط التوافقي-3

.لمتوسط الحسابي لمقلوبات تلك القيم المتوسط التوافقي لمجموعة من القيم هو مقلوب ا:تعريف

x1..x2..x3..xn-1..xnلتكن الظاهرة

المتوسط التوافقي )H(حيث ) H/1(فإن المتوسط الحسابي لمقلوبات هذه القيم ، ولنرمز له بالرمز

xn/1+..4x/1+3 x/1+2 x/1+1 x/1=H/1: يساوي

N

H= (N)/Σ(1/xi)ومنه المتوسط التوافقي

:أما في حالة التوزيعات التكراريةفتصبح العالقة كمايلي

H=ΣFi/Σ(fi/xi)

من العالقة السابقة يتبين لنا أن الخطوات العملية الواجب اتبعها إليجاد المتوسط التوافقي للقيم المبوبة في

:جدول تكراري هي

xiتعيين مراكز الفئات -1

ل لكل فئة على مركز تلك الفئة ، ونجمع نواتج القسمةفنحصل علىقسمة التكرارالمقاب-2

(fi/xi) Σ.

.نقسم مجموع التكرارات على النتيجة السابقة فنحصل على المتوسط التوافقي-3

- 32 -

:عمار المجموعة السكانية اآلتيةأحسب المتوسط التوافقي أل:مثال

Fi/xi xi Fi c

2.058 17 35 16-18

4.2105 19 80 18-20

3.9047 21 82 20-22

1.8696 23 43 22-24

1.8000 25 20 24-26

0.5556 27 15 26-28

0.2759 29 08 28-30

0.2258 31 07 30-32

0.1818 33 06 32-34

0.1143 35 04 34-36

14.197 300

H=ΣFi/Σ(fi/xi)=300/14.197=21.13

:خواص المتوسط التوافقي

.ستعمال نظرا لتعقد حساباتهنادر اإل-1

.يقتصر حسابه على سعر السلع بداللة عدد الوحدات السلعة التي نشتريها-2

. يأخذ جميسع القيم بعين اإلعتبار عند حسابه-3

جيد اإلستخدام ويعطي نتائج دقيقةعند إيجاد التغير في الزمن مثل إيجاد إنتاجية العمل كنسبو للزمن الذي -4

، األسعار التي تظهر النسبة بين قيم السلعة من نوع ما وكيتها ، وقيمة البضاعة من نوع آخر أنتج به اإلنتاج

المرجحة )أو الكميات(وكميتها، ويمكن عن طريقه إيجاد وسطي األرقام القياسية التجميعية لمناسيب األسعار

.بالقيم أيضا في سنةاألساسأو القيم في سنة المقارنة

.ة في الصغر حيث ليس له مدلول مع وجود قيم مساوية للصفريتأثر بالقيم المتطرف-5

. اليمكن حسابه في الجداول التكرارية المفتوحة-6

- 33 -

La Moyenne Quadratiqueالمتوسط التربيعي-04

.المتوسط التربيعي لمجموعة من المفردات هو الجذر التربيعي لمتوسط مربعات هذه المفردات: تعريف

:فإن المتوسط التربيعي هو .N وعدد مفرداتها x1..x2...x3..xn:إذاكانت الظاهرة

Q = Σ(x²)/N

:أما في حالة الجداول التكرارية

Q= Σ(x²fi)/Σ(fi)

أسواق والمطلوب حساب المتوسط التربيع؟07إليك سعر الكلغ الواحد من البرتقال في :مثال

X² رقم السوق سعر الكلغ

90000 300 1

122500 350 2

140625 375 3

160000 400 4

225625 475 5

302500 550 6

490000 700 7

1531250

3150

Σ

Q = Σ(x²)/N =1531250/7=467.71

- 34 -

إليك الجدول التكراري اآلتي ، والمطلوب حساب المتوسط التربيعي؟:مثال

xi²fi xi² xi Fi c

10115 289 17 85 16-18

28880 361 19 80 18-20

36162 441 21 82 20-22

22747 529 23 43 22-24

12500 625 25 20 24-26

10935 729 27 15 26-28

6728 841 29 08 28-30

6727 961 31 07 30-32

6534 1089 33 6 32-34

6534 1225 35 4 34-36

146228 --- 300 Σ

Q= Σ(x²fi)/Σ(fi) =146228/300=22.08

العـــــــالقة بين المتوسطات

Q>X>G > H

- 35 -

الوسيط-5

هو القيمة المتوسطة بين مفردات مرتبة ترتيبا تصاعديا أو تنازليا،أو بمعنى آخر هو القيمة التي :الوسيط

يكون عدد المفردات تقع في منتصف ظاهرة إحصائية قيمها مرتبة ترتيبا تصاعديا أو تنازليا؛بحيث

.األصغر منها مساويا لعدد المفردات األكبر منها

المبوبة إيجاد الوسيط للقيم غير-1

نحضر تكرارا متجمعا صاعدا أو نازال -1

R=(N+1)/2 :نجد رتبة الوسيط -2

: Rوهو القيمة المقابلة لرتبة الوسيط : نحددالوسيط-3

: فردية Nإذا كانت - :وهناك حالتان

Me R

: زوجية Nإذا كانت -

ين لرتبة الوسط وبعبارة أخرى الوسيط هو المتوسط الحسابي للقيمتين المتقابلت

X1 + X2

2

Me R

:قيم اآلتيةاليك ال : 1مثال عددي

:المطلوب حساب الوسيط .) 9.7.5.3.2 (

:الحل

.)9.7.5.3.2( ترتيب القيم ترتيبا تصاعديا-1

R R=(N+1)/2=(5+1)/2=3 ترتيب الوسيط-2

الوسيط تعيين-3

5 Me

)15،13،10،8،5،3( القيم :2مثال

- 36 -

R=(N+1)/2=(6+1)/2=3.5

Me R [ 8+10 ] /2=9 =

طرق 3 لحساب الوسيط للقيم المبوبة في جدول توزيع تكراري ، هناك:القيم المبوبة-2

A-التكرارالمتجمع الصاعد:

).F.C.C(نهيئ تكرا ر متجمع صاعد -1

R= Σ fi/2: نحدد رتبة الوسيط -2

نحدد الفئة الوسيطية -3

Me=a+[(R-N1)C]/[(N2-N1) [:نحدد الوسيط -4

. الحد األدنى للفئة الوسيطيةa: حيث

N1 التكرار المقابل للحد األدنى للفئة الوسيطية.

N2 لتكرار المقابل للحد األعلى للفئة الوسيطية .

Cطول الفئة الوسيطية

جدول تكراري كماهومبين في الجدول اآلتي ، طالبا موزعة في 300إليك أعمار : مثال

حساب الوسيط بطريقة التكرار المتجمع الصاعد؟: والمطلوب

Cالفئات Fi الحد األعلى F.C.D F.C.C دنىألالحد ا

18-16 35 18أقل من 35 300 16أكبر من

18 265 115 20 80 18-20

20 185 197 22 82 20-22

22 103 240 24 43 22-24

24 60 260 26 20 24-26

26 40 275 28 15 26-28

28 25 283 30 8 28-30

30 17 290 32 7 30-32

32 10 296 34 6 32-34

34 04 330 36 4 34-36

//// //// //// //// 300 Σ

Me=a+(R-N1)C/(N2-N1)=

20+(150-115)2/(197-115)=20+0.85=20.85

- 37 -

:عن طريق التكرار المتجمع النازل-2

Me=b-(r-n2)c/(n1-n2)=22-(150-103)2/(185-103)=22-1.15=20.85

:عن طريق الرسم البياني-3

.نهيئ منحنيين متجمعين صاعد ونازل -1

.من نقطةتقاطع المنحنيين نسقط عمود على محور الفئات -2

.مسقط هذاالعمود يعبر عن الوسيط-3

Me=20.85. السابق الوسيط بالطريقة البيانية نفس المثال:مثال

.اإلستخدامات العملية للوسيط

من أهم خصائص الوسيط أن قيمته التتأثر بوجود بعض المفردات الشاذة في المجموعة ، لذلك فإن -1

.استخدامه في مثل هذه الحاالت أفضل من استخدام أي متوسط آخر

.مفتوحةحيث اليلزمنا تعيين مراكز هذه الفئات المفتوحةيفضل استخدامه في الجداول التكرارية ال-2

.استخدام الوسيط كمتوسط للرتب أفضل بكثير من استخدام المتوسط الحسابى- 3

أهم استخدام للوسيط هو في حالة التجارب التي تسبب إتالف العناصر التي تجرى عليهاالتجربة ، ألنه في -4

في حين يكفي إتالف نصفها إذا ستخدمنا الوسيط ، . إتالف جميع العناصرحالة استخدامنا ألي متوسط آخر يلزم

.وعلى سبيل المثال معرفة متوسط عدد الساعات التي يعيشها كل من المصابيح المنتجة

Les deux quartilles:الربيعان -6

لقيم القيمة التي يسبقها ربع ويليها ثالثة أرباع ا:Le quartille Inferieur: :الربيع األدنى -1

:، ويمكن حسابه بعدة طرق.بشرط أن تكون القيم مرتبة ترتيبا تصاعدياأو تنازليا

نفس الخطوات المتبعة في حساب الوسيط ماعدا أن رتبة :عن طريق التكرار المتجمع الصاعد-1

.R1=Σfi/4الربيسع األدنى

مطلوب حساب الربيع األدنى وال.عامال50 إليك الجدول اآلتي الذي يبين األجر الساعي لــ : مثال

عن طريق التكرار المتجمع الصاعد؟

- 38 -

:عن طريق التكرار المتجمع الصاعد-1

الحد F.C.D الحد األدنى

األعلى

F.C.C F Cالفئات

15-10 4 4 15أقل من 50 10أكبرمن

15 46 20 10 6 15-20

20 40 25 20 10 20-25

25 30 30 32 12 25-30

30 18 35 39 7 30-35

35 11 40 50 11 35-40

المجموع 50 ///// ///// ///// //////

R1= Σfi/4 ومنه فإن :

Q1=20+(12.5-10)5/(20-10)=20+1.25=21.25

:عن طريق التكرار المتجمع النازل -2

R1= (Σfi)3/4=150/4=37.5 فإن ومنه :

Q1=25-(37.5-30)5/(40-30)=25-3.75=21.25

: عن طريق المنحنى المتجمع الصاعد-3

R1= Σfi/4 =50/4=12.5 نعين رتبة الربيع األدنى

نعين هذه الرتبة على المنحنى ونسقط عمودعلى محور الفئات ، مسقطها هو المعبر عن قيمة الربيع

Q1=21.25إذن.األدنى

: المنحنى التكراري المتجمع النازلعن طريق-4

R1= (Σfi)3/4=150/4=37.5

Q1=21.25:نعين هذه الرتبة على المنحنى ونسقط عمود على الفئات فمسقطها هو الربيع األدنى

:Le quartille Superieurالربيع األعلى -2

.رتبة ترتيبا تصاعديا أو تنازليا أرباع القيم ويليها ربع القيم بشرط أن تكون م3وهو القيمة التي يسبقها

- 39 -

: حساب عن طريق التكرار المتجمع الصاعد -ا

R3= 150*3/4=37.5

Q3=30+(37.5-32) 5/7=30+3.92=33.92 ومنه) 35-30 :(لفئة الربيعية العلياا

عن طريق التكرار المتجمع النازل-ب

R3=Σfi/4=50/4=12.5

ومنه فإن الربيع األعلى

Q3=35-(12.5-11)5/(18-11)=33.92

نفس الخطوات المتبعة في الربيع األدنى باستثناء :عن طريق المنحنى التكراري المتجمع الصاعد) -ج

R1=Σ(fi)3/4

: نفس الخطوات المتبعة في الربيع األدنىباستثناء: عن طريق المنحنى المتجمع النازل-د

R1=Σ(fi) /4

.يقة في حساب المئينيات والعشيراتنفس الطر:مالحظة

Le Modeالمنوال-7

.يعرف المنوال على أنه القيمة األكثر شيوعا من أية قيمة أخرى في الظاهرة اإلحصائية: تعريف

:أسواق لمدينة ماهي10إذاكان سعر الكلغ الواحد من البرتقال في : مثال

).الشائع: (المنواليالسعر ) .65، 50،52.5،55،52.5،57.5،52.5،60،62.5،52.5(

Xالسعر 50 52.5 55 57.5 60 62.5 65

Nالتكرار 1 4 1 1 1 1 1

Mo=52.5: ومنه فإن المنوال هو

هناك عدة طرق لحساب المنوال ، ولكن تختلف عن بعضها البعض ، :حساب المنوال للقيم المبوبة

.نظر الختالف األساس في حسابه

:ترتكز على الخطوات اآلتية:لطريقة التقليديةا-1

.معرفة أكبر تكرار في الظاهرة اإلحصائية-

- 40 -

.تحديد الفئة المنوالية وهي الفئة المقابلة ألكبر تكرار-

Mo=(x0+xn)/2: تحديد المنوال-

ليدية؟إليك الجدول التكراري اآلتي والمطلوب حساب المنوال بالطريقة التق:مثال

Cالفئات 10-14 14-18 18-22 22-26 26-30 30-34

Fالتكرار 25 50 80 60 25 15

Fmo=80 ، Cmo=(18-22) ، Mo=(18+22)/2=40/2=20

Mo=20

)بيرسون(طريقة الفروق-2

اخل الفئة المنوالية في موقع يقسم الفئة المنوالية تتلخص في أن يتم تحديد القيمة المضبوطة للمنوال د

الى قسمين متناسبين مع الفرق بين تكرار الفئة المنوالية و التكرار الذي يليها ،و الفرق بين تكرار

: الفئة المنوالية و التكرار الذي بعدها من جهة أخرى و لحسابه نتبع الخطوات اآلتية

Fmo تعيين اكبر تكرار -1

Cmo الفئة المنوالية -2

D1= Fmo- F1 ، D2=Fmo - F2 نحسب الفرق -3

D1 *C نحسب المنوال -4

Mo =Xo+ ( D1+D2)

طول الفئة المنوالية Cالحد االدنى للفئة المنوالية، X0تشتق العالقة السابقة في التطبيق حيث

:احسب المنوال بطريقة الفروق:نفس المثال السابق :مثال

1- Fmo = 80 Cmo =( 18-22 ) F1= 50 . F2 = 60

D1= 80-50 = 30 D2 = 80-60 = 20

D1 =30 ، D2 = 20

- 41 -

Mo = 18+2.4= 20.4

تتلخص هذه الطريقة في اعتبار الفئة المالية رافعة من الدرجة ): كونغ ( طريقة العزوم الرافعة -3

تكرار الفئة قبل المنوالية يمثل القوة، وتكرار ) نقطة االرتكاز( قل األولى، والمنوال يمثل مركز الث

:الفئة بعد المنوالية ممثال للمقاومة ، الشكل اآلتي يوضح ذلك

. ذراعها x المقاومة= ذراعها xالقوة

F1.C=F2.Y

F1.X=F2(C-X) F1X=F2.C-F2X

X(F1+F2)=F2.C X=F2.C/(F1+F2)

:ومنــــــــه فالمنوال

Mo=X1+X

Mo=X1+ F2.C/(F1+F2)

نفس المثال السابق أحسب المنوال بطريقة الرافعة؟: مثال

Fmo=80

Mo=X1+ F2.C/(F1+F2) ومنه فالمنوال

Mo=18+(60x4)/(50+60)=18+240/110=18+2.18=20.18

:دامات العمليةللمنوالاإلستخ

يوصي اإلحصائيون عادة باستخدام المنوال كقيمة متوسطة للظاهرة في الحاالت التي تختلف فيها -1

.قيمة المنوال كثيرا عن قيمة المتوسط الحسابي

.يستعمل في الحاالت التي تكون فيها الظوهر نوعية أي غيرقابلة للقياس العددي -2

. ذات الفئات المفتوحةيستعمل في التوزيعات التكرارية -3

.عدم قابليته للمعالج الجبرية -4

.هناك توزيعات تكرارية لها أكثر من قيمة منوالية -5

المنوال يتأثر بطرقة اختيار طول الفئة ، إذ يمكننا أن نحصل على أكثر من قيمة منوالية واحدة -6

.وخاصة إذا بدلنا طول الفئة في نفس التوزيع التكراري

- 42 -

. المتوسط الحسابي، المنوال، الوسيطالعالقة بين كل من

:إستطاع اإلحصائيون نتيجة تجارب عديدة الوصول إلى عالقة بين المتوسطات وهي

X-Mo=3(X-Me)

وهذه العالقة تقريبيةيمكن اإلسترشاد بها لحساب متوسط بمعرفة اآلخرين، لكن بشرط عدم تماثل

.توزيعال

Џ-مقاييس التشتت :Les Mesures De Dispertion

إن مقاييس النزعة المركزية تعطينا فكرة عن القيمة التي تتجمع حولها بقية القيم األخرى ، :تمهيد

في مجموعة من المشاهدات المأخوذة عن ظاهرة معينة، ولكن التدلنا عن كيفية توزيع المشاهدات أو

إذن فهذه المقاييس التعطينا وصفا كامال عن تلك .ا عن بعضها البعض درجة انتشارها ، وتباعده

لذا البد من إضافة تباعدها وانتشارها .المشاهدات ، خصوصا فيما يتعلق بطبيعتها وكيفية توزيعها

.وهو مايعرف بالتشتت

اعد إذاكان التب.وصف لمدى تناثر وتباعد قيم الظاهرة اإلحصائيةعن بعضها البعض :تعريف التشتت

قليال أخذ ذلك دليال على تجانس القيم ، وإذاكانت القيم بعيدة عن بعضها ، فهذا يدل على عدم

.التجانس

للتشتت عدة مقاييستختلف عن بعضها من حيث الدقة في التعبير ، والسهولة : أنواع مقاييس التشتت

.وهي نوعان.في العمليات الحسابية ،وكذلك األسس والمبدئ التي تبنى عليها

:مقاييس التشتت المطلق-1

:وهي .مجموعة المقاييس التي نتائجها أعداد مطلقة

.عبارة عن الفرق بين أكبر قيمة وأصغرقيمة في مجموعة معينة :المدى– 1

R=Xn-X0

- 43 -

أن هذا المقياس رغم بساطته وسهولة حسابه اليعتبر من مقاييس التشتت الهامة ،وذالك لألسباب :خواصه

:ة اآلتي

. يتأثر بالقيم المتطرفة فقط وال يأخذ في اإلعتبار باقي القيم-1

اليمكن حساب المدى بدقة للتويعات التكرارية وخصوصا الجداول التكرارية المفتوحةفي طرفي -2

.التوزيع

.أن المدى يتأثر بزيادة عدد المفردات في المجموعة فهو يزيد بزيادتها وينقص بنقصان عددها-3

.عبارة عن نصف المدى بين الربيعين:اإلنحراف الربيعي-2

Eq= (Q3 - Q1)/2

.الربيع األدنى: Q1الربيع األعلى ، : Q3 اإلنحراف الربيعي، Eq:حيث

عبارة عن متوسط انحرافات قيم الظاهرة اإلحصائية عن متوسطها الحسابي :اإلنحراف المتوسط-3

.يمة المطلقةمأخوذة بالق

).x1.x2..x3... ...xn( لتكن الظاهرة اإلحصائية

X=∑x /n: متوسطها الحسابى

E1=x1-X E2=x2-X ....... En=xn-X.

Ex=∑(x-x)/n

.والمطلوب حساب اإلنحراف المتوسط) 7،8،11،18،16( لتكن القيم اآلتية : مثال

X=∑x /n=60/50=12

E1=7-12=5 E2=8-12=4 E3=11-12=1 E4=18-12=6 E5=16-12=4

Ex=∑ei=20/5=4: ومنه

- 44 -

:اإلنحراف المتوسط للقيم المبوبة في جدول تكراري

|fi(xi-x)| (x-x) fxi x f C

63 21 285 95 3 100-90

154 1 1470 105 14 110-100

16 1 1840 115 16 120-110

99 9 1375 125 11 130-120

76 19 540 135 4 140-130

58 29 290 145 2 150-140

466 5800 50 ∑

X=Σ(fi.xi)/fi=5800/50=116 Ex= Σ(fi(x-x) )/fi=466/50=9.20

:قد يسأل الباحث عن السبب الذي أدى الى تجريد االنحرافات من اشارتها قبل القيام بجمعها:مالحظة

ذي يهمنا اطوال االنحرافات و ليس اشارتها ال -1

)خاصية رقم واحد (مجموع االنحرافات عن المتوسط الحسابي تساوي الصفر -2

:االنحراف الوسيطي

وهو وسيط سلسلة مرتبة من القيم المطلقة النحرافات عن المتوسط الحسابي

...........,Xn) (X1,X2,X3لتكن الظاهرة االحصائية

X=Σ(xi)/n:نحسب المتوسط الحسابي

E=x - x: نحسب اإلنحرافات عن المتوسط الحسابي

.نرتب اإلنحرافات تصاعديا

R=(n+1)/2: نجد رتبة اإلنحرافات

Eme R: نجد اإلنحراف الوسيطي

والمطلوب حساب اإلنحراف الوسيطي؟).24،10،4،12،20:( إليك القيم اآلتية : مثال

X=Σ(xi)/n=70/5=14

E1=20-14 E2=10-14=4 E3=4-14=10 E4=4-12=2 E5=20-14=6

- 45 -

4،6،10،10،2،: نرتب اإلنحرافات تصاعدياأوتنازليا

R=(5+1)/2=6: نجد الرتبة

Eme 6=3: نحدد اإلنحراف الوسيطي

Le varianceالتباين-5

عبارة عن المتوسط الحسابي لمربعات اإلنحرافات عن المتوسط الحسابي الحقيقي للظاهرة

.اإلحصائية

:حساب التباين للقيم غير المبوبة-1

:الطريقة المباشرة - أ

∑(x-x)2/N Vx=

:ولتبسيط العالقة بطريقة كونق نجد أن

2 Vx=Σx2/n -X

):مختصرة(الطريقة غير المباشرة -ب

X=a+e وE=x-a و =2/N Vx(x-x)∑: لدينا

V=∑(e -e)2/N :التعويض نجد أن ب

) 3،5،8،10،13،15: ( أحسب التباين للقيم اآلتية :مثال

17.6=التباين يساوي: الجواب

: إيجاد التباين للقيم المبوبة

Vx=∑(fi(xi-X) (fi)∑ :الطريقة المباشرة -1 : وبتبسيط العالقة وفق عالقة كونق/(2

∑(fixi 2) /fi -X2 Vx=

: وبتبسيط العالقة بطريقة كونق فإن =Vx (fi)∑ /(fi(e-E)2)∑ :الطريقة المختصرة -2

Fiei2/fi -E2 ∑ Vx=

:أحسب التباين بطريقتين مختلفتين للجدول التكراري اآلتي :مثال

- 46 -

A=47.5

Fiei2 Fiei Ei2 ei Fixi2 X2 Fixi xi f c

0 0 0 0 15793.75 2256.25 332.5 47.5 7 45-50

200 40 25 5 22052 2756.25 420 52.5 8 50-55

1200 120 100 10 39675 3306.25 690 57.5 12 55-60

2475 165 225 15 42968.75 3906.25 687.5 62.5 11 60-65

2400 120 400 20 27337.5 4556.25 405 67.5 06 65-70

2500 100 625 25 21025 15256.25 290 72.5 04 70-75

1800 60 900 30 12012.5 6006.25 155 77.5 02 75-80

10575 605 ---- ---- 180862.5 --------- 2980 ------ 50 ∑

ومنه فالتباين هو fi)/fixi(∑=X=50/2980=659.:الطريقة المباشرة-1

∑(fixi 2) /fi -X2=180862.5/50 -(59.6)2=65.09 Vx=

fi)/fiei(∑=E=50/605=112.:الطريقة المختصرة-2

=Fiei2/fi –E2 =10575/50-(12.1)2=65.09 ∑ Vx :ومنه فالتباين

Methode des variables centrées.طريقة المتغيرات المركزية-3

Vx=∑(fiXi : ومنه فالتباين هوVx=∑(fi(x-x)2)/fi X=(xi-X): لدينا ذ 2)/fi

نفس المثال السابق أحسب التباين بطريقة المتغيرات المركزية؟:مثال

FiXi 2 X2 X=(x-X) Fixi xi f c

1024.87 146.41 -12.1 332.5 47.5 7 45-50

403.28 50.41 -7.1 420 52.5 8 50-55

529.92 4.41 -2.1 690 57.5 12 55-60

92.51 8.41 2.9 687.5 62.5 11 60-65

374.46 62.41 7.9 405 67.5 06 65-70

665.64 166.41 12.9 290 72.5 04 70-75

640.82 320.41 17.9 155 77.5 02 75-80

:فالتباين هو

- 47 -

Vx=∑(fiXi ²)/fi=3254.5/50=65.09

L ecart typeاإلنحراف المعياري-6

يعتبر اإلنحراف المعياري من أكثر مقاييس الشتت إستعماال في الدراسات اإلحصائية ، ويعرف على

).الجذر التربيعي للتباين(أنه

∂= Vx

نفس المثال السابق أحسب اإلنحراف المعياري؟: مثال

لدينا

∂= Vx

=∂ 8.06=65.09 :ومنه فاإلنحراف المعياري هو

هوم جبري المعياري يعتبر من أكثر مقاييس التشتت أهمية ألنه مفاالنحرافمما ال شك فيه أن

والفكرة األساسية لهذا المقياس هي أنه . محدد بدقة ، وهو أقوى مقاييس التشتت حساسية وأكثرها شيوعا

نحاول التخلص من هذه اإلشارات المتوسط، االنحرافبدالً من إهمال اإلشارات الجبرية عند حساب

.االنحرافات وذلك بتربيع صالحية،بطريقة أخرى أكثر

القيم عن انحرافات المعياري بأنه الجذر التربيعي لمتوسط مجموع مربعات افاالنحرويعرف

: ، ويمكن حسابه بعدة طرق منهـا التبايـنومربع اإلنحراف المعياري يسمى . وسطها الحسابي

:ـ اإلنحـراف المعيـاري لبيانـات غيـر مبوبـة

: المباشـرة الطريقـة ـ

X عـن الوسـط الحسابي X1 القيمـة األولـى النحراف x1إذا رمزنـا بـ

: ، فإنـه يكـون لدينـا σ المعيـاري بالرمـز ولالنحراف

( X1-X )² = x1²

- 48 -

( X2-X )² = x2²

( X3-X )² = x3²

.

.

( Xn-X )² = xn²

: بالجمـع نجـد

i

N

=∑

1

( Xi - X )² = i

N

=∑

1

x i2

: المعيـاري نكتـب االنحراف إلـى تعريـف استنادا

σ =−

== =∑ ∑( )X X

N N

ii

N

ii

N

1

2 2

1

x

: فرضـي وسـط عـن االنحرافات طريـق عـن ـ

α: وكذلـك ، = αx1 d1 +: لقـد رأينـا عنـد دراستنـا للوسـط الحسابـي أن = ∑d

N

: قيمـة ينتـج لدينـا ما يلـي Nوكـان لدينـا = α x1 d1 + فـإذا ربعنـا المعادلـة

d12 22= + +x x1

21α α

d22 22= + +x x2

22α α

d32 22= + +x x3

23α α

.

.

