STATISTIKA THEORY WEEK 5 Distribusi Probabilitas Diskrit · PDF fileSuatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu ... Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel ... Jumlah kejadian

STATISTICS

WEEK 4

Hanung N. Prasetyo

POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG

NP

Pendahuluan:

Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau

melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku

(kelakuan) perubah acak tersebut. Sering kita menjumpai,

pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda

mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.

Oleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan denganOleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan dengan

percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas

yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama.

Dalam banyak praktek yang sering kita jumpai, hanya

memerlukan beberapa distribusi probabilitas yang penting untuk

menyatakan banyak perubah acak diskret.


NP

KompetensiKompetensiKompetensiKompetensi::::

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini,

mahasiswa diharapkan:

1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori distribusi

probabilitas disket secara benar.

2. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan2. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan

yang berkaitan dengan distribusi Binomial dan distribusi

Poisson

3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.


NP

Daftar Isi Materi:

• Pendahuluan

• Distribusi Binomial

• Distribusi Poisson• Distribusi Poisson


NP

Distribusi kemungkinan binomial atau singkatnya distribusi

binomial adalah salah satu distribusi peluang teoritis

dengan variabel random diskret. Distribusi binomial

kadang-kadang juga disebut distribusi

bernoulli(penemunya bernama james bernoulli)

Apabila probabilitas timbulnya gejala yang kita harapkan

disebut probabilitas” sukses” dan diberi simbol p(baca;p-

kecil), sedang probabilitas tidak timbul gejala yang kita

harapkan disebut probabilitas “Gagal” dan diberi simbol qharapkan disebut probabilitas “Gagal” dan diberi simbol q

atau 1 – p, maka probabilitas timbulnya gejala yang kita

harapkan sebanyak X kali dalam n kejadian (artinya X kali

akan sukses dan n – X kali akan gagal) dinyatakan dalam

rumus sebagai berikut:

XnX

nX qpX

nP −

=);(


NP

Pengantar Distribusi Binomial

Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap

usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-

kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan

bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari

percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses

Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan

berikut:

1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan

menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari

satu usaha ke usaha berikutnya.

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG

NP

Contoh 1

Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik,

diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.

Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan

mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3.

Tabel 1

C=cacat ; T=tidak cacat (baik)Hasil X

TTT 0Karena barang diambil secara acak, dan

misalkan dianggap menghasilkan 25%

barang cacat, maka

Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan

jalan ang sama.

TTT

TCT

TTC

CTT

TCC

CTC

CCT

CCC

0

1

1

1

2

2

2

3

3 3 914 4 4 64

P(TCT) P(T)P(C)P(T) ( )( )( )= = =


NP

tabel 2 Distribusi probabilitas X

Percobaan Binomial

Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah

acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi

x 0 1 2 3

f(x) 2764

964

2764

164

Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu

usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p).

Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)

Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat.

Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses

dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)

914 64

2 2 2 3P(X ) f( ) b( ; , )= = = =


NP

Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu.

Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan

probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil

menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok

pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini

dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah

(bebas) maka probabilitasnya adalah

n

x

x n xnp q

x

−

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan

probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka

distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya

kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

0 1 2x n xnb(x;n,p) p q ;x , , ,....,n

x

− = =


NP

Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 1 : n=3 dan 14

p =

314

33 0 1 2 3x xb(x; , ) p q ;x , , ,

x

− = =

Contoh 2

Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu

dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4

suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Jawab:

Misal tiap pengujian saling bebas

2

2

23 3 3 271 44 4 4 2 2 1284

42 4

2!! !

b( ; , ) ( ) ( )

= = =

Catatan:

0

1n

x

b(x;n,p)

==∑


NP

Contoh

Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah

operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini,

berapa peluang:

a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh

b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh

c). tepat 5 orang yg sembuh

Jawab:

Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh

Diket : p = 0.4 n = 15Diket : p = 0.4 n = 15

a).

Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

[ ]9

0

10 1 10 1 0 1 9

1 15 0 4

1 0 9662

0 0338

x

P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )

b(x; ; . ) lihat tabel

.

.

=

≥ = − < = − = + = + =

= − ←

= −

=

∑


NP

b)

Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779

8 2

0 0

3 8 8 2

15 0 4 15 0 4

0 9050 0 0271

0 8779

x x

P( X ) P(X ) P(X )

b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

. .

.

= =

≤ ≤ = ≤ − ≤

= − ←

= −

=

∑ ∑

c) 5 5 15 0 4 5 4P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )= = = ≤ − ≤c)

Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859

5 4

0 0

5 5 15 0 4 5 4

15 0 4 15 0 4

x x

P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )

b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

0.4032 - 0.2173

0.1859

= =

= = = ≤ − ≤

= − ←

=

=

∑ ∑


NP

Tabel 3 Cara menggunakan tabel binomial

n r p

0.01

. . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .

15 1

2 0.0271

::::

8 0.9050

9 0.9662

::

15

9

0

15 0 4 0 9662

x

b(x; ; . ) .

=→ =∑Untuk n=15, p=0.4 ;

2

0

15 0 4 0 0271

x

b(x; ; . ) .

==∑

8

0

15 0 4 0 9050

x

b(x; ; . ) .

==∑


NP

Cara lain mencari nilai distribusi Binomial: dengan cara menggunakan

minitab , langkahnya : buka Calc, probability Distribution ,pilih

binom

atau gunakan software R , langkahnya sbb(R commander):

> pbinom(9,15,0.4)

[1] 0.9661667

> pbinom(8,15,0.4)

[1] 0.9049526

> pbinom(2,15,0.4)

[1] 0.027114[1] 0.027114

> pbinom(5,15,0.4)

[1] 0.4032156

> pbinom(4,15,0.4)

[1] 0.2172777

Teorema

Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan variansi

sbb:

dan npµ = 2 npqσ =


NP

Contoh 3

Tentukan mean dan variansi dari contoh 2

Jawab:

Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4

Diperoleh:

Dan

15 0 4 6( )( . )µ = =

2 15 0 4 0 6 3 6( )( . )( . ) .σ = =Dan

1 897.σ =

15 0 4 0 6 3 6( )( . )( . ) .σ = =


NP

Karakteristik distribusi Binomial:

1. Grafiknya diskontinu(terputus-putus)

2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n

3. Bentuknya simetris bila p = q atau p≠ q asal n besar

Ciri-ciri percobaan bernoulli :

1. Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni : sukses

atau gagalatau gagal

2. Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah

sama dan dinyatakan dengan p

3. Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas)

4. Jumlah percobaan yang merupakan komponen

eksperimen binomial harus tertentu


NP

Distribusi PoisssonDistribusi Poisson disebut juga sebagai distribusi peristiwa yang

jarang terjadi (distribusi of rare event) adalah distribusi kemungkinan

teoritis dengan variabel random diskrit. Distribusi ini dianggap sebagai

pendekatan pada distribusi binomial apabila n(banyaknya percobaan)

adalah besar, sedangkan probabilitas suksesnya kecil.

Poisson distribusi bisa digunakan untuk menyebutkan benda acak


NP

berikut :

�banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruang angkasa;

� jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik;

�jumlah salah sambung ke nomor teleponmu;

�distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang.

Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan

tentang suatu distribusi Poisson.

Model data yang sering mengikuti pola Distribusi

Poisson adalah kematian bayi, banyaknya salah

cetak di suatu buku, dan probabilitas banyaknya

pelanggan tiba

Distribusi ini ditemukan oleh AhliDistribusi ini ditemukan oleh Ahli

matematik Perancis Siméon

Poisson di tahun 1837, dan

penggunaannya pertama adalah

menguraikan banyaknya

kematian kuda bagi Angkatan

perang Prusia pada waktu itu.


NP

Pengantar Distribusi Poisson

Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang menyatakan

banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut

“distribusi poisson”.

Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut:

1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang)

waktu tertentu independen dengan daerah lainya.

2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak

tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang.

3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang

sempit diabaikan.

Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan

dengan , dimana adalah rata-rata hasilp(x, t)λ tλ


NP

Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya

kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t,

dinyatakan:

dimana: e=2,71828 dan menyatakan rata-rata banyaknya sukses

yang terjadi per satuan waktu.

Misalkan , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18

0 1 2t xe ( t)

x!p(x, t) ;x , , ,.....

λ λλ−

= =

tλ

tµ λ=

diberikan pada tabel Poisson.

Contoh 1

Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu

pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung

paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari

tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu

melayani. POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG

NP

Jawab:

Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari

X = {1, 2, 3, . . . . . , 15}

Maka

Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487

15

0

15 1 15 1 10

1 0 9513 0 0487

x

P(X ) P(X ) p(x; ) tabel

. .

