FACULTAD DE CIENCIAS

UNIVERSIDAD DE GRANADA

MASTER EN FISICA Y MATEMATICASTRABAJO DE FIN DE MASTER

Soluciones esfericamente simetricas y estaticas en

gravedad de Gauss-Bonnet

Autor:Jose Adrian Castelo Martınez

Tutor:Bert Janssen

Julio de 2018

I

Abstract

In this work we will study Gauss-Bonnet gravity as theory for the gravitationalfield independent of the Einstein-Hilbert theory. Its action is the fourth dimensionalEuler characteristic, which is a topological invariant in four dimensions so it is notpossible to obtain dynamics for the gravitational field, fact that forces us to work inD ≥ 5. The main feature of this theory is that, in spite of deriving from a lagrangiancuadratic in curvature invariants, equations of motion are not of four order in metricderivatives, but of second.

We will find the equations of motion that satisfies the geometrical tensor for thistheory and we will look for spherically symmetric and static solutions. We will realisethe same study for both gravitational theories so we can compare the results. Wewill derive the vacuum solutions in both theories; which we will interpret as blackhole solutions after a causal study, and also we will derive the solutions in presenceof a cosmological constant, studying analogies and differences.

Keywords: Gauss-Bonnet gravity, Einstein-Hilbert Gravity, black hole, cosmo-logical constant.

II

Resumen

En este trabajo estudiaremos la gravedad de Gauss-Bonnet como teorıa para el cam-po gravitatorio independiente a la de Einstein-Hilbert. La accion para esta teorıaes la caracterıstica de Euler cuadridimensional, la cual es un invariante topologicoen cuatro dimensiones con lo que no es posible obtener dinamica para el campogravitatorio, y por tanto nos ceniremos a D ≥ 5. El interes de esta teorıa es que,pese a derivarse de un lagrangiano de segundo grado en invariantes de curvatura, lasecuaciones de movimiento no son de orden cuarto en derivadas de la metrica sino desegundo.

Encontraremos las ecuaciones de movimiento que satisface el tensor geometricoen esta teorıa y nos dispondremos a buscarle soluciones esfericamente simetricas yestaticas. Haremos el mismo estudio tanto en gravedad de Einstein-Hilbert como deGauss-Bonnet para poder comparar los resultados. Encontraremos las soluciones devacıo en ambas teorıas; que interpretaremos mediante un estudio causal como agu-jeros negros, y las soluciones en presencia de constante cosmologica, y estudiaremosanalogıas y diferencias.

Palabras clave: Gravedad de Gauss-Bonnet, Gravedad de Einstein-Hilbert, agu-jero negro, constante cosmologica.

III

Convenios

En este trabajo fijaremos la velocidad de la luz a la unidad, c = 1. Esto implicaque longitudes y tiempos se miden en las mismas unidades.

La signatura de la metrica sera (+,−,−,−).

Usaremos el convenio de suma de Einstein, donde se entiende que se sumasobre ındices superiores e inferiores repetidos, v.g.:

VµWµ ≡

�

µ

VµWµ

Asumiremos que las variedades involucradas estan equipadas con una metricagµν y una conexion Γλ

ρµ. Supondremos ademas que la conexion es simetrica (eltensor de torsion es nulo) y compatible con la metrica (la derivada covariantede la metrica es nula). Esto fija unıvocamente la conexion a Levi-Civita, cuyaexpresion respecto a la metrica son los sımbolos de Christoffel:

Γλρµ =

1

2gλσ (∂ρgσµ + ∂µgρσ − ∂σgρµ)

Definimos el tensor de Riemann a partir del conmutador de derivadas cova-riantes como

[∇µ,∇ν ]Sρ1...ρm

λ1...λn =Rµνσρ1Sσρ2...ρm

λ1...λn + · · ·+RµνσρmSρ1...ρm−1σ

λ1...λn

−Rµνλ1

σSρ1...ρmσλ2...λn + · · ·− Rµνλn

σSρ1...ρmλ1...λn−1σ

conRµνρ

λ = ∂µΓλνρ − ∂νΓ

λµρ + Γλ

µσΓσνρ − Γλ

νσΓσµρ

Con la conexion de Levi Civita el Riemann posee las siguientes simetrıas

Rµνρλ = −Rνµρλ, Rµνρλ = −Rµνλρ, Rµνρλ = Rρλµν

y satisface

Rµνρλ +Rµρλν +Rµλνρ = 0, ∇µRνρλσ +∇νRρµλσ +∇ρRµνλσ = 0,

conocidas como primera y segunda identidades de Bianchi.