. dN

2 22= + +x xN2

Nα α بجمع المعادالت السابقة طرف إلى طـرف نجـد :

d Nii

N2

1

22=∑ ∑ ∑= + +x xi

2

i=1

N

ii=1

N

α α

0x =بمـا أن i∑ فـإن المجمـوع السابـق يصبـح :d Nii

N2

1

2

=∑ ∑= +x i

2

i=1

N

α

x : أو بشكل آخـر i2

i=1

N

∑ ∑= −=

d Nii

N2

1

2α

- 49 -

x فإذا عوضنا عن قيمة i2

i=1

N

σ بما يساويهـا فـي الصيغـة ∑ = =∑x

N

ii

N2

: نجـد 1

σα

α=−

= −= =∑ ∑d N

N

d

N

ii

N

ii

N2

1

2 2

1 2

) بالمقـدار α² بالتعويض عن )d

N

ii

N

=∑

1 2i : نحصل على 22i )

N

d(

N

d ∑−∑=σ

: نفسـها X قيـم طريـق عـن ـ

σ: نربـع طرفـي العالقـة =−

=∑ ( )X X

N

ii

N

1

2

σ2: فنحصل على 1

2

21=−

= ∑ −=∑ ( )

( )X X

N NX X

ii

N

i ننشر قـوس الطرف األيمن فنجـد :

σ2 2 2 21 12= ∑ − = ∑ − +

NX X

NX XX Xi i i( ) ( : وبتوزيع مـا خـارج القـوس نجـد (

σ2 2 22 2

12 2= ∑ − + = ∑ − ∑ +

NX XX X

X

NX

X

N

NX

Ni ii i( )

σ22

22

2 22

22 2= ∑ − + = ∑ − + = ∑ −X

NX X X

X

NX X

X

NXi i i. ولدينـا ، :X

X

N

2= ∑

( )² ،

: نعـوض فـي العالقـة األخيـرة ونجـذر الطرفيـن فنحصـل على الصيغة المطلوبـة

2i2i )

N

X(

N

X ∑−∑=σ

. 16 ، 7 ، 14 ، 8 ، 10: القيم التالية تمثل عالمات خمسة طالب في إمتحان المحاسبة : مثال

. المعياري بمختلف الطرق لهؤالء الطلبة االنحراف حساب :المطلوب

.A = 12الجـدول التالـي يبيـن الحسابـات الالزمـة للحـل ، وبفـرض أن : الحـل

- 50 -

X² d² di=Xi-A )²X(X i- )X(X i- X i

10 1ـ 1 2ـ 4 100

8 3ـ 9 4ـ 16 64

196 4 2 9 3 14

7 4ـ 16 5ـ 25 49

256 16 4 25 5 16

ΣX²=665 Σd²=65 Σ di= - 5 )²= 60X Σ(X i- )= 0X Σ(X i- ΣX i=55

σ: ـ الطريقـة المباشـرة 1 =−

= = = == =∑ ∑( )

,X X

N

x

N

ii

N

ii

N

1

2 2

1 60

512 3 46

σ: ـ طريقـة اإلنحرافات 2 = − = − − = − = == =∑ ∑d

N

d

N

ii

N

ii

N2

1 1 2 265

5

5

513 1 12 3 46( ) ( ) ,

: نفسهـا X ـ عـن طريـق قيـم 3

σ = − = − = == =∑ ∑X

N

X

N

ii

N

ii

N2

1 1 2 2665

5

55

512 3 46( ) ( ) ,

:ـ حسـاب اإلنحـراف المعيـاري مـن بيانات مبوبـة

لحساب اإلنحراف المعياري لبيانـات مبوبة يكفي أن نضرب مراكز الفئـات بتكراراتها

X1 , X2فـإذا كانـت . ير المبوبة ونعـوض فـي الصيـغ السابقـة التـي طبقناهـا في البيانات غ

, X3 , . . . , XK تمثـل مراكـز الفئـات و f1 , f2 , f3 , . . . , fK تكراراتهـا علـى الترتيـب ،

:يمكـن حسـاب اإلنحـراف المعيـاري مـن توزيـع تكـراري بالطـرق التاليـة

- 51 -

σ : المباشـرة الطريقـة ـ =−

==

=

=

=

∑

∑

∑

∑

f X X

f f

i ii

K

ii

K

i

K

ii

K

( ) 2

1

1

1

1

f xi i

2

σ : اإلنحرافـات طريقـة ـ = −=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

f d

f

f d

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K

2

1

1

1

1

2( )

σ : نفسهـا X قيـم طريـق عـن ـ = −=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

f X

f

f X

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K

2

1

1

1

1

2( )

:المختصـرة االنحرافات طريـق عـن ـ

المنتظمـة ألنهـا تحسـب بداللـة تطبـق هـذه الطريقـة فـي الجـداول التكراريـة

.طـول الفئـة

U: لدينـا العالقـة d

Cii= حيث ، :Uiاإلنحـراف المختصـر و di = Xi-A وC طول فئـة

.التوزيع

d: ، ومربعـه هـو d i = Ui.C: وينتـج مـن الكسـر السابـق U Ci i2 2 2= بضرب طرفـي .

: معادلـة نجـد kعالقتيـن السابقتيـن بالتكرارات المقابلـة وجمـع كـل مـن ال

f 1 d 1 = f 1 U1.C و f d f U C1 12

1 12 2= .

f 2 d 2 = f 2 U2.C و f d f U C2 22

2 22 2= .

f 3 d 3 = f 3 U3.C و f d f U C3 32

3 32 2= .

. . . .

f k d k = f k Uk.C و f d f U Ck k k k2 2 2= : بالجمـع ينتـج .

- 52 -

f d f U Ci i i ii

k

i

k

===∑∑

11

f و d f U Ci i i ii

k

i

k2 2 2

11

===∑∑ نعـوض كـل مـن .

f di ii

k

=∑

1

f و di ii

k2

1= : ي نجـد عن وسط فرضاالنحرافاتطريقة ) 2( بما يساويهما في عالقة الطريقة ∑

σ = −=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

f U C

f

f U C

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K

2 2

1

1

1

1

2

.(

. :ويمكن تبسيـط هـذه العالقة كما يلي ، (

σ = −=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

f U C

fC

f U

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K

2 2

1

1

2 1

1

2

.( σ أو ( = −

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑C

f U

f

f U

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K2

2

1

1

1

1

2( )

: والصيغـة النهائيـة لهـذه الطريقـة هـي

σ = −=

=

=

=

∑

∑

∑

∑C

f U

f

f U

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K. ( )

2

1

1

1

1

2

) .01(طـرق مـن الجـدول رقـم أحسـب اإلنحـراف المعيـاري بمختلـف ال : مثـال

.A = 10الجـدول التالـي يبيـن الحسابـات الالزمـة ، ونفـرض أن : الحـل

f iUi² f iUi Ui f iX i² f idi

² f idi di f i X Xi( )− 2

( )X Xi −

f iX i X i f i الفئات

4-0 8 2 16 6.5ـ 338 8ـ 64ـ 512 32 2ـ 6ـ 32

8-4 10 6 60 2.5ـ 62.5 4ـ 40ـ 160 360 1ـ 10ـ 10

0 0 0 1400 0 0 0 31.5 1.5 140 10 14 8-12

5 5 1 980 80 20 4 151.25 5.5 70 14 5 12-16

12 6 2 972 192 24 8 270.75 9.5 54 18 3 16-20

المجموع 40 ــ 340 ــ 854 ــ 60ـ 944 3744 ــ 15ـ 59

- 53 -

σ :المباشـرة الطريقـة ـ 1 =−

==

=

=

=

∑

∑

∑

∑

f X X

f f

i ii

K

ii

Ki

K

ii

K

( )2

1

1

1

1

xi

2

: ، نحسـب الوسط الحسابـي

XfX

f= ∑∑

= =340

408 σ: ومنـه ,5 =

−= = ==

=

∑

∑

f X X

f

i ii

K

ii

K

( ), ,

2

1

1

854

4021 35 4 62

:نطبـق العالقـة : فرضي وسط عن اإلنحرافات طريقـة ـ 2

σ = − = −−

= − ==

=

=

=

∑

∑

∑

∑

f d

f

f d

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K

2

1

1

1

1

2 2944

40

60

4023 6 2 25 4 62( ) ( ) , , ,

:مـن تطبيـق العالقـة التاليـة نجـد : نفسهـا X مقيـ طريـق عـن ـ 3

σ = − = − = − = ==

=

=

=

∑

∑

∑

∑

f X

f

f X

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K

2

1

1

1

1

2 23744

40

340

4093 6 72 25 21 35 4 62( ) ( ) , , , ,

:نعوض في العالقة : المختصرة االنحرافات بطريقة ـ 4

σ = − = −−

= − ==

=

=

=

∑

∑

∑

∑C

f U

f

f U

f

i ii

K

ii

K

i ii

K

ii

K. ( ) ( ) , , ,

2

1

1

1

1

2 2459

40

15

404 1 475 0 140 4 62

: المعيـاري االنحرافأهميـة

بشكـل واسـع فـي الطرق المعيـاري كمقيـاس للتشتـت المطلـق االنحرافيستعمـل

بيـن المتغيـرات االرتباطاإلحصائيـة ، لقيـاس درجـة الثقـة ، كمـا يستعمـل فـي قيـاس

.العشوائية وفي السالسل الزمنيـة لقيـاس عالقـة االرتبـاط بيـن الظاهـرة المدروسـة والزمـن

حالـة التوزيـع باإلضافـة إلـى ذلـك ، فهـو يتمتـع بخاصـة مهمـة وهـي أنـه فـي

الطبيعـي ، حيـث الوسـط الحسابـي يقـع فـي منتصـف المنحنـى الطبيعـي ، فـإن المـدى ما

بيـن الوسـط الحسابـي واإلنحـراف المعيـاري يحصـر نسـب معينـة مـن قيـم التوزيـع

:علـى الشكـل التالـي

- 54 -

X :المجـال m2

3σ أي ( , )X X− +2

3

2

3σ σ من قيـم التوزيـع % 50 يحصر .

X :المجـال mσي أ ( , )X X− +σ σ من قيـم التوزيـع % 68.27 يحصر .

X :المجـال m1 96, σ أي ( , , , )X X− +1 96 1 96σ σ مـن قيـم التوزيـع % 95 يحصر .

X :لمجـال ا m2σ أي ( , )X X− +2 2σ σ من قيـم التوزيـع % 95.45 يحصر .

X :المجـال m3σ أي ( , )X X− +3 3σ σ من قيـم التوزيـع % 99.73 يحصر .

ـًا تكـون محصـورة ضمـن ومن الناحية العملية فإن جميع وحـدات التوزيـع تقريب

لهـذا فهـو يستخـدم لمعرفـة نسبـة أوعـدد القيـم التـي توجـد فـي مجـال محـدد . المـدى

أو لمعرفـة نسبـة أو عـدد القيـم التـي تقـع خـارج المجـال ، وذلك إذا عرفنا . حول الوسط

نـا أعتبـر أهـم مقيـاس مـن ه. واإلنحـراف المعيـاري لتوزيـع طبيعـي الوسـط الحسابـي

ـًا . للتشتـت المطلـق .والشكـل البياني التالي يبيـن المجاالت المذكـورة آنف

σ و Xيبيـن نسبـة القيم الموجودة ضمن عدد من المجاالت لتوزيع طبيعي تبعا لـ

Y

X

X + 3σ X + 2 σ X + σ X +2

3σ X X −

2

3σ X − σ X − 2σ X − 3σ

50 %

68.27%

95.45 %

99.73 %

- 55 -

: مثـال

بتسجيـل معـدالت الطلبـة المقبوليـن لديهـا المسيلة بجامعـة االقتصادقامـت إدارة كليـة

طالـب ، وجـدت أن الوسـط الحسابـي لمعدالتهـم 700فـي السنـة األولـى ، وكـان عددهـم

فـإذا فرضنـا أن معـدالت هـؤالء . 0.64 ، واإلنحـراف المعيـاري يسـاوي 13.6يسـاوي

ـًا المطلـوب حسـاب مـا يلـي ـًا طبيعي :الطلبـة تؤلـف توزيع

. عالمـة 14.24 ــ 12.96 ـ عدد الطالب الذيـن تتـراوح معدالتهـم بيـن 1

. عالمـة 12.32 ــ 11.68 ـ عدد الطالب الذيـن تتـراوح معدالتهـم بيـن 2

. عالمـة 14.88ـن معدالتهـم أكبـر مـن ـ عـدد الطـالب الذي3

:الحـل

ـًا والوسـط الحسابـي . تمثـل المساحـة تحـت المنحنـى الطبيعـي عـدد الطـالب جميع

13.6 مـن الطـالب معدالتهم أقل من % 50يقسـم المنحنـى إلـى قسميـن متساوييـن أي أن

إذا حسبنـا نسبـة الطلبـة فـ. عالمـة 13.6 معدالتهـم أكبـر مـن % 50عالمـة و

عالمـة ، فـإننا نحصـل 14.24 و 13.6 عالمـة ثـم بيـن 12.96 و13.6المحصوريـن بيـن

عالمـة ، وبضـرب هـذه النسبـة بعـدد وحـدات 14.24 و 12.96على نسبـة الطلبـة بيـن

.المـدروس نحصـل علـى العـدد المطلـوب ) أي عـدد الطلبـة ( المجتمـع

أي مقـدار إنحـراف معيـاري واحـد ) 0.64-( يسـاوي 12.96 و 13.6ق بيـن الفـر

، والفـرق ) % 34.135 = 2 ÷ % 68.27 ( % 34.135والنسبـة المقابلـة لذلـك تسـاوي

ـًا والنسبة المقابلة ) 0.64( يساوي 14.24 و 13.6بيـن أي مقـدار إنحراف معياري واحـد أيض

% 68.27 هـي 12.96 و 14.24والنسبـة المقابلـة للفـرق بيـن . % 34.135لذلـك تسـاوي

ومنـه عـدد الطـالب الذيـن تتراوح معدالتهـم بيـن ) . أي مجموع النسبتيـن السابقتيـن (

ـًا 478 ≈ 477.89 ) = 100 ÷ 68.27 (700: عالمـة هـو 14.24 و12.96 . طالبـ

. أصغـر مـن الوسـط الحسابـي 12.32 و11.68 ـ نالحـظ أن كـالً مـن المعدليـن 2

ولحسـاب النسبـة المحصورة بيـن هذيـن المعدليـن يجـب حسـاب النسبـة التـي يحصرهـا

ـًا لما يلي :كل منهما مع الوسط الحسابي ثم طرح هاتين النسبتين من بعضهما وفق

) 2(عيارييـن أي مقـدار إنحرافيـن م ) 1.28ـ ( يسـاوي 13.6 و 12.32الفـرق بيـن

) . % 47.725 = 2÷ % 95.45أي ( % 47.725والنسبـة المقابلـة لهذا الفـرق تسـاوي

- 56 -

معياريـة انحرافاتأي مقـدار ثالثـة ) 1.92ـ ( يسـاوي 13.6 و 11.68والفـرق بيـن

) . % 49.865= 2 ÷ % 99.73أي (% 49.865والنسبـة المقابلـة لهـذا الفـرق تسـاوي

.% 2.14بين النسبتيـن يسـاوي والفـرق

، وعـدد الطلبـة الذيـن تتـراوح معدالتهـم بيـن ) % 2.14 = % 47.725 - % 49.865( أي

ـًا 15 ≈ 14.98 ) = 100 ÷ % 2.14 ( 700: عالمـة هـو 12.32 و 11.68 . طالبـ

، فـإن ـ بمـا أن الوسـط الحسابـي يقسـم مساحـة المنحنـى إلـى قسميـن متساوييـن3

ـًا منـه 14.88النسبـة التـي يحصرهـا المعـدل فمـا فـوق يسـاوي نصـف المنحنـى مطروح

يبعـد عـن الوسـط 14.88إن المعـدل . 14.88المسافـة مـا بيـن الوسط الحسابـي والمعـدل

ساوي أي مـا يسـاوي إنحرافيـن معيارييـن ، والنسبـة المقابلـة لذلك ت1.28الحسابـي بمقدـار

= ، ومنـه النسبـة المطلوبة % 50 ، ونسبـة نصـف مساحـة المنحنـى تسـاوي % 47.725

: أما عدد الطلبة المقابل لذلك . % 2.275 = % 47.725 - % 50

ـًا 16 ≈ 15.925 ) = 100 ÷ % 2.275 ( 700 = . طالب

ـًا عالقـة االلتواءففـي التوزيعـات قليلـة . قاييـس التشتـت بيـن ماعتباريةوهنـاك أيض

: تتحقـق لدينـا العالقتيـن التاليتيـنااللتواءأو متوسطـة

. المعيـارياالنحراف 5\4= المتوســط االنحرافأ ـ

. المعيـارياالنحراف 3\2= الربيعـي االنحرافب ـ

: يكـون لدينـاااللتواء المثـال السابـق ذو توزيـع متوسـط اعتبرنافـإذا

0.512) = 0.64 (5\4= المتوســط االنحراف

.0.427 ≈ 0.42666 ) = 0.64 ( 3\2= الربيعـي االنحراف

عند حساب مقاييس النزعة المركزيةنفترض أن كل المقاييس تتمركز :تصحيح اإلنحراف المعياري

رض منه تشهيل العمليات في منتصف الفئة ، والشك أن هذا غير صحيح ، فهو اقتراض تقريبي الغ

في الحقيقة أن المشاهدات تأخذ قيما مختلفة داخل الفئة الواحدة ، وبالتالي تؤدي إلى بعض .الحسابية

وقد قام اإلحصائي .األخطاء بين القيم الحقيقية والقيم اإلفتراضية لذا يتعين تصحيحها

- 57 -

، وأوجد تصحيحا بدراسة بعض المجتمعات ذات التوزيعات المستمرةSheppardشبارد

: يعطى بالعالقة اآلتية Correction de Sheppardلإلنحراف المعياري يدعى بتصحيح شبارد

∂ = ∂2-C2/12

.طول الفئة: cحيث

:نفس المثال السابق أوجد اإلنحراف المعياري المصحح : مثال

∂= ∂2-C2/12

7.93ومنه اإلنحراف المعياري المصحح يساوي

:خصائص اإلنحراف المعياري

اإلنحراف المعياري مهم في التحليالت اإلحصائية مثل تحليل المؤشرات ، وهذه األهمية اكتسبها -1

صغيرة فهذا يدل على يدل على تمركز القيم حول ∂بخضوعه للعمليات الجبرية ، فإذا كانت

متوسط الحسابي ، والعكس صحيح إذا كانت قيمته كبيرة فهذا يدل على عدم التجانس وشدة تباعد ال

.قيم البيانات

.عد مؤشرا لعدد من التوزيعات النظرية مثل التوزيع الطبيعيي-2

:العالقة بين اإلنحراف المتوسط واإلنحراف المعياري

Ex=(4/5) ∂

. وهي عالقة تقريبية فقطEx=(4/5).8.06=12.524: في المثال السابق

- 58 -

مقاييس التشتت النسبي: ثانيا

فإذا كان .إن المقاييس الرئيسية للتشتت التي درسناها ، هي قيم من نفس نوع المتغير المدروس

بات كبيرة عندما وهذا مايخلق صعو. إلخ..... يحسب بوحدة الطول ∂ المتغير المدروس الطول فإن

فمثال توزيع أطوال مجموعة من .نريد المقارنة بين بضع سالسل حسب انحرافاتها المعيارية

األشخاص البالغين ومجموعة من األطفال الرضع وفي كل الحاالت فإن المقارنة على أساس

العام للمتغير وإلبعاد أثر الوحدة المقاسة أو أثر المستوى.المقاييس التي درسناها يمكن أن تغشنا

نحسب معامل التشتت النسبي ، ويحصل على هذا المعامل بتقسيم أحد المقاييس المطلقة للتشتتعلى

.هناك عدة أنواع من معامالت التشتت.قيمة من نفس النوع

: يحسب بالعالقة اآلتية:معامل المدى الربيعي النسبى -1

Cq=(Q3-Q1)/Me

.ي اليتعلق بالوحدة التي تعبر عن معطيات السلسلةإن المدى الربيعي النسبي عدد مجرد أ

فهو عبارة عن حاصل قسمة .يستعمل بشكل واسع ): اإلنحراف المعياري النسبي(معامل اإلختالف-2

.اإلنحراف المعياري على المتوسط الحسابي

CV=(∂)100/X

؟نفس المثال السابق أحسب معامل اإلختالف: مثال

: إذن معامل اإلختالف هو X=59.6 ∂=8.06لدينا

CV=(∂)100/X=(8.06)100/59.6=13.52

%.13: وهذا يعني أن اإلنحراف المعياري يختلف عن المتوسط الحسابي بـــ

اليتعلق معامل اإلختالف بوحدات القياس المستعملة وهذا يسمح بمقارنة التشتت لسلسلتين تختلفان

:ضيح ذلك إليك المثال اآلتيبالوحدات المستعملة ، ولتو

خالل شهر ما الحظنا سعر اإلقفال ألسهم شركات اإللكترونيك من )البورصة(في السوق المالية : مثال

نوعين مختلفين

.دج5دج وبانحراف معياري 150سعر اإلقفال بمتوسط حسابي : A المجموعة اإللكترونية-

.دج3دج وبانحراف معياري 50سط حسابي سعر اإلقفال بمتو: B المجموعة اإللكترونية -

Categorie A CV=(∂)100/X=5.100/150=3.33 %:الحل

Categorie B CV=(∂)100/X=3.100/50=6 %

Aتختلف بمرتين تقريبا عن المجموعةBنستنتج أن المجموعة: اإلستنتاج

- 59 -

يقصد بالمعايرة التعبير عن قيم المتغير بقيمة مستقلة :ype unite t'L): المعايرة(الوحدة العيارية-3

: بالصيغة اآلتية Zتحول إلى Xللمتغيرxفلكل قيمة .عن وحدة القياس

Z=(Xi-X)/ ( ∂)

يستعمل هذا المقياس عند المقارنة بين قيمتين في مجموعتين مختلفتين

لدينا عالمتي طالب في مقياسي اإلحصاء واإلقتصاد : مثال

اإلقتصاد اإلحصاء ماتالعال

80Xi 70Yi عالمة الطالب

70X 65Y متوسط عالمة الطالب

x 2 ∂y∂5 ∂اإلنحراف المعياري

/x=(80-70)/5=10/5=2 Zx=(x-X)∂ :الحل

Zy=(y-Y)/ ∂y=(70-65)/2=5/2=2.5

اإلحصاء، ولذلك وهذا يعني أن الطالب حصل في اإلقتصاد على درجة أبعد عن المتوسط من درجته في

.يمكن اعتبار أن مستواه في اإلقتصاد أحسن من مستواه في اإلحصاء

:استخدامات الوحدة العيارية

.عند المقارنة بين مجموعتين يجب تحويل كل مجموعة إلى وحدة عيارية-1

).المتغيرات العشوائية المستمرة( حساب اإلحتماالت عندما يكون التوزيع طبيعيا -2

).معامل بيرسون( ند حساب معامل اإلرتباطيستعمل ع-3

COEFFICIANT DE VARIATION DE QUARTILLE.معامل التغير التربيعي-4

:يعتمد في تعريفه على المدى الربيعي ، ويحسب بالعالقة اآلتية

C.Q.V=(Q3-Q1)/(Q3+Q1)

؟ لدينا التوزيعين اآلتيين ، والمطلوب أي التوزيعين أكثر تغيرا:مثال

- 60 -

Y X

Q3 Q1 Q1 Q3

47.43 23.17 11.3 29.8

:Xمعامل التغير التربيعي لـــ-1

C.Q.Vx=(Q3-Q1)/(Q3+Q1)=47.43-23.17/47.43+23.17=0.34

:معامل التغير التربيعي لـــ -2

C.Q.Vy=(Q3-Q1)/(Q3+Q1)=29.8-11.3/29.8+11.3=0.45

.Xأكبر من تغير التوزيع Y فالتوزيع C .Q.Vx<C.Q.Vy:ما أنب

- 61 -

رابعالفصل ال

مقاييس الشكل

- 62 -

)مقاييس الشكل(لمميزات الشكلية للتوزيعا

درسنا المتوسطات ومقاييس التشتت ، واستعرضنا طرق العرض البياني جدوليا وبيانيا ، لقد:تمهيد

.م نتطرق عند دراسة المنحنيات التكرارية إلى مقدار التواء هذه المنحنيات ، وإلى أي جهةملتوية ولكن ل

فيقال أن التوزيع غير متناظر إذا كانت القيم موزعة بشكل متساو على طرفي القيمة المركزية ،

اظر أو عدم تناظر التوزيع فمن المفيد أن نميز تن. وفي الحالة المعاكسة يقال أن التوزيع غير متناظر أو ملتو

فهناك معامالت عديدة لهذا الغرض ، سوف نشيربداية إلى .وتفلطحه بواسطة أعداد مستقلة عن وحدات القياس

).قوى التوزيع(أكثرها بساطة ، ثم إلى أكثرها تعقيداتعتمد على فكرة العزوم

Asymetrie'Les Mesures Dمقاييس اإللتواء-1

لتواء هو بعد المنحنى عن التماثل ، فقد يكون اإللتواء موجبا أي إلى اليمين أو سالبا نعني باإل: تعريف

إلى اليسار ، فعندما يكون التوزيع ملتويا نحو اليمين فإن القيم المتطرفة نحو اليمين تؤثر في المتوسط

سار فإن ي، أما إذاكان التوزيع ملتويا نحو ال )X>Me(وبذلك يكون.الحسابي وتسحبه نحو اليمين

:كما هو موضح في األشكال اآلتية ) Me>X(المتوسط الحسابي يكون أصغر من الوسيط

a-توزيع متناظر b -توزيع ملتونحو اليمين c -توزيع ملتونحو اليسار

:ولحساب معامل اإللتواء هناك عدة معامالت

t de Pearson Coefficienمعامل بيرسون -1

والوسيط هو الذي يميز اإللتواء ولترجمة هذا الترتيب ,إن موقع المنوال بالنسبة للمتوسط الحسابي

:بعدد مجرد نحصل على معامل بيرسون

SK=(X-Mo)/δx

- 63 -

ومنه فمعامل Mo=3Me-2X:وبماأن التحديد المباشر غالبا ما يكون صعبا فنستطيع إستعمال التقدير

: على النحو اآلتيبيرسون يصبح

SK=3(X-Me)/бx

:Yule et Kendall. كندال– معامل يول -2

في حالة الجداول التكرارية المفتوحة نقوم على مقارنة انتشار منحنى التوزيع على يسار الوسيط مقاسا بــ

)Me-Q1 (باإلنتشار على اليمين مقاسا بــ)Q2-Me( على ويقسم الفرق بينهما على مجموعهما فنحصل

.معامل يول وكندال

SK=[(Q2-Me)-(Me-Q1)]/[ (Q2-Me)+ (Me-Q1)]

كما يمثل المعامل الموجب توزيعا ملتويا نحو اليمين ، والمعامل السالب توزيعا ملتويا نحو اليسار،

.وعندما يكون مساويا للصفر فالتوزيع معتدال

-1<SK≤+1

S=0تناظر تام

:إستخدامات مقياس اإللتواء

معرفة نوعية إلتواء التوزيع التكراري ، فإذا كان اإللتواء موجبا نحو اليمين ، وإذا كان سالبا نحو -1

