Notas de Algebra Lineal Respuestas a ejercicios escogidos Sebastian Castaneda Hernandez Agustin Barrios Sarmiento Rafael Martinez Solano Grupo Marea Ediciones Uninorte Barranquilla -Colombia 2 Capitulo 1 Vectores en IR2 y IR3 1.1 Introduccion Ejercicios 1.1.1 (pagina 5) Ejercicio 2: (a). Si ~x =(x,y)se tiene (x,y)+(2,5) = 3(-3,6) (x +2,y +5) = (-9,18) de donde x +2 = -9 y+5 =18, por lo que ~x =(x,y) =(-11,13). Utilizando las propiedades de espacio vectorial de IR2 , se tiene: ~x =3~b-~a = 3(-3,6)-(2,5) =(-9-2,18-5) =(-11,13). 3 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL 1.2 Sistema bidimensional de coordenadas Ejercicios 1.2.1 (pagina 10) Ejercicio 1: ( Las respuestas en este ejercicio no son unicas.) (a.) {(x,y)|x2 +y2 =4}si escogemos un sistema rectangular de coordenadas cuyo origen sea el punto P. Si el sistema se escoge, por ejemplo, de forma que el eje x sea tangente a la circunferencia y el eje y pasepor el centro(ver figura) setiene(en el caso mostrado)quela circunferenciaquedadescritapor la ecuacion x2 +(y-2)2 =4. b.) Una ecuacion sencilla para la recta se obtiene escogiendola como uno de los ejes de coordenadas. Si, por ejemplo, la recta es el eje x su ecuacion es y =0. c.) Escojamos el sistemadeformaquelos catetosqueden sobrelos ejesde coordenadas. Por ejemplo, consideremos el caso mostrado en la figura siguiente. Entonces los lados del triangulo quedan descritos por: Cateto de 3 cms: {(x,0) |0 = x = 3}Cateto de 4 cms: {(o,y)|0 = y = 4}Hipotenusa: {(x,y)|y = -4 x +4,0 = x = 3}.3 Capitulo 1. Vectores en IR2 y IR3 5 Barrios/ Castaneda/ Martinez Ejercicio 2: a.) Un semiplano. e) Una circunferencia Ejercicio 3: (a.) En el plano, fijado un punto O, el conjunto de los puntos que esta a una misma distancia, no nula, de O, es un conjuntoinfinito(una circunferencia) por lo que un mismo real positivo estaria describiendo a un conjunto infinito de puntos del plano. b.) Para una recta fija L, el conjunto de los puntos del plano que estan a una misma distancia, no nula, de L es la union de dos rectas paralelas a L y es, por lo tanto, un conjunto infinito. Si consideramos distancias con signo, dependiendo de los semiplanos en los cuales queda dividido el plano por L, el conjuntodepuntos correspondiente aun numeroreal esel conjuntodepuntos de una recta paralela a L o L misma. 1.2 Segmentos dirigidos y vectores en IR2 . NOTAS DE ALGEBRA LINEAL 1.3 Segmentos dirigidos y vectores en IR2 Ejercicios 1.3.1 (pagina 23) Ejercicio 1: -. (b.) PQ =(1,-4), si X es el punto final de un segmento equivalente a hP,Qi, entonces: X =(6,-4), si el segmento se ancla en R. X =(3,-7), si el segmento se ancla en Q. X =(0,2), si el segmento se ancla en S. Si X es el punto inicial, entonces: X =(4,4) si el punto final es R. X =(1,1) si el punto final es Q. X =(-2,10), si el punto final es S.vv (d.)Perimetro= 2 17+3 2. Ejercicio 