Upload
vanminh
View
226
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Solutions to Exercises
�� ��� ���� � ��� ��� ������ ����� �� ��� � ��
� ������� ���
Chapter 1
Exercise 1.1 (page 20)
�� �� �� �� � ��� � ��� ����������� ����� � ��� � ��� ��
��� ���� � ������ � ��� ������� �� ��������� !" #���$� ��� �����
��� ����� � ���� ��������� ������� %�������� � ���&�� �� ��� ������
�����' �� ��� �������� �� ������ � �� ������� ���� ����� �� � ��������� ��" �
��������� ��� ����� &����' �� ���� �� ��"� �� ����� ���� �� ���� !� �����( ���
�� ���� �� ��"� �� ������ ���� �� ���� !� ����
Exercise 1.2 (page 20)
� )��� �� ��� � &���� �������� )���� ��" !� ��� ���� ����� ����
�&��"�� �� ���&��* ��� !������*� � * � �� ��" !� �����* �� ��� ��*��
� +�����" ���� ���� !� ����� !�� �� �� �� � &���� �������� +� ����
!� &���� � ������ ���� �&��"�� ���� ���&� ��� !������*( ���&���
��"��* ����� ,� �������*- ���� !���&� �� � ���������� ������
��� �� ��.� �� �( �� �$������ ��� ����� ��" �*��� �� �������
���������* �� ����� ������* � !� � ��������
� )��� �� ��� � &���� �������� )�� �������� �� � ��!� ����� ��
����� �� �����" � ���� ���� ������ ���� � ����� ���� ���� �� � ��� ��*���(
!�� ���� ���� �� �� ��&���� �� ��� ��*����� +� ��*�� !� ���� ���
����� �� ��� ������" �� /������ � �� ����� ���� ������ ���� ���� ��
� ��� ��*��
� )��� �� ��� � &���� �������� )�� �������� �� ����� !�� �� �� ���
������ ��&���� �� ��� �� ��������
� )��� �� ��� � &���� �������� )�� �. ���� ��� ������" �&�� ��*��
�� !� ��� �� ��&�&�� �� ��� �������*
F. Moller, G. Struth, Modelling Computing Systems,Undergraduate Topics in Computer Science,DOI 10.1007/978-1-84800-322-4, © Springer-Verlag London 2013
Temporal Properties
�� � ������� � �� ��� �������� �� ��� �������� ���� �� ��� �
������ ������� ����� � ��� �� ��� �������� �� ��� ������� �� ���
���� ������� ������������ ���� � ��� ���� �� ��� �������� �����
� ��� ������� � ������ ��� �� ��� �� ��� � �� �������� �
��� ��� ������ �� ����� �� ������ ���� �� � ����� �� ����� �� ���
��� !�� ��� ����" ��� � �� ��������� #�� ��� �� ��� $��� ���%
� $��� ��� ����� ��� �� ����� ��� % ���� ��� ����� �� ���
�� �� ��� � ������� � �� ��� ����� ��� ��� ��� ��� �� ��
���� �� ��� ������� �&���� ��� ����� ��� �&����� ����� ��� �
Exercise 1.3 (page 21)
'� (�� � � ����� ���������
)� (�� � � ����� ��������� (�� ����� �� ���� #������ � � ����
������ ��� ��� ���� � � � � ������������ ����� ���� �� ���� ���
����� !������� �� ���" ��� ���� �
*� (�� � ��� � ����� ��������� +� �� �� ���� ��� ����� ��� ���� , ��
�� �� �� ���� #������ � ��� ��� ����� �� �� ��� ��� �������
�������� �� ������� �� ���� #������ � � ���� �� �� � ���
���� ���� � � � ��� ����� �� - ���� ����� ��� ���� #������
���� � � � �� ��� ��
.� (�� � � ����� ��������� /� �� ���� ��� ���� � ���� ����
#������ � � ����� � �� ���� ���� ��� ����� ��� ���� � � ��
��� ��
0� (�� � ��� � ����� ��������� ��� ����� �� �� � �����
Exercise 1.4 (page 23)
'� $(�� ����� ��� �� ������� ����� ��� ��%
)� $+ ���� �� ��� � �� ���������%
*� ) 1 ) � .�
Exercise 1.5 (page 24)
'� (�� � ����� � ��� ���� �� ���� � ���� !�������� ��� �� � �� ����
� ��� �"�
)� (�� � ��� �� � ������ �� ���� � �����
*� (�� � ����� � ���� �� ���� ��� �����
Exercise 1.6 (page 24)
'� +��� ���� (�� ������ ����� ���� 2��� ����� ��� ���� ��� �
�� � ����� �� �� ���� ���� 3���& �� 4 ��� � �� � � ���� �� � �� ��
406
Additional Exercises
�� ����� �� �� �� �� ��� ��� �� ���� �� �����
�� ��� ����� �� �� �������� � ��� ���� �� �� ���� �� �� �� � ��� ���
�����
�� ��� ����� ��� ������ �� ���� ������� �� ���� ��� ���� �� � ��� ��
��� ��������� ������� �� ��� ���� �� �� ��� � �� �! ��� �� ��
���� "������ ��� �� ���� ��� �� ����� �� ��� �� ��� ��� ���
���� ����� �� ��� ����� ���� ��# ��� ������ �� �� ���� �� ���� �
�� ����
Exercise 1.7 (page 25)
$� ���� �� � �� � �� � ��� ������ ���%��� �� ��� "��� &��� ���%��� ��
� ��#�
�� ���� �� � �� � ������� ���%��� �� ����
�� ���� �� ��� � ���� ���%���� �� ����
Exercise 1.8 (page 26)
$� AmandaHappy� JoelHappy�
�� JoelHappy� AmandaHappy�
�� AmandaHappy� JoelHappy�
Exercise 1.9 (page 26)
�� �� �� �� ��� ��� ��!��� ���� ���'� ���� "���� (�! � �(���# ��
���� ��� ������� ��� ��� ����� �� ���� ��� ����� ��!� ���� �� ����
�� ���� ����� ����
Exercise 1.10 (page 29)
$� � � � ) �"� � �#�
�� � � � ) �"� � �#�
�� � � �� � ) "� � �# � "�� � �#�
Exercise 1.12 (page 31)
$� � � � � �� � �� ��� �� ����� ����� ����*
�
� �
� � � �
�� �� � �� ������ � �� ���� ���� � �� ��� �� ������� ����������
��� ����� ��� �� �� ����� ��� ���� � "� � �# � "�� � #
407
Temporal Properties
�� ���� �� �� �� ������� ����� �
�� �� ��� � � �� �� �� ����� ���� ����
�
� �
� �
��� � �� ���������� �� ��� �� ��������� �� �� �������� � �
� � � ��� � � ��������� � � � �� � � ��
!� ���� �� �� �� ������� ����� �
"� � �� �� � � �� � �� � �� �� �� �� ����� ���� ����
�
� �
� � � �
� � � �
� �
#� ��� ���� �� � ��� ��� �� ��������� �� �������� ����$��� �
��� � � ����� � � $��� ��������� � ��� ����� �� �� �������
����������
Exercise 1.14 (page 33)
���� ���� � ���� �� ��� ���� ���� ��� � %�� ��� ��� ��
��� ������ �� � ���� � ������� ���� � ���� &� �� ��� ��
���� ����� � '���� (��� �� ��� � �)��� � �� �� ��� �� ��
�$� ��������� �� ������
*��� �� �� �������� ���������� $�� �� � �������� �� ��+����
���� ����������� � ���� �� �� �������
Love� ,-��� .��� �$�� �� � �����/
Police� ,-��� .��� �� �� ����� �� ��� ��/
Sup� ,-��� .��� ���� ��� ��� ���)�/
Long� ,-��� .��� �� ��� ����/
Poet� ,-��� .��� �� ����/
Prison� ,-��� .��� �� ��� � �������/
Cousin� ,-��� .��� �� ��� ���)0� �������/
408
Additional Exercises
�� ���� �� ���� ������� �� ���������� ��� ���� � ��� ������ ��������
���� Love� ����� ������� ���� ����� � ����� ��� ������� ������ ����
�� ������ ��� ������� �� ������������� ��� ���������� � ��� ��� �� �����
���� �� ���� �� �� �� �� ��� ���� ��� �� ���� �� ���� ��� ���������
��� ����� ���������� ����� ���� ��������� ���� ��� �������� ��������
������ ���� !
"� Police� Sup�
#� Long� Poet�
$� �Prison�
%� Cousin� Love�
&� Poet� Police�
'� Sup� Cousin�
(� �Prison� Long�
)� ���� ����* ���� ��� ���� ���� � ����� ������������� �� ��*� ���
���� �� ������� ��� ���� ��� �������� ���������� & �� ' ��� �������
����� ����*�� +�� �,������ ���� & ���� ���� ����� �� ��������� �� ����
���� ��� ������� �� �� ��������� ���� �� ���� �� �� � ���� �� ��� �� �
��������� �� ���� ����� ���� � ���� � �� � ���� -Poet.� ���� ����
� ��� �� � ��������� �� ���� ���� -Police.! Poet� Police� ����� ����
( ���� ���� �/�� ���� ����� ���� ���� ��� ���� �� �������� �� �� ���������
���� ������ ��� ��� ��� ���� �� ������ ��� ���� ���� ����0 ��� � ����
� ��� ��� ���� �� ������ -�Prison.� ���� ���� � ��� ���� ���� ����
-Long.! �Prison� Long�
�� ��� 1����� ���* �� ��� ������ ������������� ����� ��� ����� ����
����� � ����� ��� ������ -Love.!
�Prison -�� $.�
��� Long -�� (� �Prison� Long.�
��� Poet -�� #� Long� Poet.�
��� Police -�� &� Poet� Police.�
��� Sup -�� "� Police� Sup.�
��� Cousin -�� '� Sup� Cousin.�
��� Love -�� %� Cousin� Love.�
��� ���� ���� �� ��� ��������� ���� �� ������ -����� ��� ���� �� ����
��� ���� ���� � ��� ���� ����0 �� �� � ����0 �� �� � ��������� ��
���� ����0 �� ��� ���� �� ���*0 �� �� �� � ����� � ��� ���*�.
409
Temporal Properties
Exercise 1.15 (page 34)
��� ���� ���� ����� ��� ��� �� �� �� ���� ���� ������� ���� �������
��� ��� ���� �� ��� �� �� ����� �� ���� ��� �� ������ ��� ��� �� ��� ����
�� �������� �� ���� ������
KingMoved � LeftRookMoved
� �RightToCastleLeft�
KingMoved � RightRookMoved
� �RightToCastleRight�
��� ������ ���� ����� ��� ��� ���� �� ��� ���� ���� �������
���� �� ��� �� �� �� �� �� �� ���� ���� �� �� ����� �� ����� ������� ���
��� �� ��� ���� �� ��������� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ��� ������ ��
��� ����� ����� �� ���� ������ �� ��� ����� ����� �� �� �� ������ �� �����
�����
�RightToCastleLeft �RightToCastleRight
� PieceBetweenLeft � PieceBetweenRight
� KingAttack � KingAttack
� LeftSquareAttack � RightSquareAttack
� KingMoveLeftAttack � KingMoveRightAttack
� �MayCastleLeft � �MayCastleRight
Exercise 1.16 (page 35)
�� � ���� �� �!����� ��� �������� ��� ��� ����� �� ���� ��� �� ���
��� �� �!��� ��� �� ��� �����"� ���� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��
������� �� ����� �� ���� ��� �� �!��� ��� ����� ����
��� ������ ����������� � �!������� ��� ��� ����� �� ���� ��� ��
��� ��� �� �!��� ��� �� ��� �����"� ���� �� ���
� # �FonJ � OonJ� � ��FonJ � �OonJ�
� �JonF � OonF� � ��JonF � �OonF�
� �JonO � FonO� � ��JonO � �FonO��
$�� ������������� �� ���� ��� ���� ��� �!������%�� �����������
� # �FonJ � OonJ� � �JonF � OonF� � �JonO � FonO��
��� ������ ����������� � �!������� ��� ��� ��� �� ������� ��
����� �� ���� ��� �� �!��� ��� ����� ����
410
Additional Exercises
� � �JonF � JonO� � ��JonF � �JonO�
� �FonJ � FonO� � ��FonJ � �FonO�
� �OonJ � OonF� � ��OonJ � �OonF��
����� �� � ��� �� ��������� � �� ����������
� � �JonF � JonO� � �FonJ � FonO� � �OonJ � OonF��
�� � ����� �� ���� �� �� � � ��
�� �� � OonJ �� ��� ������ �FonJ �� � � �� � ��� �� ��� ������
FonO �� � � �� � ��� �� ��� ������ �JonO �� � � �� � ��� ��
��� ������ JonF �� � ��
!� ������� �� �"� #Oskar$ � % ��&� ����� � ����� #Joel$ � �����&�
����� � ����� ��� #Felix$ � '����&� ����� � ������
Exercise 1.19 (page 40)
!� � � ������ �� (���� � (������ � � ��� � ������ � ! � ��� ��)��
� ��� ������� * ��"�� �� � ��� �� �� �� �� � � ������� ! �� �
��� �(���� �� �����
!� ��� � � ���� � ������ � ! ���� ��)�� ��� ��������� ���� �
� �� � � ��� � ������ � ! ���� ��)�� �� � �� � � )�� ����
�������� �����
Exercise 1.20 (page 40)
+����
�� � �� � �� �� ) �� �� � � �� ��� ,"� ��� ���� irrespective of
the premise of the conditional statement �
Exercise 1.21 (page 42)
-�,�� � � �� ���� � ��� �� � ��� ���
� � You understand implication�
� � You pass the exam�
�� ������ �������� � � � ��� �� � � �� ���� �� ������
�
� � � � �
F F T
F T T
T F F
T T T
411
Temporal Properties
��� ���� ������ � ���� ��� � �� ��������� ��� � �������� ����� �
� � � ���� ��� � � ����� � ���� �� � �� � �� ���� ��� ���� ������
������������ �������
Exercise 1.22 (page 44)
���� ��� ���� �� ������ ��� ��� �� � �� ����� � ����� �������
����� � ����� �� �� ������ ��� �������� ���� ��� ��� ���� �� ����
��� �� ������ ��� ���� ��� ��� ���� � ���� !� �������� � ����� �� ��
������ � �������� ���� ��� ��� ���� � ����
����� �� ��� ��� ���� "��#�� ��� ��� ��� �� � �������� ���$
� ���� %����� ����� �� ��� �� ������� ��� ���� ���� ���� ���� ��
� ��� &�� '��� ������� (������� ���)*� ��� �������� � ���������� �
���� ����� ���
Exercise 1.23 (page 44)
��
�
�
� � � (� � � �*
F F T F F T F
F T F F T F T
T F F T T T F
T T T T F F T
�
�
�
� � (� � �* � (� � � � �*
F F F F F T T F T T F
F T F F T F T F F F T
T F T F F F F T F T F
T T T T T T F T F F T
��
412
Additional Exercises
�
�
� � � � �� � �� � �� � � ��
F F F F F F F T T F T F
F F F T F F F T T F T T
F F T F F F F T F T F F
F F T T F F F T F T T T
F T F F F F T T T F T F
F T F T F F T T T F T T
F T T F F F T T F T F F
F T T T F F T T F T T T
T F F F T F F T T F T F
T F F T T F F T T F T T
T F T F T F F T F T F F
T F T T T F F T F T T T
T T F F T T T T T F T F
T T F T T T T T T F T T
T T T F T T T F F T F F
T T T T T T T T F T T T
Exercise 1.24 (page 44) �
�
� � � � � �
F F F F T F
F T F T F T
T F T T T F
T T T F F T
Exercise 1.25 (page 46)
�� � � ��� � �� �� ����� � � ����� ��� � �������������
�
� � � � �� � � � �
F F F F T F F F
F T F T T F T T
T F T T F T F F
T T T T F T F T
�� �� � �� � ��� � �� �� � �������������
�
� � �� � � � � � �� � � �
F F F F F F T F F F
F T F F T F F F T T
T F T F F F F T T F
T T T T T F F T T T
413
Temporal Properties
�� ��� ��� � �� �� � ����� �
�
�
�
�� �� � � �� � � �
F F T T F T T F
T T F F T T F T
�� ��� �� � � �� ������� � ����� �� � ������������
�
�
� � �� � � � � �
F F F T F F F
F T F T T F F
T F T F F T T
T T T T T T T
�� �� �� � �� �� � ����� �
�
�
� � � � �� � ��
F F F T F T F
F T F T T F F
T F T T F T T
T T T T T T T
Exercise 1.26 (page 47)
��� ������� �� � ���� ����� �� ����� ����� �����������
�
Pressure Height Land � � �
F F F T T T
F F T T T T
F T F F �T� F
F T T T T T
T F F F �T� F
T F T T T T
T T F F F F
T T T T T T
��� ����� � ������������ ��� ������� ������ ��� �� �� ��������� �
��� ����� � ������������ ��� ���� ���������� �� ����� ��� ��������������
� ��� ����� ��������� ����� ���� ���� � ��!����� ���� ����� �� � ���
� ����������� �� ��� ����� ��� ���� ��� � ��� ���� ���� ������
"����� ��� ����# � ��� � ��� ��������� �� ��� ���� ����� �
����� ����# ��� ��� ���� ���� ��� �������������� ��� ����� ��� �����
���������� �� ������
414
Additional Exercises
Exercise 1.27 (page 50)
�� � � ��� � ��
� �� � ��� � �� � �� ��������������
� false � �� � �� �� ������ �������
� �� � �� � false �������������
� � � � ����������
�� ��� � ��
� ���� � �� �������������
� ��� � �� ��� �������
� � � �� ������� ���������
�� � � �� � ��
� �� � �� � �� �������������
� ��� � ��� � �� � �� �������������
� ��� � �� � ��� � �� ������������� ������������
� ��� �� � ��� �� �������������
�� � � �� � ��
� �� � �� � �� �������������
� ��� � �� � ��� � �� ��������������
� ��� �� � ��� �� �������������
�� �� � �� � �
� ��� � �� � � �������������
� ��� � ��� � � ��� �������
� ��� � ��� � �� � �� �������������
� ��� � �� � ��� � �� ������������� ������������
� ��� �� � �� � �� �������������
� �� � �� � �
� ��� � �� � � �������������
� ��� � ��� � � ��� �������
� ��� � �� � ��� � �� ��������������
� ��� �� � �� � �� �������������
415
Temporal Properties
Chapter 2
Exercise 2.1 (page 59)
�� � �� �� �� � ��
�� ����� � ������ � ����� � ������� ��
�� �������� �� ������� ��� ��� �� ��� � �����
��� �� ���� ������� �!���� ������� "��� ��
#� ���� ����� � $��� %�&�' � (��� )����
������ *������ "��+ ������� *���� ����� ��
Exercise 2.2 (page 60)
�� � �� #� ,� -� �. ��
�� � �� � ��
Exercise 2.3 (page 60)
�� � ��� � �� ���� !��� � ��� # �� ����
Exercise 2.4 (page 60)
� / � ��� � / ��
Exercise 2.5 (page 62)
� � ���� !��� � ��� � �� ����
Exercise 2.7 (page 65)
0� � � �� ��� ' �1������ �� � ! !���� ��� � �� �� !��+� +����� '
���� ������ ! ��� ��� ���� � �� ��
��� � �� ����� � 2��'��� � � �� � ��! ��� ���� ���� � �� � ��
� � �3 ��+ ! 4��! ���� � �� �� ��� ��2� ��� ���� � �� ��
Exercise 2.15 (page 69)
�� 5�� ������� � �2�+�� �� ����� ����
�� � � � / � �� �� 6 ��
�� 7� � �8 � � / � �� �� ,� �� -� 6 ��
�� � � 7� � �8 / � �� �� �� 6 ��
#� 7� � �8 � � / � �� �� # ��
�� 7� � �8 � � / � ,� - ��
416
Additional Exercises
�
�
�� �
��
��
��
�
