Soluzione della prova di Matematica

per i Licei Scientifici

Prof. Luigi Verolino

Università Federico II di Napoli

22 giugno 2016

Ora per poi io preparo

Palindromo

Anche quest’anno, gli studenti del Liceo Scientifico hanno svolto, quale seconda

prova degli Esami di Stato 2015-2016, una traccia di Matematica, composta da

due problemi e dieci quesiti.

Il primo problema partiva da una situazione pratica, riguardante la

progettazione di un serbatoio di gasolio per un condominio, mentre il secondo

problema ed i quesiti avevano un’impronta più teorica. Per quanto riguarda i

quesiti di Matematica, sette su dieci sono legati ad argomenti di Geometria

Analitica o di Analisi, due sono relativi al calcolo delle probabilità ed un altro è di

Geometria Solida sul calcolo di un volume di un liquido in un recipiente.

La prova ha avuto inizio alle ore 8:30, quando il Miur ha comunicato la chiave

per aprire il plico telematico.

«Temi molto vicini alla realtà quotidiana, con un approccio operativo che aiuta

gli studenti a capire il valore pratico di ciò che studiano e la centralità che

potranno avere le competenze acquisite a scuola anche nella loro vita futura», ha

dichiarato il ministro dell’Istruzione, Stefania Giannini, commentando le tracce.

Nel complesso, il compito non è adatto ad un liceo scientifico, dato che presenta

esercizi e quesiti eccessivamente difficoltosi oppure troppo semplici. Inoltre, le

Indicazioni Nazionali sono completamente disattese, dato che è presente, un po’

dovunque, un eccesso di formalismi di calcolo.

Si spera che coloro che in futuro proporranno i problemi leggano con maggiore

attenzione le Indicazioni Nazionali per i licei scientifici, in maniera tale che gli

insegnanti possano disporre di una bussola da puntare verso gli obiettivi da

raggiungere nelle loro lezioni.

In questo scritto vengono riportate le soluzioni complete dei due problemi e dei

dieci quesiti.

Problemi

Problema 1

L’amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio

per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in

commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del

condominio.

Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l’amministratore ti fornisce il

disegno di figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni:

la lunghezza del serbatoio deve essere pari a otto metri;

la larghezza del serbatoio deve essere pari a due metri;

l’altezza del serbatoio deve essere pari a un metro;

il profilo laterale (figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità,

per evitare l’accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con angolo

;

la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno , in modo da

garantire al condominio il riscaldamento per tutto l’inverno effettuando

solo due rifornimenti di gasolio;

al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l’asse di simmetria

(segmento in figura 2) deve essere installato un indicatore graduato

che riporti la percentuale di riempimento del volume del serbatoio in

corrispondenza del livello raggiunto in altezza dal gasolio.

1. Considerando come origine degli assi cartesiani il punto A in figura 2,

individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il

profilo laterale del serbatoio per , intero positivo, motivando

opportunamente la tua scelta:

2. Determina il valore di che consente di soddisfare i requisiti richiesti

relativamente all’angolo er al volume del serbatoio.

3. Al fine di realizzare l’indicatore graduato, determina l’espressione che

associa al livello del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento del

volume da riportare sull’indicatore stesso.

Quando consegni il tuo progetto, l’amministratore obietta che, essendo il

serbatoio alto un metro, il valore del livello di gasolio, espresso in centimetri,

deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il

gasolio raggiunge un livello pari a vuol dire che il serbatoio è pieno al

; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello , una

percentuale del .

4. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all’amministratore che il suo

ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo

errore che si commette usando il livello come indicatore della percentuale di

riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di in corrispondenza del

quale esso si verifica.

Soluzione

Per brevità, nel seguito tutte le lunghezze verranno misurate in metri e tutti i

volumi in metri cubi, anche se non verrà esplicitamente indicato. Si porrà, ad

esempio, semplicemente

1. La prima funzione proposta

è la scelta corretta. Infatti, essa passa per i punti e e presenta

un punto angoloso in come richiesto. Inoltre, la pendenza in

corrispondenza del punto angoloso dipende dal valore di e quindi è regolabile.