El tensor de Ricci es, con la conexion de Levi Civita, la unica contraccionindependiente del Riemann, que escogemos Rµν = Rµλν

λ. Definimos el tensorde Einstein a partir del de Ricci y su contraccion como Gµν = Rµν − 1

2gµνR.

Indice general

Introduccion 1

1. Gravedad de Gauss-Bonnet 3

1.1. Gravedad en dimensiones menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Breve historia de la gravedad de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Calculos previos 9

2.1. Variedades maximamente simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Variedades esfericamente simetricas y estaticas . . . . . . . . . . . . . 12

3. Soluciones en Einstein-Hilbert 17

3.1. Solucion de Schwarschild-Tangherlini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Solucion de Schwarzschild-(Anti)-De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Soluciones en Gauss-Bonnet 25

4.1. Solucion de vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2. Solucion con constante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Conclusiones 35

A. Variacion de la accion de Gauss-Bonnet 39

A.1. Algunas variaciones utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A.2. Variacion de la accion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

B. Divergencia de Hµν 45

Referencias 49

V

VI Indice general

Introduccion

En noviembre de 1915, Albert Einstein publico las ecuaciones que gobiernan ladinamica del campo gravitatorio, las cuales relacionan la estructura geometrica delespaciotiempo con el contenido de materia y energıa de este:

Rµν −1

2gµνR = −κTµν , (1)

con κ una constante cuyo valor queda fijado por el lımite newtoniano de la teorıa,resultando ser κ = 8πG, conG la constante de gravitacion universal. Estas ecuacionesse pueden derivar variacionalmente desde del principio de mınima accion a partir dela accion de Einstein-Hilbert, propuesta por el matematico David Hilbert, y cuyaforma es

S =1

16πG

�dDx

�|g|R. (2)

Dado que la accion tiene unidades [S] = ML, por argumentos dimensionales debeser que [G] = LD−3M−1.

El Principio de Equivalencia nos dice que, localmente, podemos hacer desaparecera la fuerza de la gravedad con la eleccion adecuada de coordenadas. Un estudiodetallado revela que tenemos los suficientes grados de libertad para fijar, en unpunto dado, la metrica a la de Minkowski y sus primeras derivadas a cero, perono las segundas1. Como las acciones deben ser escalares, nuestro lagrangiano debeser entonces un escalar que dependa al menos de derivadas segundas de la metrica,y como el escalar de Ricci es el unico escalar independiente construible a partirdel Riemann, usarlo como lagrangiano hace de la teorıa de Einstein-Hilbert la masnatural si se quiere describir la gravedad en cuatro dimensiones. Esto se debe aque entonces las ecuaciones de movimiento resultantes son de segundo orden en lametrica, pues el tensor de Ricci y su contraccion van simbolicamente como ∼ ∂Γ,que a su vez va como ∼ ∂g.

Pero en dimensiones mayores, no tenemos argumentos para no incluir terminoscuadraticos, cubicos, etc. de escalares construidos a partir del tensor de Riemann.La unica restriccion que imponemos es obtener ecuaciones de movimiento de (comomucho) segundo orden en derivadas de la metrica. Resulta que existen toda una seriede polinomios de escalares de curvatura que satisfacen dicha condicion, conformandola suma de todos estos el lagrangiano de Lovelock. En esta suma, el n-esimo terminoes la caracterıstica de Euler 2n-dimensional, la cual es un invariante topologico en

1Lo que se manifiesta en que existe un campo gravitatorio siempre que el tensor de Riemann nosea identicamente nulo.

