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Sommario
Non-linearità del materiale (confinamento)
Comportamento ciclico di acciaio e calcestruzzo
N li ità t i d ll’ l t / i Non-linearità geometrica dell’elemento/sezione
Grandi spostamenti/rotazioni; Effetti del secondo
ordine Effetto tra e colonnaordine; Effetto trave-colonna
Non-linearità dell’elemento
Effetto del materiale Effetto del materiale
Non-linearità della struttura e meccanismi di collasso
Modellazione del comportamento anelastico Modellazione del comportamento anelastico
Modellazione a “plasticità concentrata” (vantaggi e
limiti); Modellazione a “plasticità diffusa” (vantaggi elimiti); Modellazione a plasticità diffusa (vantaggi e
limiti); Codici di modellazione
Analisi non-lineari
Dove siamo? Cap. 7, Cap. 8 e Par. C.8 DM 14 Gennaio 2008 Punto C.8: Per quanto riguarda le costruzioni esistenti in c.a. e in acciaio, è evidenziato come in esse possa essere attivata laq g , pcapacità di elementi con meccanismi resistenti sia “duttili” che “fragili”; a tale riguardo, l’analisi sismica globale deve utilizzare, perquanto possibile, metodi di analisi che consentano di valutare in maniera appropriata sia la resistenza che la duttilità disponibile,tenendo conto della possibilità di sviluppo di entrambi i tipi di meccanismo e adottando parametri di capacità dei materialidiversificati a seconda del tipo di meccanismo.
Cemento armato ordinario
Modello a fibre
Izmit earthquake (Turkey), 19th August 1999
Loma Prietat earthquake (USA), 17th October1999, San Francisco
Cemento armato ordinario
Boumerdes earthquake (Algery), 21st May2003
Bingol earthquake (Turkey), 1st May 2003
San Fernando earthquake (USA), 9th
February 1971 (Olive View Hospital)
Punto 7.3.1 L’analisi non lineare si utilizza per sistemi dissipativi e tiene conto delle non linearitàdi materiale e geometriche […] I legami costitutivi utilizzati devono includere la perdita di
Esempi di “non-linearità” come indicati da DM 14 Gennaio 2008:
resistenza e la resistenza residua, se significativi.
Non-linearità geometrica
Non-linearità del materiale
Kobe Bridge Collection, E.E.R.C., University of California, Berkeley
base
[kN
]Ta
glio
alla
Calvi, Pavese. Rasulo, Bolognini, 2005
Duttilità in spostamento
Errato rapporto capacità taglio/flessione meccanismo fragile a taglio
Insufficiente lunghezza di sovrapposizione riduzione della capacità flessionale
1. Non-linearità geometrica effetti del secondo ordine
Non si può confondere la configurazione deformata con quella indeformata
Variazione degli spostamenti non proporzionale ai carichi Variazione degli spostamenti non proporzionale ai carichi
Si modificano le sollecitazioni
Sistema di riferimento locale solidale con il corpo Sistema di riferimento locale solidale con il corpo
Amplificazione del momento a causa degli effetti del secondo ordine
1. Non-linearità geometrica effetti del secondo ordineM T N
5000.057 M T N
3000
Lineare
3000
500
0050
M T N1
0.076
Incastro500
3000
Non- 0 9
3000
lineare 401
409
1343
4
2. Non-linearità geometrica grandi spostamenti e rotazioni
Il carico F si decompone in 2 componenti ora abbiamo anche un carico assiale
Il materiale è stato scelto in regime elastico
2. Non-linearità geometrica grandi spostamenti e rotazioni
10000
6 m
Incastro
Lineare Non-lineare
M60000 58942
T9991 967610000 9991 9676
N
4272525
3. Non-linearità geometrica effetto trave-colonna
Azione assiale e
momento sono
accoppiati
Matrice rigidezza:
elastica + geometrica
3. Non-linearità geometrica effetto trave-colonna6 m6 m
100100
30000
100100
300000 024 0 035
Lineare Non-lineare
30000 300000.024 0.0350.004 0.005
M 124
T 1313
N
Non-linearità materiale calcestruzzo
o. ..
