Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

ConvergenciaSplines cubicos

Julio Setien

2005

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Datos de la interpolacion

I Particion del intervalo

∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}

I Condiciones de interpolacion

xi x0 . . . xn

yi y0 . . . yn

I Notacion hi = xi+1 − xi i = 0, . . . , n − 1

Splines cubicos

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Curvatura

Convergencia

Datos de la interpolacion

I Particion del intervalo

∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}

I Condiciones de interpolacion

xi x0 . . . xn

yi y0 . . . yn

I Notacion hi = xi+1 − xi i = 0, . . . , n − 1

Splines cubicos

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Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Definicion general

S(x) es un splin de orden m en [a, b] referido a la particion ∆ si{S(x) ∈ Cm−1([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ Pm i = 0, . . . , n − 1

Observaciones inmediatas:

1. S ′(x) es un splin de orden m − 1 en [a, b] referido a laparticion ∆

2. Numero de parametros (m + 1)n

3. Numero de condiciones de continuidad m(n − 1)

4. Dimension esperable n + m

5. Condiciones de interpolacion n + 1

6. Hay que anadir m − 1 adicionales

Splines cubicos

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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Definicion general

S(x) es un splin de orden m en [a, b] referido a la particion ∆ si{S(x) ∈ Cm−1([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ Pm i = 0, . . . , n − 1

Observaciones inmediatas:

1. S ′(x) es un splin de orden m − 1 en [a, b] referido a laparticion ∆

2. Numero de parametros (m + 1)n

3. Numero de condiciones de continuidad m(n − 1)

4. Dimension esperable n + m

5. Condiciones de interpolacion n + 1

6. Hay que anadir m − 1 adicionales

Splines cubicos

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General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Definicion

Caso mas habitual, m = 3 o splines cubicos

A veces llamados interpolacion por curvas suavesMinimizan un funcional relacionado con la curvaturaDefinicion: S(x) es un splin cubico referido a la particion ∆ si{

S(x) ∈ C 2([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1

Splines cubicos

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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Definicion

Caso mas habitual, m = 3 o splines cubicosA veces llamados interpolacion por curvas suaves

Minimizan un funcional relacionado con la curvaturaDefinicion: S(x) es un splin cubico referido a la particion ∆ si{

S(x) ∈ C 2([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1

Splines cubicos

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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Definicion

Caso mas habitual, m = 3 o splines cubicosA veces llamados interpolacion por curvas suavesMinimizan un funcional relacionado con la curvatura

Definicion: S(x) es un splin cubico referido a la particion ∆ si{S(x) ∈ C 2([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1

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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Definicion

Caso mas habitual, m = 3 o splines cubicosA veces llamados interpolacion por curvas suavesMinimizan un funcional relacionado con la curvaturaDefinicion: S(x) es un splin cubico referido a la particion ∆ si{

S(x) ∈ C 2([a, b])S(x)|[xi ,xi+1] ∈ P3 i = 0, . . . , n − 1

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Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,

tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 0

7.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)

7.3 Periodicos8<:S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Observaciones

1. S ′(x) es un splin de orden 2 en [a, b] referido a la particion∆

2. S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion∆

3. Numero de parametros 4n

4. Numero de condiciones de continuidad 3(n − 1)

5. Dimension esperable n + 3

6. Condiciones de interpolacion n + 1

7. Hay que anadir 2 adicionales,tıpicas

7.1 Naturales S ′′(a) = S ′′(b) = 07.2 Dar los valores de S ′(a), S ′(b)7.3 Periodicos8<:

S(a) = S(b) Es una precondicionS ′(a) = S ′(b)S ′′(a) = S ′′(b)

7.4 Not a knot S(x) ∈ C 3([x0, x2]) y S(x) ∈ C 3([xn−2, xn])

Splines cubicos

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General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Consejos

No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones queinvolucre a todos los parametros

