Spojení a průnik podprostorů

Podprostor vektorového prostoru V

• v1, v2, …, vm jsou vektory vektorového prostoru V 

• v1, v2, …, vm jsou generátory vektorového prostoru W

• W je podprostor V

Průnik dvou vektorových podprostorů U, W

nazýváme množinu těch vektorů, které patří současně do U i do W

U W = {p V: p U p W }

Spojení dvou vektorových podprostorů U, W

nazýváme množinu těch vektorů s, které se dají zapsat ve tvaru s = u + w,

kde u U w W

U + W = {s V: s = u + w, u U w W }

U, W jsou podprostory vektorového prostoru V

Potom průnik U W a spojení U + W jsou také podprostory ve V

dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U W)  

Příklad

Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány podprostory W1 (generovaný vektory u1, u2) a W2 (generovaný vektory v1, v2), kde u1 = (1, 1, 1, 0), u2 = (2, 3, 2, 1), v1 = (2, 3, 2, 3), v2 = (1, 1, 1, 2).

Nalezněte dimenzi a bázi podprostoru W1, resp. W2, resp. W1 + W2, resp. W1 W2.

• dim W1 = 2 bází W1 jsou vektory u1, u2

• dim W2 = 2 bází W2 jsou vektory v1, v2

dimenze a báze W1 + W2

(1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0)

(2, 3, 2, 1) (0, 1, 0, 1) (0, 1, 0, 1)

(2, 3, 2, 2) (0, 1, 0, 3) (0, 0, 0, 2)

(1, 1, 1, 2) (0, 0, 0, 2) (0, 0, 0, 2)

dim (W1 + W2) = 3

bází W1 + W2 jsou např. vektory u1, u2, v1

dimenze W1 W2

dim (W1 W2) = dim W1 + dim W2 – dim (W1 + W2)

dim (W1 W2) = 2 + 2 – 3 = 1

báze W1 W2

x W1 W2 libovolný, potom je:

x = a1u1 + a2u2 = a3v1 + a4v2

a1(1, 1, 1, 0) + a2(2, 3, 2, 1) =

= a3(2, 3, 2, 2) + a4(1, 1, 1, 2)

a1(1, 1, 1, 0) + a2(2, 3, 2, 1) = = a3(2, 3, 2, 2) + a4(1, 1, 1, 2)

a1 + 2a2 = 2a3 + a4

a1 + 3a2 = 3a3 + a4 a1 + 2a2 = 2a3 + a4 a2 = 2a3 + 2a4

volíme a4 = t x = (–t, –2t, –2t, –t)

báze je např. (1, 2, 2, 1)

Vektorový prostor se skalárním součinem

Skalární součin vektorů u, v

u = (u1, u2, ..., un) , v = (v1, v2, ..., vn)

k = u1 v1 + u2 v2 + …. + un vn

k  R

Vlastnosti skalárního součinu

• u = (1, 2, –1, 0)

uu = 12 + 22 + (–1)2 + 02

uu 0 a uu = 0 u = o

• u = (1, 2, –1, 0), v = (2, –1, 0, 7)

uv = 1.2 + 2.(–1) + (–1).0 + 0.7 = 0

Je-li uv = 0, nemusí být u = o nebo v = o

(uv)w u(vw)• u = (1, 2, 3)

v = (1, 1, 1) w = (0, 1, 2)

• uv = 1 + 2 + 3 = 6

• vw = 0 + 1 + 2 = 3

• (uv)w = 6.(0, 1, 2) = (0, 6, 12)

• u(vw) = (1, 2, 3).3 = (3, 6, 9)

Velikost vektoru v

v = 1 jednotkový (normovaný) vektor

222

21 nvvv Lv.vv

Spočítejte velikost vektoru

• u = (1, 2, 1)

u = 6

• v = (–1, –1, –1)

v = 3

• udejte příklad vektoru dimenze 3, jehož velikost je 1

jednotkový vektor v0

u = (1, 1, 1) u = 3

vv

v1

0

3

1

3

1

3

1

30 ,,u

1) 1, (1,

u, v vektory aR

a.v = a.v

v.uv.u

Schwarzova nerovnost

1vu

uv

v.uv.u

11 vu

v.u

úhel vektorů u, v

v intervalu existuje jediné číslo

vu

v.ucos

,0

u a v  jsou kolmé (ortogonální)

u v uv = 0

• Nulový vektor je kolmý ke všem vektorům z vektorového prostoru se skalárním součinem (v.o = 0).