�� ��� ���� ���� ��� ��� ��� �������� ����
Exercise 2.16 (page 69)
��� ��� ��� ���� ��� ���� �� ����! �"��� #��#�������
�� $� � � �% �"�� � �� & � ��� � �� & ��
� $� � � �% �"�� � � ��
�� � & ��
�� $� � � � ��� � � �% �"�� � � � � ��
�� $� � � � ��� � � �% �"�� � � � � ��
Exercise 2.17 (page 71)
'����� � & (����)% � & �))�% � & *��% � & +"���� ��� � & ,��% -� ��
� .�� � � � � �/
& � �
�� � �� � �� � �� � �� �
�� � � �� � � �� � � �� � �
�� � � �� � � �� � �
�� � � �� � � �� � �
�� � � � �� � � � �� � � �
�� � � � �� � � � �� � � �
�� � � � �� � � � �� � � � �� � � �
�� � � � � �� � � � � �� � � � �
�� � � � � �� � � � �
�� � � � � � �
*��� �#���0��))!% �"��� ��� �"� ��))�-�� ��1�����
417
Temporal Properties
� ��� ������ �� �� �������� �� ����� �����
� ��� �������� ������� ��� ��� ��� ������� � �� �����
� ��� ������� �� ��� �������� ��� ��� ��� �����
� ��� ������� �� ���� �������� ��� ��� ��� ��� ���� �����
� ��� ������� �� ���� �������� ��� ��� ��� ������� ���� ����� ���
� ��� ������ �� ��� �������� �� ���� ��� �������
Exercise 2.18 (page 71)
�� � � � �� � � � � ������� � ��������
�� � � � �� � � �� ��� � ������� � ���������
�� � � � �� ���� � � �� � ��� �� � �� ��� �
�������� � ���������
Exercise 2.19 (page 71)
� �� � � � � ��� � �� � � � � � � � ��
Exercise 2.20 (page 73)
���� �� � � ���
���� �� � ��
��� ��� �� ���� �� �������!���� ���� ���� ��� ���� �� �����"
������ �� ���� �� ������!���� ���� ���� ��� �� ������ �� �����
Exercise 2.23 (page 75)
�� �� # �� �� � ��# ��� ��� ��� �� ��� �� �� � ��� ����
Exercise 2.24 (page 76)
$������ �� �������� ���� �� ������%
Love � �� ��� �� ������ �� ���� ���� �������
Police � �� ��� �� �������� �� �� �����
Sup � �� ��� �� ������ �� ��� �� ��� ���&�
Long � �� ��� �� ����!���� �������
Poet � �� ��� �� ������
NoPrison � �� ��� �� ������ �� ��� ����� ���� �� ������
Cousin � �� ��� �� ������ �� ��� ���&�
'� ����� ����� ���������� ��� ��������� �� �� �������� ��� ��������%
�� Police � Sup�
418
Additional Exercises
�� Long � Poet�
�� ���� � NoPrison�
�� Cousin � Love�
� Poet � Police�
� Sup � Cousin�
�� NoPrison � Long�
� ��� �� � ������� ���� ���� � ����� ���� ��� ���� ���� ���� ��� �
���� ������� �� ��������
���� � NoPrison ��� � �
!��� ���� � Long ��� �� NoPrison � Long �
!��� ���� � Poet ��� �� Long � Poet �
!��� ���� � Police ��� � Poet � Police �
!��� ���� � Sup ��� "� Police � Sup �
!��� ���� � Cousin ��� � Sup � Cousin �
!��� ���� � Love ��� �� Cousin � Love �
!� ���� ��� �� �� ���������� ���� � ���#��� ��#���� ����# �� ���� �
���� � ��� � ���� ���� ���� ��� ���# ���$% � �� � &� �% � �� � &���� ���
�� ���� � ��% � ��&� ���� ��$ ���'% ��� � �� � ������ �� �� ���'�
Exercise 2.25 (page 77)
( � � ����� ��$ �� � � �� ��� ���� �� � ��$ �� � � �� ��� ����#���� & $����� �
��$ �� � � �� � �&�� � & $���� ��� � ��$ �� � � �� ���� & $���� ��� ���
����# � �$������ � !� � �� &$ ��� � � ��� �
� � �� � �� ) �� ��� � � �
����� �$ $ * �� � �� �� ��������# + �� ���#$���
� �
�
��
,� �� �� �$ �$�� ���� ���� �� ���� ��� ����# � �$������ � �� � ���� �����
� ����#���� �� � � ��� � �� � �&�� � �� � � % ��� �� � �&�� � & $����
���� �� ���� ����� ����� ����# � �$������ �
419
Temporal Properties
��
�
� � �� � �� � �� ��� � �� � ��
��
�
� � �� � �� � �� ��� � �� � ��
������ ��� �� ������� ��� �������� ���
Exercise 2.26 (page 77)
�� ����� ��� ������� � �� ��������
� ��� � � ��� �� ���� �� �����
� � ���� �
� � �� ��
��� ��� ������� � ��� ������ � ��!� ���� � � � " � � ��� ���� � �������
� ��� ������ � ��!� ���� � � � # � ����� �������� ��� ����� �� $! ���
�$�%� �� ������� &���%��' ��� �� ������ �� ��� ������ � ��!� ����
� � � # �' ����� �� �� ( ���������!) ����� �� $! ��� �$�%� �� �������
��� ������ � �� ���� �� %����' �� ��� �$�%� �� ������� �������� �
��� ���*������� �� ��� ������ �� ����� ��! ���� $� �� �� ����� ��� ��
���� � !�� ��� � �������� ���� �� �����
Exercise 2.27 (page 80)
��� ��� �� �������� ��� �������� � ������ ��
Exercise 2.28 (page 80)
� � (� ��) # (� � �) � (� � �) ����������� �� �
# � � (� ��) ��������� �� �
# (� � �) � � ���������� �� �
# � � � ������ �� �� �
420
Additional Exercises
Exercise 2.29 (page 81)
� �� ����������� �� ����� ��� ��� ������� �� � �� � � �
� ���
� ����� � � � � � ��� � � �� ��� ���� �� � � � � ��
� ���� ���� �� � � � � �� ��� �� � � � � ��
Exercise 2.30 (page 83)
�� � � � ��� ��� ���� ��� � � ��
� � � � ��� ��� ���� ��� �� � �� � �� � ���
Exercise 2.31 (page 83)
!� ��� ��"#��� $������ �� ��%
��� � �� � � � ��
��� � �� � ��� ��� ���� ��� � � � � � ���� ��% ��$ ��� �� &������ �����'
� � � � ��� ���� &� $�� �� � � ��� � � � ��� ��� �� ��$����� ��
�� ���� ������� �� %���� %� ��� ��� � �� ��
��� �$�&�� �$���� �$� �� ���� � $������ �� ������� �� �� � (
��������� �� �� � ��$$�� ��% ��$ ��� ��$$��������� � �� ���� ��% ��$
�$���������� %� )$� �� ����� �� ��% &� ������� &�� �����'
� � � � ��� � ���
�$�������� � � � ��� � � �� ��� �*�$������ ��� � ��� �� � � ��� F
���� $��� � �� �����%��� ���� ��% ��$ ���'
� � � ��� ��� ���� ��� � � � � �
Chapter 3
Exercise 3.3 (page 89)
� �� �$������$%�$�� �� � &� ������� �$������ �� ���� �� ���� ��%� �����
��$ ��$� �� &������ �� ����� �� �� � ��� � +�$ �*� ���� � �$��� ��
�� )$� ,��$�&���� ��%
�- ���� � ��-��� ��-�
�� $��� %� ���� ���� ��� �� �&��� ��)���� - ��� � � ����. �� �����%���
���� �/������ �$� $�� ���� ��$ ���� �� �� ���� �� &������� �� ����� ��$
�� � ��� �'
421
Temporal Properties
� � ����� � ������ ����� � � ����� � ������ �����
� � ����� � ������ ����� � � ����� � ������ �����
� � ����� � ������ ����� � � ����� � ������ �����
� � ����� � ������ ����� � � ����� � ������ �����
�� �� �� �� �� ���
Exercise 3.9 (page 92)
� �� ��� � � ��� ����� �� ��� � � ��� ������ �� �� ����� ��
��!���� ����� "�# ���� ���� �� � ��
$�� ��� �� � ����� � � �� �� ��%���� �� &�' ������ "�(��
)� ������� % !���� '� �� �%� �� �� �� �� �� ����� �� ��!�*
��� ����� � �� �����'�+
�� � �� � � �������� �� � ��� � �������
� � � �� ������ � � � �� �����
� � ��� ��� � � ��� ��
Exercise 3.10 (page 93)
�� ��� � ���
��� � ��� � ������ �� ��� ������� �����������
� ��� � ��
� � ��� � ��
� ������� ���� ������
� ��� � �
�� ��� �� ������
���� ������
�� )���� ���� �� � � �� � �� �� � � � �
� � �� ���
�� � ��� � �� ��� �� ������� �����
� ���� � �� �������
� ���� � �� ������ ���� �
� ��� � �� �������
� �� ��� �� ������� �����
����� ' �� )����!� �� �� ' ��% ���� ����� "�, ���� � � ��
"� �� �� � � � ��� �� � �� � � �
� � ������ � � � � � � � �� �� � � ��
$� � � ��� ����� �-� � �� � � � ��� � � ��
.� �� � � � ��� �� � � �� ���� � � ��� � �� � ��
� � ����
��%����� � � � ��� � �
�� ��� ��� �� ��� ��/ �- � � �� �� ����
�� � �� ' -� ���� � � ��
� � ��� � �� � �
�� � ��
422
Additional Exercises
Exercise 3.11 (page 94)
���������������
��
� �������������
�� � �� � �� �� ��� � ��� ��� � � ��
�� � �� � � ��� � � � � ��
�� � � � �� �� ���� �� � � ������������ �� �� ��
Exercise 3.14 (page 99)
�� � � �� ���������� �� � �� ���� � �� ���� ���� ���� ����
�� � � �� � �������
!�� ����"� �� ��� �� ��� � ����#�
�
�
� � �� �
Exercise 3.15 (page 99)
�� � � �� ��� ��� �� ����� #� � $������ �� �� � �� �� ������ �
$�"�� #���� �� ����" ��
�
�
�
�
�
�
��
�� �� ��� ���"� � �� �� ������ � �� %�� $�"�� �� ����������� ����
&����� �����������
� � � � � � � �
� � �� ' ' ' � � � � ' ' '
� � � ' ' � � ' � ' � ' �
� � � � � ' � ' ' � ' � ' ' '
� � � � � ' � � ' ' ' � ' ' '
� � � � ' ' � � � � ' � �
� � �� � ' � � ' � ' � ' �
� � � � � � ' ' � � � ' � �
� � � ' ' � � � � �
423
Temporal Properties
Exercise 3.16 (page 99)
��� ������ � �� �� ������ � ����� �� ��� ������ � � ���� � � ���
���� �� �� ������� ��� �� �� ��������� � � � ������ ��� ������
�� ��� ��������� ��� !������ ����� ���� ���� � ����� ������������
�
�
�
�
� � ���� � � ��
�
�
�
�
� � ������
Exercise 3.17 (page 102)
"# � "" � $%
Chapter 4
Exercise 4.2 (page 111)
% �� & ������� � � �� � � & � �� ���� �
� � � � � � �'� �(� �"� )� "� (� '� � � � ��
" �� & ����������� � � � " �
* �� & ��� ������� � � � ���� � ������� ������
� ���� ������ ����� ����� ��
( �� & ����� �� � � � � ��� �� � � �� & � � � � �
$ �� & ���� $� �� � � � �� �� � �� & � $ � � �
� � � � � � ��*� "�� ��"� *�� ��%� (��
�)� $�� �%� '�� �"� +�� �*� ,�� � � � ��
Exercise 4.5 (page 115)
% �� ������� � � ��� � ��� ��
�
" �� ������� � ��� �� � � ���
�
* �� ���� ��� � ��� �� � ����
�
Exercise 4.7 (page 117)
% ����� ���� � ��� ����
�
" ������������� �� � ��������� �� � ��� ����
�
424
Additional Exercises
�� �� �� �� ������������� �� � ���� � ���������� �� � ����
��
�� �� ����� ���� �� � �� ����� ���� �� � ���� ���� �� �
��
�� �� ������� ��� �� �
�� �� ����� ���� �� � ���� ���� �� � �� ���� �� ���
Exercise 4.8 (page 117)
� �� �� �� � ���� �� ��������� ����
��������� � � �����
�
��� ���� ��� ��� ���� ��� �� � ��� �� �� ��� ���
� ���������� �� � ���� �� ��������� ����
������������ �������� �� �
��� ����� �������� ���
��� ���� ��� ��� ���� � ��� �� � �� �� �� ��� �� � ��
�� �� ��� �� �
��� ���� �� �� ������ ��� ������ � �� � �� �� �� ��� ������
����� ����� !��� � �� �� ���� ��� ��� ���� �� ��� ��� ��� ���"
������� ��� ������ ������ �� �� ��� ��# ��� �� ��� ���� � �� �
�� �� �� ��� �� �� �� ������ �������
Exercise 4.9 (page 120)
$� �%� �� ������ �� � � ����� �� �
&� ����� ������ ��� � � ����� ���
� �%�� �� ������ ��� � � ����� ��� � �� �� �� ��
Exercise 4.10 (page 121)
$� �������������� �� ������������ � '� ���� ���(�
)�� ������� �� �*��
��� ����������������
�*� ����������������
��� ���������������
&� �� ������� � ������ � �� ������ � '� �� ���( ��� ������ �
'� �� � ����(�
)�� ������� �� ����
��� ��� ������� � ������ ��
425
Temporal Properties
��� �� �������� � �������� ��
��� �� �������� � �������� ��
�� �� �������� ��� � ������ �� �� ������ ��� � � ��
�� ���������� ��� ������ � � ��� ������
��� ������� �� ����
��� �� ������� ��� � ������� ��
��� �� ������� ��� � ������ ��
��� �� �������� ��� � ������� ��
Exercise 4.12 (page 125)
�� �������� �� � � ���� ��� �� � ������ �� �������� �� � �� ��
�����
� ������� � ����� ������ � ! �� ���������� ���
������ � �� ���� �� ������� � ! �� �� �������� ���
"� #����� ����$��� �� �$�������� �� �� $�% � ��������
�� ��%��� ������% ��� � ��� �� ��%���� &����� � ����% ����'
�������� ��� �� �� �� ���$����� �� ������� ����� �����
"�� ����$�� �� �� ������ (�� )�$��� ����� *��� ���% ����
����� ��� ��%�� �� ���� +�� ���������� +�� �$����, �� ���
�������� � ��$�� �� ���� ��� � ���������� �� �����
-� ������ � ����� ������� � ! �� ���������� ���
������� � �� ���� �� ������ � ! �� ���������� ���
"�� ����$�� �� ������ " ��$�� �� � ����$�� ��%� ��� ��
�� ��$ ����� . "��� ��% . �� ���� ��%���%� "�� $��� ���
� ���������� �� � ����$�� $��� � ��� �� ���! ��%���% ��
���� �% ��$��� �� ���������� �% "����
Exercise 4.13 (page 127)
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
426
Additional Exercises
Chapter 5
Exercise 5.2 (page 134)
Fact 15.14
� �� � � � � � � � � � ��
Proof: ������ ���� � � � � � � ���� ��� ���� � � � � � � ��
��� ����� ���� � ���� ��� ���� � � � ��� � � ��
�� �������� � � � ����� �� ��� ��������� �� ��� ��� ��������� � � ��
� ������ �� ��������� ������� � � � ��� � ��� ���� � � �� ����� � � ��
�� �� ���� ���� ��� ���� ���� � � � � �� ������ �� ��� ����������� � � ��
�� ���� ���� ���� ���� � � ��
�� ����� ���� � � � �� ���� �������� �
Exercise 5.3 (page 136)
Fact: �� � ��� � ��� ���� ��� ���� ���� ���� �� �� �� ��� ���� ���
Proof: ������ ���� � ��� � ��� ��� ���� ����
�� ��� ���� �� �� ��� ���� ���� ���� �� ���� ���
��� � ! "�#$ ��� � ! "#$ ��� ���� ���� ��� � ��� �
����� �� ! %"�#$&%"#$& ! '� # "�# " # $
! "%"� # �# & # $
! "#$ ��� ��� ���� �� ! "� # �# �
��������� �� �� �� ��� ���� ��� �
Exercise 5.5 (page 138)
�� ��� ��� �� ��� �� ��� �� � ������ �� ��������� �� (� ���� ���� ������ ������
�� ��������� �� (�
� �� ��� �� ��� �� ��� �� ') �� '#) ! *� ���� �� ��������� �� ( �� ��
����� ������� ') ������ �� ��������� �� (�
� �� ��� �� ��� �� ��� �� * +(* +)( �� *#+#(#*#+#)#( ! ')� ���� ��
��������� �� ( �� �� ����� ������� * +(* +)( ������ �� ��������� �� (�
Exercise 5.9 (page 141)
Fact: ���� �� �� �������� �������� �������� �������
427
Temporal Properties
Proof: ������ �� ��� ����� ���� � � � �� ��� �������� ������� ������
��� � � ��� �� � �������� ������� ����� ���� �� ������� ��� ��
��������� ��� ��������� ���� � �� ��� �������� ��� ������
��� ����� ��� �� � �������� �������� ������� ������ �
Exercise 5.10 (page 142)
Fact: ���� ������ ������� ��� � � �� ������ �� � ������ �� �����
�������
Proof: ������ �� ��� ����� ���� �� ��� ������� ������� ��� � � ��
������ �� � ������ �� ����� �������
�� � �� ��� �������� ��� ������! ����� ���� ������� ������ �������
��� � � �� ������ �� � ������ �� �������
" ���������� � ��� �� ������ �� � � �� ����� � �� � ��� ���
������� ������� ������� ��� ��
#�� � �� � ��� ������� ��� �� ��� ���� ���������� ��� �� �
������ �� �������
"�� ��� � ���� �� � ������ �� ������ �� ����� ���� ��� ������
�� ����� ������ ��$�� �� � �� �� ��������� ��� ��%���� �� ��
��� ���� ������ ������� ��� � � �� ������ �� � ������ �� �����
������� �
Exercise 5.13 (page 145)
Fact: &� � �� � ��� ������� �� �� �� ���� ��� ������ � �� ��� �� � �� ����
Proof: ������ ���� � �� � ��� ������� �� ���� �� �� ���� ���� ���
�� � �� ��� ���� ������ ��
#������ ���� � �� ���! ���� ��� ������� ���� � � ��'� ��� ���� ������ ��
��� �� � (��'�)� � ��� ' �! �� ��� �� � ��� ���� ���� ����
�� � ���' �� �� ���� ���� � � ��� ��� � �(�� ��)�
#�� �� �� �� � ������� ���� ���� ���� � ���� �� ����
����� �� � �� ��� ���� ��� � ���� �� ���! ���� ��� ������ � �� � �� ����
428
Additional Exercises
Exercise 5.14 (page 146)
Fact: �� � � � ���� ������ � �� � � � � �
Proof: ��� �� ���� � � �
� ���� ���� � � �� ���� ��� ���� �� �� ��� ��� ���� ���� � �� �
���� ����� � � �� �� � �� ���� ���� � � �
�� �� ������ � �� �� � � � �
Exercise 5.15 (page 147)
Fact: �� ���� � ����� � ��� �� ��� �� � ���� ���
Proof: ����� ��� �� � ������ �� ��� ��� �� ���� � ��� ��� � ����������
���� ��� � ���
� ����� � ��� � ���� ��� ���� ���� ! ���� ��� ���� ��� ��� ����������
"��� ������� ���� � �# �� � $% � ���� ��� ��� ���������
� � � ��� � ���� ������ ����� ! ���� ��� �� �� ���������� ��� ���
���� �� ��������
&� ����� ������� ����� �� ����� �� � ��
� �� � ��� � ���� ��� ���� ����� ���� ��� �� � ���� ��� � ���� ���
� �� � ��� � ���� ������ ������ ���� ��� �� � ��� � ��� � ���� ���
�� ������ ����� ��� ��� �� �� �� � �
Exercise 5.16 (page 147)
Fact: �� � �� �� �������� ���� ��� '��� ����� � �� �� $� (� )� *� + � ,
Proof: &� ��� ���� ���� �� ����-��� ��� ��� ������ ��� ����� ��.
