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SISTEMI, MODELLI E PROCESSI 0.1

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Sommario

1 SISTEMI .................................................................................................. 3

1.1 Definizione di sistema.................................................................. 3

1.1.1 L'approccio sistemistico e l'approccio analitico ........................ 3

1.1.2 Le variabili................................................................................ 4

1.1.3 Un esempio di analogia ........................................................... 6

1.2 I problemi della teoria dei sistemi................................................. 6

1.3 Classificazione dei sistemi........................................................... 7

1.3.1 Sistemi fisici ed astratti............................................................. 7

1.3.2 Sistemi naturali ed artificiali...................................................... 7

1.3.3 Sistemi deterministici e stocastici............................................. 8

1.3.4 Sistemi continui e discreti......................................................... 8

1.3.5 Sistemi statici e dinamici .......................................................... 8

1.3.6 Sistemi varianti ed invarianti .................................................... 8

1.3.7 Sistemi lineari e non lineari ...................................................... 8

1.3.8 Sistemi chiusi ed aperti ............................................................ 9

1.4 Domande..................................................................................... 9

2 MODELLI .............................................................................................. 10

2.1 Definizione di modello................................................................ 10

2.1.1 Funzioni di un modello ........................................................... 10

2.1.2 Classificazione dei modelli ..................................................... 10

2.2 I modelli matematici ................................................................... 11

2.3 Modelli statici e modelli dinamici................................................ 13

2.4 Domande................................................................................... 15

3 PROCESSI............................................................................................ 16

3.1 Definizioni generali .................................................................... 16

3.2 Modelli di processi ..................................................................... 16

3.3 Modelli ingresso-uscita e funzione di trasferimento ................... 16

3.3.1 La funzione di trasferimento................................................... 17


2

3.3.2 Un esempio di modello ingresso-uscita ................................. 17

3.3.3 La funzione di trasferimento nei sistemi statici....................... 17

3.3.4 La funzione di trasferimento nei sistemi dinamici................... 17

3.4 Modelli nello spazio degli stati.................................................... 18

3.4.1 Gli automi a stati finiti ............................................................. 18

3.5 Domande................................................................................... 23

3.6 Esercizi ...................................................................................... 23

3.7 Laboratorio ................................................................................ 24

3.7.1 Analisi sperimentale nel dominio del tempo della risposta al gradino di sistema statico (rete R-R) e di un sistema dinamico (rete R-C) ...................................................... 24

3.7.2 Analisi sperimentale della risposta di un sistema dinamico ad una sollecitazione di ingresso sinusoidale............................................................................................. 25

4 MODELLI ED ANALOGIE DEI SISTEMI FISICI.................................. 26

4.1 Introduzione............................................................................... 26

4.2 Componenti elettrici elementari ................................................. 26

4.2.1 Resistore................................................................................ 26

4.2.2 Condensatore ........................................................................ 27

4.2.3 Induttore................................................................................. 27

4.3 Componenti meccanici traslatori elementari.............................. 28

4.3.1 Smorzatore ............................................................................ 28

4.3.2 Massa.................................................................................... 28

4.3.3 Molla ...................................................................................... 28

4.4 Componenti termici elementari.................................................. 28

4.5 Le analogie ................................................................................ 28


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1 S I S T E MI

Prerequisiti

- La legge di Ohm

- La potenza elettrica

Obiettivi specifici

Conoscenze:

Competenze:

1.1 Definizione di s is tema

Il significato del termine “sistema” è conosciuto intuitivamente da tutti, ma per la sua genericità siamo difficilmente in grado di formalizzarlo in una definizione che ci permetta di identificare senza equivoci ciò che è e ciò che non è un sistema. Nel linguaggio corrente la parola sistema è molto usata per descrivere un insieme di parti tra di loro connesse per raggiungere uno scopo comune.

Per formalizzare il concetto di sistema dobbiamo prima richiamare il ben noto concetto di insieme.

Dicesi insieme una collezione di elementi che rispettano tutti una legge di appartenenza definita proprietà caratteristica.

La legge di appartenenza deve essere univoca, ovvero non si deve prestare a diverse interpretazioni.

La definizione di insieme non specifica alcunché a proposito delle interazioni esistenti tra i vari elementi. Quando si prende in considerazione l’esistenza di interazioni tra i vari elementi di un insieme si comprende che quella collezione di elementi è qualcosa di più di un insieme.

Dicesi sistema un insieme di elementi che interagiscono tra loro in modo tale da raggiungere una meta comune che non sarebbe stato possibile raggiungere da nessuno degli elementi presi singolarmente.

Ad esempio è molto ricorrente il termine sistema scuola con il quale si indica l'insieme delle persone fisiche (personale docente, studenti, personale ausiliario), delle strutture, delle leggi, dei programmi, ecc., che concorrono per ottenere l'educazione-formazione degli alunni. Altre espressioni molto usate sono il sistema sanità, il sistema economico, il sistema azienda, il sistema di gestione delle acque, ecc.

Questi ed altri numerosi esempi confermano che il concetto di sistema è comunque del tutto generale e dunque applicabile in qualsiasi campo: tecnico-scientifico, fisico, economico, politico, sociale,ecc.E' comunque importante in ogni ambito saper individuare il sistema e le parti che lo compongono. Prossimamente vedremo i criteri che permettono di individuare e caratterizzare i sistemi.

1.1.1 L 'approccio s is temis tico e l 'approccio analitico

I problemi che la realtà pone possono essere affrontati con due diversi tipi di approccio; uno di tipo sistemistico ed uno di tipo analitico.

Nell'approccio sistemistico si tende ad affrontare il problema nel modo più generale possibile considerando tutte le componenti che concorrono a formarlo o che ne influenzano il comportamento. Uno dei punti di forza dell'approccio sistemico è che le stesse metodologie di studio possono essere applicate a problemi di natura diversa ma con caratteristiche comuni, utilizzando strumenti matematici comuni. Si cerca quindi di sfruttare le analogie esistenti tra sistemi diversi ma con caratteristiche simili.

Nell'approccio di tipo analitico il problema generale si scompone in sottoproblemi fino a raggiungere un livello di semplificazione che permette di studiare il problema con leggi semplici rispetto al problema iniziale.

Da un punto di vista storico l'approccio analitico trae origine dai secoli passati mentre l'approccio sistemico si è imposto negli ultimi trenta quaranta anni quando tra l'altro si è resa disponibile una sufficiente potenza di calcolo.


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Un tempo discipline quali la filosofia, la fisica e la matematica utilizzavano metodi di analisi molto simili tra loro. Ne è un esempio il problema cosmologico1 , che, pur essendo un tema essenzialmente scientifico, nei secoli scorsi fu oggetto di accesi dibattiti filosofici e teologici.

L'evoluzione del pensiero scientifico ha portato nel corso dei secoli ad una differenziazione sempre più accentuata tra i suoi vari ambiti. Questa evoluzione è alla base dell'approccio di tipo analitico.

Parallelamente a questa differenziazione è corrisposta, soprattutto negli ultimi decenni, una grande volontà di unificazione delle leggi che regolano il mondo fisico. Tale volontà si palesa nel tentativo di esprimere tali leggi attraverso teorie generali.

La teoria dei sistemi è figlia di questa esigenza di unificazione.