La seconda funzione ha anch’essa un punto angoloso in , passa per il punto

e, con un opportuno valore di , può passare per gli altri due punti in

precedenza considerati. Tuttavia, la derivata in corrispondenza del punto

angoloso, vale a dire , vale in valore assoluto , essendo da una parte la

pendenza positiva e dall’altra negativa. L’inclinazione della funzione è allora pari

a , che non è compatibile con le richieste dell’amministratore.

La terza funzione, invece, pur passando per i tre punti dati, non presenta il punto

angoloso richiesto, perché è una funzione goniometrica infinitamente derivabile.

2. Per la funzione scelta, risulta immediato scrivere che

Segue che la pendenza della curva in corrispondenza del punto angoloso vale

Allora, il volume del serbatoio può essere calcolato come

Dunque, dato che si desidera che , si può scrivere che

A questa prima disuguaglianza ne segue un’altra, per imporre il vincolo

sull’angolo, per cui

Riassumendo, si può scrivere che

Dovendo essere un intero positivo, si conclude che l’unico intero possibile è

Con questa scelta il volume del serbatoio è pari a

e l’angolo in alto vale

3. Per determinare la funzione , cioè il volume occupato dal liquido in

funzione dell’altezza raggiunta, occorre svolgere un integrale sull’asse delle

ordinate e calcolare l’area della semi-sezione verticale del serbatoio, in

modo che

Per fare ciò, è necessario prima di tutto invertire la funzione : essa è

invertibile, essendo monotona, nell’intervallo , per cui

Segue allora che

in cui nell’integrale si è sostituito per evitare ogni ambiguità nella

notazione. Pertanto, il volume assoluto occupato vale

mentre quello relativo risulta pari a

4. Prima di tutto, si può sfruttare il dato numerico messo a disposizione nel testo

per verificare la correttezza della soluzione fino a questo punto. Infatti, se si

sostituisce nell’espressione appena ottenuta il valore , vale a dire

, si ha , come indicato.

L’errore nel ragionamento dell’amministratore è il seguente: egli sta

supponendo che il serbatoio abbia una sezione verticale a larghezza costante,

mentre nel caso in esame la larghezza varia proprio secondo la funzione .

Numericamente, l’errore può essere stimato come differenza tra il volume

predetto dalla funzione appena determinata e la funzione, molto più

semplice ed imprecisa,

In tal modo, ci si riconduce ad un normale problema di ricerca di massimi, da

svolgere mediante il calcolo della derivata prima

L’ultimo risultato ricavato è l’errore massimo che si commette utilizzando la

funzione anziché la funzione , che corrisponde a circa e si

verifica in corrispondenza di un valore di approssimativamente pari a

.

Si tratta di un problema di elevata difficoltà, ben incardinato nelle Indicazioni

Nazionali e contestualizzato in maniera forzata, dato che appare piuttosto

improbabile che un amministratore condominiale elabori ciò che è descritto nel

testo. Pur se l’argomento è presente nei diversi libri di testo, la formulazione

risulta piuttosto ambigua

Problema 2

Nella figura 1 è rappresentato il grafico della funzione ,

derivabile in , e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.

È noto che è tangente all’asse in , che ed sono un punto di massimo e

uno di minimo, che è un punto di flesso con tangente di equazione

.

Nel punto la retta tangente ha equazione e per il grafico

consiste in una semiretta passante per . Si sa inoltre che l’area della regione

delimitata dall’arco , dall’asse e dall’asse vale , mentre l’area della

regione delimitata dall’arco e dall’asse vale .

1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici

delle funzioni

Quali sono i valori di e di ? Motiva la tua risposta.

2. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle funzioni

specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.

3. Determina i valori medi di e di nell’intervallo , il

valor medio di nell’intervallo ed il valor medio di

nell’intervallo .

4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione nei suoi

punti di ascisse e , motivando le risposte.

Soluzione

1. Prima di iniziare ad entrare nel vivo della soluzione del problema, vale la pena

ricordare che, negli intervalli in cui la prima derivata è positiva, una funzione è

strettamente crescente; il contrario accade negli intervalli di stretta decrescenza.

