stabilnost_ploca

KATEDRA ZA KONSTRUKCIJE

DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO

FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA

UNIVERZITET U NOVOM SADU

STABILNOST PLOČA

VEŽBE

PREDMET: STABILNOST I DINAMIKA KONSTRUKCIJA

NOVI SAD 2011.

Stabilnost ploča – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

strana 2 od 24

STABILNOST PLOČA

1. Uvod

Tanke ploče mogu biti izložene dejstvima koja izazivaju normalne napone pritiska i/ili

smičuće napone u ravni ploče. Usled ovakvih naprezanja može da dođe do pojave bočnih

deformacija tj. dolazi do pojave izbočavanja (problem stabilnosti).

Kod linijskih nosača izvijanje predstavlja gubitak nosivosti ali kod ploča nosivost može da

bude veća od elastične kritične sile izbočavanja (slika 1).

štap ploča

Slika 1. Izvijanje štapa i ploče

Za određivanje kritičnog opterećenja potrebno je razmatrati uslove ravnoteže na

deformisanom elementu i koristiti teoriju malih deformacija. Za analizu poskritičnog ponašanja

potrebno je koristiti teoriju konačnih (velikih) deformacija.


strana 3 od 24

2. Analiza stabilnosti ploča

2.1 Uvod

Uslove ravnoteže pišemo na deformisanom elementu i koristimo teoriju malih deformacija.

Slika 2. Deformisani element ploče

Diferencijalna jednačina ploče u teoriji malih deformacija ima oblik:

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

2

22

2

2

4

4

22

4

4

4

21

2y

wN

yx

wN

x

wN

Dy

w

yx

w

x

wyxyx

)(

EhD

2

3

112 µ−=

Napomena: izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena.


strana 4 od 24

2.2 Slobodno oslonjena ploča opterećena ravnomernim opterećenjem po konturama

Slika 3. Pravougaona po obimu slobodno oslonjena ploča

Rešenje diferencijalne jednačine:

22

222

2

χ+

+

π=σ

b

n

a

m

b

n

a

m

h

Dx ; xy / σσ=χ ; hN xx ⋅σ−= ; hhN xyy ⋅σ⋅χ−=⋅σ−= ; 0=xyN

h = dp – debljina ploče

a – dimenzija ploče u x pravcu; b – dimenzija ploče u y pravcu

m – broj polutalasa izvijene ploče u x pravcu

n – broj polutalasa izvijene ploče u y pravcu

Oznake:

b/a=α ; hb

DE 2

2π=σ

Kritični napon:

Ekr,x k σ⋅=σ ;

22

2

22

nm

nm

k

⋅χ+

α

+

α=


Napomena: uticaj graničnih uslova (uslova oslanjanja) je prikazan u literaturi koja je na kraju

navedena.

Napomena: primena energetskih metoda, metode konačnih razlika i metode konačnih elemenata

je data u literaturi koja je na kraju navedena.


strana 5 od 24

2.2.1 Ploča pritisnuta samo u jednom pravcu

Slika 4. Pravougaona po obimu slobodno oslonjena ploča opterećena u jednom pravcu


hN xx ⋅σ−=

0=yN

0=xyN

0=χ

22

α+α

=m

nm

k

Minimum se dobija za jedan polutalas izvijene ploče u y pravcu tj. za n = 1.

2

α+α

=m

mk

Promena vrednosti k u funkciji koeficijenta α prikazana je na slici 5.

