Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”6

Unidad 6. Sistemas de ecuaciones

PÁGINA 125

48 ¿Qué valores deben tomar a y b para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones?

°¢£

3x + 2y = 5 ax + by = 15

Escribe tres soluciones del sistema.

Para que tenga infinitas soluciones, la segunda ecuación debe ser proporcional a la pri-mera.

Así: °¢£

3x + 2y = 5 ax + by = 15

8 a = 9 y b = 6

Soluciones: Damos valores a x para obtener puntos de la recta 3x + 2y = 5:

x = 1, y = 1; x = 0, y = 52

; x = –1, y = 4

49 ¿Qué condición deben cumplir c y d para que este sistema no tenga solu-ción?

°¢£

3x + 2y = c 6x + 4y = d

El sistema no tendrá solución cuando las dos rectas sean paralelas, es decir, cuando d ? 2c.

50 Resuelve este sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas y comprueba gráfica-mente su solución:

°§¢§£

2x + y = 1 x – y = 5 x + y = –1

☞ Halla la solución de las dos primeras ecuaciones y comprueba si verifica la tercera.

°§¢§£

2x + y = 1 x – y = 5 x + y = –1

°¢£

2x + y = 1x – y = 5

8 3x = 6 8 x = 2 8 y = 1 – 4 = –3

Comprobamos si se verifica la tercera ecuación: 2 + (–3) = –1

La solución del sistema es x = 2, y = –3.

■ Profundiza

51 Resolver por sustitución: °¢£

2x – y = 2 x 2 + y 2 = 52

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Despejamos y en la 1.ª ecuación y sustituimos en la 2.ª:

y = 2x – 2 8 x 2 + (2x – 2)2 = 52 8 5x 2 – 8x – 48 = 0 8

8 x = 8 ± √82 + 4 · 5 · 4810

= 8 ± 3210

x = 4x = –12/5

Si x = 4, y = 2 · 4 – 2 = 6.

Si x = – 125

, y = 2(– 125 ) – 2 = – 34

5.

52 Resuelve por sustitución.

a) °¢£

x – y = 2 x 2 – y 2 = 16

b) °¢£

x + y = 1 2x 2 – y 2 = 2

a) °¢£

x – y = 2 x 2 – y 2 = 16

8 °¢£

y = x – 2x 2 – (x – 2)2 = 16 8

8 x2 – x 2 + 4x – 4 = 16 8 4x = 20 8 x = 5 8 y = 3

Solución: x = 5, y = 3

b) °¢£

x + y = 1 2x 2 – y 2 = 2

8 °¢£

y = 1 – x 2x 2 – (1 – x)2 = 2 8

8 2x 2 – 1 + 2x – x 2 = 2 8 x 2 + 2x – 3 = 0 8

8 x = –2 ± √4 + 122

= –2 ± 42

x = 1x = –3

Si x = 1, y = 0.

Si x = –3, y = 1 – (–3) = 4.

53 La diferencia de dos números es 2, y la de sus cuadrados, 20. Halla esos núme-ros.

Los números son x e y.

°¢£

x – y = 2x2 – y2 = 20

8 °¢£

x = 2 + y(2 + y)2 – y2 = 20 8

8 4 + 4y + y2 – y2 = 20 8 4y = 16 8 y = 4 8 x = 6

Los números son 6 y 4.

54 La diagonal de un rectángulo mide 15 cm, y su perí-metro, 42 cm. Calcula sus lados.

°¢£

2x + 2y = 42x2 + y 2 = 152 8 °¢

£x + y = 21x 2 + y 2 = 225

8 x

y15

8 °¢£

y = 21 – xx 2 + (21 – x)2 = 225 8 x 2 + 441 – 42x + x 2 = 225 8

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8 2x 2 – 42x + 216 = 0 8 x 2 – 21x + 108 = 0 8

8 x = 21 ± √441 – 4322

= 21 ± 32

x = 12x = 9

Si x = 12, y = 21 – 12 = 9.

Si x = 9, y = 21 – 9 = 12.

Los lados del rectángulo miden 9 cm y 12 cm, respectivamente.

55 El perímetro de un rectángulo es 68 m, y su área, 240 m2. Halla sus lados.

x

y

°¢£

2x + 2y = 68xy = 240

8 °¢£

x + y = 34xy = 240

8 °¢£

y = 34 – xx(34 – x) = 240 8

8 34x – x 2 = 240 8 x 2 – 34x + 240 = 0 8

8 x = 34 ± √342 – 240 · 42

= 34 ± 142

x = 24x = 10

Si x = 10, y = 34 – 10 = 24.

Si x = 24, y = 34 – 24 = 10.

