Statika konstrukcija - Zbirka zadataka - · PDF file2. proraˇcun presje ˇcnih sila na stati ˇcki odre denim nosaˇcima 40 300 280 236 80 40 20 40 m-+-258 40 118 18 22 22 82 40 60

2.1 PROSTE GREDE I GREDE S PREPUSTOM

Zadatak 4 Za nosac i opterecenje na slici 2.6:

a) nacrtati dijagrame momenata, transverzalnih i normalnihsila,

b) nacrtati uticajne linije za presjecne sile u naznacenim pres-jecima,

c) rezultate dobijene pod a) kontrolisati preko uticajnih linijadobijenih pod b)

2m 5m 1m 1m 3m

1m

60kN

p = 20kN/m

80kNm2

3 1

“1.0”

“1.0”

Slika 2.6

Rjesenje

a) Dijagrami presjecnih silaOdredivanje reakcija

2m 5m 2m 3m

60kN

40kN20kNm

p = 20kN/m p = 20kN/m

x

x′

80kNmAH

AV BV

A

BC

Slika 2.7

→: 𝐴𝐻 = 60𝑘𝑁y𝐴 : 7 · 20 · 1.5 + 40 · 5− 20 + 60 · 8.5− 80−𝐵𝑉 · 10 = 0

⇒ 𝐵𝑉 = 82𝑘𝑁y𝐵 : 𝐴𝑉 · 10− 140 · 8.5− 40 · 5− 20− 60 · 1.5− 80 = 0

⇒ 𝐴𝑉 = 158𝑘𝑁

Provjera ↑: 158 + 82− 40− 10 · 20 = 0

2m

1m

60kN

40kN

60kN

20kNm

p = 20kN/m

x

x1

C

E D

Slika 2.8

Presjecne sile

Dio D-E

0 ≤ 𝑥 < 2

𝑀(𝑥) = −20 · 𝑥 · 𝑥2= −10𝑥2

𝑇 (𝑥) = −20𝑥𝑁(𝑥) = 0

Dio E-C

0 ≤ 𝑥1 ≤ 1

𝑀(𝑥1) = −40 + 60 · 𝑥1𝑇 (𝑥1) = 60

𝑁(𝑥1) = −40

Dio A-B

0 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑀(𝑥) = −20 · 𝑥 · 𝑥2= −10𝑥2

𝑇 (𝑥) = 20𝑥

𝑁(𝑥) = 0 𝑥 0 2

𝑀 0 −40𝑇 0 40𝑁 0 0

2 ≤ 𝑥 ≤ 7

𝑀(𝑥) = −20 · 𝑥 · 𝑥2+ 158 · (𝑥− 2) = −10𝑥2 + 158𝑥− 316

𝑇 (𝑥) = 20𝑥− 158

𝑁(𝑥) = −60 𝑥 2 7

𝑀 −40 300𝑇 −118 −18𝑁 −60 −60

0 ≤ 𝑥′ ≤ 3

𝑀(𝑥′) = 80 + 82 · 𝑥′ − 20 · 𝑥′ · 𝑥′

2= −10𝑥′2 + 82𝑥′ + 80

𝑇 (𝑥′) = 82− 20𝑥′

𝑁(𝑥′) = 0 𝑥′ 0 3

𝑀 80 236𝑇 82 22𝑁 0 0

3 ≤ 𝑥′ ≤ 5

𝑀(𝑥′) = 80 + 82 · 𝑥′ − 60(𝑥′ − 1.5) = 22𝑥′ + 170

𝑇 (𝑥′) = 82− 3 · 20 = 22

𝑁(𝑥′) = 0 𝑥′ 3 4 5

𝑀 236 258 280𝑇 22 22 22𝑁 0 0 0

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 23

http://siljak.ba/statika

http://siljak.ba

2. PRORACUN PRESJECNIH SILA NA STATICKI ODREDENIM NOSACIMA

40

300

280 236

80

40

20

40

M

-

+

-

258

40

118

18

22

22

82

40

60

T

+

--

+

+

22

60

60

40

N

-

-

b) Uticajne linijeVertikalna pokretna sila “1”

x𝐴 : 𝐵𝑉 · 10− 1.0 · (𝑥− 2) = 0

⇒ 𝐵𝑉 =𝑥− 2

10y𝐵 : 𝐴𝑉 · 10− 1.0 · (12− 𝑥) = 0

⇒ 𝐴𝑉 =12− 𝑥10

2m 5m 1m 1m 3m

1m2

3 1

“1.0”

“1.0”A B

C

E D

Slika 2.9

Presjek 1

0 ↓ 𝐷

𝑀1 = 4 ·𝐵𝑉 = 4 · 𝑥− 2

10

𝑇1 = 𝐵𝑉 =𝑥− 2

10

𝑁1 = 0

𝐷 ↓ 𝐵

𝑀1 = 6 ·𝐴𝑉 = 6 · 12− 𝑥10

𝑇1 = −𝐴𝑉 =𝑥− 12

10

𝑁1 = 0

Presjek 2

0 ↓ 2

𝑀2 = −1.0 · (2− 𝑥) = 𝑥− 2

𝑇2 = 1.0

𝑁2 = 0

2 ↓ 𝐵

𝑀2 = 0

𝑇2 = 0

𝑁2 = 0

Presjek 3

0 ↓ 3

𝑀3 = 5 ·𝐵𝑉 =𝑥− 2

2

𝑇3 = 𝐵𝑉 =𝑥− 2

10

𝑁3 = 0

3 ↓ 𝐵

𝑀3 = 5 ·𝐴𝑉 =12− 𝑥

2

𝑇3 = −𝐴𝑉 =𝑥− 12

10

𝑁3 = 0

24 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba


http://siljak.ba

2.1 PROSTE GREDE I GREDE S PREPUSTOM

2m 5m 1m 1m 3m

1m2

3 1

“1.0”

A B

C

E D

-0.2

1

“BV ”

+

1.2

“AV ”

+

0.8

2.8

1.8

“M1”

+

0.2

0.7

0.3

“T1”+

0“N1”

2

0“M2”

-

1 1

0“T2”

+

0“N2”

1

2.5

“M3”

+

-

0.2

0.5

0.5

“T3”-

+

0“N3”

Slika 2.10

Horizontalna pokretna sila

→: 𝐴𝐻 = 1.0x𝐴 : 𝐵𝑉 · 10− 1.0 · 𝑦 = 0

⇒ 𝐵𝑉 =𝑦

10y𝐵 : 𝐴𝑉 · 10 + 1.0 · 𝑦 = 0

⇒ 𝐴𝑉 = − 𝑦

10

Presjek 1

𝑀1 = 4 ·𝐵𝑉 =2

5𝑦

𝑇1 = 𝐵𝑉 =𝑦

10

𝑁1 = 0

Presjek 2

𝑀2 = 0

𝑇2 = 0

𝑁2 = 0

Presjek 3

𝑀3 = 5 ·𝐴𝑉 = −𝑦2

𝑇3 = −𝐴𝑉 =𝑦

10

𝑁3 = 𝐴𝐻 = 1.0

2m 5m 1m 1m 3m

1m2

3 1

“1.0”A B

C

E D 1

“AH”

+

0.1

“BV ”+

0.1

“AV ”-

0.4

“M1”

+

0.1

“T1”+

0 “N1”

0“M2 ≡ T2 ≡ N2”

0.5

“M3”

-

0.1

“T3”+

1

“N3”

+

Slika 2.11



http://siljak.ba


c) Provjera presjecnih sila koristeci uticajne linije

Posto vrijednost uticajne linije 𝜂𝑚 predstavlja vrijednost uticaja(dakle momenta, poprecne ili normalne sile) u posmatranompresjeku ili reakcije na mjestu reakcije, od sile 𝑃 = 1, vrijednostuticaja od stvarnog opterecenja cemo dobiti mnozeci vrijednostiuticajne linije sa opterecenjem.