= + +n
conf
inat
o
conf
inat
o.
ccia
io.
c
one
in c
.a
Cls
non
Cls
ac
non confinato confinato con spirali
sezi
o
confinato con staffe
c
Non-linearità materiale calcestruzzo
80
90
Calcestruzzoconfinato Rottura della
prima staffa
fc0 = 54 MPa
70
ne [M
Pa]
mpr
essi
one
f c f’ccprima staffa
50
60
a co
mpr
essi
on
Kf = 1.5
Kf = 1.4
Kf = 1.5
Sfor
zo a
com f’c Calcestruzzo
non confinato
Ec
40
cara
tteris
tica
a
Kf = 1.3
Kf = 1.4Kf = 1.1
Kf = 1.2
Kf = 1.3
S
Deformazione di compressione εc
εco εsp εcc2εco εcu
Esec
20
30
Res
iste
nza
cKf = 1.1
Kf = 1.2Nonconfinato
Effetto di confinamento:
Kf = f’cc / f’c
p
fc0 = 40 MPa
10Nonconfinato
incremento di capacità resistente e deformativa del calcestruzzoIn funzione di: quantità disposizione e resistenza armatura
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018Deformazione
0quantità, disposizione e resistenza armatura trasversale, forma della sezione
Armatura di confinamento e legatura delle barre longitudinali
Calcestruzzo non confinato
Nucleo confinato
Kf = resistenza calcestruzzo
Park and Paulay,
1975
Kf resistenza calcestruzzo confinato / resistenza iniziale
Non-linearità materiale acciaio
E )(f i E ),,(f i
500
600
Modello acciaio non lineare (Dodd & Restrepo-Posada, 1995)
Resistenza media a snervamento dell’acciaio: fys = 490 MPa
“Model for Predicting Cyclic Behavior of Reinforcing Steel”(J. Struct. Engrg. 121, 433 (1995))
300
400
500
[MPa
] sh = 1%
fsx = 545 MPa sx = 5%
fsu = 570 MPa su = 10%
dell acciaio: fys 490 MPa
Deformazione di snervamento:
Resistenza media ultima a trazione: fsu = 570 MPa
100
200
fsy = 490 MPa sy = 0.245%
ys = 0.245%
Deformazione ultima:
Deformazione di incipiente incrudimento: sh = 1.00%
00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
Deformazione
su = 10%
syff
shsuxsu
ysuxsu ffffp
loglog
f
ssy
sys
ff
sysse
sys ff shssyse e : coordinate di un punto
intermedio nel tratto compreso fra e sxfsx
sh susys y
p
shsu
ssusuysus ffff
susshse
Non-linearità materiale Midas Gen
Comportamento ciclico con dissipazione
Dipendenza da storia precedente la Dipendenza da storia precedente la
storia di carico modifica la rigidezza del
materialePunto 7.2.6
DM. 14/01/2008
(Paulay & Priestley, 1992Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings)
Non-linearità dell’elemento Effetto del materiale
S250
150200250
90
100Mmax
-100-50
050
100
Forz
a [kN
]
60
70
80
90My
1. Fase elastica
-250-200-150
-30 -20 -10 0 10 20 30Spostamento [mm]
30
40
50
60
Mcr2. Fase fessurata
3. Fase post-elastica Spostamento [mm]
Irreversibilità
Dissipazione10
20
30p
4. Fase post-picco (softening)
p
Degrado0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1/cr y max
Non-linearità dell’elemento Effetto del materiale
F F F
Mcr Mcrcr cr
Lv
Mcr My
My
Mmaxcry
y
maxcr
Distribuzione dei momenti flettenti
Distribuzione delle curvature
Regione= +
y
Regioneplastica
y yContributo
plasticoContributo
elastico
Non-linearità della struttura e meccanismi di collasso
Legami costitutivi calcestruzzo e acciaio
Sfilamento delle barre
Grandi spostamenti/rotazioni (deformazioni)
Effetti del secondo ordine Sfilamento delle barre
Fessurazione (effetto spinotto,
interlock etc )
Effetti del secondo ordine
Fenomeni di instabilità dell’equilibrio
interlock, etc.)
