Specialeafhandling

STUDIENÆVN FOR DE MATEMATISKE FAG

KØBENHAVNS UNIVERSITET

UNIVERSITETSPARKEN 5

2100 KØBENHAVN Ø

Speciale for Cand.Scient. graden i matematik

M a te m a t i k ke n b a g p u s l e s p i l

m e d s æ r l i g a nve n d e l s e p å R u b i k s te r n i n g o g 15 - s p i l l e t

DET NATURVIDENSKABELIGE FAKULTET

KØBENHAVNS UNIVERSITET

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Prolog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Spil, Matematik og Rubiks terning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Permutationspuslespil og Matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Algoritmer af guddommelig status . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Spil som matematik-ambassadør . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 En stor familie af permutationspuslespil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Om funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Om Rubiks terning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Kort om Rubiks terninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Om 3x3-terningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2.1 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2.2 Operation, proces, tilstand og konfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Første matematiske paralleller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 En operation som permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Singmasters notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3 Processer, permutationer og deres orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Grupper og permutationspuslespil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.1 15-spillet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 En stor familie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.3 Permutationspuslespil og grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3.1 Definition af en gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.3.2 Fra spil til gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.3.3 Identificering af Rubiks gruppe og 15-gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Permutationspuslespillenes matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Mere om permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Cykelnotation og r-cykler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Cykelsætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.3 Om ordenen af permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Basale gruppe-begreber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.1 Grundlæggende gruppeteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2 Rubiks gruppe som endelig gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Undergrupper og Rubiks gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3.1 Undergrupper i R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.3.2 Rubiks gruppe som undergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Grundlæggende grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1 Den cykliske gruppe af orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

3.3.2 Den symmetriske gruppe af n elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.3 Den alterende gruppe af n elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Permutationspuslespil og paritet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.1 Om 3-cykler og paritet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2 Paritetskrav i Rubiks terning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.3 Gruppen af 15-spillet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Kommutatorer og konjugeringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.1 Kommutatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.2 Konjugeringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Baner og gruppevirkninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7 Om at sammenligne grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.8 Det direkte produkt af to grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.9 Sideklasser og kvotientgrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.9.1 Lagranges sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9.2 Normale undergrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.9.3 Kvotientgrupper og isomorfisætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.9.3.1 Kvotientgrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.9.3.2 En isomorfisætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Rubiks gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Et semi-direkte produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Hovedsætningen i Rubiks teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1 Den ulovlige G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.2 Hovedsætning i Rubiks teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.3 Den lovlige R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Konsekvenser og andre resultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.1 Kvotientgruppen G/R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.2 Elementer af maksimal orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.3 Undergrupper af bestemt orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Gruppeteoretiske løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1 Gruppeteoretiske løsninger til standardproblemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.1 Standardproblemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.2 Indlejrede undergrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.3 Brug af kvotientgrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.4 Brug af kommutatorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.5 En løsningsstrategi til Rubiks terning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Strategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Data-anvendt løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1 Guds algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.2 Thistlethwaites algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.3 Videre fremskridt på Guds tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.4 Guds algoritme for lommeterningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Bibliografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4

Prolog

Rynken forsvandt. Blikket blev mindre stift. ”Kan du løse den så?” − lyder det fra en lettetikke matematik-kyndig. Lettet, for overhovedet at kunne forstå, hvad mit speciale drejer sigom − når vedkommende nu har turdet at spørge. Spørgsmålet kommer befriende og som enselvfølge, for hvad skal man med den, hvis ikke man skal løse den?

’Den’ er min Rubiks terning, som jeg ikke har tøvet med at hive frem ved denne lejlighed.For, tør jeg sige det, lettelsen går også den anden vej, for på trods af det morsomme i at for-tælle, at jeg skriver om noget så genkendeligt som spil, er det nu meget rart at kunne forklarei store træk og med et dagligdags ordforråd, hvad mit hovedemne er.

Dette dokument er skrevet med henblik på opnåelse af kandidatgraden i Matematik. Figu-rerne i det følgende er lavet ved hjælp af programmerne drawrubik[5], rubik[16], CubeTwi-ster[18] og xrubik[6]. Skønt det er bedst at have Rubiks terning ved hånden, kan rubik[16]også bruges til at simulere eksemplerne i det følgende.

København, den 2. Maj 2007

5

Kapitel 1

Spil, Matematik og Rubiks terning

1.1 Permutationspuslespil og Matematik

Der findes mange slags spil, og de fleste kan beskrives og studeres ved hjælp af matematik. Depågældende områder af matematik, som så berøres, varierer alt afhængigt af spillet. Vi skalher være lidt egoistiske og beskæftige os med de spil, som er skabt til at spilles alene. Sådannehedder tit et-persons spil , og i sådanne spil er der ikke tale om, hvem vinderen er, men snarereom man har vundet. Mere præcist skal vi se på de spil, som populært kaldes mekaniske spileller matematiske spil . Vi kalder dem permutationspuslespil . De såkaldte Rubiks terninger −figur 1.1(a)− og 15-spillet −figur 1.1(b)− er blot en populær håndfuld af dem.

(a) (b)

Figur 1.1. Billederne er lånt af Wikipedia [19].

De har forskellige farver, forskellige former, forskellige størrelser, men de spilles allesammen med den samme overordnede fremgangsmåde. Deres brikker − i en eller anden for-stand − skal flyttes for at opnå et foruddefineret mønster. De af spillets tilladte operationer −eller træk − flytter én eller flere brikker ad gangen alt afhængigt af spillet. Spillet løses ved atfinde frem til en række operationer, som fører frem til det ønskede mønster. I tilfældet afRubiks terninger, skal man dreje sig frem til mønstret, hvor fladerne hver især er farvet ens,alene ved at dreje på siderne. Hvad 15-spillet angår, skal man glide sig frem til en bestemtrækkefølge af brikkerne − udfra tal eller et billede. Det er altså det enkelte spil, sombestemmer de tilladte operationer og selvfølgelig også sværhedsgraden af spillet.

Permutationspuslespil er en matematisk betegnelse. Det vil sige, at de egenskaber, som etpermutationspuslespil skal opfylde, er motiveret af den struktur, som vi vil have trækkerne i etpermutationspuslespil til at udgøre. For en ikke-matematiker kan den i afsnit 2.4 givne defini-tion virke lidt arbitrær, men for en matematiker er den skræddersyet, så man kan få en per-mutationsgruppe ud af et permutationspuslespil. Forskellige spil, forskellige regler, forskelligepermutationsgrupper. Skønt strukturen af permutationspuslespil kan komme under en fællesbetegnelse, er det ikke ensbetydende med, at permutationsgrupperne er ens. Det betyder blot,at de hver især kan undersøges med de samme matematiske værktøjer. Vi vil således vise islutningen af kapitel 2, hvordan definitionen af et permutationspuslespil− i spil-forstand− kanmåles op med en matematisk gruppe. Igen er det det enkelte spil, der bestemmer gruppensstruktur og sværhedsgrad, og især hvordan den identificeres.

7

Et spils permutationsgruppe er fagligt interessant at undersøge, det vil sige at se dens for-hold til andre kendte grupper. Som matematiker er det en opmuntrende oplevelse at stå meden håndfast repræsentation af en gruppe, man ellers er vant til at betragte abstrakt. Udoverat Rubiks gængse 3x3-terning betragtes som kongen blandt permutationspuslespil, og at denpåstås at være det mest sælgende legetøj nogensinde, er dens gruppe−Rubiks gruppe, som visenere skal kalde den− specielt velegnet til at studere, både som værktøj til at formidle grup-peteori, men også som fagligt ikke-triviel gruppe.

Matematik bruges her blot til at systematisere og formalisere spil-relaterede egenskabersåvel som konstruktionsmæssige konsekvenser. Derfra er det interessant at se, hvordan mankan bruge resultater om en bestemt permutationsgruppe til at kunne løse det pågældende spil.

Så vi ser i første omgang både på Rubiks terning og 15-spillet som eksempler på permuta-tionspuslespil, og på hvordan et spil kan laves om til en matematisk gruppe. Det område afmatematik om permutationsgrupper fremlægges derefter i kapitel 3, og vi bruger dér bådeRubiks terning og 15-spillet til at eksemplificere definitionerne og de matematiske resultater.Gruppen for 15-spillet bestemmes i samme kapitel, mens vi undersøger Rubiks gruppe i kapitel4, og i kapitel 5 ser på, hvordan man kan bruge gruppeteori til at producere løsninger tilRubiks terning.

1.2 Algoritmer af guddommelig status

Der findes mange løsningsopskrifter til Rubiks terning. Det er dog ikke meningen at præsen-tere en færdigpakket opskrift her, så læsere, som er interesseret i dette, henvises til [13], [2]eller [8]. Dog kan vi sige, at den overordnede fælles fremgangsmåde er at kunne producererækker af operationer− processer − som flytter på nogle brikker og lader andre være uberørte.Det er strategien, der afgør hvilke processer, der er brug for. Den mest kendte strategi i løs-ningen af Rubiks terning blev opfundet af Jessica Fridrich i starten af 1980’erne og kaldespopulært lag-metoden.

Står man med en blandet terning, er en løsning følgen af de drejninger, der fører til en løstterning, og dens længde er løsningens antal drejninger. Denne er et afgørende spørgsmål ispeed-cubing − at løse terningen mod uret − for jo færre drejninger desto hurtigere løsning.Dette fører til et lige så interessant spørgsmål, nemlig at finde frem til den optimale løsning ,altså den korteste løsning i antal af operationer.

Denne problemstilling− at finde optimale løsninger− er opstået med den første Rubiks ter-ning, og er tæt knyttet til anvendelse af computerkraft. Grundet det oplagte store antalmuligheder, er dét at finde frem til den optimale løsning af en af Rubiks terninger næppenoget deltagere i speed-cubing kan, og undersøgelsen af optimale løsninger er derfor beregnettil computere og ikke mennesker. En brugbar algoritme− altså en algoritme, som tager hensyntil nutidens computeres begrænsning i både hukommelse og tid − som kan producere optimaleløsninger til hver af et permutationspuslespils mulige konfigurationer, kaldes farverrigt Gudsalgoritme.

Der findes i dag algoritmer, som man ved, kan løse enhver konfiguration af Rubiks terningpå højst 40 kvarte omgange. De producerede løsninger er dog ikke optimale, skønt de sikkerter meget tæt på. Til sammenligning har den førnævnte lag-metode en gennemsnitlig længdepå 100 kvarte omgange. Til gengæld findes der en algoritme, som har løst ti tilfældige konfigu-rationer af Rubiks terninger optimalt. Denne algoritme er dog ikke blevet kørt på samtligemulige konfigurationer af Rubiks terning. Altså ved man til dags dato ikke, hvor lang denlængste optimale løsning til Rubiks terning er.

8

Guds algoritme for den lille udgave af Rubiks terning − 2x2-terningen eller lommeter-ningen − findes, og den længste optimale løsning for den er på 14 kvarte omgange. I kapitel 5kommer vi specifikt ind på, hvorfor samme fremgangmåde ikke kan bruges til den gængseRubiks terning.

1.3 Spil som matematik-ambassadør

Der har på det seneste været tale om at lade gymnasieelever i 3.g − måske mulige kommendematematikstuderende − snuse lidt til, hvad matematikstudiet tilbyder, alt sammen som en delaf den gymnasiale uddannelse. Et spil er en sjovere og mindre abstrakt anvendelse af mate-matik i hverdagen.

Det er næppe sandsynligt, at hele den følgende fremlagte gruppeteori er fagligt tilgængeligfor den gennemsnitlige, nyudsprungne student. Det er dog reelt at tro, at sådanne læsere kanfå glæde af den første del. Dér, hvor gymnasieelever er vant til at se Algebra, som f.eks. addi-tion, multiplikation og løsning af andengradsligninger, vil de se deres abstraktionsniveau for-højet, og se Algebra på en mere abstrakt måde ved grundlæggende at knytte en operation tilen mængde.

Samtidigt er det mit indtryk, at læsere med baggrund i gruppeteori ligeledes vil få glæde afat se Rubiks gruppe blive til og se kendte matematiske begreber og resultater knyttet tilRubiks terning. Det er min forventning at se sådanne læsere nikke hele vejen gennem de førstekapitler og rynke på panden gennem de sidste kapitler.

9

Kapitel 2

En stor familie af permutationspuslespil

2.1 Om funktioner

Funktioner bliver introduceret meget løst i folkeskolen, og det er almindeligt, men uhensigts-mæssigt, at tænke på en funktion som blot en opskrift til at producere tal. En funktion er etveldefineret matematisk objekt, og det er derfor her på sin plads at komme med en formeldefinition.

Definition 2.1. En funktion f fra definitionsmængden D til billedmængden B er en for-skrift, som knytter hvert element x ∈ D til præcist ét element af y ∈ B. Mængderne B og D

forudsættes ikke-tomme.Man skriver f : D → B, og hvis y0 ∈ B knyttes til x0 ∈ D skrives f(x0) = y0. Elementet y0

kaldes billedet af x0 , og x0 kaldes urbilledet af y0. I praksis tiltaler man f som funktionen f fraD til B.

Eksempel 2.2. Et eksempel på en funktion er f :N→N, med forskriften f(x)=x.

Man kan også definere en funktion ved mængdelære, og jeg synes, at denne indfaldsvinkeler en smule skarpere, på trods af, at den kræver mere matematisk forståelse. En funktionknytter grundlæggende hvert element af definitionsmængden med ét element fra billed-mængden, som forskriften peger på. Således er en funktion fuldt defineret ved en informationom, hvilket element fra billedmængden knyttes til et bestemt element fra definitionsmængden.Altså kan man definere en funktion f ved f = (x, f(x))|x ∈ D, givet at billedmængden erkendt.

Dette medfører, at for mængden D ×B = (x, y)|x∈D, y ∈B, også kaldet det kartesiskeprodukt af D og B, gælder, at en vilkårlig funktion f : D→B er en delmængde af D × B. Atforskriften er defineret på hele definitionsmængden kan formuleres som:

∀x∈D,∃y∈B , så (x, y)∈ f

Entydigheden af billedet af x∈D kan ligeledes formuleres:

(x, y)∈ f og (x, z)∈ f ⇒ y = z

Ovenstående definition rejser en problematik, nemlig hvilken indflydelse, størrelsen af billed-mængden har. Betragt for eksempel mængderne A = 1, 2, 3, B = A ∪ 4 og funktionerne f1

og f2, defineret så f1:A→A og f2:A→B, med forskrifterne f1(x)= f2(x)= x,∀x∈A.Ovenstående illustrerer, at billedmængden er med til at bestemme, hvilke egenskaber en

funktion har. For uanset hvilken definition, man foretrækker, er der intet, der forhindrer etelement af B i ikke at blive knyttet til noget element af D. Elementet 4 fra billedmængdenaf funktionen f2 er f.eks. ikke knyttet til noget element fra A.

11

Betragt derfor mængden Im(f) = y ∈ B |∃x ∈ D: (x, y) ∈ f), som også kan betegnes vedf(D) = y ∈B |∃x∈D, f(x) = y. Elementerne i denne mængde er naturligt en delmængde afB, og har den egenskab, at de er knyttet til − mindst − et element i D, netop fordi det ersådan mængden er defineret. Altså: f(D) ⊆ B. I tilfældet af funktionen f1 gælder endvidere,at f(D) =B. En funktion med sådan en egenskab kaldes en surjektion.

Definition 2.3. En funktion f : D → B kaldes surjektiv eller en surjektion, hvis f(D) = B.Man kan også tiltale den surjektive funktion f ved funktionen f fra D på B.

Altså gælder for en surjektiv funktion, at alle elementer i billedmængden er knyttet tilmindst ét element fra definitionsmængden.

Ligeledes er der intet, der forhindrer et element af B i at blive knyttet til flere elementer afD. Er det ikke tilfældet, kaldes funktionen en injektion.

Definition 2.4. En funktion f : D → B kaldes injektiv eller en injektion, såfremt der gælderfor x1 og x2∈D, x1 x2⇒ f(x1) f(x2). En injektiv funktion kaldes også én-til-én.

Med andre ord gælder for injektive funktioner, at elementer i billedmængden knyttes tilhøjst et element fra definitionsmængden. Et eksempel på en funktion, som ikke er injektiv erf :Z→N, f(x) = x2, da f(− 1) = f(1) = 1. Denne funktion er i øvrigt heller ikke surjektiv, dader f.eks. ikke findes noget element x i Z, så f(x)= 2.

Definition 2.5. En funktion kaldes bijektiv eller en bijektion, såfremt den både er injektiv ogsurjektiv.

Funktionen fra eksempel 2.2 er et simpelt eksempel på en bijektiv funktion.

Lemma 2.6. Lad f : D → B være en bijektiv funktion. Vi kan entydigt definere dens inversef−1:B → D med forskriften:

∀y∈B gælder f−1(y)=x, hvor y = f(x)

Endvidere er f−1 ligeledes en bijektion.

Bevis. Vi skal først sikre os, at forskriften f−1 er defineret på hele definitionsmængde. Altsåskal vi være sikre på, at der findes x ∈ D, så f(x) = y, for alle y ∈ B. Dette sikres af f ’ssurjektivitet.

Vi skal nu sikre os, at f−1 knytter ét element af B til hvert element af D. Dette er til-fældet, da f er injektiv.

Altså har vi gjort rede for eksistensen af f−1 med den ønskede forskrift.Da f er en funktion, er den defineret på hele definitionsmængden, og derfor er der ingen

elementer fra D, som f −1 ikke knytter. Dermed er f−1 surjektiv.Da f knytter hvert element af D til præcist ét element af B, har hvert element af D præ-

cist ét urbillede under f−1, og dette gør rede for, at f−1 er injektiv. Altså er f−1 bijektiv.

Definition 2.7. Lad f :S1 → S2 og g: S2 → S3 være to funktioner. Vi definerer den sammen-satte funktion f g: S1 → S3 ved forskrift (f g)(x) = g(f(x)). Den sammensatte funktionf g læses ’f bolle g’.

Advarsel 2.8. Ovenstående definition af den sammensatte funktion er omvendt i forhold tildet fleste andre lærebøger. Det er bevidst for klarhedens skyld i det følgende, og har ingenindflydelse, så længe definitionen holdes konsekvent.

12

Lemma 2.9. Sammensætning ” ” er associativ. Altså for vilkårlige funktioner f , g og h medpassende definitions- og billedmængder gælder, at (f g) h= f (g h).

Bevis. Lad x være et element i definitionsmængden for f . Vi har:

(f (g h))(x)= (g h)(f(x))=h(g(f(x)))=h((f g)(x)) = ((f g) h)(x)

Altså har (f g) h og f (g h) samme forskrift.

Lemma 2.10. Lad f :S1 → S2 og g:S2 → S3 være to injektive (hhv. surjektive, bijektive) funk-tioner. Da er den sammensatte funktion f g ligeledes injektiv (hhv. surjektiv, bijektiv).

Bevis. Vi viser først det injektive tilfælde og betragter to elementer s1 og s2 fra S1, og antag,at (f g)(s1) = (f g)(s2). Vi ønsker at konkludere, at s1 = s2.

Vi har:

(f g)(s1)= (f g)(s2)⇔ g(f(s1))= g(f(s2)) (2.1)

Da g er injektiv, fås af (2.1), at f(s1) = f(s2), og da f ligeledes antages injektiv fås endvideres1 = s2. Altså er f g injektiv.

Antag nu, at f og g er surjektiv, og betragt et vilkårligt element y ∈ S3. Vi ønsker at vise,at der findes mindst ét element x∈S1 så y = (f g)(x). Da g er surjektiv, findes der mindst etelement s2 ∈ S2, så y = g(s2). Ligeledes, da f er surjektiv, findes der mindst et element x∈ S1,så s2 = f(x). Altså til en vilkårlig y ∈S3, har vi fundet mindst et element x∈S1, så der gældery = g(s2)= g(f(x))= (f g)(x). Dermed er f g surjektiv.

Det bijektive tilfælde følger af ovenstående.

Definition 2.11. Identitetsfunktionen på S, IS: S → S defineres ved forskriften IS(x) = x,∀x ∈ S. Specielt er identitetsfunktionen en bijektion. Er S underforstået, skrives identitets-funktionen blot Id.

Lemma 2.12. Lad f :D → B og g:B → C være funktioner. Der gælder:

i. f IB = ID f = f.

ii. Antag f bijektiv. Der gælder, f f−1 = ID, og f−1 f = IB.

iii. Antag f og g bijektive. Der gælder, at (f g)−1 = g−1 f−1.

Bevis. Lad d∈D.

i. Først kan vi bemærke, at definitions- og billedmængden for ID f , f IB og f er desamme. Vi skal derfor blot undersøge, om de har ens forskrift.

På den ene side gælder, at (f IB)(x) = IB(f(x)) = f(x), ∀x ∈ D. På den andenside har vi: (ID f)(x)= f(ID(x))= f(x), ∀x∈D. Da kan vi konkludere det påståede.

ii. Antag, at f er bijektiv. Den inverse f−1 er veldefineret ifølge lemma 2.6. Funktionernef f−1 og ID har samme definitions- og billedmængde. Vi skal nu undersøge, om dehar samme forskrift.

Der findes ét element b i B, så f(d) = b. Omvendt gælder f−1(b)= d. Altså,

(f f−1)(d)= f−1(f(d))= f−1(b)=d= ID(d).

Hermed er første del bevist. For den anden del starter vi med at bemærke, at funktio-nerne f−1 f og IB har samme definitions- og billedmængde.

13

Vi har:

(f−1 f)(b)= f(f−1(b))= f(d) = b= IB(b)

Hermed er den anden del bevist.

iii. Da f og g er bijektive, er f g ligeledes bijektiv. Definitionsmængden for funktionernepå begge sider af lighedstegnet er C, mens billedmængden er D.

(f g) g−1 f−1 = f (g g−1) f−1 = f f−1 = IC

Altså er f g inverse til g−1 f−1, hvorfor det påståede gælder.

2.2 Om Rubiks terning

2.2.1 Kort om Rubiks terninger

Rubiks terning findes i flere størrelser, skønt den ungarske skulptør-og arkitekturprofessorErnõ Rubik blot har patenteret de to af dem. Lommeterningen − 2x2-terningen − på figur2.1(a) blev patenteret i marts 1983, mens 3x3-udgaven på figur 2.1(b), altså den, som mannormalt forbinder med Rubiks terning, blev opfundet i 1974 og patenteret i januar året efter.De øvrige populære størrelser såsom Rubiks hævn − 4x4-terningen, figur 2.1(c)− og professor-terningen − 5x5-terningen, figur 2.1(d) − blev patenteret henholdsvis af Peter Sebesteny idecember 1983, og Udo Krell i juli 1986.

(a) (b) (c) (d)

Figur 2.1. De forskellige såkaldte Rubiks terninger.

Uanset størrelsen er fremgangsmåden den samme. At løse en Rubiks terning er at dreje sigfrem til ’den løste tilstand’ − altså tilstanden, hvor siderne er helfarvede. Set fra et matema-tisk synspunkt er den tilstand ikke mere speciel end en hvilken som helst anden tilstand, mendet er nu meget praktisk at bruge den som reference, enten som start- eller sluttilstand. Atløse en Rubiks terning er at vælge den løste tilstand som sluttilstand og finde en følge af drej-ninger, som fører frem til den.

2.2.2 Om 3x3-terningen

2.2.2.1 Konstruktion

Vi kigger specielt på den gængse 3x3-terning − i det følgende blot terningen − og skal her tilat sætte notationen fast. Selvom vi kommer specifikt ind på terningen her, kan meget af detfølgende nemt overføres til andre størrelser.

14

(a) (b) (c) (d)

Figur 2.2.

Den indre mekanisme til terningen ses på figur 2.2(a). Den består af seks uadskilleligearme, for enden af hvilke småterninger er monteret. Figur 2.2(b) illustrerer, hvordan den indremekanisme sidder, når Rubiks terning er samlet. Den ydre flade på hver af de småterningerfor enden af armene, er farvet− ved hjælp af klistremærker− og deres eneste bevægelsesfriheder en rotation om sig selv.

Når terningen er samlet, består den af 26 småterninger af tre typer: Vinduer , hjørner ogkanter . Vinduerne betegner de småterninger, som er placeret for enden af armene af den indremekanisme. Der er i alt seks af dem. Hjørnerne betegner de småterninger, som sidder i hjør-nerne af den samlede Rubiks terning, som illustreret på figur 2.2(c). De har tre farvede flader,og der er i alt otte af dem. Kanterne sidder mellem to hjørner, som illustreret på figur 2.2(d).De har to farvede flader, og der er i alt 12 af dem. Vi betegner ved fladerne de småterningersfarvede flader.

Alle de småterninger holdes samlet af den opfindsomme konstruktion, og gør, at hver sideaf den samlede terning er inddelt i seks små, farvede kvadrater i en total af 54 for hele ter-ningen. At vinduerne kan rotere om deres respektive akse, gør det muligt at dreje en hel sidemed eller mod uret uden begrænsning. En drejning af en vilkårlig side på 90, 180 eller 270grader−modulo 360− ændrer grundlæggende blot farvningen af terningen.

2.2.2.2 Operation, proces, tilstand og konfiguration

Der er seks sider, man kan dreje på. Sider, som har småterninger tilfælles kaldes naboer . Daforskellige terninger godt kan have forskellige farver, er det umiddelbart en dårlig idé atbetegne en side med den farve, som vinduet bærer, og vi betegner derfor en side med dens pla-cering i forhold til brugeren. Derfor fastsætter vi terningen i rummet og betegner de for-skellige sider som følger:

• Venstreside ved V

• Højreside ved H

• Forsiden ved F

• Bagsiden ved B

• Nedresiden ved N

• Øvresiden ved O

Denne notation, som er repræsenteret på figur 2.3(a), giver læsere med terninger med andresæt farver eller farver med andre indbyrdes positioner mulighed for at følge med. Vores ter-ning er fastsat således, at siden med det hvide vindue vender mod os og siden med det rødevindue vender mod himlen. En stereografisk repræsentation af terningen med denne oriente-ring ses på figur 2.3(b). Denne måde at repræsentere terningen på har den egenskab, at denviser fem sider ad gangen. Terningen ses fra oven, og siden med det røde vindue ses derfor imidten. Vi vil dog nogle gange foretrække enten en mere klassisk repræsentation af terningen,som på figur 2.3(c), eller lejlighedsvis en eksploderet version som på figur 2.3(d).

15

(a) (b) (c) (d) (e)

Figur 2.3.

Definition 2.13. En operation − eller et træk − er en drejning af én af siderne F , N , H, O,

B eller V en kvart omgang.Operationen betegnes ved navnet på den pågældende side, og tilføjes ” −1” som eksponent,

når der drejes mod uret.

Eksempel 2.14. Figur 2.3(e) repræsenterer et stereografisk syn af terningen efter en udførselaf operationen F på en løst terning.

Definition 2.15. En proces betegner en muligvis tom følge af operationer. Processen skrivesved at skrive navnet på operationerne i den rækkefølge, hvori de skal udføres. Længden af enproces er dens antal operationer. Specielt har den tomme proces længde nul.

For processen FV −1 skal man altså først dreje siden F en kvart omgang med uret, hvor-efter siden V skal drejes mod uret en kvart omgang. Længden af denne proces er to.

Eksempel 2.16. En mere avanceret proces er HHFFBBVVOOHHFFBBVV . Denne proceser ikke helt tilfældig og kan også betegnes NN . Dette illustrerer, at tilsynladende forskelligeprocesser kan have samme effekt på terningen.

Bemærkning 2.17. Rækkefølgen i en proces er vigtig, idet processen FH eksempelvis ikkeomdeler fladerne som processen HF . Man siger, at operationerne ikke er kommutative. Dogbetyder det ikke, at samtlige operationer ikke kommuterer. Der gælder eksempelvis, at FB ogBF omdeler fladerne ens.

