Standard/High Level Angles: 6th grade 2011 · 2. Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 110. Măsura unghiului este egală cu …. 3. Dacă unghiurile AOB şi

Standard/High Level Angles: 6th grade 2011

1 developed by Manuela Prajea, Ph.D. in Mathematics

Test 1

1. Urmărind figura 1, completaţi spaţiile punctate:

a) ...;m BAC m CAD

b) ...;m ADE m ADC figura 1

c) ...;m BAD m DAE

d) ....m BCD m ACD

2. Laturile unghiului MOP sunt semidreptele ….

3. Urmărind figura 1, precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:

a) intC BAE …; b) extB ADC …; c) intD CAE …;

d) A CDA …; e) intE ABC …; f) intCD BAE ….

4. În figura 2, 90m BOC m BOD şi 40 .m AOB Precizaţi:

a) un unghi drept …;

b) un unghi obtuz ...; figura 2 c) un unghi nul ...;

d) un unghi cu laturile în prelungire ….

5. Construiţi un unghi cu măsura de 115 .

6. 7 ...".

7. Precizaţi două unghiuri congruente din figura 2.

8. Urmăriţi figura 2 şi precizaţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii:

a) 40m DOA …; b) 130m AOC …; c) 180m DCO ….

9. Fie un unghi ABC şi int .P ABC Fără a utiliza raportorul, arătaţi că .m ABC m PBC

10. Dacă 120m AOB şi semidreptele OC , OD sunt situatre în interiorul AOB astfel încât

1

2m AOC m BOD şi 48 ,m COD atunci calculaţi m AOC şi .m BOD

11. Fie , ,A O B trei puncte coliniare, în această ordine. Semidreptele OP şi OQ împart unghiul AOB în trei

unghiuri congruente. Dacă intD QOB şi 35 ,m DOB atunci aflaţi m POD şi .m QOD

12. Fie unghiul cu laturile în prelungire AOB şi 1 2 3, , ,..., nOP OP OP OP semidrepte diferite incluse în acelaşi

semiplan definit de dreapta .AB Aflaţi câte unghiuri proprii diferite se formează.

Test 2

1. Efectuaţi:

a) 17 35'48" 12 57'36"; b) 47 2 14'25"; c) 11 23'45" 2; d) 47 : 2.

2. Dintre figurile de mai jos, figura … conţine unghiuri adiacente.

figura 1 figura 2 figura 3

3. Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează un unghi cu măsura de … .

4. Complementul unghiului de 72 este egal cu ….

5. Bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare formează un unghi cu măsura de ... .

6. Suplementul unghiului de 26 este egal cu ….



7. În figura de mai jos, , ,A O B sunt coliniare, 70m DOE , iar semidreptele ,OP OQ sunt bisectoarele

unghiurilor , .AOD BOE Măsura unghiului POQ este egală cu … .

8. În figura de mai jos, 90m AOB , iar OE este bisectoarea unghiului .DOB Valoarea lui x este egală cu

… .

9. Aflaţi măsura unui unghi ştiind că media aritmetică a complementului şi suplementului său este 3

2 din măsura

unghiului.

10. Fie unghiurile suplementare AOB şi BOC astfel încât .m AOB m BOC Dacă punctele M şi P sunt

în interiorul unghiului AOB astfel încât m MOP m BOC şi (OX , (OY sunt bisectoarele unghiurilor

MOA şi respectiv ,POB arătaţi că 90 .m XOY În ce situaţie avem egalitate?

11. Fie semidreptele 1 2 1, ,..., nOA OA OA , în această ordine, astfel încât 1 2 1 ,m A OA

2 3 12 ,..., .n nm A OA m A OA n Determinaţi numărul natural nenul ,n ştiind că 1 1 91 .nm AOA

12. Unghiurile AOB şi COD sunt complementare, unghiul COD este inclus în interiorul AOB ,

semidreapta OC este inclusă în interiorul unghiului AOD şi 2 .m AOB m COD Aflaţi măsurile celor

două unghiuri şi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC şi BOD .

Test 3

1. Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu … .

2. Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf este egală cu … .

3. Două unghiuri opuse la vârf sunt complementare. Măsura unui unghi din cele două este egală cu … .

4. Fie unghiurile , ,AOB BOC COA congruente, în jurul punctului .O Măsura unghiului format de bisectoarele

unghiurilor AOB şi AOC este egală cu … .

5. Valoarea lui x din figura alăturată este egală cu … .

6. Măsura unghiului AOD din figura de mai jos este egală cu … .

sunt coliniare, iar semidreptele , OP OT 7. În figura de mai jos, , ,A O B şi , ,C O D

Măsura unghiului POT este egală cu … . sunt bisectoarele unghiurilor , .AOD AOC



8. Fie AB şi CD două drepte concurente în .O Dacă 2 3 ,m AOC m BOC atunci măsura unghiului

BOD este egală cu … .