1

2 Introduccion

dimension 2n, identicamente nula en dimensiones menores, y capaz de dar ecuacionesde movimiento de segundo orden en dimensiones mayores. Escribimos el lagrangianode Lovelock como:

L =n�

i=0

ciLi, (3)

con ci constantes (a priori) arbitrarias. Fijada una dimension D, la suma acaba cuan-do n es igual a la parte entera de D/2, siendo el ultimo sumando la caracterısticade Euler D dimensional, y los siguientes identicamente nulos. A orden cero, tene-mos la constante cosmologica c0, cuyo lagrangiano no esta relacionado con ningunacaracterıstica de Euler (es una constante que podemos tomar la unidad). A primerorden tenemos el lagrangiano de Einstein-Hilbert, que como veremos no es capaz dedar dinamica para el campo gravitatorio en dos dimensiones. Ya a segundo ordentenemos el lagrangiano de Gauss-Bonnet, objeto de este trabajo:

L = R2 − 4RµνRµν +RµνρλR

µνρλ. (4)

Estudiaremos por tanto la dinamica gravitatoria en la teorıa de Gauss-Bonnet, yla compararemos con la que se obtiene de Einstein-Hilbert. Organizaremos el trabajocomo sigue: en el capıtulo 1 motivaremos el estudio de gravedad en dimensiones ma-yores, haremos un breve repaso historico sobre la inclusion de terminos de curvaturade mayor grado en el estudio de la gravedad y deduciremos las ecuaciones de cam-po a partir del lagrangiano de Gauss-Bonnet. En el capıtulo 2 calcularemos todo lonecesario antes de introducirnos de lleno en la resolucion de ecuaciones: haremos unrepaso de la teorıa de variedades maximamente simetricas y calcularemos la formade Gµν y Hµν en estas; encontrando ademas las soluciones maximamente simetricaspara ambas teorıas, y la forma de estos para una metrica esfericamente simetricay estatica. En el capıtulo 3 estudiaremos las soluciones esfericamente simetricas yestaticas en gravedad de Einstein-Hilbert, y haremos lo propio para la gravedad deGauss-Bonnet en el capıtulo 4. En ambos estudiaremos ademas propiedades de lassoluciones, tales como localizacion de singularidades y estructura causal.

Conclusiones

En este trabajo hemos estudiado la gravedad de Gauss-Bonnet como una teorıa inde-pendiente a la de Einstein-Hilbert para el campo gravitatorio. En el capıtulo 1 vimosporque eran necesarias al menos cuatro dimensiones para que el campo gravitatoriotuviera dinamica en la teorıa de Einstein-Hilbert. Pero este mismo camino nos hizodarnos cuenta de que como ciertos efectos quedaban ocultos debidos a la dimensionescogida, podrıa ser que otros efectos queden ocultos igualmente si nos restringimosa cuatro dimensiones.

Pero para dimensiones mayores no tenemos ningun argumento para no incluirterminos de curvatura de mayor orden en el lagrangiano. Ası, vimos que para termi-nos cuadraticos existe cierta combinacion de invariantes de curvatura cuadraticosconstruida a partir del Riemann y sus contracciones conocida como lagrangiano deGauss-Bonnet. Esta combinacion resulta ser la caracterıstica de Euler cuadridimen-sional, y como tal no nos permite obtener ecuaciones de movimiento para dimensionesmenores o iguales a cuatro dado que es un invariante topologico (al igual que el la-grangiano de Einstein-Hilbert es la caracterıstica de Euler bidimensional, y vimosexplıcitamente que el tensor de Einstein era identicamente nulo en dos dimensiones).Esto implica que el estudio de esta gravedad ha de realizarse en D ≥ 5. Vimos quela variacion de este lagrangiano respecto a la metrica nos da un tensor de segundoorden en esta; Hµν , simetrico y con divergencia nula, por lo que puede actuar comotensor geometrico y ser igualado a tensores de energıa momento. El objetivo del tra-bajo ha sido intentar encontrar soluciones esfericamente simetricas y estaticas a estaecuacion.

Para ello, en el capıtulo 2 revisamos brevemente la teorıa de variedades maxima-mente simetricas y vemos que forma obliga la simetrıa de estos espacios a adoptar aGµν y Hµν . Esto nos permitio encontrar las soluciones maximamente simetricas enpresencia de constante cosmologica4. Vimos que el signo de la curvatura de la varie-dad dependıa del signo de la constante cosmologica en gravedad de Einstein-Hilbert,mientras que en gravedad de Gauss-Bonnet podemos tener soluciones con curvaturatanto positiva como negativa para constante cosmologica positiva, debido a la na-turaleza cuadratica de la teorıa. Tambien vimos la expresion para Gµν y Hµν paraun ansatz esfericamente simetrico y estatico. Ambos estudios nos permitieron com-

4Ademas, nos permitio comprobar nuestros calculos en variedades esfericamente simetricas yestaticas al obtener las mismas expresiones cuando sustituıamos el elemento de lınea (A)dS encoordenadas estaticas, y tambien comprobar que el lımite m → 0 en las soluciones esfericamentesimetricas y estaticas nos devolvıa la solucion (A)dS con la correcta relacion entre curvatura yconstante cosmologica.

