-
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1/48
S U M M A T I O N A D
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b y
R O B E R T D E L M E R S T A L L E
A T H E S I S
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O R E G O N
S T A T E C O L l E G E
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r e q u i r e m e n t h f o r
t h e
d e g r e e
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M A S T E R
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J u n e l 9 4
-
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A P P R O V E D :
P r o f e s s o r o f
M a t h e m a t i c s
I n C h a r g e
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M a j o r
H e a d o f
D e p a r e n t o f
M a t h e m a t i c s
C h a i r m a n o f
S c h o o l G r a d u a t e
C o m m i t t e e
D e a n
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G r a d u a t e
S c h o o l
-
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A C K O E D G E ' T
T h e
w r i t e r
d s h e s t o
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t h a n k s
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W .
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M i m e ,
H e a d o f
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M a t h e n a t i c s , w h o
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b e e n
a
c o n s t a n t g u i d e a n d
i n s p i r a t i o n
i n
t h e w r i t i n g
o f t h i s t h e s i s .
-
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T A B L E
O F
C O N T E N T S
I .
i
F i n i t e
c a l c u l u s
a n a l o g o u s
t o
i n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s .
. . .
.
. .
.
.
.
. .
.
.
.
. .
. .
a
. .
.
.
. .
. .
. .
.
. . .
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s
2
S u n i m i n g a s
t h e
i n v e r s e
o f
p e r f o r n u n g A . . . . . . . . . . . . 2
T h e c o n s t a n t o f s u i r r n a t i o n . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 1 n i t e
c a l c u l u s a s
a
b r a n c n
o f
n i a t h e m a t i c s . . . . . . . .
4
A p p l i c a t i o n
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f i n i t e
5 l f l I T h 1 t i O f l . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
5
I I .
L V E L O P M E N T
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S U L T I O N
F O R i R L A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
t t e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . a . . . . . . . . . . , . . . .
6
T h r e e
g e n e r a ] .
s u m
f o r m u l a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
6
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S 1 T h A T I O N
F O R M U L A S
D E R I V E D B
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I N V E R S I O N
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F E L k T I O N . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
. . . . . . . . . . .
7
s
u r n m a t i o n
b y
p a r t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 . . . . .
.
7
R
t l o n a ] .
f u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
G a m m a
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r e l a t e d
f u n c t i o n s . . . . . . . . , . . . . . . . . . . .
9
E c p o n e n t i a l a n d
l o g a r i t h r n i c
f u n c t i o n s . . . . . .
.
. . .
h i g o n o r e t r i c
a r Î
h y p e r b o l i c
f u n c t o n s . . . . . . . . . . , .
J - 3
C o m b i n a t i o n s o f
e l e m e n t a r y
f u n c t i o n s . . . . . . , . . . . .
1 4
I V .
S U M U A T I O N B Y
I f T H O D S
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A P P D X I M A T I O N . . . . . . . . . . . . . . , .
1 5
T e w t o n s
f o r m u l a
.
.
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S
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C .
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s
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a
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1 5
E x t e n s i o n o f p a r t i a l s u n m a t i o n . . . . .
. . . . . . . . . . . a . . .
1 5
F o r m u l a s
r e l a t i n g
a
s u m
t o
a n
i f l t e g r a l . . a . a a a a a a a .
1 6
S u m f r o m e v e r y m ' t h t e r m . . . . . . . . a a . .
a . . a a a . . . . . . . .
1 7
V .
T A B L E O F S T . T h ß , . . , , . . , , . . . , . , , . . .
. . , . . . . , , , . . . . . . . . . . .
1 8
V I .
S L T h M T I O N
O F A
S P E C I A L
T Y P E O F
P O E R
S E R I E S . . . . . . . . . .
2 6
V I
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B I B L I O G R A P H Y .
.
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a a a a a a
. .
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.
.
.
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*
.
a
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.
4 4
-
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S T T h S I A A T I O N
A N D
T A B l E
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F I N I T E
S T J
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F I N I T E
S U 1 A T I O N
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k n o w l e d g e
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t h e
w r i t e r ,
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p r e s e n t e d
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T h e
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d i f f e r e n c e s .
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f i n i t e
s u m m a t i o n
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t h i s
c a l c u l u s .
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p a p e r
n u m b e r s
e n c l o s e d
i n
p a r e n t h e s e s
r e f e r
t o
r e l a t i o n s h i p s
i n
t h e
d i s c u s s i o n ,
w h e r e a s
n w b e r s
n o t
e n c l o s e d
i n
p a r e n t h e s e s
r e f e r
t o
f o r m u l a s
i n
t h e
t a b l e .
-
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2
F i n i t e c a l c u l u s
a n a l o o u s
t o i n f i n i t e s i i i a l c a l c u l u s .
T h e r e
i s
a s t r i k i n g
a n a l o g y b e t ' r e e n
t h e
f i n i t e
c a l c u l u s ,
o r
c a l c u l u s
o f
f i n i t e
d i f f e r e n c e s , a n d
t h e
i n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s .
C o n s i d e r t h e
f u n c t i o n
U t
s u b j e c t e d t o t h e s e c a l c u l i . T h e
t w o
f u n d a n n t a l
o p e r a t i o n s
o f t h e
i n f i n i t e s i m a l c a l c u l u s
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d i f f e r e n t i a t i o n ,
L
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% t h ' 1 t
d t
h 4 0 h
a n d i t s i n r s e , i n t e g r a t i o n .
T h e
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f u n d a n e n t a l o p e r a t i o n s o f
t h e
f i n i t e
c a l c u l u s a r o t h e
¿
- o p e r a t i o n ,
L U t
U U t
h
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i t s
i n v e r s e . T h e
a n a l o g y
i s
n t
p e r f e c t b e c a u s e o f
t h e
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U n i t i n g
o p e r a t i o n i n
d i f f e r e n t i a t i o n . R e s u l t s
i n f i n i t e
c a l c u l u s
m a y
b e r e d u c e d
t o
t h e
a n a l o g o u s r e s u l t s
i n
i n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s
a t a n y t i m e i f
w e p e r f o r m
t h i s
a d d i t i o n a l l i m i t i n g
o p e r a t i o n .
I n
f a c t
b y
s t x i y i n g f i n i t e c a l c u l u s
g a i n
a
g r e a t e r p e r s p e c t i v e
o n t o a n d i n s i g h t
i n t o i n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s .
I n
t h e
f i n i t e c a l c u l u s
w e m a y
a s s u m e , w i t h o u t
l o s s o f g e n e r a l i t y ,
t h a t
t h e
l i n e a r s u b a t i t u t i o n ,
t
=
h x ,
h a a b e e n
m a d e
N o w ,
s i n c e
L t
*
b x ,
L
X i s u n i t y . H e n c e
¿
p e r f o r m e d o n
u
n w g i v e s :
( 1 )
S u D u d . n 2
a s t h e
i n v e r s e o f
p e r f o r m i n g
¿
L e t
u s
i n v e i t i g a t e
t h e
i n v e r s e
o f
t h e
¿ \
o p e r a t I o n ,
w h i c h
-
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3
G e o r g e i 3 o o l e
c a f l e d d i f f e r e n c e
i n t e g r a t i o n .
I t
i s
r e p r e s e n t e d
b y
t h e
s r n b o 1
¿ .
G i v e n u ,
i f a
f u n c t i o n
e x i s t s
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t h a t
A
1
A
=
t h e n
' - a
I f
w e
S U Y a
=
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x
f r o m
i n t o n ,
w e
o b t a i n :
n
' n - i . ] .
' - u = V I
.
( 2 )
X
X l
m
m u s
i
i ç
i n a y
b e
f o u n d
w e
n i a y
s u n t h e
s e r i e s
w h o s e g e n e r a l
t e r m
i s
u .
T h e
c o n s t a n t
o f
s u i i n i i a t i o n .
N o t e
t h a t
t h e
o p e r a t i o n i s
i n t e r r o g a t i v e
a n d
h e n c e
t h a t
w e
h a v e n o
a s s u r a n c e o f
t h e e x i s t e n c e
o r
u n i q u e n e s s
o f
t h e
r e s u l t
f r o m p e r f o r n i n g i t
o n
a
f u n c t i o n
u .
C o n s i d e r
a
c a s e i n
w h i c h
e x i s t s .
N o w
t h e
u n i q u e n e s s
o f i s
n o t g u a r a n t e e d .
H e n c e w e
l e t V
b e a n e x p r e s s i o n
f o r
- 1
a n d
V +
r e e s e n t
a l l s u c h
e x p r e s s i o n s .
N o w
t o L i n d
a n
e x p r e s s i o n
f o r a n d
t h e r e b y t h e
r e l a t i o n
b e t w e e n
p o s s i b l e
r e s u l t s f r o m
¿
w e
c o n s i d e r
t h e
r e l a t i o n ,
£ v
=
R e m o v i n g t h e
p a r e n t h e s e s
w e
s e e
¿ 1 & )
=
O .
T h u s t h e
e x p r e s s i o n
f o r
i s
a
g e n e r a l p e r i o d i c
f u n c t i o n
o f
p e r i o d
o n e
( 1 ,
p . 7 9 - 3 l ) . I n
f i n i t e c a l c u l u a
x
a s s i m i e s
s u c c e s s i v e
v a l u e s
d i f f e r i n g
b y
u n i t y
s o
w e m a y
c o n s i d e r
a s
a
c o n s t a n t . T h u s
=
v +
c .
W e
u s e
t h e
r r r e
s u g g e s t i v e
n o t a t i o n
I
f o r
Ô 1
a n d h a v e ;
: = v + c .
( 3 )
-
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I f
w e
c o n s i d e r
t h i s
s u m f r o m
m
t o n
w e h a v e
b y
( 2 ) :
n
n + l
n + l
U = V x + C
F i n i t e
c a l c u l u s
a s
a
b r a n c h
o f m a t h e m a t i c s .
A
l o o k a t
f i n i t e
c a l c u l u s
a s
a
s u b j e c t
i s I n
o r d e r .
T h e r e
i s
s o m e
c o n f u s i o n
i n
l i t e r a t u r e
a b o u t
t h e
t e c h n i c a l t e r m s
u s e d
( 4 )
( 1 ,
p . & L - E 2 ) .
D u e
t o t h e
c l o s e
a n a l o r
w i t h i n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s
m a n y t e r n a
a r e
b o r r o w e d
h e r e .