1.1.2 L e var iabi l i

Un sistema è caratterizzato da un certo numero di attributi misurabili, denominati comunemente variabili, che descrivono l’andamento temporale del sistema stesso. Esse possono essere anche un indice del raggiungimento dell’obiettivo da parte del sistema.

Si indicano con il termine variabili quegli attributi misurabili2, all'interno dei sistemi, soggette a variazioni nel tempo. Lefunzioni che rappresentano l'andamento di queste variabili si dicono segnali.

Di regola l’andamento di alcune variabili è conseguenza di altre; si distinguono pertanto variabili di ingresso o variabili indipendenti e variabili di uscita (O) o variabili dipendenti.

Inoltre nei sistemi soggetti a controllo le variabili di ingresso si suddividono a loro volta in variabili manipolabili (I) e variabili non manipolabili (N) o disturbi.

Vi sono inoltre le variabili interne o variabili di stato (X) che descrivono l’evoluzione interna del sistema.

Il modo più comune di rappresentare un sistema è quello di utilizzare un rettangolo con una freccia per ogni variabile sia di ingresso che di uscita.

N1

I1

In

I2 O1

N2 Nm

O2

Os X1 X2 Xr

• Figura 1 - Le variabili di un sistema.

E s empio.

Consideriamo come esempio di sistema il motore elettrico in corrente continua ad eccitazione indipendente.

Il motore in corrente continua è costituto da una parte fissa, che costituisce l'induttore, e da una parte mobile, che costitiuisce l'indotto. La macchina è sede di un flusso magnetico costante dovuto all'induttore.

1 Qui si fa riferimento alla disputa tra la concezione tolemaica e la concezione copernicana dell'universo. 2 La misurabilità di un una variabile può essere effettuata mediante la corrispondenza con un sistema numerico opportuno denominato anche SCALA. Esistono tre tipi di scale: scale nominali, scale ordinali e scali proporzionali.


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• Figura 2 - Modello iconico (sezione schematica) di un motore a collettore in c.c.

Nella figura seguente è riportato il modello elettrico del motore in corrente continua ad eccitazione costante. In essa sono riportate le principali variabili che descrivono il sistema motore.

Si rammenta che nei motori elettrici in corrente continua ad eccitazione costante la velocità angolare del rotore è direttamente proporzionale alla tensione applicata al circuito di armatura.

• Figura 3 - Modello elettrico del motore in c.c. ad eccitazione indipendente

Variabili di ingresso manipolabili

va(t) tensione di armatura

Variabili di uscita

ω(t) velocità angolare dell’albero

Variabili di ingresso non manipolabili


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Cr(t) coppia resistente

Parametri

Ra, La resistenza ed induttanza del circuito di armatura

Re, Le resistenza ed induttanza del circuito di eccitazione

Jc momento di inerzia del carico [Kg⋅m]

Il legame esistente tra le principali variabili in gioco può essere messo in evidenza mediante il seguente schema a blocchi.

CR

vA ω Motore c.c.

• Figura 4 - Schema a blocchi del motore in c.c..

1.1.3 Un es empio di analogia

Vediamo adesso un esempio di analogia tra due sistemi fisici molto semplici: il circuito elettrico ed il circuito idraulico.

∆V R

I

∆P RF

G

circuito elettrico circuito idraulico

• Figura 5 - Analogia elettrico-idraulica

L'analogia mette in corrispondenza le seguenti variabili,

∆V differenza di potenziale elettrica ∆P differenza di pressione

I intensità di corrente G portata di massa

R resistenza elettrica RF resistenza idraulica

e si estende poi alle leggi

IV

R∆=

GP

RF∆=

Esercizio: determinare per analogia l'espressione della potenza idraulica dissipata dall'elemento di resistenza idraulica, in funzione di RF e G.

1.2 I problemi della teoria dei s is temi

I problemi di cui si occupa la teoria dei sistemi, in riferimento alla figura seguente, sono essenzialmente tre:


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I U S

Il problema della previsione - Sono noti l'ingresso I ed il sistema S e si vuole determinare l'uscita U.

In sostanza si vuole prevedere come reagirà il sistema S ad una data sollecitazione di ingresso.

Il problema del controllo - Noti l'uscita U ed il sistema S si vuole conoscere l'ingresso I.

Si vuole sapere quale ingresso deve essere applicato ad un sistema per ottenere una determinata uscita. Un esempio tipico è quello del controllo di velocità di un asse di una macchina utensile: quale deve essere l'ingresso (la tensione di comando dell servomotore) perché l'asse si muova rispettando la posizione, la velocità e l'accelerazione desiderate.

Il problema dell'identificazione - Noti l'ingresso I e l'uscita U si vuole conoscere il sistema S.

Si tratta di un problema spesso complesso Nei primi due casi, infatti, essendo noto S conosciamo il modello e quindi la corrispondenza tra ingressi ed uscite, e quindi almeno teoricamente abbiamo tutte le coppie ingressi-uscite. In questo caso abbiamo solo alcune coppie ingresso-uscita, forse ottenute in modo sperimentale. Dalla loro conoscenza si deve determinare l'intero modello matematico, in sostanza dobbiamo identificare il sistema.

1.3 Clas s ificazione dei s is temi

E' importante poter identificare e classificare ciascun sistema in modo da facilitarne lo studio. L'identificazione consiste nel determinare gli elementi che costituiscono il sistema e le relazioni esistenti tra di essi e l'ambiente nel quale il sistema è inserito. Una volta identificato, il sistema esso può essere classificato permettendo così al progettista di individuare un modelllo adeguato per la sua descrizione.

Per fare ciò è necessario conoscere le proprietà e le caratteristiche fondamentali dei sistemi. L'approccio sistemistico permette di unificare le metodologie di studio prescindendo dalla natura stessa dei sistemi classificati in modo equivalente.

1.3.1 S is temi fis ici ed as tratti

Un sistema si dice fisico quando le grandezze che lo caratterizzano sono direttamente misurabili; in caso contrario il sistema si dice astratto. Per determinare il tipo di sistema bisogna dunque determinare le grandezze che lo caratterizzano e verificare se queste sono misurabili.

Ad esempio il sistema di controllo della temperatura, umidità e pressione in un ambiente è di tipo fisico perché possiamo misurare queste grandezze nelle loro unità di misura. Contrariamente il sistema scuola risulta astratto perché se consideriamo la qualità dell'insegnamento essa non è misurabile secondo le classiche unità di misura.

1.3.2 S is temi naturali ed artificiali

I sistemi già esistenti in natura vengono indicati come naturali a differenza di quelli costruiti dall'uomo che sono detti artificiali.

Nel caso che l'uomo modifica un processo naturale il sistema si dice misto. Ne è un esempio la costruzione di un bacino artificiale.


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1.3.3 S is temi determinis tici e s tocas tici

Un'altra caratteristica che caratterizza un sistema è la ripetitività della sua risposta. Se nel caso di stesse sollecitazioni e condizioni iniziali applicate al sistema la risposta fornita rimane la stessa allora il sistema è deterministico. Ad esempio una resistenza alimentata sempre con la stessa tensione da la stessa corrente.

Quando, pur in presenza delle stesse condizioni iniziali e delle stesse sollecitazioni non è possibile prevedere la risposta ma solamente associare una probabilità ad ogni possibile uscita si parla allora di sistemi stocastici o probabilistici. Un esempio di sistema stocastico è un canale di trasmissione dati disturbato.