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

a/b

k

Slika 5. Koeficijent k u funkciji α = a/b

2 6 12 20

4

m = 2m = 1 m = 3 m = 4 m = 5


strana 6 od 24

Komentari:

bez obzira na dužinu ploče u x pravcu vrednost k ne može da bude manja od 4.

bočne stranice sprečavaju izvijanje (ključno je njihovo rastojanje – b)

ploča pri izvijanju teži kvadratnoj formi

ovaj tip naprezanja može da se javi kod sandučastih nosača

za dugačke ploče (α > 4) može se smatrati da je kmin jednako 4,0


navedena.




strana 7 od 24

2.2.2 Ploča pritisnuta po konturi jednakim opterećenjem pritiska

Slika 6. Pravougaona po obimu slobodno oslonjena ploča opterećena po konturi


hNN yx ⋅σ−==

0=xyN

1=χ

22

nm

k +

α=

Minimum se dobija za jedan polutalas izvijene ploče u x i y pravcu tj. za m = 1 i n = 1.

11

2

+

α=k

Promena vrednosti k u funkciji koeficijenta α je prikazana na slici 6.

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

a/b

k

Slika 7. Koeficijent k u funkciji α = a/b

1


strana 8 od 24

Komentari:

izvijanje je u obliku jednog polutalasa u x i y pravcu

za dugačke ploče (α > 5) kritični napon je jednak σE (kmin = 1,0)


navedena.




strana 9 od 24

PRIMER

Odrediti vrednost kritičnog opterećenja za slobodno oslonjenu ploču duž sve četiri ivice

opterećenu uniformnim pritiskom u jednom pravcu kao na slici.

Ulazni podaci: E = 200GPa; dp = 5mm; µ = 0,3; b = 2,0 m. Vrednost dimenzije ploče „a“ je varirana

na sledeći način:

a [m] 0,2 1,2 2,5 6,7 9,0

Napomena: uporedna analiza je sprovedena metodom konačnih elemenata u programu Ansys

v12.1. Tip konačnog elementa „Shell 8node93”.

Rezultati analiza:

a [m] α=a/b

(m) Nx,kr

Ansys v12.1

(dimenzija KE 5x5cm za svaki model)

0,2 0,10

(m = 1)

576,24

(k = 102,01) 574,83

1,2 0,60

(m = 1)

29,02

(k = 5,14) 28,94

2,5 1,25

(m = 1)

23,74

(k = 4,20) 23,68

6,7 3,35

(m = 3)

22,87

(k = 4,05) 22,83

9,0 4,50

(m = 5)

22,60

(k = 4,00) 22,81


strana 10 od 24

α = 0,6 (m = 1)

1

X

Y

Z

SEP 30 201109:00:44

DISPLACEMENT

STEP=1SUB =1FREQ=28.938DMX =.381659

α = 3,35 (m = 3)

1

X

Y

Z

SEP 30 201108:58:02

DISPLACEMENT


α = 4,5 (m = 5)

1

X

Y

Z

SEP 30 201109:03:10

DISPLACEMENT



strana 11 od 24

2.3 Slobodno oslonjena ploča opterećena na smicanje

Slika 8. Pravougaona po obimu slobodno oslonjena ploča

Rešenje diferencijalne jednačine se traži u obliku dvostrukog trigonometrijskog reda.

Veličine:


0== yx NN

hN xy ⋅τ=

a – dimenzija ploče u x pravcu

b – dimenzija ploče u y pravcu

b/a=α

hb

DE 2

2π=σ

Kritični napon:

Ekr k σ⋅=τ

2

04345

α+= ,

,k za 01,≥α

2

34504

α+= ,

,k za 01,≤α



navedena.



Komentar:

nakon izbočavanja javi se duž dijagonale zatezanje, a to omogućava postkritično ponašanje


strana 12 od 24

2

34504

α+= ,

,k za 01,≤α 2

04345

α+= ,

,k za 01,≥α

1

5,34

9,34


strana 13 od 24

PRIMER

Odrediti vrednost kritičnog opterećenja Nxy,kr za slobodno oslonjenu ploču duž sve četiri ivice

opterećenu na smicanje kao na slici.

