ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA SEMESTRAL 10 - II “VESALIUS” 2010

ALUMNO: .................................................................................................. FECHA: 09 – 08 – 2010

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: MATEMÀTICA

TEMA Nº 01 - INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

(Tarea – Domiciliaria - SOLUCIONARIO)

01. Determinar la ecuación de la recta a la que

pertenece el punto con coordenadas (1; 1) y

determina con la recta:

L: 3x – 2y – 4 = 0 un ángulo con medida

45º.

a) 3x – 2y – 1 = 0 b) x + 2y – 3 = 0

c) 2x +y – 3 = 0 d) x – 5y + 4 = 0

e) 3x + y – 4 = 0

Solución:

Tenemos L: 3x – 2y – 4 = 0

Sea L1 la recta a hallar y “m” su pendiente

2

3.1

2

3

)45(m

mTan

2 + 3m = 3 – 2m m = 1/5

L1 : x – 5y + 4 = 0 Clave (d)

02. Si la recta £: mx - 3y + 1 = O es paralela a la

recta £1: x-2y+3=0, hallar m:

a) 4/2 b)3/2

c)4/3

d) 1/2 e) 1

Solución:

£: // £1 m/1 = (– 3)/( – 2 )

m = 3/2 Clave (b)

03. Si la recta 4x - ky - 1 = 0 es perpendicular a la

recta 2x+3y + 4 = 0. Hallar k.

a) 3

5 b) 8

3 c) 7

5

d) 3

8 e) N.A

Solución:

SeanL1: 4x – ky – 1 = 0

L2: 2x + 3y + 4 = 0

Como

L1 // L2 4(2) + (– k )(3) = 0

8 – 3k = 0

k = 8/3 Clave (d)

04. Una recta tiene pendiente m = – 2 y corta al

eje Y en y = 4. Entonces su correspondiente

ecuación será:

a) y = 3x + 4 b) y = -2x + 3

c) y = -3x + 2 d) y = -2x+4

e) y = 2x – 4

Solución:

Recordar que la ecuación de la recta de pendiente

“m” e intercepto con el eje y. “b” es: y = mx + b

y = -2x+4 Clave (d)

05. Determinar para que valor de a las tres

rectas 2 3 0 , 3 0 13 0x y x y ax y se

cortan en un punto.

a) -11 b) – 7 c) 3

d) 7 e) 2

Solución:

Tres rectas se cortan en un punto, es decir son

concurrentes, el sistema de soluciones

determinado por sus ecuaciones tiene solución única

Sean:

L1: 2x – y = – 3 2x – y = – 3

L2: x + y = – 3 x + y = – 3

L3: ax + y = 13 x = – 2

y = – 1

Entonces P(–2; – 1 ) L3

a(– 2) + (– 1) = 13

a = – 7 Clave (b)

06. La ecuación del lugar geométrico de los

puntos equidistantes de A(-2;3) y B(3;-1) es:

a) 10x-8y+3=0 b) x+5y-8=0 c) 7x-2y-9=0 d) 6x-9y+2=0

e )x + y – 2 = 0

Solución:

El lugar geométrico de los puntos equidistantes de

los puntos A y B es la mediatriz del segmento AB

mM =5/4

Tenemos AB LM PM(1/2; 1)

mAB =– 4 /5

LM: 10x-8y+3=0 Clave (a)

07. La ecuación de la mediatriz del segmento

determinado por los puntos (7;4) y (-1;-2)

es:

a) 4x+3y-15=0 b) x-y+8=0

c) 2x-8y+1=0 d) 8x-y+15=0

e) N.A

Solución:

Sean A(7; 4) y B(-1; -2)

mM = – 4/3

Tenemos AB LM PM(3; 1)

mAB =6 /8 = ¾

LM: 4x+3y-15=0 Clave (a)

08. El valor del parámetro k de manera que la

recta 3 5 2 0kx y k pase por el punto (-

1;4) es:

a)3 b) 6 c) 9

d) 12 e) 15

Solución:

Si P(– 1; 4 ) L: 3 5 2 0kx y k

Entonces satisface dicha ecuación, luego

3k(– 1) + 5(4) + k – 2 = 0

– 3k + 20 + k – 2 = 0

– 2k +18 = 0

k = 9

k = 9 Clave (c)