Questo è tutto ciò che serve a determinare l’andamento della funzione

a partire da quello noto, almeno graficamente, della funzione .

A voler essere più precisi, bisogna mettere in evidenza che in la funzione è

tangente all’asse , vale a dire che

Percorrendo la curva da verso , essa cresce strettamente e, dunque, la

derivata è positiva. Il punto è un punto di massimo relativo ed allora la

derivata è ivi nulla. Poi, passando da ad , la curva decresce e, quindi, la sua

derivata prima è negativa; in , punto di minimo relativo, la derivata è di nuovo

nulla, mentre tra e è positiva fino a mantenersi costante al valore dopo .

Nei punti e sono note le tangenti inflessionali, che sono state riportate per

maggiore chiarezza. Il precedente grafico è stato ottenuto per interpolazione,

vale a dire è stata costruita una funzione che, tratto per tratto, potesse meglio

rappresentare i valori numerici assegnati. Si è preferito suddividere la curva in

diversi tratti, anche perché l’interpolazione non richiede conti assai onerosi e

può essere sviluppata senza l’uso di un elaboratore elettronico. Inoltre, nella

tabella che segue, oltre al tratto in esame ed alla funzione approssimante, si è

riportato anche il valore dell’area sottesa, che coincide con l’integrale solo se la

curva è positiva. La funzione approssimante è in ogni tratto una funzione

polinomiale, tranne nel primo, laddove la derivata infinita nell’origine, impone

una classe di funzione un poco più complicata e dipendente dal parametro

. La scelta di questo parametro è stata condizionata, come sarà

più chiaro in quel che segue, dal valore dell’area sottesa nei primi tre tratti, che è

stata scelta pari a , non come richiede il testo. In effetti, risulta che

Tratto Approssimante Area sottesa

Quanto in precedenza detto sulla derivata prima, basta per giustificare il grafico

di , riportato con qualche dettaglio in quel che segue. Si osservi che il

punto è stato impropriamente disegnato; tuttavia, per ricordare che esso

tende verso l’infinito, al suo fianco è stata apposta una piccola freccia. Il punto

non è un punto di minimo relativo per la funzione derivata prima, mentre è un

punto di flesso per questa funzione e per entrambi, a partire dalle tangenti

inflessionali date, si deducono immediatamente i valori delle due derivate

I punti e rappresentano i simmetrici di e rispetto all’asse delle ascisse

e la curva tratteggiata, assieme ai tratti continui positivi, rappresenta il grafico

della funzione valore assoluto della prima derivata

Questo grafico è, per la verità, richiesto nel secondo punto del problema, ma è

stato anticipato, vista l’immediatezza della soluzione grafica proposta.

Prima di ottenere il grafico dell’integrale

bisogna tuttavia fare alcune osservazioni al testo, che fornisce i seguenti valori

numerici delle due aree

Ebbene, si tratta di due numeri interi positivi che vanno interpretati come

approssimazioni dei valori veri, come prova un’attenta analisi del grafico della

funzione assegnata. Si consideri, allo scopo, la prima area e si

osservi la figura di seguito mostrata, che è una riproposizione della prima parte

del grafico fornito dal testo, nella quale sono tracciate in rosso alcune rette, utili

per determinare un limite inferiore e superiore per il valore dell’area in esame.

I tre punti e sono allineati e l’esame della figura suggerisce che l’area

non può valere , dato che essa è inferiore all’area del trapezio

rettangolo più esterno, che in certa misura contiene la porzione di grafico in

esame, ed è superiore all’area della figura geometrica in essa contenuta, per cui

su può scrivere

Pertanto, si assumerà

Similmente, l’altra area assegnata non può avere valore unitario, dato

che, come suggerisce la figura che segue, contiene il triangolo di base pari a

e di altezza pari a , per cui si può concludere che

Si assumerà, anche per questa seconda area, il valore

Ritornando al grafico dell’integrale, si può affermare che fin quando la funzione

è positiva, la sua primitiva

cresce sempre. In particolare, essa presenta un massimo relativo nel punto ,

laddove risulta

Appena la funzione integranda diventa negativa, l’integrale comincia a

decrescere, fino al minimo relativo nel punto

Infine, dato che vale la relazione lineare

la primitiva torna a crescere, seguendo la legge parabolica

2. Si è già riportato l’andamento di , osservando che basta un semplice

ribaltamento delle porzioni negative del grafico di , e l’insieme di

definizione non cambia, essendo sempre .

