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Matemát
Solucionario
2010 -IIExamen de admisión
Matemática
1
TEMA P
Pregunta N.º 1Se tienen dos lingotes de plata, el primero de ley 0,750 y el segundo de ley 0,950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0,900?
A) 400 g, 1400 g B) 450 g, 1350 g C) 500 g, 1300 g D) 550 g, 1250 g E) 600 g, 1200 g
ResoluciónTema: Regla de mezcla (aleación)
Análisis y procedimiento
L1=0,750 L2=0,950
W1= gN W2=(1800– ) gN 1800 g
ley=0,900
ingredientes mezcla
Ley media = ++
L W L WW W1 1 2 2
1 2
→ = + −
+ −0 900
0 750 0 950 18001800
,( , ) ( , )( )
( )N NN N
Luego
N=450
\ W1=450 g; W2=1350 g
Respuesta
450 g; 1350 g
AlternAtivA B
Pregunta N.º 2Sean E un espacio muestral, A y B subconjuntos
de E y P: P (E) → [0, 1] una función de probabi-
lidad tal que P(A)=0,5, P(B)=0,4. Si A y B son
independientes, halle P(A ∪ BC).
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3
D) 0,8 E) 0,9
ResoluciónTema: Probabilidad
Análisis y procedimientoDel enunciado, A y B son subconjuntos del espa-
cio muestral, además,
P(A)=0,5
P(B)=0,4
También sabemos que A y B son eventos inde-
pendientes, entonces, se cumple que
P(A ∩ B)=P(A) · P(B)
Reemplazando tenemos
P(A ∩ B)=(0,5) · (0,4)
P(A ∩ B)=0,2
2
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Recordemos que si el evento coincide con el espacio muestral, a este evento se le llama evento seguro; entonces, E=Ω y la probabilidad de todo evento seguro es igual a 1.
Gráficamente, tendríamos
P B( )=0,4P A( )=0,5
0,2
0,2 0,3
P A B( )C
P ( )=1
0,3
Del gráfico, se observa que P(A ∪ BC)=0,5+0,3=0,8.
Respuesta0,8
AlternAtivA D
Pregunta N.º 3Tres números A, B, C están en relación directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números respec-tivamente 130, 260 y n, la nueva relación directa es como a 13, 17 y 19. Determine n.
A) 390 B) 650 C) 910 D) 1170 E) 1430
ResoluciónTema: Magnitudes proporcionales
Análisis y procedimientoDado que A; B y C están en relación DIRECTA a 5; 7 y 11, tenemos que
A=5K B=7K C=11K
Luego de sumar 130; 260 y n a cada uno de ellos, respectivamente, tenemos que
5 13013
7 26017
1119
K K K n+ = + = +(*)
K= –195
Reemplazando en (*)
7 195 260
1711 195
19( ) ( )− + = − + n
Efectuando
n=910
Respuesta910
AlternAtivA C
Pregunta N.º 4El número 5α10β en base 10 es divisible por 72;
entonces el valor de αβ
es:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
ResoluciónTema: Teoría de divisibilidad
Recordemos algunos criterios de divisibilidad.
• Siabcd=8o → bcd=8
o
4 2 1
→ 4 2 8b c d+ + =o
• Siabcd=9o → a b c d+ + + = 9
o
3
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
Análisis y procedimientoPor dato, tenemos que
5α10β= 728
9
oo
o
• Usandoel criteriodedivisibilidadpor8 setiene que
10 8 4 8421β β= → + =
o o
→ β=4
• Usandoel criteriodedivisibilidadpor9 setiene que
5 104 9 5 1 0 4 9α α= → + + + + =o o
→ α=8
Luego, el valor de αβ= =84
2.
Por lo tanto, αβ
es igual a 2.
Respuesta2
AlternAtivA C
Pregunta N.º 5Al multiplicar un número de cinco cifras por 99 se obtiene un nuevo número cuyas últimas cifras son 18 828. Calcule la diferencia entre el mayor y el menor número formado con las cifras del número original.
A) 72 349 B) 74 394 C) 74 943 D) 79 342 E) 79 472
ResoluciónTema: Operaciones fundamentales en Z+
Análisis y procedimientoSea el número original abcde.
Del dato
abcde×99=...18828
abcde×(100 – 1)=...18828
Entonces
abcde00 – abcde=...18828
abcde00=...18828+abcde
→ abcde
abcde00
...18828+1111 analizando la adición
e b=2; =8
d a
c
=7; =1
=3
Formando el mayor y el menor numeral con las cifras del número original y restando tenemos
mayor 87321menor
→ −→ 12378
74943
Respuesta74 943
AlternAtivA C
Pregunta N.º 6El plazo (en meses) al que debe imponerse un
capital a una tasa de interés del 10% bimestral,
capitalizable cuatrimestralmente, para que se
incremente en un 72,8%, es
A) 3 B) 4 C) 6
D) 9 E) 12
4
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
ResoluciónTema: Regla de interés
Análisis y procedimientoSea C el capital depositado
Por dato
• r%=10% bimestral <> 20% cuatrimestral
• ComoC es capitalizable cuatrimestralmente, entonces cada 4 meses los intereses se acumulan al capital.
Gráficamente
4 meses 4 meses 4 meses
C 120%C 144%C 172,8%C+ + +
20%C
24%C20%(120% )C
28,8%C
20%(144% )C
el capitalse incrementóen el 72,8%
Del gráfico, observe que en el tercer periodo el
monto es 172,8% del capital, entonces en 12
meses el capital se incrementa en 72,8%.