=> = − ≤ = − ←

= − =

∑


NP

Contoh 2 :Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang

memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100 ribu pembaca. Jika

kemungkinan seorang akan membalas ikaln tersebut 0,00002

Ditanyakan :

a. Berapa orangkah diharapkan akan membalas iklan tersebut.

b. Berapa kemungkinannya bahwa yang akan membalas iklan tersebut hanya

seorang

c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas

Jawab :


NP

Jawab :

Diketahui

n = 100.000 p = 0,00002

a. Berapa orang diharapkan akan membalas :

misal u (rata-rata yang diharapkan) = n . p = 100.000 (0,00002) = 2

b. Kemungkinan bahwa yang membalas iklan tersebut hanya seorang berarti

X = 1

Maka

c. Kemungkinan tidak ada yang membalas artinya X = 0

%07,2727068,0)1(

!1

)13534,0(2

!1

.2)1(

21

≈=

==−

P

eP


NP

c. Kemungkinan tidak ada yang membalas artinya X = 0

%53,1313534,01

)13534,0(1

!0

.2)0(

20

≈===−e

P

Contoh 3: Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC

adalah 0,001. Dari 2000 orang penderita penyakit tersebut berapa

probabilitas

a. Tiga orang akan mati

b. Yang mati tidak lebih dari satu orang

c. Lebih dari 2 orang yang mati

Jawab :


NP

Jawab :

Diketahui

n = 2000

p = 0,001

µ = n.p = 2000 X 0,001 = 2

a. Tiga orang akan mati

b. Yang mati tidak lebih dari satu orang

%04,1818045,06

08272,1

1.2.3

)13534,0(8

!3

.2)3(

23

≈==

==−e

P

c. Coba hitung sendiri!


NP

%6,40

40602,027068,013534,0)1()0(

27068,01

27068,0

!1

.2)1(

13534,0!1

.2)0(

)1()0(

21

20

≈

=+=+

===

==

+

−

−

PPjadi

eP

eP

PP

Teorema

Distribusi poisson mempunyai rata-rata dan variansi

sbb dan tµ λ=

Contoh 4

Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghitung

selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. berapa

probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu.

Jawab:

p(x, t)λ2 tσ λ=

Jawab:

dari tabel poisson dengan diperoleh

dari diperoleh

Jadi, selang yang ditanyakan adalah dari 0 sampai 8

6 4x ; tµ λ= = =

2 8 2 0danµ σ µ σ+ = − =

6 54 64

60 0

6 4 4 4 0 8893 0 7851 0 1042e ( )

!x x

p( ; ) p(x; ) p(x; ) , , ,−

= == = − = − =∑ ∑

24 4t danµ λ σ= = =


NP

r

0. 1 . . . . . . . 4.0 . . . . . . . . .

0

1

:::

5 0,7851

Tabel 4 Cara menggunakan tabel Poisson

µ

Meggunakan R:

> ppois(6,4)

[1] 0.889326

> ppois(5,4)

[1] 0.7851304

1

6 0,8893

::

16

6

0

4 0 8893

x

p(x; ) .

=→ =∑

Untuk n=15, p=0.4, menggunakan tabel diperoleh:

5

0

4 0 7851

x

p(x; ) .

==∑


NP

Teorema

Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi probabilitas

b(x,n,p). Jika n , p dan tetap sama maka

Contoh 3

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas,

terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan.

npµ =→ ∞ 0→

b(x,n,p) p(x, )µ→

28

terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan.

Jika diketahui rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai

satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel

acak sebesar 8000 barang akan erisi kurang dari 7 yang bergelembung?

Jawab:

n=8000, p=0.001 dihampiri dengan distribusi poisson dengan

diperoleh menggunakan tabel: 8000 0 001 8( )( , )µ = =


NP

Jika tidak menggunakan tabel, cara lain, gunakan R, langkahnya

> pbinom(6,8000,0.001)

[1] 0.3132521

> ppois(6,8)

[1] 0.3133743

Diperoleh:

6 6

0 0

7 8000 0 001 8 0 3134

x x

P(X ) b(x; , . ) p(x; ) ,

= =< = = =∑ ∑

6

8000 0 001b(x; , . ) 0.3132521=∑

Dan

0

8000 0 001

x

b(x; , . ) 0.3132521

==∑

6

0

8

x

p(x; ) 0.3133743

==∑


NP

Suatu proses dikatakan mengikuti proses Poisson jikamemenuhi kriteria sebagai berikut:

1. Jumlah kejadian yang muncul dalam satu interval waktuatau daerah tertentu adalah independen terhadapkejadian yang muncul pada interval waktu atau daerahatau daerah tertentu adalah independen terhadapkejadian yang muncul pada interval waktu atau daerahtertentu lainnya yang disjoin.

2. Probabilitas munculnya lebih dari satu kejadian dalamselang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat sempit tersebut adalah sangat kecil dan dapatdiabaikan.

TELKOM

POLYTECHNIC/HANUNGNP

Documents

STATISTIKA THEORY WEEK 5 Distribusi Probabilitas Diskrit · PDF fileSuatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu ... Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel ... Jumlah kejadian