B e l o w
i s
a
l i s t
o f t e r m s
f r o m
f i n i t e
c a l c u l u s
p a i r e d w i t h
t h e
a n a l o g o u s
t e r m s
o f i n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s .
F r o m
t h i s
a n d p r e v i o u s
d i s c u s s i o n
t h e i r
m e a n i n g
i s
h e l d
t o
b e
s e l f
e v i d e n t .
F i n i t e
c a l c u l u s
I n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s
P e r f o r m i n g
¿ \
D i f f e r e n t i a t i n g
D i f f e r e n c e
i n t e g r a l
S u m
D i f f e r e n c e c a l c u l u s
S u m c a l c u l u s
S u i n a n d
I n d e f i n i t e
i n t e g r a l
D e f i n i t e
i n t e g r a l
D i f f e r e n t i a l
c a l c u l u s
I n t e g r a l
c a l c u l u s
I n t e
g r a n d
4
I n f i n i t e s i m a ] .
c a l c u l u s
i n c l u d e s
e v a l u a t i o n
o f
d e f i n i t e
i n t e g r a l s
b y o t h e r
m e t h o d s
t h a n
t h r o u g h
t h e i n d e f i n i t e
i n t e g r a l .
L i k e w i s e
i t
i s
c o n v e n i e n t
t o
i n c l u d e
i n
f i n i t e
c a l c u l u s
s u m m a t i o n
p e r f o r m e d
b y
o t h e r m e t h o d s
t h a n
t h r o u g h
t h e
d i f f e r e n c e
i n t e g r a l .
S o n a t i n e s
i t
i s n e c e s s a r y
t o
d e f i n e
a n d t a b u l a t e
a
n e w
f u n c t i o n
i n
o r d e r
t o
-
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p e r f o r m
e x a c t
e v a l u a t i o n
a s f o r
t h e
i n t e g r a l ,
a n d
t h e
s u m ,
:
X
d x
=
= f ( n )
- f m - 1 ) .
S o m e t i m e s
a p p r o x i m a t e
e v a l u a t i o n i s
t h e b e e t w e
c a n d o
a s
i n t h e
c a s e o f
t h e
i n t e g r a l ,
( l T
_ _ _ _ _
) V s i n x
d x ,
o
a n d t h e
s u m ,
n
a r c
t a n x .
i
5
S u m m a t i o n
o f i n f i n i t e s e r i e s i s
a n a l o g o u s
t o e v a l u a t i o n o f
a
d e f i n i t e
i n t e g r a l
w i t h
a n
i n f i n i t e l i m i t .
H e n c e
s u n m a t i o n
o f i n f i n i t e s e r i e s
i s
a l s o
i n c l u d e d i n
t h e
c a l c u l u s
o f
f i n i t e
d i f f e r e n c e s .
A p p l i c a t i o n s o f
f i n i t e
s u m m a t i o n .
S o m e o f
t h e
m e t h o d s t o b e
d i s c u s s e d i n t h e
p a p e r
p e r m i t
t h e
s u m m a t i o n
o f
c o n v e r g e n t
i n f i n i t e
s e r i e s
i n
c l o s e d
f o r m
( 3 ,
p . 1 8 - 2 3 ) .
B y d e f i n i t i o n ,
t h e
s u m o f t h e
c o n v e r g e n t i n f i n i t e
s e r i e s
a
n
j : ; ] .
i s
E
a
T h u s
t o s u m
t h e
i n f i n i t e s e r l e s
i s
t o e v a l u a t e
f l - 4
j
t h e s u m
o f
t h e f i r s t n
t e r m s
a n d
t h e n
t h e
l i m i t o f
t h i s
s u m .
A n o t h e r a p p l i c a t i o n o f
t h e s u m s
a n d
s w m m a t i o n t h e o r y h e r e
d e v e l o p e d
i s
i n
t h e
s o l u t i o n o f
d i f f e r e n c e e q u a t i o n s .
W e
p r o c e e d
t o
d e v e l o p
t h e s e
m e t h o d s
w h e r e b y
w e n a y
s u m
a n r
f i n i t e
s e r i e s .
-
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10/48
6
I I
D E
V E I T
O F
S U A T I O '
O R U L A 3
M e t h o d s .
T h e
t w o
n x , s t
c o n n o n m e t h o d s
f o r d e r i v a t i o n
o f
f i n i t e
s u m
f o r m u l a s
a r e
:
( 1 ) t h e
i n v o r s o n
o f a d i f f e r e n c e
r e l a t i o n ,
a n d
( 2 )
i i e
o f
t h e c l o s e
r e l a t i o n
b e e n
a
s u m
a n d a n i n t e g r a l .
O t h e r
m e t h o d s
i n c 1 e
m a t h e m a t i c a l
i n d u c t i o n ,
o p e r a t i o n a l a t t a c k s ,
r e s o l u t i o n o f d i f f e r e n c e
e q u a t i o n s ,
u s e
o f g e n e r a t i n g f u n c t i o n s ,
u s e
o f
g e o m e t r i c
c o n s i d e r a t i o n s ,
a n d
u s e
o f t h e
c a l c u l u s
o f
p r o b a b i l i t y
( 4 ,
p . 1 0 9 - 1 4 1 ) .
P a r t
I I I
i n c l u d e s
f o r m u l a s ,
w i t h
o n e
e x c e p t i o n
e x a c t , d e v e l o p e d
b y
i n v a r s i o n
o f
a
A
r e l a t i o n .
r a r t i v
i n c l i x l e s
a p p r o x i m a t i n g
s u m
f o r m u l a s ,
h i c h
a r e d e r i v a d
b y
t h e
p r i n c i p l e o f i n v e r s i o n o r
b y
u s i n g
t h e
s u m - i n t e g r a l
r e l a t i o n .
I n
t h e
t a b l e ,
s u m s
a p p e a r 5 i i f o r m
( 4 )
w i t h
t h e
l i m i t s
s u b s t i t u t e d ,
o r i n
t h e
e a s i e r
w r i t t e n
b y e q u i v a l e n t
f o r m
( 3 ) .
T h r e e
e n e r a 1
s u m f o r m u l a s .
T h e
d e r i v a t i o n s
o f f o r m u l a s
2 ,
3 ,
a n d
5
o f t h e
t a b l e
c o m e
u n d e r
a
s e p a r a t e
h e a d i n g .
I n
e a c h
c a s e
t h o s u m s
a r e
e x p a n d e d
a n d
t h e
i d e n t i t y
o f t h e
e x p a n s i o n s
n o t e d
( 6 ,
p . 9 l 3 ) .
F o r m u l a
5
i s
c a l l e d D i r i c h l e t s
'
s u m - f o r m u l a .
I t
i s
u s e f u l
w h e n
o n e
o f
t h e
f u n c t i o n s
u
a n d
V
c a n
b e s u i m m e d
e x a c t l y ,
b u t
t h e o t h e r n o t .
-
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7
I I I .
3 1 T h A T I O N
T O R W 1 J I A S
D E R I V E D
B Y
T H E
I N V E R S I O N
O F
A
A
-
R E L A T I O N
T o
s u m u
b y
i n v e r s i o n
l e
t o
f i n d
V
s u c h
t h a t
a n d
a p p l y
( 3 ) .
F o r
e x a m p l e
f r o m ¿
c x
= c e
h a v e
f o r n u l a 1 ,
e
=
c x
+
C .
I n
f a c t
a n y
L -
r e l a t i o n
u a y b e
i n v e r t e d t o
v e
a
s u m .
S u m m a t I o n b y
p a r t s .
T h e
g e n e r a l
f o r m u l a
f o r
s u m m a t i o n
b y
p a r t s ,
4
i s
d e v e l o p e d
b y
t h i s
i n v e r s i o n .
? ( e
h a v e :
V
=
+ L u x
V x + i ,
( 5 )
w h e n c e b y
s u m m i n g
e a c h
s i d e
f r o m
i n
t o n :
_ t n + l
n
n
v i
x
x l
l i n
i n
i n
S o l v i n g
f o r t h e
f i r s t
s u m a n d s u b s t i t u t i n g
E V =
V 1
w e
h o v e
t u e
f f r s t
f o r m
o f
5 ,
n
t n i - 1
n
= u
: v
I
_ 2 I L u : v + l .
- x x
x
x i
i n
I m i n
M j u c t m e n t
o f t h e
l i m i t s
a n d
a u x m n a n d
i n
t h e
f i r s t
f o r m
y L e l d s
t h e
s e c o n d
f o r m .
T h e
t h i r d
f o r m
i s d e v e l o p e d
f r o m
t h e
f i r s t b y
r
=
i
r e a p p l i c a t i o n s
o f
i t
t o i t s
r i g h t . h a n d
s u m .
T h e
f o m ' t h
i s d e r i v e d
f r o m
t h e s e c o n d i n
t h e
s a m e
m a n n e r .
S u m m a t i o n
b y p a r t s
p l a y s
a r o l e
a n a l o g o u s
t o
i n t e g r a t i o n
b y
p a r t s .
-
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12/48
C
t i o n a l
f w i c t i o n a ,
T h e
f a c t o r i a l
( a x
+
b ) i s
d e f i n e d f o r p o s i t i v e
n i :
( a x
+
b ) ( a x
+
b
a ) . . . ( a x + b
a m
+
a ) ,
f o r n e g a t i v e
n i :
i
( a x
+
b ) ( a x +
b
+
a ) . . . ( a x
+
b
+
m a
-
a ) '
( 6 )
a n d
f o r
n i
=
O
a s
u n i t y .
I f
w e i n v e r t :
+ b ) ( m + 1 )
= ( n i
+
l ) a ( a x
+ b ) ( m ) ,
( 7 )
a n d d i v i d e
t h r o u g h
b y
a ( r n
+
1 ) ,
w e o b t a i n
f o r i r i u l a
6 :
Z ( a x
+ b )
( a x
a ( m + l )
+ C .
E v i d e n t l y
n i
c a n n o t e q u a l
- 1 .
F o r m u l a
7
i s s e e n
t o
h o l d
i f w e
e x p a n d
4 ) ( x ) a s :
A u x +
u , c u i + . . . +
A u
u
n i - 1
X
a n d r e d u c e
t h e
r e s u l t i n g ,
f r a c t i o n s .
T h e A ' s
m a y b e
d e t e r m i n e d
b y
e q u a t i n g
l i k e
o o w e r s
o f
x
i n
4 ( x )
a n d
t h i s e x p a n s i o n .