𝑍𝑟 =∑𝑖

𝐹𝑖 · 𝜂𝑖 +∫𝑞(𝑥) · 𝜂(𝑥) d𝑥 (2.1)

gdje su

• 𝑍𝑟 - stvarna vrijednost uticaja (reakcija, momenat,poprecna ili normalna sila) u posmatranom presjeku (zapresjecne sile),

• 𝐹𝑖 - stvarne koncentricne sile,

• 𝜂𝑖 - vrijednosti uticajne linije ispod mjesta djelovanja kon-centricnih sila 𝐹𝑖,

• 𝑞(𝑥) - stvarno promjenjivo opterecenje. U slucaju da je𝑞(𝑥) = const onda moze izaci ispred integrala pa je vrijed-nost uticaja od ravnomjerno podjeljenog opterecenja

𝑍𝑟 = 𝑞

∫𝜂(𝑥) d𝑥 (2.2)

Integral∫𝜂(𝑥) d𝑥 predstavlja povrsinu koju funkcija 𝜂(𝑥)

zatvara sa 𝑥 osom. Posto su kod staticki odredenih nosacauticajne linije uvijek linearne funkcije, onda se povrsinaispod uticajne linije uvijek moze proracunati bez integral-jenja, vec direktnim racunanjem povrsine geometrijske fig-ure koju zatvara uticajna linija. Na primjer prvi clan usljedecoj jednakosti kod proracuna vrijednosti momenta

𝑀1,0.8 · 2

2predstavlja povrsinu trougla koji uticajna lin-

ija za “𝑀1” zaklapa, za vrijednosti 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, koja jeonda pomnozena sa vrijednosti kontinualnog opterecenja20. Predznaci se naravno uvazavaju kako uticajnih linijatako i opterecenja.

𝑀1 = −0.8 · 22· 20 + 2.8 · 7

2· 20 + 1.8 · 3

2· 20 + 80

3· 1.8

− 60 · 25= 258

𝑇1 = 0.2 · 20 + 2.45 · 20− 0.45 · 20− 80 · 0.1− 60 · 0.1 = 22

𝑁1 = 0

𝑀2 = −40𝑇2 = 40

𝑁2 = 0

𝑀3 = −20 + 125 + 125 + 80 · 0.5 + 30 = 300

𝑇3 = −4 + 25− 25− 80 · 0.1− 60 · 1

10= −18

𝑁3 = −60 · 1.0 = −60



http://siljak.ba


Zadatak 8 Za dati nosac i opterecenje na slici 2.17:

a) Provjeriti staticku odredenost,

b) Nacrtati dijagrame momenata, transverzalnih i normalnihsila,

c) Nacrtati uticajne linije za M, T i N a za naznaceno kretanjejedinicne sile,

d) Rezultate dobijene pod b) kontrolisati preko uticajnih lin-ija dobijenih pod c).

2m 2m 2m 3m 2m 3m 2m 2m 1 1

8m

100kNp = 20kN/m

80kNm

1 2 3

“1.0”

Slika 2.17

Rjesenje

a) Provjera staticke odredenosti

𝑆𝑆𝐾 = 2𝑛− (𝑠+ 𝑐+ 𝑟) = 2 · 9− (8 + 3 + 7) = 0

⇒ Staticki odreden nepokretan sistem.

b) Reakcije i presjecne sile

2m 2m 2m 3m 2m 3m 2m 2m 1 1

8m

α β

100kNp = 20kN/m

80kNm

40

40

S1 S2

S3

11.642m

A

xA

B

xB

Slika 2.18

A - presjek 𝑆1 i 𝑆2

3

8𝑦𝐴 = −2

8𝑦𝐴 + 2⇒ 𝑦𝐴 = 3.2

𝑥𝐴 =3

8· 3.2 = 1.2

B - presjek 𝑆2 i 𝑆3

3

8𝑦𝐵 = −2

8𝑦𝐵 + 5⇒ 𝑦𝐵 = 8

𝑥𝐵 =3

8· 8 = 3

x𝐴 : 𝑆3 · 11.642− 40 · 13.2− 100 · 6.2 + 180 · 0.3 = 0

⇒ 𝑆3 = 93.97𝑘𝑁

y𝐵 : 𝑆1 · 11.642− 180 · 7.5− 100 · 1 + 40 · 6 = 0

⇒ 𝑆1 = 103.93𝑘𝑁

→ : 𝑆2 · cos𝛽 − 𝑆1 · cos𝛼− 𝑆3 · cos𝛼 = 0

⇒ 𝑆2 = 136.7𝑘𝑁

-40

-104.2

-6.54

160

80

52.5

+

--

+

M

40

-60.83

79.17

-48.83

51.17

-40

52.5

-

+

-

+

-

T

25.2

-22.79

-103.9

-136.7

-93.97

+-

-

-

-

N



http://siljak.ba

2.2 RAVNI NOSACI SA ZGLOBOVIMA

c) Uticajne linije

0 ≤ 𝑥 ≤ 18

𝑆1 =12− 𝑥11.642

𝑆2 = 0.428

𝑆3 =𝑥− 4.8

11.642

𝑅𝐶 = 0

18 ≤ 𝑥 ≤ 20

𝑆1 = (𝑥− 20) · 0.258

𝑆2 = −0.214𝑥+ 4.277

𝑆3 = (20− 𝑥) · 0.567

𝑅𝐶 =𝑥− 18

2

Presjek 1

0 ↓ 1

𝑀1 = −1 · (2− 𝑥)𝑇1 = 1− 𝑆1 · sin𝛼 = 0.083 · 𝑥𝑁1 = 𝑆1 · cos𝛼 = 0.0208(12− 𝑥)

1 ↓ 𝐷

𝑀1 = 0

𝑇1 = −𝑆1 · sin𝛼 = −0.0833 · (12− 𝑥)𝑁1 = 𝑆1 · cos𝛼 = 0.0208(12− 𝑥)

𝐷 ↓ 𝐶

𝑀1 = 0

𝑇1 = −𝑆1 · sin𝛼 = −0.25 · (20− 𝑥)𝑁1 = 𝑆1 · cos𝛼 = −0.0625(20− 𝑥)

Presjek 2

0 ↓ 2

𝑀2 = 3𝑆3 sin𝛼 = 0.25(𝑥− 4.8)

𝑇2 = 𝑆3 sin𝛼 = −0.3996 + 0.0833𝑥

𝑁2 = −𝑆3 · cos𝛼

2 ↓ 𝐷

𝑀2 = 3𝑆3 sin𝛼− 1(𝑥− 11) = 0.25(𝑥− 4.8)− 𝑥+ 11

𝑇2 = −1.399 + 0.0833𝑥


𝐷 ↓ 𝐶

𝑀2 = 1.85𝑥− 37

𝑇2 = −0.05𝑥+ 1


Presjek 3

0 ↓ 3

𝑀3 = 𝑅𝐶 · 1 =𝑥− 18

2

𝑇3 = 𝑅𝐶 =𝑥− 18

2

3 ↓ 𝐶

𝑀3 = 𝑅𝐶 − 1(𝑥− 19) =𝑥− 18

2− 𝑥+ 19

𝑇3 = 𝑅𝐶 − 1 =𝑥− 18

2− 1

18m 2m

x

α β

RC

S1

S2S3

“1.0”D C

1 2

3

0.412

1.134

“S3”

+

-

1.03

0.515

“S1”

+

-

0.428

0.428

“S2”+

1

“RC”+

2

“M1”

-0.166

0.833

0.5

“T1”

-

+

0.25

0.125

“N1” +

1.199

1.55

3.7

“M2”

-

+

-

0.3996

0.517

0.48

0.1

“T2”+

-

0.01

-0.295

“N2” -

0.5

“M3” +

0.5

-0.5

“T3”+-

“N3”



http://siljak.ba


d) Provjera rezultata

𝑀1 = −40𝑇1 = 3.32− 3.79 · 20− 100 · 0.0833 + 80 · 0.24975 = −60.83𝑁1 = 1.406 · 20 + 0.02083 · 100− 80 · 0.0625 = 25.2

𝑀2 = −20 · 4.8 · 1.1992

+ 204.2 · 1.05

2+ 100 · 1.5497

− 1.85 · 80 = −6.5𝑇2 = −19.169− 48.33 + 4 + 14.7 = −48.8𝑁2 = 4.79− 3.67− 12.92− 11 = −22.8

𝑀3 = 0.5 · 80 = 40

𝑇3 = −0.5 · 80 = −40𝑁3 = 0



http://siljak.ba

2.3 TROZGLOBNI I SRODNI NOSACI

Zadatak 11 Odrediti reakcije, presjecne sile i uticajne linije zanosac na slici 2.23