Respuesta12
AlternAtivA e
Pregunta N.º 7Dos fracciones que tienen denominadores 13 y por numeradores dos números enteros conse-cutivos comprenden entre ellas la fracción cuyo valor decimal es 0 1545, . Halle la menor de las fracciones.
A) 2/13 B) 3/13 C) 4/13 D) 5/13 E) 6/13
ResoluciónTema: Números racionales (fracciones y decimales)
Análisis y procedimientoObservaciónEl número decimal 0, 5451
equivalente a 0,15454545... está incorrectamente representado, pues la forma correcta de representarlo es 0, 541
.
Por dato del problema, tenemos
• n13
< < +AB
n 113
(I)
• AB
= 0 154, (II)
De (II) tenemos
AB= = − =0 154
154 1990
17110
, → AB
= 17110
Reemplazando en (I) tenemos
n n13
17110
113
< < +
→ n n< × ∧ × < +13 17110
13 17110
1
\ n=2
Entonces, la menor fracción es 2/13.
Respuesta2/13
AlternAtivA A
Pregunta N.º 8Para pintar el Estadio Nacional se contratan 8 personas que afirman pueden terminar la obra en 10 días, laborando 8 horas diarias. Al terminar el quinto día de trabajo se decide incrementar la jornada a 10 horas diarias y contratar más per-sonas para culminar el resto de la obra en 2 días. Calcule la cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional.
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
5
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
ResoluciónTema: Magnitudes proporcionales
Análisis y procedimiento
obra
8 personas / 10 días / 8 h/dInicialmente:
Se hizo así: 8 personas
5 días
8 h/d
(8+ ) personas
2 días
10 h/d
x
se contratarán
personas adicionales
x
Se observa que las 8 personas han trabajado la mitad del tiempo indicado para concluir la obra, por lo tanto, solo han hecho la mitad del trabajo. En consecuencia, ahora todos los obreros con el grupo que se incorpora deberán terminar la obra, es decir, deberán realizar la mitad del trabajo.
Además, recordemos que
(N.º de obreros)(N.º de días)(N.º h/d)=cte.
Reemplazando valores, tenemos que
8×5×8=(8+x)×2×10
\ x=8
Respuestax=8
AlternAtivA A
Pregunta N.º 9Dadas las funciones f, g: R → R, definidas por f(x)=|x – 2|+2 y g(x)=– (x2+2). Determine f+g.
A) − −
− ≥
− +
+ <
x x
x x
12
74
2
12
94
2
2
2
,
,
B) − −
+ ≥
− +
− <
x x
x x
12
14
2
12
54
2
2
2
,
,
C) x x
x x
+
− ≥
−
+ <
12
94
2
12
74
2
2
2
,
,
D) x x
x x
−( ) + ≥
− +( ) − <
174
2
114
2
2
2
,
,
E) − −
− ≥
− +
+ <
x x
x x
12
14
2
12
74
2
2
2
,
,
ResoluciónTema: Álgebra de funciones
Recuerde
Sean las funciones
f: A → B y g: C → D
Se define
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
Dom(f+g)=Domf ∩ Domg
Análisis y procedimientoNos piden determinar f+g.
Datos
f(x)=|x – 2|+2; Domf=R
g(x)=– x2 – 2; Domg=R
Entonces
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
6
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Reemplazando los datos
(f+g)(x)=|x – 2|– x2
y además
Dom(f+g)= Domf ∩ Domg=R ∩ R=R
Redefiniendo la función
f g
x x x
x x xx+( ) =
− + − ≥
− − + <
( )
2
2
2 2
2 2
;
;
Completando cuadrados, obtenemos lo siguiente.
f gx x
x xx+( ) =
− −
− ≥
− +
+ <
( )
12
74
2
12
94
2
2
2
;
;
Respuesta
− −
− ≥
− +
+ <
x x
x x
12
74
2
12
94
2
2
2
;
;
AlternAtivA A
Pregunta N.º 10Sean los números complejos z=x+iy y
u x iy x= + >, 0 y los conjuntosA=z/1 ≤ |z+4i| ≤ 2,
B u x iy u i= = − + ≥ / 4 0
¿Cuál de las siguientes gráficas representa a A ∩ B?
A) 4
B) 4
C) 4
D) 4
E) 4
ResoluciónTema: Números complejos
En la resolución de este problema utilizaremos algunas propiedades de módulo de un com-plejo y luego graficaremos regiones generadas por conjuntos cuyos elementos son números complejos.
Análisis y procedimientoHallamos las regiones determinadas por los conjuntos A y B.
A z x yi z i= = + ≤ + ≤ 1 4 2
1 4 2≤ + ≤z i
↔ ≤ + ≤1 4 2z i
↔ 1 4 2≤ − ≤z i
7
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
Se observa que el conjunto A es una corona centrada en z0=4i, de radios r=1 ∧ R=2. Es decir
4
2
3
4
3
2
B u x yi u i x= = − + ≥ ∧ > 4 0 0
Como |u+4i| ≥ 0 siempre se cumple ∧ x>0, entonces, B es un semiplano de puntos (x; y), tal que x>0. Es decir
Por lo tanto, A ∩ B es
4
RespuestaNinguna alternativa coincide.
no hAy ClAve
Pregunta N.º 11Señale cuál de las figuras representa adecuada-mente la gráfica de la función
f(x)=log(|x|+1)+log(|x| – 1)
0
Y
X
1
2
–1
–2
–1–2 1 2
A)
0
Y
X
1
2
–1
–2
–1–2 1 2
B)
0
Y
X
1
2
–1
–2
–1–2 1 2
C)
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unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
0
Y
X
1
2
–1
–2
–1–2 1 2
D)
0
Y
X
1
2
–1
–2
–1 1 2
E)
–2
ResoluciónTema: Función logarítmica
Recuerde que f es una función par si y solo si f(x)=f(– x) ; ∀– x ∧ x ∈ Dom(f), y que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y.