Los lados del rectángulo miden 10 cm y 24 cm, respectivamente.

56 Las diagonales de un rombo se diferencian en 6 cm y su área es 56 cm2. Calcula la medida de las diagonales.

°§¢§£

x – y = 6x · y

2 = 56

8 °¢£

x = 6 + y(6 + y)y = 112 8

x

y

8 6y + y 2 = 112 8 y 2 + 6y – 112 = 0 8

8 y = – 6 ± √36 + 4 · 1122

= – 6 ± 222

y = 8y = –14 (No vale).

Si y = 8, x = 6 + 8 = 14.

Las diagonales miden 8 cm y 14 cm, respectivamente.

57 El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. La altura relativa al lado desigual mide 12 m. Calcula la medida de los la-dos iguales.

☞ Si llamas x a la mitad de la base, se simplifican los cálculos.

yy

2x

12

x

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°¢£

2x + 2y = 36y 2 – x 2 = 122 8 °¢

£x + y = 18y 2 – x 2 = 144

8 °¢£

y = 18 – x(18 – x)2 – x 2 = 144 8

8 324 – 36x + x 2 – x 2 = 144 8 36x = 180 8

8 x = 5 8 y = 18 – 5 = 13

Los lados iguales miden 13 cm.

58 En una parcela rectangular de 60 m de períme-tro se hace un jardín rectangular bordeado por un ca-mino de 2 m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es 112 m2.

x

22

y

°¢£

2x + 2y = 60(x – 4)(y – 4) = 112

8 °¢£

x + y = 30xy – 4x – 4y + 16 = 112

8

8 °¢£

y = 30 – xx (30 – x) – 4x – 4(30 – x) + 16 = 112 8

8 30x – x 2 – 4x – 120 + 4x + 16 = 112 8

8 –x 2 + 30x – 216 = 0 8 x 2 – 30x + 216 = 0 8

8 x = 30 ± √302 – 4 · 2162

=

= 30 ± 62

x = 18 8 y = 12x = 12 8 y = 18

Las dimensiones de la parcela son 12 m y 18 m, respectivamente.

59 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:

a) °§¢§£

x – 3 = 0 2x – 3y = 9 x + y – z = 1

b) °§¢§£

3x – 2y + z = 4 x + y = 5 z – 3 = 1

c) °§¢§£

x + y = z x – y = z x + z = – 4

d) °§¢§£

x + y = 5 x + y + z = 3 y + z = 2

a) °§¢§£

x – 3 = 0 2x – 3y = 9 x + y – z = 1

8 °§¢§£

x = 32 · 3 – 3y = 9 8 –3y = 3 8 y = –13 + (–1) – z = 1 8 –z = –1 8 z = 1

Solución: x = 3, y = –1, z = 1

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b) °§¢§£

3x – 2y + z = 4 x + y = 5 z – 3 = 1

8 °§¢§£

3x – 2y + 4 = 4x + y = 5z = 4

8

8 °¢£

3x – 2y = 0 x + y = 5

8 °¢£

3x – 2y = 02x + 2y = 10

8

8 5x = 10 8 x = 2 8 2 + y = 5 8 y = 3

Solución: x = 2, y = 3, z = 4

c) °§¢§£

x + y = z x – y = z x + z = – 4

8 °¢£

x + y = zx – y = z 8 2x = 2z 8 x = z 8 z + z = – 4 8

8 2z = – 4 8 z = –2 8 –2 + y = –2 8 y = 0

Solución: x = –2, y = 0, z = –2

d) °§¢§£

x + y = 5 x + y + z = 3 y + z = 2

8 °§¢§£

x = 5 – y 8 x = 5 – 4 = 15 – y + y + z = 3 8 z = –2y + z = 2 8 y + (–2) = 2 8 y = 4

Solución: x = 1, y = 4, z = –2

60 Una pieza mecánica está formada por tres cilindros, cuyas secciones se ven en esta figura.

Las distancias entre los centros de las bases de los cilindros son: AB = 14 cm; AC = 17 cm; BC = 13 cm.

¿Cuál es el radio de cada cilindro?

xx

yy

z

z

A

BC

Según el enunciado:

AB = 14 = x + yAC = 17 = x + zBC = 13 = y + z

°§¢§£

Resolvemos el sistema:

x + y = 14x + z = 17 y + z = 13

°§¢§£

8 x + y = 14x + z = 17 –y – z = –13

°§¢§£

8 x + y = 14x – y = 4

°¢£ 8

8 2x = 18 8 x = 9 cm 8 y = 5 cm 8 z = 8 cm

Por tanto, el radio de A es 9 cm; el de B, 5 cm; y el de C, 8 cm.

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