10kN/m

R = 5m

B

A

R =5m

BH

AH

AV

Slika 2.23

Rjesenje

Reakcije

↑ : 𝐴𝑉 − 10 · 5.0 = 0 ⇒ 𝐴𝑉 = 50𝑘𝑁y𝐴 : 𝐵𝐻 · 5− 10 · 5 · 2.5 = 0⇒ 𝐵𝐻 = 25𝑘𝑁

→ : 𝐴𝐻 −𝐵𝐻 = 0 ⇒ 𝐴𝐻 = 25𝑘𝑁

Presjecne sile

B

A

R · cosϕ

R = 5m

c

Nϕ

Tϕ

Mϕ

ϕ

10kN/m

θ = 90− ϕ

AH

AV

Slika 2.24

y𝑐 : 𝑀𝜙 +𝐴𝐻 ·𝑅 · sin𝜙−𝐴𝑉 ·𝑅 · (1− cos𝜙)

+ 10 · 𝑅2 · (1− cos𝜙)2

2= 0

⇒ 𝑀𝜙 = 𝐴𝑉 ·𝑅 · (1− cos𝜙)−𝐴𝐻 ·𝑅 · sin𝜙

− 10 · 𝑅2 · (1− cos𝜙)2

2

= 50 · 5 · (1− cos𝜙)− 25 · 5 · sin𝜙

− 10 · 52 · (1− cos𝜙)2

2

= 250 · (1− cos𝜙)− 125 · sin𝜙− 125 · (1− cos𝜙)2

= 125 · (− sin𝜙− cos2 𝜙+ 1)

= 125 · (sin2 𝜙− sin𝜙)

Suma horizontalnih i vertikalnih sila daje

𝐻𝜙 = −25𝑉𝜙 = 50− 10 · 5 · (1− cos𝜙)

Koristeci odnose sin(90∘ − 𝜙) = cos𝜙 i cos(90∘ − 𝜙) = sin𝜙dobijamo obrazce za transformaciju

𝑁𝜙 = 𝐻𝜙 · sin𝜙− 𝑉𝜙 · cos𝜙𝑇𝜙 = 𝐻𝜙 · cos𝜙+ 𝑉𝜙 · sin𝜙

i konacno normalnu i poprecnu silu u zavisnosti od ugla 𝜙

𝑁𝜙 = −25 · sin𝜙− 50 · cos2 𝜙𝑇𝜙 = −25 · cos𝜙+ 50 · cos𝜙 sin𝜙

23.98

31.25

25.891

4.504.11

25.00

11.65

0.00

7.32

9.156.03

50.00

53.12

50.00

42.683

4.15

27.50

25.00

M

T

N

-

-

+

-

Slika 2.25



http://siljak.ba


Zadatak 16 Za konstrukciju na slici 2.31:

a) odrediti stepen staticke neodredenosti,

b) proracunati reakcije, presjecne sile i nacrtati dijagramepresjecnih sila,

c) proracunati i nacrtati uticajne linije za reakcije, momenat,poprecnu i normalnu silu u presjecima 1, 2 i 3

d) kontrolisati presjecne sile u presjecima 1, 2 i 3 proracunatepod tackom b) koristeci uticajne linije proracunate podtackom c),

e) proracunati pomjeranje tacke 𝐴.

6m

2m

5m 2m

10kN/m

c = 104kN/m

EI = ∞

EA = ∞

A

B

G

“1.0”

1

23

Slika 2.31

Rjesenje

a) Stepen staticke neodredenosti

𝑆𝑆𝐾 = 2 · 𝑛− (𝑠+ 𝑐+ 𝑟) = 2 · 5− (5 + 1 + 4) = 0



6m

x

2m

5m 2m

10kN/m

x

c = 104kN/m

A

B

GC

D

BV

BH

AV

AH

Slika 2.32

x𝐺

𝐷

: 𝐴𝑉 · 2−𝐴𝐻 · 2 = 0 ⇒ 𝐴𝐻 = 𝐴𝑉

x𝐵 : 𝐴𝑉 · 7 +𝐴𝐻 · 4− 10 · 5 · 2.5 = 0

𝐴𝑉 · 7 +𝐴𝑉 · 4− 125 = 0 ⇒ 𝐴𝑉 = 𝐴𝐻 = 11.36𝑘𝑁

y𝐴 : 𝐵𝑉 · 7−𝐵𝐻 · 4− 10 · 5 · 4.5 = 0

· 1.5

y𝐺

𝐿

: 𝐵𝑉 · 5−𝐵𝐻 · 6− 10 · 5 · 2.5 = 0

⎫⎬⎭⊖⇒ 𝐵𝑉 · (7 · 1.5− 5)− 225 · 1.5 + 125 = 0 ⇒ 𝐵𝑉 = 38.63𝑘𝑁

𝐵𝐻 = (38.63 · 7− 225)/4 ⇒ 𝐵𝐻 = 11.36𝑘𝑁

Provjera

→ : 𝐵𝐻 −𝐴𝐻 = 11.36− 11.36 = 0

↑ : 𝐴𝑉 +𝐵𝑉 − 10 · 5 = 11.36 + 38.63− 50 = 0

Presjecne sile

Dio B-C

0 ≤ 𝑥 ≤ 6

𝑀(𝑥) = −𝐵𝐻 · 𝑥 = −11.36 · 𝑥𝑇 (𝑥) = 𝐵𝐻 = 11.36

𝑁(𝑥) = −𝐵𝑉 = −38.64 𝑥 0 6

𝑀 0 −68.18𝑇 11.36 11.36𝑁 −38.64 −38.64

Dio C-G

0 ≤ 𝑥 ≤ 5

𝑀(𝑥) = −𝐵𝐻 · 6 +𝐵𝑉 · 𝑥− 10 · 𝑥𝑥2

= −11.36 · 6 + 38.63 · 𝑥− 5 · 𝑥2

𝑇 (𝑥) = −𝐵𝑉 + 10 · 𝑥 = −38.63 + 10 · 𝑥𝑁(𝑥) = −𝐵𝐻 = −11.36

𝑥 0 5

𝑀 −68.18 0.00𝑇 −38.64 11.36𝑁 −11.36 −11.36

Dio G-A

𝑀(𝑥) = 0

𝑇 (𝑥) = 0

𝑁(𝑥) = −𝐴𝑉 · sin 45−𝐴𝐻 · cos 45 =

= −11.36 · sin 45− 11.36 · cos 45 = −16.07𝑘𝑁

c) Uticajne linije 𝐶 ↓ 𝐺

x𝐺

𝐷

: 𝐴𝑉 · 2−𝐴𝐻 · 2 = 0 ⇒ 𝐴𝐻 = 𝐴𝑉

x𝐵 : 𝐴𝑉 · 7 +𝐴𝐻 · 4− 1 · 𝑥 = 0

𝐴𝑉 · 7 +𝐴𝑉 · 4− 𝑥 = 0 ⇒ 𝐴𝑉 = 𝐴𝐻 =𝑥

11

→ : 𝐵𝐻 = 𝐴𝐻 =𝑥

11y𝐺

𝐿

: 𝐵𝑉 · 5−𝐵𝐻 · 6− 1 · (5− 𝑥) = 0

𝐵𝑉 · 5−𝑥

11· 6− 5 + 𝑥 = 0

𝐵𝑉 = − 1

11𝑥+ 1 𝑥 0 5

𝐴𝑉 0 5/11

𝐴𝐻 0 5/11

𝐵𝑉 1 6/11

𝐵𝐻 0 5/11



http://siljak.ba

2.3 TROZGLOBNI I SRODNI NOSACI

68.18

68.18

-

-

M

11.36

11.36

38.64

11.36

+ T

38.64

38.64 11.36

11.36

16.07

16.07-

-

-

N

Slika 2.33

𝐺 ↓ 𝐷

x𝐺

𝐷

: 𝐴𝑉 · 2−𝐴𝐻 · 2− 1 · (𝑥− 5) = 0x𝐵 : 𝐴𝑉 · 7 +𝐴𝐻 · 4− 1 · 𝑥 = 0

(2 · 2 + 7)𝐴𝑉 − 2 · (𝑥− 5)− 𝑥 = 0

⇒ 𝐴𝑉 =3𝑥− 10

11

𝐴𝐻 =−𝐴𝑉 · 7 + 𝑥

4=− 3𝑥−10

11· 7 + 𝑥

4

⇒ 𝐴𝐻 =70− 10𝑥

44

→ : 𝐵𝐻 = 𝐴𝐻 =70− 10𝑥

44y𝐺

𝐿

: 𝐵𝑉 · 5−𝐵𝐻 · 6 = 0

: 𝐵𝑉 =6

5𝐵𝐻 =

6(70− 10𝑥)