3: . . . vv (a.) (0,2) (b.) (0,-2) (c.) 2 cos p 4 ,sen p 4 =( 2, 2) (d.) (2,0) (e.) (-2,0). Ejercicio 5: -. -. UnpuntoS como elpedido satisface: RS = tPQ,donde t es un real cualquiera. Ejercicios 1.3.2 (pagina 33) Ejercicio 1: vvv-. -. -. (a.)kPQk = 17,kPRk = 13,kQRk = 10. Las direcciones respectivas, como angulos en grados, son aproximadamente 72.96375,123.69006 y 198.43494. -. -. (b.) La no colinealidad de P,Q y R se sigue porque los vectores PQ y PR, anclados en el mismo punto, P, no sonparalelospor no ser multiplos entre si. (d.) Una ecuacion vectorial es(x,y)=(-1+t,2+4t),t . IR. 6 -1 73 87 911 , ,, ,, ,,(e.) 55 555555 Capitulo 1. Vectores en IR2 y IR3 7 Barrios/ Castaneda/ Martinez Ejercicio 2: v3 v3(a.)(2,0) (b.) (-1,5) (d.) (-2,3) 26 13 Ejercicio 4: (a.) Eje X:(x,y)=(t,0),t . IR Eje Y:(x,y)=(0,s),s . IR. (b.) (x,y)=(-1+t,5), t . IR o(x,y)=(s,5),s . IR. (c.) (x,y)=(2+t,3+2t),t . IR. (d.) (x,y)=(3t,2-2t),t . IR. (e.) (x,y)=(1+5t,-3-t),t . IR. (f.) (x,y)=(4+2t,-5t),t . IR. 1.4 Sistema tridimensional de coordenadas Ejercicios 1.4.1 (pagina 42) Ejercicio 2: (b.) 1.4 Sistema tridimensional de coordenadas NOTAS DE ALGEBRA LINEAL (d.) (h.) (i.) Capitulo 1. Vectores en IR2 y IR3 9 Barrios/ Castaneda/ Martinez (l.) Ejercicio 3: Eje X : {(x,0,0) |x . IR}, Plano XY : {(x,y,0) |x,y . IR}, (a.) Eje Y : {(0,y,0) |y . IR}, (b.) Plano YZ : {(0,y,z)|y,z . IR}, Eje Z : {(0,0,z)|z . IR} Plano XZ : {(x,0,z)|x,z . IR} (c.) {(x,y,0) |(x -1)2 +(y-2)2 =1}. (d.) {(x,y,2) |x2 + y2 =4}. Ejercicio 4: -. -. -. (b.) PQ =(-2,1,-1),PR =(-1,0,2),QR=(1,-1,3). vvv (c.) 6+ 5+ 11 8. 178 -187(f.) ,,, ,, .333 333 -. -. (i.) Una solucion se obtiene con elpunto S cumpliendola condicion PQ = RS,-. de donde S = R+ PQ =(-2,3,4). Existen, por supuesto, otras soluciones. Ejercicio 6: Si ~v =(x,y,z)6=(0,0,0)y .,. son los angulos directores, se tienen: x = k~vkCos(.)Cos(.) 1.4 Sistema tridimensional de coordenadas NOTAS DE ALGEBRA LINEAL y = k~vkCos(.)Sen(.) z = k~vkSen(.) Ejercicio 7 (Las soluciones dadas abajo no son las unicas posibles:) (a.) (x,y,z)=(1-2t,3t,2+2t),t . IR. (c.) (x,y,z)=(1,-1,3)+t(3,-1,2),t . IR. (d.) (x,y,z)=(0,2,-1)+t(5,1,0),t . IR. (f.) (x,y,z)=(0,t,0),t . IR. 1.5 El producto escalar Ejercicios 1.5.1 (pagina 54) Ejercicio 1: (a.) -6 (b.) (36,72) (c.) -78 (d.) 105.25511,164.74488, y 90(grados). (e.) Cualquier vectordelaforma(-5t,t)= t(5,-1), con t . IR. (f.) v5(1,2). 5 Ejercicio 3: Sugerencia: Escoja un sistema de coordenadas de modo que los vertices del cuadrado sean(0,0),(L,0),(0,L)y(L,L), dondeL es la longitud de los lados del cuadrado. Ejercicio 7: (a.) Lospuntos R y S deben satisfacer: -. -. 1. PR es un vector ortogonal a PQ y con la misma norma. -. -. 