Nel grafico che segue, anche se non esplicitamente richiesto dal testo, si è

riportato l’andamento della funzione : si osserva che è stata ribaltata

la parte negativa del grafico di e che il nuovo punto rappresenta il punto

simmetrico di E rispetto all’asse delle ascisse. In altri termini, si può scrivere che

Il grafico di è stato presentato non solo perché tornerà utile nel seguito,

quando se ne dovrà determinare il valor medio, ma anche quale passo

intermedio, in preparazione del successivo, vale a dire della sua prima derivata

A questo punto non è difficile convenire con il grafico della funzione

mostrato di seguito, che rappresenta una funzione definita sull’intero semiasse

negativo delle ascisse, tranne i punti e , laddove la funzione esibisce

dei salti.

Infine, la figura che segue mostra in blu il grafico dell’inversa della funzione

, peraltro riportata tratteggiata in rosso. Si osservino i due asintoti verticali

in corrispondenza degli zeri della funzione

L’asse delle ascisse è diventato asintoto orizzontale destro e l’inversa presenta

dei minimi relativi, laddove la funzione di partenza aveva dei massimi relativi, e

viceversa. Così, ad esempio, il minimo relativo in della funzione di partenza si

trasforma in un massimo relativo per l’inversa. Negli intervalli in cui la funzione

cresce, la sua inversa decresce, dato che

3. Per il calcolo del valor medio della funzione nell’intervallo ,

basta adoperare il Teorema della media, per cui

Per contro, volendo determinare il valor medio della funzione sempre

nell’intervallo , si può scrivere che

Si osserva che, come era prevedibile, risulta

dato che, nel calcolo dell’integrale che definisce , bisogna considerare anche un

tratto negativo della funzione.

Ancora, il valor medio della funzione nell’intervallo è pari a

Infine, il valor medio della primitiva nell’intervallo vale

Ora, poiché risulta

essendo una costante di integrazione, si conclude che

e si può scrivere

4. Per è già noto che . Inoltre, si ottiene che

e, quindi, la retta cercata è data dall’equazione

Per , invece, è già noto che . Inoltre, risulta

e, quindi, la retta cercata è data dall’equazione

Come si è già avuto modo di osservare, in la funzione presenta un

minimo relativo e, dunque, una retta orizzontale corrisponde a quanto ci si

poteva attendere.

Questo problema è inutilmente laborioso, essendo pieno di calcoli e di grafici; il

calcolo del valor medio, utilizzando il Teorema della media, viene

frequentemente richiesto. Si spera che coloro che in futuro proporranno i

problemi leggano con maggiore attenzione le Indicazioni Nazionali per i licei

scientifici, che prescrivono di non eccedere con i formalismi di calcolo. Infine, il

problema appare perfettamente decontestualizzato.

Quesiti

1. È noto che

Stabilire se il numero reale , tale che

è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali,

motivando le risposte:

La funzione

è una funzione continua sull’intero asse reale e pari. Essa è sempre positiva,

assume un massimo relativo nell’origine ed ammette, quale asintoto orizzontale,

l’asse delle ascisse, per cui

Il suo andamento viene di seguito riportato. In realtà, si tratta di una particolare

funzione gaussiana

così chiamata in onore del grande Gauss, il principe dei matematici, per cui si è

scelto

Queste funzioni si collocano tra le funzioni speciali elementari e possono essere

introdotte nei primi corsi di Analisi Matematica. Mancano di integrali

elementari, in altre parole, i loro integrali non possono essere espressi mediante

composizioni semplici di funzioni elementari.

Tuttavia, i loro integrali impropri, dove l’integrazione è fatta su tutta la retta

reale, possono essere valutati esattamente, dato che si può dimostrare che vale

l’integrale

Johann Carl Friedrich Gauss

Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855

Allora, si può scrivere, per la parità dell’integrando, che

Ciò comporta che deve essere positivo, dato che

per cui l’estremo superiore di integrazione deve aver superato l’origine. Non è

facile sapere quanto valga , ma si sa che esso è positivo.

