STATI2

8/19/2019 STATI2

1/25

A statisztika nh ny rdekes eszkze ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

A jellemzs eszkzeiÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Vessnk egy pillant st a statisztikai jellemzkre, a statisztikaifggvnyekre! Hat rozottan ki kell jelentennk, hogy a legfontosabbstatisztikai jellemzk, statisztikai fggvnyek (elj r sok) nemstatisztikai eredetek, de statisztikai szerepben is j¢l haszn lhat¢k.Ezrt ltal ban clszer, ha mindent megvizsg lunk, h tha hasznos¡that¢a statisztik ban is, s mindent megvizsg lunk olyan szempontb¢l is, hogyh tha hasznos¡that¢ benne a statisztika. Termszetesen nemcsak astatisztik val clszer ¡gy elj rni, hanem a geometri val, amechanik val s minden m s tudom nnyal is.

Teh t pl. ha valamilyen fggvnyrl van sz¢, keressk annak statisztikaiszerept, statisztikai alkalmazhat¢s g nak lehetsgt, s b rmivel vandolgunk, gyazzuk be olyan helyzetbe, folyamatba, ("vletlenes¡tsnk","sokas gos¡tsunk"), amelyben a statisztik t, a val¢sz¡nsgelmletethasznos¡thatjuk! Igyekezznk a statisztika eszkzeit s szemlletm¢dj tm sutt is hasznos¡tani!

R trve a statisztikai jellemzs eszkzeire, ezek az eszkzk- a fggvnyek (jellemzk, mrsz mok, mutat¢sz mok, mrtkek) s- a kvetkeztetsi, dntsi, v laszt si sablonok.

Sose tvesszk szem ell, hogy a statisztik ban mindig mint k alapj ndntnk, s mint k alapj n alak¡tjuk ki, hozzuk ltre munk nkeredmnyt, b rmi legyen is az.

A statisztikai (knyszer)helyzetÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

A statisztika lnyeghez tartozik, hogy a munk hoz kevesebb inform ci¢

ll rendelkezsre, mint amennyi szksg lenne. Olyankor knyszerlnkstatisztikai m¢dszerek alkalmaz s ra, amikor t£l sok inform ci¢t kellenebegyjtennk, s feldolgoznunk, s ez t£l sok idt, pnzt ignyelne,vagy esetleg lehetetlen is lenne. Ami pedig a teljes megalapozotts ghozhi nyzik, azt rszben vagy egszben nknyes dntsekkel p¢toljuk.

A legtipikusabb eset a kvetkez. Egy sz msokas gr¢l (a sz megyenesenlev adott pontokr¢l) kell(ene) a legkevesebbel a legtbbet kzlnnk.

Mit mondan nk, ha kt sz mmal kellene jellemezni a sokas got?

Egyik lehetsg- megadni a sokas got tartalmaz¢ legszkebb intervallumot,

kt vgpontj val.

Egy m sik lehetsg- megadni a sokas got tartalmaz¢ legszkebb intervallumot, kzppontj val s hossz val, vagy flhossz val.

Harmadik lehetsg- a sz megyenes megadott pontjaiban hat¢ egysgnyi fggleges erk eredjnek egyenesn lev pontot megadni a sz megyenesen (ez az adott pontok s£lypontja), s megadni a pontokat tartalmaz¢ legszkebb

8/19/2019 STATI2

2/25

intervallum hossz t.

A lehetsgek felsorol s t hosszasan lehet sorolni, mindegyik j¢, stlegjobb valamilyen esetben.

Szigor¡tsuk a feladatot! Mit mondan nk, ha a sokas got csak kt sz mmalszabadna jellemezni, de csak egy 20 elem minta ll a rendelkezsnkre?

Egyik lehetsg- megtagadni a v laszad st, nem foglalkozni a feladattal.

M sik lehetsg- v llalni a knyszert s megadni a nagys g szerint rendezett minta legkisebb s legnagyobb elemt.

Harmadik lehetsg- megadni a mintaelemek s£lypontj t (ez a sz mtani tlagrtkkel azonos pont) s egy sz mot, amely a minta kiterjedst, eloszlotts g t jellemzi.

Teljesen nyilv nval¢, hogy ezek a viselkedsek, "elj r sok" nincsenekmegalapozva. Valljuk be, hogy "hazard¡rozunk". Ha a mintaelemeks£lypontja kzel lesz a sokas g elemeinek s£lypontj hoz, s a mintakiterjedse is kzel lesz a sokas ghoz, akkor j¢l j rtunk, egybknt

nem. Viselkedsnkben lnyeges szerepe van annak, hogy rdemesnektartjuk, jobbnak tarjuk a semminl, hogy a sokas g jellemz adataihelyett, azok szerepben, a minta jellemz adataival dolgozzunk. (Ez egyviselkedsi sablon.)

Feladatunk megold s ra teh t statisztikai fggvnyeket s viselkedsisablonokat haszn ltunk.

Mik a legfontosabb inform ci¢k?ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Mik a legfontosabb inform ci¢k egy sz msokas gr¢l (a sz megyenesen lev

adott pontokr¢l)? A krds nyilv n pontatlan, hiszen a v lasz fggatt¢l, hogy a sokas ggal kapcsolatban milyen feladatot kell megoldani,milyen krdsekre kell v laszolni.

Megint megtehetjk, hogy megtagadjuk a v laszt. Ha viszont engednk aknyszernek, akkor minden statisztikus azt fogja mondani, hogy alegfontosabb a sokas g "kzepre" vonatkoz¢ inform ci¢, ut na pedig asz¢r¢dotts g ra, kiterjedsre vonatkoz¢ inform ci¢. Mindkettelhelyezkedseknek, helyzeteknek rtkelsre, jellemzsre szolg l!Ezekkel foglalkozunk most, pld kra szor¡tkozva.

Elhelyezkedsek, helyzetek rtkelse, jellemzse

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Egy sz msokas g (a sz megyenesen lev adott pontok) elhelyezkedsnekjellemzsre legalkalmasabb saj t maga, ha erre nincs m¢d, meg kellelgednnk egy mint val a pontrendszerbl. Ez egyenrtk a minta(empirikus) kumulat¡v eloszl s val (L. ksbb!).

A sz msokas g (a sz megyenesen lev adott pontok sokas ga) "kzepe"szerepben sz¢ba jhet egy minta- s£lypontja,

8/19/2019 STATI2

3/25

- maxim lis s minim lis eleme sz mtani tlaga, ezek "sz mtani kzepe", a kt pont kzti szakasz felezpontja, s mg sok m s fggvny.

A sz msokas g (a sz megyenesen lev adott pontok sokas ga)sz¢r¢dotts ga, kiterjedse, eloszlotts ga jellemzsben haszn lni szok segy minta sz¢r¢dotts gi, tmrdttsgi jellemzinek b rmelyikt,- a terjedelmet (a legnagyobb s a legkisebb elem klnbsgt),- az tlagt¢l vett tlagos abszol£t eltrst,- az tlagt¢l vett tlagos ngyzetes eltrst,- az tlagt¢l vett tlagos ngyzetes eltrs ngyzetgykt ("sz¢r s t"),- az elz kett "korrig lt" v ltozat t,- az elemp rok p ronknti abszol£t eltrsnek tlag t (a Gini-fle mrsz mot),- a klnfle entr¢pi kat,s a hasonl¢ jelleg fggvnyeket.

