Upload
jacob-jon-hansen
View
156
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Abstract
This paper examines the laws affecting a free falling object with air resistance.
Through an introduction and extraction of some basic laws of physics,
differential equations are made and solved through a mathematical method.
The solutions are executed to describe a falling object through a series of
experiments. The terminal velocity of a ball and coin are found and reflected
upon. The drag coefficients are calculated through the mathematical models
and compared. Systematical flaws and imperfections are discussed and
compared to values of earlier experiments.
A conclusion is drawn, stating the experiments validness and the experiments
consequences regarding the free fall of a penny and a ball with the comparison
of the two.
Indholdsfortegnelse
1
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Forside………………………………………………………………………………………………………………Abstract………………………………………………………………………………………………………………s 1Indholdsfortegnelse…………………………………………………………………………………………..s 2Indledning………………………………………………………………………………………………………….s 3
Kapitel 1………..…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….………..s 4 Fluider og strømninger…………………………………………………………………..s 4 Reynolds Tal……………………………………………………………………………………s 5 Gnidningskraft i et fluid …………………………………………………………………s 6 Beregning af gnidningsmodstand………………………………………………….s 8 Formfaktoren………………………………………………………………………………….s 9 Fald igennem luft ….…………………………………………………………………….s 10 Terminal hastighed………………………………………………………………………s 11
Kapitel 2………………………………………………..………………………………………s 12 Fald af mønt og bordtennisbold fra forskellig højde……….………….s 12 Kvalitativt forsøg med 6 mønter………………………………………………….s 16 Forsøg med vindtunnel og bestemmelse af formfaktor……………..s 17
Kapitel 3……………………………………………..…………………………………………s 23
Analytisk løsning af ……………………………………………….s 23
Analytisk løsning af ……………………………………………..s 24
Numerisk løsning af …………………………………………..s 26
2
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Kapitel 4……………………………………………………………………………………….s 28
Konklusion…………………………………………………………………………………..s 28
Bilag……..………………………………………………………………………………………………………….s 30
Litteraturliste……………………………………………………………………………………………………s 32
Indledning
Jeg vil i denne rapport undersøge de fysiske love ved faldende genstande
gennem luft. Jeg undersøger gnidningslove ved rejse igennem fluider og giver
en betragtning over fald af en mønt, relativt til fald af en bordtennisbold.
Jeg vil kikke på matematikken bag de fysiske love, og arbejde med
differentialligningerne; og
Jeg vil løse dem analytisk, og giver et bud på hvordan man løser en
differentialligning numerisk.
Jeg vil først gennemgå den fysiske teori for faldende genstande, herunder
gnidningslovene, formfaktoren og Reynolds Tal.
Jeg vil derefter gennemgå mine eksperimenter, lave databehandling med
relevante modeller og diskutere eventuelle afvigelser og fejlkilder.
3
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Jeg ønsker ydermere at finde formfaktore for bold og mønt i en vindtunnel, jeg
vil derefter give betragtning af fald af en bordtennisbold i forhold til en mønt.
Opgaven er opbygget omkring et mythbusters program, som jeg også vil
inddrage i min betragtning.
Kapitel 1
Man kan under ét kalde gas og væske for et fluid.
Et fluid kan betegnes som en substans, der hele tiden deformeres fra en
konfiguration til en anden i rummet1. Et fluid bliver ofte associeret med væske,
hvor man ikke vil tænke gas/luft som værende en væske. I fysik er en gas og
en væske også meget forskellige i deres tilstandsformer, men grunden til, at vi
kan kalde begge for et fluid er, at deres strømningsegenskaber hovedsageligt
kan beskrives på samme måde. Når en genstand bevæger sig igennem et fluid
vil genstanden blive påvirket af en gnidningsmodstand/friktion.
Laminare strømninger:
Laminare strømninger forekommer når et fluid flyder I paralelle lag , uden
nogen forstyrrelse mellem lagene. Under laminar strømning er der ingen
hvirvler i strømmen og her er det fluidets
viskositet, der er dominerende. Disse
strømninger ses ofte ved en lav Re-værdi.
Generelt kan vi sige;
1 http://en.wikipedia.org/wiki/Fluid
4
Figur 1: Her ses laminare og turbulente strømninger. Vi ser hvirveldannelse til højre.