.X>Meاليساروالتالي

المجموعة التي يكون فيها أو مجوعتين من البيانات حيث إن يستخدم بهدف المقارنة بين إلتواء توزيعين تكراريين-2

.ها ملتويا أكبر من المجموعة األخرى، والعكس صحيح أيضامعامل االلتواء أكبر يكون توزيع

والمطلوب ماهو نوع التوزيعات الثالثة؟: إليك الجداول التكرارية الثالثة اآلتية :مثال

- 64 -

C B A

Fi Xi Fi Xi Fi Xi

2 1-2 3 1-2 2 1-2

3 2-3 5 2-3 3 2-3

4 3-4 4 3-4 4 3-4

3 4-5 2 4-5 5 4-5

2 5-6 1 5-6 2 5-6

14 Σ

15 Σ

16 Σ

Aالظاهرة -1:الحل

Xi².Fi Xi² F.C.C الحدود العليا Xi.Fi Fi Xi

1.5 2 3 2أقل من 2 2.25 4.5

2.5 3 7.5 3أقل من 5 6.25 18.75

3.5 4 14 4أقل من 9 12.25 49

4.5 3 13.5 5أقل من 12 20.25 60.75

5.5 2 11 6أقل من 14 30.25 60.5

193.5 ------ ---- ------ 49 14

.53 =) 5-7(+3=Me7 =2/14=R.5 3=14/49=X

9-5

SK=3(X-Me)/бx=3(3.5-3.5)/ бx=0 :معامل بيرسون

Бx = 193.5/14 - (3.5)² = 1.57 =1.25

SK=0)متناظر(ومنه التوزيع متماثل

- 65 -

Bالظاهرة

Xi².Fi Xi² F.C.C الحدود العليا Xi.Fi Fi Xi

1.5 3 4.5 2أقل من 3 2.25 6.75

2.5 5 12.5 3من أقل 8 6.25 31.25

3.5 4 14 4أقل من 12 12.25 49

4.5 2 9 5أقل من 14 20.25 40.5

5.5 1 5.5 6أقل من 15 30.25 30.25

157.75 ------ ---- ------ 45.5 15

.92 =) 3-.57(+3=Me.5 7=2/15=R.03 3=15/.545=X

8-3

SK=3(X-Me)/бx=3(3.03-2.9)/ 1.15=0.34 :معامل بيرسون

Бx = 157.75/15 - (3.03)² =1.15

SK=0.34ومنه التوزيع ملتوموجب

- 66 -

Cالظاهرة

Xi².Fi Xi² F.C.C الحدود العليا Xi.Fi Fi Xi

1.5 2 3 2أقل من 2 2.25 4.5

2.5 3 7.5 3أقل من 5 6.25 18.75

3.5 4 14 4أقل من 9 12.25 49

4.5 5 22.5 5أقل من 14 20.25 101.25

5.5 2 11 6أقل من 16 30.25 60.5

234 ------ ---- ------ 58 16

X=58/16=3.625 R=16/2=8 Me=3+3/4 =3.75

SK=3(X-Me)/бx=3(3.625-3.75)/ 1.218=-0.3 :معامل بيرسون

Бx = 234/16 - (3.625)² =1.218

SK=-0.3ومنه التوزيع ملتوسالب نحو اليسار

Les momentsالعـــزوم

الذراع (يعني عزم القوة بحاصل ضرب القوة في ذراعها . كلمة عزم مشتقة من علم الفيزياء :تعريف

).هو بعد عمل خط القوة عن مركز العزم

.مجموع حاصل ضرب كل قوة في ذراع العزم=عة من القوىيكون عزوم مجمو

، )الصفر(إال أن قياس العزم في اإلحصاءيختلف عنه في الفيزياء ، ويكون العزم حول نقطة الصل

.والعزم حول المتوسط الحسابي

- 67 -

:ةيعرف بالمعادلة اآلتي)الصفر(حول نقطة األصل kإن العزم : )العزم البسيط(العزم حول النقطة الصفر-1

Fi)/Σ(Fi). M'k=Σ(Xi K

Fi)/Σ(Fi). M'1=Σ(Xi : إذن

Fi)/Σ(Fi). M'2=Σ(Xi 2

العزم المركزي العزم حول المتوسط الحسابي-2

M'k= Σ[(Xi-X) kFi]/Σ(Fi)

M'0=Σ[(Xi-X)=1 فإن k=0عندما 0Fi]/Σ(Fi)

M'1=Σ[(Xi-X)=0 فإن k=1عندما 1Fi]/Σ(Fi)

.ألن مجموع اإلنحرافات عن المتوسط الحسابي تساوي الصفر

V=M'2=Σ[(Xi-X) فإنk=2عندما 2Fi]/Σ(Fi)

.. التباينVحيث

Coefficiant De Fisherقياس معامل اإللتواء باستخدام العزوم

نحراف يعرف معامل اإللتواء على أنه حاصل قسمة العزم الثالث حول المتوسط الحسابي على مكعب اإل

.المعياري

SK=M3/δ3

: أحسب معامل اإللتواء للتوزيع التكراري اآلتيمثال

(x-x)3fi (x-x)2fi (x-x) Xifi xi f c

-19.191 9.031 -2.125 3 1.5 2 1-2

-4.271 3.796 -1.125 7.5 2.5 3 2-3

0.0078 0.0625 0.125 14 3.5 4 3-4

0.669 3.828 0.875 22.5 4.5 5 4-5

13.183 7.031 1.875 11 5.5 2 5-6

-9.60 23.7485 ------ 58 ---- 16

- 68 -

Бx = 234/16 - (3.625)² =1.218 ; X=58/16=3.625

-9.6/16=-0.6 =M'2=Σ[(Xi-X) 2Fi]/Σ(Fi)

SK=M3/δ3=-0.6/1.806=-0.33

.التواء سالب نحو اليسار

SEMENTAPPLATIS'D.Cقياس معامل التفلطح

إذا اعتبرنا المنحنيات الوحيدة القيمة ، وأردنا مقارنتها ، فقد نجدها متساوية في المقاييس السابقة :تعريف

.ولكننا قد نجدها تختلف من حيث شكل القمة )النزعة المركزية، التشتت،اإللتواء(الذكر

إيجاد مقياس لقياس هذه لقد نجقمة أحدها أكثر تدببا أو تفلطحا من بعض اتلقمم األخرى، ولذلك وجب

).بمعامل التفلطح(الخاصية يعرف

.هونسبة بين العزم الرابع حول المتوسط الحسابي إلى مربع التباين : معامل التفلطح

Β=M4/Б4

أحسب معامل التفلطح للجدول التكراري اآلتي؟:مثال

(x-x)4fi (x-x)2fi

Fi.xi Xi fi c

50000 500 12.5 2.5 5 0-5

3750 150 45 7.5 6 5-10

00000 0000 75 12.5 6 10-15

2500 100 70 17.5 4 15-20

30000 300 67.5 22.5 3 20-25

101250 450 55 27.5 2 25-30

187500 1500 325 ---- 26

X=325/26=12.5 Б=7.595 ; M4=187500/26=7211.538

- 69 -

=3328.44 Б2.167211.538/3328.44 ومنه== Β=M4/Б4

.فالتوزيع مفلطح القمة0>(Β-3) إذاكان - )1 :مالحظة

. فالتوزيع معتدل التفلطح0=(Β-3) إذاكان -)2

. فالتوزيع مدبب التفلطح0<(Β-3) إذاكان -)3

فلطح القمة وبتالي فالتوزيع م) 0>(Β-3 )=3-2.16 ( 0.84-=في مثالنا

Killyفي حالة الجداول التكرارية المفتوحة لحساب معامل التفلطح نستعمل معامل كيلي

B=1/2[(Q3-Q1)]/[(D9-D1)]

.العشيرD الربيع، Qحيث

:فوائد مقياس التفلطح

إن معامل التفلطح يبين فيما إذاكان للتوزيع قمة عريضة مسطحة، أو قمة حادة رفيعة ، حيث يطلق -1

على التوزيع ذي القمة العريضة المسطحة اسم التوزيع ممسطح التفلطح، أما إذاكان التوزيع ذا قمة حادة

.رفيعة فيطلق عليه اسم التوزيع مدبب التفلطح

بمعرفةقيمة معامل التفلطح يمكننا التعرف على شكمل التوزيع سواءأكان مسطحا أم معتدال أم رفيعا، -2

.نقصانه اليتعارض مع تماثل التوزيعحيث إن زيادة االتفلطح أو

باإلضافة لماسبق نالحظ أن التفلطح ليست له عالقة بالمتوسط الحسابي للتوزيع ، حيث قد يكون -3

:التوزيع مفلطحا أو رفيعا أو مسطحا ، ويكون له متوسط حسابى موحدكاهومبين في الرسم اآلتي

- 70 -

لخامسالفصل ا

اإلرتباط واإلنحدار

- 71 -

Correlation:اإلرتباط -1

أوزان ، أطوال، أعمار، ( عرضنا في الفصول السابقة كيفية وصف مجموعةمن قيم متغير واحد :تمهيد

، عن طريق حساب بعض المقاييس كمقاييس النزعة المركزية ، مقاييس التشتت، ، وقد )إلخ....أجور ،

لكننا لم ندرس العالقة بين .ء ، ومعامل التفلطحأوضحنا كيفية دراسة شكل التوزيع عنطريق معامل اإللتوا

.متغيرين وهو مايعرف باإلرتباط

اإلرتباط بين ظاهرتين معناه وجود عالقة بينهما ، بحيث إذاتغير في اتجاه معين مال : تعريف اإلرتباط

.إذقد يميالن في اتجاه معاكس أو في نفس اإلتجاه.اآلخر إلى التغير

رتباط إلى عدة أنواع حسب عدة معاييرينقسم اإل:أنواع اإلرتباط

a-ينقسم إلى قسمين : حسب معيار التغير

).العالقة بين الدخل واإلدخار(نعني به وجود عالقة بين ظاهرتين فقط : )الثنائي(اإلرتباط الخطي -1

الدخل من (نعني به وجود عالقة بين أكثر من ظاهرتين :)أكثر من إثنين( اإلرتباط المتعدد-2

).اإلستهالك واإلدخار واإلستثمار واإلدخار من جهة أخرىجهةو

، وأردنا )zi... yi.xi(إذاكانت هناك عالقة بين بين مجموعة من الظواهر : اإلرتباط الجزئي-3

. واعتبرنا القيم األخرى ثابتة فهذا يعرف باإلرتباط الجزئيyi وxiقياس درجة اإلرتباط بين

b-نقسم إلى ي:حسب معيار التأثير:

وجود عالقة عكسية بين الظاهرتين أي أن تغير األولى يصاحبه : )غير مباشر(اإلرتباط العكسي -1

.تغير في الظاهرة الثانية باتجاه معاكس

وجودعالقة مباشرة بين الظاهرتين أي أن تغير الظااهرة األولى : )مباشر ( اإلرتباط الطردي -2

.تجاهيصاحبه تغير في الظاهرة الثانيةفي نفس اإل

coefficiant de correlation:معامل اإلرتباط

وبعبارة أخرى نسبة ).ظاهرتين أوأكثر(عبارة عن نسبة تجسد العالقة بين الظواهر اإلحصائية:تعريف

.تبين للباحث درجة التأثير المتبادل بين ظاهرتين أو أكثر

.ين ظاهرتين فقطنعني به دراسة درجة التأثسر ب ): الثنائي(معامل اإلرتباط الخطي-1

، مثل العالقة بين اإلنتاج وتكاليف ) كمية(كما نعلم في حياتنا اليومية أن بعض الظواهر قابلة للقياس العددي

.اإلنتاج، بين الدخل واإلستهالك ، بين الدخل واإلدخار

لذلك .إلخ....كاللون ، التقدير ، معامل الذكاء)الصفة ( والبعض اآلخر غير قابل للقياس العددي

- 72 -

.لكل ظاهرة على حدى سنركزدراستناعلى حساب معامل اآلرتباط

A-معامل بيرسون-)الكمية( معامل اإلرتباط للظواهر العددية

:فإننا نتبع الخطوات اآلتية)Y(و)X(إذا أردنا دراسة العالقة االرتباطية بين ظاهرتين

:ندرس المقاييس اإلحصائية لكل ظاهرة على حدى-1

Yالظاهرة

Y=y1..y2...yn-1..yn

Xالظاهرة

X=x1..x2...xn-1...xn

Y==Σ(y)/N

δy= Σ(y-Y)2/N

Zy= yi-Y/ δy

X=Σ(x)/N

δx = Σ(x-X)2/N

Zx=xi-X/ δx

Zx.Zy:نضرب القيم العيارية -3

.عرف بمعامل اإلرتباطوهو ماي)Zx.Zy (.نجد المتوسط الحسابي لحاصل ضرب القيم العيارية -4

R=Σ(Zx.Zy)/N

R=Σ[(Xi-X)(Yi-Y)]/N бxбy

وبإجراء بعض العمليات الحسابية نصل إلى أن معامل اإلرتباط يساوي

R=[Σ(xiyi)/N- X Y]/ бx·бy

وحدات إنتاجية، والمطلوب حساب 10 الجدول اآلتي يبلين حجم االنتاج ورأس المال المستثمر في :مثال

بين حجم اإلنتاج ورأس المال المستثمربالطريقة المباشرة؟معامل اإلرتباط

- 73 -

Yi 2 Xi 2

2)(y-Y

2)(x-X

XiYi رأس المالY اإلنتاجX المؤسسات

1.44 7.84 16 51.84 3.36 1.2 2.8 1

2.56 16 12.96 360 6.4 1.6 4 2

6.25 14.44 7.29 38.44 9.5 2.5 3.8 3

14.44 42.25 1.96 12.25 24.7 3.8 6.5 4

18.49 64 0.81 4 34.4 4.3 8 5

30.25 102.01 0.09 0.01 55.55 5.5 10.1 6

36 90.25 0.64 0.25 57 6 9.5 7

64 156.26 7.84 6.25 100 8 12.5 8

82.81 334.89 15.21 68.89 166.53 9.1 18.3 9

100 600.25 23.04 210.25 245 10 24.5 10

المجموع 100 52 702.44 ----- ----- 1428.18 356.24

X=100/10=10 Y=52/10=5.2

Σ(xiyi)=702.44 Σ(xi-X)²=428.18 Σ(yi-Y)²=85.84

R=[Σ(xiyi)/N- X Y]/бx·бy

6.54x2.92=0.95)/R=(702.44/10 -5.2x10

)y وx(ارتباط طردي قوي بين

- 74 -

)ر مباشرةغي( حساب معامل االرتباط بالطريقة المختصرة ) 2

Ex=X-A X=Ex+A: ومنه اإلنحرافات Aلنفرض متوسط فرضي

، Ey=Y-A Y=Ey+A وبالتعويض في العالقة السابقة كل من yو x

.Rنجد قيمة

R=[Σ(Ex.Ey)/N-ExEy]/бx·бy

.المختصرة نفس المثال السابق أحسب معامل االرتباط بالطريقة :مثال

:نهيء جدوال يتكون من الخانات اآلتية : الحل

Ey2 Ex2 Ey-Ey)2( Ex-Ex)2( Ex.Ey x-a y-a yi xi

R=0.95

حساب معامل اإلرتباط للقيم المبوبة في جدول تكراري-2

:ةإذاكانت قيم الظاهرتين مبوتين في جدول تكراري مزدوج ، فيحسب معامل اإلرتباط بالعالقة اآلتي

R=[Σ(XiYiFc)/Σ(Fi) -X.Y]/бx·бy

طالب من قسم التجارة 100الجدول التكراري المزدوج اآلتي يبين ظاهرتي الوزن والطول لـــ: مثال

والمطلوب حساب معامل االرتباط بينهما ؟

- 75 -

Xالطول

Y الوزن

-150ذ

155

155-160 160-165 165-

170

170-175 Fy

40-50 5 3 - - - 08

50-60 1 12 14 - - 27

60-70 - 2 28 22 - 52

70-80 - - 3 8 2 13

Fx 6 17 45 30 2 100

:حل

X

Y

150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 FY Y Y2 F.Y2 F.Y

40-50 5 3 08 45 2025 16200 360

50-60 1 12 14 27 55 3025 81675 1485

60-70 02 28 22 52 65 4225 219700 3380

70-80 03 08 02 13 75 5625 7312 975

FX 06 17 45 30 02 100 --- ----- 390700 6200

X 152.5 157.5 162.5 167.5 172.5

X2 23256.25 24806.25 26406.25 28056.25 29756.25

F.X 915 2677.5 7312.5 5025 345

F.X2 139537.5 421706.25 1188281.25 841687.5 59512.5

X=Σ(xf)/ΣF=16275/100=162.75, бx =2650725/100-(162.75)2=19.69=4.4

Y=Σ(yf)/ΣF=6200/100=62, бy=390700/100-(62)2=63=7.93

- 76 -

Σ(Fcxy)=1011725/100=100=10117.25

R=[Σ(XiYiFc)/Σ(Fi) -X . Y]/бx·бy=(10117.25-10090.5)/(4.43*7.93) =0.76

ل والوزنارتباط طردي قوي بين الطو

خواص معامل اإلرتباط

.]1+ و1- [معامل اال رتباط محصور بين -1

]0 ،1-[معامل ا رتباط عكسي-2

]1[ . ارتباط طردي تام-3

]1[ -. . ارتباط عكسي تام-4

]1 ،0[ .ارتباط طردي-5

).قريب من الصفر.(ارتباط ضعيف-6

.معامل االرتباط هومقياس نسبي مجرد من وحدات القياس-7

.اليتأثر بنقل المحاوراإلحداثية للظاهرتين، أو بتغيير وحدات القياس-8

.يفقد هذا المعامل قيمته العملية إذا قيست االنحرافات عن متوسطات أخرى غير المتوسط الحسابي-9

.مقياس معبر عن االرتباط المستقيم فقط واليفيد في التعبير عن االرتباط المنحني-10

.الظواهر النوعية)معامل سبيرمان(ب معامل ارتباط الرت

غير أنه يمكن وضعها بشكل .هناك بعض الظواهر اليمكن قياسهابدقة على اعتبار أنها ظواهر نوعية

).إلخ....3.2.1(رتب مسلسلة حسب األعداد الطبيعية

:ولحساب معامل االرتباط بين الظاهرتين نتبع الخطوات اآلتية

).X)1.2.3…..n الرتب للظاهرة

وهي نفس الرتب السابقة ولكنها في ترتيب يختلف عن ترتيب الظاهرة Y)(4.5.6….nالرتب للظاهرة

.األولى

Ι-نحسب المقاييس اإلحصائية لكل ظاهرة .

- 77 -

Y=4.5.6...n X=1.2.3...n

Y=Σ(y)/N=(N+1)/2

Б=N(N+1)(2N+1)/6N - [ (N+1)/2]2

= (N2 -1)/12

X=Σ(x)/N=(N+1)/2

Б=N(N+1)(2N+1)/6N - [ (N+1)/2]2

= (N2 -1)/12

Π -2(نحسب مربعات الفروقE (

E2 =(Xi-Yi) 2=X2 _ 2XiYi +Y2

ΠI- مجموع مربعات اإلنحرافات :

ΣEi2= ΣX2i +ΣXiYi +ΣY2i

ΣE2 =N(N+1)(2N+1)/6 -2ΣXY + N(N +1)(2N+1)/6

: عمليات رياضية وحسابية نجد أن وبإجراء

R= 1 - [ 6ΣEi2 ] /N(N2 -1)

طلبة تقديراتهم في مقياسي اإلحصاء 06 أوجد معامل ارتباط الرتب لـــ:مثال تطبيقي

.والرياضيات

6 5 4 3 2 1 الطلبة

تقدير

الرياضيات

جيد جدا مقبول ضعيف جدا جيد ممتاز ضعيف

ممتاز ضعيف جدا ضعيف جيد جداجيد مقبول تقديراإلحصاء

: حل

- 78 -

X Y E=Xi-Yi E2=(Xi-Yi) التقدير الطلبة 2

1 1 4 5 1ممتار 1

1 1- 2 1 2جيد حدا 2

0 0 3 3 3جيد 3

2 1 5 6 4مقبول 4

1 2- 6 4 5ضعيف 5

1 1 1 2 6ضعيف جدا 6

--------- المجموع

---

------- ----- 08

R= 1 - [ 6ΣEi2 ] /N(N2 -1)

1- 6x8/6(36-1) =1-0.23 =0.77

.ارتباط طردي قوي بين مادتي اإلحصاء والرياضيات

Coeffcient de Contengenceمعامل التوافق

يهدف إلى قياس اإلرتباط بين متغيرين أحدهما أو كالهما ينقسم إللى أكثر من حالتين ، وقد يكون أو

:امل يتم بالخطوات اآلتية إن حساب المع.كالالمتغيرين وصفية

.نربع تكراركل خانة -1

نقسم مربع تكرار كل خانة على حاصل ضرب مجموع التكرار األفقي والعمودي للصف -2

.والعمودعلى كل خانة ، ثم نجمع خوارج القيمة

:نحسب معامل التوافق من العالقة اآلتية -3

R= (X-1)/X

.شخص حسبمستوى التعليم والتدخين300ين توزيع الجدول اآلتي يب:مثال

- 79 -

التدخين

درجة التعليم

المجموع اليدخن يدخن

90 15 75 امي

150 60 90 متوسط وثانوي

60 45 15 جامعي

300 120 180 المجموع

هل هناك توافق بين المستوى التعليمي والتدخين؟: المطلوب

X= (75)2 /(90)(180) +(90)2/(150) (180) +(15)2 /(60)(180):حل

+(15)2/(120)(90)

+(60)2/(150)(120) +(45)2 /(60)(120)

=0.347+0.300+0.021+0.021+0.200+0.281=1.170

ومنه معامل التوافق

R= (X-1)/X = (1.17-1)/1.17 = 0.38

Association'Coefficient dقتران معامل اإل

هنالك بعض الظواهر اليمكن قياسها والتعبير عنهابصورة رقمية وإنما يكتفي فقط بتقسيمها إلى

) أرمل- مطلق-متزوج–أعزب (، الحالة الزوجية ) أنثى-ذكر(مجموعات ، ومثال ذلك الجنس

اط بين أي ظاهرتين من هذا النوع نستعمل ولقياس اإلرتب) إبتدائي- ثانوي-جامعي(الحالة العلمية

:ما يسمى بمعامل اإلقتران ، ويحسب بالعالقة اآلتية

Ø=(AD-BC)/(AD+BC)

- 80 -

شخص لقح نصفهم باللقاح والنصف اآلخر لم يجر تلقيحهم فكانت النتائج 200تمت مالحظة :مثال

: كاآلتي

96: عدد األشخاص الذين لقحوا ولم يصابوا بالمرض

4: د األشخاص الذين لقحوا وأصيبوا بالمرض عد

40: عدد األشخاص الذين لم يلقحوا وأصيبوا بالمرض

60: عدد األشخاص الذين لم يلقحوا ولم يصابوا بالمرض

أحسب معامل اإلقتران ؟

: حل

التلقيح

اإلصابة بالمرض

المجموع غير ملقح ملقح

4A 40B 44 اإلصـــابة

96C 60D 156 دم اإلصابةع

200 100 100 المجموع

Ø=(AD-BC)/(AD+BC)=

(4*60-40*96)/(4*60+40*90)=-0.88

.اإلقتران عكسي بين التلقيح واإلصابة بالمرض

Correlation Multipleإلرتباط المتعددا

يرين إثنين أو نقصد باإلرتباط المتعدد إيجاد مستوى العالقة التي تربط متغير ا تابعا واحدا مع متغ

أكثر مستقلين مأخوذين معا في نفس الوقت الواحد ، ومثال ذلك العالقة بين اإلنتاج الزراعي وكمية

فلحساب معامل اإلرتباط المتعددبين ثالث ظواهر ، اليمكن .السماد ومساحة األرض المزروعة

:ه نستعين بالعالقة اآلتية فلحساب .R>1الجمع بين اإلرتباطات الثنائية ، ألننا إذا جمعنا ها نجدأن

- 81 -

R1(2,3) = R2 (1,2) +R2

(1,3) -2R(1,2).R(1,3).R(2,3)

1-R2(2,3)

R(Y,Z)=0.5 و R(X,Z)=0.7 وR(X,Y)=0.4: حيثX,Y,Z: ظواهر 3 إذاكانت لدينا :مثال

RX(Y,Z) بين حساب اإلرتباط المتعدد: المطلوب

Rx(y.z) = R2 (x.y) +R2

(x.z) -2R(x.y).R(x.z).R(y.z)

1-R2(y.z)

Rx(y.z) = (0.4)2 +(0.7)2 -2(0.4)(0.7)(0.5)

2 ) 0.5 ( 1-

Rx(y.z) 0.7=: ومنه فإن

)Y.Z( وX بين ارتباط طردي قوي

Correlation Partielاإلرتباط الجزئي

نعني به قياس العالقة بين متغيرين مع افتراض بقاء الظواهر األخرى ثابتة،فلحسابه نقوم بإيجاد

.معامل اإلرتباط للزوج ثم نستنتج معامل اإلرتباط الجزئي

ثابتة Z ،مع بقاء Y وX ، وأردنا حساب معامل اإلرتباط الجزئي بين ZوYوXلتكن الظواهر

:نستعين بالعالقة اآلتية

RX(Y,Z) = R(X,Y) -R(X,Z) .R(Y,Z)

[1-R2(X,Z)][1-R2

(Y,Z)]

- 82 -

على إعتبار )X,Y(أحسب معامل اإلرتباط الجزئي بين ) X,Y,Z(ظواهر 3 إذاكانت لدينا :مثال

R(X,Z)=0.82 R(Z,Y)=0.52 R(X,Y)=0.82 . مقدار ثابتZأن

:حل

RX(Y,Z) = R(X,Y) -R(X,Z) .R(Y,Z)

[1-R2(X,Z)][1-R2

(Y,Z)]

RX(Y,Z)= 0.82 - 0.4246: ومنه

[1-0.6724][1-0.2704]

RX(Y,Z) =0.80

. مقدار ثابتZ مع بقاء X,Y)(إذن ارتباط طردي قوي بين

Regression: اإلنحــــدار- 2

FranciSGaltonيعود استخدام كلمة إنحدار كمفهوم إحصائي إلى فرانسيس قالطون :مفهوم اإلنحدار

، مما دفعه إلى طرح 1859ع عام الذي اطلع على كتاب داروين أصل األنوا.إبن عم شارل داروين

لماذا اليختلف الناس كثيرا من جيل إلى آخر من حيث الشكل الخارجي ؟ : اآلتي التساؤل

ومن حيث قدراتهم الطبيعية ؟

من حيث .هذا التساؤل أدى إلى اإلهتمام بموضوع الوراثة ، وبالتحديد دراسة عالقة طول األبناء بطول اآلباء

الوالدين قصار األطوال يولد لديهم أبناء قصار األطوال .كونون في كل مرة مشابهين لوالديهم المنطق اآلبناء ي

ى، والوالدين طوال القامة يولد لديهم أبناء طوال ، ولو استمر الحال على هذا المنطق فإننا سنحصل عل

- 83 -

لطون أثبت اإلتجاه المعاكس غير أن الدراسات اإلحصائية التي أجراها قا. جيل من العمالقة وجيل من األقزام

فاألبناء عند الوالدين القصار يولدون طوال ، واألبناء عند الوالدين الطوال يولدون قصار الطول ، زيادة على .