Det er her på sin plads at komme ind på terningens farvning. Konstruktionsmæssige kravgør, at der− i vores terning− f.eks. skal være et hjørne farvet i rød, grøn og hvid, og ligeledesen kant farvet i blå og gul. Skulle man farve terningen helt tilfældigt, men stadigvæk respek-tere disse krav, ville det svare til at tage alle de småterninger af, og samle terningen igen helttilfældigt. Alle de mulige farvninger af terningen opnået på den måde kalder vi for tilstande.

Definition 2.18. En tilstand er den resulterende farvning af terningens 54 små kvadratteropnået ved tilfældigt at samle den adskilte terning.

Det er nu interessant at undersøge, hvor mange tilstande der er. Vi begynder med at sættehjørnerne på plads, og indser, at der er otte muligheder for den første terning, syv for dennæste, seks for den tredje, osv..., hvilket giver, at der er 8! måder at placere otte hjørner påterningens otte hjørne-pladser. Alle disse hjørner kan vende på tre forskellige måder.Betragter vi f.eks. hjørnet med farvene rød, grøn og hvid, og sætter den i det øverste venstrehjørne af siden F , kan den hvide flade f.eks. ende med at være synlig på siden F , og i dettetilfælde vil den røde og den grønne flade sidde henholdsvis på siderne O og V . Man kunne dogvende den, så den røde eller den grønne flade var på siden F , og det ville naturligt bestemme,hvilke sider de to andre flader skulle høre til. Så alt i alt er der 38 · 8! måder at placere hjør-nerne på. En tilsvarende argumentation giver, at der er 2 12 · 12! måder at placere kanterne på.Altså er der ialt 212 · 38 · 8! · 12! forskellige tilstande.

16

Det er imidlertid ikke alle tilstande, man kan dreje sig frem til fra en løst terning. Vi skalse lidt senere, at det kun drejer sig om en tolvtedel af dem.

Definition 2.19. Ved en gyldig tilstand eller konguration forstås en tilstand, som kanopnås ved en proces påført den løste tilstand.

Inden vi bevæger os ud i matematikken, skal vi lige slå et par sidste notationer fast.

Notation 2.20. En gentagelse af en proces kan skrives som en eksponent med det antalgange, den gentages. Altså kan FF eksempelvis betegnes ved F 2, og FVFV kan betegnes ved(FV )2. Generelt har vi for processen P:

PPP Pi gange

=Pi

2.3 Første matematiske paralleller

2.3.1 En operation som permutation

Grundlæggende er hver enkel operations virkning en omdeling af farvene. At de småterningerbliver flyttet, er en konsekvens af konstruktionen af terningen.

Vi kan derfor beskrive en operation ved at give informationen om hvor, hver enkel fladebliver flyttet til. Matematisk kan dette gøres ved at nummerere samtlige flader af de småter-ninger. Nummereringen vil gå naturligt fra 1 til 54. Hver operation kan nu defineres som enfunktion med mængden af alle de nummererede flader Z54 = 1, 2, , 54 som definitions- ogbilledmængde. Forskriften defineres nu for hvert element i ∈ Z54 at være nummereret på denplads, som i får. Vi kan dog reducere definitions- og billedmængden med seks elementer ogbetragter Z48 = 1, 2, , 48 i stedet for, idet ingen operation kan flytte på vinduerne. For F

har vi eksempelvis:

F :Z48 → Z48

i → Nummeret på fladen som fladen med nummer i flyttes til,

Ligeledes kan man definere de fem andre operationer. På figur 2.4(a) er hele terningen repræ-senteret i en eksploderet version, og fladerne er blevet nummereret fra 1 til 48. En repræsenta-tion af terningen med samme nummerering ses på figur 2.4(b) efter udførslen af F . Der gældereksempelvis, at F (17) = 19, F (19) = 24, osv , F (6) = 25, F (25) = 43, osv , F (1) = 1, F (2) = 2,osv...

(a) (b)

Figur 2.4.

17

Mere generelt kan man betragte mængden Zn = 1, 2, , n med n elementer. De n ele-menter kan opfattes som nummererede pladser med et objekt i sig, og vi kan definere funk-tionen σ: Zn →Zn, som grundlæggende bytter rundt på objekterne, altså med forskriften σ(i),værende nummeret på den plads, som objektet i pladsen i er kommet over.

Lemma 2.21. Funktionen σ er en bijektion.

Bevis. Først vises, at σ er injektiv. Betragt x og y i Zn, så σ(x) = σ(y). Da der kun kan væreet objekt pr. plads, medfører det, at x = y, altså er σ injektiv. Surjektiviteten kommer af, atalle n objekter fordeles i de n pladser, og dermed er der ingen ledig plads.

Definition 2.22. En permutation er en bijektiv funktion fra en endelig mængde på sig selv.

De grundlæggende operationer i Rubiks terning kan altså defineres som permutationer afZ48. De kan dog også opfattes som permutationer på Z20, idet en operation i stedet for kanopfattes som en permutation af de 20 småterninger. Vælger man at gøre det, ser man implicitbort fra, hvordan de småterninger vender, og er kun interesseret i de småterninger som hele.Dette vil vise sig at være frugtbart.

Bemærkning 2.23. At hjørner ikke kan blive til kanter og omvendt, fortæller os, at vi kanbetragte en operation som en kombination af en permutation af de otte hjørner− altså en per-mutation på Z8 − , en permutation af de tolv kanter − altså en permutation på Z12 − , og enangivelse af den enkelte ternings orientering. Dette vil komme helt naturligt lidt senere.

2.3.2 Singmasters notation

Det er praktisk at omtale en bestemt småterning. En plads navngives således ved at skrivealle de sider, som den siddende småternings flader vender ud til. Eksempelvis betegnes denøverste plads til venstre på side F − altså beregnet til et hjørne− ved ’fvo’. Ligeledes betegnesden øverste plads på side H mellem de to hjørner ved ’ho’, og vinduet på side V betegnes blotved ’v’. Rækkefølgen er ligegyldig. Således betegner pladserne ’fvo’ og ’vfo’ den samme plads.Læseren kan med fordel bruge figur 2.5(a) til at huske navngivningen. Pladserne ændrer ikkenavn efter en påført proces, da terningen er fastsat i rummet.

(a)

Figur 2.5.

Dette giver os den nødvendige notation til at beskrive operationerne som permutationer afZ20. Altså, når vi skriver F (fvo)=foh, betyder det, at den småterning i pladsen ’fvo’ kom overtil pladsen ’foh’. Almindeligvis vil den enkelte småterning blive døbt af den plads, den sidderi. Således er småterningen ’fvo’ en forkortelse for ’den småterning, som sidder i pladsen fvo’.Vi kalder denne notation for Singmaster-notationen, opkaldt efter dens opfinder og terning-pioner David Singmaster[2, 8].

18

2.3.3 Processer, permutationer og deres orden

At de grundlæggende operationer kan opfattes som permutationer tillader os at bruge resul-tater om bijektive funktioner fra afsnit 2.1, og dermed kan vi begynde at beskrive processer iterningen udfra fra de matematiske definitioner. Vi kan eksempelvis i henhold til lemma 2.6definere den inverse til en operation. For F − her som en permutation af Z48 − defineresinversen ved:

F−1:Z48 → Z48

j → i, hvorF (i)= j

Operationsmæssigt fortæller denne definition, at permutationen F−1 fortryder en eventueludførsel af F , altså, at F−1 er funktionen, som kan opnås ved dreje fladen F en kvart omgangmod uret. Dette er i overensstemmelse med, hvad vi tidligere selv har defineret operationenF−1 til. Ligeledes for inversen til de andre operationer.

Hvis man betragter den sammensatte funktion O1 On, hvor Oi er en permutationtaget i mængden F , V , O, B, N , H, ender vi med en permutation, som kan opnås med pro-cessen P = O1O2On. Dette er årsagen til, at vi ikke har defineret sammensatte funktionerhelt standard, som noteret i advarslen 2.8.

Da permutationer er associative, gælder ligeledes, at processen FVH, eksempelvis kanbetragtes som processen FV efterfulgt af H, eller F efterfulgt af VH, eller F efterfulgt af V

efterfulgt af H.

Identitetsfunktionen svarer til de processer, som efterlader en ternings tilstand uberørt, ogFF−1 eller V 4 er blot et par eksempler på sådanne processer. Vi har tidligere defineret dentomme proces til at være processen af længde nul. Denne proces efterlader også terningens til-stand uberørt og svarer også til identitetsfunktionen. Den tomme proces kan også betragtessom en gentagelse af en proces P nul gange, altså − ifølge vores notation− en udførsel af P0.

Endvidere har funktionen f =O1 On, hvor Oi er taget i mængden F , V ,O,B,N ,H,

en inverse f−1 = On−1 O1

−1 ifølge lemma 2.12(iii), og kan opnås med processen On−1O1

−1.Endvidere gælder ved lemma 2.12(ii), at denne proces bringer terningen tilbage til den oprin-delige tilstand. Altså kan man altid fortryde en proces P = O1On ved at fortryde hver eneste

operation i omvendt rækkefølge, altså ved at udføre On−1O1

−1. Denne proces kalder vi for deninverse til P og betegner den P−1.

Disse overvejelser gør, som vi senere skal se, at de mulige permutationer i Rubiks terningudgør en gruppe.

Definition 2.24. Lad ρ være en permutation på Zn. Ordenen af ρ er det mindste naturligetal i > 0 , så ρi = IZn, hvor ρi = ρ ρ ρ

i gange

.

Så har man en proces P, er ordenen af P det mindste naturlige tal i > 0, så en udførsel afPi giver den samme tilstand som den oprindelige. Ordenen af F , betragtet som en permuta-tion på Z48 eller Z20, er det mindste naturlige tal i > 0, så F i = Id. Vi prøver med 1, 2, 3 ogfinder frem til, at ordenen af F er fire. Ligeledes med de andre operationer, og dermed haralle de grundlæggende operationer − betragtet som permutationer på Z48, men også som per-mutation på Z20 − orden fire. Ordenen af en proces er ikke altid så åbenlys, og kræver lidtmere viden om permutationer. Det kigger vi på i næste kapitel. Imidlertid gælder et forun-drende resultat til de fleste.

Sætning 2.25. Enhver proces har endelig orden.

19

Bevis. Betragt en proces P. Da antallet af tilstande er endeligt, vil vi efter−måske mange−gentagelser af P komme tilbage til en tidligere tilstand. Det viser dog ikke, at vi kommer til-bage til den oprindelige tilstand.

Antag, at første gang vi gentager en tilstand T er efter m gentagelser af processen, ogantag yderligere, at vi opnåede T for første gang efter k gentagelser, k < m. Der gælder spe-

cielt, at k er det eneste naturlige tal mindre end m, for hvilket Pk =Pm.

Er k = 0 er vi færdige, da den første tilstand, som bliver gentaget, er selve start-tilstanden.

Antag derfor, at 1 ≤ k, altså, at den første tilstand, som bliver gentaget, ikke er start-til-

standen. Der gælder, at Pk = Pm. Vi kigger nu på processerne PkP−1 og PmP−1. Disse toprocesser gentager P helholdsvis k og m gange efterfulgt af en fortrydelse af P. Men dette erdet samme som henholdsvis (k − 1) og (m− 1) gentagelser af processen P. Vi har:

PkP−1 =Pk−1 =PmP−1 =Pm−1

Altså er tilstanden efter (k − 1) gentagelser og (m − 1) gentagelser den samme, hvilket striderimod vores valg af k og m. Ergo k 1, og derfor må k =0.

Ovenstående resultat fortæller, at man− på et tidspunkt− kommer tilbage til en løst ter-ning, når man udfører den samme proces igen og igen, givet at start-tilstanden var den løstetilstand. Dette giver dog ikke nogen løsningsstrategi. Starter man med en blandet terning ogudfører den samme proces et vist antal gange, kommer man igennem et vist antal tilstande,men der er intet, der sikrer, at den løste tilstand er en af dem. De grundlæggende operationer,som har orden fire, går f.eks. blot fire tilstande igennem før start-tilstanden opnås igen.

Teoretisk set skulle man finde en proces, som har orden det totale antal af konfiguratio-nerne for at være sikker på at få en løst terning. Dette fører os til et godt spørgsmål, nemlig,hvad den højeste mulige orden er, og hvilke(n) proces(ser) har den. Det viser sig, at denhøjeste orden, en proces kan have, er 1260. Et eksempel på sådan en proces erHFFB−1OB−1. Det vil vi komme ind på lidt senere.

2.4 Grupper og permutationspuslespil

I første kapitel var jeg inde på, at man definerer permutationspuslespil udfra den struktur −gruppe − som vi gerne vil arbejde med. Vi skal imidlertid se, at definitionen af et permuta-tionspuslespil synes at være lidt bredere, end man umiddelbart synes er nødvendigt, men detgør vi for også at omfatte spil, som man også kan få en gruppe ud af. For at eksemplificeredette præsenteres et andet permutationspuslespil med lidt andre egenskaber end Rubiks ter-ning.

2.4.1 15-spillet

15-spillet er popularitetsmæssigt forgænger til Rubiks terning. Det stammer fra midten af det19. århundrede. Der har været debat omkring hvem, der opfandt spillet, og der hører en sødlille historie til dette. Den interesserede læser henvises til [19].

Spillet består af en ramme opdelt i 16 pladser, hvori 15 lige store, kvadratiske, nummere-rede brikker er sat, som illustreret på figur 2.6(a). I nogle udgaver kan brikkerne repræsentereen del af et billede fremfor at være nummererede. Naboer til det tomme felt kan glides ind idet, og på den måde kan man rykke rundt på brikkerne.

20

(a) (b)

Figur 2.6.

De grundlæggende operationer− eller træk − i 15-spillet er en ombytning af det tomme feltmed en af dens naboer, og de betegnes på følgende måde.

• H betegner en ombytning af det tomme felt med dens højre nabo

• V betegner en ombytning af det tomme felt med dens venstre nabo

• O betegner en ombytning af det tomme felt med dens overbo

• N betegner en ombytning af det tomme felt med dens underbo

Det tomme felt kan opfattes som den 16. brik, og i den forstand er en− eller en følge af− træken permutation på Z16.

Disse træk er illustreret på figur 2.6(b). En proces i 15-spillet defineres i analogi medRubiks terning som en − muligvis tom − følge af træk. Bemærk, at lovligheden af en procesforudsætter det tomme felt placeret hensigtsmæssigt. Fra den løste tilstand− figur 2.6(a)− eralle processer, der starter med H, eksempelvis ulovlige. Formålet med spillet er at glide sigfrem til den løste tilstand, altså tilstanden, hvor brikkerne er kommet i den ønskede række-følge−figur 2.6(a).

Den grundlæggende spilmæssige forskel mellem Rubiks terning og 15-spillet er, at manaltid har de samme træk til rådighed i Rubiks terning, uanset hvilken tilstand, man erkommet i. Altså vil man altid kunne udføre to vilkårlige processer efter hinanden. Dettegælder ikke i 15-spillet, simpelthen fordi den ene proces efterlader det tomme felt et sted, såden efterfølgende proces er ulovlig. Denne simple bemærkning gør, som vi skal se senere, at viikke kan få en permutationsgruppe på samme måde som for Rubiks terning.

I analogi med Rubiks terning defineres en tilstand som den resulterende opstilling af de15 små kvadratter omdelt i de 16 pladser i rammen. Imidlertid interesserer vi os kun for detilstande, som man kan glide sig frem til, og som indeholder den løste tilstand.

Definition 2.26. En gyldig tilstand − eller konguration − i 15-spillet er en tilstand,man kan glide sig frem til fra den løste tilstand.

Det vil stå klart om lidt, at det er blot en delmængde af de gyldige tilstande, som er inter-essante for os, og vi definerer derfor ved en lovlig konfiguration, en gyldig tilstand, hvor dettomme felt er placeret nederst til højre. Den løste tilstand er en lovlig konfiguration.

2.4.2 En stor familie

Rubiks terning og 15-spillet tilhører den samme familie af permutationspuslespil. Vi harundersøgt egenskaber til Rubiks terning, og vi har set, at nogle af dem er terningens egne.Således skal vi rydde lidt op og giver her en definition af permutationspuslespil.

21

Begreberne træk − eller operationer − kan intuitivt generaliseres til permutationspuslespilsom de mindste lovlige muligheder bestemt af spillets regler. Det samme gælder for tilstandeog konfigurationer . Intuitivt er tilstand det øjensynlige eller anden visuel opstilling, som er etresultat af en−muligvis tom− følge af træk.

Definition 2.27. Et ét-persons spil er et spil, som opfylder følgende betingelser.

• Til enhver tid råder spilleren over et endeligt antal træk.

• Til enhver tid er der en følge af træk, der fører til en løsning.

• Der er intet skjult. Spilleren har fuldt overblik over dens muligheder.

• Om et bestemt træk er muligt i forløbet af spillet kan ikke afhænge af tidligere træk.

Denne definition af et ét-persons spil gives i analogi med den gængse definition af et to-perso-ners spil[10]. Den sidste betingelse udelukker f.eks. spil som skak, hvor kongen eksempelviskun kan lave en rokade, hvis ikke den er blevet flyttet før.

Definition 2.28. Et permutationspuslespil − eller blot puslespil − er et ét-persons spil,som opfylder følgende betingelser.

i. For en n > 1, alt afhængigt af spillets konstruktion, svarer hvert træk til en entydig per-mutation af Zn.

ii. Hvis en af permutationerne af Zn fra (i) svarer til flere forskellige træk, så skal de til-stande, opnået ved disse træk, ikke kunne skelnes.

iii. Hvert træk skal kunne fortrydes i den forstand, at efter udførslen af et træk T skal derfindes et træk T −1, som fører til tilstanden før, T blev udført.

iv. Hvis T1 er en lovlig følge af træk svarende til permutationen σ1, og hvis T2 er en lovligfølge af træk svarende til permutationen σ2, så er trækket T1 efterfulgt af T2 enten ulov-ligt eller svarer til permutationen σ1 σ2.

Som vi skal se i næste afsnit, er det en matematisk-orienteret definition, idet den sætter detønskede forhold mellem spillets konstruktion, regler og permutationer.

Eksempel 2.29. Rubiks terning og 15-spillet kan opfattes som permutationspuslespil af oven-stående overvejelser.

2.4.3 Permutationspuslespil og grupper

2.4.3.1 Definition af en gruppe

Vi er nu kommet til grundstenen i gruppeteori, nemlig begrebet gruppe, som vi her giver endefinition af.

Definition 2.30. Vi betegner ved en gruppe en mængde G udstyret med en binær opera-tion ’ ⋆ ’, som opfylder følgende betingelser.Associativitet. ∀g1, g2 , g3∈G, (g1 ⋆ g2) ⋆ g3 = g1 ⋆ (g2 ⋆ g3)Neutralt element. ∃e∈G,∀g∈G, g ⋆ e= e ⋆ g = gInvers element. ∀g∈G,∃h∈G, g ⋆h=h⋆ g = eAfslutning. ∀g1, g2∈G, g1 ⋆ g2∈G

22

Gruppen betegnes (G, ⋆ ), og kaldes endelig, såfremt mængden G indeholder et endeligt antalelementer.

En gruppe er altså en struktur, eller rettere sagt en mængde og en operation knyttet tilden, og det eneste vi kræver, er de ovenstående fire aksiomer. Der findes mange grupper. Deninteresserede læser kan vise, at de hele tal udstyret med den sædvanlige addition − altså(Z,+) − er en gruppe med neutralt element 0. Dog er (Z, − ) ingen gruppe, idet opera-tionen ’− ’ ikke er associativ, da (1− 2)− 3 1− (2− 3).

De reelle tal udstyret med den sædvanlige multiplikation − altså (R, .) − er ingen gruppe,idet det reelle tal 0 har ingen inverse under multiplikation. De reelle tal fratrukket tallet 0 ogudstyret med den sædvanlige multiplikation− altså (R\0, .) − er til gengæld en gruppe medneutralt element 1.

Eksempel 2.31. Gruppen (e, ⋆ ) bestående af blot det neutrale element for operationen ⋆

er den mindste gruppe, man kan opnå og kaldes den trivielle gruppe.

2.4.3.2 Fra spil til gruppe

Vi skal nu se, hvordan vi kan få en gruppe ud af de spil, som opfylder definition 2.28.Først og fremmest kræver betingelse (i), at spillet har n brikker i en eller anden forstand,

og at hver enkel af spillets træk svarer til en permutation af disse brikker. Udføres træk efterhinanden gælder ved (iv), at den opnåede permutation er den sammensatte af trækkenes per-mutation.

Lad T være mængden af alle de−muligvis tomme− lovlige følger af træk udført på alle delovligt opnået tilstande af spillet, og lad Sn være mængden af alle de mulige permutationer påZn. Definition 2.28 inducerer en funktion δ: T → Sn, som grundlæggende knytter hver lovligfølge af træk i T til en entydig permutation af Zn. Surjektiviteten af δ er ikke altid sikret, idetvi i tilfældet af Rubiks terning har set, at der er nogle tilstande, som man ikke kan dreje sigfrem til. Injektivitet er ikke altid sikret, idet vi tillader i (ii), at flere følger af træk kan svaretil den samme permutation. Hvis ikke det var tilfældet, ville Rubiks terning ikke kunne væreet permutationspuslespil, idet processerne F 4 og V 4 eksempelvis svarer til den samme per-mutation, nemlig identiteten.

Vi ønsker ligeledes konsistens, altså at en permutation kun på én måde ændrer det øjen-synlige. Det sikrer vi også med (ii).

Betragt to lovlige følger af træk P1 og P2 i T og antag, at de kan udføres efter hinanden.Vi kan omformulere definition 2.28(iv) til δ(T1 ”efterfulgt af” T2)= δ(T1) δ(T2).

Det står nu klart, at δ(T) er en delmængde af Sn. Vi prøver at vise, at (δ(T), ) udgør engruppe. Det kan vi næsten, men også kun næsten.

Da δ(T) er en mængde af permutationer sikres associativiteten af lemma 2.9. Det neutraleelement er identitetsfunktionen på Zn ved lemma 2.12(i), og sikres at findes i δ(T), da ethvert

træk kan fortrydes. Mere formelt har vi δ(T ”efterfulgt af” T −1)= Id.At de to træk T og T −1 altid vil kunne udføres efter hinanden sikres af definition 2.28(iii).

Specielt gælder nu, at en følge af træk altid kan fortrydes ved at fortryde hvert eneste træk iomvendt rækkefølge, og dermed har en følge af træk P en inverse P−1, for hvilken der gælder,

δ(P ”efterfulgt af” P−1)= Id= δ(P) δ(P−1)

Specielt er P og P−1 hinandens inverser, og der gælder ligeledes

δ(P−1 ”efterfulgt af” P)= Id= δ(P−1) δ(P)

Altså for vilkårlig σ = δ(P) i δ(T) findes σ−1 = δ(P−1) i δ(T) med σ σ−1 =σ−1 σ = Id.

23

Det er nu, at ”næsten” kommer ind i billedet, for (δ(T), ) er ikke altid afsluttet. For vil-kårlige elementer P1 og P2 i T, kan ”P1 efterfulgt af P2” være ulovlig, altså en følge af træk,som ikke kan udføres. I 15-spillet svarer dette til at tage to følger af træk, hvor det førsteefterlader det tomme felt uhensigtsmæssigt. Konsekvensen er, at δ(P1) δ(P2) ikke nødven-digvis findes i δ(T).

Kan man så sige, at definition 2.28 omfatter for mange spil? En umiddelbar tanke er atændre definitionen, så man kun tillader spil, hvor alle elementer i T kan udføres efter hin-anden. Det virker, men udelukker spil, som man alligevel kan få en gruppe ud af.

Sagen er, at man ikke nødvendigvis er interesseret i, at (δ(T), ) skal udgøre en gruppe forenhver pris. For sådanne spil kan man nøjes med at vælge de følger af træk Ts i T, som kansammensættes. Bemærk nu, at inverser til elementer i Ts selv ligger i Ts, idet vi harbemærket, at man altid vil kunne udføre en følge af træk og dens inverse efter hinanden. Føl-gelig er (δ(Ts), ) er gruppe.

Spil, hvor denne fremgangsmåde er nødvendig, er som sagt 15-spillet men også Square 1puzzle. Interesserede læsere i dette spil henvises til [7].

2.4.3.3 Identificering af Rubiks gruppe og 15-gruppen

Vi er nu i stand til at identificere permutationsgrupper i både Rubiks terning og 15-spillet.Hvad 15-spillet angår, skal vi vælge de træk, som forudsætter og efterlader det tomme felt

samme sted. Da den løste tilstand skal kunne opnås, vælger vi naturligvis alle de lovlige følgeraf træk i 15-spillet, som kan udføres på en lovlig konfiguration, og som efterlader spillet i enlovlig konfiguration. Denne mængde kalder vi for T15. Da samtlige elementer i T15 nu kanudføres efter hinanden, gælder afslutningsbetingelsen, og (δ(T15), ) udgør en gruppe. Da dettomme felt nu hører − fast − til nederst til højre, består gruppen af 15-spillet − også betegnet15-gruppen − af alle de permutationer af de 15 brikker, som lovligt kan opnås. Vi undersøgerdenne gruppe i kapitel 3.

Så meget skal vi ikke gøre ud af det for at få en permutationsgruppe ud af Rubiks terning.Mængden T for terningen betegnes Tr og består naturligt af alle de mulige følger af træk tageti mængden F , V , H, O, N , B. Ved en endt proces, har man de samme muligheder igen, ogto processer i Tr vil altid kunne udføres efter hinanden. Derfor gælder afslutningsbetingelsentrivielt for (δ(Tr), ), som så udgør Rubiks gruppe. Rubiks terning er af denne grund ogsåberømt for at være et håndfast eksempel på en gruppe.

Rubiks gruppe består altså af alle de permutationer af de 48 flader opnået ved at dreje påsiderne. Vi undersøger denne gruppe i kapitel 4.

24

Kapitel 3

Permutationspuslespillenes matematik

3.1 Mere om permutationer

3.1.1 Cykelnotation og r-cykler

Vi skal nu grave dybere i permutationernes verden. Vi har set, at en permutation er enbijektiv funktion fra en mængde X på den selv, og at en permutation kan opfattes som enomdeling af |X | objekter på de |X | pladser. Vi kan derfor med fordel antage X til at væreZn = 1, 2, , n, hvor en nummerering ’allerede’ er tilgængelig.

En universal notation for en permutation stilles op i to rækker, hvor elementerne i denøverste række betegner pladserne, hvor objekterne oprindeligt var, og den nederste rækkeangiver, hvor objekterne bliver flyttet til.

Notation 3.1. Lad σ være en permutation på Zn. Man kan beskrive σ eksplicit ved:

σ:

(

1 2 3 n

σ(1) σ(2) σ(3) σ(n)

)

Denne notation kaldes tabelnotationen.

Eksempel 3.2. Følgende permutationer i tabelnotation er alle de mulige permutationer påZ3:

(

1 2 31 2 3

)

,

(

1 2 31 3 2

)

,

(

1 2 33 2 1

)

,

(

1 2 32 1 3

)

,

(

1 2 32 3 1

)

,

(

1 2 33 1 2

)

Definition 3.3. Lad σ være en permutation af Zn. Et element af Zn vil enten blive yttet,altså opfylde σ(x) x eller være kspunkt for σ, altså opfylde σ(x)=x.

To permutationer σ og τ af Zn kaldes disjunkte, såfremt mængden af elementer, derflyttes af σ er disjunkt med mængden af elementer, der flyttes af τ.

Lemma 3.4. Lad σ og τ være to disjunkte permutationer af Zn, da gælder σ τ = τ σ

Bevis. Lad i ∈ Zn. Enten σ − eller τ − flytter på i eller også flytter hverken σ eller τ på i. Idet første tilfælde, antag, at σ flytter på i. Vi har σ τ(i) = τ(σ(i)) = σ(i). På den anden side,τ σ(i)=σ(τ(i))=σ(i), da τ og σ er disjunkte.