1.3.4 S is temi continui e dis creti

Questa suddivisione si basa sulla distinzione tra grandezze continue e grandezze discrete.

Una grandezza si dice continua quando può essere messa in corrispondenza con un sottoinsieme dei numeri reali. In termini più semplici una grandezza è continua quando può assumere qualsiasi valore compreso all'interno di un intervallo.

Una grandezza si dice discreta quando può essere messa in corrispondenza con un sottoinsieme dei numeri interi relativi. In termini più semplici una grandezza è discreta quando può assumere solo una serie di valori interi come ad esempio 0, 1, 2, ecc..

Un sistema si dice continuo quando tutte le variabili che lo caratterizzano sono continue; se almeno una grandezza è discreta allora si parla di sistema discreto.

Un esempio di sistema continuo è un serbatoio idrico il cui stato è identificato dal livello h del liquido contenuto.

Tra tutte le variabili che descrivono un sistema, particolare rilievo riveste la variabile tempo. In particolare è importante sapere se il tempo viene percepito e quindi misurato come una grandezza continua o come una grandezza discreta. Nel primo caso si parla di sistemi a tempo continuo e nel secondo di sistemi a tempo discreto.

Un tipico esempio di sistemi a tempo discreto è offerto dai sistemi a microprocessore. In essi l'evoluzione temporale è scandita da un segnale di clock necessario per l'attivazione e la sincronizzazione dei circuiti sequenziali presenti all'interno del microprocessore e delle periferiche ad esso connesse.

1.3.5 S is temi s tatici e dinamici

Un sistema si dice statico (senza memoria) se le variabili d'uscita dipendono istante per istante solo dal valore assunto in quel particolare istante. Un sistema si dice dinamico (con memoria) se le uscite dipendono istante per istante oltre che dal valore assunto dagli ingressi in quel istante anche dalla storia precedente.

1.3.6 S is temi var ianti ed invarianti

Un sistema è invariante quando le sue caratteristiche, denominate anche parametri, non cambiano nel tempo. Se consideriamo un razzo lanciato nello spazio esso perde materia durante il tragitto , in quanto espelle i gas combusti, pertanto la sua massa (una delle sue caratteristiche) varia nel tempo. Si parla in questo caso di sistema variante.

In un sistema variante la legge che lega il comportamento del sistema alle sollecitazioni di ingresso varia nel tempo.

In un sistema invariante la legge che lega il comportamento del sistema alle sollecitazioni di ingresso non varia nel tempo.

Non si deve confondere questa classificazione con la precedente, la quale faceva riferimento alle variabili, mentre questa pone l'accento sulle leggi che regolano il funzionamento del sistema.

1.3.7 S is temi l ineari e non l ineari

La linearità è una caratteristica fondamentale dei sistemi. Un sistema si dice lineare se è possibile applicare ad esso il principio di sovrapposizione degli effetti.

La risposta di un sistema lineare in presenza di più sollecitazioni in ingresso è ottenibile come somma delle risposte dello stesso sistema alle singole sollecitazioni prese una ad una.

La proprietà di linearità agevola notevolmente lo studio del sistema poiché permette di utilizzare delle metodologie di analisi consolidate.


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Un esempio di sistema lineare

Resistore

Un esempio di sistema non lineare

Varistore

1.3.8 S is temi chius i ed aperti

Una ulteriore classificazione viene effettuata sulla base dell'influenza esercitata dall'ambiente circostante sul sistema.

Un sistema è chiuso quando non interagisce con l'ambiente esterno. Nella realtà tutti i sistemi sono aperti.

1.4 Domande

1. Che cosa si intende per sistema ?.

2. Elencare e descrivere brevemente i problemi di cui si occupa la teoria dei sistemi.

3. Cosa si intende per sistemi deterministici e stocastici ?

4. Cosa si intende per sistemi varianti ed invarianti.

5. Esporre e dimostrare un esempio di sistema non lineare.

6. Classificare il sistema costituito da tutti i componenti necessari per il riscaldamento di un locale.


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2 MODE L L I

2.1 Definizione di modello

Per risolvere un qualsiasi problema attinente al mondo reale, per prima cosa è necessario descrivere la realtà, ovvero bisogna costruire un modello mentale della parte della realtà che ha a che fare con il problema.

Un modello di un sistema è una rappresentazione del sistema stesso.

I modelli da noi costruiti sono necessariamente una descrizione incompleta della realtà perché di essa rilevano solo gli aspetti significativi per la soluzione dei problemi per cui sono stati prodotti.

Il carattere di incompletezza intrinseco al concetto di modello comporta elementi di forza e di debolezza:

Forza: semplicità della descrizione

Debolezza: inesattezza/approssimazione

2.1.1 Funzioni di un model lo

I modelli vengono prodotti per svolgere diverse funzioni riconducibili essenzialmente a:

ν studio

ν comunicazione

ν istruzione ed addestramento

ν previsione e sperimentazione

Funzione di studio: la costruzione del modello forza la comprensione da parte nostra del sistema stesso e la organizzazione e verifica dei nostri concetti su di esso.

Funzione di comunicazione: la descrizione di un sistema mediante un modello è spesso più efficace e concisa di una semplice descrizione verbale (“una buona figura è meglio di mille parole”).

Funzione di istruzione ed addestramento: i simulatori di volo ne sono un esempio.

Funzione di previsione e sperimentazione: un modello può servire a prevedere e/o riprodurre l’evoluzione temporale del sistema stesso.

L’individuazione delle principali funzioni svolte da un modello evidenzia che un modello può essere realizzato per due scopi fondamentali: descrittivo e predittivo. Solitamente il secondo aspetto implica il primo. Un modello predittivo è quasi sempre descrittivo.

2.1.2 Clas s i ficazione dei model l i

Per i modelli possiamo applicare gli stessi criteri visti precedentemente per i sistemi. Ad esempio come esistono sistemi lineari e non lineari abbiamo anche modelli lineari e non lineari. In particolare vi possono essere casi in cui di un sistema non lineare si possa elaborare sia un modello non lineare che un modello lineare.

I modelli possono anche essere classificati in base al loro grado di astrazione rispetto alla realtà da cui essi traggono origine.

In base a questo criterio, non unico, si può introdurre la seguente classificazione:

ν modelli iconici ( o isomorfi)

ν modelli analogici (o omomorfi)

ν modelli matematici

Modell i iconici

I modelli iconici assomigliano fisicamente al sistema sotto studio. Isomorfo ≡ stessa forma. Sono esempi di modelli iconici:


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- il rilievo in scala della facciata di un edificio

- il piano di installazione di un impianto elettrico

- il modellino navale di uno scafo.

I modelli iconici possono essere in scala naturale o in scala ridotta.

Modell i analogici

Nei modelli analogici una o più proprietà del sistema reale è rappresentata da una proprietà del modello che si comporta in modo simile (analogo).

Tempo addietro spesso si effettuava lo studio della trasmissione del calore attraverso pareti o strutture mediante dei modelli elettrici con reti di condensatori e resistenze, che sfruttavano le analogie esistenti tra i sistemi elettrici ed i sistemi termici.

I modelli analogici sono il risultato di un primo processo di astrazione dal mondo reale.

Modell i matematici

All’apice del processo di astrazione stanno i modelli matematici, i quali meritano un approfondimento successivo dato che una parte consistente del presente corso si basa sulla generazione ed utilizzazione di modelli matematici dei principali sistemi fisici.