2. QS = PR --. -. (b.) Encuentre Rtalque MRsea ortogonal a PQycuya norma seala mitadde lanormadel vectorindicado. M eselpuntomediodel segmento conextremos en P y Q. Capitulo 1. Vectores en IR2 y IR3 11 Barrios/ Castaneda/ Martinez Ejercicio 8: -21 84 -64 ,-16 46 -69 46 (a.) ,, . (b.) (-5,0),(0,4). (c.) ,, , .17 17 17 17 13 13 13 13 46 -69 46 -21 84 -64 ,-16 (d.) ,, , . (e.) ,, .13 13 13 13 17 17 17 17 Ejercicio 9: (a.) v15 2.78543... (b.) v3 0.514495... (c.) 0. 29 34 Ejercicio 10: -. -. Verifique que PQPR =0. Ejercicio 11: v vvv (a.) 0. (b.) 1. (c.) 10. (d.) 29. (e.) 26. (f.) 5. 1.6 La ecuacion del plano Ejercicios 1.6.1 (pagina 63) Ejercicio 1: (a.) Ecuacion cartesiana 2x +5z =12. Una ecuacion vectorial es 12 2 (x,y,z)= t,s, - t. 55 (b.) Una ecuacion cartesiana es x -y-z = -3. Son ecuaciones vectoriales (x,y,z) = (t,s,3+t -s),t,s . IR o (x,y,z) = (1+2t -s,-1+3t + s,5-t -2s), t,s . IR (c.) 12x -y+2z =5 es una ecuacion cartesiana. Una ecuacion vectorial es (x,y,z)=(s,3+2t +2s,4+t -5s),t,s . IR. 1.6 La ecuacion del plano NOTAS DE ALGEBRA LINEAL (d.) Una vectorial es (x,y,z) =(t +2s,2t - s,3t +4sw),t,s . IR. Una cartesiana es 11x +2y-5z =0. (e.) Ecuacion Cartesiana: 2x -z +1 =0. Unaecuacionvectorial es (x,y,z)=(t,s,2t +1),t,s . IR. Ejercicio 2: (b.) (i)(0,-5,3). (ii)(24,14,-9). (iii)(0,1,0). (iv)(0,0,0). Ejercicio 6:(a.) De x-y+3z =0 se obtiene x = y-3z yde aqui la ecuacion vectorial (x,y,z)=(t -3s,t,s)= t(1,1,0)+s(-3,0,1),t,s . IR. Los vectores(1,1,0),(-3,0,1)son unpardegeneradoresdelplano. Losdemas son similares. Ejercicio 7: Haga los calculos directamente aplicando las definiciones. Ejercicio 8: Haciendo calculos directos puede probarse que k~u ~vk2 = k~uk2k~vk2 -(~u ~v)2 lo que equivale a k~u ~vk2 = k~uk2k~vk2 -k~uk2k~vk2Cos2(.) = k~uk2k~vk2(1-Cos2 (.)) = k~uk2k~vk2Sen2 (.) de donde se obtiene lo deseado. Si ~u y ~v no son paralelos, el area del paralelogramo determinado por dos representantes anclados en el mismo punto es k~u|k~vkSen(.)= k~u ~vk. Capitulo 1. Vectores en IR2 y IR3 13 Barrios/ Castaneda/ Martinez Para un vector w~como el indicado, la altura del paralelepipedo determinado por los tres vectores es |(~u ~v)w~|kProyu~~vw~k = ,k~u ~vk de donde se sigue que el volumen generado es |(~u ~v)w~|. Ejercicio 9: Los vectores no nulos ~u y ~v son paralelos si, y solo si ~u ~v = (0,0,0). Se deduce que el area generada por dos vectores no nulos es nula si, y solo si son paralelos. Deigualforma se tieneque el volumengeneradopor tres vectores no nulos es cero siy solo si el tripleproducto escalar es cero. De alli se concluyen: Tres puntos P,Q,R son colineales si, y solo si PQ ~=PR (0,0,0). Los puntos P,Q,R y S son coplanares si, y solo si PQ PR ~=PS 0. Ejercicio 13: SiQes unpunto cualquieradelplano, entoncesladistanciadelpunto P(x0,y0,z0 ) alplanode ecuacion ax+by+cz = d(con vector normal~n =(a,b,c)=6(0,0,0)) es D = kProy~n -. QPk = |~n -. QP|k~nk = |~n P -~n Q|k~nk = |ax0 + by0 + cz0 -d|v a2 + b2 + c2 1.6 La ecuacion del plano NOTAS DE ALGEBRA LINEAL Capitulo 1. Vectores en IR2 y IR3 Capitulo 2 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 2.1 El espacio IRn Ejercicios 2.1.1 (pagina 77) Ejercicio 1: v v (a.)