STAREA DE TENSIUNE TRIDIMENSIONALA IN JURUL UNUI PUNCT. TENSORI

CARACTERISTICI IN ANALIZA LINIARA SI NELINIARA. STUDIUL STATIC

CUPRINS 1. Tensorul tensiunilor Cauchy ......................................................................... 2

2. Tensiuni pe o suprafata inclinata.................................................................. 5

3. Tensorul tensiunilor principale. Invariantii starii de tensiune ........................ 6

4. Tensiuni tangentiale extremale..................................................................... 9

5. Tensiuni octaedrice .................................................................................... 10

6. Intensitatea tensiunilor tangentiale ............................................................. 12

7. Starea de tensiune plana............................................................................ 13

8. Exprimarea tensiunilor la rotatia axelor si a corpului .................................. 15

8.1. Transformarea tensiunilor la rotatia axelor.....................................................15 8.2. Transformarea tensiunilor la rotatia de corp rigid ...........................................17

9. Tensorul tensiunilor de ordinul II ................................................................ 18

10. Tensorul ratei tensiunii ............................................................................. 19

11. Tensorul de tensiune actualizat................................................................ 19

1

1. Tensorul tensiunilor Cauchy Se considera un corp alacatuit dintr-un material continuu, omogen si

izotrop, in echilibru stabil sub actiunea incarcarilor exterioare si a reactiunilor. Se izoleaza fictiv un element de volum infinitezimal tridimensional, cu muchiile paralele cu axele de coordonate. Pe fiecare fateta elementara a elementului apar forte infinitezimale produse de tensiunile normale si tangentiale, care reprezinta efectul corpului inlaturat asupra elementului. Totalitatea componentelor tensiunilor care actioneaza pe cele 3 suprafete ortogonale, orientate respectiv de axele de coordonate „xyz” – alcatuiesc matricea tensiunilor dintr-un punct curent S(x,y,z) din interiorul corpului – Fig 1. Aceste componente ale tensiunii corespund unor deformatii infinitezimale din jurul punctului S.

Fig. 1 – Starea de tensiune pe cubuletul elementar

Starea de tensiune spatiala care apare in jurul unui punct este astfel

determinata de tensorul de tensiune [Tσ] introdus de Cauchy, tensor simetric fata de diagonala principala, de ordnul II – conf. (1). Simetria matricii se datoreaza legii dualitatii tensiunilor tangentiale exprimata in cate doua plane ortogonale. Aceasta lege deriva din exprimarea conditiilor diferentiale de echilibru static, sub forma ecuatiilor de momente in punctul S, fata de cele 3 axe ortogonale.

Se admite reprezentarea vectoriala in doua dimensiuni pentru matricea [Tσ].

Se mai poate folosi reprezentarea vectoriala unidimensionala sub forma

σ.

2

Sub actiunea incarcarilor, corpul se deformeaza iar pe parcursul

deformatiei sale isi modifica volumul si forma. Ca urmare, tensorul de tensiune [Tσ] se poate descompune intr-un tensor sferic [Tσ

0] si un tensor deviator de tensiune (deviatorul tensiunii) - [Tσ

d]. Tensorul sferic de tensiune caracterizeaza modificarea volumului corpului, fara modificarea formei pe parcursul deformarii sale; tensorul deviator de tensiune caracterizeaza modificarea formei corpului in jurul unui punct, fara modificarea volumului, sau devierea starii de tensiune fata de starea uniforma de tensiune (σ0).

unde,

σ0 – reprezinta tensiunea normala medie (starea de compresiune uniforma) intr-un punct.

δ ij – reprezinta simbolul lui Kronecker; δ ij = 1 pentru i = j δ ij = 0 pentru i ≠ j

(sij) reprezinta componentele tensorului de tesiune deviator

Intr-o reprezentare spatiala 3-D, raportata la directiile tensiunilor

principale σ i (i = 1, 2, 3) ale tensorului [Tσ], se defineste cu t – vectorul izomorfic al tensorului de tensiune σi v(i), unde v(i) sunt vectorii proprii ai directiilor principale – Fig. 2.a. Coordonatele unui punct S (x, y, z), vor fi tensiunile principale σi, iar pozitia vectorului care defineste acest punct, reprezinta tensorul [Tσ] in forma sa diagonala. Proiectia acestui vector pe trisectoarea – diagonala spatiului, este t – tensorul sferic, iar diferenta, s –

3

tensorul deviator de tensiune. Se noteaza cu θi – panta primei trisectoare si cu α – panta vectorului t, conf. Fig. 2.b.