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Små og langsomme partiker => strømlinjerne skærer ikke hinanden =>
laminarstrømning
Turbulente strømninger:
Turbulente strømninger danner ofte hvirvler i fluidet, disse udfører en friktion
på det legeme, der bevæger sig igennem fluidet. Turbulente strømninger er
kaotiske og opstår når luftens/væskens molekyler ramler ind I hinanden og
derved ikke længere er lagdelte.
Disse strømninger ses ofte ved en høj Re-værdi.
Generelt kan vi sige;
Store og hurtige parikler => strømlinjerne skærer hinanden => turbulent
strømning.
Reynolds Tal
Reynolds tal er opkaldt efter Osborne Reynolds (1842-1912), en engelsk
professor i ingeniørvidenskab. Konceptet blev dog introduceret i 1851 af
George Gabrial Stokes. Stokes (1819-1903) har ydermere sammenarbejdet
med Claude-Louis Navir og opstillet Navier-Stokes ligningerne. Disse love
stammer fra at tilføje Newtons anden lov til bevægelser i fluider2. Konceptet i
den gnidningsmodstand jeg ønsker at beskrive i denne opgave stammer
således fra disse ligninger, men jeg vil ikke gå dybere ind i disse, i og med, at
de er for avanceret til denne opgaves niveau.
Reynolds tal er et enhedsløst tal, der beskriver ratioen mellem det, som giver
turbulente strømninger og det, der giver laminare strømninger.
Reynolds ville gerne prøve at finde ud af, hvilke faktorer der gør en strømning
laminare og turbulente (harmoniske og kaotiske). Definitionen ser således ud:
2 http://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number og skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion.
5
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
De forskellige faktorer og forklaring på deres betydning:
d er en karakteristisk vejlængde, altså den længde som fluidet rejser. Det er
klart, at jo længere fluidet skal rejse, jo længere tid har fluidet til at udvikle
turbulens.
er fluidets densitet. Jo tungere fluidets molekylerne er, jo større kraft vil de
ramme de andre molekyler med og på denne måde vil forstyrrelsen blive større
og dette er med til at skabe turbulens.
v er legemets fart i forhold til fluidets. En større fart vil medfører af genstanden
rammer molekylerne med en større kraft, på denne måde vil molekylerne
ramme hårdere ind i hinanden og deres strømning bliver derfor mere forstyrret
des højere hastighed.
er fluidets dynamiske viskositet. Denne faktor beskriver hvor godt
luften/væsken hænger sammen. Det er klart, at jo stærkere luften/væsken
hænger sammen, jo mere kraft skal der til at skabe forstyrrelser (=turbulens)
og vice versa.
Vi kan se, at d, og v alle 3 er faktorer der er med til at skabe turbulente
strømninger, og skaber laminare strømninger. Derfor beskriver Reynolds tal
forholdet (=ration) mellem de faktorer, der skaber turbulente strømninger, og
den faktor der skaber laminare strømninger. En stor Re værdi er tegn på, at de
turbulente strømninger er dominerende og en lille Re-værdi er tegn på, at det
er de laminare strømninger, der er dominerende.
Vi bruger blandt andet Reynolds tal til at bestemme hvilke modeller, der vil
være bedste at bruge under databehandlingen af et eksperiment.
Reynolds Tal og strømningsmønstre bag ved boldagtig genstand:
Vi kan dele strømningsmønstrene op i tre tilfælde med tilhørende Re intervaller
- Hvis Re>10 vil strømningerne foregå laminart.
- Hvis 10<Re< vil strømningerne være i en overgangszone mellem
laminar og turbulent strømning.
6
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
- Hvis <Re opstår der hvirvler bag bolden og strømninger bliver på denne
måde turbulente.
Disse gælder for en boldagtig genstand med laminart forside-grænselags-
strømning3
Gnidningskraft i et fluid.
Det viser sig at være meget kompliceret at opstille en generel regel for
gnidningskraften på en genstand, der passere gennem et fluid. Det er et
kompliceret problem, som ikke umildbart kan løses fuldstændigt. Turbolens er
stadig et af de største uløste problemer i fysikken4. Vi kan ved at lave
eksperimenter i vindtuneller med røg finde frem til nogle enkelte regler.
Man har fundet ud af, at vi generelt har to strømningstilstande; den laminare
strømning og turbulent strømning som jeg har beskrevet tidligere.
Problemet med hensyn til gnidningskraften er, at det er to forskellige udtryk
der gælder i disse to forskellige situationer.
Ved laminare strømninger skyldes gnidningsmodstanden hovedsageligt fluidets
viskositet (”tyktflydenhed”)5.
