Stacionární magnetické poleMagnetické pole

magnetické pole je jedna z forem projevu elektromagnetického pole

magnetické pole působí pouze na pohybující se nabité částice a tělesa, na vodiče protékanéproudem a na částice a tělesa s nenulovýmmagnetickým momentem

zdrojem magnetického pole jsou pohybující se nabité částice a tělesa, vodiče jimiž protékáproud, částice a tělesa s magnetickým momentema časově proměnné elektrické pole

Stacionární magnetické poleMagnetická indukce B ( )BvQF

rrr×= Lorentzova síla

magnetická indukce Bpopisuje silové působení

magnetického pole na náboj Q pohybující se

rychlostí v

( ) 0=×== vBvQvFP rrrrrmagnetická síla nekoná práci,

pouze zakřivuje dráhu částice

Magnetické indukční linie

čáry, jejichž tečna v daném bodě prostoru má směr vektoru magnetické indukce B

indukční linie tvoří uzavřené čáry

Stacionární magnetické polesíla, kterou magnetické pole o indukci B působí na proudový element vodiče

tlv

ddr

r=

tQI

dd

= ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=×= B

tltIBvQF

rr

rrr

ddddd

( )∫ ×=L

BlIFrrr

d( )BlIFrrr

×= ddAmpérův zákon síly

Qd

lr

d

vrIumožňuje určit sílu, kterou na vodič protékaný proudem I působí

magnetické pole o indukci B

Stacionární magnetické pole

23

)d(4

)d(4

)(dr

rlIr

rlIrB ooorrrr

rr ×πµ

=×

πµ

=Biot-Savartův zákon

172

0

mH1041 −−⋅π=ε

=µco

( )∫∫

×πµ

=×

πµ

=L

oo

L

o

rrlI

rrlIrB 23

d4

)d(4

)(rrrr

rr

∑= iBBrr

µ0…permeabilita vakua

umožňuje určit magnetickou indukci B od liniového vodiče

konečné délky

princip superpozicelr

d

I

r0rr

rr Br

d

A

Stacionární magnetické poleBiot-Savartův zákon

VjlI ddrr

=pro objemový element vodiče lze psát

( )∫∫

×πµ

=×

πµ

=L

oo

L

o

rrj

rrjrB 23 4

)(4

)(rrrr

rr

),,( zyxA

),,(d zyxV ′′′ rr

),,( zyxj ′′′r

0rr

V

Stacionární magnetické poleMagnetické indukční čáry

magnetickéindukční linie jsou uzavřené křivky

Stacionární magnetické polePříklad:

(magnetické pole tenkého přímého vodiče)

).cos(cos4

dsin4

dsin4

d4 21

002

03

02

1

2

1

ϕ−ϕπµ

=ϕϕπµ

=ϕ

πµ

=×

πµ

== ∫∫∫ϕ

ϕ xI

xI

ryI

rIB

y

y

rlB

dx =π=ϕ=ϕ 21 0 dIB

πµ

=2

0

ϕ=

sinxr

ϕ−=

tgxy

ϕϕ

= 2sindd xy

dlouhý přímý vodič

Stacionární magnetické polePříklad: (magnetické pole kruhové smyčky)

)(d

4d

4d

4d 22

02

03

0

xRlI

rlI

rIB

+πµ

=π

µ=

×π

µ=

rl

θ= sindd BBy

θ= cosdd BBx

22cos

xRR+

=θ

∑== xx BBB d

0BB ==∑ yy d

θµ

=+

µ=

+π

πµ

=+π

µ== ∫∫

π30

2/322

20

2/322

20

2

02/322

0 cos2)(2)(

24)(

d4

dRI

xRRI

xRRI

xRlRIBB

R

x

Stacionární magnetické polePříklad: (magnetické pole solenoidu)