(-5,-2,15,2). (b.) -45. (c.) 3 3 5.19615.... (d.) 53 7.2801.... (e.) Cualquier vector de la forma (t -3s -4r,t,s,r)= t(1,1,0,0)+s(-3,0,1,0)+r(-4,0,0,1) donde t,s y r son reales arbitrarios. Ejercicio 4: (b.) ka~xk =(a~x)(a~x)= a2(~x ~x)= |a|k~xk (c.) Utilizando(d.)(siguientedemostracion) setiene: k~x +~yk2 =(~x +~y)(~x +~y) = k~xk2 +2(~x ~y)+k~yk2 =k~xk+2k~xkk~yk+ k~yk2 =(k~xk+ |~yk)2 15 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL de donde se sigue la desigualdad triangular. (d.) Para todo real . se tiene (~x -.~y)(~x -.~y)= k~yk2.2 -2(~x ~y).+ k~xk2 = 0. ~~xy~Si ~y 6= O, entonces escogiendo . = se sigue que k~yk2 k~xk2k~yk2 =|~x ~y|2 de donde se tiene la desigualdad pedida. Si ~y es el vector cero, el resultado es trivial. Ejercicio 5: Si ~x,~y son vectores no nulos, se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que ~x ~y-1 == 1,k~xkk~yk definiendo ~x ~y. = Cos-1 k~xkk~yk se sigue lo pedido. Ejercicio 6: (a.) Para ~x distinto del vector cero, se tiene 11 . ~x. = . k~xk . k~xk . k~xk. =1. (b.) Suponga que ~x y ~y son paralelos, muestre que uno de los dos 1111 1111 ~x - ~y ~x - ~y o ~x + ~y ~x + ~yk~xkk~ykk~xkk~ykk~xkk~ykk~xkk~yk Capitulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 17 Barrios/ Castaneda/ Martinez es cero. Concluya que 11 ~y = ~x, k~ykk~xk de donde se sigue que ~x,~y son multiplos el uno del otro. Reciprocamente, demuestre que si uno de ellos es multiplo del otro, entonces ~x ~y~x ~y = k~xkk~yk o que = 1 . k~xkk~yk Ejercicio 7: v1 v1(a.) v1 (1,-1,3,4), (3,0,-3,2), (0,0,-1,3). 27 22 10 (b.) v2 (1,-1,3,4). 27 (c.) 2k~v1 k~v, donde ~v =(x,y,z,w)con 3x -3z +2w =0. (d.) 56.789089... grados, aprox. Ejercicio 8: Larectaque pasapor X0 . IRn yesparalela a ~x . IRn -{O~}es el conjunto de puntos X que satisfacen: X = X0 + t~v, t . IR. 2.2 La ecuacion lineal en n variables Ejercicios 2.2.1 (pagina 90) Ejercicio 1: (a.) Lineal en u = x2 ,y y z, con u = 0. (c.) Lineal en u = sen(3x),v = cos(2y),w = tan(z), con u,v . [-1,1], w . [-2,2]. Ejercicio 2: 2.2 La ecuacion lineal en n variables NOTAS DE ALGEBRA LINEAL (a.) No son equivalentes: Para cualquier t . IR -{5 }, setieneque(0,t) es 3 solucion de(2x +3y)x =5x pero nolo esde2x +3y =5. (b.) No son equivalentes. (c.) Son equivalentes si, y solo si c 60. = Ejercicio 3: (a.) S = {(2-t -3s,t,s)|t,s . IR}. Generadores: {(-1,1,0),(-3,0,1)}. n. on. . . (b.) S = 3+ 3 t,t |t . IR = s, 2 s -2 |s . IR . Un conjunto de 23 . n. . n. o. generadores es {(3,2)} o 3 ,1 , o1, 2 .23 (c.) S = {5}. Generador: {0}. (d.) S = {(5,t,s,r)|t,s,r . IR}. Generadores: {(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}. (e.) S = t, 3 ,s,r |t,s,r . IR .2 Generadores: {(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}. (f.) S = {(t,s,r,6-2t -3s +4r + u,u)|t,s,r,u . IR}. Generadores: {(1,0,0,-2,0),(0,1,0,-3,0),(0,0,1,4,0),(0,0,0,1,1)}. Ejercicio 4: La afirmacion es verdadera si, y solo si la ecuacion es homogenea. 