T h e
s u m s
r e s u l t i n g
f r o m
a p p l i c a t i o n
o f
7
m a y b e s u m m e d
b y
6 .
F o r m u l a
C i s
p r o v e d
b y
u s e o f
t h e r e l a t i o n :
( a )
x \
X
a l '
( )
f o r
t h e
b i n o m i a l
c o e f f i c i e n t .
H e n c e ,
z
( a ) ( a + i )
+ C = a i
a
a i
( a
+
l )
E v i d e n t l y
a
a n d
x
m u s t
b e p o s i t i v e
i n t e g e r s
s u c h t h a t
O < a x .
-
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13/48
Q
F o r m u l a
9
u s e d
w i t h
6
e n a b l e s
u s t o
s u n
t h e p o w e r
f u n c t i o n
x 1 1
( 4 ,
p . 1 6 E 3 - 1 7 3 ) . W e
h a v e
a s
t h e
e x p a n s i o n
o f x ' '
b y
N e ' w t o n ' a
f o r m u l a ,
( 2 3 ) :
x 0
( m )
( )
S t i r l i n g ' s n u m b e r s o f
t h e
s e c o n d
k i n d a r e
d e f i n e d
a s :
G :
=
[ ' J ,
( 1 0 )
a r ì d
h e n c e w e
h a v e f o r m u l a
9 .
F r o m
( 1 0 ) w e h a v e
t h e
r e c u r s i o n
r e l a t i o n
a n d
i n i t i a l
c o n d i t i o n :
m
m - 1
G
G
+ m G
i
( 1 1 )
n + l
n n
O
n
=
1 ,
G
= O
f o r
n
O .
O O
A
b r i e f
t a b l e
o f G
s
i s
i n c l u d e d l a t e r .
G a m m a
a n d
r e l a t e d
f u n c t i o n s .
T h e
g a m m a
f u n c t i o n
r ( x )
i s
t h e
a c c e p t e d
g e n e r a l i z a t i o n o f
t h e
f a c t o r i a l ( x
- 1 ) 1
F o r
x > 0 ,
r ( x )
=
Q J
? 1
d y .
( 1 2 )
I n t e g r a t i o n b y
p a r t s y i e l d s
t h e
r e c u r s i o n
r e l a t i o n :
x r ( x ) =
r ( x
+
1 ) ,
( 1 3 )
w h i c h
d e f i n e s
r ( )
f o r
x 0 .
T h e
f o f l o w i n g
f u n d a m e n t a l
r e l a t i o n s
m a y b e
f o u n d i n
a l m o s t a n y
t r e a t r i e n t
o f
r ( ) :
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
14/48
l o
r _ _ ' -
- X
[
+ t h +
3 -
5 7 1
2 c 2
-
5 l ?
2 4 8 3 2
+
. . . ]
.
( 3 4 )
l o g f ( x
+ 1 )
=
{ l o g
n i
+
( x +
l ) l o g
n -
l o g ( x
+ v ) J
. ( 1 5 )
T h e
s u c c e s s i v e d e r i v a t i s
o f
l o r ( x )
a r e d e f i n e d
a s
t h e
d i g a n i r n a ,
t r i a u x n a ,
t e t r a g a m r n a ,
e t
c e t e r a
f u n c t i o n s
a n d
d e n o t e d
e t
c e t e r a ,
r e s p e c t i v e l y .
T h e s e
f u n c t i o n s
a r e
f u n d a m e n t a l
i n t h e
t h e o r y o f
s u n i r n a t i o n
o f
r a t i o n a l
f r a c t i o n s .
I f
a r a t i o n a l
f r a c t i o n
s
i m p r o p e r ,
d i v i s i o n
4 e 1 d s a r a t i o n a l
i n t e a l
f u n c t i o n
a n d
a
p r o p e r
f r a c t i o n .
H e n c e w e
n e e d
c o n s i d e r
o n l y
r a t i o n a l i n t e g r a l
f u n c t i o n s
a n d
p r o p e r
r a t i o n a l f r a c t i o n s .
A
r a t i o n a l
i n t e g r a l f u n c t i o n
m a y
b e s u m m e d b y
f o r m u l a
9
o r
b y
d i r e c t
e x p r e s s i o n
i n
f a c t o r i a l s
a n d
u s e o f
6
( 5 ,
p . 2 7 - 2 3 ) .
A
p r o p e r
r a t i o n a l
f r a c t i o n m a y
b e
e x p r e s s e d
a s
t h e
s u n
o f
f r a c t i o n s
i n
w h i c h
t h e
d e n o m i n a t o r
i s
a
p o v r e r
o f
a l i n e a r
f u n c t i o n
i n
X
a n d t h e
n u m e r a t o r
i s
a
c o n s t a n t .
T h i s i s
a f f e c t e d b y
t h e
t h e o r y
o f
r a t i o n a l f r a c t i o n s
w h e r e
t h e
c o n s t a n t
t e r m
i n
t h e l i n e a r
f u n c t i o n
. s
a
c o m p l e x n u m b e r .
H e n c e
o u r
p r o b l e m
i s
t o
s u m
3 .
r
'
r
2
3 - , 2 ,
3 , . . ,
a n d
a c o m n l e x .
T h i s
s u m n a t i o n
i s
( x
a )
a f f e c t e d
b y
u s e
o f t h e
a b o v e
g a m m a a n d r e l a t e d
f u n c t i o n s .
E s s e n t i a l l y
w o
a r e
i n v e r t i n g
a
r e l a t i o n
b u t
a m o r e
d i r e c t
a t t a c k
w i ] . ] .
b e m a d e o n t h i s s i . v n r n a t i o n
p r o b l e m .
F r o m t h e
d e f i n i t i o n
o f
t h e
d i g a i n m a
f u n c t i o n :
-
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15/48
1 1
f ( x )
= 1 o g r ( x
+ 1 ) ,
w e
h a v e
b y
( 1 5 ) :
n + 2
r
( x )
=
n
- L
1
x + r J
.
( 1 6 )
I e n e e ,
n
' -
J .
F (
+ 1 )
-
=
L
+ 1 '
n i
o r
a s
Y
i s
a
d t n î n n y
v a r i a b l e
w e h a v e
f o r m u l a 1 0 ,
n
= F ( n
+
1 )
n i
A s
t h e t r i g a i n i n a ,
t e t r a g a r u n a ,
p e n t h g a m r n a ,
e t
c e t e r a f u n c t i o n s
a r e d e f i n e d
a s
s u c c e s s i v e
d e r i v a t i v e s
o f
l o g
r ( x )
w e
h a v e
f r o m
( 1 6 ) :
0 0
F ( x ) =
. T
' s
1 - =
1
( x
+ Y )
0 0
f ( x ) = - 2
- r =
i
( x
+ T )
f ( x ) = 6
1
r : ; 1
( x
+ Y ) 4
- - e - - - - - -
P r o c e e d i n g
a s
w i t h
f ( x )
w e
o b t a i n f o r m u l a s U ,
1 2 ,
a n d
1 3 .
ñ ' o m
t h e
a s s n n p t o t i c
e x p a n s i o n
f o i '
r ( x
+
1 ) , ( 3 4 ) ,
w e o b t a i n
t h e
a S s y ì n p t o t i c
e x p a n s i o n
f o r
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
16/48
1 2
1 ( 1
1
1
f ( x )
= n x ( x
+ 1 )
+ +
( x
i
+
2 1 0
5 ) -
s . . , ( 1 7 )
( x
+ 1 )
a n d
f o r
f ( x ) , R x ) ,
e t c e t e r a ,
b y t h e
d e r i v a t i v e r e l a t i o n
b e t w e e n
t h e s e
f i n c t i o n s .
A t a b l e
h a s
b e e n
p r e p a r e d
w h i c h
i v e s
R x ) , r ( x ) ,
f ( x ) ,
a n d
f ( x )
f o r r e a l x
i n
i n c r e m e n t s
o f 0 . 0 1
f o r
O
< x
<
i
a n d i n c r e m e n t s
o f
0 . 1
f o r
1 0
< X
< 6 0
( 2 ,
p . 4 3 - 5 9 ) .
T h i s
t a b l e u s e d w i t h
t h e
=
=
f o l l o w i n g r e d u c t i o n
f o r r n u i a s ,
( 2 ,
p .
X I X - X X I I ) ,
y i e l d s
c o n s i d e r a b l e
a c c u r a c y :
n - 1
l C ( n X )
= i o g
n
+
f ( x
- / ) .
f ( . c )
= ( ( x
-
1 )
+
i r
c t n
i n c .
n - 1
/ ( r D : )
= - .
:
r c
- i ) .
n
( 1 8 )
f ( . x )
f ( x
-
1 ) .
e i n
1 c c
- ç -
r
( r i x )
ç -
i
9 ( f l X )
= 7
i f
n - 1
L
n - i .
:
f ( x
- / ) .
T a b l e s a r e
n o w
b e i n g
c o m p u t e d
f o r
a n a a n d d i g a a
f u n c t i o n s
f o r
i n a g i n a r y
a r g u m e n t s
( R e f . 7 ) .
F o r m u l a
1 4 i s
p r o v e d b y
r e d u c t i o n
o f
t h e
s u i m r i a n d
t o
t y p e f o r m :
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
17/48
1 3
; i .
i 1
i
i
- i
x 2 + a 2 2 a i
L ( x
- a i - l ) + ] .
( x + a i
- l ) + l J '
a n d a p p l i c a t i o n
o f f o r m u l a
1 0 .
N o t e
t h a t
f o r m u l a s 1 0
t o
1 3
a r e
t h e o n e
e x c e p t i o n
t o e x a c t
f o r m u l a s i n
t h i s
c h a p t e r .
H o w e v e r ,
t h e y
a r e e x a c t
i n t h e
s e n s e t h a t
t h e s u m s
a r e
i n
e x a c t t e r m s
o f a
d e f i n e d
t a b u l a t e d f u n c t i o n .
L o t e
t h a t
f ( x )
p l a y s
a
r o l e
i n f i n i t e c a l c u l u s
a n a l o g o u s
t o
t h a t o f
9 n ( x
+
1 )
i n
i n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s .
E x p o n e n t i a l
a n d
l o g a r i t h m i c
f u n c t i o n s .
F o r m u l a
1 5
i s
p r o v e d b y
i n v e r s i o n
o f
( a
-
1 ) a X
a n d
d i v i s i o n
b y
a
-
1 .
