Mouvement de projectiles dans un champ uniforme

III.ÉNONCÉ DESTINÉ AU CANDIDAT

NOM : Prénom :

Centre d’examen : N° d’inscription :

Ce sujet comporte 4 feuilles individuelles sur lesquelles le candidat doit consigner ses réponses.Le candidat doit restituer ce document avant de sortir de la salle d'examen.

Le candidat doit agir en autonomie et faire preuve d’initiative tout au long de l’épreuve.En cas de difficulté, le candidat peut solliciter l’examinateur afin de lui permettre de continuer la tâche.L’examinateur peut intervenir à tout moment sur le montage, s’il le juge utile.

CONTEXTE DU SUJET

On cherche à obtenir l’équation de la trajectoire d’un mobile dans deux cas :

- Lors de la chute libre sans vitesse initiale - Lors d’un mouvement parabolique.

TRAVAIL A EFFECTUER

1. Etude du mouvement de chute libre sans vitesse initiale

A . Étude théorique

Nous allons étudier le mouvement d’une balle de masse m qui est lâchée sans vitesse initiale.

1) Définir le système et le référentiel d’étude.

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2) Faire le bilan des forces extérieures qui s’appliquent sur le système. (On considérera ici comme négligeables les forces de frottements de l’air ainsi que la poussée d’Archimède)

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3) Pour la suite de l’étude, on travaillera dans un repère dont l’origine est la position de la balle lorsqu’elle est lâchée. On choisira comme axes du repère, un axe horizontale (O ; ¾®i;\s\up10( ) orienté vers la droite, et l’axe vertical (O ; ¾®j;\s\up10( ) orienté vers le bas.

Les positions de la balle seront données par le vecteur position du centre d’inertie G,

¾¾®OG;\s\up10( = x(t) ¾®i;\s\up10( + y(t)¾®j;\s\up10(

Donner l’expression du vecteur accélération du centre d’inertie de la balle ¾®aG;\s\up10(.

Quelle sera la trajectoire de la balle ?

Quel sera le mouvement de la balle ?

En déduire l’expression du vecteur vitesse du centre d’inertie de la balle ¾¾®vG;\s\up10(.

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4 ) Prévoir quelle sera l’allure de vx = f(t) , vy = f(t).

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5) En déduire l’expression du vecteur position du centre d’inertie G, ¾¾®OG;\s\up10(.

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6) Quelle sera l’allure de x = f(t) ? Quelle sera l’allure de y = f(t) ?

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B. Étude expérimentale

On a filmé la chute d’une balle lâchée sans vitesse initiale. Vous trouverez ce film dans Latis Pro séquence vidéo « TP1Schutevert.avi ».

Vous disposez du logiciel LatisPro.

Après avoir choisi un repère identique à celui de l’étude théorique et fait un étalonnage, vous pointerez les positions de la balle en prenant pour date origine l’instant où la balle est lâchée (ce qui n’est pas forcément la première image). Soignez le pointage.

Renommer « mouvement de x », x et « mouvement de y », y.

Puis vous créerez deux nouvelles grandeurs « dérivée de x » et « dérivée de y » correspondant aux deux composantes de la vitesse de cette balle. Pour cela, choisir dérivée dans traitements/calculs spécifiques.

1) Vous décrirez les allures de vx(t) ; vy(t) ; x(t) et y(t) et ay(t)

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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Vous modéliserez ces grandeurs en utilisant le module « Modélisation » et les modèles

prédéfinis. Vous comparerez le résultat de la modélisation avec la théorie.

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2. Étude de la chute d’une balle avec vitesse initiale

A . Étude théorique

Cette fois-ci, la balle est lancée et on étudie son mouvement à partir du moment où elle n’y a plus de contact entre le lanceur et la balle (cela correspondra à l’origine des date t = 0s).

A t = 0, on considère que la balle a une vitesse initiale de v0 et que le vecteur vitesse fait un angle avec l’horizontale.

Vous ferez la même étude théorique que dans le cas précédent.

Dans quel plan se trouve la trajectoire de la balle ? Justifier

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B. Etude expérimentale

On a filmé la chute d’une balle lâchée avec vitesse initiale. Vous trouverez ce film Ressources/Physique Chimie/TP1Schuteparbolique.avi .

1) Attention à l’origine des dates : la balle ne doit plus être en contact avec la main du lanceur. Vous ferez la même étude que précédemment avec LatisPro et vous chercherez quelles sont les allures de vx(t) ; vy(t) ; x(t) et y(t).

2) Vous modéliserez ces fonctions et vous comparerez le résultat avec la théorie.

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3) Vous en déduirez la vitesse initiale v0 de la balle ainsi que l’angle .

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4) Vous visualiserez la trajectoire de la balle qui correspond à la fonction y = f(x) et les vecteurs vitesse et accélération en allant dans le menu traitements/calculs spécifiques/vecteurs.

5) Imprimer le graphe avec les graphes x(t) et y(t) d’une part, puis vx(t) et vy(t) d’autre part.

CORRECTIONCORRECTION1. Etude du mouvement de chute libre sans vitesse initiale

0g

A . Étude théorique

Équations horaires :

La bille n’est soumise qu’à son poids et la première loi de Newton permet d’écrire :

Les équations horaires du mouvement sont :

Vitesse initiale nulle

Vitesse initiale non nulle

® Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

2. Étude de la chute d’une balle avec vitesse initiale

A . Étude théorique

OG

x

Équations horaires paramétriques du mouvement :

Système : le projectileRéférentiel : référentiel du laboratoire, supposé galiléen pendant la durée de l’expérience.

Bilan des forces : le projectile n’est soumis qu’à son poids puisqu’il est en chute libre.

Si on applique le théorème du centre d’inertie (2nd loi de Newton) au projectile, on a :

Remarque : on suppose que le poids est équivalent à la force de gravitation (on néglige la force d’inertie d’entrainement). Le projectile est aussi en mouvement par rapport au référentiel, on va donc négliger la force d Coriolis.

En projetant cette relation dans le repère , on a :

Les constantes C1, C2, C3, C4, C5 et C6 sont déterminées à partir des conditions initiales qui sont :

; ; ; ; ;

On en déduit :

avec Équation de la trajectoire :

Le mouvement du projectile est une parabole de sommet S.Portée du projectile : OP

P

α

S

Rappel :

La portée est définie par z = 0

Flèche (altitude maximale atteinte) : S

S est tel que : ou

Ainsi, zS est maximale si (seule valeur acceptable)

Portée maximale :

est maximale si est maximal

L’altitude maximale, pour , sera :

Angle α pour que la trajectoire passe par un point A (x A, zA) :

Cette équation du 2nd degrés admet une solution réelle ssi :

Pour A, et . Il existe 2 angles de tir possibles :

- Angle de tir α 1 :

- Angle de tir α2 :