������� � ��� '��� ����� � �/
� �� ��� '��� ����� � � �� $� ���� ��� '��� ����� � �� ���� �� $
� �� ��� '��� ����� � � �� ( � ,� ���� ��� '��� ����� � �� ���� �� (
� �� ��� '��� ����� � � �� 0 � 1� ���� ��� '��� ����� � �� ���� �� )
� �� ��� '��� ����� � � �� 2 � 3� ���� ��� '��� ����� � �� ���� �� ,
� �� ��� '��� ����� � � �� ) � +� ���� ��� '��� ����� � �� ���� �� +
� �� ��� '��� ����� � � �� *� ���� ��� '��� ����� � �� ���� �� *
���� �4�� ��� ��� ������������ �� ��� '��� ����� � �� ��� ����� ��� ��� ��
� �� �� �� � �
429
Temporal Properties
Exercise 5.17 (page 147)
������ ���� �� � ��� �� �� ���� � �� ��� � �� � ��� ���� ���� � �
�� � � �� ��� ���� ���� �� �� ������� �����
Exercise 5.18 (page 149)
Fact: �� � ��� � � � �� ������� ��� � � � � ��
Proof: ��� ���� � ��� � � � �� �������� ���� ��� ��������� �
�� �� ��� ���� � � � � �! ���� �� ���� ��� ��� �� �� � � � � � ���
� � �"
�� #� � � � � � � � �$�%� ��� ��� �� � � �� ��������� ����
%� ��� ���� � � � � � � � � �� � ��� ���� � � � � � ���
��� ���� ��� �������� ���� � � ����� ��� ���� � � � � �! ���� �� ���� � � � ��� � � ������ � ��� � �� �� ������� #���� � ���� �� �� ����������$ ���
� � �� � ��� �� ���� � �� � � ��&�� ��� � � �� � �� � � � ��� � ��� �� ���� � � �� �
Exercise 5.19 (page 151)
Fact: ���' � � # �#�()$ � � $�
Proof: *� � � ' � ���������� ��� �� � � )+
� ) (
)(,�
��
%�� �#�()$ � )+
� ) (
)(,�
� �)+
� ) (
)(,�
�( )
�
� ),
�)(,� )
��)(,�( )
�
� ),
�#)(,�$ )
�� )
,#,�$ � � �
-�� ��� ��� ��� �� � ��� ����. /� � ��'� � ���� � ��� �
�������� �#�()$ � �� �� �� ���� ����� �� 0������� ��� �������� ���
�������� � ������� � �� �� ��������� �������
�� ( � � � '�
%� ��������� ������� ��� � ���� �� ��� ��� ��� � ����� �� ���
������� ��
� � ) � ) ( ,�
+ �
430
Additional Exercises
���� ��� �� ��� ��� ���� �� �� � �� � ���� ���� ������
� � ��
�� � �
�����
��
Exercise 5.20 (page 152)
Fact: ���� ��� �����
�� ��� ��� � �������
Proof: ��� ������ ���� ��� �����
��
��� � ��� ����� ��� ��� ��� �� �� � ����� �� � ��� � ��� ��� �� ���� ����
– !� � ��� ���� ��� ��� ���� ��� �� ��� ��� � �������– !� ���� ���� ��� ������� ��� �� ��� ��� � �������
!� � ��� "��� ��� ��� � ���������� ������ ��� ��� � ���������� � ��� ��� ��� ���� �� ������ ����– !� ��� ��� ���� ��� � ��� ��� ��� ��� ����� �� �� � �� � ��� ����� ���� ��� � ��
�� ��� �����
��
– !� ������ ���� ��� ���� ��� ��� ��� ����� �� �� � �� � ��� ����� ���� ��� � ��
�� ��� �����
��
��� � � ��� "��� ���� ��� �����
�� �
Exercise 5.22 (page 153)
Fact: ���� � �� ��� �� � �" ���� ��� ����� �� �� � � � � ��
Proof: �� �� �# ���"� �� �" � ��� �� ���� ���� ��� �� ����� ��
� "������ � �� �� ��� ��������� � � � � � � ��� ����� �� ��
�� �� ��� � �� ���� �� � � � ��������� ���� ��� ���
�� � �� $� � ��������% � ���� "����� ��& �' � � �� � ���� ���� � � � �� (�� ��� � � � � � � �� �
Chapter 6
Exercise 6.2 (page 158)
�� range�score� � �)� *�� *+� )�� ),� -*� -,� ,,� +�� �.. ��� score��� � � / � -.��
431
Temporal Properties
Exercise 6.3 (page 158)
�� ������ �� � ������ �� � ��� ������ ��� ��� ��� ����� ��� ��������
���� ������
�� ����� �� �� � ������ �� ������ �� � �� ������ �� ����
�� ��� �� �� � ������ �� � ������ ��� �� � ��� ������ �� ��������
�� ����������� �� �� � ������ �� � ������ ��� �� � �� ��������
Exercise 6.4 (page 160)
graph��� � � ��� ��� ��� ��� ��� �� ��
Exercise 6.5 (page 161)
�� �� ������ score �� �� ��������� ��! ��� �������! score�"������� �
score�#��$���� %���! score�& ���� � score�'���������
�� �� ������ � ( � � � ��)��� �� ���� � �� �� �� ��������� ��! ���
�������! ����� � ����� �*� ��! ���� � ����� ��� ��� ���� � � ���
�� �� ������ � ( � � � ��)��� �� ���� � ���� ����������
Exercise 6.6 (page 161)
�� �� ������ score �� �� ��� ��! ��� �������! �� ��� ��� ����� +�
�� �� ������ � ( � � � ��)��� �� ���� � �� �� �� ��� �� ���� � +
��� ��� � � � ��! ��� �������! ��� �� � � � �� �� �� � �� � ���
�� �� ������ � ( � � � ��)��� �� ���� � �� �� �� ��� ��! ���
�������! ��� �� � � � �� �� �� � �� � ��
Exercise 6.7 (page 161)
� �� �� ��������� �� �� ���! �� ���� �� �� ������ �� �� �������
��� ���� ������ ���� �� ��� ���� �� �� �� �� ����� �� ��
�������
� �� �� ��� �� �� ���������! �� �� ���� �� ������� �� �� ������
��� �� ��� ���� �������� � �� ���� ������ �� �� �������
��� ������ �� �� ���� ���������
� �� �� �� ���������! �� � ���� �� ������� �� �� ������ ��� )��
�� �������� � �� ���� ������ �� �� ������� ��� ���� ������
���� �� ���, ��� �� �� ���! �� ���� �� �� ������ �� �� �������
��� ����� ������ ���� �� ��� ���� �� �� �� �� ����� �� ��
�������
� �� �� ��� ��������� ��� ���!
432
Additional Exercises
Exercise 6.8 (page 163)
� � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � �
Exercise 6.9 (page 164)
� Æ �
�
�
�
�
�
�
�
�
� Æ �
�
�
�
�
�
�
�
�
Exercise 6.10 (page 165)
�� � � �� � � � � � � � ��� ��� ��������� ��� ���� ��� ��� ������
�� � ���� ���������� � � � �� � �� ��� �������� � � ������� ����
� ��� � � ������� ������ � �� � �� �� � ��������
Exercise 6.11 (page 165)
!�� � � � � �� ������� "� ��� �#���� �� ��� �$���� �� � ��������
%�#���� ��& �'�(� ����� �� ��������� ) ��� �� � ) ����� *��� � ��
��������� ���� ���� ���� ) �� +��� ��������� ) � ��� �� � � �, ����
��� ��� Æ � ) id��
!�� � � � � �� ������� -(�� � %�#���� ��&� �� ��������� ) � ���
� ) �� +��� ��������� ) � ��� �� � � �, ���� ��� � Æ ��� ) id��
Exercise 6.12 (page 166)�� Æ �� Æ ��
�� � ) �
��� Æ ��� �
�) �
����� ��
�
) �� Æ ����� �� )��� Æ �� Æ �
�� ��
Exercise 6.14 (page 170)
������ )
���
����� �� � �,
���� �� � � �
433
Temporal Properties
Exercise 6.15 (page 170)
���� � � � Æ ��� ���� �� ������ ���� �� ���������� �� �� � ���������
Exercise 6.16 (page 172)
����� ��� �������� � � � � �� ��� �� !"� ���# ��� ������� � � � � �
��$��� ��
�%�& �
�����������������
�� �� � � �
���� �'
�� �� � � � �� ���
����'
�� �� � � � �� ����
�� � ���������
Exercise 6.17 (page 173)
(������� ��� �"� ��� � � ��
� )� � � ���� �� ��$������ �� � �� �%�& �� �� �%�&�
� )� � �� ���� �� ��$������ �� � � �%�& �� ����� �� �%�&�
*� ���� ���� ���� �� �%�& ��� ����� � � � ���� �� � ����� �� �����
Exercise 6.18 (page 174)
+�� � � �� ' � ��� "�� � � %&� %& �� ��$��� ���
�%& � �%� � �& � � � � ��� �%� ' �& � �%& � � ' ��
��� ������� ��� ��� �'� ��� "���"� $��� !����� �� � ��� ��� ��� ��"� $���
!����� �� � � ,� ��� �� �'� ��� �'� �� ��� ����� ��� ������� �������� ���
"���� $��� !������
Exercise 6.20 (page 176)
�� )� � � ����
�%& � � � � � ��-' � � � �
� � � � � ��-' � � � � � � �%� &�
'� �%& � � � � �%�& � � � � �
��%& � � �� ' � ��%�& � � � �� . �
��%& � � �� '� / � ��%�& � � � �� .� # �
������
��%& � � �� '� � � � � '��' � ��%�& � � � �� .� � � � � '��� �
434
Additional Exercises
�� L � G � � �� �� �� �� � � � ��
Chapter 7
Exercise 7.1 (page 180)
�� � � � � � �������� � �� ������ �� ���� ������� �
� � ���� ���� ��� ��
�� � � � � � �������� � �� ������� �� ��� ����� �
� � ���� ���� ��� ��
Exercise 7.3 (page 183)
�� �� � � ����� � �����! "�� # $!
����� � �����! %�&� ������$!
����� � �����! ' & (��� ��)� %���$!
��� �*� ��+����! (� ,�� -�.����/� ������ ���)���$!
����� � �����! "��0 � � 1�� 2 ��)��$!
�3 *�� - ��! %�� �4� 5� � )� -�$!
�3 *�� - ��! - ���6��$!
�3 *�� - ��! 2 � ' &� 7��� (���$!
����� � �����! #�)�� ��� #�)�� 1*���$!
�3 *�� - ��! (�� 4&���$!
�3 *�� - ��! 1 8�� � � 9���$!
�%�0 ��� "��� �! %�� ��)��* "����*���$!
�%�0 ��� "��� �! ������� � 9���$!
�:����� ;� ����! � � �� 7��$!
�:����� ;� ����! % 0 �� #�)�� "���$!
�:����� ;� ����! %�� 5 �� <� # � 7� &*�$!
�:����� ;� ����! "�� 1� ���� "��$!
�"����� ����*! ����� 3 ����$!
�"����� ����*! =&���&0 > � ����$!
�"����� ����*! �6�>���$ ��
Exercise 7.5 (page 184)
������* ��! ��! %"! :;! �� "� ���� > � ���� � �����! �� �*� ��+����!
3 *�� - ��! %�0 ��� "��� �! :����� ;� ���� �� "����� ����*! ���4��?
��)���! ��� ������ ������ � ���� � � ������ > ��� > �� ��* 4����
���� � ��
���! ��$! ���! ��$! ���! 3-$! ���! %"$!
435
Temporal Properties
���� ���� ���� ���� �� ���� �� ����
�� ��� �� ���� �� ���� ���� ����
���� ���� ���� ��� ���� ���� ���� ����
� �� ��� � �� ���� � �� ���� ���� ����
���� ���� ���� �����
��� ������ �������� ��� �� ���������� �� ����� �!
��
��
� �� ��
�� ������ �������� ���������� �������� �� ��� ����� ��" #����!
���������� $����� �� ���� ���� ���� ���
���� ���� ���� ���� �� ����
�� ��� �� ���� �� ����
���� ��� ���� ���� ���� ����
� �� ���� � �� ���� ���� �����
��� ������ �������� ��� �� ���������� �� ����� �!
�� �� � �� ��
Exercise 7.6 (page 185)
��� $��������� %���&'����� �������� (���������
������� %���&'����� ������� (���������
�(���� ������� ������ ������� ��� ��� ��������
436
Additional Exercises
������� ����������� ������ � �������� ����� �
����� ����� � ����� ����� � ������� ��� �
������� ����� � ������� ��� � ������� ����� ��
����� ���������� ������� � ������� ������
��
����� ����������� ������ � �������� ������� �
�������� ����� � ������� ������ �
����� ����� � ������� ��� �
����� ����� � ������� ��� �
������� ����� � ������� ����� ��
��� ����� ������� ��� �� ���������� �� ��������
������
��������� ������
�����
��� ����� �����
�������
Exercise 7.7 (page 187)
� �� � �� � ���
!� �� � �� � ���
"� �� � �� � ���
Exercise 7.8 (page 188)
����� �� � ����� �
Exercise 7.9 (page 189)
� ����� � ������ ������� ��� ����� �� � ������ �� � #���� �
$� �� ���� �� �� ���� ������% �� ����&
����� � � ��������������� � �������������� �
����������� � ������������� � ������������� ��
��� '�� �� #���� ����� ���� �� ��� �� ������� �� � ������ ��
������% ��� �� � #���� �� ������ ��� ������
��� '��� ���� #���� ����� ���� �� ��� �� ������ �� � ������ ��
�����% ��� �� � #���� �� ���% ����� ��� ������
437
Temporal Properties
� ������ � ����� Æ �� �� ������ � �� �� � �����
�� ��� ��� �� ��� ���� ������ �� �����
������ � � �������� ��������� � ������������
�!����������� �������������� ��
"�� #�� ��� ��� ���� ��� ���� ���� ������ � �� �� �������
��� � ��� �� ��������
"�� #��� ����� ��� ��� ���� ��� ���� ���� ���� !�� ��� �����
��� �� �� ������ ��� � ��� �� �������
Exercise 7.10 (page 190)
"� ������ ���� ���� �������� ��� �� "������ $�%�
Exercise 7.11 (page 191)
"�� ������� ����� ��� ��&�'��� � (����� !�)�� � ��� ������� ��
����� � �� �������� � ���� ������ � ���� ��� #��� �� ����� ��� ����
�������� � ��� #�� ����� ������ � ������� #����
"�� ������� ����� ��� ��� ���&�'��� � ��� �� ��� ����� ����� ���
���� ������ *��� +��� ���� ���� � �� ���� ���� ��� ������� � ����
�� ���� ������� �� ����� � ��� ����� ��������
"�� ������� ����� ����� ���&�'�� ���� ��� � ��� ��&�'���� � ��
����� ����� ��� ���� ������ � *��� +��� ����� ������ � *��� +����
Exercise 7.12 (page 191)
"�� ������� ����� ��� �������, ��� �'������ � ������ ��� ���
��-�"�� �� ��� ��� ��� �"���-�� .�� � ����������, ��� �'������ �
������ ��� ��� ��-�(!� ��� �(!��-�� ��� �-��(!�
"�� ������� ����� ����� ��� �������, ��� �'������ � ������ ���
��� ��-�(!� �� ��� ��� ��� �(!��-�� ������� � ����������� ����
��� *��� +��� ������ ��� �� ��� ��� ��� ��� ���� ������ � *��� +���
����� ��� ������
Exercise 7.13 (page 192)
"�� ������� ����� ��� �������, ��� �'������ � ������ ��� ���
�/0��-� ��� ��-�(!�� �� ��� ��� ��� �/0�(!��
"�� ������� ����� ����� �������� � ��� ����� ������ � *��� +���
����� � ����� ������ ��� � ������ ������ � *��� +��� ����� � ����
������ ���� ��� #�� ����� ��� ��������� ���� ������ � *��� +��� �����
��� ���� ������
438
Additional Exercises
Exercise 7.14 (page 192)
��� �������������� ������ ��
� � ���� ���� ��� � ���� ������ ���� �� � ���� ��� �� ����� �
�������
� � ���������� ��� � ���� ������������� �� � ���� ��� �� �
������ � ����� � ������� ��
� ���������� �� � ������ � � ������ �� ���� � �������
��� ������� �� ������ ��
� � ���� ���� ��� � ���� ������ ���� �� � ���� ��� �� ������� �
�����������
� ���������� �� � ������������� �� ��� ���� �� ��� ������� �
�� � ����� ������� � ��� ��
� � ���������� �� �������� � ������� ����� �� ��������� ����
��� ���� � �� ������� � �����������
Exercise 7.18 (page 194)
�� ���� �� � ������� ���� ��� � � ���� ����� �� �� �� � ����������
�������
�� ���� �� � � ������� ���� ��� �� � ������������ � �� ���� � �
���� ����� ��� �� �� � ���������� �������
!� ���� �� � � ������� ���� ��� �� � ������������ � �� ���� � �
���� ����� ��� �� �� � ���������� �������
Exercise 7.19 (page 194)
�� �� � ���������� ������� �� �� �� ������� ���� ��� �� ������ ��"�� ���
��� ���� ������ �� ���������� � ��������� ��� � ��"�� ��� ��� ���� ������
�� � ��� � ��"�� ��� ��� ���� ������ �� � �� ��������� ��� � ��"�� ��� ���
���� ������ �� � �� � ��"�� ��� ��� ���� ������ �� � ��� � ��"�� ��� ���
���� ������ �� � �
�� �� � � ���������� ������� �� �� �� � ��������� ������ �� ��
���� ��� �� ��������� � #� � ������ $���� �� %� ����� ��"� ��� ����
&���������� ������ �� %� �� '��� ����� ��"� ��� ���� '������
������ ����� $���� �� '��� � � ��"� �� � ��� ���� �������
Exercise 7.21 (page 195)
��� (��� ������� � � ��� � ������ � �������) � � � � ) � � � ��
��� ������� ������� � � ��� � ������ � � ���) �� ��
439
Temporal Properties
Exercise 7.23 (page 196)
��� ��������� ��� �� ����� �� �� ��� ��� � �� �� � �� � �� ��
��� � � ��� ��� �� � � ��� �� � � � � ��
��� ��������� ��� �� ����� �� �� ������� ��� � �� �� � �� � �� ��
������� ��� ��� �� � � ��� �� � �� � � � ��
Exercise 7.24 (page 196)
��� ��� �� � ��� � ��� �� �� � � � �� ������ �� ��������� �������
�� � � � � �! � � !� "� �� �# � �$ � � $� %� !& �
�' � � '� !' � �# � � #� �!� ��� !" � �& � � & �
��( � � �(� !( � ��� � � �� � ��$ � � �$ �
��" � � �"� !� � ��' � � �' � ��& � � �& �
��% � � �% � �!� � � !� � �!! � � !! �
�!$ � � !$ � �!# � � !# � �!% � � !% �
Chapter 8
Exercise 8.1 (page 203)
" � � : )� ����� ���* ( � � * �� �� ����� �!�* � � � + �� �� ����� �!�* ! � � +
�� �� ����� �!�* $ � � + �� �� ��� �� ����� �!�* " � � �
"�' �� � : ,��� "�' �� (* ����� � ���� � ����* �� �� ���� �� ���� ��
"�' � � ���- ����� �!�* �� ��� ���- ��� ������� �� $�' � � +
�� �� � ��-��� ������� �� ���� �� ���� ��� �� ��� �������
�� !�' � � + ����� �� ���� �� ���� �� ��� ������� �� ��' � � +
����� �� ���� �� ���� �� ��� ������� �� (�' � � + ����� ��
���� �� ���� �� ��� ������� �� �(�' � � + ����� �� ���� ��
���� �� ��� ������� �� ���' � � + �� ������ �� ������� ����
������� ���� ���� .�� �- �� /* �� �� ���� ���� ���� �� ��
�� ���� ���� � � �
0 ��� ����* �� �� ����� ��� �� �� �� � (� �� !� $� "� � � �� �� �����
������ ��� �� �!� �� �� ���� ��+ �� ���� � �� ���� ����� � ��
�� ��� ��� �� �� ������ ���� ������* � -�� �� � ����� �� ���+
���� ��� �� ���� � �� �� "�'* "�' �� � �
440
Additional Exercises
Exercise 8.2 (page 204)
��� �� ������ �� � �� smallest ��� ������ ��� �� ��� �������� �� ����
��� � �������� ���� ��� ������� ��� ������� ��� ��� � � � ��� ��� � ��
��� ���������� ���� �� ���� �� ���� �� �������� ��� ����
Exercise 8.3 (page 204)
�������� �� �� �������� ��� ������ ��� �� ����������
�� � � ���������
�� �� � � �������� ��� �� � ���������
Exercise 8.4 (page 205)
�!�� � ��� �� �� �������� ��� � ��� ������ ����
�� � � � ���� ���
�� �� � � � ��� � � � ��� � � ��� � � ���
�� �� ��� �� ��� ����� ������ �� �� ��� �� �� ���� �� �� �������� ����
�� � ��� �� �� ���� ��� � �� � ����� ����
Exercise 8.5 (page 207)
����� ����������� �� �������!�� ������ �� �� �������� ��� ������ ���
�� ����������
�� �� �� "� #� $� %� &� '� ( � ����� ������������
�� �� � � ����� ����������� ��� � � �� ����������
��� �� � ����� ������������
Exercise 8.6 (page 208)
�� ��������� �� � )*+ �,������ ��� ������- �� ��������� ������
�� ��. true � false � � ���� � ���
� � � � � � � � �� � � � �� � � �� �
/���� � ���� � ��� �� ��0�� �� ����� �!�� �� ��� �� ���������� ��� ����
!������� ��0�� ���� ��� � �� ��� � �� ��0�� �� ����� �!�� ��� !��������
Exercise 8.7 (page 212)
�� ��������� ���� ��������� ��� � ������ ����� �� ��������� )*+ �,��1
�����
441
Temporal Properties
� � � � ���� ��� ���
����� � ���� � �� ����� ���������� ������ ���� ��� � ��������� ��
������ � ���� ��� �� �� ������� �� �� ������� �� � ��� ��� ���� ��� ����
����������� �� �� ��� ����� ���� ��� ������� ��������� �� � �������
���� ����� ��� �������� ���� ��� ������ ���� ��� ������� ����������������
��������� ��� ���������� �� �� �������� � ���� ���� ��������� �� �����
��� ��� �������� �����������
Exercise 8.8 (page 213)
� �� � �� ! "�# � # � $ ! "� # � #
� �� � �� ! "�" � # � # ! %� # � %
� �� � �� ! "�& � # � % ! '� # � (
� �� � �� ! "�% � # � ( ! )� # � #'
� �� � �� ! "�* � # � #' ! #$� # � "*
� �� � �� ! "�' � # � "* ! #"� # � &'
+� ����� ������ ������ �� �� �� ��� �������� ���� ��� ���
Exercise 8.9 (page 213)
,� ����� ������� �������
�� � ## ! #
" ! #& ! #
% ! #* ! #
' � %("$ � "%*�
-��� ��� �� ��� ������ � �� ���� �� ����� ������� �� �������.