Klnsen lnyeges szerepe van a klnfle eltrseknek, t vols goknak.

Fontos tudatos¡tani, hogy minden olyan esetben, amikor eltrsrl,t vols gr¢l beszlnk, vagy lnyeges eltrsrl, ill. t vols gr¢l, ezrtelmetlen s flrevezet, ha az eltrst ill. t vols got, valamint alnyegessget nem ¡rjuk krl pontosan. Ezrt szlh moss g pl. a legtbbszignifikanci ra vonatkoz¢ kijelents.

Pld k sz msszessgek (pl. sokas gok, mint k) t vols g ra.- elemsz muk klnbsge,- valamilyen "kzepk" klnbsge,- sz mtani kzepk (s£lypontjuk) t vols ga,- valamilyen sz¢r¢dotts gi, tmrdttsgi jellemzjk klnbsge,- terjedelmk klnbsge (maxim lis s minim lis elemk klnbsge),- minim lis elemk klnbsge plusz maxim lis elemk klnbsge,- valamilyen jellemz sz rmazkuk eltrse, t vols ga,s a felsoroltak b rmilyen sszege, szorzata stb.

(Termszetesen e fggvnyek nem mindegyike lesz matematikai rtelembent vols g, azaz "metrika".)

Fontos sz rmazkokÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

A kvetkez pld kon egy sz msszessg kt fontos fggvny-sz rmazk tszemlltetjk. Ezek, a kumulat¡v abszol£t gyakoris g eloszl s s akumulat¡v relat¡v gyakoris g eloszl s.

A kumulat¡v abszol£t gyakoris g eloszl s (fggvny) egy olyan,szakaszonknt lland¢ fggvny, mely minden mintaelem felett 1-et ugrik.Tbbszrs rtkek felett a tbbszrssg rtke az ugr s nagys ga.

Az 1, 5, 4, 7 rtkek kumulat¡v abszol£t gyakoris g eloszl sa:

³Å³Å4 ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³ ³Å3 ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ³ ³Å2 ÚÄÄÄÄÙ³ ³Å1 ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

8/19/2019 STATI2

4/25

8/19/2019 STATI2

5/25

hogy igen? s ki meri azt ll¡tani, hogy nem?

0 1³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

Mennyire "szignifik nsan" jobb, mennyire jelentsen jobb az els atbbinl ezekben a vgeredmny helyzetekben?

Lehetsges defin¡ci¢k az els helyek sszehasonl¡t s ra:

Kt els hely kzl az a jobb, amelynl a megelzttek poz¡ci¢sszegenagyobb. Poz¡ci¢sszegen a kvetkezkben poz¡ci¢rtkek sszegt rtjk.Poz¡ci¢rtk pedig a versenyzt a sz megyenesen reprezent l¢ sz m rtke(vagy ennek valamilyen fggvnye).

Kt els hely kzl az a jobb, amelynl a megelzttek tlagospoz¡ci¢sszege nagyobb.

Az els hely egy "abszol£t" rtkessgi mrsz ma: a saj t poz¡ci¢rtkszorozva a megelzttek tlagos poz¡ci¢sszegvel.

Az els hely egy "abszol£t" rtkessgi mrsz ma: a saj t poz¡ci¢rtk

hozz adva a megelzttek tlagos poz¡ci¢sszegt.

Ha (kln) poz¡ci¢rtkel fggvnnyel dolgozunk, kt pontpoz¡ci¢eltrst a pontok poz¡ci¢rtkel fggvnyrtkei eltrsveldefini ljuk.

Kt els hely kzl az a jobb, amelynl a megelztteknek a gyztestlsz m¡tott poz¡ci¢eltrseinek sszege kisebb.

Kt els hely kzl az a jobb, amelynl a megelztteknek a gyztestl

8/19/2019 STATI2

6/25

vett poz¡ci¢eltrseinek tlaga kisebb.

Figyelem! Az eddigiekben a kvetkez helyzetet £gy rtkeltk, hogy agyztes sokkal jobb az egybknt j¢ megelztteknl.

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÁÄÁÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³

Azt is mondhattuk volna azonban, hogy a gyzelem nem nagy dolog, mert amezny tbbi tagja nagyon gyenge. Ha ez a helyzet, akkor a fentidefin¡ci¢kat meg kell ford¡tani, rtelemszeren helyettes¡teni kellegym ssal a kisebb s a nagyobb jelzt.

Termszetes, hogy a poz¡ci¢rtkelst tbbfle poz¡ci¢rtkelfggvnnyel is vgezhetjk, amely lehet a [0,1] intervallum felettielvileg b rmilyen nemnegat¡v fggvny. Gyakorlati rtelme azonban csaknh ny t¡pusnak van.

Kt pont poz¡ci¢t vols ga (poz¡ci¢eltrse, poz¡ci¢klnbsge) ltal bana pontokhoz a poz¡ci¢rtkel fggvny ltal rendelt rtkek eltrse,de m s defin¡ci¢k is hasznosak lehetnek.

Ha x Ä> x*x a poz¡ci¢rtkelfggvny, akkor a 0,5 s a 0,7 pont

(poz¡ci¢)t vols ga a legegyszerbb esetben abs(0,25-0,49), teh t 0,24.Egy kzbls helyen vgzett versenyz helyezst is sokflekpp lehetrtkelni.

Pld k rtkelfggvnyre:

- a versenyz ltal megelztteknek a versenyztl vettpoz¡ci¢t vols gainak az tlaga, m¡nusz a versenyzt megelzknek aversenyztl vett poz¡ci¢t vols gainak az tlaga,

- a versenyz ltal megelztteknek a versenyztl vettpoz¡ci¢t vols gainak az tlaga, m¡nusz a versenyzt megelzknek a

versenyztl vett poz¡ci¢t vols gainak az tlaga, e klnbsg szorozva aversenyznek a clt¢l vett poz¡ci¢t vols g val.

Mivel minden rangsor pontelhelyezkeds, s minden pontelhelyezkedsegyenrtk a saj t kumulat¡v abszol£t gyakoris g eloszl sfggvnyvel,ezrt nyilv nval¢, hogy rangsorok sszehasonl¡t sa, pontelhelyezkedsekklnbz szempont£ sszehasonl¡t sa s bizonyos lpcss fggvnyeksszehasonl¡t sa ugyanazt a feladatot jelenti.

Fggvnyek eltrse, t vols gaÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Fggvnyek eltrseinek, t vols gainak kutat sa fontos terlete amatematik nak. Ezeknek az eltrseknek, t vols goknak azonban szintemindentt fontos szerepe van.

Kt sz msszessg (sz megyenes kt pontsszessge) eltrse, t vols gadefini lhat¢ a sz msszessgek valamilyen sz rmazkfggvnynekeltrsvel, t vols g val, vagy a kt sz msszessgbl sz rmaztatottvalamilyen fggvny valamilyen jellemzjvel.

Kt sz msszessg (sz megyenes kt pontsszessge) eltrsnek,

8/19/2019 STATI2

7/25

t vols g nak jellemzsre j¢l haszn lhat¢k e sz msszessgekgyakoris geloszl si fggvnyeinek eltrsei, t vols gai.

ltal ban: kt sz msszessg (sz megyenes kt pontsszessge)eltrsnek, t vols g nak jellemzsre j¢l haszn lhat¢k esz msszessgek ltal gener lt fggvnyek eltrseinek (s£lyozott)sszegei is.

