Stabilitas Sistem - relifline.files.wordpress.com · Definisi Kestabilan • Secara lain definisi sistem bila didasarkan atas tanggapan sistem terhadapnmasukan terbatas, yaitu masukan-masukan

Dasar Sistem Kendali 1

Stabilitas Sistem

Nuryono S.W., S.T.,M.Eng.


Definisi Kestabilan

• Kestabilan sebuah sistem ditentukan olehtanggapannya terhadap masukan ataugangguan.

• Secara naluriah, sistem yang stabil adalahsistem yang tetap dalam keadaan diam apabilatidak dirangsang oleh sumber luar dan akankembali diam jika semua rangsangandihilangkan.

• Sistem adalah stabil jika tanggapan denyutnya(tanggapan impulse) mendekati nol ketika waktumendekati tak terhingga. Sebaliknya jikatanggapan denyut tidak mendekati nol, makadikatakan sistem tak-stabil.


Definisi Kestabilan

• Secara lain definisi sistem bila didasarkanatas tanggapan sistem terhadapnmasukanterbatas, yaitu masukan-masukan yang besarnya lebih kecil dari suatu hargaberhingga untuk sepanjang waktu. Sistemadalah stabil jika setiap masukan terbatasmenghasilkan keluaran terbatas


• Sistem stabil


• Sistem tidak stabil


Ingat kembali?

• Buka hand-out Karakteristik Sistem.pdfpada kuliah sebelumnya.

• Pada contoh tampak pengaruh letak pole dan zero terhadap tanggapan sistem

• Ingat pula bentuk umum dan bentuk z,p,kdari suatu fungsi alih


Pole, Zero & Tanggapan• Dari contoh tsb kita dpt

simpulkan secara umum, bahwa jika pole terletak disisi kiri bidang s, sistemstabil (lihat gambarkedudukan akar padakedua contoh di atas)

• Jika pole terletak di sisikanan bidang s, makasistem akan takstabil, karena ada suku yang nilainya akan selalumembesar seiringbertambahnya waktu


Bentuk Umum Fungsi Alih• Bentuk umum fungsi alih adalah

• Pangkat tertinggi Penyebut yaitu n harus lebihbesar atau sama dengan pangkat tertinggiPembilang yaitu m

• Yang disebut orde sistem adalah n

mn

dan

asasasasa

bsbsbsbsbsG

nn

nn

nn

mm

mm

mm

≥

++++++++++= −

−−

−

−−

−−

012

21

1

012

21

1

.....

.....)(


Pole & Zero• Bentuk Pole & Zero suatu fungsi alih adalah

• z1, z2,.…, zm adalah zero(nol) dari fungsi alih• p1, p2,.…, pm adalah pole(kutub) dari fungsi alih• Pole dan zero secara bersama-sama disebut

sebagai akar-akar (roots) dari fungsi alih• K adalah gain dari fungsi alih

))...()((

))...()(()(

21

21

m

m

pspsps

zszszsKsG

++++++=


Persamaan Karakteristik• Persamaan

• Disebut persamaan karakteristik, biasa disebutQ(s)

atau

asasasasa nn

nn

nn 01

22

11 ..... +++++ −

−−

−

))...()(( 21 mpspsps +++


Persamaan Karakteristik

• Bentuk Umum Fungsi Alih


Persamaan Karakteristik• Syarat perlu agar sistem menjadi stabil adalah

bahwa bagian-bagian nyata dari akar-akarpersamaan ciri mempunyai bagian-bagian nyatanegatif. Contohnya himpunan akar persamaanciri : {-1, -2},{-1+j, -1-j}, {-2+j, 2-j}, {-2+3j, -2-3j}

• Sistem tidak stabil digambarkan dengan akar -akar persamaan ciri dimana masing-masingmemiliki sekurang-kurangnya satu akar denganbagian nyata positif. Contohnya himpunan akarpersamaan ciri : { -1, +1}, {2,-1,-3}, {-6,-4,7}, {-j,+j,-1,1}



• Jika akar-akar persamaan ciri mempunyaibagian -bagian nyata yang sama dengannol, tetapi tidak ada bagian nyata positifmaka sistem dikatakan stabilterbatas/marginal. Misal himpunan akar{-2, 0}, {j, -j}, {2j, -2j}, {-2+j, -2-j, 2j, -2j}.