Hay demasiadosHay que afrontarlo de otra manera

Splines cubicos

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General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Consejos

No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones queinvolucre a todos los parametrosHay demasiados

Hay que afrontarlo de otra manera

Splines cubicos

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General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Consejos

No se puede intentar encontrar un sistema de ecuaciones queinvolucre a todos los parametrosHay demasiadosHay que afrontarlo de otra manera

Splines cubicos

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General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Un punto de partida facil

S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆

Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos

S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1

hi+ Mi+1

x − xi

hii = 0, . . . , n − 1

donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n seran nuestras incognitasIntegramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+Ai i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

Splines cubicos

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Curvatura

Convergencia

Un punto de partida facil

S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos

S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1

hi+ Mi+1

x − xi

hii = 0, . . . , n − 1

donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n

seran nuestras incognitasIntegramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+Ai i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

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Curvatura

Convergencia

Un punto de partida facil

S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos

S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1

hi+ Mi+1

x − xi

hii = 0, . . . , n − 1

donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n seran nuestras incognitas

Integramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+Ai i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

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Curvatura

Convergencia

Un punto de partida facil

S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos

S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1

hi+ Mi+1

x − xi

hii = 0, . . . , n − 1

donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n seran nuestras incognitasIntegramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+Ai i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

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Curvatura

Convergencia

Un punto de partida facil

S ′′(x) es un splin de orden 1 en [a, b] referido a la particion ∆Conocemos su expresion en funcion de sus valores en los nodos

S ′′(x)|[xi ,xi+1] = −Mix − xi+1

hi+ Mi+1

x − xi

hii = 0, . . . , n − 1

donde Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n seran nuestras incognitasIntegramos dos veces en cada subintervalo, anadiendo lasconstantes de integracion a nuestro gusto

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+Ai i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

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Curvatura

Convergencia

Condiciones de interpolacion

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

3

6hi−1+ Mi

(x − xi−1)3

6hi−1+

+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n

Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1

Ai−1 =yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

Ai =yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

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Curvatura

Convergencia

Condiciones de interpolacion

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

3

6hi−1+ Mi

(x − xi−1)3

6hi−1+

+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n

Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1

Ai−1 =yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

Ai =yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

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Curvatura

Convergencia

Condiciones de interpolacion

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

3

6hi−1+ Mi

(x − xi−1)3

6hi−1+

+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n

Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1

Ai−1 =yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

Ai =yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

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Condiciones de interpolacion

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

3

6hi−1+ Mi

(x − xi−1)3

6hi−1+

+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n

Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1

Ai−1 =yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

Ai =yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

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Condiciones de interpolacion

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

3

6hi−1+ Mi

(x − xi−1)3

6hi−1+

+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n

Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1

Ai−1 =yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

Ai =yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

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Convergencia

Condiciones de interpolacion

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

S(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

3

6hi+ Mi+1

(x − xi )3

6hi+

+Ai (x − xi ) + Bi i = 0, . . . , n − 1

S(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

3

6hi−1+ Mi

(x − xi−1)3

6hi−1+

+Ai−1(x − xi−1) + Bi−1 i = 1, . . . , n

Bi = yi −Mih2i /6 i = 0, . . . , n − 1

Ai−1 =yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

Ai =yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Continuidad en los nodos interiores

Como antes hicimos

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodosinteriores

S(x+i ) = S(x−i ) i = 1, . . . , n − 1

Por construccion, son polinomios de grado menor o igual a 3 encada subintervalo y la derivada segunda es continua.Solo falta

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Continuidad en los nodos interiores

Como antes hicimos

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodosinteriores

S(x+i ) = S(x−i ) i = 1, . . . , n − 1

Por construccion, son polinomios de grado menor o igual a 3 encada subintervalo y la derivada segunda es continua.Solo falta

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Continuidad en los nodos interiores

Como antes hicimos

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodosinteriores

S(x+i ) = S(x−i ) i = 1, . . . , n − 1

Por construccion, son polinomios de grado menor o igual a 3 encada subintervalo y la derivada segunda es continua.

