Statica delle vele UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Relatore: Chiar.mo Prof. Maurizio AngelilloCorrelatore:

Statica delle veleStatica delle vele

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea in Ingegneria MeccanicaCorso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Relatore:Relatore:

Chiar.mo Prof. Maurizio Angelillo

Correlatore:Correlatore:

Ing. Antonio Fortunato

Candidato:Candidato:

Gianluca GambardellaMat. 465/000431

Anno Accademico 2007 - 2008Anno Accademico 2007 - 2008

Tesi di Laurea

MotivazioniMotivazioni

Il presente lavoro di tesi costituisce un primissimo passo verso la più completa comprensione del complesso problema di interazione fluido-struttura rappresentato dallo studio delle vele. Qui, infatti, al fine di dare una soddisfacente caratterizzazione del materiale, l’interesse è stato rivolto esclusivamente agli aspetti strutturali e costitutivi del problema che, pertanto, viene trattato in modo disaccoppiato dal flusso introducendo in particolare un’ipotesi semplificativa sulla distribuzione della pressione che agisce sulle vele.

Introduzione / 1Introduzione / 1

• Da un punto di vista strettamente strutturale le vele sono da considerarsi essenzialmente delle membrane elastiche, ossia degli elementi strutturali che, avendo uno spessore piccolo in rapporto alle loro dimensioni globali, possiedono una rigidezza flessionale trascurabile e possono essere modellati come del tutto incapaci di sostenere tensioni di compressione. Di conseguenza, per modellare semplicemente l’elemento strutturale vela è possibile adottare il modello NENC (Normal Elastic No-Compression), che tratta materiali caratterizzati da un legame elastico lineare a trazione e non resistenti a compressione.

• Assumendo valida l’ipotesi di piccole deformazioni e considerando il caso piano, il problema di equilibrio per la vela, così come per ogni altro tipo di membrana elastica di tipo NENC, può essere condotto e risolto attraverso la teoria introdotta da Wagner nel 1929 e nota con il nome di “Tension Field Theory” (TFT).

Introduzione / 2Introduzione / 2

• Dall’analisi strutturale delle vele emerge in modo netto il problema del “wrinkling”, ossia il problema della formazione di pieghe, che risulta essere ancor più evidente nelle vele per andature portanti, in quanto spinnaker e gennaker sono vele non inferite.

• La “Tension Field Theory” permette di ottenere sia la posizione (e l’estensione) delle zone soggette a pieghe sia la direzione dei campi di pieghe.

• Partendo dai risultati della TFT, diventa necessario un metodo per la ricerca dell’ampiezza e della lunghezza d’onda; tali parametri geometrici, che consentono una descrizione completa delle pieghe, sono legati sia alla deformazione anelastica, che misura l’“accorciamento” in direzione trasversale alla direzione delle pieghe, sia al valore della tensione nella direzione dei raggi di trazione parallela alla direzione delle pieghe.

““wrinkling” for yacht sailswrinkling” for yacht sails

Pieghe in uno spinnaker simmetricoPieghe in uno spinnaker simmetrico

VMG (VMG (a.) e runner () e runner (b.)) I

Introduciamo una certa classe di Problemi ai Valori al Contorno (BVP) per particolari materiali unilaterali in domini bidimensionali e sotto l’ipotesi di piccole deformazioni.

La soluzione di questi problemi ha una particolare rilevanza sia per le strutture in muratura che per le membrane elastiche se si accetta un modello semplificato che trascuri integralmente la resistenza a trazione (nel caso delle strutture in muratura) o a compressione (nel caso delle membrane elastiche); tali modelli sono conosciuti in letteratura con il nome di “Masonry-Like Theory” (MLT) e di “Tension Field Theory” (TFT).

Essi, in particolare, consentono di pervenire alla soluzione dei suddetti problemi fornendo la possibilità di definire dei campi di tensione uniassiale diretti lungo una famiglia ad un solo parametro di raggi, detti raggi di compressione (MLT) o di trazione (TFT).

Boundary Value ProblemBoundary Value Problem

deformazione totale

Ipotesi principali della MLT / 1Ipotesi principali della MLT / 1

Le ipotesi principali della MLT sono analoghe a quella della TFT.

e Tuu 2

1 deformazione infinitesima

• piccole deformazionipiccole deformazioni

• dominio bidimensionaledominio bidimensionale

Il corpo masonry-like occupa la regione regolare dello spazio euclideo bidimensionale.

La frontiera è suddivisa in due parti:frontiera vincolata

frontiera caricata

DN

DN

I

Ipotesi principali della MLT / 2Ipotesi principali della MLT / 2

• materiale materiale masonry-likemasonry-like

Un materiale masonry-like può essere modellato ricorrendo al modello NENT (Normal Elastic No-Tension), che tratta materiali caratterizzati da un legame elastico lineare a compressione e non resistenti a trazione.