• Respon sistem sesuai kedudukan Pole



• Secara sederhana persm. Karakteristikdapat digunakan untuk melihat stabilitassistem

• Untuk sistem yg kompleks digunakanmetode yg tidak memerlukan pencarianakar-akar persamaan karakteristik

• Metode tersebut,metode Routh-Hurwitz, metode Nyquist dan Bode


Metode Hurwitz• Kriteria kestabilan Hurwitz digunakan

untuk mengetahui apakah sistempengendalian stabil atau tidak secaramutlak. Untuk mengetahui kestabilansistem,Hurwitz membentuk susunanmatriks determinan, yang disebut dengandeterminan Hurwitz.

• Angka-angka pada matrik diambil darikoefisien-koefisien persamaankarakteristik


Metode Hurwitz

• Determinan Hurwitz


Metode Hurwitz

• Jika nilai determinan dari matriks orde 1, orde 2, orde 3, …., orde n semuanyapositif, maka sistem yang dianalisis adalahstabil, jika ada yang negatif maka sistemtersebut tidak stabil.

• Jika ada determinan yang bernilai nol, maka sistem berada dalam keadaan batasstabil atau stabil terbatas.


Metode Hurwitz

• Jadi syarat agar sistem stabil menurutHurwitz yakni harus memenuhi kriteriasebagai berikut :


Contoh 1


Contoh 1

• Sehingga diperoleh


Contoh 1• dan diperoleh

• Karena semua determinan bernilai positifmaka sistem pengendalian di atas stabil.


Contoh 2

• Menurut kriteria Hurwitz stabilkahpersamaan karakteristik


Metode Routh

• Sekilas aplikasi determinan Hurwitz kelihatannya sulit untuk persamaan ordetinggi. Akhirnya Routh menyederhanakanproses dengan memperkenalkan suatumetode tabulasi dalam mencarideterminan Hurwitz.


Metode Routh

• Kriteria kestabilan didasarkan padapersamaan karakteristik sistempengendalian persamaan


Metode Routh

• Routh membentuk susunan seperti dibawah ini:


Metode Routh

• Koefisien yg lain dihitung dengan cara:


Metode Routh• Kriteria kestabilan Routh menyatakan bahwa

sebuah sistem pengendalian akan stabil jikasemua koefisien pada kolom pertama pada tabelsusunan Routh positif. Jika ada yang bernilainegatif, maka sistem tersebut tidak beradadalam keadaan stabil mutlak. Perubahan tandapada tabel susunan Routh menunjukkanbanyaknya pole yang berada di sebelah kanansumbu jw atau pole yang mempunyai bagianreal positif.


Contoh 3


Contoh 4


Kasus Khusus Routh

• Kasus1, Jika koefisien-koefisien padakolom pertama pada sembarang barispada saatperhitungan didapatkan bernilainol, sedangkan koefisien lainnya (sisanya) tidak nol,maka koefisien yang bernilai noltersebut diganti dengan bilangan positifyang sangat kecil (mendekati nol),


Contoh kasus 1


Kasus Khusus Routh• Kasus 2, Jika semua koefisien pada sembarang baris

pada tabel susunan Routh bernilai nol menunjukkanbahwa pada persamaan karakteristik sistempengendalian mengandung pole-pole yang letaknyasimetris pada sistem sumbu kompleks (s -plane). Untukmenyelesaikan kasus di atas dilakukan denganmenggunakan persamaan polinomial bantu, yang koefisien -koefisiennya adalah nilai-nilai yang terletak diatas baris yang semua koefisiennya nol. Kemudianpersamaan bantu tersebut diturunkan terhadap s, danbaris yang semua koefisiennya nol diganti dengankoefisien turunan persamaan bantu di atas


Contoh kasus 2


Contoh kasus 2


Contoh kasus 2


Latihan soal


Latihan soal

• Kerjakan latiha soal sebelumnya denganmetode Routh


Referensi

• Phillips, C. L. dan Harbor, R.D.(terjemah),1996, Sistem Kontrol-Dasar-dasar, edisi 3, Jakarta:Erlangga

• Katsuhiko Ogata, Teknik KontrolAutomatik, jilid 1, Erlangga

Documents

Stabilitas Sistem - relifline.files.wordpress.com · Definisi Kestabilan • Secara lain definisi sistem bila didasarkan atas tanggapan sistem terhadapnmasukan terbatas, yaitu masukan-masukan