T h i s
d i v i s i o n
i s
b y
z e r o
o r
i n i p o s s i b l e
i f
a
=
1 .
F o r m u l a
1 6
i s
p r o v e d
b y
i n v e r s i o n o f n
r ( x )
= R n
x .
1 ' r j g o n o n t r j c
a n d
h y p e r b o l i c
L u n c t i o n s .
F o r m u l a s
1 7
t o 2 0
a r e
p r o v e d
b y
i n v e r s i o n
o f
t h e
f o l l o w i n g
A
-
r e l a t i o n s ,
a d j u s t m e n t
o f t h e a r g u m e n t ,
a r i d
d i v i s i o n
b y t h e
c o n s t a n t
c o e f f i c i e n t
e
L X c o s
a x
=
-
2
s i n ( a x
+
)
s i n
a
a
g i n
a x
= 2
c o s ( n x
+
)
s i n
( 1 9 )
A c o s h
a x
=
2
s i n h ( a x
+
)
s i n ì i
. .
.
a
a
¿ s i n h
a x
=
2 c o s h ( a x
+
)
s i n h
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
18/48
C o m b i n a t i o n s
o f
e l e m e n t a r y
f u n c t i o n s .
F o r n u l a s
2 ] .
t o
3 2
a r e
d e r i v e d
b y
s u m m a t i o n
b y
p a r t s
a n d
p r e v i o u s
r e s u l t s .
E v i d e n t l y
r e c u r s i o n
f o r m u l a s
3 0 a r i d 3 2
m u s t
b e
u s e d
a s a p a i r .
a n d ,
F o r m u l a s
3 3 , 3 4 ,
a r i d
3 5
a r e
p r o v e d
b y t h e
s u b s t i t u t i o n s :
s i n
a x
c o e b x
[ s i n ( a
+
b ) x
+ s i n ( a -
b ) x J
,
s i n a x
s i n
b x
=
[ c o s ( a
+ b ) x
-
c o s ( a - b )
X ]
,
( 2 0 )
c o s
a x c o s
b x =
c o s ( a
+
b ) x
+
c o s ( a
-
b ) x
,
a n d
a p p l i c a t i o n
o f
f o r m u l a s 1 7
a n d
l .
F ó r m u l a s 3 6 ,
3 7 ,
a n d
3
a r e
s p e c i a l
c a s e s
o f
f o r m u l a s
3 3 ,
3 4 ,
a n d
3 5
r e s p e c t i v e l y .
T h e y
a r e o f
c o m m o n
a p p l i c a t i o n
i n
p r a c t i c a l
F o u r i e r
a n a l y s i s
( 4 ,
p . 1 2 3 - 1 2 9 ) .
a n d ,
F o r m u l a s
3 9
a n d
4 0
a r o p r o v e d
b y
t h e
s u b s t i t u t i o n s ,
c o s
2 a x ,
c o s 2 a x
=
+
c o s 2
a x ,
a n d a p p l i c a t i o n
o f
f o r m u l a s 1 7
a n d
1 6 .
( 2 1 )
N o t e
t h a t
a n a l o g o u s
f o r m u l a s
f o r
h i p e r b o l i c
f u n c t i o n s
m a y
b e
e a s i l y
d e r i v e d
b y
s u b s t i t u t i o n
t h r o u g h
t h e
r e l a t i o n s ,
s i n ( i z )
=
i
s i r t h
z
a n d ,
c o s ( i z )
=
c o s h
z .
( 2 2 )
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
19/48
I V .
S T J M M . T I O N
1 3 M E T H O P S
O F A P P R O X I M k T I O N
I n v e r s i o n o f
a
-
r e l a t i o n
o r
a n y
e x a c t
e v a l u a t i o n
o f
a
s u m
i s
p o s s i b l e
i n
r e l a t i v e l y
f e w
c a s e s
a s
f o r
i O a n a l o g o u s
i n r s i o n
o f
a
d e r i v a t i v e
r e l a t i o n
o r
a n y e x a c t
e v a l u a t i o n
o f
a n
i n t e g r a l
i n
i n f i n i t e s i m a l
c a l c u l u s .
H e n c e
a s w i t h
i n f i n i t e s L a a l
c a l c u l u s
e v a l u a t i o n
m u s t o f t e n
b e
t h r o u g h
s e r i e s
e x a n s i o n s .
I n
s u m m a t i o n
t h o s e
s e r i e s
a r e
a s s y m p t o t i c
s e r i e s
s o
t h e i r
s u m
i s
a p n r o x i m a t e d
b y
t h e i r
c o n v e r g e n t
p a r t ,
a s
i n
t h e
c a s e
o f
t h e e x p a n s i o n
o f
g i m i a
a n d
r e l a t e d
f u n c t i o n s .
O f
c o u r s e
c o n v e r g e n c e
a n d
t h e
r e m a i n d e r
t e r n
m u s t
a l v y s
h e
i n v e s t i g a t e d .
N e w t o n ' s
f o r m u l a .
B y N e w t o n ' s
f o r m u l a
w e
m a y
e x p a n d
u
i n
a
s e r i e s
o f
f a c t o r i a l s
a n d c n n
t e r n i
b y
t e r n . I t
s t a t e s
t h a t :
k
( k )
L 2 U
t
.
( 2 3 )
k D
°
k .
F o r
t h e
p r o o f w e
a s s n
u
m a y
b e
e x p a n d e d
i n t o
a s e r i e s
o f f a c t o r i a l s ,
u
=
a
+
a
x
+
a 2 x ( 2 ) +
a 3 x
. . .
X
o l
a n d
e v a l u a t e
t h e
c o e f f i c i e n t s
b y
s e t t i n g
x
=
O
i n
s u c c e s s i v e
d i f f e r e n c e s
o f
t h i s
r e l a t i o n .
E x t e n s i o n
o f p a r t i a l
s u m m a t i o n .
I f
w o
l e t
r -
i n
t h e
f o u r t h
f o r m
o f
f o r m u l a
5
w h a v e
f o r m u l a
4 1 .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
20/48
1 6
F o r m u l a s
r e l a t i n g
a
s u m
t o
a n i n t e g r a l ,
T h e s u m
a n d
i n t e g r a l
o f u
o v e r
t h e
s a m e
i n t e r v a l a r e
c l o s e l y
r e l a t e d
a s
m a y
h e
s e e n
b y
g e o m e t r y .
T h c
i n t e g r a l
i s
t h
a r e a u n d e r
t h e
c u r v e s
Y
% ,
a
t h e s u m
i s a n
a p p r o x i m a t i o n t o
t h i s
a r e a .
H e n c e
a s i i n m a y
b e e x p r e s s e d
a s t h e
c o r r e s p o n d i n g
i n t e g r a l
a n d
c o r r e c t i o n
t e r m s . I f
t h e s e
t e r m s a r e
i n
t h e
f o r m o f
d i f f e r e n c e s ,
t h e
f o r m u l a
i s
L a p l a c e ' s
t y p e ,
a n d
i f
i n
t h e f o r m o f
d e r i v a t i v e s ,
E u l e r ' s t y p e
( 6 ,
p . 1 0 4 ) .
F o r m u l a
4 2
i s
o f E u l e r ' s t y p e
a n d i s c a l l e d t h e
E u l e r - M a c L a u r i n
f o r m u l a . I t i n
d e r i v e d
b y
e x p a n d i n g
t h e o p e r a t i o n a l
e q u i v a l e n t
o f
' '
( Q , d / d X . . . l ) _ ] \ ,
i n
p o w e r s
o f
d / d x .
T h e
n w n b e r s
o f t h e
f o r m
B + i
w h i c h
a p p e a r
i n
t h e
c o e f f i c i e n t s
a r e c a l l e d
B e r n o u l l i '
s
r n n u b e r s
a n d a r e
o f
f r o q u e n t
o c c u r r e n c e
i n a p p r o x i m a t e
s u m f o r m u l a s .
T h e
r e c u r s i o n
r e l a t i o n :
n - 1
E
( - 1 ) ( ' ) B
i
=
O
( 2 4 )
m a y
b e
u s e d
t o e v a l u a t e
t h e
B e r n o u l l i a n
n u m b e r s
( 4 ,
p . 2 3 3 ) .
T h i s
r e l a t i o n
i s
c o n s i s t e n t
w i t h t h e
d e f i n i t i o n ,
B 2
=
O
f o r
n
1 .
A
b r i e f
l i s t
o f
B e r n o u l l i ' s
n u m b e r s
i s
i n c l u d e d
l a t e r .
T h i s
l i s t
i s
s u f f i c i e n t
f o r
m o s t
p r a c t i c a l
p u r p o s e s
b e c a u s e
t h e
m a g n i t u d e
o f
t h e
n u m b e r s i n c r e a s e s
s o
r a p i d l y
t h a t
a n y
a s s y m p t o t i c
s e r i e s
w h o s e
c o e f f I c i e n t s
c o n t a i n
t h e m
h a s
a
s m a l l
c o n v e r g e n t
p a r t .
F o r m u l a
4 3
i s
o f L a p l a c e ' s
t y p e a n d
i s
c a l l e d G r e g o r y ' a f o r m u l a .
I t
i s
d e r i v e d
b y
s u b s t i t u t i o n
f o r
t h e
d e r i v a t i v e s i n
f o r m u l a
4 2 o f
t h e i r
d i f f e r e n c e
e q u i v a l e n t s
( ,
p . 6 2 ) .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
21/48
1 7
S u m
f r o m e v e r y
m ' t h
t e r m .
W e
h a v e
a
W o o l h o u s e
o r
L u b b a c k
t y p e f o r m u l a
a c c o r d i n g
a s
t h e
c o r r e c t i o n
t e r m a
i n s u c h
a
f o r m u l a
a r e i n t e r m s
o f
d e r i v a t i v e s
o r
d i f f e r e n c e s
r e s p e c t i v e l y .
F o r m u l a
4 4 ,
a
b o T h o u s e
f o r m u l a ,
i s
d e r i v e d
f r o m f o r m u l a
4 2 b y
e l i m i n a t i n g
t h e
i n t e g r a l b e t w e e n
f o r m u l a
4 2
a n d a
f o r m u l a d e r i v e d
f r o m
4 2
b y
s u b d i v i d i n g
e a c h
i n t e r v a l
i n t o
m
p a r t s .
