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مدرسة الوطنية للأشغال العمومية القبة الجزائرلا
High National School of Public Works Kouba Algiers 2019/2020
السنة الثانية تحضيري علوم وتقنيا ت
Preparatory Class in Sciences and Techniques (2nd Year)
Série n°6: Théorème de Guldin
Exercice1 : Déterminer les centres d’inerties des corps linéiques suivant par le théorème de
Guldin
A
B B
A C
Y
X
B
A
X
Y
X
Y
r
R X
Y
R
r
X
Y
A
B
Y
X
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
Exercice2 : Déterminer les centres d’inerties des corps Surfaciques suivant par le théorème
de Guldin
X
Y
B
A
A
B
3B
Y
X
X
Y
5A
A
B
X
Y
X
Y
2B A
B
X
Y
A
B
مدرسة الوطنية للأشغال العمومية القبة الجزائرل
High National School of Public Works Kouba Algiers 2019/2020
السنة الثانية تحضيري علوم وتقنيا ت
Preparatory Class in Sciences and Techniques (2nd Year)
Solution de la série N°6
Exercice N°1 :
Figure 1-1
La rotation de corps 1-1 autour de OY engendre un cône surfacique de rayon B et de
hauteur A
Avec Scone= π × B × √
D’après le 1 er
théorème de Guldin
Sr=lr2 π XG avec lr=A+B+√
XG=
=
√
( √ ) =
√
( √ )
D’où XG= √
( √ )
La rotation de corps 1-1 autour de OX engendre un cône surfacique de rayon A et de
hauteur B
Avec Scone= π × A × √
VUE EN COUPE DU CONE
SURFACIQUE
VUE EN COUPE DU CONE
SURFACIQUE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
D’après le 1 er
théorème de Guldin
Sr=lr2 π YG avec lr=A+B+√
YG=
=
√
( √ ) =
√
( √ )
D’où YG= √
( √ )
D’où G1-1= ( √
( √ )
√
( √ )
Figure 1-2
La rotation de corps 1-2 autour de OY engendre une surface S
où S=S 1-S2
Avec S1 est un conne tronqué et S1=𝜋⨉((B+C)+C) ⨉a et a=√
D’où S1=𝜋⨉(B+2C)⨉a= 𝜋⨉(B+2C)⨉√
Et S2 est un cylindre avec S2=2 ⨉𝜋⨉C⨉A
S=S 1-S2= 𝜋 ⨉ (B+2C) ⨉√ -2 ⨉𝜋⨉C⨉A
D’après le 1 er
théorème de Guldin
VUE EN COUPE DU SURFACE
ENGENDRE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
Sr=lr2 π XG avec lr=A+B+√
XG=
= ⨉
( )⨉√
⨉ ⨉ ⨉
( √
)
= ( ) (
√
)
( √
)
D’où XG =
( (√ )
( √ )
La rotation de corps 1-2 autour de OX engendre un cône surfacique
Scone= π × A × √
D’après le 1 er
théorème de Guldin
Sr=lr2 π YG avec lr=A+B+√
YG=
=
√
( √ ) =
√
( √ )
D’où YG= √
( √ )
D’où G1-2 = (( (√ )
( √ )
√
( √ )
Figure 1-3
La rotation de corps 1-3 autour de OY engendre une surface S
Où S=S 1-S2 avec S1=Scylindresurfacique (Rayon B et Hauteur A ) et S2=Scone (Rayon B et
Hauteur A )
S =2 π × A × - π × B × √
VUE EN COUPE DU CONE
SURFACIQUE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
D’après le 1 er
théorème de Guldin
S=lr2 π XG avec lr=A+B+√
XG=
= √
( √ ) = √
( √ )
D’où XG= √
( √ )
La rotation de corps 1-3 autour de OX engendre un cône surfacique de rayon B et de
hauteur A
Scone= π × A × √
D’après le 1 er
théorème de Guldin
Sr=lr2 π YG avec lr=A+B+√
YG=
=
√
( √ ) =
√
( √ )
D’où YG= √
( √ )
D’où G1-3 = ( √
( √ )
√
( √ )
VUE EN COUPE DU CONE
SURFACIQUE
VUE EN COUPE DU CONE
SURFACIQUE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
Figure 1-4
Par raison de symétrie le YG =0
La rotation de corps 1-4 autour de OY engendre un demi tore surfacique
Avec Sdemitoresurfacique=
D’après le 1 er
théorème de Guldin
Sr=lr2 π XG avec lr=𝜋r+2r
XG=
=
( =
=
D’où XG=
D’où G1-4 = (
Figure 1-5
Par raison de symétrie le YG =0
La rotation de corps 1-5 autour de OY engendre un tore surfacique
Avec Store=
VUE EN COUPE DE DEMI-TORE
SURFACIQUE