Interazione non-lineare suolo-struttura
V Inizio espulsione copriferro
Fine espulsione
Fine espulsione copriferro
Cerniere plastiche
Prima cerniera plastica
p
Instabilità barre/crisi calcestruzzoFessurazione
t 3u my t=3s t=4st=3s t=4s
Modellazione avanzata ad elementi finiti (2D/3D)
Modellazione Metodi di modellazione
Molto accurata
Permette di studiare i fenomeni locali
Troppo complessa ed onerosa per lo studio di un’intera struttura
(soprattutto in dinamica non-lineare)
Modellazione ad elementi finiti con
elementi “trave-colonna” (2D/3D)
Meno accurata
Non permette di studiare nel dettaglio i fenomeni locali
P di di i d iù l il l b l Permette di studiare in modo più veloce il comportamento globale
della struttura
Modello ad elementi finiti di un controvento
• Elementi finiti shell acomportamento nel piano e fuoricomportamento nel piano e fuoridal piano.
• Mesh size approssimativamente25x25mm nelle zone plastiche.
M d ll bili d h d i i t i• Modello bilineare ad hardening isotropico:carico ciclico.
• Coupon test: parametri del materiale.p p• Imperfezione iniziale.• Storia di spostamento.
Behaviour of a Brace
TrazioneCompressione
Forza assiale-spostamento
Ristporta istereticaRistporta isteretica
Forza assiale vs. risposta in spostamento
1500
2000
Midas 2000
2500
3000
MidFEM M d l FEM M d l
500
1000
MidasExperimental Data
500
1000
1500
2000MidasExperimental Data
FEM Model FEM Model
-500
0-60 -40 -20 0 20 40
1000
-500
0
500
-80 -60 -40 -20 0 20 40
-1500
-1000
2500
-2000
-1500
-1000
-2500
Modellazione del comportamento anelastico con elementi trave-colonna
Modellazione a “plasticità concentrata” (modello cerniera plastica)
A li i l i Analisi veloci
Difficile calibrazione delle cerniere
Esperienza dell’operatore Esperienza dell operatore
Accuratezza delle analisi compromessa
Modellazione a “plasticità diffusa” (modello a fibre)
Modellazione più semplificataModellazione più semplificata
Analisi più lente
Nessuna calibrazione delle cerniere solo
caratteristiche reali del materiale
Modellazione a plasticità concentrataNelle strutture intelaiate soggette ad azioni orizzontali, quali quelle indotte da eventi sismici, lesollecitazioni flettenti massime si verificano in corrispondenza delle estremità di travi epcolonne. E’ dunque in questi punti che, una volta superata la soglia elastica, si concentrano ledeformazioni anelastiche.
Partendo da queste considerazioni, alcuni modelli di trave considerano la plasticità tutta
Sotto sollecitazione sismica diagramma “a farfalla” dei momenti cerniere plastiche alle
q , pconcentrata in cerniere plastiche puntuali disposte alle estremità degli elementi. Tali modellivengono denominati modelli a plasticità concentrata.
Sotto sollecitazione sismica diagramma a farfalla dei momenti cerniere plastiche alleestremità degli elementi (ed eventualmente vicino alla mezzeria).
In queste zone si dispongono elementi non-lineari (cerniere plastiche) mentre il restoIn queste zone si dispongono elementi non lineari (cerniere plastiche) mentre il restodell’elemento rimane lineare.