9. Unghiurile , , ,AOB BOC COD DOA sunt unghiuri în jurul unui punct astfel încât BOC este unghi drept,

21m DOC şi 27 .m AOB m AOD Arătaţi că punctele , , D O E sunt coliniare, unde OE este

bisectoarea unghiului .AOB

10. Se dau punctele , , A O B şi , , C O D coliniare. Dacă 40m BOC şi intM AOD astfel încât

30 ,m AOM atunci calculaţi:

a) ;m BOM b) ;m DOM c) .m COD

11. Se consideră dreptele AC şi BD concurente în .O Ştiind că bisectoarea unghiului AOB formează cu

semidreapta OC un unghi cu măsura de 115 , aflaţi măsurile unghiurilor cu vârful în .O

12. Fie *n şi unghiurile proprii 1 2 2 3 1, , ..., nAOA A OA A OA în jurul punctului ,O cu

1 2 2 3 1, ,..., nm AOA m A OA m A OA numere naturale pare în ordine crescătoare.

a) Să se determine valoarea maximă a lui .n b) Pentru n determinat la punctual a), calculaţi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor 5 6A OA şi

9 10.A OA

Test 4

1. Măsura unui unghi cu laturile în prelungire este egală cu … .

2. Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 110 . Măsura unghiului este egală cu … .

3. Dacă unghiurile AOB şi BOC sunt adiacente şi 2 70 ,m AOB m BOC atunci măsura unghiului

format de bisectoarele celor două unghiuri adiacente este egală cu … .

4. Dacă 99 ,m MAP atunci unghiul MAP este:

a) ascuţit; b) drept; c) obtuz; d) nul; e) alungit.

5. Rezultatul calculului 17 24'35" 2 25'33" este egal cu ....

6. Fie unghiurile adiacente AOB şi BOC , semidreptele [ ,[OP OT bisectoarele celor două unghiuri şi

90 , 60 .m AOT m COP Măsura unghiului POT este egală cu ... .

7. Unul dintre cele 6 unghiuri congruente din jurul unui punct are măsura egală cu … .

8. Rezultatul calculului ,AOB AOC C OB , este egal cu ….

9. Aflaţi măsurile a patru unghiuri în jurul unui punct, dacă fiecare, începând cu al doilea are măsura cu 18 mai

mare decât măsura celui precedent.

10. Fie unghiurile AOB şi AOC adiacente suplementare. Dacă bisectoarea [OP a unghiului BOC formează

cu bisectoarea [OT a unghiului AOP un unghi cu măsura de 35 , atunci aflaţi măsura unghiului .AOC

11. Se dau unghiurile adiacente suplementare AOB şi BOC , iar semidreapta [OD este opusă semidreptei [ .OB

Fie punctele int ,M AOB int ,N BOC intP COD şi intQ DOA Arătaţi că dacă bisectoarele

unghiurilor ,AOM COP şi ,BON DOQ sunt respectiv semidrepte opuse, atunci punctele , ,M O P şi , ,N O Q

sunt respectiv coliniare.

12. Fie unghiul propriu AOB şi punctele , ,M N M în interiorul unghiului ,AOB iar N în exteriorul unghiului

.AOB Semidreapta OP este bisectoarea unghiului ,AOM 60m POB şi 2 .m BOM m BON

Dacă OQ este bisectoarea unghiului ,AOP atunci aflaţi măsura unghiului .NOQ



Test 5

1. Suma măsurilor a două unghiuri opuse la vârf este 17 . Unul dintre cele două unghiuri are măsura egală cu ….

2. Suplementul unui unghi cu măsura de 112 este egal cu … .

3. Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5. Măsurile celor două unghiuri sunt … şi … .

4. Rezultatul calculului 26 13'' 5 este egal cu ….

5. Complementul unui unghi cu măsura de 17 este egal cu … .

6. Fie unghiurile AOB şi AOC neadiacente suplementare, intB AOC . Dacă 60 ,m BOC atunci

măsura unghiului AOC este egală cu … .

7. Dacă unghiurile AOB şi BOC sunt adiacente suplementare, [OP este bisectoarea unghiului BOC , [OQ

semidreapta opusă semidreptei [OP şi 120 ,m BOQ atunci măsura unghiului POC este egală cu … .

8. Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf este egală cu … .