F o r m u l a
4 5 ,
a
L u b b a c k
f o r m u l a ,
i s
d e r i v e d
b y
r e p l a c i n g
t h e
d i f f e r e n c e s
i n
4 4
b y
t h e i r
d i f f e r e n t i a l
e q u i v a l e n t s .
F o r m u l a s
4 6 ,
4 7 ,
a x 1
4 8 a r e
d e r i v e d
b y a p p l y i n g
f o r m u l a
4 2
t o
x , 1 / x ,
a n d
l / x 2
r e s p e c t i v e l y .
F o r m u l a
4 9
i s
d i s c u s s e d
i n
C h a p t e r V I .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
22/48
V . T A L E
O F S 1 T h
i .
c = c x + c .
2 .
2 1 1 1
e
x )
=
f ( x ) .
f [ r ( x )
± t : ( x )
]
f ( x )
±
g ( x )
±
n
1 n + 1
n i - 1
4 .
u 1 1
=
I
-
¿
n l i n i
m i - 1
' n i - 1 n
-
X
X I
I m
n i
¡ n i - 1
m i - 2
I n + 3
=
z
y
i -
u
¿
J
+ 2 u
Z .
-
i r
i
X
x l
x - 1
x - 2
n i - r
. ,
E
x - r
x
r n - f r
n i - 1
= u
E
V - u
z
2 \
3 J .
¡
x i - 2
X X
+
( 1 ) r L
x + r .
n i
n
x
n n
5 .
:
v
- T
u =
u
V .
I n
n l I n
X
( n i - 1 )
6 .
E ( x +
b ) ( n l )
a ( :
+ 1 )
i -
3 n l
? e r o
o r
a n y i n t e g e r -
1 .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
23/48
1 9
4 ( x )
i
2 :
. .
" x 1 c + r
A i
Z
1
a x
+
b ,
c j ) ( x )
a
r a t i o n a l
i n t e g r a ] ,
f u n c t i o n
o f d e g r e e
n i
- i ,
A ' s
f r o m
e x p a n e i o n
o f
( x ) , 4 ' ( x )
A 0 u x +
A u + i
+
. . .
+
2 :
Ç )
+
C ;
a ,
z
i n t e g e r s
s u c h
t h a t O
< a
< .
z .
9
=
G m
x
;
V a l u e s
o f
o n p a g e
2 5 .
L = i J
1 0 .
1
=
R n
+
i ) - f ( m ) ;
f ( x ) =
D Q n
[ " ( z
+
i ) .
n
i ] .
f ' ( n
+
1 ) + f ( m ) ;
j ' ( x )
=
D
f ( x ) .
n i
( x + i ) 2
n
1 2 .
4 :
n i
n
1 : 3 .
x :
r ( n
+
i )
+ f ( m ) ;
f ( x )
=
n i
( z
+ i )
t n 4 a
l n + 1
- 2 f ( x - 1 + a i ) I
4 .
i
_ _
I m
I m
X
1 5 .
Z a X
a
C ;
a
+
i .
a - i
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
24/48
2 0
1 6 .
2 n ( x )
= n r ( x )
+ C .
1 7 . s i n ( a x
+ b )
C o s ( a x
+
b
-
a / 2 )
+
- 2 s i n a / 2
1 L
Z c o s ( a x
+
b )
s i n ( a x
+ b
-
a / 2 )
+
c .
2
s i n a / 2
1 9 .
s i n h ( a x
+ b )
c o s h ( a x
+
b
-
a / 2 )
+
2
s i n h
a / 2
2 0 .
Z c o s h ( a x
+ b )
s i n h ( a x
+
b
-
a / 2 )
+
2 s i n h
a / 2
X
2 1 .
x a X
=
a
+ C .
a
- 1
- ( a
- 1 ) 2
2 2 .
( n i ) x
( n i )
a X
m a
X
a
= x
a - i
2 3 . s i n
X c o s ( a x
-
a J 2 )
s i n a x
2 s i n a / 2
+ 4
s i n 2 a / 2
+
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
n i x
s i n a x
2 4 .
( n i )
x ( m ) c o s ( a x
-
a / 2 )
( m - 1 )
X
8 i n a x =
2 s i n a / 2
+ 4
s i n 2 a / 2
m ( m
- 1 )
4
s i n 2 a / 2
X ( m _ 2 ) s i n ( a x
+ a ) .
2 5 .
X
s i n ( a x
-
a 1 2 )
+
c o s a x
+
c o s a x
=
2
s i n
a / 2
4
s i n 2 a / 2
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
25/48
2 1
( i n )
1 r «
- a / 2 )
i n
s
6 .
Z x ' c o s
2
s i n
a / 2
+
4
s i n 2 a / 2
n i ( m
- 1 )
Z x ( m _ 2 ) c o s (
+
a ) .
2
4
s i n a / 2
I n
f o r m u l a s
2 7 - 3 2 :
a c o s b - 1
K a 2 + 1 _ 2 a c o s b '
a c o s b
a 2 + 1 _ 2 a
c o s b
2 7 .
a X s i n
b x
= l Ç 1 a X s l n
b x
- K 2 a X c o s
b x
+
C .
2 .
Z a C c o s
b x
=
K 2 a X s j n
b x
+ I ç Í a x c o s b x +
C .
2 9 .
x a s i n
b x
=
( K 1 -
K 2 ) x a X ( s i n
b x
+
c o s
b x ) + ( I -
4 ) a ' ' s i n ( b x - t h )
+ 2
K 1 y X t b c o s ( h c
+
b )
+ C .
( m ) x . ( m ) x .
.
( m ) x
3 0 . x
a s l n b x = K 1 x
a s i n b x - K x
a c o s b x
- i n
K 1
Z z ( m _ a s i n ( b x
4 b ) +
m K
( m - l )
x + 1
X a
c o s ( b x
+ b ) .
3 1 .
x a % o s b x =
( K 1 +
j ç ) X ( 5 j
b x
+
C 0 5
b x ) + ( K +
K )
x + l
a
c o s ( b x +
b ) +
C .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
26/48
2 2
3 2 .
Z x a X c o
b x
=
K x ( m ) a x s i n
b x +
j ç 1 x ( m ) a x c o s
b x
n a K 2
Z x ( m 1 ) a 1 s i n ( b x
+
b ) -
m X
x 1 a 1 c o s ( b x
+
b ) .
a + b l
c o s [ ( a + I D ) x
- j - - J
e o 8 ( a - . b ) x
+
C .
3 3 .
s i n
a x
c o s b x
-
a - b
2
4 s i n - -
s i n
[ ( a . . ) x
- ]
s i n
a - 1
a . b ) x
-
3 4 .
Z a i n
a x
s i n
b x
=
-
+
+ C .
4 8 m
4 a m
2
.
a - k 1
s i n
[ ( a - ö ) x
_
]
s i n
[ ( a - b i x
-
- j - - J
: 3 5 .
c o s
a x c o s h x
=
s i n
4
+ -
+ C .
A
k
2 d .
3 6 .
L
s i n a x 1 c o s
b x = O ;
a , h
i n t e g e r s
<
k ,
x 1 =
- 1 ì
+
- i -
.
k
3 7 .
z
i n a x s i n
b x i
=
O .
k
: 3 e .
x :
o s
a x c o s
b x 1
= O .
i o
3 9 .
:
s i n 2 a x
=
4 c
-
s i n ( 2 a x
-
a )
+ C .
4
i n
a
2
1
s i n ( 2 a x - G )
4 0 .
:
a x
=
x
+
a
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
27/48
2 3
0 0
4 1 .
v =
2 ( 2
3 .
. + ( . ) r + 1 ô r - 1
+
. ' .
'
u x
= C +
5 u &
- i
u
+
d 3 u
2 x
L
d x
I
d x 3
+
1 d u
1 d 3 u
d 5 u
=
C
+
-
1 x
1 2 d x 7 2 0
+
3 0 , 2 4 0
5
-
V a l u e B
2 n + 1
o n
p a g e
2 5 .
n
( n + ] .
=
+ )
u d x
I
+
i +
[ í x u +
ó 2 u ]
m
r n
i m
+
3 f 2 +
n
n / r n
2
d u
n
m - 1
4 4 .
u =
m
2
[ u n + U J
m l
- ( °
i
d \
i n
I
+
r / 2 0 3
d x 3
l o
n
n / r n
2
n - 1
r n - i m - 1
4 5 .
i n
2
N
-
A u
+ A 2
( m 2 - 1 ) ( 1 9 m 2 - i )
3
I n - 3
2 4 m L
n - 2
o
7 2 0 m 3
o
( i n 2 -
l ) (
m 2 _ I [ A 4
+ 4 u }
-
-
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
28/48
4 6 .
C
+
-
+
=
- n ( n -
1 ) ( n - 2 )
4 7 .
Z C
s - l o g x
4 i .
2 - 1 - = c - -
+ - - - - -
¿ r l
( 2 n - 1 ) x ' 1 2 x
1
7 2 O x 2 '
0 0
[
( 1 ) 1 ( ) ( r a + 1 ) f l ]
?
1 n k _
r = ) .
r n .
L J .
-
i
k i
( 1 z )
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
29/48
i
2
3
4
5
6
7
i
i
: i
i
i
I
1
i
1
S t i r l i n g ' s N w n b e r s o f
t h e
S e c o n d
J i n d ,
G
2
3
4
5
6
7
1
3
1
7
6
1
1 5 2 5 1 0 1
3 1
9 0
6 5
1 5
6 3 3 0 1
3 5 0
1 4 0
2 1
1 2 7
9 6 6
1 7 0 1
1 0 5 0
2 6 6
1
B 0 =
i
1
1 3 3
= 5 5
1
x
1
1 3 7 = 5 5
B e r n o u l l i ' s N u r i b e r s
1
2
- 1 1
6 9 1
2 , 7 3 0
1 5
3 6 i 7
5 1 0
1 7
4 3 . 8 6 7
7 9 8
1 7 4 . 6 1 1
3 3 0
B
2 1 =
8 5 4 . 5 1 3
1 3 8
2 5
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
30/48
2 6
V I .
S T J M & T I O N O F A
S P E C I A L T Y P E
P O W E R
S E R I E S
T h e
s i r n a t i o n
o 1
a
p o w e r
s e r i e s i n
w h i c h
t h e
c o e f f i c i e n t o f
t h e
k * t h
t e r m
i
a
r a t i o n a l i n t e g r a l
f u n c t i o n
o f k
i s 8 t u d i e d
o n
t h e
f o l l o w i n g
p a g e s .