In essi, uno o più simboli rappresentano grandezze fisiche del sistema. Il nucleo del modello matematico è costituito da una o più equazioni matematiche che evidenziano le relazioni esistenti tra le varie grandezze.

Esempio: VR

I ⋅= 1 è il modello matematico di un elementare circuito elettrico.

Dato l’elevato grado di astrazione, al momento della generazione di un modello matematico devono essere effettuate notevoli semplificazioni. Di esse occorre tenerne conto, soprattutto nel caso di applicazioni predittive del modello, onde evitare di convalidare risultati di simulazioni che si discostano dall’andamento reale del sistema a causa di eccessive semplificazioni.

2.2 I modell i matematici

Il modello matematico di un sistema è costituito dai seguenti aspetti:

ν Componenti

ν Parametri

ν Variabili

ν Relazioni funzionali

ν Vincoli

ν Criteri

Componenti

Per componenti si intendono le parti costituenti che prese assieme formano il sistema. Essi sono chiamati elementi del modello e possono essere a loro volta dei sottosistemi.

Esempio:

La figura seguente rappresenta il semplice modello matematico di un lunotto termico. I componenti principali individuati dal modello sono la batteria, i cavi di collegamento e la resistenza del lunotto termico.


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• Figura 6 - Modello elettrico del lunotto termico

Parametr i

Sono delle grandezze costanti, dipendenti dalle caratteristiche fisiche e geometriche del sistema, a cui il costruttore del modello può attribuire dei valori arbitrari.

Esempi: nel caso del lunotto termico la resistenza R è un parametro del sistema. Il suo valore è determinato dalla ben nota relazione:

Sl

R ⋅= ρ

ρ è resistività del conduttore (dipendenza dalle caratteristiche fisiche)

l ed S sono la lunghezza e la sezione del conduttore (dipendenza dalle caratteristiche geometriche)

Var iabi l i

Le variabili sono le grandezze fisiche che descrivono l’andamento temporale del sistema. Esse si possono suddividere nelle seguenti categorie:

- Variabili di ingresso manipolabili (I): o indipendenti, sono le sollecitazioni che entro certi limiti possono essere variate dall’intervento dell’uomo.

- Variabili di ingresso non manipolabili (D): sono le sollecitazioni che sfuggono al controllo dell’uomo come ad esempio i disturbi.

- Variabili di uscita (U): rappresentano la risposta del sistema alle sollecitazioni ad esso applicate.

- Variabili interne (X): descrivono l’evoluzione interna del sistema e contengono informazioni sulla storia passata, sono dette anche variabili di stato.

Esempio: nel caso precedente si possono individuare immediatamente tre variabili: Vb, I e Pd. Vb può essere vista come variabile di ingresso mentre Pd rappresenta la variabile di uscita.

R elazioni funzional i

Le variabili di uscita sono legate alle variabili di ingresso (manipolabili o non manipolabili) mediante delle relazioni funzionali che generalmente assumono la forma di espressioni matematiche in cui sono presenti i parametri e le variabili di ingresso, direttamente od indirettamente attraverso le variabili interne.

Esempio:

21V

RPd ⋅=

Vincol i

I vincoli sono limitazioni imposte ai valori che possono essere assunti dalle variabili. Essi possono essere imposti dal progettista e/o dalla natura del problema.


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Esempio: il lunotto termico potrà verosimilmente essere attraversato da una corrente massima R

PI MAX

MAX = .

Criter i

I criteri di un modello sono la precisa dichiarazione:

ν degli obiettivi del sistema (di cui il modello è la rappresentazione)

ν della modalità di valutazione del loro raggiungimento.

Se tale dichiarazione è esplicita e non ambigua permette di evitare la realizzazione di un modello non adeguato al problema posto dal sistema e che le eventuali assunzioni fatte sulla base di tale modello portino a delle previsioni errate (scopo predittivo dei modelli).

Esempio:

Obiettivo del lunotto termico è il disappanamento e come criterio di valutazione si può considerare il tempo in cui esso avviene.

2.3 Modelli s tatici e modelli dinamici

I sistemi si comportano in modo diverso a seconda del numero di elementi accumulatori di energia indipendenti presenti in essi. In particolare la presenza/assenza di accumulatori di energia in un sistema decide sulla capacità o meno del sistema di tenere memoria della storia precedente.

Dalla fisica si sa che le trasformazioni ed i trasferimenti di energia, come di materia, non possono avvenire in un tempo nullo. Un sistema dotato di un elemento accumulatore si comporta in modo diverso ad una stessa sollecitazione in ingresso a seconda della quantità di energia presente nell’accumulatore.

Un esempio di sistema dinamico con un elemento accumulatore di energia è rappresentato dal circuito RC. Infatti la risposta al gradino di un circuito RC è diversa a seconda della quantità di carica preesistente nel condensatore.

condensatore inizialmente scarico 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

1 2 3 4 5

Risposta al gradino

t [s]

u(t)

t [s]

condensatore inizialmente carico

• Figura 7 - Risposta al gradino di un circuito RC con condensatore scarico e con condensatore carico

Dopo quanto detto in riferimento alla tassonomia dei sistemi si può affermare quanto segue:

Assenza di accumulatori di energia ⇒ sistema statico

Presenza di accumulatori di energia ⇒ sistema dinamico

Si è già accennato al fatto che la tassonomia dei sistemi si può estendere ai modelli dei sistemi. Ebbene per uno stesso sistema i modelli possono essere di diverso tipo a seconda dell’utilizzazione cui sono destinati.

Esempio: per lo studio della deformazione di una trave si utilizza un modello matematico statico mentre per lo studio delle oscillazioni della stessa trave si utilizza un modello matematico dinamico.

Un modello statico è in genere accettabile quando la variazione nel tempo degli ingressi è sufficientemente lenta in rapporto ai tempi di risposta propri del sistema, dettati dalle caratteristiche degli accumulatori di energia. In una tale situazione si


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suppone che il sistema si trovi in uno stato di equilibrio o stato di regime stazionario, cioè in una condizione di funzionamento in cui tutti i segnali sono costanti.

Esempio: caratteristica statica di un motore elettrico in c.c..

Un motore elettrico in corrente continua può essere descritto da un modello statico del tipo:

( )avf=ω

dove:

ω è la velocità angolare dell’albero

av è la tensione di armatura

esprimibile in forma grafica mediante la caratteristica statica ingesso-uscita di figura.

Nell’ipotesi che va vari in un campo limitato si può usare un ‘approssimazione lineare locale,, molto utile per le semplificazioni di calcolo che introduce, cioè assumere il modello matematico

avK ⋅=ω

in cui K è la pendenza della f(va) per va = 0.

Si può notare come, nel caso dei modelli matematici statici, il legame tra ingresso ed uscita si riconduca ad equazioni algebriche più o meno complesse.

I modelli matematici statici sono usati di rado nello studio dei sistemi di controllo perché essi non danno alcuna informazione sul regime transitorio, cioè sull’andamento nel tempo delle uscite durante il passaggio da uno stato di regime stazionario ad un altro.In generale il progetto dei dispositivi di controllo è basato su specifiche riguardanti il comportamento del sistema in regime transitorio.

Per descrivere il comportamento di un sistema in regime transitorio bisogna ricorrere ad un modello matematico più generale, ovvero un modello matematico dinamico, costituito da una o più equazioni integro-differenziali, esprimenti legami non solo fra le variabili di ingresso e di uscita ma anche fra le loro derivate nel tempo.