• Nenulový vektor nemůže být kolmý sám k sobě (uu > 0).

• Nulový vektor je jediný, který je kolmý sám k sobě.

Jsou zadané vektory ortogonální?

• (1, 2, 3) a (1, 1, –1)

Ano

• (2, 3, –2) a (1, –1, 3)

Ne

ortogonální systém vektorů

• v1, v2, …, vn jsou vektory z vektorového

prostoru se skalárním součinem

• vi vj pro i  j, kde i, j = 1, 2, …, n

• tedy vi.vj = 0 pro všechna i  j

Tvoří vektory u1, u2, u3

ortogonální systém vektorů? u1 = (2, 1, –1)

u2 = (1, –2, 0)

u3 = (2, 1, 5)

(2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0

(2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0

(1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0

Nenulové vektory každého ortogonálního systému jsou lineárně nezávislé.

Ortogonální báze

Ortogonální systém, který obsahuje n nenulových vektorů, tvoří bázi vektorového

prostoru, jehož dimenze je n.

Příklady ortogonálních bází

Dva vektory v rovině, které jsou na sebe kolmé (v geometrickém slova smyslu)

Tři vektory v prostoru, které jsou navzájem kolmé

Kanonická báze vektorového prostoru

Gram – Schmidtův ortogonalizační proces

Z každé báze ve vektorovém prostoru se skalárním součinem V lze vytvořit

ortogonální bázi.

Ortogonalizujte bázi v1 = (2, 1, –1),

v2 = (5, 0, –2), v3 = (2, –4, 6)

Jedná se skutečně o bázi?

(2, 1, –1) (2, 1, –1) (2, 1, –1)(5, 0, –2) (0, –5, 1) (0, –5, 1)(2, –4, 6) (0, –5, 5) (0, 0, 4)

Vektory v1, v2, v3 jsou lineárně nezávislé a

tedy tvoří bázi třírozměrného vektorového prostoru.

Hledanou ortogonální bázi označíme u1, u2, u3

• Položíme u1 = v1

tedy u1 = (2, 1, –1)

• u2 = a1u1 + v2

u2 u1 = a1u1 u1+ v2 u1

0 = 6a1 + 12

a1 = –2 u2 = (1, –2, 0)

u3 = b1u1 + b2u2 + v3

• u3 u1 = b1u1 u1 + b2u2 u1 + v3 u1

0 = 6b1 + 0 – 6

b1 = 1

•  u3 u2 = b1u1 u2 + b2u2 u2 + v3 u2

0 = 0 + 5b2 + 10

b2 = –2

• u3 = (2, 1, 5)

Tvoří vektory u1, u2, u3

ortogonální bázi? • (2, 1, –1) (2, 1, –1)

(1, –2, 0) (0, 5, –1) (2, 1, 5) (0, 0, 6)

• (2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0

(2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0

(1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0

Ortonormální systém vektorů

• je ortogonální

• každý její vektor je normovaný

Ortonormální báze

Ortonormální systém, který obsahuje n vektorů, tvoří bázi vektorového prostoru, jehož dimenze je n.

ortogonální množina ortonormální báze

• každý vektor ui vydělíme jeho velikostí

• nulový vektor vynecháme

• ortogonální množina může obsahovat nulový vektor

• ortonormální množina nemůže obsahovat nulový vektor

• ortogonální množina je lineárně nezávislá pouze tehdy, když neobsahuje nulový vektor

• ortonormální množina je vždy lineárně nezávislá

Ortonormální báze

• Kanonická báze

• Báze (2, 2, –1), (2, –1, 2), (–1, 2, 2) není ortonormální (je ortogonální)

• Ortonormální báze vznikne, jestliže každý vektor báze vydělíme jeho velikostí: ⅓(2, 2, –1), ⅓(2, –1, 2), ⅓(–1, 2, 2)