Análisis y procedimientoI. La existencia de la función está garantizada
cuando |x|– 1 > 0.
→ |x| > 1
→ x ∈ ⟨– ∞; –1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩
Luego, Dom(f)= ⟨– ∞; –1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩
II. La función es par.
En efecto, sea x ∈ Dom(f)
→ f(x)=log(|x|+1)+log(|x|– 1)
=log(|– x|+1)+log(|– x|– 1)
=f(– x)
III. Si x ∈ ⟨1; +∞⟩ → f(x)=log(x+1)+log(x– 1)
=log(x2 – 1)
además, x=1 es una asíntota y f2
0( ) = también es fácil de ver que f(2) < 1.
Entonces, la gráfica de f es dada por
Y
X1 22
1
Finalmente, como la función es par, su gráfica es dada por
Y
X–1–2 1 2
1
Respuesta
Y
X–1–2 1 2
1
AlternAtivA A
Pregunta N.º 12Indique la secuencia correcta después de determi-nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F)I. Si A es una matriz de orden n×n, entonces
A – AT=0.
II. Si
A =
1 10 1
, entonces Ann =
10 1
donde n es un número natural.
9
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
III. Si
a
bab
21 1
1 31
2 51 4
=
++
,
entonces a – b=0
A) VVV B) VVF C) FFV D) FVV E) FFF
ResoluciónTema: Matrices
Debemos tener en cuenta la siguiente definición.
• A1=A
• A A A A An
n
= × × × ×...veces
Análisis y procedimientoI. Falso Porque si A ∈ Rn×n, no necesariamente
A=AT
Por ejemplo
Si A AT=
→ =
0 10 0
0 01 0
∧
A AT− =−
≠
0 11 0
O
II. Verdadero En efecto, induciendo el resultado
A =
1 10 1
A2 1 10 1
1 10 1
1 20 1
=
=
A3 1 20 1
1 10 1
1 30 1
=
=
. .
.
Ann =
10 1
III. Verdadero En efecto, operando tenemos
ab
a b ab
21 1
1 31
2 3 21 4
=
+ ++
Igualando con el dato, obtenemos
a b ab
ab
+ ++
=
++
2 3 21 4
2 51 4
↔ a+2b=2+a ∧ 3a+2=5
b=1 ∧ a=1
Entonces,
a – b=0
RespuestaFVV
AlternAtivA D
Pregunta N.º 13Halle el valor de a ∈ R, para que la inecuación
a x x a2 214 4 4 0−( ) − + ≤ , tenga como solución
el conjunto [– 2; 4].
A) – 6 B) – 4 C) – 2 D) –1 E) –1/2
ResoluciónTema: Inecuación cuadrática
Para resolver el problema vamos a utilizar las siguientes propiedades.
1.o Dada la ecuación ax2+bx+c; a ≠ 0 de raíces x1; x2, se cumple que
x xba
x xca1 2 1 2+ = − ∧ =
2.o En una inecuación cuadrática ax2+bx+c><0; a ≠ 0, los puntos críticos son las raíces.
10
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Análisis y procedimientoPiden el valor de a ∈ R, tal que
(a2 – 14)x2 – 4x+4a ≤ 0; CS=[– 2; 4]
Entonces, a2 – 14 > 0; – 2 ∧ 4 son los puntos críticos.
Aplicando la propiedad anterior
− + = − −
−2 4
4
142( )
a ∧ − =
−( )( )2 4
4
142a
a
Se tiene
2 14 4 2 142 2a a a−( ) = ∧ − −( ) =
a2=16 ∧ 2a2+a – 28=0
(a=4 ∨ a=– 4) ∧ (2a – 7)(a+4)=0
a a a a= ∨ = −( ) ∧ = ∨ = −
4 472
4,
Por lo tanto, a=– 4.
Respuestaa=– 4
AlternAtivA B
Pregunta N.º 14Dados los conjuntos A=(a1, a2) ∈ R2/(a1, a2) ∈ [3, 4]×[4, 5] y B=(b1, b2) ∈ R2 / b2
1+b22 ≤ 1.
Si se define A+B=a+b / a ∈ A, b ∈ B,determine el área de A+B.
A) 1+p B) 2+p C) 3+p D) 5+p E) 6+p
ResoluciónTema: Gráfica de relaciones
Utilizaremosladefinicióndelproductocartesianoy la suma de pares ordenados en R2.
Análisis y procedimientoDe la definición de (A+B), la circunferencia se va ha trasladar hacia la derecha y hacia arriba, entonces tendremos una gráfica aproximada:
A
2 3 4
2
3
4
5
1 2 3 4 5
2
3
4
5
1
sumando
6
cuarto de
circunferencia
B
–1 X
Y Y
X
Es decir un elemento de A+B es (a1+b1, a2+b2)entonces el área de A+B es
= + + + + +
1 1 1 1 1 44π
=5+p
Respuesta(5+p)
AlternAtivA D
Pregunta N.º 15El conjunto solución del sistema x2 – 2x – y=–1 x2+y2=1es:
A) (1, 1), (2, –1), (1, 0) B) (1, 2), (2, 1), (1, –1) C) (1, 0), (–1, –1) D) (1, 0), (0, 1) E) (–1, 1), (1, –1)
ResoluciónTema: Sistema de ecuaciones no lineales
Para resolver un sistema de ecuaciones no lineales se pueden graficar las ecuaciones y evaluar los puntos de corte que serían las soluciones del sistema.