Esempio: modello dinamico di un motore elettrico in c.c..

Le equazioni differenziali che descrivono il comportamento di un motore elettrico in corrente continua sono:

)()(

)()( tKdt

tdiLtiRtv E

AAAAA ω⋅+⋅+⋅=

)()( tiKtC AT ⋅=

)()(

)( tKdt

tdJtC AV ωω ⋅+⋅=

dove:

AR è la resistenza del circuito di armatura


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AL è l'induttanza del circuito di armatura

AV è la tensione applicata ai capi del circuito di armatura

Ai è la corrente che percorre il circuito di armatura



ω è la velocità angolare del motore

EK è la costante di tensione

TK è la costante di coppia

C è la coppia motrice del motore

J è il momento di inerzia complessivo del motore e del carico

AVK è il coefficiente di attrito viscoso

2.4 Domande

1. Esprimere la definizione di modello.

2. Quali sono le funzioni svolte da un modello ?

3. Classificare i modelli di sistemi ed indicare chiaramente il criterio di classificazione utilizzato.

4. Elencare e descrivere brevemente gli aspetti fondamentali di cui è composto un modello matematico.

5. Perché la presenza di elementi accumulatori di energia è discriminante per la dinamicità di un sistema ?

6. Spiegare quando un modello matematico di un sistema è statico e quando esso è dinamico.

7. Di uno stesso sistema si può costruire un modello statico oppure un modello dinamico. Quali sono le condizioni necessarie per ottenere un modello statico o un modello dinamico ?

8. Perché un sistema dotato di elementi accumulatori di energia è un sistema dinamico ?

9. Può succedere che di uno stesso sistema si possa definire sia un modello statico che un modello dinamico. Quali condizioni devono essere soddisfatte per ottenere un modello statico e quali, invece, per ottenere un modello dinamico?

10. Perché nell'ambito dei controlli automatici i modelli matematici statici sono scarsamente utilizzati ?


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3 PROCE S S I

3.1 Definizioni generali

Il concetto di processo, in seguito agli sviluppi della teoria dei sistemi e della teoria delle comunicazioni elettriche, ha assunto nel tempo un importanza sempre maggiore.

Un processo è una sequenza temporale di azioni svolte o comportamenti tenuti da un sistema per realizzare una certa funzione.

Le azioni svolte e i comportamenti tenuti dal sistema durante lo sviluppo del processo si identificano con le variazioni temporali degli attributi che descrivono il sistema.

Quando conosciamo l'evoluzione temporale di questi attributi abbiamo in mano una descrizione del processo. Ad esempio, nel processo di carica e scarica del condensatore noi abbiamo acquisito una conoscenza di esso quando abbiamo rilevato l'evoluzione temporale delle grandezze fisiche elettriche ad esso associate.

L'evoluzione temporale del processo può essere naturale, come ad esempio nella sintesi clorofilliana, o forzata da cause esterne, come nel caso dei processi industriali.

Da un punto di vista storico, alla base della disciplina dei controlli automatici e dell'automazione industriale sta il concetto di processo produttivo industriale. Esso è una sequenza di trasformazioni che avvengono tramite apporto di energia, risorse ed informazioni, tendenti a dare un prodotto predefinito. Ne sono un esempio la laminazione dell'acciaio, la raffinazione del petrolio, la produzione dell'energia elettrica, ecc.

Ogni processo industriale necessita di un impianto di produzione, ovvero di un insieme di mezzi materiali in cui avviene il processo, mediante una opportuna alimentazione di risorse

3.2 Modelli di proces s i

Analizzando la definizione di processo si nota la stretta relazione esistente tra tempo e processo. Conseguentemente la modellizzazione dei processi richiede un certo livello di astrazione che può essere raggiunto solo utilizzando i modelli matematici del sistema coinvolto. Peraltro, i modelli iconici sono fondamentalmente dei modelli statici. Ad esempio il modellino in scala di un auto o l'assonometria di una casa sono modelli statici.

I modelli matematici utilizzati per la modellizzazione dei processi sono essenzialmente due:

- modelli ingresso-uscita

- modelli nello spazio degli stati

3.3 Modelli ingres s o-us cita e funzione di tras ferimento

Una rappresentazione molto usata per i processi industriali è quella ingresso-uscita attraverso blocchi funzionali che forniscono il legame tra la sollecitazione in ingresso e la risposta in uscita. I sistemi possono essere modellizzati con sottosistemi, ognuno dei quali rappresentati da un blocco funzionale, tra loro connessi.

Ogni sistema o sottosistema viene rappresentato da un blocco rettangolare nel quale entrano le variabili di ingresso e dal quale escono quelle di uscita. Ciò che conta è il legame tra ingresso ed uscita.

La relazione tra ingresso ed uscita viene solitamente indicata all'interno del blocco.


17

I U F

• Figura 8 - Schema a blocchi con indicazione del legame-ingresso-uscita.

3.3.1 L a funzione di tras fer imento

La figura precedente indica che il sistema presenta un ingresso I ed una uscita U in relazione tra loro tramite la funzione F, che nel caso dei sistemi lineari assume la seguente forma:

IFU ⋅=

F, nel caso di un sistema invariante oltre che lineare, è costante e rappresenta il modello matematico stesso del sistema. Essa viene denominata anche funzione di trasferimento e si definisce proprio come rapporto tra uscita ed ingresso.

IU

F =

La costruzione dei modelli ingresso-uscita mediante schemi a blocchi funzionali esige che ci sia una indipendenza tra i vari sottosistemi; questo è il limite fondamentale di questa schematizzazione.

3.3.2 Un es empio di model lo ingres s o-us cita

Un motore elettrico è un classico esempio di sistema dinamico sede di un processo ben determinato dalle condizioni iniziali e dalla sollecitazione applicata in ingresso.

EK

sLR AA ⋅+1

sJK AV ⋅+

1

TK +

-

+ - VA(s)

CR(s)

EC(s)

IA(s) Ω(s)

CM(s) parte elettrica parte meccanica

• Figura 9 - Modello ingresso-uscita del motore in c.c. a magneti permanenti

Nella figura precedente si possono distinguere alcune note grandezze fisiche:

La lettera s indica la variabile complessa ωσ ⋅+= js . Il motivo della sua utilizzazione sarà più chiaro quando si affronterà

lo studio del metodo della trasformata di Laplace.

3.3.3 L a funzione di tras fer imento nei s is temi s tatici

3.3.4 L a funzione di tras fer imento nei s is temi dinamici


18

3.4 Modelli nello s pazio degli s tati

Il concetto di stato ha senso nel caso dei sistemi dinamici in cui lo stato coincide con la memoria interna del sistema stesso. In questo caso la sequenza temporale di azioni porta il sistema a cambiare il suo stato interno.

Si può allora ridefinire il processo come la successione degli stati assunti dal sistema in seguito all'azione di opportuni ingressi, al fine di raggiungere un determinato obiettivo.

Nello studio di un processo nello spazio degli stati si può utilizzare una potente rappresentazione grafica, il diagramma degli stati. Essa però è applicabile solo nel caso di sistemi discreti con un numero finito di stati.

I sistemi dinamici discreti ed invarianti che possono assumere solo un numero finito di stati sono denominati automi a stati finiti.