ذلك فإن انحراف طول األبناء هو أقل من من انحراف طول والديهم عن الطول المتوسط في العينة المدروسة

الحركة في اتجاه معاكس، ) TO REGRESS( قالطون اإلنحدارهذه الحركة إلى الخلف أطلق عليها.

اإلنحدار نحو المتوسط العام في دراسة األطوال ثم انتشر استخدامه ( بعنوان 1885وأصدر كتابه المشهور سنة

.فيما بعدفي العلوم اإلقتصادية

Yن الظواهر المدروسة اإلنحدار دراسة العالقات اإلحصائية بين الظواهر وتحديد العالقة بيب فنعني

العالقة بين المتغيرالتابع ومتغير مستقل ومتغير أو ( والعوامل المفسرة لها في شكل معادلة رياضية

).مجموعة بين المتغيرات المستقلة في شكل معادلة رياضية

يقسم اإلنحدار إلى قسمين : أنواع اإلنحدار

. العالقة بين ظاهرتين فقط :اإلنحدار الخطي -1

=AX+B Y حيث Y ، متغير تابع Xمتغير مستقل).A ،B ( ثوابت

العالقة بين أكثر من ظاهرتين ، حيث ظاهرة تابعة والظواهر األخرى مستقلة :اإلنحدار المتعدد -2

.

Y=A1X1+ A2X2+....+B

)البسيط بطريقة المربعات الصغرى( تقدير معادلة اإلنحدار الخطي

regression par la methode des moindres carreéEstimation du droite de

لدراسة العالقة بين ظاهرتين يمكن تكوين فكرة مبدئية عن نوع العالقة وقوتها باستخدام مايعرف

.باإلنتشار

فإذا كانت لدينا الظاهرتين

X=(x1.x2..xn)و Y=(y1.y2..yn) فإن اإلنتشار يمكن أن يأخذ واحدا من بين األشكال

:الثالثة اآلتية

- 84 -

(A) ) b ( (c)

:وواضح من الشكل

)A( أن العالقة طردية بين المتغيرين) (Y,X

)B( أن العالقةعكسية بين المتغيرين) (Y,X

)C( عالقة بين المتغيرين أن التوجد) (Y,X.

:ويمكن تقدير أن هناك عالقة خطية بين الظاهرتين يمكن وضعها في شكل معادلة من الدرجة األولى

Y i=AX i+B

وواضح أن جميع النقاط التنتمي إلى المستقيم المراد تقديره وبالتالي تكون المعادلة متبوعة بخطأ

)الفارق( بسيط

Y:قية والقيمة المقدرة ومنهاإلنحراف بين القيمة الحقي i=AX i+B+Ei

Y

X

- 85 -

Yi=AX :من الشكل نالحظ أن المستقيم المقدر i+B+EiومنهEi=[Y i-(AX i+B)] وواضح أنه

.تكون قيمها موجبة وأسفله سالبةإذاكانت اإلنحرافات فوق المستقيم

نستعين بطرقة المربعات الصغر ى والتي ترتكز على الفرضيتين ) B وA(فلحساب الثوابت

:اآلتيتين

Yi=AX :العالقة خطية بين المتغيرين -1 i+B+Ei.

ΣE2 =0.مجموع مربعات اإلنحرافات يساوي الصفر-2

X على Yتقدير معادلة انحدار -1

Y: متغير مستقل Xومتغير تابع Yأي i=AX i+B+Ei ومنه

Ei=(yi-Axi-B) , Σ Ei=Σ(yi-Axi-B) , Σ Ei2 =Σ(yi-Axi-B) 2 =0

Σ Ei2 =Σ[(yi-Axi-B) (yi-Axi-B)] =0 ,

Σ Ei2 =Σ(yi2 - 2Axiyi -2Byi +A2 xi2 +2ABxi + B2 ) =0

:نجد)BوA(وباإلشتقاق الجزئي بالنسبة لكل من

∂ΣE2 /∂A=Σ(-2XiYi +2AX 2 +2Bxi) =0 ,-2Σ(XiYi)+2A ΣX2 + 2BΣXi =0

: 2بالقسمة على

-Σ(XiYi)+ A ΣX2 + BΣXi =0

N1ومنه المعادلة الطبيعية األولى

Σ(XiYi)= A ΣX2 + BΣXi

∂ΣE2 /∂B= Σ(-2Yi+2Axi+2B)=0 , ∂ΣE2 /∂B=-2 ΣYi+2A Σ xi+2NB=0

: 2بالقسمة على

N2:المعادلة الطبيعية الثانية

- 86 -

- ΣYi+A Σ xi+NB=0 , Σyi=A Σ xi+NB

).BوA(نحصل على الثوابت) N1،N2(من المعادلتين

N2:المعادلة الطبيعية الثانيةمن

Σyi=A Σ xi+NB

Nبالقسمة على

Σyi/N=A Σ xi/N+NB/N

:ومنه

Y=AX+B, B=Y-AX

N1 في المعادلة Bوبتعويض قيمة

Σ(XiYi)= A ΣX2 + BΣXi

Σ(XiYi)= A ΣX2 + (Y-AX )ΣXi

:وبإجراء بعض العمليات الرياضية نجد أن

A=[ΣXY/ - X Y]/ [ΣX2 -X2 ] =Cov(x,y)/Var(x)

Yعلى Xتقدير معادلة انحدار -2

Xi=A'yi+B' +Ei

:وبنفس الخطوات السابقة الذكرنحسب المعادالت الطبيعية

Σ(XiYi) = A' ΣYi 2 +B' ΣYi ..N1

Σ(Xi) =A' ΣYi +NB' .. N2

B'=X-A'Y:ومنه فإن

A'=[ΣXY/n -X Y]/[ΣY2 -Y2 ]=Cov(x,y)/Var(y)

- 87 -

: طلبة والمطلوب 10إليك أطوال وأوزان : مثال

مثلهما بيانيا على نفس المعلم؟-2أكتب معادلتي اإلنحدار؟ -1

Yi 2 Xi 2 XiYi الوزنY الطولX

2916 23716 8316 54 154

33264 24025 8990 58 155

3721 24336 9516 61 156

3969 25600 10080 63 160

4225 26244 10530 65 162

3721 26244 9882 61 162

4624 27889 11352 68 167

4624 29241 11628 68 171

5776 29929 13148 76 173

7396 32400 15480 86 180

44336 269624 108926 660 1640

X(: B+AX=Yعلى Y(كتابة معادلة إنحدار - 1

X=Σx/n=1640/10=164, Y=Σy/n=660/10=66

A=[ΣXY/n -X Y ]/[ΣX2 - X2 ]

A=(108926/10 - 10824)/(26924/10-26896) =(68.6)/(66.4) =1.0033

B=Y-AX= 66-(1.0033)(164)=66-169.412=-103.412

- 88 -

Y=1.0033X - 103.412

Y:('B+yi'A= XiعلىX(خط انحدار -2

A'=[ΣXY/n -X Y ]/[ ΣY2 -Y2 ]=(68.6)/(44336/10 -4356) =0.884

B'=X-A'Y = 164 -(0.884)(66)=105.656

Xi=0.884Yi+105.656: ومنه معادلة اإلنحدار

:التمثيل البياني-3

a- خط إنحدار)Y علىX:( .412 103-X .00331= Y

155 100.1 0 Xi

56.7 0 -103.416 Yi

b- خط إنحدار )Xعلى Y :(.656105+Yi.8840=Xi

158.696 0 105.656 Xi

60 -119.52 0 Yi

Y

X

- 89 -

فاإلرتباط .جبتين مو'A وA حادة وصغيرة ، وأن معاملي التوجيهθمن الرسم البياني نالحظ أن الزوية

).Y وX(طردي قوي بين

:origine'Changement Dحساب معامل اإلنحدار بطريقة المتغيرات المركزية

: X على Y خط إنحدار-1

Y=AX +B+Ei ،تغير اإلحداثيات والتعويض عن القيم األصلية باإلنحرافات عن المتوسط الحسابي

:ة اإلنحدار تصبح علىالنحو اآلتي ومنه فإن معادل X=x-X وY=y-Y: حيث

Y=AX+Ei

Σ(E2 )=Σ(Y-AX) 2 =0, Σ[Y 2 -2AXY+A 2 X2 ]=0, ∂ΣE2 /∂A=

Σ(-2AXY+2AX 2 )=0

ΣXY=A ΣX2 , A= ΣXY/ ΣX2

Y=AX: وبالتالي

:Y علىXخط إنحدار -1

X=A'Y+Ei, بنفس الطريقةالسابقة: A'= ΣXY/ ΣY2

نفس المثال السابق أكتب معاداتي اإلنحدار بطريقة المتغيرات المركزية؟: مثال

Y2

X2

XY

Y=(y-Y)

X=(x-X)

y

x

144 100 120 -12 -10 54 154

64 81 72 -08 -09 58 155

25 64 40 -5 -08 61 156

09 16 12 -3 -04 63 160

01 4 02 -1 -02 65 162

- 90 -

25 4 10 -5 -02 61 162

4 09 06 2 03 68 167

4 49 14 2 07 68 171

100 81 90 10 09 76 173

400 256 320 20 16 86 180

776 664 686 660 1640

X(: AX=Y علىY( إنحدار معادلةكتابة -1

X=Σx/n=1640/10=164, Y=Σy/n=660/10=66، A= ΣXY/ ΣX2 ,

ومنه1.033=686/664

Y=1.033X

Yi-66=1.033(xi-164)

yi=1.033xi-103.412

Y:(Y'A= XعلىX(خط انحدار -2

A'= ΣXY/ ΣY2=686/776=0.884

xi-164=0.884(y-66)

xi=0.884yi+105.656

العالقة بين معامل اإلنحدار ومعامل اإلرتباط

) A =R(δ y /δ x )1

2)A'= R(δx /δ y )

- 91 -

3) R = A.A'

وأن المتوسط الحسابي ) 2،0.89(هماXإذاعلمت أن المتوسط الحسابي واإلنحراف للظاهرة : مثال

:المطلوب ).1.67،8( هما Yواإلنحراف المعياري للظاهرة

لم متعامد ومتجانس؟إذاعلمت أن تمثيل المعادلتين بيانيا على مع-2 حساب معادلتي اإلنحدار ؟ -1

R=0.8

:حل

X :B +AX=Yعلى Yخط إنحدار -1

A =R(δ y /δ x ) =0.8(1.67/0.89)=1.50

B=Y-AX =8-(1.5)(2)=5

Y=1.5X+5

Y :'B+yi'A=Xiعلى Xخط إنحدار -2

A'= R(δx /δ y )=0.8(0.89/1.67)=0.42

B'=X-A'Y =2-(0.42)(8)=-1.36

X=0.42Y-1.36

Y

X

- 92 -

Regression Multiple.اإلنحـــــــــــدار المتعدد

وقد تعترضنا مسائل .فيما سبق درسناخط اإلنحدار بطريقة المربعات الصغرى بمتغيرين فقط

ريقة التي عالنابها ففي هذه الحالة تعالج المسائل بنفس الط) .ثالثة فأكثر(تتضمن أكثر من متغيرين

X ,Y: (مسائل ذات متغيرين ، وعلى سبيل المثال إذاكانت لدينا مسألة ذات ثالثة متغيرات هي

Z , (يمكن صياغتها في شكل المعادلة اآلتية:

Z= A+ BX +B'Y

وتعميم طريقة المربعات الصغرى ، يمكن أن نتكلم عن Yو Xعلى Zالتي تسمى بمعادلة إنحدار

. الذي يقرب البيانات ΣE2وى أصغر التربيعات مست

بنفس الطريقة المحصل عليها في تقدير معادلة اإلنحدار ) :Y,X( على Zتقدير معادلة إنحدا ر

: الخطي، نجد المعادالت الطبيعية الثالثة

ΣZ=NA+BΣX+B'ΣY........N1

Σ(Z,X)=AΣX+BΣX2 +B'Σ(X,Y) ... N2

Σ(Y,Z)=AΣY+BΣ(X,Y)+ B'ΣY2 ...N3

:إنطالقا من المعادالت الثالثة السابقة نلجأإلى عدة طرق )A,B' ,B(لحساب الثوابت

. طريقة مقلوب مصفوفة-3. طريقة كرامر-2 طريقة التعويض -1

، كمية األسمدة ) X(التابع لكمية األمطار المتساقطة )Z(الجدول اآلتي يبين اإلنتاج من الحبوب :مثال

.إلثني عشرة قطعة أرضية)Y(المستعملة

؟)X,Y( على Z أكتب معادلة إنحدار -1:المطلوب

X=40,Y=10 عندما تكون Zماهي قيمة -2

- 93 -

: حل

XY ZY ZX Y2 X2 Z2 Y X Z القطع

456 512 3648 64 3249 4096 8 57 64 1

590 710 4189 100 3481 5041 10 59 71 2

294 318 2597 36 2401 2809 6 49 53 3

682 737 4154 121 3844 4489 11 62 67 4

408 440 2805 64 2601 3025 8 51 55 5

350 406 2900 49 2500 3364 7 50 85 6

550 770 4235 100 3025 5929 10 55 77 7

432 513 2736 81 2304 3249 9 48 57 8

520 560 2912 100 2704 3136 10 52 56 9

252 306 2142 36 1764 2601 6 42 51 10

732 912 4636 144 3721 5776 12 61 76 11

513 612 3876 81 3249 4624 9 57 68 12

5776 7796 40830 976 34843 48139 106 634 753 Σ

: إنطالقا من المعادالت الطبيعية

ΣZ=NA+BΣX+B'ΣY........N1

Σ(Z,X)=AΣX+BΣX2 +B'Σ(X,Y) ... N2

Σ(Y,Z)=AΣY+BΣ(X,Y)+ B'ΣY2 ...N3

:ومن الجدول نعوض عن المتغيرات بالقيم المقابلة لها في الجدول

753=12A+643B+106B'

- 94 -

40830=643A+34843B+5779B'

6796=106A+5779B+976B'

.نحل هده المعادالت بطريقة من بين الطرق الثالثة السابقة الذكر

:ابتوبعد الحل بطرقة التعويض نحصل على الثو

A=3.6512, B=0.8546, B'=1.5063

:وبهذا يمكن كتابة

: معادلة اإلنحدار على النحو اآلتـــي - 1

Z=3.6512+0.8546X+1.5063Y

X, 10=Y=40عندما : Z حساب اإلنتاج -2

Z=3.6512+34.184+15.063=52.9

الخطأ المعياري للتقدير على أساس خطوط اإلنحدار

إلنحدار تفيدنا في تقدير قيمة إحدى الظاهرتين مقابل أية قيمة تتخذها الظاهرة إن معادالت خطوط ا

غير أنه في الواقع .R=1الثانية، وعملية التقدير التكون دقيقة إال عندما تكون العالقة اإلرتباطية

بقة العملي يستحيل أومن النادر الوصول إلى هذه العالقة بين الظاهرتين لتصبح القيم الحقيقية مطا

للقيم المقدرةوتقع على خط اإلنحدار ، وبتالي كلما كانت نقاط اإلنتشار قريبة من خط اإلنحدار ،

.يكون التقدير المبني على خطوط اإلنحدار دقيقا

.ويقاس تشتت القيم حول خط اإلنحدار بمقياس يعرف بالخطأ المعياري للتقدير

:يحسب من اآلتيةالعالقة: x/y(δ(الخطأ المعياري -1

δ (y/x)= Σ(y-ye )2/N

- 95 -

: من اآلتيةالعالقةيحسب : y/x(δ ( الخطأ المعياري للتقدير -2

δ (x/y)= Σ(x-x e )2/N

:حيث

N :عدد المشاهدات

Y : القيم الحقيقية للظاهرة

Ye : القيم المحسوبة من خط إنحدارY/X

X :حقيقية للظاهرةالقيم ال

Xe : القيم المحسوبة من خط إنحدا ر X/Y

والمطلوب : Yو X إليك الظاهرتين :مثال

أكتب معادلتي اإلنحدار؟-1

ماهو خطأ تقديرك لكل معادلة على حدى؟-2

:حل

X(: B+AX=Y علىY(كتابة معادلة إنحدار - 1

A=[ΣXY/N –X Y]/[ΣX2 - X2 ]=6/5=1.2

B=Y- AX=7.5-(1.2)(5)=1.5

Y=1.2X+1.5

X=20/4=5, Y=30/4=7.5,

- 96 -

:الخطأ المعياري للتقدير

δ (y/x)= Σ(y-ye )2/N=0.2/4=0.22

Y :'B+yi'A=Xiعلى Xخط إنحدار -2

A'=[ΣXY/N –X Y]/[ΣY2 -Y2 ]=6/7.25=0.82

B'=X-A' Y=5-(0.82)(7.5)=-1.15

: الخطأ المعياري للتقدير

0.1396/4=0.18=δ (x/y)= Σ(x-x e )2/N

(X-X e)2 Xe (Y-Y e )

2 Ye Y2 X2 XY Y X

0.0169 2.13 0.01 3.9 16 4 8 04 2

0.0529 3.77 0.09 6.3 36 16 24 06 4

0.0529 6.23 0.09 8.7 81 36 54 09 6

0.0169 7.87 0.01 11.1 121 64 88 11 8

0.1396 0.2 ----- 254 120 174 30 20

العالقة بين معامل اإلرتباط والخطأ المعياري للتقدير

):Xعلى Y(حالة المعادلة -1

R = 1 -[δ(Y/X)]2 /δ2 y

):Yعلى X(حالة المعادلة -2

R = 1 -[δ(x/y)]2 /δ2

x

- 97 -

لسادس الفصل ا

تحليل السالسل الزمنية

- 98 -

Annalyse Des Series Chronologiqueتحليل السالسل الزمنية

A - عبارة عن مجموعة متتاليةمن المشاهدات تؤخذ على فترات زمنية متساوية، فعلى سبيل : تعريف

.جانفي من كل سنة1لجزائر في تطور عدد السكان في ا -:المثال

.عددالمواليد السنوي في الجزائر -

.عدد المسافرين في القطار يوميا -

.عدد التالميذ الحاصلين على البكالوريا سنويا -

.إلخ ، وإلى غير ذلك من األمثلة الواقعية في حياتنا اليومية......اإلنتاج السنوي من البترول -

B-ن السلسلة الزمنية من متغيرين إ ثنين هما تتكو: مكونات السلسلة الزمنية :

.)X.(إلخ.......... أيام ، ساعات ، فصول ، سنوات ، :الزمن -1

.)Y(وحدات الظاهرة المدروسة : المشاهدات -2

C-إن الهدف من دراسة السالسل الزمنية هو: أهداف تحليل السالسل الزمنية :

حدى الممشاكل األكثر صعوبة التي تواجه المسيرين إن إ: إعداد التقديرات والتنبؤات بالمستقبل -1

أي كيفية (على مختلف المستويات هي معرفة وقت وكيفية تنشيط مؤسسة ما أو فرع من فروع اإلنتاج

).تقدير اإلستثمارات ؟

إن اإلجابة على هذاالسؤال يفترض معرفة تقديرية للحاجيات في المستقبل ، فمثال معرفة وضعية اإلنتاج

إن أحد المقاييس .في المستقبل )عناصر اإلنتاج(ال يتطلب تقدير اإلحتياجات إلى المواد األولية مستقب

وذلك باإلعتماد على األوضاع الحالية .اإلحصائية للتقدير المستعملة هو اإلتجاه العام للسلسلة الزمنيية

.لتقديرها مستقبالسواءا على األمد المتوسط أوالبعيد

من خالل حساب اإلتجاه العام ، وإعداد رقم قياسي ): بناء نموذج إحصائي(صائيتحديد الوضع اإلح-2

فالمسير يستطيع المقارنة بين تصرفاته في . للتغيرات الموسمية نستطيع الحصول علىنموذج إحصائي

فمثال إذاكانت مبيعاته أكبر من النموذج فيجب إعتبار هذه الزيادة .المشروع بهذا النموذج اإلحصائي

.وعلى األغلب إذن مؤقتة) مرتبطة باألوضاع اإلقتصادية(نها من طبيعة دورية كأ

إن إحدى النتائج األكثر أهمية لتحليل السالسل الزمنية هو قياس : مراقبة تنفيذ البرامج عبر الزمن-3

ء ، التقلبات الموسمية، فعلى سبيل المثال مبيعات سلعة ما ترتفع في فصل الصيف وتتباطأ في فصل الشتا

فيجب أن توزع تقديرات المبيعات لهذه السلعة في السنة القادمة بين اإلثني عشرة بشكل يتوافق مع الرقم

- 99 -

القياسى للتغيرات الموسمية ، وبالتالي القرارات الواجب اتخاذها هو وجود الكميات الضرورية من

.والتخزين إلى أقل مايمكن السلعة في كل شهر مع تخفيض تكلفة اإلنتاج

إن حركية النمو اإلقتصادي التي توصل : التحليل اإلقتصادي وصياغة مختلف القرارات -4

إليهااإلقتصاديون كلها عن طريق تحليل السالسل الزمنية ، والتقلبات اإلقتصادية من فترة ألخرى مثال

.دراسة جوكالر ، كتسن، روبنسون ، وغيرهم(

D-إعتبار أي سلسلة زمنية مكونة من أربع مركبات من المفيد : مــــركبات السلسلة الزمنية

:أساسية هي

التغير طويل األمد في مستوى السلسلة الزمنية ، وترجع أهمية قياس اإلتجاه العام في : اإلتجاه العام-1

السالسل الزمنية إلى الرغبة في معرفة نمط نمو الظاهرة محل الدراسة مع الزمن ، ثم محاولة استخدام

نبؤ بقيمة الظاهرة في المستقبل، إضافة إللى ضرورة قياس اإلتجاه العام كخطوة في دراسة ذلك في الت

سنعود إلى هذا الموضوع ( المركبات األخرى للسلسلة ، ويتم توفيق منحنى اإلتجاه العام بعدة طرق

).بالتفصيل

التي تتكون منها وحدة مجموعة التغيرات المرتبطة باإلختالفات بين المواسم : التغيرات الموسمية -2

ذلك أن محددات هذه المواسم من ) .قديكون طولها سنة أو شهرا أو يوما ، تبعا لطبيعة الظاهرة (زمنية

ظروف مناخية ، أو عادات وتقاليدإجتماعية تؤثر في أنماط الظوهار اإلقتصادية واإلجتماعية التي تمثل

عرف على النمط الموسمي للبيانات واستخدام ذلك بسالسل زمنية ، وتهدف دراسة هذه التغيرات إلى الت

في عملية التنبؤ بقيم السلسلة في المدى القصير ، ويمكن قياس تأثير المواسم بطرق متعددة على سبيل

).الطريقة الخام ، طريقة النسب إلى المتوسطات المتحركة(المثال

إلقتصادية وتقابل الدورات المتعاقبة من وهي التغيرات التي تنشأ في الظواهر ا: التغيرات الدورية -3

الرخاءواإلنكماش، ويهدف قياس هذه التغيرات إلى التعرف على نمط تأثير الدورة واستخدام ذلك في

ومن ثم فإن الشخص المهتم بتحليل الدورة يجب أن يكون على دراية .التنبؤ بقيم الظاهرة في المستقبل

ون الدورات اإلقتصادية فيما يلي كما يلخص اإلقتصادي. المختلفة بالظروف اإلقتصادية العامة واتجاهاتها

.سنة 11و07مدتها تتراوح بين : ) دورة جوكالر (الدورة التقليدية -أ

.شهرا 40مدتها : ) دورات كيتشن( الدورات الصغرى- ب

). سنة 18 إلى 17( تحتوي على دورتين تقليديتين وتصل مدتها : الدورة الكبرى - ج

- 100 -

غير أنه بعد الحرب العالمية الثانية إختفى أثر الدورات التقليدية التي كانت موجودة في القرن التاسع *

كما يسلم اإلقتصاديون الليبيراليون ،وخاصة تحليل كل من مارشال ، روبنسون ، أنه اليمكن ( عشر

.حاليا تصور أزمة كبرى

ات طابع إستثنائي اليمكن توقعها ، واليمكن ألي نظرية يتعلق األمر بتغيرات ذ:التغيرات العرضية -4

أن تأخذها باإلعتبار ففي اإلنتاج الزراعي تعزى الزيادة أو النقصان إلى األحوال الجوية، الحرائق

أما في اإلنتاج الصناعي فتظهر في اإلضرابات ، إدخال طرق إنتاج جديدة ، إدخال تكنولوجيا .وغيرها

.جديدة

ــاه العامتحليل اإلتجــ

يمكن تحليل اإلتجاه العام بغية تحديد التطور العام لفرع من فروع النشاط أو لمشروع من نوع خاص أو

يتم تحليله من خالل توفيق منحنى اإلتجاه العام للسلسلة الزمنية ، وهناك عدة .اإلقتصاد الوطني برمته

أساليب للتوفيق

)Ajustement.( وهي:

الطريقة البيانية-1

مثل هذه الطريقة في رسم النقاط الوسيطية على يمر في الوسط بين نقاط المنحنى الحقيقي األكثر تت

.إرتفاعا واألكثر إنخفاضا

-1949(للفترة 1952فالعام 100نعتبر الرقم القياسي إلنتاج النسيج في دولة ما على أساس : مثال

1959.(

1959 1958 1957 1956 1955 1954 1953 1952 1951 1950 1949 السنوات

الرقم

القياسي

95 107 110 100 106 113 110 119 132 128 123

- 101 -

الطريقة اآللية -2

: تنقسم بدورها لعدة طرق

a- تتمثل في تقسيم السلسلة إلى قسمين متساويين ):الوسط النصفي ( طريقة المتوسطالحسابي

للزمن، MEجزئيتين إلى نقطتين نحسب الوسيط بحيث نختصر المجموعتين ال) مجموعتين جزئيتين (

.وبالتالي نحصل على النقطتين الوسطيتن لقيم الظاهرةXوالمتوسط الحسابي

A(M E .A ,X A) B(ME B , XB)

نفس المثال السابق المطلوب توفيق اإلتجاه العام بطريقة الوسط النصفي ؟: مثال

Bالفترة Aالفترة

الرقم القياسي السنوات القياسيالرقم السنوات

1949 95 1955 110

1950 107 1956 119

1951 110 1957 132

1952 100 1958 128

1952 106 1959 123

1953 113

A(M E .A=(51,52) ,X A=105.16) B(ME B =57 , XB=122.4)

.باللون األحمر70التمثيل البياني على الصفحة

b-تتمثل هذه الطريقة في تقسيم السلسلة إلى مجموعات جزئية أكبرمن :توسطات المتدرجة طريقة الم

نجد .عناصر لكل مجموعة عناصر منفصلة عن بعضها البعض 3 ، وعادة ما تقسم إلى N وأقل من 2

Xالوسيط لمتغير الزمن

.Yوالمتسط الحسابي لمتغير الظاهرة

. عناصر3ط المتدرجة على أساس أكتب النقا-1: نفس المثال السابق : مثال

.مثل هذة النقاط على معلم متعامد ومتجانس -3

1959 1958 1957 1956 1955 1954 1953 1952 1951 1950 1949 الزمن

الرقم

القياسي

95 107 110 100 106 113 110 119 132 128 123

النقاط

المتدرجة

A(50,104) B(53,106.3) C(56,120.3 D[(58,59),125.5

- 102 -

C-تتمثل هذه الطريقة في تقسيم السلسلة الزمنية إلى مجموعات جزئية : طريقة المتوسطات المتحركة

5عناصر أو 03تكون بينها عناصر مشتركة ، وعادة ما تقسم إلى أعداد فردية لكل مجموعة أي

وسط عناصر في المجموعة الجزئية ، نحصل على النقاط المتحركة ،بحيث نجد الوسيط للزمن ، والمت

.الحسابي لقيم الظاهرة

نفس المثال السابق : مثال

عناصر؟05أكتب النقاط المتحركة على أساس -1

مثل النقاط المتحركة بيانا؟ -2

عناصر05كتابة النقاط المتحركة على أساس -1: حل

1959 1958 1957 1956 1955 1954 1953 1952 1951 1950 1949 الزمن

123 128 132 119 110 113 106 100 110 107 95 الرقم القياسي

,52 51,103.6 النقاط المتحركة

107.2

53,

107.8

54,

109.6

55,

116

56,

120.4

57,122

من خالل دراسة الطرق السابقة الذكر النستطيع تحديد خط اإلتجاه العام ، وبالتالي : حظة ها مة مال

.النستطيع التنبؤ بقيمة الظاهرة مستقبال

التحليليةالطريقة -3

والمتغير التابع Xتتلخص هذه الطريقة في اعتبار أن العالقة خطية بين المتغير المستقل الزمن

: هناك طريقتين BوA ولحساب الثوابت Y=AX+B:من الشكل ،Y) المشاهدات(

تتلخص هذه الطريقة في تقسيم السلسلة إلى مجموعتين مستقلتين ومتساويتين ومن : طريقة ماير-1

: ع الحصول على معادلتين وسيطيتيننستطي

Y1=AX1+B

Y2=AX2+B

Y=AX+B :، وبالتالي كتابة معادلة اإلتجاه العام (A,B)وبطريقة التعويض نحصل على الثوابت

لكن هذه الطريقة التقدر معادلة اإلتجاه العام احسن تقدير ، وخاصة أن التجارب الواقعية أثبتت ذلك مما

.دود ضيقة جدا تستخدم في حاجعله

- 103 -

:نفترض الفرضيتين اآلتيتين) B وA(فلحساب الثوابت : طريقة المربعات الصغرى-2

Yi=AX :العالقة خطية بين المتغيرين -1 i+Bi.