11
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
Análisis y procedimiento
x x y
x y
2
2 2
2 1
1
− − = −
+ =
Completando cuadrados en la primera ecuación se tiene
( )x y
x y
− =
+ =
1
1
2
2 2
Graficando se obtiene
(0; 1)
x y2 2+ =1
y x=( –1)2
X
Y
1
(1; 0) 1
Se observa que los puntos de corte son (0; 1) y (1; 0), y estas son las soluciones del sistema no lineal.
Respuesta(1; 0), (0; 1)
AlternAtivA D
Pregunta N.º 16Determine el valor mínimo que toma la función objetivo, P(x, y)=10x+20y sujeta a las restric-ciones:
x yx yy x
+ ≥− ≤≤
22 2
A) – 70 B) – 20 C) 0 D) 20 E) 30
Resolución
Tema: Programación lineal
Para resolver el problema, vamos a graficar el
conjunto de restricciones para hallar la región
factible, luego, evaluamos en los vértices y elegi-
mos el menor valor.
Análisis y procedimientoPiden el valor mínimo que toma la función
P(x; y)=10x+20y
sujeta a las restricciones
x yx yy x
+ ≥− ≤≤
22 2
Reordenando el conjunto de restricciones
y x
yx
y x
≥ − +
≥ −
≤
22
2
I
II
III
Ahora, graficamos el conjunto de restricciones.
1 2
–1
1
región
factible
Y
X
I
II
III
(2;0)
(1;1)
Luego, el valor mínimo que toma la función objetivo P(x; y) se encontrará en un vértice o dos vértices consecutivos. En este caso, los vértices son (1; 1) ∧ (2; 0).
12
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Evaluando en P(x; y)=10x+20y, se obtienen P(1; 1)=30 P(2; 0)=20
RespuestaLuego, el valor mínimo que toma la función objetivo P(x; y) es 20.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 17Determine la gráfica que corresponde a la función
f(x)=(x+2)(x+1)3(x – 3)6(x – 6)5
A) –1–2 63
B) –1–2 63
C) –1–2 63
D) –1–2 63
E) –1–2 63
ResoluciónTema: Gráfica de funciones polinomiales
Recuerde que
1.º Las raíces reales de la función polinomial intersecan al eje X.
2.º Si la raíz es de multiplicidad impar o simple, interseca al eje X; si la raíz es de multiplicidad par, es tangente al eje X.
Análisis y procedimientoSe observa que: 6 es raíz de multiplicidad impar.
– 1 es raíz de multiplicidad impar.
3 es raíz de multiplicidad par.
– 2 es raíz simple.
Además si x > 6 → f(x) > 0
Entonces, tenemos que la gráfica aproximada es
– 1 1 2 4 5 63
raíz de multiplicidad impar
(punto de inflexión)
raíz simple
raíz de multiplicidad par
raíz de multiplicidad impar
(punto de inflexión)
Y
X– 2
Respuesta
–1 6–2 3
AlternAtivA D
13
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
Pregunta N.º 18La ecuaciones de segundo grado:
x2+bx+c=0 y x2+b’ x+c’=0
tienen raíz común si
(c – c’)2+(b – b’)(bc’ – b’ c)=0
Determínese la condición para que las ecuaciones
x3+px+q=0 y x2+x+r=0
tengan una raíz común.
A) (r – p – r)(r2 – pr+q)=0
B) (r+q)2+(r – p –1)(r2 – pr+q)=0
C) (r+q)2+(r2 – pr+q)=0
D) (r+q)2+(r – p –1)=0
E) (r+q)2 – (r+p+1)(r2 – pr+q)=0
ResoluciónTema: Ecuación cuadrática y cúbica
Recuerde que si r es una raíz del polinomio
P(x)=a0xn+a1xn –1+...+an; a0 ≠ 0,
entonces
P(r)=0;
es decir
a0rn+a1rn – 1+...+an=0
Análisis y procedimientoComo las ecuaciones x3+px+q=0 y x2+x+r=0
tienen una raíz en común que sea x0, luego se
tiene que
x px q03
0 0+ + = (I)
x x r02
0 0+ + = (II)
En (II), multiplicando por x0, tenemos que
x x rx x x r03
02
0 02
00+ + = = − −y
↔ − − + =x x r rx03
0 0 0
Luego se tiene el sistema
x r x r
x px q
03
0
0
1 0
0
+ − − =
+ + =
( ) (III)
(I)03
Restando (III) y (I) , tenemos
(r – p – 1)x0= r + q
x
r qr p0 1
= +− −
Reemplazando en (II), se tiene
r qr p
r qr p
r+
− −
++
− −
+ =
1 10
2
Multiplicando por (r – p – 1)2, se tiene
(r+q)2+(r+q)(r – p – 1)+r(r – p – 1)2=0
( ) ( )r q r p r q r rp r+ + − − + + − −( ) =2 21 0
(r+q)2+(r – p – 1)(r2 – pr+q)=0
Respuesta
(r+q)2+(r – p – 1)(r2 – pr+q)=0
AlternAtivA B
Pregunta N.º 19Sean p, q, r proposiciones lógicas.Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. (p →q) → r ≡ p → (q → r)II. (p → q) ∨ p ≡ qIII. q ∧ (p → ∼ q) ≡∼(q → p)
A) VVV B) VFV C) FVF D) FFV E) FFF
ResoluciónTema: Lógica proposicional
Análisis y procedimientoPara determinar el valor de verdad, utilizaremos las leyes lógicas.