Fig. 2 – Vectorul izomorfic al tensorului de tensiune

Planul perpendicular pe prima trisectoare, de ecuatie σ = ct., se

numeste plan deviatoric, iar functia τ = τ (cos 3β), se numeste curba deviatorica. Relatia intre tensiunile tangentiale si normale, de forma τ = τ (σ), se numeste curba meridiana.

Unghiul β, panta vectorului s, este situat in planul deviator si se numeste unghi de similaritate. Pentru cos 3β = 1, se obtine o stare de compresiune triaxiala in jurul punctului S; pentru cos β = 0, se obtine o stare de forfecare pura iar pentru cos 3β = - 1, o stare de intindere triaxiala. Valoarea β = 0, reprezinta chiar sectiunea meridiana. Cele doua planuri meridiane, corespunzatoare unghiurilor β = 0 si β = 60°, se numesc meridianele de intindere si respectiv de compresiune. Zona 0≤θ≤60° este o curba eliptica in sectiunea deviatoare.

4

2. Tensiuni pe o suprafata inclinata Se considera ca elementul paralelipipedic infinitezimal de volum izolat

fictiv in jurul punctului S din interiorul corpului; elementul este in echilibru sub actiunea fortelor elementare produse de componentele tensorului [Tσ]. Se intersecteaza elementul cu un plan inclinat de arie (dA), orientat de versorul v(l, m, n) – Fig. 3. Pe suprafata inclinata apare tensiunea totala p de componente px, py, pz (raportate la triedrul „xyz”), sau de componente σ, τ (raportate la normala si planul suprafetei). Marimea tensiunii p este:

Fig. 3 Tensiuni pe o suprafata inclinata

Daca orientarea suprafetei v variaza, atunci tensiunea totala p isi modifica directia si intensitatea, varful vectorului p descriind o suprafata. Ansamblul alcatuit de totalitatea tensiunilor pi, ce se dezvolta in jurul unui punct S, pentru toate orientarile vi, constituie starea de tensiune din jurul punctului respectiv.

Se scriu ecuatiile diferentiale de echilibru ale fortelor elementare interioare care iau nastere pe suprafetele infinitezimale ale piramidei rezultate:

5

Dupa simplificare se obtine:

Exprimand si celelalte 3 ecuatii diferentiale de moment in raport cu cele

3 axe de coordonate care trec prin punctul S, se obtine legea dualitatii tensiunilor tangentiale.

Daca se efectueaza proiectia fortelor elementare pe normala v(l, m, n) la sectiunea inclinata, se obtine expresia componentei normale a tensiunii totale p.

Rezulta apoi componenta tangentiala a tensiunii totale p.

3. Tensorul tensiunilor principale. Invariantii starii de tensiune Daca suprafata elementara inclinata a tetraedrului elementar de versor vi(li, mi, ni) indeplineste conditia de suprafata principala (τ = 0), pe care apar tensiunile normale principale σ1, σ2, σ3, atunci ecuatiile de proiectie (12) devin un sistem omogen de 3 ecuatii algebrice cu trei necunoscute: cosinusii directori l, m, n.

Unde tensiunea normala σ i ia pe rand valorile tensiunilor principale.

Solutia banala este imposibila, deoarece intre cosinusii directori exista

relatia:

Pentru ca sistemul (18) sa admitasolutii nenule, trebuie ca determinantul

coeficientilor necunoscutelor sa fie nul. Aceasta conditie se mai poate scrie, dupa dezvoltari si grupari dupa puterile lui σ, sub forma ecuatiei caracteristice:

6

Rezulta ca odata cu variatia orientarii fatetei (dA) cu normala v, varful vectorului tensiune descrie un elipsoid – Fig. 4.