220𝑥 5 7

𝐴𝑉5/11 1

𝐴𝐻5/11 0

𝐵𝑉6/11 0

𝐵𝐻5/11 0

Presjek 2

𝐶 ↓ 𝐺

𝑀2 = 0

𝑇2 = 0

𝑁2 = 0

𝐺 ↓ 𝐷

𝑀2 = 0

𝑇2 = 0

𝑁2 =𝑥− 5

2

Presjek 1

𝐶 ↓ 𝐺

𝑀1 = 0

𝑇1 = 0

𝑁1 = −𝐴𝑉 · sin 45−𝐴𝐻 · cos 45 =

= −√2

2

𝑥

11−√2

2

𝑥

11= −√2

11𝑥

𝑥 0 5

𝑁1 0 −0.643𝐺 ↓ 𝐷

𝑀1 = 0

𝑇1 = 0

𝑁1 = − 𝐴𝐻

cos 45= −70− 10𝑥

44

1√2

2

= −70− 10𝑥

44

2√2·√2√2=

= − (70− 10𝑥)√2

44𝑥 5 7

𝑁1 −0.643 0Presjek 3

𝐶 ↓ 𝐺

𝑀3 = −𝐵𝐻 · 6 = − 6

11𝑥

𝑇3 = −𝐵𝑉 =1

11𝑥− 1

𝑁3 = −𝐵𝐻 = − 1

11𝑥

𝑥 0 5

𝑀3 0 −2.727𝑇3 −1 −0.545𝑁3 0 −0.455

𝐺 ↓ 𝐷

𝑀3 = −𝐵𝐻 · 6 = −670− 10𝑥

44

𝑇3 = −𝐵𝑉 = −6(70− 10𝑥)

220

𝑁3 = −𝐵𝐻 = −70− 10𝑥

44

𝑥 5 7

𝑀3 −2.727 0𝑇3 −0.545 0𝑁3 −0.455 0



http://siljak.ba


0.455

1

“AV ”+

0.455

“AH”+

0.455

“BH”+

1

0.545

“BV ”

+

1

“N2”

-

-0.643

“N1”

-

-2.727

“M3”

-

-1

-0.545

“T3”

-

-0.455

“N3”-

Slika 2.34

d) Provjera presjecnih sila koristeci uticajne linije

𝑁1 =−0.643 · 5

2· 10 = −16.08𝑘𝑁

𝑀3 =−2.727 · 5

2· 10 = −68.18𝑘𝑁

𝑇3 =−1 + (−0.545)

2· 5 · 10 = −38.63𝑘𝑁

𝑁3 =−0.455 · 5

2· 10 = −11.36𝑘𝑁

e) Pomjeranje tacke A

𝛿𝐴 =𝐴𝑉

𝑐=

11.36𝑘𝑁

104𝑘𝑁/𝑚= 0.001136𝑚



http://siljak.ba


Zadatak 18 Za konstrukciju na slici 2.36 proracunati:

a) Dijagrame presjecnih sila,

b) Uticajne linije za presjecne sile u datim presjecima.

4m 3m 3m 4m

2m

3m

2m

4m

80kN

p = 20kN/m

100kNm

1 2m

3

2

“1.0”

Slika 2.36

Rjesenje

Odredivanje reakcija

D2

D1

HH

AV

AH

BV

G

A

C

D

K

B

F

E

4m 3m 3m 4m

2m

3m

2m

4m

80kN

p = 20kN/m

100kNm

Slika 2.37

x𝐴 : 100 + 14 ·𝐵𝑉 − 20 · 7 · 10.5− 80 · 3 = 0

⇒ 𝐵𝑉 = 115𝑘𝑁x𝐵 : 100 + 140 · 3.5− 80 · 3−𝐴𝑉 · 14 = 0

⇒ 𝐴𝑉 = 25𝑘𝑁

→ : 80−𝐴𝐻 = 0

⇒ 𝐴𝐻 = 80𝑘𝑁x𝐺𝐿 : 80 · 4 +𝐻 · 4−𝐴𝐻 · 7−𝐴𝑉 · 7 = 0

⇒ 𝐻 = 103.75𝑘𝑁

Presjecne sile

𝑀𝐶 = 160

𝑀𝐾 = 170.83

𝑀𝐷 = 32.49

𝑀𝐵 = 100

𝑀𝐸 = −107.5𝑚𝑎𝑥𝑀𝐺−𝐸 = 74.66

𝐷1 = 38.67

𝐷2 = 71.3

𝑇𝐴 = −80

𝑇𝐷𝐶 = −10.83

𝑇𝐷𝐾 = 69.17

𝑇𝐿𝐷 = 69.17

𝑇𝐷𝐷 = 4.46

𝑇𝐿𝐹 = −69.17

𝑇𝐷𝐸 = −69.17

𝑇𝐿𝐸 = 82.1

𝑇𝐷𝐺 = −52.5

𝑇𝐿𝐺 = 4.46

𝑁𝐴 = −25

𝑁𝐷𝐶 = −42.29

𝑁𝐷𝐷 = −106.63

𝑁𝐵 = −115

𝑁𝐿𝐹 = −132.3

𝑁𝐿𝐸 = −131.4

𝑁𝐷𝐺 = −92.94

32.5

170.8

32.5

160

107.5

100

100

107.5

+

+

-

-

M4.46

69.1710.82

80

52.5

82.1

69.17

69.17

-

+

-

+ -

T

106.63

42.3

25

71.3

38.67

-103.75

92.9

131.4

38.67

71.3

-115

-132.3

-

-

+

+

+

-

+

+

-

-

N



http://siljak.ba

2.4 OJACANI, PODUPRTI I OBJESENI NOSACI

D2

D1

HH

4m 3m 3m 4m

2m

3m

2m

4m

ϕ

ϕ

“1.0”

AV BV

3

2

1

1

“AV ”

+

1

“BV ”

+

0.875

“H”

+

1.714

“M0

1”

+

1.25

1.07

“M1”

-

+

0.857

-0.143

“T 0

1”

+

0.24

0.755

0.206

“T1”+

0.979 0.48

0.201

“N1”

-

0.583

“T2”+

1

0.646

“N2”

-

0.601

“N3”+

G

Presjek 1

𝐻 =𝑀0

𝐺

4

𝑀1 =𝑀01 −𝐻 · 2.571

𝑇1 = 𝑇0 · cos𝜙−𝐻 · sin𝜙

𝑁1 = −𝑇0 · sin𝜙−𝐻 · cos𝜙

cos𝜙 = 0.9615

sin𝜙 = 0.2747

Presjek 2

𝑀2 = 0

𝑇2 = 0.666 ·𝐻

𝐷2 = 0.687 ·𝐻

𝑁2 = −𝐴−𝐷𝑉2

= −𝐴− 0.1667 ·𝐻

Presjek 3

𝑀3 = 0

𝑇3 = 0

𝑁3 = 𝐷2 = 0.687 ·𝐻



http://siljak.ba

2.5 RESETKASTI NOSACI

Zadatak 19 Odrediti reakcije, presjecne sile i uticajne linijeu oznacenim stapovima za resetku prikazanu na slici 2.38.Presjecne sile kontrolisati integracijom uticajnh linija.

100kN

50kN

50kN

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

1m

1m

“1.0”

Slika 2.38

Rjesenje

100kN

50kN

50kN

AV

AH

BV

BH

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

G

1m

1m

Slika 2.39

Reakcije

x𝐴 : 𝐵𝑉 · 6 +𝐵𝐻 · 2− 100 · 4− 50 · 2 + 50 · 2 = 0

x𝐺𝐷 : 𝐵𝑉 · 2−𝐵𝐻 · 2 = 0

⇒ 𝐵𝑉 = 𝐵𝐻

: 𝐵𝑉 · 8 = 400

⇒ 𝐵𝑉 = 𝐵𝐻 = 50

→𝐴𝐻 −𝐵𝐻 = 0

⇒ 𝐴𝐻 = 50x𝐵 : 𝐴𝑉 · 6−𝐴𝐻 · 2− 100 · 2− 50 · 4− 50 · 8 = 0

⇒ 𝐴𝑉 = 150𝑘𝑁

Presjecne sile

y2𝐿 : 𝑆3 · 1− 50 · 1− 50 · 5−𝐴𝐻 · 3 +𝐴𝑉 · 3 = 0

⇒ 𝑆3 = 0x4𝐿 : 𝑆1 ·

√2 + 50 · 4 +𝐴𝐻 · 4−𝐴𝑉 · 2 = 0

⇒ 𝑆1 = −70.71𝑘𝑁

I

III

II

100kN

50kN

50kN

AV

AH

BV

BHS1

S1

S4

S4

S3 S3

S2

S2

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

G

1m

1m

1

2

34 5

4

50kN

S2

S3

S5

S6

Slika 2.40

Cvor 2

⇒ 𝑆5 = 0

Cvor 4

⇒ 𝑆6 = 0

↑ : 𝑆2 = −50𝑘𝑁

Cvor 3

↑ : 𝑆4 · cos(45∘) + 50 = 0

⇒ 𝑆4 = −70.71𝑘𝑁

Uticajne linije

3○ ↓ 𝐺x𝐺𝐷 : 𝐵𝑉 · 2−𝐻 · 2 = 0

⇒ 𝐻 = 𝐵𝑉

x𝐴 : 𝐵𝑉 · 6 +𝐻 · 2− 1 · 𝑥 = 0

⇒ 𝐻 = 𝐵𝑉 =𝑥

8

𝐺 ↓ 5○x𝐺𝐿 : 𝐴𝑉 · 4−𝐻 · 4 = 0

⇒ 𝐻 = 𝐴𝑉

y𝐵 : 𝐴𝑉 · 6−𝐻 · 2− (6− 𝑥) · 1 = 0

⇒ 𝐻 = 𝐴𝑉 =6− 𝑥4



http://siljak.ba


S1

S1

S4

S4

S3 S3

S2

S2

AV

H

BV

H

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

1m

1m

“1.0”