Mivel egy sz msszessg nemcsak gener lhat klnbz fggvnyeket, hanemmaga is lehet fggvny, sz msszessgek eltrseinek nagy szerepe van astatisztik ban is.

Sz msszessgek eltrseinek mrtkt sok minden befoly solhatja, az" tl¢g snak" azonban majdnem mindig jelents szerepe van.

Gyakorlati statisztikai szempontb¢l sz msszessgek eltrseinekjellemzsben j¢l hasznos¡that¢k azok a mveletek, melyek operandusai

az egyik sz msszessg- ssz elemsz ma,- nem tl¢g¢ elemeinek sz ma,- tl¢g¢ elemeinek a sz ma,- ssz elemnek "kzepei",- nem tl¢g¢ elemeinek "kzepei",

- tl¢g¢ elemeinek "kzepei",- terjedelemintervalluma (vgpontjai),

a m sik sz msszessg- ssz elemsz ma,- nem tl¢g¢ elemeinek sz ma,- tl¢g¢ elemeinek a sz ma,- ssz elemnek "kzepei",- nem tl¢g¢ elemeinek "kzepei",- tl¢g¢ elemeinek "kzepei",- terjedelemintervalluma (vgpontjai),

a kt sz msszessg

- egyes¡tett terjedelemintervalluma (vgpontjai),- terjedelemintervallumai kzs rsznek (vgpontjai),

s- a felsorolt intervallumvgpontok, s "kzepek" elhelyezkedsi viszonyjellemzi,- a felsorolt intervallumvgpontok, "kzepek" s a sz msszessg elemeinek elhelyezkedsi viszonyjellemzi.

A fggvnyek tulajdons gai s a kztk lev sszefggsekÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Gyakorlati szempontb¢l kzponti krds, hogy mirl inform l(hat)nak afggvnyrtkek? Mikre kvetkeztethetnk bellk? s, milyen inform ci¢tmilyen fggvnyek szolg ltatnak legelnysebben, legpontosabban,leggyorsabban stb.

(ltal ban indokolatlan) kvetkeztetsi sablonainkban is az ltalunkhaszn lt fggvnyek s ezek kztti sszefggsek viszik a vezetszerepet.

Nh ny ilyen (van amikor helyes) sablon.

8/19/2019 STATI2

8/25

- Kis val¢sz¡nsg, teh t ritka.- Minl nagyobb a sz¢r¢dotts g, ann l kisebb az tlag mint b¢l sz m¡tott rtke helynek "megb¡zhat¢s ga".- Minl nagyobb az entr¢pia (melyik?), ann l kisebb a sz¢r¢dotts g (melyik?).

Hogy mirl inform l(hat)nak a fggvnyrtkek? Mikre kvetkeztethetnkbellk? Ilyesflkre mint pld ul

- az ingatags g mrtkre,- a megkzel¡tsi eslyessg mrtkre,- a helyzet elnyssge mrtkre,- a sikereslyessg mrtkre,- a kudarceslyessg mrtkre,- a tmrdttsg mrtkre,- a kzelisg mrtkre,- a t volis g mrtkre,- az egyenletessg mrtkre,- az elkeveredett(ebb)sg mrtkre,- az elvegylt(ebb)sg mrtkre,- az sztoszlott(abb)s g mrtkre,-stb.

Elg ezen a sorozaton vgigfutni ahhoz, hogy azonnal meg llap¡tsuk, hogy

nem a fggvnyekbl kvetkeztetnk, hanem fggvnyeink defini lhatj k(valahogyan) ezeket a tulajdons gokat. A m sik, amit meg llap¡thatunk, afelsorol s nagymrtk ltal noss ga, amibl az kvetkezik, hogy egy-egyilyen fggvny val¢j ban tbb klnbz tulajdons g mrtknekmeg llap¡t s ban is hasznos szerepet vihet. Kzkelet hib s dogma pl.,amit fizikaknyvekbl oll¢znak ki hozz nemrt szerzk, hogy"Az entr¢pia a rendezetlensg mrtke". Az entr¢pia elssorban azegyenletessgnek, a rszek egyformas g nak, a tmrdttsgnek s ezekellenttes jelensgeinek a mrtke, s mivel "a rendezetlensg"jelensge az egyenletessg, a rszek egyformas ga, a tmrdttsgfogalmaival ¡rhat¢ le, az entr¢pia haszn lhat¢ "a rendezetlensg"mrtkeknt is. Sz ndkosan nem foglalkozunk "a rendezetlensg"fogalm nak ugyancsak megalapozatlan volt val, klnsen nem, ha e

tulajdons got (fogalmat) r ad sul mg egy valaminek is kell hinnnk,amit a hat rozott nvel is bizony¡t. Az j Alaplap a "rend" s a"szab lyoss g" fogalmaival egybknt elg rszletesen foglalkozott.

Geometriai tbbesviszonyok, tbbestulajdons gokÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Volt m r sz¢ elhelyezkedsek, helyzetek rtkelsrl, jellemzsrl,fleg egyszer egydimenzi¢s esetekben. A gyakorlatban azonban szksgvan s¡kbeli, trbeli s magasabb dimenzi¢s elhelyezkedsek, helyzetekrtkelsre, jellemzsre is. Kt valami viszony nak a jellemzsben at vols gok, az eltrsek a legegyszerbb s leghasznosabb eszkzk.H rom s tbb valami esetben tbb valami viszony r¢l, tbb valami

egyttes tulajdons g r¢l, tbbesviszonyokr¢l, tbbestulajdons gokr¢l vansz¢.

Puszt n a problma rzkeltetse rdekben kzlnk 6 egyszerelhelyezkedst. Pr¢b lja meg az olvas¢ jellemezni ezeket!(Koordin tarendszertl fgg s fggetlen m¢dokon!)

³ . ³ . ³ .

8/19/2019 STATI2

9/25

³ ³ ³³ . ³ . ³ .³ . ³ . ³³ ³ ³ .³ . ³ . ³³ ³ ³ .ÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

³ . ³ ³ .³ ³ ³³ . ³ . . . . ³³ ³ ³ . .³ . ³ ³³ ³ ³³ . ³ ³ .ÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

A jellemzs eszkzei nyilv n olyan rel ci¢k lesznek, amelyeknek tbbrel t ja van, s olyan skal r, vektor, m trix s fggvny rtkfggvnyek, amelyek rtkt az elhelyezkedsek, a helyzetek hat rozz k

meg.E rel ci¢k s fggvnyek felp¡tsben jelents szerepe van- oszt¢viszonyoknak,- (projekt¡v) kettsviszonyoknak,- illeszkedseknek,- elv laszt soknak,- eltrseknek, t vols goknak,- szakaszok, tartom nyok l t¢szgeinek (s¡k- s trszgek, ...)- t maszalakzatoknak,- burokalakzatoknak,- mrtkeknek (¡vhossz, fellet, trfogat),- sz rmazkalakzatoknak,

- sz rmazkfggvnyeknek,- stb.

Tipikus ll¡tm nyok a- lejebb van,- feljebb van,- jobbra van,- balra van,- benne van,- k¡vl van,- rajta van,- metszi,- rinti,

- legal bb x rtk,- legfeljebb y rtk,- legal bb x mrtk,- legfeljebb y mrtk.- legal bb x sz moss g£,- legfeljebb y sz moss g£,- stb.