� �� � �� !## � $ ! # � #
� �� � �� !#" � # ! #
" � &" � #*
� �� � �� !#& � &
" !#& � ##
' � #)&&
� �� � �� !#% � ##
' ! #% � "*
#" � "$)&
� �� � �� !#* � "*
#" !#* � #&/
'$ � "")&
� �� � �� !#' � #&/
'$ ! #' � %(
"$ � "%*
Exercise 8.10 (page 214)
0� ��� ����� �� ���� � ��� ���� �� � ������ �� �������� �����
��� ���
��� 1������� ������
� 1�� � ������ �� ��� ����� �� ���� # ��� �� � # ����� �� �� ��� �����
�� ���� " ��� ����� �� � 2��� ��� # ����� 0� ��� ����� �� ���� &�
������ ��� ���� �� � " ������ �� �� ��� ����� �� ���� % ��� ����
�� � & ������
442
Additional Exercises
� �� �������� � � ��� � ��� � ��� ���� ��� ��
� ���� � �
���
����� � ������� �� ��� ���� ��� �� ���� ����� �� ��� �� � � ���
� ��� ���� ������ ����� ���� � ��� ���� �� ��� ���� ��� �� �
� ��� � ��� ���� ������ �����
Exercise 8.11 (page 215)
������ �� � � ���
������ ����� � ����������������
Exercise 8.12 (page 215)
����! "� � �
����� # �� � � � ������
$�� �� �%������
����!&� �� '"� � & � ����!�� '"�
� & � � � ����!'"�
� & � � � ' � ����! "�
� & � � � ' � �
� �(�
Exercise 8.13 (page 215)
! " ���� � ��
�� # �� ���� � � # ��������
Exercise 8.14 (page 216)
���true� � ���false� � �
��� ��� � � � � ��� � ��� � � � � � �
������ � �����
���� � �� � �� �� � �� � ����� �� � �� ��� �� � ����� �� ���
��� �� � �� �� �� � ����� � � �
Exercise 8.15 (page 216)
)� ��*������ ���� � � �� �� ��� � ���� $�� �� ���� ���� ��������
� ����� � ���� �� ��� � ��� � � ��� ��� ���� � � ���� � +� �� ���
����� ,� ��� �� �� ������ ��� � � ��� ��� ���-��� ����� ����� �
������ �� �������� ����� � ����
443
Temporal Properties
� ������ � ��������� � ������ � ���
� ����� � ��������� � ������ � ���
� ����� � ��������� � ����� � ������
� ����� � �������� � ���� � ���
� ����� � ��������� � ����� � ���
� ����� � ��������� � ����� � ���
� ����� � �������� � ����� � ������
� ���� � ������� � ����� � ���
� ���� � �������� � ����� � ���
Exercise 8.16 (page 218)
������� �� � � ��
������� �� �� � �� � �� ��� ���� � � �� � �� ��� � � �������� �� ��
Exercise 8.17 (page 220)
����� � ������� �� � ����� ��� �� ���� �� ��������
�� � ��� !"�� ������ ���� !"� ������ ���� !� !"� ��� ���� #!"������ ��
!"� ����������
� ��� !"� ������� �� ��� ����� ��!!��� �� !�� �� !"� ������! ���� !� �
��$����! ����
%� ��� !"� ������! ���� !� !"� �!"�� ���!� ����
&� ��� !"� ������� �� ��� ����� ��!� !"� ���� "������ !"� ������! �����
'�!� !"� !�� ���(����� ����� �� �!��� ��� &�
)������ �(! �� � !���� �� *�� �����+ !"�� ��(�� ��,(��� %� �������(��
������
Chapter 9
Exercise 9.1 (page 226)
! ��(�� ������ !"�! !"� �(���� �� ������� ��(���� ����� !��� � ��� ���! ��
�����+ �� �! �� !���!��� !� �(��� !"�! % ������� ���� �� ����!�� �� ������!���
- ���!�� � �������+ �(� ��!(�!��� �� �(����!��� !"�! ��� ������� ��� ����!��
�� ������!��� � ���!�+ ����� �� !"� �������� ��!" � � �+ + %+ & ��� .�
444
Additional Exercises
����������� ��� ��� ��������� ���� ���� �� ������ �� ����� ��� ����
��� ��� ��� ��� ��� ���� �� ������ �� ��������� � ������
�� ���� �� ������ ��� �� ����� �� ������ ����� �� ��������� �
����� �� ��� ���� ��� �� ������� ����� ����������� �������
��� ��� � ����
� ���� � � �
!�� ��� ���� ������ ��� ����" #������� ���� �� ��� �� ����
��� $��� �� ������ %��� ��� ��� ���� � �� �� ������ �� ���� ���
������ �� ����� �� ������ �� � ��� ���� �� ����� �� &������ ���
����� ���� �� �� ������� '��� �� ����� �� ������ �� �� ��� ����
�� ���� ����� �� ��� ���� �� �� ���� ����� �� ������������
'� ����� �� ��� ��� ��� ���� ����� � ����� �� �(���)�� ����� ��
$��� �� ����� �� ����� �� �������� ��� ��� ����� ��� �� ��* ��� ��
����� �� ����������� �� �(���)(���)(���)�� ����� �� �� ����� ��
����� �� �������� �� ��� ���������� ��� ��� ���� ������ '� �����
�� ������ ����� �� ����
� ��(���)
� ��(���)(���)(���)
�
����� �����+� �� �� ������ ��,� ���,�
Exercise 9.2 (page 228)
#� ���� ����� ���� �� ���� ���� ���� ���+�� ���� �� +��� �� ���-
��� ��� �� �� ����.� ��� ���� ���� ���� ���� �� +��� �. ������ ���
�� �� �.���� �� ������
� � � � � � � � � � �. / � � � � � � � � � � ��� �� � � �.
/ ����.� � �.
/ �.����� � �
�
/ �.�����
�
/ �.����
Exercise 9.3 (page 228)
0���� 1���� �� ����� �� ��, ������ ��� �� ������� ��������� � ��
��� ����
� / � � � � � � � � � � � � 2 � 34
� �44 � 22 � 2� � � � � � 3� � 3� � 3�
/ �4� � �4� � �4� � � � � � �4� � �4� � �4�
/ 34� �4� / 3434
445
Temporal Properties
���� ��� �� �� ��� ���� ��� �� ������� �� �� ����� �� � ����� �����
���� ���� �� � �� ����
����� ��� �� ������� ����� ��� ��������� ���� ������ ������� �
������� ����� ���� ��� ��� �������� �� � ���� ������ � ��� �����������
� ��� ���� ����� ������� ��� ��� � ��������� �� ! ������
Exercise 9.4 (page 231)
�� "�� � � � �� �� # $� # %� # � � � # �� &
�'�#�('$�#�() �
Proof: *� ������ � ��
Base Case: +� ��� ����
�� # $� # %� # � � � # �� & � &�'�#�('$'�(#�(
) �
Induction Step: +� ���� � ����� ��� ���� ��
�� # $� # %� # � � � # �� &
�'�#�('$�#�() �
� ��� ���� ������� ���������� �� ����� ����
�� # $� # %� # � � � # �� # '�#�(� &
'�#�('�#$('$�#%()
���� ��� �� � ������� ���� �� ��� ����� �� �� ��� ������ ��
���� ��� � & �� ��� �� ��� � �� �� ���� ��� � & �#��
�� # $� # %� # � � � # �� # '�#�(�
&�'�#�('$�#�(
) # '�#�(� ��� �� �� ���� ��������
&'�#�(
)
��'$�#�( # )'�#�(
�
&'�#�(
)
�$�� # ,� # )(
�
&'�#�(
)
�'�#$('$�#%(
�
&'�#�('�#$('$�#%(
) �
$� "�� � � � �� � # % # � # � � � # '$���( & ���
Proof: *� ������ � ��
Base Case: +� ��� ����
� # % # � # � � � # '$'�(��( & � & ���
Induction Step: +� ���� � ����� ��� ���� ��
� # % # � # � � � # '$���( & ���
446
Additional Exercises
��� ���� �� ��� ��� ������� �� ����� ���
� � � � � � � � � ����������
�� �������
��� �� �� ����������� ��� � �� ��������� �� �� ������ �
���� ��� � � �� ��� � ���� ���� �� ���� ��� � � ����
� � � � � � � � � � ���� �� ��������� �
�
� �� �
�������� �
���� ��� ������� ��� �������
� �� � �� � �
� �� � ��� �
�� �� ��� � � !�
��� � ��� � ��" � � � � � ������ ������������
� �
Proof: #� ��� ��� �� ��
Base Case: $� ���� ���
��� � ��� � ��" � � � � � !�!��� � ! �!�!����!���
� �
Induction Step: $� ������ ���� ��� � �� ��
��� � ��� � ��" � � � � � ������ ������������
�
��� ���� �� ��� ��� ������� �� ����� ���
��� � ��� � ��" � � � � � ���������� ����������������
� �
��� �� �� ����������� ��� � �� ��������� �� �� ������ �
���� ��� � � �� ��� � ���� ���� �� ���� ��� � � ����
��� � ��� � ��" � � � � � ������ � ����������
������������
� � ���������� ��� ��� �������
��� �������
�����������
� �� � ��
����������������
� �
Exercise 9.5 (page 232)
�� ��� � � !� �� � �� � � � � � ��� �
��� � �� ���� ��� ��
�
� ��
Proof: #� ��� ��� �� ��
Base Case: �� �� ���� ��� ���!�� �� ���� ���
�� � � � �� � � �� � ��
447
Temporal Properties
Induction Step: ��� ��� ������� ��� � �� ����� ����� ��� ���� ��
�� � �� � � � � � �� � ���� � �
�� ���� ���� ���� ���� ���� �������� ���� ������ �� ���� ����
�� � �� � � � � � ���� � ���� � ��
���� ��� �� ���������� ���� �� ��� ��������� �� ��� ������� �� ���
���� � � �� ���� �� ��� ���� �� ��� ���� � � ����
�� � �� � �� � � � � � �� � ����
� ����� � ��� ���� ��� � � ������� ���� �����
� ������
� ��� ������
� ��
� �����
� � � ���� � � �
Exercise 9.6 (page 232)
��� ��� ���� ����� � �� ��
� � � � �� � �
� � � � � � �� � �� �
���
�� �
��� ��� � � ��
Proof: � ������� �� ��
Base Case: ��� ��� ���� ���� ������ �� ���� ����
� � � � �� � �
� � � � � � �� � � � �� �
�
�� ��
Induction Step: ��� ��� ������� ��� � �� ����� ����� ��� ���� ��
� � � � �� � �
� � � � � � �� � �� �
���
�� ��
�� ���� ���� ���� ���� ���� �������� ���� ������ �� ���� ����
� � � � �� � �
� � � � � � ���� � �� �
���
�� �
���� ��� �� ���������� ���� �� ��� ��������� �� ��� ������� �� ���
���� � � �� ���� �� ��� ���� �� ��� ���� � � ����
� ��� ������� �� ������� �� ��� ������� ��� ����!��� ��� �� ����
�"����� ���� �� ���� �� ���� ��� ��
�� ����
�� �� �
���
����� �� ��� ����������� ������� ��
448
Additional Exercises
�� ����
�� ��
��� ������
�� �� �� ���� � ���� � ����
�� �� �� ����
�� �
���� � ��� ���� �� ���� �
Exercise 9.7 (page 233)
� ����� ��� � �� � ���� ��� ��� ���� �� �� ��� ����� ��� �� �� ��
���� �� �� ��� ����� ������ ��� ����� ���� �� � � � � ������
Proof: �� �������� �� ��
Base Case: ��� � �� ������ ��� ����� ���� ������ � � ������
Induction Step: �� ��� �������� ��� �� ��!� ���� � � �� ������
��� ����� ���� ������ ����� ��� ��� ���� ������ � ������ � ��
���� �� ������ � ����� � � ������
"�� ������ � �� !�� ���� �� ��� ���� � � �� �� �� �����
!������ ���� �� ����� � � ������� ���� ���� "�� �� ��� �����
� � ����� ������ � ����� �# �� � � � � � �� � ������ � ����� � �
����� ���� � � �� ������ �� ��!��� ���� �
$ %��� ���� �! �������� & �� ����� ���� �� ������ ��� ����� ���� �'
������ "�� �#� � �� ���� ��� �� � ��� ���� � �� � �� ��� �����
���� & � �� ����� ���� ������ ��� ����� ���� &��&�� � �& ������
Exercise 9.8 (page 234)
���� � �� #� ��� � � ( ��� � ���� �
�(� �# ��(
������ � ��� �� �# ��(�Proof: �� �������� �� ��
Base Case: �� ��� ��� �� ���(� �� �!��� ���� ���� ��(� � ( � (��
Induction Step: �� ��� �������� ��� �� ��!� ���� #� ���� �
������ � ������
��� # �! ��� ��!����� ���� �������� ���� ������ �� � ��� ����
���� � ���
"��� � �� ��!��� ��� ���� �# ��� ����!��� �# ��� ���� �! � � ��
���� � � ��� ���� �� !�� ��� �� � �� ���� � � ��
449
Temporal Properties
���� � ������ � �� � � ��� ��������
� ������ � �� � � ��� ��� ��� ����� ���������
� ��� �
Exercise 9.9 (page 235)
��� � � � � ��� ��� � � ������ �� ��� �
Proof: �� ���� ��������� �� �� ����� ���� ���� ��� ���� �� ��
���� � ���� ������ � � ��� ��� � �� ������ �� ��� � �� � �� �
� ��� ��� � ��� ������� �� ���� � ���� ���� � � �� ���� �����
��� ������ �� �� �������� ������ � � ��� �� � ��� � � ��� ��� �
� ������ �� ��� ! "�� ��� ��� � � ��� � �� � � � ������ �� ��� �
Exercise 9.10 (page 236)
#� � � � ��� � � � � ��
�� ��
� �
Proof: $ � �� ���� � � � %&�� ��� � ��� �� � � "� ���������
�� ��
Base Case �� � �' ��
�� ( � (
�
Induction Step: �� � �'
��
��
��� ��
� ��
���� ���
�� � � �� ��� ��� ����� ���������
���������� �����
������
����������
������������ ��� �
� ��� �
Exercise 9.11 (page 236)
Fact: ����� � ����
� � ����� � � � � ��
��� � �
����� �� � � � (�
Proof: �� ��������� �� ��
Base Case �� � (�'
����� � ����
� � ����� � � � �� ����
� � ����� � (� � (� � � �����
450
Additional Exercises
Induction Step �� � ���
����� � ����
� � ����� � � � �� ��
��� � ��
�����
� ������ � ��
����� ��� ��� ������� ��� �������
� ������� � �
���� � �������� �
Exercise 9.12 (page 238)
Fact: �� �� ����� ������ �� � �� � �� � �� �� ������ �� �� ����
��� �� � ���� �
���� ��� ��� � � ��
Proof: �� �� ������ �� ��
Base Case �� � ��� ���� ��� �� � ���� ��� � ��� �� � ���
�� � �� � �� � �� � � � �� �� � ��
Induction Step �� � ��� ���!��" ���� ��� �� � ��� �� ��#�� ���� ��$
����% ���� ��%
�� � ��� �� � ��
�� ���� �� ���� ���� ��� �� � ����� �� �#�� ��#�� ���� ������& ����
�� ����� �� ��� �� � ���� �
���� ��� ������ ����� � ����� ���
������ � ������ � �� � �� � '��� �� � ��� �� � ��
� �� � ��� ��
� ���� � ��� ��� � �� �
Exercise 9.13 (page 238)
Fact: �� ������� ���"� ��#������ ��� �� ��
�� � �� � �� � ��
�� �� �� ���! ���� �
���� ��� ��! � � ��
Proof: �� �� ������ �� ���� � ���� ��� ���� ���� � �� � �� �������%
� !��� ��� ���� � � �� (� � � � ��� � ���# ��� ���� ��� � ��% ��
����� ��� � !��� ��� ���� �����% �� ��� �� � ���� ����
� ��� ����! ���� � � � � �� ���� �� � �� � �� � ��% �� ���
���� �� ���� ��� �� � ����� �� �#�� ������� �� �������
�� � �� � �� � �� � ������ � ������
� �� � �� � �� � �� � '�� � ��
� ���� � �� � ��� � ��
�� �� ������% ��� �� � ���� �
���� ��� ��! �% ���! ����� � "�
451
Temporal Properties
� � � � ���� ���
� � �� � � ��� �
��� � �����
�� �� � � ����� ����� �
Exercise 9.14 (page 239)
Fact: ����� � �
����� � ��� �� ��� � � ��
Proof: �� ��������� �� ��
Base Case � � �� ��� � ���� � �� � � � � � � � ����
Induction Step � � ��
����� � �
����� � �
����� � ���� � �
����� � �
� ��� ��������
� ������ � �
������� � ������ � ��
�
� ����� �
�������
� ������ ��� ��� ��� ����� ���������
� ��� �
Exercise 9.15 (page 239)
��� ����� ���� ���������� ���� �� ��� �������� � ��� ��������� �� ��� ��
��� ���� ��� ��� � ���� ���� ����� � ��� �� �!����� �� �����!���� �� ���
������ ��� �� ���� � ��� �����
� �
�
� �
�
Exercise 9.17 (page 243)
��� ��������� �������� ������ "� ������� ��� ��#� � � ��� �� ���
�!��������� ���� ���� �������� ���� �� � ���� ������ � � �� �� � �
452
Additional Exercises
�� ����� ���� � ����� � � �������� � ���� ���� �� � ��� �� � �
�������� � ���� ������� ���� ��
Exercise 9.20 (page 246)
Fact: �������������� � ���������� � ���������� �� ��� ����� �� ��� ���
Proof: � �������� � ��� ��������� � ���
Base Case ��� � � ���
�������� ������ � ���������� � �������� �� � �����������
Induction Step ��� � � � ���
������ ��� � �������
� ������ �� � �������� �� ������ ��
� � � �������������
� � � ��������� � ���������� �� ��� �������� �� �������
� �������� � �� � ����������� �
Chapter 10
Exercise 10.1 (page 257)
�� � ����� ���� ��������� �� ��� ��� ������� ������
� � ! " # $ % & ' �(
���� � ! � � ! � �
���� �� ������� ��� ������ � ���� ��� )��� ���� ����� ��*� ����
����� ��� � ���� �� ��� ���+ �� ����� ���� � � �������� ���� ��
����)���� �� ��� ����� �� ����� ��� ����� ���� ��� ��� �������
��������
� ,� ��� )��� ���� ��*�� � ����� ��� ����� ���� ��� ��� �� �
��*��� �"��� ����� ���-��� ��� )��� ���� � ��� � ���"� ���� ����
�������� ��� � ��� � � ����� .��� ��-�� � ������� ������� �� ���
����� ���� �� � ���� �������� ���� ��"� ����� ���� ��� � ������
� ���� ��-������ � "�
,� ��� ���� ������ �������� ���� � � "��� ���� ������ � �� �� � � !��
��� )��� ���� ��� ��� ����� ���� �� � ����� ����� � ��*��� �
���� ��� ���-��� "� �����
453
Temporal Properties
�� ��� ��� �� �� �� �� � ������ ������ �� �� ������ �� ����� � ��
��������� � ������ �� ������ �� �� ���� � ��������� � ���� ����
�� �� ��� �� �� � ����� ������� ����� ����� � �� �� ������ ��
����� �� �� ��� �� �� �����
!� �� ������ �� ����� � �� �� ��������� � ����� ��� �� ��� �� ��
���� � ����� � ��� ����� ����� ������� �� ������ �� �� �� � ������
�������
"� ��� ���� �� �� #��$��� ���� �� � ����� ��� ����� ��� ��� �����
���� �� ������ �� �� ��� � ������� ����� ���� ���� ��� "���
����� ����� �� ���� ����� �� �� ������ �����
Exercise 10.2 (page 258)
�� ��� ������ �� �� ��� ���� � ���� �� ��� �� ������ �� ��%����
������ ���� ��� ����� ��� �� ����� �� � ���� ����� ��� ��� ��&
%���� ����� �� ��� ��� �� ���� ���� ���� �� �� ���� �� ���
�� �� ����� �� ������ �������
��� ���� ����� ��� ��� ���� � �� ����� �� �� � �� ������� ���
� ��� ��� �� �� ��� �� ������ ����� �� �� �� ����� �'���� ���
�� �� ������ ������ �� �� �������� ���� �� ��� ������� ���� ���
��� ���� �'����� ��� ��� ���� �� ��� ��� �� ������� � ��������
��� ����� ��� ���� ����� ��� ��� �� ����� ����� �� ���� ���
��� �� � ��� ��� �'���� ����� ����� ����� � ���� �� ���� ������
� ���� ���� �� �� �� �'����� ��������� � ����� �����
(� )���� �� ��� �� �� ����� �� ��� ����� �� �� ����� ��� ���
����� ��� �����'��� ������� ������ ����� �� �'����� �� ����� ��
������ �� �� ����� ������� !� � ���� �� ���� ������� ������ ����� �
������ ����� �� ������� �� ����� �'���� ��� �� ��� ����� ���
�� ���� �� � ���� �� ���� ������ ������ �� ���� ������ �����
�� ���� �� ���� ��������
Exercise 10.3 (page 258)
*�������� �� ���� �� ��������� ����� �� �� '������+
� , �-����� �� � ������� ������ �� ������ � ����� ����� � �( �-������
���
�. �-����� �� � ������� ������ �� ������ ( ����� ����� � �( �-�������
� / �-����� �� � ������ ������ ��� �� ��� ��� ���� � � ������� ���&
���+ ����� ( ����� ����� � , �-����� �� � ����� ����� � �. �-�������
� " �-����� �� � ������� ������ �� ������ � ����� ����� � / �-������
���
0 �-����� �� � ������� ������ �� ������ ( ����� ����� � / �-�������
454
Additional Exercises
� � ������� �� ����� ���� �� �� ��� � ��� ���� � ���� �����
��� �� ��� � ����� ��� � � ������� �� � ����� ��� � � ���������
� �� ������� �� ���� ���� �� � � ����� � ����� ��� � � ��������!