VUE EN COUPE DE TORE
SURFACIQUE
r
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
D’après le 1 er
théorème de Guldin
Sr=lr2 π XG avec lr=2𝜋r
XG=
=
( =
D’où XG=
D’où G1-5= (
Figure 1-6
La rotation de corps 1-6 autour de OY engendre un cylindre surfacique
Avec Store=
D’après le 1 er
théorème de Guldin
Sr=lr2 π XG avec lr=2(
XG=
=
( =
(
D’où XG=
(
Par raison de symétrie le YG =0
D’où G1-6= (
(
Exercice N°2 :
Figure 2-1
La rotation de corps2-1 autour de OY engendre un cône volumique de rayon B et de
hauteur A
VUE EN COUPE DUN CYLINDRE
SURFACIQUE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
Avec Vcone=
D’après le 2 ème
théorème de Guldin
Vr=Sr2 π XG avec Sr= ⨉
XG=
=
( ⨉
) =
D’où XG=
La rotation de corps2-1 autour de OX engendre un cône volumique de rayon A et de
hauteur B
Avec Vconne=
D’après le 2 eme
théorème de Guldin
Vr=Sr2 π YG avec Sr= ⨉
YG=
=
( ⨉
) =
VUE EN COUPE DU CONE
VOLUMIQUE
VUE EN COUPE DU CONE
VOLUMIQUE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
D’où YG=
D’où G2-1= (
Figure 2-2
La rotation de corps2-2 autour de OY engendre un volume V
Ou V=Vconetronque-Vcylindre = (
(
(
( )-𝜋( =3A𝜋 (
)
=3A (
)- =
D’après le 2 eme
théorème de Guldin
Vr=Sr2 π XG avec Sr= ⨉
XG=
=
( ⨉
) =
XG=
La rotation de corps2-2 autour de OX engendre un cône volumique de rayon A et de hauteur
B ,Avec Vcone=
VUE EN COUPE DU VOLUME
ENGENDRE
VUE EN COUPE DU CONE
VOLUMIQUE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
Vr=Sr2 π YG avec Sr= ⨉
YG=
=
( ⨉
) =
D’où YG=
D’où G2-2 = (
Figure 2-3
La rotation de corps2-3 autour de OY engendre un volume V
Avec V=Vcylindre-Vcone=𝜋
=
D’après le 2 me
théorème de Guldin
Vr=Sr2 π XG avec Sr= ⨉
XG=
=
( ⨉
) =
D’où XG =
La rotation de corps 2-3 autour de OX engendre un cône volumique de rayon A et de
hauteur B
Avec Vcone=
VUE EN COUPE DU VOLUME
ENGENDRE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
Vr=Sr2 π YG avec Sr= ⨉
YG=
=
( ⨉
) =
D’où YG=
D’où G2-3 = (
Figure 2-4
La rotation de corps2-4 autour de OY engendre un cylindre volumique de rayon B et de
hauteur A
Avec V=𝜋
D’après le 2 eme
théorème de Guldin
Vr=Sr2 π XG avec Sr= ⨉
XG=
=
( ⨉ =
VUE EN COUPE DU CONE
VOLUMIQUE
VUE EN COUPE D’UN CYLINDRE
VOLUMIQUE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
D’où XG=
La rotation de corps2-4 autour de OX engendre un cylindre volumique de rayon A et de
hauteur B Avec V=𝜋
D’après le 2 eme
théorème de Guldin
Vr=Sr2 π YG avec Sr= ⨉
YG=
=
( ⨉ =
D’où YG =
D’où G2-4= (
Figure 2-5
La rotation de corps2-5 autour de OY engendre un volume V
Avec V=Vcylindre1- Vcylindre2=𝜋( 𝜋(
D’après le 2 eme
théorème de Guldin
Vr=Sr2 π XG avec Sr= ⨉
VUE EN COUPE D’UN CYLINDRE
VOLUMIQUE
VUE EN COUPE DE VOLUME
ENGENDRE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
XG=
=
( ⨉ =
D’où XG=
La rotation de corps2-5 autour de OX engendre un cylindre volumique de rayon A et de
hauteur B
Avec Vcylindre=𝜋
D’après le 2 eme
théorème de Gulden
Vr=Sr2 π YG avec Sr= ⨉
YG=
=
( ⨉ =
D’où YG=
D’où G2-5= (
Figure 2-6
La rotation de corps2-6 autour de OY engendre un volume V
Avec V=Vtore1-Vtore2 =2 ( 2 ( =80
VUE EN COUPE D’UN CYLINDRE
VOLUMIQUE
VUE EN COUPE DU VOLUME
ENGENDRE
E.ZOUAOUI , E-mail adress: [email protected]
D’après le 2 eme
théorème de Gulden
Vr=Sr2 π XG avec Sr= ( (
XG=
=
( =
D’où XG=
Par raison de symétrie on a YG=0
D’où G2-6 = (