B y
s u n n i a t i o n
i i e a n
h e r e ,
t h e
r e p l a c e m e n t
o f
t h e
p o w e r
s e r i e s
o r
i n f n 1 t e s u m
b y
a
f i n i t e e x p r e s s i o n , i d e n t i c a l
f o r v a l u e s o f
t h e v a r i a b l e i n t h e i n t e r c r a l o f
c o n v e r g e n c e o f t h e
p o r
s e r i e s .
I n
o t h e r r d s
t h e
p r o b l e m o f a p p r o x i m a t e e v a l u a t i o n
o f t h e
i n f i n i t e
s e r i e s
i s
r e d u c e d t o
e x a c t
e v a l u a t i o n b y
s u b s t i t u t i o n
i n
a n i d e n t i c a l
f i n i t e
f o r m .
W e
p r o c e e d
t o
d e v a l o p t h i n f i n i t e e x p r e s s i o n .
A l s o w e
d e v e l o p
t h r e e
r e c u r s i o n
r e l a t i o n s h i p s
' w h i c h
a r e
o f m o r e p r a c t i c a l u s e
a n d
w h i c h
i i e l d
i d e n t i c a l
r e s u J t s
f o r
t h i s
t y p e
o f
s i n a t i o n , F i n a i l y
e
p r e s e n t
a t r i a n g l e , t h e s u t n n a t i o n t r i a n g l e
,
w h i c h ,
w i t h a s i m p l e
f o r i r m l a ,
n t
o i l y
p r o v i d e s
t h e m o s t r a p i d
m e t h o d
f o r
s u c h s u m m a t i o n ,
b u t
i s
a l s o e a s y
t o r e m e m b e r .
T h e g e n e r a l
f o r m
o f
s u c h
a
s e r i e s b e i n g
w r i t t e n :
s
x ) ( C 0 k +
C 1 l +
+
c ) x k ,
( p 5 )
t h e r e
t h e
C s
a r e c o n s t a n t s a n d
n
I s a
n o n - n e g a t i v a
i n t e g e r ,
w e
h a v e i m m e d i a t e l y
t h e
f o r m :
S ( x
)
=
C
:
k x k +
c
:
+
f
' .
¿
O l
1 c l
T h u s
t h e
s t a t e d
p r o b l e m o f s u m m a t i o n
m a y
b e
r e d u c e d
t o t h e
p r o b l e m
o f
e v a l u a t 4 n g
s u m s o f t h e f o r m :
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
31/48
=
E
k 1 x k ,
( 2 6 )
i t h e r e
n
i s
a
n o n - n e g a t i v e i n t e g e r .
I n
o t h e r w o r d s r a t h e r t h a n
s t u d y i n g
t h e
o r i g i n a l
p o w e r s e r i e s
( 2 5 ) ,
w e s t r 1 y
t h e p o w e r
s e r i o s
( 2 6 ) .
T h e i n t e r v a l
o f
c o n v e r g e n c e o f
K ( x ) ,
( - 1 ,
+
1 ) ,
m a y
b e
r e a d i l y d e t e r m i n e d
b y
t h o
r a t i o
t e s t .
T h e n n
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O ,
w e
h a v e :
K ( x )
w h i c h
i s
a
g e o m e t r i c
s e r i e s . H e n c e ,
1 Ç 0 ( x )
=
-
/ x / < l .
( 2 7 )
W e
s e e
Ç x )
i s
a
p a r t i c u l a r
g e o m e t r i c s e r i e s .
N o w o c e e d i n g
f r o m
( 2 7 )
w e
h a v e :
I % ( x )
=
l k =
c 1
( x )
=
k = l
°
( l - c )
( 2 8 )
0 0
J L ( x )
=
:
2 =
: K 4
x ( 1 + x )
( x )
=
¿
k l
( l - x ) 3 '
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i n
g e n e r a l
z
0 0
n l c
. 1
x P ( x )
K ( x ) = .
k x = x ç _ 1 ( x ) =
n
k = l
' ) n
m a y
b e
s e e n
t o
b e
a
p o l y n o m i a l
o f
d e e e
n
I
b y
l u d u c t i o n .
N o t e t h a t
P 2 ( x )
i s a
p o l p i o m i a l
o f
d e g r e e o n e a n d t h a t
i f
P ( x )
i s
a p o l r n o i n i a l
o f d e g r e e n
1 ,
t h e n
? 1 ( x ) w i l l b e a
p o l j n o m i a l
o f
d e g r e e
n .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
32/48
2 0
S i n c e
K ( x )
s a t i s f i e s
t h e r e c u r s i o n r e l a t i o n ,
I c 1 ( x )
=
x
K
( z ) ,
( 2 9 )
a n d s i n c e ,
X
P
( x )
K ( x )
i i + Ï '
( 3 0 )
( 1
. . x )
h a v e ,
x ? , ( x )
d f x P n ( x ) _ 1
( 1
L
_ _
X ) s a J
'
v h e n c e
w e
o b t a i n ,
b y
p e r f o r n i n g t h e
d i f f e r e n t i a t i o n
a n d
r e m o v i n g
t h e
f a c t o r ,
X
( 1
. . x )
P ( x )
s
( n x
+ l ) P
( x )
+ x ( 1
x ) p 1 ( x ) .
( 3 1 )
n - s - 1 n
n
T h e
s u c c e s s i v e
p o l y n o m i a l s ,
P , P 3 S
. . .
,
c a n b e b u i l t u p
e a s i l y
b y
r e p e a t e d
u s e
o f
( 3 1 ) ,
s t a r t i n g
f r o i a t h 3
k n o w n f a c t
t b à t ,
P 1 ( x )
=
L 1
T h u s
w o h a v e s
P 1 ( x )
=
i
P 2
=
i
+
X
P 3 ( x ) s 1 + 4 x + x 2
( 3 2 )
P 4 ( x )
s
- s - l i x +
1 1 x 2 +
¿
P 5 ( x )
s
2 6
+
2 6 x +
x 4
I t
m a y
b e n o t e d
t h a t t h e
c o e f f i c i e n t e
i n
t h e s e
p o l y n o m i a l s
a r e
s m m e t r i c a 1 ,
p o s i t I v e ,
i n t e g r a l , a n d
t h a t t h e
f i r s t
a r i d
l a s t
c o e f f i c i e n t e
a r e u n i t y .
I f
w e
a s s u n e t h a t :
: P n ( x )
= : ; l
f r ( f l ) X r _ l ,
( 3 3 )
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
33/48
2 9
a n d s u b s t i t u t e
i n
( 3 1 )
w e
o b t a i n
t h e
r e c m ' s i o n
r e l a t i o n f o r
t h e
c o e f f i c i e n t s
f r ( n )
a s f o l l o w s :
=
( n
- r
+
1 ) 1 ' ( n
1 ) +
r
r '
-
1 ) .
( 3 4 )
r - 1
S i n c e Ç ( i i )
- O ,
w e s e e
t h a t f 1 ( n )
=
i
f o r a l l
n .
S i n c e
f 1 ( n )
=
O ,
i e
s e e
t h a t
f ( n )
=
i
f o r a l l
n .
H e n c e
w e
s e e
t h a t t h e
f i r s t
a n d
l a s t
c o e f f i c i e n t s
a r e
a l w a y s
u n i t y .
T h e
o t h e r
i r o p e r t i e s
n o t e d
f o r
t h e
c o e f f i c i e n t s
f o l l o w e a s i l y
f r o n
( 3 4 ) .
T h e i r
s t r e t r y i s
s h o w n
l a t e r ,
( 4 7 ) .
U s i n g
( 3 4 )
w
b u i l d
u p
a
t r i a n g u l a r
a r r a y o ±
c o e f f i c i e n t s
f o r
t h e
p o l y n o m i a l s
P ( x ) ,
s h o w n o n
p a g e
3 0 .
L o o k i n g
a t
t h e
g e o m e t r i c a l
n e a n i n g
o f
( 3 4 )
w i t h
r e s p e c t
t o t h e
t r i a n g l e
w e
f i n d
a
d e ' v i c e
w h e r e b y
t h e
l a w o f f o r m a t i o n
m a y
b e
e a s i l y
a p p l i e d
a n d
r e m e m b e r e d .
T h i s
l a w
i s
s i m i l a r
t o t h a t o f
P a s c a l ' s
t r i a n g l e .
R a t h e r t h a n
a d d i n g
t
e l e m e n t s
t o
o b t a i n
t h e o n e
b e l o w
w e a d d m u l t i p l e s
o f
t h e
e l e m e n t s .
T h e s e
m u l t i p l e s
a r e
d e t e r m i n e d
b y
t h e
n u m b e r
o f
s t e p s
w e
m u s t t a k e
f r e i n
t h e
s i d e s o f
t h e t r i a n g l e
t o r e a c h
t h e e l e m e n t s .
T h e
ì e t h o d i s
e v i d e n t
f r o m
( 3 4 ) .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
34/48
o
r '
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O 9 ' t6 t ' 9 t
9 ' t
t
6 t 9 ' It 9 ' t
tt
6 t t
t
6 t t
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t
c
w ç iu t) q ' 4z o JÇ . Z J 1O ? t L U f lI { 4o
e w d o O A e j
t
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
35/48
3 1
T h e
n e x t
s t e p
i s
t o
f i n d
a
f i n i t e
e x p r e s s i o n f o r
' i V e
h a v e
b y r e p e a t e d
a p p l i c a t i o n
o f
( 3 4 ) :
( n - r
+
1 ) Ç 1 ( n
1 )
+ r
n
1 )
= ( n
r
+
i »
r ( n
-
r ) f r
1 ( n
-
2 ) +
r 2 Ç ( n
- 2 )
= ( n
- r
+ 1 ) f 1 ( n
1 ) - s .
r ( r i
- r ) f r i ( n
- 2 )
+ r 2 ( n
- r
- 1 ) f 1 ( n
3 )
+
+ r ' ( n _ r . 4 + 2 ) Ç _ 1 ( n
s i ) + r 1 f r ( n
- i ) ;
i < n
- 1 .
N o w s i n c e
f ( r )
=
I ,
f ( n - i )
= 1
w h e n
n
- i
= r o r
w h e n
i
=
n
- r .