Ulazni podaci: E = 200GPa; dp = 5mm; µ = 0,3; a = 1,0m. Vrednost dimenzije ploče „b“ je varirana

na sledeći način:

b [m] 0,5 1,0 2,0 5,0 10,0



Rezultati analiza:

b [m] α=a/b Nxy,kr Ansys v12.1


0,5 2,0 573,02

(k = 6,34) 572,85

1,0 1,0 211,04

(k = 9,34) 205,10

2,0 0,5 143,25

(k = 25,36) 143,49

5,0 0,2 124,27

(k = 137,50) 120,96

10,0 0,1 121,56

(k = 538,00) 116,99


strana 14 od 24

α = 2,0

1

X

Y

Z

SEP 30 201110:06:20

DISPLACEMENT

STEP=1SUB =1FREQ=572.849DMX =.147991

α = 0,5

1

X

Y

Z

SEP 30 201110:07:50

DISPLACEMENT

STEP=1SUB =1FREQ=143.487DMX =.296556


strana 15 od 24

α = 0,1

1

X

Y

Z

SEP 30 201110:09:33

DISPLACEMENT



strana 16 od 24

2.4 Slobodno oslonjena ploča opterećena na savijanje

Slika 9. Pravougaona po obimu slobodno oslonjena ploča opterećena na savijanje

Oznake:


hN xx ⋅σ−= ; 0=yN ; 0=xyN

a – dimenzija ploče u x pravcu

b – dimenzija ploče u y pravcu

−σ=σb

ycx 10 ;

hb

DE 2

2π=σ

m – broj polutalasa izvijene ploče u x pravcu

n – broj polutalasa izvijene ploče u y pravcu

Diferencijalna jednačina ima oblik:

2

2

4

4

22

4

4

4

2x

wh

y

w

yx

w

x

wx ∂

∂⋅⋅σ−=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

Rešenje se traži u obliku duplog Furujeovog reda:

π

π=∑∑∞

=

∞

= b

ynsin

a

xmsinAw

m nmn

1 1

xσ je funkcija od y

Nakon unošenja ovog rešenja u diferencijalnu jednačinu izbočavanja dobija se:

π

π

−

πσ=

=

π

π

π+

π

∑∑

∑∑

b

ynsin

a

xmsin

b

ycA

a

m

D

h

b

ynsin

a

xmsin

b

n

a

mA

m nmn

m nmn

12

0

222

Ovo je beskonačni red po x.

Koeficijenti uz x su beskonačni redovi po y.


strana 17 od 24

Beskonačni red po x mora biti zadovoljen tj. jednak nuli, odnosno svi koeficijenti uz x tj.

( )a/xmsin π moraju biti jednaki nuli, tj. rešenje ima oblik:

π

−

πσ=

π

π+

π∑∑ b

ynsin

b

ycA

a

m

D

h

b

ynsin

b

n

a

mA

nmn

nmn 1

2

0

222

za m = 1, 2, 3, ..., ∞

Iz ove jednačine se određuju koeficijenti Amn i ona mora biti zadovoljena za svako y.



navedena.




strana 18 od 24

2.4.1 Slobodno oslonjena ploča opterećena na čisto savijanje

Oznake:

2=c

b/a=α

0

2

2

20

4 1

1616 σσ

απ=

σπ= E

ha

DC

Jednačina izbočavanja:

∑∞

−=

+

122

22

kn

nkAA

m

nmC mnmn (suma po k)

za ( ) 12 +=± ank (neparni članovi)

za n = k član se ne uzima u obzir

Kritični napon:

maxC

k11

16 2

2

απ=

Ekr,x kσ=σ

Rešenje se traži iterativno. Prvo za dva člana reda, pa za tri člana reda itd. sve dok vrednost C ne

prestane da se menja, tj. C(m+1)/C(m) = const.