14
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
I. Falsa
( ) ( )
( )
p q r p q rp q
p q r
q r
p q r
→ → ≡ → →∨
∧ ∨
∨
∨ ∨
∼
∼
∼
∼ ∼
Por lo tanto, no son equivalentes.
II. Falsa
( )p q p qp q
→ ∨ ≡∨∼
verdadero
Por lo tanto, no son equivalentes.
III. Verdadera
q p q q pp q
q p
q p
q p
∧ → ≡ →∨
∧
∨
∧
( ) ( )∼
∼ ∼ ∼
∼
∼
∼
Por lo tanto, son equivalentes.
RespuestaFFV
AlternAtivA D
Pregunta N.º 20La longitud de los lados de un triángulo forman una progresión geométrica de razón q > 1. Entonces q toma los valores
A) q > +1 52
B) 1 52
1 52
− < < +q
C) 11 52
< < +q
D) 1 52
1 62
+ < < +q
E) 1 62
1 72
+ < < +q
ResoluciónTema: Triángulo
Análisis y procedimientoSea q la razón geométrica y a la longitud del lado intermedio, entonces, los lados serán
A C
B
aaq
a q.
ABaq
=
BC=a
AC=a · q
Como todo lado es menor que la suma de los otros dos, el mayor de los lados debe ser menor que la suma de los menores lados.
Así aqaq
a< +
Luego, q2 – q – 1 < 0.
Completando cuadrados
q q2 14
54
− + <
q −
<12
54
2
− < − <52
12
52
q
1 52
1 52
− < < +q
Pero, según el dato, q > 1.
∴ < < 1+1
52
q
Respuesta
11 52
< < +q
AlternAtivA C
15
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
Pregunta N.º 21En un cuadrado ABCD se prolonga el lado AD
hasta el punto R. Desde un punto Q de BC se traza
QR que interseca a CD en P. Determine la medida
del ángulo APQ si PA=CR y m ∠ PAR=20º.
A) 55º
B) 60º
C) 65º
D) 70º
E) 75º
ResoluciónTema: Cuadrilátero
Análisis y procedimiento
B
A
20º
D R
a
Px
Q
a
C
45º
45º
De la figura, ADP ≅ CDR.
Luego
DP=DR
Entonces
mPRD=45º
TAPR
x=45º+20º
Respuestax=65º
AlternAtivA C
Pregunta N.º 22En el paralelogramo ABCD se tiene AB=6 m y
BC=8 m. Se traza la bisectriz interior del ángulo
A la cual interseca a BC en E y a la prolongación
de DC en F; desde M, punto medio de EF, se traza
un rayo paralelo a CD que interseca al segmento
AD en N. Determine MN (en m).
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
ResoluciónTema: Cuadriláteros (paralelogramo)
Análisis y procedimientoPiden MN
1
1
1
66
A
B
N D
C
F
E
H
M
n
n
6
Del dato, AE es bisectriz del BAD, entonces
mBAE=mEAD=α.
Además, BC//AD, entonces
mAEB=mEAD=α.
Luego
ABE isósceles, AB=BE=6 y EC=2
También M es punto medio de EF y MN//FD
Entonces, EH=HC=1
Además, EHM es isósceles, entonces
EH=HM y ABHN es un paralelogramo,
entonces AB=HN=6.
16
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Finalmente, MN=MH+HN
Reemplazando
∴ MN=7
RespuestaMN=7
AlternAtivA B
Pregunta N.º 23En la figura, se tiene una semicircunferencia con
diámetro BF, donde D es punto de tangencia. Si
AD=3 cm, EC=2 cm. Calcule AC (en cm).
A
B
C
F
ED
A) 6,0
B) 6,4
C) 6,8
D) 7,2
E) 7,6
ResoluciónTema: Semejanza de triángulos
Análisis y procedimiento
Piden DE=.Al tener los puntos de tangencia B, F y D, se
cumple que
AD=AB=3
DE=EF =
A
B
C
F
ED
3
3 2
Luego
ABC ∼ EFC
35 2+
=
6=(5+)1 1
Entonces, =1.
∴ DE=1
Respuesta6,0
AlternAtivA A
Pregunta N.º 24En un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y D) sus diagonales se intersecan perpendicularmente en E. Si AD=3 m y AE=1 m. Determinar (en m) la proyección de BC sobre DC.
A) 21 24
B) 21 22
C) 9
D) 10
E) 11 2
17
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
ResoluciónTema: Relaciones métricas
Análisis y procedimiento
3
26
1
1
8
A B
CSD 7mm
E
N
Piden SC.
Del gráfico
• SC: proyección de BC sobre DC
• ACD
(3)2=AC · 1
→ AC=9 y EC=8
• ADC
(DC)2+(3)2=(9)2
→ DC=6 2
• DAB ≅ DBS
→ SN=AE=1
• DNS ∼ DEC
DSDC
= 18
→ DS=m y CS=7m
• Luego
8m=6 2
m=34
2
∴ SC=7m=734
2214
2
=
Respuesta
La proyección de BC sobre DC es 214
2 .
AlternAtivA A
Pregunta N.º 25La figura muestra un semicircunferencia donde
GF=9 m y FD=7 m. Calcule la longitud del
segmento FE en metros.
A
B
C
D
E
F
G
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ResoluciónTema: Semejanza y relaciones métricas
Análisis y procedimientoSean AG=a y GC=b.