H e n c e ,
=
r ( n
- r
- i
+
2 r - . i (
-
i »
r " ' Ç , ( r ) ,
o r s i n c e f
( r )
=
f
( r
- 1 ) ,
r
r - 1
n - r + l
f
( n )
=
r '
( n
- r
- i
+ 2 ) Í ' r
( n
- i )
( 3 5 )
r
N o w w e
s u b s t i t u t e
r
=
2
i n
( 3 5 )
a n d
n o t e
( n
- i )
=
i
f o r
i < n
t o
o b t a i n ,
n - ] .
f 2 ( n )
=
2 ' ( n
-
i ) .
i = ] .
S u m m i n g b y
p a r t s ,
f o r m u l a
4 ,
f o r m
3 ,
i n
t h e
t a b l e ,
w e
o b t a i n
f 2 ( n ) ,
f 3 ( n ) ,
f 4 ( n ) ,
a n d f 5 ( n )
s u c c e s s i v e l y ,
e a c h
t i m e
d e p e n d i n g
o n
t h e
p r e v i o u s
r e s u l t
a n d
n o t i n g
f 1 ( n )
1 ,
t o o b t a i n :
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
36/48
3 2
i n
=
2 f l (
+ 1 )
f 3 ( n )
3 f l _ (
+
1 )
2 " +
+
1 ) n
( 3 6 )
2 Z
4 f l ( f l
+ 1 )
3 n
( n 1 ) n
2 n ( n
+ l ) n ( n
- l i
3 Z
1 ' 5 ( n ) 5 - r
+ 1 )
4 n
( n + l ) n
3 n
( n + l ) n ( r i
-
i )
2 n
3 1
( n
+
i ) n ( n
L ) ( n
- 2 ) .
+
I I
' 4 .
F r o m t h i s
a n i n t e l l i g e n t c o n j e c t u r e
f o r
i s
e v i d e n t l y ,
r
F ( n )
=
( l ) f h ( f l + l ) ( r
- n i + i ) ' .
( )
n i - 1
m .
T h e
f o l 1 o w i n
i n d u c t i v e
p r o o f
t h a t
F r ( f l )
=
' r
c o n s i s t s
i n
s h o w i n g ,
F ( n )
=
( n -
r +
l ) F 1 ( n
-
1 ) +
r
F r ( f l
-
2 r
<
n
a n d ,
( 3 g )
F 1 ( n ) = F ( r i )
= 1
i n
t h i s o r d e r .
H e n c e ï e
f i r s t
p r o v e :
( 1 ) f l i + l ( f l + l ) (
-
1 ) f l _
( n
- r
+ 1 )
( 1 ) m + i .
n
n - 1
r
r i i + i
n
1 ) 1
(
) ( r - m )
+ r
( - 1 )
(
1 ) ( r
- i n +
m = 1
W e
p r o c e e d t o r e d u c e t h e
e x p r e s s 4 . u n
t h e
r i g h t
t o
t h a t o n
t h e l e f t .
C h a n g i n g t h e
s u n m i a n d
o f
t h e
f i r s t t e r n i o n
t h e
r i g h t
s u d
a d j u s t i n g
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
37/48
3 3
t h r o u g h t h e
l i m i t s
o f
s u m m a t i o n ,
w e
o b t a i n :
( n
r
+
i )
( _ l ) m Ç h l 2 ) ( r
+
r
+
r Z
( 4 ) m + 1 (
) ( r
- i n
1 ) f l 1
m l
W e
h a v e
t h e
t w o
r e l a t i o n s :
n
_ m - 1
n + l . ,
-
n +
i
Ç _ i "
( 3 9 )
I
n
n
- n
+ 2
, n
' m - l '
-
n
+
i
w h i c h
f o l l o w
i m n e c l i a t e l ç
f r o m
t h e
e x p r e s s i o n o f
t h e
b i n o m i a l
c o e f f i c i e n t s
i n
t h e i r
f a c t o r i a l
f o r m .
S u b s t i t u t i o n
f r o m
t h e s e
e q u a t i o n s
i n
t h e
a b o v e
e x p r e s s i o n
y l e l d s :
r
( n
- r
+
i )
( _ 1 ) r n
n i
- i
n + l
m
+
r
+
r L
( _ 1 ) r
n
-
i n
+ 2
, n + l
n - i
) ( r - r n + i )
m l
n + l
i n - 1
I f
t h e
e x p o n e n t s o f
- 1 a n d
( r
- n
+
i ) a r e
a d j u s t e d ,
t h i s
b e c o m e s :
r
i i i + i
i n - 1
, n + l ,
( n
- r
+
1 )
( l )
l ) ( r - ' n + l )
i ) r
-
i n
+
+
r
( _ 1 ) f l
n - i n + 2
n i - 1
1 ) f l
(
) ( r - m +
r n - _
( n + l ) ( r - m + i )
i n - i
T h e
l i m i t s
o f
s i i n a t i o n
f o r
t h e
f i r s t
s u m
m a y
j u s t
a s
w e l l
b e
f o r
n l
f r o m
i
t o
r
a s
t h e
t e r m
c o r r e s p o n d i n g
t o
i n
=
O
i s
z e r o .
H e n c e
i r
w
m a k e
t h i s
c h a n g e ,
i n c l u d o
t h e
c o n s t a n t
f a c t o r s
i n s i d e
t h e
s w r x r n a t i o n ,
a n d
a d d
s u m s ,
w e
h a v e :
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
38/48
r
ç -
I
( n - r + l ) ( m - 1
r ( n . n + 2 )
( n + l ) ( r - n + l 1
+
( n + 1 ) ( r n + l ) j
( _ m 1
( : ) ( r
- i n
U p o n a l g e b r a i c
r e d u c t i o n
t h i s
b e c o m e s :
(
) ) f l 1 + l
, n + l
1 ) f l ,
-
m L
m - 1
a n d
t h e f i r s t
e q u a t i o n
o f
( 3 8 )
i s
p r o v e d .
T o
c o n t i n u e , w e
e v a l u a t e
F 1 ( n ) b y
s u b s t i t u t I o n
i n
( 3 7 )
a s
f o l l o w s :
s / t
F 1 ( n )
( _ l ) 2 ( 1 )
( 4 0 )
F i n a l l y
w e
s h o w
F a ( n )
= 1 .
T o
d o
t h i s
i t w i l l
b e
c o n v e n i e n t
t o c o n s i d e r
a n
a r r a y
w h i c h
i s o u r
t r i a n g l e
a u g m e n t e d
b y
t h e
e l e m e n t s
F ( n
-
1 ) ,
n . 2 ,
t h i c h s a t i s f y t h e
r e c u r s i o n r e l a t i o n
o f
o u r
t r i a n g l e .
H e n c e
F ( n
-
1 )
m u s t b e d e f i n e d
b y
( 3 7 )
a s
t h i s
d e f i t i o n c a u s e s
i t
t o s a t i s f y
( 3 3 ) .
T h u s ,
F ( n
-
1 ) =
( _ 1 ) m + l
m
+
1 ) n l
( 4 1 )
N o w
s i n c e = E
-
1 ,
=
( E
-
w h i c h b e c o m e s
b y
t h e b i n o m i a l
f o r m u l a ,
( - l ) '
I f
w e
a p p l y
t h e
E o p e r a t o r w e
h a v e ,
n + l
z
( _ 1 ) i n
( 1 ) ( x
+
n
-
n
+
1 ) f l l
m = l
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
39/48
H e n c e w e
h a v e ,
A f l
n - 1
I
n + ] .
(
1 ) X T I + 1
(
n
, n - 1
) I % n - m + 1 j
,
x D m 1
- m - 1
o r
a s
t h e t e r m
L o r
r a
= n
+
i
e q u a l s
z e r o ,
' x ' I
=
( 1 ) m + 1
( r n 1 ) ( n
- m
+
I x J
m = l
( 1 ,
p . l 9 - 2 0 )
I f
w e
c o m p a r e ( 4 1 )
w i t h
( 4 2 )
w e
h a v e :
F ( n _ 1 ) = x h f
n
l x
I o w
a n - 1
=
( n
-
1 )
m e a n s
n n - 1
¿
X = 0 .
I e n c e w e
h a v e :
F (
n -
i )
=
0 .
N o w f r o m
t h e
p r o v e d r e c u r s i o n
r e l a t i o n s h i p
o f
( 3 8 ) ,
t h e n r
F ( n ) = F ( n -
i ) + n
F
( n -
1 ) ,
n
n - i
n
o r
a s F
( n -
1 ) =
0 ,
n
F ( n )
= F
( n
- 1 ) .
n n - J .
S i n c e
n
i 3 a r b i t r a r y ,
F ( n )
=
F
1 ( n -
1 )
= F ( n
-
2 )
=
. . .
=
F 1 ( 1 ) .
n
n
N o w
s i n c e F 1 ( 1 )
=
1 ,
3 5
( 4 2 )
F ( n )
=
i .
( 4 3 )
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
40/48
3 6
T h i s c o m p l e t e s
t h e p r o o f t h a t ,
o r
t h a t ,
f ( r i )
= F ( n ) ,
( ) I ì i + l
( ' ) ( r - m
( 4 4 )
N o w
w i t h
f ( n )
w e
h a v e
f r o m ( 3 0 )
a r i d
( 3 3 ) :
i
[ ( - i ) ( ) ( r
m +
l ) v E J x r _ 1 , ( 4 5 )
o r
i n
a
s l i g h t l y d i f f e r e n t
f o r m ,
r 1 ,
,
m + i n + i .
n
r
k n X k
i
I
Ç n _ i i ( 1 ) ]
x
( 4 6 )
k = ] .
( 1
-
T h e
a p p l i c a t i o n o f a l i
t h i s
i n f o r m a t i o n a b o u t ( 2 6 ) t o
( 2 5 )
i s L m n e d i a t e .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
41/48
3 7
A
s w m a r y
o f t h e r e s u l t s
o f
t h 1
i n v e s t i g a t i o n
a n d
a
d i s c u s s i o n
o f
t h e i r a p p l i c a t i o n i s n o w i n
o r d e r .
T h e
m e t h o d s
a n d
r e l a t i o n s h i p s
m e n t i o n e d a t
t h e
f i r s t o f
t h i s
c h a p t e r h a v e
n o w b e e n
d e v e l o p e d .
h a v e t h e
f i n i t e
e x p r e s s i o n o f
t h e s w n
( 2 5 ) b y a p p l y i n g
( 4 5 )
o r
( 4 6 ) .
W o
h a v e
t h e
r e c u r s i o n
r e l a t i o n s h i p s
( 2 9 ) , ( 3 1 ) ,
a n d
( 3 4 ) .