I det andet tilfælde har vi τ σ(i) =σ(τ(i)) =σ(i)= i og σ τ(i)= τ(σ(i))= τ(i)= i.

Definition 3.5. Lad a1, a2 , ar ∈Zn, r < n. Ved symbolet (a1 a2 ar) menes en permutationσ:Zn→Zn med forskrift

σ(a1)=a2, σ(a2)=a3, , σ(ar)= a1, og σ(i)= i, for i a1, a2, , ar

25

Med andre ord betegner (a1 a2 ar), at σ flytter objektet på pladsen a1 over på pladsen a2,

objektet på pladsen a2 over på pladsen a3, osv..., objektet på pladsen ar over på pladsen a1.

Alle andre objekter på de andre pladser er fikspunkter for σ.Sådan en permutation kaldes cyklisk , og symbolet (a1a2 ar) kaldes en cykel. Længden

af cyklen (a1 a2 ar) er r, og en cykel af længde r kaldes en r-cykel . Specielt kaldes en 2-

cykel for en transposition. Det følger af definition 3.3, at to cykliske permutationer(a1 a2 ar) og (b1 b2 bs) er disjunkte, såfremt mængderne a1, a2, , ar og b1, b2, , bs er

disjunkte.Tilsyneladende kan forskellige r-cykler beskrive den samme cykliske permutation, idet der

umiddelbart gælder:

(a1 a2 ar) = (ai ai+1 ar a1 ai−1), for 1≤ i≤ r (3.1)

Altså for en cyklisk permutation er det det første element i cyklen, der bestemmer.

Eksempel 3.6. Lad τ være en permutation på Z3, så τ(1) = 2, τ(2) = 3 og τ(3) = 1. Da kan τ

skrives som r-cyklerne (1 2 3), (2 3 1) eller (3 1 2).

3.1.2 Cykelsætningen

Betragt permutationen på Z6 i tabelnotationen

σ:

(

1 2 3 4 5 63 4 2 1 6 5

)

(3.2)

Vi begynder med objektet på pladsen 1, ser hvilken plads den får, og følger så det objekt, somvar på denne plads, og fortsætter indtil et objekt optager pladsen 1 igen.

σ(1)=3, σ(3)=2, σ(2)=4 og σ(4)=1

Vi kan opsummere dette ved γ1 = (1 3 2 4), for γ1(i) = σ(i) for i = 1, 2, 3 eller 4. Vi fortsættermed den næste plads, som ikke er i γ1 og finder pladsen 5.

σ(5)= 6 og σ(6) =5

Altså har vi nu en transposition γ2 = (5 6), med γ2(i) = σ(i) for i = 5 eller 6, og vi har ikkeflere elementer af Z6, som ikke er i enten γ1 eller γ2. Permutationerne γ1 og γ2 er disjunkte,og vi har σ = γ1 γ2 =(1 3 2 4) (5 6).

Hvad har vi gjort? Vi har skrevet σ som en sammensætning af disjunkte cykler. Vi skalbruge resten af afsnittet til at vise, at enhver permutation kan skrives som en sammensætningaf disjunkte cykler.

Lad så σ være en vilkårlig permutation på Zn, og lad a ∈ Zn. Vi betragter nu mængdenBa(σ) = a1 = a, σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, bestående af elementer af Zn. Da Zn er endelig, vilder efter − lad os sige− r elementer opstå den første gentagelse af et element af Zn. Altså vilvi have en følge a1, a2, , ar bestående af forskellige elementer, hvor σ(ar) = ar+1, og ar+1 erden første gentagelse af et element ai allerede i følgen a1, a2, , ar. Er i ≥ 2 fås ai = ar+1 ⇒σ(ai−1) = σ(ar). Da σ er en permutation og dermed er injektiv, følger ai−1 = ar, og dettestrider mod, at elementerne a1, a2, , ar var forskellige. Derfor, i = 1, og så σ(ar) = ar+1 = a1.Mængden Ba(σ) kan altså opfattes som en periodisk følge af elementerne a1, a2, , ar.

Definition 3.7. Lad σ være en permutation på Zn, og lad a ∈ Zn. Banen for a i σ, betegnetBa, består af de r forskellige elementer, som bliver gentaget i Ba(σ). Altså er banen for a

mængden Ba = a1, a2, , ar, hvor a=a1, σ(ai)=ai+1 for 1≤ i < r, og σ(ar)=a1

26

Eksempel 3.8. Lad σ være en permutation på Z6, som i (3.2). B1 = 1, 3, 2, 4 og B5 = 5, 6.

Hvis b = ai ∈ Ba, kan vi opstille banerne for a og b på følgende måde, hvor man kan sætteet lighedstegn mellem elementerne, som er opstillet ’oven på hinanden’.

Ba(σ)= a=a1, a2, , ai−1, ai, ai+1, , ar, a1, , ai−1, ai, Bb(σ)= b= b1, b2, , br−i+1, br−i+2, , br, br+1,

Altså har vi Bb =Ba.

Dette har til følge, at to baner, som har et element tilfælles, er ens, og derfor er to banerenten disjunkte eller ens. Endvidere er en bane aldrig tom, idet banen Ba mindst indeholderelementet a. Specielt gælder der for fikspunktet a, at Ba = a.

Altså er det muligt at opskrive Zn som foreningsmængden af alle banerne for σ. Man siger,at banerne udgør en klassedeling af Zn.

Definition 3.9. Lad σ være en permutation på Zn, og lad a ∈Zn. Banen Ba = a1, a2, , ardefinerer implicit en cyklisk permutation γ på Zn med r-cykel (a1 a2 ar) og kaldes banenstilhørende cykel.Sætning 3.10. [Cykelsætning] Lad σ være en permutation af Zn, lad B1, B2, , Bm værebanerne for σ og lad γ1, γ2, , γm være deres tilhørende cykler. Da gælder ligningen,

σ = γ1 γ2 γm (3.3)

Bevis. Ligningen (3.3) har på dens venstre side en permutation af Zn. Ifølge sætningen omsammensætning af permutationer, er højresiden ligeledes en permutation af Zn. For at viseligningen (3.3) skal vi altså blot vise, at de begge har samme forskrift for alle x i Zn.

Lad os derfor betragte x ∈ Zn. Da hvert element af Zn tilhører netop én bane, kan viantage, at der findes et entydigt i, 1 ≤ i ≤ m, så x ∈ Bi med tilhørende cykel γi. Der gælder,ifølge definition 3.7, at σ(x) og x ligger i samme bane, hvorfor der gælder σ(x) = γi(x). Ven-stre-siden af ligningen (3.3) giver dermed γi(x) som værdi.

For at beregne γ1 γ2 γm(x) argumenterer vi, at x kun bliver flyttet af γi. Da x ogγi(x) ligger i samme bane, er γi(x) fikspunkt for de andre r-cykler, hvorfor værdien af højre-siden er γ1 γ2 γm(x) = γi(x)=σ(x).

En anden måde at statuere dette resultat på er, at enhver permutation kan skrives som ensammensætning af disjunkte, cykliske permutationer. Enhver fremstilling af en permutationsom en sammensætning af disjunkte, cykliske permutationer kaldes en cykelnotation.

Ovenstående resultat har også til følge, at to cykelnotationer for den samme permutationhar samme antal cykler af en vis længde. Det er en permutations aftryk og kaldes cykelstruk-turen .

Hvordan man fremstiller en cykelnotation for en bestemt permutation σ ligger næsten sæt-ning 3.10: Find samtlige baner for permutationen. Permutationen kan nu skrives op som ensammensætning af banerens tilhørende cykler. Rækkefølgen er ligegyldig ved lemma 3.4, idetde producerede cykler er disjunkte. Et eksempel derpå er allerede blevet givet for permuta-tionen defineret i (3.2).

Lemma 3.11. Lad σ være en r-cykel. Da kan σ skrives som en sammensætning af r − 1transpositioner.

Bevis. Der gælder øjensynligt, at σ =(a1 a2 ar) = (a1 a2) (a1 ar−1) (a1 ar).

27

Eksempel 3.12. Med nummereringen i henhold til figur 2.4 er en fremstilling af de grund-læggende operationer− opfattet som permutation af Z48− som en sammensætning af disjunktecykler:

F = (17 19 24 22) (18 21 23 20) (7 28 42 13) (8 30 41 11) (6 25 43 16)

V = (9 11 16 14) (10 13 15 12) (1 17 41 40) (4 20 44 37) (6 22 46 35)

H = (25 27 32 30) (26 29 31 28) (3 38 43 19) (5 36 45 21) (8 33 48 24)

O = (1 3 8 6) (2 5 7 4) (9 33 25 17) (10 34 26 18) (11 35 27 19)

B = (33 35 40 38) (34 37 39 36) (3 9 46 32) (2 12 47 29) (1 14 48 27)

N = (41 43 48 46) (42 45 47 44) (14 22 30 38) (15 23 31 39) (16 24 32 40)

En cykelnotation for de grundlæggende operationer− opfattet som permutation af Z20− opnåsmed Singmaster-notationen.

F = (fvo foh fhn fnv) (fo fh fn fv)

V = (vbo vof vfn vnb) (vo vf vn vb)

H = (rfo rob rbn rnf) (ro rb rn rf)

O = (ofv ohf obh ovb) (of oh ob ov)

B = (bov bvn bnh bho) (bo bv bn bh)

N = (nvb nfv nhf nbh) (nb nv nf nh)

At en kant ikke kan blive til et hjørne afspejler sig også i formen af cykelnotationen.

3.1.3 Om ordenen af permutationer

Vi har i definitionen 2.24 angivet, hvad ordenen af en permutation er.

Lemma 3.13. Den cykliske permutation τ =(a1 a2 ar) af Zn, r ≤n, har orden r.

Bevis. Vi skal vise, at for alle x∈Zn gælder τ r(x) = x, og at r er det mindste naturlige tal, sådette gælder for alle elementer i Zn. Lad x ∈ Zn, som ikke er blandt a1, a2, a3, , ar. Dergælder, at τ(x) = x, hvorfor x har orden 1. Ethvert multiplum af 1 − altså alle de naturligetal− vil derfor opfylde τ r(x) = x. Vi kan således begrænse os til tilfældet, hvor x er blandt ele-menterne a1, a2, a3, , ar.

Antag derfor, at x = ai, 1 ≤ i ≤ r. Der gælder øjensynligt, at τ r(ai) = ai. Altså har vi vist,at τr(x) = x,∀x∈Zn. At r er det mindste naturlige tal, for hvilket det gælder, følger af, at ele-menter i mængden a1, a2, a3, , ar er forskellige, altså at ingen elementer bliver gentaget.

I eksemplet 3.12 er de grundlæggende operationer for terningen skrevet som en sammen-sætning af disjunkte cykler af længde 4. Vi ved i forvejen, at F − både på Z48 og Z20 − harorden 4, men får man en vilkårlig og mere kompliceret permutation skrevet op som en sam-mensætning af disjunkte cykler, kan man bruge følgende resultat.

Lemma 3.14. Lad σ∈Zn, og lad γ1 γ2 γk være en cykelnotation for σ. Ordenen af σ erdet mindste fælles multiplum af længderne r1, r2, , rk af cyklerne γ1, γ2, , γk.

Bevis. Betragt de k disjunkte cykliske permutationer γi af Zn af længde ri. Lad symboletmfm(r1, , rk) betegne det mindste fælles multiplum af længderne r1, , rk. Vi viser pr. induk-tion på k, at γ1 γ2 γk har orden mfm(r1, , rk).

28

For k = 1, har vi σ = γ1 = γ1 Id, hvorfor σ er cyklisk, så dens orden er ifølge lemma 3.13r1 =mfm(r1, 1), da identitetsfunktionen har orden 1.

Antag derfor, at resultatet gælder for k − 1, altså at ordenen af τ = γ1 γ2 γk−1 ermfm(r1, , rk−1) = m. Vi har σ = τ γk = γ1 γ2 γk

−1 γk. Ifølge lemma 3.13 har γk

orden rk. Vi har,

σmfm(m,rk) = (τ γk)mfm(m,rk)

= τmfm(m,rk) γkmfm(m,rk)

(3.4)

= Id (3.5)

hvor (3.4) følger af lemma 3.4, da τ og γk er disjunkte, og (3.5) følger af, at eksponenterne ermultipler af permutationernes orden.

Vi mangler nu at vise, at der ikke findes t <mfm(m, rk), t∈N, så σt = Id. Antag derfor, at

t findes, så vi har σt = (τ γk)t = Id. Da σ og γk er disjunkte, er σt = Id og γk

t = Id, hvorfor t eret multiplum af både m og rk. Men da det antages, at t < mfm(m, rk), kan det ikke lade siggøre. Altså har vi vist, at ordenen af en sammensætning af k disjunkte cykliske permutationerγi af Zn af længde ri er mfm(m, rk), som også kan skrives mfm(r1, , rk).

Da to cykelnotationer for en permutation består af cykler, hvis længder stemmer overens,følger påstanden.

Vi anvender ovenstående lemma på processen P = HFFB−1OB−1, hvis orden blev påståetat være 1260− som permutation af Z48− i afsnit 2.3.3. En cykelnotation for P er,

P = (1 19 46 38 27 9 8 40 48 3 35 25 14 32 33) (2 47) (4 29 31 13 28 18 23 10 36 45 20 21 7

42) (5 37 26 12) (6 43 22 11 30 16 17 24 41) (34 39)

Ovenstående består af to 2-cykler, én 4-cykel, én 9-cykel, én 14-cykel og én 15-cykel. Altså erordenen af P ifølge lemma 3.14:

mfm(2, 4, 9, 14, 15)= 4× 9× 7× 5= 1260

Singmaster-notationen bruges nu, og en cykelnotation for P, betragtet som en permutation afZ20 er,

P =(fh of nf ov bh nh fv) (bv oh) (nb ob) (obv ofh nvb nbh ohb) (nfv ovf nhf)

Ovenstående cykelnotation består af en 7-cykel, to 2-cykler, en 5-cykel, og en 3-cykel. Ifølgelemma 3.14 har P orden mfm(2, 2, 7, 5, 3)= 210.

At P har orden 210 som permutation på Z20, men orden 1260 som permutation på Z48,fortæller os, at alle småterningerne vender tilbage til deres oprindelige pladser efter 210 genta-gelser af P, skønt enkelte småterninger bliver vendt eller drejet i forhold til den oprindelige til-stand.

Vi ønsker så at vide, hvordan fladerne på småterningerne bliver permuteret, og betragterderfor Q = P210 som en permutation på Z48. Det følger, at Q nødvendigvis må have orden1260

210=6.

Vi kigger derfor på Q,Q2,Q3,Q4 ogQ5, som illustreret på figur 3.1.

Bemærkning 3.15. Når vi, som nu, vil eksemplificere en proces’ virkning på Rubiks terning,er det naturligt at vælge den løste tilstand som start-tilstand, hvorfor en proces antages atpåføres den løste tilstand, medmindre andet er specificeret.

29

(a) Q (b) Q2 (c) Q3 (d) Q4 (e) Q5

Figur 3.1.

Efter udføreslen af Q er det blot fem småterninger, som ikke vender ”rigtigt”. Det drejersig om ’bv’-, ’fov’-, ’fvn’-, ’oh’-, og ’nhf’-terningerne, altså tre hjørner og to kanter. Altsåbliver disse vendt eller drejet efter hver udførsel af Q.

Hvad kanterne angår, bliver de vendt efter hver udførsel af Q, hvorfor de vender rigtigtefter hveranden udførsel af Q. Altså må en cykelnotation for Q indeholde to transpositioner.

Ligeledes for hjørnerne. Disse bliver drejet og vender rigtigt efter hver tredje udførsel af Q.Derfor må enhver cykelnotation for Q indeholde tre 3-cykler. Følgelig er ordenen af Q talletmfm(2, 3)=6. Det oplyses, at Q=(5 26)(6 11 17)(12 37)(16 41 22)(24 43 30).

3.2 Basale gruppe-begreber

3.2.1 Grundlæggende gruppeteori

Vi lader permutationerne være et øjeblik, men vender tilbage til dem lidt senere. Vi kigger istedet for på grupper , som vi har defineret i forrige kapitel. De relativt få krav fra definition2.30 er allerede brugbare i den forstand, at de inducerer generelle resultater om grupper, altsåuanset gruppens operation og naturen af gruppens elementer.

Notation 3.16. Når man arbejder med en gruppe som struktur, er operationens sande naturoverflødig, hvorfor symbolet for operationen også vil blive udeladt i regnestykkerne. Specieltbetegner gruppen G en mængde G udstyret med en passende operation.

Endvidere, når operationen udføres mellem to elementer a og b i G skrives blot ’ab’ fremforeksempelvis ’a ⋆ b’, som man egentligt burde i forhold til definition 2.30. Da operationenopfører sig notationsmæssigt som den velkendte multiplikation, tiltales ’ab’ som produktet afa og b.

Endvidere, for g ∈G fastsætter vi følgende notation.

• For n∈N, gn = gg gn gange

. Specielt sættes g0 = e, hvor e er det neutrale element i G.

• Symbolet g−1 betegner det inverse element til g i G.

• For n∈N, g−n =(g−1)n. Specielt er g−0 =(g−1)0 = e, da g−1∈G.

Ovenstående notation er blot en formalisering til alle grupper af den notation, vi allerede harbrugt med permutationer.

Definition 3.17. Lad G være en gruppe, og lad g,h ∈G. Vi siger, at g og h kommuterer, hvisgh = hg. Gruppen G kaldes kommutativ − eller abelsk − såfremt samtlige par af elementer igruppen kommuterer.

30

Lemma 3.18. Lad G være en gruppe, og lad g, h∈G. Der gælder følgende potensregler:

i. gp+n = gpgn

ii. gpn =(gp)n

iii. (gh)n = gnhn, når gh=hg

Bevis.

i. gp+n = ggg gggp+n gange

= gg gp gange

gg gn gange

= gpgn.

ii. gpn = gg gpn gange

= gg gp gange

gg gp gange

gg gp gange

gg gp gange

= gpg p gpn gange

=(gp)n .

iii. (gh)n = ghgh ghn gange gh

=gh=hg

ggg ghh h= gnhn.

Gruppeoperationen er en binær operation, som også kaldes for en binær funktion. Dette inde-bærer, at for en operation f : G ×G→G, er f(g, h) ∈G entydig. Dette medfører, at for vilkår-lige g, h og k i G, gælder g =h⇒ gk =hk. Det omvendte gælder også ved følgende lemma.

Lemma 3.19. Lad G være en gruppe og lad g, h og k være elementer i G. Hvis gk = hk, dagælder der g =h. Ligeledes medfører kg =kh, at g = h.

Bevis. Vi viser det første tilfælde. En tilsvarende argumentation viser det andet tilfælde.

Lad g, h og k være som defineret. Vi har:

gk = hk

⇒ gkk−1 =hkk−1

⇒ g(kk−1) =h(kk−1)

⇒ ge=he

⇒ g =h

Lemma 3.20. I en gruppe G er det neutrale element entydigt.

Bevis. Antag, at der findes to neutrale elementer e1 og e2. Der gælder e1 = e1e2 = e2.

Lemma 3.21. Lad G være en gruppe, og lad g ∈G. Da er g−1 entydigt.

Bevis. Antag, at der findes h, k ∈ G, så gh = e, og gk = e. Da gælder gh = gk. Ved lemma3.19 gælder, at h=k. Altså er inverser entydigt bestemte.

Lemma 3.22. Lad G være en gruppe, og lad g, h∈G, så gh= e. Da gælder hg = e.

Bevis. Vi viser, at inversen til g er h. Lad g−1 være inversen til g. Da gælder specielt:

gg−1 = e= gh

Ved lemma 3.19 har vi nu g−1 =h, hvorfor h er inversen til g. Altså gælder hg = e.

31

Generelt set er invers-egenskaben dual, idet vi har (g−1)−1 = g.

3.2.2 Rubiks gruppe som endelig gruppe

Definition 3.23. Lad G være en gruppe. Ordenen af G, betegnet |G| er antallet af ele-menter i G, såfremt G er en endelig mængde. I så fald kaldes gruppen endelig. Er G en uen-delig mængde skrives |G|=∞, og gruppen kaldes uendelig.

Endvidere kaldes det mindste positive naturlige tal n, så gn = e (hvis den findes) g’s orden,og man skriver |g |=n.

Vi har i forrige kapitel defineret Rubiks gruppe til at bestå af mængden δ(Tr) af alle depermutationer, man kan dreje sig frem til, udstyret med ” ” som gruppeoperation. Da det føl-gende skal handle meget om Rubiks gruppe, er det praktisk at navngive denne gruppe, og vikalder den for R.

Det er her vigtigt at gøre klart, at R består af permutationer, altså bijektive funktioner afZ48, og svarer til de permutationer af de 48 flader af terningen, som man kan dreje sig frem til.Alle processer skabt som en muligvis tom følge af elementer taget i F , V , H, O, N , B svarer

til en entydig permutation og er med i R. Processerne F 3 og F 7 er dog eksempelvis detsamme element i R, idet de omdeler de 48 flader på samme måde.

Rubiks gruppe er en ikke-kommutativ gruppe, idet FR og RF eksempelvis ikke er sammepermutation. Da der øjensynligt er et endeligt antal måder at omdele de 48 flader på, erRubiks gruppe dog endelig.

Gruppen for 15-spillet er også en endelig gruppe, idet der findes endelige mange måder atomdele 15 brikker på 15 pladser, skønt vi om lidt skal se , at dette er en grov opadbegræns-ning for, hvor mange permutationer, der kan opnås.

Af definitionen 2.28 følger nu, at enhver gruppe bestående af permutationer svarende tilfølger af træk i et permutationspuslespil, er endelig. Vi vil derfor rette vores studier afgrupper til det endelige tilfælde.

Lemma 3.24. Lad G være en endelig gruppe, og lad g ∈ G. Ethvert element i G har endeligorden.

Bevis. Lad g ∈ G. Alle potenser af g, altså gi for i = 1, 2, 3, , er elementer i G, og da G erendelig, må der på et tidspunkt gentages et element af G i følgen g, g2, g3, og derfor findes

der naturlige tal k og j, k > j, så gk = gj. Der gælder:

gkg−1 g−1j gange

= gk−j = gjg−1 g−1j gange

= e

Da k − j > 0, kan vi konkludere, at g har højst orden k − j, hvilket gør rede for, at elementer ien endelig gruppe har endelig orden.

Dermed har alle elementer i R endelig orden. Men dette resultat har vi allerede set, idet vihar vist, at enhver proces har endelig orden. Ovenstående lemma bekræfter dette mere for-melt, og fastlægger, at det ikke kun gælder for Rubiks terning, men er en generel egenskab forelementer i en endelig gruppe.

Følgelig gælder det også for 15-spillet. Starter man med en lovlig konfiguration, og udførerden samme følge af træk, så man ender i en lovlig konfiguration, vil man komme tilbage tilstart-tilstanden.

Lemma 3.25. Lad G være en endelig gruppe, og lad g∈G. Da findes der n∈N, så g−1 = gn.

32

Bevis. Hvis g = e, gælder lemmaet trivielt, idet n = 1 passer glimrende. Antag derfor g e.Da gruppen er endelig, har g endelig orden ved lemma 3.24, og derfor findes der et m ∈N, sågm = e. Da g e, har vi, at m> 1. Sæt derfor n=m− 1. Vi har:

ggn = g1+m−1 = gm = e

Ved lemma 3.22 gælder, at gn er inversen til g, altså g−1 = gn.

I permutationspuslespil-sammenhæng fortæller ovenstående lemma, at den inverse til enfølge af træk T kan opnås ved tilpas mange gentagne anvendelser af T . Det ligger også ibeviset, at gm−1 = g−1, hvor m er ordenen af elementet g, hvorfor eksempelvis F 3 = F−1 iRubiks terning.

Definition 3.26. Lad G være en gruppe, og lad S være en delmængde af G. Vi siger, at G erfrembragt af S, og skriver G= <S > , såfremt hvert element af G kan skrives som et endeligtprodukt −med gruppeoperationen − af elementer af S og deres inverser.

Elementerne af S kaldes frembringerne.Da en proces i Rubiks terning er en følge af de grundlæggende operationer, følger specielt

R= < F , V , H, O, N , B > . Der gælder her, at inverserne ikke er nødvendige for at frembringehele gruppen, men dette er et resultat, som kan generaliseres til alle endelige grupper.

Lemma 3.27. Lad G være en endelig gruppe, og lad S være en delmængde af G. Da ergruppen G frembragt af S, altså G = < S > , hvis og kun hvis samtlige elementer af gruppen G

kan skrives som et endeligt produkt (med gruppens operation) af elementerne i S.

Bevis. Vi viser de to veje.

”⇐ ”. Antag først, at gruppens samtlige elementer kan skrives som et endeligt produkt af ele-menterne i S. Da er G=<S > ifølge definition 3.26.

”⇒ ”. Antag nu, at G = < S > , og betragt et vilkårligt element g ∈ G. Da kan g skrives somet endeligt produkt af elementer i S og deres inverser, altså, har vi g = s1s2 sn−1sn, for

n ∈ N. Alle si’erne har den egenskab, at ∀si, 1 ≤ i ≤ n, enten si ∈ S eller si−1 ∈ S. For

si’erne i førstnævnte tilfælde gør vi ikke noget. Dem i andet tilfælde kan omskrives vedhjælp af lemma 3.25. Vi har nu omskrevet g som et endeligt produkt bestående udeluk-kende af elementer fra S.

3.2.3 Undergrupper og Rubiks gruppe

3.2.3.1 Undergrupper i R

Definition 3.28. En ikke tom delmængde H af en gruppe G kaldes en undergruppe, såfremtH, udstyret med samme operation som G, også er en gruppe.

Vi betragter en ikke-tom delmængde S af en endelig gruppe G og kigger på < S > . Ele-menterne i S er associative, da dette nedarves direkte fra G. For g ∈ S, har g ved lemma 3.24endelig orden − lad os sige n − og da potenserne g, g2, g3, , gn−1, gn = e er i < S > , inde-holder < S > det neutrale element. Til sidst for h ∈ < S > , skrives h som et produkt af ele-menter i S, hvorfor samtlige potenser af h også kan skrives som et produkt af elementer i S.Ved lemma 3.25 er h−1 altså også med i < S > , og vi har dermed bevist, at < S > udgør enundergruppe af− eller hele−G.

De mindste− ikke-trivielle− af slagsen er < g > = g, g2, g3, , gn−1, gn = e ved lemma-erne 3.24 og 3.27 , og < g > er en endelig kommutativ undergruppe af G af orden n.

33

Det er meget interessant, hvad Rubiks terning angår, for en ikke tom delmængde af ele-menter af R frembringer en undergruppe af R. Spilmæssigt indeholder sådan en undergruppealle de permutationer, man kan opnå udelukkende med frembringerne. Dette betyder, atundergruppen < S > er gruppen af spillet, hvor de tilladte træk er blevet begrænset til netopfrembringerne. Undergruppen < F , H > af R er eksempelvis gruppen af spillet på terning,hvor man må blande og løse terningen udelukkende med processerne F og H.

At begrænse sig til et par processer i terningen og kigge på dens virkning gør, at manbedre kan lære processer, som flytter bestemte småterninger. En proces skabt udelukkendemed F og H har mindst 5 småterninger som fikspunkter.

Rent gruppeteorimæssigt er det også interessant at se, hvor stor en del af R, der bliverfrembragt. Det er overraskende nok svært at finde små undergrupper frembragt af simple pro-cesser. Størrelsen bliver ret hurtigt stor, måske på nær med de helt simple. For eksempel erundergrupper frembragt af den ene grundlæggende operationer − < F > eller < H > − hartrivielt orden 4. Undergrupper frembragt af to af de grundlæggende operationer, som ikke erdisjunkte− for eksempel<F ,B > , <V ,H > −har orden 73483200.