F
x
E
D
B
A G Cba
7
9
18
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Como m BAC=m GDC
AGF ∼ DGC
ab
ab16
99 16= → = ( ) ( )I
Para la circunferencia
(x+9)2=ab, entonces,
(x+9)2=9(16)
Respuesta x=3
AlternAtivA C
Pregunta N.º 26Sea el exágono regular ABCDEF inscrito en una
circunferencia, sobre DE se ubica el punto T, se
trazan los segmentos AT y DF que se cortan en
el punto M, siendo M el punto medio de DF. Si
MT=3 cm, determine (en cm) el valor del apo-
tema del exágono.
A) 19
B) 21
C) 23
D) 24
E) 27
ResoluciónTema: Polígonos regulares
Análisis y procedimientoPiden el apotema del exágono regular ABCDEF=x
Dato
• TM=3
• Mes punto medio DF .
O
x
60º60º
120º
2a
2a
30º
3a
120º
3
2a
2a
2a
7 N
A F
EB
C D
3a
7a
30º
7
T
M
Sea la longitud del lado del exágono igual a 2a.En el triángulo isósceles DEF, mDEF=120º,
entonces DF=2 3a ; pero M es punto medio de
DF, por lo tanto, DM=MF=a 3 .
En el AFM: teorema de Pitágoras,
(AM)2=(2a)2+ a 32( ) , AM=a 7
Por el teorema de las cuerdas,
a a a a3 3 7 3 7( )( ) = ( )( ) =,
Finalmente, en el ONC: notable 30º y 60º,
CN= 7
∴ =x 21
Respuestax = 21
AlternAtivA B
Pregunta N.º 27UntriánguloisóscelesABC encierra una región de 16 m2 de área. Por B se traza la altura BH relativa al lado desigual AC. Entonces el área (en m2) de la región triangular formada al unir los puntos medios de AH, BH y BC es:
19
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ResoluciónTema: Relación de áreas
Análisis y procedimientoPiden A MNQ=B
A
B
CHQ
B
NM
Al ser M y N puntos medios de BH y BC,
respectivamente, se cumple
MN // AC
Entonces
A MNQ=A MNH=B
Luego por relación de áreas
A
B
CH
B
NM
k
k 2B4B
B
A ABC=8B=16
Entonces B=2
∴ A MNQ=2
RespuestaEl área es 2.
AlternAtivA B
Pregunta N.º 28Se tiene el cubo ABCDEFGH de arista 2 cm.
Se construye el cuadrilátero achurado como se
muestra en la figura; tal que a = 12cm, b = 3
2cm,
c = 13cm. Determine el área del cuadrilátero
(en cm2).
H
b
ca
d
CD
G
F
BA
E
A) 4,64
B) 5,34
C) 6,14
D) 6,64
E) 7,54
ResoluciónTema: Ángulo diedro
20
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Análisis y procedimientoPiden S.
Del gráfico
H
CD
G
F
BA
E
3
2
1
2
d=5
3P
1
3
S
Q
R
S
M
N24
4
7 T
2 2
5
2
PAN ∼ SBN
BN
BN +=
21 31 2//
→ BN=4
MBS ∼ MFR
MB
MB +=
21 33 2//
→ MB = 47
MBN
1 1
4
1
47
2 2 2BT( )= +
→ =BT2 25
SBT
ST( ) =
+
22 2
13
2 25
→ =ST9715
A BAEF=A SPQR . cos q
2
2 259715
2 = S ·
S = 1943
∴ S=4,64
RespuestaS=4,64
AlternAtivA A
Pregunta N.º 29Unplanointersecaalasaristasdeuntriedroconvértice O en los puntos A, B y C de modo que:m∠AOB=m∠COB=60º ym∠AOC=m∠ABC=90º. Halle OB (en metros) si OA+OC=10 m.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
ResoluciónTema: Ángulo triedro
Análisis y procedimientoDato: a+b=10
C
B
A
O
60º
a
b
x
60º
21
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
T. cosenos
AOB: AB2=a2+x2 – ax
BOC: BC2=b2+x2 – bx
AOC: T. Pitágoras:
a2+x2 – ax+b2+x2 – bx=a2+b2
de donde 2x=a+b
Respuesta x=5
AlternAtivA C
Pregunta N.º 30Halle el volumen de una pirámide V – ABC (en cm3), cuyas caras laterales forman con la base un diedro de 30º, sabiendo que AB=13 cm, BC=15 cm y AC=14 cm.
A) 56 3 B) 112 3 C) 120 3
D) 127 3 E) 132 3
ResoluciónTema: Pirámide
Análisis y procedimientoPiden el volumen de la pirámide V – ABC.Datos
AB=13; BC=15 y AC=14
A
B
C
V
T I
13
1514
430º
2
4
Como los diedros entre una cara lateral y la base son iguales, entonces, el pie de la altura de la pirámide es el incentro de la base ABC.
Para hallar el área de la base ABC, aplicamos la fórmula de Herón, entonces,
A ABC= 21 8 7 6( )( )( ); A ABC=84
Como, IT es longitud del inradio, utilizamos la fórmula del inradio, entonces,
A ABC=(21)(IT); 84=21(IT)
IT=4
En el VIT notable 30º y 60º, IT=4,
entonces,
VI=43
Finalmente
v
AV ABC
ABC VI− =
( )( )3
v V ABC− =
( )8443
3
∴ v V ABC− = 1123
ObservaciónEn las alternativas no figura esta clave, por lo tanto, la
respuesta más cercana es 112 3.