Hvis strømningerne er laminare, vil modstandskraften være ligefrem
proportional med hastigheden og kan udtrykkes
F fluid-modstand=k1⋅v
Jeg vil gøre rede for konstanten om lidt.
Ved turbulente strømninger skyldes gnidningsmodstanden hovedsageligt
hvirvel-dannelse i fluidet6. Modstandskraften er ligefrem proportional med
kvadratet på hastigheden og kan udtrykkes3 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion & ”Vand under overfladen” side 69.Se bilag 1. 4 http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_existence_and_smoothness5 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion6 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion
7
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
F fluid-modstand=k2⋅v
Ifølge teorien er7
k=12⋅cw⋅Ar⋅ρ
Hvor er formfaktoren
Ar er tværsnitsarealet vinkelret på bevægelses-retningen
er fluidets densitet
Jeg ønsker nu at bevise dette
Beregning af gnidningsmodstanden
Vi ser på en plade med tværsnitsarealet Ar. Denne bevæger sig igennem
rummet med hastigheden v. Luften den møder rammer vinkelret ind på
pladens tværsnitsareal.
Pladen vil nu påvirke denne luftmængden med kraften F.
I løbet af et tidsinterval vil pladen have bevæget sig strækningen
(strækning=hastigheden tid)
Kraften udfører et arbejde på den luftmængde, der rammer pladen vinkelret på
dens areal, dette arbejde svarer til den kinetiske energi
7 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion
8
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Jeg vil gerne have lavet massen om til noget andet
Hvor er densiteten og V er volumen
Volumen af den mængde luft pladen passere gennem er tværsnitsarealet af
pladen ganget med ændringen i stedet. Altså, jo længere genstanden bevæger
sig, jo større mængde luft har den været igennem
Dette indsættes i (2) og vi får
Dette indsættes i (1) og vi får
Der forkortes med på begge sider af lighedstegnet
-værdien er en formfaktor. Det er altså en faktor der variere efter formen på
genstanden, der passere gennem fluidet. Den er enhedsløs og er indført fordi al
luften foran genstanden ikke får farten v, men strømmer ud til siden. Denne
indsættes i formlen
9
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Tilbage har vi, at gnidningskraften afhænger af en formfaktor, en densitet af
det fluid genstanden bevæger sig i, et tværsnitsareal som genstanden rammer
fluidet med og til sidst kvadratet af farten. Overstående formel gælder kun når
der er turbulente strømninger.
Formfaktoren
Formfaktoren er den faktor der, om noget, definere en genstands
aerodynamiske egenskaber. Vi kan se, at jo mindre formfaktoren er, desto
mindre gnidningsmodstand vil der være på genstanden.
Man skal dog være opmærksom på, at denne formfaktor er meget varierende,
hvilket gør det paradoksalt, at vi kalder det for en konstant.
Formfaktoren er ekstremt afhængig af Re-værdien, og for laminare
strømninger er den næsten umulig er bestemme. Tabelværdien af
formfaktoren er oftest angivet i et stabilt interval, der typisk vil ligge ved de
turbulente strømninger. Dette er vigtigt at nævne og huske når jeg senere skal
redegøre for mine resultater. Se bilag 2 for -værdien som funktion af
Reynolds Tal.
Kugle der falder gennem luft uden hensyn til opdrift.
Vi regner y-værdien nedad positiv.
accelerationen: g
massen: m
Luftmodstand
Tyngdekraft
10
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Da accelerationen er hastighedens differentialkvotient, får vi en
differentialligning.
(1)
Læg mærke til, at jeg har tidligere gjorde jeg rede for den anden
mulighed , dette giver i så fald en ny differenttialligning.
(2)
Jeg har nu opstillet to forskellige hypoteser til at beskrive en genstands fald
gennem luft. Jeg gør rede for deres analytiske løsninger i kapitel 3.
Det kunne tænkes, at eksponenten hverken er 1 eller 2. Men måske den ligger
et sted i midten, for eksempel 1.7. Dette vil give en ny differentialligning som
jeg ikke kan løse analytisk, jeg bliver nødt til at løse den numerisk, dette gøres
i kapitel 3.
Terminal hastigheden
Den terminale hastighed opnås når genstanden ikke længere accelerere i sit
fald.