Per definire gli elementi “cerniera” occorre:
Modellazione a plasticità concentrata: localizzazione e tipo di rotturaPer definire gli elementi “cerniera” occorre:
Decidere la loro localizzazione e il corrispondente tipo di rottura
Rottura a flessione in mezzeria
Rottura a taglioRottura a taglio
Rottura a flessione agli appoggi
NModellazione a plasticità concentrata: diagramma momento curvatura
Stimare nella sezione critica il
diagramma momento-curvatura in
MxxS,d
presenza di azione assiale e
degrado nel tempo per scegliere
MyyS,d P (M ; M ;N i )
Myyfra i vari modelli proposti
PP (Mxx; Myy;Nmin)N
Mxx
Diagramma N - Mxx - MyyDiagramma Mxx - Myy
Scegliere il ciclo isteretico più opportuno (modelli utilizzabili in Ruaumoko aggiornati al 2010)Modellazione a plasticità concentrata: isteresi del materiale
M
Momento-curvatura isteretico
Alcuni esempi di cicli isteretici:Modellazione a plasticità concentrata: isteresi del materiale
IHYST = 2
IHYST = 4 (Modified Takeda)
IHYST = 9 (Wayne Stewart degradating hysteresis)
IHYST = 22 (Li Xinrong rc column)rc column)
Tener conto della grande variabilità del comportamento non-lineare ciclico
Modellazione a plasticità concentrata: isteresi del materialeg p
Aumento della capacità flessionale
in presenza di sezioni a “T”
“Pinching”: deve essere introdotto
a priori, calibrando il legame
(Park & Paulay, 1975)
Predire la lunghezza di cerniera plastica equivalente tale per cui il prodotto di questa perModellazione a plasticità concentrata: lunghezza della cerniera plastica
la curvatura definisca una rotazione prossima a quella reale
(Eq C8A 6 5 Circ DM 14/01/2008) (Eq. 8.7.2.1a DM 14/01/2008)
u = y + p,u
(Eq. C8A.6.5 Circ. DM 14/01/2008) ( q )
p,u = 0.5(u –y)Lpl (1-0.5Lpl/Lv)
Non si considera il
passo delle staffe
F flex shear slip
passo delle staffe
Scorrimentobarre
Lv = + +
Modellazione a plasticità concentrata: esempi di lunghezza di cerniera plastica
Provino con staffe passo 12 Provino con staffe passo 6
Distribuzione del
danno: concentrato
alla base
Modellazione a plasticità concentrata: esempi dei dati di input richiesti
D fi i i d l l i Definizione del legame momento - rotazione o
curvatura (Eurocodice 8, FEMA), interazione
P M M f i t i t t li itP-M-M, perfomance point per ogni stato limite
Modellazione a plasticità concentrata
VANTAGGI:
Utili i i l t l ti l ti i i hi ti li ità d l t i l Utilizza principalmente elementi elastici, in pochi punti non-linearità del materiale
minor onere computazionale
Permette con opportuna scelta del legame costitutivo della cerniera di descrivere Permette, con opportuna scelta del legame costitutivo della cerniera, di descrivere
diversi fenomeni oltre al comportamento flessionale (deformabilità a taglio, scorrimento
dell’armatura flessibilità del nodo trave-colonna interazione telaio-tamponamenti etc )dell armatura, flessibilità del nodo trave-colonna, interazione telaio-tamponamenti, etc.)
versatilità, adeguata modellazione del comportamento di strutture esistenti
LIMITI:
Richiede esperienza dell’operatore per stabilire dove distribuire le zone non-lineari, perp p p , p
scegliere lunghezze e curve caratteristiche
l’accuratezza dell’intera analisi può essere facilmente compromessa
Si considerano elementi tipo trave con comportamento anelastico
Modellazione a plasticità diffusa
node BGaussSection b
Si considerano elementi tipo trave con comportamento anelastico
node A
GaussSection a
GaussSection a
B
L/2 3 L/2
A
RC Section Unconfined Concrete Fibres
Steel FibresConfined Concrete Fibres
A l ti ità diff i t tt l’ l t i i di l ti fibAnelasticità diffusa in tutto l’elemento: impiego di elementi a fibre
Due possibili tipi di modellazione:Modellazione a plasticità diffusa: confinamento
Implicita: Definizione del fattore di confinamento (Kc = fcc / fc), costante ad ogni passo
dell’analisi (σ ε cambia) constant confinementdell analisi (σ-ε cambia) constant confinement
Esplicita: Definizione del dettaglio delle staffe (es. diametro, passo, etc.) e calcolo del
confinamento ad ogni passo dell’analisi variable confinementconfinamento ad ogni passo dell analisi variable confinement
Kent & Park (1973) esteso da Scott (1982)
Modellazione a plasticità diffusa
L’intero elemento trave/colonna è suddiviso in “elementi fibre” (elementi monodimensionali con
legame costitutivo non-lineare).
Lo stato di sforzo-deformazione di una sezione del generico elemento è ottenuto tramite
integrazione della risposta sforzo-deformazione uniassiale non-lineare di ciascuna fibra.