Konkrt pld k:

8/19/2019 STATI2

10/25

X, Y s Z £gy helyezkedik el, hogy az XPQ, az YPQ s a ZPQ szg sszegelegfeljebb 10 fok.

X az Y-t¢l jobbra s felfel,Z az L-tl balra s lefel,F az AXY s az XYZL konvex burka kzs rszn k¡vl, YL egyenesn stb.helyezkedik el.

M r ilyen egszen egyszer pld k is (emberi ervel) szintekvethetetlenek, gpi kezelsk azonban megoldhat¢. Ezeknek aviszonyoknak rendk¡vl rdekes s hasznos kalkulusa van, rengeteg eddigmg meg nem fogalmazott sszefggssel ("ttellel"). Eszkzk val¢dikincsesb ny j r¢l van sz¢, amelyek nemcsak a statisztikai nyomoz sban,hanem klnbz "kaotikus" jelensgek jellemzsben, s a tetszhalottgeometria sz m¡t stechnikai felt maszt s ban s hasznos¡t s ban isrendk¡vl hatkonyak.

Legelkeveredettebb elhelyezkedsekÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

A legelkeveredettebb elhelyezkedsek, legegyenletesebb (srsg)eloszl sok klnbz tartom nyokban (szakaszon, tglalapon, krn,gmbben, gmbfelleten, t¢ruszon, gr fokban stb.) val¢ el ll¡t sanlklzhetetlenek a statisztikus sz m ra, ha m srt nem, a legolcs¢bb,

"legreprezentat¡vabb" mintavtel rdekben.Helyezznk el egy egyenes szakaszon p darab piros, k darab kk, z darabzld, stb. pontot a lehet legegyenletesebben elkeverve, a lehetlegegyenletesebben eloszlatva! Ha csak egy sz¡n van, knny a feladat.Egyenesszakaszon igen, de pl. gmbfelleten m r nehz. A hazaikutat¢knak szp eredmnyei vannak e tren. Tbb sz¡n esetben pedig m regyenletessg defin¡ci¢t adni sem knny, nemhogy megold st.

Kimondottan statisztikai (mintavteltervezsi) feladat a kvetkez,amely azonban az inform ci¢elmletben, az ir ny¡t selmletben, akatasztr¢faelh r¡t sban s m s terleteken is fontos. Helyezznk el egyt bl zatban x darab X bett, y darab Y bett, z darab Z bett stb. a

lehet legegyenletesebben elkeverve, a lehet legegyenletesebbeneloszlatva! Szerkessznk elszr megfelel egyenletessg defin¡ci¢kat,azut n programozzunk! Gyalog erfesz¡tseknek nem sok rtelme van. (Azegyenletessg, az egyformas g, az elkeveredettsg fogalm ban nyilv nszerepet kell, hogy kapjanak az elemek szomszds g nak, a krnyezetnek ajellemzi is, hiszen az is fontos, ami az elemek kztt van.)

Ha valaki megoldotta e problm t, ttrhet trbeli (r cs)pontrendszerekre. Adott egy pontrendszer egy n dimenzi¢s trben, ltessnk epontrendszer ltal defini lt helyekre p darab piros, k darab kk, zdarab zld, stb. pontot, a lehet legegyenletesebben elkeverve, a lehetlegegyenletesebben eloszlatva!

Puszt n kedvcsin l sul kzljk a kvetkez (feladni knny, megoldaninehz) problm t. Helyezznk el 5 darab X-et egy 5x5-s t bl zatban, alehet legegyenletesebben elkeverve, a lehet legegyenletesebbeneloszlatva, sztoszlatva!

ÚÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÃÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄ´ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÃÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄ´

8/19/2019 STATI2

11/25

³ ³ ³ ³ ³ ³ ÃÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄ´ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÃÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄ´ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ

A legut¢bbi feladatokban legegyenletesebb elkeveredettsg,legegyenletesebben eloszlotts g, sztoszlatotts g elrse volt a cl. Afeladatok egzakt megold s hoz szksg van "az" elkeveredettsg,eloszlotts g, sztoszlatotts g egyenletessgnek legal bb egy mrtkre,mutat¢sz m ra.

A statisztik ban (s a gyakorlatban) azonban nemcsak "az" elkeveredettsg,eloszlotts g, sztoszlatotts g egyenletessg jellemzse, mrsenlklzhetetlen, hanem (az egzakts g rdekben) szksg van m stulajdons gok, viszonyok egzakt jellemzsre, mrtknek meg llap¡t s rais.

Nh ny ilyen (a gyakorlatban nagyon fontos) jellemzsi, mrsifeladattal foglalkozunk a kvetkezkben.

T bl zatelemzsi (tmbelemzsi) eszkzk

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄAhogyan pl. pontsokas gokn l a pontok elhelyezkedsnek is jelentsgeszokott lenni, nemcsak a pontok darabsz m nak, £gy a klnbztulajdons g£ elemek t bl zatokban val¢ klnfle elhelyezkedseinek,ezek viszonyainak is jelentsge szokott lenni. Egy tmb, vagy egyak rmilyen elrendezs, pl. kitlttt rlap, nemcsak bizonyos sz m£ elemsszessge, hanem az elemek egym shoz val¢ viszonya is. Ezekrtelmezse, felder¡tse s kiakn z sa a t bl zatelemzs, ill. ameznyelemzs egyik fontos feladata.

Egy tmb, egy elrendezs, nem csup n rtkei rvn, hanem ezekelhelyezkedse, egym shoz val¢ viszonya rvn is inform l. Gondoljunk

csak kt elem felcserlsnek hat s ra! Tulajdonkpp sz mok shelyrendszer egyttesrl van sz¢. Sz m¡t stechnikailag termszetesen ahelyrendszer le¡r sa is sz mokkal trtnik, ¡gy egy (sz m)elrendezsegyetlen sz msszessg, amelynek egy rsze rtkle¡r¢, m s rszehelyrendszerle¡r¢ funkci¢j£. Az ilyen sz msszessgek kalkulusainakrendk¡vl nagy a gyakorlati rtke. Hogy mikor mi tartozik az rtkle¡r¢s mi a helyrendszerle¡r¢ rszbe, (v ltoztathat¢) rtelmezs krdse,s a klnbz rtelmezsek, valamint az rtelmezsv ltoztat sok(pl. numerikus rtkknt sz molni helyrendszerle¡r¢ elemekkel, shelyrendszerle¡r¢ elemknt kezelni, elbb mg rtkle¡r¢ elemeket) ltalny£jtott lehetsgek rvn ez a vil g mg a m trixelmletnl isgazdagabb s hatkonyabb eszkzket k¡n l.

Ismteljk: ahogyan pl. a geometri ban nem mindegy, hogy egyes alakzatokhogyan helyezkednek el, s nemcsak annak van jelentsge, hogy milyenalakzatokr¢l van sz¢, hanem annak is, hogy ezek hol s hogyanhelyezkednek el, £gy a klnbz elrendezsekben, tmbkben (pld inkbant bl zatokban) sem mindegy, hogy a klnbz tulajdons g£ elemeknekmilyen az elhelyezkedse, elrendezdse, milyen viszonyok vannak ezekkztt az elhelyezkedsek s ezek elemei kztt.

ltal ban nem mindegy pl., hogy egy elrendezsben, tmbben, t bl zatbanhol vannak, hogyan helyezkednek el az olyan elemek (mi az

8/19/2019 STATI2

12/25

elhelyezkedsk az olyan elemeknek),- amelyek adott intervallumba esnek,- amelyek adott intervallumok valamelyikbe esnek,- amelyek sor ban van X tulajdons g£ elem,- amelyek oszlop ban van X tulajdons g£ elem,- amelyek sor ban vagy oszlop ban van X vagy Y tulajdons g£ elem,- stb.