2.3 Sistemas m n Ejercicios 2.3.1 (pagina 116) Ejercicio 1: (a.) (a,b)es una solucion de a +2b = 3. Asi, a =3-2b donde b es un real arbitrario. (c.) a =1,b =2. Capitulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 19 Barrios/ Castaneda/ Martinez Ejercicio 2: (a.) a = -3. (b.) a 61. (c.) a es un real cualquiera. (d.) a 6=0y a 6= -6. (e.) Para ningun valor de a. Ejercicio 3: (a.) Infinitas soluciones para a = -3. El sistema es siempre consistente. (b.) Infinitas soluciones si a =1. El sistema es consistente siempre. (c.) El sistema tiene solucion unica para todo valor de a. (d.) Infinitas soluciones si a = -6, inconsistente si a =0. (e.) Infinitas soluciones si a =6, inconsistente si a 6=6. Ejercicio 4: (a.) S = 5 , 10 + t,t |t . IR .33 (b.) S = {(1,2-t,t,-1) |t . IR}. -67 47 -18 46 (c.) S = ,, , .10 10 5 5 15 1(d.) S = t,0,-4 + t, - t,-26 +6t |t . IR .9336 3 (e.) Inconsistente: S = . Ejercicio 5: (a.) Sh = {(0,t,t)|t . IR}. Generado por(0,1,1). (c.) Sh = {(0,0,0,0)}. Generado por(0,0,0,0). 1151 2(e.) Sh = t,s, t + s, s - t,6t + s |t,s . IR .3966 3 Generado por: (6,0,2,-1,36)y(0,8,2,15,12). Ejercicio 6: 2.3 Sistemas m n NOTAS DE ALGEBRA LINEAL (a.) Todo sistemaformadopor ecuacioneslinealesdelaforma ax+by+cz = d, donde(a,b,c,d)es una solucion de la ecuacion homogenea a+2b+3c-d =0. .. 1001 .. . 0102 .(c.) La forma escalonada reducida es .., realizando operaciones . 0013. 0000 elementales adecuadas sobre esta se logra que el on no sea nulo. ultimo rengl(e.) Un sistema minimo es x =2,z =0,w =3+y. Ejercicio 7: (a.) Solucion unica si |a|=63. (b.) Infinitas soluciones si a =3. (c.) Inconsistente si a = -3. Ejercicio 9: (a.) Geometricamente, es claro que no. Algebraicamente, se tiene que el sistema homogeneo . . x + y+2z =0 . -x +2y+5z =0 . . 2x +4y-z =0 tienecomo unicasolucionlatrivial(0,0,0). (b.) {t(1,-7,3) |t . IR}. (c.) v2 (1,-7,3). 59 Ejercicio 11: 13 11 (a.) (x,y,z)= -2+ 3 t,4- 3 t,t , t . IR. 13 935 (b.) (x,y,z)= - 2 t,- + t,t , t . IR.19 19 19 19 Capitulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 21 Barrios/ Castaneda/ Martinez Ejercicio 14: (a.) y(d.) L.I , enlosdemasla respuesta esL.D. Ejercicio 15: Resuelva los sistemas . .... . 10 3 . 3 633. 3 3109 . 3 . .. .. . . 22 0 . 5 .. 1 -20 . 5 .. 5223 . 5 . . . ,. . ,. . . . 35 0 . 7 .. 250. 7 .. 7350 . 7 . 