-0.25

0.5

“H”+

1.25

0.5

“AV ”

+

-0.25

0.5

1

“BV ”

+

-0.35355

0.35355

-0.7071

“S1”+

-1

“S2”

-

0.5

-0.75

“S3”

-

−0.5

-1.4142

“S4”

-

1

2

34 5

Slika 2.41

Sila 𝑆1

3○ ↓ 4○x4𝐷 : 𝑆1 ·

√2 +𝐻 · 2−𝐵𝑉 · 4 = 0

⇒ 𝑆1 =√2 (2 ·𝐵𝑉 −𝐻)

4○ ↓ 5○x4𝐿 : 𝑆1 ·

√2 +𝐻 · 4−𝐴𝑉 · 2 = 0

⇒ 𝑆1 =√2 (𝐴𝑉 − 2 ·𝐻)

Sila 𝑆2

3○ ↓ 4○

↑ : −𝑆2 − 𝑆1 ·√2

2+𝐵𝑉 = 0

⇒ 𝑆2 = 𝐵𝑉 − 𝑆1 ·√2

2

4○ ↓ 5○

↑ : 𝑆2 + 𝑆1 ·√2

2+𝐴𝑉 = 0

⇒ 𝑆2 = −𝐴𝑉 − 𝑆1 ·√2

2

Sila 𝑆3

3○ ↓ 2○x2𝐷 : 𝑆3 · 1 +𝐵𝑉 · 3−𝐻 · 1 = 0

⇒ 𝑆3 = 𝐻 − 3 ·𝐵𝑉

2○ ↓ 5○x2𝐿 : 𝑆3 · 1 +𝐴𝑉 · 3−𝐻 · 3 = 0

⇒ 𝑆3 = 3 ·𝐻 − 3 ·𝐴𝑉

Sila 𝑆4

0 ≤ 𝑥 ≤ 2

↑ : 𝑆4

√2

2− 1.0 · 2− 𝑥

2= 0

⇒ 𝑆4 =

√2

2(2− 𝑥)

Integracija uticajnih linija

𝑆1 = −0.35355 · 50 + 0.35355 · 50− 0.7071 · 100 = −70.71𝑘𝑁𝑆2 = −1 · 50 = −50.0𝑘𝑁𝑆3 = 0.5 · 50− 0.5 · 50 + 0 · 100 = 0.0𝑘𝑁

𝑆4 = −1.4142 · 50 = −70.71𝑘𝑁



http://siljak.ba


Uticajna linija za stap 𝑆11

Za polozaj jedinicne sile iznad tacke 3 proracunavamo reakcije

𝐵𝑉 = −0.25𝐴𝑉 = 1.25

𝐻 = −0.25

i sile u stapovima 𝑆4, 𝑆7, 𝑆8, 𝑆9, 𝑆10

𝑆4 = −1.414𝑆7 = −0.5𝑆8 = 1.0

𝑆9 = −1.50𝑆10 = 0.353

Iz uslova ravnoteze vertikalnih sila u presjeku III− III dobijamo

𝑆11 · sin(45∘) + 𝑆7 + 𝑆4 · sin(45∘) = 0

⇒ 𝑆11 = 0.707

Kad je jedinicna sila iznad oslonca A sile u svim stapovima sujednake nuli osim u vertkalnim stapovima iznad oslonca A. Kadse jedninicna sila nalazi iznad tacke 4 proracunavamo kao zapolozaj iznad tacke 3.

I

III

II

III

III

AV

H

BV

HS1

S1

S10

S10

S4

S4

S11

S11

S3 S3S8 S8

S2

S2

S7

S7

S9

S9

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

G

1m

1m

1

2

34 5

4

S2

S3

S5

S6

“1.0”

-0.7071

0.7071

“S11”+

1

2

34 5

Slika 2.42



http://siljak.ba


Zadatak 1 Studentsko pitanje je bilo kako je vrijednost uticajnelinije “𝑀1” ispod zgloba G 1.0? Posto je nesto slicno moguceda dode i na ispitu reci cemo i za ostale studente da se radi ozadatku datom u dokumentu Vjezbe6-Z1-Z2-Z3 - prvi zadataku ovom dokumentu, pod oznakom 42

Slika 2.52: Plavom bojom je oznaceno 𝑀01 ; crvenom bojom je

oznaceno 𝐻 · 𝑦

Ponovicemo formule date na slici desno, dakle momenat

𝑀1 =𝑀01 −𝐻 · 𝑦

𝐻 =𝑀0

𝐺

𝑓

gdje je 𝑀01 momenat “kao na prostoj gredi” dakle momenat od

vertikalnog opterecenja koje djeluje na neku zamisljenu prostugredu od oslonca A do B. (u ovom zadatku 𝑓 i 𝑦 oznacavaju istuvrijednost jer je greda paralelna sa zategom)

Proracunajmo vrijednost 𝑀01 ispod zgloba G.

Vrijednost 𝑀01 ispod presjeka

�� 1 je (dakle maksimalna vrijed-nost)

𝑝𝑟1𝑀01 =

𝑙1𝑙2𝑙1 + 𝑙2

=11 · 718

=77

18

Vrijednost 𝑀01 ispod zgloba G

𝐺𝑀01 =

7718

11· 9 =

77

22=

7

2= 3.5

Proracunajmo sad vrijednost H ispod zgloba GVrijednost 𝑀0

𝐺 ispod zgloba G je (𝑙1 = 9, 𝑙2 = 9)

𝑀0𝐺 =

𝑙1𝑙2𝑙1 + 𝑙2

=9 · 99 + 9

=81

18=

9

2= 4.5

sa 𝑓 = 3 dobijamo

𝐺𝐻 =4.5

3

Konacno 𝑀1 ispod zgloba G

𝐺𝑀1 =𝐺 𝑀01 − 3 ·𝐺 𝐻 = 3.5− 3 · 4.5

3= −1

Kad smo vec ovdje proracunajmo i vrijednost𝑀1 ispod presjeka�� 1 koja je na slici data sa 0.777

Dakle, vrijednost 𝑀01 ispod presjeka

�� 1 je (vec proracunata)

𝑝𝑟1𝑀01 =

77

18

Proracunajmo vrijednost H ispod presjeka�� 1

𝑀0𝐺 ispod G (vec proracunato)

𝑀0𝐺 = 4.5

𝑀0𝐺 ispod

�� 1

𝑝𝑟1𝑀0𝐺 =

4.5

9· 7 = 3.5

pa je

𝑝𝑟1𝐻 =3.5

3

Konacno 𝑀1 ispod presjeka�� 1

𝑝𝑟1𝑀1 =𝑝𝑟1 𝑀01 − 3 ·𝑝𝑟1 𝐻 =

77

18− 3 · 3.5

3= 0.7778

(na oznake uticajnih linija staviti navodnike: “𝑀1”)


http://siljak.ba/statika/statikai/Vjezbe6-Z1-Z2-Z3.pdf


http://siljak.ba


Zadatak 2 Za konstrukciju na slici 2.53


b) proracunati reakcije, presjecne sile i nacrtati dijagramepresjecnih sila,

c) proracunati i nacrtati uticajne linije za reakcije, momenat,poprecnu i normalnu silu u presjeku 1,

d) kontrolisati presjecne sile u presjeku 1 proracunate podtackom b) koristeci uticajne linije proracunate pod tackomc).