Hvis accelerationen er 0 må
Derfor må for (1) og (2) være
11
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
For henholdsvis (1) og (2)
Kapitel 2
Fald af bordtennisbold og mønt fra forskellige højder
Jeg har sluppet en mønt og en bordtennisbold fra forskellig højde og målt tiden
det tog dem at ramme jorden. Jeg har brugt et målebånd til at måle afstanden
og et stopur til at måle tiden. Ebbe Nesgaard har hjulpet med at måle
afstanden og bedømme målingen fra jorden, hvor han har haft et bedre
overblik over hvornår genstanden ramte jorden end mig, der slap
boldene/mønterne. Dataene er indført i nedenstående skema.
Højde / meter
Tid / sekunder (bold ) Tid / sekunder (mønt)
1m 0.56 sek 0.46 sek2m 0.65 sek 0.56 sek3m 0.87 sek 0.74 sek4m 1.06 sek 0.92 sek5m 1.19 sek6m 1.37 sek 1.12 sek7m 1.49 sek8m 1.60 sek 1.58 sek9m 1.89 sek
10m 1.73 sekJeg har tastet resultaterne ind i Tabelcurve, hvorefter jeg har fittet til
funktionen
y ( t )=A⋅ln [cosh (√ gA⋅t)]
, hvor A= 2⋅m
cw⋅Ar⋅ρ
Dette er min v(t) funktion integreret8
8 Physics Teacher, Vol 43, October 2005
12
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Derefter har jeg afbillede første afledede i Tablecurve, for at få et billede af
hastigheden som funktion af tiden.
13
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Hvor:
ρ=1.247kg
m3 lufts densitet ved 10 grader celsius9
Arbold=(0 . 02 m)2⋅π=0. 00126 m2
Armøntvandret=(0. 0135 m)2⋅π=0 . 000573 m2
Armønt lodret=0 .002 m⋅0 . 027 m=0 . 000054 m2
mbold=2 .75 gmmønt=2. 36 g
En graf for boldens sted som funktion af tiden vil være at finde i bilaget.
Vi kan ud fra graferne se, hvordan deres acceleration falder. Disse grafer giver
et godt indtryk af, hvordan v→v∞ når t →∞
9 Vand under overfladen, s. 64
14
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Jeg får to terminal hastigheder, som jeg aflæser til;
v∞bold=6 .7
msek og
v∞mønt=8. 5
msek
Mønten falder altså angiveligt hurtigere end bolden.
Jeg har bestemt, at gnidningsmodstanden må være proportional med kvadratet
af hastigheden i og med, at bolden og mønten ikke bevæger sig igennem rolig
luft, men vil opleve turbulente strømning på deres forside. Dette giver en hel
anden fysik og gør laminare strømninger umuligt. Med det i mente, vil jeg
kikke på deres formfaktorer.
Formfaktoren er sat til ubekendt i tablecurve, og det er den værdi vi ser som a.
Jeg får følgene formfaktorer for de to genstande i mit forsøg.
cwbold=0 . 79
og cwmønt
=1. 68
Disse værdier er dog meget usikre. Det blæste kraftigt under forsøgsdagene,
så både bordtennisbolden og mønten har været udsat for ugunstige forhold i et
eksperimentelt lys.
Forsøgene blev udført på en vinkeltrappe bag en af skolens bygninger, vinden
kan nemt have lavet hvirvler ved gavlen hvor trappen var, og på den måde
have forstyrret forsøget endnu mere.
Bordtennisboldene faldt også skævt. I fysikken beskæftiger vi os med
uafhængihedsprincippet, hvor vi kan dele en to-dimensional bevægelse op i en
bevægelse i x-asken og en i y-aksen. Men dette forudsætter at legemet ikke
bevæger sig igennem noget medie. Men blandt andet på jorden vil
bordtennisboldene falde igennem luften. Ifølge Pythagoras er hypotenusen
altid længere end en katete. Dette medfører, at genstanden skal rejse længere
og på den måde skulle igennem mere luft, der skaber opbremsning.
15
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Hvis vi ser på formfaktoren for den perfekte, glatte kugle er den10
cw kugleidel
=0. 47
Denne kugle vil dog være helt perfekt glat, og blive udsat for en laminar strøm
på forsiden. Den bordtennisbold jeg lavede forsøg med var langtfra perfekt
glat. Hvis man tog et mikroskop kunne man fornemme en ru overflade.
På baggrund af forholdene, vil formfaktorerne ikke være sammenlignelige.