5 -1 -3 -43 -16 -4 -4 -8 -1 10 -4 ~v =(3,5,7,-4) sera, en cada caso, combinacion lineal de los vectores dados, si el sistema correspondiente es consistente. Ejercicio 17: 12. x (a.) Demuestre que el sistema tiene solucion unica para todo par 23 y (x,y). IR2 . (b.) Dos vectoresde IR3 generan o a{(0,0,0)}, o a una recta( si sonparalelos) o a unplano(si son no nulosy noparalelos). . v1 . (c.) Si~v =(v1 ,v2), ~w =(w1,w2) son l.i, entonces w1 60, por lo que = v2 w2 . xv1 w1todo sistema tiene solucion(unica, ademas). v2 w2 y Ejercicio 18: Si v~1 ,...,~son vectores de IRnvm , con m>n, entonces el sistema homogeneo(enlas variables a1,...,am) a1 v~1 + a2 v~2 + ... + amv~m = O tiene infinitas soluciones, de donde se sigue que los vectores son l.d. 2.3 Sistemas m n NOTAS DE ALGEBRA LINEAL Ejercicio 19: (a.) Las coordenadas de P,Q y R deben satisfacer la ecuacion x2 +y2 +dx+ ey + f = 0. Reemplazando dichas coordenadas en la ecuacion indicada se obtiene un sistema 3 3 en d,e y f. La ecuacion pedida queda determinada con la solucion del sistema. (b.) Como en elejercicio anterior,la circunferencia existe si el sistema obtenido es consistente. (c.) Muestreque elsistema obtenido(como enlos ejercicios anteriores) para P(x0 ,y0),Q(x1 ,y1)tiene infinitas soluciones. (d.) Analice el sistema obtenido para los tres puntos dados. Ejercicio 21: (a.)Si P(x0,y0),Q(x1,y1),R(x2 ,y2) son tres puntos distintos de la parabola de ecuacion y = ax2 + bx + c y Ax + By = C es la ecuacion de una recta que contiene a los tres puntos, entonces el sistema 6 6(en a,b,c,A,B,C), obtenido al reemplazar por las coordenadas de los puntos en las ecuaciones, es inconsistente a menos que dos de los puntos sean iguales. Puede tambien -. -. resolverse mostrando que los vectores PQy PR no sonparalelos a menosque x1 = x2. (c.) Como en el anterior. 2.4 Matrices y operaciones matriciales Ejercicios 2.4.1 (pagina 142) Ejercicio 1: (a.) Capitulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 23 Barrios/ Castaneda/ Martinez 39 7 -6 10 -6 73 (i) (ii) (iii) (iv) 627 15 14 24 20 614 -25 -15 (v) (vi)(6,27) (vii) (viii)(0,4) -53 8 13 2 (ix) (x) -19 (b.) 14 (i) X =2A-C =. -19 (ii) Y =13 - 2 X, donde X . IR22 . -62 3 (iv) Y = 8 15 -X, X . IR22 . -9 16 Ejercicio 2: (a.) 12 14 13 (i) (ii)No esta definida. (iii)No esta definida. 6 14 40 .. -10 ..(iv) . 10 -7. (v)Noestadefinida (vi)(6,14,40) 21 20 .. 0 . .. 2 (vii) . 9. (viii)(-3,7,19) (ix) -24 4 .. 7 ..(x) . -2. 11 (b.) 2.4 Matrices y operaciones matriciales NOTAS DE ALGEBRA LINEAL 54 2 (i) X =2A-C =. 2 7 12 20 -2 (ii) Y = - 23 X, donde X . IR23 . 04 0 (iv) No existen matrices que cumplan la condicion. Ejercicio 4: (c.) Sean A =(aij),AT =(bij), siA es antisimetrica entonces bij = aji = -aij, de donde se sigue lo pedido. (d.) . 