3.4.1 Gl i automi a s tati finiti

Gli automi a stati finiti sono una particolare categoria di dispositivi automatici, utilizzati per generare logiche di controllo sequenziali. La teoria degli automi agevola la rappresentazione e la comprensione del funzionamento di molti sistemi di controllo industriale.

Gli automi a stati finiti possono essere realizzati con diverse tecnologie dell’elettronica digitale. Per l’implementazione degli automi a stati finiti possono essere utilizzati una varietà di componenti e dispositivi digitali:

- Integrati SSI e MSI

- Memorie

- PLD

- Sistemi a microprocessore

I PLD (programmable logic devices), permettendo la realizzazione di reti combinatorie e sequenziali anche molto complesse ed essendo riprogrammabili, bene si adattano alla implementazione di automi anche di elevata complessità. Le macchine a stati,in tal caso, possono essere agevolmente implementate con l’ausilio di uno qualsiasi dei linguaggi di descrizione dell’hardware attualmente utilizzati per l’implementazione di circuiti digitali in dispositivi logici programmabili, quali ad esempio ABEL-HDL, VHDL e VERILOG. Tali linguaggi mettono a disposizione una serie di costrutti appositamente ideati per facilitare tale operazione.

Un automa a stati finiti è compiutamente descritto dalla sua funzione di stato futuro e dalla sua trasformazione d’uscita

3.4.1.1 Funzione di stato futuro

In particolare la funzione di stato futuro indica il legame esistente tra le variabili di ingresso e le variabili di stato:

))i(u),i(x(F)1i(x =+ (1)

La (1) afferma che lo stato futuro (stato x all’istante i+1) è funzione dallo stato attuale (stato x all’istante i) e dal valore attuale dell’ingresso (u(i)). La storia passata, o memoria, è presente nel valore attuale dello stato.Nella (1), come anche nelle prossime espressioni, l’ingresso u, lo stato x e l’uscita y non si riferiscono necessariamente ad una sola variabile ma possono indicare degli insiemi di variabili corrispondenti. Per esempio, se sono presenti due variabili di ingresso u1(t) ed u2(t) con u(t) si intende l’insieme di entrambe.

3.4.1.2 Trasformazione di uscita

La trasformazione di uscita è rappresentata dalla seguente espressione:

))i(u),i(x(G)i(y = (2)

Tale espressione afferma che in un dato istante l’uscita y dipende sia dall’ingresso u che dallo stato x presenti in quello stesso istante.

Si può notare che mentre la (1) esprime un legame di tipo dinamico tra le variabili (variabili riferite ad istanti diversi), nella (2) è presente un legame di tipo statico tra le variabili (variabili riferite tutte allo stesso istante di tempo.


19

3.4.1.3 Classificazione degli automi

Innanzitutto si possono individuare due categorie in base all’evento in corrispondenza del quale avviene la variazione di stato:

1) Automi sincroni: la variazione di stato avviene in corrispondenza di un segnale di sincronizzazione o clock.

2) Automi asincroni: la variazione di stato avviene in corrispondenza della variazione di una delle variabili di ingresso della (1).

D’ora in poi si farà riferimento agli automi sincroni, salvo dove è espressamente indicato contrariamente. Comunque, buona parte delle considerazioni fatte per gli automi sincroni sono valide anche nel caso degli automi asincroni.

La diretta dipendenza o meno dell’uscita dall’ingresso introduce una ulteriore classificazione tra gli automi. Se l’uscita dipende sia dallo stato che dall’ingresso, come espresso nella (2), si è in presenza di un automa di Mealy; qualora l’uscita dipenda direttamente solo dallo stato si è in presenza di un automa di Moore.

Si si interpreta graficamente quanto espresso finora si ottengono gli seguenti schemi a blocchi.

F ∆ G

u(i) x(i+1) x(i)

y(i)

• Figura 10 - schema a blocchi dell'automa di Mealy.

Il blocco indicato con ∆ rappresenta un elemento di ritardo. In esso si evidenzia la differenza tra il caso sincrono ed il caso asincrono. Nel primo caso il trasferimento dello stato da sinistra a destra avviene in modo sincronizzato ad un segnale di clock che scandisce intervalli di tempo prefissati e normalmente uniformi; nel secondo caso il trasferimento dello stato avviene in corrispondenza della variazione di una delle entrate di F.

F ∆ G u(i)

x(i+1) x(i) y(i)

• Figura 11- Schema a blocchi dell'automa di Moore.

Nel caso dell’automa di Moore la (2) si semplifica nella seguente espressione:

))i(x(G)i(y = (3)

Lo stesso elemento di ritardo può essere visto come un automa di Moore particolarmente semplice, per cui valgono le seguenti relazioni:

)i(x)i(y

)i(u)1i(x=

=+ (4,5)

Modificando opportunamente lo schema di figura 1, raggruppando le parti combinatorie, si può evidenziare una ulteriore rappresentazione degli automi a stati finiti di Mealy (figura 3).


20

F

∆

G u(i)

x(i+1)

x(i)

y(i)

⇒

∆

C x(i+1)

x(i)

y(i)

u(i)

• Figura 12 - Schemi a blocchi sintetici di un automa di Mealy.

Analizzando la figura si può notare che un generico automa di Mealy è formato da una parte puramente combinatoria od algebrica (blocco C) e da una parte di ritardo avente come ingressi ed uscite le sole variabili di stato. Relativamente al blocco C l’entrata di stato attuale è detta anche entrata secondaria, mentre l’uscita di stato futuro è denominata uscita secondaria. Nel caso di un automa a stati finiti sincrono dotato di n variabili di stato, il blocco ∆ sarà sostanzialmente formato da n flip-flop. Dalla figura 3, con una variante si può dedurre un analogo schema a blocchi sintetico di un automa di Moore in cui l’ingresso u(i) entra solo nel sottoblocco F.

F

∆

G

u(i) x(i+1)

x(i)

y(i)

⇒

∆

C x(i+1)

x(i)

y(i) u(i)

• Figura 13 - Schemi a blocchi sintetici di un automa di Mealy.

3.4.1.4 Un esempio di automa di Moore

Si considera come esempio un automa utilizzato per l’avviamento e l’arresto di un motore di una macchina utensile. Come accade spesso in questo caso, il motore è comandato da due pulsanti detti di marcia (M) e di arresto (A). Le variabili M ed A rappresentano gli ingressi del nostro sistema. Lo stato del sistema X è identificato dalla condizione in cui si trova il motore ( fermo od in movimento). L’uscita U, infine sarà rappresentata dal segnale di comando diretto al motore. Si ipotizza inoltre, per ovvie ragioni di sicurezza, che il pulsante di arresto prevalga sul pulsante di marcia nell’eventualità di una pressione contemporanea di entrambi.

In questo caso tutte le variabili in gioco sono di tipo binario. Associamo il valore 1 alle condizioni di pulsante premuto o di motore in marcia ed il valore 0 alle condizioni di pulsante rilasciato o di motore in arresto.

Variabili di ingresso: M, A.

Variabili di stato: X.

Variabili di uscita: U.


21

Si può notare che lo stato e l’uscita si differenziano solo formalmente e quindi si poteva utilizzare una stessa variabile per entrambi; la distinzione è stata fatta per dare alla trattazione una maggiore generalità.

La funzione di stato futuro e la trasformazione di uscita possono essere espresse in forma tabellare.