Fig. 4 – Elipsoidul lui Lame al tensiunilor principale

Ecuatia (21) reprezinta deci un elipsoid cu semiaxele σ1, σ2, σ3, care

sunt chiar radacinile ecuatiei – elipsoidul lui Lame. Este o ecuatie de gradul 3 care se rezolva in mod aproximativ cu metoda inginereasca Cardan sau folosind teorema lui Rolle si metoda coardei din Analiza Matematica.

Metoda Cardan propune o schimbare de variabila de forma:

Si se ajunge la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul 3, fara termen patratic:

Avand radacinile

Unde,

7

Coeficientii ecuatiei caracteristice (21) nu depind de sistemul de axe ales si deci sunt niste invarianti la rotirea axelor.

I1 – invariantul liniar, caracterizeaza cu precadere variatia volumului elementului in jurul punctului S; corpul nu se rupe.

I2 – invariantul patratic, caracterizeaza cu precadere variatia formei

elementului in jurul punctului S.

I3 – invariantul sferic, reprezinta rezultatul dezvoltarii determinantului

corespunzator tensorului tensiune [Tσ].

Cei 3 invarianti reprezinta caracteristici fundamentale ale starii de tensiune dintr-un punct. Directiile principale v1 (l1, m1, n1), v2 (l2, m2, n2), v3 (l3, m3, n3), se determina introducand pe rand valorile tensiunilor principale. σ i = σ1 , σ2 , σ3, in ecuatiile de proiectie (18), cu considerarea conditiei de ortogonalitate intre cosinusii directori. Folosind regula lui Kramer in dezvoltarea sistemului de ecuatii (18) rezulta:

Unde s-a notat:

Astfel, pentru determinarea directiei v1 (l1, m1, n1),

Verificarea ortogonalitatii directiilor principale doua cate doua, se face cu relatiile (30) cunoscute din geometria analitica.

Tensorul tensiunilor principale [Tσ1] se poate descompune intr-un tensor sferic [Tσi

0] – vezi si relatia (4) – si un tensor deviator [Tσid], conform relatiei

(8).

8

Astfel,

Invariantul liniar J1 al deviatorului de tensiune [Tσi

d] este nul, ceea ce caracterizeaza o variatie nla de volum in jurul punctului S, pe parcursul deform

produ

t exprima in functie de starea de tensiune din jurul unui punct cu

arii corpului. Invariantul patratic J2 al deviatorului de tensiune, este diferit de zero,

ceea ce caracterizeaza o variatie a formei elementului – proportiile in care sec deformatiile in jurul punctului S; corpul se rupe datorita acestei variatii. Cei trei invarianti ai tensorului deviator de tensiune se po

rent S, astfel:

Panta β a vectorului deviatoric s, se defineste functie de invariantii

patratic J2 si sferic J3 ai tensorului deviatoric de tensiune.

4. Ten

lul la un sistem de axe principale x = 1, y = 2, z = 3, se obtine din relatie (17).

siuni tangentiale extremale Expresia tensiunii tangentiake care apare pe o suprafata inclinata dA de

orientare v (l, m, n) raportand calcu

Daca se scoate cosinusul director n din relatia de ortogonalitate si se

inlocuieste in relatia (35), iar apoi se deriveaza aceasta din urma relatue in raport cu parametrii l, m, n si apoi se anuleaza derivatele, se ajunge la:

9

Solutiile obtinute – cosinusii directori, sunt:

Prin inlocuirea in functia (35) a radacinilor derivatelor (37), se obtin

intensitatile maxime si minime pentru tensiunile tangentiale care actioneaza in plane diferite de planul de orientare initiala.