La distribuzione della non-linearità del materiale nella sezione è modellata accuratamente anche
in condizioni di elevata non-linearità se si utilizza un numero sufficiente di fibre 200-400 in
modello 3D
Una descrizione accurata di formazione e diffusione di cerniera plastica nell’elemento (senza
bisogno di supporla a priori) dovrebbe essere ottenuta tramite opportuna distribuzione di
sezioni di integrazione in ciascun elemento strutturale.
2 diverse formulazioni: Displacement based e Force based2 diverse formulazioni: Displacement-based e Force-based
Modellazione a plasticità diffusa: spostamenti vs. forze
Suddivisione degli elementi strutturali:Elemento unico
È richiestauna meshaccurata
Telaio con elementi Displacement-based Telaio con elementi Force-basedTelaio con elementi Displacement-based Telaio con elementi Force-based
Modellazione a plasticità diffusa
VANTAGGI:
N i hi d i d ll’ t è ffi i t l tt i ti h Non richiede esperienza dell’operatore: è sufficiente conoscere le caratteristiche
geometriche e il comportamento anelastico ciclico accuratezza dell’intera analisi
LIMITI:
Utilizza legami costitutivi non-lineari in tutto l’elemento maggiore onere Utilizza legami costitutivi non-lineari in tutto l elemento maggiore onere
computazionale
NOTA: Ancora pochi i codici che colgono tutti gli aspetti della risposta strutturale ad azione sismica, come
ad es. deformazione taglio.
ANALISI NON-LINEARI
“L’analisi non lineare si utilizza per sistemi dissipativi e tiene conto delle nonlinearità di
t i l t i h [ ] I l i tit ti i tili ti d i l d l dit dimateriale e geometriche; […]. I legami costitutivi utilizzati devono includere la perdita di
resistenza e la resistenza residua, se significativi.” (Punto 7.3.1 DM. 14 Gennaio 2008)
ANALISI DINAMICA NON LINEARE (NLTH) ANALISI DINAMICA NON-LINEARE (NLTH)
ANALISI STATICA NON-LINEARE (PUSHOVER)
t=4s
Sommario
Analisi dinamica non-lineare: Introduzione
D fi i i d li l i Definizione degli accelerogrammi
Accelerogrammi naturali, artificiali e sintetici; software per la selezione (REXEL)
Metodologia di modellazione Metodologia di modellazione
Smorzamento viscoso equivalente
Metodi di integrazione e definizione del “time-step” Metodi di integrazione e definizione del time-step
Algoritmi disponibili; Smorzamento numerico
Confronti con risultati sperimentaliConfronti con risultati sperimentali
Prove pseudo-dinamiche su telai 2D, 3D e ponti; Prove cicliche su telai e nodi
La risposta della struttura è calcolata integrando direttamente l’equazione non-lineare delAnalisi dinamica non lineare: introduzione
moto del sistema utilizzando un modello tridimensionale ad elementi finiti e come azione di
input degli accelerogrammi.)( MRUFUCUM
tipo di analisi più completa: rappresentazione diretta del fenomeno reale (sollecitazioni egx)( MRUFUCUM
deformazioni dei membri della struttura nel tempo)
tipo di analisi più complessa:
• Scelta del modello isteretico
• Calibrazione dello smorzamento
D fi i i d li l i• Definizione degli accelerogrammi
• Scelta dei criteri di convergenza ottimali
Punto 7.3.4.2
DM. 14/01/2008
Analisi dinamica non lineare: introduzione
MRKUUCUM5
z
UgxMRKUUCUM
vettore di influenza del terremoto: 3
4
1
1
1
UUU
y
x
vettore di influenza del terremoto:spostamenti nella direzione dei gradi di libertà del sistema per uno spostamento unitario del terreno
2
3
5
5
....
UU
y
x
U
spostamento unitario del terreno1
5U
U4=1
U5=1
11
yx
sincos
U2=1
U3=1
1111
R
....0
sin
R
U1=11
x
z
x
yug=1
0sincos
ug=1 ug=1 x
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammiIl DM. 14 Gennaio 2008 al Punto 3.2.3.6 stabilisce che possono essere adottati
accelerogrammi appartenenti ad una delle seguenti categorie:
• Accelerogrammi naturali: registrati durante eventi sismici passati
http://peer.berkeley.edu/smcat/search.html• Accelerogrammi artificiali: generati, partendo da uno spettro iniziale, mediante
algoritmi stocastici e basati sulla teoria delle vibrazioni casuali e delle “wavelets”.