Restrizione sulla tensione NSymT

Decomposizione della deformazione totale

λ εedeformazione elastica

deformazione anelastica

Tελ ~ descrive le fratture / pieghe.

Restrizione sulla deformazione anelastica

0

PSym

λT

λ

BVP nella “BVP nella “Masonry-Like TheoryMasonry-Like Theory”” Assegnate le forze di volume su , le forze di contatto sulla

frontiera caricata ed il campo di spostamento sulla frontiera

vincolata , trovare la terna tale che siano

soddisfatte le seguenti condizioni:

b p

N u

Tλ,,uD

EquilibrioEquilibrio

Condizioni al contornoCondizioni al contorno

uu

pnT susu Nsusu D

Restrizioni sulla tensioneRestrizioni sulla tensione

e conseguente partizione del dominio

Legame tensione-deformazioneLegame tensione-deformazione λT e

0det,0tr λλRestrizioni sulla deformazione anelasticaRestrizioni sulla deformazione anelastica

e legge di ortogonalità 0λT

0b Tdiv inin CongruenzaCongruenza Tuue 2

1

Partizione del dominio / Partizione del dominio / MLTMLT

321 ,,

regione soggetta ad uno stato di

compressione biassiale

regione soggetta ad uno stato di

compressione uniassiale

0det,0tr: TTx

regione scarica

0det,0tr: TTx

0det,0tr: TTx

I

• In particolare, la “Tension Field Theory” si caratterizza per il fatto

di cercare la soluzione di equilibrio nel limitato sottoinsieme di

contenente i campi di tensione aventi rango pari ad

uno (tensioni uniassiali). Per si ha che , e

quindi che , in quanto la regione è soggetta ad uno stato

di compressione biassiale rappresentato ovviamente da campi di

tensione aventi rango pari a due.

T

T 32 1 1

Soluzione del BVP / 1Soluzione del BVP / 1

• Il problema di equilibrio per materiali caratterizzati da un legame elastico lineare a compressione e non resistenti a trazione, NENT, può formularsi attraverso un approccio variazionale.

Soluzione del BVP / 2Soluzione del BVP / 2

• Generalmente, il valore della tensione , che minimizza l’Energia

Complementare in , rappresenta una soluzione approssimata del

problema di equilibrio per materiali NENT; ciò può essere verificato

ricavando le corrispondenti deformazioni anelastiche (fratture)

attraverso le equazioni di compatibilità e controllando che siano

soddisfatte le condizioni al contorno per gli spostamenti associati.

T

I

W

I

Formulazione variazionaleFormulazione variazionaleGli stati di equilibrio per un corpo Gli stati di equilibrio per un corpo masonry-like masonry-like

possono essere trovati minimizzando …possono essere trovati minimizzando …

… l’Energia Potenziale

nell’insieme dei campi di spostamento cinematicamente ammissibili

susu D

… l’Energia Complementare

nell’insieme dei campi di tensione staticamente ammissibili

& bilanciato con bp ,

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 1Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 1

Le facciate degli edifici in muratura spesso possono essere considerate come un insieme di pannelli masonry-like di forma rettangolare.

Tali pannelli sono liberi da forze di contatto lungo i bordi laterali e

sono soggetti ad assegnati spostamenti rigidi delle basi con

parametri dello spostamento rigido relativo tra le basi

inferiore (a) e superiore (b).

,, VU

a

b

I

W

Stato tensionaleStato tensionaleW

Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 2Distribuzione ottimale dello stato tensionale / 2Soluzione approssimata del BVP

Ricerca del minimo del funzionale energia complementare

nel sottoinsieme 1rank:H TT

Rappresentazione della

tensione in 2

Rappresentazione della

deformazione anelastica in 2

direzione delle isostatiche di compressione

I

W


• Nota 1.

Per si ha che , e quindi che T 32 1

• Nota 2.

Nella regione le linee principali della tensione corrispondenti alle isostatiche di compressione, in assenza di forze di volume, sono linee rette, che prendono il nome di raggi di compressione.

2

raggio di compressione

I raggi di compressione non possono sovrapporsi e, dal momento che i bordi laterali del pannello non

sono sottoposti a forze esterne, essi non intersecano mai questi ultimi e, pertanto, passano sempre per

le basi, superiore (b) ed inferiore (a), del pannello.

W


I raggi di compressione, dunque, costituiscono una famiglia ad un solo parametro di segmenti non auto-intersecanti.

funzione pendenza funzione pendenza dei raggi di compressionedei raggi di compressione

21 BA xx

• Nota 3.

L’interfaccia tra le regioni ed è un raggio rettilineo inesteso.2 3

• Nota 4.