ΣE2 =0.مجموع مربعات اإلنحرافات يساوي الصفر-2

Y=AX+B, B=Y-AXومنه

A=[ΣXY/N –X Y]/[ΣX2 /N - X2 ]=Cov(x,y)/Var(x)

أكتب خط اإلتجاه العام بطريقة ماير؟-1: نفس المثال السابق :مثال

أكتب خط اإلتجاه العام بطريقة المربعات الصغرى؟-2

مثل المعادلتين بيانيا على معلم متعامد ومتجانس؟ -3

معادلة اإلتجاه العام بطريقة ماير -1 : حل

120.83=8.5A+B

103.6=3A+B

Y=3.13X+94.22:معادلة اإلتجاه العام بطريقة ماير:ومنه

X2 XY Y=AX+B Y X

1 95 95=1A+B 95 1

4 214 107=2A+B 107 2

9 330 110=3A+B 110 3

16 400 100=4A+B 100 4

25 530 106=5A+B 106 5

36 678 113=6A+B 113 6

49 770 110=7A+B 110 7

64 952 119=8A+B 119 8

81 1188 132=9A+B 132 9

100 1280 128=10A+B 128 10

121 1353 123=11A+B 123 11

506 7790 ------ 1243 66

- 104 -

: معادلة اإلتجاه العام بطرقة المربعات الصغرى -2

X=66/11=6, Y=1243/11=113

A=[ΣXY/N –X Y]/[ΣX2 /N - X2 ]=[7790/11-(6)(113)]/[506/11-36]

A=3.018

B=Y-AX=113-(3.018)(6)=94.9

Y=3.018X+94.9: ومنه معادلة اإلتجاه العام بطريقة المربعات الصغرى

التمثيل البياني -3

Y=3.13X+94.22 :خط اإلتجاه العام بطريقة ماير -1

4 2 0 X

106.74 100.4 94.22 Y

X.0183=Y+994.: خط اإلتجاه العام بطريقة المربعات الصغرى-2

4 2 0 X

107.33 100.9 94.9 Y

: لمنحنى البياني ا

الرقم القياسي

X السنوات

- 105 -

لسابع الفصل ا

األرقام القياسية

- 106 -

Les Indicesاألرقام القياسية

زمنية ألخرىأو في مكانين مختلفين كأسعار كثيرا مانحتاج إلى تتبع التغير في ظاهرة معينة من فترة:تمهيد

وقد نحتاج إلى مقارنة ظاهرة أو أكثر في زمان أو مكان .السلع ، أو عدد العمال في المؤسسة أو عدد السكان

.معينين يمثيلتها في مكان أو زمان آخر ، فتجرى هذه المقارنة بإيجاد نسبة تعرف بالرقم القياسي

أداة لقياس التغير النسبي في الظواهر من وقت آلخر أو من مكان آلخر ، هو: تعريف الرقم القياسي

وأبسط شكل يمكن أن يتخذه الرقم القياسي هو عبارة عن نسبة مئوية تعبرعن قيم الظاهرة في سنة معينة تد

نة عى سنة المقارنة أو في مكان آخر يدعى مكان المقارنة بداللة قيمتها في سنة أخرى سابقة لها تدعى بس

.األساس أو في مكان آخر يدعى مكان األساس

الرقم القياسي I (p) سعر المقارنة ،P1سعر األساس ، : P0إذا كان

I (p) =[P1 /P0 ].100

ج .د200هو 2000ج وأصبح سعره سنة . د80 هو 1999 إذاكان سعر الكلغ الواحد من الزيتون سنة:مثال

هي سنة األساس ؟1999 الكلغ الواحد من الزيتون على إعتبار أن فماهو الرقم القياسي لسعر.

:حل

I (p) =[P1 /P0 ].100

I (p) =[200 /80 ].100=250%

∆=I (p)-100%=250-100=150%

إذاكانت :مالحظة

.التغير بالزيادة موجبة يدل على∆

.التغير بالنقصان سالبة يدل على∆

SynthetiquesLes Indicesتركيب األرقام القياسية

:من المسائل الهامة التي يجب أخذها بعين اإلعتبار عند تركيب األرقام القياسية مايلي

- 107 -

.وجود البيانات وإمكانية المقارنةفيما بينها -1

.اختيار العناصر المكونة للرقم القياسي -2

.التي تكون على أساسها المقارنة )أو األماكن (إختيار الفترات الزمنية -3

.يات المناسبة التي تقيس األهمية النسبية للعنا صرالمختلفةإختيار الكم -4

.إختيار القانون المناسب لتركيب الرقم القياسي -5

كما في الجدول اآلتي 1990و 1995يإذاكانت نفقات المعيشة لطبقة من العمال بين سنت: مثال

1990أسعار سنة النفقات

ج.د

1995أسعار سنة

ج.د

290 70 غــــذاء

120 30 سمالب

70 20 سكن

70 30 نفقات أخرى

550 150 المجـــــموع

؟1995سنة األساس فماهو الرقم القياس لتكاليف المعيشة لسنة1990 إذاعتبرنا سنة

تكاليف المعيشة لسنة )/ (1995تكاليف سنة المقارنة ([= الرقم القياسي لتكاليف المعيشة : حل

100 ])األساس

%366=150/550

∆=I(p)-100%=366-100=266%

، إذن يجب األخذ بعين اإلعتبار هذه النسبة %معنى ذلك أن نفقات المعيشة خال ل سنوات إرتفعت بنسية

.عند تحديد األجور لمواجهة غالء المعيشة

- 108 -

فترة األساس سنتين أو أكثر

ففي .ترة المقارنة يتحكم في اختيار سنة األساس عدة إعتبارات منها الثبات اإلقتصادي والقرب عن ف

هذه الحالة يجب أن يكون الرقم القياسي لفترة األساس هو المتوسط الحسابي لألرقام القياسية المكونة

.لتلك السنة

.1996إلى 1987 الجدول اآلتي يوضح اإلنتاج ألحدى المصانع من :مثال

1996 1995 1994 1993 1992 1991 1990 1989 1988 1987 السنة

األنتاج

106

83 87 82 93 100 103 112 104 116 119

).1989-1987(على إعتبار فترة األساس بين 1996حساب الرقم القياسي لإلنتاج لسنة : المطلوب

نحسب إنتاج فترةاألساس:حل

Q0 =[(Q87 +Q88+Q89 )]/3=(83+87+82)/3=252/3=84

ومنه

I(Q)1996 =[Q1/Q0 ].100=(119/84)100=141.6%

∆=I(Q)-100%=141.6-100=41.6%

أساليب تركيب األرقام القياسية

يتركب الرقم القياسي من قيمة ظاهرة أو أكثر في أزمنة أو أمكنة مختلفة وكل قيمة من هذه القيم تدخل

هناك عدة طرق لتركيب . في الرقم القياسي طبقا للهدف الذي يكون الرقم القياسي حسب من أجله

.األرقام القياسية

يعتمد هذا األسلوب على ظاهرة واحدة وتغيرها من فترة ألخرى : رقام القياسية البسيطةأسلوب األ-1

فعند حساب السعر المكون لمستوى المعيشة النأخذ بعين .دون الخذ بعين اإلعتبار العوامل األخرى

.اإلعتبار الكميات المستهلكة

:لحساب الرقم القياسي البسيط هناك طريقتين

a-0([100 :ية الطريقة التجميعP(Σ)/nP(Σ[=) P.A.S(I

- 109 -

b-0([ 100:الطريقة النسبية P/n P ([=)P.R.S(I

M

.عددالسلع الداخلة في تركيب الرقم القياسي mحيث

1998و 1995هلكة في سنتي إليك أسعار بعض السلع اإلستهالكية والكميات المست :مثال

الكمــــيات السلعة )ج.د(الســـــــــــــــــــعر

1995 1998

2300 1500 كغ50 الدقيق

120 90 كغ3 السكر

34 30 كغ1 األرز

سنة األساس؟1995تركــــيب الرقم القياسي البسيط لألسعــــارعلى إعتبار أن : المطلوب

:حل

0P(Σ)/nP(Σ[=) P.A.S( I([ 100 :التجميعي لألسعارالرقم القياسي البسيط -1

=(2300+120+34+)/(1500+90+30)100=(2454/1620)100=151.48%

∆=I(S.A.P)-100% =151.48-100=51.48%.

: الرقم القياسي البسيط النسبي لألسعار -2

I (S.R.P)=[ (Pn /P0 )]100

M

=[(2300/1500 +120/90 + 34/30 )/3]100

=[(1.53+1.33+1.13)/3]100=(3.99/3)100 = 133%

∆=I(S.R.P)-100% =133-100=33%.

- 110 -

ي األسعار واحدة ، اليمكن استخدام طريقة التجميع إال إذا كانت وحدات النقد المستخدم ف-1 : مالحظات

ولكن .وجب تحويلها إلى نفس الوحدات قبل التجميع .إلخ ...فلو كان بعضها بالدينار واآلخر بالدوالر

.الضرورة لهذات التحويل عند طريقة النسب

يبلغ الضعف ،وسعر األرز إزداد بمقدار إذا ألقينا نظرة على المثال السابق يتبين أن سعر الدقيق لم-2

ومع ذلك الرقم القياسي النسبي دل على ا، األسعار ارتفعت . عر السكر زاد بنسبة قليلة أيضا قليل ، وس

بنسبة أ قل من الرقم من الرقم التجميعي ، وهذا راجع ألن سعر سلعة واحدة يؤثر في الرقم القياسي

. الترجيجلتفادي هذا التأثير نلجأ ألسلوب آخر لتركيب األرقام القياسية هو أسلوب.بصورة عامة

les Indices Pondereésاألرقام القياسية المرجحـــة-2

إن الرقم القياسي قد يتأثر بشكل كبير بإحدى المواد الداخلة في تركيب ذلك الرقم ، ولعالج مثل هذا

عددية تتناسب مع أهميتها في )الكمية (الوضع تعطى لكل مادة تدخل في تركيب الرقم القياسي أهمية

وهذا يقودنا إلى أسلوب آخر من أساليب تركيب األرقام القياسية ، وهو أسلوب األرقام .ياة السوق أو الح

.أساليب إلعطاء الكميات لألسعار3المرجحة،هناك

):Laspeyreرقم السبير (المرجح بكميات سنة األساس -1

سنة المقارنة أسعر وكميا ت ) P1 ،Q1(أسعار وكميات سنة األساس ، وكانت ) P0 ،Q0(إ ذاكانت

:فإن رقم السبير يأخذ العالقة اآلتية

a- رقم السبير النسبي المرجح لألسعار:

R.L.I (p) =Σ[(P1 /P0 )Q0%]100

b- رقم السبير التجميعي المرجح األسعار :

A.L.I (p) = Σ[(P1 /Q0 )] 100

Σ[(P0 /Q0 )]

):Paascheرقم باش (قارنة لمرجح بكميات سنة الما -2

أسعار وكميا ت سنة المقارنة ) P1 ،Q1(أسعار وكميات سنة األساس ، وكانت ) P0 ،Q0(إ ذاكانت

:فإن رقم باش يأخذ العالقة اآلتية

- 111 -

a- رقم باش النسبي المرجح لألسعار:

R.P.I(p) =Σ[(P1 /P0 )Q0%]100

b- رقم باش التجميعي المرجح األسعار :

A.P.I(p) = Σ[(P1 /Q1 )] 100

Σ[(P0 /Q1 )]

رقم مارشال (المتوسط الحسابي–لمرجح بكميات سنة المقارنة وبكميات سنة األساس ا -3

Marchal:(

أسعار وكميا ت سنة المقارنة ) P1 ،Q1(أسعار وكميات سنة األساس ، وكانت ) P0 ،Q0(إ ذاكانت

:آلتيةفإن رقم مارشال يأخذ العالقة ا

a- رقم مارشال النسبي المرجح لألسعار:

R.M.I (p) =Σ[(P1 /P0 )(Q0 +Q1 )%]100

2

b- رقم مارشال التجميعي المرجح األسعار :

A.M.I (p) = Σ[(P1 /Q1+Q0 )] 100

2

Σ[(P0 /Q1 +Q0 )]

2

رقم (المتوسط الهندسي–رنة وبكميات سنة األساس لمرجح بكميات سنة المقا ا -4

):FISCHERفيشر

أسعار وكميا ت سنة المقارنة ) P1 ،Q1(أسعار وكميات سنة األساس ، وكانت ) P0 ،Q0(إ ذاكانت

:فإن رقم فيشر يأخذ العالقة اآلتية

- 112 -

a- رقم فيشر النسبي المرجح لألسعار:

R.F.I(p) = (R.L.I(p)) ( R.P.I(p)

b- رقم السبير التجميعي المرجح األسعار :

A.F.I (p) = (A.L.I(p) )(A.P.I(p) )

.2000و1990 إليك أسعار وكميات لمجموعة من المواد بين سنتي :مثال

المادة 2000عــــــــــــــــــــام 1990عــــــــــــــــام

P0 Q0 Q0% P1 Q1 Q1%

متوسط ال

(Q1+Q0)/2

المتوسط النسبي

(Q1+Q0)%/2

0.626 2850 0.627 3200 90 0.625 2500 50 القمح

0.219 1000 0.215 1100 170 0.225 900 105 العدس

0.153 700 0.156 800 225 0.150 600 150 األرز

%100 4550 %100 5100 %100 4000 المجموع

. حساب الرقم القياسي البسيط لألسعار -1 : المطلوب

.السبير ، باش، مارشال ، فيشر:حساب الرقم القياسي لألسعار مرجحا بالكميات-2

: الرقم القياسي البسيط لألسعار -1 :حل

a- 0([100 :الطريقة التجميعيةP(Σ)/nP(Σ[=) P.A.S(I

=(90+170+225)/(50+105+150)100=159 %

∆=I(S.A.P)-100%=159-100=59%

- 113 -

b-0([ 100:الطريقة النسبية P/n P ([ =)P.R.S(I

M

=[(90/50)+(170/105)+(225/150)]100 =(1.8+1.61+1.5)100=163%

3 3

∆=I(S.R.P)-100%=163-100=63%

:الرقم القياسي المرجح لألسعار -2

a- النسبي المرجح لألسعار السبيررقم :

R.L.I(p) =Σ[(P1 /P0 )Q0%]100

=[(90/50)0.625 +(170/105)0.225 +(225/150)0.15 =171.4

∆=R.L.I(P)-100%=171.4-100=71.4%

b- السبير التجميعي المرجح األسعار رقم :

A.L.I (p) = Σ[(P1 /Q0 )] 100

Σ[(P0 /Q0 )]

=[(90x2500 +170 x900 +225x600)/(50x2500 +105x900 +600x150)]100=165

∆=A.L.I (P)-100%=165-100=65%

a- النسبي المرجح لألسعار باشرقم :

A.P.I(p) =Σ[(P1 /P0 )Q0%]100

=[(90/50)0.627 +(170/105)0.215 +(225/150)0.156]100%=171.06%

∆=R.P.I(P)-100%=171.06-100=71.06%

- 114 -

b- باش التجميعي المرجح األسعار رقم :

A.P.I(p) = Σ[(P1 /Q1 )] 100

Σ[(P0 /Q1 )]

=[(90x0.627)+(170x0.215) +(225x0.156)] 100 =165.3

[(50x0.627)+(105x0.215)+(150x0.156)]

∆=A.L.I (P)-100%=165.3-100=65.3%

a- النسبي المرجح لألسعار مارشالرقم :

R.M.I(p) =Σ[(P1 /P0 )(Q0 +Q1 )%]100

2

=[(90/50)0.0626 +(170/105)0.219 +(225/150)0.153)]100=170.9%

∆=R.M.I(P)-100%=170.9-100=70.9%

b- مارشال التجميعي المرجح األسعار رقم :

A.M.I (p) = Σ[(P1 /Q1+Q0 )] 100

2

Σ[(P0 /Q1 +Q0 )]

2

= [(90x0.626) +(170x0.219) +(225x0.153)]100

[(50x0.626)+(105x0.216) +(150x0.153)]

=166.3%

∆=A.M.I (P)-100%=166.3-100=66.3%

- 115 -

a- النسبي المرجح لألسعار فيشررقم :

R.F.I(p) = (R.L.I(p)) ( R.P.I(p)

R.F.I(p) = (171.4) ( 171.06 )

=171.22%

∆=R.F.I(P)-100%=171.22-100=71.22%

b- التجميعي المرجح األسعار فيشر رقم :

A.F.I(p) = (A.L.I(p) )(A.P.I(p) )

A.F.I(p) = (165.3 )(165.7 )

=165.33%

∆=A.F.I(P)-100%=165.33-100=65.3%

- 116 -

المتحركأسلوب اآلرقام القياسية ذات األساس-3

في األسلوبين السابقين الذكر اعتبرنا أن األساس ثابت ، ومن عيوب هذه الطريقة أنه إذا كانت المدة بين

فإنالرقم القياسيب اليعبر تعبيرا صحيحا عن التطورات التي تنشأ .االمقارنة وفترة األساس طويلة نسبيا

.إلخ.....خرىفقد تتغير األسعار وتدخل سلعا وتختفي أ.خالل هذه المدة

لعالج هذه المشاكل نستعمل طريقة غير مباشرة تؤدي إلى المقارنة وذلك بتكوين عدة أرقام قياسية لكل

فترة على حدة باتخاذ الفترة السابقة الها مباشرة كأساس للمقارنة وبضرب تلك األرقام في لعضها نحصل

حرك، ويستعمل لمقارنة الحاضر يعرف هذا األسلوب باألساس المت.على الرقم القياسي المطلوب

.بالماضي القريب وليس بالماضي البعيد

1996و 1987بين ) A.B.C(سلع 3الجدول اآلتي يمثل أسعار :مثال

سعر السلعة

1987

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

A 10 10 10 12 12 15 20 30 35 40

B 15 15 15 15 20 20 21 21 25 25

C 30 30 30 30 30 30 32 32 32 32

97 92 73 73 65 62 57 55 55 55 المجموع

على األساس المتحرك؟1987بالنسبة لــ1996حساب الرقم القياسي النسبي لـ : المطلوب

:حل

1=3 )/30/30 +15/15 +10/10=(1987بالنسبةلـ1988الرقم القياسي ألسعار

1=1988بالنسبة1989الرقم القياسي ألسعار

1.07=1989بالنسبةلـ1990الرقم القياسي ألسعار

1.1=1990بالنسبةلـ1991الرقم القياسي ألسعار

1.08=1991بالنسبةل1992الرقم القياسي ألسعار

1.15=1992بالنسبةلـ1993الرقم القياسي ألسعار

- 117 -

1.17=1993بالنسبةل1994الرقم القياسي ألسعار

1.12=1994بالنسبةلـ1995الرقم القياسي ألسعار

1.05=1995بالنسبةلـ1996الرقم القياسي ألسعار

:على األساس المتحرك هو1987بالنسبة لعام 1996فيكون الرقم القياسي النسبي ألسعار

I(R.P) = (1x1x1.07x1.1x1.08x1.15x1.17x1.12x1.05)100=201%

∆=I(R.P)-100%=201-100=101%

ن لتغيير فترة األساس ، فمثال إذاكان لدينا أرقام في الحياة العملية كثير ا مانجد مضطري: مالحظة هامة

سنة األساس وأردنا اإلستفادة من هذه األرقام لعام 1980قياسية لنفقات المعيشة واألجور باعتبار

( فإننا نجد هذه األرقام عديمة الفعاليةة بسبب التغيرات التي حصلت على أسعار السلع اإلستهالكية 1996

).إلخ.....ل سلع جديدة ، إختفاء سلع أخرى ، تغير األذواق تغير أجور العمال ، دخو

لهذا يجب تغيير فترة األساس وعليه نقوم بقسمة جميع األرقام القياسية للسنوات المختلفة على الرقم

القياسية الجديدة القياسي المناظر لسنة األساس الجديدة ، وهذه األرقام الناتجة تمثل األرقام

هي سنة 1985 حيث 1995إلى 1985تي يمثل األرقام إلنتاج أحد المصانع من الجدول اآل: مثال

.سنة األساس 1990باعتبار 1995إلى 1985أوجد األرقام القياسية إلنتاج المصانع لكل من .األساس

السنة 1985 1986 87 88 89 90 91 92 93 94 95

الرقم 100 81 81 95 95 120 81 130 140 140 180

القياسي

لهذا نقسم كل رقم قياسي في الجدول المعطى على 90هو1990 بما أن الرقم القياسي لسنة :ل ح

:سنة األساس فنحصل على الجدول اآلتي 1990للحصول باألرقام القياسية باعتبار عام90

السنة 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

الرقم 1.11 90 90 106 133 100 90 144 144 156 200

القياسي

- 118 -

إختبار دقـــــة األرقـــــــــــام القياسية

درسنا طرقا عديدة لتركيب األرقام القياسية ، وقد الحظنا أن كل من هذه الطرق تعطينا نتيجة تختلف

عن النتيجة التي نحصل عليها بالطرق األخرى ، لذلك البد من إجراء مفاضلة بين هذه الطرق لمعرفة

.تعبيرا تعبيرا صادقا عن تغير مستوى األسعار أيها تعطينا نتيجة أدق معبرا

فقد وضع اإلحصائي فيشر بحثا تفصيلياحول هذا الموضوع ضمنه بعض اإلختبارات التي اقترح تطبيقها

: على الصيغ المختلفة لحساب الرقم القياسي وأهم هذه اإلختبارات هما

إختبار اإلنعكاس الزمني-1

فلكي يكون .ي أن حاصل ضرب أي كسر في مقلوبه يساوي الواحديستند هذا اإلختبار إلى بديهية وه

فإستنادا إلى هذه الخاصية سنحاول اختبار مختلف مختلف .الرقم صحيحا البد وأن يحقق هذا الشرط

.الصيغ

: اختبار اإلنعكاس في الزمن للرقم القياسي البسيط للسعر -1

I(p) =[P1 /P0 ].100:الرقم القياسي البسيط

I(p) (Inverse) =[P0/P1].100 :الرقم القياسي البديل للرقم البسيط

I(p) (Inverse)( I(p ))=[P1 /P0 ]. [P0/P1]=1

أي أن الرقم البسيط يقبل اإلنعكاس الزمني

: اختبار اإلنعكاس في الزمن للرقم القياسي المرجح للسعر -2

:رجح لألسعار رقم السبير التجميعي الم -1

A.L.I (p) = Σ[(P1 /Q0 )] 100

Σ[(P0 /Q0 )]

A.L.I (p)(Inverse) = Σ[(P0 /Q1 )] 100

Σ[(P1 /Q1 )]

A.L.I (p) ) A.L.I (p)(Inverse) = Σ[(P1 /Q0 )] Σ[(P0 /Q1 )] = 1

Σ[(P1/Q1) Σ[(P0 /Q0 )]

- 119 -

.أي رقم السبير اليعتبر رقما جيدا

):Paascheرقم باش (لمرجح بكميات سنة المقارنة ا -2

A.P.I(p) ) A.P.I(p)(Inverse) = Σ[(P1 /Q1 )] Σ[(P1 /Q0 )] = 1

Σ[(P0/Q1) Σ[(P0 /Q0 )]

.أي رقم باش اليعتبر رقما جيدا

):رقم مارشال(المتوسط الحسابي–لمرجح بكميات سنة المقارنة وبكميات سنة األساس ا -3

A.M.I (p) = Σ[(P1 /Q1+Q0 )] 100

Σ[(P0 /Q1 +Q0 )]

A.M.I (p)(Inverse) = Σ[(P0 /Q1+Q0 )] 100

Σ[(P1 /Q1 +Q0 )]

(A.M.I (p) )( A.M.I (p)(Inverse))= Σ[(P1 /Q1+Q0 )] Σ[(P0 /Q1+Q0 )] =1

Σ[(P0 /Q1+Q0 )] Σ[(P1 /Q1+Q0 )]

.أي أن رقم مارشال يعتبر رقما جيداألنه حقق شرط اإلنعكاس الزمني

):رقم فيشر(المتوسط الهندسي–لمرجح بكميات سنة المقارنة وبكميات سنة األساس ا -4

Σ[(P1 /Q0 )] Σ[(P0 /Q1 )] Σ[(P1 /Q1 )] Σ[(P0 /Q0 )]

Σ[(P1 /Q0 )] Σ[(P1/Q1) Σ[(P0 /Q0 )] Σ[(P0 /Q1 )]

=

- 120 -

= [(A.L.I(p) )(A.P.I(p) )][ A.L.I (p)(Inverse) A.P.I(p)(Inverse) = 1

.ن رقم فيشر يعتبر رقما جيداألنه حقق شرط اإلنعكاس الزمنيأي أ

إختبار اإلنعكاس المعاملي-2

إلجراء هذا اإلختبار نستعمل البديل المعاملي ، حيث أن البديل المعاملي ألي صيغة هي نفس الصيغة

.سعاروالعكس الكميات باأل.من حيث فترة األساس وفترة المقارنة، ولكن نستبدل األسعار بالكميات