Tensiunea tangentiala extremala actioneaza intr-un plan care contine o

axa pr

5. Tensiuni octaedrice Se considera tetraedrul elementar de la unctul 2, avand trei fete plane

si cea de-a patra, inclinata cu o orientare particulara, precizata prin normale:

incipala si este plan bisector pentru celelalte doua axe principale.

p

10

Fig. 5 Tensiunile octaedrice

In acest caz versorul v este dreapta trisectoare iar planul astfel definit se

numeste plan octaedric. Vectorul tensiunii octaedrice – p8, actioneaza intr-un plan egal inclinat fata de sistemul de axe principale 1, 2, 3. componentele normala si tangentiala cuprinse in acest plan se noteaza cu σ8 si respectiv τ8 – Fig. 5.

Ele pot fi considerate in functie de tensiunile principale σ1, σ2, σ3, din exprimarea echilibrului tetraedrului elementar.

In aceste conditii se determina tensiunile octaedrice totale cu relatiile

0): (4

Aceasta ultima forma a tensiunii tangentiale octaedrice prezinta

avantajul ca poate fi calculata fara determinarea tensiunilor principale, deoarece invariantii se pot determina in functie de tensorul tensiunilor, fata de un sistem oarecare de axe.

11

in vedere ca materialele prezinta in general proprietati mecanice diferite in raport cu solicitarea de forfecare si de compresiune uniforma, este rational de a reprezenta tensorul tensiunilor [Tσ] sub forma (3), in care tensorul deviatoric [Tσ

d] reprezinta tensiunile tangentiale intr-un punct iar tensorul sferic [Tσ

0] corespunde presiunii medii din punctul respectiv.

σ], coincid Valorile tensiunilor principale de deviatie St (i = 1, 2, 3) difera de valorile

tensiunilor principale σi prin valoarea presiunii medii. Ele pot fi puse in eviden reale, fara termen practic (J1 = 0):

6. Intensitatea tensiunilor tangentiale Avand

Directiile principale ale tensorului deviator de tensiune [Tσd] si ale

tensorului de tensiune [T

ta prin ecuatia caracteristica cubica (41) cu radacini

Invariantii tensorului deviator de tensiune au expresiile (33). Marimea

nenegativa S se numeste intensitatea tensiunilor tangentiale. Aceasta marime nu se reduce la zero decat daca starea de tensiune este o stare de presiune hidrostatica.

Intensitatea tensiunii tangentiale se poate exprima functie de invariantii

de tensiune, sub forma:

Pentru cazul unei solicitari de compresiune uniaxiala,

Ecuatia caracteristica de deviatie (41) avand radacini reale poate fi

rezolvata sub forma trigonometrica. Util

arianti.

izand formule algebrice cunoscute de la metoda Cardan, folosind notatia (42) pentru intensitatea tensiunilor tangentiale si identificand coeficientii, se pot exprima componentele principale ale deviatorului de tensiune (radacinile ecuatiei) in functie de inv

12

Unghiul ωσ din expresia (47) rezulta in mod similar cu unghiul θ din (25).

Se observa ca ωσ = 3β unde β este unghiul de similaritate. Avand in

edere expresiile (37) ale tensiunilor tangentiale extremale, se pot exprima tatea tensiunilor tangentiale S.

vaceste tensiuni functie de intensi

Intensitatea tensiunilor tangentiale S si marimea tensiunii tangentiale

maxime τmax = τi, nu difera decat foarte putin una de cealalta. Ca urmare:

cu o eroare de maximum 7%. Tensiunea tangentiala octaedrica este proportionala cu intensitatea tensiunilor tangentiale S.

7. Sta

telor bidimensionale, de grosime relativ mica si constanta, actionate paralel cu planl dat, incarcarile fiind distribuite uniform pe grosime. Astfel daca corpul C este solicitat numai in planul xoy, atunci tensiunile care a

rea de tensiune plana Starea de tensiune plana apare atunci cand tensiunile pe plane paralele cu planul dat de solicitare sunt nule. Este cazul elemen

par in plane oprientate de versorul v ≡ z sunt nule (σz = 0, τzx = τzy = 0) si corpul este supus la o stare plana de tensiune in jurul unui punct, caracterizata prin tensorul tensiune [Tσ], conf. (51).