La divisione del dominio dipende esplicitamente dal dato ~ parametri dello spostamento rigido relativo tra le basi.

32 , ,, VU

W

raggi inestesi

Divisione del dominio / 1Divisione del dominio / 1

I

Restrizioni su

Vincoli geometrici

Vincoli cinematici

raggi compressi

W

Divisione del dominio / 2Divisione del dominio / 2

I

Divisione del dominio Divisione del dominio in tre casi elementariin tre casi elementari

Taglio + Flessione + Elongazione

Taglio Puro

Flessione + Accorciamento

W

I

Taglio + Flessione + ElongazioneTaglio + Flessione + Elongazione

0,0,0 VU

W

I

Taglio PuroTaglio Puro

0,0,0 VU

W

I

Flessione + AccorciamentoFlessione + Accorciamento

0,0,0 VU

W


Nella regione è conveniente introdurre un sistema di coordinate

curvilinee , avente parallelo ai raggi di compressione.

2 21 , 2

W


Nel sistema di riferimento curvilineo la geometria locale e

la deformazione locale possono essere rappresentate

introducendo:

21 ,

• base vettoriale naturale

• base vettoriale reciproca

2121 ,, xx• Jacobiano della trasformazione

restrizione

su

Sistema di riferimento Sistema di riferimento variabile ortogonalevariabile ortogonale

W


TENSIONE E DEFORMAZIONE INTENSIONE E DEFORMAZIONE IN

Tensione principaleTensione principale

Deformazioni principaliDeformazioni principali

2222 1 gT

per un materiale masonry-like

isotropo

EQUILIBRIOEQUILIBRIO

W


1

22

21

C d

2121

ln1

)(2),(Ε

1

1

Hg

Hgg

gVUgEggEnergia Complementare

Si ricerca il minimo del funzionale energia complementare

tra tutte le funzioni che soddisfano le condizioni al contorno

Equazione di Eulero associata al problema di minimoEquazione di Eulero associata al problema di minimo

4'244 2321

1223

231 gUgVUgA

0''16 132 gH È un’equazione differenziale ordinaria del 2° ordine,

altamente non lineare, risolvibile con metodo di “shooting”.

W


Il minimizzatore di , soluzione dell’Equazione di EuleroEquazione di Eulero,

è denotato con .

CΕ0g

Taglio + Flessione + Elongazione

Taglio Puro

Flessione + Accorciamento

FunzioneFunzione

e stato di tensione e stato di tensione

in tre casi elementariin tre casi elementari

0g

W

I

Taglio + Flessione + ElongazioneTaglio + Flessione + Elongazione

W

I

Taglio PuroTaglio Puro

W

I

Flessione + AccorciamentoFlessione + Accorciamento

W

CompatibilitàCompatibilitàNoto il minimizzatore , la componente covariante dello

spostamento si può facilmente ottenere integrando

l’equazione

0g 2u2

21

1 uu aa u

L’equazione di compatibilità

ammette sempre una soluzione in funzione di

W

• Le membrane elastiche, come – ad esempio – le vele, subiscono deformazioni instabili già per effetto di sforzi di compressione molto piccoli, che generano pieghe ed un effetto di contrazione apparente della superficie media della membrana in direzione ortogonale alle pieghe stesse.

• Nel caso delle membrane elastiche la parte anelastica della deformazione totale è associata alla formazione di pieghe che consentono “accorciamenti” a costo energetico nullo. La conoscenza del campo di tensione uniassiale (ossia la conoscenza della distribuzione ottimale dei raggi di trazione) e della corrispondente deformazione anelastica è la base attraverso la quale si può ricavare in modo approssimato lo schema delle pieghe nella regione wrinkled della membrana elastica.

Wrinkling / 1Wrinkling / 1

Wrinkling nel caso di taglio puroWrinkling nel caso di taglio puro

Risultato sperimentale Risultato simulazione numerica

I

• Il BVP considerato per le strutture in muratura è rilevante anche per la descrizione dello stato tensionale nelle membrane elastiche. La teoria corrispondente, valida nell’ipotesi di piccole deformazioni e di dominio piano, prende il nome di “Tension Field Theory” (TFT); essa permette di ottenere con una relativa facilità l’estensione delle zone soggette a pieghe e la direzione dei campi di pieghe.