Solo falta

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Continuidad en los nodos interiores

Como antes hicimos

S(x+i ) = yi i = 0, . . . , n − 1 S(x−i ) = yi i = 1, . . . , n

Como subproducto, hemos impuesto continuidad en los nodosinteriores

S(x+i ) = S(x−i ) i = 1, . . . , n − 1

Por construccion, son polinomios de grado menor o igual a 3 encada subintervalo y la derivada segunda es continua.Solo falta

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Continuidad de la derivada en los nodosinteriores

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

S ′(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

2

2hi−1+ Mi

(x − xi−1)2

2hi−1+

+yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

S ′(x+i ) = S ′(x−i ) i = 1, . . . , n − 1

−Mihi

2+

yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi =

= Mihi−1

2+

yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Continuidad de la derivada en los nodosinteriores

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

S ′(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

2

2hi−1+ Mi

(x − xi−1)2

2hi−1+

+yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

S ′(x+i ) = S ′(x−i ) i = 1, . . . , n − 1

−Mihi

2+

yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi =

= Mihi−1

2+

yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Continuidad de la derivada en los nodosinteriores

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

S ′(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

2

2hi−1+ Mi

(x − xi−1)2

2hi−1+

+yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

S ′(x+i ) = S ′(x−i ) i = 1, . . . , n − 1

−Mihi

2+

yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi =

= Mihi−1

2+

yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Continuidad de la derivada en los nodosinteriores

S ′(x)|[xi ,xi+1] = −Mi(x − xi+1)

2

2hi+ Mi+1

(x − xi )2

2hi+

+yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi i = 0, . . . , n − 1

S ′(x)|[xi−1,xi ] = −Mi−1(x − xi )

2

2hi−1+ Mi

(x − xi−1)2

2hi−1+

+yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1 i = 1, . . . , n

S ′(x+i ) = S ′(x−i ) i = 1, . . . , n − 1

−Mihi

2+

yi+1 − yi

hi− Mi+1 −Mi

6hi =

= Mihi−1

2+

yi − yi−1

hi−1− Mi −Mi−1

6hi−1

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion

hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi

hi− yi − yi−1

hi−1)

i = 1, . . . , n − 1 (1)

Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion

hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi

hi− yi − yi−1

hi−1)

i = 1, . . . , n − 1 (1)

Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitas

Tiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion

hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi

hi− yi − yi−1

hi−1)

i = 1, . . . , n − 1 (1)

Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacion

Hay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion

hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi

hi− yi − yi−1

hi−1)

i = 1, . . . , n − 1 (1)

Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuaciones

Hay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion

hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi

hi− yi − yi−1

hi−1)

i = 1, . . . , n − 1 (1)

Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitas

Necesitamos anadir dos condiciones

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Sistema que garantiza que es un splin cubico deinterpolacion

hi−1Mi−1 + 2(hi−1 + hi )Mi + hiMi+1 = 6(yi+1 − yi

hi− yi − yi−1

hi−1)

i = 1, . . . , n − 1 (1)

Recordar que Mi = S ′′(xi ) i = 0, . . . , n son las incognitasTiene tres incognitas por ecuacionHay n − 1 ecuacionesHay n + 1 incognitasNecesitamos anadir dos condiciones

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Splines cubicos naturales

S ′′(a) = S ′′(b) = 0

Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema

2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

TridiagonalDiagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Splines cubicos naturales

S ′′(a) = S ′′(b) = 0

Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema

2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

Tridiagonal

Diagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Splines cubicos naturales

S ′′(a) = S ′′(b) = 0

Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema

2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

TridiagonalDiagonal dominante

(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Splines cubicos naturales

S ′′(a) = S ′′(b) = 0

Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema

2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

TridiagonalDiagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)