Eksempel 3.29. Vi vælger to af de grundlæggende operationer X og Y i F , V ,H,O,N ,B,og kigger på < X2, Y 2 > . Der er tale om en undergruppe af R, som svarer til at begrænse detilladte drejninger til siderne X og Y , og med halve drejninger ad gangen.

Er siderne ikke naboer, kan de drejes uafhængigt af hinanden, og sådanne undergrupperhar orden 4. Et par eksempler derpå er < F 2, B2 > eller < V 2, H2 > . Endvidere er dissegrupper eksempler på det direkte produkt af to grupper, som vi vil definere lidt senere.

Er siderne naboer, er der tale om en større gruppe, og disse undergrupper kaldes for to-kvadrater undergrupper . Vi kigger på U = < H2, O2 > . Det er en tung, men ikke svær opgaveat finde frem til dens elementer:

U = e, H2, H2O2, O2H2, H2O2H2, (H2O2)2, (H2O2)2H2, (H2O2)3, (H2O2)3H2, (H2O2)4,

(H2O2)4H2, (H2O2)5, (H2O2)5H2

Altså har U orden 12. Ved symmetri har alle to-kvadratter undergrupper orden 12. Lad oskigge på (H2O2)3, som er et element i U . Det er en forholdsvis nem proces at udføre og huske,som har disjunkt cykelnotation (2 7) (18 34) (21 36) (28 29). Den bytter altså om på to

par kanter. Ved symmetri bytter (X2Y 2)3 også om på to par kanter, hvor X og Y er to sideraf Rubiks terning med småterninger tilfælles. På figur 3.2 er illustreret, hvordan nogle af disseprocesser virker på den løste tilstand.

(a) - (H2O2)3 (b) - (H2N2)3 (c) - (V 2F 2)3 (d) - (V 2F 2)3 set fra bunden

Figur 3.2.

En anden måde at karakterisere undergrupper i R er med den fælles virkning gruppe-ele-menterne har på terningen. Ovenstående processer − (X2Y 2)3, hvor X og Y er naboer − ereksempler på processer, som ikke flytter på hjørner. Sammensætning af to permutationer, somikke flytter på hjørner igen, er en permutation, som ikke flytter på hjørner. Identitetsfunk-tionen flytter heller ikke på hjørner, og den inverse til en permutation, som ikke flytter påhjørner, flytter heller ikke på hjørner. Mængden af alle de permutationer svarende til pro-cesser, som ikke flytter på hjørner, udgør altså en undergruppe.

34

Et andet eksempel på en undergruppe er mængden af alle de permutationer af R, som harsom fikspunkter mindst alle småterninger, som ikke er en del af siden O. Denne undergruppeer blevet studeret specielt meget, idet en populær metode til at løse terningen løser lag efterlag og slutter med siden O.

3.2.3.2 Rubiks gruppe som undergruppe

Hvis man tillader som træk at skille terningen ad og samle den igen, har vi allerede beregnet,at mængden G af alle permutationer, som opnås, har 8! · 38 · 12! · 1212 elementer. Mængden Rer trivielt en delmængde af denne mængde, og da G øjensynligt udgør en gruppe, er R enundergruppe af G. Vi vil derfor kunne udlede informationer om R ved at betragte R somundergruppe af G. Ordenen af G er |G|=38 · 8! · 12! · 212.

3.3 Grundlæggende grupper

Vores mål er at studere strukturen af Rubiks gruppe, det vil sige undersøge dens forhold tilandre kendte grupper. Før vi kan gøre det, skal vi kende til andre grupper. Vi kommer her indpå den cykliske gruppe af orden n − betegnet Cn − og den symmetriske gruppe af n ele-menter−betegnet Sn.

3.3.1 Den cykliske gruppe af orden n

Definition 3.30. En gruppe G kaldes cyklisk, såfremt den er frembragt af et element g ∈ G,altså G=< g > .

Det følger specielt, at en undergruppe frembragt af et element g i en endelig gruppe G eren endelig cyklisk gruppe, idet < g > = g, g2, g3, , gn−1, gn = e. For det uendelige tilfældekan vi betragte (Z, + ) som gruppe. Hvert element i Z kan trivielt skrives som en endelig sumaf 1’er eller (− 1)’er. Af denne grund har vi Z= < 1> med addition som gruppeoperation.

Vi kigger nu på mængden 0, 1, 2, , n − 1, n ≥ 1. Tager vi to elementer a og b i dennemængde, findes der entydige positive naturlige tal q og r, så a + b = q · n + r, med r < n. Vikan altså definere en operation på 0, 1, 2, , n − 1, nemlig addition modulo n, betegnet medsymbolet ’+’, så a + b = r (mod n). Med andre ord er ’addition modulo n’ resten af heltalsdivi-sionen af a+ b med n.

Eksempel 3.31. Vi har eksempelvis 3 + 1 = 4 (mod 5), da 4 = 0 · 5 + 4, og 3 + 2 = 0 (mod 5),da 3+2=1 · 5+0.

Mængden 0, 1, , n − 1, med n ≥ 1, udstyret med ’addition modulo n’ udgør en gruppe,hvor det neutrale element er 0. Eksistensen af det inverse element til a retfærdiggøres af dengængse addition, idet n− a∈0, 1, , n− 1 og har de ønskede egenskaber. Associativitet ned-arves af associativitet af den gængse addition. Afslutningsbetingelsen følger af definitionen afoperationen.

Da hvert element i gruppen kan skrives som en endelig sum af 1’er, er denne gruppe frem-bragt af det ene element − nemlig 1 − hvorfor den kaldes den cykliske gruppe af orden n

og betegnes Cn. Denne gruppe er specielt kommutativ. Det er bemærkelsesværdigt, at opera-tionen, knyttet til mængden, afhænger af mængdens størrelse.

35

I virkeligheden er det hovedsagligt C2 og C3, der er relevant for Rubiks terning, og da disseer tilpas små, kan man beskrive operationen på disse grupper fuldt ud ved den såkaldte ope-rationstabel.

C2:+ (mod 2) 0 1

0 0 11 1 0

C3:

+ (mod 3) 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

3.3.2 Den symmetriske gruppe af n elementer

I forrige kapitel har vi betegnet ved Sn mængden af alle de permutationer på Zn. Med andreord indeholder Sn samtlige permutationer af n objekter på n pladser. Et simpelt kombinato-risk argument giver, at man har n elementer til rådighed på den første plads, n − 1 elementerpå den anden plads, osv Altså er der n · (n− 1) · (n− 2) 2 · 1=n! forskellige elementer i Sn.

Sætning 3.32. (Sn, ) udgør en gruppe og kaldes den symmetriske gruppe af n elementer.

Bevis. Vi skal så her gøre formelt rede for, at mængden af alle de permutationer på Zn

udstyret med ” ” udgør en gruppe.Associativitet følger af lemma 2.9. Det neutrale element er identitetsfunktionen på Zn, og

de efterlyste egenskaber gælder ved lemma 2.12(i). Eksistensen af det inverse element retfær-diggøres af lemma 2.6 og har de ønskede egenskaber ved lemma 2.12(ii).

For vilkårlige σ og ρ permutationer i Sn gælder, at definitions- og billedmængden af densammensatte funktion σ ρ også er Zn, hvilket gør rede for, at σ ρ∈Sn.

En gruppe af permutationer − med ” ” som operation − kaldes i almindelighed en per-mutationsgruppe, hvorfor Sn er en permutationsgruppe. Det er dog udbredt at forbeholdebetegnelsen permutationsgruppe til undergrupper af Sn.

De grupper, som vi kan få ud af permutationspuslespil vil bestå af permutationer, ogdermed være en permutationsgruppe, eller rettere sagt, en undergruppe af Sn, men passenden. Rubiks gruppe er følgelig en undergruppe af S48.

Notation 3.33. For at lette notationen, og i overensstemmelse med den gældende gruppenota-tion, vil vi fra nu udlade ved sammensætning af permutationer. Således vil f g blive betegnetfg.

Betragt en r-cykel (a1 a2 ar). Vi har specielt, at

(a1 a2 ar)(ar ar−1 a1)= Id og (ar ar−1 a1)(a1 a2 ar)= Id

Det betyder, at inversen til en r-cykel selv er en r-cykel med elementerne i omvendt række-følge. Specielt er en transposition og dens inverse den samme permutation.

For σ med cykelnotation σ = γ1γ2 γk gælder nu, at σ−1 = γk−1γk−1

−1 γ1−1. Af ovenstående

er inverserne til γi’erne parvis disjunkte, og derfor har vi ved lemma 3.4, σ−1 = γ1−1γ2

−1 γk−1.

3.3.3 Den alterende gruppe af n elementer

Vi har set i afsnit 3.1.2, at banerne for en permutation σ ∈ Sn udgør en klassedeling af Zn. Vikan derfor definere ved m(σ) antallet af baner for σ, og lade mr(σ) betegne antallet af baneraf længde r.

36

Definition 3.34. Lad σ ∈Sn. Vi definerer funktionen ǫ:Sn→1,− 1 med forskrift,

ǫ(σ) = (− 1)k, k =n−m(σ), ∀σ∈Sn

Funktionen ǫ kaldes ’fortegnet’.

Dermed har en bestemt permutation af Sn enten fortegn 1 eller − 1. Da identiteten på Zn

kun har fikspunkter, har den n baner hver bestående af ét element. Derfor er fortegnet forǫ(Id) = (− 1)n−n =1.

En r-cykel på Zn har en bane af længde r og n − r baner af længde 1, hvorfor en r-cykelhar fortegn (− 1)r−1. En transposition har fortegn (− 1)n−(n−1) =− 1.

Lemma 3.35. Lad τ være en transposition og lad σ være en permutation, begge på Zn. Dergælder ǫ(στ) = (− 1)ǫ(σ).

Bevis. Antag, at τ ombytter elementerne a og b af Zn. Vi har set, at banerne for a og b i σ erenten disjunkte eller ens.

Antag, at de er disjunkte, og lad

Ba(σ)= a1 =a, a2, , ap ogBb(σ)= b1 = b, b2, , bq

Vi konstruerer banen for a i στ . For 1 ≤ i ≤ p − 1 gælder στ(ai) = τ(ai+1) = ai+1, da τ ikkeflytter på a2, , ap. Derefter gælder στ(ap) = τ(a1) = τ(a) = b = b1, og for 1 ≤ i ≤ q − 1, har viστ(bi)= bi+1 . Endelig, har vi στ(bq)= τ(b1)= τ(b)=a=a1. Altså har vi vist, at:

Ba(στ) = a1 =a, a2, , ap, b1 = b, b2, , bq

Banerne for a og b bliver altså slået sammen. De øvrige baner for σ, hvis elementer ikke flyttesaf τ , er også baner for στ . Altså har vi vist, at m(στ) =m(σ)− 1.

Antag nu banerne for a og b i σ er ens. Vi kan antage, at

Ba(σ)= a1 =a, a2, , ap, b1 = b, b2, , bq

Vi kigger nu på banen Ba(στ). For 1≤ i ≤ p − 1, har vi στ(ai) = ai+1. Nu finder vi frem til, atστ(ap) = τ(b1) = τ(b) = a = a1. Altså har vi vist, at Ba(στ) = a1 = a, a2, , ap og tilsvarende

er Bb(στ) = b1 = b, b2, , bq. Banen for a og b bliver altså splittet i to, mens de øvrige baner

for σ, hvis elementer ikke flyttes af τ , også er baner for στ . Altså m(στ)=m(σ)+1.

Vi kan nu udregne fortegnet for στ . Der gælder

ǫ(στ)= (− 1)n−m(τσ) =(− 1)n−m(σ)±1 =(− 1)ǫ(σ)

Sætning 3.36. Lad σ og µ være permutationer af Sn. Der gælder, ǫ(µσ)= ǫ(µ)ǫ(σ).

Bevis. Lad os betragte en cykelnotation for σ. Ifølge lemma 3.11 kan hver r-cykel i cykelnota-tionen omskrives som en sammensætning af r − 1 transpositioner. Altså kan σ skrives som ensammensætning af

∑

(r − 1)mr(σ) =∑

rmr(σ) −∑

mr(σ) = n − m(σ) transpositioner. Ladk =n−m(σ). Da har vi

µσ = µτ1 τk ,hvor τi er en transposition

Ifølge lemma 3.35, er ǫ(µτ1) = (− 1)ǫ(µ). Gør vi det k gange, fås

ǫ(µσ)= ǫ(µτ1 τk)= (− 1)kǫ(µ)= ǫ(µ)ǫ(σ)

37

Definition 3.37. Pariteten af en permutation σ ∈ Sn defineres som pariteten af antallet afcykler af lige længde i en disjunkt cykelnotation.

Specielt er identiteten lige, da en disjunkt cykelnotation for denne består af nul cykler aflige længde.

Sætning 3.38. En permutation, der er skrevet som sammensat af transpositioner, har sammeparitet som antallet af disse.

Bevis. Betragt σ ∈ Sn, en cykelnotation for den σ = γ1 γ2 γm, og antag, at den beståraf t lige cykler. Antag yderligere, at elementerne a og b flyttes af σ, og betragt transposi-tionen τ =(a b). Vi kigger på pariteten af στ .

Enten er a og b i den samme bane for σ og optræder dermed i den samme γk i cykelnota-tionen, eller også tilhører de hver deres bane og optræder dermed i de forskellige cykler γa ogγb i cykelnotationen.

Vi har behandlet begge tilfælde i beviset for lemma 3.35 og gengiver her de interessanteresultater.

I det første tilfælde fandt vi frem til, at Ba(στ) og Bb(στ) er disjunkte. Hvis γk er af ligelængde, består begge baner Ba(στ) og Bb(τσ) af enten et lige antal elementer eller også etulige antal elementer. En disjunkt cykelnotation for στ vil altså bestå af enten t− 1+ 2= t + 1eller også t − 1 cykler af lige længde. Hvis γk er ulige, vil kun den ene af Ba(στ) eller Bb(στ)bestå af et ulige antal elementer. En disjunkt cykelnotation for στ vil altså bestå af t + 1cykler af lige længde. Uanset tilfældet, vil στ have modsat paritet som σ.

I andet tilfælde fandt vi frem til at b ligger i Ba(στ). Hvis γa og γb består begge af et uligeeller et lige antal elementer, vil Ba(στ) bestå af et lige antal elementer, og en disjunkt cykelno-tation for στ vil bestå af enten t + 1 eller også t − 2 + 1 = t− 1 cykler af lige længde. Hvis kunden ene af γa eller γb består af et ulige − eller lige − antal elementer, vil Ba(στ) bestå af etulige antal elementer, og en disjunkt cykelnotation for στ vil bestå af t − 1 cykler af ligelængde. Så også i dette tilfælde vil στ have modsat paritet som σ.

Så uanset hvad har στ modsat paritet som σ.

Ifølge lemma 3.11 kan hver γi skrives som en sammensætning af transpositioner, hvorfor vikan antage, at σ kan skrives som sammensat af q transpositioner, så

σ = τ1τ2 τq

Da τi’erne er transpositioner, er de deres egen inverse. Så ved at sammensætte på begge sider

med τq−1 = τq fås στq = τ1 τq−1, og στq skifter paritet i forhold til σ. Specielt skifter

στqτq−1 τ1 paritet q gange og er lige, da στqτq−1 τ1 = Id. Af dette følger, at pariteten af σ erden samme som pariteten af q.

Sætning 3.39. En permutation σ ∈ Sn er lige, hvis og kun hvis den har fortegn 1 og ulige,hvis og kun hvis den har fortegn − 1.

Bevis. Vi viser tilfældet for de lige permutationer. En tilsvarende argumentation viser detulige tilfælde.

Antag, at σ er lige. Ved sætning 3.38 består σ, skrevet som en sammensætning af transpo-

sitioner, af et lige antal af dem. Altså, ǫ(σ) = ǫ(τ1 τ2k)= (− 1)2k =1 ifølge sætning 3.36.

Omvendt, antag at ǫ(σ) =1. Betragt σ skrevet som en sammensætning af transpositionerne

τ1, , τk. Ifølge sætning 3.36 har vi ǫ(σ) = ǫ(τ1 τk) = ǫ(τ1) ǫ(τk) = (− 1)k = 1. Da må k værelige. Ved sætning 3.38 er σ lige.

38

Vi fokuserer nu på mængden L af de lige permutationer i Sn. Da identiteten har lige for-tegn, er den med i mængden L. Endvidere, givet to lige permutationer, kan deres sammen-satte øjensynligt også skrives som en sammensætning af et lige antal transpositioner. Til sidst,da en transposition er sin egen inverse, er den inverse til en lige permutation også en lige per-mutation.

Dette betyder, at mængden af de lige permutationer i Sn udgør en undergruppe. Denbetegnes An og kaldes den alterende gruppe af n elementer .

Mængden U af de ulige permutationer udgør ikke en undergruppe. For det første er identi-teten ikke ulige, og for det andet er den sammensatte af to ulige permutationer en lige per-mutation.

Det er nu interessant at undersøge ordenen af An. For n = 1 består An af ét element,nemlig identiteten. Lad n ≥ 2, og betragt en vilkårlig transposition af Sn. Da en transpositionhar fortegn − 1, og i lyset af sætning 3.36, kan vi definere funktionen ϕ: L → U ϕ(σ) = στ ,∀σ ∈ L, hvor τ er en transposition. Med funktionen φ: U → L, φ(µ) = µτ , ∀µ ∈ U , gælderφϕ(µ) = µττ = µ og ϕφ(σ) = σττ = σ, hvorfor φ er den inverse funktion til ϕ. Altså er φ

bijektiv, og det følger, at L og U har samme antal elementer i sig. Da en permutation enten er

lige eller ulige, følger det, at der er netop|Sn|

2=

n!

2lige permutationer. Altså har vi |An|=

n!

2.

Lemma 3.40. Lad H være en gruppe frembragt af alle mulige 3-cykler af Sn. Da er H =An.

Bevis. Da en 3-cykel er lige, følger det umiddelbart sætning 3.36, at enhver sammensætningaf 3-cykler er lige, og derfor har vi H ⊆An.

Betragt nu en permutation σ af An. Da kan den skrives som en sammensætning af et ligeantal transpositioner. Vi fremstiller σ som et produkt af 3-cykler ved at tage to transposi-tioner ad gangen, og omskriver deres sammensætning på følgende måde.

• Har de et element tilfælles, omskriver vi (a b) (a c) til (a c b).

• Er de disjunkte, omskriver vi (a b) (c d) til (a c b) (b d c).

Derved kan man opnå en fremstilling af σ som en sammensætning af 3-cykler. Altså har vivist, at An ⊆H. Dermed er An =H.

3.4 Permutationspuslespil og paritet

3.4.1 Om 3-cykler og paritet

Mange permutationspuslespil har et paritetskrav, det vil sige, at konstruktionen af spillet ellerreglerne gør, at enhver lovlig følge af træk er en lige permutation. Det betyder gruppeteori-mæssigt, at deres permutationsgrupper er en undergruppe af An, hvor n er antallet af spilletsbrikker.

Dette har til følge, at alle de ulige permutationer ikke vil kunne udføres, heriblandt denmindste af dem alle, nemlig transpositionen. De mindste ændringer i sådanne spil − pånæridentiteten − er 3-cykler, hvis de kan udføres. Ved blot at forbyde de ulige permutationer erunderholdningsværdien forhøjet.

Hvis gruppen af spillet er hele An, og i lyset af lemma 3.40, er det blot om at sætte brik-kerne på plads ved gentagne 3-cykler. Er gruppen blot en undergruppe af An, findes der 3-cykler, som man ikke kan udføre, og hvilke er tit ikke trivielt at vide på forhånd.

Nu betyder det ikke, at produktionen af følger af træk, som svarer til 3-cykler nemmere afden grund.

39

3.4.2 Paritetskrav i Rubiks terning

En r-cykel (a1 ar) er lige hvis og kun hvis r er ulige. De grundlæggende operationer i Rubiksterning, set som permutationer i S20− altså en permutation af de uorienterede småterninger−er sammensætninger af et lige antal ulige permutationer (eksempel 3.12), hvorfor enhver per-mutation af småterningerne er en lige permutation.

Dette betyder, at der eksempelvis ingen proces findes, som for eksempel blot bytter om påto kanter eller to hjørner, idet den tilsvarende permutation af S20 ville være en transposition,altså en ulige permutation. Tilstande illustreret på figur 3.3(a) kan derfor ikke løses.

Endvidere svarer en permutation af de uorienterede småterninger til den sammensatte afen permutation af kanterne og en permutation af hjørnerne. For at den sammensatte kan værelige, må de enten begge to være lige eller begge to ulige.

Hvis vi nu betragter elementerne i R. De grundlæggende operationer skrevet som ieksempel 3.12 kan betragtes som sammensætninger af en lige permutation af kanternes flader,og en ulige permutation af hjørnenes flader. Ethvert element i R er derfor en lige permutationi kanternes flader. En permutation, hvis virkning på kanterne er en vending af et ulige antalkanter, er derfor ikke med i Rubiks gruppe, og det er eksempelvis umuligt at løse tilstandenillustreret på figur 3.3(b).

Endnu en tilstand, som ikke kan løses, er den illustreret på figur3.3(c), men er ikke en kon-sekvens af paritetskravene. Det kommer vi ind på i kapitel 4.

(a) (b) (c) (d)

Figur 3.3.

Alt dette er med til at gøre Rubiks terning så svær at løse. Processer, som flytter megetlidt, er ikke trivielle at finde. Nogle af de mindste ændringer i terningen er følgende:

• At cykle tre hjørner rundt− eksempelvis ved F−1OBO−1FOB−1O−1.

• At dreje to hjørner− eksempelvis VN−1V −1F−1N−1FOF−1NFVNV −1O−1.

• At cykle tre kanter rundt− eksemplevis ved HV −1O2H−1VF 2.

• At vende to kanter− eksemplevis FHBVOV −1OB−1H−1F−1V −1O−1LO−1.

Den sidstnævnte proces er illustreret på figur 3.3(d).

3.4.3 Gruppen af 15-spillet

Vi er nu udstyret til at kigge nærmere på gruppen af 15-spillet. Lad spillet have brikkernenummereret som på figur 2.6(a), og lad det tomme felt have nummerering ”16”. Vi gengiver, atgruppen af 15-spillet indeholder de lovlige følger af træk udført på en lovlig konfiguration, ogsom efterlader spillet i en lovlig konfiguration. Altså er en permutation i gruppen af 15-spilletundergruppe af S16, hvor ”16” er et fikspunkt. Gruppen af 15-spillet er altså en undergruppeaf S15.

40

Vi betragter nu en vilkårlig lovlig følge af træk F , der fører fra en lovlig konfiguration tilen anden. Hvis vi nu repræsenterer spillet som et ternet bræt − figur 3.4(a) − og følger dettomme felts færden ved en følge af træk, skifter farven på feltet, hvor ’16’ står, for hvert træk.Da ’16’ starter og slutter på samme felt, kan permutationen, som svarer til F , skrives som ensammensætning af et lige antal transpositioner, hvor ’16’ indgår.

(a) (b)

Figur 3.4.

Altså er enhver permutation i 15-gruppen lige, og dermed er 15-gruppen en undergruppe afA15.

Dette giver os mulighed for at identificere de ugyldige − i modsætning til gyldige − til-stande. Det mest berømte eksempel er illustreret på figur 3.4(b). Ved at spørge om man kanløse denne tilstand, efterlyser man en følge af træk påført denne, som fører til den løste til-stand. Antag, at sådan en findes. Denne permutation har disjunkt cykelnotation (14 15), somer ulige, og dermed ikke med i 15-gruppen, hvorfor tilstanden illustreret på figur 3.4(b) erumulig at løse.

Vi skal nu vise, at 15-gruppen er hele A15. Da vi har vist, at 15-gruppen ⊆ A15, er der til-bage at vise, at A15 selv er en undergruppe af 15-gruppen.

Vi begynder med en lovlig konfiguration, og betragter tre brikker a, b og c, som er naboer isamme række. Flyt det tomme felt lige under c, hvis det kan lade sig gøre, og ellers lige over c.Er det tomme felt lige under c, er vi i tilfældet repræsenteret på figur 3.5(a). Permutationen(16 c)(16 b)(16 a)(16 x)(16 y) fører til den lokale konfiguration på figur 3.5(b), og permuta-tionen (16 a)(16 b)(16 c)(16 a) fører videre til figur 3.5(c).

Nu fører (16 y)(16 x)(16 b)(16 c)(16 a) til figur 3.5(d). Det tomme felt kan nu føres tilbagetil sin oprindelige plads ved at permutere med de samme brikker som på vej dertil. Vi er altsågledet frem til en konfiguration, hvor b har taget a’s plads, c har taget b’s plads, og a hartaget c’s plads. Alle de andre brikker er ikke blevet flyttet. Den samlede permutation har dis-junkt cykelnotation (a c b).

(a) (b) (c) (d)

Figur 3.5.

Er det tomme felt lige over c, kan man vende ovenstående figurer og bruge de spejlvendtepermutationer til at permutere cyklisk på a, b og c. Er a, b og c i samme søjle, kan vi drejespillet 90 grader og bruge ovenstående.

Vi har altså vist, at vi kan udføre en 3-cykel med nabo-brikker på samme række eller søjle,hvorfor sådanne 3-cykler er med i 15-gruppen.

41

Betragt nu tre vilkårlige brikker a, b og c. Ved gentagne 3-cykler i søjler, kan vi stille demop, så a er på første række, b er på anden række og c er på tredje række. Ved 3-cykler i deresrespektive rækker, kan vi stille a, b og c i samme søjle yderst til højre, hvor de kan permuteresved at følge ovenstående, så b tager a’s plads, a tager c’s plads, og b tager a’s plads. Vi kannu− igen ved 3-cykler− udføre inverser til de permutationer, som har bragt a, b og c yderst tilhøjre og inverser til de permutationer, der har bragt dem på første, anden og tredje række.

Resultatet er en konfiguration, hvor b tager a’s plads, c tager b’s plads, og a tager c’splads, mens alle de andre brikker er fikspunkter. Altså kan vi udføre (a c b), hvor a, b og c ervilkårlige brikker. Man kan dermed konkludere, at 15-gruppen må indeholde alle produkter afalle mulige 3-cykler i S15. Altså er A15 en undergruppe af 15-gruppen ved lemma 1.40.Dermed har vi vist, at

Sætning 3.41. Gruppen af 15-spillet er A15.

Vi kan nu svare på, hvor mange forskellige konfigurationer, der kan opnås i 15-spillet, med

det tomme felt nederst til højre. Der er præcist15!

2.

3.5 Kommutatorer og konjugeringer

Når man som menneske − modsat computer − prøver at løse et permutationspuslespil − her-under Rubiks terning − er man nødt til at ’bide den over’, det vil sige, at man sætter brik-kerne på plads lidt efter lidt, og det er strategien, der bestemmer, hvilke brikker der skal først,og hvilke, brikker der skal sidst. Nogle strategier for terningen går ud på at løse den lag efterlag, mens andre sætter hjørnerne på plads efterfulgt af kanterne.

Uanset strategien bliver det vigtigt på et eller andet tidspunkt at kunne producere pro-cesser med mange fikspunkter, så de brikker, der er på plads, ikke flyttes. Sådanne kan produ-ceres ved hjælp af kommutatorer og konjugeringer.

3.5.1 Kommutatorer

Definition 3.42. Lad G være en gruppe, og lad g, h ∈ G. Kommutatoren for g og h er ele-mentet [g, h] = ghg−1 h−1.

Kommuterer elementerne g og h − altså gælder gh = hg − har vi [g, h] = e. Er G en per-mutationsgruppe, kan kommutatoren af to elementer opfattes som et mål for ’hvor meget’ deto elementer kommuterer. For to permutationer, som er næsten disjunkte, vil deres kom-mutator være en permutation, som flytter meget lidt.

Kommutatorer er derfor meget anvendelige indenfor permutationspuslespil, hvad produk-tionen af følger af træk med mange fikspunkter angår. Specielt kan vi kun producere lige per-mutationer med kommutatorer, som næste resultat viser.