5m

3m

3m 3m 2m 2m

10kN/m

100kN“1.0”

“1.0”

1

Slika 2.53

Rjesenje

5m

3m

3m

F G

x

x′

3m 2m 2m

D

E

R

R

AV

BV

BH

CV

CH

10kN/m

100kN

Slika 2.54

Reakcije

y𝐶 : 𝑅 · 4− 10 · 4

2· 13· 4 = 0

⇒ 𝑅 = 6.67𝑘𝑁x𝐷 : 𝐶𝑉 · 4−

10 · 42· 23· 4 = 0

⇒ 𝐶𝑉 = 13.33𝑘𝑁y𝐵 : 𝐴𝑉 · 8− 100 · 5−𝑅 · 2 = 0

⇒ 𝐴𝑉 = 64.17𝑘𝑁y𝐸 : 𝐵𝑉 · 8− 100 · 3−𝑅 · 6 = 0

⇒ 𝐵𝑉 = 42.50𝑘𝑁

→⇒ 𝐵𝐻 = 0

Presjecne sile

Dio D-C

0 ≤ 𝑥′ ≤ 4

𝑀(𝑥′) = 𝑅 · 𝑥′ −(104· 𝑥′

)· 𝑥′

2· 𝑥

′

3= 6.67 · 𝑥′ − 0.417 · 𝑥′3

𝑇 (𝑥′) = −𝑅+

(104· 𝑥′

)· 𝑥′

2= −6.67 + 1.25 · 𝑥′2

𝑁(𝑥′) = 0

𝑥′ 0 4

𝑀 0 0𝑇 −6.67 13.33𝑁 0 0

Dio E-F

0 ≤ 𝑥 ≤ 3

𝑀(𝑥) = 𝐴𝑉 · 𝑥 = 64.17 · 𝑥𝑇 (𝑥) = −𝐴𝑉 = −64.17𝑁(𝑥) = 0

𝑥 0 3

𝑀 0 192.51𝑇 −64.17 −64.17𝑁 0 0

Dio F - G

3 ≤ 𝑥 ≤ 6

𝑀(𝑥) = 𝐴𝑉 · 𝑥− 100 · (𝑥− 3) = −35.83 · 𝑥+ 300

𝑇 (𝑥) = −𝐴𝑉 + 100 = 35.83

𝑁(𝑥) = 0

𝑥 3 6

𝑀 192.51 85.02𝑇 35.83 35.83𝑁 0 0

Dio G - B

6 ≤ 𝑥 ≤ 8

𝑀(𝑥) = 𝐴𝑉 · 𝑥− 100 · (𝑥− 3)−𝑅 · (𝑥− 6) = −42.5 · 𝑥+ 340.02

𝑇 (𝑥) = −𝐴𝑉 + 100 + 6.67 = 42.5

𝑁(𝑥) = 0

𝑥 6 8

𝑀 85.02 0𝑇 42.5 42.5𝑁 0 0



http://siljak.ba


192.5

85

M

+

-64.17

35.8342.5

-6.67

13.33

T

-

+

Mmax = 10.268

xmax

-64.17

-64.17

-6.67

-6.67

N

-

Slika 2.55

Uticajne linijeVertikalna pokretna sila “1” na gredi D-C

y𝐶 : 𝑅 · 4− 1.0 · (4− 𝑥′) = 0

⇒ 𝑅 =4− 𝑥′

4y𝐵 : 𝐴𝑉 · 8−𝑅 · 2 = 0

⇒ 𝐴𝑉 =4− 𝑥′

4· 28=

4− 𝑥′

16x𝐸 : 𝐵𝑉 · 8−𝑅 · 6 = 0

⇒ 𝐵𝑉 =4− 𝑥′

4· 68=

(4− 𝑥′) · 316

Presjek 1

𝐷 ↓ 𝐶

𝑀1 = 𝐴𝑉 · 3 =(4− 𝑥′) · 3

16

𝑇1 = −𝐴𝑉 = −4− 𝑥′

16

𝑁1 = 0

Vertikalna pokretna sila “1” na gredi E-Bx𝐸 : 𝐵𝑉 · 8− 1.0 · 𝑥 = 0

⇒ 𝐵𝑉 =𝑥

8y𝐵 : 𝐴𝑉 · 8− 1.0 · (8− 𝑥) = 0

⇒ 𝐴𝑉 =8− 𝑥8

𝐸 ↓ 𝐹

𝑀1 = 5 ·𝐵𝑉 = 5 · 𝑥8

𝑇1 = 𝐵𝑉 =𝑥

8

𝑁1 = 0

𝐹 ↓ 𝐵

𝑀1 = 3 ·𝐴𝑉 = 3 · 8− 𝑥8

𝑇1 = −𝐴𝑉 = −8− 𝑥8

𝑁1 = 0

0.75

“M1”+

0.25

“T1”-

1.875

“M1”

+

0.375

“T1”+

-0.625

-

“1.0”

“1.0”

1

5m

3m

3m

F G

A

B

C

x

x′

3m 2m 2m

D

E

R

R

AV

BV

CV

Slika 2.56

Provjera presjecnih sila koristeci uticajne linije

𝑀1 = 100 · 1.875 + 10 · 42· 0.75 · 1

3= 192.5

𝑇1 = −0.625 · 100− 10 · 42· 0.25 · 1

3= −64.167

𝑁1 = 0

gdje je poprecna sila u presjeku 1 proracunata lijevo od mjestadjelovanja koncentricne sile, jer je tako dato zadatkom. Uslucaju da je presjek 1 desno od sile imali bismo poprecnu silu

𝑇1 = 0.375 · 100− 10 · 42· 0.25 · 1

3= 35.83



http://siljak.ba


Zadatak 3 Proracunati reakcije, presjecne sile i uticajne linije unaznacenim presjecima.

b

c

d

e g

a

8× a

F F F

“1.0”

Slika 2.57

𝑎 = 2.2𝑚, 𝑏 = 2.33𝑎, 𝑐 = 1.67𝑎, 𝑑 = 𝑎, 𝑒 = 0.53𝑎,

𝑔 = 0.33𝑎, 𝐹 = 80𝑘𝑁

Rjesenje

b

c

d

e gf

y2

y1

a

L = 8× a

F F F

“1.0”

AF

A′

A′

A′′

H

BF

B′

B′

B′′

H

G

s

1

2

O

U

D

N

HH

Slika 2.58

Postavicemo fiktivne oslonce 𝐴𝐹 i 𝐵𝐹 . Posto je fiktivni oslonacpostavljen na pravac zglobno vezanog stapa, sila u stapu se nemijenja a time ni reakcija na kraju stapa.

Ukupne vertikalne reakcije su

𝐴𝑈 = 𝐴′ +𝐴′′

𝐵𝑈 = 𝐵′ +𝐵′′

sa kojima mozemo postaviti sljedece uslove ravnoteze

x𝐴𝐹 : 𝐵𝑈 · 𝐿−𝑀𝐴 = 0 ⇒ 𝐵𝑈 =

𝑀𝐴

𝐿y𝐵𝐹 : 𝐴𝑈 · 𝐿−𝑀𝐵 = 0⇒ 𝐴𝑈 =

𝑀𝐵

𝐿

gdje je 𝑀𝐴 ukupni momenat od opterecenja oko tacke A.Dakle, suma vertikalnih komponenata reakcija jednaka je reak-ciji proste grede istog raspona.