Respuesta
112 3
AlternAtivA B
22
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Pregunta N.º 31Untriánguloisóscelescuyabasemide2a unidades y cuya altura mide 3a unidades, gira alrededor de uno de sus lados. Calcule (en unidades cúbicas) el mayor volumen del sólido que de esta manera se genera.
A) 4 pa3 B) 5 pa3 C) 6 pa3
D) 7 pa3 E) 8 pa3
ResoluciónTema: Sólidos de revolución
Tenga en cuenta que
El volumen que genera la región
BP Q
Lsombreada al girar 360º en torno a la recta L se calcula como
VSG=B×2p(PQ)
De modo que P es centroide de dicha región.
Análisis y procedimientoPiden el mayor volumen del sólido que se genera al girar la región ABC en torno a uno de sus lados.Como el área es constante, entonces los volúme-nes dependen de PH y PQ siendo P centroide de dicha región.
10a
5
A H Ca a
P
Q
a
2a
37º
2
B
360º
Luego del gráfico, la mHBC = 372º
aa
105
<
PQ < PH
Entonces el mayor volumen se calcula como
V
a aaSG =
×( )× ×
2 3
22π
\ VSG=6pa3
RespuestaVSG=6pa3
AlternAtivA C
Pregunta N.º 32En un rectángulo ABCD la diagonal AC tiene una longitud de 2a unidades y forma con AB un ángulo de 30º. El rectángulo gira alrededor de una recta paralela a AC y que pasa por B. El área de la superficie total generada por el rectángulo es:
A) 2 3 32πa −( )
B) πa2 3 3+( )
C) 3 32pa
D) πa2 3 2 3+( )
E) 2 3 32πa +( )
ResoluciónTema: Teorema de Pappus-Guldin
Cuando nos piden calcular el área de una super-ficie generada por una rotación, es recomendable usar el teorema de Pappus, siempre que se pueda calcular la distancia del centroide al eje de giro.
23
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
Análisis y procedimiento
30º30º
aa
a a
aa
3a
3a
H
BA
D C
O
30º
Ld
En un rectángulo, el centroide O es el punto de intersección de sus diagonales.
En ABCD
AC=2a → AO=OB=OC=OD=a
Como
L
// ºAC ABH→ =m 30
En AOB
m m OBA OAB= = 30º
→ =mOBH 60º
Sea d la distancia de O a L
.
En el BOH: da=2
3
La línea que gira tiene longitud .
→ = +( )2 3 1a
Aplicando el teorema de Pappus-Guldin
ASG=2pd ·
ASG
aa=
+( )( )22
3 2 3 1π
Respuesta2 3 32πa +( )
AlternAtivA e
Pregunta N.º 33Dada la función f, definida por:
f x x xx
( ) ( ) arccos( ) arctan= + ++
arcsen11
.
Determine el rango de f.
A) −
π π2 2;
B) − π π2 2;
C) π π2
12
34
+
arc tan ;
D) π π2
12
+
arc tan ;
E) π π2
34
;
Resolución
Tema: Funciones trigonométricas inversas
arcsen x+arccos x=p2
↔ –1 ≤ x ≤ 1
Análisis y procedimiento
Piden el rango de f.
Dato
f(x)=arcsen(x)+arccos(x)+arctan 11x +
24
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Entonces
f(x)=p2
+arctan 11x +
Como
–1 ≤ x ≤ 1 → 0 ≤ |x| ≤ 1
→ 1 ≤ |x|+1 ≤ 2
→ 111
12
≥+
≥x
Como la función arcotangente es creciente,
entonces
arctan( ) arctan arctan111
12
≥+
≥
x
π4
11
12
≥+
≥
arctan arctanx
34 2
11 2
12
π π π≥ ++
≥ +
arctan arctanx
34 2
12
π π≥ ≥ +
f x( ) arctan
Por lo tanto
Ran arctan ;f = +
π π2
12
34
Respuesta
π π2
12
34
+
arctan ;
AlternAtivA C
Pregunta N.º 34En la figura se muestra un paralelepípedo recto de lados a, b, c. Calcule el seno verso del ángulo g, si:
b c
a b c
2 2
2 2 2
13
+
+ +=
c
b
a
A) 16
B) 13
C) 12
D) 23
E) 1
Resolución
Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos
Teorema de cosenos
A
B
C
A
a
b
ca2=b2+c2 – 2bc cosA
Seno verso de un ángulo
versα=1 – cosα
Análisis y procedimiento
Piden seno verso del ángulo g.
Dato
b c
a b c
2 2
2 2 2
13
+
+ +=
25
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
Tenemos
c
b
a
A B
C
Del paralelepípedo recto mostrado, analizamos el triángulo ABC.
aA B
C
b c2 2+a2
+ +b c2 2
Por teorema de cosenos
a a b c b c2 2 2 22
2 22
= + +( ) + +( ) −
− + + +2 2 2 2 2 2a b c b c· cos γ
Operando
cos γ = +
+ +
b c
a b c
2 2
2 2 2
Por referencia del dato, cos γ = 13
.
versg=1 – cosg
versγ = −1 1
3
\ versγ = 23
Respuesta23
AlternAtivA D
Pregunta N.º 35Si 16sen5x=Asenx+Bsen3x+Csen5x, determine el valor de (A+2B+C).
A) – 3 B) – 2 C) 1 D) 4 E) 6
ResoluciónTema: Identidades trigonométricas
• 2sen2x=1– cos2x
• 4sen3x=3senx – sen3x
• 2senacosb=sen(a+b)+sen(a – b)
Análisis y procedimientoPiden A+2B+C.