9. Se consideră unghiul COD în interiorul unghiului ,AOB astfel încât 12m AOC şi 18 .m BOD

Determinaţi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOB şi .COD

10. În interiorul unghiului drept AOB considerăm semidreptele [ ,[ ,[OX OY OZ astfel încât 45m XOZ şi

int ,X AOY int , int .Y XOZ Z YOB Determinaţi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor

AOX şi .BOZ

11. Bisectoarele unghiurilor adiacente AOB şi BOC formează un unghi cu măsura de 10 .

a) Arătaţi că 80 5 4 100 .m AOB m BOC

b) Dacă 5 4 90 ,m AOB m BOC atunci arătaţi că [OB este bisectoarea unghiului .AOC

12. Fie AB şi CD două drepte concurente, ABCD={O}. Fie [OP bisectoarea AOC, [OT bisectoarea POB şi [OR

bisectoarea TOD.

dacă m( POR)=140, aflaţi m( AOC) şi m( AOD);

dacă m( POR)=25, aflaţi m( AOC) şi m( AOD).

High Level Problems

1. Fie <AOB , <BOC, <COD, <DOA, unghiuri formate în jurul punctului O. Bisectoarea lui <BOC şi *OD sunt

semidrepte opuse. Dacă *OD este perpendiculară pe *OA şi măs(<AOB) = 450 , să se arate că:

a) OC este perpendiculară pe OB b) bisectoarele unghiurilor <AOB şi <DOC sunt semidrepte opuse.

2. Unghiurile <AOB şi <BOC sunt adiacente și *OX, [OY sunt bisectoarele lor. Calculaţi măsurile lor dacă: a) OX

OC şi OY OA b) semidreptele *OX şi *OC , respectiv semidreptele *OY şi *OA sunt în prelungire .

3. Se consideră unghiurile ∢AOB; ∢BOC; ∢COD (în această ordine), astfel încât unghiul ∢AOD este alungit.

Determinaţi măsurile celor trei unghiuri ştiind că măsurile primelor două unghiuri sunt direct proporţionale cu

numerele 2 şi 3, iar măsurile ultimelor două sunt invers proporţionale cu numerele 5 şi 6.

4. Unul dintre unghiurile AOM, MON si NOB este drept, iar m(<AOM)+ m(<MON)+ m(<NOB)=180o. Arătați că măsura unghiului determinat de bisectoarele unghiurilor AON si BOM este mai mare sau egală cu 450.



5. Dreptele AB, CD sunt concurente in punctul O a.î. m(<AOC)=11

7 m(<BOC). Fie OE perpendiculară pe AB şi

[OF bisectoarea unghiului BOD. Aflaţi masura unghiului EOF.

6. Unghiurile AOB, BOC, COD, DOE sunt adiacente şi cu interioarele disjuncte astfel încât punctele A, O şi sunt coliniare. Măsurile unghiurilor AOB, BOC, COD, DOE formează respectiv cu patru numere naturale nenule consecutive, rapoarte egale. Demonstrți că două dintre unghiuri sunt complementare.

7. Se consideră un unghi alungit AOB şi, în acelaşi semiplan determinat de dreapta AB se consideră (n-1)

semidrepte distincte care împart AOB în n unghiuri, nN, n 2. Aceste n unghiuri formate au măsurile (în grade sexagesimale) exprimate prin numere naturale diferite. a) aflați valoarea maximă a numărului natural n b) pentru valoarea lui n găsită la punctul a), daţi un exemplu în care să precizaţi măsurile celor n unghiuri care

se formează c) determinați numărul maxim de unghiuri care se pot forma (în condiţiile precizate în enunţ) dacă unul dintre

unghiuri este drept.

8. Se consideră unghiul ascuţit XOY . In semiplanul determinat de (OX şi în care nu se află Y se duc

perpendicularele (OA şi OB pe (OX, respectiv pe (OY . Se notează cu (OC bisectoarea unghiului BOX.

a) Dacă m( XOC) este cu 20o mai mare decât m( XOY), aflați m( XOY)

b) Dacă (OX este bisectoarea YOC , atunci m( COY)= m( XOB).

9. Se consideră dreptele AB şi CD care se intersectează în punctul O. Fie *OE, *OF, *OP bisectoarele unghiurilor

,AOC AOE şi respectiv AOD . Ştiind că 0120m BOE , calculați m BOF .

10. Se consideră , , ,AOB BOC COD DOA , unghiuri în jurul punctului O. Știind că măsura unghiului

format de bisectoarele unghiurilor COD și DOAeste egală cu 070 , 3

4m COD m AOD și suplementul

AOD este egal cu complementul BOC , aflați măsurile , , ,AOB BOC COD DOA .