T h e
b e s t m e t h o d o f e v a l u a t i o n o f t h e
s w n
i s b y
u s e
o f
t h e
s t w n a t i o n
t r i a n g l e
w i t h
( 3 0 )
a n d
( 3 3 ) .
I n t h e
s u i r n n a t i o n
o f
( 2 5 )
t h e
v a l u e
o f
o i . r
m e t h o d s d e p e n d s o n
t h e
f o l l o w i n g : T h e m a g n i t u d e
o f
n , t h e p r o x i d t y
o f
¡ x i t o u n i t y ,
a n d
t h e r e q u i r e d
d e e e
o f
a c c u r a c y o f
t h e e v a l u a t i o n .
I n d i d u a l
c o n s i d e r a t i o n s m u s t
b e g i v e n e a c h
s e r i e s .
F o r e x a m p l e ,
i f n i s
s i a U b u t ¡ x i
i s
n e a r u n i t y
o u r n e t h o d s
a r e
o f
v a l u e , b u t i f n i s
l a r g e a n d ¡ x i i s s n a l l
t h e c o n v e r g e n c e o f
t h e
s e r i e s
i s
n o t
s e r i o u s l y
s l o w
a n d
o u r r e s u l t s
a r e o f l e s s v a l u e p r a c t i c a l l y s p e a k i n
g .
T h e
e v a l u a t i o n o f ( 2 5 )
f o r
s o r n e
p a r t i c u l a r v a l u e
o f
x
m a y
h e
a c c o m p l i s h e d
i n
v a r i o u s
w a y s
s u c h
a s d i r e c t s u b s t i t u t i o n
i n
a
f i n i t e
n i i h e r
o f t e r m s o r b y e x p r e s s i o n
o f
t h e
p o l m o r n i a l
c o e f f i c i e n t
o f
x k
i n f a c t o r i a l s
f o l l o w e d
b y
s u n n a t i o n
b y
p a r t s . J J o v e v r ,
t h e
m e t h o d s
p r e s e n t e d h e r e
a r e o f g i e a t e s t v a l u e f o r t h i s e v a l u a t
i o n .
F o r c l a r i f i c a t i o n
w e g i v e t y p i c a l e x a m p l e s
w h e r e
t h e s e
m e t h o d s a r e
ì a r t i c u 1 a r l y
s u i t e d .
F i r s t , l e t
u s
e v a l u a t e
t h e i n f i n i t e
p o w e r
s e r i e s ,
A
J .
+
x
+
2 +
2 7 x 3 +
6 4 x 4 +
. . .
+
k 3 x k
+ a . . ,
f o r x
=
0 . 9 0 0 0 0
t o
f i v e
d e c i m a l a c c u r a c y .
T h e e x a c t
v a l u e
m a y
b e
f o u n d
b y Í ' o r r n u l a s ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) a n d
t h e s u m m a t i o n t r i a n g l e
a n d s u b s t i t u t i o n
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
42/48
3 8
î o r x . T h u s
w e
h a v e ,
s = i + E
k 3 x k
=
( - l ) 4 x
( 1 +
c
+ x 2 )
( z
-
=
4 3 , 6 9 l .
S e c o n d ,
e v a l u a t e
t h e
c o n v e r g e n t
i r i f : L n i t e
s e r i e s ,
S
=
2 . 2
+
3 . 2 2
2
2 . 3
3 3 2
3 4
+
2 k
+
3 k 2 +
k 4
+
+ . . .
A g a i n
u s i n g
f o r r n u l a s ( 3 0 ) a n d ( 3 3 ) a n d
t h e
s u i m i a t i o n
t r i a n g l e ,
w e h a v e :
=
2 k
+ 3 k 2 +
i /
= 2
k ( ) k 3
k = l
k = 1
= 1 7 2 .
+ L
F i n a l l y ,
l e t u s
f i n d a
f i n i t e
e x p r e s s i o n
f o r t h e s u m
o f a n
i n f i n i t e
s e r i e s
w h o s e
k ' t h
t e r i l 1 i s
t h e p r o d u c t
o f
t h e k ' t h
t e r m
o f
a n
a r i t h m e t i c
p r o g r e s s i o n , b ,
b
+ d ,
b +
2 d , . . . ,
b
+
( k
-
1 ) d ,
a n d
t h e
k ' t h
t e r m
o f a g e o m e t r i c
p r o e s s i o n , a ,
a r ,
2 ,
a r .
T h e
s e r i e s i s c o n v e r g e n t
f o r
r
< 1 .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
43/48
: 3 9
a b
( b +
k d ) a r k
=
a b
+ a b
r k +
a d
1 k
b - b r + d r
- a
( 1 -
r ) '
A
s t u d y
o f
t h e
s i a t i o n t r i a n g L e .
S o r n e
i n t e r e s t i n g
' o p e r t i e s o f
t h e
s u m m a t i o n
t r i a n g l e f o l l o w
i m m e d i a t e l y
f r a n i
i t s
l a w
o f
f o r m a t i o n .
F i r s t ,
t h e
e l e n t s
o f
e a c h r o
a r e
s y r ì e t r i c a ] .
a b o u t
t h e
e l e m e n t
o r
e l e m e n t s
a t
t h e
m i d d l e
o f
t h e r o w .
T h a t
i s ,
=
n - r + i '
i
Ç .
r
< n .
( 4 7 )
T h e
p r o o f
i s i n d u c t i v e w i t h
r e s p e c t
t o
n .
I t
i s
e v i d e n t l y t r u e
f o r
n
= 1 .
I f i t
i s t r u e
f o r
n 1 w e
h a v e
t h e t w o
r e l a t i o n s :
( n
- r
+
2 ) 2
1 ( n )
=
( n
- r
+
2 ) f ( n ) ,
2
r +
1 .
r
=
r i r
n .
I _ f
w e a d d
e q u a l s t o
e q u a l s
i n
t h e
a b o v e
r e l a t i o n s h i p s ,
e h a v e :
( n - r
+
2 ) 2 1 ( n ) +
r
f ( n ) r f
( n ) + ( n
- r
+
2 ) 2
( n ) ,
r
n - ' r + l
n - ' r + 2
N o w
b y
( 3 4 )
w e
h a v e :
2
<
r
<
n .
=
=
1 ) =
n - r + 2
1 ) , 2
r
n .
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
44/48
4 0
N o w
s i n c e
f 1 ( n
+
1 )
=
f 1 ( n
+
1 )
=
1 ,
t h i s
r e l a t i o n
h o l d s
f o r
J .
r
< n + 1 .
T h u s
t h e
s y m m e t r y
h o l d s
f o r
n
+ i
a n d
t h e
p r o o f
o f
( 4 7 )
i s
c o m p l e t e .
S o c o n d ,
f o r
e a c h
l i n e
t h e
e l e m e n t s
i n c r e a s e
f r o m
t h e
e n d s
t o
t h e
m i d d l e ,
t h a t
i s ,
f ( n )
<
1 '
+ ( r ) >
f _ ( n )
n o v e n
=
j , n _ . l
n o d d
I t
i s
s u f f i c i e n t
t o
p r o v e
t h e
f i r s t
i n e q u a l i t y
a s t h e
s e c o n d
i n e q u a l i t y
f o l l o w s
f r o m
t h e
f i r s t
b y
t h e
s m e t r y
j u s t
p r o v e d .
T h e
p r o o f
i s
i n d u c t i v e
w i t h
r e s p e c t
t o n .
E v i d e n t l y
t h e
( 4 8 )
i n e q u a l i t y
i s
t r u e
f o r
n
=
3 .
N o w
w e w i l l
a s s u m e
t h i s
i n e q u a l i t y
h o l d s
f o r
n
o d d
a n d
p r o v e
i t
h o l d s
f o r
n +
1 .
R e p e a t i n g
f o r
n
e v e n
c o m p l e t o s
t h e
r o o f .
H e n c e
f r ( f l ) < f r + i ( f l )
f o r
r
n
;
i
a n d
n
o d d
ç 4 v e s
u s
t h e
i n e q u a l i t i e s :
f r < 1 r + i (
r _ i < r '
e r - i
< f r + i ' ) '
I f
w e
m u l t i p l y
t h e
i n e q u a l i t i e s
b y r ,
n
r +
1 ,
a n d
1
r e s p e c t i v e l y ,
a d d ,
a n d u s e
( 3 4 )
w e
o b t a i n :
r + i
1 ) ,
r
n +
i
N o w
f o r
n
e v e n
w e
u s e
t h e
r e l a t i o n s
f r ' ) < f r + i
f o r
r
- i
a n d
=
f o r
r
=
T h i s
l a t t e r
e q u a t i o n
i s
f r o r i i
t h e
s r n u e t r y .
P r o c e e d i n g
a s
a b o v e
w e
o b t a i n :
< f r + i +
r
( n +
l
-
i
-
8/20/2019 St Alley Kenneth 1948
45/48
4 1
T h u s
t h e i n d u c t i o n
i s
c o m l e t e d
a n d
( 4 8 )
i s p r o v e d .
A n
A b e l
s u m .
i f
a
s e r i e s
d i v e r g e s ,
i t
m a y
h e
p o s s i b l e
t o u s e
s o m e
o t h e r
c o m b i n a t i o n
t h a n
t h e
f i r s t
i
t e r m s
a s
a n
a p p r o x i m a t i o n
t o t h e
" s u m "
o f t h e
d i v e r g e n t
s e r i e s
( 9 ,
p . 2 6 1 - 2 6 5 ) .
T h e s e
s u m s a r e
s e t
u p
b y
d e f i n i t i o n
a n d
n o t b y
a n a l o g y
w i t h
s u m s
o f c o n v e r g e n t
s e r i e s .
c b v i o u s l y t h e s e
s u m s
h a v e a
d i f f e r e n t
m e a n i n g
t h a n
i n
t h e c a s e o f
c o n v e r g e n t
s a n e s ,
b u t t h e y
a r o
o f t e n
o f p r a c t i c a l v a l u e . T h i s
i s
t r u e
e s p e c i a f l y
w h e n
t h i s s u m
i s
r e g u l a r ,
t h a t i s ,
t h e
m e t h o d s
u s e d
t o o b t a i n
t h e
p
f l
s u m
a
c o n v e r g e n t
s e r i e s
t o t h e
o r d i n a r y
s u m .
N o w
w e
h a v e a n
e x a m p l e
o f
A b e l s
s