(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Splines cubicos naturales

S ′′(a) = S ′′(b) = 0

Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema

2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

TridiagonalDiagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)

Con otras condiciones da un resultado similar

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Splines cubicos naturales

S ′′(a) = S ′′(b) = 0

Luego M0 = Mn = 0Matriz del sistema

2(h0 + h1) h1 0 . . . . . .h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .0 h2 2(h2 + h3) h3 . . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

TridiagonalDiagonal dominante(existencia y unicidad de soluciones)(inmediata de resolver, lineal en n)Con otras condiciones da un resultado similar

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Escritura final

Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe

αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )

3

αi = S(x+i ) = yi

βi = S ′(x+i ) =

yi+1 − yi

hi−Mihi/3−Mi+1hi/6

γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2

δi = S ′′′(x+i )/6 =

Mi+1 −Mi

6hi

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Escritura final

Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe

αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )

3

αi = S(x+i ) = yi

βi = S ′(x+i ) =

yi+1 − yi

hi−Mihi/3−Mi+1hi/6

γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2

δi = S ′′′(x+i )/6 =

Mi+1 −Mi

6hi

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Escritura final

Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe

αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )

3

αi = S(x+i ) = yi

βi = S ′(x+i ) =

yi+1 − yi

hi−Mihi/3−Mi+1hi/6

γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2

δi = S ′′′(x+i )/6 =

Mi+1 −Mi

6hi

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Escritura final

Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe

αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )

3

αi = S(x+i ) = yi

βi = S ′(x+i ) =

yi+1 − yi

hi−Mihi/3−Mi+1hi/6

γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2

δi = S ′′′(x+i )/6 =

Mi+1 −Mi

6hi

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Escritura final

Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe

αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )

3

αi = S(x+i ) = yi

βi = S ′(x+i ) =

yi+1 − yi

hi−Mihi/3−Mi+1hi/6

γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2

δi = S ′′′(x+i )/6 =

Mi+1 −Mi

6hi

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Escritura final

Un splin cubico en cada intervalo [xi , xi+1] se escribe

αi + βi (x − xi ) + γi (x − xi )2 + δi (x − xi )

3

αi = S(x+i ) = yi

βi = S ′(x+i ) =

yi+1 − yi

hi−Mihi/3−Mi+1hi/6

γi = S ′′(x+i )/2 = Mi/2

δi = S ′′′(x+i )/6 =

Mi+1 −Mi

6hi

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Con otras condiciones

S ′(a) = S ′(x+0 ) =

y1 − y0

h0−M0h0/3−M1h0/6

S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1

hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6

Interpolacion de derivadas Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Con otras condiciones

S ′(a) = S ′(x+0 ) =

y1 − y0

h0−M0h0/3−M1h0/6

S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1

hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6

Interpolacion de derivadas Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Con otras condiciones

S ′(a) = S ′(x+0 ) =

y1 − y0

h0−M0h0/3−M1h0/6

S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1

hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6

Interpolacion de derivadas

Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Con otras condiciones

S ′(a) = S ′(x+0 ) =

y1 − y0

h0−M0h0/3−M1h0/6

S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1

hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6

Interpolacion de derivadas Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos

M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)

Splines cubicos

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General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Con otras condiciones

S ′(a) = S ′(x+0 ) =

y1 − y0

h0−M0h0/3−M1h0/6

S ′(b) = S ′(x−n ) =yn − yn−1

hn−1+ Mnhn−1/3 + Mn−1hn−1/6

Interpolacion de derivadas Anadir estas ecuaciones al principio yfinal del sistema (1)Periodicos M0 = Mn e igualdad de las expresiones de arriba. Seanaden a (1)