�
�� ������� �� ���� ���� �� � � ����� � ����� ��� � � ���������
� " ������� �� ����� ���� �� �� ��� � ��� ���� � ���� �����
��� �� ��� � ����� ��� � �# ������� �� � ����� ��� � �� ���������
� $ ������� �� ���� ���� �� � � ����� � ����� ��� � " ���������
�
� � ������� �� ����� ���� �� �� ��� � ��� ���� � ���� �����
��� �� ��� � ����� ��� � � ������� �� � ����� ��� � $ ��������%
&��� �� ��������� � '������! ����� �� ����� � �� ����� �� � ��
�� � �� ���� ���� �' �� �� ��� ��%
�
��
��
���
��
�
�
�
��
�
���
�
�
��
��
��
��
�
&�� ��� �� � ���� �� � �� ���� �� �� ����� ���� ��� � �����
��� � �� ��� ���� ��� ������ �� �� ������� ���� �� ��� �'���
���� � � �� ����� ��� ���� ������� �� ����� ����� ����
�� ����� � � ����%
&� ��� � ��� � �� �� ������ ! � ����� � � � �
� ����� ���� ���� '��� ���� � ����� � ��%�%! '����� � �� ��� ��
�� ���� ������ ���� � ���� �� � ����� � �� �! �� ��� �� � �����!
�� ��� ����� ������ �� ��������
� ����� ���� ���� '��� ���� � ����� �� ���� � ���� �� � �����
� �� �! � ��� � �� �' ����� �� ������! �� ��� ����� ������
�� ��������
� ���� � ����� � ������� ����� �� ( � ����� '����� � � ��������
����� �� ����� ( ���� �� ��� � �� �������! �� �� ��� ����� ������
�� ������� � ���� � ����� � ��
455
Temporal Properties
� �� ���� ����� �� �� ������� ��� � �� ������ ������ �� � �� ���
����� �� ���� � �� ���� �� �� ���� ����� ���� ������� �� ���
������� �� �������� �� �� � � �� ��� ������� �� ������� �� �� ����
����� �� �!
Exercise 10.4 (page 259)
"� ��� ���#
� $ � � �� ��� �� ������ � �� ���� ����� ���� ��� ��� �� ������
��� �� ������ ���!
� % � � ������� �� ������ � � ��� �� � ��� �� ������ �� �� �� ���
�� ����� $!
� & � ��� � ���� �� ������ � �� � �� �� �� �� � ���!
� ' � � �� ��� �� ������ � ��� �� � �� � ��� �� ������ �� ��
������� �� ����� ( �� %� � �������!
� ) � ��� � ���� �� ������ � �� � �� �� ���� �� � ���!
� ( � � ������� �� ������ � � ��� �� � ��� �� ������ �� �� �� ���
�� ����� $!
� � � ��� � ���� �� ������ � �� � �� �� ���� �� � ���!
� � � � ������� �� ������ � � ��� �� � ��� �� ������ �� �� �� ���
�� ����� '!
� � � � ������� �� ������ � � ��� �� � ��� �� ������ �� �� �� ���
�� ����� '!
Exercise 10.5 (page 262)
"� � ����� �� �� �� ��� �� ��� �� �� ������ ������ �� �� ��������
��� ��� � ��� ������ ���� �* �� ��� ��� ���� ��� �� � �� ��� ��
������ �� �� �����! �+�� ,����� �� �� ��� ��� �� ������� ��� ��
��� ��� ���� ��� �� � ����- �� �� ��� � ��� �� ������� ��� ��
������ ������ �� ��� ��� ��� ���� .��� �� �* �� �� ����� ���!�
/�� � ��� ��� ���� ��� � �� �� � �� ������� ��� ��������� ���� ����
����� ��� � � �� ������ �� ����� �� ���� .��� �� �� ������ ������ ��
�� �������� ��� ��� !
/������ ��� �� �� �� � � �0��� ������� ��� �� ��� ���� �
��� �� ����� ���� � ��� !
Exercise 10.6 (page 262)
"� �� �� ����� � ��������� ��������� ��� �� � � ����� � ��� � ���
�� ��� �� ��� �� ���- �� � � ����� ����� �� �� ������� ������
�� �� �������� ���!
456
Additional Exercises
��� �� ��� ���� ���� ��� �� ����� � �������� ������� ���� ��� ���
���� ���� ���� ��� ����� �� ���� ������ � �������� �� ������ ���
�� ���� �����
����� ��� ��� ��� ���� ��� � � ���� �� ��� �������
���� � ����� �� �� �� ��� ��� ��� ���� � ������ �� �� �� ���� ��
��� � � ����� ��� ����� ���� �� � ���� �� ��� ��� ���� �� �������
�� �� ��� ���� �� ��� ��� ����� ��� ������� ��� � � ���� ��� ���� ���
�� �� ����� ����� ��� ��� ���� � ����
Exercise 10.7 (page 264)
�� � � ��� ��� � � � ��� � ! ���� !�������� � ����� ��� �"�# � ��� $ ���
� � �"�# � ��� ���� � �������� ����� ������ �� ��� ��� ������� ��
� �� ��� �������� ����� � ���� %� �� �� ������������ ����� �"!# ���
&�� ��� ��� ��������� ��� ���� �
Lemma 1. �� ��! ���� �"���"�## � '�"�#�
��� � ��� �� ��� ��� �"�# ���� �� ��� ��� ��� ���� �� � ����
( ������ �� ������� ��� � � �� �� may �� �� ���� � � ���� ���
�� ���� ��� � � not �������� ������ ��� � � �"�# �� � ( ����
��� �������� ���� �� ������ �� �� ��� �� � ��� �$ ��� � � ���� ����
�� ���� ���� ��� ����� � � ���"�# �� ���� �� ��� �� � ����
���� �� ���� ����� '�"�#� ���� �� �� ��� �"�# � �"���"�##�
Lemma 2. �� ! � � � �"�# ���� �"���# � '��
��� � ��� �� ��� ��� ���� ��� �"�# ���� �� ��� ��� ���
���� �� � ���� ( ������ �� ������� ��� � � �� �� must �� ��
���� � � ���� ��� �� ���� ��� � is �������� ����� ( ���� ���
�������� ���� �� ��� �� ��� �"���# ���� ��� ��� ���� �� ���
���� ���� � ���� ����� �"���# ���� �� �� ��� ��� ��� �����
��� ����� � �� ���� ��� ��� ��� �����
������ )!�* ������ ������� ��� ��� � ��� ���� � +���� ���� �� ��
���� � �� ��� ��� �"��# ���� ���� ����� ��� ���� ��� ���� �� ���� ��
��� ��� ���� � ��� ���� ���� ��� ����� �� �� ���� ��� ������ ��
,��� )� ��� �������� ����� ��� �"��# ���� � �� �� ������ �����
��� �� �� ��� ������� ���� $ �� �� ,��� ' ��� �������� ���� ��
����� �� ���� ��� ���� ��� ����� �� �� ���� ��� ����� ��� �� ����
��� � � ��� ����� �� ����� �"��# ���� $ ��� ��� ���� �������� �� ���
� ���� ����� ��� ������ �� ����� �� ������� ���� �
�� ���� ���� �� ���� ��� � ��� ���� �
Proof of Lemma 1. ,�� � � ��� ��� � � � ��� �� ��� �������� �����
� ��� ��� ������� �� ��
457
Temporal Properties
��� ������ � ����� � � � ������� ����� ����� �� �����
�� ���� � � ����� �� ��������� � ���� �� � � � �����
������ ����� ���� � � ��� � ������� ����� ����� �� ����� ����
��������� � ��� ��� ������ � ��� � � � �� ����
� ����� ��� ������
� ��� � �����
� ��� � ���
� ����
� ������ �
Proof of Lemma 2. ����� ���� � � � ����� ��� ��� ������� ���
��� ����� �� ����������� � � ��� ��
� � ��� � ��� � � � � � ��� ���
� ��� � ��� � � � � � ��� �
!� ���� ���� � ���� � ��� � �� ���� � �� ��� ��� �������
����� ����� �� ����������� � ���� ��
���� � ��� � ��� � � � � � ����
"� ��������� ������� � �� �������� ��� ����� �����
����
�� � ������ � ��� � ��� � � � � � ���
� ��� � ��� � � � � � ���� ��� � ��� � � � � � ���
��� ���� ����� � ����������� � ����� ��� � ��� �������
����� ����� �� ���������� � ���
���� ����� � ��� �
#��� ����
��� � � ��� � ��� � � � � � ���
� ��� � ��� � � � � � ��� � ��� � ��� � � � � � ����
����� ��� $� ��� ��%� ���� �� �� �� ���� �� � � ����� �� �����$��
$� $���� ��%� �$� �&����� ������� ����� ����� �� �����������
�� ��� � ���� ��� � ������ ��� �����
����� � ��� � ����� � ����� � ��� � ���� � �� �
458
Additional Exercises
Exercise 10.12 (page 270)
������ �� ��� ����� ���� ��� ���� ��� �� ��� ��������� ������ �
���� ����� ��� ��� ������ �� ��� ������ ������� �� ���� ���� ����
���� ���� ���� ��� ��� �������� ������ ���������� �� �������� �
�� ���� ���� ��������� ��� ��� ������� ���� ������ � ��������
���� ��� ��� ������� ��� ���� ������� �� � ���������� ���� ���
��� �������� ��� ���� ���� ���� �������� ������ �������� �� ��
��� ������ ���������� �� ���� ���� ��� ��� �������� �������� �� ����
���� �� ���������� � �� ��� ���� ��� ������� �������� �
� ��� ����� ���� �� ���� ���� ��������� ��� ��� ������� ���� ���
���� � ������� ���� ��� ��� ������� ��� ����� ������� �� � ���������
���� ��� ��� ��������� ��� ���� ���� ���� �������� ������ ���
����� �� �� ��� ����� ���������� �� ���� ���� ��� ��� �������� ��������
�� ���� ���� �� �������� � ���� ��� �� ��� ���� �� ���������� �
Chapter 11
Exercise 11.3 (page 286)
�� � ���� ������ ����� ���� �� ���� ����� � �� ����������� �� ����
����� � �� ������ � ��� ���� ��� �� ��� ������ �� �� �����������
�� �� ������ � ��� ����� ���� !� ��"� ��� ��� ������ ��������
��� ����������� � �� �� ��� ����� ���� ����� �� �� ���� �� ��� �����
�� ����������� � ���� ��� �� � ��� ����� ��� ��� �� ���� ������
��� ����� � ���� �" #��� ����������� �������� � ��� ���� ���$ �� �"%
#��� ����������� �������� � ��� ����� ���$ �� �"� #� �&��� ����� ��
����������� �� ������ � ���� ����$� ����� ��� '% ��� ����� ��
������ #�� �$�
����� ���� ����� ��� �� ��������� ����� �� �������� ������� ���
����� �� ��� � ���� �� ����� ��� ���� ��� �� �� �� � ��� ���� ��� �� ���
����� ���� (������ ���� ��� '% �������� �������� �� ��� ���������
��� �� ������� ���� ����� ��� � ���� � ����� �� )% �������� ���� �������
�������� ���� �� ����� ��� �� ��������� *�� � ������ �� ����� ��� ����
��� ��� ������ � �� ��� #�"�" �� �"�"%$ �� ��� ���� � ��� ������
*����������� �� ��� ����������� ��� ��� � �� ��� �� ��� ������ ���
��� � ��� ����� #��� �� " �%� �$ ��� ��� ���� ���� �� ���� ��� �������
�� �� ���� ���� ��� ������������ ��� �� �� ��� �� ���� ���� ���� +���
������� �� ����� ��� ����� ���� ��� ��� � ���� ��� ����� ������ ����
���� ����� ���� ��� � ����� ��������
��� ������� ', ������ ��� ������� � *����� '-�.� ���� ���� ��� ������
��� ��������� ������ ������ ���� �� #�� ����� ������� ��� ��������� ���
���� ������������� � �� ��� ��� �������� ���������� ������$ ��� ������
459
Temporal Properties
����
� � �
���� �
�
����
� �
���� �
�
����
�
���� �
��
���
� �
���� �
�
��
�
���� ��
� �
��
���
���� ���
�
��
��
���� ���
�
��
�
���� ���
� �
���
� ����
��
�
�
���
����
��
��
�
���
�
����
�
���
�
��
� ����
��
�
�
�
����
���
� �
�
�
�����
����
�
�
�
����
����
� �
�
�
�
�������
� � �
�
�
��
��
�
��
�
�
��
��
��
�
��
�
��
�
��
�
������ ��� � � ��� �� � � ������������ ��� ��������� ������
�� � � ��� ����� ��� �������� ���� �! ���� ��"���� �! �����! ����� �����
������� � � ��"��# ��� � � ����� ������ � � ���� �������� �� ������ ����
� ��� ��� $"� �������� �������� � %� &��������! ������� �����'( �� %���
&����������� ����� ����� ��'( � %� �������� ������� �����'( �� %��� ���������
����� ����� ��'( ��� �� %� &��������! ��� � �������� ����� ����� ��' )�����
� �� ��� �� � � ����������� ��� ����� �� ������������!# �� �"��! ���������� ���
������! �� ��"�����
� � ����� ����� �� � � ��� ���� ����� �� � �� � � � ��� ����� �� �� � �
���� ����# ��� � �! ��� �� ��� �� � � �����& ��� � ����� �� � �� � �! ���
460
Additional Exercises
��� �� ��� ��� ���� �� � ��� ���� �� ��� � ���� ���� ������ ��� ���
���� ������� �� �������
Exercise 11.4 (page 287)
� ����� �� ��� ������ �������� ��� ����� ������� �� � ��� �� ������
��� � ��� !���" ��� !���#$ ���������� ��� ������ �� ����� � ��� "%
����� ��� #%����� &�� � ��� �$ ����������� ��� ���� ����� � �!� ! ���
��� ���� ����� ��� ��� �� ����� � �'� !
����� ��� �( ����� �� ����� ������� ���� ��� ��� ����� ��� � )
�$& ������ �"� � ��� �*!
�$& ������ ��� # ��� �*!
�$& ������� �!� � ��� ��!
�$& ������� ��� ! ��� ��!
�$& ����� ���(�!� �+��# ����#� �+� ��� ��! ��� ��#
�$& ����� ����"� �+� ���(�!� �+��" ��� ��" ��� ��!
,���� ��� ��� ���$ �� ������ ��� ������� -%���� �������)
�!� ! ������ �"� !
����� �.� #
������� �.� !
����� �!� .
������ �"� .
����� �'� #
������� �'� !
Exercise 11.5 (page 287)
��� ���� ���� ���� ����� � ��� �� ��� ������� ����� ���%���� ����%
�������)
�) # ��� ���$ ��� '�� ��� ����� ���
) . ����%�� ��� . ����%����$ ��� ��������%������� ������� �/�����
) . ����%�� ��� . ����%����$ ��� ��������%������� ������� ��� ����
0����������$ ����� ��� ���� ����� �/����� ����� ���� ��� ��� ����� ��
��� ���� ����)
�) 1� ��� ���� ���
�) 1� ��� ��&����� ���� ����
) 1� ��� ��������%������� ���� ����
�0���� # ���� ���� ��� ��� ���� �/��� �� ��� ������� ����������� ��
1��� � ���� ���2 ��� 1��� ��� ���� ���� ���� ��� �� �/��� ����������
�� ��� ����������
461
Temporal Properties
�� ��� ������� �� ��� � ������ ��� �������� ������������ �
��� �� �� ���� ���� �������� ������������
� � �
� ��� � �
� � � �
� � � �
��� �������� ���� �� �������������� �� ������ ������ ��� ��� ����
����� ���� �� � ���� ������������ �� �� ����� � � ������������ �� �
������������� ��� ���� � �������������� � ������ ������ ����������
������� ��� ����� � ���������� �� ���� �� � ���� ������������
!� ��� ��� � �� ����� �������� ������ �� "��� ����" �� ��� ���������
���� � ��� � � �� ��� ���� ��� �������� ���� � ���� ����� ������
������� � ���� ������������ #�� $#% ���"� �� �������
�� � & � �
�� �� � � �
�� �
�
�� �� �
�� �
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
'���� � ����� � ��� ����� �� ����� (�� �) ������� ���� � ���*� "��
��� ����� �� � �� � � ��� �� �� � �� �� � ���� �� � � ����� ���� �
��� ���� � � ��� �� ����� ������ ������� � � �� � � ����� ���� � ��
"�� ���� � ���� � � � � ������
���� ��� � ��� ��� ���� ��� �������� ��+����� �� ����� ��� �������
���� � � � ��� ��+����� (� ��� �) �� ����� ������
Exercise 11.6 (page 288)
,� #���� ��� �� ������� �� ��� �������� ����������� �� ��� ��������
������� ����� ��� ����������� � ��� ������� �� �������� ����-
� . /01
. ,20
� � . 2/
. 34
� � . ,/
. 1
�
� . 2/
. ,20
� � . ,/
. 34
� � . 4
. 1
�
�5� ������� �� ��� ������ ��� �� ����� � �����������
462
Additional Exercises
�� ����� ��� � ���� �� ����� �x := x mod y� � � �y := y mod x��
�� ����� ��� ��� ��� ���� �� ������� � ��� ������ �� ����� ����� ��� ���
�� � ����
�� � ��
� � !"�
�x := x mod y��
�� � "�
� � !"�
�
�� � "�
� � !"�
�y := y mod x��
�� � "�
� � �#
�
�� � "�
� � �#
�x := x mod y��
�� � !�
� � �#
�
�� � !�
� � �#
�y := y mod x��
�� � !�
� �
�
�� � !�
� �
�x := x mod y��
�� � #
� �
�
Exercise 11.7 (page 289)
�������� �������
��� ��
����
������� ������� ���
���
���
���
���
���
����� ����
Exercise 11.8 (page 290)
Cl� Cl�
��������
��� ���� $����� ��� � ������� Cl� � � Cl�% � ���� � tick% � � �
��� ���� �� Cl�tick�� Cl� � � Cl�
tick�� Cl��
Exercise 11.9 (page 291)
&� ���������� � ����� �� � ���$�� ��� �� �� ����
463
Temporal Properties
� � � �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ��
� � ������ ������ �� ���
� � � �� ��� ��� � ��
�� �� �� �� ���� � ��� � ��� �������� ��� ���� ��� ��� ��
���� �� ��� ��� � ����� �� ��� �� ������
�� � ���� �� �� �� ���� � �� ������
��� � �� �� �� �� ���� � �� ������
��� � ���� �� �� �� ���� � �� ������
�� � ������ �� �� �� ���� � �� ������
! � ��� �� ���� �� ��� ��� � ����� �� �"� ���
�� � ���� � �� �� �� ����� �� �"� ���
�� � ���� � �� �� �� ����� �� �"� ���
�� � ���� � �� �� �� ����� �� �"� ���
! � �"� �� ���� ��� ��� �� �����
�� � �"� �� ���� �����
�� � �"� �� ���� ������
�������� �"� �� ��� ��"�
� � �"� �� ��"� ���
�� � �"� �� ��"� �����
#!�� �� �� �� �� � �� ���� ��� ������ ��� �� $� �� � �
�� ��� �� �� � ���� �� ��������
���� ��� ��� �� �� ��� � ����� �� ��� �� ����� � ��� ��� %�
�"� �� �� � � ���� �� � � ���� ��� ��� ��"����& �� ��&
���� ���� � �� �� ���� ���� �" �� $� �� � � � � �����
����� �&&� �� �'�� � ���� ���� ���� � ���� � �� ��� ���
��� �
��� �� ����
�� ��� �� � ��� �� � � (
������� �� �(� ��� �(����
� � ���� � ����
! � ��� �� �� ��� � ����� �� �"� �� � ��� ��� %� �"� ��
�� � ���� ���& �'�� � �� � � ���� ���� � �� �� ���� ����
�" �� $� �� � � � � ����� ���� ���& �'�� �� �&&� ��
���� ��� � & � �'�� � ���� ��� ����� ���� ��� ���&
��"��� �� �"� �� �� � � ������ ���� � ���� � �� ��� ���
��� �
��� �� ����
�� ��� �� � ��� ��
464
Additional Exercises
� � �
�������
�� �� ��� ��� ������
� � ���� ��� ���
��� �� ����
�� ��� �� � ��� ���
� � �
�����������������������������
�� �� � � ���� ��� ��� ������
� � ����� �� � � ��� ��� ���
�� ���� ��� ��������
� � ����� �� � � ��� ��� ���
�� ���� ��� ��������
��� �� ����
�� ��� �� � ��� ���
� � �
�������
�� �� ��� ��� ������
� � ���� ��� ���
���� � ���� ��� ���� ���� �� ����� � ���������� �����
��� ����� ������ ��� ������� ���
��� ������� ������ ��� ����� � � ����� �� � � ��
���� ������� ������ ���� ����� � � ������ �� �� � � ��� ��� � �� ��
���� ������� ������ ���� ����� � � ������ �� �� � � ��� ��� � �� ��
�������� � ������� ��� ���� �� ��� �� �����������
��� ������� ������ ���� ������� ��� �� � �� � ��� � �� �
���� ������� �������� ���� ������� �����
���� ������� �������� ���� ������� �����
���� ������� ������ ���� ������� ���
���� ������� ������ ���� ������� ���
���� ������� ������ ���� ������� ���
���� ������� ������ ��� ������� ���
��� ������� ������ ���� ������� ��� �� � �� � ��� � �� �
���� ������� �������� ���� ������� �����
���� ������� �������� ���� ������� �����
���� ������� ������ ���� ������� ���
���� ������� ������ ���� ������� ���
465
Temporal Properties
���� �����������
�� ���� ������� ���
���� ������� ����
�� ��� ������� ���
Exercise 11.10 (page 291)
��� �� ��� �� ������� ��� ��� � ���� �
����
����
����
���
����
����
���
� ��������� ��� ���� � ��������� �� ��� �� � ��� ������� ���� ���
��� � � ��� ��� � �� ���� ������ �� �� � ���� �� ����� �� ��� � � ����
����� ��� �� � ��� ������ � �� ���� �� �� � ���� �� ����� �� ��� � �
��� ����� ��� �� � ���� ������ � ����� � � ��� � ���� ��� ��� �
� �� �� ��� ���� ���� ��� � �� ���� �� �� � ���� �� ����� �� ��� �
������ � ���� ����� � � ��� ������
!���� ��� � �� ����� ���" !� ���� �������� ������ �������
��� ������ � ��� ���� � #���$������% ��� ������ �� � ����� �& ���� �
�� ' � �� �� � ��������(� ����� ��� � ������ ����� ���� ������ ���
�� ' ) ����� ��� ��� �� � ��� '������ ��� ��� ) �� � *����� ������ ������
� ��������(� ��������� �������� � ������ ������� � ����� � ����� ���
��� ���� �� ����� ������ ��� � ��� ����� �� ��� ��� �&� ��� ��
� ��(��� ��� ��� ���� �� ���� �� ������ !��� ��� �� ���� �� ���� �� �
��� ���� ��� � �� �� ����� ����
+������ ��� ����&���� � #���$������% ���� ��� �� � ��� � ��
����� ���� �� ���� �� ������ ��� ��������� ���� ��� � �� ��� ������ ��� ����
� ��� ���� ��(��� � �� ��� ���� ��� ���� �� �� ���� � ��� ���' � ��
���� ������� �� (��� �� ��� ��� � ��� ����� � ������� ���� ���
�������� ��� ���� � ��� ��� ���� ��� ��� � ��������� ����� ����
� ���� �
!� ��� ����� � ��� ������� ���� ��� ��� � ��� ���� (������
������ �� ���� �,� ����� ������ � -.� ��� ��� ���� ��� � �� �
������ ������� � ��� � �/�� ����� � � ��� ������ 0�(��� �� ����� ���
-.� ���� ��� � �� � �������� ���� � �� � ����� ����� � ��� � ���
��� ��� ��� �� ��� (������ ������ �� ��� �� ���� ��� ���� ���1
������� ��� ��(�� #��� � ���� ����� � � ��� � ���� ������ �� � ���
���� 2 � ���� �� ������� ���� ������ �� ��� (������ ������ � ��������
466
Additional Exercises
��� ������ ���� ��� � ��� �� ��� ��� ��� � �� � ������� �� ���� ���
���� � ������ � ���� ������
Exercise 11.11 (page 296)
� ��� ���� �� ��� ����!�
����������������� ������ � �
���������������� ����
"� �� � ��� ���� �� ����
�����������# ��������������� ������ � �
�����������# ���������������� ����
$� ���������% �����������# ���������� ��� ���� �� &���� '��������
����� �� � � ��� �� ������(
������������ ������ � �
������������� ����
Exercise 11.12 (page 297)
Cl�
���% tick�Cl
�# tick�Cl��
Exercise 11.13 (page 298)
)�
��
���%
�����������������������
����� # ������� # �������� �� � % �*
������ �� � % )*
������� # ����
���� �� + � � � ,*
������� # ����
��� # �������� �� � � � � +��
+� -�� ��� ���� ������� �� ������� � .����� )����
Exercise 11.14 (page 300)
-�� ��� ������ � ��� �� � �� �� � ���� � ���(
��
10p.coffee.collect.�� + 10p.tea.collect.��
coffee.collect.��
tea.collect.��
collect.��
467
Temporal Properties
��
��
��
��
��
��
������
���
��
��
���
���
���
���
������
��
��
�
�
��
��
���
���
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�� ��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�� ����
��
��
��
��
��
������ ��� ��� �� �� ��� ������������� �������
��� ��� ������ �� ��� ����� ������� ������� ���
��
10p.coffee.collect.��
10p.tea.collect.��
coffee.collect.��
tea.collect.��
collect.��
Exercise 11.15 (page 301)
�� ������ ��� �� �� � 10p �������
�� ���� ��� �� �� � ����� �� �����
�� ��� �� � 10p ������
��� ��� �� �� � ����� �� �����
�� ��� �� � tea ������
468
Additional Exercises
�
�
0 �
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
������ ��� � � ��� ��� �������� ���
Exercise 11.16 (page 301)
� � � ���������� ������ �� �������� �� ������ ��
� ���� ����� � ��� ��� �� �� � ������ ��� �� �� � ����� �� � �� ��
������ �� ��� �� � � ������ ��� ��!! ��� �� ��� �� ��!� �� �� � �
������ �� ��� ��!! ��� �� ��!� �� �� � � ������
"� � � �� �� ��� ���� ����� � �� ������ �� ��� �� �� � ������
��� ��!! �� ��!� �� �� � � ������ ��� ��� �� �� � ����� �� � �� ���
��� ��� �� � � ������ �� ��!! �� � � ������
Exercise 11.17 (page 302)
� � ��#�� ��$������ �� �%��!��� ���
reflexive: &!���!� �
� �� ��� ��!� �� �
� �� '
symmetric: ������� � �� ' � �� � �� � �� � ' �� ���� ��
����������� � �� ��
� �� ��� ��!� �� �
� (���#�� � ��
���� �� ���� �� � �� �� �����!� � � ���� ��������� � �� ��)�� ' �
����!� � �� �
� �� ��� ��!� �� ��
�
transitive: ������� � �� ' � ��� � ' �� � �� � �� ' ��
���� �� ����������� � �� �
� � �� ��� ��!� �� �
� � (���#��
�
� � �� ��� ��!� �� ��
� � *����� ' � +
�� ��� ��!� �� �
� � *����� � ' +
Exercise 11.18 (page 303)
� � ��!� ��� �� ����� � �� � ' �� ���!� �� �� $��� � �� � �� � � ' � ��
� �� ���!� ��%���� �� �� � �� � �� � ' ��
469
Temporal Properties
�������� �� ��� � � �� ���� � � � � �� ����� �� �� ���� ��� � �
��� � ����� ��� ����� ������� �� �� ��� � � � � ���
��������� �� ��� � � �� ���� � � � � �� ����� �� �� ���� ��� � �
��� � ����� ��� ����� ������� �� �� ��� � � � � ���
������� � ��� � ���� �� ����� ���� ���� � �� �� ����� ����
�� � ��� �� � �� ������� � � � � ���
Chapter 12
Exercise 12.2 (page 312)
Fact: ��� � � ��� ������ � ����� �� ���� !� ��� � ���� ��� �"
���� �� �� ����� !� ��� � ���� ��� �����
Proof: #� ������� � ��
��� �� � �� � ��� �� ����� !� ��� ��� ��� � ���� ��� ���� ���
� � �� ������ �� ���� ��$�
��� �� �������� � ��� ����� � � ��� � � �� ���� �� � � �� ���� ��
����� �� ���� !� ��� � ���� ��� ����� �� �� ����� !� ��� �
���� ��� ����� %�!!��� �� � � �� �������� ��� !��!������ ���&
� ��� �� ����� � � �� �� ��� � �� �� ��
� � � �� ��
� � � ���
���� �� �� � � ��� � � �� ����� !� ��� � ���� ��� ���� ���
�� � �� ���� �� � � ' �
� ��� �� ����� � � �� �� ��� � �� �� ��
� � � �� ��
� � � ���
���� �� �� � � ��� � � �� ����� !� ��� � ���� ��� ���� ���
�� � �� ���� �� � � �
( � ��� ��!!��� � � � � ���� � � �� ���� !� ��� ���� � �� ���� ����
� �� � �� �������� ) ����� ���� �
�
� � � �� ���� ��
� � � )
�� ����� !� ��� � ���!�� � ��� � � � � � ���� ��� !������
� ��� � � ���� ��� ���� � �� � �� �� ���� �� (�� ��� ���
����� ���� ��� ���� ��� �� ����� !� ��� � �� � �� �������� �
����� �� �� ����� !� ��� ���� ��� �� ���� ��� ���� � ��
� �� �������� � �� �� �� �� ���� ��� !��!������ � ��� �� ���� ( �
��� �����
� ��
� � � � ��� � � � � ������ ��
� � � �� ����� !� ���
���� �� �� ���� ��� ���� � �� � �� ���� �� � � ' ��� ��
�� �� �������� �!������� ��� ��!���� � � �� ���� !� ��� �
���� ��� ���� � �� � �� ���� �� � � � ��� �� � �� � ��� ��
��
� � � �� ����� � �� ���� ���� � ���� ��� ���� ��� �� � ��
�������� ' ��
470
Additional Exercises
� ��
� � � �� ���� � �� �� ������� ��
� � � �� ������ ����
���� �� ���� � ������� � ��� �� �� ���� ���� �� � ��� �� ���
� �� �������� ��������� ��� ������� �� �� � � ���� ��� �
������� � ��� �� �� ���� ���� �� � ��� ����� ����� ��� ��� ��� ��
��
� � � ������� �� �� � � ���� �� � ������� � ��� �� �� ����
�������� �� �
Exercise 12.3 (page 313)
� �� � ���� ����� � �� � ��� � �� �� ����� � �� ���� � � � ��
��� �� �� � ����� ��� ������ ����� ��� ��� ����� �� ��� � �� ����
��� �� ���� �� ���� � �� � � ����� ��� ������ ����� ��� ��� � �� ����
��� ���� ��� �������� ��� ������ �� ����� �� � � ���� �����
�� �� ����������� ��� ���� �� ����� �� �� �� ��� �� ���� ������
� ��� � ���� ����� � ��� � �� ��� �!� ����� �� � � ���� ��� �
� ��� ����� ���� ��� �� �� ���� ����� � �� ����� �� ��� � �� ��
��� �� ���� �����"
� #� �� � � ���� ��� ��� �� ��
� � � ����� �� ������ ����
����� ���� � ������ ��� ��
� �� �� �� ����� ���� ��� �� ��
�� ��� �� ���� �����
� #� �� ������ ���� ��� ����� ��� �� ��
� � 0 $ � 0� � �����
�� ������ ���� ����� ���� � ������ ��� ���� ��� �
� � 0
� ��� �
� � 0� �� �� ����� ���� ��� �� �� �� ��� �� ����
�� 0� � 0$ � 0� � �� ��� �� ���� �� 0� � 0$ � 0��
� #� �� �� � ����� �� �� ����� � � �� �� ��� �� ���� �� 0� � 0$� 0�
��� ��� ������ �� � 0$ � 0�
� 0� ��� �� �� ����� � � �� �� ��� ��
��� �� 0� � 0$ � 0� ��� ��� ������ �� � 0$ � 0�
� 0� �� ���� ����
�� ������ ���� ���� �� �� ���� � �������
Exercise 12.4 (page 315)
Fact: #� ��� � � � ��� �� ��� ���� �� � � ��� �� �� � �� � ��� � �� �
��� � �� ��
Proof: � �������� �� � � �
#� �� ���� ���� %&� ���� �� '(�!�'� ����� �� �� � �� ��
#� �� �������� ���� �� ������ �� � ���� � ��� � ���� �� )��
�� ��� � �� ���� ��� �� ��������� �� ���� �� '(�! ����� !'!�� �� ��
�������� ��� �� � ����� ���� �� ����� �� �� ��������� ���� �"
471
Temporal Properties
��
�
��
�
��
�
��
�
����
��
����
��
����
��
������� ��� ��� ��� �� �� ���� ��������� ��
� ��� � �����
��� �������� ����� � ���� � �� ��� ��� ��
� �� ��� ���� � � ���� ���
���� �
� �! ����� "�� # ������� ������� ����� � ���� � �� ��� ���
��
� �� ��� ���� �� ���� ��� � �
�� ��� ����� # ��!������ � �
�� ��� $�
����� �
� $� ��
� �� ���� �
�
� �� ��� ���� �� ���� ��� � � �� �
��
������� �����! ��� ��� ��� �� �� ���� ��������� ��
� ��� � ����
���� �������� ����� � ���� � �� ��� ��� ��
� �� ��� ���� � � ���� ���
�� �� �
� �! ����� "�� # ������� ������� ����� � ���� � �� ��� ���
��
� �� ��� ���� � � ���� ��� � � �� �
�� ����� # ��!������ � � �� ��� $�
����� �
� $� ��
� �� ���� �
�
� �� ��� ���� � � ���� ��� � � �� �
��
����� ��� #����� ������� # ������� �������� "���� �� ��� � ���� �� �
Exercise 12.5 (page 315)
Fact: %�� �� � � � � Cl� �� Cl� ����� Cl� ����� Cl�
Proof: &� �� ���� ��� �'�������� # ��!������ �� ��
Base Case: Cl� �� Cl� # ������� ��������
Induction Step: (������"� ��� ���� �� ��� Cl� �� Cl� �� �� ������!�
���� ������� ������� ��� Cl��� ���� Cl
��� ���'�������� ������� ���� �����" ��� �� ��� #���������� "�� �� �!
���� ��� ������ �� Cl� �! Cl� ���� � �)���"� �� � ����� ��� ������ ����
��������� #� �� Cl� �! Cl� �! ��� ��� ������ ���� #� #�� �� ��� ���
���� Cl����
�� Cl ����� ��� �����! ������ ����� ����� �
Fact: %�� �� � � � � Clock �� Clock�� ����� Clock ���
Clock��
472
Additional Exercises
Proof: �� ��� ���� ��� � �� � ��� ����� �� � ��� ��� � ����
�� ������� � ���������� ���� �� � ����� �� � ���� Clock ���
Clock�� �� � ��� ��� �� � ���� Clock�����
�� Cl� � ������ �����
���� ������� � ��� � �� ������� ���� �� ��� � ��� �� � ���� � ��
����� �� � ���� ���� ������ �� �� � ������� ������ ������ �
����
�� �������� � �� ������� ���� Clock�����
�� Cl� � ������ �����
��� ���� Clock����
�� Cl�� ��� ����� ����� ������ Cl� �� Cl ��� � �� ��
� ����� !�"�!� �� ��� ������ � Clock �� Clock� ��� � ��
� � ���#�������� ����� ���� � ��� ����� ������ � Cl� ����� Cl�
�
Exercise 12.6 (page 317)
�� ����� � � �� � ���������� ������� �� ���� � ��������� � �
���������� ������� ���� $������� !�% ��� �� ��� �� � ��� ����� ��
���� ����� �� ��
� ���� ��� � �&
' ��
�
� �� �� ��� �� �� ��
�
� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� � ��
' ��
�
� �� �� ��� �� �� ��
�
� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� � ��
� ���� ��� � �&
' ��
�
� �� �� ��� �� �� ��
�
� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� � ��
� ���� ��� � �&
' ��
�
� �� �� ��� �� �� ��
�
� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� � ��
� ���� ��� � �&
' ��
�
� �� �� ��� �� �� ��
�
� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� � ��
' ��
�
� �� �� ��� �� �� ��
�
� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� � ��
� ���� ��� � �&
' ��
�
� �� �� ��� �� �� ��
�
� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� � ��
' ��
�
� �� �� ��� �� �� ��
�
� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� � ��
Exercise 12.7 (page 317)
(����� � � ��� � ��� ���������� ������� ���� � ���� �� � �����
�������� ������ ��� � ����� � � Æ �� � �� ����� � ��� ���
��� ��� ���� ��� � �
� �� ��
� � �� �� ���� ��� �� �� � ��
� � � ��� ���� � � ��� �
473
Temporal Properties
� ��� �� ��� ���� �� ��� � ��� ���� ��
� �� � ���� �� ����
���� � ���� ��� ����� ���� ���� �� �� ��� � � Æ ��
� � ��
� ��� ���� �� ��� � ��� ���� ��
� � � � ���� � � ����
���� � ����� ��� ���� �� ��� � ��� ���� ��
� � � � ���� � �
���� ���� � ��� � ��� ����� ���� ���� �� �� ��� � � Æ ��
���� � Æ � �� � ������������ ��������
Exercise 12.8 (page 318)
��� � ��� � ��� � ��� ���� ���� ���� ��� ������ ����� ��� � ������
������� �� ��� ������ ���� �� ���� ��� ��� ����� ���� �� ��� ����
��� �� �� ���� ����� �� ����� �� ���� ������ ��! �
�� ���
��
��� ���� �� �"��������� �������� �� �� ��#
reflexive: � ���� �� ��� �� �� ��� ���� ����� ���� ��� ������
����� ��� ��� ������� ������ ������� � ���� ��� ��� ���� � ���
��� ������ ������� ���� �����
symmetric: ���� ���� � �� ��� ��� ���� ��! �
�� ���
��
transitive: $� ��� ��� � �� ��������� �� �� ���� � ��� ������
� ��� ��� � �
��� � � ! % ���� � ����������� ���� ����
� ���� �� ������� � ! �&'� ��� ������� ���� ��� ��� ����� �� ��
� ��������� ��
� � �� ���� � ���� ���� ���� ��
� � � ��� � � ��� ��
��� ���� � ���� ���� ��
� �� ��� � � ����� ����� �� ���������
� ���� ��
�� ���������� ���� �� �� ���������� � ����� (�������� ')�* �����
+',� �� ����� � simulation relation �� �� � ����� ������� � ���
������ ���� �������� ��� ���� ��� ������# � ��� ����
– � ��
� � � ���� ��
� � � � ���� � � ���� ���� � ��� ��
$� ���� ������ ������ ')�, ����� +',� ��
��� ������ ����� ��� � ������ ������� �� �� ������� ����������
���� ��� ��� �� ��� ������� �� ������ � ��� � �� ��� ����
�� ��� � ���� ���������� ������� �� -���� �� ���������
� �� � ��� ���������� ������� ��
��� ��� � ���� ����� �� ���������� ��������� �� ���� � �����
�� ')�,� .� ����� ���� ���� � �� ��� ��� ������ �� � ����������
������� ������ � ��� � ��# ���� �� ��� � �� � ��� �������� ��
/0����� ')�1�
2����� ���� ���� � ��� � �� ���������� ��������� ��� ���� ����� �
� Æ �� ���� ����� ���� ��� ��� ��� � ���� ����� � �
474
Additional Exercises
�� ��
� � �� ���� �� ��� �� ��� �� � ��
� � � �� �� � � ���� �� �
� ��� �� �� ���� �� ��� �� ��� �� � ��
� �� �� �� �� ����
�� � � ���� �� ����� ���� �� � �� �� ��� � � Æ ��
���� � Æ � �� ���� ��� ��� ����
��� �� ��� ����� �� ��� � � ������� ��� ���� �� ��� ������ ��� � ��
���� �� � � ��� ���� � � ��� ���� � ��� ��� ��� � �� ��� ���
� � ��� ��������� ��� ������� ��� � ��� ���� �� ���
��� �� �� � ���� ������� �� � ����0 ��� ����0���0� ����� ����0 �� ����0���0�
Exercise 12.9 (page 321)
������� �� � � � ���� ������� �� � ��� ���� �� ������ ����� � ��!