Lemma 3.43. Lad σ, τ ∈Sn. Da gælder [σ, τ ]∈An.

Bevis. En permutation og sin inverse har øjensynligt samme cykelstruktur (samme antal afcykler i en vis længde i en cykelnotation). Det følger, at σ og σ−1 − og af samme grund τ ogτ−1− er enten begge lige eller begge ulige, hvorfor [σ, τ ] er lige.

42

Lemma 3.44. Lad σ, τ ∈ Sn så der findes netop ét element x∈Zn, som flyttes af både σ og τ.Da er [σ, τ ] en 3-cykel.

Bevis. Vi viser først, at z ∈Zn\x, σ−1(x), τ−1(x) er fikspunkt for [σ, τ ]. Da z ikke flyttes afbåde σ og τ , er der tre tilfælde.

Antag først, at z flyttes af hverken σ eller τ . Da flyttes z heller ikke af σ−1 eller τ−1,hvorfor [σ, τ ](z) = z.

Antag nu, at z flyttes af σ men ikke af τ . Da σ flytter på z, og da z σ−1(x), følgerσ(z) x, hvorfor τ ikke flytter på σ(z). Da z ikke flyttes af τ , og dermed heller ikke af τ−1,har vi,

[σ, τ ](z)=στσ−1τ−1(z)= τσ−1τ−1(σ(z)) =σ−1τ−1(σ(z))= τ−1(z)= z

Det sidste tilfælde, hvor z flyttes af τ men ikke af σ, viser tilsvarende [σ, τ ](z) = z.Vi har altså vist, at der er højst tre elementer af Zn, som flyttes af [σ, τ ]. Vi har nu tre til-

fælde.Hvis permutationen [σ, τ ] har x, σ−1(x) og τ−1(x) som fikspunkter, er [σ, τ ] identiteten.

Dette er imidlertid umuligt, idet

[σ, τ ](x)=στσ−1τ−1(x)= τσ−1τ−1(σ(x))= τ−1(x) x (3.6)

Hvis permutationen [σ, τ ] har den ene af x, σ−1(x) og τ−1(x) som fikspunkt, er [σ, τ ] en trans-position. Dette er også umuligt, da lemma 3.43 sikrer, at [σ, τ ] er lige.

Vi har altså kun det sidste tilfælde tilbage, altså er ingen af x, σ−1(x) eller τ−1(x) fiks-punkter, hvorfor [σ, τ ] er en 3-cykel.

Vi kan nu begynde at producere kommutatorer for Rubiks terning og begynder naturligtmed kommutatorer produceret af nogle af de grundlæggende operationer.

Definition 3.45. Lad W og X være to af de grundlæggende operationer, så siderne W og X

er naboer. Da er Y-kommutatoren[W ,X−1] =WX−1W−1X,

og Z-kommutatoren[W ,X] =WXW −1X−1

Disse to kommutatorer har fået deres navn ved det mønster, som de flyttede småterningerudgør. På figur 3.6(a) og (b) er illustreret henholdsvis virkningen af en Y-kommutator og enZ-kommutator på en løst terning, hvor de flyttede småterninger er mørklagte til lejligheden.

(a) Y-kommutator [L, F −1] (b) Z-kommutator [L, F ] (c) [[B, L−1], [F , R]]

Figur 3.6.

Vi kan nu anvende lemma 3.44 på eksempelvis [B, L−1] og [F , R]. De har blot småter-

ningen ’fvo’, som de begge flytter på. Da er [[B, L−1], [F , R]] en 3-cykel som permutation afS20, og dens virkning på den løste tilstand ses på figur 3.6(c).

43

Eksempel 3.46. Da kommutatorer virker mest hensigtsmæssige på processer, som er næstendisjunkte, prøver vi med [P , O], hvor P = H−1NHFNF−1. Processen P kaldes en mono-twist, da den drejer ’foh’, og det er den eneste småterning der bliver berørt af P på side O.At andre småterninger også flyttes betyder ikke noget her, for kommutatorerne [P , O], [P , O2]og [P ,O−1], som anvist på figur 3.7(a,b,c), viser sig at dreje på blot to hjørner.

(a) [P , O] (b) [P , O2 ] (c) [P , O−1]

Figur 3.7.

Definition 3.47. Lad G være en gruppe. Gruppen G′ frembragt af alle de kommutatorer

[g, h]|g, h∈G

kaldes kommutatorgruppen af G. Den kan også betegnes < [G,G]> .

Bemærk, at kommutatorgruppen ikke er mængden af alle de kommutatorer − idet dennemængde ikke nødvendigvis er en gruppe − men derimod er frembragt af alle kommutatorer.Specielt kan læseren overbevise sig selv om, at kommutatorgruppen for G er undergruppe afG. Vi skal bestemme kommutatorgruppen for Rubiks terning i kapitel 4.

Lemma 3.48. Kommutatorgruppen Sn′ for Sn, n ≥ 4 er An. Kommutatorgruppen An

′ for An,n≥ 4, er An.

Bevis. Lad σ og ϕ være permutationer af Sn. Ifølge lemma 3.43 er [σ, ϕ] en lige permutation,hvorfor Sn

′ ⊆An.Lad γ være en lige permutation af Sn. Permutationen γ kan ved sætning 3.38 skrives som

et produkt af et lige antal transpositioner. Altså har vi γ = τ1τ2 τ2k, for passende k. Nu, dan≥ 4, kan vi antage τiτi+1 =(a b)(c d). Vi har,

(a b)(c d) = (c a)(c b)(a c)(b c)(d b)(d c)(b d)(c d)

= (c a)(c b)(c a)−1(c b)−1(d b)(d c)(d b)−1(d c)−1

= [(c a), (c b)][(d b), (d c)]

Vi kan altså omskrive τiτi+1 til et produkt af kommutatorer for i = 1, 3, .2k − 1, og vi kandermed skrive γ som et produkt af kommutatorer. Altså er An ⊆ Sn

′ for n ≥ 4, og følgelig erSn′ =An.Anden del af lemmaet kan nu vises tilsvarende. Vi har An

′ ⊆ An, da An′ er en undergruppe

af An. Ovenstående regnestykke kan nu bruges til også at vise An ⊆An′ , hvorfor An =An

′ .

3.5.2 Konjugeringer

Definition 3.49. Lad g og h være i G. Da kaldes elementet

gh =hgh−1

den konjugerede af g med h.

44

Konjugering er nok det vigtigste værktøj, når man vil løse Rubiks terning, idet detanvendes til at lave nye processer fra gamle. Antag for eksempel, at vi har fundet ud af, atprocessen P = H−1VF 2HV −1O2 er en 3-cykel af kanterne ’ob’, ’fo’ og ’fn’, altså, at P har dis-junkt cykelnotation (ob fo fn) som permutation af S20. Vi vil imidlertid gerne have en 3-cykeli kanterne ’oh’, ’ov’ og ’of’. Vi udfører T = F 2O, så kanten på pladsen ’fo’ flyttes tilpladsen ’fn’, kanten på pladsen ’oh’ flyttes til pladsen ’fo’, og kanten på pladsen ’ov’ flyttes tilpladsen ’ob’. Andre småterninger bliver berørt af det, men det ser vi bort fra et øjeblik. Enudførsel af P vil cykle de tre ønskede småterninger rundt. En udførsel af T −1 bringer småter-ningerne tilbage til deres pladser, på nær de tre, som er blevet permuteret. Altså har permuta-tionen TPT −1 disjunkt cykelnotation (ov oh fo).

Har man en proces, som flytter bestemte småterninger, kan man altså bruge konjugeringtil at lade samme proces flytte på andre småterninger i stedet for. Det viser vi formelt i næstelemma.

Definition 3.50. Man siger, at g1 og g2 er konjugerede i G, hvis der findes h∈G, så g1 = g2h.

Bemærkning 3.51. Er g1 og g2 konjugerede, findes der et h∈G, så g1 = hg2h−1. Men så har

vi også g2 = h−1 g1h. Derfor findes også k = h−1∈G, så g2 = kg1k−1, hvorfor g2 og g1 er konju-

gerede. Er to gruppeelementer konjugerede, er rækkefølgen, man siger det i, underordnet.

Lemma 3.52. Lad g1 og g2 være elementer i Sn. Da er g1 og g2 konjugerede i Sn, hvis og kunhvis, de har samme cykelstruktur.

Bevis. Først viser vi den ene vej. Antag, at g1 og g2 er konjugerede i Sn, så der findes h ∈G,så g1 =h−1 g2h. Betragt i∈Zn, med g2(i)= j. Der er i og j i samme bane for g2. Vi har nu,

h−1 g2h(h(i))= g2 h(i) =h(j) =hg1(i)= g1(h(i))

hvilket viser, at h(i) og h(j) er i samme bane for g1. Altså har banerne for g1 og g2 sammestørrelse.

Vi viser nu den anden vej. Antag, at g1 og g2 har samme cykelstruktur. Vi kan skrive g1

og g2, så man starter med de mindste cykler.

g2 =(i1,1 i1,k1)(i2,1 i2,k2

) (ir,1 ir,kr)

g1 =(i1,1′ i1,k1

′ )(i2,1′ i2,k2

′ ) (ir,1′ ir,kr

′ ) (3.7)

hvor 1 < k1≤ k2≤ ≤ kr ≤n. Da cyklerne er disjunkte, kan vi konstruere h∈Sn, med forskrifth(ij ,l

′ ) = ij,l, for alle ij,l′ , som optræder i (3.52). De andre elementer af Zn er fikspunkter for h.

Følgelig er

hg2h−1(ij ,l

′ )= g2h−1(ij ,l) =h−1(g2(ij,l))= g1(ij ,l

′ ),∀ij ,l′ i(3.52)

For x fikspunkt af h gælder, at x også er fikspunkt for både g1 og g2. Så her gælder der,hg2h

−1(x)=h−1(g2(x))=x= g1(x). Altså har vi vist, at g1 =hg2h−1.

Det er netop det, der er kernen i konjugering. Konjugerer man en 3-cykel, vil man endemed en anden 3-cykel. Med de tidligere eksempler på processer, er vi nu teoretisk set i standtil at producere 3-cykler af vilkårlige hjørner eller kanter. Ligeledes vil den konjugerede til enpermutation, som drejer på to hjørner eller vender på to kanter, også dreje på to hjørner ellervende på to kanter.

Definition 3.53. Centret Z(G) af en gruppe G er mængden af elementer i G, som kommu-terer med alle elementer i G. Altså, har vi Z(G)= g ∈G|gh=hg,∀h∈G.

45

Det er klart, at centret af en gruppe aldrig er tomt, idet det mindst indeholder det neut-rale element. For g ∈Z(G), har vi g−1h = hg−1. Endvidere gælder for g, k ∈Z(G), gkh= hgk,

∀h ∈ G. Associativitet nedarves fra G, så centret i en gruppe G udgør en undergruppe af G.Derudover er Z(G)=G⇔G er kommutativ. Specielt er Z(G) kommutativ.

Lad g ∈ Z(G), og lad h ∈ G. Da har vi gh = hg ⇔ g = hgh−1, hvorfor elementerne i Z(G)er invariant under konjugering. Denne overvejelse hjælper med at se formen på elementerne icentret af R, for disse må først og fremmest lade småterningerne forblive på deres pladser.Med andre ord må den tilsvarende permutation af S20 være identiteten.

Endvidere vil elementerne i Z(R) have ens virkning på samtlige kanter og ens virkning påsamtlige hjørner. Processen, som vender samtlige kanter og lader hjørnene være uberørte, måderfor være en del af Z(R). Denne proces er kendt og kaldes en superflip. Den kan skrivessom:

HVFBONHVFBOF 2H−1VN2F−1H2V 2N2HV −1F 2NH2V 2N

Endvidere burde processer, som drejer samtlige hjørner lige meget, også være med i centret.Vi skal imidlertid se, at sådanne processer er umulige i Rubiks terning, og vi skal bestemmecentret af Rubiks terning mere formelt i kapitel 4.

Lemma 3.54. Centret af Sn, n≥ 3 er triviel.

Bevis. Lad σ e ∈ Sn, n ≥ 3. Da kan vi antage σ(a) = b, for a, b ∈ Zn. Betragt c ∈ Zn. Per-mutationen (a c)σ afbilder c til b, mens permutationen σ (a c) afbilder a til b, så σ og (a c)kommuterer ikke, hvorfor σ ikke er i Z(Sn). Dermed er Z(Sn), n≥ 3, triviel.

Centret af 15-gruppen er triviel, som næste lemma viser.

Lemma 3.55. Centret af An, n≥ 4, er triviel.

Bevis. Lad σ e ∈An, n ≥ 4. Da kan vi antage σ(a) = b, for a, b ∈Zn. Vi viser nu, at σ ikkekan være i Z(An). Betragt 3-cyklen (a c d), hvor c og d er elementer i Zn forskellige fra a og b.Den lige permutation (a c d) er i An, hvorfor samtlige elementer i centret af An kommuterermed den. Den sammensatte permutation (a c d)σ flytter d til b, mens permutationen σ(a c d)flytter a til b. Altså kommuterer σ og (a c d) ikke, hvorfor σ ikke kan være i centret. Dermeder Z(An), n≥ 4 triviel.

3.6 Baner og gruppevirkninger

Definition 3.56. En (højre-)gruppevirkning af en gruppe G på en ikke-tom mængde A eren funktion f :A×G→A med følgende egenskaber:

i. ∀a∈A gælder f(a, e)=a, .

ii. For g, h∈G gælder f(f(a, g), h)= f(a, gh),∀a∈A.

Findes en sådan gruppevirkning af G på A, siger man, at gruppen G virker på A.

Har man en gruppevirkning f af G på A, kan vi for hvert element g ∈ G definere funk-tionen fg:A→A med forskrift fg(a) = f(a, g),∀a∈A. Betingelsen (i) fra ovenstånde definitionkan omformuleres til at fe = Id og (ii) kan omformuleres til fg fh = fgh ∀g, h ∈ G. Man kanderfor tænke på en gruppevirkning som en mængde af funktioner fg:A→A|g∈G, for hvilkeder gælder de omformulerede betingelser (i) og (ii).

46

Dette er relevant indenfor permutationspuslespil, hvor formålet med spillene er at opnå enforuddefineret tilstand. Vi gengiver fra definition 2.28 for permutationspuslespil, at hvis enpermutation svarer til forskellige følger af træk, så skal de opnåede tilstande ikke kunneskelnes. Dette betyder også, at for hvert g i permutationsgruppen, kan vi definere fg: A → A,hvor A er mængden af de opnåelige tilstande, og hvor fg(a) er entydig for alle a ∈ A. Nu harvi (i) trivielt, da fe = Id. For en lovlig følge af træk P1, som svarer til permutationen g, og enlovlig følge af træk P2, som svarer til permutationen h, sikrer (iv) fra definition 2.28, at P1

efterfulgt af P2 − hvis de kan udføres efter hinanden − svarer til permutationen gh. Følgelighar vi fgh = fg fh. Gruppen af et permutationspuslespil virker altså på mængden af de opnå-elige tilstande.

Betragt mængden T af alle tilstande i Rubiks terning, altså alle de farvninger, som kanopnås ved tilfældigt at samle den adskilte terning. Lad f :T×R→T være naturligt defineret,så for alle (T ,P)∈T×R, er f(T ,P) den resulterende tilstand, som terningen kommer i efterat have udført − en proces, som svarer til − P på terningen i tilstand T . Funktionen f er engruppevirkning af R på T.

Ligeledes virker 15-gruppen på mængden af de mulige permutationer af de 15 nummere-rede brikker.

Definition 3.57. Lad gruppen G virke på mængden A. Da er banen for a∈A− under dennegruppevirkning −mængden fg(a)|g ∈G.

Antag nu, at et element c ∈ A ligger både i banen for a ∈ A og for b ∈ A. Altså findes derg1, g2∈G, så fg1

(a)= fg2(b)= c. Da a= fg1g

1

−1(a)= fg1

−1(fg1(a))= fg

1

−1(c) følger, at

a= fg1

−1(c)= fg1

−1(fg2(b))= fg2g

1

−1(b)

Altså ligger a i banen for b, hvorfor banerne for a og b er ens. Med andre ord, har to baner etelement tilfælles, er disse to baner ens. Da banen for a indeholder mindst elementet a, dafe(a) = a, er en bane aldrig tom. Mængden A kan følgelig inddeles i ikke-tomme baner ogudgør derfor en klassedeling af A.

Banen for en tilstand T0 under gruppevirkningen R er alle de tilstande, man kan dreje sigefrem til fra T0. Hvis T0 er den løste tilstand, består banen for T0 af alle konfigurationerne iRubiks terning. Antallet af baner, som mængden T af tilstande i Rubiks terning deles i, erinteressant at undersøge, og dette bliver gjort i næste kapitel.

Eksempel 3.58. Antallet af baner i 15-spillet− under virkning af 15-gruppen på mængden afde mulige permutationer af de 15 nummererede brikker− er to.

Definition 3.59. Lad en gruppe G virke på en mængde A. Gruppevirkningen kaldes tran-sitiv, såfremt for hvert par (a, b), a, b∈A findes g∈G så fg(a) = b.

Med andre ord er en gruppevirkning transitiv, såfremt et vilkårligt element af A kansendes over til et vilkårligt element af A. Følgelig er alle elementer af A i samme bane ved entransitiv gruppevirkining på A.

Gruppevirkningen af R på T er ikke transitiv. Dog virker G transitivt på mængden T, ogR virker ligeledes transitivt på mængden Tk ⊂T af alle konfigurationer.

Definition 3.60. Lad en gruppe G virke på en mængde A. Gruppen G virker frit på A,såfremt fg(a)=a ,∀a∈A medfører g = e.

47

Der gælder øjensynligt, at både G og R virker frit på både T og Tk. Dette gælder dog ikkefor alle permutationspuslespil. Har et spil brikker, som ikke kan skelnes med det blotte øje, ergruppevirkningen af permutationsgruppen på mængden af tilstande ikke fri, idet nogle per-mutationer blot kan permutere ens brikker, hvorfor start- og slut-tilstanden ser ens ud.

Lemma 3.61. Lad G være en gruppe, som virker transitivt og frit på en mængde A. Derfindes en bijektiv funktion mellem G og A.

Bevis. Lad f være en transitiv, fri gruppevirkning af G på A, og lad a ∈ A. Vi definerer forhvert a ∈ A funktionen fa: G→ A med forskrift fa(g) = f(a, g), ∀g ∈ G. Specielt gælder for f ,at fa(e) = a og fa(g1g2) = f(a, g1g2) = fa(g1) fa(g2). Billedet fa(G) består af elementerne ibanen for a. Da f er transitiv, har vi f(G)=A, hvorfor fa er surjektiv.

Lad g1, g2∈G, og antag, at fa(g1)= fa(g2). Vi har,

fa(g2 g1−1)= fa(g2) fa(g1

−1)=fa(g1) fa(g1−1)= fa(g1 g1

−1)= fa(e)=a

Da f antages at virke frit på A, har vi, at g2g1−1 = e, hvorfor g1 = g2. Altså er fa injektiv.

Ovenstående lemma opretter en enestående korrespondence mellem en gruppe og denmængde, som den virker transitivt og frit på. En af konsekvenserne er, hvad vi egentligt harantaget hidtil. Antallet af konfigurationer i Rubiks terning er lig med ordenen af R.

3.7 Om at sammenligne grupper

Definition 3.62. Lad (G1, ⋆ ) og (G2, ∗ ) være to grupper. En funktion f : G1 → G2, somopfylder f(a ⋆ b)= f(a) ∗ f(b) for alle a og b∈G1 kaldes en homomor.Eksempel 3.63. Man kan vise, at − 1, 1 udstyret med den sædvanlige multiplikation udgøren gruppe med 1 som neutralt element. Fortegnet ǫ: Sn→1,− 1 udgør en gruppehomomorfi,idet vi allerede har vist, at ǫ(στ) = ǫ(τ) · ǫ(σ).

En homomorfi har den forunderlige egenskab, at den er strukturbevarende, som næstelemma viser.

Lemma 3.64. Lad f :G1→G2 være en homomor. Der gælder:

i. f(e1)= e2, hvor e1 (hhv. e2) er det neutrale element i G1 (hhv. G2)

ii. f(g−1)= f(g)−1, for alle g∈G1

Bevis. Antag, at G1 har operation ⋆ , og at G2 har operation ∗ . Lad g ∈G1.

i. e2 = f(g)−1 ∗ f(g)= f(g)−1 ∗ f(g ⋆ e1)= f(g)−1 ∗ f(g) ∗ f(e1)= f(e1)

ii. f(g)−1 = f(g)−1 ∗ e2 = f(g)−1 ∗ f(e1)= f(g)−1 ∗ f(g ⋆ g−1)= f(g−1).

Eksempel 3.65. Hver permutation af R inducerer en permutation af de otte hjørner − altsåen permutation af S8 − og de tolv kanter− altså en permutation af S12 − når småterningernebetragtes uorienterede. Vi kan altså definere ρ: R→ S8, hvor ρ(g) er den tilsvarende permuta-tion af de uorienterede hjørner. På samme måde kan vi nu definere funktionen σ: R → S12,hvor σ(g) er den tilsvarende permutation af de uorienterede kanter. Både ρ og σ er homomor-fier.

48

Definition 3.66. Lad G1 og G2 være endelige grupper. En homomorfi f : G1 → G2 kaldes enisomor, såfremt f er en bijektion. I så fald siges G1 og G2 at være isomorfe, og vi skriverG1 < G2. En isomorfi med samme gruppe som definition- og billedmængde kaldes en auto-mor.

En isomorfi f mellem to grupper G1 og G2 er en stærk egenskab, for den ene gruppe kanopfattes som en kopi af den anden gruppe. Det indebærer først og fremmest, at G1 og G2 harsamme orden. Derudover sikrer homomorfi-egenskaben, at de to operationer opfører sig ens,hver i deres respektive mængder. Har et element g ∈G1 orden r, så har f(g) orden r i G2. Enisomorfi er altså det gruppeteoretiske lighedstegn mellem to grupper.

Eksempel 3.67. Vi kigger på en undergruppe af R, nemlig < F > = Id, F , F 2, F 3. Dennegruppe, og alle undergrupper af R frembragt af den ene grundlæggende operation, er isomorfmed C4.

Eksempel 3.68. Vi kigger nu lidt på lommeterningen. Gruppen af lommeterningen R2

består af permutationer af S24. Enhver proces på Rubiks terning vil kunne udføres på lomme-terningen. Endvidere udgør de permutationer af hjørnernes flader af Rubiks terning engruppe, som er isomorf med R2.

Eksempel 3.69. Grupper af orden to er isomorfe.

Billedet af homomorfien f :G1→G2 er, som vi har set i afsnit 2.1,

Im(f)= g∈G2 |∃g1∈G1, f(g1)= g

Vi betragter nu mængden af elementer i G1, hvis billede ved f er det neutrale element i G2.Denne mængde kaldes kernen af homomorfien.

Ker(f)= g ∈G1|f(g)= e2

Lemma 3.70. Lad f :G1→G2 være en homomorfi mellem to grupper. Da er f injektiv hvis ogkun hvis Ker(f)= e1.

Bevis. Lad g, h∈G1. Antag, at f(g) = f(h). Da f er homomorfi, har vi f(gh−1) = e2. Altså,gh−1∈Ker(f), hvorfor gh−1 = e1, og vi får g =h, hvilket viser den ene vej.

Antag omvendt, at f er injektiv. Da medfører f(g) = e2 = f(e1), at g = e1, hvorfor kernenaf f er triviel.

3.8 Det direkte produkt af to grupper

Foreløbigt kender vi kun få grupper. Udfra to grupper er der en naturlig måde at konstruereen tredje gruppe på. Vi kigger på det direkte produkt af to grupper.

Definition 3.71. Lad G1 og G2 være to grupper. Vi udstyrer det kartesiske produkt G1 × G2

med operationen ∗ , defineret ved

∀(g1, g2), (g1′ , g2

′)∈G1×G2, (g1, g2) ∗ (g1′, g2

′)= (g1g1′ , g2g2

′)

Det er klart, at (G1×G2, ∗ ) udgør en gruppe og kaldes det direkte produkt af G1 og G2.

49

I Rubiks terning er mange undergrupper isomorfe med det direkte produkt af to andre. Vikan eksempelvis tage det direkte produkt af < F > og < B > , nemlig N = < F > × < B > .Denne gruppe har orden 16, og elementerne i N er:

(e, e), (e, F ), (e, F 2), (e, F 3), (B, e), (B, F ), (B, F 2), (B, F 3), (B2, e), (B2, F ), (B2, F 2), (B2, F 3),

(B3, e), (B3, F ), (B3, F 2), (B3, F 3)

Betragt nu funktionen α: < F > ×< B >→< F , B > , defineret ved α((f , b)) = fb, ∀f ∈< F >

b ∈< B > . Funktionen α er en homomorfi, da N øjensynligt er kommutativ. Vi viser, at α eren isomorfi.

Lad (f1, b1) og (f2, b2)∈N . Vi har,

α((f1, b1))= α((f2, b2))⇒ f1 b1 = f2 b2⇒ f1 = f2 og b1 = b2, da F og B er disjunkte.

Altså har vi (f1, b1)= (f2, b2), hvorfor α er injektiv.Surjektivitet af α følger af, at undergruppen <F ,B > også har 16 elementer.Med andre ord er N og < F , B > isomorfe, og følgelig kan undergrupper < X, Y > , hvor

X og Y er flader uden småterninger tilfælles, betragtes som direkte produkter.

3.9 Sideklasser og kvotientgrupper

3.9.1 Lagranges sætning

Definition 3.72. Lad H være en undergruppe af en endelig gruppe G, og lad g ∈G. Da kaldesmængderne Hg = hg |h ∈ H og gH = gh |h ∈ H henholdsvis for højre- og venstre-side-klasser modulo H.

Vi betegner ved [G: H] antallet af − venstre- eller højre- − sideklasser modulo H, og detkaldes indekset af H. Mængden af alle venstre-sideklasser modulo H betegnes G/H ogmængden af alle højre-sideklasser modulo H betegnes H/G.

Betragt et element g ∈G. At H er en undergruppe, giver e ∈H, og da g = ge er g ∈ g · H.Så derfra kan vi konkludere, at g i hvert fald tilhører en sideklasse, og dermed at en sideklassealdrig er tom.

Antag nu, at g ligger i en anden sideklasse g ′ · H. Der findes h0 ∈ H, så g = g ′ h0. Følgelig

har vi g ′ = gh0−1. Altså gælder ∀h ∈H, gh = g ′ h0 h, og g ′ h = gh0

−1 h. Da både h0 h og h0−1 h

ligger i H, gælder både gH ⊆ g ′H og g ′H ⊆ gH, altså har vi gH = g ′H.Vi har altså netop vist, at to venstre-sideklasser, som har et element tilfælles, er ens. Føl-

gelig ligger hvert element af G i netop én venstre-sideklasse modulo H, nemlig gH. Da hvervenstre-sideklasse indeholder mindst ét element, udgør alle venstre-sideklasser modulo H enklassedeling af G. Endvidere er H selv en venstre-sideklasse, nemlig e · H, og H er derfor deneneste venstre-sideklasse− eller højre− som også er en undergruppe af G.

En tilsvarende argumentation føres for højre-sideklasser.Vi definerer nu funktionen fg: H→ gH, med forskrift fg(h) = gh, ∀h∈H. Funktionen fg er

øjensynlig surjektiv, og tilmed også injektiv ved brug af lemma 3.19. Altså er fg bijektiv,hvorfor mængderne H og gH er lige store. Dette betyder, at sideklasserne modulo H −venstreeller højre − har samme antal elementer, og da de er disjunkte gælder, at ordenen af G kanopnås ved at lægge antallet af elementer for samtlige venstre-sideklasser sammen. Med andreord har vi lige vist en af Lagranges berømte sætninger, nemlig,

50

Sætning 3.73. Lad G være en endelig gruppe, og lad H være en undergruppe af G. Dergælder:

|G|=[G:H] · |H | (3.8)

Korollar 3.74. Lad G være en endelig gruppe og lad g∈G. Da går |g | op i |G|.