Dato
16sen5x=Asenx+Bsen3x+Csen5x (I)
Entonces
16sen5x=2(2sen2x)(4sen3x)
=2(1– cos2x)(3senx – sen3x)
=6sen x – 6sen xcos2x – 2sen3x+
+2sen3xcos2x
Aplicamos transformaciones.
16sen5x=6senx – 3(sen3x – senx) – 2sen3x+
+(sen5x+senx)
16sen5x=10senx – 5sen3x +sen5x (II)
Comparamos (I) y (II)
→ A=10; B=– 5; C=1
∴ A+2B+C=10+2(– 5)+1=1
Respuesta
El valor de (A+2B+C) es 1.
AlternAtivA C
26
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Pregunta N.º 36En la circunferencia trigonométrica mostrada
mAB P' = θ , determine el área de la región
triangular A’MT.
Y
X
T
A
M
B'
A'
P
A) − −[ ]12tanθ θsen
B) − +[ ]12tanθ θsen
C) 12tanθ θ−[ ]sen
D) 12tanθ θ+[ ]sen
E) − +[ ]12cotθ θcos
ResoluciónTema: Circunferencia trigonométrica
En la C. T.
AT=– tanq
Y
X
T
A
M
tan
sen
Análisis y procedimiento
Y
X
T
A
M
A'
P
sen
O
–tan
S1: área de la región triangular OA’M
→ = ( )( )
S11
2senθ
S2: área de la región triangular OA’T
→ = ( ) −( )
S21
2tanθ
S: área de la región sombreada
S=S2 – S1
→ = ( ) −( ) − ( )( )
S1
21
2tan senθ θ
∴ = − +( )S12tanθ θsen
Respuesta
− +( )12tanθ θsen
AlternAtivA B
Pregunta N.º 37Calcule el valor de:
E = −12
2sen10
sen70ºº
.
A) – 1 B) 0 C) 1
D) 2
2 E)
32
27
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
ResoluciónTema: Transformaciones trigonométricas• 2senqsenα=cos(q– α) – cos(q+α)• α+q=90º → senα=cosq
Análisis y procedimiento
E = −1
2 102 70
sen ºsen º
E = − ( )1 2 2 70 10
2 10sen º sen ºsen º
E = − −( )1 2 60 80
2 10cos º cos º
sen º
E =
− −
1 212
80
2 10
cos º
sen º
E = 2 80
2 10cos ºsen º
E = sen º
sen º1010
E=1
RespuestaE=1
AlternAtivA C
Pregunta N.º 38En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado, ADC es un sector circular con centro en D, m∠ABM=q y m∠ADM=φ. Calcule tanq en términos de φ.
BA
CD
M
A) 11++sencos
φφ B) 1
1++cossen
φφ
C) 22−−cossen
φφ
D) 11−−sencos
φφ
E) 11−−cossen
φφ
ResoluciónTema: Resolución de triángulos rectángulos
x
y
a
x=asen
y=acos
Análisis y procedimientoDatos: mABM=q y mADM=φ
BA
D C
Mrsen
r r– senEr r– cos
rrcos
L
Sea DM=r, entonces,
En el triángulo DLM:
LM=r senφ LD=r cosφ
En el triángulo BEM
tancossen
θ φφ
= −−
r rr r
→tancossen
θ φφ
= −−
11
Respuesta11−−cossen
φφ
AlternAtivA e
28
unI 2010 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Pregunta N.º 39En la semicircunferencia de centro O del grá-fico mostrado, m y cmAB AC = =164 2 50º . Calcule el área de la región sombreada (en cm2).
C A
B
O
A) 58,5 B) 60,5 C) 62,5 D) 64,5 E) 66,5
ResoluciónTema: Cálculo del área de un sector circular
rad
r
r
S = 12
2· ·θ r
S: representa el área del sector circular q: número de radianes r: radio del sector circular
Análisis y procedimientoPiden calcular el área de la región sombreada.
Sea S el área de la región sombreada.
C A
B
O
164º
164º
5050
50
Entonces
S = ( ) −1
24145 50
50 502
1642· sen ºπ
S = −41 5
97
· ·π
Se sabe que
p=3,14
\ S=64,5 cm2
RespuestaS=64,5 cm2
AlternAtivA D
Pregunta N.º 40Si S y C representan los valores de un ángulo en
grados sexagesimales y centesimales, respectiva-
mente, y se cumple que
C2+S2=2C3 – 5SC2+4S2C – S3 – 2SC
Calcule el valor de C.
A) 36111
B) 311111
C) 361011
D) 367011
E) 368011
ResoluciónTema: Sistemas de medición angular
Siendo S=# de grados sexagesimales C=# de grados centesimales
→ S C9 10
=
→ S=9K
C=10K
29
unI 2010 -IISolucionario de Matemática
Análisis y procedimientoPiden C
Del dato
C2+S2=2C3 – 5SC2+4S2C – S3 – 2SC
Ordenamos
C SC S C S C S C SP C
2 2 3 2 2 32 2 5 4+ + = ( ) − ( ) + ( ) −( )
(I)
P(C) es un polinomio que se anula para C=S.
Factorizamos P(C) por divisores binómicos
2 –5S +4S2 –S
3
2S –3S2
S3
2 –3S S2 0
C S=
Luego
P(C)=(C – S)(C – S)(2C – S)
En (I)
(C+S)2=(C – S)2(2C – S)
→ − = +
−
22
C SC SC S
→ ( ) − =
2 10 919 2
K KK
K
K = 361
11
Como C=10K
Entonces
C = 3610
11
Respuesta361011
AlternAtivA C