Statistik – karakteristiske værdier 1 BESTEMMELSE AF ... · Statistik – karakteristiske værdier 9 Ved ‘design baseret på prøvning’ stilles krav til: - et mindste antal

Statistik – karakteristiske værdier 1

BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER bestemmelse af karakteristiske værdier for materialeparametre og modstandsevner • metode i anneks A i DS 409 (DS 409: Sikkerhedsbestemmelser for Konstruktioner, 1999) baseret på klassik statistik • metode i anneks D i EN 1990 (Eurocode 0: Basis of structural design) baseret på Bayesiansk statistik Anvendelse af forsøg i design: • materialeparametre kendes ikke med tilstrækkelig sikkerhed • beregningsmodellerne ikke er tilstrækkeligt verificeret • der skal benyttes et stort antal ens komponenter • der ønskes udført kvalitetskontrol på det leverede materiale eller de leverede komponenter Typer af forsøg: • forsøg til at bestemme specifikke materialeparametre • forsøg til at reducere usikkerhed i beregningsmodeller • kontrol forsøg til at checke kvaliteten af leverede materialer


Fastlæggelse af karakteristiske værdier ved anvendelse af anneks A i DS 409 Ingen statistisk usikkerhed: Karakteristisk værdi, kx for stokastisk variabel X : bestemmes ⋅p 100 % fraktilen i fordelingsfunktionen )(xFX :

)(1 pFx Xk−=

Normalt benyttes 05.0=p , dvs. 5 % fraktiler


Statistisk usikkerhed medtages: Begrænset antal stikprøver til rådighed: n stikprøveværdier: ),...,,( 21 nxxx I DS 409 bestemmes den karakteristiske værdi kx som det nedre endepunkt i et 84.1 % konfidensinterval for fraktilværdien Normal fordelt variabel med ukendt middelværdi og spredning. Middelværdi m og varians 2s :

∑==

n

iix

nm

1

1

∑ −−

==

n

ii xx

ns

1

22 )(1

1

Karakteristiske værdi: skmx ssk −= nkx , og ∞,kx svarende til n og uendelig mange forsøgsresultater


Forklaring af sk : m udfald af stokastisk variabel X : Normalfordelt med middelværdi μ og spredning n/σ

2

2

)1(σsn − udfald af stokastisk variabel 2

2

)1(σSn − : 2χ fordelt med )1( −n frihedsgrader

På basis af stikprøveparametrene m og 2s estimeres stikprøvens karakteristiske værdi:

skmx ssk −= der vil være et udfald af en stokastiske variabel

SkXX ssk −= Faktoren sk bestemmes således, at sandynligheden for at X sk er mindre end (den sande værdi) kx mindst er q , d.v.s. kx ligger på den sikre side i forhold til estimatet skX q : konfidensniveauet typisk lig 0.841


( ) qnknunTP

nkS

nun

X

P

uSkXPxXP

sp

s

p

psksk

≥≤−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≤−

−

=

+≤−=≤

),(

//

)()(

σσ

μ

σμ

hvor ),( nunT p− har en ikke-central t -fordeling med 1−n frihedsgrader og ikke-centralitets parameteren nu p−=λ For givne værdier af p , n og q kan sk bestemmes


Normal fordelt variabel med ukendt middelværdi og kendt spredning σ

Middelværdi ∑==

n

iix

nm

1

1

Karakteristiske værdi: σσkmxsk −= p=0,023 p=0,05 p=0,10 n sk σk sk σk sk σk 5 3,47 2,44 2,91 2,09 2,33 1,7310 2,79 2,31 2,34 1,96 1,87 1,6015 2,59 2,25 2,16 1,90 1,73 1,5420 2,49 2,22 2,07 1,87 1,65 1,5130 2,38 2,18 1,98 1,83 1,57 1,4650 2,28 2,14 1,89 1,79 1,50 1,42100 2,19 2,10 1,81 1,75 1,43 1,38∞ 2.00 2.00 1,65 1,65 1,28 1,28σk og sk som funktion af n for q=0.841 og p=0.023, 0.05 og 0.10. Værdierne svarer til

kontroltallene i anneks A i DS 409.