Ha egy t bl zatban tudjuk bizonyos (tulajdons g£) elemek helyt, akkorez egyenrtk egy pontrendszer megad s val, mint ahogyan ezt akvetkez bra is szemllteti.

ÚÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿ Ã³ ³ ³ ³ o ³ ³ ³ oÃÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄ´ Ã³ o ³ ³ o ³ ³ ³ ³ o oÃÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄ´ Ã³ ³ ³ o ³ ³ ³ ³ oÃÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄ´ Ã³ ³ o ³ ³ ³ ³ ³ oÃÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄ´ Ã³ ³ ³ ³ o ³ ³ ³ oÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ ÅÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄ

Ha teh t azzal foglalkozunk, hogy egy t bl zatban bizonyos tulajdons g£elemek hogyan helyezkednek el, akkor ez a krds pontelhelyezkedsekvizsg lat val egyenrtk. Kt t bl zat (kt mezny) egym st¢l val¢eltrse, olyan rtelemben, hogy bizonyos tulajdons g£ elemek bennkval¢ elhelyezkedse mennyire m s az egyikben mint a m sikban,pontrendszerek egym st¢l val¢ eltrsre vezethet vissza.

Kt pontrendszer eltrst, ha a pontrendszerek egy egyenesenhelyezkednek el, kumulat¡v relat¡v gyakoris geloszl s fggvnyeikeltrse seg¡tsgvel jellemeztk. Megtehetjk-e ugyanezt s¡kbelipontrendszerekkel is? Igen, mgpedig tbbflekppen is. Az egyik m¢dszer

a kvetkez. Vet¡tsk a pontrendszer elemeit a koordin tatengelyekre!Kapunk kt - most m r egy egyenesen lev - pontrendszert. A kt s¡kbelipontrendszer eltrst a tengelyekre vett vetleti pontrendszereikeltrse sszegvel (is!) defini lhatjuk. (Vesszk az egyik tengelyrevett vetletek eltrst, s ehhez hozz adjuk a m sik tengelyre vettvetletek eltrst.)

Az elj r s els lpst szemlltetjk a kvetkezkben.

Ebbl a pontrendszerbl indulunk ki.

Ã ³ o

Ã ³ o o Ã ³ o Ã ³ o Ã ³ o ÅÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄ

8/19/2019 STATI2

13/25

Vet¡tjk a pontokat az egyik tengelyre.

Ã ³ o Ã ³ ³ o o ³ Ã ³ ³ ³ ³ ³ o ³ Ã ³ ³ ³ ³ ³ o ³ ³ Ã ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÅÄÄxÄÄÁÄÄxÄÄÁÄÄxÄÄÁÄÄxÄÄÁÄÄÄÄÄ

Vet¡tjk a pontokat a m sik tengelyre.

³ xÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä o ³ xÄ o Ä Ä Ä Ä Ä o ³ xÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä o

³ xÄ Ä Ä Ä o ³ xÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä o ÅÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄ

Elksz¡tjk a gyakoris geloszl s fggvnyeket.

Ã ³ o Ã ³ ³ o o ³

Ã ³ ³ ³ ³ ³ o ³ Ã ³ ³ ³ ³ ³ o ³ ³ Ã ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ o ÅÄÄxÄÄÁÄÄxÄÄÁÄÄxÄÄÁÄÄxÄÄÁÄÄÄÄÄ ÀÄÄÄÄÄ¿ ÀÄÄÄÄÄ¿ ³ ÀÄÄÄÄÄ¿ ³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÄ

³ ³ ÀÄÄ¿ xÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä o ³ ³ ÀÄÄÄÄÄ¿ xÄ o Ä Ä Ä Ä Ä o ³ ³ ÀÄÄ¿ xÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä o ³ ³ ÀÄÄ¿ xÄ Ä Ä Ä o

8/19/2019 STATI2

14/25

³ ³ ÀÄ xÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä o ÅÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄ

A gyakoris geloszl s fggvnyeket szokatlan helyzetben br zoltuk,azrt, hogy a pontrendszerrel val¢ kapcsolatuk nyilv nval¢ legyen.

A gyakoris geloszl s fggvnyek megrajzol sa megtakar¡that¢; elg atengelyek egyes szakaszaira r ¡rni, hogy ott mi a fggvny rtke:

6 ³ ÄÄ³ o 5 ³ ÄÄ³ o o 3 ³ ÄÄ³ o 2 ³ ÄÄ³ o 1 ³ ÄÄ³ o 0 ÀÄÄ³ÄÄÄÄÄ³ÄÄÄÄÄ³ÄÄÄÄÄ³ÄÄÄÄÄÄÄÄ 0 1 2 4 6

A rajzon abszol£t gyakoris gokat br zoltunk, az ismertetetteltrssz m¡t sn l relat¡v gyakoris geloszl sok eltrsvel kellsz molni.

Egy m sik m¢dszert s¡kbeli pontrendszerek eltrsnek mrsre akvetkezkben ismertetnk.

Megadjuk elszr egy pont cs¢vaalakzat nak fogalm t. A cs¢vaalakzat egyponthoz rendelt ltal ban egyszer alakzat, tartom ny. A kvetkezkbenegy pont cs¢vaalakzat n a pontt¢l balra (nem jobbra) s alatta (nemfelette) elhelyezked pontok sszessgt, egy negyeds¡kot rtnk.

Vegynk egy s¡kbeli pontrendszert! Defini lunk egy (ktdimenzi¢s)gyakoris geloszl s fggvnyt a kvetkezkppen. Egy pontban annyi e(ktdimenzi¢s) gyakoris geloszl s fggvny rtke, mint ah nypontrendszerbeli pontot tartalmaz ennek a pontnak a cs¢vaalakzata.

Plda

Mi a (ktdimenzi¢s) gyakoris geloszl si fggvny rtke az X, az Y, sa Z pontban, a kvetkez pontrendszer esetben?

Z Y ÄÅÄ

ÄÅÄ o

o o

o

X o ÄÅÄ o

8/19/2019 STATI2

15/25

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Megold s o

o o

o

X o ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÅÄ F(X)=0 ³ o ³


Megold s

Y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÅÄ o F(Y)=2 ³

o ³ o ³ ³ o ³ o ³ ³ ³ o


Megold s

Z ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÅÄ o ³F(Z)=6 ³ o o ³ ³ o ³ ³ o ³ ³ o ³ ³


Ezek ut n m r knny a (ktdimenzi¢s) abszol£t gyakoris geloszl sfggvny rtkeinek a meg llap¡t sa is:

³ ³ ³ ³ 6 ³ ³ ³ oÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

8/19/2019 STATI2

16/25

³ 1 ³ 2 ³ 4 ³ 5 oÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄoÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ³ ³ 2 ³ 3 ³ oÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ³ 1 ³ 2 oÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ³ 1 0 oÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Szksgnk lesz egy pontrendszer adott ir ny£ t masztglalapj nakfogalm ra. Ez egy olyan tglalap, amelynek egyik oldala p rhuzamosaz adott ir nnyal, tartalmazza a pontrendszert, s minden ilyentulajdons g£ tglalap tartalmazza ezt, teh t ez a legszkebb.