𝐵𝑈 =80 · (5 + 6 + 7) · 2.2

8 · 2.2 = 180𝑘𝑁

𝐴𝑈 =80 · (1 + 2 + 3) · 2.2

8 · 2.2 = 60𝑘𝑁

Iz uslova ravnoteze momenata oko zgloba 𝐺, sa bilo kojestrane, dobijamo velicinu horizontalne komponente reakcije 𝐻

𝐻 =𝑀0

𝐺

𝑓=

60 · 4 · 2.25.126− 0.726

= 120𝑘𝑁

gdje je 𝑀0𝐺 momenat oko zgloba 𝐺 “kao na prostoj gredi”,

dakle momenat od vertikalnog opterecenja koje djeluje na nekuzamisljenu prostu gredu od oslonca A do B i od ukupne reakcije𝐴𝑈 ili 𝐵𝑈

Nagib stapa oznacenog na slici sa s se moze proracunati pa je

tan𝛼 =𝑏− 𝑐𝑎

=5.126− 3.674

2.2= 0.66

pa se moze proracunati i vrijednost vertikane komponente reak-cije

𝐴′′ = 𝐻 · tan𝛼 = 120 · 0.66 = 79.2𝑘𝑁

pa se konacno dobija i

𝐴′ = 𝐴𝑈 −𝐴′′ = 60− 79.2 = −19.2𝑘𝑁

Na isti nacin proracunavamo i reakcije 𝐵′ i 𝐵′′

𝐵′′ = 𝐻 · tan𝛼 = 120 · 5.126− 3.674

2.2= 79.2𝑘𝑁

𝐵′ = 𝐵𝑈 −𝐵′′ = 180− 79.2 = 100.80𝑘𝑁

Kad je poznata sila u prvom stapu mozemo proracunati sve sileduz lancanice krecuci se od cvora do cvora i postavljajuci uslovravnoteze 𝑁𝐿 cos𝛼𝐿 − 𝑁𝐷 cos𝛼𝐷 = 0 (odakle mozemo za-kljuciti da je 𝑁𝐿 cos𝛼𝐿 = 𝑁𝐷 cos𝛼𝐷 = 𝐻; L-lijevo; D-desno)

Presjecne sile u naznacenom presjeku

𝑁 =𝐻

cos[arctan

(𝑑−𝑒𝑎

)] =120

0.905= 132.59𝑘𝑁

∑𝑀𝐷

2 = 0

⇒ 𝐵𝑈 · 6 · 2.2− 80 · 2.2 · (3 + 4 + 5)−𝐻 · 𝑏+𝐻 · 𝑑− 𝑈 · 2.2 = 0

𝑈 = −39.60𝑘𝑁

∑𝑀𝐷

1 = 0

⇒ 𝐵𝑈 · 5 · 2.2− 80 · 2.2 · (2 + 3 + 4)

−𝐻 · (𝑏+ 𝑎) +𝐻 · (𝑒+ 𝑎) +𝑂 · 2.2 = 0

𝑂 = 36𝑘𝑁

∑𝑉𝐼𝐼 = 0

⇒ 𝐵𝑈 − 80 · 3−𝐻 · tan𝛼𝑁 +𝐷 · sin𝛽 = 0

𝐷 = 5.09𝑘𝑁



http://siljak.ba


Uticajne linije

Uticajna linija za 𝐻 (maksimalna vrijednost)

“𝐻” =“𝑀0

𝐺”𝑓

=𝑙1 · 𝑙2𝑙 · 𝑓 =

8.8 · 8.817.6 · 4.4 = 1.0

Uticajna linija za 𝐴′′ (maksimalna vrijednost)

“𝐴′′” = 𝐻 · tan𝛼 = 1.0 · 0.66 = 0.66

Uticajna linija za 𝐴′

“𝐴′” = “𝐴𝑈 ”− “𝐻” · tan𝛼

Uticajna linija za 𝑁

“𝑁” =“𝐻”

cos𝛼𝑁

𝑚𝑎𝑥“𝑁” =1.0

cos[arctan

(𝑑−𝑒𝑎

)] =1.0

cos[arctan

(2.2−1.166

2.2

)] = 1.105

Uticajna linija za silu u stapu 𝑈

za silu desno od 2, ravnoteza lijevog dijela:∑𝑀𝐿

2 = 0⇒ 𝐴𝑈 · 2𝑎− 𝑈 · 𝑎−𝐻 · (𝑏− 𝑑) = 0

𝑈 =1

𝑎(𝐴𝑈 · 2𝑎−𝐻 · 𝑦2)

za silu lijevo od 2, ravnoteza desnog dijela:∑𝑀𝐷

2 = 0⇒ 𝐵𝑈 · 6𝑎− 𝑈 · 𝑎−𝐻 · (𝑏− 𝑑) = 0

𝑈 =1

𝑎(𝐵𝑈 · 6𝑎−𝐻 · 𝑦2)

Konacno, silu u stapu 𝑈 mozemo zapisati jedinstvenim zapisom

“𝑈” =1

𝑎

(“𝑀0

2 ”− “𝐻” · 𝑦2)

gdje je 𝑀02 momenat u presjeku 2 na zamisljenoj prostoj gredi.

Za silu u stapu 𝑂

“𝑂” =1

𝑎

(−“𝑀0

1 ” + “𝐻” · 𝑦1)

Sila u stapu 𝐷

“𝐷” =1

sin𝛽(“𝑇 0

𝐷”− “𝐻” · tan𝛼)

gdje je “𝑇 0𝐷” uticajna linija za dijagonalu kao na prostoj resetci

od A do B, 𝛽 ugao nagiba dijagonale 𝐷, 𝛼 ugao nagiba stapalancanice u posmatranom presjeku.

b

c

d

e gf

y2

y1

a

L = 8× a

F F F

“1.0”

AF

A′

A′

A′′

H

BF

B′

B′

B′′

H

G

s

1

2

O

U

D

N

HH

1

“H”

+

0.75

0.5

0.25

0.66

“A′′”

+

0.495

0.33

0.165

1

-0.16

“A′”

+

−0.12

−0.08

−0.04

1.105

“N”

+

0.829

0.553

0.276

0.835

“U”

+

-0.33

-

−0.248

−0.165

−0.0825

-0.525

“O”

-

0.3

+

0.225

0.15 0.075

“D”-

−0.689

0.3850.0424 0

.0318

0.0212

0.0106

Slika 2.59

Kontrola presjecnih sila

𝐻 = 80 · (0.75 + 0.5 + 0.25) = 120.0𝑘𝑁

𝐴′′ = 80 · (0.495 + 0.33 + 0.165) = 79.2𝑘𝑁

𝐴′ = 80 · (−0.12− 0.08− 0.04) =−19.2𝑘𝑁𝑁 = 80 · (0.829 + 0.553 + 0.726) = 132.6𝑘𝑁

𝑈 = 80 · (−0.248− 0.165− 0.0825) =−39.6𝑘𝑁𝑂 = 80 · (0.225 + 0.15 + 0.075) = 36.0𝑘𝑁

𝐷 = 80 · (0.0318 + 0.0212 + 0.0106) = 5.09𝑘𝑁



http://siljak.ba

2.6 TEST 8.5.2014

2.6 Test 8.5.2014



b) proracunati reakcije,

c) proracunati i nacrtati dijagram momenata, poprecnih inormalnih sila.

10kN/m

2 3 6 4 2

stub i greda se mimoilaze

64

Slika 2.60

Rjesenje


𝑆𝑆𝐾 = 2𝑛− (𝑠+ 𝑐+ 𝑟) = 2 · 7− (7 + 2 + 5) = 0


b) Proracun reakcija

10kN/m

10kN/m

S1S2

2 3 6 4 2

15

D E

BH

BH

BV

BV

AV

GV

GV

CV

FV

FH

MF

Slika 2.61

𝐺𝑉 = 𝐴𝑉 =2 · 102

= 10

𝐶𝑉 = −𝐺𝑉 (3 + 6) + 10 · 15 ·

[(3 + 6)− 15

2

]4 + 2

= −52.5𝑘𝑁

𝐵𝐻 = 𝐹𝐻 = 0

𝐵𝑉 =𝐺𝑉 · 15 + 10 · 15 · 15

24 + 2

= 212.5𝑘𝑁

𝐹𝑉 = 𝐵𝑉 = 212.5𝑘𝑁

𝑀𝐹 = 0

c) Presjecne sile

𝑆1 · cos(arctan4

6)− 𝑆2 · cos(arctan

4

4) = 0

𝐵𝑉 − 𝑆1 · sin(arctan4

6)− 𝑆2 · sin(arctan

4

4) = 0

𝑆2 = 1.1767 · 𝑆1

0.5547 · 𝑆1 + 0.7071 · (1.1767 · 𝑆1) = 𝐵𝑉

𝑆1 = 153.24𝑘𝑁

𝑆2 = 180.31𝑘𝑁

𝑀𝐷 = −𝐺𝑉 · 3− 10 · 3 · 1.5 = −75𝑘𝑁𝑚𝑀𝐸 = 𝐶𝑉 · 2− 10 · 2 · 1 = −125𝑘𝑁

𝑇𝐿𝐷 = 𝐺𝑉 + 10 · 3 = 40𝑘𝑁

𝑇𝐷𝐷 = 𝑇𝐿

𝐷 − 𝑆1 · sin(arctan4

6) = −45𝑘𝑁

𝑇𝐿𝐸 = 𝑇𝐷

𝐷 + 10 · 10 = 55𝑘𝑁

𝑇𝐷𝐸 = 𝑇𝐿

𝐸 − 𝑆2 · sin(arctan4

4) = −72.5𝑘𝑁

𝑇𝐶 = 𝑇𝐷𝐸 + 10 · 2 = −52.5𝑘𝑁

𝑁𝐷 = −𝑆1 · cos(arctan4

6) = −𝑆2 · cos(arctan

4

4) = −127.5

-75

-125

M

26.25 −45 + 10 · xmax = 0

⇒ xmax = 4.5

Mmax = −75− 10 · 4.5 · 2.25 + 45 · 4.5 = 26.25kNm

-10

40

-45

55

-72.5

-52.5

xmax

T

153.24

153.24

180.31

180.31

-127.5

-127.5

-212.5N

+

+

-

-

Slika 2.62



http://siljak.ba


Zadatak 2 Za nosac na slici 2.63 obraditi sljedece:

a) Provjeriti stepen staticke neodredenosti,

b) Proracunati reakcije i presjecne sile u karakteristicnimtackama i nacrtati dijagrame presjecnih sila,

c) Proracunati i nacrtati uticajne linije za naznacene pres-jeke,

d) Presjecne sile dobijene pod b) kontrolisati koristeci utica-jne linije dobijene pod c)