Forklaring af σk : Benyttes de samme principper som ovenfor fås

( )

( )( ) quknUP

uknn

XP

ukXPxXP

p

p

pksk

≥+≤=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≤

−=

+≤−=≤

/

)()(

σ

σ

σ

σμ

σμσ

hvor U er standard Normal-fordelt med forventningsværdi = 0 og spredning = 1 →

nquk p /)(1−Φ+−=σ


LogNormalfordelte stokastiske variabler Antages X at være LogNormal fordelt er XY ln= normalfordelt LogNormal fordelt variabel med ukendt variationskoefficient

Middelværdi: ∑==

n

iiY x

nm

1ln1

Varians: ∑ −−

==

n

iYiY mx

ns

1

22 )(ln1

1

Karakteristiske værdi: )exp( YsYsk skmx −= LogNormal fordelt variabel med kendt variationskoefficient mV

Middelværdi: ∑==

n

iiY x

nm

1ln1

Karakteristisk værdi: )exp())1ln(exp( 2

mYmYsk VkmVkmx σσ −≅+−=


Ved ‘design baseret på prøvning’ stilles krav til:

- et mindste antal forsøg, f.eks. 5≥n . -

- hvordan en homogen population defineres, herunder hvordan forsøgsresultaterne udtages / bestemmes udfra en given produktion, f.eks. hvor mange stikprøver der skal udtages fra hver kontrolafsnit.


Eksempel Forsøg med =n 5 indlimede armeringsjern giver følgende målte styrker: 22.3 kN, 28.6 kN, 26.4 kN, 30.4 kN og 24.2 kN Styrken modelleres ved en Lognormal fordeling og spredningen er ukendt Middelværdi:

( )

3.266 =

2.24ln4.30ln4.26ln6.28ln3.22ln51

ln11

++++=

∑==

n

iiY m

nm

Spredning:

∑ −−

==

n

iiy ym

ns

1

2)(ln1

1 = 0.138

Karakteristisk værdi: 5 % fraktil: sk =2,91

5.17)138.091,2266.3exp()exp( =⋅−=−= ysYk skmx kN


Fastlæggelse af karakteristiske værdier ved anvendelse af anneks D i EN 1990 (Eurocodes) • Bayesiansk statistik benyttes Normal fordelt variabel med ukendt middelværdi og spredning. Middelværdi μ og spredning σ antages ukendte / usikre Prior fordeling for μ og σ : Normal-Invers-Gamma-2 fordeling med parametrene 'm , 'ν , ′s og 'n

Test resultater: )ˆ,...,ˆ,ˆ(ˆ 21 nxxx=x Test statistikker:

∑==

n

iix

nm

1ˆ

1

∑ −−

==

n

ii xx

ns

1

22 )''ˆ(1

1

1−= nν


Posterior fordeling: Normal-Invers-Gamma-2 fordeling med parametrene

nnn += '''

( ) ''/'''' nnmmnm +=

( ) ''/'''''''' 222222 ννν mnnmsmnss −+++=′′

1''' −+= ννν for 1'≥ν og ννν += ''' for 0'=ν Prediktiv (opdateret) fordeling for X givet )ˆ,...,ˆ,ˆ(ˆ 21 nxxx=x : Student-t fordeling Karakteristisk værdi svarende til fraktil værdi (sandsynlighed) på p :

''11'''' ,'' n

stmx pvsk +−=

hvor pvt ,'' : p-fraktil i Student-t fordelingen med ''ν frihedsgrader


Prior fordelingen er karakteriseret ved prior parametrene 'm , 'ν , ′s og 'n Information udtrykkes ved:

')( sE =σ '2

1)(v

COV =σ

')( mE =μ ''

')(nm

sCOV =μ

Haves et skøn på )(σE , )(σCOV , )(μE og )(μCOV kan prior parametrene 'm , 'ν , ′s og 'n bestemmes


Normal fordelt variabel med ukendt middelværdi og kendt spredning σ Middelværdi μ antages ukendt / usikker Prior fordeling for μ : Normal fordeling med parametrene 'm og '/ nσ Test resultater: )ˆ,...,ˆ,ˆ(ˆ 21 nxxx=x Test statistik:

∑==

n

iix

nm

1ˆ

1

Posterior fordeling for μ : Normal fordeling med

Middelværdi: nnmnnmm

++

='''''

Spredning: ''/'' ns σ= hvor nnn += '''


Prediktiv (opdaterede) fordeling for X givet )ˆ,...,ˆ,ˆ(ˆ 21 nxxx=x : Normal fordeling med Middelværdi: ''m

Spredning: ''1''

nn +

σ

Karakteristisk værdi svarende til fraktil værdi (sandsynlighed) på p bestemmes af:

''11''n

umx psk +−= σ

pu : p-fraktilen i standard Normal fordelingen


Prior fordelingen er karakteriseret ved prior parametrene 'm og 'n Information udtrykkes ved:

')( mE =μ ''

)(nm

COV σμ =

Haves et skøn på )(μE og )(μCOV kan prior parametrene 'm og 'n bestemmes


Ingen prior information : diffus prior Situation med ukendt spredning:

'ν = 0 og 'n =0 'm og ′s : ikke relevante Hermed fås:

nn ='' mm =''

22 ss =′′ 1'' −= nν

→

skmn

stmx spnsk''

,'111 −=+−= −

ntk pns

11,1'' += − : faktor, som findes i tabel D1 i Anneks D i EN 1990 for ukendt spredning


Situationen med kendt spredning :

'n =0 ∞='ν ′s = σ 'm : ikke relevant Hermed fås:

nn ='' mm =''

22 σ=′′s ∞=''ν

→

σσσ σ''

,1111 kmn

umn

tmx ppsk −=+−=+−= ∞

nuk p

11'' +=σ : faktor, som findes i tabel D1 i Anneks D i EN 1990 for kendt spredning


p=0,025 p=0,05 p=0,10 n pnt ,1− pu pnt ,1− pu pnt ,1− pu 5 2.766 1.960 2.132 1,645 1.533 1,28210 2.262 1.960 1.833 1,645 1.383 1,28215 2.145 1.960 1.761 1,645 1.345 1,28220 2.093 1.960 1.729 1,645 1.328 1,28230 2.045 1.960 1.699 1,645 1.311 1,28250 2.009 1.960 1.676 1,645 1.299 1,282100 1.984 1.960 1.660 1,645 1.290 1,282∞ 1.960 1.960 1,645 1,645 1,282 1,282

p=0,025 p=0,05 p=0,10 n ''

sk ''σk ''

sk ''σk ''

sk ''σk

5 3.03 2.15 2.33 1.80 1.68 1.40 10 2.37 2.06 1.92 1.73 1.45 1.35 15 2.22 2.02 1.82 1.70 1.39 1.32 20 2.15 2.01 1.77 1.69 1.36 1.31 30 2.08 1.99 1.73 1.67 1.33 1.30 50 2.03 1.98 1.69 1.66 1.31 1.29 100 1.99 1.97 1.67 1.65 1.30 1.29 ∞ 1.96 1.96 1,65 1,65 1,28 1,28


LogNormalfordelte stokastiske variabler Antages X at være LogNormal fordelt er XY ln= normalfordelt X LogNormal fordelt variabel med ukendt variationskoefficient

Middelværdi: ∑==

n

iiY x

nm

1ln1

Spredning: ∑ −−

==

n

iYiY mx

ns

1

22 )(ln1

1

Karakteristisk værdi: )exp( ''

YsYsk skmx −= X LogNormal fordelt variabel med kendt variationskoefficient mV

Middelværdi: ∑==

n

iiY x

nm

1ln1

Karakteristisk værdi: )exp())1ln(exp( ''2''

mYmYsk VkmVkmx σσ −≅+−=


Eksempel Eksempel med indlimede armeringsjern betragtes igen Styrken normal fordelt og spredning ukendt =n 5 forsøgsdata giver

Middelværdi: m = 26.38 kN Spredning: s = 3.26 kN Ingen prior viden er til rådighed 5% fraktil : ''

sk =2.33 : skmx ssk''−= = 19.1 kN


Prior viden er til rådighed

')( mE =μ = 25 kN ''

')(nm

sCOV =μ = 0.1

')( sE =σ = 3 kN '2

1)(v

COV =σ = 0.2

Heraf bestemmes 'ν = 12.5 og 'n = 1.44

1−= nν = 4 nnn += ''' = 6.44

( ) ''/'''' nnmmnm += = 26.1 kN 1''' −+= ννν = 15.5

( ) ''/'''''''' 222222 ννν mnnmsmnss −+++=′′ = 10.17 kN2

Med p = 0.05 findes pvt ,'' = 1.76

5% fraktil: ''

11'''' ,'' nstmx pvsk +−= = 20.0 kN

Documents

Statistik – karakteristiske værdier 1 BESTEMMELSE AF ... · Statistik – karakteristiske værdier 9 Ved ‘design baseret på prøvning’ stilles krav til: - et mindste antal