Vegyk az eddig pldaknt haszn lt pontrendszert!

o

o o

o

o

o

Ezt a pontrendszert tartalmazza pl. a kvetkez tglalap.

ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿ ³ ³ ³ ³ ³ o ³

³ ³ ³ o o ³ ³ ³ ³ o ³ ³ ³ ³ o ³ ³ ³ ³ o ³ ³ ³ ³ ³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

A t masztglalap azonban ezen bell van.

ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿ ³ ³ ³ ³ ³ ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄo ³ ³ ³ ³ ³ ³ o o ³ ³ ³ ³ ³ ³

8/19/2019 STATI2

17/25

³ ³ o ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ o ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄo ³ ³ ³ ³ ³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

Sikbeli pontrendszerek eltrsnek mrtkt ezek ut n a kvetkezkppsz m¡thatjuk ki. Ksz¡tsk el mindkt pontrendszer relat¡vgyakoris geloszl s fggvnyt!

Ksz¡tsk el a kt pontrendszer egyes¡tsnek koordin tatengely ir ny£t masztglalapj t! A kt relat¡v gyakoris geloszl s fggvny eltrstelg csak ezen a tglalapon vizsg lni. Kpezzk pl. a kt relat¡vgyakoris geloszl s fggvny klnbsgnek abszol£t rtkt! Egyrtegekbl felp¡tett testhez hasonl¢ lpcss fggvnyt fogunk kapni.

E lpcss fggvny ltal defini lt rtegekbl felp¡tett test trfogatalesz a kt pontrendszer eltrst jellemz sz m.

Megjegyezzk a kvetkezket.Mind a vetletek kumulat¡v eloszl sfggvnyeibl, mind pedig apontrendszer kt- s tbbdimenzi¢s kumulat¡v eloszl sfggvnyblegyrtelmen rekonstru lhat¢ az a pontrendszer, melynek e fggvnyeksz rmazkai.

Kt pontrendszer eltrsnek mrsre nemcsak- kumulat¡v relat¡v gyakoris g eloszl sfggvnyeik, hanem- kumulat¡v abszol£t gyakoris g eloszl sfggvnyeik is haszn lhat¢k.

Azt a tartom nyt, azonban, amelyen e fggvnyek eltrsnek mrsz m tkisz m¡tjuk, korl tozni kell. Clszer a kt pontrendszer egyes¡tse

terjedelemintervallum val, ill. a kt pontrendszer egyes¡tset masztglalapj val, t masztglatestvel vagy ezek centr lisankinagy¡tott v ltozataival dolgozni.

A s¡kbeli pontrendszerek eltrsnek mindkt mrsi m¢dszere, mindktt¡pus£ eltrsfggvny knnyen s termszetes m¢don ltal nos¡that¢,kiterjeszthet ak rh ny dimenzi¢s pontrendszerekre, st s£lyozottpontrendszerekre is.

Adunk egy szemlltet pld t egydimenzi¢s esetre. A pontok "s£lya" ak rnegat¡v sz m is lehet!

A pontok, s s£lyaik:

ÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄ -1 2 1 -4

A s£lyozott pontok kumulat¡v abszol£t gyakoris g eloszl sfggvnye:

8/19/2019 STATI2

18/25

Ã ³ Ã ÚÄÄÄÄÄ¿ ³ ³ ³ 1Ã ÚÄÄÄÄÄÙ ³ ³ ³ ³ 0ÅÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÅÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄ ³ ³ ³ ³ -1Ã ÀÄÄÄÄÄÙ ³ ³ ³ Ã ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ³

Az eddigiek mindenkit meggyzhettek nemcsak arr¢l, hogy az eltrsjellemzse, mrse milyen fontos, hanem arr¢l is, hogy sokfle eltrsvan, s az egyik erre rzkenyebb, a m sik arra. ltal nosan igaz, hogyeltrseket pozit¡v sz mmal szorozva eltrst kapunk, s eltrseksszege eltrs. Teh t nincs m s dolgunk, mint gyesen kiv logatotteltrseket gyesen megv lasztott sz mmal szorozva sszeadni, hogycljainkra megfelel eltrs lljon rendelkezsnkre.

Kt sokszg eltrse lehet pl.- oldalaik sz m nak eltrse,

- terletk eltrse,- kerletk eltrse,- s£lypontjuk t vols ga,- stb.

De kt sokszg eltrse lehet pl.

oldalaik sz m nak eltrsepluszterletk eltrsepluszkerletk eltrseplusz

s£lypontjuk t vols gais.

Ezt azrt fontos szem eltt tartani, mert klnsen sorozatok,t bl zatok, tmbk esetben nagyon sok szempont szerint kellazonoss gokat, klnbzsgeket, eltrseket vizsg lnunk, s nagyonlnyeges, hogy mit milyen mrtkben tudunk jellemezni, megragadni.Van, hogy nh ny jellemzvel mindent meg tudunk ragadni, m skor sokjellemzvel is alig tudunk rdemleges inform ci¢t szolg ltatni.Fontos gyakorlati feladat eltrsek alkalmas felbont sa, s alkalmassszettele (eltrsekbl). Gyakori eset, amikor egy eltrs sokm sikb¢l van sszetve, de az sszetevket s az sszettel m¢dj t nem

ismerjk. Kimondhat¢ pl., hogy minden eltrs az sszes elkpzelheteltrs s£lyozott sszege, csak a s£lyokat nem ismerjk (persze akomponenseket sem mind!). Sokszor fordul el, hogy fggvnyekeltrsekbl sz rmaznak. Ezek felder¡tse s kihaszn l sa isgyakorlati igny.

Foglalkozzunk most rviden vektorok (sorozatok), m trixoksszehasonl¡t s val, eltrsvel. Rgtn az elejn felh¡vjuk afigyelmet, hogy minden vektor, m trix, ak rh ny dimenzi¢s tmb,s£lyozott pontrendszerknt kezelhet, s ¡gy korl tlanul jellemezhet

8/19/2019 STATI2

19/25

eltrsk. Kisz m¡that¢ pl. az

[ 1, 2, 3 ] vektor s a

Ú ¿³ 2 -5 1 ³³ 3 11 4 ³À Ù

m trix eltrse, "t vols ga is.

Most ennl a lehetsgnl speci lisabbakkal foglalkozunk. Kzismertkt vektor (egy) eltrsnek kisz m¡t sa olym¢don, hogy a megfelelkomponensek klnbsgei abszol£t rtkt sszeadjuk. (sszead s helyettm s alkalmas mveletet, pl. tlagol st is alkalmazhatunk.)

Mit tegynk azonban, ha klnbz dimenzi¢s vektorokkal van dolgunk? Egylehetsget szemlltetnk a kvetkez pld val.

Az egyik vektor:ÚÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿³ 1 ³ 2 ³ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ

A m sik vektor:ÚÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿³ 3 ³ 4 ³ 5 ³ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ

Kpezzk a komponensek sz m nak legkisebb kzs tbbszrst, sduzzasszuk a vektorokat £gy, hogy komponenseik sz ma e legkisebb kzstbbszrs legyen! A legegyszerbb duzzaszt si mvelet eredmnyekppkapjuk

az egyik vektorb¢l a

ÚÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿

³ 1 ³ 1 ³ 1 ³ 2 ³ 2 ³ 2 ³ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ

vektort,

a m sik vektorb¢l pedig a

ÚÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿³ 3 ³ 3 ³ 4 ³ 4 ³ 5 ³ 5 ³ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ

vektort.

