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SPHERE CDV & PARAMETRIZAÇÃO PLANAR
LUCAS FIGUEIREDOTHIAGO ROCHA
Sphere CDVFundamentals of Spherical Parameterization for 3D Meshes
MOTIVAÇÕES: - Remeshing
- Morphing
Sphere CDVOrigem…
Necessidade de uma base teórica - Parametrização planar
Parametrização PlanarProcesso
Border Stones (BS).
Parametrização PlanarProcesso
Coordenadas Baricêntricas:
1. Para cada aresta interior e = (i,j), associar um valor positivo que representa o seu peso wij.
onde N(i) é a lista de vértices na vizinhança do i-ésimo vértice.
2. Para as demais arestas wij = 0 (zero)
Parametrização PlanarProcesso
Coordenadas Baricêntricas:
3. Insira os vértices de fronteira no plano de forma que eles componham um polígono convexo e fechado.
4. Resolva os seguintes sistemas lineares:
(I −W)x = bx
(I −W)y = by
W nesse caso é a matriz (n x n, onde n é o número de vértices internos) dos pesos. x e y são as coordenadas dos n vértices interiores.
Parametrização PlanarProcesso
Coordenadas Baricêntricas:
“Theorem 1: Given a planar 3-connected graph with a boundary
fixed to a convex shape in R2, the positions of the interior
vertices form a planar triangulation (i.e. none of the triangles
overlap) if and only if each vertex position is some convex
combination of its neighbor's positions.”
Parametrização PlanarProcesso
Laplacian:
- Notação
Tutte Laplacian :
- O caso especial em que wij=1/grau(i) é proposto por Tutte.
- Implica em maior uniformidade na parametrização.
O caso esférico...Experiências
Parametrização esférica através da planar.
- Malha fonte
- Escolhendo um triângulo de referência
- Discos parametrizados
O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas
E se não fosse necessário ter um passo intermediário...
- Por hora foi sugerido parametrizar a malha em um plano.
- Transformar o plano em uma esfera...
Há uma mudança de topologia na transformação
- Favorece ao erro
- Distorção
O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas
Coordenadas Baricêntricas
- Matriz não simétrica
- Overlap (sobre-posição de triângulos)
O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas
Coordenadas Baricêntricas
- Transformando a Matriz de Laplace em uma matriz simétrica
O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas
Pontos internos à esfera
- Problemas...
- Não é possível se obter um ponto através das coordenadas dos seus vizinhos
- O ponto resultante não se encontraria na superfície da esfera.
Componente tangencial de L
- Ausência de fronteiras na esfera, lado direito levado à zero.
O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas
Teoria:
“Theorem 2: Given a planar 3-connected graph embedded in
R3, the positions of the vertices form a spherical triangulation
(i.e. none of the spherical triangles overlap) if and only if each
vertex position is some convex combination of the positions of
its neighbors, which is then projected on the sphere.”
O caso esférico...Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas
O número de Colin de Verdiere:
- Dada uma matriz M de um grafo G:
- De forma que M é um superconjunto das matrizes simétricas de Laplace-Tutte.