35

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probar explıcitamente que el tensor geometrico para gravedad de Einstein-Hilbertera identicamente nulo en D = 2, ası como su contrapartida en gravedad de Gauss-Bonnet tambien es nulo en D ≤ 4.

Una vez tenıamos todo eso, dedicamos el capıtulo 3 a encontrar soluciones esferi-camente simetricas y estaticas en gravedad de Einstein-Hilbert. Primero encontramosla solucion de vacıo, conocida como solucion de Schwarzschild-Tangherlini. Pudimosinterpretar la constante de integracion M como Gm tomando el lımite newtoniano, ymediante la integral de Komar vimos que la energıa de esta solucion coincidıa con lamasa m de la fuente. El estudio causal nos mostro que se tenıa una singularidad fısicaen el origen envuelta por un horizonte de eventos, es decir, que la solucion represen-taba a un agujero negro. Tras esto, encontramos la solucion en presencia de constantecosmologica, conocida como solucion de Schwarzschild-(A)dS, que representa a unagujero negro de Schwarzschild-Tangherlini en el origen de un espaciotiempo (A)dS,y estudiamos los puntos singulares de la solucion y la localizacion de los horizontes,viendo una inecuacion entre la curvatura y la masa segun la cual podıamos: o no te-ner horizontes (singularidad desnuda), tener dos; uno de eventos y uno cosmologico,o en caso de que se de la igualdad tener uno solo donde coincidan el de eventos y elcosmologico.

Finalmente, en el capıtulo 4 estudiamos los mismos casos para la gravedad deGauss-Bonnet. Para la solucion de vacıo, encontramos una solucion similar a la deSchwarzschild-Tangherlini, pero que decaıa mas lento con la distancia. Esto hacıaque la constante de integracion ya no fuera proporcional a una masa, sino a suraız, y ademas que no pudieramos identificar el termino con el potencial gravitatorionewtoniano. Esto repercutıa en que la integral de Komar nos devolvıa una energıa quecrecıa con la distancia al origen, pese a que la solucion fuera asintoticamente plana.Como vimos, estos problemas se podıan achacar a que la teorıa fuera cuadratica, dadoque por serHµν ∼ RRµν+. . . , la expansion de campo debil no nos permitıa recuperarla ecuacion de Poisson. Por otro lado, el estudio causal de esta solucion nos permitiointerpretarla como de agujero negro, ya que la estructura de las geodesicas nulascoincidıa para ciertas dimensiones con la estructura de la solucion de Schwarzschild-Tangherlini. Para la solucion en presencia de constante cosmologica obtuvimos algoque interpolaba entre la solucion de agujero negro y la de universo (A)dS, pero noun agujero negro en un universo (A)dS como ocurrıa en la teorıa de Einstein-Hilbert.Aun ası, la localizacion y propiedades de los horizontes resulto similar dado que loslımites son analogos en ambas teorıas (r → 0 recupera solucion de agujero negro yr → ∞ recupera (A)dS). Vimos ademas que la expansion para grandes distanciasnos devolvıa la solucion de Schwarzschild-dS, pero no creemos que esto escondaimplicaciones profundas mas alla de que las soluciones en ambas teorıas tienden aDe Sitter, y ha coincidido que el siguiente termino en la expansion de la solucion enGauss-Bonnet tenıa la potencia adecuada.