Determinanta za proizvoljno m:

dva člana reda:

04

9

21

2

2

=

+

−

+

mmC.sim

mmC

tri člana reda:

0

9

25

64

09

21

2

2

2

=

+

−

+

−

+

mmC.sim

mmC

mmC


strana 19 od 24

četiri člana reda:

0

16

49

129

025

64

225

40

9

21

2

2

2

2

=

+

−

+

−

+

−−

+

mmC.sim

mmC

mmC

mmC

Grafički su rešenja prikazana na slici 10.

Slika 10. Rešenje za pravougaonu slobodno oslonjenu ploču po obimu opterećenu na čisto

savijanje

Komentar:

kmin = 23,9 za α = 2/3

za ceo broj puta α = 2/3 se dobija kmin = 23,9

m = 1 m = 2 m = 3

23,9


strana 20 od 24

PRIMER

Odrediti vrednost kritičnog opterećenja Nkr za slobodno oslonjenu ploču duž sve četiri ivice

opterećenu na čisto savijanje kao na slici.

Ulazni podaci: E = 200GPa; dp = 5mm; µ = 0,3; b = 1,2m. Vrednost dimenzije ploče „a“ je varirana

na sledeći način:

a [m] 0,3 1,0 1,2 2,1



Rezultati analiza:

a [m] α=a/b

(m) Nx,kr

Ansys v12.1


0,3 0,25

(m = 1)

720,95

(k = 45,95) 710,11

1,0 0,8333

(m = 1)

388,93

(k = 24,79) 386,97

1,2 1,00

(m = 2)

400,68

(k = 25,54) 398,53

2,1 1,75

(m = 3)

380,67

(k = 24,26) 379,02


strana 21 od 24

α = 0,25 (m = 1)

1

X

Y

Z

SEP 30 201121:02:50

DISPLACEMENT

STEP=1SUB =1FREQ=710.112DMX =.095099

α = 0,8333 (m = 1)

1

X

Y

Z

SEP 30 201121:04:50

DISPLACEMENT



strana 22 od 24

α = 1,0 (m = 2)

1

X

Y

Z

SEP 30 201121:06:51

DISPLACEMENT


α = 1,75 (m = 3)

1

X

Y

Z

SEP 30 201121:09:25

DISPLACEMENT

STEP=1SUB =1FREQ=379.017DMX =.202735


strana 23 od 24

3. Napomene

Uticaj graničnih uslova (uslova oslanjanja) je prikazan u literaturi koja je na kraju navedena.

Primena energetskih metoda, metode konačnih razlika i metode konačnih elemenata je

data u literaturi koja je na kraju navedena.

Načini za određivanje kritičnog opterećenja ploča izloženih dejstvu kombinovanih

opterećenja (pritisak, smicanje i savijanje) su prikazani u literaturi koja je na kraju navedena.

Načini za određivanje kritičnog opterećenja ploča sa ukrućenjima su prikazani u literaturi

koja je na kraju navedena.

Primeri primena:

1. Analiza lokalne stabilnosti rebra nosača „I“ poprečnog preseka sa ukrućenjima izloženog

smicanju (npr. oslonačka zona proste grede).

2. Analiza lokalne stabilnosti rebra čeličnog „I“ nosača ili sandučastog nosača i sl. izloženog

savijanju i smicanju.

3. Analiza lokalne stabilnosti flanše čeličnog „I“ nosača ili sandučastog nosača i sl. izloženog

unifomnom pritisku u jednom pravcu.

itd.


strana 24 od 24

4. Literatura

1. Bažant Z., Cedolin L.: Stability of Structures

2. Bulson P. S.: The Stability of Flat Plates

3. Chajes A.: Principles of Structural Stability Theory

4. Girkman K.: Povšinski sistemi nosača

5. Hajdin N.: Teorija površinskih nosača

6. EN 1993-1-5:2006: Proračun čeličnih konstrukcija

7. Sekulović M.: Metoda konačnih elemenata

8. Timoshenko S. P., Gere J. M.: Theory Of Elastic Stability

Documents

stabilnost_ploca