13

Daca se cunoaste tensorul tensiune intr-un punct curent S, adica se cunosc componentele normale si tangentiale pe planele cu normalele x si y, se poate

Tensiunile care apar pe o suprafata elementara inclinata cu un unghi α (fata

exprima situatia unei fatele de orientare v(l, m) din analiza echilibrului volumului elementar sectionat cu acest plan.

de planul de normala x), rezulta din ecuatiile de proiectie ale fortelor elementare pe directiile normala si tangenta la suprafata.

Din ecuatia de momente fata de centrul elementului, se obtine: τxy = τyx,

regasindu-se astfel principiul dualitatii tensiunilor tangentiale. Daca se exprima echilibrul volumului elementar prin proiectii pe normale

x si y se obtine:

De asemenea se poate scrie:

Sistemul admite solutii diferite de zero pentru li si mi daca determinantul

adica: coeficientilor acestora este nul, similar cu conditia (21),

Se constata ca valoarea coeicientilor necunoscutei σi, este chiar

marimea invariantilor din (26’) si (26”), pentru o stare de tensiune plana.

Ecuatia caracteristica (55) de gradul II in σ i are radacinile σ si σ2 , 1

e reprezinta valorile maxime si minime ale tensiunii normale din jurul

punccar

tului S analizat. Tensiunile principale σ1 si σ2 actioneaza pe planuri pe care tensiunea tangentiala este nula (τ = 0) si din aceasta conditie se obtine relatia:

care, pentru α [0;2π] are doua solutii ce difera cu perioada π. In consecinta, exista doua directii principale α si α+π/2, care sunt perpendiculare intre ele. Matricea diagonala a tensiunilor principale este:

14

Valorile extremale ale tensiunii tangentiale τα din expresia (52), se obtin

rin anularea derivatei in raport cu parametrul 2α. Rezulta, p

Se observa ca 122 tgtg , si ca urmare directiile definite de 2 α si

2 sunt perpendiculare si directiile definite de α si fac intre ele unghiul de 45°.

Pentru obtinerea valorilor extreme ale functiei τω se introduc in expresia acesteia, radacinile derivatei, conf. (60), si dupa inlocuire in functie, rezulta:

Folosind constructia grafica prin trasarea cercului lui

efectueaza o verificare calitativa si cantitativa a oricarui rezultat obtinut analitic.

8. Exprimarea tensiunilor la rotatia axelor si a corpului Tensorul de tensiune [Tσ] se transforma odata cu rotatia axelor de coordonate si cu rotatia de corp rigid.

8.1. Transformarea tensiunilor la rotatia axelor Se cunoaste ca un element liniar de marime r poate fi reprezentat in

coordona

Mohr, se

te globale, ca rg si in coordonate locale, ca r1 – Fig. 6.

Unde, [T] este o matrice ortogonala asemanatoare cu Jacobianul

transformarii axelor, de forma:

e si e1 2 reprezinta vectorii unitari ai axelor x1, y1.

15

Fig. 6 Reprezentarea elementului liniar in coordonate globale si locale

In aceste co ne in coordonate

localeru ale unui element prismatic infinitezimal, conf. Fig. 7.

nditii componentele tensorului de tensiu σ i pentru o stare de tensiune plana, se determina din relatiile de

echilib

Daca in loc de a se considera axele locale si globale, se considera axele

initiale (x0, y0) si cele finale, noi (xn, yn), acelasi element liniar r poate fi at dupa cum urmeaza: exprim

Ca urmare, similar cu relatia (65), se poate exprima vectorul tensiunilor

σ in coordonate generale.

Fig. 7 Starea de tensiune pe elementul prismatic

Matricea de transformare pentru o stare de tensiune spatiala, are forma (68).

16

unde,

8.2. Transformarea tensiunilor la rotatia de corp rigid Se considera ca elementul liniar r se roteste de la r0 la rn cu unghiul θ,

conf. Fig. 8. Similar cu relatia (62), se poate scrie relatia (70),

Unde in spatiul cu 2 dimensiuni, matricea de rotatie [R], este de forma (71).

e1 si e2 reprezinta in acest caz vectorii unitari produsi de rotatia vectorilor unitari ai axelor initiale I1 (1,0) si I2 (0,1).