L

xd

x

1α

2α ϕ

rR

A

IR

B dsin2

d3

0 ϕµ=

xLNII dd =

ϕ=

tgRx

ϕϕ

−= dsin

d 2Rx

)cos(cos2

dsin2

dsin2 120

03

02

1

2

1

α−αµ=ϕϕµ

−=ϕµ

= ∫∫α

α LIN

LINx

LIN

RB

x

x

Stacionární magnetické polePříklad: (magnetické pole solenoidu)

dlouhá cívka

LINB 0µ=&RL >>

Stacionární magnetické polePříklad: (magnetické pole Země)

je buzeno el.proudy tekoucími uvnitř Země, v atmosféře a feromagnetickými horninami v zemské kůře

magnetická indukce ∼ 30-50 µT

působí velmi přibližně jako magnetický dipól

Stacionární magnetické poleelektromagnet

SBBHSwSF0

2

2122

µ===

NIlB=

µ=

µ= ∫∫∫ ddd lBlH

SB

ddΦ

=

S

F ′

FF ′= 2

F ′

kotva

jádro

F ′F ′ e

rd

NIRSl

m =⋅Φ=µ

⋅Φ ∫ dddd

mRNI /=ΦS

lRr

m µµ=

0

Hopkinsonůvzákon

magnetický odpor

nosivostelektromagnetu

2

2220

20

22

0

2

lSIN

SRIN

SF r

m

µµ=

µ=

µΦ

=

Stacionární magnetické poleMagnetický indukční tok SB

rrdd =Φ ∫∫=Φ

S

SBrr

d

0d =∫∫S

SBrr

0div =Br

magnetické indukční linie jsou uzavřené křivky, proto je tok uzavřenou plochou nulový

nezřídlové pole4.Maxwellova rovnice

Stacionární magnetické pole

IIlB oC

o

C

µ=θπ

µ=∫∫ d

2drr

rIB o

πµ

=2

θ=θ= dcosdd BrlBlBrr

pole dlouhého vodiče

Cirkulace vektoru magnetické indukcepodél libovolné uzavřené křivky Cobepínající vodič jímž protéká proud I

∫ µ=C

oIlBrr

d

Stacionární magnetické pole0d

2d

0

0

=θπ

µ= ∫∫

θ

θ

IlB o

C

rr

Cirkulace vektoru magnetické indukcepodél libovolné uzavřené křivky C, závisína tom, zda křivka obepíná vodič jímžprotéká proud

magnetické pole nelze jednoznačněcharakterizovat potenciálem jako

pole elektrické

zákon celkového proudu(Ampérův zákon) ∫ ∑µ=

kCko IlB

rrd

Stacionární magnetické pole

∫ ∫∫µ=C S

celko SjlBrrrr

dd

prochází-li křivkou C prostorový proud

magnetické pole je vírové

∫∫∫∫ µ=S

celkoS

SjSBrrrr

ddrotcelko jBrr

µ=rot

Br

lr

dC

nr

Sd

celkjr

Stacionární magnetické poleVliv prostředí na magnetické pole

při vložení tělesa do magnetického pole se obecně mění velikost a směr pole – nastává tzv. magnetizace (magnet.pole odlišné od vakua)

příčinou tohoto jevu jsou magnetická pole atomů látky (pohybujících se elektronů)

jestliže nepůsobí vnější pole – tato elementární pole se ve většině případůvzájemně v látce ruší (látka je navenek nemagnetická)

vnější magnetické pole bude ovlivňovat vnitřní magnetická pole jednotlivých atomů

pro modelování elementárních proudů v atomech

Magnetický dipól

elementární proudová smyčka, která budí ve svém okolí jako magnet se dvěma póly

Stacionární magnetické poleMagnetický dipól v homogenním magnetickém poli

2dFr

2dF-r

2Br

( )22 dd BlIFrrr

×=

vnější magnetické pole působí na proudovou smyčku silami

kolmá složka indukce B2 způsobípouze napínání smyčky

nSS rr= B

r

1Br

2Br α

IR

lIBF dd 22 =r

Stacionární magnetické poleMagnetický dipól v homogenním magnetickém poli

1dFr

Br

SImrr

=

I

1dF-r

α1Br

lr

d1Br

ϕR

( )11 dd BlIFrrr

×=

ϕϕ=ϕ= dsinsindd 111 RBIlBIFr

ϕϕ=ϕ= dsinsindd 2211 RIBRFM mech

α=== ∫π

sind2 10

IBSSIBMM mechmech

α= sin1 BB

BmBSIM mech

rrrrr×=×=

SImrr .=

rovnoběžná složka indukce B1 způsobí otáčení smyčky

magnetický dipólový moment

Magnetické poleMagnetizace látky

vložíme-li atom do vnějšího magnetického pole, na jednotlivé proudové elementy bude působit mechanický moment a bude se snažit uspořádat dráhy elektronů tak,

aby se směr a smysl magnetického pole elementárních proudů ztotožňoval s polem vnějším