En mønts formfaktor er ikke opgivet noget sted, simpelthen fordi den er umulig
er bestemme som en konstant. Hvis man skulle bestemme den, ville man være
nødt til at lade den være en funktion af tiden. Dette har noget at gøre med den
måde hvorpå mønten falder.
Jeg har observeret hvordan et møntformet flamingostykke faldt, og det var
tydelige at se, at den begyndt at tumble rundt lige fra den blev tabt.
Dette medfører et meget dynamisk fald, relativt til boldens statiske fald.
For bolden er det lige meget, hvilken orientering den har i forhold til
bevægelsesretningen, for en mønt er det noget helt andet. En mønt har to
ekstremaer under dens fald hvis den tumbler rundt. Det vil på et tidspunkt
rejse med hele fladen orienteret mod bevægelsesretningen, og her vil
tværsnitsarealet være π⋅r2, ligeledes vil den på et tidspunkt rejse lodret
orienteret og få tværsnitsarealet b⋅d , hvor b er tykkelsen og d er diameteren.
Netop af denne grund, må formfaktoren for en mønt være afhængig af tiden (i
hvert fald i et deterministisk univers).
Det skal nævnes at jeg brugte en gammel 5-øre som mønt. Den er let fordi den
er lavet af aluminium. Hvis vi ser på formlen
Det er klart, at hvis mønten havde en større densitet ville F t være større, dette
ville betyde at der skal en større luftmodstand til gør den udligner F t , det ville
så tage længere tid at nå terminal hastigheden, hvilket vil betyde en højere
10 Vand under overflad, s.
16
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
trappe, som jeg ikke havde.
Kvalitativt forsøg med 6 mønter.
Foruden at kaste en mønt af gangen, prøvede jeg også at kaste 6 på en gang,
for at få en kvalitativ vurdering af hvordan de faldt.
De blev sluppet i 10 meters højde via, et skinnesystem.
Figur 2: Her ses skinnesystemet, som kan holde 8 mønter.
Ebbe Nesgaard stod på jorden, og vurderet at de blev jævnt fordelt over en
halv meter, ydermere var der cirka en halv meter mellem den først mønt der
landede og den sidste. Dette siger noget om den tilfældighed der er forbundet
med disse faldforsøg. Tilfældighed gør at resultaterne blive en smule usikre, og
med det som baggrund vil jeg ikke kunne konkludere noget videre om fx
formfaktoren.
Forsøg med vindtunnel og bestemmelse af formfaktorer.
17
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Jeg har lavet forsøg med en bordtennisbold og en mønt i en vindtunnel med
henblik på at bestemme deres formfaktor. Forsøgsopstilling så således ud.
På toppen af stigen har vi en vægt med underkrog, den er forbundet til
bordtennisbolden/mønten med en tynd snor og måler hvor stor kraft de bliver
påvirket af. Hvis man kikker på propellernes orientering, vil man opdage at de
peget opad, og derfor suger de luft ned, i stedet for at blæse luft op.
Dette gør, at de tal vægten giver os vil være positive, da friktionskraften
trækker i bolden. Propellerne styres to og to med den blå styringsmekanisme,
der ses for oven.
Vægten blev sat til nul, efter bordtennisbolden/mønten var blevet hængt op.
Propellerne blev tændt og langsomt øget i styrken. Der blev noteret en
vindhastighed sammen med en værdi fra vægten, hver gang propellernes kraft
øges. Det skal siges, at jo større vindstyrke, jo mere bevægede
bordtennisbolden/mønten sig fra side til side. Dette resulteret i, at vægtens
måling svingede lidt frem og tilbage. Forsøgene blev stoppet når usikkerheden
18
Figur 3: Her ses vindtunnelen og trappen, der holdte vægten.
Figur 4: Vindtunnel tæt på, men propellerne i bunden.
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
blev for stor. Man kan forklare dette fænomen med at
bordtennisbolden/mønten svinger frem og tilbage ved, at de hvirvler der
dannes på bagsiden af dem afløser hinanden, og får dermed genstanden til at
svinge fra side til side. Dette blev afhjulpet med et tyndt stykke ståltråd, der
holdte bordtennisbolden/mønterne lidt mere stabile.
Data er indtastet for neden.