Por tanto, este trabajo nos lleva a concluir que el estudio de la gravedad de Gauss-Bonnet como unica teorıa para la dinamica del campo gravitatorio no es fructıfero,resultando en soluciones que no sabemos interpretar, sobretodo por no poseer estateorıa lımite newtoniano. Limitaciones de tiempo no nos han permitido llegar masalla, pero el siguiente paso logico serıa combinar ambas teorıas gravitatorias y plan-

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tearnos resolver: Gµν+αHµν = −κTµν (ahora α = κ/α), y estudiar las soluciones quese derivan de esta teorıa. Fijemonos que Hµν cumplıa lo necesario para actuar comotensor de energıa-momento, por lo que incluso para Tµν = 0 tenemos una ecuaciondistinta a la de vacıo en Einstein-Hilbert. Nuestro estudio revela que ninguno de loslagrangianos Lovelock (salvo el de Einstein-Hilbert) dara ecuaciones de movimientoplausibles para el campo gravitatorio por sı solo, pues no se podra recuperar desdeninguno la ecuacion de Poisson, y sin lımite newtoniano no se podran interpretarlas soluciones. Por tanto, cualquier teorıa gravitatoria en dimensiones mayores quequiera incluir terminos de curvatura de mayor grado ha de anadirse a la de Einstein-Hilbert, que proporciona el lımite newtoniano. Con solo ese requerimiento, cualquierlagrangiano de la serie de Lovelock puede acompanar al de Einstein-Hilbert, ya quetodos daran ecuaciones de movimiento de segundo orden. Pero si resultase que laserie de lagrangianos Lovelock aparece como correcciones al de Einstein-Hilbert enun lımite a bajas energıas de una teorıa fundamental, lo logico serıa ir incluyendo demenor a mayor grado lagrangianos al de Einstein-Hilbert en el estudio de la gravedad,y las constantes que los acompanasen ya no serıan arbitrarias, sino que dependerıande la energıa, revelando su aparicion conforme esta aumentase.

40 Apendice A. Variacion de la accion de Gauss-Bonnet

Ahora, si Γλρµ → Γλ

ρµ + δΓλρµ, esto inducira una variacion en el tensor de Riemann

Rµνρλ → Rµνρ

λ + δRµνρλ. La expresion del tensor de Riemann es

Rµνρλ = ∂µΓ

λνρ − ∂νΓ

λµρ + Γλ

µσΓσνρ − Γλ

νσΓσµρ, (A.6)

por tanto

δRµνρλ = ∂µδΓ

λνρ − ∂νδΓ

λµρ + δΓλ

µσΓσνρ + Γλ

µσδΓσνρ − δΓλ

νσΓσµρ − Γλ

νσδΓσµρ

=∇µδΓλνρ −∇νδΓ

λµρ + T σ

µνδΓλσρ, (A.7)

donde T λµν = Γλ

µν − Γλνµ es el tensor de torsion, el cual es nulo si la conexion es Levi

Civita, por lo queδRµνρ

λ = ∇µδΓλνρ −∇νδΓ

λµρ. (A.8)

Por ultimo, como Rµν = Rµλνλ, obtenemos

δRµν = ∇µδΓλλν −∇λδΓ

λµν , (A.9)

ecuacion conocida como identidad de Palatini.

A.2. Variacion de la accion

Con todo lo anterior, podemos estudiar la variacion de la accion. Lo haremos paracada termino cuadratico por individual:

Variacion de S1

Tenemos que

S1 =

�dDx

�|g|R2 =

�dDx

�|g|gµνgαβRµνRαβ. (A.10)

La transformacion gµν → gµν + δgµν induce una variacion en S1 dada por

δS1 =

�dDx

��|g|

�2RRµν −

1

2gµνR

2

�δgµν + 2

�|g|gµνgαβRαβδRµν

�, (A.11)

donde hemos usado (A.3) para la variacion de la raız del determinante de la metrica.Para poder extraer las ecuaciones de movimiento, necesitamos factorizar del ultimotermino la variacion de la metrica. Usando (A.5) y (A.9), es facil comprobar que lavariacion del tensor de Ricci respecto a la metrica viene dada por

δRµν =1

2gλα (∇µ∇νδgλα +∇λ∇αδgµν −∇λ∇µδgαν −∇λ∇νδgµα) , (A.12)

por lo que gracias a la simetrıa de los tensores involucrados y renombrando ındicesobtenemos:�

dDx 2�

|g|gµνgαβRαβδRµν =

�dDx 2

�|g|Rgµνgλα (∇µ∇νδgλα −∇λ∇µδgαν) .

(A.13)