Bevis. Vi har tidligere set, at H = < g > = g, g2, g3 , , gn = e er en endelig kommutativundergruppe af G. Ved sætning 3.73 går |g |= |H | op i |G|.

Dette fortæller os flere ting, hvad Rubiks gruppe angår, og først og fremmest, at ordenenaf R går op i |G |= 12! · 8! · 38 · 212. Endvidere går ordenen af en undergruppe af R op i |R|.

Ovenstående resultat er dog ikke et kriterium for undergruppernes mulige orden. Den kanbruges til at se, hvilke ordner undergrupper ikke har, og går et naturligt tal t op i |R| med-fører det ikke, at der rent faktisk findes et element af orden t i R. For definitivt at sige nogetom undergrupper i en endelig gruppe, er vi også interesseret i det omvendte.

Cauchys kontribution på området går noget af den anden vej. Han viste nemlig, at hviset primtal p går op i ordenen af en gruppe G, så findes der et element g af orden p − og føl-gelig også en undergruppe af orden p, nemlig < g >− i G.

Sylows-sætninger− efter den norske matematikker ludwig Sylow− er også eksempler pådet delvist omvendte til Lagranges sætning. Han viste, at for en endelig gruppe G, hvor pn erden største potens af et primtal p, som går op i med |G|, findes der en undergruppe af ordenpn i G. Endvidere indeholder Sylows sætninger information om antallet af sådanne under-grupper.

Den interesserede læser henvises til [7] for Cauchys sætning, og til [3] for Sylows-sætninger.

3.9.2 Normale undergrupper

Definition 3.75. Lad G være en endelig gruppe, og lad H være en undergruppe i G. Under-gruppen H kaldes normal − og vi skriver H ⊳ G − såfremt højre- og venstre-sideklassernemodulo H stemmer overens, altså såfremt gH =Hg,∀g∈G.

Når man skal karakterisere normale grupper, er det tit mere overskueligt at arbejde medfølgende kriterium:

Lemma 3.76. Lad G være en gruppe, og lad H være en undergruppe af G. Undergruppen H

er normal, hvis og kun hvis der gælder gHg−1∈H, ∀g ∈G.

Bevis. Vi viser de to veje.

”⇒ ”. Antag, at H er normal og lad g ∈ G. Ifølge definitionen må venstre- og højre-side-klassen for g stemme overens, hvorfor g ·H =H · g, altså følger gHg−1 =H.

”⇐ ”. Antag nu, at gHg−1∈H, ∀g ∈G. For alle h1∈H findes h2∈H, så gh1g−1 = h2, for alle

g∈G, hvilket medfører gh1 =h2g∈Hg. Altså, gH ⊆Hg.

Nu har vi også h1g−1 = g−1h2, hvilket medfører Hg ⊆ gH, da g−1 beskriver hele

G.

Givet en gruppe G er eksempler på normale undergrupper Z(G) og G′. Ligeledes er under-grupperne e og G selv normale undergrupper af G. Sagt på en anden måde er normaleundergrupper de undergrupper, som er stabile under konjugering. Da centret af Sn er An

ifølge lemma 3.48, er An normal i Sn.

51

Eksempel 3.77. Der findes mange normale undergrupper af R. De permutationer af R, somikke flytter på hjørnerne, udgør en undergruppe K af R. For k ∈ K og g ∈R har vi, at gkg−1

flytter først på både hjørner og kanter, flytter på kanter, og genbringer hjørnerne på deresoprindelige plads. Altså, gkg−1∈K og følgelig er K normal i R.

Ligeledes kan vi definere undergruppen H af R, som de permutationer af R, som ikkeflytter på kanterne. Undergruppen H er også normal i R.

Lemma 3.78. Hvis H er en undergruppe i G af indeks 2, da er H normal i G.

Bevis. Da H har indeks to, er der netop to venstre-sideklasser i G/H og to højre-sideklasser iH/G. Da den ene af sideklasserne i G/H og H/G må være H selv, må den anden sideklasse ibåde G/H og H/G bestå af alle elementer af G, som ikke er i H. Altså er H normal.

Lemma 3.79. Lad f : G1 → G2 være en homomorfi mellem to grupper. Da er Ker(f) ennormal undergruppe af G1.

Bevis. Antag, at G1 har operation ⋆ , og at G2 har operation ∗ .Først viser vi, at Ker(f) er en undergruppe af G1. Associativitet nedarves fra G1.

Mængden Ker(f) er en delmængde af G1, som indeholder det neutrale element ved lemma3.64(i). For g ∈Ker(f), gælder ved lemma 3.64(ii) f(g−1) = f(g)−1 = e2

−1 = e2, hvorfor vi har

g−1 ∈Ker(f). Endelig, for g, h ∈Ker(f), gælder f(g ⋆ h) = f(g) ∗ f(h) = e2 ∗ e2 = e2, så g ⋆ h

ligger også i Ker(f). Altså er Ker(f) en undergruppe af G1.Vi viser nu, at Ker(f) er normal i G1. For alle g ∈ G og for alle h ∈Ker(f) gælder det, at

f(g ⋆ h ⋆ g−1) = f(g) ∗ f(h) ∗ f(g−1) = f(g) ∗ e2 ∗ f(g)−1 = e2. Dette gør rede for, at Ker(f) ernormal i G1.

Eksempel 3.80. Lad ǫ: Sn →1, − 1 være fortegn-funktionen. Da gælder An = Ker(ǫ). End-videre viser lemmaet, at An er normal i Sn.

3.9.3 Kvotientgrupper og isomorfisætning

3.9.3.1 Kvotientgrupper

Når H er en normal undergruppe af G, er der en naturlig operation i mængden af sideklasser,som vi viser hernæst.

Lemma 3.81. Lad H være en normal undergruppe af G. Vi udstyrer mængden af de venstre-sideklasser G/H med operationen ∗ , defineret ved:

i. gH ∗kH =(gk)H, ∀g, k ∈G.

ii. (gH)−1 = g−1H, ∀g∈G.

Da er (G/H, ∗ ) en gruppe med neutralt element H = eH og kaldes kvotientgruppe.Bevis. Elementer i G/H er venstre-sideklasser. Betingelsen (i) forudsætter, at man har valgtg og k til at repræsentere sideklasserne gH og kH. Man kunne have valgt mange andre, angi-veligt alle elementer i gH eller kH. Vi skal derfor først vise, at (i) er uafhængig af valget af g

og k.For g ′ ∈ gH og k ′ ∈ kH, findes hg , hk ∈ H, så g ′ = ghg, og k ′ = khk. Vi skal nu vise, at

g ′k ′H = gkH. Vi har

g ′k ′= ghgkhk = gk(k−1hgk)hk

52

Da H er normal, gælder k−1hg k ∈H. Da (k−1hgk)hk ∈H, har vi g ′k ′∈ gkH, og da sideklasser

modulo H enten er disjunkte eller ens, følger g ′k ′H = gkH. Betingelsen (i) er derfor uaf-hængig af valget af g og k.

Afslutning følger af (i). Associativitet følger også af (i), og at (gh)k = g(kh), hvor g,

h og k ∈ G. Eksistens af det inverse element med de ønskede egenskaber følger af (ii) og (i).Slutteligt har H, betragtet som det neutrale element, øjensynligt de nødvendige egen-skaber.

Eksempel 3.82. Lad f : G1→G2 være en homomorfi mellem grupperne G1 og G2. Da Ker(f)er en normal undergruppe af G1 ifølge lemma 3.79, følger, at G1/Ker(f) er en kvotientgruppe.

Der er flere årsager til, at vi interesserer os for kvotientgrupper. Lad os tage de normaleundergrupper K og H af R defineret i eksemplet 3.77. Kvotientgruppen R/K består af de ven-stre-sideklasser modulo K. Tag p og q ∈R, så p og q har samme virkning på hjørnerne. Vi harp q−1 ∈ K, hvilket medfører, at p ∈ K q = q K. Altså er p og q i samme sideklasse i R/K. Hversideklasse i R/K kan altså opfattes som en bestemt virkning på hjørnerne. KvotientgruppenR/K kan altså opfattes som de permutationer af de 24 flader af hjørnerne, som kan realiseres iRubiks terning. Ydermere har vi, at R2< R/K, hvor R2 betegner gruppen af lommeterningen.

Ligeledes gælder, at R/H kan opfattes som de permutationer af de 24 flader af kanterne,som kan realiseres i Rubiks terning.

Kvotientgrupper vil også hjælpe os i næste kapitel, sammen med følgende isomorfisætning,til at karakterisere strukturen af Rubiks gruppe. Slutteligt kan kvotientgrupper også anvendespå gruppen af visse permutationspuslespil til at generere en løsning. Men det skal vi vende til-bage til i kapitel 5.

3.9.3.2 En isomorfisætning

Til sidst en isomorfisætning, som vi skylder den tyske matematiker Emmy Noether, og sombliver brugt i næste kapitel.

Sætning 3.83. Lad G1 og G2 være to grupper, og lad f : G1 → G2 være en homomorfi. Da erG1/Ker(f) isomorf med f(G1).

Bevis. Lad θ: G1/Ker(f) → f(G1), defineret ved θ(g Ker(f)) = f(g). Vi skal først vise, atdette definerer en funktion, altså at θ(gKer(f)) er uafhængig af valget af g.

Lad g ′∈ gKer(f). Da findes h∈Ker(f), så g ′= gh. Vi har,

f(g−1g ′)= f(g−1gh)= f(h)= e= f(g)−1f(g ′)

Her blev brugt, at h∈Ker(f), og at f er en homomorfi. Det følger, at f(g)= f(g ′).Funktionen θ er altså veldefineret, og vi skal nu vise, at θ er en bijektiv homomorfi. For g,

g ′∈G1, har vi g Ker(f)g ′Ker(f) = gg ′g ′−1 Ker(f)g ′Ker(f). Da g ′−1 Ker(f)g ′ er i Ker(f), daKer(f) er normal, gælder gKer(f)g ′Ker(f)= gg ′Ker(f). Altså har vi for alle g, g ′∈G1

θ(gKer(f) ∗ g ′Ker(f))= θ(gg ′Ker(f))= f(gg ′)= f(g)f(g ′)= θ(gKer(f))θ(g ′Ker(f))

Funktionen θ er altså en homomorfi.At θ er surjektiv vises på følgende måde. For hver g2 ∈ f(G1) findes g1 ∈G1, så f(g1) = g2.

Følgelig, for hver g2 ∈ f(G1), findes der en sideklasse i G1/Ker(f), nemlig g1Ker(f), såΘ(g1Ker(f))= g2.

Vi mangler nu blot at vise injektivitet. Antag derfor, at θ(g Ker(f)) = θ(g ′Ker(f)). Vi harf(g) = f(g ′), og følgelig f(g−1g ′). Altså g−1g ′ ∈ Ker(f), hvorfor g og g ′ ligger i samme ven-stre-sideklasse modulo Ker(f). Altså g Ker(f) = g ′ Ker(f). Vi har altså vist, at θ er en iso-morfi.

53

Kapitel 4

Rubiks gruppe

4.1 Et semi-direkte produkt

Betragt en gruppe G og mængden Aut(G) af alle automorfier på G. Det gengives at en auto-morfi på G er en isomorfi med G som definitions- og billedmængde. Mængden af alle automor-fier på G består således af bijektive homomorfier af G på sig selv. Med ” ” som operation erdet forholdsvis nemt at vise, at Aut(G) er en gruppe med identitetsfunktionen som neutraltelement .

Lad Sn sædvanligvis betegne den symmetriske gruppe af n elementer, og lad Cd betegneden cykliske gruppe af orden d, som defineret i afsnit 3.3.1. Endvidere, lad Cd

n betegne føl-gende direkte produkt,

Cdn =Cd ×Cd ×Cd

n gange

Gruppen Cdn er altså det direkte produkt af Cd med sig selv n gange. Elementerne i gruppen

Cdn kan altså opfattes som n-tupler v = (v1, v2, , vn), hvor vi ∈Cd, 1≤ i ≤ n, og hvor gruppeo-

perationen er standard-operationen for direkte produkter som i definition 3.71.Vi definerer nu f : Sn → Aut(Cd

n), og betegner f(σ) ved fσ for alle σ ∈ Sn. Forskriften forfσ:Cd

n→Cdn er,

∀σ∈Sn, fσ(v = (v1, v2, , vn))= (vσ(1), vσ(2), , vσ(n)),∀v ∈Cdn (4.1)

Vi udregner fσ fτ for σ, τ ∈ Sn. Da elementet på pladsen i i v først bliver flyttet til pladsenσ−1(i) af fσ og dernæst flyttet til pladsen τ−1(σ−1(i)) i fσ fτ(v), er elementet på pladsen i ifσ fτ(v) tallet v(σ−1τ−1)−1(i) = vτσ(i), hvorfor

fσ fτ = fτ(fσ) = fτσ (4.2)

Eksempel 4.1. Lad n=4, og lad σ =(1 2 3 4) og τ =(1 3 2 4). Vi har

fσ((v1, v2, v3, v4)) = (vσ(1), vσ(2), vσ(3), vσ(4))

= (v2, v3, v4, v1)

Når vi nu udregner fτ((v2, v3, v4, v1)), er det udfra forskriften (4.1), så v2 opfattes som v1, v3

som v2, v4 som v3 og v1 som v4, hvorfor

fσ fτ((v1, v2, v3, v4))= fτ((v2, v3, v4, v1))= (v4, v1, v3, v2)

Da τσ =(1 4 2)(3) er fσ fτ((v1, v2, v3, v4))= (vτσ(1), vτσ(2), vτσ(3), vτσ(4)).

Lemma 4.2. Funktionen fσ:Cdn→Cd

n er en automorfi for alle σ∈Sn.

55

Bevis. Lad σ ∈ Sn, og lad v, w ∈ Cdn. Der gælder fσ(v + w) = fσ(v) + fσ(w), da det er det

samme som at lægge to tal sammen og flytte det til pladsen j, som det er at flytte to tal påpladsen j og lægge dem sammen. Altså er fσ en homomorfi.

For v ∈Cdn er fσ(v) blot en permutation af elementerne af v, hvorfor fσ er en bijektion.

Nu definerer vi en operation ∗f på det kartesiske produkt Cnd × Sn, hvor f er ovenstående

funktion, ved

For alle (v, σ) og (w, τ)∈Cdn ×Sn, (v, σ) ∗f (w, τ)= (v + fσ(w), στ)

hvor additionstegnet af ’addition modulo d’, som følge af det direkte produkt Cdn.

Elementet (0 = (0, , 0), Id) er neutralt for operationen ∗f . Afslutningen følger også nemt,idet v + fσ(w)∈Cd

n og στ ∈Sn.Associativitet af operationen ∗f er mindre åbenbar. Lad (v, σ), (w, τ) og (z, φ) være ele-

menter i Cdn×Sn.

((v, σ) ∗f (w, τ)) ∗f (z, φ) = (v + fσ(w), στ) ∗f (z, φ)

= (v + fσ(w) + fστ(z), στφ)

(v, σ) ∗f ((w, τ) ∗f (z, φ)) = (v, σ) ∗f (w + fτ(z), τφ)

= (v + fσ(w + fτ(z)), στφ)

= (v + fσ(w) + fστ(z), στφ) ved lemma 4.2 og (4.2)

Det inverse element til elementet (v, σ) er (fσ−1(v−1), σ−1), idet:

(v, σ) ∗f (fσ−1(v−1), σ−1) = (v + fσ(fσ−1(v−1)), σσ−1)

= (0, Id)

Vi har dermed vist, at (Cnd × Sn, ∗f ) udgør en gruppe. Den kaldes det semi-direkte produkt

af grupperne Cdn og Sn relativ til f og betegnes Cd

n ⋊f Sn.

4.2 Hovedsætningen i Rubiks teori

4.2.1 Den ulovlige G

Vi nummererer hjørne-pladserne fra ét til otte. Hjørnerne døbes med nummeret på pladsen,som de sidder i, og fladerne, som vender ud til O eller N , stemples usynligt med dette tal.Ligeledes nummereres kant-pladserne fra et til 12. Kanterne døbes ligeledes af nummeret påpladsen, som de sidder i, og fladerne, som vender ud til O eller N , stemples usynligt med dettetal. Med dette har vi nummereret 16 af de 20 småterninger.

For de fire resterende kanter ’fv’, ’vb’, ’bh’ og ’hf’ stemples fladerne, som vender ud modsiderne F eller B, med tallet for pladsen. Hvilket nummer hver enkel småterning får, oghvilken flade, der bliver stemplet, er illustreret på figurerne 4.1(a) og (b).

(a) (b) (c) (d)

Figur 4.1.

56

Vi nummererer nu hver enkel flade af småterningerne med et tal i 0, 1, 2, så fladen, somer usynligt stemplet med nummeret for pladsen, får tallet 0. Altså får tallet 0 hver flade, somhar et nummer på figurerne 4.1(a) og (b). Vi går nu rundt om hver enkel småterning med uretog tildeler den første flade 1-tallet, og − i tilfældet af hjørner− den sidste flade 2-tallet. Illu-streret på figur 4.1(c) er nummereringen af fladerne af småterningerne på side F .

Hvad vi egentligt har gjort, er at give småterningerne en reference-orientering, det vilsige, at vi ved, hvilke sider fladerne, som bærer tallet 0, vender ud til.

En permutation g af R eller G virker på en tilstand T . I den nye tilstand er småterningent på pladsen i blevet flyttet til pladsen j, og fladen med tallet 0 på småterningen t vender ikkenødvendigvis ud til samme side, som det gjorde for småterningen, der var på pladsen j førvirkningen af permutationen g. Forskellen mellem den nye orientering af småterningerne ogreference-orientering kalder vi den relative orientering for g.

Vi har set, at hjørner − hhv. kanter − kan sidde på deres pladser på tre − hhv. to − for-skellige måder. Igen tager vi småterningen t på pladsen i, som bliver flyttet til pladsen j vedg. Tallet på fladen af t, som vender ud til den side, som fladen med tallet 0 for småterningenpå pladsen j før g, svarer til det antal 120−hhv. 90− graders drejninger, der skal til, før refe-rence-orienteringen og den relative orientering stemmer overens. Hvis figur 4.1(c) repræsen-terer reference-orienteringen, så ser terningen ud som på figur 4.1(d) efter en drejning på F .Hjørnet ’fov’ indtager pladsen for hjørnet ’foh’ og er orienteret, så dens 2-tal vender ud til sideF , altså skal vi dreje den 2 gange 120 grader, før den vender som småterningen påpladsen ’foh’, før F blev udført.

Vi kan nu definere funktionen v: G → C38, som for hver permutation af G knyttes den rela-

tive orientering af hjørnene for g. Mere præcist er v(g) en 8-tuple (v1(g), , v8(g)), hvor vi(g),1 ≤ i ≤ 8 er det antal 120 graders drejninger, der skal til, før orienteringen for hjørnet påpladsen j stemmer overens med reference-orienteringen, når hjørnet på pladsen i bliver flyttettil pladsen j af g. Ved brug af nummereringen af fladerne kan man aflæse direkte, hvad vi(g)er.

Det er klart, at fem 120 graders drejninger af et hjørne er det samme som to 120 gradersdrejninger af det samme hjørne, hvorfor v(g) kan opfattes til at bestå af elementer af C3.

Ligeledes kan vi definere w: G → C212, som for hver permutation af G knyttes den relative

orientering af kanterne for g. Mere præcist er w(g) en 12-tuple (w1(g), , w12(g)), hvor wi(g),1 ≤ i ≤ 12 er det antal 90 graders drejninger, der skal til, før den nye orientering for kanten påpladsen j stemmer overens med reference-orienteringen, når kanten på pladsen i bliver flyttettil pladsen j af g. Ligeledes er tre 90 graders drejninger af en kant det samme som en 90 gra-ders drejning af den samme kant, hvorfor w(g) kan opfattes til at bestå af elementer af C2.

Eksempel 4.3. I nedenstående tabel ses værdierne af v(g) og w(g), når g er en af de grund-læggende operationer.

g v(g) w(g)F (2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 0) (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0)O (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)N (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)B (0, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0)V (1, 0, 0, 2, 1, 2, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)H (0, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

57

Vi har set, at en permutation af G inducerer en permutation af S8 af de otte hjørner og enpermutation af S12 af de 12 kanter. Lad ρ: G→S8 og σ: G→ S12 være disse funktioner. Vi kannu opfatte elementerne af G som 4-tuplet (v(g), ρ(g), w(g), σ(g)), for hvis vi ved, hvordansmåterningerne skal permuteres, og hvordan de skal orienteres på deres nye plads i forhold tilstart-tilstanden, er der kun én måde at gøre det på. I stedet for at betragte elementer af Gsom permutationer af S48, kan vi betragte dem som elementer i C3

8×S8×C212×S12.

Lemma 4.4. Lad g, h∈G. Der gælder:

i. v(gh) = v(g) + ρ−1(g)(v(h)) = v(g) + fρ(g)(v(h)), hvor fρ(g) er defineret ved (4.1) forn=8 og d=3.

ii. ρ(gh)= ρ(g)ρ(h).

iii. w(gh) = w(g) + σ−1(g)(v(h)) = w(g) + fσ(g)(w(h)), hvor fσ(g) er defineret ved (4.1) forn= 12 og d=2.

iv. σ(gh)=σ(g)σ(h).

Bevis. (ii) følger nemt, idet permutationen af de otte hjørner, som gh foreskriver er detsamme som permutationen de otte hjørner, som g foreskriver, efterfulgt af permutationen afde otte hjørner, som h foreskriver. Ligeledes for (iv).

Vi viser nu (i). Vi vil gerne udregne vi(gh) for 1 ≤ i ≤ 8. I henhold til definitionen ervi(gh) orienteringen af terningen i i den plads, den bliver permuteret til.

Nu virker g først på terningen, efterfulgt af virkningen af h. Vi kigger på småterningen,der sidder på pladsen i, kalder den t under hele virkningen og følger dens skæbne.

Småterningen t bliver flyttet til pladsen ρ(g)(i) under g. Orienteringen af t er vi(g) eftervirkningen af g. Når vi nu udregner v(h) gælder en ny reference-orientering, hvorfor den ende-lige orientering af t er vi(g) lagt sammen med den værdi af v(h), som svarer til den nye orien-tering af t under h. På pladsen i i v(h) er den nye orientering for småterningen, der oprinde-ligt sad på pladsen ρ(g)−1(i), så orienteringen af t efter h er på pladsen ρ(g)(i) i v(h).

Vi vil nu gerne have en ligning ud af det. Hvis vi permuterer tallene i v(h) ifølge ρ(g)−1,ender orienteringen af småterningen på pladsen ρ(g)(i) i v(h) på pladsen i, som vi ønsker.Med andre ord består ρ(g)−1v(h) af orienteringerne af småterningerne efter h, men hvor talletpå pladsen i svarer til orienteringen af den småterning, der oprindeligt sad på pladsen i. Nukan vi blot sætte orienteringerne sammen, og vi får

v(gh)= v(g)+ ρ−1(g)(v(h))

Vi kan også udlede en formel baseret på indicerne af vi’erne i stedet for, og bruger til detteformål funktionen defineret i (4.1). På pladsen i i v(h) er vρ(g)−1(i), så for at permutere vi’ernei v(h) hensigstmæssigt, kan vi bruge

fρ(g)(v(h))= (vρ(g)(1)(h), , vρ(g)(8)(h)),

og den anden del af påstanden er bevist.Beviset for (iii) føres på samme måde.

Vi betragter det direkte produkt af semi-direkte produkterne (C38 ⋊f S8) og (C2

12 ⋊f S12), så

en operation på (C38 ⋊f S8)× (C2

12 ⋊f S12) er givet ved,

(v, ρ, w, σ) · (v ′, ρ′, w ′, σ ′) = (v + fρ(v′), ρρ′, w + fσ(w

′), σσ ′)

58

Gruppen (C38 ⋊f S8)× (C2

12 ⋊f S12) forkortes til (C38 ⋊S8)× (C2

12 ⋊S12) for notationens skyld.

Lemma 4.5. Funktionen χ: G→ (C38 ⋊S8)× (C2

12 ⋊S12) med forskrift

χ(g)= (v(g), ρ(g), w(g), σ(g))∀g ∈G

er en isomorfi.

Bevis. Vi viser først, at χ er en homomorfi.

χ(gh) = (v(gh), σ(gh), w(gh), ρ(gh))

= (v(g)+ fρ(g)(v(h)), ρ(g)ρ(h), w(g)+ fσ(g)(w(h)), σ(g)σ(h))

= χ(g)χ(h)

Det er klart, at χ er surjektiv, da alle orienteringer og alle permutationer af de småterningerkan opnås ved at samle den adskilte terning. Nu er Ker(χ) = Id, da identiteten er det enesteelement af G, hvor småterningerne hverken permuteres eller orienteres på ny. Homomorfien χ

er altså injektiv i følge lemma 3.70.

Vi har altså nået et af vores mål, nemlig, at bevise G < (C38 ⋊S8)× (C2

12 ⋊S12).

4.2.2 Hovedsætning i Rubiks teori

Vi skal nu vise hovedsætningen for Rubiks gruppe. Lemma’erne 3.61 og 4.5 sikrer en bijektiv

korrespondence mellem (C38 ⋊ S8) × (C2

12 ⋊ S12) og mængden T af tilstande. Givet en 4-tupel

(v, ρ, w, σ), så v ∈C38, ρ∈ S8, w ∈C3

12 og σ ∈ S12 kan (v, ρ, w, σ) opfattes som en tilstand. Føl-gelig er (v, ρ, w, σ) i R kan (v, ρ, w, σ) opfattes som en tilstand, man kan dreje sig frem til.Der er tale om en konfiguration, såfremt start-tilstanden er i banen for den løste tilstand −under gruppevirkningen af R på T− eksempelvis den løste tilstand selv.

Eksempel 4.6. Start-tilstanden repræsenteres ved (0, e, 0, e).

Givet en tilfældig tilstand (v, ρ, w, σ) i G, kan man vide, om det er en tilstand, man kandreje sig frem til? Med andre ord leder vi efter en karakterisering af elementerne af R i G.Hovedsætningen i Rubiks teori giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse.

Sætning 4.7. [Hovedsætning] En 4-tupel (v, ρ, w, σ), så v ∈ C38, ρ ∈ S8, w ∈ C3

12 og σ ∈ S12

repræsenterer en tilstand, man kan dreje sig frem til i Rubiks terning, hvis og kun hvis

i. ǫ(ρ)= ǫ(σ)

ii. v1 + v2 + + v8 =0 mod 3

iii. w1 +w2 + +w12 =0 mod 2

Bevis. ”⇒ ”

Vi viser først den ene vej. Vi antager, at T = (v, ρ, w, σ), med v ∈ C38, ρ ∈ S8, w ∈ C3

12 ogσ∈S12 er en tilstand, som man kan dreje sig frem til i Rubiks terning.

Der findes et entydigt g ∈G, som virker på start-tilstanden T0, så

χ(g)= (v(g), ρ(g), w(g), σ(g))= (v, ρ,w, σ)

Vi har allerede nævnt (i) i afsnit 3.4.2, men giver her et mere formelt bevis.

59

Da vi kan dreje os frem til (v, ρ, w, σ), er g ∈R, hvorfor g kan skrives som et produkt af degrundlæggende operationer. Altså g = X1Xk, med Xi ∈ F , V , H, O, N , B. For Xi i dennemængde gælder øjensynligt, at ǫ(ρ(Xi)) = ǫ(σ(Xi))=− 1.

Da ρ, σ, ǫ alle er homomorfier, har vi

ǫ(ρ(g))= ǫ(ρ(X1Xk)) = ǫ(ρ(X1) ρ(Xk))= ǫ(σ(X1)σ(Xk))= ǫ(σ(X1Xk))= ǫ(σ(g))

Dermed har vi vist (i).