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Propiedad de minimizacion

Curvatura de una funcion en un punto

κ(x) =|f ′′(x)|

(1 + f ′(x)2)3/2

Si fijamos una serie de valores en los nodos de una particion, osea, damos los puntos (x0, y0), . . . , (xn, yn) entonces, de entretodas las funciones f ∈ C 2([a, b]) que pasan por esos puntosf (xi ) = yi i = 0, . . . , n el splin cubico natural es la mas suaveen el sentido ∫ b

a

S ′′(x)2dx ≤∫ b

a

f ′′(x)2dx

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Propiedad de minimizacion

Curvatura de una funcion en un punto

κ(x) =|f ′′(x)|

(1 + f ′(x)2)3/2

Si fijamos una serie de valores en los nodos de una particion, osea, damos los puntos (x0, y0), . . . , (xn, yn) entonces, de entretodas las funciones f ∈ C 2([a, b]) que pasan por esos puntosf (xi ) = yi i = 0, . . . , n el splin cubico natural es la mas suaveen el sentido ∫ b

a

S ′′(x)2dx ≤∫ b

a

f ′′(x)2dx

Splines cubicos

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General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Propiedad de minimizacion II

De entre todas las funciones periodicas de periodo b − a quetoman unos valores prefijados en unos nodos dados, la mas suaveen el sentido anterior es el splin cubico periodico que interpolaesos valores

Si lo que fijamos son los valores en los nodos y, ademas, laderivada en los dos extremos, el splin que interpola esos valores yesas derivadas es la mas suave en el sentido anterior de todas lasfunciones que pasan por esos puntos y su derivada toma esosvalores en los extremos

Splines cubicos

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General

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Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Propiedad de minimizacion II

De entre todas las funciones periodicas de periodo b − a quetoman unos valores prefijados en unos nodos dados, la mas suaveen el sentido anterior es el splin cubico periodico que interpolaesos valoresSi lo que fijamos son los valores en los nodos y, ademas, laderivada en los dos extremos, el splin que interpola esos valores yesas derivadas es la mas suave en el sentido anterior de todas lasfunciones que pasan por esos puntos y su derivada toma esosvalores en los extremos

Splines cubicos

Julio Setien

General

Splines cubicos

Construccion de lossplines cubicos deinterpolacion

Curvatura

Convergencia

Propiedad de convergencia

Con cualquier clase de splines que interpolemos una funcioncontinua, si vamos aumentando de manera razonable el numerode nodos hasta ocupar el intervalo el splin convergera a lafuncion

Un ejemplo

∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}

||∆|| = max{hi , i = 0, . . . , n − 1}

r(∆) = min{hi , i = 0, . . . , n − 1}

f ∈ C 4([a, b]) |f 4)(x)| ≤ L ∀x ∈ [a, b]

S∆(x) interpola a f en los nodos y, ademas, interpola a suderivada en los extremos del intervalo.Entonces, existen constantes Ck ≤ 2 que no dependen de ∆ talesque ∀x ∈ [a, b]

|f k)(x)− Sk)∆ (x)| ≤ CkL(||∆||/r(∆))||∆||4−k k = 0, 1, 2, 3

Splines cubicos

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Curvatura

Convergencia

Propiedad de convergencia

Con cualquier clase de splines que interpolemos una funcioncontinua, si vamos aumentando de manera razonable el numerode nodos hasta ocupar el intervalo el splin convergera a lafuncionUn ejemplo

∆ = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}

||∆|| = max{hi , i = 0, . . . , n − 1}

r(∆) = min{hi , i = 0, . . . , n − 1}

f ∈ C 4([a, b]) |f 4)(x)| ≤ L ∀x ∈ [a, b]

S∆(x) interpola a f en los nodos y, ademas, interpola a suderivada en los extremos del intervalo.Entonces, existen constantes Ck ≤ 2 que no dependen de ∆ talesque ∀x ∈ [a, b]

|f k)(x)− Sk)∆ (x)| ≤ CkL(||∆||/r(∆))||∆||4−k k = 0, 1, 2, 3