: اختبار اإلنعكاس في المعاملي للرقم القياسي البسيط للسعر -1

I(p) =[ΣP1 / Σ P0 ].100:الرقم القياسي البسيط

I(p) (Inverse) =[ ΣQ1/ Σ Q0].100 :الرقم القياسي البديل للرقم البسيط

I(p) (Inverse)( I(p ))= [ΣP1 Σ Q1 ]/ [Σ P0Σ Q0 ] = Σ[P1Q1]/Σ[P0Q0]

أي أن الرقم البسيط ال يقبل اإلنعكاس المعاملي

: اختبار اإلنعكاس في المعاملي للرقم القياسي المرجح للسعر -2

:رقم السبير التجميعي المرجح األسعار -1

A.L.I (p) = Σ[(P1 /Q0 )] 100

Σ[(P0 /Q0 )]

A.L.I (p)(Inverse) = Σ[(P0 /Q1 )] 100

Σ[(P0 /Q0 )]

- 121 -

A.L.I (p) ) A.L.I (p)(Inverse) = Σ[(P1 /Q0 )] Σ[(P0 /Q1 )] = Σ[(P1 /Q1 )]

Σ[(P1/Q1) Σ[(P0 /Q0 )] Σ[(P0 /Q0 )]

.أي رقم السبير اليعتبر رقما جيدا

):Paascheرقم باش (لمرجح بكميات سنة المقارنة ا -2

A.P.I(p) ) A.P.I(p)(Inverse) = Σ[(P1 /Q1 )] Σ[(P1 /Q1 )] = Σ[(P1 /Q1 )]

Σ[(P1/Q0) Σ[(P0 /Q0 )] Σ[(P0 /Q0 )]

.أي رقم باش اليعتبر رقما جيدا

):FISCHERرقم فيشر(المتوسط الهندسي–لمرجح بكميات سنة المقارنة وبكميات سنة األساس ا -3

[(A.L.I(p) )(A.P.I(p) )][ A.L.I (p)(Inverse) A.P.I(p)(Inverse)

= Σ[(P1 /Q0 )] Σ[(P0 /Q1 )] Σ[(P1 /Q1 )] Σ[(P1 /Q1 )]

Σ[(P0 /Q1 )] Σ[(P1/Q1) Σ[(P0 /Q0 )] Σ[(P1 /Q0 )]

=

Σ[(P1 /Q1 )]= Σ[(P1 /Q1 )]

Σ[(P0 /Q0 )] = Σ[(P0 /Q0 )]

.أي أن رقم فيشر يعتبر رقما جيداألنه حقق شرط اإلنعكاس في المعاملي

سمي رقما أمثال من غيره ، ومن ثم ومادام هذا الرقم يقبل اإلنعكاس في الزمن والمعامل ، فهو يعتبر

.م األمثل بالرق

- 122 -

لوطبقنا إختبار اإلنعكاس الزمني على األرقام القياسية النسبية فإننا نجد الصيغة الوحيدة -1 :مالحظة

.الت تحقق شرط اإلنعكاس الزمني هو الرقم القياسي البسيط النسبي

قق شرط لوطبقنا إختبار اإلنعكاس في المعامل على األرقام القياسية النسبية فلن نجد أي أحدمنها يح-2

.اإلنعاكس المعاملي

)1(و )0( الحدول اآلتي يبين السعر والكمية المستهلكة من القمح والقطن خالل فترتين :مثال تطبيقي

السلعة )1(سنة األساس )0(سنة األساس

P0 Q0 P1 Q1

150 500 300 250 القمح

100 25 100 25 القطن

مع (ختبر الرقم القياسي المحصل وماهي الطريقة المثلى إ-2. أحسب الرقم القياسي المرجح لألسعار -1

؟)التعليل الحسابي

:حل

):السبير(حساب الرقم القياسي لألسعارمرجحا بكميات األساس -1

A.L.I (p) = Σ[(P1 /Q0 )] 100

Σ[(P0 /Q0 )]

=[(500x300)+(25x100)]/[(250x300)+(25x100)]100=196.7%

):باش(قياسي لألسعارمرجحا بكميات المقارنة حساب الرقم ال -2

A.P.I(p) = Σ[(P1 /Q1 )] 100

Σ[(P0 /Q1 )]

=[(500x150)+(25x100)]/[(250x150)+(25x100)]100=193.7%

- 123 -

):مارشال(حساب الرقم القياسي لألسعارمرجحا بكميات المقارنةواألساس معاالمتوسط الحسابي -3

A.M.I (p) = Σ[(P1 /(Q1+Q0 )] 100

Σ[(P0 /(Q1 +Q0 )]

=[500(300+150)+ 25(100+100)]/[ 250(300+150)+ 25(100+100)]100=195.7%

):فيشر( حساب الرقم القياسي لألسعارمرجحا بكميات المقارنةواألساس معاالمتوسط الهندسي-4

A.F.I(p) = (A.L.I(p) )(A.P.I(p) )

= 196.7x193.7=195.2%

إختبار دقة األرقـــــام القياسية-2

: إختبار اإلنعكاس في الزمن -1

.توصلنا نظريا إلى أن باش والسبير يعتبران غير دقيقين وبالتالي النختبرهما

a-إختبار رقم مارشال :

A.M.I (p)Inverse = Σ[(P0 /(Q1+Q0 )] 100

Σ[(P1 /(Q1 +Q0 )]

=0.5108x100=51.08%

- 124 -

. البديل xالرقم = اإلختبار

51.08x195.2=1

.الرقم جــــــــــــــيد

b-إختبار فيــــشر :

: الـــبد يل

F.A.PPI= Σ(P0Q1)Σ(P0Q0)

Σ(P1Q1)Σ(P1Q0)

= (250x150+25x100)(300x250+25x100) = 51.21%

(150x500+25x100)(500x300+25x100)

1=البديلxالرقم : اإلختبار في الزمن

0.5121x1.952=1

إذن رقم فيشر جيد ألنه يحقق اإلختبار اإلنعكاسي في الزمن

:إختبار اإلنعكاس المعاملي -2

.ن الدراسة النظرية وجدنا أن جميع األرقام التقبل اإلنعكاس المعاملي ماعدا رقم فيشرم

: الـــبد يل

F.A.PPI= Σ(P0Q1)Σ(P0Q0)

Σ(P1Q1)Σ(P1Q0)

- 125 -

= (250x150+25x100)(300x250+25x100) = 51.21%

(150x500+25x100)(500x300+25x100)

1=البديلxالرقم : اإلختبار في المعاملي

0.5121x1.952=1

.إذا رقم فيشر يعتبر أمثال ألنه حقق اإلختبارين اإلنعكاس في الزمن واإلنعكاس في المعاملي

- 126 -

ســـالسل

يقـــــــيةتطبـ

- 127 -

السلسلة األولى

01التمريــن :حـدد أيا من المتغيرات التالية متصل وأي منها متقطع

. لألفراد في عائلة Nالعــدد ) أ

) .أعزب ، متزوج ، مطلق ، أرمل ( الحالة اإلجتماعية لشخص ) ب

. لطيران صاروخ tالزمن ) جـ

. مسمار من إنتاج مصنع معين 1000أطوال ) د

. في آسيا Yالدولة ) هـ

.درجات الحرارة المسجلة لكل يوم في مصلحة االرصاد الجوية ) و

02التمريــن : قرب األرقام التالية إلى درجة الدقــة المشار إليها

. إلى أقرب مئــة 3254) أ

. إلى أقرب نسبة من ألف 0.0065) ب

. إلى أقرب نسبة من عشرة 144.993 )جـ

. إلى أقرب وحدة صحيحة 146.499) د

. إلى أقرب نسبة من المليون 0.000798505 ) هـ

03التمريـــن الجدول التالي يبين توزيع اليـد العاملة حسب قطاعات النشاط في الجزائر خالل الفترة

80/1985:

1985 1984 1983 1982 1981 1980 القطاعات

990 960 960 960 963 969 فالحــة

510 495 475 468 458 431 صناعــة

658 655 617 552 504 469 بناء وأشغال

170 166 160 152 148 142 النقل

612 594 568 541 506 487 التجارة والخدمات

900 845 797 752 705 660 اإلدارة

3840 3715 3577 3425 3284 3158 المجموع

- 128 -

:المطلـــــوب

.بين تطور اليد العاملة في القطاعات المذكورة عن طريق الخط البيانـــي ) 1

.بين تطور اليد العاملة في كل قطاع عن طريق الخطوط البيانيـــة ) 2

.عمدة البيانية بين تطور اليد العاملة في كل من الفالحة والصناعة والبناء عن طريق األ) 3

.1985بين توزع اليد العاملة في مختلف القطاعات عن طريق الدائرة وذلك خالل سنـة ) 4

04التمريـن

إذا علمـت أن مساحـة كل دولـة مـن دول المغـرب العربـي بالكيلومتـر المربـع هي

: حسـب الجـدول التالـي

ـاليبي تونـس الجزائـر المغـرب موريتانيـا البلـد

1759540 163610 2183740 712000 1030700 ²المساحة كلم

:المطلـوب

ـًا عـن طريـق الدوائـر مساحـات هـذه البلـدان 1 . ـ مثـل بياني

ـًا عـن طريـق الدائـرة مساحـات هـذه البلـدان 2 . ـ مثـل بياني

ـًا عـن طريـق المربعـات مساحـات هـذه البلـدان 3 . ـ مثـل بياني

ـًا عـن طريـق العمـدة البيانيـة مساحـات هـذه البلـدان 4 . ـ مثـل بياني

05التمريــن . عامـال في مؤسسـة ما 64 لتكن لدينـا المعلومات التاليـة التي تمثل أوزان

82 63 80 72 99 72 85 80 76 90 75 74 87 52 49 100 41 78 79 68 82 75 58 67 64 88 84 74 77 76 83 86 68 61 73 43 59 56 82 80 52 83 77 94 58 70 67 98 80 79 93 70 53 69 89 65 90 85 83 60 72 77 47 90

ما هو أصغر وأكبر وزن لهؤالء العمال ؟-1: المطلوب

ما هو المدى العام لهذه األوزان ؟ -2

- 129 -

.جدول توزيع تكراري هيئ البيانات السابقة في - 3

. أذكر فئتين تتركز فيهما التكرارات -4

. أحسب كل من التكرارين التجميعين الصاعد والهابط -5

. أحسب التكرارات النسبية -6

. أرسم كل من المدرج والمضلع والمنحنى التكراري -7

. كل من منحني التكرار التجميعي الصاعد والهابط أرسم-8

60التمريـن : ورقـة مـن أوراق نبـات الغـار إلـى أقـرب ملميتـر 40 البيانـات التاليـة تمثـل أطـوال

126 158 164 161 146 168 146 138 132 135 142 138 140 150 145 173 135 163 136 144 135 147 176 147 152 149 156 153 119 148 125 150 128 135 165 144 157 145 140 154

:المطلوب

ـًا 1 ـًا تكـراري . ـ كـون توزيع

. ـ أرسم المدرج والمضلع والمنحنى التكراري 2

70التمريـن

، حـدد 188، 178، 168، 158، 148، 138، 128: إذا كانت لديك مراكز الفئات التالية

.ثم أوجـد حدود الفئات طول الفئـة

08التمريـن

عامـالً في 65يبيـن الجـدول التالـي التوزيـع التكـراري لألجـور اليومية بالدينـار لـ :شركـة ما

فئات األجور 60-50 70-60 80-70 90-80 100-90 110-100 120-110 المجموع عـددالعمال 8 10 16 14 10 5 2 65

:الجـدول حـدد باستخـدام هـذا

. الحد األدنـى للفئـة السادسـة - أ

. الحد األعلـى للفئـة الرابعـة - ب

- 130 -

. مركـز الفئـة الثالثـة - جـ

. طـول الفئـة الخامسـة - د

. تكرار الفئـة الثالثـة - هـ

. التكرار النسبـي للفئـة الثالثـة - و

. الفئـة ذات التكـرار األكبـر - ز

ـًا 80عمال الذيـن يحصلون على دخل أقل من نسبـة ال- ح . دينار يومي

دينار 60 دينار لكـن اليقـل عـن 100 عـدد العمال الذيـن يحصلون على دخل أقل من - ط

ـًا . يومي

. كـون التوزيع التكراري المتجمـع والمتجمع النسبي الصاعد والنازل -ي

. عد والنازل أرسم منحنى التكرار المتجمع النسبي الصا- كـ

المجتمع اإلحصائي ، -الوحدة اإلحصائية-: ،العلم ، اإلحصاء ،: عرف كل من - :09التمرين

،العينة الطبقية ، العينة العنقودية العينة المنتظمة-العينة المتعدد المراحل -العينة -الطريقة اإلحصائية

.التحليل االقتصاديبين أهمية استخدام علم اإلحصاء في الدراسات االقتصادية و -

.وضح العالقة العلمية التي تربط بين علم اإلحصاء والدراسات المحاسبية -

. بأمثلةكبين أهمية استخدام علم اإلحصاء في مختلف العلوم اإلنسانية واالجتماعية مدعما إجابت -

.كيف يحصل اإلحصائي على المعلومات : 10التمرين ا

.ما هي النصائح الواجب أخذها عند تحرير االستمارةلماذا يلجأ الباحث لالستمارة ، و-

عرف كال من خطأ الصدفة ، وخطأ التحيز ، موضحا األسباب التي تؤدي إلى ظهور خطأ التحيز �

.ما هو الهدف من عرض البيانات اإلحصائية بيانيا �

: قم بعرض البيانات اآلتية بيانيا باستخدام األساليب الممكنة :11التمرين

ألف طن في 224ألف طن، وحجم إنتاج التفاح والبالغ 423.3ج الزيتون والبالغ حجم إنتا -

).مثال افتراضي( الجزائر

) .ألف طن ( 2000 -1995حجم إنتاج الزيتون لألعوام -

2000 1999 1998 1997 1996 1995 العام

866.1 400.5 785 403 647.6 423.3 اإلنتاج

- 131 -

.2000-1995لألعوام عدد أشجار الزيتون وحجم اإلنتاج

2000 1999 1998 1997 1996 1995 العام

866.1 400.5 785 403 647.6 423.3 )ألف طن( اإلنتاج

64344 63379 62300 59739 56903 54215 )ألف شجرة(عدد األشجار

عامال حيث كانت دخولهم 50 للدخل الشهري لعينة حجمها يقم بإنشاء الجدول التكرار :12التمرين

:ما يلي ك

5230 4730 4240 5230 4220 5240 5230 4715 6230 4730

4730 5000 5230 5240 5240 3480 5220 4715 6230 5220

5720 4730 5700 3730 6660 4220 5730 5460 4230 5220

6890 6260 5460 5760 5000 4740 5230 5730 5730 5230

5740 6200 4730 6230 4245 6730 4745 4720 6230 4720

. يوما40فيما يلي عدد الوحدات التي تم سحبها من مخزون خالل :13 تمرينال

83 ،80 ،91 ، 81، 88 ،82 ،87 ،97 ، 83 ،99 ،75 ،85 ، 72 ،92 ،84 ،90 ،87 ،78 ،93 ،

98 ،86 ،80 ،93 ،86 ،88 ،88 ،83 ،82 ،101 ،89 ،82 ،85 ،95 ،80 ،89 ،84 ،92 ،76 ،

81 ،103.

؟ مبينا األسباب التي تجعلك تختار الطريقـة البيانات في جدول تكراري مناسب غتفري -1: المطلوب

المناسبة؟

. رسم المدرج التكراري والمضلع التكراري - 2

.يمثل الجدول اآلتي األجور اليومية بالدينار للعاملين بإحدى الشركات: 14 تمرينال

110-

120

100-

110

فئات األجور 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

عددا لعاملين 08 10 16 14 10 05 02

: رسم منحنى التكراري المتجمع الصاعد و استنتج -1: لمطلوب ا

a- دج85نسبة العاملين الذين يحصلون على أجر أقل من .

b- دج75دج وأقل من 63عدد العاملين الذين يحصلون على أجر يتراوح بين.

:منه أستنتج رسم المنحنى التكراري المتجمع النازل و -2

.دج 98نسبة العاملين الذين يحصلون على أجر يساوي أو يزيد عن �

- 132 -

. المصانعألحدالتي وصلت ) بالطن( يمثل الجدول اآلتي أوزان الشاحنات . .15تمرين ال

الفئات 120-130 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190

التكرار 04 07 10 15 07 04 03

رسم المدرج التكراري ، والمضلع التكراري-1: لمطلوب ا

.إيجاد التكرار النسبي الصاعد -2

.رسم المنحنى المتجمع الصاعد للتكرارات النسبية -3

.إيجاد التكرار المتجمع الصاعد و تمثيله بيانيا -4

طالب في كل من الرياضيات و اإلحصاء ، و المطلوب وضع هذه 25 فيما يلي درجات :16تمرين ال

، عدد الفئـات 100 و أقصى حد 50، الحد األدنى 10يانات في جدول تكراري مزدوج ؛ طول الفئة الب

05. (

72، 71، 82، 83، 75، 86، 79، 94، 80، 85، 88، 96، 78، 50: الرياضيات

69، 77، 81، 92، 80، 83، 84، 91، 67، 93، 85، 90، 88، 58 : اإلحصاء

.83، 89، 66 ، 66، 70، 97، 69، 74، 92،81،84: الرياضيات

.87 ، 77، 72، 64، 72، 86، 94، 78، 75 ، 76 ، 89 : اإلحصاء

ـ 1983الجدول التالي يمثل أعداد الخريجين إلحدى الجامعات الجزائرية في السنوات : 17تمرين ال

1987

1987 1986 1985 1984 1983 السنة

1700 1500 1500 1250 1000 اإلنتاج

. ـ طريقة المستطيالت 1:مثل الجدول بالطرق التالية

. ـطريقة الخط المنكسر2

. ـ طريقة الدائرة3

- 133 -

المقابلةلجدول التالي يمثل مراكز الفئات وتكراراتها ا: 18 تمرينال

مركز

الفئــة

4 11 18 25 32 39 46

2 5 09 15 10 6 3 التكـرار

ـ كون جدول التوزيع التكراري لهذا الجدول 1

: ـ مثل جدول التوزيع التكراري بالطرق التالية2

المدرج التكراري

المضلع التكرارى

. التكراري النسبى ـ المنحني التكراري التراكمي المنحنى

طالبا ممن يدرسون مقرر مبادئ اإلحصاء 50المشاهدات التالية تمثل أعمار : 19تمرين ال

، 17 ، 21، 22، 20، 19، 20، 22، 23):يعتبر العمر هنا مساويا عدد السنوات التي أتمها الطالـب (

23 ،22 ، 17 20 ،20 ،22 ،21 ،18 ،22 ،21 ،20 ،19 ،19 ،21 ،19 ،20 ،20 ،21 ،24 ،18

،23 ،21 ،19 ،18 ،23 ،22 ،22 ،19 ،19 ،20 ،21 ،20 ،20 ،17 ،20 ،19 ،24 ،18 ،22 ،21

،20 ،18.

:المطلوب

؟. ألعمار الطالبالمناسب التكراري ـ أوجد التوزيع 1

المطلق والنسبي ) الصاعد والهابط (التوزيع التجميعي ـ أوجد2

؟ كال من التوزيع العادي والتوزيع التجميعي الصاعد تكراريـ مثل بمدرج 3

؟. الصاعد والهابطنالتجميعيي ـ أرسم المضلع التكراري للتوزيع العادي والتوزيعين 4

1992إذا علمت أن أ سعارالجملة لمادتي البندورة والتفاح في العاصمة خالل الـسنوات : 20تمرين ال

):طن /دوالر (الجدول اآلتي كما فى . 1995ـ

التفــاح البنـــدورة الفتــرة التفــاح البنـــدورة الفتــرة

1992 167.000 442.000 1994 229.000 569.667

1995 148.083 577.907 1995 146.250 686.667

.البيانية أ ـ مثل البيانات باستخدام األعمدة

ب ـ مثل هذه البيانات الخطوط البيانية

- 134 -

في كل سنة من الفترة المذكورة حسعر التفاج ـ أحسب معدل تغير سعر البندورة ومعدل تغير

.لسعر كل من البندورة والتفاح. 1995و1992د ـ أحسب معدل التغير الوسطي سنويا بين عامي

لدينا في الجدول اآلتي بيانات عن الناتج المحلي اإلجمالي باألسعار الجارية:21تمرين ال

1990فـي إحـدى الـدول خـالل الفتـرة ) بـاأللف (وعـدد الـسكان ) بالمليون دوالر (

:والمطلوب.1994ـ

النـاتج المحلي السنـة

اإلجمالى

عددالسكان

1990 2668.3 1809.0

1991 2855.1 1931.0

1992 3493.0 2006.0

1993 3801.7 2084.0

1994 4201.3 2160.7

.تج المحلى وعدد السكان في كل سنة من سنوات الفترة المذكورةأ ـ حساب معدل نمو كل من النا

.ب ـ حساب حصة الفرد الواحد من الناتج المحلي فىكل سنة

. ج ـ حساب معدل نمو حصة الفرد الواحد من الناتج المحلي في كل سنة

حلـي بأعمـدة د ـ تمثيل كل من الناتج المحلي وعدد السكان وحصة الفرد من الناتج الم

. بيانية

الريفيـة موزعـة حـسب فئـات الـدخل أدناه التوزيع التكراري لعينة من األسـر في :22تمرين ال

.،و المطلوب إيجاد مراكز الفئات و عرضها بيانيا مستخدما المضلع التكراري) بالدينار(الشهري

التكرار فئات الدخل

75-84 3

85-94 4

95-104 8

105-114 10

115-124 15

125-134 20

135-144 15

145-154 10

- 135 -

عامال من عمال إحدى المؤسسات ، فوجد أن الدخل اليومي 30ائية مكونة من أخذت عينة عشو : 23التمرين

، 80،70،70،50،70،110،100،90،60،100،80،60،70،90،80 :لهؤالء العمال بالدينار كمـا يلـي

90،60،90،60،80،80،50،50،70،110،90،80،80،90،100.

).دينار10طول الفئة(ية تفريغ هذه البيانات في جدول تكراريي فئات متساو-1: المطلوب

)منتظم أو غير منتظم(حدد نوعية الجدول -2

هل الجدول مغلق أو غيرمغلق-3

.أرسم المدرج التكرارى -4

.أرسم المضلع التكراري -5

.أرسم المنحنى التكراري- 6

.إعداد التكرارين التجمعيين الصاعد والنازل-7

. أوجد التكرارالنسبي -8

.حددمركز الفئات -9

.حددالحد األعلى للفئة الرابعة - 10

.حددالحد األدنى للفئة الثالثة-11

).متصلة أومنفصلة(حددنوعية الظاهرة-12

طبق قانون ستورجس على إيجاد طول الفئة وقارنها مع طول الفئة المعطاة وماهى -13

.مكن تسجيلها ،عند استخدام هذا القانونالمالحظة التى ي

الناجحين في االقتصاد في جامعة المسيلة للعام تدل المعلومات التالية عن تقدير :24التمرين

:2003/2004: الجامعي

المجموع مقبول جيد جيد جدا ممتاز شرف السنة

450 210 190 40 10 0 السنة األولى

630 260 200 140 20 10 السنة الثانية

540 50 320 160 10 00 السنة الثالثة

890 370 400 80 40 00 السنة الرابعة

عرض هذه المعلومات بواسطة التمثيل البياني-1: المطلوب

.عرض المعلومات بواسطة األعمدة والمستطيالت -2

- 136 -

أن كل سنة استخراج النسب من أصل المجموع وتمثيلها بطريقة الدوائر على اعتبار -3

.تمثل دائرة واحدة

يبين الجدول التالي صافى الناتج الوطني بسعر السوق خالل خمس سنوات ، مقيمة :25مرين الت

.بماليين الدينارات

الوحدة دينار جزائري

99 98 97 96 95 السنة

صافى الناتج

الوطني

39230 4215 4529 4867 5230

: المطلوب

لوطني بواسطة خط بياني ؟عرض صافي الناتج ا-1 عرض الزيادة في صافى الناتج سنويا بواسطة األعمدة؟-2

السلسلة الثانية

01التمريــن

: أحسب الوسط الحسابي بمختلف الطرق للقيم التاليـــة

. 40 ، 35 ، 30 ، 25 ، 20 ، 15 ، 10) ب . 30 ، 26 ، 25 ، 14 ، 15 ، 20) أ

02التمريــن

.القيم التالية تبين العمر بالساعات لمجموعة من مصابيح اإلضاءة

850 ، 900 ، 1370 ، 1080 ، 1060 ، 1040 ، 1930 ، 1090 ، 1060.

. حساب الوسط الحسابي بمختلف الطرق : المطلوب

03التمريــن

. يساوي صفــرا Xعن وسطها الحسابي X1 , X2 , ........, Xnأثبت أن مجموع انحرافات القيم

04التمريــن

- 137 -

Z1 = X1 + Y1: إذا كـان

Z2 = X2 + Y2

. .

Zn = Xn + Yn

Z: أثبـت أن X Y= +.