Passando poi al calcolo dei tre integrali proposti, si può dire che il primo è nullo

essendo l’integrando una funzione dispari. Il secondo integrale, invece, diventa

Ora, dato che

si può concludere che

Infine, il terzo integrale, in forza del cambio di variabili , è pari a

Questo quesito è di media difficoltà ed è unanimemente ritenuto il migliore, dato

che verifica, con un argomento baricentrale del programma di ultimo anno,

conoscenze abilità e competenze dello studente.

2. Data una parabola di equazione

si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse , nel segmento

parabolico delimitato dall’asse . Determinare in modo tale che il rettangolo

sia di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.

Si tratta di un doppio problema di massimo e di minimo. La parabola

interseca l’asse delle ascisse nei punti

Indicando con l’ascissa del punto , che identifica un vertice del

rettangolo, si può scrivere che l’area del rettangolo vale

e stabilire che il suo valore cresce nell’intervallo

L’area del rettangolo presenta un massimo relativo per

Procedendo analogamente per il perimetro, si ottiene

che è massimo per

Mettendo a sistema le ascisse dei due massimi, risulta

La parabola cercata ha, in definitiva, equazione

mentre il perimetro e l’area massimi valgono, rispettivamente,

Quesito di media difficoltà, formulato correttamente, presente nei diversi libri di

testo, baricentrico rispetto alle Indicazioni Nazionali.

3. Un recipiente sferico con raggio interno è riempito con un liquido fino

all’altezza . Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido

è dato da:

Si consideri nel piano cartesiano la circonferenza mostrata nella figura che

segue.

Essa ha centro nel punto e raggio , sicché la sua equazione è

Esplicitando il solo ramo del primo quadrante, si può scrivere

Facendo ruotare questo ramo attorno all’asse , si ottiene il volume cercato

Quesito di difficoltà non elevata, alla portata di tutti i candidati, correttamente

formulato e, di solito, svolto nelle classi.

4. Un test è costituito da domande a risposta multipla, con possibili risposte

di cui solo una è esatta. Per superare il test, occorre rispondere esattamente

almeno domande. Qual è la probabilità di superare il test, rispondendo a caso

alle domande?

La probabilità di rispondere esattamente ad una domanda vale

per cui quella di sbagliare la risposta è pari a

Sia il numero delle domande e il numero di risposte corrette. Allora, la

probabilità di rispondere esattamente ad almeno otto domande è pari alla

somma

Trattandosi di prove ripetute, ovvero di una distribuzione binomiale che

descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli, si può scrivere

Sostituendo i valori numerici assegnati, si ottiene

una probabilità veramente piccola. Ciò vuol dire che, per superare i test, è meglio

prepararsi che tentare il caso.

Un quesito di modesta difficoltà, correttamente formulato, che pochi studenti

hanno affrontato, dato che lo studio della probabilità fatica viene ancora troppo

trascurato nei licei.

5. Una sfera, il cui centro è il punto , è tangente al piano avente

equazione . Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della

sfera?

La retta, passante per e perpendicolare a , ha equazione

Questa retta interseca il piano, quando

vale a dire nel punto di coordinate

che rappresenta il punto di tangenza cercato. Pertanto, la distanza fornisce il

raggio della sfera

Quesito semplice, senza troppe pretese, che dovrebbe essere alla portata di tutti

gli studenti, ma che, di fatto, non lo è, dal momento che questi argomenti

vengono trattati troppo marginalmente.

6. Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la

risposta: “Esiste un polinomio tale che: ”.

Si osserva preliminarmente che il polinomio non può essere costante, dato

che è evidente che una costante non verifica sempre la disuguaglianza assegnata.

Escluso il caso costante, si può allora dire che l’affermazione proposta nel testo è

chiaramente falsa. Se esistesse, in effetti, un tale polinomio, dovrebbe sottostare

alle disuguaglianze

Proprio in ciò risiede l’assurdo: quale che sia il polinomio scelto, esso deve

asintoticamente divergere, mentre il minorante ed il maggiorante

restano sempre limitati.