09. El valor de k para que la distancia d de la

recta 8 15 0x y k al punto (2;3) sea igual a

5 unidades es:

a) 32 b) 46 c) 54

d) 61 e) 24

Solución:

La distancia d P(2; 3) a L: 8 15 0x y k

a = – 7 Clave (b)

10. La ecuación de la recta que pasa por el

punto (1;3) y que es perpendicular a la recta de ecuación 4 3 0x y es:

a) x + y = 4 b) 2x+y=5

c) 3x+y=6 d) 4x+y=7

e) x+4y=13

Solución:

Sea L1: 4 3 0x y entonces hallemos

L2 tal que L1 L2 L2 : x + 4y = c

Como P(1; 3) L2 (1) + 4(3) = c c = 13

L2 : x + 4y = 13 Clave (b)

11. Según el gráfico determine la ecuación de la recta

que pasa pro M y N, si mMCN = 90º, además OABC

es un cuadrado de lado 8,5 u y AM = 5 u

a) 5x – 12y – 32 = 0 b) 5x + 12y – 42 = 0

d) 12x – 5y + 42 = 0 d) 12x + 5y – 42 = 0

e) 6x + 5y – 21 = 0

Solución:

Observamos que MOC PNC a = 3,5

N (12; 17/2)

mMN = 12/5

LMN : 5x – 12y – 32 = 0 Clave (a)

12. Según la figura OB=BN. Hallar la ecuación

de la recta que contiene al punto medio de

BO y al punto N.

a) 2x+9y-3=0 b) 2x+11y-15=0

c) x-9y+12=0 d) x+11y-25=0

e) 2x+11y-25=0

Solución:

LPN : 2x+11y-25=0 Clave (3)

13. Hallar la ecuación de una recta que pasa

por el punto (2;-1) y que es paralela a la

recta:

3x – 4y + 1 = 0.

a) 4y – 3x+10 = 0 b) 2x + 3y +10 = 0

c) 4y + 3x + 10 = 0 d) 8y - 3x – 10 = 0

e) x + y – 2 = 0

Solución:

Sea L1: 3x – 4y + 1 = 0 L2: 3x – 4y + c = 0

P(2; –1) L2: 3x – 4y + c = 0

3(2) – 4(–1) + c = 0

6 + 4 + c = 0

c = – 10

L1: 4y – 3x+10 = 0 Clave (a)

14. En la figura, T es punto de tangencia, se cumple la condición:

8. OLBO = 40u. y la longitud de LA es igual a la ordenada del punto T. Halle la pendiente del segmento AT .

a) 2

1 b) 3

1 c) 4

1

d) 5

1 e) 6

1

Solución:

mAT =4

1

524

012

mAT = – 1/4 Clave (c)

15.La pendiente de una recta 3/4 y pasa por el punto A(1; 2). Calcular su ecuación.

a) 3x + 4y – 5 = 0 b) 3x – 4y – 5=0c) 4x – 3y +5=0 d) 3x – 4y + 5 = 0e) 4x – 3y + 5 = 0

Solución:

A(1; 2) L : 3x – 4y + c = 0

3(1) – 4(2) + c = 0

c = 5

L: 3x –4y +5 = 0 Clave (d)

16. Hallar la distancia entre los puntos:

A (a ; b) y B

2

3;

2

3 abba

a) ab b) 22 ba c) 2

ab

d) b

a32e)

2

ba

Solución:

2222

2

3

2

3),( ba

ab

baBAdAB

AB = 22 ba Clave (b)

17. Si las coordenadas del punto que equidista de A(8, 3); B(6, 7) y C(-6, 1) son P(x; y) entonces x + y es:a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5

Solución:

Tenemos PA = PB = PC

PA2 = PB2 = PC2

(x – 8)2 +(y – 3)2 = (x – 6)2 +(y – 7)2

= (x+6)2 +(y – 1)2

– 16x + 64 – 6y + 9 = – 12x + 36– 14y + 49

= 12x + 36 – 2y + 1

4x – 8y = – 12 x= 2 ; y = 1

24x + 12y = 48

P(2; 1) Clave (c)