05التمريــن

، أوجـد 5 ، 8 ، 11 ، 9 ، 12 ، 6 ، 14 ، 10: لتاليـة إذا كانـت األرقام ا

.20) ، ب 9) أ : قيمتـه الوسـط الحسابي باستخـدام وسط فرضـي

06التمريــن

ـًا 50على ) بالهكتار(الجدول التالي يبين توزيع األراضي . فالحــ

فئات األراضي 40 - 30 50 - 40 60 - 50 70 - 60 80 - 70 90 - 80 100- 90 المجموع

عدد الفالحين 04 06 08 12 09 07 04 50

:المطلوب

. ــ حساب الوسط الحسابي بمختلف الطرق ، ثم أرسم المدرج التكراري 1

. هكتار 60ــ ما هي نسبة الفالحين الذين يملكون أقل من 2

. هكتار فأكثر 70نسبة الفالحين الذين يملكون ما هي - 3

. هكتار 75ــ ما هي نسبة الفالحين الذين يملكون أقل من 4

. هكتار فأكثر 46 ما هي نسبة الفالحين الذين يملكون - 5

07التمريـــن

:لدينا المجموعات التالية من القيم

. 14 ، 16 ، 25 ، 20 ، 16 ، 18 ، 16 )أ (

.18 ، 30 ، 14 ، 25 ، 20 ، 30 ، 20 )ب (

- 138 -

. 45 ، 25 ، 50 ، 35 ، 40 )جـ (

. 11 ، 18 ، 15 ، 11 ، 18 ، 15 )د (

حساب كل من الوسيط والمنـوال والربيع الثالث والمنوال والوسط الهندسي :المطلوب

.والوسط التوافقي

08التمريــن

مـن خمسـة طـالب مـن طلبـة أحـد مراكـز سحبـت عينـة بطريقـة عشوائيـة

التكويـن المهنـي لدراسـة متوسـط سرعـة الطالـب عنـد الكتابـة علـى اآللـة الراقنـة ،

:وكانـت لدينـا البيانـات التاليـة

رقـم الطالـب 1 2 3 4 5

السرعة 72 54 58 48 56

)دقيقـة /عدد الكلمات (

.عــة فـي الكتابـــة حسـاب متوسـط السر : المطلـوب

09التمريـــن

.أحسب كل من الوسيط والمنوال والوسط الهندسي والوسط التوافقي ) 06( من التمرين رقم

10التمريـــن

: طالب بالمدرسـة العليا للتجـارة مبينـة حسـب الجـدول التالي 300إليك أعمار

فئات العمر 18-16 20-18 22-20 24-22 26-24 28-26 30-28 المجموع

عدد الطالب 35 80 20 36 80 28 21 300

.إيجـاد المنـوال بالطريقـة البيانيـة والرياضيـة : المطلوب

11التمريــن

: الجدول التالي يبين التوزيع التكراري لمتغير ما

المتغيرفئات 10 - 5 15 - 10 25 - 15 35 - 25 50 - 35 70 - 50 المجمـوع

التكـرار 25 40 60 50 60 40 275

- 139 -

. حساب كل من الوسط الحسابي والوسيط والمنوال - 1 : المطلوب

. حساب كل من الوسط الهندسي والوسط التوافقي - 2

. أرسم المدرج التكراري - 3

12االتمريــن

:إذا كـان لديـك

ـًا مرتبـة 150) ، ب 85) أ ـًا ، فكيـف يمكنـك إستخراج الوسيط لهذه رقم ـًا تصاعدي ترتيب

األرقـام ؟

13التمريـــن

طالبا ، وكان متوسط العالمة في 17 ، 25 ، 32أجري إمتحان لثالثة أفواج يضم كل منها

أوجد كل من الوسط الحسابي ، الوسيط ، المنوال ،. على الترتيب 17 ، 16.5 ، 15كل فـوج

.الوسـط الهندسي ، الوسط التوافقـي والوسـط التربيعـي

14التمريــن

: لتكـن لدينـا بيانـات الجـدول التالــي

10 18 35 55 37 25 08 07 05 f

20 18 16 14 12 10 08 06 04 X

:المطلــــوب

. حساب كل من الوسط الحسابي والوسيط - 1

.ربيع األول والثالث ، العشير السابع حساب ال- 2

. أرسم كل من المدرج والمنحنى التكراريين - 3

15التمريــن

: أحسب كل مـن ) أ(الفقرة ) 07( من التمرين رقم

. الربيع األول والثالث ، والوسط التوافقي -1

- 140 -

. العشير السادس- 2

. ، العشير الثامن3

16التمريــن

كان متوسـط الدخـل السنـوي للعمـال الزراعييـن والعمـال غيـر الزراعييـن إذا

فهـل متوسـط الدخـل . ج علـى الترتيـب . د1500ج ، و . د2500فـي بلـد مـا هـو

ـًا يمكـن أن يكـون .ج ؟ بيـن ذلك . د2000السنـوي للمجموعتيـن مع

17التمريــن

4( للسنـة األولـى ، و ) % 1(ه المستثمـر قـدره حصـل مستثمـر علـى عائـد مـن رأسمالـ

ـًا . للسنـة الثالثـة ) % 16( للسنـة الثانيـة ، و ) % أوجـد المتوسـط الـذي تـراه مناسبـ

.لعائـد هـذا المستثمــر

18التمريــن

:ليكـن لديـك التكرار التجميعـي النازل لظاهـرة مـا علـى الشكـل التالـي

ت ت هـ 450 435 373 279 189 130 45 17 6 2

التكرار التجميعي النازل للفئة السابعـة ، وأن قيمـة 1/9إذا علمـت أن طـول الفئـة هـو

: ، المطلـوب 18الوسيـط تساوي

ـ حساب قيمـة الوسط الحسابـي بطريقـة اإلنحرفـات عـن وسـط فرضـي 1

. ـ حسـاب قيمـة اإلنحـراف المتوسـط 2

.ـاب قيمـة اإلنحـراف الربيعـي ـ حس3

. ـ حساب قيمة اإلنحراف المعياري بطريقـة اإلنحرافـات عـن وسط فرضي 4

19التمريــن

:لظاهـرة ما على الشكـل التالـي ) هـ .ت . ت( ليكن لدينا التكرار التجميعي الهابط

ت ت هـ 50 48 44 38 30 20 12 6 2

- 141 -

وأن . التكـرار التجميعـي الهابـط للفئـة األولـى 1/5 الفئـة هـو فـإذا علمـت أن طـول

.قيمـة الوسيـط تسـاوي ثالثـة أضعـاف التكـرار التجميعـي الهابـط للفئـة السادسـة

. ـ أحسـب الوسـط الحسابـي بطريقـة اإلنحرافـات المختصـرة 1 : المطلـوب

20التمريــن

ج للتـر ، . د0.90ج من البنزيـن بسعر . د10ـارة مـا قيمتـه أشتـرى سائـق سي

.ج للتـر ، ما هـو متوسط سعر اللتر مـن البنزيـن . د1.10ج بسعـر . د10وما قيمتـه

21التمريــن

فـي ) ج .بآالف د( عامـالً 80 يمثـل جـدول التوزيـع التكـراري اآلتـي أجـور

.مؤسسـة مـا

الفئات 25 - 15 35 - 25 45 - 35 55 - 45 65 - 55 المجموع

80 f5 14 26 18 f1 التكرارات

:المطلوب

.f5 و f1أحسب كل من ) ج.ألف د (42 إذا علمت أن متوسط األجر لهؤالء العمال يسـاوي

22التمريــن

. بالكلم التوزيع اآلتي يبين بعـد مساكـن خمسيـن موظف عـن مقـر عملهم

فئات المسافات بكلم 4 - 2 6 - 4 8 - 6 10 - 8 المجمـوع

عـدد الموظفيـن 7 16 15 12 50

: المطلـوب

حـدد المسافـة التـي تبعـد بهـا مساكـن الربـع األول والربـع األخيـر مـن الموظفيـن عـن

.مقـر عملهـم

- 142 -

23التمريــن

:لقمح في مجموعة من المزارع الجدول التالي يبين إنتاج ا

إنتاج القمح بآالف األطنان 20 - 10 30 - 20 40 - 30 50 - 40 60 - 50 70 - 60 80 – 70

عــدد المزارع 06 08 10 12 10 08 06

:المطلــوب

. حساب كل من الوسط الحسابي ، الوسيط ، المنوال -1

.ع ، المنحنى التكراري لهذا التوزيع رسم كل من المدرج ، المضل-2

24التمريــن

لدراسـة إنتاجيـة العامـل بإحـدى الشركـات أخـذت عينـة عشوائيـة مكونـة مـن

:بعـد تبويب البيانـات حصلنا علـى النتائج التاليـة . عامال من بين عمال اإلنتـاج 30

X = +21 6(?) . fu² 9 12 5 0 6 20

:المطلـوب

. ـ حسـاب الوسـط الهندســي 1

. ـ رسم المنحنيين التجميعيين الصاعد والهابط في آن واحد ، وتحديد الوسيط بيانيا 2

: أخذت عالمات طالب في مقياس المحاسبة ورتبت في جدول تكراري كالتالي 26التمرين

56-52 52-48 48-44 44-40 40-36 36-32 32-28 28-24 24-20 C الفئات

6 2 6 10 16 20 12 5 3 Fالتكرار

المنحنيين المتجمعين الصاعد -3. المنحنىالتكراري-2. أرسم المضلع التكراري -1: المطلوب

.والنازل

:رجل ورتبت في الجدول التكراري اآلتى100 قيست أطوال : 27التمرين

C 120-130 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 الفئات

F 10 16 24 30 12 08التكرار

- 143 -

.أرسم المنحنيين الصاعد والنازل:المطلوب

المقاييس اإلحصائية؟الستخداملماذا يلجأ الباحث - أ :28التمرين

المقاييس اإلحصائية؟إعداد التى يراها اإلحصائيون ضرورية عند االعتباراتماهي – ب

لماذا سميت المتوسطات بمقاييس النزعة المركزية؟– ج

تفإذا علمعلى الترتيب، .13،27،23،18،9:ومجموعة همجموعات عددهم في كل خمسة: 29التمرين

.50،55،60،65،70:أن متوسط وزن الطالب هو

. فاحسب المتوسط الحسابي للمجموعات معا

فى صناعة األجور اليومية للعاملين فى أ ربعة مصانع تعمل كلهاجمعت بيانات عن : 30التمرين

:أن فوجد واحدة

. د ج45 عامال والمتوسط الحسابي 350عمال المصنع األول عدد

. د ج52 عامال والمتوسط الحسابي 600عمال المصنع الثاني عدد

. د ج63 عامال والمتوسط الحسابي450عمال المصنع الثالث عدد

: يلي موزعين حسب أجورهم كما300عمال المصنع الرابع عدد

C 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100الفئات

F 16 25 40 90 53 42 34التكرار

أحسب المتوسط الحسابي ألجور عمال المصانع األربعة معا؟:المطلوب

. أوزانهم بالكلغطالباحسب50الجدول اآلتي يبين توزيع : 31التمرين

C 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80الفئات

F 03 05 11 16 09 06التكرار

؟بثالث طرق مختلفةالحسابي أحسب المتوسط – 1:المطلوب

أحسب الوسيط -3. الصفر عن المتوسط الحسابي تساوىاالنحرافاتبين أن مجموع -2

بطريقتين ؟

أي المقاييس تفضل مع التعليل ؟-5 ؟وسط الهندسي المت-4

التي يشغلونها وعن طلب إ لى موظفي إحدي الشركات أن يدلواببيانات عن عددالحجرات:32التمرين

: منهم كمايلى39اإليجار الذي يدفعونه ،فكانت إجابات

3 2 3 5 3 2 6 3 6 3 6 5 5 5 5 2 الحجرات

- 144 -

03 11 9 10 4 9 14 06 13 04 12 10 11 11 10 4 اإليجار

5 2 5 4 4 4 4 4 2 4 5 4 2 4 3 4 الحجرات

9 10 13 9 12 11 3 10 9 9 4 17 4 16 9 03 اإليجار

2 3 3 2 3 2 3 4 2 2 5 2 5 4 2 2 الحجرات

8 7 8 6 8 4 4 06 13 08 12 15 12 7 10 06 اإليجار

بالنسبة لعدد 2 إبتداءا من1طول الفئة(مزدوج تلخيص هذه البيانات في توزيع تكراري -1:المطلوب

).بالنسبة لإليجار3 إبتداءامن3الحجرات،وطول الفئة

. لإليجار والحجراتالحسابيأحسب المتوسط -2

:أسبوعيا فيما يلي توزيع مصانع الطبع والتجليد حسب العمل فيها:33التمرين

-30 ساعات العمل

40

40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

36 68 89 213 226 38 عدد المصانع

؟الحسابيالمتوسط -2إيجاد الوسيط لساعات عمل المصانع ؟ -1: المطلوب

قارن بين المتوسطات وماذا -6. المتوسط التربيعي-5. التوافقي المتوسط -4المتوسط الهندسي -3

تستنتج؟

وتم جمع بيانات عن تقديراتهم فى تجاريةوم أخذت عينة من أربعين طالب فى السنة األولى عل34التمرين

:مقياس اإلحصاء فكانت كما يلي

ضعيف مقبول ممتاز ضعيف مقبول ضعيف

جيد ضعيف مقبول جيد جدا مقبول جيد مقبول جيد جدا

ممتاز جيد ضعيف مقبول ضعيف مقبول ممتاز ضعيف جدا

جيد مقبول ضعيف جدا جيد مقبول جيد جدا جيد مقبول

ضعيف جيد جدا جيد مقبول مقبول مقبول ضعيف جدا جيد

.وضع هذه التقديرات في جدول تكراري بسيط: المطلوب

- 145 -

: بإحدى الوزارات فكان توزيعهم العمري كمايلىعامال200أخذت عينةمكونةمن :35التمرين

-25 25-20 فئات العمر

30

30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60

19 23 30 34 43 24 17 10 نعددا لمشتغلي

.تمثيل هذه البيانات باستخدام المدرج والمضلع التكراري-1 :المطلوب

عدد المشتغلين الذين يبلغون من العمر أقل : المتجمع الصاعد للتوزيع ومنه أوجد رسم المنحنى-2

سنة40من

.سنةفأكثر37.5لذين بلغوامن العمرعددالمشتغلين ا: رسم المنحنىالمتجمع النازل ومنه أوجد-3

قطع 5باع أحد التجار نوعا من البضاعة بأربعة أسعار مختلفة حسب الكمية حيث باع : 36التمرين

ح للقطعة ، . د20قطعة بسعر 300ج ، و. د60قطعة بسعر 60ج للقطعة الواحدة ، و. د90بسعر

به السلعة؟أحسب متوسط السعر الذي باع .ج للقطعة. د15قطعة بسعر 310و

برهن على أن مجموع انحرافات القيم عن المتوسط الحسابي ، أقل من مجموع مربع : 37التمرين

(X-X)أقل مــــا يمكن: انحرافات القيم عن أية قيمة أخرى غير المتوسط الحسابي 2

نرغب بدراسة متوسط إنتاجية بعض الشركات الخاصة بتنظيف المنازل ، إذا علمت أن : 38التمرين

تنظف بيتا من B، وإن الشركة )3/1(متر خالل ثلث الساعة 200 تنظف بيتا من مساحة Aالشركة

، )4/1( تنظفه تنظفه خالل ربع ساعةC، والشركة )2/1(المساحة السابقة نفسهاخالل نصف ساعة

:المطلوب). 6/1(تنظفه خالل سدس الساعة E، والشركة )5/1(تنظفه خالل خمس الساعة Dوالشركة

كم بيتا بالمتوسط تستطيع هذه الشركات تنظيفها خالل ساعة واحدة؟) 1

كم من الوقت تستغرق هذه الشركات في المتوسط لتنظف بيتا واحدا؟) 2

: برهن على أن :39التمرين

Q>X>G >H

- 146 -

بغيةمعرفة متوسط الزمن الذي يستغرقه الطالب في اإلجابة على اسئلة االمتحان ا، تمت :40 التمرين

بعد االمتحان في إحدى المواد ) اخذوا بطريقة عشوائية ( طالب من طلبة السنة األولى 04مراقبة

:فشكل الجدول التالي

الطالب ) بالدقائق(زمن اإلجابة على سؤال واحد عدد األسئلة المجاب عليها في الساعة

60 1 A

30 2 B

40 1.5 C

12 5 D

المجموع 9.5 142

أحسب متوسط الزمن الذي يستغرقه الطالب الواحد لإلجابة على سؤال واحد ؟:المطلوب

ثةـــــــــسلة الثالـــــــــالسل

لماذا يستحسن استخدام الوسيط عن المتوسط الحسابي؟- :1التمرين ماهي مجاالت استخدام المنوال ؟ ولماذا ال يستحسن استعماله في جميع المجاالت؟-

:موزعة توزيعا تكراريا في الجدول اآلتي شخصا45 إذا كان لدينا أعمار :2-التمرين

40-35 35-30 30-25 25-20 20-15 15-10 الفئات

04 07 13 10 06 02 03 التكرار

.التكرار المتجمع النازل–التكرار المتجمع الصاعد : أحسب الوسيط عن طريق -1 :مطلوبال

. أحسب المنوال بطريقتي الفروق و العزوم-2

.أحسب الربيعين عن طريقي التكرار المتجمع الصاعد والنازل-3

استنتج المتوسط الحسابي -4

ما هو نوع التوزيع ؟-5

:ط للقيم اآلتية أوجد الوسي:3التمرين

A –)2،3،5،7،9 (B-)3،5،8،10،13،15 (

- 147 -

)21،18،30،12،14،28،10،16،25:( لدينا مجموعة من الطرود :4التمرين

. أحسب المتوسط الحسابي،الوسيط ، المنوال

منوال بطريقة ال- الوسيط -المتوسط الحسابي بطريقة اإلنحرافات المختصرة :حساب : المطلوب

إستنتج المتوسط الهندسي ؟–المتوسط التوافقي –بيرسون

: 5-التمرين

:برهن على أن

طول الفئةx 1الفرق + )ىالحد األدن (=المنوال

2الفرق+1الفرق

. التي قبلها الفئةتكرا -المنواليةالفئة رتكرا=الفرق األول

.تكرارالفئة التي بعدها– تكرارالفئة المنوالية = الفرق الثاني

-69-74-70: الجدول التالي يعطينا عدد القطع المصنوعة خالل أسبوع في مصنع ما :6-التمرين

79-71-76-77-76-75-83-73-79-75-79-77-74-75-76-81-77-67-71-81-80-

78-74-71-70-75-74-75-77-68-75-77-74-75-77 .

.66من الرقم وبادئا06ضع هذه البيانات في توزيع تكراري ذي فئات متساوية عددها -1:المطلوب

.أوجد المتوسط الحسابي -2

.الوسيط -3

.الرببيعين األول والثالث-4

.منوال إستنتج ال-5

. المتوسط الحسابي -6

. المتوسط التوافقي-7

فيما يلي الزيادة التي طرأت على مبيعات أحد المخازن خالل ستة سنوات بآالف :7-التمرين

ج معدل نمو المبيعات لهذا استخر والمطلوب إ.110،199،230،240،149،202: الدينارات

المخزن؟

: أجب عن األسئلة اآلتية :8نالتمري

. متى يكون الوسط التوافقي المعنى له-2. متى يستعمل المتوسط التوافقي -1

بأى نوع من القيم يتأثر المتوسط التوافقي الكبيرة أم الصغيرة؟– 3

- 148 -

مامعنىالوسط الهندسي وسط رياضي؟-5سم المقاييس التي التتأثر بالقيم المتطرفة ؟ -4

ا الحالة التي يكون فيها الوسط الهندسي فيها صفرا؟م-6

متى يتساوى الوسط الهندسي والحسابي؟– 8عدد طرق استخراج الوسط الهندسي؟ - 7

مصباح كهربائي حسب طول حياتهما بالساعات في شركة 400 الجدول التالي يوضح :9-التمرين

:كانت النتائج كالتاليإنتاجية إلنتاج المصابيح الكهربائية ف

حياة المصباح

بالساعة

30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-

100

100-110 110-

120

08 20 48 62 68 74 60 44 16 العدد

:المطلوب

.الوسط الهندسي-4 .الوسط التوافقي-3الوسيط -2الوسط الحسابي -1

نريد استبدال متوازي . متر 1،2،4أبعاده توازي المستطيالت خزان ماء شكله م: 01-التمرين

متر2:المستطيالت بمكعب بحيث يكون له نفس السعة فماهو طول ضلع هذا المكعب؟ الجواب

: 11التمرين

56-50 50-44 44-38 38-32 32-26 26-20 فئات العمر

05 10 25 30 60 20 المسيلة–عدد العمال

05 10 30 25 20 10 عدد العمال البرج

أحسب المتوسط الحسابي ألعمار عمال القطاع الخدمي في المسيلة، وألعمار عمال القطاع الخدمي -1

في البرج؟

وذلك بدمج (احسب الوسط الحسابي ألعمار عمال القطاع الخدمي في كل من المسيلة والبرج معا -2

؟)التكرارات

، وماذا تستنتج؟ أحسب الوسط الحسابي للوسطين الحسابيين -3

السلسلــة الــرابعة

01التمريــن

، أحسـب كـل 14 ، 25 ، 11 ، 20 ، 16 ، 18 ، 16: إذا كانـت لديـك القيـم التاليـة

: مـن

. المــدى العام -أ

- 149 -

. الربيعي االنحراف - ب

المتوسط االنحراف - جـ

.بمختلف الطرق ري المعيااالنحراف -د

02التمريــن

: ، المطلـوب 70الصفحـة ) 18(مـن التمريـن رقـم

. المتوسـط االنحراف ـ حسـاب قيمـة 1

. الربيعـي االنحراف ـ حسـاب قيمـة 2

. عن وسط فرضـي االنحرافات المعياري بطريقـة االنحراف ـ حسـاب قيمـة 3

03التمريــن

ن عمـال أربعـة شركـات وحسبـت متوسطـات أجورهـا وكذلـك أخـذت عينات متساوية مـ : المعياريـة وكانـت النتائـج كما يليانحرافاتها

الشركــات أ ب جـ د )ج.د(متوسـط األجـر 500 600 740 400 المعيـارياالنحراف 30 50 25 20

:المطلــوب .مـن غيرهـا ـ مـا هـي الشركـة التـي أجـور عمالهـا أكثـر تجانـس 1 . ـ مـا هـي الشركـة التـي أجـور عمالهـا أقــل تجانـس مـن غيرهـا 2

40التمريــن

ـًا 50على ) بالهكتار( الجدول التالي يبين توزيع األراضي . فالحــ

فئات األراضي 40 - 30 50 - 40 60 - 50 70 - 60 80 - 70 90 - 80 100- 90 المجموع

عدد الفالحين 04 06 08 12 09 07 04 50

: أحسب ما يلي

. الربيعي االنحراف - 1

. المتوسط االنحراف - 2

. المعياري بمختلف الطرق االنحراف - 3

) أوجد نسبة الفالحين الذين يملكون مساحـات تتراوح في المجال - 4 )X ±σ .

- 150 -

50التمريــن

. عامـل 100ـا البيانـات التاليـة المتعلقـة بأجـور لتكـن لدين

fu² 40 20 0 20 40

X: إذا كـان = +350 100(?) .

. ـ قيمـة المنــوال 1 : المطلـوب حسـاب

. المتوســط واالنحراف الربيعـي ، االنحراف ـ 2

.االختالف التبايــن ، معامـل ـ3

60التمريــن

1000ـ ليكـن لدينـا التوزيـع التكـراري المتماثـل المتعلـق باألجـور اليوميـة لـ

.عامـل بإحـدى المؤسسـات

500 -

600

400 -

500

300 -

400

200 -

300

وأقل من 100

200

فئات األجور

)ج.د(

100 150 500 f2 f1 عـدد العمال

) ما هي نسبة العمـال الذيـن تتراوح أجـورهـم في المجال - 1 : لمطلـوبا )X ± 2σ.

70التمريــن

:أخـذت عينتان من مجتمعين فأعطتا النتائج التالية

Yi :العينــة األولى i

==∑ 280

1

40

، Yii

2

1

40

2100=∑ =

X : العينــة الثانيـــة ii

==∑ 300

1

50

، X ii

2

1

50

1950==∑

.أوجد الوسـط الحسـابي واإلنحراف المعيـاري لكل عينـة ) 1: المطلوب

.أي العينتـيـن أكثـر أكثـر تـشتـتـا ؟) 2

.إذا دمجت العينتان ، ما هو الوسـط الحسابي للمجموعة الناتجة ) 3

- 151 -

80التمريــن

% 8 يكون معامل االختالف للزيادة في الوزن في تجارب تغذية نوع من الخرفان

فما هو . رطال 150فإذا عرفـت أن متوسط زيـادة وزن مجموعة من الخرفـان كان . عـادة

اإلنحراف المعياري لهذه المجموعة ؟

09التمريــن

. حول الوسط الحسابي 3 ، 2 ، 1حساب العزوم : المطلوب. 6، 10، 5، 8، 4: لدينا القيم التالية

01التمريــن

:طالبا وسجلت أوزانهم وأطوالهم في الجدولين التالييــن ) 40(أخذت عينة من الطالب تتكون من

فئات األوزان بـ 45 - 40 50 - 45 55 - 50 60 - 55 65 - 60

كلغ

عــدد الطلبــة 03 12 15 06 04

فئات األطوال بـ سم 155 - 150 160 - 155 165 - 160 170 - 165

عـدد الطلبـة 04 08 16 12

:المطلــوب

هل هؤالء الطلبة أكثر أختالفا في الوزن أم الطول ؟- 1

بين إلتـواء كل توزيع وأيهما أكثـر إلتــواءا ؟- 2

ـًا ؟- 3 أي التوزيعيــن أكثــر تفرطحـ

12ـن التمريـــ

: عامالً في إحـدى المؤسسات 60 الجدول التالـي يبين األجور في الساعة لـ

80 -

90

70 -

80

60 -

70

50 -

60

40 -

50

وأقل من

40

فئات األجور

ج.بمئات د

عــدد العمـال 06 07 13 18 12 04

:مطلــوبلا

- 152 -

. حساب المتوسط المناسب ألجور العمال- 1

. حساب معامل االختالف المناسب - 2

. حساب معامل االلتـواء المناسب - 3

. حساب معامل التفرطــح المناسب - 4

كيف تعرف التشتت؟ -لماذا يهتدي اإلحصائيون إلي دراسة مقاييس التشتت؟ - :13التمرين

:تاليتينإليك المجموعتين ال: 14لتمرين ا

A: 2،7،11،5،13،6،12 .B: 2،5،3،7،4،6،9،8،1،11.

أحسب كل من المدى واالنحراف المتوسط واالنحراف المعياري؟ثم أحسب معامل اإلختالف؟

:عامال في أحد المصانع 117 إليك الجدول التكراري ألجور :15التمرين

70-60 60-50 50-40 40-30 30-20 الفئات

30 10 18 30 29 التكرار

الربيع األعلى والربيع األدنى؟-1:المطلوب أحسب

اإلنحراف المعياري بالطريقة المختصرة؟-2

معامل االختالف ؟-4 االنحراف المتوسط؟ -3

).56،59،66(العيارية للقيم اآلتية الوحدة -5

درجة في امتحان الرياضيات حيث المتوسط الحسابي لجميع الطلبة 84تحصل طالب على:16التمرين

درجة حيث المتوسط 90 ،وفي امتحان اإلحصاء تحصل على10درجة وبانحراف معياري 76

الطالب متفوقا؟في أي المادتين يعتبر16 بانحراف معياري 82الحسابي لجميع الطلبة

أسفرت الدراسة التي أجريت على األجور اليومية لعدد من العمال في مصنعين يعمالن :5-4التمرين

:في صناعة واحدة على النتائج التالية

المصنع المقاييس

األول

المصنع

الثاني

54 62 المتوسط الحسابي

15 16 اإلنحراف المعياري

ر اليومية للعمال ؟مقارنة تشتت األجو: المطلوب

- 153 -

:طالبا في مقياس اإلحصاء ورتبت في جدول تكراري 50أخذت عالمات : 17التمرين

80-75 75-70 70-65 65-60 60-55 55-50 50-45 45-40 الفئات

2 5 8 12 14 5 3 1 التكرار

؟االنحراف المعياري واستنتج االنحراف المتوسط-2. المدى الربيعي -1: حساب :المطلوب

اإلنحراف المعياري المصحح؟ -3

؟).48،64(ـ ل العالمات المعيارية- 4

عامال 160إليك األجور اليومية ل ـ:18التمرين

100-90 90-80 80-70 70-60 60-50 50-40 الفئات

10 15 30 50 25 20 10 التكرار

العزمين األول والثاني ؟-1:أحسب :المطلوب

معامل اإللتواء ؟-2

ماهو نوع التوزيع ؟

فيما يلي عدد الساعات التي يشغلها العمال في األسبوع :19التمرين

-40 الفئات

42

42-

44

44-

46

46-

48

48-

50

50-

52

52-

54

54-

56

56-

58

30 45 69 84 91 73 52 35 21 التكرار

الثاني والثالث والرابع ؟:أحسب العزوم-1المطلوب

قارن التواء التوزيع محسوبا بطريقتين مختلفتين ؟-2

.طح التوزيعلأدرس تف-3

- 154 -

:لطح للتوزيع التكراري اآلتي أ حسب مقياس اال لتوا ء و مقياس التف 20التمرين

X 5 8 11 14 17 20 23 26

F 5 6 6 4 3 2 3 4

: عامل في إحدى المعامل 500الجدول اآلتي يمثل التوزيع التكراري لألجور األسبوعية لـ:21التمرين

C 15-

20

20-

25

25-

30

30-

35

35-

40

40-

45

45-

50

50-

55

55-

60

F 02 07 101 180 120 50 25 10 05

؟.سيط أحسب كل من المتوسط والمنوال والو-1:المطلوب

اإلنحراف المعياري؟ -2

الدرجة العيارية ؟ -4معامل اإلختالف؟ -3

األول والثاني والثالث والرابع؟:العزوم -5

طح؟للتفامعامل --7 معامل االلتواء؟-6

يوم إلحدى اآلالت ، وكان حجم قام أحد مراقبي اإلنتاج بأخذ عينة عشوائية من إنتاج :22التمرين

غم ومن عينة أخرى 100غم بانحراف معياري 1000جد أن متوسط وزن الوحدة فوحدة 200العينة

غم بانحراف معياري 960بنفس الحجم لنفس اآللة ولكن في يوم آخر فوجد أن متوسط وزن الوحدة

.غم150

في أي األيام أعطت هذه اآللة إنتاج أقل تشتتا؟ :المطلوب

.السلسلة الخامسة

01التمريـن

نقطة تقاطع خط ) د( ، Yنقطة تقاطع خط المعادلة مع المحور) جـ(المعادلة ، ) ب(الميل ، ) أ(أوجد

) . =Y1 ، X1=1 ( ،)1Y2= ،4X2=5( ، للخط الذي يمر بالنقـطتيـن Xالمعادلة مع المحور

02التمريـن

.2X + 3Y = 6 والذي يوازي الخط ) 4 ، 2(جد معادلـة الخط الـذي يمـر خـالل النقطـة أو

03التمريــن

- 155 -

.16 هـي Yونقطة تقاطع خـط المعادلة مع المحـور ) - 4(أوجد معادلة الخط الذي ميله هو

04التمريــن

ـًا 12الجـدول التالـي يوضح أوزان عينــة مكونـة مـن ) . Y(ـر األبنـاء وأكب) X( أب

X 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71

Y 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70

: المطلـوب

.أرسـم شكـل اإلنتشـار ) أ .Y علـى X ثم إلنحدار X على Yأوجد خط المربعات الصغرى إلنحدار ) ب .أحسـب الخطـأ المعيـاري للتقديــر) جـ .ـب التبايـن الكلـي ، المفســر ، وغيـر المفســر أحس) د .أوجـد معامـل التحديـد ومعامـل اإلرتبـاط وأشـرح النتيجــة ) هـ

05التمريـن

: يمكن كتابته في حالة اإلنحدار الخطي كاآلتـي Y و Xبين أن معامل اإلرتباط بين المتغيرين

rx y

x y=

∑

∑ ∑( )( )2 2y حيــث Y Y æx X X= − = −.