Wrinkling / 2Wrinkling / 2

Nuova partizione del dominio

Le ipotesi principali della TFT sono esattamente le stesse della MLT, fatta eccezione per il segno delle tensioni e delle deformazioni anelastiche

Ipotesi principali della TFTIpotesi principali della TFT

MLT

NSymT

0,PSym λTλ

0det,0tr λλ

TFT

PSymT

0,NSym λTλ

0det,0tr λλ

Partizione del dominio / Partizione del dominio / TFTTFT

321 ,,

regione esclusa da pieghe in quanto

soggetta ad uno stato di tensione biassiale

regione soggetta ad uno stato di tensione uniassiale

in cui sono possibili “accorciamenti” in direzione ortogonale alle isostatiche

di trazione

0det,0tr: TTx

regione scarica in cui sono possibili “accorciamenti”

in direzione qualsiasi

0det,0tr: TTx

0det,0tr: TTx

I

taut wrinkled slack

Un metodo approssimato che conduce alla determinazione del valore dell’ampiezza e della lunghezza d’onda delle pieghe, in termini

di tensione e di deformazione anelastica, è stato proposto recentemente da Wong e Pellegrino.

profilo delle pieghe nel piano ortogonale profilo delle pieghe nel piano ortogonale alla superficie media della membranaalla superficie media della membrana

Descrizione delle pieghe / 1Descrizione delle pieghe / 1

parametri governanti la descrizione delle pieghe

Risultati della TFT:

• posizione ed estensione delle zone dove possono manifestarsi le pieghe

• deformazione anelastica che misura l’“accorciamento” in direzione trasversale

• valore della tensione nella direzione dei raggi di trazione

01 1

k

02 2

k


Approssimando metà onda in direzione

trasversale con una circonferenza

di raggio1r

1

k

metà dell’ampiezza

un quarto della lunghezza d’onda

Descrizione delle pieghe / 3Descrizione delle pieghe / 3Nella membrana reale, dotata di una qualche rigidezza flessionale, la tensione

trasversale alla direzione delle pieghe ha un valore di certo molto piccolo

rispetto alla tensione parallela alla direzione delle pieghe , ma non nullo.

)( 1)( 2

22

22

1 148 Et

Si può stimare il valore di ponendolo

pari al valore del carico critico di Eulero 1

Equazione di equilibrio nel fuori piano

02

2

1

1 rr

A

lr

2

2

2 ~ raggio di curvatura in direzione 2

k

lunghezza della piega


Imponendo l’equilibrio per 02

22

22

22

2

222

1481

4

Et

gH

A

A

che, per piccoli valori del rapporto fornisceE

2

2

2

2

1 1

13

4

1

Eg

tHA

2

2

2

13

1

22

1

Eg

tH

Simulazione / Geometria di riferimentoSimulazione / Geometria di riferimento

Spinnaker simmetrico VMG

reale virtualeI

Simulazione / Ipotesi di carico aerodinamicoSimulazione / Ipotesi di carico aerodinamico

si ipotizza che il valore della pressione sullo spinnaker sia uniforme, cioè non dipenda dalla posizione, e pari a 200 pascal

condizione di carico simmetrico (A)

si ipotizza che il valore della pressione sullo spinnaker dipenda dalla posizione secondo una distribuzione di tipo gaussiano con un massimo di 300 pascal

condizione di carico asimmetrico (B)

Simulazione / Modifiche al codiceSimulazione / Modifiche al codice

regione esclusa da pieghe in quanto

soggetta ad uno stato di tensione biassiale

regione soggetta ad uno stato di tensione uniassiale

in cui sono possibili “accorciamenti” in direzione ortogonale alle isostatiche

di trazione

321 ,,

regione scarica in cui sono possibili “accorciamenti”

in direzione qualsiasi

Simulazione numero 1Simulazione numero 1In uno spinnaker reale sono presenti tre rinforzi (ottenuti tramite l’incollaggio di più strati di tessuto sovrapposti) in corrispondenza dei tre angoli; tale presenza è indispensabile perché altrimenti la vela, in quanto membrana elastica unilaterale, non riuscirebbe a trasmettere le azioni esterne ai vincoli puntuali in cui si generano delle forze concentrate.

L’obiettivo di questa simulazione è quello di capire quale sia lo spessore dei rinforzi, ovvero il numero di strati di nylon sovrapposti ed incollati, che aumenti il rendimento dello spinnaker, riducendo la regione piegata a favore della regione tesa. Dal momento che la determinazione di tale spessore è un intervento che va condotto in sede di progetto, ho pensato di realizzare questa simulazione facendo lavorare la vela in condizioni ottimali, vale a dire fissando l’angolo di scotta e, quindi, vincolandolo a trovarsi sempre alla stessa altezza dell’angolo di mura.

Simulazione numero 2Simulazione numero 2

Simulazione numero 1 / Simulazione numero 1 / risultatirisultati

• spessore dei rinforzi pari a 2 volte lo spessore del resto della vela (a.)

• spessore dei rinforzi pari a 10 volte lo spessore del resto della vela (b.)

b.a.b.a.

carico simmetrico carico asimmetrico

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