]A/m[ddVmMrr

=vektor magnetizace makroskopická objemováhustota dipólového momentu

popisuje stav zmagnetovaného prostředízávisí na velikosti magnetické indukce B

eI

mI

Elementární proudy Ie se vzájemně ruší uvnitřlátky, na povrchu zůstává nevykompenzovaný (plošný) magnetizační proud Im

Magnetické poledo magnetického pole o velikosti magnetické indukce B, které je vytvářeno proudovou smyčkou, je vložen váleček z látky

( )∫ +µ=L

mo IIlBrr

dzákon celkového proudu

lr

d

nr

I

C

hdmId

nSISIm mmrrr ddddd ==

mm IlhnIlM dd

ddd ==

rrrr∫=C

m lMIrr

d

∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

µC o

IlMB rrr

d

]A/m[.1 MBHo

rrr−

µ=vektor intenzity

magnetického pole

nh

IhSnSI

VmM mm r

rrr

dd

dddd

dd

===

∫ =C

IlHrr

d

Magnetické pole∫ =C

IlHrr

dAmpérův zákon

umožňuje vypočítat intenzitu magnetického pole H v látce

StDjlH

C S

rr

rrrdd∫ ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=StDjI

S

rr

rd∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=

tDjH∂∂

+=r

rrrot 1.Maxwellova

rovnice proud kondukční,

konvekční a posuvný

Magnetické polePříklad: (magnetické pole dlouhého přímého vodiče)

H

r

rRIH 22π

=

rIHπ

=2

IrHlHlHLL

=π== ∫∫ 2ddrr

Rr >r

IHπ

=2

Rr < IRrI 2

2

=′ rRIH 22π

=

Stacionární magnetické polePříklad: (magnetické pole uvnitř toroidu)

NIrHlHlHLL

=π== ∫∫ 2ddrr

rNIHπ

=2

Magnetické poleMagnetické látky

( ) HHHMHB romoo

rrrrrrµ=µµ=χ+µ=+µ= )1(

HM m

rrχ=

HBrr

µ=

pro malé hodnoty magnetické indukce B lze závisí vektor magnetizace Blineárně na magnetické intenzitě

magnetická indukce

χm … magnetickásusceptibilita

romo µµ=χ+µ=µ )1(relativní permeabilita

charakterizuje magnetické vlastnosti látek

χm < 0, µr< 1 – diamagnetické látky(mírně zeslabují magnetické pole)

χm > 0, µr > 1 – paramagnetické látky(mírně zesilují magnetické pole)

χm >> 1, µr >> 1 – feromagnetické látky(výrazně zesilují magnetické pole)

Magnetické poleRelativní permeabilita prostředí

feromagnetickélátky

Material Permeabilitaµr

Max.relativnípermeabilita µr

železo 10,000 200,000

permalloy 8,000 100,000

superpermalloy 100,000 1,000,000

kobalt 70 250

nikl 110 600

ocel 50 100

Magnetické poleMagnetický moment elektronu

každý elektron v atomu má vzhledem ke své rotaci a obíhání tzv. spinový a orbitální magnetický moment

výsledný magnetický moment atomu je dán součtem orbitálních a spinových momentů elektronů

jádro

elektrony

Magnetické polediamagnetické látky

jsou složena z atomů a molekul v nichž je výsledný orbitální a spinovýmoment nulový

magnetické pole na ně tedy silově nepůsobí

paramagnetické látky

nemají vykompenzovány vnitřní magnetické momenty, mají magnetický moment i v případě, že nejsou ve vnějším magnetickém poli

magnetické pole na ně tedy silově působí

Magnetické poleferomagnetické látky

nemají vykompenzovány spinové momenty ve vhodně uspořádanékrystalické mřížce (např. železo, kobalt, nikl,…)

feromagnetikum je složeno z takzvaných domén (10-5 - 104m) , v nichž majíspinové magnetické momenty souhlasnou orientaci

působením vnějšího magnetického pole dochází ke stáčení magnetických momentů domén do směru vnějšího pole

po vyjmutí feromagnetika z vnějšího pole se chová stejně jako permanentnímagnet (vykazuje hysterezi)

Magnetické poleferomagnetické látky

po vyjmutí feromagnetika z vnějšího pole se chová stejně jako permanentnímagnet (vykazuje hysterezi) hystereze

bez vnějšího magnetické pole

vnějšímagnetické pole