Ejercicio 20 Resuelve:

) log 100a 2 ) log 100 000b 5

) log 0'1c 1 ) log 0'000 001d 6

27) log 10e 27 2) log 10f 2

6) log 36g 2 8) log 8h

113) log 3i 11 2) log 0 '5j 1

Ejercicio 21 Resuelve:

4) log 2a Igualamos a x y aplicamos la definición: 4log 2 4 2xx ;

2 2 1 14 2; 2 2; 2 2 2 1;2

xx x x x ; por tanto: 41log 22

) log 10b Igualamos a x y aplicamos la definición: log 10 10 10xx ;

12 110 10; 10 10 ;

2x x x ; por tanto:

1log 102

32

23) log 8 2 22

xc x x ; por tanto: 23log 82

1

3 33

1) log 3 3 33

xd x x ; por tanto: 3

31log 33

(Continuación)

13) log 1 13 1 0xe x x ; por tanto: 13log 1 0

32

125 1) log 0 '125 2 0 '125; 2 2 31000 8

x xf x x ;

por tanto: 2log 0 '125 3

15

2 1) log 0 '2 5 0 '2; 5 5 110 5

x xg x x ; por tanto:

5log 0 '2 1

313

1) log 27 27; 3 3 33

xxh x x

; por tanto: 1

3

log 27 3

413

1 1 1) log ; 3 3 481 3 81

xxi x x

; por tanto: 1

3

1log 481

32

110

1 3) log 1000 1000; 10 1010 2

xxj x x

; por tanto:

110

3log 10002

Ejercicio 22 a) Halla la base en la cual el logaritmo de 16 es 2:

2 2 2log 16 2 16; 4 4x x x x b) Halla la base en la cual el logaritmo de 125 es 3:

3 3 3log 125 3 125; 5 5x x x x c) Halla la base en la cual el logaritmo de 729 es 3:

33 3 6 3 2log 729 3 729; 3 ; 3 9x x x x x d) Halla la base en la cual el logaritmo de 27 es -3:

33 3 3 3

3

1 1 1log 27 3 27; 3 ;3 3 3x x x x x

Ejercicio 23 Calcula el valor de x en las siguientes igualdades:

) log 3a x ; aplicando la definición: 3

3

1 110 ;10 1000

x x x

) log 0 '5 4xb ; aplicando la definición: 4 4 4

4

1 10 '5 0 '5 ; ;2 2

x x x x

12

) log 32c x 5

5 21 1 532 2 2 22 2 2

xx

x x

Hay tres consecuencias inmediatas de la definición:

El logaritmo de 1 es cero (en cualquier base) 1 0basex x El logaritmo de la base es 1: 1x

baselog base base basex x Sólo tienen logaritmo los números positivos: x

alog N x a N Como a > 0, 0xa siempre. (el ejercicio 24 es de calculadora) Ejercicio 25 Aplicando propiedades (de momento sólo conoces una), obtén:

log 40 log 25 log 40 25 log1000 3

Ejercicio 26

Simplifica la expresión log 1 1 log 1 1x x

Aplicando la propiedad del producto:

log 1 1 1 1x x se trata de una suma por diferencia:

2

2log 1 1 log 1 1 logx x x

Ejercicio 27 Aplicando propiedades obtén:

80log80 log8 log log10 18

Ejercicio 28

Sabiendo que log log 1x y , encuentra la relación que existe entre x e y:

log log 1x y ; aplicando la propiedad del cociente: log 1xy ;

y por la definición de logaritmo: 110 10; 10x x x y

y y

Ejercicio 29 Aplicando propiedades obtén:

12

4 4 41 1 1log 4 log 4 log 4 12 2 2

Ejercicio 30

Sabiendo que log 2 0 '3 , calcula:

3) log 8 log 2 3 log 2 3 0 '3 0 '9a

10) log 5 log log 10 log 2 1 0'3 0 '72

b

3 3

3

5 2) log 125 log log 1000 3log 2 3 3 0 '3 2 '12

c

664) log 0 '64 log log 2 log 100 6 0 '3 2 0 '2

100d

Ejercicio 31

Sabiendo que log 5 0 '69 , calcula:

) log 500 log 5 log 100 0 '69 2 2 '69a

5) log 0 '5 log log 5 log 10 0 '69 1 0 '3110

b

Ejercicio 32 Opera (sin calculadora):

) log 2 log5 log 10 1a

40 5 200) log 40 log 5 log 20 log log log 10 120 20

b

3

5 5 3 6) log 25 log 4 log 1000 log100 log10 2 15 5

c

Ejercicio 33 Simplifica las siguientes expresiones:

) 2log 5 log 4 log 10 log 25 4 log 10 log 10a a a a a aa

3

1 1 12 12) log 12 log 9 log 8 log log log 22 3 3 29 8a a a a a ab

4 3) log log 4log 3log logc x x x x x

) 1 log 2 log 10 log 2 log 20d

) 3 log 2 log 1000 log 2 log 500e

3) log 2log 3log 2log 5logf x x x x x

Ejercicio 34 Expresa la propiedad anterior con una expresión matemática:

log loga aA B A B

Ejercicio 35 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones:

) log 2 log 3log 2 log 5a A x y

2 3 2log log log log 5A x y

2 3log log 25 logA x y

2

3

25log log xAy

; tomando antilogaritmos: 2

3

25xAy

) log log logb B x y x y

log logB x y x y

2 2log logB x y ; tomando antilogaritmos: 2 2B x y

) log 3log log 32 log2xc C x

3 5 1log log log 2 log 2C x x

3 5 1log log log 2 log 2C x x

3 2

4log log log log2 16x xC C

x ; tomando antilogaritmos:

2

16xC

Ejercicio 36 Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones:

2 3 4)a A x y z 2 3 4log logA x y z

2 3 4log log log logA x y z

log 2 log 3log 4 logA x y z

3 4

2) a bb Bc

3 4

2log log a bBc

3 4 2log log logB a b c

log 3log 4log 2logB a b c

23

5) mnc Cñ o

12 3

5log log mnCñ o

2 51log log log3

C mn ñ o

1log log 2 log 5log log3

C m n ñ o

1log log 2 log 5log log3

C m n ñ o