For bordtennisbold
Vægtens visning i g Vindhastighed i m/sek Luftmodstand Ffrik i N
0 0 0
0.05 1.2 0.000491
0.11 1.8 0.00108
0.20 2.4 0.001964
0.27 2.9 0.002651
0.38 3.4 0.003732
0.50 4.6 0.006383
For mønt, lodret For mønt, vandret
Vægtens
visning i g
Vindha
stighed
i m/sek
Luftmodstand
Ffrik i N
Vægtens visning i g
Vindhastighed i m/sek
Luftmodstand Ffrik i N
0 0 0 0 0 0
0.03 0.8 0.000295 0.17 1.6 0.001669
0.05 1.1 0.000491 0.26 2.1 0.002553
0.11 1.7 0.002357 0.42 2.7 0.004124
0.20 2.2 0.001964 0.52 3.1 0.006678
0.24 2.5 0.002357 0.68 3.7 0.006678
0.3 2.8 0.002946 0.82 4.0 0.008052
19
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
NB: Jeg kunne ikke måle mønten lodret med den viste forsøgsopstilling, jeg
blev nødt til at gøre snorlængden mindre ved at rykke vægten tættere på.
Dette medfører, at noget af luften også skal forbi vægten, hvilket giver en
usikkerhed.
Jeg har indtastet tallene i tabelcurve og fittet dem til funktionen
F frik=12
cw⋅ρ⋅Ar⋅v2
, hvor cw er den ukendte
20
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
21
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Jeg har altså fået følgende cw -værdier:
cwbold=0 . 43
, cwmøntlodret
=1 .59 og
cwmøntvandret
=1. 49
I tablecurve har jeg vægtet målingerne forskelligt, afhængigt af hvor usikre de
var. Dette giver mig et mere præcist fit.
Bordtennisbolden:
Jeg har fået en formfaktor, der ligger meget tæt op af tabelværdien.
Bordtennisbolden er ikke en perfekt kugle og vil derfor ikke have samme
formfaktor. Ståltråden og snoren kan ydermere have skabt lidt forstyrrelse
foran kugler, der har givet turbulens og min formfaktor kan på den måde være
lidt forkert. Men det ser ud til at forsøget har væren en succes.
22
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Vandret mønt:
Formfaktoren for en hel glat plade er 1.2811, min formfaktor er ikke helt tæt på.
Mønten har et tryk og er derfor ikke en glat plade, ydermere er den heller ikke
tynd. Det er mere en cylinder end det er en flad plade, og det kan være med til
at forklare den høje formfaktor værdi. Ophænget af den kan også være grund
til fejlkilde, hvis den ikke har været helt parallel, vil dette også være en stor
fejlkilde. Det faktum, at propellerne er styret 2 og 2 kan også spilde ind, hvis
det ene par har snurret hurtigere end det andet, hvilket ikke er til at sige, vil
luften muligvis også blive mere turbulent. Vindtunnelens form er også vigtig at
tage i betragtning; den optimale vindtunnel vil være ligesom en tragt med en
bestemt vinkel, hvor min bare var et rør.
Lodret mønt:
Formfaktoren for den lodrette mønt er meget høj, forsøget kunne heller ikke
gennemføres med den normale opstilling. Da vægten er blevet rykket ned til
lige over vindtunnelen, vil dette give nogle helt andre forhold end
standardopstillingen. Faktorerne, der nævnes under den vandrette mønt
gælder naturligvis stadig, og det hele kumuleret giver et meget usikkert forsøg.
Kapitel 3
11 http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/shaped.html 22/12/2011
23
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Analytisk løsning af
De variable separeres
Der integreres ved substitution, u er hjælpefunktionen.
Vi kan nu se da når
Dette passer overens med teorien, da terminal hastigheden opnås når
24
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Analytisk løsning af differentialligningen
Differentialligning kan også skrives
dvdt
=g− km
v2⇔ v ' ( t )=g− km
v2
For nemhedens skyld vil jeg bruge denne form
y '=a−b⋅y2, hvor
y '=v ' ( t ) , a=g , b= km
, og y2=v2
y '=a−b⋅y2⇔ y '=(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )⇔ dydt
=(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )⇔
dt= dy(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )
⇔∫ dt=∫ dy(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )
⇔
t=∫ 1(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )
⋅dy
∫( 12⋅√a
(√a+√b⋅y )+
12⋅√a
(√a−√b⋅y ))⋅dy=t ⇔
25
Omskrivning1(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )
=
g(√a+√b⋅y )
+h(√a−√b⋅y )
=
g⋅(√a−√b⋅y )+h⋅(√a+√b⋅y )(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )
=
g⋅√a−g⋅√b⋅y+h⋅√a+h⋅√b⋅y(√a+√b⋅y )⋅(√a−√b⋅y )⇒( g+h)⋅√a=1⇔h−g=0
g=12⋅√a
og h=12⋅√a
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
y=√a⋅(e2⋅√a⋅√b⋅t−1 )√b⋅(1+e2⋅√a⋅√b⋅t )
Da12 tanh( x )= ex−e− x
e x+e−x=1−e2 x
1+e2 x får vi
y=√ ab⋅tanh(√a⋅√b⋅t )
Koefficienterne sættes nu ind og vi får
v ( t )=√ gkm
⋅tanh(√ g⋅√ km⋅t)⇔ v ( t )=√ mg
k⋅tanh(√ g⋅k
m⋅t)
Vi kan se, at v ( t )→√ mg
k, da tanh(√ g⋅k
m⋅t)→1 , for t→∞
Dette stemmer overens med teorien, og løsning er nu slut.