Opskrivningen g = X1Xk, med Xi ∈ F , V , H, O, N , B er ikke entydig, så vi vælger denkorteste af dem af længde k. Vi viser (ii) pr. induktion efter k.

Er k = 1, er g en af de grundlæggende operationer, og eksemplet 4.3 gør rede for, at (ii)gælder for processer af længde 1.

Antag nu, at (ii) gælder for længden k > 1. Ved lemma 4.4 fås:

v(X1X2Xk−1Xk)= v(X1X2Xk−1)+ fρ(X1X2Xk−1)(v(Xk))

Ved induktionsantagelse gælder (ii) på X1X2Xk−1, og eksemplet 4.3 gør rede for, at (ii)også gælder for fρ(X1X2Xk−1)(v(Xk)). Følgelig gælder (ii) for X1X2Xk−1Xk, k ≥ 1.

Beviset for (iii) føres ligeledes.

”⇐ ”

Vi viser nu den anden vej. Vi betragter en tilstand (v, ρ, w, σ), så g ∈ G virker på start-til-standen og giver (v, ρ, w, σ) = (v(g), ρ(g), w(g), σ(g)). Derudover antager vi, at (i), (ii) og(iii) gælder. Vi skal vise, at vi kan dreje os frem til (v, ρ, w, σ), og det gør vi ved at bringeterningen tilbage til start-tilstanden.

Antag, at ρ = σ = Id og w = 0 = (0, , 0). Dette er en tilstand, hvor småterningerne er satpå plads− altså som i start-tilstanden− og det er blot hjørnene, der vender forkert− i forholdtil start-tilstanden. Der findes en proces, som blot drejer to hjørner og lader andre småter-ninger være uberørte. Eksempelvis drejer processen (H−1N2HB−1O2B)2 hjørnet ’ofh’ 120grader med uret og hjørnet ’bnv’ 240 grader med uret. Ved gentagne anvendelser af dette kanvi orientere hjørnet ’ofh’ rigtigt. Vi vælger nu hjørnet ’bnv’ og et andet hjørne, som ikkeer ’ofh’. Ved konjugering kan vi orientere ’bnv’ rigtigt. Vi kan følgelig orientere syv af de ottehjørner rigtigt, og den sidste orientering kan vi orientere således, idet den er sat af fastsæt-telsen af det næstsidste hjørnes orientering. Hvis vi kalder processen, som orienterer hjørnet i

for Pi, har vi udført P =P1P7.

Vi ender altså med en tilstand, hvor småterningerne er på deres pladser, hvor kanternevender rigtigt, og hvor syv af hjørnerne er orienteret rigtigt. Vi skal vise, at det sidste hjørneogså er orienteret rigtigt. Vi betragter hele virkningen gP på start-tilstanden, og får,

v(gP) = v(g) + fρ(g)(v(P))

Da vi antog (ii), følger, at v1(g ) + + v8(g) = 0 mod 3. Da det ene hjørne drejes dobbelt såmeget som det andet, har vi v1(Pi) + + v8(Pi) = 0 mod 3, hvorfor

∑

vi(P) = 0 mod 3. Såsammenlagt er

∑

vi(gP) = 0 mod 3, men da v(g P) består af mindst syv nuller, må denottende orientering også være 0, og vi har vist, at vi har bragt terningen fra tilstanden (v, Id,

0, Id) til start-tilstanden.

Antag nu, at ρ = σ = Id, og at v = 0 = (0, , 0). Dette er en tilstand, hvor småterningerneer sat på plads, og det er blot kanterne, der vender forkert. Der findes en proces, som blotvender to kanter og lader andre småterninger være uberørte. Eksempelvis vender processen

VFH−1F−1V −1O2HOHO−1H2O2H

60

kanterne ’of’ og ’oh’. Vi kan orientere kanten ’of’ rigtigt. Vi vælger nu kanten ’oh’ og en andenkant, som ikke er ’of’. Ved konjugering kan vi orientere ’of’ rigtigt. Vi kan følgelig orientere 11af de 12 kanter rigtigt, men den sidste orientering kan vi ikke orientere således, idet den er sataf fastsættelsen af den næstsidste kants orientering. Hvis vi kalder processen, som orientererkanten i for Pi, har vi udført P =P1P11.

Vi ender altså med en tilstand, hvor småterningerne er på deres pladser, hvor hjørnernevender rigtigt, og hvor 11 af kanterne er orienteret rigtigt. Vi skal vise, at den sidste kant ogsåer orienteret rigtigt. Vi betragter hele virkningen gP på start-tilstanden og får,

w(gP) =w(g)+ fσ(g)(w(P))

Da vi antog (iii), følger, at w1(g ) + + w11(g) = 0 mod 2. Da for hver Pi vendes to kantereller ingen har vi w1(Pi) + + w12(Pi) = 0 mod 2, hvorfor

∑

wi(P) = 0 mod 2. Så sammenlagter

∑

wi(gP) = 0 mod 2, men da w(g P) består af mindst 11 nuller, må den 12. orienteringogså være 0, og vi har vist, at vi har bragt terningen i tilstanden (0, Id, w, Id) til start-til-standen.

Nu følger, at sætningen gælder for tilstande af formen (v, id, w, id).

Vi skal nu se det sidste tilfælde, nemlig hvor (v, ρ, w, σ) er vilkårlig. Til dette formål skalvi gøre brug af følgende processer:

• En proces, som cykler tre hjørner rundt, eksempelvis F−1OBO−1FOB−1O−1.

• En proces, som cykler tre kanter rundt, eksempelvis HV −1O2H−1VF 2.

• En proces, som bytter to kanter og to hjørner, og en sådan proces kan skrivesH−1OHO−1H−1OFHB−1HBHF−1H2.

Vi betragter så en terning i tilstanden (v(g), ρ(g), w(g), σ(g)) og bringer terningen tilbage tilstart-tilstanden. Ved gentagne brug af 3-cyklen i hjørner og konjugering kan vi sætte seks afde otte hjørner på deres rigtige plads. Ved gentagne brug af 3-cyklen i kanter og konjugering,kan vi sætte ti af de 12 kanter på deres rigtige pladser. Er de to sidste hjørner ikke på deresrigtige pladser, kan vi gøre brug af en konjugeret til den sidstnævnte proces i listen, så denbytter om på netop de to sidste hjørner − hvis der er brug for det − og dermed også de tosidste kanter. Lad P være den samlede proces, som har permuteret på småterningerne.

Vi har en tilstand, hvor alle hjørnene er på deres pladser, og ti af kanterne er på derespladser. Altså har vi, at ρ(gP)= Id. Nu:

ǫ(σ(gP))= ǫ(σ(g)σ(P))= ǫ(σ(g))ǫ(σ(P))= ǫ(ρ(g))ǫ(ρ(P))= ǫ(ρ(gP)) (4.3)

hvor den næstsidste lighed skyldes, at vi antager (i), og at både ρ(P) og σ(P) er en sammen-sætning af 3-cykler− altså en lige permutation− muligvis sammensat med en transposition.

På den anden side er σ(gP) enten en transposition − og i så fald ulige − eller også identi-titen − og i så fald lige. Da ǫ(ρ(gP)) = ǫ(Id) = 1, har vi ǫ(σ(gP)) = 1 ved (4.3), hvorforσ(gP)= Id.

Vi ender altså med en tilstand, hvor småterningerne er sat på deres rigtige pladser. Da vived fra de to ovenstående tilfælde, hvordan vi kan sætte orienteringerne rigtigt, har vi vist, atvi kan dreje os frem til tilstanden (v, ρ, w, σ) forudsat (i), (ii) og (iii) gælder.

Vi kan nu karakterisere Rubiks gruppe ved

R= g =(v(g), ρ(g), w(g), σ(g))∈G|betingelserne (i), (ii) og (iii) holder

Lemma 4.8. Der gælder for centret af R, Z(R) = Id, superflip.

61

Bevis. Lad gz =(vz , ρz, wz, σz)∈Z(R). Da har vi for g =(vg, ρg, wg, σg)∈R:

g ∗ gz =(vg, ρg, wg, σg) ∗ (vz , ρz , wz , σz) = (vg + fρg(vz), ρg ρz , wg + fσg

(wz), σg σz)

gz ∗ g =(vz , ρz, wz, σz) ∗ (vg, ρg, wg, σg) = (vz + fρz(vg), ρz ρg, wz + fσz

(wg), σz σg)

Det følger, at gz ∗ g = g ∗ gz for alle g ∈R, kun når ρz = id=σz, idet vi har set i lemma 3.54, at

centret af Sn, n≥ 3, er triviel. Af dette følger,

vz + fρz(vg)= vz + vg = vg + fρg

(vz) for alle ρg ∈S8.

Altså er vz = fρz(vz) for alle ρg ∈ S8. Da det kun er muligt, når elementerne i vz er ens, er vz

enten (0, , 0), (1, , 1) eller (2, , 2). De to sidste er umulige, idet (ii) ikke er respekteret.Ligeledes er wz enten (0, , 0) eller (1, , 1). Disse respekterer dog begge (iii). Altså er

centret i R enten (0, Id, 0, Id)= Id eller (0, Id, 1, Id)= superflip.

4.2.3 Den lovlige R

Vi betragter de permutationer af G, som overholder (ii) og (iii), men ikke (i). Disse udgør enundergruppe G0 af G.

G0 = (v, ρ, w, σ)|ρ∈S8, σ∈S12, v ∈C38 så Σvi =0 mod 3, w∈C2

12 så Σwi = 0 mod 2

Som vi har set i beviset for sætning 4.7, gør betingelsen Σvi = 0 mod 3, at vi ikke kan vælgeorienteringen af det ene hjørne alene. Dog kan vi orientere de syv andre, som vi vil. Ligeledeskan vi vælge orienteringen af 11 af kanterne, som vi vil. Derfor er ordenen |G0|= 37 · 8! · 211 · 12!og indekset af G0 i G er [G: G0] = 6.

Lemma 4.9. Rubiks gruppe R er kernen af homomorfien

Θ: G0 → 1,− 1

(v, ρ, w, σ) → ǫ(ρ)ǫ(σ)

Endvidere er R en normal undergruppe af G0 af indeks 2 og |R|= 37 · 8! · 210 · 12!

Bevis. At Rubiks gruppe er kernen af homomorfien Θ følger af definitionen af G0 og R. Vedsætning 3.79 er Ker(Θ)=R en normal undergruppe af G0.

Ved sætning 3.83 følger, at G0/Ker(Θ)= G0/R er isomorf med Θ(G0). Altså har vi

[G0:R]= |1,− 1|=2

Af sætning 3.73 følger |G0|=[G0:R] · |R|, altså |R|=37 · 8! · 210 · 12!.

Vi har dermed også vist, at 37 · 8! · 210 · 12! er antallet af konfigurationer i Rubiks terning.Rubiks gruppe har indeks [G: G0][G0:R] = 6 · 2= 12 i G.

Lemma 4.10. Kommutatorgruppen for R er R′ = g ∈R|ǫ(ρ(g))= ǫ(σ(g)) =1.

Bevis. Funktionen π: Cdn ⋊f Sn→ Sn, så π(v, σ) = σ, for alle (v, σ)∈Cd

n ⋊f Sn er den naturligeprojicering af Cd

n ⋊f Sn på Sn. Vi har for (v, ρ), (w, σ)∈Cdn ⋊f Sn,

π((v, ρ) ∗f (w, σ)) = π((v + fσ(w), ρσ))

= ρσ

= π(v, ρ)π(w, σ)

62

Funktionen π er en homomorfi, så for g, h∈Cdn ⋊f Sn har vi,

π([g, h])=π(ghg−1h−1)=π(g)π(h)π(g−1)π(h−1)= [π(g), π(h)]

Dette har til følge, at hvert element i kommutatorgruppen for Cdn ⋊f Sn bliver sendt over til et

element i kommutatorgruppen for Sn. Følgelig er π((Cdn ⋊f Sn)′)=Sn

′ =An ifølge lemma 3.48.Altså for (v, ρ) ∈ (Cd

n ⋊f Sn)′, er π(v, ρ) = ρ ∈An, hvorfor elementerne i (Cdn ⋊f Sn)

′ er ele-menterne i Cd

n ⋊f An.Dette bruges på R, og vi får, at R′ består af elementerne i R så ǫ(ρ(g)) = ǫ(σ(g)) = 1.

Altså har vi vist, at

R′ = g ∈R|ǫ(ρ(g))= ǫ(σ(g)) =1

I lyset af ovenstående lemma kan vi betragte homomorfien

Ω:R → 1,− 1

(v, ρ, w, σ) → ǫ(ρ)ǫ(σ)

Da ǫ(ρ) = ǫ(σ) for alle (v, ρ, w, σ) ∈ R, har vi, at R′ = Ker(Ω), og ved sætning 3.83 følger, atR/Ker(Ω) =R/R′ er isomorf med Ω(R). Altså har vi [R:R′] = |1,− 1|= 2, og følgelig har vi|R′|= |R|/2.

4.3 Konsekvenser og andre resultater

4.3.1 Kvotientgruppen G/R

Vi skal her kigge på kvotientgruppen G/R, men for overhovedet at kunne tale om det, skal viførst vise, at R er normal i G.

Betragt vilkårlige g = (v(g), ρ(g), w(g), σ(g)) ∈ G og r = (v(r), ρ(r), w(r), σ(r)) ∈ R. Aflemma 4.4 følger specielt, at

∑

vi(gr)=∑

vi(g) +∑

vi(r)=∑

vi(g) (4.4)∑

wi(gr) =∑

wi(g) +∑

wi(r)=∑

wi(g) (4.5)

ǫ(ρ(gr))= ǫ(ρ(g)ρ(r)) = ǫ(ρ(g))ǫ(ρ(r)) (4.6)

ǫ(σ(gr))= ǫ(σ(g)σ(r))= ǫ(σ(g))ǫ(σ(r)) (4.7)

Vi viser nu, at grg−1∈R, ved at vise at (i), (ii) og (iii) holder for grg−1. Altså,∑

vi(grg−1)=∑

vi(g) +∑

vi(g−1)=

∑

vi(g g−1)=∑

vi(Id)=0∑

wi(grg−1)=∑

wi(g)+∑

wi(g−1)=

∑

wi(g g−1)=∑

wi(Id)=0

ρ(grg−1 ) = ρ(g)ρ(r)ρ(g−1)

σ(grg−1)=σ(g)σ(r)σ(g−1)

De to første ligninger gør rede for både (ii) og (iii), så vi mangler blot (i).

ǫ(ρ(grg−1 ))= ǫ(ρ(g))2ǫ(ρ(r))= ǫ(ρ(r)) og ǫ(σ(grg−1 ))= ǫ(σ(g))2ǫ(σ(r))= ǫ(σ(r))

Heraf følger ǫ(ρ(grg−1 ))= ǫ(σ(grg−1 )) og (i) holder.

Vi har altså vist, at gRg−1 = R, så R er normal i G. Vi har også set, at [G: R] = 12,hvorfor kvotientgruppen G/R består af 12 sideklasser.

63

Ligningerne (4.4) til (4.5) giver en fælles egenskab af elementerne g og g ′ i samme side-klasse i kvotientgruppen G/R. Vi har nemlig, at

∑

vi(g)=∑

vi(g′) og

∑

wi(g)=∑

wi(g′)

Ligeledes gælder ved ligningerne (4.6) til (4.7), at hvis pariteterne af ρ(g) og σ(g) er ens (hhv.forskellige), vil pariteten af alle elementer i samme sideklasse som g også være ens (hhv. for-skellige). Vi kan dermed karakterisere de elementer, som hver af de 12 sideklasser Si inde-holder.

g =(v(g), ρ(g), w(g), σ(g))∈Si,hvorS1 =R

∑

vi(g)=0 mod 3,∑

wi(g)=0 mod 2 , ǫ(ρ(g))= ǫ(σ(g))

S2∑

vi(g)=0 mod 3,∑

wi(g)=1 mod 2 , ǫ(ρ(g))= ǫ(σ(g))

S3∑

vi(g)=1 mod 3,∑

wi(g)=0 mod 2 , ǫ(ρ(g))= ǫ(σ(g))

S4∑

vi(g)=1 mod 3,∑

wi(g)=1 mod 2 , ǫ(ρ(g))= ǫ(σ(g))

S5∑

vi(g)=2 mod 3,∑

wi(g)=0 mod 2 , ǫ(ρ(g))= ǫ(σ(g))

S6∑

vi(g)=2 mod 3,∑

wi(g)=1 mod 2 , ǫ(ρ(g))= ǫ(σ(g))

S7∑

vi(g)=0 mod 3,∑

wi(g)=0 mod 2 , ǫ(ρ(g)) ǫ(σ(g))

S8∑

vi(g)=0 mod 3,∑

wi(g)=1 mod 2 , ǫ(ρ(g)) ǫ(σ(g))

S9∑

vi(g)=1 mod 3,∑

wi(g)=0 mod 2 , ǫ(ρ(g)) ǫ(σ(g))

S10∑

vi(g)=1 mod 3,∑

wi(g)=1 mod 2 , ǫ(ρ(g)) ǫ(σ(g))

S11∑

vi(g)=2 mod 3,∑

wi(g)=0 mod 2 , ǫ(ρ(g)) ǫ(σ(g))

S12∑

vi(g)=2 mod 3,∑

wi(g)=1 mod 2 , ǫ(ρ(g)) ǫ(σ(g))

Betragt nu funktionen Ω: G/R→C3×C2×1,− 1 med forskrift

Ω(gR)= (∑

vi(g) (mod 3),∑

wi(g) (mod 2), ǫ(ρ(g))ǫ(σ(g)))

For g ′∈ gR, findes r ∈R, så g ′ = gr. Der gælder Ω(gR) = Ω(g ′ r−1R) = Ω(g ′R), hvorfor funk-tionen er uafhængig af valget af g og dermed er veldefineret. Endvidere, for to sideklasser gR,

hR∈G/R, har vi,

Ω(gRhR) = Ω(ghR)

= (∑

vi(gh) (mod 3),∑

wi(gh) (mod 2) , ǫ(ρ(gh))ǫ(σ(gh)))

= (∑

vi(g) +∑

vi(h) (mod 3),∑

wi(g) +∑

wi(h) (mod 2),

ǫ(ρ(g ))ǫ(ρ(h))ǫ(σ(g))ǫ(σ(h)))

= Ω(g R)Ω(hR)

Altså er Ω en homomorfi, og tilmed øjensynligt surjektiv. Ligheden Ω(gR) = Ω(hR) medfører,at g og h er i samme sideklasse, hvorfor gR= hR. Funktionen Ω er altså en isomorfi. Da allegrupper med blot to elementer er isomorfe, kan vi konkludere, at

G/R< C3×C2×C2

4.3.2 Elementer af maksimal orden

Vi har tidligere påstået, at den højeste orden for et element i R er 1260. Vi skal her visehvorfor.

Lad g =(v, ρ, w, σ)∈R. Vi har,

gr =(v + fρ(v) + + fρr−1(v), ρr, w + fσ(w)+ + fσr−1(w), σr)

64

Da det neutrale element i R er (0, Id, 0, Id), følger det, at g har orden r i R, hvis og kun hvisfølgende tre betingelser holder:

• v + fρ(v)+ + fρr−1(v)=0 mod 3

• w + fσ(w)+ + fσr−1(w) =0 mod 2

• ρr =σr = Id

Vi har vist i lemma 3.14, at ordenen af en permutation er det mindste fælles multiplum afordnerne af cyklerne i den disjunkte cykelnotation. De to informationer kombineret med lidtkombinatorik giver det ønskede resultat.

Betragt g af R med maksimal orden, dens tilsvarende virkning på hjørnerne (v(g), ρ(g)) ogdens virkning på kanterne (w(g), σ(g)). Lad mfm(a, b) betegne det mindste fælles multiplumaf a og b. Vi har, at

|g | = mfm(|(v(g), ρ(g))| , |(w(g), σ(g))|)

|(v(g), ρ(g))| = mfm(v(g), ρ(g))

|(w(g), σ(g))| = mfm(w(g), σ(g))

Nu drejer det sig om at få det første mindste fælles multiplum størst.Vi begynder med hjørnerne. Ordenen af v(g) kan højst være 3, så den højeste orden opnås

ved blot at lade den ene terning blive drejet. Vi skal imidlertid imødekomme betingelsen (ii),så

∑

vi(gr) = 0 mod 3, men dette er muligt ved at lade g dreje et hjørne 120 grader med uret

og et andet 240 grader med uret. Hvis vi skriver ρ(g) = γ1 γn, hvor γ1, γn er disjunkte per-mutationer af S8, har vi |(v(g), ρ(g))|=3 ·mfm(|γ1|, , |γn|).

Vi har nu reduceret problemet til at finde permutationen af S8, så |(v(g), ρ(g)) | er højest.Et hurtigt kig på S8 giver, at vi får den højeste orden med sammensætning af en 3-cykel og en5-cykel. Altså ender vi med |(v(g), ρ(g))|=5 · 3 · 3.

Argumentationen for kanterne er den samme, og ordenen af w(g) kan højst være 2. Betin-gelsen w(gr) = 0 mod 2 skal imødekommes, og vi lader g vende to hjørner i den samlede per-mutation.

Vi skal nu finde den lige permutation af S12 − for ρ(g) er lige− så ordenen af g er højest.Sammensætningen af en 7-cykel og en 5-cykel går ikke, idet faktoren 5 forsvinder i detmindste fælles multiplum, da det allerede indgår i ordenen for den samlede permutation afhjørnerne. Sammensætningen af en 7-cykel, to transpositioner og en 1-cykel gør det ønskede,og vi får |(w(g), σ(g))|=7 · 2 · 2. Tilbage er der at tælle sammen, og den højeste mulige orden iRubiks gruppe er:

mfm(3 ·mfm(5, 3), 2 ·mfm(7, 2, 2))=7 · 2 · 2 · 5 · 3 · 3= 1260

Dermed har den største cykliske undergruppe af R orden 1260.

4.3.3 Undergrupper af bestemt orden

Vi runder kapitlet om Rubiks gruppe af ved at kommentere på ordenen af undergrupper iRubiks gruppe. Vi starter med et resultat, som vi skylder den britiske matematiker arthur

cayley, og som fastslår vigtigheden af permutationsgrupper i gruppeteori.

Sætning 4.11. Enhver endelig gruppe af orden n er isomorf med en undergruppe af Sn.

Bevis. Lad G være en endelig gruppe af orden n. Gruppen G virker på sig selv ved gruppe-virkningen fg(h)=hg for alle g∈G. Funktionerne fg:G→G er bijektive, hvorfor fg ∈Sn.

65

Nu er λ: G→ Sn, så λ(g) = fg en homomorfi da λ(gh) = fg fh. Da Ker(λ) er triviel, er λ

injektiv. Endvidere er λ(G) en undergruppe af Sn, og resultatet følger.

I lyset af ovenstående sætning kan man dele grupper af ens orden i klasser af ikke-isomorfegrupper. For grupper af ’små’ ordner kan det lade sig gøre i praksis. David Joyner[7] har enliste over alle ikke-isomorfe grupper af orden mindre end 26. For at forstå listen fuldt ud skalman dog være bekendt med andre kendte grupper som Diedergruppen Dn − ikke kommutativgruppe af orden 2n − og kvaterniongruppen Q − ikke kommutativ gruppe af orden 8− som vidog ikke skal komme ind på her. Den interesserede læser henvises til [7] eller [3].

Vi kan dog få følgende ud af det. Vi ved, at |R| er således, at de fleste ’små’ naturlige talgår op i den. Nu er det ikke fordi, man har en divisor af |R|, at R har en undergruppe af ensådan orden. Det viser sig dog, at hver gruppe af orden mindre end 13 er isomorf med enundergruppe i R. Vi ved fra sætning 3.73, at der ikke findes nogen undergruppe af orden 13 iR, hvorfor det stopper ved det.

Endvidere, da den eneste gruppe af orden 13 er den kommutative C13, kan man blotbetragte de ikke-kommutative grupper af orden mindre end 26. Ligeledes gælder, at alle ikke-kommutative grupper af orden mindre end 26 er isomorfe med en undergruppe i R. DavidJoyner[7] peger desuden på en undergruppe af R, som er isomorf med kvaterniongruppen.

66

Kapitel 5

Gruppeteoretiske løsninger

5.1 Gruppeteoretiske løsninger til standardproblemet

5.1.1 Standardproblemet

Når man står med et permutationspuslespil, ønsker man naturligvis at løse det, det vil sige atfinde en følge af træk, som fører den tilstand, spillet er i, til den løste tilstand. Set fra etmatematisk synspunkt er den løste tilstand ikke mere speciel, end en hvilken som helst andentilstand. Derfor kan vi formulere standardproblemet bredere, det vil sige, at vi ønsker at findeen følge af træk, som fører fra en tilstand til en anden. Med andre ord ønsker vi at skriveethvert element af spillets gruppe som en følge af træk.

Med Rubiks gruppe svarer dette problem til at skrive hvert element af R som et produktaf frembringerne F , V , N , O, H, B. Blandt verdens terning-spillere er der bred enighed om,at dette ikke er en triviel opgave, så vi har brug for værktøj til at løse denne opgave. Vibruger gruppeteorien til dette formål.

5.1.2 Indlejrede undergrupper

Betragt nogle undergrupper G1, , Gn = Id i R, så Gi+1, 0≤ i ≤n− 1, er en undergruppe afGi. Dette kan skrives,

G0 =R⊃G1⊃G2⊃ ⊃Gn = Id (5.1)

Antag, at vi vil frembringe g ∈R. Hvis vi kan finde g0∈R, så g0−1g = g1

′ ∈G1, har vi reduceretproblemet til at frembringe g1

′ i stedet for, idet vi så får g = g0g1′ . Vi fortsætter og reducerer

G1 til G2 ved at finde g1 ∈G1, så g1−1g1

′ = g2′ ∈G2. Nu har vi g1

′ = g1g2′ , og løsningen på hoved-

problemet er g = g0g1g2′. Vi fortsætter med at reducere Gi til Gi+1 og slutter med at finde

gn−1 ∈Gn−1, så gn−1−1 gn−1

′ ∈ Gn. Altså har vi gn−1−1 gn−1

′ = Id. Løsningen på hovedproblemet ernu g = g0g1 gn−1, og vi har omdannet standardproblemet til at frembringe gi’erne som følgeraf træk.

Spørgsmålet er for det første, hvorvidt man kan reducere Gi til Gi+1 i enhver række af

formen (5.1). Findes gi ∈ Gi, så gi−1gi

′ ∈Gi+1, har vi gi′ ∈ giGi+1, så umiddelbart skal vi vælge

gi i samme sideklasse som gi′ modulo Gi+1.

Dette viser, at enhver række af formen (5.1) udgør en potentiel løsning til standardpro-blemet, men det er ikke alle, der er lige hensigtsmæssige. Forskellige undergrupper, forskelligestrategier, så umiddelbart virker valget af undergrupperne afgørende.

Tag for eksempel < V , H, F , B, O2, N2 > . Det er en undergruppe af R, og selvom den erendeligt frembragt, ser det uoverkommeligt ud at danne sig et billede af sideklasserne i eksem-pelvis R/ < V , H, F , B, O2, N2 > . Som vi skal se i afsnit 5.3.2, bruger Morwen Thistlet-

hwaites ovenstående undergruppe i sit computerprogram til at finde en opadbegrænsning forden længste optimale løsning.

67

Dette viser, at skal man kunne løse terningen ”i hånden”, er det altså bedst at danne sig etintuitivt eller visuelt billede af de undergrupper, man reducerer til. Så vi skal have under-grupper med flere egenskaber. Vores mål er i sidste ende, at (1) nemt kunne identificere demulige gi’er og (2) frembringe de valgte gi’er med elementer i F , V ,N ,O, H,B. Kan vi gøredet for hvert g∈R, har vi en løsning til standardproblemet.