Questo quesito è piuttosto difficile per studenti di liceo scientifico, dato che sono

scarsamente abituati a ragionamenti logici e sintetici, essendo più allenati ad

applicare procedure, magari anche piuttosto ricche di calcoli.

7. Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come

in figura. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua

destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di mosse

che porti la pedina nella casa d’angolo opposta , qual è la probabilità che essa

passi per la casella indicata con ?

Per raggiungere la casella , la pedina deve realizzare sette spostamenti verticali

e sette orizzontali. Tuttavia, vi sono dei percorsi che non coinvolgono la casella

e, pertanto, non vanno considerati. Ciò vuol dire che, per risolvere il problema,

occorre determinare il numero di percorsi totali possibili e quelli favorevoli, che

passano per . Per arrivare in , occorrono otto mosse: tre orizzontali e cinque

verticali. Pertanto, il numero di percorsi totali che portano in , non dipendendo

dall’ordine, è dato dalle combinazioni semplici, che sono espresse dal

coefficiente binomiale

Una volta che la casella sia stata raggiunta, si può ripetere lo stesso

ragionamento, per calcolare il numero di percorsi totali, congiungenti con .

Dato che per arrivare in occorrono sei mosse, precisamente quattro

orizzontali e due verticali, risulta

Pertanto, si può dire che il numero totale di percorsi favorevoli è pari al

prodotto

Per contro, tutti i possibili percorsi che terminano in sono

In definitiva, la probabilità che la pedina giunga in , passando per , in

quattordici mosse vale

Questo quesito, pur affrontando un argomento presente nelle Indicazioni

Nazionali, è piuttosto difficile e si ritiene che una percentuale veramente esigua

dei maturandi lo abbia affrontato. Inoltre, si tratta di un argomento non sempre

presente nei libri di testo.

8. Data la funzione definita in , , individuare la

primitiva di il cui grafico passa per il punto .

Per determinare una primitiva della funzione assegnata

basta integrare per parti, per cui risulta

Integrando una seconda volta per parti l’integrale al secondo membro

si ottiene il risultato

essendo una generica costante di integrazione. Per determinare il valore della

costante, basta imporre il passaggio per il punto , sicché

Si conclude che la primitiva richiesta vale

La figura che segue rappresenta l’andamento della primitiva appena trovata e la

retta parallela all’asse delle ascisse , su cui giace il punto assegnato .

Quesito semplice, chiaro, formulato correttamente ed alla portata di tutti i

maturandi.

9. Date le rette

ed il punto , determinare l’equazione del piano passante per e

parallelo alle due rette.

Si ponga il piano cercato nella forma generica

Imponendo il passaggio del punto , si può scrivere una prima

relazione

Forzando la perpendicolarità tra un vettore direttore della prima retta

ed un vettore che determina la giacitura del piano

si ricava una seconda condizione

Infine, dopo aver trasformato in forma parametrica la seconda retta

si può ricavare un suo vettore direttore

ed imporre la terza condizione, cioè l’ortogonalità con

Riassumendo, si è ottenuto il sistema di tre equazioni

dal quale si ricava immediatamente, sottraendo la seconda alla terza equazione,

che

e, quindi, una sua versione ridotta è

In definitiva, l’equazione del piano richiesto vale

Alternativamente, si sarebbe potuto osservare che, sostituendo le equazioni

parametriche della prima retta nel piano , cui appartiene la seconda

retta, si ottiene un’identità. Ciò vuol dire che le due rette sono complanari,

appartenendo entrambe a questo piano. Pertanto, l’equazione di un piano ad

esso parallelo si può scrivere nella forma

che, poiché deve contenere il punto , diventa

Vale quanto già scritto a proposito dei quesiti di Geometria Analitica nello

spazio.

10. Sia la funzione definita nell’intervallo

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di nel punto di ascissa .

Dal momento che

l’equazione della retta tangente vale

Ebbene, poiché risulta

si può concludere che

Quesito di media difficoltà che, tuttavia, eccede nei formalismi di calcolo,

assegnando una funzione integrale composta.