1 T 1 (A+ AT) =(AT +(AT)T)22= 1(A+ AT)2T1(A-AT) 1(AT -(AT)T)= 22= - 1(A-AT)2Por otra parte, A es claramente la suma de las dos matrices consideradas. (e.) Las matrices cuadradas nulas. Ejercicio 5: Para buscar un conjunto de generadores observe que, en el caso 2 2, las matrices simetricas son de la forma 10 01 00a11 a12 =++ .a11 a12 a22 00 10 01a12 a22 Ejercicio 6: Capitulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 25 Barrios/ Castaneda/ Martinez (a.) Es una base pues los tres vectores son l.i. (b.) Si (d.) No, los vectores son l.d. Ejercicio 7: Muestre que tanto la suma de dos combinaciones lineales de los vectores dados como el producto de un escalar por una combinacion lineal de ellos, son combinaciones lineales de los mismos. Ejercicio 11: a11 a12 (b.) Para toda A = . IR22 se tiene: a21 a22 A = a11 B1 + a12 B2 + a21 B3 + a22 B4 . a11 a12 (d.) Ninguna matriz , con a22 6= 0 puede obtenerse como combia21 a22 nacion lineal de B1,B2 y B3 . Ejercicio 13: (a.) . . AB = . -2 33 -11 12 . , BA = . . 4 -1 13 7 0 22 0 -14 6 . . , . . 4 -3 11 -1 BC = . . -1 6 -1 -5. ., CB no esta definida. 13 -12 35 -1 (b.) 15. (c.) 2.4 Matrices y operaciones matriciales NOTAS DE ALGEBRA LINEAL .. 1-14t -6-14s 1-14u 5-14v ..(ii)X = . 8t 3+8s 8u +1 8v -3 . , (iv)No hay solucion t s uv t,s,u,v . IR ..36 -57 274 49 49 49 . -143 451 -169 .(vi)X = .. . (viii)No hay solucion. 490 490 49 12 19 -15 -245 245 49 Ejercicio 17: Si Ai =(0,0,..., 0) . IRn esuna filade A . IRmn, entoncespara toda matriz B . IRnp se tiene (AB)i = AiB =(0,0,..., 0) . IRp . En forma similar si B(j) es una columna nula de B, entonces (AB)(j) = AB(j) es una columna nula del producto. Ejercicio 18: .. d1 00 ... 0 .. . 0 d2 0 ... 0 . .. Es claro que una tal matriz A es cuadrada. Sea D = . 00 d3 ... 0 . .. . ... . .... . . ... . . 000 ... dn una matriz diagonal n n, entonces los elementos de la fila i, columna j de AD y DA son iguales. Es decir: AiD(j) DiA(j)= Capitulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 27 Barrios/ Castaneda/ Martinez .. .. 0 a1j .. .. . 0 .. a2j . . . . .... .. . . . . . .. . .(ai1,ai2 ,...,aij,...,ain).. = (0,0,...,di,..., 0) .. . dj . ..aij .. .. . . .. . .. . . . . ... 0 anj djaij = diaij para todo i,j .{1,2,...,n}. Puesto que vale para todo matriz diagonal, si di 6dj siempre que i = j se sigue que aij =0 si i = j. Asi, A es una matriz diagonal. Ejercicio 21: 1-2t 2-2s (a.) X = I2 (b.) ,t,s . IR. ts (c)X = I3 2.5 Matrices invertibles Ejercicios 2.5.1 (pagina 159) Ejercicio 1: 1 528 24 110 (a.) 2 . (b.) 33 . (c.) 33 . (d.) 3 .3213 2 1-200233 333 Ejercicio 2: v (a.) ./.{1,-2}. (b.) . 6= 33. (c.) . 6=0. Ejercicio 3: 2.5 Matrices invertibles NOTAS DE ALGEBRA LINEAL . 1 .-11 44 .. -1 . 43 ..23 - 23 ..17 17 -7 -5(a.) = 32 , es singular. (b.) . 0 .. -34 46 . 44 . 17 17 .. 530 44 ..25 -20 39 -97 97 97 97 . 1 .-1 -1 .. 9 618 .. .. . -12 30 23 -40 . .. .. . 97 97 97 97 . . 50 -13 5 . ..(c.) . - .. (d.) 9 618 .. .. . 22 -55 -123 138 . .. ..97 97 97 97 .. -10 3 1 .. 