5.1.3 Brug af kvotientgrupper

Vi kigger på tilfældet, hvor Gi+1 er normal i gruppen Gi i rækken (5.1), for dette tillader os atkigge på kvotientgruppen Gi/Gi+1 =Fi.

Vi betegner ved g den sideklasse af Fi, som g ∈Gi tilhører. Antag nu, at Fi er velkendt ogfrembragt af et sæt frembringere. Da kan g skrives som produktet

g = ai1ai2 aini

hvor aij ∈Gi og aij tilhører sideklassen aij i sættet af frembringere af Fi. Dette betyder, at foret vilkårligt element aij i aij gælder specielt g =ai1ai2 ainiGi+1. Altså,

(ai1ai2 aini)−1g∈Gi+1

Med andre ord, har vi følgende række

G0⊃G1⊃G2⊃ ⊃Gn+1 = Id (5.2)

hvor Gi+1 normal i Gi, 0≤ i≤n− 1, kan vi reducere hvert Gi til Gi+1 ved hjælp af elementer ifrembringerne af kvotientgruppen Fi. Vi får nu sammenlagt

(an1an2 annn)−1 (a11a12 a1n1

)−1g = e

hvorfor løsningen på standardproblemet er g =a11a12 a1n1 an1an2 annn.

Vi vil nu gerne sørge for at få undergrupper, så Fi’erne er endeligt frembragte. Antag, atundergruppen Gi selv er frembragt af et sæt frembringere, så Gi =< g1, g2, , gn > . For en vil-kårlig sideklasse g i Gi/Gi+1 og et vilkårligt element g ∈ g gælder, at g er frembragt af gi’er,hvorfor vi kan skrive g = g1 gjg

Gi+1 = giGi+1 gjgGi+1. Altså er Gi/Gi+1 frembragt af

mængden g1, g2, , gn.Så hvis vi har en række af endeligt frembragte normale undergrupper, kan man reducere

hvert Gi til Gi+1 ved et produkt af frembringere af Gi. Har man ellers identificeret den gi −som en permutation − man skal reducere med, kan den skrives som et produkt af frembrin-gerne af Gi, som vi så kan håbe selv er nemmere at skrive som en følge af træk.

5.1.4 Brug af kommutatorgruppen

En normal endeligt frembragt undergruppe i en gruppe er den kommutatorgruppe, som vi hardefineret i definition 3.47. Det gengives, at kommutatorgruppen G′ af en gruppe G er under-gruppen frembragt af alle kommutatorer i G. Vi har før påpeget, at den er normal, men her eret formelt argument. For x, y og z i G gælder,

z[x, y]z−1 = zxyx−1y−1z−1

= zxz−1zyz−1zx−1z−1 zy−1z−1

= (zxz−1)(zyz−1)(zxz−1)−1(zyz−1)−1

= [zxz−1, zyz−1]∈G′

Af ovenstående regnestykke fremgår også, at den konjugerede til en kommutator selv er enkommutator.

68

Der gælder specielt for kvotientgruppen G/G′, at den er abelsk, idet for g og y sideklasseri G/G′, har vi gyg −1y−1 = gyg−1y−1G′, hvorfor gyg −1y−1 = e, da G′ er det neutrale elementi G/G′.

At have en række undergrupper, hvor Gi′=Gi+1, 0≤ i≤n− 1, og

G0⊃G1 = G0′ ⊃G2 =G1

′ ⊃ ⊃Gn+1 =Gn′ = Id (5.3)

vil være særligt anvendeligt i løsningen af standardproblemet, idet det fremgår af ovenståendeovervejelser, at vi vil kunne skrive hvert gi, som et produkt af kommutatorer. Dette er at havemed at gøre, idet permutationer, som er næsten disjunkte, vil have en kommutator, som vilflytte meget lidt. En gruppe, som kan skrives som i (5.3), kaldes opløselig .

Rubiks gruppe R er dog ikke opløselig, idet beviset til lemma 4.10 kan genbruges til at se,at R′′ = R′. Ovenstående viser dog, hvordan man typisk angriber en ikke-abelsk gruppe somR.

5.1.5 En løsningsstrategi til Rubiks terning

Så vi må nøjes med R′ og andre normale undergrupper, så kvotientgrupperne kan frembringesnemt. Betragt følgende undergrupper:

• H, bestående af de permutationer af R, som ikke rører ved kanterne. Disse permuta-tioner har formen (v, ρ, 0, Id). Specielt er ǫ(ρ)=1= ǫ(Id).

• K, bestående af de permutationer af R, som ikke rører ved hjørnerne. Disse permuta-tioner har formen (0, Id, w, σ). Specielt er ǫ(σ)=1= ǫ(Id).

• D, bestående af de permutationer af R, som blot drejer hjørnerne. Disse permutationerhar formen (v, Id, 0, Id).

• V, bestående af de permutationer af R, som blot vender kanterne. Disse permutationerhar formen (0, Id, w, Id).

Nu består H ×K = g ∈R|ǫ(σ(g)) = ǫ(ρ(g)) = 1 = R′ og er normal i R. Vi har allerede vist,at ordenen af kvotientgruppen R/R′ er to, hvorfor R/R′< C2.

Da samtlige permutationer af H og V er disjunkte, kan elementerne af H × V opfattes tilat have formen (v, ρ, w, Id) − fremfor ((v, ρ, Id, Id), (0, Id, w, Id)). Så H× V kan opfattes somen undergruppe af H×K. Envidere har vi for (v, ρ,w, σ)∈H×K og (vh, ρh, wh, Id)∈H×V,

(v, ρ, w, σ) ⋆ (vh, ρh, wh, Id) ⋆ (v−1, ρ−1, w−1, σ−1) = ( , , , Id)∈H×V (5.4)

hvorfor H × V er normal i H × K. Elementerne i hver sideklasse i gruppen (H × K)/(H × V)permuterer de 12 kanter ens. Derfor er (H×K)/(H×V) isomorf med gruppen af de permuta-tioner af kanterne, som forekommer i H×K, og derfor har vi (H×K)/(H×V)< A12.

Elementerne i gruppen D × V kan opfattes til at have formen (v, Id, w, Id), og D × V erdermed en undergruppe af H × V . Dens normalitet følger af et regnestykke tilsvarende (5.4).Elementerne i hver sideklasse i kvotientgruppen (H × V)/(D × V) permuterer de otte hjørnerens, hvorfor (H×V)/(D×V)< A8.

Gruppen D er en normal undergruppe af D × V, og elementerne i sideklasserne i kvotient-gruppen (D × V)/D orienterer kanterne på samme måde. Så D × V/D < C2

11, da vi kan orien-tere 11 af de tolv kanter, som vi vil. Endelig er D < C3

7, da vi kan orientere syv af de ottehjørner, som vi vil.

Vi har altså følgende række af indlejret normale undergrupper i R, hvor kvotientgrupperneer anført under ′⊳′− tegnet.

R⊳H×K⊳H×V ⊳D×V ⊳D⊳ Id (5.5)

C2 A12 A8 C211 C3

7

69

Det er nu mere overkommeligt at producere en løsningsopskrift udfra ovenstående. Antag, atvi vil frembringe g ∈R. Da kvotientgruppen R/R′< C2, er en frembringer for kvotientgruppensideklassen, som ikke er det neutrale element, så R\H × K frembringer R/R′. Vi kan også

sige, at et sæt frembringere for R/R′ er F , V , O , B , N , V og da disse repræsenterer samme

sideklasse, har vi eksempelvis, at R/R′=<F > .

Så, ligger g ∈ R allerede i H × K, kan vi reducere til H × K med ’Id’. Ligger g derimod iden anden sideklasse, nemlig R\H × K, vælger vi et element i F , helst så lille som muligt, såF passer fint.

Dernæst er (H × K)/(H × V) < A12. Så for at kunne reducere til H × V , skal vi kunnefrembringe A12. Mere præcist er det kanterne, som kommer på den ønskede plads − menmuligvis orienteret forkert. Da A12 er frembragt af 3-cykler i følge lemma 3.40, kan vi reduceretil H × V med 3-cykler frembragt af kommutatorer − da H × K < R′. Processen [F , H−1]2 eren 3-cykel af kanter − skønt den også drejer enkelte småterninger, så denne proces og denskonjugerede kan bruges.

For at reducere til D × V, skal vi kunne frembringe A8. Her er det hjørnerne, der kommerpå plads. I figur 3.6 er illustreret kommutatoren [[B, L−1], [F , R]] som er 3-cykler i hjørnerne.Så vi kan også bruge kommutatorer til at reducere til D×V.

For at reducere til D, skal vi frembringe C211, og dette kan også gøres med kommutatorer,

idet [FO−1NH2O2N2V , D2] vender to kanter på deres pladser. Ligeledes kan vi reducere D tilId, idet C3

7 svarer til de mulige orienteringer af hjørnene og kan frembringes af kommuta-toren [P ,O] fra eksempel 3.46.

Dette viser, at man kan løse terningen med kommutatorer, måske på nær den første kvartomgang.

5.2 Strategier

Man kan nu udlede en løsningsopskrift udfra (5.5), som − med andre løsningsopskrifter − kanfindes i [13], [2] eller [8]. Deres fælles træk er, at de løser terningen ’efterhånden’, det vil sige,at de sætter småterningerne på plads lidt efter lidt. Mens nogle løser terningen lag efter lag,følger andre en ”’hjørner efterfulgt af kanter’-fremgangsmåde. Uanset opskriften er den under-liggende række af undergrupper naturligt karakteriseret af de fikspunkter, som undergruppernehar.

Og er Gi+1 karakteriseret af de fikspunkter, som dens permutationer har, er Gi+1 normal i

Gi, da giGi+1gi−1 sammenlagt ikke rører ved de småterninger, som Gi+1 har som fikspunkter.

Endvidere er Gi’erne mere intuitive, idet man har et visuelt billede af, hvordan de ser ud, sådet er nemmere at se, hvordan man kan frembringe kvotientgrupperne.

Disse opskrifter giver desværre ikke optimale løsninger, men er stadigvæk bredt anvendt idiverse mesterskaber i speed-cubing, hvor man løser terningen mod uret.

5.3 Data-anvendt løsninger

5.3.1 Guds algoritme

En algoritme, som systematisk finder den optimale løsning − altså den korteste løsning i antaltræk − for hver af de mulige tilstande i et permutationspuslespil kaldes Guds algoritme. Denlængste af disse optimale løsninger kaldes Guds tal og svarer groft sagt til ’den værst’ muligetilstand i det pågældende spil.

70

Guds algoritme i Rubiks terning er stadigvæk et livligt emne, for den dag i dag ved manstadigvæk ikke, hvad Guds tal er for Rubiks terning. Dertil skal der tilføjes, at man kan målelængden af en proces på forskellige måder. Enten tæller man samtlige kvart omgange, ellerogså tæller man drejninger pr. side, altså her tæller eksempelvis F 2 og F 3 kun for én. Vibruger her den førstnævnte.

Som vi skal se om lidt, er det antallet af tilstande i spillet, som er afgørende for eksistensenaf Guds algoritme. De fleste permutationspuslespil har kolossalt mange mulige tilstande, og afden grund er der meget få spil, for hvilke Guds algoritme findes. Dog er Guds algoritme kendtfor lommeterningen. Vi skal se i afsnit 5.3.4, hvorfor den samme fremgangsmåde ikke kanbruges på Rubiks terning.

Vi kan dog tilnærme os Guds tal, og det første resultat på det område kigger vi på i næsteafsnit.

5.3.2 Thistlethwaites algoritme

Den engelske matematiker Morwen B. Thistlethwaite er ham, som først udviklede encomputer-baseret metode, og fra den resulterede den første opadbegrænsning for Guds tal.

Vi har set i afsnit 5.1.2, at vi kan reducere i Gi til Gi+1 ved at vælge gi i samme sideklassemodulo Gi+1 som gi

′. Thistlethwaites metode følger samme fremgangsmåde, på nær, at hanundersøgte højre-sideklasserne Gi+1/Gi. I hver af dem, tag det element med kortest længde.Den længste af disse korteste permutationer er den korteste følge af træk, vi kan bruge til atreducere Gi til Gi+1 med. Hvis man gør det for hvert Gi, 0≤ i ≤n− 1 i rækken (5.1) kan manopadbegrænse Guds tal.

Der er to ting ved denne metode. Den ene er, at man selv skal vælge de undergrupper,man vil arbejde med. Den anden er, at en computer altid vil vælge den korteste løsning ihvert skridt, men man kunne tænke sig, at valget af en lidt længere y kunne forkorte den sam-lede løsning betydeligt.

De undergrupper, som Morwen B. Thistlethwaite brugte, var følgende

G0 = <V ,H,F ,B,O,N >=R

G1 = <V ,H,F ,B,O2, N2 >

G2 = <V ,H,F 2, B2,O2,N2 >

G3 = <V 2,H2, F 2, B2,O2,N2 >

G4 = Id

Hans computer-baserede analyse viste, at han kunne reducere G0 til G1 i højst syv kvart-drej-ninger, G1 til G2 i højst 13, G2 til G3 i højst 15, og G3 til G4 i højst 17. Altså en total af 52,hvorfor Guds tal højst er 52.

5.3.3 Videre fremskridt på Guds tal

Den tyske matematiker Herbert Kociemba tog Thistlethwaites metode op igen i 1992med andre undergrupper:

G0 = R

G1 = <V 2,H2, F 2, B2,O2,N2 >

G2 = Id

Ligesom Thistlethwaite reducerer Kociemba G0 til G1 ved brug af højre-sideklasser. Der-næst søges efter optimale løsninger i G1.

71

Ved at bruge netop disse to undergrupper og nye algoritmiske metoder − som er udenforemnet her − har Michael Reids computer-baserede analyse i 1995 vist, at Guds tal højst er42. Silviu Radu har bragt tallet ned på 40 i 2005, og på 35 i 2006.

Richard Korf har i 1997 skrevet et program, som har løst optimalt 10 tilfældige konfigu-rationer af Rubiks terning, men det er ikke blevet kørt på samtlige mulige konfigurationer.

På den anden side har Michael Reids analyse også vist, at der er en konfiguration afRubiks terning, som kræver mindst 26 kvart-drejninger for at blive løst.

I dag ved vi altså, at Guds tal er et sted mellem 26 og 35 kvart-drejninger.

5.3.4 Guds algoritme for lommeterningen

I disse elektroniske tider forekommer det usandsynligt, at en computer ikke kan finde den opti-male løsning til en vilkårlig konfiguration af terningen. Jeg vil her prøve at gøre rede forhvorfor ved at se på Guds algoritme for lommeterningen.

I både R2 og R kalder vi to konfigurationer for naboer, såfremt de blot er en grundlæg-gende operation væk fra hinanden. Vi søger nu efter Guds tal på følgende induktive måde.

1. Start ved den løste tilstand og sæt dens afstand til 0.

2. For tilstande med afstand n, sæt afstanden til deres naboer til n + 1, såfremt disseafstande ikke i forvejen er sat til noget mindre.

3. Stop, når samtlige tilstande er blevet besøgt.

I denne algoritme skal man holde styr på samtlige konfigurationer samtidigt. Når mankommer til en tilstand, og har brug for at slå afstanden op hos dens naboer, kan vi på forhåndikke vide, hvilke tilstande det drejer sig om, og derfor skal vi altid kunne tilgå samtlige til-stande. Dette er meget hukommelsestungt.

Skal man bruge denne metode, er det mere eller mindre antallet af konfigurationer, derafgør, om sådan en algoritme kan anvendes. Lommeterningen er et godt eksempel derpå.

Værdien af afstanden vil ikke overskride 14, så vi kan eksempelvis bruge 5 bits− for så kanvi tælle fra 0 til 15− til at lagre den med. Derudover er antallet af lovlige måder, som småter-ninger kan sidde i lommeterningen på, er antallet af mulige konfigurationer af hjørnerne iRubiks terning, altså 8! · 37. Da vi ikke kan fastsætte terningen i rummet, skal man fraregnealle symmetrierne, hvorfor antallet af mulige konfigurationer er 7! · 36 = 3674160. Så alt i altvil vi have brug for knap 2 megabytes i hukommelse, hvilket de fleste hjemmecomputere kanklare.

Det er en anden sag med Rubiks terning. Selvom vi − programmerings- og datastruktur-mæssigt− blot kunne bruge én bit pr. tilstand, ville vi have brug for fem milliarder gigabytesi hukommelse. Til sammenligning har en hjemmecomputer i dag i gennemsnit én gigabyte ihukommelse. Selvom udviklingen af hardware på det område går hurtigt i takt med at pri-serne også daler, er det tvivlsomt, at Guds algoritme, baseret på sådan en metode, vil være til-gængelig for Rubiks terning i nær fremtid.

72

Epilog

Motivationen for at undersøge af gruppen af permutationspuslespils gruppe kan komme af ogto forskellige årsager. Den ene er at kunne sidde med et håndfast eksempel på en gruppe, somman er vant til at betragte abstrakt. Den anden er spil-relateret, idet gruppen af et permuta-tionspuslespil er en matematisk oversættelse af spillets struktur og regler. Det er den oplagtegrundsten i undersøgelsen af spillets egenskaber eller begrænsninger. Selvom nogle af disseegenskaber er åbenbare og tydeligt fremgår af spillets form eller regler, er andre mindre åben-lyse, men kan fremhæves ved en systematisk og formel undersøgelse af spillets gruppe.

Paritetskrav er et godt eksempel på nyttig information, som kan drages af et spils per-mutationsgruppe, og er med til at fremvise − nogle af − de umulige konfigurationer. Andregruppeteori-relateret egenskaber, såsom bestemmelsen af gruppens center og kommutator-gruppen, er også med til at drage konklusioner om spillet. Jo større kommutatorgruppen er,desto flere permutationer kan frembringes ved hjælp af kommutatorer, men desto også flereelementer i gruppen, som engang er tæt på at kommutere. Et relateret spørgsmål er opløselig-heden af gruppen. Lad mig sige det på den måde: Er gruppen ikke kommutativ, er det næst-bedste, vi kan få, en opløselig gruppe, set med løsningsorienteret briller.

Så, om man er drevet af den ene eller den anden årsag, er det om at bruge den fremlagtegruppeteori og den præsenterede undersøgelse af Rubiks gruppe og 15-gruppen til selv at gå igang med andre puslespil.

Og dem er der mange af! Interesserede læsere kan eksempelvis starte med Rubiks hævn ogen gruppeteoretisk gennemgang af dens gruppe kan findes i [15]. Et andet sted, man kan findepermutationspuslespil − såsom megaminx , skewb, square one puzzle, pyraminx m.fl − og deresgrupper er i [7].

Vi har set, at eksistensen af Guds algoritme − og dermed Guds tal − for et permutations-puslespil afhænger stærkt af spillets antal af konfigurationer. Ti tilfældige konfigurationer afRubiks terning er blevet løst optimalt, men her ser det ud til, at det er tiden, som arbejderimod os. For at forstå hvor stor antallet af konfigurationer i Rubiks terning egentligt er, kan vibetragte det på følgende måde:

Hvis det tager en computer i gennemsnit ét millisekund − og det er ikke meget − at findeen optimal løsning til en konfiguration af terningen, ville det tage mere end 1,3 milliarder år atkøre algoritmen på samtlige konfigurationer. Det er omkring en tiende del af universets alder.

Ydermere, skulle man repræsentere tilstande med prikker og deraf forme et kvadratiskgitter med en millimeters afstand mellem hver tilstand, ville vi ende med en sideafstand påomkring 6600 km, altså en afstand, der er større end jordens radius!

Disse overvejelser taget i betragtning gør, at det er usandsynligt at få en afklaring på Gudstal for terningen i den nærmeste fremtid. Sandsynligvis heller ikke i vores levetid.

73

Bibliografi

[1] Aaron F. Archer. A Modern Treatment of the 15 Puzzle. The American mathematical Monthly ,106(9):793–799, November 1999.

[2] Jr. Alexander Frey and David Singmaster. Handbook of Cubik Math . Enslow, 1982.

[3] Anders Thorup. Algebra . Mathematical Institute, Copenhagen University, 1998.

[4] Christoph Bandelow. Inside Rubik’s Cube and Beyond . Birkhäuser Boston, 1982.

[5] Daniel Bump. The Mathematics of the Rubik’s Cube. http://match.stanford.edu/bump/rubik.html.

[6] David Bagley. X puzzles. http://www.tux.org/ bagleyd/index.html.

[7] David Joyner. Adventures in Group Theory - Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and Other MathematicalToys . The John Hopkins University Press, 2002.

[8] David Singmaster. Notes on Rubik’s Magic Cube. Enslow Publishers, Hillside, New Jersey, 1981.

[9] E. L. Jr. Spitznagel. A New Look at the Fifteen Puzzle. Math. Mag., 40(171-174), 1967.

[10] Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, and Richard K. Guy. Winning Ways For Your MathematicalPlays , volume 2. Academic Press, 1982.

[11] Jaap Scherphuis. Jaap’s puzzle page. http://www.geocities.com/jaapsch/puzzles/.

[12] Janet Chen. Group Theory and The Rubik’s Cube. http://www.math.harvard.edu/ jjchen/docs/.

[13] Mogens Esrom Larsen. Rubiks Terning - hvordan du bringer den i orden og forstår dens principper .Nyt Nordisk Forlag Arnold Busck, 1981.

[14] Mogens Esrom Larsen. Gruppeteori - Rubiks terning som et skoleeksempel på en gruppe . Nyt NordiskForlag Arnold Busck, 1982.

[15] Mogens Esrom Larsen. Rubik’s Revenge: The Group Theoretical Solution. American MathematicalMonthly , 92(6), 1985.

[16] Tom Davis. Rubik’s cube simulator. http://www.geometer.org/rubik/index.html.

[17] W. E. Story. Notes on the ’15-puzzle, II’. American Journal of Mathematics , 2:399–404, 1879.

[18] Werner Randelshofer. CubeTwister. http://www.randelshofer.ch/cubetwister2/download.html.

[19] Wikipedia. Wikipedia, the free encyclopedia. http://en.wikipedia.org/.

75

Resumé - Dansk

Følgende sider handler om de spil, som populært kaldes permutationspuslespil , eller blot pusle-spil . Jeg giver en definition af dem og ser på, hvordan vi kan få en permutationsgruppe ud afsådanne spil.

Specielt kigger vi på Rubiks terning og 15-spillet som eksempler derpå. Vi viser, at de per-mutationer af de 15-brikker − så det tomme felt hører fast til et bestemt sted − udgør engruppe, som bliver kaldt 15-gruppen. Ligeledes viser vi, at de permutationer af de 54 farvedesmå flader af Rubiks terning, som kan opnås ved at samle den adskilte terning, udgør engruppe, som vi betegner G. De permutationer af de små farvede flader, som man kan dreje sigfrem til i Rubiks terning, udgør også en gruppe, som vi kalder Rubiks gruppe, og betegner R.Specielt er R endeligt frembragt af de permutationer, som er induceret af en drejning afsiderne en kvart omgang med uret.

Vi fremlægger den del af gruppeteori, som er nødvendig i undersøgelsen af både G , R og15-gruppen, og definitioner og begreber deraf sættes i forbindelse med de to spil. Vi viserundervejs, at 15-gruppen er isomorf med den alterende gruppe af 15 elementer.

Specielt er R en undergruppe af G, og Rubiks gruppe undersøges som så. Vi viser, at G er

det direkte produkt af to semi-direkte produkter. Specielt er G < (C38 ⋊ S8)× (C2

12 ⋊ S12), hvor

en operation på C38×S8×C2

12×S12 er

(v, ρ, w, σ)(v ′, ρ′, w ′, σ ′)= (v + ρ−1(v ′), ρρ′, w +σ−1(w ′), σσ ′)

Altså er |G |= 38 · 8! · 212 · 12!. Vi viser, at Rubiks gruppe R har indeks 12 i G, så |R|= 38 · 8! ·212 · 11!, som også er antallet af mulige farvninger af terningen. Centret Z(R) består af blot toelementer: Identiteten og den permutation, som vender samtlige kanter. KommutatorgruppenR′ har index to i R, og R′′ = R′, hvorfor R ikke er opløselig. Vi viser også, at den højestmulige orden i Rubiks gruppe er 1260. Derudover kommer vi kort ind på, at enhver gruppe aforden mindre end 13 er isomorf med en undergruppe af R. Endvidere er enhver ikke-abelskgruppe af orden mindre end 26 ligeledes isomorf med en undergruppe af R.

Hovedsætningen i Rubiks teori vises, og giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for,om en vilkårlig blandet terning kan løses.

Endelig kigger vi på, hvordan man kan bruge gruppeteorien til at lette det at finde en følgeaf træk, som svarer til et bestemt element af et puslespils permutationsgruppe. Rubiks gruppeer ikke opløselig, men vi kan alligevel skrive R som en følge af indlejret normale under-grupper−med Id som den sidste− med ’pæne’ kvotientgrupper.

Guds tal − den længste optimale løsning målt i kvarte omgange − for Rubiks terning er etsted mellem 26 og 35. Guds algoritme betegner en kørbar algoritme, som finder optimale løs-ninger til hver af et puslespils konfigurationer. En sådan algoritme findes for lommeterningen,og den krævede mængde af computer-hukommelse er på knap to megabytes. Samme frem-gangsmåde for den gængse terning ville kræve milliarder af gigabytes i computer-hukommelse.

77

Resumé - EnglishThis paper is about games, and more specifically puzzles. I give a definition of those, andshow how to get a permutation group out of them.

More specifically, we look at Rubik’s cube and the 15-puzzle. We show, that the permuta-tions of the 15 sliding-pieces of the 15-puzzle− so the blank square is fixed at some position−form a group, and we call it the 15-group. Likewise, the achievable permutations of the 54facets of the cube, where a legal move is to disassemble and reassemble the small cubies, forma group that we denote G. The achievable permutations of the 54 facets of the cube, where alegal move is a sequence of quarter turns of one the sides, form also a group, and we denote itR. A quarter turn of one of the sides induces a permutation of the facets and the collection ofthe induced permutation for each of the sides generates all R.

We go through the basics of group theory and put the definitions and results in relationwith those puzzles. We show, that the 15-group is isomorphic to the alternating group of 15elements.

The group R is a subgroup of G, and it turns out, that it’s easier to characterize it as so.We show, that G is the direct product of two semi-direct products. Actually G < (C3

8 ⋊ S8) ×(C2

12 ⋊ S12), where an operation on C38×S8×C2

12×S12 is given by

(v, ρ, w, σ)(v ′, ρ′, w ′, σ ′)= (v + ρ−1(v ′), ρρ′, w +σ−1(w ′), σσ ′)

Thus, the order of G is 38 · 8! · 212 · 12!. Next, R has index 12 in G, so |R| = 38 · 8! · 212 · 11!.This is also the number of achievable configurations of the cube. The center of R consists oftwo elements: The identity, and the permutation that flips all of the edges. The commutatorsubgroup has index two in R and R′′ = R′. Thus, R is not solvable. We also show, that thehighest possible order for an element in R is 1260. Other interesting results are, that everygroup of order less than 13 is isomorphic to a subgroup of R, and that every non-abeliangroup of order less than 26 is isomorphic to a subgroup of R.

In the fundamental theorem in Rubik’s theory, we give a necessary and sufficient conditionfor a configuration to be achievable.

Finally, we show how to use group theory in the proces of finding a sequence of moves thatproduces some permutation in a puzzle. Rubik’s group is not solvable, but we can decomposeR in a serie of embedded normal subgroups− the last one being the trivial group−with ’nice’quotient-groups.

God’s number− the longest optimal solution measured in quarter turns− for Rubik’s cubeis between 26 and 35. God’s algorithm is an algorithm, which finds an optimal solution foreach of the achievable configurations in a puzzle. Such an algorithm exists for the pocket cubeand the required amount of computer-memory is no more than two megabytes. The sameapproach for the usual cube would need billions of gigabytes in computer-memory.

78