11. Fie AOB cu măasura de 1280 şi *OA1 bisectoarea AOB , [OA2 bisectoarea 1AOA , [OA3

bisectoarea 2AOA ,..., [OA7 bisectoarea 6AOA .

1) Aflaţi măsura unghiurilor 2 5A OA şi 7BOA

2) Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarea unghiului 2 5A OA şi bisectoarea unghiului 3BOA .

12.a) Se dă unghiul AOB cu măsura de 82o 30’. Construim (OC bisectoarea unghiului AOB, (OD bisectoarea

unghiului AOC şi (OE bisectoarea unghiului DOB. Calculaţi măsura unghiului COE.

13. Fie unghiul ascuţit AOB, OE semidreapta opusă semidreptei OA , iar punctele C şi D alese de o parte şi

de alta a dreptei OA, astfel încât 90 ; 90 .m COA m DOB Dacă m DOE este de 3

25

ori mai mare

decât ,m AOB calculaţi m EOF şi m COF ştiind că OF este bisectoarea unghiului .AOD

14. Unghiurile proprii AOD și BOC sunt a.î. Int BOC Int AOD , semidreptele ,OA OC sunt de o

parte și de alta a dreptei OB iar bisectoarele AOB și COD sunt perpendiculare. Arătați că AOD și BOC

sunt suplementare.



15. Fie unghiul drept MON și , , :A O B O AB .Dacă OE este bisectoarea AOM și OF este

bisectoarea BON , arătați că 0 045 ,135m EOF .

16. Se consideră punctele , ,A B C ăn această ordine pe dreapta d și punctele , , , ,D E F G H de aceeași parte a

dreptei d a.î. , ,BD BF BH sunt bisectoarele unghiurilor , ,CBE EBG GBA respectiv. Știind că măsurile

unghiurilor , ,CBD EBF GBH sunt direct proporționale cu trei numere naturale consecutive, calculați

m EBG .

17. Fie , :AB CD AB CD O , OS bisectoarea AOC , OT bisectoarea SOB a.î. 0150m DOT

Aflați m AOC .

18. Fie , 2n n și 1 2 2 3 1, ,..., n nAOA A OA A OA având interioarele disjuncte două câte două și masurile

în grade sexagesimale exprimate prin numere naturale mai mici decât 180(de grade).

a) arătați că 3n b) determinați valoarea maximă a lui n și 1 nm AOA știind că

2 3 3 4 10

1 2 1 2 21 ...

2 2 2

n n

n

m A OA m A OA m A OAm AOA

.

19. Un elev are la dispoziţie numai unghiuri de 19o.

a) descrieți un procedeu prin care să se obţină un unghi de 8o b) argumentați că există procedee pentru obţinerea de unghiuri a căror măsură în grade este exprimată prin

orice numere naturale, utilizând numai unghiuri de 19 grade c) argumentați că dacă avem la dispoziţie unghi de 12o, atunci nu putem exprima unghi de 8o.

20. Se consideră segmentul AB , punctul O AB și semidreptele , , ,Ox Ot Oy Oz a.î. Ox BOt ,

Ot Int xOy , Oy Int zOt , Oz Int AOy . Dacă 0( ) ( ) 80m xOy m tOz și

xOb tOy zOA , determinați ( )m tOy .

21. Se consideră n unghiuri proprii în jurul unui punct ale căror măsuri sunt exprimate ( în grade sexagesimale) prin numere naturale distincte. a) determinați valoarea maximă a lui n b) determinați valoarea maximă a lui n în cazul în care unul dintre unghiuri are cea mai mare valoare posibilă.

22. Fie n unghiuri în jurul unui punct având măsurile 0 0 0

1 2, ,..., na a a a.î. și suplementele acestor unghiuri sunt

din nou unghiuri în jurul unui punct. Determinați n .

23. Un unghi de măsură 0170 este împărțit de 17 semidrepte în 18 unghiuri cu interioarele disjunctre două câte două , având măsurile exprimate ( în grade sexagesimale) prin numere naturale nenule. Arătați că: a) cel puțin două din cele 18 unghiuri sunt congruente

b) există cel puțin 4 unghiuri care au măsura de cel mult 011 .

24. Se consideră 0 1 1 2 1, ,..., n nA OA AOA A OA , 2n n având interioarele disjuncte două câte două și

suma măsurilor egală cu 0180 , a.î. 1 2 0 1 2 3 1 22 , 2m AOA m A OA m A OA m AOA ,...,

1 2 12n n n nm A OA m A OA .

Determinați n și 0 1m A OA știind că aceasta este exprimată printr-un număr natural.

Documents

Standard/High Level Angles: 6th grade 2011 · 2. Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 110. Măsura unghiului este egală cu …. 3. Dacă unghiurile AOB şi