4m

2m

3m 3.5m 2.5m 1m 2m

10kN/m“1.0”

1 2

Slika 2.63

Rjesenje


𝑆𝑆𝐾 = 2 · 𝑛− (𝑠+ 𝑐+ 𝑟) = 2 · 9− (9 + 6 + 3) = 0

⇒ Staticki odreden nepokretan nosac


4m

2m

3m 3.5m 2.5m 1m 2m

AV BV

G

C D

E F H J

HH

10kN/m

1 2

Slika 2.64

x𝐴 : 𝐵𝑉 · 7− 12 · 10 · 3 = 0⇒ 𝐵𝑉 =

360

7= 51.43𝑘𝑁

y𝐵 : 𝐴𝑉 · 7− 12 · 10 · 4 = 0⇒ 𝐴𝑉 =

480

7= 68.57𝑘𝑁

Provjera

↑ : 𝐴𝑉 +𝐵𝑉 − 12 · 10 = 0

Sila u zatezi 𝐻

x𝐺

𝐷

: 𝐵𝑉 · 1− 10 · 3 · 1.5−𝐻 · 2 = 0⇒ 𝐻 = 3.21𝑘𝑁

Presjecne sile

Dio A-C

0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑥 0 2

𝑀 0 0𝑇 0 0𝑁 −68.57 −68.57

Dio C-F

2 ≤ 𝑥 ≤ 4

𝑥 2 4

𝑀 0 −6.43𝑇 3.21 3.21𝑁 −68.57 −68.57

Dio B-D

0 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥 0 2

𝑀 0 0𝑇 0 0𝑁 −51.43 −51.43

Dio D-H

2 ≤ 𝑥 ≤ 4

𝑥 2 4

𝑀 0 6.43𝑇 −3.21 −3.21𝑁 −51.43 −51.43

Dio E-F

0 ≤ 𝑥 ≤ 3

𝑥 0 3

𝑀 0 −10 · 3 · 1.5 = 45𝑇 0 10 · 3 = 30𝑁 0 0

Dio F-G

3 ≤ 𝑥 ≤ 9

𝑥 3 6.5 9

𝑀−45− 6.43= −51.43

−51.43+38.57 · 3.5

−10 · 3.5 · 1.75= 22.32

22.32+3.57 · 2.5

−10 · 2.5 · 1.25= 0

𝑇10 · 3− 68.57

= −38.57

−38.57+10 · 3.5= −3.57

−3.57 + 10 · 2.5= 21.43

𝑁 −3.21 −3.21 −3.21

Dio G-H

6 ≤ 𝑥 ≤ 7

𝑥 6 7

𝑀 0−21.43 · 1−1 · 10 · 0.5= −26.43

𝑇 21.4321.43 + 10

= 31.43

𝑁 −3.21 −3.21Dio J-H

0 ≤ 𝑥′ ≤ 2

𝑥′ 0 2

𝑀 0 10 · 2 · 1 = 20𝑇 0 10 · 2 = 20𝑁 0 0



http://siljak.ba

2.6 TEST 8.5.2014

6.43 6.43

-45

-51.43

22.32

-26.4320

M

--

+

3.21 -3.21

30

-38.57

-3.57

21.43

31.43

-20

T

-

+

-

+

3.21 3.21

-3.21 -3.21

-68.57

-68.57

-51.43

-51.43

N

+

-

- -

Slika 2.65

c) Uticajne linije

4m

2m

3m 3.5m 2.5m 1m 2m

“1.0”

1 2

1.429

-0.286

“AV ”

+

-0.429

1.286

“BV ”

+

-0.214

0.429

-0.857

“H”

-

-30.429

-0.857

1.714

“M1”

+

-

-

+

−3+

0.429=

−2.571

-0.429

-1

0.286

“T1”

-

0.214

-0.429

0.857“N1”

“N2”+

0.429

-0.857

1.714

-1.5

1.75

-1

“M2”

-

-

+

+

-

+

-1.071

1.25

-0.357

0.714

-

++

“M2”

-0.429

0.5

-0.5

0.286

“T2”

Slika 2.66



http://siljak.ba


d) Provjera presjecnih sila

𝑀1 =

(−2.571 · 3

2− 0.857 · 6

2− 0.857 · 1

2+

1.714 · 22

)· 10

= −51.42𝑘𝑁𝑚

𝑇1 =

(−0.429 · 3

2− 1 · 7

2+

0.286 · 22

)· 10

= −38.57𝑘𝑁

𝑁1 =

(0.214 · 3

2− 0.429 · 6

2− 0.429 · 1

2+

0.857 · 22

)· 10

= −3.23𝑘𝑁

𝑀2 =

(−1.071 · 3

2+

1.25 · 3.52

+(1.25 + 0.357) · 2.5

2− 0.357 · 2.5

−0.357 · 12

+0.714 · 2

2

)· 10

= 22.32𝑘𝑁

𝑇2 =

(−0.429 · 3

2+

0.5 · 3.52

− 0.5 · 3.52

+0.286 · 2

2

)= −3.57𝑘𝑁

𝑁2 = 𝑁1


a) proracunati reakcije i presjecne sile u stapovima 𝐷 i 𝑈 ,

b) proracunati i nacrtati uticajne linije u stapovima 𝐷 i 𝑈 ,

c) kontrolisati presjecne sile u stapovima 𝐷 i 𝑈 proracunatepod tackom a) koristeci uticajne linije proracunate podtackom b).

F=

100kN

F=

40kN

2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m

1.5m

“1.0”

D

U

Slika 2.67

Rjesenje

Reakcije

y𝐶 = 0 : 𝐺𝑉 · 6− 100 · 2 + 40 · 2 = 0

⇒ 𝐺𝑉 = 20𝑘𝑁x𝐺 = 0 : 𝐶𝑉 · 6− 100 · 4− 40 · 8 = 0

⇒ 𝐶𝑉 = 120𝑘𝑁x𝐴 = 0 : 𝐵𝑉 · 4−𝐺𝑉 · 6 = 0

⇒ 𝐵𝑉 = 30𝑘𝑁y𝐵 = 0 : 𝐴𝑉 · 4 +𝐺𝑉 · 2 = 0

⇒ 𝐴𝑉 = −10𝑘𝑁

Presjecne sile

𝐷 sin𝛼+𝐺𝑉 = 0→ 𝐷 = −20/0.6 = −33.33𝑘𝑁x𝐽 = 0 : 𝐶𝑉 · 2− 40 · 4− 𝑈 · 1.5 = 0

𝑈 = 53.333𝑘𝑁

F=

100kN

F=

40kN

GV

GV

2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m

1.5m

“1.0”

“1.0”

D

UC

BA

J

1

-0.333“GV ”

+

-1.667

0.556

−0.556

“D”-

0.889

-0.889

“U”+

Slika 2.68

Proracun presjecnih sila koristeci uticajne linije

𝐷 = 100 · (−0.556) + 40 · (0.556) = −33.33𝑘𝑁𝑈 = 100 · 0.889 + 40 · (−0.889) = 53.333𝑘𝑁



http://siljak.ba

Documents

Statika konstrukcija - Zbirka zadataka - · PDF file2. proraˇcun presje ˇcnih sila na stati ˇcki odre denim nosaˇcima 40 300 280 236 80 40 20 40 m-+-258 40 118 18 22 22 82 40 60