��� "#�" �� ������ ���� ������ ��� ������� ����� ������ ��� � �
���� � ��� �� �� ��� � �� � ����� �
� � ����� ��� �� � �!� ������
�� ������ �� � � �� ���� � �� �� ���� ��� � � ���� � � ���� �� ��
��� �� � � �� ����� �� � ��� � �� ��� � � ���� �� ���� �������
������ ��� �������� $�� ���� ����� ��
� �� ����� ��� �� !� ������
�� ������ �� � �� ���� � �� �� ���� ��� � � ���� � �� %������
����� �� � ���� �� ��� � �� ����� ����� ������� �� ���� �� �������
���� �������
Exercise 12.10 (page 322)
&������ ��� ���� �� ������ ����� � ����� "#�"�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
��� ����� � ��!����� ������� �� ��� ������ ��� �������� � ��� �����
�� ��� �� � � �� �!�� ������ � ����� �� ���� ����� � ��� ���� �����
�� ��� � � � � �� � � �� � �� �!�� ������� � ����� �� ���� %����� ��
��� ��� �� ��� �� ��� �� � � ��� �� �'��� ���� � ��� ���� ����� �� ����
�� �� ������ ��� �������� �� ��� �� � ��� � �� � �� ��(�����
���� �� �� ��� �� � � �� �� %���� �� � � ���� ����� �� �������
�� )��� �� ��� �� � ��(����� ���� ��� �� � ���
475
Temporal Properties
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
���� �� ����� ��� ���������� ��������� � ��� ��� ����� � �� �
���������� �� ������ ������ ��� ����� ����� ���� � ���� ���� ��� �� �
��� �������� ����� � �� � ���� � ���������� �� �� �� �� �����
����� ��� �������� � ����� � �������� ������ �� �������� �� ��
��� ��� ���� �� � ���� ��� ��� ����� ���� � �� ����������� ��
������ ������ ��� ����� ����� ����� � � � �� � �� ���� �� �� �� �
����� ��� � �������� ������ �� ������ �������
�
�
�
��
� � �
�
�
�
�
�
���� ���� �� ����� ��� ���������� ��������� � ��� ����� ����� � ��
� ������������ �� ��� ����� ������ ��� ����� ����� ����� � �� �
�� ���� �� ��� ����� ���� � �� � ����������� �� �������� � �����
������ ��� ����� ����� ����� � �� � �� ���� ��� �� �� �� ����� �����
��� �������� � ����� � �������� ������ �� � �� �� � ��������
������ �� � ����������
�
�
�
��
� � �
�
�
�
�
�
���� �������� �� ���������� ��������� ��� � � ������ ���� �������
��� �������� ��� �� �� ���������� �������� �� ���� ��� � ����� �� ��
��� ����� ���� ��� ��� ������
476
Additional Exercises
Exercise 12.11 (page 326)
�����
��
���� Clock ��
���� Clock�
����
���� ������
�����
���� ������
�
�� � ��� �������� �������� �� ���� �� ��� ��� ��� ��� ���� � � � �
������ �� �� �
�������� ���
Chapter 13
Exercise 13.1 (page 336)
�� �coffee�true ���
�� �� � � �coffee ������ �� �� �� �� � ����� �� �����
true �� �����
��� ������� ���� �� ��� �� � � ������ � �� � �coffee� ������
�� �coffee�false ���
�� �� � � �coffee ������ �� �� �� �� � ����� �� �����
false �� �����
��� � �coffee� ����� ����� �������� �� ������� � false ����� ��
������ �� ��� �� ��� ���!��� ��� ��������� �� ������� ���
��"�� �� ��#��$ � � �!��"���� � �� ������� false�
%� &coffee'true ���
�� ������ ��� �� � � �coffee ������� �� ���� �� �� �� �
����� �� ����� true �� �����
��� ������� ���� ����� �� ��� ( �� ����� �� ������ �� �� �� ���
�� � �coffee� ����� ( � true ���� �� ����� �� ��� �� ��� ���!���
��� ��� ������� � �������� �!��"���� � �� ������� true�
)� &coffee'false ���
�� ������ ��� �� � � �coffee ������� �� ���� �� �� �� �
����� �� ����� false �� �����
* �coffee� ����� �� �������� �� �� ������� ���� false ��� ��"��
�� ��� �� ��� ���!��� ��� ��� ������� �� �� �� ��� ���
� ��coffee�true�
Exercise 13.2 (page 336)
�������true�
+� ����� �� �� �� � � ��� �� ��� �� + ��� �� �� ��� ����� ��� �
��� � �� �� ����� + ��� �� ������ ��� ������
477
Temporal Properties
Exercise 13.3 (page 336)
�tick��tick�true�
�� ���� � � �� � �� �� ������ �� � � � �tick� ������� � ��� �� ��
�� � ���� �� � �� � ��� � ���� �� �tick� ������� � � � ���� �� � � �����
Cl ��� ��� �� � � ����� Cl�� � � � ������ ����� ��� ��� ����� ��� ��� �����
Exercise 13.4 (page 340)
�� �� � !� " �� �# ��� $���� � ���� %� &� '� (� �� �� �% ��� ��� $����
Exercise 13.5 (page 341)
�� �������������������true�
� � � ���� ���� �� � � ���� ���
%� �����������������true�
� � � ���� ���� �� � � ���� �������
&� �������true�
� � � ��� ���� �� ��� ����) ��� ��� � � ������ ������ ���� ��� �����
�� ������true � ��������true � ������true�
� � � ���� ���� �� � � ���� ����
*��� � �� � � ���� � �� � � ���� ������ �$������� �� � � �����
��� ������� ������� �� ������ +� ��� �� ������ � �������� ����true
��� �$��� ������ � �, ���� �� �-�������� ������ � � ��������� �� ��
�� ������ ��� ����. �������
Exercise 13.6 (page 342)
Fact: ����� � �����
Proof: � �, ����� � � ��, ����
� ��� /��
� � � �, � 0
� ��/��
� � � �, � 0
� � /��
� � � � ��, � 0
� � /��
� � � � �, �� 0
� � �, ����� �
Exercise 13.7 (page 343)
Theorem 13.6: 1�� ��� ����� � �� ��� �������� � �� HML2
478
Additional Exercises
�� � �� pos�� � ��� � � � ��� � �� � � �
�� � �� neg�� � ��� � � � ��� � ��� � �
Proof: �� ������� � ��� ��������� �� � � ��� ��� �� ��������� ���
�� � �� pos�� � ��� � � � ��� � �� � � �
�� � �� neg�� � ��� � � � ��� � ��� �
���� ��� �������� ���� ��� � ������� � � � �������� � �� ��
�� � �
�� � �� pos��� ��� � � � ��� � �� �� �
�� � �� neg��� ��� � � � ��� � ��� ��
�� ���� ���� �� ���� � ��� ��������� �� �
� � true
�� � �� pos�true�
� � �� true !�� �������� pos�true�"
�� � �� neg�true�
� � �� false !�� �������� neg�true�"
� � ��� true !�� ��� ���� �������� � true �� false"
� � false
�� � �� pos�false�
� � �� false !�� �������� pos�false�"
�� � �� neg�false�
� � �� true !�� �������� neg�false�"
� � ��� false !�� ��� ���� �������� � true �� false"
� � ��
�� � �� pos����
� � �� neg��� !�� �������� pos����"
� � ��� � !�� �������� ��������� �"
� � �� �� !�� ��� ���� �������� � �"
�� � �� neg����
� � �� pos��� !�� �������� neg����"
� � �� � !�� �������� ��������� �"
� � ��� �� !�� ��� ���� �������� � �"
479
Temporal Properties
� � �� ����
�� � �� pos��� ����
� � �� pos���� � pos���� ��� �������� pos��� �����
� � �� pos���� � � �� pos���� ��� ��� ���� �������� � ��
� � �� �� � � �� �� ��� �������� ��������� ��
� � �� �� ��� ��� ��� ���� �������� � ��
�� � �� neg��� ����
� � �� neg���� � neg���� ��� �������� neg��� �����
� � �� neg���� � � �� neg���� ��� ��� ���� �������� � ��
� � ��� �� � � ��� �� ��� �������� ��������� ��
� ��� �� �� � � �� ��� ��� �� ��� ��� � ��
� � ��� �� ��� ��� ��� ���� �������� � ��
� � �� ����
�� � �� pos��� ����
� � �� pos���� � pos���� ��� �������� pos��� �����
� � �� pos���� � � �� pos���� ��� ��� ���� �������� � ��
� � �� �� � � �� �� ��� �������� ��������� ��
� � �� �� ��� ��� ��� ���� �������� � ��
�� � �� neg��� ����
� � �� neg���� � neg���� ��� �������� neg��� �����
� � �� neg���� � � �� neg���� ��� ��� ���� �������� � ��
� � ��� �� � � ��� �� ��� �������� ��������� ��
� ��� �� �� � � �� ��� ��� �� ��� ��� � ��
� � ��� �� ��� ��� ��� ���� �������� � ��
� � �����
�� � �� pos������
480
Additional Exercises
� � �� ���pos��� ��� �������� pos�������
� � �� pos��� ��� �� � � � ���� ��
� �
��� ��� ���� �������� � ����
� � �� � ��� �� � � � ���� ��
� �
��� �������� ��������� ��
� � �� ���� ��� ��� ���� �������� � ����
�� � �� neg������
� � �� ���neg��� ��� �������� neg�������
� � �� neg��� ��� ��� � � � ���� ��
� �
��� ��� ���� �������� � ����
� � ��� � ��� ��� � � � ���� ��
� �
��� �������� ��������� ��
� � ��� ���� ��� ��� ���� �������� � ����
� � �����
�� � �� pos������
� � �� ���pos��� ��� �������� pos�������
� � �� pos��� ��� ��� � � � ���� ��
� �
��� ��� ���� �������� � ����
� � �� � ��� ��� � � � ���� ��
� �
��� �������� ��������� ��
� � �� ���� ��� ��� ���� �������� � ����
�� � �� neg������
� � �� ���neg��� ��� �������� neg�������
� � �� neg��� ��� �� � � � ���� ��
� �
��� ��� ���� �������� � ����
� � ��� � ��� �� � � � ���� ��
� �
��� �������� ��������� ��
� � ��� ���� ��� ��� ���� �������� � ����
�
481
Temporal Properties
Exercise 13.8 (page 343)
Fact: ��� ��� ����� ������� � neg�neg�� �� � � �
Proof: �� �������� �� � ������ �� � ������� �� ���� �� � �����
�� �� � �
� � true: neg�neg�true�� � neg�false� � true�
� � false: neg�neg�false�� � neg�true� � false�
� � �� ���: �� � ������� �������� � ����� �� neg�neg����� �
�� ��� neg�neg����� � ���
��� neg�neg�������� � neg�neg�����neg����� � neg�neg������
neg�neg����� � �� ���
� � �� ���: �� � ������� �������� � ����� �� neg�neg����� �
�� ��� neg�neg����� � ���
��� neg�neg�������� � neg�neg�����neg����� � neg�neg������
neg�neg����� � �� ���
� � ����: �� � ������� �������� � ����� �� neg�neg���� � ��
��� neg�neg������� � neg��� neg���� � ���neg�neg���� � ����
� � �� �: �� � ������� �������� � ����� �� neg�neg���� � ��
��� neg�neg��� ��� � neg����neg���� � �� neg�neg���� � �� �
�
Exercise 13.9 (page 345)
�� ������� ������������� ��� � ��� � �� ����� ���������� ��
� ������� � !"���� ##�#$���� % �� ������ "���� �� �������
�� � ������� �� HML�
� ���� �� � ��� ��� �� �� &�' ����� ��� � �� � �� �� ����� ��
��� ��� ��� �� � &�' ����� ��� ���� ��� �� � ��� � �� � &�'
����� �� ��� ���� �� � ��� � �� � &�' ������ ��������(
� �� ����� ��� false � �� false�
482
Additional Exercises
� �� ��� ����� ��� ���� ���� � �� ������ ��� ��� � �� ��� ������
��� ���� �� ���� �� � � ��� ������ �� �� �� �� � ���� �� ����� ���
��� ���� � � ��� ������ � ���� � � ��� ������� ���������
� �� ����������true � ���true�
��� ���� ��� � ��������� ��� ��������� ��� ��!����� �� ���� ������
� � neg��� �� � � neg����
Exercise 13.11 (page 350)
"� #�� ��� ��� �������
���true � ����false � ������false�
#������ ��� ���������� � ��� ����� ��0�
� $�� %� � ���&���� �� ���� �� � �� ���� �� � �� � ���� �����'
� $�� ���� ���&������� �� ���� �� � ��� �� ���� �� � �������!
����� ���� �� � ���� ������
� $�� %��� ���&���� �� ���� �� � ��� �� ���� �� � ��� ���� �(
���� �
)� $�� ���������� ��� ������� ��� �����0* ��0� �
���true � ����false � �������true � ���true � ������false
��
Exercise 13.12 (page 353)
"� ����true� � �� ��
)� ����true� � ��� ��
+� �������true� � �� ��
,� �������true� �
-� �������false� � �
.� �������true� � �� �� ��
Chapter 14
Exercise 14.2 (page 360)
/�� ����� 0 ���� Sort��� � �� �
���� 0 ���� Sort��� � ���
$��� ������� � � � ������!� Sort��� �� Sort����
0� �� ��� ���� ��0 ���� Sort� � � ���� � � � ��0 ��� � � � 0�
$�� � � � ������ � � �� � � �
483
Temporal Properties
Exercise 14.3 (page 362)
��� ������� ��� ������ ������� ��
������ � ��� ���
�� ����� � ��� ���
��� � ������� ����
�� ����� � ������
��
Exercise 14.4 (page 365)
��� ����� ������� ������ � ��� �� ����� ���� �� �� ������ �� ��� ��� �
���� �� ����� ���� �� �� ������ �� ������ ��� �� ��������� ������� ��
�� ������ �� ����� �� � �� �� � � � �� �� ������ �� ����� � �������
�� ������ ���� ���� �� ������ �� ��� ��� ������ �� ������ ����� ����
���� �� ������ �� �����
��� �������� ���������� �������� ���� � ���� �� ������ ���� � ���
�������� � �� �� ����������� �� ���� �� �� ������ ���� ��������� �� ���
� �� � �� ���� �� �� ������� ���� �� ����� ������� ��� �� ��
��������� ��������� ���� �� ������ ����� � ����� ���� �� ���� ����� �
����� �� ���������� ����� ���� ������� �� ������ � ����� �� ������
��� � ����� !������ �� ��������� �� ����� �� ������� ���� �� ���� �
����� ����� �������� �� ������ � ����� � ����� � ������ ���� � �����
����� �������� ��������� ��� � ���"���� � �����
� �� � ��� �������� ��������� �� ������ �� �� ���
� �� � ���� �������� ��������� �� ������ �� ��� ������
����� ���"���� ��������� �� ���� �� �� ���� �
�� ������� � ������ �������� �� ���� ��� � ����� ���� � ����� �� ����#
������ ������� ���� � ���� �������� �� ������� �� � ���� ������� �� ����������
����� ��� ������ �� ������� ��� ���� �� ������ � ������ ��� ���� ��
������ � ��� ������ ��� $����� ������ �� ������ ���� ������ �� �� �� ��#
���� ��� ��� �������� ��������� ��� �������� ��� �� �������� ��������
��������� ���� ����� ����� ��� �� ����� ����������
Exercise 14.5 (page 368)
��� ���� ��� �� �� ���� ��� �������" �� �� ����� ����������� �� ������
� ���" �� � ���" ����� �� �� ��������� �%� ����������� ����� ���� �
�������� ��� ����� ��� ��� ����� � ���" ���� �� �� ����� %� ��
������������ ��� � ������ � ���" �� �� �� � ���"� �� ���� ��� �� ��
�� � �������� ��� ���"��� � �� � �� ���� ������� ������� �� &����
���� ����������� �� ������ � �� ������ �� � ��'���� ���"� ����� ���"
�� � �� �� ���� �� �� � ������������ ��� ��� ���� ����������� ��
� �� �� ��� �� ������ (�� ���"�� �� ���� $�� ���"� )� �� ����� ���
�� ������������ * ��� + ��� �� ������� ���" +� ����� �� � ��������
484
Additional Exercises
Exercise 14.6 (page 371)
�� ����� ���� ��� ���� ������ ������� ��� ����� ����� � � ����� ��
����� ��� ������ ������� ���� ��� ������ ������ ��� ��� �� ���� �� �����
��� ��������� ����� ���� ��� ���� ������ ������ ��� ���� ���� ��� ������
������� � �������� �������� ����� ���� ��� ������ ������ ���� � ���
������ ������ ������� ��� ���� ��� ���� ���� ���
� ���� ��� ���� ������ ������� ����� �� ����� ��� ������ ������ ���
������ ����� ���� ���� ��� b1 ������ ���� �� � ��� ����� ���� ���
����� ��� b2 ������ � � ��� ����� �� �� ��� k �������� � � ���
����� ���
� ����� ��� ���� ������ ������ ��� ����� ��� ������ ������� ���
������ ������ � ����� �� �� ������� �� ����� ��� ������ ������ ���
� � ����� ���� ���� ��� b2 ������ ���� �� � ����� ���� ���� ����
������ ��� k �������� � � ��� ����� ��� !��� ��� ������ ��� ���
�� ���� �� ���� �� ����� �� ��� ����� ��� ������ �������
Exercise 14.7 (page 373)
!�� �������� �������" ����� ������� ��#���� �� ������ �� ��� �������
���� �� ��� ������� ��� ��� ������ !�� ��$������������ ���� ���
������ � ������ ��� ���� ��� ��� ����� ������ ���� ������� ���
��� �������� ��� ��� �%������ � ��� ��������� ��� ��� ��� � ���
� ��� ������� !��� �� ������� ������ ���������&
Sender���' in�snd�S S
���' ack�Sender ( err�snd�S
Sort�Sender� ' �snd� ack� err�
����� �� �������� ������ � �� ���� ����&
Sender snd�S
S
in
sndack
err
!�� �������� ������� ���� ����� �� ��� ������� � �� ��$����"
�������� ���� ����� ���� ������� � ������� ��� ��� )rcv* ������ ���
�������� � �� ��� ��� )out* ������� � ��� ���� �� ������� ��$����"
�������� �� �������� ��� � )rack* ������� �� ��� ��� � ��� �� �����
�� ������ � ��� �������� ������� � ��� ������ ������ �� ������� ��"
��� ������� ��� ��� ����� ��������� �� � )rerr* ������� �������
485
Temporal Properties
���� ��� ��������� ��� �� ���� �� ���� ���� �� � ������� �� ����
��������� ���� ��� �� ��������� �� �� �����
Receiver���� rcv�out�rack�Receiver � rerr�rack�Receiver
Sort�Receiver� � �rcv� rack� rerr�
��� ���������� ����� �� �������� �����
Receiver out�rack�Receiver
rack�Receiver
rcv
outrack
rerr
��� ���� ���� �� ��� ������ ��� �� �������� ��� ��� ������
�� ��� ����� ��� ��������� ��� ��� ��� ������ �� ��� ����� ��
��� ���� ���� � �� ��� ������ ����� ��� ����� !���� ������� ��� ������
�� ��� ������ � �� ��� "rcv# �������� ��� $���� ����� ��� ��%�����
��������� ��� ��� ��� ������ � ����� �� ��� "rack# �������� ��
���� ������ ������ ��� ��������� ��� ���� �� ��� ����� � �� ��� "ack#
�������& �� �� �� ��� ��� ��������� ��� � ����� �� � "rerr# ��������
��� ���� � �� ��������� ��� ��� ��� ������� ��� �� ���������
�� �� �����
Medium���� snd��rcv�rack�M � err�Medium�
M���� ack�Medium � rerr�rack�M
Sort�Medium� � �snd� rcv� err�
��� ���������� ����� �� �������� �����
Mediumrcv�rack�M
�err�Medium
rack�MM
snd
err
rcv
rack
ack
rerr
486
Additional Exercises
Sender
� Medium
� Receiver
snd�S
� Medium
� Receiver
S
� �rcv�rack�M �err�Medium �
� Receiver
S
� rack�M
� out�rack�Receiver
S
� rack�M
� rack�Receiver
S
� M
� Receiver
in
snd
rcv
err
out
rack
ack
rerr
����� �� � �� ������ ������������� ������
�� ������� ����� �� �� ���������� ������� ���� ���� �� ����������
�� �� ����� ���� �� ������ ����� �� ����� ��� �������
�� ������ ����� �� ����� ���� �� �� ����������� �! ���
��� ����������
System���" Sender � Medium � Receiver
�� ��# �� !����#��� �������������
����� ������ ������in
snd
ack
err
rcv
rack
rerrout
�� ��$���� �! �� ������ ������ ����� �� ���� ������ � �� �����
������ ����� ������ �� ����� �� � �� ������� �#� �� �����
��� �� ������ �� ��������� ������ � �� ���� ���������� ������
487
Temporal Properties
Exercise 14.8 (page 377)
� ���� ��� ���� �� � � � �� ��� ����� ���� ����� �� � � � ��� ���
������ �� �� � in ����� �� ������� � ��� ����� ��� ������ �� ���
���� � �
��� � ���
� ���� ����� ��� ������ �� ��� �� � � �� �� ������� in ����� ����
��� Sender ������� ������ ��� ���� �����
� ���� �� �� � ����� ���� ��� Sender ����� ������������ ���� ���
Medium �� � ack� ������ ����� ��� Sender �� ��� ���� ���� �� ���
Medium �� ��� ���� � �
� ���� ���� ack� �������������� ������� ��� Sender �� ������� � �
������ ������� ��� ������ �� �� �� �� ��� ������ �� ��� ��� ����
� ��� Medium �� �� � �� ���� ack� ����� ���� �� ������������ ���� ���
Receiver �� rack� ������
� ��� Receiver �� ���� �� �� � �� ���� rack� ����� ���� ����� � out
������ �� ���� ���� ��� Receiver �� ��� ���� �����
� ��� ������ �� ���� �� �� ��� ���� ���� �� � ����� ���� ����� ���
���� ������� �� ����
Chapter 15
Exercise 15.2 (page 384)
��� �������� ����true �� ��!�������
������true ����� �� ���� �
��"�#false ����� ����� "�#�� �
���� ���� � �� ��!�������
Exercise 15.3 (page 385)
$�� ������ ��� � ���� ������ � ������ �����
���� �� ���� ��� ��� � ��� ����� �� ������ ��� � ���� �����
�� � ������ ����% ��� �� � ��&������ �� ��� ���� ��'�������� ��� ����
� ������� ����� � ���� ����� �����
(������� ���� ���� ��'�������� �� ������ �� �� ��� ��� �������� �
�� �� true� � �� ������ true �� ��� ���� ������
(����� $�� true�� �
488
Additional Exercises
Exercise 15.4 (page 386)
Fact: � ��V � ��� ��� �� ��� � � ���V�
Proof: � ��� ����� �� ��� ��� �� �� �� � � ��� ��� � ����� �� ��� ��� ��
� �� �� � �
� � true: � ��V true � � � States � � � �true�V�� ����
� � false: � ��V false � � � � � � � �false�V�� ����
� � �: � ��V � � � � V��� � � � ���V�� ����
� � �� : � ��V �� � � ���V �
� � �� ���V�� ����
� � � ���V�� ���� � � � ����
V�� ����
� � �� ���: � ��V �� ��� � � ��V �� ��� � ��V ��
� � � ����V�� ���� ��� � � ����V�� ����
� � � ����V�� ���� ����V�� ����
� � � ��� ����V�� ����
� � �� ��: � ��V �� �� � � ��V �� �� � ��V ��
� � � ����V�� ���� �� � � ����V�� ����
� � � ����V�� ���� � ����V�� ����
� � � ��� ���V�� ����
� � �� �: � ��V �� � � ��
� � � � �� ���� � � ��V �
� ��
� � � � �� ���� � � � ���V�� ����
� � � ��� ��V�� ����
� � ����: � ��V ���� � ��
� � � ������ � � ��V �
� ��
� � � ������ � � � ���V�� ����
� � � ������V�� ���� �
Exercise 15.5 (page 388)
��� ��V�� ���� � �� � States � �
�
� � � ��� ���� � � � � � � ��
489
Temporal Properties
Exercise 15.6 (page 389)
�� ������� ��� ��� ����� �� � � � ����� � � ������V�� ���� ��� �����
��� �� ��� ���� ���� ����� �� ��� �������� ���� � ������V�� �����
��� � � �� � States � ��
� ��
� ��
� � � � � � �� ��� �� �� ����
���� � �������� �� ������� �� ������� ��! ��� ��� ������"� ��������
� � ����� # ����������� �� ������� ��! ��� �� � � ���� �����$ �
���� ���������� ���� � ��� �� ���� �� ��� %������ ���� ������
&� ��� ��� ����� ���� � � ��� ���� ������
� � ���� � ������V�� ����
� �� � States � ��
� � � ��� ��� � � � � �
��� ����� ������� ���� � � �� '� ���� �� �� ���� � � ��
(���� � � � ��
� � � ��� ��� � � � ��
(���� � � � � � ��
� � �� ��� ��� � �� � ��
(���� � �� � � � ���
� � ��� ��� ��� � ��� � ��
)��������% �� ��� ������ �� ������ ����� ���� � � ��
# ��� � ���� ����� �� ��� �������� ���� � ������V�� ���� ���� � �������
��� ���� ��� %������ ���� ����� ������� ��� ����� ��� � � ���� � ���
� ��� � � ��������� ��
� � ��� ��
� �� &��� � �� � ��� ��� � � ���
��� ���� ����� �� ��� ���������
Exercise 15.7 (page 392)
'� ���"� ��� �� ��������� * ��� ��%���% �� ��� * �� ��� �������� �� �
+� �"�� � ���� ������ ��� ����� ��� ���� ���,� ������ �� ��� �����
�� ��� �����%�� ����� ��� HML �&������ -�. ��%� -!-��
� �:
� �Vneg��� � � �
V� � � � V��� � � � V��� � � ��V �
� ��� :
� �Vneg���� � � � �
V���neg� �
� � � States � � � � ��� �� � � � � �V�� ���� neg� �
� � � States � � � � ��� �� � � � � �V�� ���� neg� �
� � � States � � � � ��� �� � � � � ��V�� ����
� � ��V ���
� ��� :
490
Additional Exercises
� ��Vneg������ � � ��
V���neg���
� �� � States � �� � �� � �� � �� � �� � ���� ��V�� ���� neg���
� �� � States � �� � � � �� � � � �� � ���� ��V�� ���� neg���
� �� � States � �� � � � �� � � � �� � ���� ���V�� ���� �
� � ���V ���� �
Exercise 15.12 (page 399)
�� ���� � ���� ��� ����� � ��� � ������ �� ����� �� � �����
������ ������ ��� � ������� ���� �� ������� �� ��� �
��� �����
� ��� ���� � �� �� �� ������� !��� ����� "�� � !���
������� ��� ���� �� ��# ���� ��� �� ��� �� !��� �������
����� $�
%��� ���� ������� �� ��� �� ��� �� �� ��� � ��� ���� �� ��
��� �� �� ��� �� �� �� ��� �� ����� $��
&� ���� � ������ ��� ����� � �� ������ �� ����� �� � �����
������� ������ ��� � ��� ��� � ��� � ���� � ��� � �� ����
� � � ����� ���� �� ������� !��� ����� �� �� !��� � �������
�� !�$ � �������� �� ���� �� ��� � ��� � ���� � ��� �
�����# ������ � � �� �!��� ���� ��� ��
%��� ���� ������� �� ��� �� �� ��� � ��! ����� �� �� ��� �� �
���� ���� ������� �� ��� ���
'� ���� � ������ ��� ����� � �� ������ �� ����� �� � �����
������� ������ ��� � ��� ��� � ��� � ���� � ��� � � �� ����
%��� �� ������� �� ��� �� �� ��� ��� �� ��� �� � �� �� ���� ���
���� � � �!� ��� ( �� �� ( �� !��� � ������� �� �� ��!�����
Exercise 15.13 (page 401)
�� almost always holds along some �� path.