• Accelerogrammi sintetici: ottenuti mediante simulazioni numeriche complesse (sia
deterministiche che stocastiche) del problema sismologico di generazione di un
t tPunto 3.2.3.6
DM. 14/01/2008
terremoto.
In generale è preferibile utilizzare accelerogrammi naturali:In generale è preferibile utilizzare accelerogrammi naturali:
• Più realistici in termini di contenuto in frequenza, durata, etc.
Il software REXEL, sviluppato dall’Università degli Studi di Napoli Federico II e distribuitoAnalisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
, pp g p
gratuitamente suhttp://www.reluis.it/index.php?option=com_content&view=article&id=118%3Arexel&catid=42%3Asoftware&Itemid=105&lang=it
permette la selezione automatica di combinazioni di accelerogrammi naturali compatibili con gli
spettri di risposta del DM. 14 Gennaio 2008 (e dell’EC8)
Sono necessari i seguenti quattro passi principali:
1.Definizione dello spettro targetp g
2.Ricerca nel database degli accelerogrammi da considerare nell’analisi
3.Definizione delle specifiche della selezione
4.Ricerca delle combinazioni
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammi
STEP 1: Definizione dello spettro target (Target Spectrum) in accelerazione• Longitudine
• Latitudine
• Categoria di
sottosuolo
• Categoria
T fiTopografica
• Vita nominale
• Classe d’uso• Classe d uso
• Stato limite (SLD,
SLC SLV)SLC, SLV)
• Componente
dell’azionedell azione
sismica
STEP 2: Ricerca nel database degli accelerogrammi da considerare nell’analisi
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammiSTEP 2: Ricerca nel database degli accelerogrammi da considerare nell analisi
(Preliminary database search)
• Intervallo
magnitudo (Mmin,
M ) [ t ]Mmax) [momento]
• Intervallo
distanza epicdistanza epic.
(Rmin, Rmax) [km]
• Database• Database
• Classe di suolo
(quella del sito in(quella del sito in
esame o una
qualsiasi)q )
STEP 3: Definizione delle specifiche della selezione (Spectrum matching)
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammiSTEP 3: Definizione delle specifiche della selezione (Spectrum matching)
S• Sottostima e
sovrastima
i ttmax rispetto
allo spettro di
riferimentoriferimento
• Intervallo di
periodi (T T )periodi (T1, T2)
STEP 4: Ricerca delle combinazioni
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammiSTEP 4: Ricerca delle combinazioni
• 1 component: 7
accelerogrammi
in una sola dir.
(orizz. o vert.)
• 2 components:
7 coppie di
accelerogrammi
( i )(x e y; oriz.)
• 3 components:
7 gruppi di7 gruppi di
accelerogrammi
(x y e z; oriz e(x, y e z; oriz. e
vert.)
Analisi dinamica non lineare: definizione degli accelerogrammiVERSIONE AGGIORNATAVERSIONE AGGIORNATA
Definizione del modello geometrico tridimensionale della strutturaAnalisi dinamica non lineare: metodologia di modellazione
P 2 6
Calcolo delle masse sismiche (applicazione sotto forma di carichi gravitazionali)
Punto 7.2.6
DM. 14/01/2008
Definizione dello smorzamento della struttura
Legame costitutivo non-lineare dei materiali (valori medi delle proprietà dei materiali)
Input sismico (accelerazione alla base): modello sollecitato contemporaneamente da due
eventi sismici orizzontali ed eventualmente da un evento verticalePunto 7.3.5
Verifica della struttura (momenti, tagli, rotazioni alla corda, spostamenti)DM. 14/01/2008
Punto C7.3.4.2
DM. 14/01/2008
Generalmente, nell’analisi dinamica non-lineare la maggior parte dell’energia generata dalAnalisi dinamica non lineare: smorzamento della struttura
sisma viene dissipata grazie allo smorzamento isteretico che è implicitamente incluso
(i) nella formulazione del modello a fibre degli elementi non-lineari o (ii) nella
formulazione della curva di risposta non-lineare “forza-spostamento”.
