Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales OrdinariasSolucin de una EDO lineal de primer ordenLas EDO lineales de primer orden pueden escribirse en su forma general como sigue ( ) ( ) ( ) ( )( )

Donde

es una constante de integracin de ( ) ( )

Aunque tambin suelen escribirlas de la forma estndar ( ) ( )

Por lo tanto, la solucin de la ecuacin homognea asociada tiene la forma( )

( ) ( ) y ( ) ( ) ( ). Donde ( ) Refirindonos a la forma general, cuando ( ) decimos entonces que tenemos una ecuacin homognea, o si ( ) entonces decimos que tenemos una ecuacin no homognea. Estas ecuaciones tienen soluciones de la forma . es la solucin de la ecuacin homognea asociada ( ) Mientras que es una solucin particular de la ecuacin no homognea. Esto lo puedes notar fcilmente con la siguiente consideracin: ( ) [ ( ) ( ) Note que podemos llegar a la solucin de la ecuacin homognea mediante la separacin de variables ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ]

Para encontrar la solucin particular utilizaremos un mtodo que estudiaremos ms adelante llamado Variacin de Parmetros, la cual supone que la solucin particular tiene la forma ( ) ( ) Donde ( ) es una funcin que habremos de encontrar. ( ) [ ( ) ( ) ]

( ) ( ) Note entonces que nuevamente tenemos una ecuacin de variables separables, por lo que podemos continuar as ( ) ( )

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Ricardo Alejos Ecuaciones Diferenciales El valor de es entonces ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

Note pues, que se trata de la EDO original, pero multiplicada por ( ). Pero para qu sirve esto? Ah bueno! Todo el procedimiento que hicimos hasta ahora podemos hacerlo mucho ms rpido con estos ltimos tres pasos hechos en orden inverso: ( ) ( )

( )

1. Multiplicar la EDO en forma estndar por el factor integrante ( ) es [( ) ( )

Por lo que la solucin particular, ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )

2. Reducimos la derivada del producto( ) ( )

( )( )

] ( )

( ) [( )

( )

( )

]

Finalmente, nuestra solucin completa tiene la forma

3. Separamos las variables e integramos ( ) ( ) [ ( ) ] [( )

( )

( )

( )

( )

]

( )

( )

( )

Note que tenemos aqu una constante arbitraria de , por lo que a todos los valores posibles de les corresponde una solucin de la ecuacin diferencial en cuestin. Por esto ltimo decimos que la ecuacin diferencial posee una familia de soluciones. Note ahora que si la ltima expresin la multiplicamos por ( ) obtenemos( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Y al derivarlo [( )

]

( )

( )

Obtenemos finalmente( )

( )

( )

( )

( )

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