) ���� ��� ���� ������� �� ����� ��� !��� � � ���� �� ���� ��
� ��� �� � ��������� ���! ��� � � �� ���� ����� ���� ��� �
�� ������ ����
� ��� ������ � ��� �� ����� �� ������� ���� ������ �����
���� ��! �� �����
* � ��� � ���
� � ��� �� � ���� ��������� ���� ������� ��� � � � �� ��
�� � ��� �� �+����������
491
Temporal Properties
���� � �����
������� �� ��� �� ��� �� ���������� �� �� ������ �� � � ����
�� �� ��� ���� ������� ��� � �� �������� �� ����� ��� ���� � ��
��� �� ���������
�������� � ����
�� �����
�� � holds infinitely often along some �� path.
�� ����� �� �� �������� �� �� ����� �� ��� �� ���� �� ���� � ����
�� ����� � ������� � � ��������� �� ��� � ���� ��� ��� ��
������ �� �������
�� ����� ���� ���� ��� � ���� � �� ����� ����������� � �� ����� �
�� ���! �� �� ���� �� ��� � ��� � �������� ����� � �������
� �� ����� ����������� � �� ����� � �� ������ �� ���� ���� ���
���� ����� �������
������"� � ����# � �����
492
Index
�� ���
�� � ���
��� ���
��� ���
��� ���
�� � ��� �
� � �� ��
� � � ��
F� ��
�� �
� � �� ���
�� � ��� �
� � �
�� �
T� ��
� � ��� �
� � ���
�� ��
���� ��� ��
� ���
�� �
�� �� �� ���� ���
�� ��
�� ��
�� ���
�� �
��� ��
�� ���
��� �� ��
� ���
���� ���
id� ��
�� ��
�� �� ��
���� ���
�� ���
����� � ��
����� � ��
���� � ��
���� � ��
���� � ���� ���
��� ���
���� � ��
����� � ��
����� � ��
���� � ��
���� � ��
���� � ���� ���
�� �� ���
�� ��
0� ��� ��
�� �
��� ��
��� � ��
�� ���
�� �
�� ���
� �
���� �
�� ���
�� ���
�� ��
�� � ���
��� ���
��� ���
�� ��
�� ��
�� ���
�� ��
�� ��
V�� � ��� ��
�� ��
F. Moller, G. Struth, Modelling Computing Systems,Undergraduate Topics in Computer Science,DOI 10.1007/978-1-84800-322-4, © Springer-Verlag London 2013
INDEX
�� ��� ��� ��� ��
�� � ��� ��
��� ��
�� ���
�� � ������ ������ ��
���� ������ ��
���������� ����� ��� �� ��� ��
�������� ���� ����� ��
������������ ��
���� ���!� "#������� ���
������ ���$%� ���
�������� ���
������� �& � ����� � ���
��#�� �& '���� ���
��(������ ����� ��
)*+)� ��
���� �� ,���������� ��
�� ��� ������� ��
���-����� ��
����������( ��� ��������� ���
./ (���� ��
������ ����� ��������� ���
������ ����� ��
������� ���
��(# ��� �& � &#������� ���
����� �� �
����� �& � &#������� ���
���������0���� ��� ��� ��� ��� ��
��� �� &�� #��� ��
��� �� ������������ ��
��������1��&����� (� ��� ���
����������� ���
2���#�� 3�-�� ��
2���#�1.�#� "�� � ��
�������� � ��������� ���
2���� 4����� ��
���� ���� ���
��5������� ���
������ ��(���� ��� ��
������ &#������� ���
������ �# ����� �
������ ��������� ���
������ ����� ���
���� #������ ����#���(� ���
���� #������ (� �� ��
���� #������ ��������� ���� ���
����� ��� ��
2���� 4�#��� ���
����� �& � ���������� ���
����� ��(������(� �
2."� ��
2������ ��(����
�& ������������� ��
�& ����� ��
���10��#�� 2������ ��(����� ��
2������ ��(������ ��
��#�� 0�������� ���� ���
��#���� 6#����$������� ���
��%� ���� ���
���� ��� ���7��
������ ���
2����� �
2����� 8-������ ��
8 /� �
8�5���� "������� ��
���� ������� ���
������������ ��� ���� ���� ��
8������� )����� ��� ���� ���
8�������� ����#��� ��
8��0��� ��#�� ���
8������!� 9�������� ���
�������(� ��
�-������������ &�� #��� ��
�-������������ &#������� ���
������ ���� ���� ���
�-����� ���
������ ���7���
8������ �#����� �
����� � �� ���
����� � �� ���
���� ��� �& � &#������� ���
��� ������� ���
8�����: ���5���#��� ���
8�����:!� ���5���#��� ���
�� #�������� ��������� ���
494
INDEX
������������ �� � � �� �
����������
���������� ��
���������� ���� �� �� �
���������� �� � ��� ��
��������������� �
����������� �� ��������� ���
����������� �� ��������� ��
����������� �� ��������� ���
�������� ������� �
������������� ������� � �
�������� ���� !������" �
���������� �� �� ��#����� ��
���������� �� �� ����������� ��
���������� ��������� ��
����������� ���������� ��
���$������� ��
���$����� ��
������������� ��
������������� ���� �� ��
�������������� ��� �� ��
������%�� ��� � �
������%� ��&���� ��� � �
�������� ���
�������� ������� ���
!� !���� ���
������������� �� � �
������������� � �
!� '��#�� ���� ��
!� '��#�� �#����� ��� ���
�������( ��� ��� ���
�������( ������� ��
��������� ��
!��� )��� ���
��&���# ��������� ���
��&������� ���
!�((��*� �#����"� � �
!����# +, -������ � �
!� '��#��*� .��� �� � ��
������� ��� ��
!��(��� �"����� � �
��������� ���
!�� /���0 +��" � 1��#���� ��
��2������ �� ��� ���� �
��#���� �������� ��
!�$(���� -��#�� +, � � ���
�����# �"������"��� ���
���$���� ���� �
���$������� ��
���$����� ��
������%������ �� � �� � ��
!��#��� �"����� .�����#� ��
������ �� � �������� ��
������ �� � �������� ���
���������� ���� ��
���%�� ���������� ��� � ��
���%�� ��#����� ��� �� ��
!����� 3�"� �
������# ������# ���
������ ��������� ��
-�������*� 4����� ��
-������� �%��� �� ���
�������� ���
����������� ������#��� ���
���� ��� ��
���� ��� ���� �� ��
���� ���� ���
-��������� �"� ������ ��
������� �� ���� ��
����������� � ��
����������� ������� ���
����������� ��� �� ��
����������� �������� ���
-��5�� 6��� ���
-����� ��� ��
-���� .���"��� ���
������ ���
������ �� � ����� ���
�7������ ������ ���� �� ��
�7������� �� �� �� ��
�7������� 84 #��� ��
�7��������� ������&������ ���
�7������ ���������� �������� ���
��������� �������� ���
������� ���
495
INDEX
�������� ��������� ���
������ ������� ��� ���
�������� ���� ������� ���
������ ������ �� ���
��������� ���
��������� �� �������
��������� ������ ������ ���
��������� ������� ���
��������� ���� ��
�!"# �$
%���� &���� �'�
%���� ��� ��$
���(������� )������ �
%*�� +���� �,� �
������� ��
���� ������� ��-
���� ����� �-�
�������� �''
����������� ������� �� )���������
��'
&��� ��������� ��� ���
&��� ���� �'�
&���� �'�
.����/��/������ �'�
.����/��/��/������ �'�
.���� 0��� ��������� ��
.0" � ,
� �'�
.��������� ���1������ ��'
.���2�� 3����� ��$
&��&�� ���
.�2�� ��
.�2�� ��������� '
&��+� �'$
.���� 4������ 5���2�� �
&������� ������ ������ � ,
&������� %*�� +���� �,�
���� ����� �-�
���� ����� ������� $'
6������� ��� ,
�������� ������� ���
6����� 3����� ���
6����&��� 07 8���� ��'
���+ +�����* ���
6������� 9�����2 ��,
6�������/9����� ��&�� ��,
������&������ �������� � �
�� ������
6��2��� :��� �',
HML ��,
6��� .���� �� 3���2��� #�&�������&
��
����&������ �������� � �
����+������ ��2� � ,$ � $-
�������� �������� �'
�������� ��2� ,
���&� �� � �������� �',
���&�/%���� ��,
!9"� � -
��+����������� *� ��
��+�������� �'
��+�������� ��2 � �
���������/�*������� +�����+�� �, '
��������� ���
������������ ��������� ��
�����& ��������� ���
���������� ��������� ��'
�������� ��%������ �-�
�� � �-�
�� � ���� ��+�� ��-
�� � �������� ���
�� � ���� ���
�� � ��� �-�
�� ���&�� ��'
��������� �
��%������ ����� �-�
��%* ���� �',
��%* �������� ��-
��%* ����� � �
��1����� �������� ��-
��������� ���� ��
!���&��� '$
!���� ������� �
!������� 9��� "������� � -
������������ �� �2� ���� ��
496
INDEX
������������ ������� ���
������ �������� ���
������ ������� ���
���������� �� ��
���������� ������� ���
����� ����� ! ���
��� "��� ���
���� #�� �� ��
$%��� &��' ���
$' #�� ��
��'(���� %�� �)
$������ *���' �
$����(+��� +,����� ��� ��) ���
���
�-����� �������� '��� ��� ���
��� .��� �//
#�0#. /
� �� .��-�� 1������ ��
� �� �,� 2������� 3����� �)
�� �� "����� ���-� ��
��� 4��� %���� ��)
��� 0,��� �
�����, ��/
������ �� 5� ��)
����� 1��' /
�-�� #-�� ��)
��,�'�� "�66 ���
����� ������ ��)
������ %��%����� ��� ���
������ %��%���' ��/
����� ��� �� �/
������ �7�������� )/ �)�
����� #�-����� ������� /
����� 8���������� ���� �% ��
����� %������ �/�
��� &��� �
�9����' �������� ��
��(��(�,�(������ ���� �
3�(:���(&�� ;����� ���
3�� &����,� �� /�
��,������ ��������� ���
3�0��,'< ��(�������� ���
3�0��� ��,� ���
����� ��� ���
3������ 3��� ��)
��������� ��
������-�� ��
3����� ;�-�� ���
������� ��� ��)
������� ��� � ��� ������ �/�
���
������� ������ �/�
�������� �� ����-� ���
mod ���
���� ��%�, �)�
���� ,��%��� ���- ��)
3��� ���� ���
���� ����� ���
�� -��������� �)�
���� ��(������ ���
����� ��
���� %���� ���
���� ������ ���
����� �/�
��������� �������� ���
3���� $��, /�
��(%%������� ���
�����%����� ���
����� �������� ��/ )��
����� �������� ������,� )
�= ���
1-���� >������ ���
1����,< ;��� ��
1#1. �� /�
1#1. ��� ���
1���� ���-�� /�
1�� 5���� ���
1���,�(��,������ 5������� �
������� ��
1���� +�� ��
1����� 5���� )
1�����,�< +,����� �)�
nil %���� ��� ���
��� ���?��� ��)
497
INDEX
������ ���
���� ���
��� �� �� ���
��� �� �� ��
�� � ���� ��
����� �� ����� ��� �
������������� � �
������� ���������� �
�� �� ��������� ��
���� ����� !���" #��� ���� ���
�� � #��� ���� ���
�� �� �� ��
��$���$ ����� �
��$���� �������� �
��$����� %��&�'� ��
�% ����� ��
����������������� ��
�������� ������� ���� �
����� (���� �� #�����)� �*
��� ��� ��$��� ��
��� � ���� ��
��� � ��� ��+����� � ��
��� � ��� ��+����� ������ (�� ��
,�������� ,('����� ��
���#�� ��#���� ��� ������ ��
,�����-��$� ��
,� �����.� /����� (�� �*
,� ������ 0��' 12� �*
������ �
������ ��
,3��'�� 0������ ��
,3��'�.� 4�� �� ���� ��
��-���� � ��
�����$���� �# ������ �&��� �*� ���
���$������� ��$����� �
���$��� �� ���
���$��� � ������ ���
���+� �� � ���� ���
�������� �# � #��� ���� ��
������� �# �� ������� � ��
������� �# �� ������� ���� ��
����� ������� *
����� ���
�������� ���
0� ���� ���
�� ��� ���+�� ��
�� ����� ���
�(����� ��
$�+���� �5�� ����� ���
$�+�� ����� ���
�&�� �� ���
nil � ���� ���
&��������� ���
���$�� � *�
����#� ��
����# �' ��� ��$�� ���� ��
����# �' ��� ������ ���� ��
����# � �� ������ ��
������� ���� �*
������� ����� ������ �&�� ��� ��
��� ��� ���� �
$�� ��� ���� �
�5��&������� ��
������� ���� �
���� ���� ��
������� ����� #������� ��
������� ����� ������ ��� ��� ��
#������� ��
�'����� ��
�'� ��� ��� ��
������� ����� &�������� ��
��� ����� � �
�������6�' ��'� �����('� *
,' (������� ��
5��$�� �� #������� �*
5��� �+�� ���� ��
5��� �+���� ���
��$�� (����' ���(���� �
����-�' ��&�� ��������� ��
����� �# � #��� ���� ��
����� �# � ���� ���� �*�
�� ����� �������� �
���� �������� �
�����$�� ����� � �
498
INDEX
��������� ��
������� � �������� ��
������� � ��������� ��
������� � ���������� ��
������� � ���������� ���
�������� �� �������� ���
������ � ������� ���
������ � �������� ���
������ ��� � ���
������� ��� ���
�������� ���
���������� �
!" ����� ��
��� #�� �
����� ��� ���
������� ��
������$� %������ ��&��
������ "������� ��
'��(� )����* ���
������ ���������� ��� ���
������ �������� ���
�����+���� �������� ���
�����+���� ����������� ��
�����+�� ���
'�(�,����-"�������� #(����� ���
'�(�,����.��$� ��� ���
���������
�� HML ���
�� ������������� ��.�� �� ��
��� ��
������� ��
���������� ��
������ ��
�������(�� ��
���-������� �������� �� ��
'������ /���� ��
��� ������ ��
���������� �������� ���
����� �� ����� �� ��
'���*���$� 0(����� 0����� ��� ��
������� ������� �
Sort1�2 ���
������ �� � �������� ��
�����+������ �� ��
��������� ��
������ �� � ������ �
������.� �� �
�����. ��
�����. ��������� ��
'����. 3������� ���
���������� ��������� ��
������ ��
��������� �������� ��
��������� ������� ��
��� ��
'������� ��
�������� ��
���4���� � �������� ���
������ �
��������� ������� ���
��������� ��5������ ��
��������� �������� ���
�������� ���
����(���������� ���.� ��� ���
����(���������� ���� ���
������
�� HML ���
�� ������������� ������6 �
�� ������������� ��.�� �� �
������ ���� ��
����(���� ��
������ ��
���� ��
��� ��
���.�� �� � �������� ��
#����.��� 7�����8� ���
#����.���� *���� ��������. ��������
���
�������.� ��
�������.� ��*� �� �
�������� ��.�� ���
�������� ���������� ���
������. ����
#(� "��9 ���
�(����� ���
#(���� � �
499
INDEX
�������� ��� ����� �
������������ ���
����� ������ ���
������ �� ����� ���
����� ������������ ��������� ���
����� ����������� ���
����� ���� ���
���������� ���������� ��
������������ ��
���������� ��������� �!�
����������� �� � ������� �!�
��������� �������� ��!
��������� ��������� ���
������������ "�� ��
�����#�� ����������� � $
����� ���� ���� �$�
����� ������� �
������� %���&� �
���������� �� '�������� �"�
����������� ���� �$�
����� �� ��� ����� "�
����� !$
�������� �������������� ���
������� ����� !�� !�
������� �� ���������� "�
()) )���'����
���� '��'����� ��$
���� '��'�������� �
�������� ��������� �!�
���� �� � ��������� ��$
��������� ���
*��� ���#���� "�
����������� +�� ��
,���� )�������� ����� ��
,����� -����� ��
����� .�#�� �!$
����/������ �������� �$
�0� �$
,��������� 1����� 2����� ��
,����� 3����� ���
,����� 1������ ��
,������ 4����� �!$
������# '�������� ���
������# ������#�� ���
����� ���
536 #���� ��
7��&������8� �������� � �� �"
9���� !$
7���&��� ,������� �$�
500