Numerisk løsning af differentialligningen
Nogle gange kan man ikke løse en differentialligning analytisk, derfor kan man
prøve at løse den numerisk. Det handler om, at gå små skridt frem, så den
numeriske løsning kommer til at ligge så tæt op ad den eksakte som muligt.
m⋅dvdt
=mg−kv1. 7 ⇔ ΔvΔt
=g− km
v1. 7⇔ Δv=(g− km
v1. 7)⋅Δt
12 Skolens officielle øvelsesvejledning i fluid-friktion, s. 5
26
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Hvor:
k=1
2⋅cw⋅Ar⋅ρ=1
2⋅0 .47⋅0 .001257⋅1. 247=0 . 000368
Jeg har her brugt tabelværdierne for cw 13 af en kugle og densiteten af luft ved
10 °C 14
g= tyngdeaccelerationen=9 . 82
m=massen=0 . 00275 Massen af de bordtennisbolde jeg selv har brugt i mine
forsøg.
Jeg har bevist ikke taget enheder med, da vi nu er ovre i matematikken.
Δv=(9 .82−0. 0003680. 00275
v1. 7)⋅Δt⇔ Δv= (9 .82−0 .1338⋅v1 .7 )⋅Δt
Jeg ved; v (0)=0 og derfor må min graf gå igennem (0.0)
Jeg har nu mine startbetingelser og kan gå frem fra (0.0), jeg vælger at sætte
Δt=0 .2
t v Δt Δv
0 0 0.2 1.964
0.2 1.964 0.2 1.879
0.4 3.843 0.2 1.700
0.6 5.543 0.2 1.472
0.8 7.015 0.2 1.229
1.0 8.244 0.2 0.988
1.2 9.242 0.2 0.791
1.4 10.033 0.2 0.615
1.6 10.648 0.2 0.471
1.8 11.119 0.2 0.358
13 Vand under overfladen, s. 6814 Vand under overfladen, s. 64
27
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
2.0 11.477 0.2 0.264
2.2 11.746 0.2 0.200
2.4 11.946 0.2 0.149
2.6 12.095 0.2 0.110
2.8 12.205 0.2 0.082
Vi kan her se hvordan luftmodstanden langsomt udligner tyngdekraften.
Grafen går mod boldens terminal hastighed, der kan aflæses til cirka
12 .5ms
Man kan også få et computerprogram til at komme med en numerisk løsning.
Dette er smart, fordi computeren er meget hurtigere end mennesket. Den kan
meget hurtigt lave en numerisk løsning, med meget små skridt. I bilaget kan
man finde et skærmbillede af computerprogrammet FPro, der kan løse
numerisk.
Kapitel 4
Konklusion:
Jeg har igennem teori fra fysik opstillet nogle simple ligninger til at beskrive et
fald gennem luft. Derefter har jeg kunne bruge matematikken som et værktøj,
til at løse disse ligninger. Med deres løsning har jeg kunne lave eksperimenter,
samle data og få disse tastet ind og fået fittet en funktion til dem.
Jeg er altså kommer frem til en konklusion ved at lade de to fag supplere
hinanden og fået et billede af virkeligheden herfra.
Mit faldforsøg lod mig bestemme terminale hastigheden for henholdsvis en
bold og en kugle. Ydermere fik jeg også nogle formfaktorer, der dog afviger
noget fra tabelværdierne, karakteristisk ved dem begge to er dog, at de var
28
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
noget for høje. Dette kan dog forklares ved at se på de omstændigheder hvori
målingerne tog sted. Det blæste meget, hvilket fik objekterne til at falde
skævt, og på den måde vil de møde mere modstand fra vinden. Ydermere
kunne man fra eksperimentets lokalitet erfare, at der var hvirvler som bar
blade fra jorden op. Dette var højst sandsynligt på grund af trappens lokalitet i
forhold til bygningens. Dette giver en langsommere faldhastighed, og derved
en højere formfaktor.