• Tabella 1 - Funzione di stato futuro dell'automa di marcia ed arresto.

M(i), A(i)

0,0 0,1 1,0 1,1

0 0 0 1 0

X(i)

1 1 0 1 0

X(i+1)

• Tabella 2 - Trasformazione di uscita dell'automa di marcia ed arresto.

0 0

X(i)

1 1 U(i)

In alternativa alla forma tabellare la funzione di stato futuro può essere rappresentata mediante un grafico che prende il nome di diagramma degli stati dell’automa: i possibili stati dell’automa sono rappresentati con dei cerchi (detti anche nodi) che al loro interno presentano il valore assunto dalla variabile di stato; le transizioni da uno stato all’altro sono rappresentate da archi orientati, sopra dei quali sono riportati le particolari condizioni di ingresso che generano la transizione.

default A=1

(M=1) & (A=0)

X=1 X=0

default

• Figura 14 - Diagramma degli stati dell'automa di marcia e arresto.

Nel diagramma degli stati dell’automa di marcia ed arresto si è utilizzato il termine default per considerare tutte le condizioni di ingresso non espressamente riportate ed il simbolo & per indicare l’operazione di AND logico.

3.4.1.5 Un esempio di automa di Mealy.

Si consideri il caso di un controllore per una lavatrice. Il controllore include un timer di sistema e dei controlli per i cicli di lavaggio ed asciugatura. Inoltre è previsto l’arresto del motore nell’eventualità di una apertura accidentale dello sportello di carico della lavatrice. Come primo passo puntualizziamo le specifiche di progetto con particolare attenzione alle variabili di ingresso, di uscita e di stato del sistema.

a) Il controllore è resettato in modo asincrono quando viene attivato il segnale di POWERUP.

b) Il ciclo di lavaggio ed asciugatura viene attivato quando l’utente inserisce un importo adeguato nella macchina; tale evento viene rilevato dal segnale PAID

c) Lo stato di apertura/chiusura dello sportello è indentificato dal segnale LID_CLOSED.

d) La durata dei cicli è regolata da un contatore interno denominato TIMER.

e) La lavatrice è dotata di due valvole per regolare il flusso dell’acqua. Il segnale FILL permette all’acqua di entrare mentre il segnale DRAIN permette all’acqua di uscire.


22

f) Il motore del cestello è comandato dal segnale MOTOR.

g) La centrifugazione è attivata dal comando AGITATE

h) Le fasi del processo sono essenzialmente due: la fase di lavaggio, o WASH, in cui prima viene introdotta l’acqua nel cestello e poi viene azionata la centrifuga; la fase di asciugatura, o DRY, in cui viene espulsa l’acqua mantenendo la centrifuga.

Dalla precedente descrizione si possono già enucleare le variabili di ingresso e le variabili di uscita del sistema

Variabili di ingresso:

- POWERUP

- PAID

- LID_CLOSED

Variabili di uscita:

- FILL

- DRAIN

- MOTOR

- AGITATE

Variabili di stato:

La variabile TIMER rappresenta a tutti gli effetti una variabile interna e quindi una variabile di stato. In realtà si tratta di una variabile di stato un po’ particolare perché svolge la duplice funzione di determinare l’azione futura in base alla situazione presente e di temporizzare le singole condizioni di funzionamento. A causa di questo secondo aspetto la variabile TIMER può assumere un gran numero di valori e pertanto mal si presta ad essere utilizzata come indicatore di stato sia per una rappresentazione grafica del sistema mediante il diagramma a stati che per una rappresentazione mediante un linguaggio di rappresentazione dell’hardware come l’ABEl-HDL od il VHDL.

Tenendo conto dell’aspetto precedente e delle specifiche del problema, si è ritenuto opportuno suddividere il processo in tre “macro” stati: WAIT, WASH e DRAY. Anche in questo caso la macchina a stati può essere rappresentata graficamente mediante il suo diagramma a stati.

WAIT

FILL = 0 DRY = 0

AGITATE = 0

WASH

PAID & !POWERUP with RST_TIMER = 0

TIMER = 20

DRY

TIMER = 30

POWERUP

FILL = (TIMER<4) DRY = 0

AGITATE = (TIMER>4)

FILL = 0 DRY = 1

AGITATE = 1

MOTOR = (WASH # DRY) & LID_CLOSED

• Figura 15 - Diagramma a stati dell'automa lavatrice.

Il diagramma a stati dell’automa lavatrice in realtà porta l’informazione relativa alla trasformazione di uscita oltre a quella relativa alla funzione di stato futuro.


23

3.5 Domande

1. Quali definizioni conosci di processo ?

2. Esporre una definizione compiuta di funzione di trasferimento.

3. Quando è possibile definire la funzione di trasferimento di un sistema ?

4. Che differenza passa tra la funzione di trasferimento di un sistema statico e di un sistema dinamico ?

5. Quali sono i processi che si prestano bene ad essere descritti da un modello ingresso-uscita ?

6. Quali sono i processi che si prestano bene ad essere descritti mediante un modello nello spazio degli stati ?

7. Che cosa è un automa stati finiti ?

3.6 Es ercizi

1. Descrivere mediante un diagramma a stati il funzionamento del comando di marcia ed arresto di un motore asincrono (Suggerimento: individuare dapprima le variabili di ingresso ed uscita).

2. Descrivere mediante un diagramma a stati il funzionamento del comando di marcia-arrsto con direzione avanti-indietro di un motore asincrono.


24

3.7 L aboratorio

3.7.1 Anal is i s per imentale nel dominio del tempo della r is pos ta al gradino di s is tema s tatico (rete R-R) e di un s is tema dinamico (rete R -C)

Schemi elettrici

CH.I

vI VO

CH.II

G.d.F.

CH.I

vI

CH.II

VO

Obiettivi didattici

- Saper misurare i parametri fondamentali di due forme d’onda mediante l’oscilloscopio

- Conoscere e saper confrontare le risposte nel dominio del tempo di un sistema statico e di un sistema dinamico

Strumentazione ed attrezzatura

- Generatore di funzioni, oscilloscopio, un multimetro, tre sonde BNC-coccodrillo 1:1, una breadboard

Componenti

Una rete R-R ed una rete RC come da schema

Procedimento

1. Dopo aver ricevuto i componenti, gli strumenti e l’attrezzatura necessaria redarre personalmente la lista componenti e l’elenco della strumentazione ed attrezzatura seguendo le indicazioni generali per la stesura di una relazione di laboratorio.

2. Calcolare la costante tempo nominale τn della rete RC, in base ai valori nominali di R e di C.

3. Calcolare le costanti tempo minima τmin e massima τmax in base alle tolleranze dei componenti utilizzati.

4. Applicare in ingresso alla rete R-R un segnale TTL compatibile di periodo T ≅ 10 ÷12 τn .

5. Visualizzare con l’oscilloscopio in DC le forme d’onda di ingresso e di uscita applicando lo stesso riferimento di tensione e si riporti in un apposito diagramma le forme d'onda.

6. Si misurino i parametri T, f, Vp, Vpp e Vm per la tensione di ingresso vI e la tensione di uscita vO , analizzando le forme d’onda, e si misuri il valore efficace Vrms di vI e di vO mediante il multimetro.

7. Applicare in ingresso alla rete R-C lo stesso segnale TTL compatibile di periodo T ≅ 10 ÷12 τn e ripetere i punti 5 e 6.