60التمريــن

يمثل Y يمثـل الدخـل العائلـي الشهـري بمئات الدنانيـر وX حيـث أن Y و Xلدينا المتغيرين

: عائـالت حسـب الجـدول التالـي 10فإذا كان لدينـا . النفقات الغذائية الشهرية بمئات الدنانير

عائلةترتيب ال 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 16 24 19 17 33 15 7 22 38 X

10 12 17 12 13 20 12 7 14 22 Y

. Y و X بيـن االرتباطأحسـب معامـل ) 1: المطلـوب

. الشهـري للمـواد الغذائيـة االستهالكأوجـد معادلـة مستقيـم ) 2

. اإلنفـاق علـى الدخـل اعتمادمـا هـي نسبة ) 3

- 156 -

07التمريـن

X 1 3 4 6 8 9 11 14

Y 1 2 4 4 5 7 8 9

من بيانات الجدول

:التالي

.Y و Xمعامـل اإلرتبـاط الخطـي بيـن المتغيريـن ) أ : أحسـب .Y و لـ Xاإلنحـراف المعيـاري لـ ) ب .Y تبايـن و Xتبايـن ) جـ .Y و covariance (Xالتبايـن المشتـرك (تغايـر ) د

08التمريـن

بهـدف دراسـة العالقـة بيـن سـن الـزوج والزوجـة ، قـام أحـد طـالب كليـة

عقـد زواج فـي مدينـة قسنطينـة فحصـل على 100العلوم اإلقتصاديـة بأخـذ عينـة لـ

. سـن الزوج Y سـن الزوجـة وXحيث : النتائـج التاليـة

Y X 20 - 15 25 - 20 30 - 25 35 - 30 مجموع الزوجـات

24 6 18 15 - 20 38 1 4 28 5 20 - 25 32 1 26 5 25 - 30 6 2 3 1 30 - 35 مجموع األزواج 23 40 33 4 100

:المطلـوب

. لهـذا التوزيـع االنتشار ـ تمثيـل نقـاط 1

.Y علـى X و X علىY انحدار ـ حساب معادلة مستقيمي 2

. والطريقـة المطولــة االنحدار بواسطـة رتباطاال ـ حساب معامـل 3

09التمريـن

المعيـاري لقيـم واالنحراف 0.61 هـو X المعيـاري لقيـم االنحرافإذا علمـت أن

Y بيـن قيـم االرتباط فأحسـب معامـل 1.22هـو Xو Y انحدارإذا علمـت أن معادلـة خـطY

.Y= 21.28 + 0.84X : هـي Xعلـى

10ـن التمري

: همـا Y علـى X و X علـى Yإذا علمت أن معادلتي إنحـدار

Y = 3.12 + 0.72X ن أنه يوجد خطأ فـي إحدى هاتين المعادلتينبي .

X = 1.43 - 0.81 Y

- 157 -

11التمريـن

طالـب فـي مادتـي 80ئيـة لـ الجـدول التالـي يبيـن التوزيـع التكـراري للدرجـات النها

.الرياضيـات واإلحصـاء

عالمـات الرياضيـات

الفئـات 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

3

4

5

6

4

5

10

4

2

6

9

5

5

3

4

3

2

40 - 50

50 - 60

60 - 70

70 - 80

80 - 90

90-100

: مطلـوبوال

.X و Yأوجـد التكرارت الهامشيـة للمتغيريـن ) 1

. فـي اإلحصـاء 90 - 80 في الرياضيات و 80 - 70عدد الطلبة الذين حصلوا على الدرجات ) 2

.70النسبـة المئويـة للطلبـة الذيـن حصلـوا فـي الرياضيـات على درجـة أقـل مـن ) 3

. في الرياضيات 80 أو أكثر في اإلحصاء وأقل من 70ت عدد الطلبة الذين حصلوا على درجا) 4

هي الحد 60 أن بافتراضالنسبة المئوية للطلبة الذيـن نجحوا في كل من اإلحصاء والرياضيات ، ) 5

. األدنى لدرجة النجاح

.أوجـد معامـل اإلرتبـاط الخطـي لدرجـات الرياضيـات واإلحصـاء ) 6

.Y علـى X و X علـى Yـدار أكتـب معـادالت خطـوط اإلنح) 7

.Y علـى X و X علـى Yأحسـب الخطـأ المعيـاري لتقديـر ) 8

12التمريـن

.التقديـرات التاليـة متعلقـة بمادتـي المحاسبـة واإلقتصـاد ، والمطلـوب حساب معامل اإلرتباط

تقديرات المحاسبة مقبول جيد ممتـاز ضعيف جيد جدا ضعيف جدا

تقديرات اإلقتصاد جيـد ممتاز جيد جدا ضعيف جدا بولمق ضعيف

- 158 -

13التمريـن

.فيما يلي نبين التقديرات التي حصل عليها ثمانية من الطلبة في مادتي الرياضيات واإلحصاء

. والمطلـوب حسـاب معامـل اإلرتبـاط بيـن تقديـرات هاتيـن المادتيـن

تقديرات الرياضيات ضعيف مقبول متازم جيد جدا جيد مقبول مقبول ضعيف جدا

تقديرات اإلحصاء ضعيف مقبول جيد جدا ممتاز مقبول جيد ضعيف ضعيف جدا

14التمريـن

: من البيانات اآلتية X و Yبيـن قيم ) سبيرمان(و ) بيرسـون(أحسب معامل اإلرتباط بطريقتي

13 12 16 11 15 14 13 X

17 15 14 12 15 16 13 Y

15تمريـن ال

) : Y(و ) X(الجـدول المـزدوج اآلتـي الـذي يمثـل الظاهرتيـن

∑ 190-200 180-190 170-180 160-170 150-160 40-150 Y X

12 4 5 3 40 - 50 17 2 6 6 3 50 - 60 21 2 5 9 4 1 60 - 70 24 1 8 10 5 70 - 80 16 5 6 4 1 80 - 90 10 4 4 2 90- 100 100 10 20 23 25 15 7 ∑

:أحسـب معامـل اإلرتبـاط بالطـرق التاليـة : والمطلـوب

.بيرسـون ) 1

: سبيرمـان ) 2

- 159 -

.بطريقـة مجاميـع األقطـار المتساويـة ) أ

.بطريقـة فـروق األقطـار المتساويـة ) ب

16التمريـن

وأن معادلـة خـط 1.6 يساوي Y ، وجد أن تباين الظاهرة Y و Xفي دراسة للعالقة بين المتغيرين

:هـي Y علـى X ، ومعادلـة خـط إنحـدار 10Y - 13.6 - 5X = 0: هـي X علـى Yإنحـدار

10X - 6.8 - 12.9Y = 0 . المطلـوب حسـاب معامـل إرتبـاط بيرسـون بيـنX و Y ثـم ،

.يهـا علـق علـى النتيجـة التـي تحصلـت عل

17التمريـن

تـم فـي مركـز مـن مراكـز البحـث اختبـار مصـل ضـد مـرض معيـن ، وقـد أعطـت

:عمليـة التطعيـم النتائـج المبينـة فـي الجـدول التالـي

التطعيم طعمـوا لـم يطعمـوا المجمـوع :المطلـوب

اإلصابة

ـم يصيـبل 192 113 305 .ـ حساب معامل االقتـران 1

اصيـب 4 34 38 . ـ فسـر النتيجـة 2

المجمـوع 226 117 343

18التمريـن

.Yو X طالـب حسـب تقديراتهـم في المقياسيـن 470البيانـات التاليـة خاصـة بـ

Y X مقبـول جيـد جيد جـدا ممتـاز المجموع

مقبول 27 50 30 20 127

جيد 45 102 82 50 279

جيد جـدا 10 18 22 14 64

المجموع 82 170 134 84 470

. حسـاب معامـل التوافـق وشـرح النتيجـة : المطلـوب

- 160 -

. بين أسباب اللجوء إلى حساب االرتباط بين الظواهر اإلحصائية - : 19تمرين

يمتاز معامل االرتباط بعدة خصائص، بين هذه الخصائص ؟ -

. على الوحدات العيارية في حساب معامل االرتباطلماذا يعتمد اإلحصائيون -

. كيف يحدد اإلحصائي معامل االرتباط من رسم الظاهرتين -

:إليك أطوال وأوزان مجموعة من الطلبة كما هو مبين في الجدول : 20تمرين

180 173 171 167 162 162 160 155 156 154 الطول

86 76 68 68 61 65 63 58 61 54 الوزن

تمثيل الظاهرتين على معلم متعامد ومتجانس ؟-1: المطلوب

علق على الرسم مستنتجا نوع االرتباط ؟-2

أحسب معامل االرتباط بطريقتين مختلفتين ؟وما هي شدةاالرتباط؟-3

إلحصاء فيما يلي تقديرات عشرة من الطلبة في مقياسي االقتصاد وا:21تمرين

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 الطالب

ق. م ق . م ض جج . ج .ض ق.م م. م ق.م ج.ض االقتصاد

ج.ج .ض ج.ض م. م ق. م ج ق.م ج.ج ج ق.م اإلحصاء

:ج. ج-جيد :ج-ممتاز :م . م-ضعيف :ض -مقبول :م.م-ضعيف جدا :ج.ض:مالحظة

.جيد جدا

تباط الرتب بين تقدير المقياسين؟أحسب معامل إر-1:المطلوب

ما هو نوع االرتباط؟-2

ولد حسب أوزانهم بالكلغ وأطوالهم بالسنتم100 فيما يلي توزيع : 22تمرين

الوزن

الطول

fالتكرار 100-105 95-100 90-95 85-90 80-85

110-112 2 2 04

112-114 3 4 11 2 20

- 161 -

114-116 9 13 6 28

116-118 16 14 5 35

118-120 8 2 10

120-122 3 03

F 05 15 40 30 10 100التكرار

أحسب معامل االرتباط بين الوزن والطول بطريقة المتغيرات المركزي-1 :المطلوب

ما هو نوع االرتباط؟-2

:واليات10رتب بين معدل المواليد ومعدل الوفيات بين األطفال في أوجد معامل ارتباط ال:23 تمرين

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 الواليات

9.8 % م المواليد

7.6 19.2 12.3 19 18.8 13.7 15.5 22.9 14.4

41 97 48 30 69 92 39 102 46 74 %الوفيات . م

العالقة ؟ية نوعيما ه

).الوحدة مليون دينار جزائري( مؤسسات 10ك نفقات الدعاية ورقم األعمال لــ إلي: 24تمرين

34 52 45.8 20 35 29 12 27 23 13.5 الدعاية

1757 2498 1925 1048 1724 1512 637 1418 1124 638 األعمال.ر

حساب معامل االرتباط بين الظاهرتين ؟-1:المطلوب

توجهها للمؤسسات؟ما هي النصيحة التي -2

السلسلة السادسة

كمية األسمدة في الهكتار ( أحسب معامل االرتباط الجزئي والمتعدد بين الظواهر اآلتية :1التمرين

Z(،) كمية التساقط الشهريY (،) كمية اإلنتاجX.( على اعتبار أنXمتغير تابع لكل من)Z،Y.( واعتبار

Xمتغير تابع وY متغير مستقل.Zثابت.

16 12 10 8 4 X

1 6 5 2 1 Y

15 14 12 6 3 Z

- 162 -

لماذا تستحسن طريقة المربعات الصغرى في الدراسات -2كيف تم تحديد االنحدار ؟ -1 :2-التمرين

مع تأييد إجابتك . ،المتغير التابع المستقلماذا نعني بالمتغير-3االحصائية على بقية الطرق األخرى؟

بأمثلة ؟

:طالبا في مقاييسي المحاسبة العامة واإلحصاء 12 اآلتي يبين عالمات الجدول:3-التمرين

10 9 8 7 6 10 2 8 4 7 3 5 المحاسبة

اإلحصاء8 6 8 5 9 6 8 5 7 11 8 10

أكتب معادلتي خط االنحدار ؟-1:المطلوب

مثل المعادلتين بيانيا على معلم متعامد ومتجانس ؟-2

في مقياس اإلحصاء إذا كانت عالمته في مقياس 13 ما هي العالمة المتوقعة للطالب -3

؟ 12 المحاسبة العامة

أحسب الفرق بين القيمة المقدرة والقيمة الحقيقية في مقياس المحاسبة؟ -4

استنتج نوع العالقة وشدتها بين المقياسين؟ -5

ومصاريف اإلعالن Y في دراسة احصائية إلحدى المؤسسات عن العالقة بين المبيعات :4-تمرين ال

X تحصلنا على البيانات اآلتية:

--

-- 53 45 2385 2809 2025

-- 34 32 1184 1369 1029

69993 68005 68740 1122 1001 المجموع

. Y=0.943X+4.2: هو Xعلى Yكما أن خط انحدار .

:المطلوب

؟ ثم أكتـب معادلـة )x/y( ماهي قيمة معامل انحدار -2؟ )YوX( أوجد معامل االرتباط بين -1

؟االنحدار

- 163 -

ج .د500 ما هي قيمة المبيعات المتوقعة عند صـرف -Y .( 3 على X ( أكتب معادلة انحدار -3

على اإلعالنات

ا

:بين عدد العدسات التي تنتجها إحدى المصانع وتكلفة إنتاج العدسة الواحدة الجدول اآلتي ي :5-التمرين

X 1 3 5 10 12االنتاج

Y 20 15 10 7 5التكلفة

. ما هو خطأ تقديرك إلنتاج العدسات -2. أكتب معادلتي خط االنحدار-1: لمطلوب ا

استنتج معامل االرتباط؟-3

Y.61=X-6 و X.40=Y+20: إذا علمت أن :7-التمرين

فاحسب معامل االرتباط والمتوسط الحسابي للظاهرتين؟

: ، مع التعليل اجب بنعم أو ال:8-لتمرين ا

استقاللية؟ إذا كانت توجد بينهما 0= بين متغيرين االرتباطيكون معامل -1

سالبا معناه يوجد ارتباط ضعيف؟الخطي االرتباطعندما يكون معامل -2

متغيران مرتبطين خطيا معنى ذلك أن تغير أحدهما هونتيجة تغير اآلخر؟نإذا كا -3

ن إ، ف) Y؛X( نقطة كل منها يساوي mوأضفنا لها) Yi؛Xi( زوج من النقاط nكان لدينا إذا -4

؟n+m: النقاط هو نفسه لـ زوج من n: لـ االرتباطمعامل

:طلبة في امتحانين في مقياس اإلحصاء الوصفي10 يبين التوزيع التكراري التالي عالمات :9-التمرين

اإلمتحان1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X( 6 5 8 8 7 6 10 4 9 7(األول

Y( 8 7 7 10 5 8 10 6 8 6(الثاني

؛ y(f : (انحدار أوجد معادلة خط -2ق على الرسم؟ مع التعلياالنتشارضع شكل -1: المطلوب مايلي

)x(f؟

؟ االرتباط قس قوة -4 ماذا تالحظ؟ االنحدار أرسم خطي -3

7- العالمة االمتحانينإذاكان طالب تحصل في متوسط -6 ماهو خطأ تقديرك؟ -5

فماهو توقعك لإلمتحان الشامل؟

- 164 -

ابعةالسلسلة الس

ما الهدف من دراسة السالسل الزمنية ؟-1 :1-التمرين

في االقتصاد المعاصر تتأثر مختلف النشاطات االقتصادية بمجموعة من -2

المتغيرات وما مدى تأثيرها؟ ماهي هذه.المتغيرات ، إيجابا وسلبا

تامة الصنع في إحدى المؤسسات خالل سنة الجدول اآلتي يبين المخزون من المنتجات ال :2-التمرين

2001

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 الشهر

30 36 34 30 34 32 33 32 35 40 49 58 المخزون

مثل بيانيا المخزون بداللة أشهر السنة ؟-1:المطلوب

ومثلها بيانيا؟) عناصر 3( أكتب النقاط المتدرجة -2

وثلها بيانيا؟) الوسط النصفي ( النقاط المتوسطة بأكت-3

).عناصر5(أكتب النقاط المتحركة -4

أكتب معادلة اإلتجاه ا لعام للمخزون بطريقتي ماير،والمربعات الصغرى ،ومثلهما -5

؟2002ما هو تقديرك لمخزون مارس -6بيانيا؟وأي طريقة تفضل مع التعليل الحسابي ؟

.1995 إلى 1986 الجدول اآلتي يبين عدد األفراد الذين يملكون حسابا بريديا من :3-التمرين

1995 1994 1993 1992 1991 1990 1989 1988 1987 1986 السنة

6.65 6.34 6.04 5.72 5.39 4.96 4.53 4.14 3.69 3.16 العدد

المربعات الصغرى؟أكتب معادلة االتجاه العام بطريقة -1: المطلوب

بيانيا؟ مثل المعادلة-2

ماهو تقديرك لعدد المشتركين -4هل المعادلة قربية من الحقيقةمع التعليل الحسابي ؟-3

؟2002سنة

- 165 -

السلسلة الثامنة

–عمال الرقم القياسي است– تركيب الرقم القياسي –الرقم القياسي :إشرح المفاهيم اآلتية : 1-التمرين

2007 كيف يمكنك تركيب الرقم القياسي لألسعار االستهالكية لسنة-الرقم القياسي المرجح

1996إلى 1990الجدول اآلتي يبين األرقام القياسية لتكاليف المعيشة للفترة من : 2-لتمرين ا

.سنةاألساس1990باعتبار

1996 1995 1994 1993 1992 1991 1990 السنة

200 170 160 140 120 110 100 رقم القياسيال

على 1996 إلى 1990كون جدوال باألرقام القياسية لتكاليف المعيشة في السنوات من -1 :المطلوب

. هي األساس1994اعتبار

على 1996إلى 1990كون جدوال باألرقام القياسية لتكاليف المعيشة في كل من السنوات -2

).1994-1993( األساس هي اعتبار أن فترة

:3-التمرين

أسعارها والكميات المستهلكة منها في سنتي ) .A. –B -C-D(لدينا أربع سلع إستهالكية

كما يلي1996و1993

P0 السلعة

1993

Q0

1993

Q0% P1

1996

Q1

1996

Q1% وحدة السعر

A 0.4 45 0142 1 200 0.208 كغ

B 1.5 160 0.507 3 400 0.416 كغ

C 0.8 85 0.269 3 300 0.316 المتر

D 0.2 25 0.079 5 60 0.0625 كغ

: سنة األساس ، أحسب 1993على اعتبار

.الرقم القياسي البسيط لألسعار-1

. مارشال-فيشر-السبير-باش: الرقم القياسي المرجح-2

،أحسب الرقم القياسي لإلنفاق؟Q.P= إذا اعتبرنا أن كمية اإلنفاق -3

- 166 -

:4-التمرين

فيما يلي متوسط األجور األسبوعية في بعض أوجه النشاط في األسبوع األول من شهر

.2001واألسبوع األول من أكتوبر2000اكتوبر

النشاط

االقتصادي

-S0األجر

2000

-T0عددالعمال

2000

-S1األجر

2001

-T1عددالعمال

2001

180 3560 150 3180 الصناعة الخفيفة

170 4220 200 3860 التجارة

90 3480 80 4230 الكهرباء والغاز

110 4550 100 5270 المناجم

.أحسب الرقم القياسي البسيط لألجر األسبوعي -1:المطلوب

)سنة األساس2000علي اعتبار (أحسب الرقم القياسي المرجح لألجر األسبوعي-2

1999-1990خالل سنوات).القمح،العدس،األرز(ين إنتاج ثالثة سلع الجدول اآلتي يب:5-التمرين

السعر المادة

1990

السعر 1990الكمية

1999

1999الكمية

3200 90 2500 50 القمح

1100 170 900 105 العدس

800 225 600 150 األرز

.سنة األساس 1990باعتبار

اج الزراعي النباتي؟الرقم القياسي البسيط لإلنت-1: أحسب

الرقم القياسي المرجح لإلنتاج الزراعي النباتي؟-2

).مع التعليل الحسابي(أي طريقة تفضل من بين الطرق المرجحة -3

- 167 -

:المراجع المعتمـــــــــــدة بعض قائمة

:المراجع باللغة العربية

O.P.U 1984يقي محاضرات في اإلحصاء التطب-كالس محمد -1

O.P.U1988 – اإلحصاء –د عبد القادر حليمي -2

O.P.U1985 مبادئ اإلحصاء واإلحتمال–محمد شفيق ياسين .أنور اللحام ، د.د-3

.القبة الجزائر–نشر دارالعلوم –المعين في اإلحصاء -معين السيد.د-4

.مكتبة النهضة العربية األردن–لوصفي مبادئ اإلحصاء ا–عبد الرحمان عدس . د-5

.دارالكتب الجامعية القاهرة–أحمد عبادة سرحان ـــ مقدمة في طرق التحليل اإلحصائي . د-6

O.P.U 1985– مقدمة في اإلحصاء –محمد صبحي صالح . د-7

O.P.U 1984 –اإلحصاء الوصفي -البروس– لوكايون -8

O.P.U 1984–ء نظرية اإلحصا–عزالدين جوني . د-9

.القاهرة–دار الكتب الجامعية - اإلحصــــاء–فاروق عبدالعظيم أحمد .د-10

المكتبة األنجلو - اإلحصاء الألبارامتريفي العلوم النفسية واإلجتماعية-زكرياء الشربيني . د-11

1990مصرية

.1996–منشورات جامعة باتنة –مبادئ اإلحصاء –محمد خزار . د-12

عمان -دار الشروق-اإلحصاء للعلوم اإلدارية والتطبيقية–حميد عبد المجيد البلداوي عبد ال.د-13

1997.

مبادئ . منذر العواد. د- دعمار ناصر آغا -فريد الجاعوني . د-عدنان عباس حميدان.د-14

-اإلحصاء

.2004/1424. منشورات جامعة دمشق

: المراجع باللغة الفرنسية

1-Leurion-STATISTIQUE-Edition Foucher

2-Serie Schaum –STATISTIQUE DE LA GESTION – Edition Canada.

3 – BOISSONNADE.M et HALBIQUE.A.M -1968, statistique et probabilités, Ligel, Paris.

4 - FOURASTIER. J. et SAHLER. B -1981, probabilités et statistique, Dunod.

- 168 -

5 - GILBERT. N - 1978, statistique, Editions H.R.W. et Montréal.

6 - GRAIS.B - 1977, statistique descriptive, Dunod , France .

7 - LEURION. J , statistiques , tome 1 et 2 , Editios Foucher , France .

8 - PIATIER. A - 1961. statistique et observation économique. P.U.F, France.

9 - TORTRAT. A - 1967, principes de statistiques, Dunod , Paris .

10 - VESSEREAU. A -1976, la statistique, col. Que sais je, PUF, Paris.

- 169 -

رقم الصفحة المـــوضـــــــــــــوع

3 المقدمـــــــــــة

6 دراسة بعض المفاهيم : الفصل األول

7 مفهوم علم اإلحصاء: البحث األول

8 -شرح بعض المصطلحات اإلحصائية: البحث الثاني

9 العينة: البحث الثالث

13 الطريقة اإلحصائية: الفصل الثاني

13 جمع المعلومات: البحث األول

14 عرض المعلومات: البحث الثاني

17 تصنيف المعلومات: البحث الثالث

18 بناء الجدول التكراري: البحث الرابع

21 التمثيل البياني للجداول التكرارية: البحث الخامس

25 المقاييس اإلحصائية: الفصل الثالث

25 مقاييس النزعة المركزية:البحث األول

26 المتوسط الحسابي:البحث الثاني

30 الموسط الهندسي: البحث الثالث

32 المتوسط التوافقي: البحث الرابع

34 المتوسط التربيعي: البحث الخامس

36 الوسيط: البحث السادس

38 الربيعيان: البحث السابع

40 المنوال:البحث الثامن

43 مقاييس التشتت المطلق: البحث التاسع

59 يمقاييس التشتت النسب: البحث العاشر

62 مقاييس الشكل: الفصل الرابع

63 مقاييس اإللتواء: البحث األول

67 العزوم:البحث الثاني

فهرس المواضيع

- 170 -

69 معامل التفلطح: البحث الثالث

71 االرتباط واالنحدار: الفصل الخامس

72 االرتباط:البحث األول

79 معامل التوافق:البحث الثاني

80 قترانمعامل اال: البحث الثالث

81 االرتباط المتعدد واالرتباط الجزئي:البحث الرابع

83 االنحدار: البحث الخامس

95 الخطأ المعياري للتقدير: البحث السادس

98 تحليل السالسل الزمنية: الفصل السادس

99 تحليل السلسلة الزمنية: البحث األول

101 تجاه العام للسلسلة الزمنيةتحليل اال: البحث الثاني

106 األرقام القياسية: الفصل السابع

107 مفهوم الرقم القياسي: البحث األول

108 تركيب األرقام القياسية: البحث الثاني

124 اختبار دقة األرقام القياسية: البحث الثالث

127 سالسل تطبيقية: البحث الرابع

167 راجعــــــــالم

169 فهرس المواضـــيع