E kt vektor eltrseit pedig sokfle m¢don, knyelmesen kisz m¡thatjuk.(Egy eltrs lehet pl. a komponensrtkek klnbsgei abszol£trtkeinek tlaga.)

A lnyeg szemlltetsre megismteljk, hogy mibl mit kpeztnk.Az operandusok alatt vannak az oper tumok.

ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿³ 1 ³ 2 ³

8/19/2019 STATI2

20/25

ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙÚÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿³ 1 ³ 1 ³ 1 ³ 2 ³ 2 ³ 2 ³ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ

s

ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿³ 3 ³ 4 ³ 5 ³ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙÚÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿³ 3 ³ 3 ³ 4 ³ 4 ³ 5 ³ 5 ³ÀÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ

(Megjegyezzk, hogy a duzzaszt si mveletek rokonai a kiterjesztsi, abe gyaz si s az interpol ci¢s, ill. extrapol ci¢s mveleteknek.)

A legkisebb kzs tbbszrsknek s a duzzaszt soknak a kt stbbdimenzi¢s tmbk eltrseinek kisz m¡t s ban is haszn t vehetjk.Erre is adunk egy numerikus pld t.

Mi "az" eltrse a kvetkez kt m trixnak?

Ú ¿³ 1 -2 3 ³³ 2 -3 4 ³À ÙÚ ¿³ 1 -3 -5 7 ³³ 2 -4 -6 8 ³³ 3 -5 -7 9 ³À Ù

Az els m trixb¢l kpzett m trix:

Ú ¿

³ 1 1 1 1 -2 -2 -2 -2 3 3 3 3 ³³ 1 1 1 1 -2 -2 -2 -2 3 3 3 3 ³³ 1 1 1 1 -2 -2 -2 -2 3 3 3 3 ³³ 2 2 2 2 -3 -3 -3 -3 4 4 4 4 ³³ 2 2 2 2 -3 -3 -3 -3 4 4 4 4 ³³ 2 2 2 2 -3 -3 -3 -3 4 4 4 4 ³À Ù

A m sodik m trixb¢l kpzett m trix:

Ú ¿³ 1 1 1 -3 -3 -3 -5 -5 -5 7 7 7 ³³ 1 1 1 -3 -3 -3 -5 -5 -5 7 7 7 ³

³ 2 2 2 -4 -4 -4 -6 -6 -6 8 8 8 ³³ 2 2 2 -4 -4 -4 -6 -6 -6 8 8 8 ³³ 3 3 3 -5 -5 -5 -7 -7 -7 9 9 9 ³³ 3 3 3 -5 -5 -5 -7 -7 -7 9 9 9 ³À Ù

Ezek egym st¢l val¢ eltrsei, st t vols gai pedig sz mos m¢dondefini lhat¢k s sz molhat¢k.

8/19/2019 STATI2

21/25

Modellek, anal¢gi kÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Eml¡tettk m r, hogy a legfontosabb statisztikai jellemzk, statisztikaifggvnyek (elj r sok) nem statisztikaiak, de statisztikai szerepben isj¢l haszn lhat¢k. Sz¢ volt mechanikai, geometriai, elhelyezselmleti skeversi feladatokr¢l, melyek statisztikai szempontb¢l is fontosak. Azanal¢gi k g tolhatj k is, de serkenthetik is a fejldst. Bemutatunk ktpld t (anal¢gi t), amelynek hasznos volt t nem kell klnbizonygatnunk.

Elhelyezsek, partici¢k, feloszt sok s gyakoris geloszl sok:

Foglakoztunk versenyek vgeredmnyhelyzetnek elemzsvel. A versenyzkelhelyezkedse

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³0 1

a p lya, a sk la egy partici¢j t, feloszt s t defini lja

p1 p2 p3 p4 p5

³ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ³0 1

Ford¡tva is igaz, minden partici¢, feloszt s csak oszt¢pontok ltalval¢sulhat meg, teh t automatikusan ltrehozza az oszt¢pontoknak egyolyan rendszert, melyek kztt az egyes rszek elhelyezkednek.(Pld nkban az els oszt¢pont 0, a m sodik p1, a harmadik p1+p2, stb.)

Ha a rszekre osztott szakasz hossza 1, akkor a rszek nemcsakvgeredmnyek kztti t vols gokat, hanem relat¡v gyakoris gokat ill.val¢sz¡nsgeket is jelenthetnek. gy eloszl sb¢l versenyzk meznyt,verseny ll st, vgeredmnyt sz rmaztathatunk, s verseny ll sb¢l,vgeredmnybl particion l st, gyakoris geloszl st... Lehetsgnk van

teh t pontelhelyezkedseket, versenyeredmnyeket, verseny ll sokateloszl sfggvnyjellemzkkel, teh t a statisztika teljesfegyverkszletvel jellemezni, s ford¡tva...

Elegyek, keverkek:

"Van benne igazs g" - szoktuk mondani. Mintha lenne valami, amibe belelenne keverve az igazs g. s ha m r bele van keverve, logikusmegkrdezni, hogy milyen ar nyban. Tesszk is. Gyakran halljuk, "H nysz zalk benne az igazs g"?

Egy kijelentst teh t elegyknt, keverkknt is jellemezhetnk. Eznmag ban is rdekes, sokkal rdekesebb azonban, hogy az elegyek

kalkulusa s a val¢sz¡nsg "kalkulus" ( a val¢sz¡nsgsz m¡t s) szorosanal¢gi ban van egym ssal. Tudjuk, hogy a m trix "kalkulus" (am trixsz m¡t s) s az elegyek, a keverkek kalkulusa mennyire anal¢gegym ssal. Ebbl kvetkezik, hogy a val¢sz¡nsgsz m¡t s s am trixsz m¡t s (oda-vissza) hasznosak egym s sz m ra.

Vegynk egy olyan jelensget, mveletet, mely az X kijelentsseljellemezhet. s p val¢sz¡nsggel igaz X, 1-p val¢sz¡nsggel pedig Xtagad sa igaz. Osszunk kett egy egysgngyzetet p:(1-p) ar nyban!

8/19/2019 STATI2

22/25

1 ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿ X nem X ÚÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿ ¿ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ 1 ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ Ù

ÀÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ p 1-p

Olyan ez, mintha egy ednyben

p-edrszben X, (1-p)-edrszben nem X lenne:

ÚÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿ ³XXXXXXX³NNNNN³ ³XXXXXXX³NNNNN³

³XXXXXXX³NNNNN³ ³XXXXXXX³NNNNN³ ³XXXXXXX³NNNNN³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ


Vagy pedig egy X elegy, mely

p-edrszben igazs got, (1-p)-edrszben nem igazs got tartalmaz:

X ÚÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿ ³IIIIIII³NNNNN³ ³IIIIIII³NNNNN³ ³IIIIIII³NNNNN³ ³IIIIIII³NNNNN³ ³IIIIIII³NNNNN³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ


Az ttekinthetsg kedvrt az N betket elhagyjuk:

ÚÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿ ÚÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄ¿³IIIIIII³NNNNN³ ³IIIIIII³ ³³IIIIIII³NNNNN³ helyett ³IIIIIII³ ³³IIIIIII³NNNNN³ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ> ³IIIIIII³ ³³IIIIIII³NNNNN³ ³IIIIIII³ ³³IIIIIII³NNNNN³ ³IIIIIII³ ³ÀÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ ÀÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÙ

8/19/2019 STATI2

23/25

Oldjunk meg egy feladatot ezzel az elegy modellel!