8. Misurare la costante tempo sperimentale τsp .

9. Si riportino sull'apposito diagramma oltre alle forme d'onda di ingresso e di uscita, evidenziandola, la costante tempo sperimentale.

Domande

Cosa succede se invece di applicare in ingresso una onda quadra di periodo 10 τn si applica un segnale di frequenza minore (più lento) od un segnale di frequenza maggiore (più veloce) ?


25

3.7.2 Anal is i s per imentale del la r is pos ta di un s is tema dinamico ad una s ol lecitazione di ingres s o s inus oidale

Schema elettrico

G.d.F.

CH.I

vI

CH.II

VO

Strumentazione ed attrezzatura

Generatore di funzioni, oscilloscopio, un multimetro, tre sonde BNC-coccodrillo 1:1, una breadboard

Componenti

Una rete RC come da schema elettrico

Procedimento

1. Montare il circuito su breadboard e connettere oscilloscopio e generatore di funzioni come in figura.

2. Settare il generatore di funzioni in modo che fornisca un segnale sinusoidale alternato di frequenza

CRfT ⋅⋅⋅

=π2

1

3. Si visualizzi sull’oscilloscopio la tensione di ingresso vI rilevata dal canale I e la tensione di uscita vO rilevata dal canale II, utilizzando riferimenti di tensione coincidenti.

4. Si riportino su un apposito diagramma le tensioni di ingresso e di uscita rilevate e si misurino per esse i parametri T, f, Vp, Vpp e Vm .

5. Si misuri il valore efficace Vrms di vI e di vO mediante il multimetro.

6. Si determini lo sfasamento ϑϑ della forma d’onda sul secondo canale rispetto a quella nel primo canale. Per fare ciò :

a. Si ricavi la distanza temporale ∆∆t tra i primi due picchi delle due forme d’onda

b. Si applichi la formula di conversione T

t∆⋅= 360ϑ dove T è il periodo delle due forme d’onda

precedentemente misurato.

7. Si ripetano i punti da 2 a 6 per una frequenza 101

Tff = ed una frequenza Tff ⋅= 102

Domande

- I valori efficaci Vrms misurati con il multimetro sono in relazione con Vp, Vpp e Vm ?

- Cosa succede allo sfasamento per le frequenze f1, fT e f2 ?

- Ci sono altre grandezze fisiche che variano con la frequenza ? Perché?

- Cosa sarebbe successo se al posto del condensatore ci fosse stato un resistore ?


26

4 MODE L L I E D ANAL OGIE DE I S I S T E MI F I S ICI

4.1 Introduzione

Per analizzare il comportamento di un sistema fisico complesso è necessario costruire il suo modello matematico. Un sistema compesso è normalmente composto da una serie di componenti elementari. Di essi è necessario conoscere i principi e le leggi fisiche per poi poter comprendere come interagiscono tra loro.

In sostanza, è necessario definire il modello matematico dei componenti elementari attraverso l'individuazione degli aspetti fondamentali quali le variabili, i parametri e le relazioni funzionali.

Tra le varie tipologie di sistemi si affronteranno in particolare le tipologie:

- elettrica

- idrodinamica

- meccanica traslatoria

- termica

In ciascuno di questi sistemi si individueranno le variabili intensive e le variabili estensive.

Per variabile intensiva, o passante, si intende una grandezza fisica calcolata in un solo punto del sistema. Sono esempi di variabile intensive l'intensità di corrente elettrica e la portata massica d'acqua.

Per variabile estensiva, o trasversale, si intende una grandezza fisica calcolata tra due punti. Sono esempi di variabili estensive la differenza di potenziale,la differenza di pressione, la differenza di altitudine.

Inoltre, sempre in ciascuno di questi sistemi si individueranno un elemento frenante, un elemento accumulatore ed un elemento elastico.

4.2 Componenti elettr ici elementari

Essi sono i dipoli passivi elementari: resistore, condensatore e induttore. Per ognuno di questi dipoli la tensione, misurata agli estremi, è la variabile estensiva e la corrente, misurata in un punto, è la variabile intensiva.

4.2.1 Res is tore

Esso è l'elemento "frenante" ,.che si oppone al "flusso" della grandezza intensiva. Esso dissipa l'energia in calore.

Variabili: tensione v corrente i

Parametri: resistenza R [Ω]

Relazioni funzionali: iRv ⋅= vR

i ⋅= 1

Relazione energetica: 2iRp ⋅=


27

v

i

R

schema elettrico schema a blocchi

i v

• Figura 16 - Tensione come variabile di ingresso.

i

R

schema elettrico schema a blocchi

i v v

• Figura 17 - Corrente come variabile di ingresso.

4.2.2 Condens atore

Esso è l'elemento accumulatore che si oppone alla variazione della grandezza estensiva poiché accumula l'energia della grandezza estensiva.


Parametri: capacità C [F]

Relazioni funzionali: ∫⋅+=t

idtC

vtv0

1)0()(

dtdv

Ci ⋅=

Relazione energetica: 2

21

vCE ⋅⋅=

4.2.3 Induttore

Esso è l'elemento accumulatore che si oppone alla variazione della grandezza intensiva poiché accumula l'energia della grandezza intensiva.


Parametri: induttanza L [H]

Relazioni funzionali: dtdi

Lv ⋅= ∫⋅+=t

vdtL

iti0

1)0()(

Relazione energetica: 2

21

iCE ⋅⋅=


28

4.3 Componenti meccanici tras latori elementari

I componenti meccanici traslatori elementari sono lo smorzatore, la massa e la molla. La forza è la grandezza intensiva, mentre la velocità è la grandezzaestensiva.

4.3.1 S morzatore

E' un dispositivo atto a generare forze di attrito capaci di attenuare gli effetti negativi provocati dall'interazione di corpi in moto relativo tra loro. Le resistenze passive presenti all'interno dello smorzatore trasformano l'energia meccanica del pistone in energia termica dissipata sotto forma di calore.

4.3.2 Mas s a

4.3.3 Mol la

4.4 Componenti termici elementari

4.5 L e analogie

La tabella seguente riporta in sintesi i modelli matematici dei componenti fisici elementari ordinati per tipologia e per funzione.

Si nota subito l'esistenza di analogie tra i componenti di tipologia diversa ma che svolgono la stessa funzione. L'analogia si estende anche ai concetti di nodo e maglia utilizzati nelle rappresentazioni grafiche dei sistemi compositi (ad esempio reti elettriche, strutture metalliche) ed alle leggi che regolano tali sistemi.

Per esempio nelle reti elettriche è valido il primo principio di Khirchhoff che afferma che la somma algebrica delle correnti entranti ed uscenti in un nodo è nulla. Ad esso corrisponde nei sistemi meccanici traslatori il principio di D'Alambert che afferma che la somma delle forze applicate ad un punto è nulla.

L'utilità delle analogie è duplice: astratta e sperimentale.

Utilità astratta; le analogie permettono di individuare una struttura matematica potente in grado di rappresentare sistemi concreti intrisecamente diversi (esigenza di unificazione).

Utilità sperimentale: è possibile, almeno in linea di principio, costruire modelli fisici analogici (generalmente circuiti elettrici) di sistemi fisici diversi. Questa utilità si basa su due aspetti:

- economicità del modello

- possibilità di imporre sollecitazioni aventi qualsiasi andamento temporale.

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