Fig. 8 Rotatia de corp rigid r0 la rn

Se constata ca intre matricea de transformare si matricea de rotatie

exista relatia:

Se considera ca starea de tensiune din sistemul global de coordonate

σo,g se roteste cu unghiul θ spre axele locale de coordonate si devine σn,1. avand in vedere relatia (65), rezulta starea de tensiune din sistemul global de coordonate.

17

9. Tensorul tensiunilor de ordinul II In cazul analizei geometrice neliniare, cand deplasarile si rotatiile fibrelor

sunt mari, trebuie acordata o atentie speciala efectelor variatiei continue a configuratiei corpului, in diferite momente de timp (de incarcare). Pe parcursul misca

hoff) si deformatii (tensorul Green - Lagrange). Tensorul de tensiune de ordinul II Piola-Kirchhoff, [Ts], este un tensor al

tensiunilor totale, intr-o comportare elastica sau hiperelastica a mat care se ca

de integrare. In plus, tensorul [Ts], este un tensor „obiectiv”, nefiind afectat de rotirea de corp rigid.

rii corpului, volumul, suprafata, densitatea, tensiunile si deformatiile variaza continuu. Aceasta schimbare de configuratie poate fi definita, introducand marimi adecvate pentru tensiuni (tensorul de ordinul II Piola – Kirch

erialului,lculeaza din deformatiile totale curente. Ca urmare, relatiile

constitutive nu sunt dependente de drumul de incarcare si nu necesita un proces

Tensorul [Ts] se calculeaza in functie de tensorul de tensiune Cauchy

unea reprezinta forta raportata la aria curenta a corpului) si in functie de gradientul de deformare [X].

[Tσ*], raportat la configuratia curenta a corpului (tensi

)(0 ijtS - reprezinta componentele tensorului tensiunilor Piola-Kirchhoff,

in configuratia corpului de la timpul t, raportate la configuratia corpului la timpul initial.

Unde - elementul (i,s) al gradientului de deformare ),0

stt X )(0Xt(

Sau, intr-o exprimare clasica cu serii duble,

oρ / tρ – raportul densitatilor corpului la timpul initial si final.

18

Alternativ, se poate exprima tensorul de tensiune Cauchy, in functie de

tensorul de tensiune de ordinul II.

10. Tensorul ratei tensiunii In formularea geometrica neliniara R.L. – Lagrangeanul Reactualizat, in cazul deplasarilor, rotatiilor si deformatiilor mari, se foloseste tensorul ratei tensiunilor Jauman [Tτ],definit prin componentele sale, (τij). Este tot un tensor simetric si „obiectiv” si reprezinta viteza unghiulara a materialului, intr-un punct, pe parcursul deformarii sale.

tτij – componentele derivatei in raport cu timpul a tensorului de tensiune Cauchy (σij), evaluat la momentul t; tΩij – componentele tensorului spin – rotatie, in configuratia la timpul t.

tDaca, τij = 0, cu relatia (81) se evalueaza chiar modificarea tensiunilor

Cauchy datorita unei rotatii de corp rigid. Daca relatiile fizice constitutive sunt dependente de drumul de incarcare, este nevoie de un proces de integrare pentru evaluarea tensorului Cauchy si se va folosi tensorul Jaumann, care depinde de rata deformarii.

11. TeSe considera trecerea unui punct curent S (x, y, z) din corpul solicitat,

din pozitia initiala, in pozitia curenta, actuala (de la un moment dat) marcata prin S* (x*, y*, z*). Vectorul SS* are componentele ux, uy, uz, astfel incat:

nsorul de tensiune actualizat

Acestei stari de deformatie ii corespunde tensorul lagrangean, de componente

). Acest tensor caracterizeaza o stare spatiala de deformatii mici, dar cu

valori finite, care fac ca ipoteza micilor deformatii sa nu mai poata fi aplicata. Starea de tensiune actuala corespunzatoare acestei pozitii deformate a elementului structural se caracterizeaza prin tensorul de tensiune (84).

( *ij

19

20

Componentele tensorului tensiunii vor fi de forma (85).