32 6 -37 44 79 -91 97 97 97 97 Ejercicio 5 (a.) Si. (b.) No. (c.) Si. (d.) Si. Ejercicio 7 Se tiene que (In + A)T = In + AT = In - A, por lo que esta ultima es invertible por ser transpuesta de una matriz invertible. Para demostrar que (In+A)-1(In-A)es ortogonal,debeprobarseque suinversa es su transpuesta; es decir que (In + A)-1(In -A)(In -A)T((In + A)-1)T =(In + A)-1(In -A)(In + A)(In -A)-1 = In pero esto se sigue facilmente si In -A e In + A conmutan lo que, en efecto, sucede (In -A)(In + A)= In(In + A)-A(In + A) = In + A-A-AA =(In + A)In -(In + A)A =(In + A)(In -A) De manera similar sepuedeprobarla ortogonalidadde(In -A)-1 (In + A) Capitulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Capitulo 3 Determinantes 3.1 Introduccion 3.2 Permutaciones Ejercicios 3.2.1 (pagina 172) Ejercicio 1: (a.) a es impar(5 inversiones), es impar(3), p es par(10). (b.) a-1 =(4 1 3 5 2),-1 =(1 4 2 5 3),p-1 = p. (c.) a =(3 4 5 1 2) a =(2 3 4 5 1) ap =(4 1 3 5 2) p =(4 2 5 3 1) 3.3 Determinante de una matriz cuadrada Ejercicios 3.3.1 (pagina 176) Ejercicio 1: (a.) 16. (b.) 0. (c.) 0. 29 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL Ejercicio 3: v v v (a.) -12 2. (b.) -223i. (c.) 2,5. (d.) 1, 12 (1 15i). 3.4 Teoremas basicos Ejercicios 3.4.1 (pagina 185) Ejercicio 1: (a.) -12. (b.) 0. (c.) 0. (d.) 28. (e.) 14. Ejercicio 2: (a.) -64. (b.) -4. (c.) 4. (d.) -64. (e.) -64. (f.) -2. (g.) 8. Ejercicio 3: (a.) -30. (b.) -5. (c.) -5. Ejercicio 7: 4 2 14 82(a.) p(x)= x - 4 x. (b.) p(x)=1- x + x.3p3p2 3p3p2 e2 -1(e-1)2 2 16 83(c.) p(x)=1+x+ x. (d.) p(x)= x- 8 x2 + x2e 2e 3pp2 3p3 3.5 Otras propiedades del determinante Ejercicios 3.5.1 (pagina 189) Ejercicio 1: -54 1 -135 (a.) 5 . (b.) -10 . (c.) 4 . (d.) -25 . (e.) -52 . Capitulo 3. Determinantes 31 Barrios/ Castaneda/ Martinez Ejercicio 2: (a.) Para todo real ./.{0,5,-3 }.2 (b.) Para todo real ./.{0,5,-3 ,3,-3}.2 (c.) Para los mismos valores del ejercicio anterior. Ejercicio 4: Si A es ortogonal, entonces A-1 = AT . Aplique determinante en ambos miembros de la identidad anterior para obtener el resultado pedido. Ejercicio 5 De AT = -A se sigue que 2det(A)=0,dedonde det(A)=0. 3.6 Cofactores y regla de Cramer Ejercicios 3.6.1 (pagina 194) Ejercicio 1: -10 (a.) x = 13 . (b.) y =1. (c.) w =0. 3.6 Cofactores y regla de Cramer NOTAS DE ALGEBRA LINEAL Capitulo 3. Determinantes Capitulo 4 Espacios vectoriales 4.1 Introducion 4.2 Definiciones y propiedades basicas Ejercicios 4.2.1 (pagina 212) Ejercicio 1: (a.) Si (b.) No. (c.) Lo es si, y solo si b =0. (d.) No. (e.) No. Ejercicio 3: Si O~. S, la combinacion lineal 1O~= O~es una combinacion lineal nula no trivial de elementos de S. Ejercicio 6: (a.) No (b.) Si. (c.) Si. (e.) Si. (f.) Si. Ejercicio 9: 33 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL (a.) (i) (ii) {(t,3t)|t . IR} IR2 (iii) {(0,0)}. (iv) IR2 (c.) (i) {(t,2t,3t)|t . IR} (iii) El planoxy. (v) El plano generado por (2,-1,5) y (3,2,4). (d.) (i) {p(x)= a + bx |a,b . IR}= P1. (iii) P2 . (iv) P1 . Ejercicio 15: (a.) (i)l.d. (b.) (i)l.i (c.) (i)l.d. (ii)l.i. (ii)l.d. (iii)l.i (ii)l.i. (iv)l.i. (iii)l.i. (v)l.d. (iii)l.i. Capitulo 4. Espacios vectoriales