Quando non si hanno dissipatori all’interno della struttura tutte le sorgenti di dissipazioneQuando non si hanno dissipatori all interno della struttura, tutte le sorgenti di dissipazione
che non si possono quantificare (es. radiazione di energia attraverso le fondazioni,
calore etc ) vengono considerate applicando uno smorzamento viscoso equivalentecalore, etc.) vengono considerate applicando uno smorzamento viscoso equivalente
(ξ) alla struttura. Valori tipici, in funzione della tipologia strutturale, sono i seguenti:
ξ = 5% per strutture in C Aξ 5% per strutture in C.A.
ξ = 2% per strutture in acciaio
el
pleff A
A
41
el
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalentemodello di Rayleighy g
gx MRKUUCUM
T1T2
2T1 1T2
T 2 T 2
MKC T1 T2
4 1T1 2T2
dove T e ξ sono, rispettivamente il periodo e lo smorzamento del primo (1) e dell’ultimo (2)
4 1 1 2 2
T12 T2
2
dove T e ξ sono, rispettivamente il periodo e lo smorzamento del primo (1) e dell ultimo (2)
modo di interesse della struttura.
NOTA: Nelle strutture in C.A., però, la proporzionalità dello smorzamento rispetto alla massa
non è fisicamente giustificata.non è fisicamente giustificata.
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalentematrice di rigidezza KC g
1000
2000
orce
(kN
) 1000
2000
orce
(kN
)
I iti l tiff ti l d i-1000
0
Stif
fnes
s F
o
-1000
0
Dam
pin
g F
o Initial stiffness proportional damping
-0.1 0 0.1Displacement (m)
-2000
-0.1 0 0.1Displacement (m)
-2000
2000 2000
(a) Non ha significato fisico
Si tt ti l i t
0
1000
For
ce (
kN)
0
1000
For
ce (
kN)
Tangent stiffness proportional damping
Si sottostima la risposta
-2000
-1000
0
Stif
fnes
s F
-2000
-1000
0
Dam
pin
g Tangent stiffness proportional damping
-0.1 0 0.1Displacement (m)
2000
-0.1 0 0.1Displacement (m)
2000
(b)
(Priestley & Grant, 2005)
Award of Excellence, 7 Ottobre 2010, predizione della risposta sperimentale su tavola vibrante di una pila da ponte circolare in cemento armato in scala reale, U.C. San Diego.
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalentecomparazioni sperimentali
0.15
Experiment
p p
0.1
)
ExperimentTangent-Stiffness
Initial Stiffness
0
0.05
emen
t (m
) Initial Stiffness
-0.05Dis
pla
ce
-0.1
0 4 8 122 6 10Time (sec)
-0.15
Analisi dinamica non lineare: smorzamento viscoso equivalentecomparazioni sperimentali
0.15
0.1 Experiment
No damping
0
0.05
men
t (m
) p g
0
-0.05Dis
pla
cem
-0.1
0 4 8 122 6 10Time (sec)
-0.15
Analisi dinamica non lineare: metodi di integrazionedefinizione del “time step”p
Method Type Stability
Newmark (central differences) Explicit 0 1/2
minTt
Newmark (bilinear acceleration) Implicit 1/6 1/2
minT7.1t
Newmark Implicit 1/4 1/2 Unconditional(constant acceleration) Implicit 1/4 1/2 Unconditional
Hilber - Hughes – Taylor* Implicit 1/4(1-)2 1/2- Unconditional
La stabilità e l’accuratezza dell’analisi dipendono dal time-step adottato, così come la durata
dell’analisi. In generale si ottengono buoni risultati se:
01.010
Tt min
NOTA: L’introduzione di uno smorzamento numerico può essere opportuna.
Analisi dinamica non lineare: Full-scale RC Building – Pseudo-dynamic testing(European Joint Research Centre, Ispra, Italy)( p , p , y)
1:2 Modello numerico (telaio nudo)
1:2 Struttura Eucentre (2008)1:2 Struttura Eucentre (2008)
1:1 Struttura Ispra (2003)
1:1 Modello numerico 1:2 Struttura Eucentre (2007)
1:2 Modello numerico (telaio tamponato)
Analisi dinamica non lineare: distribuzione del danno
C5 C1 C2C5 C1 C2
C9 C3 C4
C8 C6 C7 (Cosenza et al., 2005)