Egy mvelet eredmnyep val¢sz¡nsggel folytat¢dik az X mvelettel s(1-p) val¢sz¡nsggel az Y mvelettel.

Az X mvelet eredmnyer val¢sz¡nsggel I, s(1-r) val¢sz¡nsggel nem I.

Az Y mvelet eredmnyes val¢sz¡nsggel I, s(1-s) val¢sz¡nsggel nem I.

Krds, hogy mi lesz a folyamat eredmnye?

Megold s

p:(1-p) ar nyban kell teh t sszekevernnk

egy r:(1-r) ar ny£ (tmnysg) s

egy s:(1-s) ar ny£ (tmnysg)

elegyet, keverket.

r 1-r ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿ Ä¿ Ä¿ ³IIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ³IIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ³IIIIIIIIIIIII³ ³ ³p ³

³IIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ³IIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ÃÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ´ Ä´ ³ ³IIIIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³1 ³IIIIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ³IIIIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ³IIIIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ³IIIIIIIIIIIIIII³ ³ ³1-p ³ ³IIIIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ³IIIIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ³IIIIIIIIIIIIIII³ ³ ³ ³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ ÄÙ ÄÙ

ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ s 1-s

ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ 1

A ngyzetet alkot¢ ngy tglalap oldalhossz£s gait ismerjk. Ki tudjuksz m¡tani a terletket. Meg tudjuk llap¡tani, hogy a ngyzetblmekkora az "I" terlet rszesedse.

8/19/2019 STATI2

24/25

r 1-r ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿ Ä¿ Ä¿ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ r.p ³ (1-r).p ³ ³p ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÃÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ´ Ä´ ³ ³ ³ ³ ³ ³1 ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ s(1-p) ³ (1-s)(1-p) ³ ³1-p ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ ÄÙ ÄÙ

ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ s 1-s

ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ 1

A ngyzetnek rp+s(1-p) terlet rsze lesz "I", teh t

a folyamat eredmnye rp+s(1-p) val¢sz¡nsggel I,

1-rp+s(1-p) val¢sz¡nsggel pedig nem I lesz.

A feladat megold si folyamata minden val¢sz¡nsgsz m¡t si feladatlnyegt reprezent lja. Minden val¢sz¡nsgsz m¡t si feladatmegold s ban - ha az elbbi modellezsi elveket haszn ljuk - adott

ar nyokban osztott szakaszok, tglalapok, tglatestek s m s alakzatokvannak adva, jnnek ltre s hoznak ltre ilyeneket. A vgeredmny isilyen, adott ar nyokban osztott alakzat. Minden val¢sz¡nsg egy alakzategy rszvel reprezent lhat¢, a val¢sz¡nsgsz m¡t s osztott alakzatokkalkulusa. Ha ¡gy nzzk, s mveljk, nemcsak rdekes s hasznos leszsz munkra, hanem szemlletes s sz¢rakoztat¢ is.

Folyamatmodellezs, "szimul ci¢"ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Ksz¡tsk el az br n l that¢ furatrendszert, s csepegtessnk be afels ny¡l son, szp lassan 1 liter v¡zet! A v¡z thaladva a rendszeren,

alul az odaksz¡tett mrhengerekbe csepeg. Melyik mrhengerbe mennyiv¡z jut?

±±±±±±±±±±±±±±± ±±±±±±±±±±±±±±± ±±±±±±±±±±±±±±± ±±±±±±±±±±±±±±± ±±±±±±±±±±± ±±±±±±±±±±± ±±±±±±±±±±± ±±±±±±± ±±±±±±±±±±± ±±±±±±±± ± ±±±±±±±± ±±±±±±±± ±±±±± ± ±±±±± ±±±±±±±±

8/19/2019 STATI2

25/25

±±±±± ±± ±± ±±±±± ±±±±± ±±±±± ±±± ±±± ±±±±± ±±±±± ±±±±± ±±±±± ±±± ±±± ±±±±± ±±±±±

³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³Ä³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³Ä³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³Ä³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³Ä³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³Ä³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³Ä³ ³ ³ ³ ³ ³Ä³ ³Ä³ ³Ä³ ³Ä³ ³Ä³ ³Ä³ ³Ä³ ³Ä³ ³Ä³ ³Ä³ ÀÄÙ ÀÄÙ ÀÄÙ ÀÄÙ ÀÄÙ

Knny bel tni, hogy az ednyekbe az br n l that¢ mennyisgek (1/8,1/8, 1/2, 1/8, 1/8 liter) jutnak.

A kzismert "Galton deszka" mint j ra kszlt modellnk fizikai folyamateredmnyeknt szolg ltatja egy val¢sz¡nsgelmleti feladat megold s t.A megold s termszetesen m skpp is el ll¡that¢, de ha valaki erre nemkpes, modelleket ksz¡teni viszont tud, akkor a modellekkel el ll¡tottmegold st is, mint gyakorlati utat, el kell fogadnunk.

A legbonyolultabb statisztikai dntshez s statisztikai megold shoz is(elvileg) elg a pap¡r, a ceruza s az elmleti tud s. Sajnos gyakranhi nyos az elmleti felkszltsgnk, sz m¡t stechnikai eszkzk viszontrendelkezsnkre llnak. Ilyenkor nyugodtan modellezznk, s "eresszkr " a gpet a problm ra. Modellezzk a teljes szitu ci¢t, s j tsszukvgig "elg sokszor" a folyamatot, minden lehetsget, minden kimeneteltstatisztik zva!

Ezt a felfog st kvetik a Monte Carlo m¢dszerek s a kiszolg l si("sorban ll si") feladatok megold s ra ksz¡tett programrendszerek is.Az ilyen t¡pus£ feladatmegold sban a (pszeudo)vletlen sz moknakkzponti szerepe van. E sorok ¡r¢ja nem vonja ktsgbe az " lvletlen"alapon val¢ megkzel¡ts rtkt, de nagyon gyakran gyorsabban s

pontosabb eredmny nyerhet, ha nem " lvletlen" pontokat dob lunk egyintervallumra, hanem egy elg sr egyenletes lpsekben vgigmegynk azintervallumon. Ez klnsen akkor lehet hasznosabb, ha m skor ishaszn lhat¢ eredmnyeket k¡v nunk el ll¡tani, pl. ha egy £n."statisztikai pr¢b t" terveznk.

M¢dszertani j¢tan csÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

A statisztika gazdag s lland¢an gyarapod¢ eszkzkszletbl vettszemlltet ttekintst azzal a gyakorlati tan ccsal fejezzk be, hogyha valakinek valamilyen statisztikai feladata ad¢dik, ne rgtn arendelkezsre ll¢ eszkzk kztt kutasson, hanem elszr pr¢b lja

megoldani a feladatot a "saj t esze szerint". Ha ez sikerl, j¢. Ha nemsikerl, akkor a kezdeti n ll¢ pr¢b lkoz s tapasztalatai sokatseg¡tenek abban, hogy ha krlnznk a rendelkezsre ll¢ eszkzkkztt, knnyebben ki tudjuk v lasztani a clnak legink bb megfelelt.

Pog ny Csaba

Documents

STATI2