I mit vindtunnelforsøg har jeg prøvet at finde formfaktorer for henholdsvise en
bold og en mønt. Boldens formfaktor kom meget tæt på den, der er angivet i
tabeller. Hvorimod møntens formfaktor var lidt længere fra tabelværdierne. Det
er vigtigt at notere sig, at møntens form er ret unik med sit tryk på siden og sin
tykkelse. Sammenholdt med fejlkilderne ved forsøget virker det ikke urealistisk
at få en værdi, som ikke er forenelig med tabelværdierne.
Jeg har ikke haft brug for at beregne Re-værdien på noget tidspunkt til at
bedømme hvilken model jeg ville analysere mine data med. I alle tilfælde har
der været turbulente strømninger foran genstanden og derfor har jeg måtte
bruge gnidningslovet ved kvadratet på hastigheden.
Hvis jeg som afslutning skulle prøve at give mønten en formfaktor, ville det
pga. dens tumling i luften, være en gennemsnitlig værdi af dens ekstremaeres
formfaktorer. Altså; cwmønteks
=cwmønt flad
+cwmøntlodret
2=
1 .59+1 .482
=1 .54
I fald af mønten fik jeg en formfaktor, svarende til 1.68, og hvis møntens
formfaktor også er får høj pga. omstændighederne, så passer det meget godt
sammen alligevel.
Opgaven er bygget om omkring et mythbusters afsnit, hvor de prøvede at finde
en pennys terminale hastighed og se om den kunne slå et menneske ihjel.
Deres konklusion var, at det kunne den ikke.
Det må jeg også sande er min konklusion, med en så lav faldhastighed. En
29
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
smule hurtigere end en bordtennisbold, men ikke nok til at kunne slå et
menneske ihjel.
Forsøgene har vist, med baggrund i det møntformede flamingostykke, at en
bolds og mønts fald er meget forskellige. En bold har vist sig at falde meget
statisk, hvorimod en mønt har vist sig at falde dynamisk. Mønten tumler rundt,
og dette gør at en konstant formfaktor ikke kan bestemmes uden at være en
funktion af tiden. Man kan, som jeg har gjort, prøve at bestemme en
gennemsnitlig formfaktor, men på grund af dens dynamiske og kaotisk fald, er
den langt mere kompleks end en bold.
Bilag
30
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Figur 5: Her ses det hvordan formfaktoren varierer i forhold til Reynolds tal. Kilde: Vand under overfladen
31
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Figur 6: Her ses programmet FPro, der har lavet en numerisk løsning. Eksemplet er lavet med en bold med mine dimensioner, men en formfaktor på 0.47
Litteraturliste
32
Jacob Jon Hansen 3.w SRP Stenhus gymnasium 11/12
Banacka, Jan og Igor Stubna: Accuracy in Computing Acceleration of Free Fall in the Air. I: The physics teacher nr. 43, 01.10.2005, s. 432-432 (Artikel)
Amtrup m.fl, T.: Vand - under overfladen. 1. udg. Gyldendal, 1996. (Bog)
Navir-Strokes existence and smoothness. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse:http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_existence_and_smoothness - Besøgt d. 18.12.2011 (Internet)
Reynolds Number. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number - Besøgt d. 18.12.2011 (Internet)
Fluider. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Fluid - Besøgt d. 18.12.2011 (Internet)
Viskositet. Udgivet af Gyldendal. Internetadresse:http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Fluid_dynamik/viskositet - Besøgt d. 19.12.2011 (Internet)
Luftmodstand. Udgivet af Gyldendal. Internetadresse:http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./Biler/Teknik/luftmodstand - Besøgt d. 17.12.2011 (Internet)
Borch, Tommy og Carl Hemmingsen: Integralregning og differentialligninger - Højt niveau. 1. udg. Frederikssund Arbejdsgruppen , 1990. (Bog)
Objects falling with air resistance. 2010. Instruktion: Lasse Viren. Internetadresse: http://www.youtube.com/watch?v=I6Or5EvCPYk - Besøgt d. 16.12.2011 (Film)
Mythbusters - Falling Penny. Instruktion: Discovery Channel. (Film)
33